Probabilidades-3

Cálculo de Probabilidades UNIVERS UNIVERSIDAD IDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA –TINGO –TINGO MARÍA FAC UL TA D DE INGENIERÍA EN INFO RMÁTICA Y SISTEMA S

1. Se lanza lanza un dado dado y se observa observa el número número obteni obtenido. do. ¿calcu ¿calcular lar la proba probabili bilidad dad de obtener: obtener: a) 3 pu puntos, b) Al menos 5 pu puntos. Solución.

Sea Sea el even evento to A, ento entonc nces es P(A) P(A) =

a) 3 pu puntos. P(A) = {

{ } , , , , , }

b) Al meno menoss 5 punt puntos os.. { , } P(A) = { , , , , ,

}

# #

=

=

2. Se lanza lanza un dado dado 2 veces consecutivas. consecutivas. Calcular Calcular la probabilidad probabilidad de obtener: obtener: a) b) c) d)

7 Pu Puntos. 6 puntos puntos sól sólo o en la segu segunda nda tira tirada. da. 7 puntos puntos ó 6 puntos puntos sólo sólo en la segunda segunda tirada. tirada. 7 puntos puntos y 6 puntos puntos sólo sólo en en la segunda segunda tirad tirada. a.

Solución.

Espacio muestral Laz 1º/lanz 2º 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Entones el espacio muestral sería: S= {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,4) (4,5) (4,6 (4,6)) (5,1 (5,1)) (5,3 (5,3)) (5,4 (5,4)) (5,5 (5,5)) (5,6 (5,6)) (6,2 (6,2)) (6,3 (6,3)) (6, (6,4) (6, (6,5) (6,6 (6,6)} )},, n(S) n(S)= = 36 Caso Casoss Posi Posibl bles es

a) 7 Pu Puntos. Sea el evento A, entonces A={( A={(1, 1,6) 6) (2,5 (2,5)) (3, (3,4) 4) (4,3 (4,3)) (5,2 (5,2)) (6, (6,1) 1) },

n(A) n(A) = 6 cas casos os favo favora rabl bles es

P(A) = = ∴ b) 6 puntos puntos sólo en la segunda segunda tirada. tirada. A = {(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)},

P(A) =

n(A) = 5 casos favorables

∴

c) 7 puntos puntos ó 6 puntos puntos sólo sólo en la segund segunda a tirada. tirada. A = {(1,6 {(1,6)) (2,5) (2,5) (3,4) (3,4) (4,3) (4,3) (5,2) (5,2) (6,1) (6,1) (2,6) (2,6) (3,6) (3,6) (4,6) (4,6) (5,6)} (5,6)},,

n(A) n(A) = 10 casos casos favora favorable bless

P(A) = ∴ d) 7 puntos puntos y 6 puntos puntos sólo sólo en la la segunda segunda tirada tirada.. A = {(1,6 (1,6))},

P(A) =

n(A) = 1 caso caso favorable favorable

∴

Ing. Wilmer J. Bermúdez Pino

1

Cálculo de Probabilidades

3. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los 2 premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar: =1 = 40 40 P(A)=16/40

A=”Primer premio” B=”Segundo premio”

P(B)=15/40

A ∩B =15/40 C

A ∩B=1/40

P(A)=2/5 A B=14/40 C∩

P(B)=3/8 P(AUB)=3/4

A C∩BC=10/40

⇒ P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B) =

+

⇒

- P(A∩B) =

⇒P(A∩B) =

∴

a) Sólo uno de los dos premios P[(AC∩ B)U(A∩BC)]= P(AC∩ B)+P(A∩BC) = + = b) ninguno de los dos premios. P(A ∩ B)C = 1 - P(A ∩ B) =1=

1° PREMIO

2° PREMIO

4. De un grupo de personas, el 30% práctica futbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas el 50% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente una persona. ¿Cuál es la probabilidad que: =1 P(A)=30%

P(B)=40% C

A∩B =15%

C

A ∩B=15%

C

Sean los eventos: A=”Practican Futbol” B=”Practican Ajedrez”.

A ∩B=25%

C

A ∩B =45%

AJEDREZ

a) Juega fútbol o ajedrez. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) =30% + 40% - 15% = 55%


2


b) Practica sólo uno de estos deportes. P[(AC∩B)U(A∩B C)]= P(AC∩B)+P(A∩B C) =25%+15%=40%

c) No practica ni futbol ni ajedrez. P(A C∩B C)=1 – P(AUB) = 100% – 55% = 45% FUTBOL

5. Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tal que: P(A) = 0.20, P(B) = 0.30 y P(A ∩ B) = 0.10. Calcular: =1 P(A)=0.20

A ∩BC=0.10

P(B)=0.30

A ∩B=0.10

A C∩B=0.20

A C∩BC=0.60

a) P (AC∩ BC)

c) P (BC∩ A ) = Sólo A

P (AC∩ BC) =P(A∪B)=1P(AUB) P (AC∩ BC) = 1-0.40=0.60∴ b) P (AC∩ B )=0.20 P (AC∩B )= P(B) – P(A∩B) P (AC∩B )= 0.30 − 0.10 P (AC∩B )= 0.20∴

P (BC∩ A ) = P(A) – P(A∩B) P (BC∩ A )= 0.20 – 0.10 P (BC∩ A )= 0.10 d) P (AC B ) =P(AC)+P(B) – P(AC∩B) P (ACUB ) = 1- 0.20 + 0.30 0.20 P (ACUB ) = 0.90


3


6. En una encuesta públic se determina que la probabilidad que u a persona consuma el producto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37, que co suma el producto C es 0.30, que consuma A y B es 0.12, que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma solamente B C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15. calcular la probabilidad que una pe rsona consuman: =1 P(A)=0.50

P(B)=0.37

0.10

0.30

0.20

0.02 0.05 .05

0.08 0.10 A ∩B ∩C =0.10 C

C

C

PRODUCTO “A”

a) A o B pero no C a) P[(AUB) ∩CC]

0.30 + 0.12 + 0.18 = 0.60∴

b) Solamente A b) P(A∩BC∩CC) =

0.30∴

PRODUCTO “B”

PRODUCTO PR DUCTO “C”

7. En una ciudad se public an tres revistas: A, B y C. El 30% de la oblación lee A, el 20% lee B, el 15% lee C, el 1 2% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C , y el 3%leen A, B y C. Determinar el porcentaj de personas que: =1 P(A)=0.50

P(B)=0.37

0.10

0.30

0.20

0.02 0.05 .05

0.08 0.10 A ∩B ∩C =0.10 C

C

C

   

P(A) = 30% P(B) = 20% P(C) = 15% P(A∩B) = 12%

REVISTA “C”

REVISTA “A” REVISTA REVISTA “B”

  

P(A C) = 9% P(B C) = 6% P(A B∩C) = 3%

a) Lean al menos u o de las tres revistas P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) P(AUBUC)=30%+20%+15%-1 %-9%-6%+3%


4

Cálculo de Probabilidades P(AUBUC)= 41%

b) Lee solamente A P[(BUC) ∩AC]= 5% + 3% + 3% = 11% c) Leen B o C; pero no A P(A∩BC∩CC) = 6% d) Leen A o no lee B ni C. P[AU(B∩C) C] =P(A) + P(BC∩CC)-P[A∩(BC∩CC)] = 0.30+0.71-0.12 = 0.89 ∴

8. La demanda de dos productos A y B varía aleatoriamente en un rango de 1000 a 5000 kg. El distribuidor decide bajar el precio de venta de ambos productos si la suma de sus demandas varía de 3000 a 5000 Kg. Calcular la probabilidad de que el precio de venta de ambos productos baje. Sea: 1 miles ≤ A ≤ 5 miles de Kg 1 miles ≤ B ≤ 5 miles de Kg Baja: 3 ≤ A+B ≤ 5 miles de Kg P[( + ) P(A) =

] =

AT = A∎ − A⊿

AT =

∗

−

∗

=4

A∎ = A∎ = 4 = 1 6

9. Para decidir si se acepta o no un lote de 20 artículos en donde existen 4 defectuosos, se toman dos artículos al azar y a la vez. Si los dos son defectuosos se rechaza el lote, si los dos son buenos se acepta el lote y si solamente uno es bueno se toman otros dos artículos al azar a la vez de los 18 que quedan. Esta vez, si alguno es bueno se acepta el lote, de otro modo se rechaza. Calcular la probabilidad de aceptar el lote. Solución: P[Aceptar el lote]= 1 – P[Rechazar el lote] = 1 – [P(DD) + P(BD)*P[(DD)/BD] ∗ ∗ + ∗ = 1=1Ing. Wilmer J. Bermúdez Pino

= 0.962 ∴

5


10.En un estudio se encontró que la probabilidad de que se incremente el empleo en la ciudad de Tingo María es de 0.35, de que se incremente el consumo de artículos de primera necesidad es de 0.05 y de que se incremente el consumo de artículos de primera necesidad dado el incremento de empleo es de 0.10. ¿Cuál es la probabilidad de que se incremente el empleo y el consumo de artículos de primera necesidad? A=incremento de empleo B=incremento de consumo de artículos P(A)=0.35

P(B/A)=

P(B)=0.05 P(B/A)=0.10

0.10= P(A∩B)=0.035

( ∩ ) ( ) ( ∩ ) .

11.En un hospital especializado en enfermedades de tórax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumonía y un 20 % con gripe. La probabilidad de curación completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis. Br=”Emfermos con Bronquitis”. ⇒P(Br) = 0.50 N=”Emfermos con Neumonia”. ⇒ P(N) = 0.30 Gr=”Emfermos con Gripe”. ⇒P(Gr) = 0.20 Br 0.70 N 0.80 Gr 0.90 ( ( (

/ )=

P(C/Br) = 0.7 P(C/N) = 0.8 P(C/Gr) = 0.9

C C C ( (

)∗ ( /

)

)∗

∗ ( )∗ ∗ ( )∗ ( / 0.50 ∗0.70 / )= 0.50∗0.70 + 0.30∗0.80+ 0.20 + 0.90

)

/ )= .

12.La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Sean los eventos: A: Apruebe Matemática P(A) = 0.6 B: Apruebe Lengua P(B) = 0.5 P(A)=0.6

P(B)=0.5 0.4


0.2

0.3

6


Hallar: a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P(AUB) = 0.6 + 0.5 – 0.2 P(AUB) = 0.9 ∴ b) La probabilidad de que no apruebe ninguna. P(AC∩BC) = 1 – P(AUB) P(AC∩BC) = 1 – 0.9 P(AC∩BC) = 0.1 ∴ c) La probabilidad de que se apruebe Matemáticas y no Lengua. P(A∩BC) = P(A) – P(A∩B) P(A∩BC) = 0.6- 0.2 = 0.4 ∴ 13.En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide: a) ¿Cuántos estudiantes hay en la clase? b) Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumno? c) Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso? d) Elegidos al azar dos estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno repita curso? Estudiantes Repiten Alumnas Alumnos Total

5 10 15

No Repiten 25 15 40

Total 30 25 55

a) Total de alumnos y alumnas =55 b) P(Alumnos) = c) P(Alumnos NR) = d) Elegidos al azar dos estudiantes P(NR)= = 0.53 14.En un proceso de producción se sabe que durante cuatro décimas partes de tiempo se producen 20% de unidades defectuosas y durante seis décimas partes de tiempo se producen 15% de unidades defectuosas. De la producción que consiste de 20unidades de sólo de una de las modalidades, se inspeccionan tres elegidos al azar a la vez y se encuentran dos unidades defectuosa. En base a este resultado, ¿Qué modificaciones acerca de las probabilidades de las dos calidades de producción se deben hacer? Sean los eventos: A1: “Calidad de 20% es defectuosa” A2: “Calidad de 15% es defectuosa” C: “Dos defectuosos en la muestra de tres” 

P(A1) = 0.4 P(A2) =0.6

20*20% ⇒ 20*0.2=4


7

Cálculo de Probabilidades ∗

P(C/A1) = 

∗

=

= 0.084 ∴

20*15% ⇒ 20*0.15=3 ∗ ∗ P(C/A2) = = = 0.045 ∴

( )= (

)∗

∗

= (0.084)(0.4) + (0.045)(0.6) = 0.06 ∴ = =

( (

)∗ ( /

)∗

(

) )∗

. ∗. . ∗.

. ∗.

= 0.56 ∴ =

0.6 ∗0.045 = 0.44 ∴ 0.6 ∗0.045 + 0.4 ∗0.084

15.Un generador tiene 6 componentes disipadores de corriente eléctrica. La probabilidad que ocurra una avería que desconecte el primer disipador es 0.6; para el segundo, 0.2 y 0.3 para cada uno de los cuatro restantes. Determinar la probabilidad que el generador esté completamente desconectado, si: Di= El disparador i (i= 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6) esta desconectado. Di= El disparador i (i= 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6) está conectado. D =El disparador esta desconectado. =El disparador está conectado. ( ) = 0.6 , ( 2) = 0.2n , ( ) = 0.3 => i= 3,4,5,6.

a. Todos los disparadores están conectados en serie. ( ) = 1− ( ) = ( ) = P ( 1. 2 . 3. 4 . 5. 6 ) =P ( 1). P( 2). P ( 3). P( 4). P( 5). P ( 6). P ( ) =1-0.077 P ( ) =0.923

b. Los disparadores están conectados en serie-paralelo. Fi = La conexión es paralela (i=1 ,2 ,3) esta desconectado. Fi = La conexión es paralela (i=1 ,2 ,3) esta conectada. Ing. Wilmer J. Bermúdez Pino

8


P (F1) =1- P ( 1)* P ( 2) P (F1)= 1-(0.3)*(0.8) =0.76 P(F2)= 1-P(F) = 1-P ( 1)* P ( 2) = 1-(0.7) =0.5

P(F3)= 1- P ( 3) = 1- P ( 5). P ( 6) = 1-(0.7) = 0.51 ∴P(D)=[1 − (0.3) ∗(0.8)] ∗[1 − (0.7) ] P (D) = 0.1977 16.Una maquina presento un sistema de dos componentes A y B dispuestos en serie, las confiabilidades de que las componentes trabajan correctamente son 0.70 y 0.80, respectivamente. Suponga que A y B funcionan independientemente, y ambas componentes del sistema deben funcionar correctamente para que la maquina lo haga. Para incrementar la confiabilidad del sistema se emplea una componente similar, en paralelo, a fin de formar el sistema S que se observa en la figura. La maquina funcionará siempre que, por lo menos uno de los componentes (sub-sistemas) trabajen correctamente, calcular la confiabilidad del sistema S.

• • • •

E1:” La componente A funciona correctamente”. E2:” La componente B funciona correctamente”. E: “La sistema S funciona correctamente”. Cs:”Confiabilidad del sistema”. Cs=E=P[(E1∩E2)U(E1∩E2)]=2P(E1∩E2)-P[(E1 ∩ E2) ] =P(E1∩E2)[2-P(E1∩E2)] =(0.7)(0.8)*[2-(0.7)(0.8)] =0.8064∴


9


17.Un solo misil de cierta variedad tiene una probabilidad de 1/4 de derribar un bombardero a reacción, una probabilidad de 1/4 de dañarlo y una probabilidad de 1/2 de errar el blanco. Igualmente, dos disparos que produzcan daño derribarán el avión. Si se lanzan cuatro de tales misiles, ¿Cuál es la probabilidad de derribar un bombardero? D: Derribar un bombardero B: Un misil daña un bombardero

A= Un misil derriba un bombardero E= Un misil erra un bombardero

P(D) = 1- P(D)= 1-[P(2 4)*P(BEEE)+P(EEEE)] P(D) =1-[

∗

P(D) = 1-[

∗

]

+

]

+

P (D) = 1P (D) =0.8125

18.Durante el primer año de uso un amplificador de radio puede requerir tres tipos de reparaciones y las probabilidades correspondientes son: 0.05, 0.04 y 0.12. ¿Cuál es la probabilidad que un amplificador seleccionado al azar requiera reparación durante su primer año de uso? Cada tipo de reparación es independiente de los otros dos. R1=”Primera reparacion”. ⇒P(R1)=0.05 R2=”Segunda reparacion”. ⇒P(R2)=0.04 R3=”Tercera reparacion”. ⇒P(R3)=0.12 P(R1

U

R2

U

R3)

=P(R1)+P(R2)+P(R3)-P(R1∩R2)-P(R1∩R3)-

P(R2∩R3)+P(R1∩R2∩R3) =0.05+0.04+0.12-(0.05)(0.04)-(0.05)(0.12)(0.04)(0.12)+(0.05)(0.04)(0.12) =0.19744∴ 19.La probabilidad que falle un motor en un avión es 0.10. ¿Con cuántos motores debe estar equipado un avión para tener una seguridad de 0.999de que el avión vuele? (Supóngase que es suficiente que un motor funcione para que el avión se mantenga en vuelo). Mi= El motor (i) funciona correctamente (i=1, 2, 3………n) A = u. El avión (i) Los eventos Mi son independientes => i=1……..n ;y P-[ ]=0.9 (i)= 1, 2 ,3 ………..n ; El avión se mantiene al vuelo si almenos uno de los motores funcione


10


0.999=P [A]

P [⋃

= 1 − [1 − P[Mi] ] [1 − P[M2] …

1 – (0.1) =>(0.1) =0.001 n log(0.1) = log(0.001) n-[−

10 ] = -log (0.001)

-n=-3 n =3 se necesitan 3 motores. 20.Un gerente esta a la espera de las llamadas telefónicas de sus clientes para efectuar un negocio, la probabilidad de que lo llame cualquiera de sus clientes es de 0.2. (Las llamadas de los clientes son eventos independientes). La probabilidad de efectuar el negocio es de 0.10 si recibe la llamada de un cliente; es de 0.3 si recibe la llamada de dos clientes y de 0.7 si recibe la llamada de tres clientes. Si no recibe llamada no realiza negocio. ¿Cuántas llamadas de clientes es más probable que haya recibido el gerente sabiendo que se realizó el negocio? N:Realiza el negocio C1:Le llama 2 clientes P(C1)=(0.2) Calcular P(Ci/N)=? Solución: ( )∗ ( / P(C1/N) = ∑ ( ) (

P(C2/N) = P(C3/N)= =

)∗ ( / (

)

( ) )∗ ( / ( )

C2: Le llama 1 cliente C3:Lellama 3 clientes 2 3 P(C2)=(0.2) P(C3)=(0.2)

)

= )

=

( .

( .

=

. ( . .

)( . .

)( . ) )

)

= 0.53

= 0.52

= 0.15

21.Cuando una máquina que produce engranajes está trabajando apropiadamente, el 92% de las piezas satisfacen las especificaciones. Cuando la máquina no trabaja bien sólo el 60% de los engranajes satisfacen los requerimientos. La máquina está en buen estado el 90% del tiempo. Se seleccionan dos engranajes y ambos resultan de calidad aceptable. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina no haya estado trabajando bien? Sean los eventos: •

A1: “El primer engranaje”


11

Cálculo de Probabilidades • •

A2: “El segundo engranaje” B : “Trabaja bien”

P[ 1 2] =P [ =P[ ]P 1

1

2] + P [

1 2]

P 2

1 ]P[ 2 1 +P[ ] P[ = (0.90)(0.92) + (0.10) (0.60)

]

1

= 0.76176 + 0.036 =0.79776 [

]

P[

1 2] =

P[

1 2 ] = 0.04

[

]

=

. ∗. .

=

Probabilidad con dicion al:

22.Cierta Universidad en formación en su primer año de funcionamiento tiene tres curricula: Ciencia, Administración e Ingeniería. La clasificación de los alumnos por su sexo, es como sigue Ciencia Administración Ingeniería Hombres 250 350 200 Mujeres 100 50 50 Se selecciona un estudiante al azar del grupo. Si se sabe que el estudiante es hombre. ¿Cuál es la probabilidad: a) Que esté en ciencias? b) que esté en ingeniería? c) Que el estudiante está matriculado en Administración? Ciencia Hombres 250 Mujeres 100 Total 350 M=Mujeres a) P(C/H)= b) P(C/H)= c) P(C/H)=

( ∩ )

Administración 350 50 400

=

/

( ) / (∩ ) / = ( ) / ( ∩ ) / = = ( ) /


= = =

Ingeniería 200 50 250

Total 800 200 1000

C=Ciencia A=Administración I=Ingeniería H=Hombres

∴ ∴ ∴

12


23.La probabilidad de que una construcción de un edificio en Tingo María se termine a tiempo es 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4, y la probabilidad que la construcción se termina a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15; la probabilidad que haya huelga y no se termina la construcción a tiempo es 1/10. ¿Cuál es la probabilidad que a) b) c) d)

La construcción se termina a tiempo y no haya huelga? No haya huelga dado que la construcción se terminó a tiempo? La construcción no se termina a tiempo si hubo huelga? La construcción no se termina a tiempo si no hubo huelga? Sean los eventos: A: “se termina a tiempo” = 17/20 B:”no haya huelga” =3/4 ( ∩ ) P(A/B)= ⟹ P(A/B) = ⇒ ( ) P(

=

( ∩ ) /

⟹ ( ∩ )=

∗ =

)=

∩

a. P( ∩ ) = b. P( / ) = c. P(

/

d. P(

/ )=

( ∩ ) ( )

)=

/

= ∩

∩ ( )

=

/

⟹

=

/ /

( )

=

A=1 20

3/20

P

∩

=

B=15/20

14/20

1/20

= 2 20

24.En una universidad se ha observado que el 60% de los estudiantes que se matriculan lo hacen en una carrera de Ciencias, mientras que el otro 40% lo hacen en carreras de Humanidades. Si un determinado día se realizan 20 matrículas, calcular la probabilidad de que: a) Haya igual número de matrículas en Ciencias y en Humanidades. b) El número de matrículas en Ciencias sea menor que en Humanidades. c) Haya al menos 8 matriculados en Ciencias. d) No haya más de 12 matrículas en Ciencias. Ing. Wilmer J. Bermúdez Pino

13


25.Una población está clasificada en tres grupos, según la edad: el 20% está entre 25 y 35 años, el 65% entre 36 y 50 años y el 15% entre 51 y 65 años. Al investigar los hábitos de dicha población se ha comprobado que toman café por la mañana el 70% del grupo del primer grupo de edades, el 40% del segundo y el 10% del tercero. a) Seleccionado aleatoriamente un individuo de la población ¿cuál es la probabilidad de que sea del grupo de 25 a 35 años y tome café? b) Si sabemos que un individuo toma café ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo de 51 a 65 años? EDADES

PORCENTAJE

CAFE

[25 – 35]

20%

70%

[36 – 50]

65%

40%

[51 – 65]

15%

10%

TOTAL

100%

120%

a) ⇒

% = 0.58 %

∴

b) ⇒

% = 0.08 %

∴

26.En un taller hay 3 máquinas; la primera se avería al mes con una probabilidad de 0,04, la segunda con 0,06 y la tercera con 0,1; sus averías son independientes en probabilidad. Se pide: a) Probabilidad de que se averíe una sola máquina en el mes. b) Probabilidad de que se averíen las tres máquinas en el mes c) Probabilidad de que se averíen la primera y la segunda, pero no la tercera. Teorema de bayes.

27.En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide: Sean los eventos: A1 : Animal macho A2 : Animal hembra A1 = x → A2 =2x Total: 3x ⇒P(A1)=

=

⇒P(A2)=

=

P(E/Macho) = 10 % P E Hembra = 18 % P(H)=2/3

Hembra → 18% ← E = ∗0.18 = 0.41

P(M)=1/3

Macho → 10% ← E = ∗0.10 = 0.03

a) Elegido al azar un individuo de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? P(E) = 0.153 ∴


14


b) Un individuo de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad hay de que el citado individuo sea macho? P(M/E) =

( )∗

=

( )

∗. .

= 0.18 ∴

28.La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A 1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A 2 es 0,3. Se sabe que la fábrica A 1 produce un 4 por mil de artículos defectuosos y la A 2 un 8 por mil Sean los eventos: • •

Probabilidad que provenga de A1 =0.7 Probabilidad que provenga de A2 =0.3

Datos: • •

La fábrica A1 produce 4/1000 artículos defectuosos. La fábrica A2 produce 8/1000 artículos defectuosos.

P(A 1)=0.7

A1

D⟹

(

)∗

= 0.70 ∗

=

.

∴

P(A 2)=0.3

A2

D⟹

(

)∗

= 0.30 ∗

=

.

∴

a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A 2? P(A2)*P

= 0.30*

=

.

∴

b) Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? P(D) = P(A1)* P P(D) =0.7*

+ P(A2)* P

+ 0.3*

P(D) = 0.0052 ∴ c) Se piden 5 artículos a la fábrica A1 ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguno defectuoso? i = 1,

2, 3, 4, 5 = A 1, A2, A3, A4, A5 P(A1, A2, A3, A4, A5) = ? Ing. Wilmer J. Bermúdez Pino

15


P(Ai) = 1- P(A) P(Ai) = 1- 0.004 P(Ai) = 0.996 ∴ 29.Una compañía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en el sector de Higos Urco, Chachapoyas. Un elemento vital es esta consideración es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad. Si el consejo municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de sólo 0.20. Basándose en la información disponible, el presidente de la compañía estima que hay una probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada. a. Cuál es la probabilidad de que la compañía construya el centro comercial? b. Dado que el centro comercial fue construido. ¿Cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada? Distribucion es de prob abilidad.

30.La probabilidad de que cierto tipo de objeto pase con éxito una determinada prueba es 5/6. Se prueban 10 de tales objetos. Si X es la variable aleatoria que se define como el numero de objetos que no pasan la prueba: Sean los eventos: A:T i p o d e o b j e t o P (A)= 5/6 C P(A )= 1/6 n: N° de pruebas o ensayos = 10 x=N° de objetos que no pasan la prueba. ⇒P(Éxito)⇒ P(x) = 1/6 a) Determine la función de probabilidad de X

P(X = x) =

∗

∗

= 0,1,2,3,…,10

b) Calcule la media y la desviación estándar de X u=10*1/6 =10/6

=

∗ ∗ =

10 ∗ ∗ =

√

= 1.18 ∴

c) Calcular la P [7 < X ≤ 9]

P(X≥ 8 ) − P(x=10) = 0.055-0.001 = 0.054 ∴ 31.Una máquina selladora de bolsas se desajusta durante el proceso de envasado de leche, aunque el operador esta alerta existe una probabilidad de 0.08 que el artículo producido sea defectuoso.


16


P(Éxito) = P(Artículo producido sea defectuoso) ⇒P(Éxito) = 0.08 a) ¿Cuál es la probabilidad que en una muestra de 12 artículos producidos ninguno sea defectuoso? n=12 Artículos (0.08) (1 − 0.08) P(X=0) = P(X=0) = 0.37 ∴ b) ¿Cuál es la probabilidad que al menos uno sea defectuoso en un lote de 15? n = 15 Artículos P(X≥1) = 1 - P(X≤ 0) P(X≥1) = 1 (0.08) (1 − 0.08) P(X≥1) = 0.71 ∴ c) ¿Cuál es el número promedio de artículos defectuosos en un lote de 1000 artículos producidos? y ¿Cuál es su desviación típica? n = 1000 u = 1000*0.08 = 80 = √100 ∗0.08 ∗0.92 = 8.58 ∴ 32.Suponga que llega en forma aleatoria una serie de llamadas a una central telefónica con un promedio de tres llamas por minuto. Solución: X: “n” de una serie de llamadas en una central telefónica. ⇒

=3

.

a) Calcular la probabilidad de que no ocurra llamada alguna en el periodo de un minuto. ( = 0) =

ℯ

∗ !

=

ℯ

∗3 = 0.0498 ∴ 0!

b) Ocurra al menos 4 llamadas. =1 . = 3(1) = 3 ( > 4) = 1 − ( ≤ 4) ( > 4) = 1 − 0.815 = 0.185 ∴

.

33.La probabilidad que un rayo impacte en un poste o cable de energía eléctrica de la red de distribución de la Región, en una noche de lluvia tormentosa es 0.15. Encontrar la probabilidad que de 20 noches de lluvia: Solución: (

) = 0.15 a)

= 20

Ocurra exactamente un impacto: ( = 1) = (1) = (1;20;0.15) = (1;20;0.15) − (0;20;0.15) ( = 1) = 0.1756− 0.0388 = 0.1368

b)

Ocurra a lo sumo de 3 impactos


17


( ≤ 3) = (3;20;0.15) = 0.6477 c)

Ocurran de 2 o más impactos ( ≥ 2) = 1 − ( < 2) = 1 − ( ≤ 1) ( ≥ 2) = 1 − ( 1;20;0.15) = 1 − 0.1756 = 0.8244

34.Las ventas diarias, en soles, en un determinado comercio siguen una distribución (950, 2002). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio: Solución: (950,200 )

= 950;

N

= 200

a) Superen los 1200 soles. ( > 1200) = 1− ( ≤ 1200) − 1200 − 950 ( > 1200) = 1 − ≤ 200 ( > 1200) = 1 − ( ≤ 1.25) ( > 1200) = 1 − 0.89 = 0.11 ∴

b) Estén entre 700 y 1000 soles. (700 ≤ ≤ 1000) = ( ≤ 1000) − ( ≤ 700) ≤ − ≤ ( ≤ 0.25) − ( ≤ −1.25) = 0.60 − 0.2 = 0.49 ∴

35.En una distribución

N (0,

1), halla el valor de

k

en cada caso:

a) p [z < k ] = 0,996

K=2.74 b) p [−k < z < k ] = 0,985 ( ≤ )− ( ≤− ) ( ≤ ) = 0.9935 = 2.48 ( ≤ − ) = 0.0065

= −2.48

36.Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución Normal (0, 1). Calcular: a). P (Z ≤ 1.47) = 0.929 b). P (Z > 1.47)= 1- 0.929= 0.071 c). P (Z ≤ −1.47)= 0.071 d). p (Z > 1.47)= 1- 0.929= 0.071 e).P (0.45
18


Solución: X el valor de v.a. X: Representa el volumen de consumo de leche cada dos días. x~n(x;2000;5002) C: Capacidad de tanque P(X>C)=0.05 −

− 2000 = 0.04 500 − 2000 > = 0.05 500 − 2000 1− ≤ = 0.05 500 − 2000 ≤ = 0.95 500 − 2000 = 1.3645 ⇒ = 2822.5 ∴ 500 >

38.El número de tornillos producidos por minuto con una máquina automática es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con λ = 5.6. Si la máquina aumenta la velocidad se desajusta cuando produce por lo menos 13 tornillos por minuto ¿Cuál es la probabilidad de desajuste de la máquina? Solución: Cuantia:

∼

( ;5.6) .

( ;5.6) = ( = ) =

∗5.6 ; = 0,1,2,3,… ! .

( ≥ 13) = 1 − ( < 13) = 1 − ( ≤ 12) = 1 −

∗5.6 !

1 − 0.9949 = 0.0055 ∴


19

Probabilidades-3

Recommend Documents