Universidade Federal de Santa Catarina Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica (PosMEC) Métodos Matemáticos para Solução de Equações Diferenciais Parciais (EMC 410050)
Professora Marcia Mantenelli
Alunos: Marcus Vinicius Pedron Carneiro, Mauricio Mauricio Reynaldo, Thiago Croisfelt Croisfelt Batista Bat ista 1
Técnica Transformada Integral Generalizada (GITT) Ao longo do desenvolvimento de técnicas para resolução de modelos matemáticos
que descrevem sistemas físicos, que são fundamentais para o entendimento das respostas obtidas em sistemas reais, métodos numéricos e analíticos foram aprimorados nos dois cantos do mundo para obter o bter as soluções dos problemas em estudo. Observou-se ao longo desse processo de estudo que soluções híbridas, onde os códigos computacionais incorporam em seus cálculos as informações analíticas explicitas do problema, vários benefícios podem ser encontrados. Entre eles, pode-se citar: a) Redução do tempo computaci co mputacional onal (custo computacional) computacional) b) Aceleração na taxa de convergência convergência numérica c) Inexistência de malhas. Desta maneira, a técnica transformada integral generalizada traz consigo esses benefícios benefícios citados através da transformação transformação analítica dos sistemas de equações diferenciais parciais (EDP’s) em sistemas de equações diferenciais ordinárias (EDO’s) e uso de ferramentas numéricas menos complexas que as soluções puramente numéricas (elementos finitos, diferenças finitas, métodos espectrais...), reduzindo o esforço computacional. A teoria clássica de transformadas integral foi apresentada em 1974 por Ozisik e Murray que propuseram uma alternativa ao problema de separação de variáveis. 1984, os mesmos autores apresentaram a técnica de transformada clássica (CITT) aplicada a problemas de difusão de calor e massa e a partir de então, extensões extensões da técnica foram propostas e após a publicação publicação de Cotta em 1993 convencionou-se convencionou-se chamar de GITT a união entre a CITT e as novas extensões da técnica. O formalismos apresentado para utilização da técnica t écnica generalizada generalizada contém um par transformada-inversa e um problema associado que incorpora as características página 1 de 12
analíticas dos operadores do problema original e usando um operador de integração apropriado para o problema, pode-se eliminar as variáveis independentes, o que permite a obtenção de um sistema de EDO’s. Esse sistema de equações diferenciais ordinárias é denominado sistema transformado que é resolvido analiticamente ou numericamente levando em conta o truncamento que resulta na precisão prescrita do problema. A técnica apresentada permite resolução de diversos problemas que envolvem coeficientes variáveis, não linearidade e não homogeneidade. Entre eles pode-se citar problemas de aletas com dissipação tempo-dependente, condução de calor com número de Biot tempo-dependente, mudança de fase onde os contornos são variáveis e em casos onde os sistemas auxiliares são de difícil resolução (Sturm-Liouville de funções complexas).
2
Formulação matemática da GITT Dado os problemas acoplados de convecção difusão, num volume V com
superfície de contorno S, descritos pela equação generalizada (2.1) (2.1)
Com condições de contorno descritas por: (2.2) (2.3)
Cujo operador
é definido por: (2.4)
Aplicando a separação de variáveis para os problemas homogêneos equivalentes, têm-se os problemas auxiliares em x que definem as funções núcleos autofunções em x, que dependem dos auto valores
:
(), ou (2.5) (2.6)
Podendo-se utilizar de técnicas do tipo Sturm-Ville ou tabelas como a apresentada em anexo para determinação das auto-funções e autovalores definidos, para aplicá-los na transformada integral em x, definida por: página 2 de 12
(2.7) (2.8)
Onde os núcleos
() e as normas correspondentes ( ), são definidas a
partir da propriedade de ortogonalidade das autofunções:
(2.9) (2.10)
Aplicando a transformada (2.7) em cada EDP (2.1) de cada problema acoplado k , chega-se ao sistema de equações diferenciais ordinárias, definidas por: (2.11)
Onde, associado à transformada integral das condições iniciais, tem-se: (2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Podendo o sistema de equações ser resolvido por software como o Mathematica (da Wolfram) ou o Maple. Truncado o somatório em j = n e a definição dos autovalores em i = N , tem-se uma redução do esforço computacional, implicando em erros controláveis e de simples calculo para avaliação de convergência. Reduzindo a formulação para problema de um único acoplamento ( k = 1), tem-se a definição da Técnica Transformada Integral Clássica (CITT), definida por Özisik em 1974. página 3 de 12
3 3.1
Exemplos Obter a distribuição de temperaturas para uma placa plana finita de comprimento L, considerando condução unidimensional e transiente, propriedades constantes e que há geração de calor, sujeita às condições de contorno e iniciais indicadas.Utilize o método da Transformada Integral.
(, ) + (,)= (,) para 00 (3.1.1) onde
= ⁄ é a difusividade térmica do meio.
Condições de contorno:
= 0
=0
em x=0
(3.1.2)
em x=L
(3.1.3)
Condição inicial:
=()
para t=0
(3.1.4)
Solução
1 – Desenvolvimento do par integral-transformada adequado: Considerando condições de contorno de terceiro tipo (ou mista) nas fronteiras, tem-se:
− +ℎ = 0
em x=0
(3.1.5) página 4 de 12
+ℎ = 0
em x=L
(3.1.6)
Em seguida, define-se um problema de autovalor auxiliar, que representa a solução homogênea do problema inicial, na forma:
() + () = 0 para 0
(3.1.7) (3.1.8)
(,) desse problema de autovalor satisfazem as propriedades de ortogonalidade. Considera-se que T(x,t) possa ser representada em L, em termos de autofunções ( ,) , na forma: As autofunções
(,) = ()(,)
(3.1.9)
onde o somatório é realizado para todos os autovalores
correspondentes. Para
determinar os valores de
,
utilizam-se as propriedades de ortogonalidade,
multiplicando ambos os lados da Equação 3.1.9 por obtendo:
(,) e integrando de 0 até L,
1 = () (,)(,) onde( ) é a norma da autofunção , dada por: () = (,)
(3.1.10) (3.1.11)
Substituindo a Equação 3.1.10 na Equação 3.1.9, tem-se:
página 5 de 12
( ,) (,) = () (,)(,)
(3.1.12)
Pode-se separar a Equação 3.1.12 em duas partes para se obter o par integraltransformada associado ao presente caso, dado por:
(,) = ((,)) (,)
(3.1.13)
(,) = (,)(,)
(3.1.14)
A Equação 3.1.14 é a Transformada Integral da função
variável espacial , ou seja, que transforma Transformada Inversa.
(,) em relação à
(,) em (,). A Equação 3.1.13 é a
2 – Remoção da derivada parcial em relação à variável espacial pela aplicação da Transformada Integral:
() e integrando de 0 até L, tem-se: (,) 1 ∂ 1 ∂ () ∂ + ()(,) = ∂t ()(,) (3.1.15) onde ( ) ≡ ( ,) . Utilizando a Transformada Integral, Equação 3.1.14, Multiplicando a Equação 3.1.1 por
temos:
̅(,) = ()(,)
(3.1.16)
Inserindo as Equações 3.1.16 e 3.1.14 na Equação 3.1.15, tem-se:
(,) 1 ∂ 1 () ∂ + ̅(,) = (,)
(3.1.17) página 6 de 12
A integral à esquerda da Equação 3.1.17 é avaliada de acordo com a segunda identidade de Green:
(,) ∂ () ∂ () ∂ ∂T ∂ ] (3.1.18) = (,) ∂ + [ () −(,) ∂ ∂ Multiplicando a Equação 3.1.7 por
(,) e integrando de 0 até L:
() (,) =− (,) ()=−(,)
(3.1.19)
Considera-se condições de contorno não homogêneas na forma:
t) +ℎ(,) = (,) ∂T(x, ∂
(3.1.20)
Multiplicando a Equação 3.1.20 por
(), chega-se em:
t) +ℎ()(,) = () (,) () ∂T(x, ∂ Multiplicando a Equação 3.1.8 por
(3.1.21)
(,), tem-se:
(,) ∂∂(n ) +ℎ(,)() =0
(3.1.22)
Subtraindo a Equação 3.1.22 da Equação 3.1.21, tem-se:
() ∂T∂(x,t ) − (,) ∂∂(n ) = () (,)
(3.1.23)
Finalmente, substituindo as Equações 3.1.19 e 3.1.23 na Equação 3.1.18: página 7 de 12
() (,) = −(,) +
(,) ∂ () ∂
(3.1.24)
Substituindo-se a Equação 3.1.24 na Equação 3.1.17, temos:
( ) ( ) 1 1 , ( ) ( ) ̅ − (,) + , + , =
(3.1.25)
Rearranjando:
(,) +(,) = (,)
(3.1.26)
(,) é um termo geral que depende das condições de contorno e iniciais
onde
do problema e é dado por:
( ) (,) (3.1.27) (,) = ̅(,) + 3 – Aplicação da transformada inversa para obter a solução do problema: A EDP foi transformada em uma EDO, conforme a Equação 3.1.26, cuja solução geral é dada por:
(,) =exp(−) () +exp ( )(,) (3.1.28) onde
() é obtida segundo a condição inicial: (,0) = (,)() = ()
(3.1.29) página 8 de 12
Aplicando-se a fórmula da integral inversa, Equação 3.1.13, obtém-se a distribuição de temperaturas do problema:
( ) , (,) = () exp(−) () + exp ( )(,) (3.1.30) O termo e 3.1.3 é:
(,) para o presente caso, dados pelas condições de contorno 3.1.2 (,) = ̅(,)
As autofunções autovalores
(3.1.31)
(,), a norma () e a expressão que define os
são tabelados, de acordo com a geometria e com as condições de
contorno. Para uma placa plana, dadas das condições iniciais do pr esente caso, tem-se:
(,) =cos() 1 = 2 () cos() =0
(3.1.32) (3.1.33) (3.1.34)
Substituindo as Equações 3.1.31, 3.1.32, 3.1.33 e 3.1.34 na Equação 3.1.30, bem como as expressões para
() (Equação 3.1.29) e ̅(,) (Equação 3.1.16):
2 (,) = cos() exp(−) cos() () + exp ( ) (,) cos() (3.1.35) onde os autovalores são os valores positivos das raízes da Equação 3.1.34
dados por:
página 9 de 12
= (2−1) , = 1,2,3 … 3.2
(3.1.36)
(ÖZISIK, 1993) Resolva o seguinte problema de condução de calor em regime permanente para uma região retangular em 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b. Utilize a Técnica da Transformada Integral.
(,) ) ∂ (, ∂ ∂ + ∂ = 0
em 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b
= 0 em = 0, = e = =() em = 0
(3.2.1)
(3.2.2) (3.2.3)
Solução 1 – Equação característica Generalized Integral Transform Technique (GITT)
(,). (,,) + (,,, ).∇(,,) + (,,) = (,,,)
(3.2.4
≡−∇(,)∇+(,), onde, para Regime Permanente, a equação (3.2.4) caracteriza uma EDP linear elíptica com: = 1 (3.2.5) (,) = (,,,) = (,)=0 (3.2.6) (,,,) = 1 (3.2.7) (,)=cte=K (3.2.8)
)
Sendo o operador
2 – Transformada integral e inversa As considerações 3.2.5 à 3.2.8 resultam na seguinte transformada integral em x:
, = 0 ,.(,).
(3.2.9)
Cuja transformada inversa é:
( ,) () .(,) (,)=
(3.2.10)
²() +².()=0 ²
(3.2.11)
A equação característica em x é tal que:
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Aplicando as condições de contorno em x, têm-se a seguinte equação transcendental (3.2.12), as autofunções ortogonais definidas em (3.2.13) e o recíproco da norma correspondente em (3.2.14):
(.)=0⇒ = .
()=(,)=(.) 1 = 1 =2 () ∫ (,)
(3.2.12)
=1,2,3,⋯
(3.2.13) (3.2.14)
Aplicando a transformada integral (3.2.9) em ambos os lados da igualdade (3.2.1), chega-se à EDO (3.2.15):
²(,) −².(,)=0 ² Com as transformadas da condições de contorno abaixo: = ̅() em = 0 = 0 em =
(3.2.15)
(3.2.16) (3.2.17)
Implicando na solução da EDO (3.2.15) sendo:
.(−)) (,)=(). ℎ( ℎ(.)
(3.2.18)
Então a inversa (3.2.10) pode ser representada por:
( ) 2 ℎ .(−) (,)= a sin(.). ℎ(.) . sin(.).().d 4
(3.2.10)
Referências ANDRADE, E. A. (1996). Solução de equações diferenciais acopladas pela
Técnica da Transformada Integral e computação Simbolica. Fortaleza: Universidade
Federal do Ceara. COTTA, R. M., & MIKHAILOV, M. D. (Março de 1993). Integral Transform Method. Appl. Math. Moddeling . ÖZISIK, M. N. (1993). Heat Conduction. New York: John Wiley & Sons.
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ANEXO (ÖZISIK, 1993)
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