2da Practica de Calor

2) Un largo tronco de madera cilíndrico (K = 0.17 W/m°C y α = 1.28  10 !7 m 2/")# tiene 10 cm de di$metro y e"t$ inicialmente a %na tem&erat%ra %ni'orme de 1 °C. "te tronco "e e&one a ga"e" caliente" a %na tem&erat%ra de 0 °C# de %n *ogar con %n coe'iciente de tran"'erencia de calor de 1+., W/m 2 . °C "o-re la "%&er'icie. i la tem&erat%ra de ignicin de la madera e" 20 °C# determine

a) C%$nto tiem&o &a"ar$ 3%e el tronco "e encienda4 -) C%$l "er$ la tem&erat%ra en el centro del tronco4 c) Cantidad de calor tran"'erido e) 5acer el diagrama

Solución

1° 6ealiando el diagrama del &ro-lema  

ato" K = 0.17 W/m2 °C α = 1.28  10 !7 m2/" 90 = 1 °C

Gas caliente

: ;

9ignicin = 20 °C

9< = 0 °c *C = 1+., W/m 2 °C

10 cm

2° Como tenemo" la tem&erat%ra de gnicin reem&laamo" en la ec%acin  

"ig%iente

T (r ,t  )−T f  T 0 −T f 

2

( )

= A 1 . e− λ . τ  . J 0 . 1

r … .. ( a ) r0

+° 5allamo" el >?mero de @iot (@ i) B i=

13.6

B i=

W 

h .r  K 

−2

 x ( 5.10 )/ 2 m . ° C  =2 W  0.17 m ° C  2

° Calc%lamo" "eg?n 9a-la" lo" Aalore" de

 λ1

y

 A 1

con el n?mero de @iot

o-tenido

 λ1

= 1.5995

,

 A 1

° 6eem&laamo" e"to" Aalore" en la ec%acin (a)

T (r ,t  )−550 420 −550

onde el Aalor de τ =

α .t  r

2

2

( )

=1.3384 . e−(1.5995) .τ  . J 0 .

r r0

τ  "e o-tiene de la "ig%iente manera 

= 1.3384

5 x 10

(¿¿−2) =5.12 x 10−5 . t  2

−7 m

1.28 x 10

τ =

2

x t 

s

¿

 Bdem$" de-emo" de *allar el Aalor de

J 0

3%e de&ende del Aalor de

 λ1

mediante

la" '%ncione" de @e""el (9a-la .+) inter&olamo" y no" re"%lta J 0 (1.5995 )=0.455682

,°
=1.3384 . e−(1.5995)  x (5.12 x 10

7° l Aalor de

2

r r0

e" 1 #

−12

) xt 

. ( 0.455682 )

r 0= r

8° -tenemo" el Aalor del tiem&o (t) t =7025,3387 min t =117.0889 seg

-) Dara el c$lc%lo de la tem&erat%ra central a&licamo" la "ig%iente relacin &ara %n cilindro in'inito T (0 , t )−T f  T 0 −T f 

2

= A1 . e− λ .τ  … … .. ( b ) 1

τ 

1° Calc%lamo" el Aalor de

con el tiem&o o-tenido

5 x 10

(¿¿ −2 )2=0.3597 − 7 m

α .t  τ = 2 = r

1.28 x 10

s

2

x 7025,48783

¿

2° 6eem&laamo" en la ec%acin (-) &ara o-tener la 9em&erat%ra del centro. T (0 , t ) −550 420−550

2

=1.3384 . e−( 1.5995)  x ( 0.3597)

T ( 0 ,t )=264.716 ° C 

c) Dara o-tener el calor 3%e "e tran"'iere a&licamo" la "ig%iente relacin

( ) QT 

Qmax

1°

=1−2 x θ( 0, t ) x J 1

Bdem$" de-emo" de *allar el Aalor de

( λ ) 1

 λ1

J 1

… ( i)

3%e de&ende del Aalor de

 λ1

mediante la" '%ncione" de @e""el (9a-la .+) inter&olamo" y no" re"%lta J 1=0.56984

2° Calc%lamo" el

Qmax

de la "ig%iente manera

´

Qmax =mCp ( Tf −Ti )= ρ .  . Cp . ( Tf −Ti ) … ( ! )

+° 9eoricamente la madera &o"ee %na den"idad de E00 Kg/m + y el Aalor de C& lo o-tenemo" de la "ig%iente 'orma Cp=

K   ρ . α 

6eem&laamo" lo" Aalore" y o-tenemo" 0.17

Cp=

" m° # 2

 Kg −7 m 900 3 x ( 1.28  x 10 ) s m

Cp=1,4756944

K$  Kg° C 

° "te Aalor de C& lo reem&laamo" en la ec%acin (d)

(

Qmax = 900

 Kg 3

m

)

 x

 %  4

−2

2

 x ( 10 x 10 )  x & x 1.4756944

K$  ( 550 −15 ) °C   Kg ° C 

Qmax =5580,622 W  / m

° Dara o-tener el Aalor del calor tran"'erido reem&laamo" en la ec%acin (d)

{

( Qtransf  )= 1− 2 x θ(

 x J 1 0, t )

( λ ) 1

 λ 1

}

 x Q max

{

Q transf = 1−2 x 0.24299  x

 0.56984

Q transf = 4616,416 " / m

Cp

1.5995

}

 x 5580,622