16. Resuelva el problema 15 para los mismos dos capacitores en paralelo. 5 −6 (a) C eq=( 6.0 + 4.0 ) x 10 =1 x 10 F
−6 −3 (b) q1 =C 1 V =( 6.0 x 10 ) (200 )=1.2 x 10 C
q 2=C 2 V =( 4.0 x 10
−6
) ( 200 )= 8 x 10−
4
C
(c ) V=200 , como los capacitores están conectados en paralelo, el voltaje es el mismo en los dos capacitores. 17. (a) Tres Tres capacitores están conectados en paralelo. Cada uno tiene un área de placa A y en espaciamiento e spaciamiento entre placas d. ¿Cuál debe ser el espaciamiento de un solo capacitor de área de placa A si su capacitancia es iual a la de la combinaci!n en paralelo" (b) ¿Cuál debe ser el espaciamiento e spaciamiento cuando los tres capacitores están conectados en serie" C eq=3 C =
(a)
3 ε 0 A
d
=
1
(b)
3d
=
d
'
d
'
d=
3
C eq
ε 0 A
ε 0 A
3 ε 0 A
= =
d
'
ε 0 A '
d
d 3
3d
C ε 0 A
ε 0 A
, C eq=
C eq=
ε 0 A 3d
, C eq =
ε 0 A d
'
'
d =3 d
1#. $n la %ura &7 se muestra un capacitor variable de aire del tipo empleado para sintoni'ar aparatos de radio. $stán conectadas entre s placas alternadas un rupo %*o en posici!n y el otro rupo con posibilidad de rotaci!n. Considere un rupo de n placas de polaridad alterna cada una de ellas con un área A y separadas de las placas contiuas por una distancia d. +emuestre ,ue este capacitor tiene (n −1) ε 0 A C = . una capacitancia má-ima de d C =
ε 0 A entonces : d
Hay n número de placas con polaridad alterna por lo
tanto signifca !e "ay (n#$) capacitores.
C eq= ( n −1 ) C =
( n−1 ) ε A 0
d
1. $n la %ura &/ sup!nase ,ue el capacitor
C 3 se per0ora
elctricamente resultando e,uivalente a una trayectoria conductora. ¿2u cambios ocurren en (a) la cara y (b) la di0erencia de potencial en el capacitor C 1 " 3upona ,ue 4 1154.
(a)
q =C 123 V =( 3.10 x 10
−6
) ( 115 )=3.56 x 10−
4
C
Voltaje de C 12 % −4
q 3.56 x 10 V 12= = =23.6 V C 12 15.1 x 10−6
&arga en C % 1
q1 =C 1 V 12=( 10.3 x 10
−6
q 1=C 1 V =( 10.3 x 10 '
−6
) ( 23.6 )= 2.43 x 10−
) ( 115 )=1.18 x 10−
3
4
C
C
' 'sta carga de C 1 incrementa = q 1 > q 1
(b) 'l potencial en C tambin incrementa V 1
V 12
&. 3e tienen varios capacitores de &. μF cada uno capa' de soportar & 4 sin per0orarse. ¿C!mo armara usted una combinaci!n ,ue tena una capacitancia e,uivalente de (a) ./ μF o de (b) 1.& μF siendo cada combinaci!n capa' de soportar 1 4"
(a) 'l capacitor e!ivalente es menor !e la capacitancia individ!al de cada capacitor, as* !e se tiene !e elegir !na combinaci+n en serie, cada capacitor soporta 200 V, asi !e para !n total de $000V se necesitan capacitores ($000-200 = ).
1
C eq
5
C
−6 2.0 x 10
C
5
5
= C eq= =
= 4.0 x 10− F = 0.40 μF
(b) ara C eq=1.2 μF C eq=C C =5 ( 1.2 μF ) =6 μF
7
/
&ada arreglo en "oriontal es ig!al al inciso a, por lo tanto la capacitancia en cada arreglo es ig!al a 0.40 μF C eq=3 ( 0.40 ) =1.2 μF
&1. a %ura &# muestra dos capacitores en serie siendo la secci!n rida central de lonitud b m!vil verticalmente. +emuestre ,ue la capacitancia e,uivalente de la combinaci!n en serie es independiente ε 0 A de la posici!n de la secci!n central y está dada por C = a−b .
1
C eq
=
C eq=
1
+
1
C 1 C 2 ε 0 A
d1 +d2
=
=
d1 ε 0 A
+
d2 ε 0 A
ε 0 A
( a−b − d ) + d 2
=
ε 0 A
2
a −b
&&. 8n capacitor de 1# ρF se cara a una di0erencia de potencial de 5&./ 4 y lueo la batera de cara se desconecta. $n seuida el capacitor se conecta en paralelo con el seundo capacitor inicialmente descarado. a di0erencia de potencial es entonces de 95.# 4. $ncuentre la capacitancia del seundo capacitor. q1 =C 1 V =( 108 x 10
−12
q 1=C 1 V = ( 108 x 10 '
) ( 52.4 ) =5.66 x 10−
− 12
'
9
) ( 35.8 ) =3.87 x 10−
9
−9
'
q 2=q1 −q1 =1.79 x 10 C C 2 =
q2
−9 1.79 x 10
V
35.8
= '
C
=5 x 10− F =50 pF 11
C
&9. $n la %ura & los capacitores
C 1 1.16 μF y
C 2 9.&&
μF están cada uno de ellos carados a un potencial de 4 6.6 4
pero con la polaridad opuesta de modo ,ue los puntos a y c están en el lado de las placas neativas respectivas de C 1 y C 2 y los puntos b y d están en el lado de las placas neativas respectivas. A:ora los interruptores S 1 y S 2 se cierran. (a) ¿Cuál es la di0erencia de potencial entre los puntos e y 0" (b) ¿Cuál es la cara en C 1 " (c) ¿Cuál es la cara en C 2 "
q1 =C 1 V =( 1.16 x 10
) ( 96.6 )=1.12 x 10−
q 2=C 2 V =( 3.22 x 10
) ( 96.6 )=3.11 x 10−
−6
−6
4
C
4
C
(a) &!ando los s1itc" están cerrados,
C 1 esta completamente
descargado por lo tanto C 2 % −4
q =q 2−q1= 1.99 x 10 C '
'
'
'
q =q 1+ q2=C 1 V + C 2 V q =V ( C 1 + C 2 ) V = '
'
q C 1 +C 2
=
−4
1.99 x 10
( 1.16 + 3.22) x 10−
6
= 45.4 V
' ' −6 −5 (b) q1 =C 1 V =( 1.16 x 10 ) ( 45.4 )=5.27 x 10 C
−6 −4 ' ' (c) q 2=C 2 V =( 3.22 x 10 ) ( 45.4 )=1.46 x 10 C
&/. Cuando el interruptor 3 se mueve :acia la derec:a (;i. 9) las placas del capacitor C 1 ad,uieren una di0erencia de potencial de V 0 .
C 1 <
C 2 están descarados inicialmente. A:ora el
interruptor se mueve :acia la i',uierda. ¿Cuáles son las caras %nales q1 q 2 y q3 de los capacitores correspondientes"
q 0=C 1 V 0 C 23=
C 2 C 3 C 2+ C 3
'l potencial a travs de carga%
C 1 y
C 23 es la misma, V or concentraci+n de la
q 0=q 1+ q23 ( q 23=q2= q3 ) C 1 V 0=C 1 V + C 23 V C 1 V 0=V ( C 1 + C 23)
V =
C 1 V 0 C 1 + C 23
=C V 1
2
q1 =C 1 V =C 1 V 0
[
0
[
C 2 + C 3 C 1 C 2+ C 1 C 3 + C 2 C 3 C 2 + C 3
C 1 C 2 + C 1 C 3+ C 2 C 3
q 2=q0 −q1
2
¿ C V −C V 1
0
1
0
[
C 2 + C 3 C 1 C 2 + C 1 C 3+ C 2 C 3
]
]
]
¿
C 1 C 2 C 3 V 0 C 1 C 2 + C 1 C 3 + C 2 C 3
&5. a %ura 91 muestra dos capacitores idnticos de capacitancia C en un circuito de dos diodos (ideales) +. 8na batera de 1 4 se conecta a las terminales de entrada (a) primero a la terminal a positiva y (b) más tarde a la terminal b positiva. $n cada caso ¿Cuál es la di0erencia de potencial entre las terminales de salida" ($l diodo ideal tiene la propiedad de ,ue la cara positiva =uye por el solo en la direcci!n de la =ec:a y la cara neativa =uye por el solo en la direcci!n opuesta.)
(a) &!ando la terminal a es positiva. 2
C C C eq= = 2 C 2 q =C eq V =100 C eq =50 C V 0=
q 50 C = =50 V C C
(b) &!ando la terminal b es positiva. 'l res!ltado neto es !e las dos terminales del capacitor están con el mismo voltaje por lo tanto el potencial es cero ( b ) =0 &6. 8n capacitor tiene placas cuadradas cada una de lado a 0ormando un ánulo θ entre si como se muestra en la %ura 9&. +emuestre ,ue para
θ pe,ue>o la capacitancia está dada por 2
ε0 a C = d
(
1−
)
aθ . 2d
l= d + s sin θ dC =
ε 0 ads l a
C =ε 0 a
∫ 0
=
ε 0 ads d + s sin θ
=
ε 0 ads d + sθ
[
ds =ε 0 a 1 ln ( d + sθ ) d + sθ s
]
a
0
2 3sando% ln ($45)= 5 # x -24 x
[
ε 0 a aθ a 2 θ2 C = − 2 θ d 2d
= 3
ε 0a θ
ln
(
d + aθ d
)
=
ε0 a θ
( )
ln 1 +
aθ d
-6 # 7.
] ( ) =
ε 0a d
2
1
−
aθ 2d
&7. $n la %ura 99 la batera suministra 1& 4. (a) ?alle la cara sobre cada capacitor cuando el interruptor S 1 se cierra y (b) cuando (más
tarde) el interruptor μF
S 2 tambin se cierra. Considere
C 2 &. μF
(a) &!ando el s1itc" S C 13=
C 1 C 3 C 1+ C 3
, C 24=
está cerrado.
1
C 2 + C 4 C 1 C 3 V C 1 + C 3
q 2=q 4=q 24=C 24 V =
( 1.0 x 3.0 x 10− ) 12 12
=
C 2 C 4 V C 2 + C 4
4.0 x 10
−6
C eq=
=
−6 6.0 x 10
C 12 + C 34
( 3.0)( 1.0 ) x 10−
12
=
10.0 x 10
−6
q =q 12= q34=C eq V =( 2.1 x 10
−6
V 12=
V 34=
q 12 C 12 q 34 C 34
−5
=
=
2.52 x 10
=8.4 V
−6
3.0 x 10
−5 2.52 x 10 −6 7 .0 x 10
6
12
'stá cerrado%
2
=9 x 10− C
(2 .0 x 4 .0 x 10− ) 12
C 12=C 1 + C 2 , C 34=C 3 + C 4 C 12 C 34
C 4 /. μF .
C 2 C 4
q1 =q3 =q13=C 13 V =
(b) &!ando S
C 3 9. μF y
= 3.6 V
=2.1 x 10− F 6
) ( 12 )=2.52 x 10−
5
C
C 1 1.
=1.6 x 10− C 5
q1 =C 1 V 12=( 1.0 x 10
−6
)∗8.4 =8.4 μC
q 2=C 2 V 12=( 2 .0 x 10
)∗8.4 =16.8 μC
q3 =C 3 V 34=( 3 .0 x 10
)∗3.6 =10.8 μC
−6
−6
q 4=C 4 V 34=( 4 .0 x 10
−6
)∗3.6 =14.4 μC
&#. ?alle la capacitancia e,uivalente entre los puntos @- y @y y en la %ura 9/. 3upona ,ue C 2 1 μF y ,ue en los otros capacitores son todos de /. μF .
C 1 =C 4 =C 3=C 5 ∆ V 2= 0 ∆ V 1=∆ V 4= ∆V 3 =∆ V 5=V / 2 C 14 =C 1 + C 4= 8.0 μF ,C 35=C 3+ C 5= 8.0 μF 2
C 14 C 35 C C C eq= = 14 = 14 = 4.0 μF C 14 + C 35 2 C 14 2
&. ¿Cuánta enera :ay almacenada en &.
m
3
de aire debido al
campo elctrico Bde buen tiempo de 15 4Dm de intensidad" 1
2
U =u V d = ε 0 E V d = 2
1
( 8.85 x 10− ) (150 ) ( 2.0 ) =1.99 x 10−
2
12
2
7
9. os intentos de construir un reactor de 0usi!n termonuclear controlada ,ue de ser un :ec:o abastecera al mundo con un ran suministro de enera partiendo del :idroeno pesado del aua de mar re,uieren por lo eneral de enormes corrientes elctricas
durante periodos breves en los devanados del campo mantico. Eor e*emplo el FTG/ de los Alamos Hational aboratory tiene salas repletas de capacitores. 8no de los bancos de capacitores proporciona 61. mF a 1. I4. Calcule la enera almacenada (a) en Joules y (b) en
!" ∗# . 1
1
2
2 3 −3 (a) U = 2 C V = 2 ( 61.00 x 10 ) ( 10.0 x 10 ) =3.05 $
(b)
6
U =3.05 x 10 =
3.05 x 10 10
3
6
!" ∗1 3600
# % = 0.847 !" # %
