3 Modelos de Probabilidades Discreto

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: ESTADISTICA APLICADA I : Víctor González Ruiz

MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS 1. DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA Introducción: La más simple de todas las distribuciones de probabilidad discretas, es una donde la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con una probabilidad idéntica. Tal distribución de probabilidad se denomina distribución Uniforme Discreta. Definición:

X

Si la variable aleatoria

toma los valores

x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ;;;;; x k con idénticas

probabilidades, entonces la distribución uniforme discreta está dada por: ⎧ 1 si x = x ⎪ k ⎪ f ( x ,k ) = ⎨ ⎪ 0 T .O .C . ⎪ ⎩

1

;x

2

;x

3

;;; x

k

k

Su Esperanza es E ( x ) =

∑x k

k

Su Varianza es V ( x ) = Se utiliza la notación PARÁMETRO k.

i

i= 1

∑ (x

i

− E( x) ) 2

i= 1

k

f ( x ; k ) para indicar que la distribución uniforme depende del

Ejemplo 1: Seleccionamos una ampolleta al azar de una caja que contiene una ampolleta de 40 Watts, otra de 75, una de 60 y la última de 100. Si definimos el espacio muestral S como S = (40; 60; 75; 100), en donde cada elemento de S ocurre con probabilidad ¼. Por lo tanto, tenemos una distribución uniforme con la siguiente función de cuantía:

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: INFERENCIA ESTADÍSTICA : Víctor González Ruiz

⎧ 1 si x = 40 ; 60 ; 75 ; 100 ⎪ 4 ⎪ f ( x ,4 ) = ⎨ ⎪ 0 T .O . C . ⎪ ⎩

Se pide: 1. 2. 3. 4.

Demuestre que f (x) es función de cuantía. Determine la función de distribución acumulada. Determine la E (x) . Determine la P( x ≤ 75 )

2. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI Supongamos que un experimento aleatorio tiene sólo dos resultados posibles que son mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos, y que por conveniencia llamaremos "éxito" y "fracaso". Sea P la probabilidad de éxito y (1 − p) la probabilidad de fracaso. Definamos ahora la variable aleatoria X que toma el valor 1 si el resultado del experimento es éxito y contrario. La función de probabilidad de esta variable aleatoria es:

⎧ p x (1− p )1 − x f ( x; p ) = ⎨ ⎩0

0 en caso

x = 0 ,1 T .O .C .

Esta distribución se conoce como la distribución de Bernoulli. Su media y su varianza pueden calcularse mediante la Función Generatriz de Momentos (F.G.M.), siendo:

E( x) = p V ( x) = p(1− p) M

x

(

( t ) = ( 1− p )+ p e

t

)

EJEMPLO Un agente de seguros piensa que en un contacto concreto, la probabilidad de conseguir una venta es 0,4. Si definimos la variable aleatoria X que toma el valor 1 si consigue una venta y 0 si no, 2 MODELOS UNIFORME y GEOMETRICA ALUMNOS Confidencial

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entonces, X tiene distribución Bernoulli con probabilidad de éxito función de probabilidad de X es:

P

igual a 0,4, es decir, la

⎧0,4 x 0,61− x x = 0,1 f ( 0, 4 ) = ⎨ T .O .C . ⎩ 0 La media y la varianza de esta distribución son: E ( x ) = 0 ,4 V ( x ) = 0 , 4 * 0 , 6 = 0 , 24

3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Una generalización importante de la distribución Bernoulli consiste en considerar el caso en el que un experimento aleatorio, con dos resultados posibles, se repite varias veces. Supongamos de nuevo que la probabilidad de éxito en cada repetición es P y que se realizan n ensayos independientes, con lo que el resultado de un ensayo no influye en el resultado de cualquier otro. El número de éxitos X en las n repeticiones puede ser cualquier número entero entre 0 y n , y estamos interesados en la probabilidad de obtener exactamente repeticiones, esta distribución se denomina Distribución Binomial.

X =x

éxitos en

Su función de probabilidad es:

⎧⎛ n ⎞ x ⎜⎜ ⎟⎟ p (1− p) n− x ⎪ f ( x) = ⎨⎝ x ⎠ ⎪0 ⎩

x = 0,1,2,..., n

donde:

T .O.C.

⎛n⎞ n! ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ x ⎠ x ! (n − x)!

La media y la varianza de la distribución binomial son:

E ( x) = np V ( x) = np(1− p) Su función Generadora de Momentos es:

M

x

(t) =

(( 1 −

p)+ p e

t

)

n

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n

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Demostraci ón : M

x

(t ) =

n

∑e

x =0

M

x

(t ) =

n

∑

x =0

tx

⎛n⎞ x ⎜⎜ ⎟⎟ p ( 1 − p ) ⎝ x⎠

n− x

⎛n⎞ t x ⎜⎜ x ⎟⎟ ( p e ) ( 1 − p ) ⎝ ⎠

n− x

Aplicando el Teorema del Binomio (a + b ) n =

n

⎛ n⎞

∑ ⎜⎜⎝ k ⎟⎟⎠ a

n−k

b k , a = (1 − p ); b = p e t ; k = x ;

k =0

Entonces

(

M x ( t ) = (1− p ) + p e

t

)

n

EJEMPLO Se envían invitaciones para cenar a los 20 delegados que asisten a una convención, y se cree que para cada delegado invitado, la probabilidad de que acepte es 0,9. Si se asume que toman la decisión de aceptar la invitación independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que como mucho 17 de los delegados acepten la invitación? Sea X la variable aleatoria que representa el número de delegados que aceptan la invitación. Entonces X , tiene distribución binomial, con n = 20 y p = 0,9 . Buscamos:

P( X ≤ 17) = 1− P( X = 18) − P( X = 19) − P( X = 20) P( X ≤ 17) = 1− 0,2852 − 0,2702 − 0,1216 = 0,323 Una aplicación importante de la distribución binomial es el muestreo de aceptación. Cuando una compañía recibe un cargamento de mercancías muy grande, debe decidir, a partir de la información sobre la calidad de estos productos, si aceptar el pedido. Normalmente, una inspección minuciosa de todo el cargamento resulta demasiado cara, por lo que se selecciona y examina una pequeña muestra aleatoria. A partir de los resultados de este examen, se toma una decisión sobre la aceptación o no del cargamento. Para cada regla particular de decisión de este tipo, es posible calcular la probabilidad de aceptar un cargamento con una proporción dada de artículos defectuosos. En efecto, si p es la proporción de artículos defectuosos en el cargamento y n es el tamaño de la muestra, el número de artículos de defectuosos en la muestra una distribución binomial.

X

sigue

El siguiente ejemplo ilustra cómo pueden calcularse las probabilidades de aceptar un envío.


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EJEMPLO Una compañía recibe un gran cargamento de artículos, y decide aceptar el envío si en una muestra aleatoria de veinte artículos no hay más de uno defectuoso. La proporción de artículos defectuosos es 0,1.

p = 0,1 n = 20

⎧⎛ 20 ⎞ ⎜ ⎟ 0 ,10 x 0 ,90 20 − x f ( 20 ;0 ,1) ⎪⎨⎜⎝ x ⎟⎠ ⎪ 0 ⎩

x = 0 ,1,..., 20 T .O .C .

P( X ≤ 1) = P( X = 0) + P( X = 1) P( X ≤ 1) = 0,1216 + 0,2702 = 0,3918 Si el 20% de los artículos del cargamento son defectuosos aceptar el cargamento es:

( p = 0,20) , la probabilidad de

P( X ≤ 1) = P( X = 0) + P( X = 1) P( X ≤ 1) = 0,0115 + 0,0576 = 0,0691 4. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Supongamos que se elige una muestra aleatoria de tamaño n de un conjunto de N elementos, N 1 de los cuales son éxitos. La distribución del número de éxitos, x , en la muestra se denomina Distribución Hipergeométrica, cuya función de probabilidad o cuantía está dada por: ⎧⎛ N 1 ⎞ ⎛ N − N 1 ⎞ ⎟⎟ ⎪⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎪⎪⎝ x ⎠ ⎝ n − x ⎠ x = 0,1,2,...n si n ≤ N o x = 0,1,2,...N si n > N 1 1 1 f ( x; N; N1 n ) = ⎨ ⎛N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎪ ⎝n ⎠ ⎪ ⎪⎩ 0 T.O.C.

Donde x puede tomar valores enteros denotados por el soporte definido.


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E ( x ) = np ⎛ N −n⎞ ⎟⎟ V ( x ) = np(1 − p)⎜⎜ ⎝ N −1 ⎠ N Donde p = 1 es la proporción de éxitos en la población N

La manera más simple de ver la diferencia entre la distribución Binomial y la distribución Hipergeométrica está en la forma en que se realiza el muestreo. Los tipos de aplicaciones de la distribución Hipergeométrica son muy similares a los de la Binomial. Nos interesamos en el cálculo de probabilidades para el número de observaciones que caen en una categoría particular. Pero en el caso de la Binomial, se requiere la independencia entre las pruebas. Como resultado, si se aplica la Binomial o digamos, tomar muestras de un lote de artículos (lotes de artículos producidos), el muestreo se debe efectuar con reemplazo de cada artículo después de que se observe. Por otro lado, la distribución Hipergeométrica no requiere independencia y se basa en el muestreo que se realiza sin reemplazo. 5. DISTRIBUCIÓN DE POISSON Consideremos las siguientes variables aleatorias: ¾ El número de accidentes de tráfico mortales en una ciudad durante una semana concreta. ¾ El número de llamadas telefónicas que se reciben en un día en la central de una empresa durante los quince minutos anteriores al medio día. ¾ El número de órdenes de devolución de piezas que recibe una empresa en una semana. ¾ El número de veces que falla una pieza en un equipo durante un período de tres meses. ¾ El número de huelgas anuales en una fábrica. Cada una de estas cinco variables aleatorias se caracteriza por ser el número de ocurrencias de cierto suceso durante un período de tiempo. La experiencia indica que para una amplia gama de problemas de este tipo la distribución de probabilidad POISSON, representa adecuadamente la estructura de probabilidad de la variable aleatoria. Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de POISSON si tiene función de probabilidad o cuantía dada por:


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x ⎧ −λ e λ ⎪ x = 0 ,1 , 2 ,........ f ( x; λ ) = ⎨ x! ⎪ 0 T .O .C . ⎩

Donde e = 2,71828

Parámetro: λ , el cual se define como la tasa promedio de ocurrencia y puede tomar cualquier valor mayor a cero. Su Esperanza: E (x) = λ Su Varianza: V (x) = λ Tarea: Averiguar la Función Generadora de Momentos para la distribución de POISSON y demuestre a través de ella la Esperanza y Varianza. EJEMPLO Un estudio indica que el número de huelgas anuales en una fábrica chilena con 2000 empleados es de 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que en un año determinado, en la fábrica haya 1 huelga? Debemos definir en primera instancia la variable aleatoria X, como el número de huelgas en una fábrica chilena en un período de un año. De esto se desprende que al analizar la probabilidad consultada (un año determinado), la variable aleatoria a definir debe estar en la misma medida que la tasa promedio de ocurrencia (número de huelgas anuales es de 0,4) Por lo cual nuestra función de probabilidad o cuantía es: ⎧ −0,4 0 ,4 ⎪e f ( x ; 0 ,4 ) = ⎨ x! ⎪ ⎩ 0 T .O .C .

x

x = 0 ,1 , 2 ,........

Entonces la probabilidad de que en un año determinado, en la fábrica haya 1 huelga es:


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p( X = 1) =

−0 ,4

e

0 ,4 1!


1

= 0 , 2681

¿Cuál es ahora la probabilidad de que en un año determinado, en la fábrica haya 2 huelgas? Seguimos trabajando con la misma función de probabilidad definida en el punto anterior, por lo tanto, la probabilidad de que haya 2 huelgas en un año determinado es: p( X = 2 ) =

e

−0 ,4

0 ,4 2!

2

= 0 , 0536

¿Cuál es la probabilidad de que en un año determinado, en la fábrica haya 3 huelgas? Seguimos trabajando con la misma función de probabilidad definida en el punto anterior, por lo tanto, la probabilidad de que haya 3 huelgas en un año determinado es:

p( X = 3) =

e

−0 ,4

0 ,4 3!

3

= 0 , 0071

¿Cuál es la probabilidad de que en un año determinado, en la fábrica no haya huelgas? Seguimos trabajando con la misma función de probabilidad definida en el punto anterior, por lo tanto, la probabilidad de que no haya huelgas en un año determinado es:

p( X = 0 ) =

e

−0 ,4

0 ,4 0!

0

= 0 , 6703

¿Cuál es la probabilidad de que en seis meses, en la fábrica haya 1 huelga? Como nos damos cuenta la probabilidad consultada, tiene ahora un nuevo período de tiempo, por lo cual nuestra tasa promedio de ocurrencia debemos adaptarla de la siguiente forma:

Si

1 año 0,4 = 0,5 años λ 2 Luego λ 2 = 0,2


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Con esta nueva tasa promedio de ocurrencia, se puede definir una nueva función de probabilidad o cuantía para la variable aleatoria X2 como el número de huelgas en una fábrica chilena en un período de seis meses. Por lo cual nuestra función de probabilidad o cuantía es: ⎧ −0 ,2 0 ,2 ⎪e f ( x 2 ; 0 ,2 ) = ⎨ x! ⎪ ⎩ 0 T .O .C .

x

x = 0 ,1 , 2 ,........

Entonces la probabilidad de que en seis meses, en la fábrica haya 1 huelga es:

p( X = 1) =

e

−0 ,2

0 ,2 1!

1

= 0 ,1637

APROXIMACIÓN POISSON DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Sea X el número de éxitos resultante de “n” ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito “p”. La distribución del número de éxitos X es binomial con Esperanza = np. Sin embargo, si el número de ensayos “n” es grande (Tiende a ∞ ) y la probabilidad de éxito “p” es pequeña (Tiende a 0), esta distribución puede aproximarse bien a la distribución de POISSON con λ = np. La función de probabilidad de la distribución aproximada es entonces: ⎧ − np ( np ) x ⎪e f ( x ; np ) = ⎨ x! ⎪ 0 T .O .C . ⎩

x = 0 ,1 , 2 ,........

Ejemplo: Un analista predice que el 1,5% de las pequeñas empresas quebrarán durante el próximo año. Asumiendo que la predicción del analista es correcta, estimar la probabilidad de que al menos una empresa de una muestra aleatoria de 100, quiebre durante el próximo año. La distribución del número X de quiebras es Binomial, con n = 100 y p = 0,015, luego la media de la distribución es: 9 MODELOS UNIFORME y GEOMETRICA ALUMNOS Confidencial

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np = (100)(0,015) = 1,5 Como el número de empresas “n=100” es grande y la probabilidad de quiebra “p=0,015” es pequeña, esta distribución puede aproximarse bien a la distribución de POISSON con λ = 1,5 Aproximamos entonces la función de probabilidad del número X de quiebras por: ⎧ − 1 , 5 (1 , 5 ) x ⎪e f ( x ;1 , 5 ) = ⎨ x! ⎪ 0 T .O .C . ⎩

x = 0 ,1 , 2 ,........

Luego la probabilidad de que al menos una empresa de una muestra aleatoria de 100, quiebre durante el próximo año es: P ( X ≥ 1) = 1 − P( X < 1) =1 − P ( X = 0) ⎛ e −1,5 (1,5 0 ) ⎞ ⎟⎟ = 1 − 0,2231 = 0,7769 = 1 − ⎜⎜ 0! ⎝ ⎠

6. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA Una variable aleatoria X, se distribuye Geométricamente, si su función de probabilidad o cuantía está dada por:

⎧ p (1 − p) x −1 si x =1,2,3,.......... f ( X ; p) = ⎨ ⎩0 T.O.C. Esta variable aleatoria X, contesta el número de experimentos de BERNOULLI que se deben realizar hasta encontrar el PRIMER ÉXITO. Parámetro: p , el cual se define como la probabilidad de éxito y puede tomar cualquier valor que esté en el intervalo (0,1]. Su Esperanza: E ( x) =

1 p


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Su Varianza: V ( x) =


1− p p2

p et Su Función Generadora de Momentos es: M x (t ) = 1 − (1 − p ) e t Ejemplo: Un explorador de petróleo perfora una serie de pozos en cierta área para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado?. En este caso nos debemos fijar en la información que contiene el problema. 1º. 0,2 es la probabilidad de que el explorador tenga éxito en una prueba y por lo tanto pueda encontrar un pozo de petróleo. 2º. La probabilidad consultada es “EL PRIMER POZO PRODUCTIVO SEA EL TERCER POZO PERFORADO”, o sea, que el número de experimentos a realizar deben ser tres hasta encontrar el PRIMER ÉXITO O POZO PRODUCTIVO. Por lo cual se puede deducir que estamos frente a una distribución GEOMÉTRICA, cuya variable aleatoria X es: Número de pozos perforados en cierta área para encontrar un pozo productivo. Por lo cual nuestra función de probabilidad o cuantía es:

⎧0,2 (0,8) x −1 si x =1,2,3,.......... f ( X ; 0,2) = ⎨ ⎩0 T.O.C. Entonces la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado es:

P( X = 3) = 0,2 (0,8)3−1 = 0,128 ¿Qué esperanza tiene el explorador de petróleo de encontrar un pozo productivo?, ¿Cuál es la Varianza de esta variable aleatoria?. 7. DISTRIBUCIÓN DE PASCAL O BINOMIAL NEGATIVA 11 MODELOS UNIFORME y GEOMETRICA ALUMNOS Confidencial

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Una variable aleatoria X, se distribuye de acuerdo a una PASCAL o BINOMIAL NEGATIVA, si su función de probabilidad o cuantía está dada por:

⎧⎛x−1⎞ r x−r ⎪⎜⎜ ⎟⎟ p (1− p) si x =r, r +1, r +2, r +3,........ f (X ; r; p)= ⎨⎝r −1⎠ ⎪0 T.O.C. ⎩ Esta variable aleatoria X, contesta el número de experimentos de BERNOULLI que se deben realizar para obtener el r – ésimo éxito en el x – ésimo intento. Este modelo o distribución es una generalización de la distribución GEOMÉTRICA. Esto es, Si r=1 la función de probabilidad converge a la GEOMÉTRICA. Parámetros: 1.

p : El cual se define como la probabilidad de éxito y puede tomar cualquier valor que esté en el intervalo (0,1].

2.

r: Número de éxitos en los experimentos y puede tomar cualquier valor dentro de los Naturales. r (1 − p) r Su Esperanza: E ( x) = , su Varianza: V ( x) = p p2

⎤ ⎡ p et Su Función Generadora de Momentos es: M x (t ) = ⎢ t ⎥ ⎣ 1 − (1 − p ) e ⎦

r

r

⎡ ⎤ p tr ⎢ ( p − 1) e t + 1 ⎥ * e * r ⎦ M 'x (t ) = ⎣ t ( p − 1) e + 1

[

]

⎡ ⎤ p − ( p − 1) e − r ⎢ ⎥ t ( p − 1) e + 1 ⎦ ⎣ M '' x (t ) = 2 ( p − 1) e t + 1 t

[

r

[r e ] rt

]


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APLICACIÓN DE DISTRIBUCIONESDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS 1. Distribución Binomial Esta distribución de probabilidad encuentra aplicaciones en muchos campos científicos. A menudo, las mediciones de control de calidad y los esquemas de muestreo para procesos se basan en la distribución Binomial. Ésta se aplica en cualquier situación industrial donde el resultado de un proceso es dicotómico (dividido en dos partes) y los resultados del proceso son independientes, y la probabilidad de éxito es constante de una prueba a otra. La distribución binomial también se utiliza de manera extensa en aplicaciones médicas y militares. En ambos casos, un resultado de éxito o fracaso es importante, Por ejemplo: ¾ "Cura" o "No Cura" es importante en el trabajo farmacéutico. ¾ "Dar en el blanco" o "Errar" a menudo es la interpretación del resultado de lanzar un misil guiado. Como la distribución de probabilidad de cualquier variable aleatoria binomial depende sólo de los valores que toman n, p y (1 - p), parecería razonable suponer que la media y la varianza de una variable aleatoria binomial también dependen de los valores que toman estos parámetros. 2. Distribución Hipergeométrica La manera más simple de ver la diferencia entre la distribución Binomial y la distribución Hipergeométrica está en la forma en que se realiza el muestreo. Los tipos de aplicaciones de la distribución Hipergeométrica son muy similares a los de la binomial. Nos interesamos en el cálculo de probabilidades para el número de observaciones que caen en una categoría particular. Pero en el caso de la Binomial, se requiere la independencia entre las pruebas. Como resultado, si se aplica la Binomial a, digamos, tomar muestras de un lote de artículos ( lotes de artículos producidos), el muestreo se debe efectuar con reemplazo de cada artículo después de que se observe. Por otro lado, la distribución Hipergeométrica no requiere independencia y se basa en el muestreo que se realiza sin reemplazo. Las aplicaciones de la distribución Hipergeométrica se encuentran en muchas áreas, con gran uso en muestreo de aceptación, pruebas electrónicas y garantía de calidad. Obviamente, para muchos de estos campos el muestreo se realiza a expensas del artículo que se prueba. Es decir, el artículo se destruye y por ello no se puede reemplazar en la muestra. Así, el muestreo sin reemplazo es necesario.


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3. Distribución Geométrica y Binomial Negativa La aplicación para la distribución Geométrica se puede describir en una situación donde los Auditores Computacionales intentan determinar cuán ineficiente es un sistema de información telefónica durante períodos ocupados. Claramente en este caso, las pruebas ocurren antes de que un éxito represente un costo. Si hay una alta probabilidad de hacer varios intentos antes del enlace, entonces se deben hacer planes para rediseñar el sistema. Las aplicaciones de la binomial negativa son similares en naturaleza. Los intentos son costosos en algún sentido y ocurren en sucesión. Una alta probabilidad de que se requiera un número "grande" de intentos para experimentar un número fijo de éxitos no es benéfica para el Auditor o el Ingeniero. 4. Distribución de Poisson como forma limitante de la Binomial Aunque la Distribución de Poisson por lo general, encuentra aplicaciones en problemas de espacio y tiempo, se puede ver como una forma limitante de la distribución Binomial. En el caso de la binomial, si n es bastante grande y p es pequeña, las condiciones comienzan a simular las implicaciones de espacio continuo o región temporal del proceso de Poisson. La independencia entre las pruebas de Bernoulli, en el caso Binomial, es consistente con la probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo de tiempo, a través del proceso de Poisson. Si se hace al parámetro p cercano a cero para el caso de la Binomial, se relaciona con la probabilidad insignificante de que ocurra más de un resultado en un intervalo corto de tiempo en el proceso de Poisson. En realidad, derivaremos ahora la distribución de Poisson como forma limitante de la distribución Binomial cuando n → ∞ , p → 0 , y np permanece constante. De aquí, si n es grande y p cercana a 0, se puede usar la distribución de Poisson, con, λ = np , para aproximar probabilidades binomiales.


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