Grafik Fungsi Kuadrat dan Fungsi Pecah I. Fungsi Kuadrat. Bentuk fungsi kuadrat yang paling sederhana adalah y = x2, dengan x dan y adalah bilangan real. Gambar dari fungsi kuadrat tersebut dapat dilihat sebagai berikut:
A. Fungsi kuadrat y = x2 dicerminkan terhadap sumbu x, artinya setiap ordinatnya dikalikan 1. Sehingga persamaannya menjadi y = -x2 . Gambarnya menjadi sbb:
B. Fungsi kuadrat y = x2 digeser ke atas sepanjang 2 satuan, artinya setiap ordinatnya ditambah 2. Sehingga persamaannya menjadi (y - 2) = x2 atau y = x2 + 2. Gambarnya menjadi sbb:
C. Fungsi kuadrat y = x2 digeser ke kanan sepanjang 5 satuan, artinya setiap absisnya ditambah 5. Sehingga persamaannya menjadi y = (x - 5)2 atau y = x2 - 10 x + 25. Gambarnya menjadi sbb:
D. Fungsi kuadrat y = x2 digeser ke atas sepanjang 2 satuan dan kekanan sepanjang 5 satuan, artinya setiap ordinatnya ditambah 2 dan setiap absisnya ditambah 5. Sehingga persamaannya menjadi (y - 2) = (x - 5)2 atau y = x2 - 10 x + 27. Gambarnya menjadi sbb:
Kesimpulan: Grafik Fungsi kuadrat y = x2 digeser ke arah sumbu y sebesar p > 0 dan searah sumbu x sebesar q > 0, maka persamaannya menjadi sbb: a. b. c. d.
Ke atas sepanjang p dan kekanan sepanjang q, persamaan menjadi (y - p) = (x – q)2. Ke atas sepanjang p dan kekiri sepanjang q, persamaan menjadi (y - p) = (x + q)2. Ke bawah sepanjang p dan kekanan sepanjang q, persamaan menjadi (y + p) = (x – q)2. Ke bawah sepanjang p dan kekiri sepanjang q, persamaan menjadi (y + p) = (x + q)2.
Soal. 1. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang berasal dari grafik y = x2, jka dilakukan pergeseran ke atas sepanjang 3 satuan dan kekiri sebesar 4 satuan. a. Apakah grafik fungsi kuadrat memotong garis y = 4. b. Tentukan koordinat titik puncaknya. c. Tentukan persamaan garis sebagai sumbu simetri. d. Tentukan persamaan fungsi tersebut dalam bentuk umum (y = ax2 + bx + c). Penyelesaian: (y – 3) = (x + 4)2 a. 4 – 3 = (x + 4)2 (x + 4)2 = 1 x+4 =1 x1 = 1 – 4 = - 3, untuk y = 4, koordinat titik potongnya (-3,4) x2 = - 1 – 4 = - 5, untuk y = 4, koordinat titik potongnya (-5,4)
b. Koordinat titik puncak dari gambar adalah P(-4,3). Menggunakan perhitungan (y – 3) = (x + 4)2 diubah menjadi y = (x + 4)2 + 3. b b dan koordinat puncak (- , YP), dengan YP diperoleh dengan menggantikan x = - ke a a 2 persamaan y = ax + bx + c. c. Untuk sumbu simetri adalah garis dengan persamaan x + 4 = 0, atau x = -4 b Ingat y = ax2 + bx + c, memiliki sumbu simetri di x = a d. Tentukan persamaan fungsi tersebut dalam bentuk umum (y = ax2 + bx + c). (y – 3) = (x + 4)2 diubah menjadi y = (x + 4)2 + 3 = x2 + 8x + 16 + 3 atau y = x2 + 8x + 19.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
Contoh Soal. Diketahui fungsi kuadrat dengan persamaan y1 = x2 + 6x + 8 dan y2 = x2 - 10x + 24. a. Bagaimana kita dapat memperoleh grafik y1 dari y2 ? b. Tentukan koordinat puncak grafik y1 dan y2. c. Tentukan sumbu simetri grafik y1 dan y2. d. Tentukan titik potong grafik y1 dan y2 dengan sumbu x.
Penyelesaian . a. y1 = x2 + 6x + 8 = x2 + 6x + 9 - 9 + 8 y1 = (x + 3)2 – 1 atau (y1 + 1) = (x + 3)2 Kesimpulan grafik y1 = x2 + 6x + 8 diperoleh dari grafik y = x2 yang di geser ke bawah sepanjang 1 skala dan kekiri sepanjang 3.
dan y2 = x2 - 10x + 24 = x2 - 10x + 25 - 25 + 24 y2 = (x - 5)2 – 1 atau (y2 + 1) = (x - 5)2 Kesimpulan grafik y2 = x2 - 10x + 24 diperoleh dari grafik y = x2 yang di geser ke bawah sepanjang 1 skala dan kekanan sepanjang 5 skala.
b. Puncak dari y1 = (x + 3)2 – 1 adalah: x = -3 dan y = -1 atau koordinat puncak P(-3, -1). Puncak dari y2 = (x - 5)2 – 1 adalah: x = 5 dan y = -1 atau koordinat puncak P(5, -1). c. Sumbu simetri y1 = (x + 3)2 – 1 adalah: x = -3 Sumbu simetri y2 = (x - 5)2 – 1 adalah: x = 5 d. Titik potong grafik dengan y1 = (x + 3)2 – 1 dengan sumbu x, terjadi jika y = 0. Maka 0 = (x + 3)2 – 1 (x + 3)2 = 1 x+3=1 x =-31 x = - 2 atau x = -4 e. Titik potong grafik dengan y2 = (x - 5)2 – 1 dengan sumbu x, terjadi jika y = 0. Maka 0 = (x - 5)2 – 1 (x - 5)2 = 1 x-5 =1 x =51 x = 6 atau x = 4 Silahkan dicoba soal berikut: Diketahui fungsi kuadrat dengan persamaan: y1 = x2 + 8x – 2, y2 = x2 - 4x + 10 dan y3 = x2 - 6x + 7 a. Bagaimana kita dapat memperoleh grafik y1 dari y2 ? b. Bagaimana kita dapat memperoleh grafik y1 dari y3 ?
c. d. e. e. f. g. h. i.
Bagaimana kita dapat memperoleh grafik y2 dari y3 ? Bagaimana kita dapat memperoleh grafik y3 dari y1 ? Tentukan koordinat puncak grafik y1, y2 dan y3. Tentukan sumbu simetri grafik y1, y2 dan y3. Tentukan titik potong grafik y1, y2 dan y3 dengan sumbu x. Apakah grafik y1 dan y2 berpotongan?. Tentukan titik potongnya. Apakah grafik y1 dan y3 berpotongan?. Tentukan titik potongnya. Apakah grafik y2 dan y3 berpotongan?. Tentukan titik potongnya.
Penyelesaian . a. y1 = x2 + 8x - 2 = x2 + 8x + 16 - 16 -2 y1 = (x + 4)2 – 18 atau (y1 + 18) = (x + 4)2 Kesimpulan grafik y1 = x2 + 8x - 2 diperoleh dari grafik y = x2 yang di geser ke bawah sepanjang 18 skala dan kekiri sepanjang 4. (-4,-18) 2
2
y2 = x - 4x + 10 = x - 4x + 4 - 4 + 10 y2 = (x - 2)2 + 6 atau (y2 - 6) = (x - 2)2 Kesimpulan grafik y2 = x2 - 4x + 10 diperoleh dari grafik y = x2 yang di geser ke atas sepanjang 6 skala dan kekanan sepanjang 2. Y
(2,6)
(-4,-18)
(2,6)
Y1
Y2 Y2 A
Y1
A
Y2
y3 = x2 - 6x + 7 = x2 - 6x + 9 - 9 + 7 y3 = (x - 3)2 -2 atau (y3 +2) = (x - 3)2 Kesimpulan grafik y2 = x2 - 6x + 7 diperoleh dari grafik y = x2 yang di geser ke bawah sepanjang 2 skala dan kekanan sepanjang 3.
Y (2,6)
(3,-2)
Y2
Y3
Y2
Y3 A Y2
A
Y3
