INGENIERÍA SISMORRESISTENT SISMORRESISTENTE E Tarea No. 01
Problema # 1
Deduzca las expresiones de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración en vibración libre sin amortiguamiento de un oscilador de un grado de libertad. Considere condiciones iniciales y grafique la respuesta del oscilador, indicando claramente sus propiedades. Problema # 2
Escribir la ecuación del movimiento de los sistemas masa-resorte mostrados en la figura. Evaluar la rigidez efectiva de cada sistema.
Solución (a) Según el sistema, se tiene una masa “m”, que está sujeta a dos resortes en paralelo, el cual obtenemos su diagrama de cuerpo libre.
Como:
() () ()
Eliminamos u(t), y obtenemos la rigidez equivalente del resorte:
Reemplazando en la ecuación del movimiento de 1GDL obtenemos:
()()() () ()() (b) Según el sistema, se tiene una masa “m”, que está sujeta a dos resortes en serie, el cual obtenemos su diagrama de cuerpo libre.
Como:
Pero:
Lo cual reemplazando en 1:
Eliminamos P(t):
()()() () () () () () () () ()()() ()[]()()
Reemplazando en la ecuación del movimiento de 1GDL obtenemos:
(c) Según el sistema, se tiene una masa “m”, que está sujeta a tres resortes, siento un sistema mixto, pues tiene al comienzo rsortes en paralelo y luego resortes en serie. Obtenemos su diagrama de cuerpo libre.
De los anteriores casos, obtendremos la rigidez equivalente.
()
Luego de desarrollar los resortes en paralelo, desarrollar ahora el que queda en serie:
Reemplazando en la ecuación del movimiento de 1GDL obtenemos:
()()()() Problema # 3 Estimar la frecuencia natural de los sistemas mostrados en la figura. La viga tiene masa despreciable y una sección de 120 mm x 210 mm y su longitud es 2,25 m. Además: W=700 N y E=210 GPa para ambos casos.
Problema # 4 Calcular las propiedades dinámicas del pórtico mostrado, si éste es sometido a un desplazamiento inicial de 8,95 cm y una velocidad inicial de 7 m/seg. Estimar el desplazamiento máximo para los 2 casos siguientes: a) Sin arriostre. b) Incluir un arriostre de acero de 3 cm 2 de área de sección transversal y E= 200 GPa Datos: Columnas: 25 cm x 45 cm (sección rectangular) Concreto: E= 22 GPa
Solución : El planteamiento de la ecuación de movimiento en vibración libre del Sistema:
()() ̇ ()() ()
Desarrollando está EDO, obtendremos el desplazamiento en función del tiempo:
El cual,
es la frecuencia circular natural, cuya fórmula es:
√
Donde “k” es la rigidez del sistema sin arriostre, cuya fórmula es:
E “I” es el momento de inercia:
Reemplazando en la fórmula de la rigidez:
Y posteriormente reemplazando en la fórmula de la frecuencia circular natural:
√ √
() () ̇ ()()() ̇()()() ̇() ()() () () ()
Obteniendo como periodo y frecuencia:
Las condiciones iniciales del sistema son:
Reemplazando en la función del desplazamiento y velocidad:
Suponemos que
Reemplazado en
, para obtener el máximo desplazamiento, en un tiempo determinado, obteniendo:
, se obtiene:
Ahora considerando en la “k” de rigidez del sistema con arriostre, la fórmula es:
En lo que respecta a la columna ya está calculado, lo que faltaría hallar es del arriostre:
√ √
Con la nueva rigidez, calculamos la frecuencia circular natural:
Reemplazando en la función del desplazamiento y velocidad:
Suponemos que obteniendo:
()()() ̇()()() ̇() ()() () () ()
Reemplazado en
, para obtener el máximo desplazamiento, en un tiempo determinado,
, se obtiene:
Problema # 5 Una caja que tiene una masa de 1000 Kg es soltada desde 1 metro de altura sobre el centro de la luz de una viga simplemente apoyada, de masa despreciable. La viga tiene una luz L de 10m y su sección tiene 0,20 m de ancho por 0,50 m de alto. Está construida de un material cuyo módulo E es de 22 500 MPa.
Problema # 6 Se tiene un pórtico de concreto armado (E=2,2x10 6 Tonf/m2). Las columnas son de: C1 (30cm x 50cm) y la C2 (30cm x 60cm). Calcular todas sus propiedades en vibración libre. Grafique sus respuestas de desplazamiento, velocidad y aceleración cuando el pórtico es sometido a un desplazamiento inicial de 10 cm.
Problema # 7 El peso del bloque de madera mostrada en la figura es de 70 N y la rigidez del resorte es de 18 N/mm. Una bala que tiene una masa de 320 g es disparada con una velocidad de 22 m/s hacia el bloque y queda empotrada dentro él. Determ inar el movimiento resultante u(t) del bloque.
