PROBLEMA DEL TRANSPORTE O DISTRIBUCIÓN El pro robl blem ema a de dell tr tran ansp spor orte te o di dist stri ribu buci ción ón es un pr prob oble lema ma de re rede des s especial en programació programación n lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un punto específico llamado Fuente u Origen hacia otro punto específico específico llamado llamado Destino. Los principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfacción de todos los requerimientos requerimien tos establecidos por los destinos y claro está la minimización de los costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.
El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se puede llevar a cabo mediante programación lineal común común sin embargo su estructura permite la creación de múltiples alternativas de solución tales como laestructura laestructura de asignación o asignación o los m!todos heurísticos más
populares como "ogel "ogel Esquina #oroeste o #oroeste o $ínimos %ostos. %ostos. $ínimos %ostos. %ostos.
PROBLEMA DE TRANSPORTE MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL %omo se mencionó anteriormente la programación lineal puede ser utilizada para la resolución de modelos de transporte aunque no sea sensato resolver los modelos mediante el $!todo &imple' si puede ser de gran utilidad la fase de modelización la programación programació n carece de la practicidad de los m!todos de asignación pero puede ser de gran importancia dependiendo de la complejid complejidad ad de las restricciones adicionales que puede presentar un problema particular.
PROBLEMA TIPO (na empresa energ!tica colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria el!ctrica en cuatro ciudades %ali )ogotá $edellín y )arranquilla. )arranquill a. Las plantas *+, y - pueden satisfacer / ,/ 0/ y -1 millones de 23 al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de %ali )ogotá $edellín y )arranquilla son de 4/ -/ 4/ y ,1 millones de 25 al día respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energ!tico por cada millón de 23 entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
6orm 6o rmul ule e un mo mode delo lo de pr prog ogra rama maci ción ón li line neal al qu que e pe perm rmit ita a sa sati tisf sfac acer er la las s nece ne cesi sida dade des s de to toda das s la las s ci ciud udad ades es al ti tiem empo po qu que e mi mini nimic mice e lo los s co cost stos os asociados al transporte.
SOLUCIÓN MEDIANTE PL El modelo básico de transporte es el modelo en el cual la cantidad ofertada es igual a la cantidad demandada como es el caso de este ejercicio sin embargo trasladar esta suposición a la realidad es casi imposible por lo cual hace falta crear orígenes y7o destinos ficticios con el e'cedente de oferta y7o demanda. %omo %o mo ya lo hem emos os pla lant ntea ead do en mó módu dulo los s ant nte eri rior ores es el pri rime merr pas aso o corresponde a la definición de las variables regularmente se le denomina a las variables de manera algebraica 8ij donde i simboliza simboliza a la fuente y j y j simboliza simboliza al destino. En este caso i define el conjunto 9:lanta * :lanta + :lanta , y :lanta -; y j y j define define el conjunto 9%ali )ogotá $edellín y )arranquilla;. &in embargo es práctico renombrar cada fuente y destino por un número respectivo por ende la vari va riab able le 8*+ co corr rres esp pon onde de a la can anti tid dad de mi mill llon one es de 23 env nvia iado dos s diariamente de la :lanta * a la ciudad de )ogotá.
El segundo paso corresponde a la formulación de las restricciones de oferta y demanda cuya cantidad se encuentra determinada por el factor entre fuentes y destinos en este caso *0 restricciones.
8** ? 8*+ ? 8*, ? 8*- = / 8+* ? 8++ ? 8+, ? 8+- = ,/ 8,* ? 8,+ ? 8,, ? 8,- = 0/ 8-* ? 8-+ ? 8-, ? 8-- = -1
8** ? 8+* ? 8,* ? 8-* @ 4/ 8*+ ? 8++ ? 8,+ ? 8-+ @ -/ 8*, ? 8+, ? 8,, ? 8-, @ 4/ 8*- ? 8+- ? 8,- ? 8-- @ ,1
Luego se procede a formular la función objetivo en la cual se relaciona el costo correspondiente a cada ruta.
A$B# C 18** ? +8*+ ? 48*, ? ,8*- ? ,8+* ? 08++ ? 08+, ? *8+- ? 08,* ? *8,+ ? +8,, ? -8,- ? -8-* ? ,8-+ ? 08-, ? 08-Luego se puede procede a resolver el modelo realizado aquí están los resultados.
555.ingenieriaindustrialonline.com Este problema presenta una solución óptima alternativa aquí los resultados. .
Red Solucin
555.ingenieriaindustrialonline.co m Los análisis de dualidad y sensibilidad en los modelos de transporte resultan ser bastante interesantes pues pueden llegar a determinar aumentos de capacidad en las fuentes si el precio sombra de las rutas en relación a ellas lo justifica.
M!TODO DE APRO"IMACIÓN DE #OGEL El m!todo de apro'imación de "ogel es un m!todo heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás m!todos heurísticos e'istentes con este fin sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mi smos.
ALGORITMO DE #OGEL El m!todo consiste en la realización de un algoritmo que consta de , pasos fundamentales y * más que asegura el ciclo hasta la culminación del m!todo.
PASO $ Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas.
PASO % Escoger la fila o columna con la mayor penalización es decir que de la resta realizada en el :aso * se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate se debe escoger arbitrariamente Fa juicio personalG.
PASO & De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. (na vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna en caso de empate solo se tachará * la restante quedará con oferta o demanda igual a cero F/G.
PASO '( DE CICLO ) E"CEPCIONES H &i queda sin tachar e'actamente una fila o columna con cero oferta o demanda detenerse.
H &i queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva determine las variables básicas en la fila o columna con el m!todo de costos mínimos detenerse.
H &i todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda determine las variables básicas cero por el m!todo del costo mínimo detenerse.
H &i no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso * hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado.
E*EMPLO DEL M!TODO DE APRO"IMACIÓN DE #OGEL :or medio de este m!todo resolveremos el ejercicio de transporte resuelto en módulos anteriores mediante programación lineal.
EL PROBLEMA (na empresa energ!tica colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria el!ctrica en cuatro ciudades %ali )ogotá $edellín y )arranquilla. Las plantas *+, y - pueden satisfacer / ,/ 0/ y -1 millones de 23 al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de %ali )ogotá $edellín y )arranquilla son de 4/ -/ 4/ y ,1 millones de 25 al día respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energ!tico por cada millón de 23 entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
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6ormule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.
SOLUCIÓN PASO A PASO El primer paso es determinar las medidas de penalización y consignarlas en el tabulado de costos tal como se muestra a continuación.
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El paso siguiente es escoger la mayor penalización de esta manera>
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El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor y en una tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades podemos observar como el menor costo es + y que a esa celda se le pueden asignar como má'imo 0/ unidades que es la capacidad de la planta ,.
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Dado que la fila de la :lanta , ya ha asignado toda su capacidad F0/ unidadesG esta debe desaparecer.
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&e ha llegado al final del ciclo por ende se repite el proceso
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Bniciamos una nueva iteración
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%ontinuamos con las iteraciones
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Bniciamos otra iteración
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Il finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sin tachar y con valores positivos por ende asignamos las variables básicas y hemos concluido el m!todo.
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Los costos asociados a la distribución son>
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De esta manera hemos llegado a la solución a la cual tambi!n llegamos mediante programación lineal definitivamente desarrollar la capacidad para modelar mediante programación lineal y apoyarse de una buena herramienta como 3inJ&) &K<$LB#M K
M!TODO DE LA ES+UINA NOROESTE
El ,-todo de l. es/uin. Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de transporte o distribución mediante la consecución de una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones e'istentes sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. Este m!todo tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de su ejecución y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado.
&u nombre se debe al g!nesis del algoritmo el cual inicia en la ruta celda o esquina #oroeste. Es común encontrar gran variedad de m!todos que se basen en la misma metodología de la esquina #oroeste dado que podemos encontrar de igual manera el m!todo e la esquina #oreste &ureste o &uroeste.
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE LA ES+UINA NOROESTE &e parte por esbozar en forma matricial el problema es decir filas que representen fuentes y columnas que representen destinos luego el algoritmo debe de iniciar en la celda ruta o esquina #oroeste de la tabla Fesquina superior izquierdaG.
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PASO $( En la celda seleccionada como esquina #oroeste se debe asignar la má'ima cantidad de unidades posibles cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada restándole la cantidad asignada a la celda.
PASO %( En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea / despu!s del :aso * si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero F/G según sea el caso.
PASO &( (na vez en este paso e'isten dos posibilidades la primera que quede un solo renglón o columna si este es el caso se ha llegado al final el m!todo detenerse. La segunda es que quede más de un renglón o columna si este es el caso iniciar nuevamente el :aso *.
E*EMPLO DEL M!TODO DE LA ES+UINA NOROESTE :or medio de este m!todo resolveremos el problema de transporte propuesto y resuelto en módulos anteriores mediante programación lineal.
EL PROBLEMA (na empresa energ!tica colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria el!ctrica en cuatro ciudades %ali )ogotá $edellín y )arranquilla. Las plantas *+, y - pueden satisfacer / ,/ 0/ y -1
millones de 23 al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de %ali )ogotá $edellín y )arranquilla son de 4/ -/ 4/ y ,1 millones de 25 al día
respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energ!tico por cada millón de 23 entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
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6ormule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.
SOLUCIÓN PASO A PASO
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Ihora la cantidad asignada a la esquina noroeste es restada a la demanda de %ali y a la oferta de la :lanta * en un procedimiento muy lógico. Dado que la demanda de %ali una vez restada la cantidad asignada es cero F/G se procede a eliminar la columna. El proceso de asignación nuevamente se repite.
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%ontinuamos con las iteraciones.
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En este caso nos encontramos frente a la elección de la fila o columna a eliminar FtacharG sin embargo podemos utilizar un criterio mediante el cual eliminemos la fila o columna que presente los costos más elevados. En este caso la :lanta +. #ueva iteración.
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(na vez finalizada esta asignación se elimina la :lanta , que ya ha sido satisfecha con la asignación de 0/ unidades por ende nos queda una sola fila a la cual le asignamos las unidades estrictamente requeridas y hemos finalizado el m!todo.
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El cuadro de las asignaciones Fque debemos desarrollarlo paralelamenteG queda así>
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Los costos asociados a la distribución son>
555.ingenieriaindustrialonline.com El costo total es evidentemente superior al obtenido mediante :rogramación Lineal y el $!todo de Ipro'imación de "ogel lo cual demuestra lo enunciado en la descripción del algoritmo que cita que no obtiene siempre la mejor solución sin embargo presenta un cumplimiento de todas las restricciones y una rapidez de elaboración lo cual es
una ventaja en problemas con innumerables fuentes y destinos en los cuales no nos importe más que satisfacer las restricciones
M!TODO DEL COSTO M0NIMO
El ,-todo del costo ,1ni,o o de los ,1ni,os costos es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución arrojando mejores resultados que m!todos como el de la esquina noroeste dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos.
ALGORITMO DEL COSTO M0NIMO
PASO $( De la matriz se elige la ruta FceldaG menos costosa Fen caso de un empate este se rompe arbitrariamenteG y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada restándole la cantidad asignada a la celda.
PASO %( En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea / despu!s del :aso * si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero F/G según sea el caso.
PASO &( (na vez en este paso e'isten dos posibilidades la primera que quede un solo renglón o columna si este es el caso se ha llegado al final el m!todo detenerse.
La segunda es que quede más de un renglón o columna si este es el caso iniciar nuevamente el :aso *.
E*EMPLO DEL M!TODO DEL COSTO M0NIMO :or medio de este m!todo resolveremos el problema de transporte propuesto y resuelto en módulos anteriores mediante programación lineal.
EL PROBLEMA (na empresa energ!tica colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria el!ctrica en cuatro ciudades %ali )ogotá $edellín y )arranquilla. Las plantas *+, y - pueden satisfacer / ,/ 0/ y -1 millones de 23 al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de %ali )ogotá $edellín y )arranquilla son de 4/ -/ 4/ y ,1 millones de 25 al día
respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energ!tico por cada millón de 23 entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
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6ormule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.
SOLUCIÓN PASO A PASO
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Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de )ogotá y a la oferta de la :lanta , en un proceso muy lógico. Dado que )ogotá se queda sin demanda esta columna desaparece y se repite el primer proceso.
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#uevo proceso de asignación
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#uevo proceso de asignación
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#uevo proceso de asignación
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(na vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta que solo quedará una fila por ende asignamos las unidades y se ha terminado el m!todo.
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El cuadro de las asignaciones Fque debemos desarrollarlo paralelamenteG queda así>
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Los costos asociados a la distribución son>
555.ingenieriaindustrialonline.com En este caso el m!todo del costo mínimo presenta un costo total superior al obtenido mediante :rogramación Lineal y el $!todo de Ipro'imación "ogel sin embargo comúnmente no es así además es simple de desarrollar y tiene un mejor rendimiento en cuanto a resultados respecto al $!todo de la Esquina #oroeste.
PROBLEMA DE TRANSBORDO El Pro2le,. de Tr.ns2ordo Intertr.ns3orte o Ree,2.r/ue es una variación del modelo original de transporte que se ajusta a la posibilidad común de transportar unidades mediante nodos fuentes destinos y transitorios mientras el modelo tradicional solo permite envíos directos desde nodos fuentes hacia nodos destinos. E'iste la posibilidad de resolver un modelo de transbordo mediante las t!cnicas tradicionales de resolución de modelos de transporte y este procedimiento se
basa en la preparación del tabulado inicial haciendo uso de artificios conocidos con el nombre de .,ortigu.dores4 los cuales deben ser iguales a la sumatoria de las ofertas de los nodos de oferta pura y de coeficiente cero F/G en materia de costos.
&in embargo la resolución de un problema de transbordo haciendo uso de los algoritmos de resolución de modelos de transporte es una idea anacrónica teniendo en cuenta la posibilidad de acceso a herramientas de cómputo capaces de resolver problemas complejos una vez modelados mediante las t!cnicas de programación lineal.
La importancia de los modelos de transbordo aumenta con las nuevas tendencias globales de gestión de cadenas de abastecimiento en las cuales se deben de optimizar los flujos logísticos de productos teniendo en cuenta la importancia de minimizar los costos asegurar disponibilidad de unidades y reconociendo la importancia de los centros de distribución en la búsqueda del equilibrio entre las proyecciones y la realidad de la demanda.
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RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE TRANSBORDO MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL :ara poder resolver un problema de transbordo mediante programación lineal basta con conocer una nueva familia de restricciones las llamadas restricciones de balanceo. En un problema de transbordo e'isten , clases de nodos los nodos de oferta pura los de demanda pura y los nodos transitorios que posibilitan el transbordo y que deben de balancearse para hacer que el sistema sea viable es decir que todas las unidades que ingresen a un nodo sean iguales a las que salgan del mismo Funidades que salen ? unidades que conserve el nodoG.
EL PROBLEMA $odelar mediante programación lineal el problema de transbordo esbozado en la siguiente figura Fdar clicO para ampliarG.
KIPI H Bnvestigación de peraciones
La figura muestra una serie de nodos y sus respectivas rutas mediante las cuales se supone distribuir las unidades de un producto el número que lleva cada arco FflechaG representa el costo unitario asociado a esa ruta FarcoG y las cantidades que se ubican en los nodos iniciales representan la oferta de cada planta así como las cantidades de los nodos finales representa la demanda de cada distribuidor.
LAS #ARIABLES DE DECISIÓN En este caso como en la mayoría las variables de decisión deben representar la cantidad de unidades enviadas por medio de cada ruta. Es muy aconsejable denotar cada nodo con un número para simplificar la definición nominal de las variables.
(na vez renombrado cada nodo definiremos las variables>
8 I% C %antidad de unidades enviadas desde :* hacia K* 8 ID C %antidad de unidades enviadas desde :* hacia K+ 8)% C %antidad de unidades enviadas desde :+ hacia K* 8)D C %antidad de unidades enviadas desde :+ hacia K+ 8%D C %antidad de unidades enviadas desde K* hacia K+ 8%E C %antidad de unidades enviadas desde K* hacia D* 8%6 C %antidad de unidades enviadas desde K* hacia D+ 8D6 C %antidad de unidades enviadas desde K+ hacia D+ 8DM C %antidad de unidades enviadas desde K+ hacia D,
8E6 C %antidad de unidades enviadas desde D* hacia D+ 86M C %antidad de unidades enviadas desde D+ hacia D,
RESTRICCIONES E'isten en este modelo , tipos de restricciones y están estrechamente relacionadas con los tipos de nodos e'istentes para un nodo oferta pura e'iste la restricción de ofertaN para un nodo demanda pura e'iste la restricción de demanda y para un nodo transitorio y7o transitorio de demanda e'iste la restricción de balance.
Restricciones de O5ert.>
8 I% ? 8 ID C */// 8)% ? 8)D C *+//
Restricciones de de,.nd.(
8DM ? 86M C 1//
Restricciones de 2.l.nceo 3.r. nodos 6nic.,ente tr.nsitorios( %on estas restricciones aseguramos que todas las unidades que lleguen sean iguales a las unidades que salgan.
8 I% ? 8)% H 8%D H 8%E H 8%6 C /
8 ID ? 8)D ? 8%D H 8D6 H 8DM C /
Restricciones de 2.l.nceo 3.r. nodos tr.nsitorios con re/ueri,ientos( %on estas restricciones aseguramos que todas las unidades que lleguen sean iguales a la sumatoria de las unidades que salen más los requerimientos del nodo FdemandaG.
8%E H 8E6 C // 8%6 ? 8D6 ? 8E6 H 86M C Q//
FUNCIÓN OB*ETI#O En este caso la definición de la función objetivo se limita a la consignación de cada ruta con su respectivo costo bajo el criterio minimizar.
A$B# C ,8 I% ? -8 ID ? +8)% ? 18)D ? 48%D ? 8%E ? 08%6 ? -8D6 ? Q8DM ? 18E6 ? ,86M
INGRESANDO EL MODELO A 7IN+SB
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SOLUCIÓN OBTENIDA MEDIANTE 7IN+SB
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Esta es la representación grafica de la solución cuyo costo óptimo es de +/.4// unidades monetarias
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RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE REDES DE SUMINISTRO EL PROBLEMA Este es un problema propuesto en el te'to "Investigación de Operaciones de TAHA" que hace referencia a una red de gasoductos en la que los distintos nodos representan estaciones de bombeo y recepción los costos se encuentran en las rutas de la siguiente figura.
Bnvestigación de peraciones H KIPI
#ARIABLES DE DECISIÓN "$% 8 %antidad de galones enviados desde la estación * hacia la estación + "$9 8 %antidad de galones enviados desde la estación * hacia la estación 4 "&9 8 %antidad de galones enviados desde la estación , hacia la estación 4 "&' 8 %antidad de galones enviados desde la estación , hacia la estación "9% 8 %antidad de galones enviados desde la estación 4 hacia la estación + "9: 8 %antidad de galones enviados desde la estación 4 hacia la estación 1 ":9 8 %antidad de galones enviados desde la estación 1 hacia la estación 4 ";% 8 %antidad de galones enviados desde la estación 0 hacia la estación + ";: 8 %antidad de galones enviados desde la estación 0 hacia la estación 1
":; 8 %antidad de galones enviados desde la estación 1 hacia la estación 0 ":' 8 %antidad de galones enviados desde la estación 1 hacia la estación -
RESTRICCIONES Restricciones de o5ert. < de,.nd.(
8*+ ? 8*4 C 1//// 8,4 ? 8,- C 0//// 8*+ ? 84+ ? 80+ C Q//// 8,- ? 81- C+////
Restricciones de 2.l.nce
8*4 ? 8,4 ? 814 H 84+ H 841 C / 810 H 801 H 80+ C / 841 ? 801 H 810 H 81- C /
FUNCIÓN OB*ETI#O A$B# C +/8*+ ? ,8*4 ? Q8,4 ? ,/8,- ? -/84+ ? */841 ? */814 ? 80+ ? -801 ? -810 ? +81-
INGRESANDO EL MODELO A 7IN+SB
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SOLUCIÓN OBTENIDA MEDIANTE 7IN+SB
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Esta es la representación grafica de la solución cuyo costo óptimo es de +R00/./// unidades monetarias