Estadística Inferencial
Estadística Inferencial
2
Estadística Inferencial
2
Estadística Inferencial El presente documento es una guía para el curso de inferencia estadística impartido en el Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática (INEGI), en el edificio de capacitación; y no tiene más que esa finalidad. La sección de ejercicios será presentada por el instructor de acuerdo a su preferencia, además de agregar los temas que él considere pertinentes. La parte inicial es una ubicación teórica que presenta algunos de los conceptos más importantes y resultados que serán utilizados en la parte formal. En ningún momento deberá seguirse al pie de la letra la secuencia de exposición, el instructor tomará la secuencia que considere trascendental en su impartición. La segunda parte es todo el curso que se debe impartir, y se tocan los temas pero desde un punto de vista más “informal”, y el tema de estimación ya nada más se revisa en su formalidad detallada en la primera parte. La razón de la estructura de este documento es que normalmente la persona que lo elaboró1, imparte la parte teórica para generalizar el objetivo y la ubicación de la inferencia estadística y resultados importantes que serán formalmente utilizados por aquellos interesados en la formulación estadística- matemática.
Ernesto Cervantes López, INEGI
3
Estadística Inferencial PARTE UNO El objetivo de la estadística es hacer inferencia con respecto a la población basándose en la información contenida en una muestra. Las poblaciones se describen mediante medidas numéricas denominadas parámetros y el objetivo de la mayoría de las l as investigaciones estadísticas es hacer inferencia con respecto a uno o más parámetros de la población. El proceso de obtener un resultado observado de un fenómeno físico es denominado un experimento. Suponga que el resultado de un experimento es una variable aleatoria x, y f ( x,θ ) representa la función de densidad la cual refleja la distribución de las medidas de los individuos en la población. Aunque el experimento no permite especificar completamente a f ( x,θ ) , y esto es posible si se puede asumir que f ( x,θ ) es un miembro de alguna familia conocida de distribución y que θ es un parámetro no conocido tal como la media o la varianza de la población. El objetivo de la estimación puntual es asignar un valor apropiado a θ basado sobre las observaciones de la población, es decir, se asume que un conjunto de n variables independientes x1 , x 2 ,..., x n cada una con f ( x,θ ) observada de un conjunto de datos x1 , x 2 ,..., x n el cual puede representarse como f ( x1 , x 2 ,..., x n : θ ) = f ( x1 ,θ ) f ( x 2 ,θ )... f ( x n ,θ )
Se asume que la distribución de la población de interés puede ser representada por un miembro de alguna familia especifica conocida f ( x,θ ) , indexada por el parámetro θ . En algunos casos el parámetro puede ser un vector y se denota por Θ . Se denotara por Ω como el espacio paramétrico que denota el conjunto de todos los posibles valores que el parámetro θ puede asumir. Si Θ es un vector entonces Ω será un subconjunto del espacio euclidiano de la misma dimensión y la
4
Estadística Inferencial dimensión de Ω va a corresponder al número de parámetros reales no conocidos. Se asume que x1 , x 2 ,..., x n es una muestra aleatoria de f ( x,θ ) y que τ (θ ) es una función de θ .
Definición Un estadístico T = ι ( x1 , x 2 ... x n ) que es usada para estimar el valor de τ (θ ) es denominado un estimador de τ (θ ) y un valor observado de el estadístico t = ι ( x 1 , x 2 ,..., x n ) es denominado una estimación de τ (θ ) . Equivalentemente se puede abusar y decir que un estimador es una regla que establece cómo calcular una estimación basada en las mediciones contenidas en una muestra. Es posible obtener varios estimadores (reglas para la estimación) diferentes para un mismo parámetro poblacional. Esto nos lleva a tratar de definir cuales son buenos o malos en la aproximación. Para ello debemos recordar algunos conceptos teóricos que se utilizaran.
Definición. Sea g (Y 1 , Y 2 ,..., Y n ) una función de las variables aleatorias Y 1 , Y 2 ,..., Y n que tienen una función de probabilidad p ( y1 , y 2 ,..., y n ) . Entonces el valor esperado de g (Y 1 , Y 2 ,..., Y n ) es E ( g (Y 1 , Y 2 ,..., Y n )) = ∑ ∑ ...∑ ∑ g ( y1 , y 2 ,..., y n ) p ( y1 , y 2 ,..., y n ) y n y n −1
y2
y1
Si Y 1 , Y 2 ,..., Y n son variables aleatorias continuas con la función de densidad conjunta f ( y1 , y 2 ,..., y n ) entonces E ( g (Y 1 , Y 2 ,..., Y n )) =
∫ ∫ ... ∫ ∫ g ( y , y 1
yn y n −1
2
,..., y n ) f ( y1 , y 2 ,..., y n )dy1 dy 2 ...dy n −1 dy n
y 2 y1
5
Estadística Inferencial Teorema Sea c una constante entonces E (c) = c
Teorema Sean g (Y 1 , Y 2 ) una función de las variables aleatorias Y 1 , Y 2 , y sea c una constante. Entonces E (cg (Y 1 , Y 2 )) = cE ( g (Y 1 , Y 2 ))
Teorema Sea Y 1 , Y 2 dos variables aleatorias con la función de densidad conjunta f ( y1 , y 2 ) y sea g 1 (Y 1 , Y 2 ), g 2 (Y 1 , Y 2 )...g k (Y 1 , Y 2 ) funciones de Y 1 , Y 2 . Entonces E ( g1 (Y 1 , Y 2 ) + g 2 (Y 1 , Y 2 ) + ... + g k (Y 1 , Y 2 )) = E ( g1 (Y 1 , Y 2 )) + E ( g 2 (Y 1 , Y 2 )) + ... + E ( g k (Y 1 , Y 2 ))
Propiedades de los estimadores Estimador Insesgado Definición Un estimador T es un estimador insesgado de τ (θ ) sí E (T ) = τ (θ ) para todo θ ∈ Ω , de otra manera se dice que T es un estimador sesgado de τ (θ ) . Ejemplo Considere una muestra aleatoria de una distribución f ( x, Θ) ,
con Θ = ( µ , σ 2 ) , donde µ y σ 2 son la media y la varianza de la población. Ahora bien la media muestral es un estadístico con la función t ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ( x1 + x2 + ... + x n ) / n y este estadístico usualmente se denota con
−
n
x =∑ i =1
xi n
que se usa como una
estimación de la media poblacional µ = E ( x) , para X 1 , X 2 ,..., X n variables aleatorias, y la función −
−
−
t ( x1 , x 2 ,..., x n ) = (( x1 − x ) + ( x 2 − x) + ... + ( x n − x )) / n − 1
6
Estadística Inferencial n
−
∑ ( x1 − x) Permite obtener S 2 =
i =1
n −1
como estimador de σ 2 , y
2
ambos µ y σ .
Ejercicio : Verificar que son insesgados. −
1. E ( x) = µ 2. E ( S 2 ) =σ 2 Después de verificar la afirmación se tiene que los parámetros son insesgados , el espacio paramétrico asociado es un subconjunto de dos dimensiones del espacio euclidiano. En particular Ω es el producto cartesiano Ω = (−∞, ∞) x(0, ∞) , para µ y σ 2 .
En pocas palabras nos gustaría que la media del valor esperado de la distribución de las estimaciones fuera igual al punto estimado, es decir, E (θ ˆ) =θ
Definición El sesgo B de un estimador puntual θ ˆ está dado por B = E (θ ˆ) − θ .
(a)
θ
θ ˆ
(b) θ θ ˆ
La adecuada sería (b) ya que una menor varianza garantiza que en el muestreo repetitivo una mayor fracción de valores de θ ˆ quede cerca de θ , es decir que la varianza V (θ ˆ) sea mínima.
7
Estadística Inferencial Dados dos estimadores insesgados de un parámetro θ seleccionamos el estimador con la menor varianza, permaneciendo constante en todas las condiciones restantes. Algo que se utiliza en lugar del sesgo y la varianza para describir la bondad de un estimador puntual es el valor esperado de (θ ˆ − θ ) 2 .
Definición Sea X 1 , X 2 ,..., X n una muestra aleatoria de tamaño n de f ( x;θ ) . Un estimador T * de τ (θ ) es denominado un estimador
insesgado uniforme de mínima varianza de τ (θ ) sí 1. T * es insesgado para τ (θ ) 2. Para cualquier otro estimador insesgado T de τ (θ ) , * Var (T ) ≤ Var (T ) para todo θ ∈ Ω
En algunos casos la cota inferior puede ser derivada de la varianza de un estimador insesgado. Si T es un estimador insesgado de τ (θ ) , entonces la cota inferior Cramer- Rao basada sobre una muestra aleatoria es (τ ′(θ )) 2 Var (T ) = asumiendo la condición de ∂ nE ( ln f ( x;θ )) ∂θ diferenciabilidad, se puede obtener dicha expresión.
Definición La media del cuadrado del error de un estimador puntual θ ˆ y se define como el valor esperado de (θ ˆ − θ ) 2 , es decir, E (θ ˆ − θ ) 2 . La media del cuadrado del error de un estimador θ ˆ , MCE (θ ˆ) es una función al mismo tiempo de su varianza y sesgo 2 MCE (θ ˆ) = V (θ ˆ) + B
Enseguida se muestran algunos estimadores de parámetros poblacionales.
8
Estadística Inferencial Parámetro objetivo θ
Tamaño de La(s) muestra(s)
Estimador puntual
E (θ ˆ)
σ θ ˆ
µ
n
Y
µ
σ 2
2
n
p
n
µ 1 − µ 2
n1
pˆ =
y
n2
Y
p
pq
n
Y 1 − Y 2
n
µ 1 − µ 2
σ 1
2
n1 p1 − p2
n1
y n2
pˆ1 − pˆ 2
p1 − p2
p1q1 n1
2
2
y σ 2 son las varianzas de las poblaciones 1 y 2 respectivamente. σ 1
La manera de evaluar la bondad de cualquier procedimiento de estimación puntual estriba en términos de la distancia entre las estimaciones generadoras y el parámetro objetivo.
Definición El error de estimación ε es la distancia entre un estimador y su parámetro objetivo, es decir, ε =| θ − θ ˆ | .
9
+
σ 2
+
2
n2 p2 q n2
Estadística Inferencial Eficiencia relativa Definición Dados dos estimadores insesgados θ ˆ1 y θ ˆ2 , de un parámetro θ , con varianzas V( θ ˆ ) y V( θ ˆ ), respectivamente, entonces la 1
2
eficiencia relativa de θ ˆ1 con respecto de θ ˆ2 se define como la V (θ ˆ2 ) razón eficiencia = . ˆ V (θ ) 1
Consistencia Definición El estimador θ ˆn es un estimador consistente de θ si para cualquier número positivo ε se tiene que lim P(| θ ˆn − θ |≤ ε ) = 1 o n →∞
en forma equivalente lim P(| θ ˆn − θ |≥ ε ) = 0 n→∞
Suele utilizar el siguiente resultado para probar la consistencia de un estimador
Teorema El estimador insesgado θ ˆn para θ es un estimador consistente de θ sí lim V (θ ˆ ) = 0 n→∞
n
Suficiencia En seguida se presentan algunos métodos para encontrar estadísticos que en cierto sentido resumen toda la información en una muestra con respecto a un parámetro objetivo, y tales estadísticos tienen la propiedad de la suficiencia.
Definición Sean y1 , y2 ,..., yn observaciones muestrales para las variables aleatorias correspondientes Y 1 , Y 2 ,..., Y n . Entonces si Y 1 , Y 2 ,..., Y n son variables aleatorias discretas, la verosimilitud (factibilidad) de la muestra, L = L( y1 , y2 ,..., yn ) se define como la probabilidad conjunta de y1 , y2 ,..., yn . Si Y 1 , Y 2 ,...,Y n son variables aleatorias
10
Estadística Inferencial continuas, la verosimilitud L( y1 , y2 ,..., yn ) se define como la densidad conjunta evaluada en y1 , y2 ,..., yn . El siguiente teorema relaciona la propiedad de suficiencia con la verosimilitud.
Teorema Sea U un estadístico basado en una muestra aleatoria Y 1 , Y 2 ,..., Y n . Entonces U es un estadístico suficiente para la estimación de un parámetro θ si y sólo si la verosimilitud L se puede factorizar en dos funciones no negativas L( y1 , y2 ,..., yn ) = g (u ,θ ) h( y1 , y2 ,..., yn ) en donde g (u ,θ ) es una función solamente de u y θ , y h( y1 , y2 ,..., yn ) no es una función de θ . En general se desea encontrar un estadístico suficiente que reduzca los datos en la muestra hasta donde sea posible. Los estadísticos que cumplen con ése objetivo se denominan estadísticos de mínima suficiencia. Suficiencia mínima y estimación insesgada de mínima varianza
Tales estadísticos fueron desarrollados por Lehmann y Scheffé. Suponga que Y 1 , Y 2 ,..., Y n representa una muestra aleatoria de una función de probabilidad p ( y ) , o una función de densidad f(y) con un parámetro desconocido θ . El conjunto de variables Y 1 , Y 2 ,..., Y n puede tomar varios valores, supongamos que y1 , y2 ,..., yn y x1 , x2 ,..., xn son dos conjuntos de valores posibles,
el método utiliza la razón de verosimilitudes evaluadas en esto L( x1 , x2 ,..., xn ) dos puntos . Varias veces es posible encontrar L( y1 , y2 ,..., yn ) n una función g ( x1 , x2 ,..., xn ) tal que la razón mencionada no presente el parámetro desconocido θ sí y sólo sí g ( x1 , x2 ,..., xn ) = g ( y1 , y2 ,..., yn ) . Si se puede encontrar tal función g, entonces g (Y 1 , Y 2 ,..., Y n ) es un estadístico de mínima suficiencia para θ .
11
Estadística Inferencial Método de los momentos Ya que el método de anterior no siempre es aplicable, el siguiente método es uno de los más antiguos, aunque el más sofisticado el de máxima verosimilitud. Para ello recuerde que el k-ésimo momento de una variable aleatoria, tomando con respecto al origen, es µ ' k = E (Y k ) , el correspondiente k-ésimo momento de la muestra es el 1 n k promedio m 'k = ∑ Y i . n
i =1
Método de los momentos: Elija estimaciones aquellos valores de los parámetros que son soluciones de las ecuaciones ' µ ' k = mk , con k=1,2,...,t en donde t es igual al número de parámetros.
Método de la máxima verosimilitud. El método implica determinar alguna función de un estadístico de mínima suficiencia que sea un estimador insesgado del parámetro – objetivo. El método de los momentos generalmente no lleva a mejores estimadores, contrario al de máxima verosimilitud. Método de la máxima verosimilitud : Escoja como estimaciones aquellos valores de los parámetros que maximizan la verosimilitud.
12
Estadística Inferencial PARTE DOS 1. Introducción Todas las herramientas estadísticas con las que se cuenta hasta ahora, tales como tablas, gráficos y cálculo de medidas descriptivas se podrían englobar en el término Estadística Descriptiva , puesto que ellas esencialmente permiten describir, presentar y resumir información que ha sido recolectada de alguna forma. Sin embargo las técnicas de la Estadística Descriptiva no permiten responder interrogantes que pueden surgir cuando no se dispone de la información sobre todos los individuos de la población de interés sino sólo de una parte de ella, es decir, que los datos provienen de una muestra de individuos de la población bajo estudio. Ejemplos de esta situación son:
Si se conoce que la ganancia promedio de ventas de una muestra de 50 automóviles nuevos es de $935, ¿qué se puede decir sobre la ganancia media de todas las ventas de automóviles nuevos? Si se encontró que una curso de capacitación ayuda a encontrar trabajo a 16 de 20 jóvenes de una ciudad, ¿qué porcentaje de todos los jóvenes que buscan trabajo se puede esperar que encuentren trabajo después de tomar el curso?
Para responder este tipo de preguntas la Estadística dispone de una gran cantidad de métodos que se engloban dentro de la llamada Estadística Inferencial , los cuales se usan esencialmente para determinar la probabilidad de que una concl usión sacada a partir de los datos de una muestra sea cierta en la población muestreada. Las poblaciones pueden ser ventas, personal de una empresa, consumidores de un producto, etc. El proceso conocido como inferencia estadístic a, requiere consideraciones de cómo fue seleccionada la muestra y cuánto varían las observaciones de una muestra a otra. De esta manera, los métodos de selección de los individuos que se usarán en la investigación son de considerable importancia para la obtención de resultados y conclusiones válidas. El requisito fundamental de una buena muestra es que sea representativa de la población que se trata de describir
13
Estadística Inferencial (Población Objetivo – Figura 1). Hay, por supuesto muchas formas de obtener una muestra no representativa. Una obvia falta de representatividad ocurre cuando la muestra se toma de la población equivocada. Por ejemplo, se quiere conocer la proporción de personas que consumen un determinado producto y la muestra se obtiene de los clientes de un solo supermercado. Aún cuando se esté seguro que la muestra se obtiene de la apropiada población, otra fuente potencial de error en el muestreo, especialmente en las encuestas de opinión son las respuestas sesgadas . Cuestionarios mal redactados o técnicas de entrevistas inadecuadas pueden dar lugar a respuestas que no reflejan la realidad que se quiere evaluar. Por otra parte, en muchas ocasiones no es posible obtener la muestra a partir de todos los individuos que definen la población objetivo, sino sólo a partir de una subpoblación que es accesible al investigador en el momento de hacer la selección de los individuos de la muestra y ella recibe el nombre de población muestreada (Figura 1).
Población objetivo
Se requiere sentido común para hacer inferencias del muestreo a la población objetivo
Población muestreada Para hacer inferencias estadísticas de la muestra a la población muestreada se requiere que la muestra sea aleatoria
Muestra
Figura 1: Alcances de las inferencias realizadas de una muestra.
Consideremos, por ejemplo, un sondeo telefónico que realizó la cadena de televisión ABC inmediatamente antes de las
14
Estadística Inferencial elecciones de 1980 entre Carter y Reagan. La ABC invitó a sus televidentes a llamar (por larga distancia) para dar a conocer sus preferencias presidenciales. En vez de lograr una muestra del sentir real de los electores, la ABC obtuvo una muestra de las preferencias de los votantes que estaban suficientemente interesados en desviar el resultado del sondeo como para invertir en las llamadas telefónicas de larga distancia. Es claro que la ABC no realizó un muestreo aleatorio de la población de posibles votantes. Más demócratas hicieron las llamadas de larga distancia, y la ABC pronosticó así una victoria electoral de Carter. Antes de extender cualquier conclusión, es necesario evaluar qué factores selectivos y sesgos distinguen a la población realmente muestreada (todos los votantes que hicieron las llamadas de larga distancia) de la población objetivo (todos los posibles votantes). Los métodos de la Inferencia Estadística permiten generalizar los resultados de la muestra sólo a los individuos que componen la población muestreada y la generalización hacia la población objetivo está fuera del alcance de la Estadística. Sin embargo, si es posible suponer que la población muestreada es similar a la población objetivo no se cometería un error grande en generalizar los resultados hacia la población objetivo.
Aún cuando se esté seguro que la muestra se obtiene de la población apropiada, es igualmente importante que la muestra se saque de una manera objetiva e insesgada. Muestras casuales o muestras seleccionadas sobre la base de que es fácil de recolectar, son raramente representativas de la población. Hay varios métodos adecuados para seleccionar una muestra que permiten evitar los sesgos, y la mayoría tiene como base el concepto de muestra aleatoria o probabil ística , en la cual cada individuo en la población de interés es seleccionado (o no) a través del uso de mecanismos aleatorios descriptos claramente. Por ejemplo, el caso más simple, es el denominado esquema de muestreo aleatori o si mple en el cual cada posible muestra es igualmente probable, lo que implica que cada individuo tiene igual probabilidad de ser seleccionado para pertenecer a la muestra. Más adelante se tratará con más detalle los distinto tipos de muestreo. En cualquier estudio, los investigadores deben escribir de manera completamente explícita la manera en la cual las muestras han sido elegidas y cuando se escribe o se lee cualquier trabajo de investigación uno debería hacerse las siguientes preguntas:
15
Estadística Inferencial
¿El autor define claramente la población muestreada? ¿El autor discute similitudes y posibles diferencias entre la población muestreada y la población objetivo? ¿El autor describe claramente el mecanismo de muestreo que usó? ¿El mecanismo de muestreo es aleatorio? (Si no lo es, porque?). ¿Los métodos de análisis de datos son adecuados para el esquema de selección usado?
¿Qué ocurre si el investigador no ha usado un muestreo aleatorio para seleccionar los individuos de la muestra? Supongamos por ejemplo que él simplemente usó los datos de los clientes de un supermercado para evaluar las preferencias de los consumidores respecto a distintas marcas de un producto. Muchos, sino la mayoría, de los estudios son de este tipo. Los datos son analizados luego, como si ellos hubieran surgido a partir de una muestra aleatoria de consumidores. El problema aquí es que estamos perdiendo la vital vinculación entre un esquema de muestreo aleatorio y el apropiado método de inferencia estadística, el cual supone siempre que hubo una selección aleatoria de la muestra. En estas circunstancia, ¿se debería entonces abandonar la inferencia estadística? Probablemente no, pero deberíamos siempre estar muy preocupados de tomar estos resultados muy seriamente. Las bases de la inferencia, en este caso, han sido severamente debilitadas (“destruida”, dirían algunos). En rigor de verdad, deberíamos decir: “si pretendemos que tenemos una muestra aleatoria, entonces …” . La palabra pretender ha sido usada deliberadamente ya que no es una suposición, puesto que nosotros sabemos que la muestra no es aleatoria. Al final, nosotros deberíamos aceptar que estamos usando la inferencia estadística sólo como una guía, como una manera de ayudar a que los datos tengan algún sentido, por todo esto, nuestra inferencia en estos casos debería estar basada más en el sentido común que en la teoría estadística. En las Unidades anteriores se estudió las reglas básicas de probabilidad y distintas distribuciones de probabilidad como la binomial, Poisson, Normal y exponencial. En esta unidad se usarán estas reglas de probabilidad junto con el conocimiento de las distribuciones de probabilidad para analizar cómo ciertas
16
Estadística Inferencial medidas (media, proporción) pueden usarse para hacer inferencias respecto a los parámetros poblacionales. La inferencia estadística involucra dos áreas principales: Estimación y Prueba de Hipótesis, pero antes de tratar estos importantes temas es necesario manejar el concepto de Distribución en el Muestreo o Distribución Muestral que es la base para comprender los métodos y herramientas de la inferencia estadística.
1. Distribución muestral Un objetivo que se presenta frecuentemente en las investigaciones de diferentes áreas es conocer el promedio de alguna característica cuantitativa o la proporción de individuos que poseen determinada característica cualitativa. Por ejemplo, la edad media de las “mujeres de una dada región que usan determinado servicio ” (Población Objetivo); o la proporción de “egresados universitarios de un país ” (Población Objetivo) que hacen una carrera de postgrado. En general, las características de interés en un estudio se denominan parámetros poblacionales . En los ejemplos dados los parámetros poblacionales son la media y la proporción y generalmente se denotan con a la media y con a la proporción. Para determinar los parámetros poblacionales se requiere conocer los valores de la variable para todos los individuos de la población, por ejemplo para determinar la edad media se requiere conocer la edad de todas las mujeres que usan el servicio. Sin embargo, no siempre es posible obtener la información de todos los individuos que componen la población por razones de costo en tiempo y dinero, y cuando eso ocurre se hace necesario recurrir a una muestra de la población. Luego, a partir de los datos de la muestra se busca una manera de combinar la información de la muestra para obtener la característica de interés. En el ejemplo donde el parámetro de interés es la edad media, se toma una muestra de n (tamaño de la muestra ) mujeres de la población y se calcula el promedio de las edades en la muestra. Surge entonces el interrogante a cerca de cual medida de promedio se usará (media aritmética o mediana). Cualquiera sea la medida que se use, cada una de ellas recibe el nombre de estimador o estadístico . Si se conviene en usar la media
17
Estadística Inferencial aritmética, o sea, la media muestral x , ella es en este caso el estimador de la media poblacional Se debe observar que para obtener el valor de x se debe combinar los valores observados en la muestra (suma de los datos divida en el número de observaciones) y esto ocurre con cualquier estadístico o estimador de una parámetro, de manera que formalmente se puede dar la siguiente definición: Definición 1: Un estadístico o estimador es una función de los valores observados en los individuos que componen la muestra, es decir, es la expresión matemática que indica la forma de combinar los datos.
La Tabla 1 muestra los símbolos de los parámetros y sus respectivos estimadores de uso más frecuentemente. Tabla 1: Símbolos usuales para parámetros y estadísticos Características Media Desviación estándar Varianza Correlación Proporción
Símbolo del parámetro
Símbolo del Estadístico
µ σ
x 2
σ ρ
π
s s2 r p
El valor que toma el estimador para una particular muestra se denomina un a estimación del parámetro poblacional. Por ejemplo, si en una muestra de 100 mujeres se calcula el valor de la media aritmética de las edades y se obtiene x = 25.5 años, entonces 25.5 representa un particular valor de x , es decir es una estimación del estimador. Obviamente con cada posible muestra se tendría un valor diferente del estimador, es decir, se obtendría una estimación diferente para el parámetro de interés. Por lo tanto, un estimador toma diferentes valores para cada muestra, es decir, varía de muestra en muestra. Teniendo en cuenta este aspecto de un estimador se puede dar una segunda definición de estimador: Definición 2: Un estadístico o estimador es una variable que toma diferentes valores para cada muestra seleccionada .
18
Estadística Inferencial De esta manera, las estimaciones dependen de la particular muestra con que estemos trabajando. En resumen, Si se está interesado en conocer algún parámetro de una población de interés (media, proporción, coeficiente de correlación, etc.), y no es posible observar o medir a todos los individuos de la población para obtener el valor de dicho parámetro, entonces, una posibilidad es obtener una muestra de tamaño n y conseguir una estimación de parámetro usando un estimado r del parámetro. Por otra parte, si se pudiera extraer todas las posibles muestras del mismo tamaño ( n) de la población de interés y con cada una de ellas se calcula el valor del estimador o estadístico correspondiente, se obtendría todas las estimaciones posibles del parámetro. Luego a partir de ellos se podría construir la distribución de probabilidad del estadístico , tal distribución de probabilidad que recibe el nombre de distribución muestral del estadístico de interés. Cabe preguntarse por qué es tan importante el concepto de distribución muestral, la respuesta es simple, cuando se quiere estimar un parámetro poblacional (característica de la población) a partir de una muestra surgen otros interrogantes como:
¿Qué tan buena es la estimación obtenida? ¿Se puede llegar a la conclusión de que el parámetro de la población es idéntico al estadístico de la muestra o es probable que exista algún error?. Si es así, ¿qué tan grande es dicho error?
Para responder a estas preguntas se debe comparar los resultados obtenidos a partir de las muestras con los resultados “ esperados” . Los resultados esperados surgen justamente a partir de la distribución muestral del estadístico y de allí la importancia de ella. Surge ahora otro problema, es más costoso (y a veces imposible) obtener todas las muestras aleatorias de tamaño n para construir la distribución muestral del estadístico o estimador, que observar a todos los individuos de la población. De manera que se plantean ahora nuevos interrogantes: ¿cómo obtener la distribución muestral si se tiene sólo una muestra de
19
Estadística Inferencial la población? Para responder esta pregunta se debe tener en cuenta que la distribución muestral del estadístico depende de:
La distribución de la población, es decir, de la distribución de probabilidad de la variable de interés (por ejemplo edad de las mujeres que usan un servicio) Del parámetro de interés (media, variabilidad) Del estadístico que se elija para estimar el parámetro (media aritmética o mediana, desviación estándar muestral)
De la forma de selección aleatoria de la muestra.
Del tamaño de la muestra.
La relación existente entre la distribución de probabilidad de la población y distribución muestral del estimador) es la que nos permite hacer afirmaciones sobre el parámetro poblacional y cuantificar el error de dichas afirmaciones. En efecto, la teoría estadística inferencial provee de herramientas que permiten conocer, aunque sea aproximadamente, la distribución muestral del estadístico, y luego, como ya se dijo, a partir de ella conocer el valor esperado del estadístico. De esta manera, es posible evaluar la precisión de la estimación obtenida con la muestra y cuantificar el error de las afirmaciones que se hagan sobre el parámetro poblacional. Para clarificar estos conceptos, se considera el caso en que el parámetro poblacional es la media µ y el estadístico para estimarla es la media aritmética x , obtenida a partir de una muestra de tamaño n de la población. Como ya se dijo, si se quiere obtener la distribución muestral de x, extrayendo todas las muestras de tamaño n, esto consumiría más tiempo que el requerido para tomar la información de toda la población y, en consecuencia, sería poco práctico. En su lugar, es posible usar la teoría estadística para determinar la distribución muestral de la media aritmética en cualquier situación particular, siempre que se cumplan algunas condiciones para la distribución de probabilidad de la variable que se está estudiando (Ver Figura 2). Ejemplo 1: En una planta embotelladora de bebida se encuentra que la máquina embotelladora está presentando una
20
Estadística Inferencial notable variabilidad en el llenado. Para analizar este problema se lleva a cabo un estudio donde se define que la variable de interés X será la cantidad de bebida que contienen las botellas. Supongamos que la distribución de probabilidad de X es tal que la media poblacional es µ µ µ = 1,2 litros de bebida, con un desviación estándar σ σ = 0,2 litros. Supongamos ahora, que se desconoce esta información y se quiere estimar la media poblacional µ µ µ tomando una muestra aleatoria de tamaño n=100 de la población de botellas. La media aritmética calculada a partir de la muestra dio un valor x =1,22 litros.
Para hacer afirmaciones sobre la precisión de la estimación que dé algún grado de confianza en el valor encontrado a través de la muestra, se necesita conocer la distribución muestral de x. Las propiedades de la distribución muestral de x son la base para uno de los teoremas más importantes de la teoría estadística, llamado Teorema del Límit e Centr al , que se enuncia a continuación sin mucha formalidad. Dada una población con media µx y desviación estándar σx (finita), la distribución muestral de la media basada en muestras aleatorias repetidas de tamaño n (grande) tiene las siguientes propiedades: 1. La media de la distribución muestral de x, es decir, el valor esperado µ x = E( x) de la distribución de
probabilidad de x, es igual a la media µ x de la distribución de probabilidad de la variable X. 2. La desviación estándar en la distribución muestral de x es igual a
σ n
. Esta cantidad es denominada error
estándar de la media (SEM) . 3. Con muestras de tamaño grande, la distribución muestral de x sigue un modelo teórico denominado modelo de distribución normal , sin importar la forma de la distribución de la población original, siempre que se cumplan las condiciones mencionadas.
Otra manera de expresar este resultado y que resulta útil para expresar los resultados de los métodos de inferencia es la siguiente:
21
Estadística Inferencial Teorema del límite central : Independiente de la distribución que tenga la variable aleatoria X, siempre que tenga media µ y varianza σ2 finitas, al hacerse lo bastante grande el tamaño de muestra n, entonces la distribución del estadístico −
Z =
X − µ
(1)
σ / n
es Normal con media 0 y varianza 1, es decir, N(0, 1). DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ARITMÉTICA (X) DISTRIBUCIÓN DE LA POBLACIÓN DE X
DISTRIBUCIÓN DE LA POBLACIÓN DE X CON MEDIA
µ
DESVÍO ESTÁNDAR
σ
NORMAL CON MEDIA
µ
DESVÍO ESTÁNDAR
σ
ERROR ESTÁNDAR
n
x1 M1
x2
M2
µ−σ/
n
x3 µ
x4
M3 M4
...
µ+σ/
n
. X
Mm
POBLACIÓN DE X
xm
POBLACIÓN DE X
MUESTRAS DE TAMAÑO n
Figura 2: Distribución muestral de la media aritmética (estadístico).
El resultado enunciado da la base para toda la inferencia estadística sobre la media.
Observación: Aunque siempre hay excepciones, tamaños de muestras de n = 30, o más, en la gran mayoría de los casos aseguran la validez del teorema del límite central, es decir, la distribución muestral
22
Estadística Inferencial para x tendrá aproximadamente una distribución normal para n ≥ 30 si σ es conocido. En el ejemplo, y de acuerdo a lo enunciado, la distribución muestral de x será aproximadamente normal con media µ x = 1,20 litros y con un error estándar dado por SE( x) = SEM =
σ n
=
0.2 = 0.2/10 = 0.02. 100
La importancia del SEM y del resultado enunciado radica en que a partir de él se puede hacer la siguiente afirmación: si el tamaño de mu estra es grande aproxi madamente el 95% de las muestras darían v alores de x en un intervalo que va desde µ µ µ -2SEM a µ µ µ +2SEM, es decir, existe una probabilidad del 95% de que el valor calculado de x se encuentre dentro de ese intervalo. Obviamente, en la práctica siempre se desconoce el valor de µ y casi siempre el valor de σ, de manera que esto es sólo el respaldo teórico de toda la inferencia estadística, como se verá en las secciones subsiguientes. Ejemplo 2: En el ejemplo anterior si µ y σ son conocidos, entonces se puede afirmar que aproximadamente el 95% de las muestran de tamaño n = 100 darían valores de x entre 1,2 0.04 y 1,2 + 0.04, es decir entre 1,16 litros y 1,24 litros, o bien que existe una probabilidad del 95% que el valor encontrado para x se encuentre dentro de ese intervalo.
Como ya se dijo, la distribución muestral del estimador depende del estadístico elegido para estimar el parámetro poblacional, por ejemplo, si el estimador elegido para estimar la media poblacional no es x sino la mediana, entonces el cálculo de su error estándar y su distribución muestral no sigue exactamente lo enunciado para el caso de x. La teoría que permite establecer la distribución muestral de la mediana está fuera del alcance de este curso, de manera que no será tratada aquí. Del mismo modo que la media poblacional µ, por lo general, es desconocida, es probable que la desviación estándar de la población σ, tampoco sea conocido.
23
Estadística Inferencial En el caso en que σ σ sea desconoci do , él debe ser estimado usando los datos de la muestra. Un estimador razonable para σ, como ya se vio en las unidades previas, es la desviación estándar de la muestra − ∑ xi − x i =1 S = n −1 n
2
(2)
Reemplazar σ por S en (1) resulta razonable ya que se puede demostrar que S2 es un estimador insesgado de σ2, es decir, E[S2] = σ2. Sin embargo, la distribución muestral del estadístico que resulta de esa sustitución, es decir, −
t
=
X − µ S / n
ya no es N(0,1) debido a que se usa una estimación para σ y en consecuencia se introduce en la expresión (3) una variabilidad adicional. En efecto, el estadístico t definido en (3) posee una distribución denominada t de Student , la cual tiene una apariencia similar a la distribución normal, simétricas y en forma de campana, pero la distribución t es más dispersa. El único parámetro de la distribución t de Student es el denominado grados de libertad y que en este caso se encuentra relacionado al tamaño de muestra n, y ello se expresa diciendo que el estadístico t dado en la expresión (3) tiene distribución t de Student con (n – 1) grados de libertad.
2. Estimación En esta Sección se dará algunas propiedades que debería cumplir un estimador para conseguir estimaciones confiables del parámetro de interés. Se considerará diferentes formas de estimación y se estudiará una manera de medir la precisión en la estimación.
3.1. Estimación puntual El valor obtenido del estadístico o estimador a partir de una muestra, recibe también el nombre de Estimación Puntual.
24
(3)
Estadística Inferencial En el ejemplo de la embotelladora es claro que el interés no es conocer la cantidad de bebida promedio en el grupo particular de botellas que pertenecen a la muestra, sino en toda la población. Por otra parte, la media calculada a partir de los datos de la muestra es sólo “ una estimación” de la cantidad de bebida media en la población de botellas. Cabe preguntarse ahora cuáles son las propiedades de que debería tener un estimador (media, mediana) para que sea considerado como bueno y que nos facilite la elección entre un estadístico y otro. Es claro que al obtener una estimación puntual su valor dependerá de la muestra que se haya seleccionado y que el valor encontrado puede cambiar de muestra en muestra. De esta manera, las propiedades deseables serían que cada estimación no se encuentre muy alejada del verdadero valor del parámetro, y por otra parte, que no haya demasiada variabilidad entre los valores del estadístico, obtenidos de muestra en muestra. Esto se puede formalizar definiendo algunas propiedades a tener en cuenta de los estadístico, a saber: 1. Insesgado : Informalmente esto significa ausencia de error sistemático. De una manera más formal, un estadístico cualquiera q se dice insesgado si la media de su correspondiente distribución muestral es igual al parámetro de interés Q, es decir, E[q] = Q. 2. Eficiente: Significa que las estimaciones obtenidas para distintas muestras varían poco entre ellas. De una manera más formal, el estimador más eficiente dentro de un conjunto de estimadores insesgado será aquel que tiene la menor varianza. 3. Consistente: Informalmente, un estadístico Q se dice consistente si su variabilidad disminuye cuando aumenta el tamaño de muestra.
Se puede demostrar que la media aritmética es un estimador insesgado y eficiente de la media poblacional. Si la variabilidad de las estimaciones se mide a través de la desviación estándar, ésta desviación estándar recibe el nombre de error estándar del estimador (SE).
25
Estadística Inferencial Observaciones: 1. No debe confundirse “desviación estándar” de la distribución de la población (variabilidad entre los individuos) con “error estándar” del estimador que es la desviación estándar de la distribución muestral (variabilidad entre las estimaciones de las muestras). 2. Es muy probable que el estadístico insesgado más eficiente no estime el parámetro poblacional con “exactitud”, esto se debe a que en realidad cuando realizamos la estimación sólo tomamos una muestra, y obtenemos uno de los posibles valores del estadístico que en general no tiene porque coincidir con el valor del parámetro que se quiere estimar.
3.2. Estimación por intervalos Si bien la precisión se incrementa con muestras grandes no hay razón para esperar que la estimación puntual de una muestra dada deba ser exactamente igual al parámetro poblacional que se supone estima. Entonces, existen muchas situaciones en las cuales es preferible determinar un intervalo dentro del cual se esperaría encontrar el valor del parámetro, tal metodología se conoce como estimación por intervalos y el intervalo se denomina Intervalo de Confianza Los Intervalos del Confianza son intervalos aleatorios obtenidos a partir de los datos y en los cuales hay un grado de conf ianza prefijado (medido en %) de que dicho intervalo contenga al verdadero valor del parámetro que se quiere estimar. El grado de confianza se denomina nivel de conf ianza y se lo denota como 100(1-α)%, donde α se considera a menudo como la probabilidad de cometer un error, ya que indica la proporción de veces en que uno se equivoca o comete un error al suponer que el intervalo contiene al parámetro poblacional. De esta manera, 1-α será la proporción de veces que los distintos intervalos de confianza contienen al parámetro. Usualmente el valor 100 (1- α)% se lo fija en el 95%, lo que llevaría a establecer que en promedio sólo en el 5% de los casos se cometería error al suponer que el intervalo contiene al verdadero valor del parámetro.
26
Estadística Inferencial Para encontrar estos intervalos debemos conocer la distribución muestral de cada estimador, que como ya se vio esto depende del parámetro de interés y del estadístico que se elija para estimar dicho parámetro. Sin embargo es posible dar la forma general que adopta un intervalo de confianza en cualquier caso. En general, si que se quiere estimar un parámetro Q de la población a través del estadístico q, y si el error estándar de la distribución de q, que se lo denotará con SE(q), entonces un intervalo de confianza para Q con una confianza del 95% (IC95%) viene dado por la expresión: IC95% = [q – k1SE(q) , q + k 2SE(q)] (4)
donde k1 y k2 dependen de la forma de la distribución muestral de q. Ejemplo 3: En el ejemplo de la embotelladora un intervalo de confianza para el parámetro poblacional Q = µ , con una confianza del 95%, correspondiente a una estimación de q = x = 1.22 litros, calculada a partir de la muestra de tamaño n = 100, y suponiendo que se conoce la desviación estándar de la población, es decir, σ = 0.2 litros, está dado por: IC95% = [ x – k1SE( x) , x + k2SE( x)] donde SE( x) = SEM =
σ n
= 0.02 y k 1 = k2 = 1.96 se obtienen a
−
partir de la distribución muestral de
X − µ
, que como se vio en σ / n la Sección anterior ella N(0, 1). Por lo tanto, IC95% = [1.22 – 1.96x0.02 ; 1.22 + 1.96x0.02] = [1.1808 ; 1.2592]
Otra manera alternativa de expresar los IC para la media poblacional cuando se usa a la media aritmética como estimador es la siguiente:
x ±
zα 2 σ
(5)
n
27
Estadística Inferencial o bien
x −
zα 2 σ n
≤ µ ≤ x +
zα 2 σ
(6)
n
donde • z α 2 = valor de z tal que el área debajo de la
curva de la función de densidad de una distribución normal correspondiente al intervalo [ z α 2 , ∞) es igual α/2 si n es grande (este valor es 1.96). •
n = tamaño de la muestra
•
σ = desviación estándar de al población muestreada
Ejemplo 4: Una corporación quiere emitir algunos pagarés a corto plazo y espera que los intereses que tendrá que pagar no sean mayores a 11,5%. Para obtener cierta información acerca de la tasa media de interés que habría que pagar, la corporación pone a la venta 40 pagarés, uno a través de cada una de 40 firmas de corretaje. Los valores del interés se suponen que tienen una distribución normal con media µ y varianza σ 2 conocida, tal que σ = 0,31%. A partir de la muestra de tamaño n = 40, se obtiene una estimación de µ , dada por x = 10,3%. Luego, usando la expresión (2) el IC del 100(1- α )% para la media poblacional de una distribución normal es:
10.31 ± 10.31 −
1.96 x0.31 40 1.96 x0.31 40
, o bien,
≤ µ ≤ 10.31 +
1.96 x0.31 40
Haciendo los cálculos se obtiene que: 10.21 ≤ µ ≤ 10.41
De mismo modo que la media de la población es desconocida, por lo general también se desconoce el valor real de la desviación estándar y, por lo tanto, se necesita estimar dicho parámetro a partir de los datos de la muestra utilizando el
28
Estadística Inferencial estadístico S. En este caso la primera expresión de (6) adopta la forma
x ±
t ( n−1),α / 2 S
(7)
n
donde se reemplaza σ por S y z(α /2) por t(n-1), α /2 que es el valor crítico de la distribución t con n-1 grado de libertad. Ejemplo 5: Si en el estudio de tasa principal de bancos σ es desconocido y se tiene una muestra de tamaño 50 y el valor obtenido de x = 9,1% y como estimador de σ se usa 2
− ∑ xi − x , dando en este caso el valor S = 0,24, i =1 S = n −1 entonces, reemplazando este valor en la expresión (7), donde además se reemplaza z(α /2) por t(n-1), α /2. Luego, el valor estimado del error estándar será, n=50
SE ( x ) =
S n
=
0.24 = 0.034 50
y el valor de t (n-1),α/2 = 2.01. Luego, el intervalo de confianza para la media poblacional con una confianza del 95% está dado por: IC95% = [9.1 – 2.01x0.034; 9.1 + 2.01x0.034] = [8.96; 9.10]
Observaciones: 1. El valor de k i SE(q) del intervalo de confianza para el parámetro q se lo puede entender como cota para el error de estimación. En el último ejemplo se tiene entonces, que esta cota es 1.96x0.034=0,07. Esto se interpreta como que la probabilidad de que el error sea menor a 0,07 es 0,95. Así, la cota para el error de estimación, 7%, proporciona una medida de la exactitud para la estimación efectuada por la empresa de investigaron de mercado .
29
Estadística Inferencial Actividad 2:
1. Se relaciona muchas veces un incremento en la proporción de ahorros de los consumidores a una falta de la confianza en la economía, y se dice que ello es un indicador de una tendencia de recesión económica. Una muestra aleatoria de n=200 cuentas de ahorro en una comunidad local, mostró un incremento medio en los valores de las cuentas de 7,2% en los últimos 12 meses y una desviación estándar de 5,6%. a) Estime el intervalo de confianza para el aumento porcentual promedio en las cuentas de ahorro en lo últimos 12 meses, para ahorradores de la comunidad. b) Obtenga una cota para su error de estimación. 2. Escriba la expresión para el IC para el parámetro de la distribución binomial cuando n es mayor de 30.
3.3. Test de hipótesis estadística En la sección anterior tratamos la estimación y precisión de los estimadores, que conforman una de las dos áreas principales de la Inferencia estadística. En esta sección presentaremos una forma diferente de obtener inferencia acerca de parámetros poblacionales, probando hipótesis respecto a sus valores. Un test de hipótesis es una metodología o procedimiento que permite cuantificar la probabilidad del error que se cometería cuando se hace una afirmación sobre la población bajo estudio, es decir, nos permite medir la fuerza de la evidencia que tienen los datos a favor o en contra de alguna hipótesis de interés sobre la población. Se introducirá la idea de tests de hipótesis a través de un ejemplo hipotético. Ejemplo 6: Una industria usa como uno de los componentes de las máquinas de producción una lámpara especial importada que debe satisfacer algunas exigencias. Una de esas exigencias está relacionada a su vida útil en horas. Esas lámparas son fabricadas por dos países y las especificaciones técnicas varían de país a país. Por ejemplo el catálogo del producto americano afirma que la vida útil media de sus lámparas es de 15500 horas, con un SD de 1200. Mientras que
30
Estadística Inferencial para el producto europeo la media es de 16500, y el SD es de 2000. Un lote de esas lámparas de origen desconocido es ofrecido a un precio muy conveniente. Para que la industria sepa si hace o no una oferta ella necesita saber cual es el país que produjo tales lámparas. El comercio que ofrece tales lámparas afirma que será divulgada la vida útil media de una muestra de 25 lámparas del lote antes de la oferta. ¿Que regla de decisión deben usar los responsables de la industria para decir que las lámparas son de procedencia americana o europea?. Una respuesta que surge inmediatamente es la de considerar como país productor aquel en la cual la media de la muestra se aproxima más a la media de la población. Así, la decisión sería si x ≤ 16000 (el punto medio entre 15500 y 16500) diremos que es de procedencia americana; en caso contrario diremos que es de procedencia europea. Suponga que en el día de la licitación se informó que, de acuerdo con la regla de decisión diríamos que las lámparas son de origen americano. ¿Podemos estar herrados en esa conclusión?. O en otras palabras, ¿es posible que una muestra de 25 lámparas de origen europeo presente una media de 15800? Si, es posible. Entonces, para un mejor entendimiento de la regla de decisión adoptada, es interesante estudiar los tipos de errores que podemos cometer y las respectivas probabilidades de cometer esos errores. Los tests de hipótesis consisten en confrontar dos hipótesis, una llamada hipótesis nula que denotamos con Ho y otra llamada hipótesis alternativa denotada con H1. En el ejemplo las hipótesis que se plantean son: En el ejemplo las hipótesis consideradas son Ho Las lámparas son de origen europeo, esto equivale a decir que la vida útil X de cada lámpara sigue una distribución con media µ=16500 horas y un SD=2000 horas. H1; Las lámparas son de origen americano, es decir la media poblacional µ= 15500 horas con un SD=1200 horas.
31
Estadística Inferencial Bajo este planteo un test de hipótesis estadística no es otra cosa que un procedimi ento para tom ar una decisión, bajo incertidumbre, sobre la validez de la hipótesis nula usando la evidencia de los datos. Puesto que trabajamos bajo incertidumbre es claro que cualquiera sea la decisión que tomemos siempre existe una probabilidad de cometer error. A fin de clarificar esto podemos presentar el siguiente esquema:
Tabla 2. Esquema del procedimiento Decisión
Realidad sobre H o Cierta
Falsa
Rechazar Ho
Error Tipo I
Decisión correcta
No rechazar H o
Decisión correcta
Error Tipo II
Como se puede ver en el esquema, con cada tipo de decisión que se tome hay asociado una posibilidad de cometer un error. Un procedimiento de este tipo sería óptimo cuando las probabilidades de cometer un error, cualquiera sea la decisión que se adopte, sean pequeñas. Lamentablemente, en la mayoría de los tests de hipótesis sólo es posible controlar una de ellas, con la circunstancia agravante de que estos errores son competitivos, es decir, cuando se disminuye mucho la probabilidad de uno aumenta la probabilidad del otro. Puesto que, el interés generalmente es “rechazar Ho” la probabilidad de error que se controla durante este procedimiento, es justamente el error asociado a esta decisión (Probabilidad del Error Tipo I), es decir, la probabilidad de rechazar Ho cuando es cierta . La máxima probabilidad de error tipo I se denota con α y recibe el nombre de nivel de significación del test y él debe ser prefijado de antemano. La probabilidad de Error Tipo II se denota con β y es útil para encontrar la bondad del test que se mide en términos de la cantidad 1-β denominada Poder del Test. El nivel de significación que se usa generalmente es α=0.05 lo que corresponde a un 5% en término de porcentaje. Retomando el ejemplo vamos a indicar por RC una región determinada por los valores de X menores que 16000, es decir
32
Estadística Inferencial RC={X ≤ 16000}. El valor 16000 se denomina punto crítico y se denotará como xc.
10000
12000 14000 Región de Aceptación de H 0
16000
18000 2 Región de Rechazo
H0 Figura 3: Valores posibles del estadístico del test
Con las notaciones indicadas arriba, la probabilidad de cometer cada uno de los errores puede ser escrita del siguiente modo:
P[Error Tipo I] = P[ X pertenezca a RC | H 0 es verdadera] = α.
P[Error Tipo II] = P[ X no pertenezca a RC | H 0 es falsa ] = β
Ejemplo 7: En el ejemplo 6, cuando H 0 es verdadera, es decir, las lámparas son de origen europea, sabemos del teorema central del límite que x , o sea la media de las muestras de tamaño 25, tendrán distribución aproximadamente normal con
media 16500 y σ =
2000 = 400 , es decir X ∼ N( µ , σ 2 ). 25
Entonces, P[Error Tipo I] = P[ X ∈ RC | H0 es verdadera] = = P[ X ≤ 16000 | X ∼ N(16500, 16000)] = P[ Z ≤ (16000 – 16500)/ 400] = P[ Z ≤ -1.25] = 0.106 = 10.6%. Para cada regla de decisión adoptada, es decir, para cada valor crítico xc se obtiene un valor de probabilidad de error tipo 1. Por otra parte, si xc se elige menor que 15000 α disminuye pero β aumenta. Sin embargo, se puede proceder de manera inversa, es decir, fijado α encontramos la regla de decisión que corresponderá a una probabilidad de error 1 igual a α.
33
Estadística Inferencial Ejemplo 8: Si se toma α = 5%, y se procede a encontrar la regla de decisión correspondiente:
5%= P[Error Tipo I]= P[ X ≤ xc | X ∼ N(16500, 16000)] = P[Z < -1.645], pero se sabe que, para una distribución normal estándar − 1.645 =
xc − 16500
400
de donde xc = 15842 horas. Entonces, la regla de decisión será “Si X fuera inferior a 15842 se dice que el lote es americano, en caso contrario se dice que es europeo”. Con esta regla la probabilidad de error tipo II será P[Error Tipo II] = P[ X > 15842 | X ∼ N(15500, 15842)] = = P[Z > 1.425] = 7.93%
34
Estadística Inferencial
AMERICANO
EUROPEO
5%
7.93%
15500
15842
16500
Figura 4: Distribución muestral de X para el caso de la procedencia de lote de lámparas Procedimiento general de un test de hipótesis basado en la región de rechazo
Se da ahora una secuencia de pasos que puede ser usada sistemáticamente para cualquier test de hipótesis. 1) Iniciar el procedimiento estableciendo, de manera clara y explícita, cuál es la hipótesis nula, es decir, H 0. 2) Usar la teoría estadística para construir un indicador de concordancia entre los datos y la hipótesis nula. Este indicador denominado estadístico del test será usado para juzgar la hipótesis H0. 3) Fijar el nivel de significación deseado α, que es el máximo error aceptable cuando se rechaza H0, y usar este valor para construir la región cr ítica . 4) Calcular el valor del estadístico a partir de la muestra. 5) Si el valor del estadístico pertenece a la región crítica, entonces rechazar H0. En caso contrario, lo que se puede afirmar es que no hay suficiente evidencia para rechazar H0. 6) Si se dispone de una hipótesis alternativa y de la distribución del estadístico del test bajo la suposición que vale la hipótesis alternativa, se puede calcular la probabilidad de error Tipo II. Procedimiento general de un test de hipótesis basado en el P-value
Otro procedimiento general de un test de hipótesis más usado en la actualidad debido a la disponibilidad de paquetes de programas estadísticos, consiste en tomar la decisión a partir
35
Estadística Inferencial de la probabilidad del error Tipo I que brindan las salidas de tales paquetes de programas, denominado P-value o simplemente P. Este procedimiento lo podemos resumir en los siguientes pasos: 1. Suponer que Ho es cierta. 2. Para confrontar esta suposición con la información (parcial) que proveen los datos sobre la realidad de Ho, se forma “una especie de indicador” de concordancia, denominado estadístic o del test, el cual es función del de los datos. 3. Como el estadístico depende de la información de los datos, con cada muestra posible hay asociado un valor de este estadístico y en consecuencia se genera una nueva variable aleatoria. Asociada a esta variable hay una cierta distribución de probabilidad, a partir de la cual se determina la probabilidad de que la información de los datos concuerde con la hipótesis nula, denominado “ P-value” . De esta manera, el “Pvalue” representaría la probabilidad de cometer un error cuando se toma la decisión de rechazar Ho. 4. Es claro que si de antemano se fija que la máxima probabilidad de error al rechazar Ho debe ser igual a α, otra manera de tomar la decisión es comparar el valor del P- value con α.
Si P ≤ α entonces la decisión es Rechazamos Ho Si P > α la decisión es No hay evidencia suficiente para rechazar H o
3.3.2. Pruebas de hipótesis unilaterales y bilaterales Las pruebas o test de hipótesis se relacionan con los parámetros poblacionales (medias o proporciones, etc.). Se puede utilizar los estimadores puntuales de los parámetros poblacionales como estadístico del test en cuestión. Supongamos, como ilustración que se utiliza el símbolo θ para denotar el parámetro poblacional de interés, por ejemplo, θ puede ser µ, (µ1- µ2), p ó (p1-p2), y el símbolo θ ˆ para denotar el estimador puntual insesgado correspondiente.
36
Estadística Inferencial Desde el punto de vista práctico se puede tener interés en contrastar la hipótesis nula H0: θ = θ0, contra la alternativa de que el parámetro poblacional es mayor que θ0, o sea H1: θ > θ0. En esta situación, se rechazará H0 cuando θ sea grande, o sea cuando el estadístico del test sea mayor que un cierto valor llamado valor crítico, que separa las regiones de rechazo y no rechazo del test (Ver Figura 3). La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta será igual al área bajo la curva de la distribución muestral del estadístico del test sobre la región de rechazo. En el caso que estemos trabajando con una distribución normal, y un α = 0,05, se rechaza la hipótesis nula cuando θ se encuentre a más de 1,645 σ θ ˆ a la derecha de θ0. De esta manera, se puede definir como Una prueba estadística de una cola o unilateral es aquella en la que la región de rechazo se localiza solamente en una cola o extremo de la distribución muestral del estadístico del test.
Para detectar θ > θ0, se sitúa la región de rechazo en la extremidad de valores superiores aθ . Para detectar θ < θ0 se ubica la región de rechazo en la extremidad izquierda de la distribución de θ , o sea para valores inferiores a θ . Si hay que detectar diferencias mayores o menores de θ0, la hipótesis alternativa será H1: θ ≠ θ 0 es decir θ > θ0
o bien
θ < θ0
En este caso la probabilidad de error Tipo I α se repartirá entre las dos colas de la distribución muestral del estadístico, y se rechazará H 0 para valores de θ mayores que un valor crítico ( θ0 + C) o menor que ( θ0- C). Esta prueba se llama prueba estadística bilateral o de dos colas
37
Estadística Inferencial 3.3.3. Casos particulares de pruebas de hipótesis 1) Caso 1: Prueba de hipótesis para la media de una población
Sea una población con media µ y desviación estándar σ, y se tiene interés de ver si la media poblacional es un dado valor µ0. Se toma una muestra aleatoria de tamaño n de esta población. Por lo que el procedimiento a seguir será: a) Hipótesis nula H0: µ = µ0 b) Estimador puntual de la media poblacional x . Por el teorema del límite central, el cual, en esencia, establece que bajo ciertas condiciones, cualquiera la distribución de X, la variable aleatoria X tiene una distribución aproximadamente normal con media µ y desviación estándar
ο n
para el tamaño de muestra grande.
c) Hipótesis alternativa Prueba de una cola
Prueba de dos colas
H1: µ > µ0 (o bien µ < µ0)
H1: µ ≠ µ 0
d) Si la población tiene una distribución normal, o estamos trabajando con un tamaño de muestra grande (mayor a 30), y la desviación estándar es conocida, entonces el estadístico del test será z =
x − µ 0
σ x
=
x − µ 0 , σ n
(11)
Este estadístico tiene distribución normal con media 0 y desviación estándar 1, bajo la hipótesis nula. e) Si la población es normal y no se conoce la desviación estándar, se utiliza su estimación puntual s, en cuyo caso el estadístico del test tiene la forma t =
x − µ 0 s n
38
(12)
Estadística Inferencial que tiene una distribución tα,(n-1) con (n-1) grados de libertad, bajo la hipótesis nula. f) Región de rechazo Prueba de una cola
Prueba de dos colas
En el caso del apartado d)
En el caso del apartado d)
z > zα (o bien z <- zα)
z > zα 2 o z < − zα 2
En el caso del apartado e)
En el caso del apartado e)
t > tα,(n-1) (o bien t <- t α,(n1))
t > t α
o t < −t α
2
2
, ( n −1)
,( n −1)
Ejemplo 9: La producción diaria en una planta industrial química registrada durante n = 50 días, tiene una media muestral x = 871 toneladas. Se quiere probar la hipótesis de que el promedio de la producción diaria del producto químico es µ = 880 toneladas por día, contra la alternativa de que la media es distinta de 880 toneladas diarias. Supongamos que se conoce que la desviación estándar de la población es σ = 21 toneladas diarias.
La hipótesis nula es H0: µ=880 toneladas Contra la alternativa H1: µ ≠ 880 toneladas La estimación puntual para la media poblacional es x , por lo tanto , el estadístico del test está dado por la expresión (11) z =
x − µ 0 871 − 880 = = −3.03 σ 21 50 n
Para un α = 0,05, la región de rechazo es z > 1,96 o z < -1,96.
39
Estadística Inferencial Observación:
1. Si el estadístico del test es Z como el definido en (1) y donde µ = µ0, entonces, si Z es menor que –1,96, entonces decimos que se rechaza la hipótesis nula al nivel del 5%. 2. El intervalo de confianza de 100(1-α)% del parámetro θ (parámetro poblacional de interés), está relacionado con una prueba de hipótesis estadística, de dos colas, del parámetro poblacional, con nivel α. En el ejemplo, el intervalo x ± 1,96
σ n
≅ 871 ± 5,82 es de tal manera que en un
muestreo repetitivo, el 100(1-α)% = 95% de los intervalos contendrán al verdadero valor de la media poblacional. Como el valor 880 no cae dentro de este intervalo, entonces nos inclinamos a rechazar la hipótesis de que µ = 880. Actividad 3:
Un vendedor de coches nuevos calcula que su compañía tiene un 4,8% de ganancias promedio en la venta de los autos nuevos asignados. El gerente de venta aprobó los precios para producir ese porcentaje de ganancias. El dueño de la compañía quiere estar razonablemente seguro de que la decisión es correcta, para ello se toma una muestra aleatoria de 30 coches en la cual se obtiene una media y una desviación estándar del porcentaje de ganancia de 4,5% y 3,9% respectivamente. a)
Examine los datos y utilizando solamente la intuición ¿Cree que ellos apoyan la hipótesis del gerente de venta?
b)
Para realizar un test de hipótesis estadística en este caso usaría el estadístico t o z. Explique su respuesta.
c)
Usando el procedimiento de un test de hipótesis para la ganancia media, ¿aportan los datos evidencia suficiente que indique que la política del gerente de ventas al aprobar los precios genera una ganancia media de 4,8% por coche al nivel del 5%?. (Sugerencia: use uno de estos valores para el estadístico seleccionado Z(0.025) = 1.96 y t 0.025,(30−1) = 2.045 )
d)
El dueño de la compañía quiere estar razonablemente seguro de que la decisión es correcta y para lograrlo, él quiere contrastar la hipótesis nula con α = 0,01.
40
Estadística Inferencial (Sugerencia: use uno de estos valores para el estadístico seleccionado Z(0.005) = 2.58 y t 0.005,(30−1) = 2.7564 ) e)
Obtenga la región de rechazo para la prueba del apartado c)
2) Caso 2: Test de hipótesis para la diferencia de las medias de dos poblaciones.
Supongamos tener dos poblaciones con medias µ1 y µ2 y con desviaciones estándares σ1 y σ2 respectivamente. Se quiere realizar un test de hipótesis para la diferencia ( µ1 µ2) basado en muestras independientes de tamaño n1 y n2 observaciones. Por lo que el procedimiento a seguir sería a) Hipótesis nula H0: (µ1- µ2) = D0, donde D0 es alguna diferencia especificada que se quiere probar. En muchos casos se deseará probar la hipótesis de que no hay diferencias entre las medias de las poblaciones, en cuyo caso D0 será 0 (cero). b) Estimador puntual de la diferencia de las medias poblacionales ( x1 − x 2 ) c) Hipótesis alternativa Test de una cola
H1: (µ1-µ2) > D0 (o H0: (µ1-µ2) < D0)
Test de dos colas
H1: ( µ 1 − µ 2 ) ≠ D0
d) Si las poblaciones tienen distribución normal, o estamos trabajando con tamaños de muestra grande (mayor a 30), y las desviaciones estándares de las dos poblaciones son: 1.
Conocidos y diferentes, entonces el estadístico del test será
41
Estadística Inferencial z =
( x1 − x 2 ) − D0 σ ( x1 − x 2 )
=
( x1 − x 2 ) − D0 σ 12 n1
+
σ 22
,
(13)
n2
donde z tiene una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1, bajo la hipótesis nula. 2.
Conocidas e iguales, entonces el estadístico del test será z =
( x1 − x2 ) − D 0 σ
1 n1
+
1
(14)
n2
donde z tiene una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1, bajo la hipótesis nula. 3.
En el caso de que las desviaciones poblacionales sean desconocidos e iguales entonces se utiliza el estimador s p2 =
(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 2
(15)
Entonces, el estadístico del test toma la forma t =
( x1 − x2 ) − D0 s p
1 n1
+
1 n2
que tiene una distribución t con (n1+n2-2) grados de libertad, bajo la hipótesis nula.
Observación: 1. En la situación en que no se puede o no se desea hacer la suposición de que las dos poblaciones con varianzas iguales tengan distribución normal, la prueba t de varianzas iguales es robusta (es decir, no sensible) con respecto a las violaciones moderadas de la suposición de normalidad, siempre y cuando el tamaño de muestra sea grande. En tal situación, el test t de varianza conjunta puede utilizarse sin que se vea seriamente afectado en su potencia. Por otro
42
(16)
Estadística Inferencial lado, si el tamaño de muestra es pequeño y no se puede o no se desea hacer la suposición de normalidad de las poblaciones, se tiene dos alternativas: (a) llevar a cabo alguna transformación normalizante de los datos, por ejemplo tomar el logaritmo de los datos, y luego aplicar el test t a los datos transformados; (b) o bien aplicar a los datos originales un test de distribución libre o test no paramétrico como por ejemplo el test de rangos de Wilcoxon. 4.
t ′ =
( x1 − x 2 ) − D0 2 s1
n1
+
2 s2
En el caso en que no se pueda o no se desee hacer la suposición de que las poblaciones, normalmente distribuidas, tienen varianzas iguales y si las desviaciones estándares son desconocidos, entonces el estadístico del test tiene la forma ,
(17)
n2
donde t´ tiene una distribución t con ( ν) grados de libertad bajo la hipótesis nula, y ν está dado por ν =
(s12
2
n1 + s2 n2
(s12 n1 )2 + (s22 n1 − 1
)2
n2
)2
(18)
n2 − 1
43
Estadística Inferencial d) Región de rechazo Prueba de una cola
Prueba de dos colas
Para los casos 1 y 2
Para los casos 1 y 2
z > zα (o bien z <- zα)
z > zα 2 o z < − zα 2
Para el caso 3
Para el caso 3
t > tα (o bien t <- t α).
t > t α 2 o t < −t α 2
Para el caso 4
Para el caso 4
t´ > tα (o bien t´ <- t α).
t ′ > t α 2 o t ′ < −t α 2
Observaciones: 1. El uso del estadístico t y t´ requiere que las muestras sean independientes y tengan distribución normal 2. El uso del estadístico t´ requiere que las poblaciones tengan distribución normal. 3. Un intervalo de confianza del 100(1-α)% para ( µ 1 − µ 2 ) en el caso 1 está dado por IC 95%
σ 12 σ 22 = ( x 1 − x 2 ) ± zα 2 + n1 n2
(19)
4. Un intervalo de confianza del 100(1-α)% para ( µ 1 − µ 2 ) en el caso 3 está dado por
1 n n 1 2 con los respectivos grados de libertad para t
IC 95% = ( x 1 − x 2 ) ± t α 2 s p
44
1
+
(20)
Estadística Inferencial
5. Un intervalo de confianza del 100(1-α)% para ( µ 1 − µ 2 ) en el caso 4 está dado por
s1
n1
IC 95% = ( x 1 − x 2 ) ± t α ′ 2
+
s2
(21)
n2
con los respectivos grados de libertad para t´.
6. De las últimas observaciones se puede inferir, sin mayores dificultades, que un IC con una confianza del (1 - α)100% es equivalente a un test de hipótesis de nivel α. De tal manera que si el IC no contiene al valor del parámetro indicado en la hipótesis nula, entonces se puede rechazar dicha hipótesis. 7. Si se quiere evaluar las diferencias entre los parámetros de más de dos grupos, por ejemplo la durabilidad de distintos tipos de cubiertas, no es correcto realizar tales evaluaciones usando el test de diferencias de medias tomando los diferentes pares de medias por razones cuya explicación formal está fuera del alcance del curso. Para solucionar este problema si las mediciones resultantes son continuas y se cumplen las siguientes suposiciones: i) los datos son obtenidos de manera aleatoria e independiente o que los individuos sean asignados a los grupos aleatoriamente, ii) los valores de cada grupo están distribuidos normalmente, iii) la varianza dentro de cada población debería ser igual para todas las poblaciones, existe una metodología conocida como análisis de varianza (ANOVA) para comparar la medias de los grupos y cuya hipótesis nula es H0 : µ1 = µ2 = …= µk. Por otra parte, si los supuestos ii) o iii) no se cumplen existen metodologías que permiten todavía llevar cabo las comparaciones deseadas. Ejemplo 10: Una compañía desea comparar las expectativas salariales anuales de su personal de ventas femenino y masculino, según un nuevo plan de compensaciones sobre ventas, mas comisión. Se seleccionó al azar muestras de tamaño 40, una del personal masculino y otra del personal de ventas femenino y se les pidió que dijeran sus ingresos anuales bajo el nuevo plan. Las medias muestrales y las desviaciones muestrales resultaron en
45
Estadística Inferencial x 1 = $31083
x 2 = $29745
s1 = $2312
s 2 = $2569
La pregunta que surge es, ¿proporcionan los datos evidencia que indique una diferencia en el promedio de ingreso anual esperado tanto entre los vendedores como las vendedoras?. Ya que se espera una diferencia en el promedio del ingreso anual entre las vendedoras y los vendedores, es decir, µ1 < µ2 o bien µ1 > µ2, la hipótesis nula para el test será H0: µ1 = µ2 es decir H0: µ1 -µ2 = D0 = 0 contra la alternativa H 1 : µ 1 ≠ µ 2
es decir H 1 : ( µ 1 − µ 2 ) ≠ 0
Si se supone que las poblaciones de los ingresos son normales con diferentes desviaciones estándares y puesto que ellos son desconocidos, se los estima con s1 y s2. Luego, el estadístico del test está dado por (17), es decir, t =
( x1 − x 2 ) − 0 = (31083 − 29745 ) − 0 s12 n1
+
s 22
(2312 )
n2
40
2
+
(2569 )
2
= 2,45
40
Al utilizar una prueba de dos colas con α = 0,05, se considerará α/2 = 0,025 en cada cola de la distribución del estadístico y se rechaza H0 si el valor encontrado es mayor que t α 2( n1 + n2 − 2 ) = 1.99 o menor que - t α 2( n1 + n2 − 2) = − 1.99 . Puesto que, el valor observado t = 2,45 es mayor que 1,99, el estadístico de la prueba cae en la zona de rechazo. Por lo tanto se rechaza H0 y se concluye que hay evidencia suficiente para asegurar que en las expectativas salariales anuales para los vendedores es mayor que para las vendedoras . Actividad 4:
1. Para comparar las aptitudes para seleccionar acciones por parte de dos AFJP, se comparan las ganancias anuales (menos los honorarios) para una inversión de $1000 (dólares) en cada una de las 30 acciones que se encuentran en las listas de las “más recomendadas” de ambas empresas. Las medias y las desviaciones estándares (en dólares) para cada una de las muestras, se indican en la tabla siguiente
46
