Mg. Carlos De Souza FerreyraLLaque Definición de Algunos tipos de matrices Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre. Atendiendo a la forma Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1Xn. Ejemplo A 2 3 5 = a11 a12 a13 ; a11 =2, a12 =3, a 13 =5 Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x1. Ejemplo
4 A 6 -1
a11 = a 21 a 31
; a =4, a =6, a =-1 11 21 31
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir de cir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, ó n x n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aijcon j=i+1la diagonal secundaria. Ejemplo
3 6 7 B 5 8 5 , los elementos de la diagonal principal son 3, 8 y 4, los elementos de la -1 0 4 diagonal secundaria son 6 y 5 Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nx m. Ejemplo
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = a ji Ejemplos
i, j .
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = – At, es decir, si aij = – a ji
i, j .
Esta implica que aii =0 i Ejemplos
Atendiendo a los elementos Matriz nula Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Ejemplos
0 La matriz 0 0 0 0 0 La matriz 0 0 0
0 0
0 0 0 0 es la matriz nula de orden 2x4 0 0 0 0 es la matriz nula de orden 3.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Ejemplos
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. Ejemplos
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Ejemplos
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij Ejemplo
matriz triangular superior Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij Ejemplos
matriz triangular inferior.
Propiedades de la trasposición de matrices 1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2. (At)t = A. 3. (AB)t=Bt At 4. (AB…C)t = Ct…Bt At
Propiedades del producto de matrices
1.A·(B·C) = (A·B)·C 2.El producto de matrices en general no es conmutativo. Ejemplo 1 1 1 2 4 6 1 2 1 1 11 7 5 3 3 4 14 22 y 3 4 5 3 23 15 Los resultados son diferentes, aunque puede haber casos en donde si sean iguales. 3.Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A. In es la matriz identidad de orden n. 4.El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C 1. (AB)t=Bt At 2.(AB…C)t = Ct…Bt At Consecuencias de las propiedades
1.Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. Ejemplo
2.Si A·B=A·C no implica que B = C. Ejemplo
El resultado de ambos productos es la matriz 0 3.En general (A+B)2 A2 + B2 +2AB, ya que A·B B·A. 4.En general (A+B)·(A – B) A2 – B2, ya que A·B B·A.
Matriz periódica Sea Anxn se dirá que A es una matriz periódica de periodo p, si p es el menor entero positivo talque A p+1 = A Ejemplo
1 0 0 2 3 A 1 0 0 es periódica de periodo 2, porque A A, pero A A , 1 0 0 3 = p+1 , entonces p=2 Observación: La secuencia de las matrices A, A2 , A3 , A4 , A5 , A 6,...... Será A, A2 , A, A2 , A, A 2,...... Matriz Idempotente Sea Anxn se dirá que A es una matriz Idempotente Si A2 A , esto es si A es una matriz periódica de periodo 1. Ejemplo
1 0 0 2 3 4 A 1 0 0 , A A , esto hace que A A , A A 1 0 0 Observación: La secuencia de las matrices A, A2 , A3 , A4 , A5 , A 6,...... Será A, A , A, A , A, A ,...... M atriz nilpotente
Sea Anxn se dirá que A es una matriz nilpotente de índice p, si p es el menor entero positivo talque A p=0, nota A p-1 0 Ejemplo
1 5 -2 A 1 2 -1 3 6 -3 Es nilpotente de índice 3,
0 3 -1 0 0 0 2 3 A 0 3 -1 0, A 0 0 0 0 0 9 -3 0 0 0
M atriz Ortogonal
Una matriz cuadrada A es ortogonal si A At = I ó si At A= I Nota: A At = I AtA= I Ejemplo A
1 2 -1
,
5 1 2
M atr ices conmu tables
Dos matrices cuadradas del mismo orden A y B son conmutables si AB=BA Ejemplo 1 1 2 1 / 3 A B 1 3 3 4
1 1 2 1/ 3 3 10 / 3 3 4 1 3 10 13 2 1/ 3 1 1 3 10 / 3 1 3 3 4 10 13 Entonces 1 1 2 1 / 3
3 4 1
2 1/ 3 1 1 3 1 3 3 4
AB BA M atri ces anticonmu tables
Dos matrices cuadradas del mismo orden A y B son anticonmutables si AB = - BA
