http://arimatematika.blogspot.com/
Download di =
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI 1.
Fungsi Trigonometri Sinus, Kosinus, dan Tangen Fungsi yang memetakan himpunan sudut ke himpunan bilangan real sin disebut fungsi sinus.
Dilambangkan :
Gambar 1
∶ → ( ). sin Jadi, rumus untuk fungsi sinus adalah ( ) = sin atau ( ) = sin untuk dalam ukuran
Berdasarkan gambar di atas, diperoleh :
radian.
∶ → ( cos Jadi, rumus untuk fungsi kosinus adalah ( ) = cos atau ( ) = cos untuk dalam ukuran radian.
=
= ,
=
).
∶ → √ . ( ) = sin , untuk untuk
. ( )=
1+sin
=
=
6
= sin
3
.
6
=
3
= sin
180 6
180 3
= sin60 in60 =
= (30 ) =
,
1 2 = = 1 3 2 1+
√
tan
ditentukan oleh absis .
).
ditentukan oleh absis dan ordinat .
∠
Perubahan sudut
sin
cos
1
3 2 1 + sin30 in30 30
1
Jawab :
.
=
ditentukan oleh ordinat .
Jika titik P berputar (dimulai dari titik A) berlawanan arah jarum jam sepanjang lintasan lingkaran satuan, maka besar sudut = bertambah secara kontinu dari 0 sampai 360 . Dengan pertambahan besar sudut , maka nilainilai fungsi trigonometri sin ,cos ,dantan akan mengalami perubahan. Perubahan nilai-nilai fungsi trigonometri diperlihatkan pada table di bawah ini.
3
, untuk untuk
1
cos
0 ke ke 9 Contoh : Hitunglah nilai fungsi trigonometri berikut.
tan
( tan Jadi, rumus untuk fungsi tangen adalah ( ) = tan atau ( ) = tan untuk dalam ukuran radian.
=
sin
cos
Fungsi memetakan himpunan sudut ke himpunan bilangan real tan disebut fungsi tangen. Dilambangkan :
=
= ,
Fungsi memetakan himpunan sudut ke himpunan bilangan real cos disebut fungsi kosinus. Dilambangkan :
sin
tan
3 2 = 3 x 4 = 3 2 3 4
90 ke ke 1
bertam berku bah rang dari 0 dari 1 ke 1 ke 0 berkur berkura ang ng dari dari 1 0 ke -1 ke 0 bertam bah bertamb dari 0 ah dari ke negatif positif tak tak berhing berhin ga ke 0 gga
180 ke ke 2 270 ke 3 berkuran g dari 0 ke -1
bertamba h dari -1 ke 0
bertamba h dari -1 ke 0
bertamba h dari 0 ke 1
bertamba h dari 0 ke positif tak berhingg a
bertamba h dari negatif tak berhingg a ke 0
Tabel 1
2.
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Sinus dan Kosinus Perubahan nilai fungsi trigonometri (sinus, kosinus, dan tangen) dapat diamati dengan menggunakan lingkaran satuan, yaitu lingkaran trigonometri yang berjari-jari satu satuan.
Berdasarkan tabel 1 di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. 1.
Nilai maksimum sin sama dengan 1, dicapai untuk = 90 + . 360 360 Nilai minimum sin sama dengan – 1, dicapai untuk = 270 + . 360 360
1
http://arimatematika.blogspot.com/
Download di =
2.
3.
− ≤ ≤ − ≤ ≤
Jadi, 1 sin 1 untuk setiap sudut . Nilai maksimum cos sama dengan 1, dicapai untuk = . 360 Nilai minimum cos sama dengan – 1, dicapai untuk = 180 + . 360 Jadi, 1 cos 1 untuk setiap sudut . tan tidak mempunyai nilai maksimum maupun nilai minimum.
Contoh : Carilah nilai minimum dan nilai maksimum dari : = sin 1.
−
− ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − ≤ − ≤ − ≤ ≤ − − sin 1 1 sin sin 1 0
1 0
Langkah III : Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang cartecius pada langkah 2 tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi trigonometri = ( ).
Berikut ini akan dijelaskan cara menggambar sketsa grafik fungsi trigonometri = sin , = cos , dan = tan dengan menggunakan langkah – langkah yang telah dibicarakan diatas.
Jawab :
1 1 2 2
Misalkan skala pada sumbu ditetapkan 1 cm maka nilai 360 pada sumbu dibuat kira-kira mendekati nilai 6,28 cm.
1
1.
= 2 dan =0 Jadi, = sin 1 mempunyai minimum – 2 dan nilai maksimum 0.
≤ ≤
Grafik fungsi = sin (0 360) Pilihan sudut-sudut x ; 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 360 ; kemudian dicari dengan = sin . Hubungan antara = sin dibuat tabel seperti diperlihatkan pada tabel 2 berikut;
nilai
3. Grafik Fungsi Trigonometri
( )= Fungsi-fungsi trigonometri ( ) ( ) sin , = cos , = tan mempunyai persamaan grafik berturut-turut adalah Grafik = sin , = cos , = tan . fungsi trigonometri itu dapat digambarkan dengan dua cara yaitu ;
a. b.
Catatan
;
Tabel 2 untuk selanjutnya
diadakan
3 dengan 0,87 pendekatan nilai √
Dengan menggunakan tabel, Dengan menggunakan lingkaran satuan.
Titik – titik ( , ) pada tabel 2 digambarkan pada bidang cartecius, kemudian titik – titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi = sin (perhatikan gambar 2).
a. Menggambarkan Grafik Fungsi Trigonometri dengan Menggunakan Tabel
Untuk menggambarkan grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan tabel diperlukan langkah-langkah sebagai berikut ; Langkah I : Buatlah tabel yang menyatakan hubungan antara dengan = ( ). Pilihan nilai sudut sehingga nilai = ( ) dengan mudah dapat ditentukan. Sudut yang bersifat demikian adalah sudut-sudut khusus dan sudut-sudut batas kuadran.
Langkah II : Titik-titik ( , ) yang diperoleh pada langkah 1 digambar pada bidang cartecius agar skala pada sumbu dan pada sumbu sama, maka nilai 360 pada sumbu dibuat mendekati nilai 6,28 satuan (mengapa ?).
Gambar 2
2.
≤ ≤
Grafik fungsi = cos (0 360) Sudut – sudut yang dipilih seperti pada grafik dengan = sin . Hubungan antara = cos diperlihatkan pada table 3.
2
http://arimatematika.blogspot.com/
Download di =
1.
Fungsi-fungsi trigonometri sinus, kosinus dan tangen merupakan fungsi periodik atau fungsi berkala. a. Fungsi sinus = sin dan fungsi kosinus = cos 180 mempunyai periode 360 b. Fungsi tangen = tan mempunyai periode 180 Fungsi sinus = sin dan fungsi kosinus = cos mempunyai nilai minimum -1 dan nilai maksimum +1, sedangkan fungsi tangen = tan tidak mempunyai nilai minimum maupun nilai maksimum. Khusus untuk fungsi tangen = tan : a. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kanan, nilai tan menuju ke negatif tak berhingga. b. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kiri, nilai tan menuju ke positif tak berhingga. c. Garis-garis x = 90 dan x = 270 disebut garis asimtot. d. Fungsi tangen y = tan dikatakan diskontinu atau tak sinambung di x = 90 dan x = 270.
Tabel 3
Titik –titik ( , ) pada tabel 3 digambarkan pada bidang cartecius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi = cos (diperhatikan gambar 3).
2.
3.
Gambar 3 3.
≤ ≤
Grafik fungsi = tan (0 360) Pilihan sudut-sudut x ; 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360 ; kemudian dicari nilai = tan . Hubungan antara dengan y = tan diperlihatkan pada tabel 4 berikut ini.
b. Menggambarkan Grafik Fungsi Trigonometri dengan Menggunakan Lingkaran Satuan.
Catatan : untuk x = 90 dan x = 270, nilai y = tan tidak didefinisikan. Titik –titik (x, y) pada tabel 4 diatas digambarkan pada bidang cartecius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi y = tan (diperhatikan gambar 4 berikut ini ).
Lingkaran satuan adalah lingkaran trigonometri yang berjari-jari satu satuan seperti diperlihatkan pada gambar 5 berikut.
Gambar 5 Dalam segitiga OMP, diperoleh ; sin
= , merupakan ordinat titik p cos = , merupakan absis titik P.
= = = =
Dalam segitiga OAQ, didapat : Gambar 4
tan
Berdasarkan grafik fungsi sinus = sin pada gambar diatas, grafik fungsi kosinus = cos , dan grafik fungsi tangen = tan dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut .
=
= , merupakan ordinat titik Q.
Jadi, pada suatu lingkaran satuan dapat ditetapkan sebagai berikut .
3
http://arimatematika.blogspot.com/
Download di = a. b. c.
Nilai fungsi trigonometri ditentukan oleh ordinat titik P Nilai fungsi trigonometri ditentukan oleh absis titik P Nilai fungsi trigonometri ditentukan oleh ordinat titik Q.
= sin = cos = tan
Berdasarkan analisis diatas, grafik trigonometri (0 = sin . = cos , dan = tan 360) dapat digambarkan dengan menggunakan bantuan l ingkaran satuan perhatiakan gambar 6, 7, dan 8 berikut ini.
≤ ≤
Gambar 6
Gambar 7
Gambar 8
4
