MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1 Sistemas Sistem Sis temas as de num numera numeración eraci ción ón Gustavo Rocha 2005--2 2005 -2
1.1 S 1.1 Sistemas istemas numéricos. numéricos. nu Los números son los mismos en todos lados. Sus nombres y su simbología podrán ser diferentes, pero tienen el mismo significado. Los pueblos primitivos aprendieron a contar con los dedos, con los que no podían alcanzar cifras elevadas, pero si las suficientes s uficientes para satisfacer sus necesidades. Si querían recordar algunos números, hacían incisiones inci siones en un palo o marcas en una roca.
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1.1 Sistemas numéricos. Aún ahora, para contar algunas cosas, es útil usar rayas verticales, agrupando de cinco en cinco.
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Hay muchas maneras de contar: de dos en dos, porque las personas tienen dos manos, dos pies, dos ojos y dos orejas; de cinco en cinco, porque hay cinco dedos en cada mano; de diez en diez, porque son diez los dedos de las manos; de veinte en veinte, porque se tienen veinte dedos sumando los de las manos y los pies. Por eso, los números que sirven para contar se llaman naturales: x N. Cuando la gente empezó a escribir, también encontró la forma de representar los números de manera más sencilla, con símbolos.
1.1.1 Los números egipcios. Los egipcios fueron quizá los primeros que crearon una forma de escritura numérica, usando diferentes símbolos: |
1 10 100
1000 10 000 100 000
1 000 000 10 000 000
El sistema numeral egipcio tiene como base el diez, pero no es posicional, porque no hace uso del cero; para representar un número, se repetían los ocho símbolos anotados, hasta nueve veces cada uno, con lo cual se alcanzaba un rango de representación de 1 a 99 999 999. De izquierda a derecha, primero aparecían las unidades, luego las decenas, en seguida las centenas y así, sucesivamente. La interpretación de los números se hace leyendo de derecha a izquierda, sumando los valores de los símbolos. Ejemplo: | | | | ||||
||
| | | | | | |
18
102
1997
1.1.2 Los números romanos Los romanos usaron letras del alfabeto para construir un sistema de numeración que resultaba algo más fácil de manejar: I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Los números romanos todavía se usan, por tradición, en relojes, para el capitulado de libros, etc., como representaciones elegantes de los números, pero ya no para fines aritméticos. Las reglas de escritura incluyen el no usar nunca tres símbolos iguales juntos, lo que implica tener que hacer restas para interpretar correctamente la representación de algunos números: IV, cinco menos uno; IX, diez menos uno; XL, cincuenta menos diez; XC, cien menos diez; CD, quinientos menos cien; y CM, mil menos cien. El sistema numeral romano usa el diez como base, es decir, que la progresión se realiza de diez en diez, de derecha a izquierda; el no uso del cero lo hace pseudopseudo-posicional. Utiliza treinta numerales básicos para representar números en el rango de 1 a 3999:
1.1.2 Los números romanos ± Para las unidades: ± Para las decenas: ± Para las centenas:
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
XX
XXX
XL
L
LX
LXX
LXXX
XC
10 20
30
60
70
80
90
DC
DCC
DCCC
700
800
C
CC
40 50
CCC CD
D
100 200 300 400 500 600 ± Para las unidades de millar:
M
MM
CM
900
MMM
1000 2000 3000 Con objeto de aumentar el rango de escritura de los números romanos, más tarde se optó por colocar una raya sobre los numerales, para indicar que su valor se incrementa mil veces, dos rayas, para incrementarlo un millón de veces, etc.; esta regla tiene validez a partir del número IV y hasta el número MMMCMXCIX. Ejemplos: XVIII X|VIII 10 | 8 18
CII C|II 100 | 2
MCMXCVII M|CM|XC|VII 1000 |900| 90 | 7
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1.1.3 Los números mayas El sistema numeral maya es semejante al romano, pero resulta superior por cuanto al uso del cero y porque en ningún caso es necesario restar para interpretar un número. El sistema maya usa solamente tres símbolos: y 0 1 5 Con estos símbolos se puede representar cualquier número de 0 a g, para lo cual requiere del uso de veinte numerales básicos: 0
5
10
15
y
1
y
6
y
11
y
16
yy
2
yy
7
yy
12
yy
17
yyy
3
yyy
8
yyy
13
yyy
18
yyyy
4
yyyy
9
yyyy
14
yyyy
19
1.1.3 Los números mayas El sistema de numeración maya es vigesimal, es decir, que la progresión se realiza de veinte en veinte, de abajo hacia arriba, lo que le da la característica de ser posicional, donde la primera posición representa unidades, la segunda veintenas, las tercera múltiplos de cuatrocientos, la cuarta múltiplos de ocho mil, etc. Se escribe y se lee de arriba hacia abajo. Ejemplos: yyyy 4 x 400 = 1600
5 x 20 = 100 yyy 18 x 1 = 18
18
yy 2 x 1 =
2 102
yyyy 19 x 20 = 380 yy 17 x
1= 1997
17
1.1.4 La evolución de los números. Además de contar, la gente empezó a necesitar hacer algo más con los números: medirlos, fraccionarlos, sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Así nació la aritmética, la que ha evolucionado a medida que el hombre avanza y encuentra muchas cosas que calcular y también muy distintas maneras de hacerlo. Pero toda la matemática se basa en el simple acto de contar. La necesidad de utilizar números cada vez mayores trajo consigo la noción de infinito: g, descubierta por los griegos a través de un elevado nivel de abstracción. Los números naturales ya no fueron suficientes; había la necesidad de fraccionarlos para dividir en partes un todo, y así nacieron los números racionales: Q = {q ` q = a/b}, (a, b N). N).
1.1.4 La evolución de los números. La aparición del cero: 0, nace de la necesidad de representar la diferencia entre dos números idénticos y constituye el elemento fundamental para la construcción de los sistemas numéricos posicionales. Con la invención del álgebra, aparecieron los números negativos como solución de ecuaciones, y con ello se pudo establecer la clasificación de los números enteros en positivos y negativos: Z+ = {z > 0}; Z- = {z < 0} La necesidad de representar algunas cantidades requeridas por los desarrollos geométricos trajo consigo el advenimiento de los números irracionales: T, e, 2, etc. Qc = {u ` u R, u Q} La unidad y fundamento lógico del estudio de los números se alcanzó a través de la construcción del sistema de los números reales, R, que incluye a todos los mencionados anteriormente. Los números complejos, C, aparecieron de la misma manera que los negativos, al resolver ecuaciones cuyo resultado requería de la introducción de los llamados números imaginarios.
1.1.5 El sistema decimal indoindo-arábigo. Los numerales que han resultado más apropiados son los que usamos en la actualidad. Fueron introducidos a Europa a través de los árabes, pero no fueron ellos quienes los inventaron, sino los hindúes, que desde hace diecisiete siglos usaban símbolos muy similares a los guarismos que se manejan hoy en día. Los cálculos, sin embargo, eran lentos y engorrosos, hasta que los árabes inventaron el diez y, con él, el sistema decimal posicional que conocemos, conviniendo en que el valor de un guarismo varía con su posición, acompañándolo de uno o varios ceros: ± ± ± ±
10 es diez veces uno. 100 es diez veces diez veces uno, o cien veces uno. 1000 es diez veces diez veces diez veces uno, o mil veces uno. etc.
Ejemplo: El numeral 853, en base diez, representa el número ochocientos cincuenta y tres, y se interpreta como sigue: 8 5 3 (8 x 102) + (5 x 101) + (3 x 100) = 800 + 50 + 3 = 853
1.1.5 El sistema decimal indoindo-arábigo. El sistema decimal permite manejar no solamente números enteros, sino todos los números reales, incluyendo racionales e irracionales, y tambi én los números complejos. En el sistema decimal, los números reales se representan de la misma manera que los enteros, sólo que el valor de un guarismo, a la derecha del punto decimal, varía con su posición, anteponiéndole uno o varios ceros: ±
0.1 es la décima parte de uno.
±
0.01 es la centésima parte de uno.
±
0.001 es la milésima parte de uno.
±
etc.
Ejemplo: El numeral 0.0745, en base diez, es la representación del número fraccionario "setecientos cuarenta y cinco diez milésimos". .0
7
4
5
(7 x 10-2) + (4 x 10 -3) + (5 x 10-4) = 0.07 + 0.004 + 0.0005 = 0.0745
1.1.6 El sistema binario. El sistema binario es similar al decimal, pero su base es dos en lugar de diez y utiliza solamente dos símbolos o dígitos binarios: 0 y 1, en vez de los diez guarismos que requiere el decimal. El valor de los unos varía con su posición, acompañándolos de uno o varios ceros: ± 10 es dos veces uno. ± 100 es dos veces dos veces uno, o cuatro veces uno. ± 1000 es dos veces dos veces dos veces uno, u ocho veces uno. ± etc.
El sistema binario se emplea en las computadoras digitales, porque los alambres que forman los circuitos electrónicos presentan solo dos estados: magnetizados o no magnetizados, dependiendo si pasa o no corriente por ellos.
1.1.6 El sistema binario. En vez de agrupar de diez en diez, se agrupa de dos en dos; por ejemplo, el número trece, representado a través de marcas simples e iguales: | | | | | | | | | | | | | se agrupa por parejas, de izquierda a derecha: | |
| |
| |
| |
| |
| |
|
luego se agrupa por parejas de óvalos, otra vez de izquierda a derecha: | |
| |
| |
| |
| |
| |
|
luego por parejas de óvalos más grandes y así, sucesivamente: | |
| |
| |
| |
| |
| |
|
El número de marcas agrupadas dentro de cada óvalo, e incluso la marca que queda fuera de ellos, corresponde a una potencia de 2. 23
22
20
Sumando los valores obtenidos, se tiene: 23 + 22 + 20 = 8 + 4 + 1 = 13, en sistema decimal, o bien:
(1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)
1.1.6 El sistema binario. Considerando los coeficientes de las potencias de 2, se ob tiene el numeral: 1 1 0 1 que representa el número trece en sistema binario, y se lee "uno, uno, cero, uno". El numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el primer 1 representa una unidad (20); luego aparece un cero, lo que significa que no hay ningún grupo de dos unidades (21); el siguiente 1 representa dos grupos de dos unidades (22); y el último 1 representa cuatro grupos de dos unidades (23). Al igual que en el sistema decimal, en el binario también se pueden representar números fraccionarios. El valor de los unos, a la derecha del punto decimal, varía con su posición, anteponiéndoles uno o varios ceros: ± ± ± ±
0.1 es la mitad de uno. 0.01 es la cuarta parte de uno. 0.001 es la octava parte de uno. etc.
Ejemplo: El numeral binario 0.1101 es la representación del número fraccionario "trece dieciseisavos³ .1 1 0 1 (1 x 2-1) + (1 x 2-2) + (0 x 2-3) + (1 x 2-4) = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.8125
1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal. El sistema octal, o de base ocho, requiere de 8 símbolos, los cuales pueden ser los mismos del sistema decimal, del 0 al 7, o cualesquiera otros que se elijan convencionalmente. El valor de un guarismo varía con su posición, acompañándolo de uno o varios ceros: ± ± ± ±
10 es ocho veces uno. 100 es sesenta y cuatro veces uno. 1000 es quinientas doce veces uno. etc.
Aquí la agrupación se hace de ocho en ocho, como se muestra: | | | | | | | |
| | | | | | | |
| | |
que se puede expresar: (2 x 81) + (3 x 80) equivalente a:
16 + 3 = 19, en sistema decimal.
Considerando los coeficientes de las potencias de 8, se ob tiene el numeral 23 que se lee "dos, tres³ y representa al número diecinueve en sistema octal. El numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tres unidades (80) y el 2 representa dos grupos de ocho unidades (81).
1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal. La representación de números fraccionarios en el sistema octal se hace considerando: ± ± ± ±
0.1 es la octava parte de uno. 0.01 es la sesenta y cuatroava parte de uno. 0.001 es la quinientos doceava parte de uno. etc.
El sistema hexagesimal, o de base dieciséis, requiere de 16 símbolos, los cuales pueden ser los mismos diez dígitos del sistema decimal, del 0 al 9, complementados, por convención, por las primeras seis letras del alfabeto: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15 (podrían utilizarse, en su lugar, otros cinco símbolos cualesquiera). El valor de un guarismo varía con su posición, acompañándolo de uno o varios ceros: ± ± ± ±
10 es dieciséis veces uno. 100 es doscientos cincuenta y seis veces uno. 1000 es cuatro mil noventa y seis veces uno. etc.
1.1.7 Los sistemas octal y hexagesimal. Aquí la agrupación se hace de dieciséis en dieciséis, como se muestra: | | | | | | | | | | | | | | | |
| | |
que se puede expresar: (1 x 161) + (3 x 160) equivalente a:
16 + 3 = 19, en sistema decimal.
Considerando los coeficientes de las potencias de 16, se obtiene el numeral 13 que se lee "uno, tres³ y representa al número diecinueve en sistema hexagesimal. El numeral obtenido se interpreta como sigue: De derecha a izquierda, el 3 representa tres unidades (160) y el 1 representa un grupo de dieciséis unidades (161). La representación de números fraccionarios en el sistema he xagesimal se hace considerando: ± ± ± ±
0.1 es la dieciseisava parte de uno. 0.01 es la doscientos cincuenta y seisava parte de uno. 0.001 es la cuatro mil noventa y seisava parte de uno. etc.
1.1.8 Conversión de números enteros de un sistema a otro. Conversión de enteros de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: El entero decimal n se divide entre la base b (2, 8 o 16) y se registra el cociente c1 y el residuo r 1 resultantes, abajo y a la derecha, respectivamente; el cociente c1 se divide entre la base b, registrando el cociente c2 y el residuo r 2 de igual manera; el procedimiento se repite hasta alcanzar un cociente ck, que sea cero, con un residuo r k. El número n, expresado en base b, se construye a partir de los residuos, en el orden: r k, r k-1, ..., r 2, r 1. Ejemplo: Convertir el número decimal 199710 a los sistemas binario, octal y hexagesimal. ± A A binario:
1997 998 499 249 124 62 31 15 7 3 1 0
divisiones sucesivas entre 2.
1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1
El número 199710 en binario es: 111110011012
lectura
1.1.8 Conversión de números enteros de un sistema a otro. A octal: divisiones sucesivas entre 8. 1997 249 31 3 0
5 1 7 3
El número 199710 en octal es: 37158
A hexagesimal: divisiones sucesivas entre 16. 1997 124 7 0
13 = D 12 = C 7
El número 199710 en hexagesimal es: 7CD16
1.1.8 Conversión de números enteros de un sistema a otro. Conversión de bases binaria, octal o hexagesimal, a base decimal. Cada uno de los dígitos que conforman el número m, expresado en binario, octal o hexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a la posición del dígito, empezando por la potencia cero, de derecha a izquierda. La suma de estos productos es el número m, en base decimal. Ejemplo: Convertir el número binario 111001101 al sistema decimal. 1 x 28 + 1 x 27 + 1 x 2 6 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 20 = 256 + 128 + 64 + 8 + 4 + 1 = 46110 Ejemplo: Convertir el número octal 5438 al sistema decimal. 5 x 82 + 4 x 81 + 3 x 8 0 = 320 + 32 + 3 = 35510 Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B216 al sistema decimal. 9 x 162 + 11 x 161 + 2 x 160 = 2304 + 176 + 2 = 248210 La tabla siguiente muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemas binario, octal y hexagesimal; el sistema decima l aparece sólo como referencia. Con estas equivalencias se puede hacer la conversión de cualquier entero de un sistema a otro.
Conversión de enteros entre los sistemas binario, octal y hexagesimal. Binario
Octal
Binario
Hexagesimal
Decimal
000
0
0000
0
0
001
1
0001
1
1
010
2
0010
2
2
011
3
0011
3
3
100
4
0100
4
4
101
5
0101
5
5
110
6
0110
6
6
111
7
0111
7
7
1000
8
8
1001
9
9
1010
A A
10
1011
B
11
1100
C
12
1101
D
13
1110
E
14
1111
F
15
Conversión de enteros entre los sistemas binario, octal y hexagesimal. Ejemplo: Convertir el número binario 111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal. A octal: 011 111 001 101 El número 11111001101 2 en octal es: 3715 8 3 7 1 5 A hexagesimal: 0111 1100 1101 El número 11111001101 2 en hexagesimal es 7CD16 7 C D Ejemplo: Convertir el número octal 5438 a los sistemas binario y hexagesimal. A binario: 5 4 3 El número 543 8 en binario es: 1011000112 101 100 011 A hexagesimal: 0001 0110 0011 El número 543 8 en hexagesimal es: 163 16 1 6 3 Ejemplo: Convertir el número hexagesimal 9B216 a los sistemas binario y octal. A binario: 9 B 2 El número 9B216 en binario es: 100110110010 2 1001 1011 0010 A octal: 100 110 110 010 El número 9B216 en octal es: 46628 4 6 6 2
1.1.9 Conversión de números fraccionarios de un sistema a otro. Conversión de fracciones de base decimal a bases binaria, octal y hexagesimal: La fracción decimal n se multiplica por la base b (2, 8 o 16) y se registra por un lado la parte fraccionaria resultante f 1 y por el otro la parte entera correspondiente e1; la fracción f 1 se multiplica por la base b, registrando la fracción f 2 y el entero e2 asociado; el procedimiento se repite ocho veces ó hasta alcanzar una fracción f k, que sea cero o cercana a cero ( f k 0.9961 ó f k 0.0039 con su entero asociado ek. El número n, expresado en base b, se construye a partir de los enteros, en el orden: e1, e2, ..., ek-1, ek. Ejemplo: Convertir la fracción decimal 0.199710 a los sistemas binario, octal y hexagesimal. A binario: multiplicaciones sucesivas por 2. .1997 .3994
0
.7988
0
.5976
1
.1952
1
.3904
0
.7808
0
.5616
1
.1232
1
.2464
0
El número 1997 10 en binario es aproximadamente : 0.001100112
1.1.9 Conversión de números fraccionarios de un sistema a otro. A octal: multiplicaciones sucesivas por 8. .1997 .5676 1 .7808 4 .2464 6 .9712 1 El número 199710 en octal es aproximadamente: 0.146176128 .7696 7 .1568 6 .2544 1 .0352 2 .2816 0 A hexagesimal: multiplicaciones sucesivas por 16. .1997 .1952 3 .1232 3 .9712 1 .5392 15 = F El número 1997 10 en hexagesimal es aproximadamente: 0.331F8 A0916 .6272 8 .0352 10 = A .5632 0 .0112 9 .1792 0
1.1.9 Conversión de números fraccionarios de un sistema a otro. Conversión de fracciones de bases binaria, octal o hexagesim al, a base decimal. Cada uno de los dígitos que conforman la fracción m, expresado en binario, octal o hexagesimal, se multiplica por la base (2, 8 o 16, respectivamente) elevada a una potencia igual a la posición del dígito, empezando por la potencia menos uno, de izquierda a derecha. La suma de estos productos es el número m, en base decimal. Ejemplo: Convertir el número binario 0.11100110110 al sistema decimal. 1 x 2-1 + 1 x 2 -2 + 1 x 2 -3 + 1 x 2-6 + 1 x 2-7 + 1 x 2-9 = 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.015625 + 0.0078125 + 00-001953125 = 0.900390610 Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.5438 al sistema decimal. 5 x 8-1 + 4 x 8 -2 + 3 x 8 -3 = 0.625 + 0.0625 + 0.005859375 = 0.693359310 Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B216 al sistema decimal. 9 x 16-1 + 11 x 16 -2 + 2 x 16-3 = 0.5625 + 0.0429687 + 0.0004882 = 0.605468710
Conversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimal Conversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimal. La misma tabla del apartado 1.1.8 que muestra las equivalencias entre los primeros 16 numerales en los sistemas binario, octal y hexagesimal, sirve también para hacer la conversión de cualquier fracción de un sistema a otro. Ejemplo: Convertir la fracción binaria 0.111110011012 a los sistemas octal y hexagesimal. A octal: 0.111 110 011 010 0. 7
6
3
2
El número 11111001101 2 en octal es: 0.7632 8
A hexagesimal: 0.1111 1001 1010 0.
F
9
A
El número 11111001101 2 en hexagesimal es: 0.F9 A16
Ejemplo: Convertir la fracción octal 0.5438 a los sistemas binario y hexagesimal. A binario: 0. 5
4
3 El número 543 8 en binario es: 0.1011000112
0.101100 011 A hexagesimal: 0.1011 0001 1000 0. B
1
8
El número 543 8 en hexagesimal es: 0.B1816
Conversión de fracciones entre los sistemas binario, octal y hexagesimal Ejemplo: Convertir la fracción hexagesimal 0.9B216 a los sistemas binario y octal. A binario: 0.
9
B
2
0.1001 1011 0010
El número 9B216 en binario es: 0.1001101100102
A octal: 0.100 110 110 010 0. 4
6
6
2
El número 9B216 en octal es: 0.46628
