KUIS I M.Kuliah Waktu 1A. Soal:
: Teori Bilangan : 40 menit
Buktikan bahwa n2 2n, untuk setiap bilangan asli n 4.
Jawab:
Bukti: Misalkan P(n) n2 2n. i. P (4) 42 24 16 16, maka P (4) benar. ii. Misalkan P(k) benar untuk suatu bilangan asli as li k 4 yaitu, P (k) k2 2k harus ditunjukkan bahwa P (k+1) benar yaitu, P (k+1) (k+1)2 2 (k+1). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: (k+1)2 = k2+2k+1 < k2+ k2 < 2k2 2k. 2 < 2k2 2k+1 (k+1)2 2k+1 Jadi, P (k+1) benar. Selanjutnya dari langkah-langkah i dan ii dapat disimpulkan bahwa n 2 2n, untuk setiap bilangan asli n 4. 3
1B. Soal: Buktikan bahwa: n Jawab:
+ 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan bulat positif.
Bukti: Misalkan P(n) n3+2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan bulat positif. i. Langkah 1: untuk n=1 maka P(1) 13+2.1 = P(1) 3 habis dibagi 3, P(1) benar. ii. Langkah 2: Asumsikan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k > 1 yaitu, P (k) k3 + 2k habis dibagi 3, untuk setiap k bilangan bulat positif benar. Harus ditunjukkan bahwa P(k+1) benar yaitu, P(k+1) (k+1)3 + 2(k+1) habis dibagi 3, untuk setiap k bilangan bulat positif. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: 3 | k3 + 2k 3 | k3 + 2k + 3(k2 + k+ 1) (Bilangan kelipatan 3) 3 | k3 + 2k +3k2+3k +3 3 | k3 +3k2 + 3k +1+2k +2 1
3 | (k3 +3k2 + 3k +1) +2(k +1) 3 | (k+1)3 +2(k +1). Jadi, P (k+1) benar. Selanjutnya dari langkah-langkah i dan ii dapat disimpulkan bahwa n 3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan bulat positif. 2A.
Soal: Buktikan bahwa jika a | (b-1) maka a | (b Jawab:
4
-1).
Bukti: Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: a | (b-1) a | (b-1)(b+1)(b 2+1) (bilangan kelipatan (b-1)) a | (b-1) (b3+1) a | (b4-1) terbukti. Yaitu bahwa jika a | (b-1) maka a | (b 4 -1).
2B.
5
Soal: Buktikan bahwa: n Jawab:
± n habis dibagi oleh 5 untuk n bilangan Asli.
Bukti: Misalkan P(n) n5 - n habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli. i. P(1) 15 - 1 = 1-1 =0 habis dibagi oleh 5, maka P(1) benar. ii. Misalkan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k > 1 yaitu, P(k) k5 - k habis dibagi 5, untuk setiap k bilangan bulat positif. harus ditunjukkan bahwa P(k+1) benar yaitu, P(k+1) (k+1)5 - (k+1) habis dibagi 5, untuk setiap k bilangan bulat positif. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: 5 | k5 - k 5 | k5 - k + 5(k4 +2k3 +2k2+k) +1-1 (bilangan kelipatan 5) 3 | k5 + 5k4 +10k3 +10k2+5k +1- k - 1 3| (k+1)2 - (k+1) 3 | (k+1)2 ± (k+1) Jadi, P(k+1) benar. Selanjutnya dari langkah-langkah i dan ii dapat disimpulkan bahwa n 5 - n habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan bulat positif.
3A.
Soal: Buktikan bahwa hasil kali Jawab:
dua bilangan bulat berurutan habis dibagi dua.
Bukti: Misalkan Misalkan P(n) n(n ± 1) atau P(n) (n2 ± n) habis dibagi 2, untuk setiap n bilangan asli. 2
i. P(1) 12 - 1 = 1-1 =0 habis dibagi oleh 2, maka P(1) benar. ii. Misalkan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k > 1 yaitu, P(k) k2 - k habis dibagi 2, untuk setiap k bilangan bulat positif. Harus ditunjukkan bahwa P(k+1) benar yaitu, P(k+1) (k+1)2 - (k+1) habis dibagi 2, untuk setiap k bilangan bulat positif. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: 2 | k2 - k 2 | k2 - k + 2k -1 +1 (bilangan kelipatan 2) 2 | k2 +2k +1 -k - 1 3 | (k+1)2 - (k+1) 3 | (k+1)2 ± (k+1) Jadi, P(k+1) benar. Selanjutnya dari langkah-langkah i dan ii dapat disimpulkan bahwa n 2 - n habis dibagi 2, untuk setiap n bilangan bulat positif. 3B.
Soal: Buktikan bahwa hasil kali tiga bilangan bulat berurutan habis dibagi tiga Jawab:
Bukti: Misalkan P(n) (n ± 1).n.(n+1) atau P(n) (n3 ± n) habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli. i. P(1) 13 - 1 = 1-1 =0 habis dibagi oleh 3, maka P(1) benar. ii. Misalkan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k > 1 yaitu, P (k) k3 - k habis dibagi 3, untuk setiap k bilangan bulat positif. harus ditunjukkan bahwa P(k+1) benar yaitu, P (k+1) (k+1)3 - (k+1) habis dibagi 3, untuk setiap k bilangan bulat positif. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: 3 | k3 - k 3 | k3 - k + 3(k2 + k) -1 +1 (bilangan kelipatan 3) 3 | k3 +3k2 +3k +1 -k - 1 3| (k+1)3 - (k+1) 3 | (k+1)3 ± (k+1) Jadi, P(k+1) benar. Selanjutnya dari langkah-langkah i dan ii dapat disimpulkan bahwa n 3 - n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan bulat positif.
3
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku : 1 1 1 1 n ... ! n( n 1) n 1 1.2 2.3 3.4
4A. Soal:
Jawab:
Misalkan P(n)
1 1 1 1 ... ! 1.2 2.3 3.4 n ( n 1)
n n
1
angkah 1 : Tunjukkan bahwa P(1) benar 1 1 ! 1(1 1) 2 1 1 1 benar Maka P(1) benar ! 2 2 Langkah 2 : Diasumsikan P(k) benar untuk setiap bilangan asli k, yaitu: 1 1 1 1 k ! P(k) ... 1.2 2.3 3.4 k ( k 1) k 1 benar L
Akan dibuktikan bahwa P(k+1) benar, yaitu: 1 1 1 1 1 k 1 P(k+1) ... benar ! k ( k 1) k 1( k 2) k 2 1.2 2.3 3.4 1 k ! k 1 ( k 1)( k 2)
( 1)( k 2) (k 1) ! (k 1)(k 1)(k 2)
k k
(k 2 k )(k 2) (k 1) ! (k 1)(k 1)(k 2) (k 3 2k 2 k 2 2k k 1) ! (k 1)(k 1)(k 2) (k 3 3k 2 3k 1) ! (k 1)(k 1)(k 2)
(k 1)(k 1)(k 1) (k 1) ! Jadi P(k+1 ) Benar. (k 1)(k 1)( k 2) (k 2)
Dari langkah 1 dan 2 disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.
4
4B. Soal: Buktikan bahwa Jawab:
13 + 23 + 33 +«+ n3 = ¼ n2 (n + 1) 2 untuk n bilangan Asli
ita menggunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa
K
i.
untuk semua n .
angkah 1: Untuk n=1, kita punya benar.
L
ii. Langkah 2: Sekarang asumsikan untuk suatu m .
maka
Sehingga berdasarkan prinsip induksi matematik, klaim kita terbukti.
5
KUIS II
M.K uliah Waktu
: Teori Bilangan : 45 menit
Buktikan bahwa: Jika p dan r bilangan Asli dengan p > r maka (p, r-1) + (p, r) = (p + 1, r).
1A. Soal:
Jawab:
Bukti: Jika p dan r adalah bilangan-bilangan asli dengan p > r, maka:
Bukti:
Dengan menyamakan penyebut, Dan mengingat: (p - r+1)! = (p+1 ± r)! = (p ± r)! (p +1 - r).
Sehingga:
terbukti.
6
1B. Soal: Buktikan teorema Binomial! Jawab: Teorema Binomial:
Untuk setiap bilangan asli n. Bukti:
ita buktikan dengan induksi matematik.
K
1 maka
, benar. ii. Diasumsikan bahwa pernyataan benar untuk , yaitu: Selanjutnya akan ditunjukkan benar untuk i. Untuk
n
!
Dari langkah-langkah 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa teorema terbukti benar untuk setiap bilangan asli n.
7
2.
A1 Soal: Benar atau salah pernyataan berikut ini, jika benar buktikan, jika
contoh penyangkalnya: Jika (a,b) = (a,c) maka [a,b] = [a,c].
salah beri
Salah. Contoh: (3,5) = (3,7) = 1, tetapi [3,5] [3,7], yaitu: [3,5] = 15 dan [3,7] = 21. Jawab:
2.
Benar atau salah pernyataan berikut ini, jika benar buktikan, jika salah beri contoh penyangkalnya: (a, b) | [a, b]. Jawab: Benar.
A2 Soal:
Misalkan (a, b) = d maka d|a dan d|b dan karena a| [a, b] maka d|[a,b]. Jadi (a, b)| [a, b]. 2.
Benar atau salah pernyataan berikut ini, jika benar buktikan, jika salah beri contoh penyangkalnya: B1. (a,b) = [a,b] jika dan hanya jika a = b. Jawab: Benar.
B1 Soal:
Misalkan (a, b) = t maka t|a dan t|b. karena (a, b) = [a, b], maka [a, b] = t, sehingga a|t dan b|t. selanjutnya, karena t|a dan a|t maka a = t. demikian pula karena t|b dan b|t maka b = t. karena a = t dan b = t maka a = b. sebaliknya, jika a = b maka (a, a) = [a, a] = a. 2.
B2. Soal: Benar atau salah pernyataan berikut ini, jika benar buktikan, jika salah beri
contoh penyangkalnya: B2. [a,b] | (a,b) Jawab:
Salah.
Contoh: ambil a = 3 dan b = 7, maka [3, 7] = 21 dan (3, 7) = 1 dan 21 tidak membagi 1. 3.
A. Soal : Apakah 509 merupakan bilangan prima? Jelaskan! Jawab: 509 merupakan bilangan prima, dapat diselidiki dengan dengan mencoba membagi 509 dengan faktor-faktor bilangan prima p yang diambil dari 1
1
3.
B. Soal: Apakah 4567 merupakan bilangan prima? Jelaskan Jawab: 4567 merupakan bilangan prima, dapat diselidiki dengan dengan mencoba
membagi 4567 dengan faktor-faktor bilangan prima p yang diambil dari 1
Jika p suatu bilangan prima yang lebih dari 3, tunjukkan bahwa p 2+2 adalah bilangan komposit.
4. A.B Soal:
Jawab:
Akan dibuktikan bahwa p2 + 2 bilangan komposit (bilangaan selain 1 yang memiliki faktor lebih dari dua buah). Andaikan p 2 + 2 bilangan prima. Maka p 2 + 2 mestilah bilangan ganjil, (karena hanya bilangan 2 bilangan prima yang genap). 2 2 2 K arena p + 2 bilangan ganjil maka p pasti bilangan ganjil. p ganjil jika dan hanya jika p ganjil. Misalkan p bilangan ganjil maka p dapat ditulis menjadi p=2n ± 1, n Maka: p 2 + 2 = (2n ± 1) 2 ± 1 2 2 p + 2 = (4n ± 4n + 1) ± 1 2 2 p + 2 = 4n ± 4n + 0 2 2 p + 2 = 4(n ±n), 4(n2 ± n) bukan bilangan prima, tidak ada bilangan prima yang memiliki faktor bilangan 4. Dengan demikian 4(n 2 ± n) mestilah suatu bilangan komposit. Jadi p 2 + 2 mestilah bilangan komposit untuk p bilangan prima yang lebih besar dari 3.
9
Kuis IV (REGULER Kuis III)
M.K uliah Waktu 1A. Soal:
: Teori Bilangan : 45 menit
Buktikanlah bahwa jika 2n ± 1 suatu bilangan prima maka n suatu bilangan prima pula.
Jawab:
Dibuktikan berdasarkan kontraposisinya, yakni p= 2n ± 1 suatu bilangan prima q= n suatu bilangan prima. n Jika n suatu bilangan komposit maka 2 ± 1 bilangan komposit pula. K arena n suatu bilangan komposit maka n = ab dengan 1 < a < n dan 1 < b < n sehingga: 2n ± 1 = 2ab ± 1 = (2a -1) (2(b-1)a + 2(b-2)a + « + 1). Tampak pada kesamaan ini bahwa 2n ± 1 adalah suatu bilangan komposit. 1B. Soal: Jika p suatu
bilangan prima ganjil yang tidak sama dengan 5, buktikanlah bahwa p2-1 atau p2+1 terbagi oleh 10. Jawab:
Ambil bilangan prima p yang berbentuk 5k+1, 5k+2, 5k+3, atau 5k+4, Misalkan p = 5k+1, maka p 2-1 = 5k (5k+2). Untuk k genap maupun gasal (asalkan penggantian k pada pengambilan awal tadi membentuk bilangan prima) nilai k pada pengambilan awal dimasukkan ke bentuk 5k (5k+2) selalu terbagi oleh 10.
2A.
Teorema 4.5 ini dapat diperluas untuk bilangan bilangan a 1, a 2, a 3, «,an maka pai untuk suatu i = 1, 2, 3, ««,n Soal:
Jawab:
Bukti:
Dengan induksi matematik pada n, yaitu banyaknya faktor. Untuk n = 1, yaitu pa 1, jelas benar. Untuk n = 2, yaitu pa 1a2, karena p suatu bilangan prima, maka menurut teorema 4.5 pa1 atau pa2. Diambil hipotesis induksi untuk t dengan 2 < t < n, yaitu p bilangan prima dan pa 1 a2a3« at maka pak, untuk 2 < k< t. Pandang pa 1a2a3«. An atau dapat ditulis sebagai p (a 1a2a3«an-1) (an), maka menurut Teorema 4.5 diperoleh p a 1a2a3 «. an-1 atau pan.(terbukti) Jika pa1a2a3««..an-2an-1, juga menurut teorema 4.5 lagi diperoleh bahwa p a1a2a3««..an-2 atau pan-1 10
Jika pan-1, maka teorema terbukti Jika pa1a2a3«.an-2 a-1, maka menurut teorema 4.5 lagi diperoleh bahwa pa1a2a3«.an-2 atau pan-1 Jika pan-1, maka teorema terbukti Jika pa1a2a3«an-2 maka proses seperti diatas dapat diteruskan berdasarkan hipotesis yang diambil, maka proses tersebut akan berakhir. Berarti bilangan prima p membagi salah satu dari a1, a2, a3,«,an. Jika pada teorema 4.5 diambil kasus p, q, dan r masing ±masing bilangan prima dan pqr maka pq atau pr yaitu p = q atau p = r. karena p, q, r masing± masing bilangan prima, kasus tersebut dapat diperluas sebagai berikut: Jika p, q1, q2, q3, « qn semuanya bilangan prima dan pq 1.q2.q3 « qn maka p = qk untuk suatu k dengan 1 k n. 3A.
Jika
Soal:
a
|
b
(mod ) dengan dm dan da buktikan db. m
Jawab:
Bukti :
Jika
a
|
b
(mod ) maka m(a ± b), sama artinya a = km + b m
Dari dm sama artinya m = k 1 d Dari da sama artinya a = k 2 d Dari a = km + b dapat kita substitusikan a dan m kedalam persamaan tersebut Artinya a = km + b k2 d = k (k1 d) + b b = k (k1d) + k2 d b = (kk1 + k2) d Dari b = (kk1 + k2) d atau b = k3 d, ini menunjukan bahwa Jika a b(mod ) dengan dm dan da buktikan db « terbukti. |
2B
m
Soal: Teorema 4.8:
Dalam suatu barisan bilangan prima, jika pn menyatakan bilangan prima ke n maka: Pn Jawab:
Bukti: Dengan menggunakan induksi matematik pada n. Untuk n = 1 diperoleh p1 0 yaitu p1 2. Benar, sebab bilangan prima pertama adalah 2. Selanjutnya sebagai hipotesis, teorema diasumsikan benar untuk n = k, yaitu: P k
11
Akan dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1, yaitu p k+1 Perhatikan bahwa:
Pk+1 (p1 p2 p3««.pk) + 1
Pk+1 { ( ) ( ) ( )« (
)} + 1
Pk+1 { } + 1
Mudah ditunjukkan bahwa 1 + 2 + 2 2 + 23 + «. +2 k-1 = 2k ± 1, yaitu suatu deret geometri dengan rasio 2. Sehingga diperoleh: P k+1 ( + 1) > 1 untuk setiap bilangan asli k, maka ketidaksamaan itu menjadi: K arena Pk+1 + Pk+1 K arena teorema benar untuk n = 1 dan benar untuk n = k dan telah ditunjukkan benar untuk n = k + 1, maka teorema benar untuk setiap bilangan asli n. Memperhatikan teorema ini, maka bilangan prima ke (n+1). Yaitu P n . Sehingga banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari tidak kurang dari ( n + 1) buah. Jadi untuk n 1, maka ada paling sedikit n+1 buah bilangan prima yang lebih kecil dari . 3A.
Soal: Jika Jawab:
a b (mod m) dengan d|m dan d|a maka buktikan bahwa d|b.
a b (mod m) a=km + b , k bilangan bulat ..................................................... (1) d|m m=k1 d , k1 bilangan bulat ....................................................................... (2) d|a a=k2 d , k2 bilangan bulat ......................................................................... (3) akan dibuktikan: d|b a=km + b k2 d =k (k1 d) + b k2 d =k k1 d + b b = (k2 - kk1)d, karena k1 dan k2 bilangan bulat maka k1k2 bilangan bulat (sifat tertutup). Maka d|b Jadi, Jika a b (mod m) dengan d|m dan d|a maka buktikan bahwa d|b. 3B.
Soal: Jika a b (mod m) maka (a,m) = (b,m). Jawab:
a b (mod m) a=km + b , k bilangan bulat ........................................... ............ (1) Andaikan (a,m)=c, denga c anggota bilangan bulat, maka c a dan c m. c a a=k1 c , k1 bilangan bulat. ............................................................. ...........(2) c m m=k2 c , k2 bilangan bulat............................................................... .........(3) Andaikan dan (b, m) =d, dengan d anggota bilangan bulat, maka db dan dm (b,m) = d d | b dan d | m. d b b=k3 d , k3 bilangan bulat. .......................................................................(4) 12
d m m=k4 d , k4 bilangan bulat........................................................................(5) Akan dibuktikan bahwa c=d. a=km + b a=k k4 d + k3 d a = (k k4+k3)d da ............................................................. ...(6) a = km + b (k k4+k3)d = km+k3 d km = (k k 4+k3-k3)d km = (k k 4 )d m=k4d dm ............................................ ............................. .(7) Dari (6) dan (7) maka d kelipatan dari a dan m. Tetapi c FPB dari a dan m maka . ..................................................................................... .............................. (8) a=km + b k1 c = k(k2 c) + b b = (k1-kk2)c cb ..............................................................(9) a = km + b k1 c = km+(k1-kk2)c km = (k1-k1+kk2)c km = (kk2 )c m=k2 c cm ..................................... .............................. ........(10) Dari (9) dan (10) maka c kelipatan dari b dan m. Tetapi d FPB dari b dan m maka . .................................................... .............................................................. ( 11) Dari dan , maka c = d maka ini menunjukan bahwa (a,m) = (b,m) Jika a b (mod m) maka (a,m) = (b,m), terbukti. 55
4A. Soal: Tentukan sisa jika 2 Jawab:
: 7 dan 4175 : 7
Menghitung sisa dari 2 55 : 7 23 = 1 (mod 7) 23(18) = 118 (mod 7) 254 . 2 = 1. 2 (mod 7) 255 = 2 (mod 7) Jadi 255 : 7 sisa 2. Menghitung sisa dari 41 75 : 7 41 = -1 (mod 7) 4175 = (-1)75 (mod 7) 41 = -1 (mod 7) 41 = 6 (mod 7) Jadi 4175 : 7 sisa 6.
4B. Soal: Tentukan sisa jika (1 Jawab:
5
+ 25 + 35 + ...+ 100 5) : 4
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 .... 97 (mod 4) 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 .... 98 (mod 4) 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 .... 99 (mod 4) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 .... 100 (mod 4) Sehingga (15+25+35+...+100 5) 15+25+35 (mod 4) 1+2+3 (mod 4) 2 (mod 4) 5 5 5 5 Jadi (1 + 2 + 3 + ...+ 100 ): 4 bersisa 2. 13
