3 Del Espín a La Magnetización v 08 Gili

V(08-1)

3 DEL ESPÍN NUCLEAR A LA MAGNETIZACIÓN DEL VOXEL

54,7º

B µ

µ

54,7º

DEL ESPÍN NUCLEAR A LA MAGNETIZACIÓN DEL VOXEL. 3.1. CONDUCTA DE UN NÚCLEO BAJO UN CAMPO CAMPO MAGNÉTICO.................................................. 3.1. 3.1.1. Significado del espín nuclear y del momento magnético nuclear Espín. Momento magnético. Cociente giromagnético. 3.1.2. El núcleo atómico como dipolo magnético ...................................................... .................... 3.4. Propiedades magnéticas asociadas al vector momento magnético 3.1.3. Los estados energéticos del núcleo de H bajo un campo magnético según la mecánica cuántica ..................................................... ......................................... 3.5. Número cuántico magnético. 3.1.4. Conducta del núcleo de H bajo un campo magnético según el modelo clásico............. ...... 3.7. Estado paralelo o estado “up”. Estado antiparalelo o estado “down” Movimiento de Precesión. Ley de Larmor. Frecuencia lineal y frecuencia angular de precesión Campo magnético Efectivo 3.2. MAGNETIZACIÓN DE UN ELEMENTO DE VOLUMEN VOLUMEN ................ ............................................. 3.11. El vector Magnetización como resultante de los movimientos de precesión. Cociente “up/down”.Valor del vector magnetización. 3.2.1. Componentes del vector magnetización en un sistema cartesiano de referencia ............. 3.13. Componente longitudinal y componente nula transversal de la magnetización de un voxel en estado de equilibrio. ANEXO A3.1. (A). (A). LA LA ORIENTACIÓN DEL ESPÍN NUCLEAR NUCLEAR EN EL CAMPO MAGNÉTICO ....... A3.1.1. (A). DEDUCCIÓN CLÁSICA DE A LEY DE LARMOR.............................................. A3.2.1. ANEXO A3.2. A3.2. (A). DEDUCCIÓN

3. DEL ESPIN A LA MAGNETIZACIÓN. V(08-1)

3

3.1.

54,7º

B

DEL ESPÍN NUCLEAR A LA MAGNETIZACIÓN DEL VOXEL

µ

µ

54,7º

Cuando colocamos un paciente bajo el campo magnético, en cada volumen de su organismo (voxe l) que contenga núcleos de H aparecen propiedades magnéticas que representamos por una magnitud que llamamos MAGNETIZACIÓN del elemento de volumen . Nos fijamos en los núcleos de H ya que son la base de las imágenes diagnósticas en RM. El origen de estas propiedades magnéticas es la resultante del comportamiento de los núcleos de H

NOTA 3.1. Mientras que la Magnetización del voxel es una magnitud medible a escala de la mecánica clásica, el punto de partida está a nivel nuclear regido por las leyes de la mecánica cuántica. La mecánica cuántica no es intuitiva y es muy difícil su aproximación mediante modelos sin caer en errores. Así como en mecánica clásica podemos hablar de vectores, dipolos,...,en mecánica cuántica hablamos de estados, niveles energéticos, probabilidades,…Afortunadamente las explicaciones básicas necesarias para las aplicaciones clínicas de la RM pueden resolverse con modelos intuitivos clásicos ya que tratamos, no con señales individuales de los núcleos sino con la señal generada por millones de núcleos contenidos en cada voxel de tejido y cuando se trabaja con un número tan elevado, las predicciones estadísticas de los modelos de la mecánica cuántica y los modelos de la mecánica clásica convergen, con lo que nuestra dependencia de la descripción clásica tiene una justificación teórica. No obstante muchas veces será imposible hacernos un modelo intuitivo clásico que nos explique un resultado en base a conductas individuales y hasta cierto punto no es necesario para poder seguir la aplicación clínica de la RM. Por tanto vamos a tratar de hacer lo más comprensible posible el porqué de la magnetización, tomando siempre como referencia el mundo de la mecánica clásica y dando unas pinceladas de su deducción según la mecánica cuántica pero sin profundizar para no distorsionar el nivel que pretendemos.

Las simplificaciones implican riesgo, de todos modos apostamos por hacernos una idea imaginativa desde nuestro mundo macroscópico, aún a expensa de no ser suficientemente rigurosos en algunos aspectos.

3. 2.

3. DEL ESPIN A LA MAGNETIZACIÓN V(08-1)

3.1. CONDUCTA DE UN NÚCLEO ATÓMICO BAJO UN CAMPO MAGNÉTICO. 3.1.1. Significado del espín nuclear y del momento magnético nuclear. Imaginemos que tenemos un cuerpo de masa m , girando uniformemente a una velocidad v sobre una circunferencia de radio r . (Fig 3.1). Este MOVIMIENTO MECÁNICO se puede describir en mecánica clásica mediante un vector J (MOMENTO ANGULAR) cuya dirección es perpendicular al plano de giro de m. Su sentido viene indicado por el sentido de avance o retroceso de la punta de un sacacorchos que girase en el sentido dem y cuyo módulo o intensidad viene dado por:

J = m.r.v

J

Fig 3.1. El vector Momento Angular J sirve para describir las propiedades mecánicas del movimiento de la masa m que se mueve sobre una circunferencia de radio r girando con una velocidad uniforme v en un sentido determinado. (En la figura: sentido antihorario)

v r m

Las propiedades mecánicas quedan descritas mediante el VECTOR MOMENTO ANGULAR: J De igual forma, si tenemos una carga eléctrica +q girando uniformemente a la velocidad v, describiendo una circunferencia de radio r , este movimiento implica la creación de un CAMPO MAGNÉTICO. (Fig 3.2.) El valor del campo magnético en el centro, queda definido por un vector µ llamado MOMENTO MAGNÉTICO cuya dirección es perpendicular al plano de giro de +q. Su sentido viene indicado por el sentido de avance o retroceso de la punta de un sacacorchos que girase en el sentido de +q y cuyo módulo viene dado por:

µ = + (r.q.v)/2

v r +q

Fig 3.2. El vector Momento Magnético sirve para describir las propiedades magnéticas que introduce el movimiento de la carga +q al girar con velocidad uniforme v sobre un plano recorriendo una circunferencia de radio r en un determinado sentido. (En la figura sentido antihorario)

Las propiedades magnéticas quedan descritas mediante el VECTOR MOMENTO M AGNÉTICO: µ .


3.3.

Si es una masa (m) cargada (+q) que gira, poseerá unas propiedades mecánicas descritas por J y aparecerán unas propiedades magnéticas descritas por µ. Lo importante es que el cociente:

µ / J = + q/2m depende únicamente de las cualidades intrínseca de la partícula que gira (es función del cociente entre la carga y la masa) y no depende de la velocidad ni del radio. Al cociente µ/j se le denomina COCIENTE GIROMAGNÉTICO y se le designa por la letra En consecuencia:

µ=

J;

= f (q/m)

A nivel nuclear, la mecánica cuántica define para cada núcleo y partículas subatómicas (Electrón, Protón, Neutrón) la existencia de un número cuántico (s) llamado de espín asociado a un vector momento angular ( s ). Podemos hacer un símil con la mecánica clásica imaginando que el vector momento angular nos describe las propiedades mecánicas de un núcleo (o partícula) que fuese como una pequeña bolita girando sobre si misma. (Fig 3.3). Este movimiento de giro sobre si mismo se conoce como movimiento de SPINNING .

S Fig 3.3 Representación imaginativa en mecánica clásica de un núcleo de H girando sobre su eje. Las propiedades mecánicas del movimiento se representan por un vector de espín s orientado sobre el eje de giro.

Las propiedades mecánicas del movimiento de un núcleo sobre si mismo se representan por un vector de espin s orientado sobre el eje de giro. Si estas partículas o núcleos tienen carga eléctrica (siguiendo el símil de la mecánica clásica) se les asociará unas propiedades magnéticas que podemos representar por un vector ( µ ) que llamaremos momento magnético nuclear conservando la relación:

µ= J; donde

= f(q/m)

es el COCIENTE GIROMAGNÉTICO NUCLEAR que depende de la carga/masa. NOTA 3.2. Aunque la RM es un fenómeno basado en las propiedades magnéticas de los núcleos, la proporcionalidad µ = . s permite hablar de espines nucleares en lugar de momentos magnéticos nucleares.

Si consideramos los núcleos formados por partículas elementales (protones y neutrones), cada una con su espín, pueden acoplarse entre ellas y dar como resultado un núcleo con espín total resultante nulo (Fig 3.4.)

Fig 3.4. Las partículas pueden asociar sus momentos angulares dando un espín resultante nulo.

3. 4.


Por ejemplo los núcleos con un número par de protones y un número par de neutrones tienen un vector resultante de espín nulo y aunque su constante giromagnética no es nula el vector momento magnético nuclear es nulo. Por tanto no poseerán propiedades magnéticas. Una consecuencia importante es que el Ca (Z=20,

N=20) no podrá presentar el fenómeno de resonancia magnética. 3.1.2. El núcleo atómico como dipolo magnético

Para crearnos un modelo representativo de las propiedades magnéticas asociadas al vector µ utilizamos el concepto de dipolo magnético . (Fig 3.5) El dipolo magnéticos lo visualizamos como una diminuta barra magnética con un polo Norte de donde salen las líneas de campo magnéticas y un polo Sur por donde regresan. De esta forma los campos magnéticos locales que presentan las moléculas, los átomos o las fuentes subatómicas (electrones, protones, iones,..) quedan representadas por sumomento magnético dipolar µ

N

Fig 3.5 Las propiedades magnéticas creadas por el vector momento magnético nuclear ( µ ) las imaginamos representadas por un pequeño dipolo magnético y su campo asociado.

S

NOTA 3.3. El concepto de dipolo magnético nuclear es fundamental ya que la transferencia energética mediante la interacción dipolo-dipolo será el mecanismo predominante en la relajación nuclear.

En consecuencia, cuando nos referimos a los protones, electrones o núcleos que intervienen en Resonancia Magnética, hablamos de sus espines ( s ) o de sus dipolos magnéticos ( µ ) relacionados por la constante giromagnética propia de cada uno de ellos µ = s ( Fig 3.6.)

Espín:

s

Dipolo magnético:

s N

S

=

s

Constante giromagnética nuclear

Fig 3.6. Representación imaginativa de las propiedades de espín y de las propiedades magnéticas de un núcleo mediante su vector de espín ( s ) y su vector momento magnético ( µ )


3.5.

3.1.3. Los estados energéticos del núcleo de H bajo un campo magnético según la mecánica cuántica Por otro lado, el número cuántico de espín s tiene un significado especial íntimamente relacionado con el fenómeno de la resonancia magnética ya que de él depende en número de estados energéticos en que podemos encontrar el núcleo al colocarlo bajo un campo magnético. En efecto, en mecánica quántica el llamado Efecto Zeeman nos indica que si colocamos un núcleo con s ≠ 0 en un campo magnético B, podemos encontrarlo en 2s+1 estados energéticos. Estos niveles discretos de energía (Em) están definidos por:

Em = m ( h/2 ) γ B donde m vale: -s, -s+1,…,+s+1,+s m recibe el nombre de número cuántico magnético h es la constante de Planck El valor de s puede ser: - Un número entero. Por ejemplo, s= 1 para el núcleo N-14 - Un número fraccionado. Por ejemplo s=1/2 para H-1, P-31, F-19: ó s= 3/2 para el Na-23 (por citar los más relevantes en RM) - Los núcleos s=0 no presentan resonancia magnética. Es importante pues recordar que el valor del número cuántico s del núcleo de H-1 vale ½ ya que nos indica que cuando el núcleo de H lo colocamos bajo el campo magnético B, podemos encontrarlo en 2

estados energéticos:

E –(1/2) = -(1/2) ( h/2 ) γ B (Estado menos energético) E +(1/2) = +(1/2) ( h/2 ) γ B (Estado más energético) Fijémonos que la diferencia entre estos dos estados es:

E ±(1/2) = ( h/2 ) γ B Es decir un núcleo de H bajo un campo magnético puede pasar del estado menos energético al mas energético absorbiendo la energía ∆E Esta variación energética ∆E corresponde a una onda electromagnética. La energía de la onda electromagnética está relacionada con la frecuencia (f) mediante la ecuación:

E= hf h es la constante de Planck Por lo tanto cuando colocamos un núcleo de H bajo un campo magnético B podemos encontrarlo en dos estados energéticos y se puede pasar del estado menos energético al más energético absorbiendo un fotón cuya energía sea exactamente la diferencia de niveles e nergéticos:

E ±(1/2) = ( h/2 ) γ B al que corresponde una frecuencia f = E/h = ( γ /2 ) B A esta frecuencia la llamamos frecuencia de resonancia y al fenómeno de absorción energética:

Resonancia Magnética NOTA 3.4. Por el contrario en los niveles en que se trabaja en Resonancia Magnética veremos que se pasa del estado más energético al menos energético mediante la liberación energética vía transferencia energética al medio básicamente mediante interacción dipolo-dipolo. A este proceso de transferencia energética le llamamos relajación Por lo tanto vemos que la frecuencia de resonancia depende del valor del campo magnético en que coloquemos el núcleo de H. Cuanto mayor sea el campo, mayor es la diferencia energética, mayor la energía que precisamos par cambiar de estado y mayor la frecuencia de la onda electromagnética.

3. 6.


Teniendo en cuenta que la constante γ /2 para el núcleo de H vale 42,54 Mhz/T y l os campo utilizados en RM clínica están entre 0,1 T a 3T, se deduce que las frecuencias que permiten el paso entre estados

energéticos es del rango de 4,2 MHz a 126,7 MHz es decir en las zonas de Radiofrecuencia del espectro electromagnético.

NOTA 3.5. (Ampliación al tema en mecánica cuántica. No es necesaria para el seguimiento de los apuntes) La Ecuación de Schrödinger. Aunque el núcleo de H lo podamos encontrar en estos dos estados energéticos, esto no significa que no pueda estar en otros estados energéticos. En efecto, la mecánica cuántica nos predice que los estados observables experimentalmente son estos dos, pero en realidad debido a la dualidad entre corpúsculo y onda que indica que las partículas elementales tienen simultáneamente propiedades de partícula y de onda, como onda se le asocia a cada partícula una función de onda Ψ(t) que varia con el tiempo (Ecuación de Schrödinger ). Ψ(t) describe los valores energéticos de la partícula. Ψ(t) contiene varios armónicos que son combinaciones lineales de los principales estados energéticos en que se puede evidenciar experimentalmente el núcleo. Por tanto aunque podamos esperar el núcleo de H en dos estados energéticos E+1/2 y E-1/2 en realidad Ψ (t) nos indica que puede estar en combinaciones dadas por la función de onda: Ψ (t) = a (t) E +1/2

+ b(t) E-1/2

Donde las variables a y b están relacionadas con la probabilidad de encontrar un núcleo en un estado energético determinado. No obstante, cuando tratamos de observar los estados energéticos del núcleo de H, nuestros procesos de medida nos llevan siempre a un resultado referido a uno de los dos principales estados y nunca a valores intermedios. Otra de las consecuencias de la función de onda asociada al protón es de que las variaciones energéticas en las absorciones/emisiones de 2 2 energía conservan la suma |a| +|b| = constante. En términos de la función de onda podemos explicar numerosas paradojas del modelo clásico como la orientación de la Magnetización después de un pulso de radiofrecuencia, imposible de crearnos un modelo desde el punto de vista clásico en función de los espins. De todas formas podemos acogernos a la convergencia entre la mecánica cuántica estadística de los grandes números par hacernos una imagen en términos no cuánticos.

Para hacernos una imagen en mecánica clásica resumiremos diciendo que

cuando colocamos un

núcleo de H en un campo magnético B lo podemos observar en dos estados energéticos (Efecto Zeeman) : E –(1/2) = -(1/2) ( h/2 ) γ B E +(1/2) =+(1/2) ( h/2 ) γ B

(Estado menos energético) (Estado más energético)

Podemos pasar del estado menos energético al más energético mediante la absorción de una onda de radiofrecuencia a una frecuencia concreta (frecuencia de resonancia) que depende del valor del campo magnético según la relación:

f (MHz) = 42,58 . B (T)


3.7.

En consecuencia:

Si colocamos el núcleo de H bajo un potente campo magnético, B el núcleo presenta la propiedad natural de absorber energía de radiofrecuencia de una frecuencia concreta. Esta propiedad se conoce como RESONANCIA MAGNÉTICA DEL NÚCLEO DE HIDRÓGENO. 3.1.4. Conducta del núcleo de H bajo un campo magnético según el modelo clásico. Movimiento de precesión y Ley de Larmor. Continuando con nuestro mundo de la mecánica clásica, podemos hacer una similitud entre los estados energéticos que presenta el núcleo de H al colocarlo en un campo magnético B y la energía que presenta la aguja imantada de una brújula en el campo magnético terrestre. Así como la energía de una aguja magnética depende de la orientación respecto al campo magnético, también vamos a hacer un símil con la orientación del núcleo de H en el campo magnético B. En efecto, podríamos hacer la similitud siguiente (Fig 3.7.): El campo magnético terrestre orienta la brújula en la dirección de su Polo Norte Magnético (Esta seria la posición de mínima energía para la brújula y por lo tanto su tendencia natural). Si queremos cambiar la dirección de la aguja debemos hacer un pequeño trabajo, es decir, gastar una energía. Esta energía depende de la orientación a que le coloquemos. Por lo tanto a cada orientación le corresponde una energía de posición o potencial. Esta energía potencial (U) se obtiene por el producto del campo terrestre (B) por la proyección del momento magnético (µ) de la aguja en l a dirección del campo terrestre. U = - B . ( Proyección de µ sobre B ) Debe ponerse un signo menos ya que la posición de mínima energía , es decir su estado natural, es apuntando hacia el polo norte, posición en la que la dirección del momento magnético de la aguja coincide con la dirección del campo y por tanto la proyección tiene un valor máximo (La proyección viene dada por la función cos del ángulo y en este caso el cos 0º=1). Por el contrario cuando la giramos en la dirección opuesta, tenemos que realizar el máximo trabajo. Es decir, es la posición de máxima energía (cos 180º= -1). N

N α

S Orientación de mínima energía potencial

S

N

N

S

S

º

Orientación de máxima energía potencial

Fig 3.7. Relación orientación-energía a través del símil de la brújula en el campo magnético. A cada orientación le corresponde una energía potencial. La posición de mínima energía corresponde a la alineación hacia e l Norte, a medida que variamos la orientación debemos realizar un mayor trabajo (la aguja gana energía potencial). Las orientaciones hacia la parte norte (orientaciones “up”) tienen menores energías potenciales que l as orientaciones hacia la parte sur (orientaciones “down”). La energía potencial va aumentando a medida que aumenta el ángulo. Su energía potencial es máxima cuando la orientación es alineada con el polo Sur

3. 8.


De la misma forma que a cada orientación de vector µ de la aguja en el campo magnético le corresponde una energía potencial, podemos relacionar los dos estados energéticos del núcleo de H con dos orientaciones que el vector µ puede adoptar respecto al campo B Si un vector µ está en un campo magnético B posee (como la brújula en el campo terrestre) una energía potencial de posición U cuyo valor viene dado por:

U = - B . ( Proyección de µ sobre B ) Por lo tanto al existir dos posibles estados energéticos del núcleo de H, existen dos proyecciones posibles respecto a la dirección del campo magnético y por tanto dos posibles orientaciones de µ respecto a B Estas dos orientaciones vienen fijadas por la mecánica cuántica y obliga a que cuando tratamos de observar el vector µ del H colocado bajo un campo magnético B, debe formar un ángulo de 54.7º respecto a la dirección de B . (Fig 3.8) El valor de 54,7º viene determinado por el vector de espin s (1/2) (Ampliación del tema en ANEXO A3.1) (A) B

54,7º

54,7º

“UP” (ESTADO PARALELO)

“DOWN” (ESTADO ANTIPARALELO )

Fig 3.8. Las dos orientaciones en que podemos imaginar el espín de H en un campo magnético. El ángulo viene fijado por la mecánica cuántica y las dos orientaciones corresponden a los dos posibles estados energéticos. El estado menos energético corresponde a la orientación que apunta en el sentido del campo B (estado paralelo o “up”. Por el contrario el estado más energético corresponde a una orientación en sentido contrario a la dirección del campo magnético (estado antiparalelo o “down”)

De las dos orientaciones posibles la que apunta en el sentido del campo magnético (POSICIÓN "UP" o ESTADO PARALELO) es la de menor energía (al igual que ocurre con la brújula en el campo magnético). La orientación en sentido opuesto (POSICIÓN "DOWN" o ESTADO ANTIPARALELO) corresponde al estado más energético. En mecánica cuántica cuando se tiene que representar estados “up”, “down” y especialmente para estudiar las interacciones entre diversos niveles energéticos, se utiliza una manera muy simple en la que sobre un eje energías se indican los niveles y cada espín en su nivel se indica por un vector en la dirección del campo (estado paralelo) o en sentido contrario (estado antiparalelo) tal como se indica en la Fig 3.9.. Por tanto hay que tener siempre en cuenta que tipo de representación estamos utilizando.

B

Estado más energético antiparalelo o “down”

E ±(1/2) = ( h/2 ) γ B Estado menos energético paralelo o “up”

Fig 3.9. Representación en mecánica cuántica. Los estados menos energéticos (estados “up”) se representan sobre una línea a un valor de escala energética menor que los “down”. Cada espín se suele representar por un vector en la dirección del campo (los paralelos o “up”) y en sentido contrario los antiparalelos o “down”. La separación entre niveles viene dada por E ±(1/2) = ( h/2 ) γ B


3.9.

En mecánica clásica esta orientación del espín respecto al campo magnético seria insostenible ya que existiría la tendencia a buscar el estado de menor energía orientándose en la dirección del campo magnético (tal como ocurre con la brújula en el campo terrestre al buscar la posición de mínima energía orientada al Norte). Ahora bien, en la mecánica cuántica la orientación en el sentido del campo magnético no es posible para el núcleo de H. (La mecánica cuántica tiene espacios prohibidos y orientaciones prohibidas por la cuantificación). Por lo tanto la tendencia a orientarse sobre la dirección del campo magnético se transforma en un vector torsor que obliga a que el vector momento magnético realice un movimiento de giro alrededor de la dirección de B (Fig. 3.10), manteniéndose sobre un cono de ángulo permitido (54.7º x 2) (Para profundizar ver ANEXO A3.2) (A) Este movimiento del vector µ alrededor de B se denomina MOVIMIENTO DE PRECESIÓN.

54,7º

B

Fig 3.10 Movimiento de precesión del vector µ alrededor de B La frecuencia viene indicada por la Ley de Larmor y el sentido de giro por el de los dedos cerrados de la mano IZQ cuyo pulgar apuntase en el sentido del campo.

µ

NOTA 3.6. En el movimiento de precesión el núcleo únicamente gira sobre sí mismo y no realiza ningún desplazamiento. No existiría, por tanto, ninguna desestructuración molecular. Es la dirección del espín la que realiza la precesión.

El movimiento de precesión aparece por el sólo hecho de estar el núcleo de H bajo un campo magnético y no es necesario ninguna emisión de radiofrecuencia. El movimiento de precesión se realiza a una frecuencia ( f p ) llamada FRECUENCIA DE PRECESIÓN y es proporcional al valor del campo magnético percibido por el núcleo siguiendo la llamada LEY FUNDAMENTAL DE LA RESONANCIA MAGNÉTICA o LEY DE LARMOR: ( Deducción en ANEXO A3.2 (A))

f p = ( / 2 ) B (Hz) Donde:

- f p -

es la FRECUENCIA LINEAL DE PRECESIÓN, expresada en ciclos / segundo o Hz. es el cociente giromagnético nuclear que depende de la carga/masa del núcleo.

- B es el valor del campo magnético que percibe el núcleo . Para el núcleo de H la Ecuación de Larmor vale:

f p (MHz) = 42,58 . B (T) Fijémonos que la frecuencia de precesión de Larmor es exactamente la mima frecuencia que la de la onda electromagnética que según la mecánica cuántica permitía el cambio entre estados “up” y “down”(frecuencia de resonancia)

3. 10.

3. DEL ESPIN A LA MAGNETIZACIÓN V(08-1) La ecuación de LARMOR también puede expresarse como FRECUENCIA ANGULAR DE

PRECESIÓN (w) en radianes/segundo. Como w = 2 f la ecuación de Larmor puede expresarse:

wp =

B (rad/s)

que es una fórmula más cómoda de manejar. La ecuación de Larmor es una expresión vectorial (Anexo A3.2. (A)) :

wp = -

B

Que nos indica que el sentido del giro de la precesión es el mismo tanto en la posición “up” como “down”. Esta propiedad será fundamental en el fenómeno de absorción selectiva de la onda emitida por la bobina emisora. En realidad, el campo magnético B que percibe el núcleo, es la suma vectorial de tres posibles componentes: - En primer lugar, el campo magnético principal creado por el imán (Bo). -3

- Un segundo campo magnético mucho mas pequeño (del orden de 10 respecto a B0 ) añadido externamente que es el que nos permitirá trabajar con la señal y que llamaremos campo magnético de los gradientes (B GRAD ). -6

- Por último un campo magnético a nivel molecular muchísimo mas pequeño (del orden de 10 respecto B0 ) pero que puede jugar un papel primordial y que es individualmente percibido por cada núcleo en función de la estructura bioquímica de su alrededor. Le llamaremos campo magnético bioquímico ( B BIOQ ). Este entorno bioquímico permitirá separar por ejemplo la señal del agua de la de la grasa aunque estén bajo el mismo campo magnético externo ya que los entornos bioquímicos del H en los radicales –OH son distintos de los que existen en los radicales –CH2-CH3. La suma de estas tres componentes constituye el campo magnético efectivo B EF que percibe cada núcleo individualmente.

BEF = Bo + B GRAD + B BIOQ Representremos por B = Bo + B GRAD el campo magnético externo que afecta al voxel. Sin la acción de los gradientes el campo magnético externo es el credo por el imán. B = Bo Cada núcleo dentro de un elemento de volumen percibe un campo magnético que, aparte de las variaciones externas (B), variará con su entorno bioquímico ( B BIOQ), lo que originará dispersiones en las frecuencias de precesión. Nota 3.7.

La ley de LARMOR rige tanto en la absorción energética como en la emisión . Se comprende que variando B GRA podemos hacer que las frecuencias durante estos procesos sean distintas ya que el núcleo absorbe energía a la frecuencia que le impone el campo magnético que percibe en el momento de la absorción. Del mismo modo el núcleo se relaja a la frecuencia que le impone el campo magnético que percibe en el momento de la relajación. Esta dependencia es fundamental en IRM ya que en ella se basa tanto la selección del plano tomográfico (variación de B GRA durante la excitación) como la codificación de la señal para la obtención de la imagen (variaciones de B GRA durante la relajación). Aparte de esta variación del campo magnético externo percibido por los núcleos, cada núcleo de forma individual está influenciado por su entorno bioquímico. Esto origina dispersión de frecuencias entre los núcleos de un elemento de volumen. Esta dispersión hay que tenerla en cuenta tanto en la excitación como en la relajación.


3.11.

Al existir dos orientaciones posibles para los espines nucleares, el movimiento de precesión se realiza a frecuencias distintas pero siempre sobre un cono (marcado por el ángulo cuántico) abierto hacia la dirección del campo magnético "orientación UP " o abierto en la dirección opuesta "orientación DOWN". En ambas orientaciones el sentido de giro es el mismo. (Fig 3.11) (Ver expresión vectorial en ANEXO A3.2.)(A).

54,7º

B

Fig 3.11. Interpretación en Mecánica Clásica del movimiento de precesión de los núcleos "UP" y de los núcleos "DOWN"

µ

µ

54,7º

3.2. MAGNETIZACIÓN DE UN ELEMENTO DE VOLUMEN. En ausencia de campo magnético, los núcleos de H dentro del entramado molecular del organismo tienen los espines orientados al azar. (Fig. 3.12.)

Fig. 3.12. Orientación al azar de los espines del H en ausencia del campo magnético.

Cuando son sometidos a un campo magnético, los espines nucleares se ven obligados a realizar la precesión sobre la dirección del campo. (Fig 3.13.).

Bo Fig. 3.13. Movimientos de precesión de los espines del H bajo un campo magnético.

3. 12.


Bajo un campo magnético la multitud de núcleos de H contenidos en un voxel se ven obligados a precesar, pero sus frecuencias de precesión serán ligeramente distintas ya que dependen del entorno bioquímico. Por lo tanto al no tener exactamente la misma frecuencia, aunque se muevan manteniendo la misma angulación unos se adelantan respecto a los otros, es decir se desfasan unos respecto a los otros. Los movimientos de precesión de los núcleos de H de un voxel no están en fase . Al ser posibles dos estados energéticos, los núcleos se reparten según una distribución de Boltzman en equilibrio térmico. En consecuencia existirán más núcleos en la posición menos energética (UP). La relación entre núcleos UP y núcleos DOWN viene dada por la expresión:

N (UP) / N (DOWN) = exp -( E/KT) Donde ∆E es la diferencia energética entre los dos estados, K es la constante de Boltzman y T es la temperatura absoluta. Una aproximación viene dada por

N (UP) / N (DOWN) ≈ 1 + ( h B /2 KT ) 6

De la que resulta que a la temperatura ambiente esta fracción es muy pequeña ( ≈ 1 sobre 10 ) y por tanto veremos que uno de los problemas que presenta la IRM es que la señal del voxel es muy pequeña y tiene que ser convenientemente amplificada. En IRM el ordenador interpretará una única señal que proviene de cada voxel. Esta señal será la resultante de todos los movimientos de precesión. Si imaginamos todos los espines trasladados al punto central del voxel y volviendo a la estadística de los grandes números, tendríamos la formación de dos superficies cónicas sobre los que precesarán los espines. (Fig 3.14.): - El cono de los núcleos "UP", formado por los núcleos en el estado menos energético. El cono estaría abierto hacia la dirección del campo magnético. Por la orientación al azar de los espines, la resultante estaría sobre el eje del cono apuntando alineada en la dirección del campo magnético. - El segundo cono formado por los núcleos "DOWN" tendría una resultante en sentido contrario. La resultante total del voxel seria la resta de la resultante de los dos conos y constituye la

MAGNETIZACIÓN DEL ELEMENTO DE VOLUMEN ( M ) .

M Fig. 3.14. Obtención del vector magnetización de un voxel como resultante de la suma vectorial de los momentos magnéticos de los núcleos.

Por la mayor abundancia de los estados menos energéticos, la MAGNETIZACIÓN del elemento de

volumen M tiene el sentido y la dirección de B


3.13.

Por otro lado, el valor de la magnetización podemos deducirlo de la formula:

N (UP) / N (DOWN) = exp -( E/KT) Obteniéndose

M = N (UP) - N (DOWN) = N ( γ 2 h 2 B / 4 (2 )2 KT) (1)

Donde N es el número total de núcleos de H contenidos en el voxel De esta formula se deduce: La Magnetización depende del número de núcleos de H contenidos en el voxel, es decir de la densidad de núcleos de H. Ello será la base de la imagen potenciada en Densidad (H). Uno de los inconvenientes de la IRM es la perdida de señal cuando tratamos de aumentar a resolución espacial disminuyendo el tamaño del voxel ya que disminuimos la Magnetización al disminuir N. El valor de M depende directamente del campo magnético lo que implicará el aumento inherente de señal con el aumento del campo magnético de trabajo. (A igualdad de los demás parámetros técnicos) La Magnetización es sensible a los cambios de temperatura , lo que actualmente se utiliza para parametrizar las variaciones térmicas de algunos procesos terapéuticos guiados por RM. Por lo tanto:

Al colocar un voxel con núcleos de H en un campo magnético ( B ) , aparece una MAGNETIZACIÓN ( M ) alineada según la dirección y sentido del campo magnético y cuyo valor depende de la densidad de núcleos de H. M es la resultante de los movimientos de precesión de los espines nucleares. Los núcleos de H dentro del voxel están precesando a las frecuencias que le impone el campo magnético efectivo que perciben. 3.2.1. Componentes del vector magnetización en un sistema cartesiano de referencia. Se define la dirección del campo magnético B como el eje z (también llamado eje longitudinal) . de un sistema cartesiano fijo de referencia en el espacio. El plano x,y perpendicular al eje z, constituirá el plano transversal o plano de proyección de los espines ya que sobre este plano se trabaja con la proyección de los espines nucleares. (Fig 3.15.) Z

M

x,y

1

Fig 3.15. Definición del sistema cartesiano de referencia. Dado un voxel, se define como eje +z o EJE LONGITUDINAL, el que tiene la dirección y sentido del campo magnético principal. El plano x,y perpendicular, se define como PLANO TRANSVERSAL y sobre él se va trabajar con las proyecciones de los espines nucleares del H que a efectos prácticos podemos interpretarlo como si tuviesen su origen en el centro del voxel.

Formula sacada del libro Zhi-Pei y P. Lauterburg: Principles of Magnetic Resonance Imaging (IEEE PRESS 2000). ISBN 0-7803-4723-4 :pag 66 Libro recomendado para físicos e ingenieros.

3. 14.


En el estado de reposo o de equilibrio térmico , el vector magnetización está sobre la dirección de z, su valor es la componente longitudinal. Mientras que su proyección sobre el plano transversal es nula . Es decir, la resultante sobre el plano de proyección de los espines es nula, indicando la orientación al azar de los espines: Mx,y = 0 (Fig. 3.16). Aunque la resultante sobre el plano transversal sea nula las proyecciones de los espines están realizando movimientos a frecuencias ligeramente distintas es decir no están en fase . La Fig 3.16. es una representación en un momento de tiempo. En un momento siguiente aunque la resultante continuaría siendo nula, la posición relativa de las proyecciones habría variado.

Z

M Fig. 3.16. Componentes del vector magnetización en estado de equilibrio térmico. La RESULTANTE de las proyecciones de los espines sobre el plano transversal es nula indicando su orientación al azar . x,y

Por tanto, cuando colocamos un voxel bajo un campo magnético externo B, aparece una Magnetización M. Tomando como referencia un sistema cartesiano fijo en el que el eje z corresponde en dirección y sentido con el campo magnético, se define el estado de reposo o equilibrio térmico de la magnetización del voxel por: 1. El vector magnetización esta alineado con el campo magnético y en su misma dirección. Esto se refleja en dos condiciones: 1.1. Todo el valor de la Magnetización es su componente longitudinal: Mz = M (M es directamente proporcional a la Densidad de núcleos de H y al valor del campo magnético). 1.2. La proyección de la Magnetización sobre el plano transversal, componente transversal Mx,y, es nula indicando la orientación al azar de la proyección de los espines sobre el plano transversal: Mx,y = 0 2. Cada núcleo de H dentro del voxel está procesando según la ecuación de Larmor a una frecuencia que individualmente depende del campo magnético efectivo (B EF) que percibe dentro del voxel y que es función del campo magnético externo ( Bo) , del campo de gradientes (B GRAD) y del entorno bioquímico (B BIOQ ):

B EF = . (Bo + B GRAD + B BIOQ ) Para el núcleo de H:

f p ( MHz ) = 42,58 . BEF ( TESLAS )

El estado de reposo o equilibrio térmico es el punto de partida para la formación de la imagen. Cuando reciba un pulso de radiofrecuencia, la Magnetización va a desplazarse de su posición de reposo y al regresar a ella va a recogerse la señal que servirá par hacer la imagen.

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ANEXO A3.1: UP/DOWN V(08-1)

A3.1. 1.

A

ANEXO A3.1. LA ORIENTACIÓN DEL ESPÍN NUCLEAR EN EL CAMPO MAGNÉTICO El número cuántico del spin del H es ½ . El vector momento magnético nuclear µ del núcleo de H vale:

µ = ( h /2

).

s

donde: h es la constante de Planck y

es la constante giromagnética del núcleo de H.

Si calculamos el módulo del vector de espin ( s ) del H tenemos:

s =

s ( s + 1) =

(1 / 2)(3 / 2) =

3 / 2

con lo que el módulo de µ vale:

µ

( h /2 ) . . s

. (h / 2 ) . 3 / 2

.................................. (A)

Cuando colocamos el núcleo de H en un campo magnético B , existen dos estados posibles de energía debido a que los valores posibles de s ( -s, -s+1, -s+2, ... s-1 ) en este caso se reducen a - ½, + ½ . El valor de estas dos proyecciones de µ sobre B, que llamaremos µB valen:

- µB = - (1/2). . ( h/ 2 )

y

+ µB = + (1/2). . ( h/ 2 )

..................................(B)

vector µ cuyo módulo vale (A) y que al colocarlo bajo un campo magnético, sus

Por tanto tenemos un

proyecciones valen (B). Si esto lo representamos gráficamente tenemos (Fig A.3.2.1.) Si queremos calcular el valor de

cos

º = µ B /

cos

º

B +

B

º

up

-

µ

( 1 / 2 ) γ ( h / 2π ) γ ( h / 2 π ) ( 3 / 2 )

cos º 1 / 3

º arc cos (1 / 3 )

º

º = 54,7º

α

B down

---------Fig A.3.2.1.

º:

ANEXO A3.2: LEY DE LARMOR V(08-1)

A3.2. 1.

A

ANEXO A3.2. DEDUCCIÓN CLÁSICA DE LA LEY DE LARMOR

Cuando sometemos un momento angular µ a un campo magnético B aparece un torsor T , definido por:

T= µ

B

T es un vector de dirección perpendicular al plano formado por los vectores µ , B sentido el del movimiento de la punta de un sacacorchos que girase de µ a B y de módulo :

T = µ . B . sen αº Siendo αº el ángulo que forma µ con la dirección de B (Fig A.3.2.1.) La aplicación de este torsor implica un movimiento de giro del vector µ y en consecuencia del vector s alineado con el anterior por la relación: µ = γ s Si T

B

está actuando

durante un tiempo dt, la

punta del vector s va a desplazarse un ds tal que, ds = T. dt por tanto: ds = µ. B . sen αº. dt .............(A) Para pequeños ángulos:

T

ds = r . dθ

r

d

s

siendo r la distancia que separa la punta del vector s de la dirección de B, tomada sobre el plano perpendicular.

º

Como r = s sen αº, tenemos : ds = s. sen αº . dθ ............. (B) Por tanto igualando (A) y (B) : µ . B . sen αº . dt = s . sen αº . dθ con lo que : µ . B . dt = s . dθ pero:

µ= γ s con lo que: γ s . B . dt = s . dθ

es decir: dθ / dt = γ B

A3.2. 2.

ANEXO A3.2: LEY DE LARMOR V(08-1)

El cociente dθ / dt es la velocidad angular w de giro de µ o s sobre B. Como w es un vector, según el efecto del torsor, el giro se produce en el sentido que indica el retroceso de la punta del sacacorchos que apuntase en la dirección del campo magnético. También conocida como la regla de la mano IZQ: Si el pulgar apunta en el sentido del campo magnético, el sentido de la precesión viene indicado cerrando los otros dedos de la mano. Por tanto, si lo expresamos vectorialmente:

w = - γ B que es la ecuación de Larmor en forma vectorial. Fijémonos que esta expresión es válida tanto si nos referimos a la posición “up” o “down” por lo que el sentido del movimiento de precesión es el mismo. Teniendo en cuenta la relación entre velocidad angular y frecuencia: f = w /2π Resulta finalmente:

f =

B /2

Para el núcleo de H :

f (MHz) = 42,58 B (T)

------------

V(07-1)

TEST

3. DEL ESPÍN NUCLEAR A LA MAGNETIZACIÓN DEL VOXEL. Nº

C

F

3.1.

El calcio no produce señal en RM porque su constante giromagnética es nula.

3.2.

El espín nuclear del H bajo un campo magnético se alinea en la dirección del campo según la deducción de la mecánica clásica .

3.3.

El estado antiparalelo del H es el de menor energía.

3.4.

En el movimiento de precesión, el núcleo se desplaza girando alrededor de la dirección del campo magnético.

3.5.

En el movimiento de precesión nuclear, es el espín nuclear el que gira alrededor del campo magnético.

3.6.

Si aumenta el campo magnético percibido por el núcleo aumenta la frecuencia de precesión.

3.7.

Si aumenta el campo magnético percibido por el núcleo el ángulo que forma su espín con el campo magnético aumenta.

3.8.

El núcleo de H del radical -OH y un núcleo de H del radical -CH 3 tienen frecuencias de precesión distintas aunque estén bajo el mismo campo magnético externo.

3.9.

No es necesaria ninguna emisión de radiofrecuencia para que exista el movimiento de precesión nuclear.

3.10.

El espín paralelo y el antiparalelo tienen el mismo sentido de giro alrededor del campo magnético

3.11.

El núcleo de H y el de P bajo el mismo campo magnético tienen la misma frecuencia de precesión.

3.12.

La magnetización de un voxel en equilibrio, está orientada en la dirección del campo magnético.

3.13.

En un determinado voxel, la magnetización es menor si se coloca en un imán resistivo de 0,5 T que si se coloca en un imán superconductivo de 0,5 T.

3.14.

La temperatura no influye en la magnetización.

3.15.

En estado de reposo o equilibrio térmico, la resultante de la magnetización sobre el plano transversal es nula.

3.16.

Para que el vector magnetización se oriente en el sentido del campo magnético no es preciso ninguna emisión de radiofrecuencia.

3.17.

Podremos identificar el estado de reposo o equilibrio térmico de la magnetización de un voxel, cuando su resultante sobre el plano transversal sea nula.

3.18.

Una resultante nula de la magnetización sobre el plano transversal indicará una orientación al azar de los espins nucleares del voxel.

1

31

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3 Del Espín a La Magnetización v 08 Gili

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