Page1of16
KegiatanBelajar4 A.TujuanPembelajaran
Setelahmempelajarikegiatanbelajar4,diharapkansiswadapat a. Menentukannilaifungsitrigonometri b. Menentukanpersamaangrafikfungsitrigonometri c. Menggambargrafikfungsitrigonometri d. Menentukannilaimaksimundanminimumgrafikfungsitrigonometri.
B.UraianMateri4
FungsiTrigonometri a.PengertianFungsiTrinonometri
Jika
kita
perhatikan
gambar
di
samping,
perbandingan
trigonometriuntuksudutθmasing-masingadalah Y
sin θ =
•P r
cos θ =
y
θ
xP1
O
X
tan θ =
y r x r y x
Karenauntuksetiapsudut θmengakibatkanhanyaadasatunilaisinθ,cos θdantan θmaka terdapatpemetaandarihimpunanreal( R)kehimpunanbilanganreal( R).Pemetaan-pemetaan ataufungsi-fungsisin,cosdantanmerup ataufungsi-fungsisin,cosdantanmerupakanpemetaandarihimpunan akanpemetaandarihimpunansudutkebilang sudutkebilanganreal. anreal. Halinidapatdigambarkansebagaiberikut: R
R
R
f
R
B
f
R f
•
•
•
•
•
•
θ
sinθ
θ
cosθ
θ
tanθ
Gambar(i)
Gambar(ii)
Gambar(iii)
Modul Matematika dasar dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page2of16
dengan f (θ ) = sin θ
a. Gambar(i)fungsisinusdidefenisikan f : θ → sin θ , θ ∈ R,
b. Gambar(ii)fungsikosinusdidefenisikan f : θ → cos θ , θ ∈ R,
dengan f (θ ) = cos θ
c. Gambar(iii)fungsitangentdidefenisikan f : θ → tan θ , θ ∈ B,
dengan f (θ ) = tan θ
Untuk B = R \ ...,−
selain ...,−
3π 2
,−
3π 2
π π
,
2 2
,
,−
π π
2 2
3π 2
,
,
3π 2
,... artinya semua anggota himpunan bilangan real
,... .
Fungsi f (θ ) = sin θ , f (θ ) = cos θ , f (θ ) = tan θ disebut sebagai fungsi trigonometri. Adapunnilaisin,cosdantansuatusudutdapatbernilaipositif,nolataunegatiftergantung letaksudutdikuadrannya. b.Nilaifungsitrigonometri
Menentukan nilai fungsi trigonometri sama dengan cara menentukan fungsi linier, fungsi kuadrat yang sudah kita pelajar, yakni dengan cara mensubtitusikan nilai variabel yang diberikankedalamfungsi. Contoh o
1. Tentukannilaifungsidari f(x)=2sinx,jikanilaix=45 Penyelesaian o
f(x)=2sinx;x=45 o
o
f(45 )=2sin45
1 2 2
0
f(45 )=2 o
f(45 ) =
2
2. Tentukannilaifungsi f ( x ) =
sin x + cos x − tan 2 x sin 2 x + 2 sec x
; jika x =
π
3
Penyelesaian f ( x ) =
sin x + cos x − tan 2 x sin 2 x + 2 sec x
π ⇒ f = 3
; jika x
=
π
3
π π 2 π + cos − tan 3 3 3 2π π sin + 2 sec 3 3
sin
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page3of16
1
3+
1
−
( 3)
2
π 2 ⇒ f = 2 1 3 3 + 2(2 ) 2
3 +1− 6
π ⇒ f = 3
2 3 +8 2
3 −5 2 π ⇒ f = × 2 3 3 +8 3 −5 3 −8 π ⇒ f = × 3 3 +8 3 −8
π 3 − 13 3 + 40 ⇒ f = 3 − 64 3 π 43 − 13 3 ⇒ f = − 61 3
π = 3 + 2 makanilaik adalah.. 4
3. Jika f ( x ) = k . cos x + (k + 4 )sin x + 3 dan f Penyelesaian f ( x ) = k . cos x + (k + 4 ) sin x + 3
⇒ f ( x ) = k . cos x + k . sin x + 4 sin x + 3 ⇒ f ( x ) = k (cos x + sin x ) + 4 sin x + 3 π π π π ⇒ f = k cos + sin + 4 sin + 3 4 4 4 4 1 1 1 2+ 2 + 4 2+3 2 2 2
⇒ 3+ 2
=
k
⇒ 3+ 2
=
k 2 + 2 2
⇒ k 2
=
(3 + 2 ) − (2
⇒ k 2
=−
⇒ k =
−
+3
2
+3
)
2
2 2
⇒ k = −1
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page4of16
GrafikFungsiTrigonometri a. Menggambargrafikfungsitrigonometri
untukmemahamicaramenggambargrafikfungsitrigonometrilakukanlahkegiatandi bawahini
Kegiatan4.1
1.Lengkapilahtabelberikut o
f(x)=sinx,untuk0
o
≤ x≤ 270
x
0o
30o
45o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
f(x)=sinx
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
(x,y)
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
Gambarkantitik(x,y)padabidangkoordinatcartesiusberikut
Hubungkantitiksehinggamembentuksebuahkurva
Grafikyangterbentukadalahgrafik f(x)=sinx,untuk0
o
o
≤ x≤ 270
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page5of16
2.Lengkapitabelberikut f(x)=2cosx,untuk 0 ≤ x ≤ π x
0
cosx
π
π
π
π
6
4
3
2
2π 3
3π 4
5π 6
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
f(x)=2cosx
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
(x,y)
π
Gambarkantitik (x,y)padabidangkoordinatcartesiusberikut
Hubungkantitiksehinggamembentuksebuahkurva
Grafikyangterbentukadalahgrafik f(x)=2cosx,untuk 0 ≤ x ≤ π
3.Lengkapitabelberikut
f(x)= 3 sin x + x
π
6
)
f(x)=3Sin ( x + (x,y)
π
π
π
π
6
4
3
2
2π 3
3π 4
5π 6
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
0
x+ π 6 Sin ( x +
1 π ,untuk 0 ≤ x ≤ π 6
π
6
)
π
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page6of16
Gambarkantitik (x,y)padabidangkoordinatcartesiusberikut
Hubungkantitiksehinggamembentuksebuahkurva
Grafikyangterbentukadalahgrafik f(x)= 3 sin x +
1
π ,untuk 0 ≤
6
x ≤ π
Kesimpulan: Darikegiatandiatasdapatditarikkesimpulanbahwalangkah-langkahmenggambargrafik fungsitrigonometriadalah ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page7of16
b.NilaiMaksimumdanMinimumGrafikFungsiTrigonometri
Lakukanlahkegiatanberikut
Kegiatan4.2 TujuanKegiatan
: Menentukannilaimaksimumdanminimumgrafikfungsi, f(x)=sin x,f(x)=cosx,danf(x)=tanx
Permasalahan
: Bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri. o
Kegiatan
: 1) Lengkapi tabel fungsi f(x) =sin x, untuk 0
o
≤ x ≤ 360
berikut,
kemudiangambarlahgrafiknya
x
0o
30 o
45 o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225 o
240 o
270o
300o
315o
330 o
360o
f(x)=sinx
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
(x,y)
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
Perhatikangrafikyangandagambar,nilaimaksimum/titikpuncakterjadipada y =……dan x=…….., nilai ymerupakannilaimaksimaldarifungsi f(x)=sinx.
Nilai minimum/titik paling rendah terjadi pada saat y = ……. dan x = ........., nilai y merupakannilaiminimumdarifungsi f(x)=sinx. Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page8of16
2) Lengkapitabelfungsi f(x) = cos x, untuk 0
o
o
≤ x ≤ 360
berikut,kemudiangambarlah
grafiknya
x
0o
30 o
45 o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225 o
240 o
270o
300o
315o
330 o
360o
f(x)=cosx
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
(x,y)
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
Perhatikangrafikyangandagambar,nilaimaksimum/titikpuncakterjadipada y =……dan x=…….., nilai ymerupakannilaimaksimaldarifungsi f(x)=cosx.
Nilai minimum/titik paling rendah terjadi pada saat y = ……. dan x = ........., nilai y merupakannilaiminimumdarifungsi f(x)=cosx.
3) Lengkapi tabel fungsi f(x) = tan x, untuk 0
o
≤ x ≤ 360
o
berikut,kemudiangambarlah
grafiknya
x
0o
30 o
45 o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225 o
240 o
270o
300o
315o
330 o
360o
f(x)=tanx
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
(x,y)
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page9of16
Perhatikangrafikyangandagambar,nilaimaksimum/titikpuncakterjadipada y =……dan x=…….., nilai ymerupakannilaimaksimaldarifungsi f(x)=tanx.
Nilai minimum/titik paling rendah terjadi pada saat y = ……. dan x = ........., nilai y merupakannilaiminimumdarifungsi f(x)=tanx.
o
Padafungsi f(x)=tanx grafiktidakakanpernahmemotonggaris x=90 danx= o
o
o
270 ,karenapadasaat x=90 dan x=270 nilaifungsitakterdefinisi,sehinggagaris x= o
o
90 dan x=270 disebutsebagaigarisasimtot,jadipanjangpriodikpadafungsi f(x)=sin x,adalah0
o
≤x≤180
o
Kesimpulan: Dari kegiatan diatas dapatdi tarik kesimpulanbahwa nilaimaksimum/minimum grafik trigonometriadalah: 1. Nilaimaksimum f(x)=sinxadalah ..........untuk x=.............. 2. Nilaiminimum f(x)=sinxadalah ............untuk x=................ 3. Nilaimaksimum f(x)=cosxadalah .........untuk x=............. 4. Nilaiminimum f(x)=cosxadalah ...........untuk x=............... 5. Nilaimaksimum f(x)=tanxadalah ......................untuk x=............ 6. Nilaiminimum f(x)=tanxadalah .........................untuk x=............ Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page10of16
c.MenentukanPersamaanGrafikfungsiTrigonometri Untukmenentukanpersamaandarigrafikfungsitrigonometriyangperlukitaingatadalah bentukumumpersamaantrigonometri. 1. f ( x ) = y
= A sin
k ( x − a ) ,dimana
A = amplitudo / titik puncak
k =
2π p
o
,karenapriodikfungsi f(x)=sinx,adalah 0
p=priodegrafik
a=absistitikawalgrafik
≤x≤360
o
Contoh: 1.Tentukanpersamaangrafikdibawah 3•
-3
•
•
π
π
4
2
• 3π 2
• π
•
Penyelesaian
Jikakitaperhatikangrafikdiatasadalahgrafikfungsisinus,bentukumumfungsisinus adalah f ( x ) = y
A = 3
p=π
a=0
k =
2π π
(
= A sin k x −
a)
⇒ k = 2 ,
Jadipersamaanfungsinyaadalah f(x)=3sin2(x–0) f(x)=3sin2x
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page11of16
2.Tentukanpersamaangrafikberikut
2• 1•
•
•
10π 6
4π 6
-2
•
• •
16π 6
22π 6
4π
•
Penyelesaian
Grafiknyaberbentukgrafiksinus,maka f ( x ) = y
(
= A sin k x − a
A=2
p=4π
a
=
=
4π 10π 6
4π
−
6
− π ⇒ −
6
k =
2π 4π
−
)
4π
6
π
3
⇒ k =
1 2
,
Jadipersamaanfungsinyaadalah f ( x) = 2 sin
1 π x + 2 3
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page12of16
C.Rangkuman4
1. FungsiSinus, f(x)=sinx,untuk0≤ x≤ 2π Sifat a. Max=1 b.Min=-1 c.sin(-x)=-sinx d.Priode=2π
1•
•
•
π
π
•
2
-1
•
3π 2
•
2. Fungsikosinus, f(x)=cosx,untuk0≤ x≤ 2π Sifat a. Max=1 b.Min=-1 c.cos(-x)=-cosx d.Priode=2π
1•
•
•
•
π
π
2
-1
•
3π 2
2π
•
3. Fungsitangen, f(x)=tanx,untuk0≤ x≤ π Sifat a.Tidakadamaxdan min b.Garisα =± 90,± 270,± k.90kadalah bilanganganjil adalahasimtot c.tan(-x)=-tanx d.Priode=π
1•
• -1
•
•
•
•
π
π
π
4
2
3π 4
•
• •
5π 4
3π 2
•
7π 4
4. Untukmenggambargrafikfungsitrigonometrimakaterlebihdahulumenentukannilai fungsiyangdiberikan,denganmengambiltitikujinyaadalahsudut-sudut. 5.Untukmenentukanpersamaanfungsitrigonometridatisuatugrafikgunakanbentuk umumfungsi f ( x ) = y
(
= A sin k x −
A = amplitudo / titik puncak
k =
2π p
a ) , dimana
o
,karenapriodikfungsi f(x)=sinx,adalah 0
≤x≤360
o
p=priodegrafik Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page13of16
a=absistitikawalgrafik
D.LembarKerja4
1.Tentukannilaidari
a. f ( x) = 2 cos 3 x −
b. f ( x) =
π
π
1
+ sin x, untuk x = 6 2 3
cos x + 2 sin x tan 2 x
; untuk x =
7π 4
..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 2.Tentukannilaimaksimumdanminumumdarifungsi
a. f ( x) = 3 + 2 sin x +
b. f ( x) = 2 cos 3 x −
π
6
π
3
..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page14of16
..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 3.Gambarlahsketsagafikfungsidari: a. f ( x) = sin 2 x; untuk 0 ≤ x ≤ 2π
b. f ( x) = 2 tan x −
π
4
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page15of16
4. Tentukanpersamaanfungsitrigonometridarigrafikberikut a. 2•
•
•
15o
60o
•
•
• 180o
-2•
b.
2
π
π
2
-2
..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
Page16of16
..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail :
[email protected]
