INVESTIGACION DE OPERACIONES 1
15 PROBLEMAS TIPO SOBRE FORMULACION CON PROPUESTAS DE SOLUCIÓN Problema 1 2 3 4 5 6 ! " 1# 11 12 13 14 15 Sol$%&'( 1 2 3 4 5 6 ! " 1# 11 12 13 14 15
1. Una empresa fabrica dos tipos de juguetes de madera : soldados y trenes. Se vende un soldado a 27 dólares y se usan 10 dólares de materia prima. Cada soldado ue se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 1! dólares. Se vende un tren a 21 dólares y se usan " dólares de materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 10 dólares. #a producción de soldados y trenes de madera necesita dos tipos de trabajo especiali$ especiali$ado ado : carpinter%a carpinter%a y acabado. Un soldado reuiere 2 &oras de acabado y 1 &ora de carpinter%a. Un tren reuiere 1 &ora de acabado y 1 de carpinter%a. Cada semana' la empresa puede conseguir toda la materia prima ue necesita' pero solamente dispone de 100 &oras de acabado y (0 de carpinter%a. #a demanda de los trenes no tiene l%mite' pero se venden a lo m)s !0 soldados semanalmente. *ormule un modelo de programación lineal ue ma+imice la ganancia semanal de la empresa.
2. ,l granjero -ones tiene ue determinar cuantos acres de ma%$ y de trigo &ay ue sembrar este ao. Un acre de trigo produce 2/ bus&el de trigo y reuiere 10 &oras semanales de trabajo. Un acre de ma%$ produce 10 bus&el de ma%$ y reuiere ! &oras semanales de trabajo. Se puede vender todo el trigo a ! dólares el bus&el y todo el ma%$ a dólares el bus&el. Se dispone de 7 acres y de !0 &oras semanales de trabajo. isposiciones gubernamentales especifican una producción de ma%$ de por lo menos 0 bus&el durante el ao en curso. *ormule un modelo de programación lineal ue ma+imice la utilidad del granjero.
3. #a empresa ruc3o fabrica 2 tipos de camiones : 1 y 2. Cada camión tiene ue pasar por un taller de pintura y 1 taller de montaje. Si el taller de pintura tuviera ue dedicarse %ntegramente a la pintura de camiones tipo 1' se podr%an pintar (00 camiones al d%a' mientras ue si se dedicara enteramente a pintar camiones de tipo 2' se podr%an pintar 700 camiones al d%a. Si el taller de montaje se dedicara e+clusivamente al ensamble de motores para camiones de tipo 1' se podr%an ensamblar 1/00 motores diariamente' y si se dedica dedicara ra 4nicam 4nicament ente e a ensamb ensamblar lar camion camiones es del tipo tipo 2' se podr%a podr%an n ensamb ensamblar lar 1200 1200 motores diariamente. Cada camión del tipo 1 aporta 00 dólares a la ganancia y cada camión del tipo 2 : /00 dólares. ingresos altos.
4. orian 5uto fabrica autos de lujo y camiones. #a compa%a opina ue sus clientes mas probables son mujeres y &ombres de ingresos altos. 6ara llegar a estos grupos' orian 5uto lan$o una campaa ambiciosa de publicidad por televisión y decidió comprar comerciales de 1 minuto en 2 tipos de programas : series cómicas y juegos de f4tbol. 7 millones de mujeres de ingresos altos y 2 millones de &ombres de ingresos altos ven cada comercial en series cómicas. 2 millones de mujeres de ingresos altos y 12 millones de &ombres de ingresos altos ven cada comercial en los juegos de f4tbol. Un comercial de 1 minuto minuto en una serie cómica cómica cuesta /0'000' /0'000' y un comercial comercial de 1 minuto minuto en un juego de f4tbol cuesta 100'000. orian uisiera ue por lo menos 2( millones de mujeres de ingresos altos y 2! millones de &ombres de ingresos altos vieran los comerciales. Utilice la prog progra rama maci ción ón line lineal al para para dete determ rmin inar ar como como ori orian an 5uto 5uto pued puede e alca alcan$ n$ar ar sus sus reuerimientos publicitarios a un costo m%nimo.
INVESTIGACION DE OPERACIONES 1
5. 8i alimentación reuiere ue todo lo ue coma pertene$ca a uno de los ! 9grupos b)sicos de alimentos ;pastel de c&ocolate ' &elado' refrescos y pastel de ueso<. 5ctualmente ' se dispone de los siguientes alimentos para el consumo: bi$coc&o de c&ocolate y nueces' &elado de c&ocolate ' cola y pastel de ueso con pia. Cada bi$coc&o cuesta 0./0 ' cada bola de &elado de c&ocolate' 0.20 = cada botella de refresco de cola ' 0.0 = y cada pie$a de pastel de ueso con pia ' 0.(0 . Cada d%a tengo ue ingerir por lo menos /00 calor%as ' > on$as de c&ocolate' 10 on$as de a$4car y ( on$as de grasa. ,l contenido nutritivo por unidad de cada elemento se muestra en la siguiente tabla:
6. U.S #abs produce v)lvulas mec)nicas para el cora$ón a partir de v)lvulas de cerdo. ?peraciones diferentes del cora$ón necesitan v)lvulas de distintos tamaos. U.S #abs compra v)lvulas de puercos de tres proveedores diferentes . #os costos y la me$cla de tamaos de v)lvulas compradas a cada proveedor se muestran en la siguiente tabla.
Cada mes U.S #abs &ace un pedido a cada proveedor. @ay ue compara por lo menos /00 v)lvulas grandes ' 00 medianas y 00 peueas al mes . ebido a la disponibilidad limitada de v)lvulas de puercos ' solamente se pueden comprar mensualmente /00 v)lvulas de cada proveedor. *ormule un modelo de programación lineal para el caso ue minimice el costo de aduisición.
7. Aoldiloc3s tiene ue obtener por lo menos 12 libras de oro y por lo menos 1( libras de plata para pagar la renta mensual . ,+iste dos minas en las cuales Aoldiloc3s puede encontrar oro y plata . Cada d%a ue Alodiloc3s esta en la mina 1 ' encuentra dos libras de oro y dos libras de plata. Cada d%a ue esta en la mina 2 encuentra 1 libra de oro y libras de plata . *ormule un modelo de programación lineal para ayudar a Aoldiloc3s a satisfacer sus reuerimientos' minimi$ando el tiempo ue tiene ue estar en las minas.
8. Una oficina de correos necesita un n4mero diferente de empleados de tiempo completo' para diferentes d%as de la semana. ,l n4mero de empleados de tiempo completo reueridos para cada d%a se presenta la siguiente tabla.
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#as reglas sindicales sealan ue cada empleado de tiempo completo tiene ue trabajar durante / d%as consecutivos y despuBs descansar 2 d%as . #a oficina de correos uiere cumplir con sus reuisitos diarios y utili$ar solamente empleados de tiempo completo. *ormule un modelo de programación lineal ue pueda utili$ar la oficina de correos para minimi$ar el numero de empleados de tiempo completo ue debe contratar.
9. urante cada periodo del d%a de > &oras' el departamento de 6olic%a de loomington necesita por lo menos el n4mero de polic%as' mostrado en la siguiente tabla :
Se pueden contratar a los polic%as para ue trabajen 12 &oras seguidas o 1( &oras seguidas. Se pagan a los polic%as ! la &ora por cada una de las primeras 12 &oras del d%a ue trabajan y > la &ora por cada una de las siguientes > &oras. *ormule un modelo de programación lineal para minimi$ar los costos.
10. Star?il Company considera diferentes oportunidades de inversión. ,n la siguiente tabla
Star?il dispone de !0 millones de dólares para invertir en el momento actual ; tiempo cero<= estima ue en 1 ao ;tiempo 1< dispondr) de 20 millones de dólares para invertir. Star?il puede comprar cualuier fracción de cualuier inversión. ,n este caso' las salidas de caja y los D5E se ajustan en forma correspondiente. *ormule un modelo de programación lineal para ue la compa%a ma+imice la inversión.
11. Sumco?il produce tipos de gasolina ;1'2 y <. Cada tipo de gasolina se produce me$clando tipos de petróleo crudo ;1'2 y <. #a siguiente tabla presenta los precios de venta por barril de las gasolinas y los precios de compra por barril del petróleo crudo.
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#os tipos de gasolina difieren en su %ndice de octano y en su contenido de a$ufre. #a me$cla de petróleo crudo ue se utili$a para obtener la gasolina 1 tienen ue tener un %ndice de octano promedio de por lo menos 10 y a lo mas 1F de a$ufre. #a me$cla de petróleo crudo ue se utili$a para obtener la gasolina 2 tiene ue tener un %ndice de octano promedio de por lo menos ( y a lo mas 2F de a$ufre. #a me$cla de petróleo crudo ue se utili$a para obtener la gasolina tienen ue tener un %ndice de octano promedio de por lo menos > y a lo mas 1F de a$ufre. ,l %ndice de octano y el contenido de a$ufre de los tipos de petróleo se dan en la siguiente tabla :
#a transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta ! y la refiner%a de Sumco puede producir diariamente &asta 1!'000 barriles de gasolina. #os clientes de Sumco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina : Aasolina 1= '000 barriles' Aasolina 2= 2'000 barriles Aasolina = 1'000 barriles. #a compa%a se siente comprometida a cumplir con estas demandas. *ormule un modelo de programación lineal ue le permita a la compa%a ma+imi$ar sus ganancias.
12. Ud. @a decidido entrar en los negocios de los dulces. ,st) considerando producir 2 tipos de dulces : 1 G 2' ue se componen solamente de a$4car' nueces y c&ocolate. 5ctualmente' tiene en bodega 100 on$as de a$4car ' 20 on$as de nueces y 0 on$as de c&ocolate. #a me$cla para producir 2 tiene ue contener por lo menos 20F de nueces. #a me$cla para producir 1 tiene ue contener por lo menos 10F de nueces y por lo menos 10F de c&ocolate. Cada on$a 2 se vende a 0.2/' y una on$a de 1 a 0.20. *ormule un modelo de programación lineal ue le permita ma+imi$ar sus ingresos.
13. ?.- -uice Company vende bolsas con naranjas y cajas de cartón con jugo de naranja. ,st) empresa clasifica las naranjas ;desde 1 deficiente &asta 10 e+celente<. 5ctualmente' la empresa tiene 1H000'000 libras de naranjas de clase " y 1200000 libras de naranjas de clase >. #a calidad media de las naranjas ue se venden en bolsas' tiene ue ser por lo menos 7' y la calidad media de las naranjas ue se usan para producir jugo' tiene ue ser por lo menos (. Cada libra de naranja ue se usan para producir jugo proporciona un ingreso de 1./0 y produce un costo variable de 1.0/. Cada libra de naranjas vendidas en bolsas proporciona un ingreso de 0./0 y produce un costo variable de 0.20. *ormule un modelo de programación lineal ue le permita ma+imi$ar sus ganancias.
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14. Un anco trata de determinar en ue invertir sus activos en el ao en curso. 5ctualmente dispone de /00'000 para invertir en bonos' prBstamos &ipotecarios' prestamos para compra de autos y prestamos personales. #a tasa de rendimiento anual de cada inversión resulta ser : 10F para bonos' 1>F para prBstamos &ipotecarios' 1F para prestamos para compra de autos y 20 F para prestamos personales. 6ara asegurar la cartera del banco no es demasiado arriesgada' el gerente de Inversiones del anco &a puesto las siguientes restricciones : ;1< #a cantidad invertida en prBstamos personales no puede ser mayor ue la cantidad Invertida en bonos. ;2< #a cantidad invertida en prBstamos &ipotecarios no puede ser mayor ue la cantidad invertida en prestamos para autos. ;< Eo puede invertirse m)s del 2/ F de la cantidad total invertida en prestamos personales. ,l objetivo del anco es ma+imi$ar el rendimiento anual de su cartera de inversiones. *ormule un modelo de programación lineal para tal efecto.
15. ullco me$cla silicio y nitrógeno para producir dos tipos de fertili$antes. ,l fertili$ante 1 tiene ue contener por lo menos !0F de nitrógeno y se vende a 70 por libra. . ,l fertili$ante 2 tiene ue contener por lo menos 70F de silicio y se vende a !0 por libra. ullco puede comprar &asta (0 libras de nitrógeno a 1/ por libra y &asta 100 libras de silicio a 10 la libra. *ormule un modelo de programación lineal ue ayude a ullco a ma+imi$ar sus ganancias suponiendo ue se puede vender todo el fertili$ante producido.
SOLUCIÓN: los siguientes problemas se solucionaron por el softJare #6. 1 Fá!"#$ %& '()(&*&+ *.?. 8a+imi$ar Aanancias Dariables: S: E4mero de soldados : E4mero de trenes *.?. 8a+ K ;27L10L1!
Pestricciones: 2S N QR 100 S N QR (0 S QR !0 S' R 0
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2. G!$,-&! ',&+
*.?. 8a+imi$ar Utilidad Dariables: 8: E4mero de acres de ma%$ : E4mero de acres de trigo *.?. 8a+ K ;10M
3 E/!&+$ T!(#
*.?. 8a+imi$ar Utilidad Dariables: 1: E4mero de camiones ipo 1 2: E4mero de camiones ipo 2 *.?. 8a+ ; 00M1 N /00M2 < Pestricciones: 1 T (00 N 2 T 700 QR 1 1 T 1/00 N 2 T 1200 QR 1 1' 2 R 0
4 D!"$, A(*+ *.?. 8inimi$ar Costos
Dariables: C: E4mero de minutos en cómicas -: E4mero de minutos en juegos *.?. 8in ; /0'000MC N 100'000M- <
Pestricciones: 2MC N 12M- QR 2! 7MC N 2M- QR 2( C' - R 0
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5 " $"/&,*$#",
*.?. 8inimi$ar Costos Dariables: : E4mero de bi$coc&os @: E4mero de &elados P: E4mero de refrescos 6: E4mero de pasteles *.?. 8in ; /0M N 20M@ N 0MP N (0M6 < Pestricciones: !00M N 200M@ N 1/0MP N /00M6 R /00 M N 2M@ N 0MP N 0M6 R > 2M N 2M@ N !MP N !M6 R 10 2M N !M@ N 1MP N /M6 R ( ' @' P' 6 R 0
6 U.S. L$+
*.?. 8inimi$ar Costos Dariables: 61: E4mero total de v)lvulas de 6roveedor E1 62: E4mero total de v)lvulas de 6roveedor E2 6: E4mero total de v)lvulas de 6roveedor E
*.?. 8in ; /M61 N !M62 N M6 < Pestricciones: 0.!M61 N 0.M62 N 0.2M6 R /00 0.!M61 N 0./M62 N 0.2M6 R 00 0.2M61 N 0./M62 N 0.>M6 R 00 61' 62' 6 QR /00 61' 62' 6 R 0
7 G%"#+
*.?. 8inimi$ar iempo Dariables: 1: iempo en mina 1 2: iempo en mina 2
*.?. 8in ; 1 N 2 < Pestricciones: 2M1 N 2 R 12 2M1 N M2 R 1( 1' 2 QR 0 1' 2 R 0
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8 O"#",$ %& #!!&+ *.?. 8inimi$ar E de empleados Dariables: #U: E4mero de empleados contratados ue inician labor el #unes 85: E4mero de empleados contratados ue inician labor el 8artes 8I: E4mero de empleados contratados ue inician labor el 8iBrcoles -U: E4mero de empleados contratados ue inician labor el -ueves DI: E4mero de empleados contratados ue inician labor el viernes S5: E4mero de empleados contratados ue inician labor el S)bado ?: E4mero de empleados contratados ue inician labor el omingo *.?. 8in ; #u N 8a N 8i N -u N Di N Sa N o < P,SPICCI?E,S: #u N -u N Di N Sa N o R 17 8a N Di N Sa N o N #u R 1 8i N Sa N o N #u N 8a R 1/ -u N o N #u N 8a N 8i R 1" Di N #u N 8a N 8i N -u R 1! Sa N 8a N 8i N -u N Di R 1> o N 8i N -u N Di N Sa R 11 #u' 8a' 8i' -u' Di' Sa' o R 0
9 D&$!*$/&,* %& P"#$ %& /",)*, *.?. 8inimi$ar Costos Dariables: 11: E4mero de polic%as de 12 &oras ue inician a las 12:00 p.m. 12: E4mero de polic%as de 1( &oras ue inician a las 12:00 p.m. 21: E4mero de polic%as de 12 &oras ue inician a las >:00 a.m. 22: E4mero de polic%as de 1( &oras ue inician a las >:00 a.m. 1: E4mero de polic%as de 12 &oras ue inician a las 12:00 m. 2: E4mero de polic%as de 1( &oras ue inician a las 12:00 m. !1: E4mero de polic%as de 12 &oras ue inician a las >:00 p.m. !2: E4mero de polic%as de 1( &oras ue inician a las >:00 p.m.
*.?. 8in K !( M ; 11 N 21 N 1 N !1 < N (! M ; 12 N 22 N 2 N !2< O Pestricciones: 11 N 12 N 2 N !1 N !2 R 12 21 N 22 N !2 N 11 N 12 R ( 1 N 2 N 12 N 21 N 22 R > !1 N !2 N 22 N 1 N 2 R 1/ 11' 12' 21' 22' 1' 2' !1' !2 R 0
INVESTIGACION DE OPERACIONES 1
10 S*$! O" C/$,
*.?. 8a+imi$ar D5E Dariables: 81: 8onto invertido en tiempo 0 en 6lan 1 82: 8onto invertido en tiempo 0 en 6lan 2 8: 8onto invertido en tiempo 0 en 6lan 8!: 8onto invertido en tiempo 0 en 6lan ! 8/: 8onto invertido en tiempo 0 en 6lan /
*.?. 8a+ ; 1T1!M81 N 1>T/M82 N 1>T/M8 N 1!T/M8! N "T2"M8/ < Pestricciones: 81 N 82 N 8 N 8! N 8/ QR !0 T11M81 N >T/M82 N /T/M8 N 1T/M8! N !T2"M8/ QR 20 81' 82' 8' 8!' 8/ QR !0 T11M81' >T/M82' /T/M8' 1T/M8!' !T2"M8/ QR 20 81' 82' 8' 8!' 8/ R 0
11 S(,# O"
*.?. 8a+imi$ar Aanancias Dariables: Cij: Crudo tipo " en gasolina tipo *.?. 8a+ K 70M;C11 N C21 N C1 < N >0M; C12 N C22 N C2 < N /0M; C1 N C2 N C< L !/M;C11 N C12 N C1 < V /M; C21 N C22 N C2 < V 2/M; C1 N C2 N C< V !M; C11 N C12 N C1 N C21 N C22 N C2 N C1 N C2 N C < O
Pestricciones: C11 N C12 N C1 N C21 N C22 N C2 N C1 N C2 N C QR 1!'000 C11 N C21 N C1 R '000 C12 N C22 N C2 R 2'000 C1 N C2 N C R 1'000 12MC11 N >MC21 N (MC1 R 10 C11 N C21 N C1 12MC12 N >MC22 N (MC2 R ( C12 N C22 N C1 12MC1 N >MC2 N (MC R > C1 N C2 N C 0./MC11 N 2.0MC21 N .0MC1 QR 1 C11 N C21 N C1 0./MC12 N 2.0MC22 N .0MC2 QR 2 C12 N C22 N C1
INVESTIGACION DE OPERACIONES 1 0./MC1 N 2.0MC2 N .0MC QR 1 C1 N C2 N C
12 N&)#" %& D(#&+
*.?. 8a+imi$ar Ingresos Dariables: 51: ?n$as de 5$4car en ulce 1 52: ?n$as de 5$4car en ulce 2 E1: ?n$as de Eueces en ulce 1 E2: ?n$as de Eueces en ulce 2 C1: ?n$as de C&ocolate en ulce 1 C2: ?n$as de C&ocolate en ulce 2 *.?. 8a+ K 20M;51 N E1 N C1< N 2/M;52 N E2 N C2< O
Pestricciones: 51 N 52 R 100 E1 N E2 R 20 C1 N C2 R 0 E2 T ; 52 N E2 N C2 < R 0.2 E1 T ; 51 N E1 N C1 < R 0.1 C1 T ; 51 N E1 N C1 < R 0.1 51' 52' E1' E2' C1' C2 R 0
13 O.'. '("#& C/$,
*.?. 8a+imi$ar Aanancias Dariables: 1: #ibras de la clase > ue se usa en bolsa C1: #ibras de la clase > ue se usa en caja 2: #ibras de la clase " ue se usa en bolsa C2: #ibras de la clase " ue se usa en caja *.?. 8a+ K 0.0M; 1 N 2 < N 0.!/M; C1 N C2 < O Pestricciones: 1 N C1 R 120'000 2 N C2 R 1W000'000 > M 1 N " M 2 R 7 1 N 2 > M C1 N " M C2 R ( C1 N C2 1' 2' C1' C2 R 0
INVESTIGACION DE OPERACIONES 1
14 $,#
*.?. 8a+imi$ar Pendimiento 5nual Dariables: : Cantidad a invertir en bonos 6@: Cantidad a invertir en 6rBstamos &ipotecarios 5: Cantidad a invertir en 6rBstamos para automóviles 6: Cantidad a invertir en 6rBstamos personales *.?. 8a+ ; 0.10M N 0.1>M6@ N 0.1M5 N 0.20M6 < Pestricciones: N 6@ N 5 N 6 R /00'000 6@ QR 5 6 QR 6 T ; N 6@ N 5 N 6 < QR 0.2/ 1' 2' C1' C2 R 0
15. (#
*.?. 8a+imi$ar Aanancias Dariables: S1: #ibras de Silicio en *ertili$ante tipo 1 E1: #ibras de Eitrógeno en *ertili$ante tipo 1 S2: #ibras de Silicio en *ertili$ante tipo 2 E2: #ibras de Eitrógeno en *ertili$ante tipo 2 *.?. 8a+ K 70M; E1 N S1 < N !0M; E2 N S2 < V 1/M; E1 N E2 < V 10M; S1 N S2< O Pestricciones: E1 T ; E1 N S1 < R 0.!0 S2 T ; E2 N S2 < R 0.70 E1 N E2 QR (0 S1 N S2 QR 100 E1' E2' S1' S2 R 0
