GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Langkah – langkah menggambar grafik fungsi trigonometri : a. Meleng Melengkapi kapi tabel tabel sudut sudut – sudut sudut ist istime imewa. wa. b. Menentukan titik pada bidang kartesius c. Menghubungkan Menghubungkan titik titik – titik titik tersebu tersebutt sehingga sehingga membent membentuk uk suatu suatu kurva. kurva. 1. GRAFIK SINUS y = sin x
Tabel : x = sin y = x
0
0
0
0
0
30
0
45
1
1
2
2
2
0
60
90
1
1
2
0
0
120
1
0
135
2
1
150
2
2
1 2
0
0
180
210
0
225
0
240
1
1
1 2
0
2
2
0
270
–1
!ada gambar "ang diperoleh dapat disimpulkan bahwa grafik sinus adalah :
/
/
0/
/
1/
/
23/
/
45/
/
!ada gambar diperoleh bahwa : Nilai maksimum dari fungsi sin x adalah adalah 1 Nilai minimum dari fungsi sin x adalah –1 adalah –1 Atau, dapat ditulis : –1 sin x 1 S!"ara Umum# $!n%uk &!rsamaan grafik sinus adalah '
y = y = A sin k ( x ) ) c* #eterangan : $ % k %
ampl ampliitudo udo &maks maksim imum um ' mini minimu mum( m( 2 T
T % period periodee & 1 gelomb gelombang ang "ang "ang terdi terdiri ri dari dari 1 bukit bukit dan dan 1 lembah( lembah( T = %!rdir %!rdirii dari dari + ruas ruas ,an ,ang g sama sama $!s $!sar ar.. absis titi titik k awal awal gra grafi fik) k) "ai "aitu tu : c % absis x - c# ar%in,a dig!s!r k! kiri kiri s!auh s!auh c x – – c# ar%in,a dig!s!r k! kanan kanan s!auh s!auh c
0
300
315
1
2
0
330
1
2
0
1 2
0
360
0
Contoh :
Tentukan nilai maksimum) minimum) periode dari grafik fungsi trigonometri berikut) kemudian gambarkan grafikn"a : a. y % sin 2 x
e. y % 1 * sin 2 x
i. y % 1 – sin &2 x – 00(
b. y % 2 sin x
f. y % 1 – sin 2 x
+. y % 1 * sin &2 x * 00(
c. y % 2 sin 2 x
g. y % sin &2 x * 00(
d. y % – sin 2 x
h. y % sin &2 x – 00(
Penyelesaian :
a. y = sin 2 x diperoleh bahwa :
Nilai maksimum = 1 Nilai minimum = –1 k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T k
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a adalah '
//
+6
/
0/
/
146
/
1/ / 226
/
23/
/
416
/
45/ /
b. y = 2 sin x diperoleh bahwa :
Nilai maksimum = 2 Nilai minimum = –2 k % 1) maka perioden"a adalah : 2 2 / 2 45/ T k
1
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat -00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
/
/
0/
/
1/
/
23/
/
45/
/
c. y = 2 sin 2 x diperoleh bahwa :
Nilai maksimum = 2 Nilai minimum = –2 k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
/
/
+6
/
0/
/
146 /
1/ / 226
/
23/
/
416
/
45/ /
d. y = 1 - sin 2 x diperoleh bahwa :
maksimum pada saat sin 2 x % 1) maka : y % 1 * sin 2 x y % 1 * 1 y % 2 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : sin 2 x % 1 sin 2 x % sin 00 2 x % 00 * k . -00 x % /0 * k . 1,00 x % x %
+ 6 +
Ti%ik maksimumn,a adalah + minimum pada saat sin 2 x % –1 y % 1 * sin 2 x y % 1 – 1 y % 0 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : sin 2 x % –1 sin 2 x % –sin 00 sin 2 x % sin &–00( 2 x % –00 * k . -00 x % –/0 * k . 1,00
x % +6 / % x = 146/ = x = 416/ =
6 atau +
)
2
)
2
+
4 + 3 +
Ti%ik minimumn,a adalah +
4 atau +
)
/
)
3 atau +
/
)
/
k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
+6 /
/
+6
/
0/
/
146
/
1/
/
226
/
23/
/
416
/
45/
/
e. y = 1 – sin 2 x diperoleh bahwa :
maksimum pada saat sin 2 x % –1) maka : y % 1 – sin 2 x y % 1 – &–1( y % 2 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : sin 2 x % –1 sin 2 x % sin &–00( 2 x % –00 x % –/0 x %
+
2 Titik maksimumn"a adalah + minimum pada saat sin 2 x % 1 y % 1 – sin 2 x y % 1 – 1 y % 0 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : sin 2 x % 1 sin 2 x % sin 00 2 x % 00 x % /0 )
x %
+
Titik minimumn"a adalah +
)
/
k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
+6 /
/
+6
/
0/
/
146
/
1/
/
226
/
23/
/
416
/
45/
/
f. y = sin (2 x - 4//* y = sin 2 ( x - 16/* memenuhi bentuk y % $ sin k & x * c( dig!s!r k! kiri s!auh 16 / diperoleh bahwa :
maksimum pada saat sin 2 & x * 10( % 1) maka : y % sin 2 & x * 10( y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : sin 2 & x * 10( % 1 sin 2 & x * 10( % sin 00 2 & x * 10( % 00 * k . -00 & x * 10( % /0 * k . 1,00 x % 00 * k . 1,00 k = 0 x % 4// =
5
k = 1 x % 21// =
3 5
Titik maksimumn"a adalah 5
1
)
3
atau
)
5
1
minimum pada saat sin 2 & x * 10( % –1 y % sin 2 & x * 10( y % –1 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : sin 2 & x * 10( % –1 sin 2 & x * 10( % sin &–00( 2 & x * 10( % –00 * k . -00 & x * 10( % –/0 * k . 1,00 x % –-00 * k . 1,00 k=0 →
x % –5// =
k=1 →
x % 12// =
k=2 →
x % 4/// =
4
2 4 6 4
Titik minimumn"a adalah
4
)
2 1 atau 4
)
6 1 atau 4
)
1
k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a ' 5/ /
16 /
/
4/
/
36
/
12/
/
/
156 1/
/
21/
/
226
/
4//
/
4+645/ /
g. y = sin (2 x – 4//* y = sin 2 ( x – 16/* memenuhi bentuk y % $ sin k & x – c( dig!s!r k! kanan s!auh 16 / diperoleh bahwa :
maksimum pada saat sin 2 & x – 10( % 1) maka : y % sin 2 & x – 10( y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : sin 2 & x – 10( % 1 sin 2 & x – 10( % sin 00 2 & x – 10( % 00 * k . -00 & x – 10( % /0 * k . 1,00 x % -00 * k . 1,00 k = 0 x % 5// = k = 1 x % 2+// =
4
+ 4
Ti%ik maksimumn,a adalah 4
)
1
+
atau
1
)
4
minimum pada saat sin 2 & x – 10( % –1 y % sin 2 & x – 10( y % –1 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : sin 2 & x – 10( % –1 sin 2 & x – 10( % sin &–00( 2 & x – 10( % –00 * k . -00 & x – 10( % –/0 * k . 1,00 x % –00 * k . 1,00 k=0 →
x % –4// =
k=1 →
x % 16// =
k=2 →
x % 44// =
5
6 5 11 5
Titik minimumn"a adalah
)
5
6 1 atau 5
)
11 1 atau 5
)
1
k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a ' 4/ /
/
16 4/
/
5/
/
1/6
/
16/
/
1/106
/
2+/
/
26
/
44/
/
45/
/
2. GRAFIK 7OSINUS y = "8s x
Tabel : x y = sin x
0
0
1
0
0
30
0
45
1
1
2
60
1
2
2
2
0
90
0
0
0
120
1
0
135
2
150
1
2
2
1 2
0
180
210
0
0
1
–1
2
0
225
240
1
2
1 2
!ada gambar "ang diperoleh dapat disimpulkan bahwa grafik cosinus adalah :
/
/
0/
/
1/
/
23/
/
45/
/
!ada gambar diperoleh bahwa : Nilai maksimum dari fungsi cos x adalah 1 Nilai minimum dari fungsi cos x adalah –1
Atau, dapat ditulis : –1 cos x 1 ecara 3mum) bentuk persamaan grafik cosinus adalah :
y = A "8s k ( x ) c* #eterangan : $ % k %
amplitudo &maksimum ' minimum( 2 T
T %
periode & 1 gelombang "ang terdiri dari 1 bukit dan 1 lembah(
T =
%!rdiri dari + ruas ,ang sama $!sar.
c
absis titik awal grafik) "aitu :
%
x - c# ar%in,a dig!s!r k! kiri s!auh c x – c# ar%in,a dig!s!r k! kanan s!auh c
0
270
0
0
300
315
1
1
2
2
0
330
2
1 2
0
0
360
1
Contoh :
Tentukan nilai maksimum) minimum) periode dari grafik fungsi trigonometri berikut) kemudian gambarkan grafikn"a : a. y % cos 2 x
e. y % 1 * cos 2 x
i. y % 1 – cos &2 x – 00(
b. y % 2 cos x
f. y % 1 – cos 2 x
+. y % 1 * cos &2 x * 00(
c. y % 2 cos 2 x
g. y % cos &2 x * 00(
d. y % – cos 2 x
h. y % cos &2 x – 00(
Penyelesaian :
a. y = "8s 2 x diperoleh bahwa :
4ilai maksimum %
1
4ilai minimum
–1
%
k % 2) maka perioden"a adalah : T
2
2
k
2
1/
/
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a adalah '
//
0/ /
+6 /
146 / 1/ /
b. y = 2 "8s x diperoleh bahwa :
4ilai maksimum % 2 4ilai minimum
% –2
k % 1) maka perioden"a adalah : T
2
2
k
1
2
45/
/
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat -00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
/
/
0/
/
1/
/
23/
/
45/
/
c. y = 2 "8s 2 x diperoleh bahwa :
4ilai maksimum % 2 4ilai minimum % –2 k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
//
+6 /
146 / 1/ /
0/ /
d. y = – "8s 2 x diperoleh bahwa :
maksimum pada saat cos 2 x % –1) maka : y % – cos 2 x y % – &–1( y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 x % –1 cos 2 x % cos 1,00 2 x % 1,00 * k . -00 x % 00 * k . 1,00 x % 0// Ti%ik maksimumn,a adalah
2
# 1
minimum pada saat cos 2 x % 1 y % – cos 2 x y % –1 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : cos 2 x % 1 cos 2 x % cos 1,00 2 x % 1,00 * k . -00 x % 00 * k . 1,00 x % /0 x % 1/0 Ti%ik minimumn,a adalah
/ # 1
atau
2
# 1
k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
/
e. y = 1 - "8s 2 x
+6
/
0/
/
146
/
1/
/
diperoleh bahwa :
maksimum pada saat cos 2 x % 1) maka : y % 1 * cos 2 x y % 1 * 1 y % 2 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 x % 1 cos 2 x % cos 00 2 x % 00 * k . -00 x % 00 * k . 1,00 x % // x % 1/0 Ti%ik maksimumn,a adalah / # 2 atau minimum pada saat cos 2 x % –1 y % 1 * cos 2 x y % 1 – 1 y % 0 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : cos 2 x % –1 cos 2 x % cos 1,00 2 x % 1,00 * k . -00 x % 00 * k . 1,00 x % 0/0 x % 0/0 Ti%ik minimumn,a adalah
2
# 2
# /
k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
/
+6
/
0/
/
146
/
1/
/
f. y = 1 – "8s 2 x diperoleh bahwa :
maksimum pada saat cos 2 x % –1) maka : y % 1 – cos 2 x y % 1 – &–1( y % 2 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 x % –1 cos 2 x % cos 1,00 2 x % 1,00 * k . -00 x % 00 *k . 1,00 x % 00 Titik maksimumn"a adalah
# 2
2
minimum pada saat cos 2 x % 1 y % 1 – cos 2 x y % 1 – 1 y % 0 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : cos 2 x % 1 cos 2 x % cos 00 2 x % 00 * k . -00 x % 00 * k . 1,00 x % /0 x % 1/0 Titik minimumn"a adalah
/ # /
dan
# /
k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
/
+6
/
0/
/
146
/
1/
/
g. y = "8s (2 x - 4//* y = "8s 2 ( x - 16/* memenuhi bentuk y % $ cos k & x * c( dig!s!r k! kiri s!auh 16 / diperoleh bahwa :
maksimum pada saat cos 2 & x * 10( % 1) maka : y % cos 2 & x * 10( y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 & x * 10( % 1 cos 2 & x * 10( % cos 00 2 & x * 10( % 00 * k . -00 & x * 10( % 00 * k . 1,00 x % –10 * k . 1,00 k = 0 x % –16/ k = 1 x % 146/ / / Titik maksimumn"a adalah 16 # 1 atau 146 minimum pada saat cos 2 & x * 10( % 00 y % cos 2 & x * 10( y % –1 (Nilai minimum*
# 1
Titik minimumn"a adalah : cos 2 & x * 10( % –1 cos 2 & x * 10( % cos 1,00 2 & x * 10( % 1,00 * k . -00 & x * 10( % 00 * k . 1,00 x % 50 * k . 1,00 k = 0 → x % 36/ k = 1 → x % 266/ Titik minimumn"a adalah
36
/
#
1
atau
266
/
#
1
k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 1/ / T 2
2
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
16/ 4/ +6360/ 12/146156 1/
h. y = "8s (2 x – 4//* y = "8s 2 ( x – 16/* memenuhi bentuk y % $ cos k & x * c( dig!s!r k! kanan s!auh 16 / diperoleh bahwa :
maksimum pada saat cos 2 & x – 10( % 1) maka : y % cos 2 & x – 10( y % 1 (Nilai maksimum* Titik maksimumn"a adalah : cos 2 & x – 10( % 1 cos 2 & x – 10( % cos 00 2 & x – 10( % 00 * k . -00 & x – 10( % 00 * k . 1,00 x % 10 * k . 1,00 k = 0 x % 16/ k = 1 x % 106/ / / Titik maksimumn"a adalah 16 # 1 atau 106 # 1 minimum pada saat cos 2 & x – 10( % –1 y % cos 2 & x – 10( y % –1 (Nilai minimum* Titik minimumn"a adalah : cos 2 & x – 10( % –1 cos 2 & x – 10( % cos 1,00 2 & x – 10( % 1,00 * k . -00 & x – 10( % 00 * k . 1,00 x % 100 * k . 1,00 k = 0 → x % 1/6/ / / Titik minimumn"a adalah 36 # 1 atau 266 # k % 2) maka perioden"a adalah : 2 2 T 1/ / 2
2
1
Artinya, 1 gelombang akan terbentuk pada saat 1,00 & 1 bukit dan 1 lembah(
Grafikn,a '
/ 16 +6 5/ 0/ 1/6 14616/ 1/106
4. GRAFIK TANGEN y = %ang!n x
Tabel : x y = sin x
0
0
0
0
0
30
1 4
45
4
0
60
1
0
90
0
0
120
135
–1
4
!ada gambar diperoleh bahwa : Nilai maksimum dari fungsi tan x adalah Nilai minimum dari fungsi tan x adalah
Atau, dapat ditulis :
tan x
0
150
1 4
0
180
0
0
0
210
1 4
225
4
1
0
240
0
270
0
0
300
315 4
0
–1
0
330
1 4
0
360
1
