MATEMATICA BÁSICA EMPRESARIAL. 1º PRESENTACION DEL CURSO. Todo aquel aquel que se dedique dedique a los negocios negocios o aspire a ser un simple simple auxiliar, auxiliar, necesita contar contar con ciertas herramientas, herramientas, para efectuar efectuar cálculos con con seguridad y rapi rapide dez. z. Po Porr es eso, o, en este curso curso se pret preten ende de que el es estu tudi dian ante te aprend aprenda a térm términ ino os, signo ignos, s, sím ímolos, los, pro proce cedi dim mient iento os y hai haili lida dade dess razo razona nan ndo mate atemátic áticam ame ente nte y log logre desa desarr rro ollar llar las las ca cap pac acid idad ade es de utili tiliza zarr el razonamiento l!gico"matemático, formular e#emplos, con#eturar, etc$ así como ser capaz de aplicar las matemáticas a situaciones prácticas de su entorno y en otras áreas o materias. %º CAPACIDADES A FORMAR.
CONCEPTUALES. &l estudiante para alcanzar los o#eti'os se(alados dee conocer y dominar, tant tanto o te!r te!ric ica a co como mo prác práctic ticam amen ente te,, los los co conc ncep epto toss relat relati'o i'oss a las las razo razone ness y prop propor orci cion ones es,, regl regla a de tres tres,, tant tanto o por por cien ciento to,, inter interés és simp simple le y desc descue uent nto o comercial.
ACTITUDINALES. El estudiante deberá )preciar y 'alorar el lengua#e matemático *numérico, algeraico, gráfico, etc.+ para descriir y estudiar la realidad y disposici!n para su uso. esarrollar confianza en sus propias capacidades y conocimientos matemáticos para enfrentarse a situaciones nue'as. -ontar con una disposici!n fa'orale para la utilizaci!n de métodos matemáticos con tenacidad, flexiilidad y creati'idad para la squeda de soluciones o la me#ora de las ya otenidas o en la toma de decisiones. /econo /eco noce cerr y es esti tim mar el tra traa# a#o o en equi equipo po para para aor aorda darr de form forma a efic eficaz az diferentes prolemas, respetando opiniones o planteamientos a#enos. 0alor 0alorar ar la import importanc ancia ia de la res resolu oluci! ci!n n de prole prolemas mas,, utiliza utilizando ndo distin distintas tas estrategias y procedimientos.
1
PROCEDIMENTALES. )l finalizar el curso el estudiante deerá ser capaz de &laorar y analizar los protocolos protocolos indi'iduales para resol'er resol'er prolemas. Poner Poner en práctic práctica a diferen diferentes tes estrat estrategi egias as gener generale aless rel relati ati'as 'as al pensa pensamie miento nto científico como elaoraci!n de con#eturas, #ustificaci!n, refutaci!n de hip!tesis y rigor de las argumentaciones argumentaciones y razonamientos. razonamientos. 2tilizar técnicas heurísticas para la soluci!n de prolemas resol'iendo casos máss sencillo má sencillos, s, di'idie di'idiendo ndo los prole prolema mass en peque( peque(os os prole prolema mas, s, hacien haciendo do esquemas, experimentando, reconociendo y formulando prolemas a partir de situaciones reales dentro y fuera de las matemáticas.
!". METODOLO#$A. &ste curso será altamente práctico, sin de#ar la teoría que es fundamental, se hará énfasis en su aplicaci!n. 3e emplearán di'ersas lecturas y se reforzará el aprendiza#e mediante diferentes e#ercicios y un traa#o de in'estigaci!n que cada alumno elaorará durante el curso$ así, los conocimientos pre'ios serán complementados, estimulando siempre la squeda aut!noma y paulatina de las estructuras matemáticas sencillas que le ayudarán a detectar técnicas concretas de estrategias tiles de pensamiento.
%". FORMAS DE E&ALUACI'N. (A) CRITERIOS. ) lo largo del semestre se desarrollarán traa#os por cada tema del curso, así como un examen examen parcial y un examen final$ en los que se 'alorará la claridad de los los co conc ncep epto toss te!r te!ric icos os,, el dom dominio inio de los los resu result ltad ados os,, la re' re'ed edad ad en la exposici!n, la hailidad en la explicaci!n de los di'ersos métodos prácticos y la precisi!n en los cálculos, además de la participaci!n del alumno.
(B) INSTRUMENTOS. 4os co 4os cono nocim cimien iento toss se e'al e'alua uará rán n me media diant nte e prue pruea ass es escr crita itass y ac acti' ti'ida idade dess realizadas en aula. 2n examen opcional para aquellos alumnos que quieran o dean me#orar la calificaci!n final.
2
*" TEMARIO. &stá distriuido en las siguientes sesiones 1º 3esi!n %º 3esi!n 5º 3esi!n 6º 3esi!n 7º 3esi!n 8º 3esi!n :º 3esi!n ;º 3esi!n <º 3esi!n 1=º 3esi!n 11º 3esi!n
/azones y Proporciones. /egla de Tres. Tanto por -iento. Precio de -osto, Precio de 0enta y Precio de 4ista. &xamen Parcial. 9nterés simple. 9nterés simple. 9nterés simple. escuento -omercial. escuento -omercial. &xamen >inal.
+" DESARROLLO DEL CURSO.
3
," SESI'N RA-ONES PROPORCIONES. •
OB/ETI&OS.
3e pretende desarrollar el razonamiento proporcional que es la forma de pensar que sae reconocer cuando dos 'ariales están relacionadas proporcionalmente, por lo tanto nos centraremos en que el alumno etermine y e#emplifique razones con seguridad. )plique las razones en e#ercicios y prolemas. 9dentifique con interés las proporciones. /esuel'a prolemas de proporcionalidad directa o in'ersa. •
ACTI&IDADES DE ENTRADA.
Para rescatar rescatar los saeres saeres que el alumno alumno haya aprendido aprendido en el pasado pasado sore el tema, se proporcionará al inicio de la sesi!n un prolema u otras operaciones y?o preguntas relacionadas con el tema de la sesi!n que deerá resol'er como máximo en 7 minutos.
E0e12l3 E0e12l3 E0er4i4i3s 5 Pr3ble1as /esol'er 8 @ %*1% @ ;+ A 6 ?% 6<8?6 A 1= 7?; @ BC8 1%;%=?6.:51 =.57:8?: &n cuanto a prolemas se dará uno de los indicados en esta sesi!n.
E0e12l3 Pre6untas DEué es una /az!n aritmética y FeométricaG D-!mo se forma una Proporci!n FeométricaG D-uándo una Proporci!n Feométrica es iscretaG i scretaG DEué es -uarta ProporcionalG DEué es Hedia ProporcionalG DEué es Tercia proporcionalG &tc. •
1.
MARCO TE'RICO. RA-ONES PROPORCIONES. 4
&l prim primer ero o se origi rigina na en la co com mpara paraci ci! !n de ca cant ntid idad ades es,, mien mientr tras as que que el segundo se origina en la comparaci!n de razones.
RA-'N. &s la comparaci!n de cantidades mediante la diferencia *raz!n aritmética+ o cociente *raz!n geométrica+.
PROPORCI'N. &s la comparaci!n de dos razones mediante la igualdad. &#emplo de raz!n aritmética 57 " : I %; &#emplo de raz!n geométrica 57?: I 7 1 &lemento antecedente I 57 % &lemento &lemento consecuente I :
RA-ONES E7UI&ALENTES E I#UALES. 3on equi'alentes cuando las razones tienen el mismo 'alor. &#emplos de raz!n aritmética cuando tienen el mismo 'alor. 6 "5I1 J : "8 I1 &#emplos de raz!n geométrica cuando tienen el mismo 'alor. %1?: I 5 J
SERIES DE RA-ONES I#UALES. -uando comparamos dos o más razones equi'alentes. &#emplos de razones aritméticas 6"5I:"8I<"; &#emplos de razones geométricas %1?: I
5
PROPORCI'N. &s la comparaci!n de dos razones mediante la igualdad. &#emplos de razones aritméticas 6"5I:"8I<"; &#emplos de razones geométricas %1?: I
CLASES DE PROPORCIONES. DISCRETA -uando los cuatro términos son diferentes. &#emplo de proporci!n aritmética 6 " 5 I : " 8 &#emplo de proporci!n geométrica
CONTINUA -uando los términos medios son iguales. &#emplo de proporci!n aritmética %1 " 1% I 1% " 5 &#emplo de proporci!n geométrica 1;?8 I 8?%
MEDIA PROPORCIONAL. &s cualquiera de los medios de una proporci!n continua. &#emplo asado en la proporci!n aritmética anterior. la media proporcional es 1%. &#emplo asado en la proporci!n geométrica anterior. la media proporcional es 8.
TERCIA PROPORCIONAL. &s cualquiera de los extremos de una proporci!n continua. &#emplo asado en la proporci!n aritmética anterior . la tercia proporcional es %1 y 5. &#emplo asado en la proporci!n geométrica anterior .la tercia proporcional es 1; y %. 6
PROPIEDADES DE LAS RA-ONES ARITM8TICAS9 1. 3i al antecedente de una raz!n aritmética se suma o resta un nmero, la raz!n queda aumentada o disminuida en ese nmero. &K&HP4L 8 " % I 6 *8 A %+ " % I *6 A %+ ;"%I8 %. 3i al consecuente de una raz!n aritmética se suma o resta un nmero, la raz!n queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo nmero. &K&HP4L 8 " % I 6 8 " *% A %+ I *6 " %+ 8"6I% 5. 3i al antecedente y consecuente de una raz!n aritmética se suma o resta un mismo nmero, la raz!n no 'aría. &K&HP4L 8 " % I 6 *8 " 1+ " *% " 1+ 7"1I6
PROPIEDADES DE LAS RA-ONES #EOM8TRICAS. 1. 3i al antecedente de una raz!n geométrica se multiplica o di'ide por un nmero, la raz!n queda multiplicada o di'idida por ese nmero. &K&HP4L 8?% I 5 *8C%+?% I*5C%+ 1%?% I 8 &K&HP4L ;?% I 6 *;?%+?% I *6?%+ 7
6?% I %
%. 3i el consecuente de una raz!n geométrica se multiplica o di'ide por un nmero, la raz!n queda di'idida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo nmero. &K&HP4L 1%?% I 8 1%?*%C%+ I *8?%+ 1%?6 I 5 &K&HP4L 1%?% I 8 1% ? *%?%+ I *8C%+ 1%?1 I 1% 5. 3i el antecedente y consecuente de una raz!n geométrica se multiplican o di'iden por un mismo nmero, la raz!n no 'aría. &K&HP4L Trate el alumno de crear dos e#emplos donde esta propiedad se cumpla
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS PROPORCIONES #EOM8TRICAS. 1. &n toda proporci!n geométrica, el producto de los medios.
producto de los extremos es igual al
&K&HP4L )sí, en la proporci!n %?7 I 8?17, &3 %C17 I 7C8 /ecíprocamente, 3i el producto de dos nmeros es igual al producto de otros dos, con los cuatro nmeros se puede formar proporci!n. &K&HP4L )39$ -LHL 7C8 I 5C1=, 3& >L/H)/M 4) P/LPL/-9NO 7?5 I 1=?8. -onsecuencia, en toda proporci!n geométrica, un extremo es igual al producto de los medios di'idido entre el otro extremo$ y un medio es igual al producto de los extremos di'idido entre el otro medio. %. &n toda proporci!n geométrica, la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la primera raz!n, es a la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la segunda raz!n, como el antecedente de la primera es al antecedente de la segunda, y como el consecuente de la primera es al consecuente de la segunda. 8
&K&HP4L )39, &O 4) P/LPL/-9NO F&LHT/9-) 5?% I 8?6$ 5A%?8A6 I 5?8 J 5"%?8"6 I 5?8 L T)HQ9&O 5A%?8A6 I %?6 J 5"%?8"6 I %?6 5. &n toda proporci!n geométrica, la suma o diferencia de antecedentes es a la suma o diferencia de consecuentes, como un antecedente cualquiera es a su respecti'o consecuente. &K&HP4L )39, &O 4) P/LP/L-9NO ;?8 I 6?5 ;A6?8A5 I ;?8 J ;"6?8"5 I ;?8 L T)HQ9O ;A6?8A5 I 6?5 J ;"6?8"5 I 6?5 6. &n toda proporci!n geométrica, la suma de antecedentes es a su diferencia, como la suma de consecuentes es a su diferencia . &K&HP4L )39, &O 17?1= I 5?%, &3 17A5?17"5 I 1=A%?1="% 7. &n toda serie de razones iguales, la suma de antecedentes es a la de consecuentes, como un antecedente cualquiera es a su respecti'o consecuente. &K&HP4L )39, &O 4) 3&/9& & /)RLO&3 9F2)4&3 %?5 I 6?8 I ;?1% &3 %A6A;?5A8A1% I %?5 N %A6A;?5A8A1% I 6?8 N %A6A;?5A8A1% I ;?1% 8. &n toda proporci!n geométrica la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la primera raz!n es a su respecti'o antecedente o consecuente, como la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la segunda raz!n es a su respecti'o antecedente o consecuente. &K&HP4L )39, &O 4) P/LPL/-9NO 8?% I 17?7 8A%?% I 17A7?7, J, 8A%?8 I 17A7?17 L T)HQ9&O 8"%?% I 17"7?7, J, 8"%?8 I 17"7?17
9
E/ERCICIOS DE APLICACI'N. 1. 4) &) & P&/L &3 ; )SL3 J 4) & 32 P)/& 78. D-2M4 &3 4) /)RNO )/9THT9-) J F&LHT/9-) &OT/& )HQ)3 &)&3G %. 2O 3&FH&OTL H9& 1; -H. J LT/L 1% -H. D&O E2 /)RNO )/9THT9-) J F&LHT/9-) &3TMO &3TL3 3&FH&OTL3G 5. 2O T&//&OL T9&O& 6;= H&T/L3 -2)/)L3 & M/&) J LT/L & %6= H&T/L3 -2)/)L3. D-2M4 &3 4) /)RNO )/9THT9-) J F&LHT/9-) & )HQ)3 M/&)3G 6 2O )2TLHN094 0) ) 1%= H. PL/ UL/) J 2O )09NO ) ;6= H. PL/ UL/). DE2 /)RNO )/9THT9-) J F&LHT/9-) U)J &OT/& )HQ)3 0&4L-9)&3G 7. 4) /)RNO &OT/& 4)3 9H&O39LO&3 & 2O) 3)4) &3 4) & 5 ) 6. 39 32 )O-UL H9& 8 H&T/L3, D-2MOTL H9& &4 4)/FLG. 8. &O 2O T/)O09) 0)O 5% P)3)K&/L3 3&OT)L3 J %6 &O P9&. -)4-24)/ 4) /)RNO )/9THT9-) J F&LHT/9-) &OT/& &4 OVH&/L & 4L3 E2& &3TMO 3&OT)L3 J &4 TLT)4 & P)3)K&/L3. :. U)44)/ L3 OVH&/L3 -2J) /)RNO &3 7?6 J -2J) 32H) &3 9F2)4 ) %:. ;. U)44)/ L3 OVH&/L3 E2& 3LO &OT/& 39 -LHL < &3 ) % J -2J) 9>&/&O-9) &3 9F2)4 ) %1. <. &3-LHPLO&/ 1:8 &O L3 P)/T&3 T)4&3 E2& 3&)O &OT/& 39 -LHL 7 &3 ) 8. 1=. 2O /&-9P9&OT& -LOT9&O& 5 49T/L3 & 09OL HM3 E2& LT/L. 39 4) /)RNO & 323 -LOT&O9L3 &3 18?17, D-2MOTL3 49T/L3 U)J &O -)) 2OLG 11. D-2M4 &3 &4 OVH&/L E2& 93H9O29L &O L3 2O9)&3 &3 ) 32 -LO3&-2T90L )2H&OT)L &O 5 2O9)&3 -LHL 5 &3 ) 6G 1% LO >/)O-93-L -L3&-UN 67= E29OT)4&3 & )//LR &O T/&3 P)/-&4)3 9>&/&OT&3. 39 4)3 T/&3 P/L2--9LO&3 F2)/)O &OT/& 39 4) /&4)-9LO & 4L3 OVH&/L3 6, 7 J 8. U)44)/ 4) P/L2--9NO & -)) P)/-&4).
10
15. 4) /)RNO & 2O OVH&/L & L3 -9>/)3 )4 OVH&/L 9O0&/T9L &3 7?8. 39 4) -9>/) & 4)3 2O9)&3 &W-&& ) 4) -9>/) & 4)3 &-&O)3 &O 2OL, D-2M4 &3 &4 OVH&/LG. 16. PL/ H&9L & 2O) Q)//) & T/&3 H&T/L3 & 4LOF9T2 44&0)O L3 LQ/&/L3 2O) -)/F) & 1== 94L3 323P&O9) ) 1,;= H&T/L3 &4 LQ/&/L & )&4)OT&. D-2M4 &3 4) -)/F) -L//&3PLO9&OT& ) -)) LQ/&/LG 17 .&O 2O) 0)/944) & 6 H&T/L3 & 4LOF9T2 3& U)-&O T/&3 -L/T&3, & HLL E2& 4)3 4LOF9T2&3 & 4L3 3&FH&OTL3 E2& /&324T)O 3LO P/LPL/-9LO)L3 ) 5, 7, : J 1=. DE2 4LOF9T2 T9&O& -)) 3&FH&OTLG 18. DP2&& 2O) P/LPL/-9NO F&LHT/9-) T&O&/ T/&3 T/H9OL3 9F2)4&3G 1:. U)44& 4L3 T/H9OL3 &3-LOL-9L3 & 4) P/LPL/-9NO %6?W I ;?J, 3)Q9&OL E2& W " J I 1=. 1;. U)44& 4L3 T/H9OL3 &3-LOL-9L3 & 4) P/LPL/-9NO 7?W I 17?J 3)Q9&OL E2& W A J I 5%. 1<. U)44& 4L3 T/H9OL3 &3-LOL-9L3 & 4) 3&/9& & /)RLO&3 9F2)4&3 1%?< I 6?W I %6?R. %=. U)44& 4L3 T/H9OL3 &3-LOL-9L3 & 4) P/LPL/-9NO W?6 I J?1% 3)Q9&OL E2& J @ W I 8. %1 U)44& 4L3 T/H9OL3 &3-LOL-9L3 & 4) P/LPL/-9NO W?1= I J?7=, 3)Q9&OL E2& W A J I 5=. %%. U)44& 4L3 T/H9OL3 &3-LOL-9L3 & 4) P/LPL/-9NO 1%?5 I J?W 3)Q9&OL E2& J A W I 1= %5. U)44& 4L3 T/H9OL3 &3-LOL-9L3 & 4) P/LPL/-9NO 5?7 I W?J, 3)Q9&OL E2& J @ W I 8. %6. &4 T/)Q)KL E2& U)-& K2)O &3 )4 T/)Q)KL E2& U)-& P&/L -LHL 7 &3 ) 8$ 39 K2)O U9RL 1== H&T/L3 & 4) LQ/). D-2MOTL3 H&T/L3 U9RL P&/LG %7. PL/ -)) % H&T/L3 E2& T/)Q)K) 4293, KL3 T/)Q)K) 7 H&T/L3$ 39 PL/ &4 H&T/L & 4) LQ/) 3& P)F) X 1.%=. D-2MOTL F)O) KL3, 39 4293 U) F)O)L X <8G %8. &O &4 H)P), 4) 93T)O-9) &OT/& L3 -92)&3 &3 & 5; H949H&T/L3, P&/L 4) 93T)O-9) /&)4 &3 & 7:= 94NH&T/L3. D) E2 &3-)4) U) 39L 9Q2K)L &4 H)P)G
11
%:. L3 P&/3LO)3 T9&O&O K2OT)3 X 1.7==. 4) -)OT9) & 9O&/L & 4) P/9H&/) &3 ) 4) -)OT9) & 9O&/L & 4) 3&F2O) -LHL Y &3 ) B. D-2MOTL T9&O& -)) 2O)G %;. L3 OVH&/L3 &3TMO &O 4) /&4)-9NO & 5 &3 ) 6$ 39 4) 32H) & &44L3 &3 16=. D-2M4&3 3LO &3L3 OVH&/L3G %<. L3 OVH&/L3 -2J) 9>&/&O-9) &3 6 &3TMO &O 4) /&4)-9NO & 5 ) %. D-2M4&3 3LO &3L3 OVH&/L3G 5=, 4L3 )OT&-&&OT&3 & 2O) 3&/9& & /)RLO&3 9F2)4&3 3LO %, 6, 8 J 4) 32H) & 4L3 -LO3&-2&OT&3 &3 5=. D-2M4 &3 4) 3&/9& & /)RLO&3G 51. T/&3 OVH&/L3 -2J) 32H) &3 1=6 F2)/)O &OT/& 39 4) /&4)-9NO & 4L3 OVH&/L3 %, 6,:. D-2M4&3 3LO &3L3 OVH&/L3G 5%. 4) 32H) & 4L3 -2)/)L3 & L3 OVH&/L3 &3 %;1, 39 4) /)RNO &OT/& &44L3 &3 -LHL % ) 7. D-2M4&3 3LO &3L3 OVH&/L3G 55. U)44& 4) /)RNO 9F2)4 ) 7?8 & T)4 HLL E2& 4) 32H) & 4L3 6 TZ/H9OL3 & 4)3 L3 /)RLO&3 3&) 9F2)4 ) 77. 56. &4 P/L2-TL & 4L3 6 T/H9OL3 & 2O) P/LPL/-9NO -LOT9O2) &3 8.781$ 39 &4 6º T/H9OL &3 %:, &3-/9Q) 4) P/LPL/-9NO. 57. &4 P/L2-TL & 4L3 6 T/H9OL3 & 2O) P/LPL/-9NO 93-/&T) &3 11.=%7$ 39 &4 1º & &3TL3 T/H9OL3 &3 7. D-2M4 &3 &4 6ºG KH3
12
:" SESI'N RE#LA DE TRES. •
OB/ETI&OS
Eue el alumno aprenda a resol'er la regla de tres, tanto simple como compuesta, ya que puede decirse que es la 'erdadera ase de la mayoría de los cálculos mercantiles y la cual ayuda a resol'er la inmensa 'ariedad de los prolemas que se presentan en el comercio$ como por e#emplo el reparto de las utilidades otenidas que corresponde a cada socio en su empresa, etc. •
ACTI&IDADES DE ENTRADA.
&n usca de los conocimientos pre'ios, al inicio de la clase se le proporcionará a los alumnos un prolema referente a esta sesi!n y?o se le plantearán algunas preguntas, tanto de regla de tres como de razones y proporciones.
Pre6untas D-uándo dos magnitudes son directa e in'ersamente proporcionalesG. D-!mo se forma una proporci!n con cantidades directa e in'ersamente proporcionalesG DEué concepto tiene de la regla de tresG DEué entiende por regla de tres simple y compuestaG &tc.
Pr3ble1as 3e tomará uno de los incluidos en esta sesi!n. •
MARCO TEORICO
RE#LA DE TRES SIMPLE COMPUESTA. &s una operaci!n que tiene por o#eto hallar el cuarto término de una proporci!n cuando se conocen tres.
RE#LA DE TRES SIMPLE. 13
-uando solo inter'ienen en ella dos magnitudes,
RE#LA DE TRES SIMPLE DIRECTA. -uando las dos magnitudes son directamente proporcionales. &K&HP4L 3i 7 liros cuestan X17, 1= liros costarán XW. W I 1=C17?7I5=
RE#LA DE TRES SIMPLE IN&ERSA. -uando las dos magnitudes son in'ersamente proporcionales. &K&HP4L 3i tres homres hacen una ora en ; días, seis homres harán la misma ora en x días. WI5C;?8I6 9)3.
RE#LA DE TRES COMPUESTA. -uando inter'ienen tres o más magnitudes.
RE#LA DE TRES COMPUESTA DIRECTA. -uando todas las magnitudes son directamente proporcionales. &K&HP4L 3e han empleado 6= homres, que en 17 días han hecho 67= metros de ora$ D-uánto harán 6; homres traa#ando %7 díasG W I 67=C6;C%7? 6=C17 I <== H&T/L3.
RE#LA DE TRES COMPUESTA IN&ERSA. -uando todas las magnitudes son in'ersamente proporcionales. &K&HP4L 7 homres realizan un traa#o en 1% días, 1o homres Den cuántos días acaarán la ora, si la destreza de los primeros es a la de los segundos como 5 es a 6G 7U @ 1% @ 5 &3T. 1=U @ W @ 6 &3T. W I 1%C7C5?1=C6 I 1;=?6= I 6.7= 9)3
RE#LA DE TRES COMPUESTA MI;TA 14
-uando unas magnitudes son directa y otras son in'ersamente proporcionales. &K&HP4L 2n a'i!n que sale de Hadrid a la 'elocidad de 6== [il!metros por hora, 'olando nicamente a raz!n de ; horas diarias, tarda 5 días en hacer un recorrido de <.8== [il!metros. se pregunta Dcuántos días tardará en recorrer 5;.6== [il!metros . otro a'i!n que 'uela a la 'elocidad de ;== [il!metros por hora, 'olando nicamente 1% horas diariasG, 3 6== m.?hr"";Urs?d""5d""<.8== m. P ;== m.?hr""1%Ur?d""Wd""5;.6== m. WI5C6==C;C5;6==?;==C1%C<.8==I6 9)3
SUPUESTO (S) PRE#UNTA (P). EL SUPUESTO (S). &stá constituido por los datos de la parte del prolema que ya se conoce.
LA PRE#UNTA (P). &stá constituido por los datos de la parte del prolema que contiene la inc!gnita.
15
E/ERCICIOS DE APLICACI'N. 1. -LO 1== 94L3 & U)/9O) 3& LQT9&O&O 15= 94L3 & P)O. D-2MOTL3 94L3 & P)O 3& LQT&O/MO -LO ;= 94L3 & U)/9O) & 4) H93H) -)49)G %...2O )2TLHN094 E2& H)OT9&O& 2O) 0&4L-9) -LO3T)OT& /&-L//& 5== H. &O 7 UL/)3. DE2 /&-L//9L U)-& &O 1% UL/)3G 5. %6 LQ/&/L3 U)-&O 2O) LQ/) &O 5= \)3. D&O -2)OTL3 \)3 U)/\)O 1; LQ/&/L3 4) H93H) LQ/)G 6. ) 8== H. PL/ UL/) 2O )09NO /&-L//& -9&/T) 93T)O-9) &O 7 UL/)3. DE2 0&4L-9) &Q& 44&0)/ P)/) /&-L//&/ 4) H93H) 93T)O-9) &O 5 UL/)3G 7. 2O O9SL & 1.6= HT3 & )4T2/) U)-& 2O) 3LHQ/) & %.7= HT3 &O &4 HLH&OTL &O E2& 4) 3LHQ/) P/L2-9) PL/ 2O M/QL4 H9& 1%.7= HT3. DE2 )4T2/) T9&O& &4 M/QL4G 8. -LO -9&/T) -)OT9) & )4FLNO 3& P2&& >)Q/9-)/ 5= HT3 & T&4) & <= -H. & )O-UL. -LO 4) H93H) -)OT9) & )4FLNO D-2MOTL3 H&T/L3 & T&4) & 1.%= HT3 & )O-UL 3& PL/M >)Q/9-)/G :. 39 2O) L-&O) & U2&0L3 -2&3T) 1=.;= 3L4&3, D-2MOTL -L3T)/MO 7 -)KLO&3 & 4L3 H93HL3 -LOT&O9&OL 1%= U2&0L3 -)) 2OLG ;.&4 -L-U& & -)/H&4) -LO32H& < F)4LO&3 & F)3L49O) &O 2O /&-L//9L & 517 H. DE2 -)OT9) -LO32H9/\) P)/) 9/ & 49H) ) 1=7= H. )4 32/G <. 2O 9OT&/O)L & %%6 )42HOL3 T9&O& P/L0939LO&3 P)/) %= 3&H)O)3. DP)/) -2MOT)3 3&H)O)3 )4-)OR)/MO 4)3 P/L0939LO&3 39 3& )2H&OT) &4 9OT&/O)L &O 78 )42HOL3 HM3G.
16
1=. 39 7 Y F. & H)OT&E2944) -2&3T)O %1%.:7 3L4&3, D-2MOTL -L3T)/MO 1= FG 11.D-2M4 &3 &4 OVH&/L -2JL3 5?7 &E290)4&O ) 8=5G 1%. -LO < HT3. -VQ9-L3 & )F2) 3& 44&O)/LO 4L3 5?; & 2O T)OE2&, D-2M4 &3 32 -)P)-9) &O &-)49T/L3G 15.&O 4) -LHP/) & ; 1?5 F. & )-&9T2O)3 3& &HP4&)/LO %== 3L4&3, D-2MOT)3 49Q/)3 3& PL/MO -LHP/)/ -LO %:8= 3L4&3G 16.39 %= ULHQ/&3 U)O U&-UL 1;= H&T/L3 & 2O) LQ/) &O 1% \)3, D-2MOTL3 H&T/L3 U)/MO %6 ULHQ/&3 9F2)4H&OT& UMQ94&3 &O 1= \)3G 17.-9O-L LP&/)/9L3 F)O)/LO 1%7= 3L4&3 &O 1= \)3, D-2MOTL F)O)/MO 1% LP&/)/9L3 &O 17 \)3 &O 4) H93H) P/LPL/-9NOG 18.39 6; LQ/&/L3 T)/)O ; \)3 &O -)0)/ 2O) R)OK) & 86 H&T/L3, D-2MOTL T)/)/MO 5% ULHQ/&3 &O -)0)/ LT/) R)OK) 3&H&K)OT& & <8 H&T/L3G 1:. &O 1; \)3 2O 09)K&/L, -)H9O)OL 7 UL/)3 9)/9)3 U) /&-L//9L <== H., D-2MOTL3 H. /&-L//&/M &O 17 \)3 )O)OL ; UL/)3 9)/9)3G 1;. 3& O&-&39T)O 8= 3)3T/&3 P)/) U)-&/ 58= T&/OL3 &O %7 \)3, D-2MOTL3 3)3T/&3 3&/MO O&-&3)/9L3 P)/) U)-&/ 1;= T&/OL3 &O 5= \)3G 1<. 2O &PN39TL & 1= HT3 & P/L>2O9) T)/)/\) &O 44&O)/3& 8 \)3, -)J&OL )F2) ) /)RNO & 6= 49T/L3 PL/ 3&F2OL. 39 -)J&3& )F2) ) /)RNO & 8= 49T/L3 PL/ 3&F2OL J &4 &PN39TL T209&3& 17 HT3 & P/L>2O9), D-2MOTL3 \)3 T)/)/\) &O 44&O)/3&G %=. 2O) F2)/O9-9NO & 1;== ULHQ/&3 T9&O&O 0\0&/&3 P)/) 17 \)3 ) /)RNO & % /)-9LO&3 9)/9)3 -)) ULHQ/&. 39 3& /&T9/)O 5== ULHQ/&3, D-2MOTL3 \)3 2/)/MO 4L3 0\0&/&3 39 -)) ULHQ/& TLH) 5 /)-9LO&3 9)/9)3G %1. 2O) HME29O) -LO32H& %1= E29OT)4&3 & -)/QNO &O 1; \)3, >2O-9LO)OL : UL/)3 9)/9)3. 39 >2O-9LO)/) < UL/)3 9)/9)3 DP)/) -2MOTL3 \)3 )4-)OR)/\) %77= E29OT)4&3 & -)/QNOG %%.39 7 QLHQ)3 4&0)OT)O ;== TLO&4))3 & )F2) &O 1% \)3, T/)Q)K)OL ; UL/)3 9)/9)3, D-2MOT)3 QLHQ)3 3&/MO O&-&3)/9)3 P)/) 4&0)OT)/ 1%== TLO&4))3 &O 17 \)3 T/)Q)K)OL 8 UL/)3 9)/9)3G
17
%5. 4) >)-U)) & 2O) -)3) E2& T9&O& 6; HT3 & 4)/FL, : HT3 & )4TL, 4) P9OT)O 8 ULHQ/&3 &O 6 \)3. )0&/9F2)/ D-2MOTL3 \)3 T)/)/\)O 7 P9OTL/&3 39 T9&O&O %1 HT3 & 4)/FL J ; HT3 & )4TLG %6.&O 1% \)3 & ; UL/)3 9)/9)3 1;== LQ/&/L3 P)09H&OT)/LO 2O) -)44& & %.7 H & 4)/FL J 1=.7= HT3 & )O-UL. D-2MOTL3 \)3 U)Q/\)O T)/)L 58= LQ/&/L3 T/)Q)K)OL 8 UL/)3 9)/9)3 P)/) P)09H&OT)/ 2O -)H9OL & LQ4& 4)/FL J 11 HT3 & )O-ULG %7.3& U)O -LHP/)L <= HT3 & P)SL P)/) 0&3T9/ ) 5= )42HOL3 & 2O -L4&F9L. &4 P)SL T9&O& 1.%7 HT3 & )O-UL J -2&3T) 17= 3L4&3 &4 H&T/L. P&/L U)Q9&OL -)HQ9)L &4 2O9>L/H& J )2H&OT)L &4 OVH&/L & )42HOL3 &O %7, 3& &3&) 3)Q&/ D-2MOTL -L3T)/M 4) T&4) &4 O2&0L 2O9>L/H& 39 T9&O& 1.1= HT3 & )O-UL J &4 H&T/L 0)4& 1;= 3L4&3G. %8.39 1= ULHQ/&3 U)-&O 2O T/)Q)KL &O 1; \)3, D-2MOTL3 ULHQ/&3 3LO O&-&3)/9L3 P)/) U)-&/ 2O T/)Q)KL 7 0&-&3 H)JL/ &O 5 0&-&3 H&OL3 T9&HPLG %:.%6 LQ/&/L3 P2&&O T&/H9O)/ 2O T/)Q)KL &O 6= \)3, T/)Q)K)OL < UL/)3 9)/9)3. ) 4L3 17 \)3 3& )S)& 2O 3&F2OL &E29PL & LQ/&/L3 J T/)Q)K)OL K2OTL3 ; UL/)3 9)/9)3 )-)Q)O 4) 4)QL/ &O 5= \)3. D& -2MOTL3 LQ/&/L3 3& -LHPLO& &4 3&F2OL &E29PLG %;.&O 1= \)3 6= LQ/&/L3 U)O 4&0)OT)L 2O) P)/& & 5= HT3 & 4)/FL, 7 HT3 & )4TL J =.8= HT3 & &3P&3L/. 17 LQ/&/L3 D-2MOTL3 \)3 &HP4&)/)O P)/) U)-&/ LT/) P)/& & %= HT3 & 4)/FL, 6.7 HT3 & )4TL J =.7= HT3 & &3P&3L/, 3)Q9&OL E2& 4) &3T/&R) & 4L3 P/9H&/L3 &3 ) 4) & 4L3 3&F2OL3 -LHL 6 &3 ) 5 J 4) 9>9-24T) &4 T/)Q)KL P)/) 4) P/9H&/) P)/& &3 ) 4) 3&F2O) -LHL 5 &3 ) %G. %<.1% LQ/&/L3 T/)Q)K)OL 1= UL/)3 9)/9)3 2/)OT& %= \)3 U)O U&-UL 2O) LQ/) & 1% HT3 & 4)/FL J 7 HT3 & )O-UL, D-2MOT)3 UL/)3 9)/9)3 &Q&/MO T/)Q)K)/ 18 LQ/&/L3 2/)OT& 5= \)3, P)/) E2& U)F)O 2O) LQ/) & ; HT3 & 4)/FL J 6 HT3 & )O-ULG 5=.5= LQ/&/L3 T/)Q)K)OL ; UL/)3 9)/9)3 2/)OT& 8= \)3 U)O )3>)4T)L 2O) P93T) & %== HT3 & 4)/FL PL/ ; HT3 & )O-UL, D-2MOTL3 LQ/&/L3 HM3 3& U2Q9&/)O O&-&39T)L P)/) T&/H9O)/ &4 H93HL T/)Q)KL %= \)3 )OT&3G KH3
<:. RE#LA DE TRES. 18
2O 0&U\-24L /&-L//& 78= H. &O : UL/)3, D-2MOTL3 H. /&-L//&/M &O 1% UL/)3, H)OT&O9&OL 4) H93H) 0&4L-9)G 2O &3T)OE2& & 5.%== 49T/L3 & )F2) 3& 0)-\) &O ; H9O2TL3. D&O -2MOTL T9&HPL 3& 0)-9)/M -2)OL T&OF) 3N4L :%= 49T/L3G 4) L-&O) & -9&/TL )/T\-24L -2&3T) 1=8.;== D-2MOTL U)Q/M & P)F)/3& PL/ : & 9-UL3 )/T\-24L3G P)/) P9OT)/ 2O) P)/& & 86 H&T/L3 -2)/)L3 3& U)O 23)L ; 49T/L3 & P9OT2/), D-2MOTL3 49T/L3 & P9OT2/) U)Q/MO & )E29/9/3& P)/) P9OT)/ LT/) P)/& & 1%= H&T/L3 -2)/)L3G 2O )2TLHN094 -LO32H& 2O P/LH&9L & ; F)4LO&3 & F)3L49O) PL/ -)) UL/) J H&9) & 09)K&. D-2MOTL3 F)4LO&3 -LO32H9/M &O TLL &4 09)K&, 3& 3T& 2/) 17 UL/)3G 3& U)O -LHP/)L %6 )/T\-24L3 & 9F2)4 P/&-9L PL/ 116.===. D-2MOTL 3& O&-&39T)/M P)/) -LHP/)/ ; L-&O)3 J H&9)G 2O &9>9-9L T9&O& 1<.7== H&T/L3 -2)/)L3 -LO3T/29L3 J &3TM0)4L/9R)L &O %== -)) H&T/L -2)/)L, )4 0&O&/4L 3& U) 9099L &O ; )P)/T)H&OTL3 & 4) H93H) &WT&O39NO. D-2M4 &3 &4 M/&) J &4 P/&-9L & -)) )P)/T)H&OTLG 2O /L44L & P4)O-U) H&TM49-) -2&3T) :=.=== J LT/L /L44L & 4) H93H) -)49) P&/L -LO %= H&T/L3 HM3 E2& &4 P/9H&/L -2&3T) :%.;==. D-2MOTL3 H&T/L3 & P4)O-U) T9&O& -)) 2OL & 4L3 /L44L3 J -2M4 &3 &4 P/&-9L & -)) H&T/LG -2)T/L L-&O)3 & 49Q/L3 0)4&O T)OTL -LHL 3&93 L-&O)3 & -LHP)3&3 -9O-L L-&O)3 & -LHP)3&3 0)4&O T)OTL -LHL 2O) L-&O) & 4)P9-&/L3. D-2MOTL 0)4& 4) L-&O) & 49Q/L3 39 2O 4)P9-&/L -2&3T) 1==G 2O -LOT/)T93T) P&O3N T&/H9O)/ 2O) LQ/) &O 18 \)3 T/)Q)K)OL 1= UL/)3 9)/9)3 P&/L PL/ 4)3 44209)3 T/)Q)KN 3L4L 6 UL/)3 9)/9)3. D-2MOTL3 \)3 &HL/N &O T&/H9O)/ 4) LQ/)G 1%= -)Q)44L3 T9&O&O >L//)K& P)/) ; \)3, 39 3& 0&O&O 6= -)Q)44L3, P)/) -2MOTL3 \)3 HM3 T&O/MO -LH9) 4L3 /&3T)OT&3G 39 % LQ/&/L3 U)-&O 2O T/)Q)KL &O %= \)3 DE2 P)/T& &4 T/)Q)KL U)/MO 8 LQ/&/L3 &O 17 \)3G 39 %6 4)T)3 & P/L0939LO&3 3LO O&-&3)/9)3 P)/) ; P&/3LO)3 &O 7 \)3 D-2MOT)3 4)T)3 3& O&-&39T)O P)/) 7 P&/3LO)3 &O < \)3G 19
2O) 0)-) &3TM )T)) ) 2O) &3T)-) &O 2O )4>)4>)/ J -LO32H& &O 2O \) &4 P)3TL E2& U)J &O 2O -9/-24L & 5 H&T/L3 & /)9L. D&O -2MOTL3 \)3 -LO32H9/M 4) )4>)4>) E2& U)J &O 2O -9/-24L E2& U)J &O < H&T/L3 & /)9LG P)/) PLO&/ -3P& &O 2O K)/\O -9/-24)/ 3& P)F) 67=. D-2MOTL HM3 3& P)F)/M 39 3& T/)T) & 2O K)/\O -2JL /)9L &3 &4 T/9P4&G L-& LQ/&/L3 T/)Q)K)OL < UL/)3 9)/9)3 2/)OT& 18 \)3 U)O U&-UL 1%= H&T/L3 & -)H9OL. D-2MOTL3 \)3 O&-&39T)/MO 1; LQ/&/L3 T/)Q)K)OL 1= UL/)3 9)/9)3 P)/) U)-&/ 7== H&T/L3 & 4) H93H) LQ/)G ; LQ/&/L3 U)O U&-UL 2O) R)OK) & 17 H&T/L3 & 4)/FL PL/ % H&T/L3 & )O-UL J 5 H&T/L3 & P/L>2O9) , T/)Q)K)OL < UL/)3 9)/9)3 &O 6= \)3. DE2 )O-UL &Q&/M T&O&/ LT/) R)OK) & 18 H&T/L3 & 4)FL, J T/&3 H&T/L3 & P/L>2O9) P)/) E2& P2&) 3&/ T&/H9O)) PL/ 1% LQ/&/L3 &O 7= \)3, -LO 2O T/)Q)KL 9)/9L & 1= UL/)3G 2O -9-493T) -L//9&OL ) 1= H. PL/ UL/) /&-L//&, &O 0)/9)3 &T)P)3, 2O -)H9OL &HP4&)OL ; \)3 ) /)RNO & < UL/)3 PL/ \). D) E2 0&4L-9) T&O/M E2& 9/ 39 &3&) &HP4&)/ 3L4L 8 \)3 ) /)RNO & 1= UL/)3 9)/9)3G L3 LP&/)/9L3 /&-9Q9&/LO 58=.=== PL/ 32 T/)Q)KL U&-UL &O -LOK2OTL. 39 2OL & &44L3 T/)Q)KN ) /)RNO & ; UL/)3 9)/9)3 2/)OT& 5= \)3 J /&-9Q9N 166.=== D-2MOTL3 \)3 ) /)RNO & < UL/)3 9)/9)3 T/)Q)KN &4 LT/L, F)O)OL 9F2)4 PL/ UL/)G 17 LQ/&/L3 U)O U&-UL 4) H9T) & 2O T/)Q)KL &O %= \)3 &O &3& HLH&OTL )Q)OLO)O &4 T/)Q)KL 7 LQ/&/L3 D-2MOTL T)/)/MO &O T&/H9O)/ &4 T/)Q)KL 4L3 LQ/&/L3 E2& E2&)OG KH3
20
!" SESI=N TANTO POR CIENTO. OB/ETI&OS.
•
Eue el alumno adquiera el conocimiento y los procedimientos rápidos para determinar y aplicar el tanto por ciento, puesto que en la práctica es el que más aplicaci!n tiene en el comercio, para determinar los descuentos en facturas cuando se 'ende o compra, para calcular las comisiones que percien los 'endedores o representantes, para calcular las primas de seguros, los intereses que producen los capitales, para calcular la inflaci!n o deflaci!n, los sueldos reales 'ersus los nominales, etc. •
ACTI&IDAD DE ENTRADA.
Para estalecer el ni'el del conocimiento pre'io con que llega el alumno a esta sesi!n, se le planteará un prolema del tanto por ciento, regla de tres simple o compuesto, así como preguntas sore el tema de la sesi!n.
Pre6untas DEué es el tanto por cientoG D-!mo se encuentra el porcenta#e de un nmeroG 21
D-!mo se encuentra qué tanto por ciento de un nmero es otro nmeroG D-!mo se encuentra la ase, conocidos el tanto por ciento y el porcenta#eG D-!mo se efecta la con'ersi!n de querados comunes a tanto por cientoG
E0er4i4i3s 5 Pr3ble1as. 3e hará uso de un prolema de los considerados en la sesi!n. •
MARCO TE'RICO.
3e llama tanto por ciento de un nmero a una o 'arias de las cien partes iguales en que se puede di'idir dicho nmero, es decir, uno o 'arios centésimos de un nmero. Tamién puede expresarse qué es el nmero de unidades que se toman de un con#unto de 1==.
P3r4enta0e &s el tanto por ciento de una cantidad. Prolemas a que da lugar el tanto por ciento. &ncontrar el porcenta#e de un nmero se multiplica este nmero por el tanto por ciento y el producto se di'ide por 1==. &#emplo Uallar el 17] de :% 17C:%?1== I 1=.;= &ncontrar qué tanto por ciento de un nmero es otro nmero Para encontrar qué tanto por ciento de un nmero *Qase+ es otro nmero *Porcenta#e+, se multiplica por 1== el porcenta#e y el producto se di'ide por la ase. &#emplo Uallar que tanto por ciento de %;== es 1%8 1==C1%8?%;== I 6.7=] &ncontrar la ase, conocidos el tanto y el porcenta#e. 3e multiplica por 1== el porcenta#e y este producto se di'ide por el tanto. &#emplo D-uál es el importe de una factura cuyo descuento del 6] es de ;= solesG 22
;=C1==?6 I %=== soles.
E/ERCICIOS DE APLICACI'N. 1. 2O )F&OT& 0&O&L/ /&)49R) 0&OT)3 PL/ %76== 3L4&3. D-2MOTL /&-9Q9/M 39 32 -LH939NO &3 &4 6]G %. 39 PL/ 4) 0&OT) & /&>/9F&/)L/)3 &4 0&O&L/ -LQ/) &4 1=], D-2M4 3&/M 32 -LH939NO &O 4) 0&OT) & 2O) & ;.77= 3L4&3G 5. 2O -LH939LO93T) 0&O9N 0\0&/&3 PL/ 1%.8;=,%= 3L4&3 J -LQ/N 5] & -LH939NO, D-2MOTL /&-9Q9NG. 6. DE2 32H) /&-9Q9/M 2O -L//&L/ PL/ 4) 0&OT) & 2O) -)3) &O 23X 58=.===, 39 -LQ/) &4 %] & -L//&T)K&G 7. 2O -L//&L/ 0&O9N 8; )--9LO&3 & 2O) -LHP)S\), & 7== 3L4&3 -)) 2O). DE2 -)OT9) /&-9Q9N -LQ/)OL &4 1 B ] & -L//&T)K&G 8. 4) 3&SL/) 323)O) -LHP/N 2O T&4&093L/ & %1.7== 3L4&3, /&-9Q9&OL 2O &3-2&OTL &4 %7]. D-2MOTL P)FN PL/ &4 T&4&093L/G :. 2O &HP4&)L F)O) %.6== 3L4&3 H&O32)4&3. D-2M4 &3 32 P&/-9QL 4\E29L 39 4& &3-2&OT)O &4 8] P)/) &4 >LOL & 32 K2Q94)-9NO J &4 % B ] P)/) &4 3&F2/L & 3)42G. ;. )OTLO9L T&O\) ;7=.;%7 3L4&3 & 9O09/T9N &4 %=] &O 0)/9L3 T&//&OL3. &4 %6] &O )--9LO&3, &4 51] &O 2O) >9O-) /V3T9-), J &4 /&3TL 4L &PL39TN &O 2O Q)O-L. D-2MOTL &PL39TN &O &4 Q)O-LG <. 2O -LH&/-9)OT& -LHP/N 17= P4)O-U)3 &4-T/9-)3 ) <7 3L4&3 -)) 2O). E29&/& 0&O&/4)3 /&)49R)OL 2O Q&O&>9-9L &4 1=]. 39 0&O& 4) H9T) ) 11= 3L4&3 -)) 2O), D) -2MOTL &Q& 0&O&/ -)) 2O) & 4)3 /&3T)OT&3G 1=. 2O -LH&/-9)OT& -LHP/) %7= -LP)3 & -/93T)4 ) <= 3L4&3 4) L-&O). )4 T/)O3PL/T)/4)3 3& 4& /LHP&O 17. D) E2 P/&-9L &Q&/M 0&O&/ 4)3 /&3T)OT&3 P)/) LQT&O&/ 2O Q&O&>9-9L TLT)4 &4 %=]G. 11. ) 2O )F&OT& 4& U)-&O 4)3 T/&3 P/LPL39-9LO&3 39F29&OT&3 1º 2O 32&4L >9KL & 6.%== 3L4&3 H&O32)4&3$ %º 2O 32&4L & %.7== 3L4&3 J )&HM3 %] & -LH939NO 3LQ/& 4L3 P&9L3 E2& P/LPL/-9LO)/M ) 4) -)3), J 5º 2O) -LH939NO &4 ;] 3LQ/& 4L3 P&9L3, 39O 32&4L >9KL. 39 3& -)4-24) 2O) 0&OT) )O2)4 & 78=.=== 3L4&3, D-2M4 & 4)3 T/&3 L>&/T)3 3&/M P)/) 4 4) HM3 0&OT)KL3)G 23
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
24
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
KH3.
<: TANTO POR CIENTO 2O 0&O&L/ /&-9Q& & -LH939NO &4 ;] & 4)3 0&OT)3 E2& /&)49R). D-2MOTL 3&/M &4 TLT)4 & -LH939NO & 2O H&3 39 U) /&)49R)L 0&OT)3 PL/ 5_ ;8=,===G 3& U) -LHP/)L 2O )/T\-24L PL/ 16=,=== J 3& E29&/& 0&O&/ F)O)OL &4 %7]. D) -NHL &Q& 0&O&/3&G &O 2O -L4&F9L & 6,=== )42HOL3 &4 57] 3LO >2TQL493T)3 J &4 %7] 3LO Q)3E2&QL493T)3. D-2MOTL3 )42HOL3 P/)-T9-)O &4 >VTQL4 J -2MOTL3 &4 QM3E2&TG 25
39 3& 0&O& 2O) /&39&O-9) &O 7;=,=== P&/9&OL &4 %=] D-2M4 &/) &4 -L3TLG. 2O ULHQ/& 0&O9N 2O Q)/-L F)O)OL 67=,===, 39 &3T) F)O)O-9) /&P/&3&OT) &4 17] &4 -L3TL, D-2MOTL 4& -L3TN &4 Q)/-LG &4 6] & 4L3 )42HOL3 & 2O -L4&F9L >L/H)O 2O) 3&--9NO & 7= )42HOL3. D-2MOTL3 )42HOL3 T9&O& &4 -L4&F9LG 4) -LH939NO & 2O )F&OT& &3 &4 1%] & 4)3 0&OT)3 E2& U)F)$ 39 &O -9&/T) LP&/)-9NO 32 -LH939NO U) 39L 56;,=== D-2M4 >2& &4 9HPL/T& & 4) 0&OT)G -2M4 &3 &4 OVH&/L -2JL %7] 93H9O29L &O ;8 ) -LHL /&324T)L 116G 39 )4 5=] & 2O OVH&/L 3& 4& 32H) &4 1%] & 9-UL OVH&/L &4 /&324T)L &3 5:;. D-2M4 &3 &3& OVH&/LG 2O 49Q/L J 2O -2)&/OL -2&3T)O ;==, 39 &4 49Q/L -2&3T) 8=] HM3 E2& &4 P/&-9L &4 -2)&/OL, D-2M4 &3 &4 P/&-9L & -)) 2OLG DE2 OVH&/L 93H9O29L &O 323 ; Y ] 3& -LO09&/T& &O 1=<7G )4 0&O&/ 2O &9>9-9L &O ;6=,=== 3& F)O) &4 7] &4 P/&-9L & -LHP/). D-2MOTL -L3TN &4 &9>9-9LG )4 0&O&/ 2O LQK&TL &O 1`%==.<8= 3& F)O) &4 ;] &4 P/&-9L & -L3TL.D-2MOTL -L3TN &4 LQK&TLG 3& -LHP/) 2O LQK&TL &O 7%=.=== J 3& E29&/& 0&O&/ F)O)OL &4 %=] &4 P/&-9L. D&O -2MOTL 3& &Q& 0&O&/G
/&-9N &4 %=] & -LH939NO J 2O) 0&R &>&-T2)) 4) T/)O3)--9NO /&-9Q9HL3 11 3L4&3 D-2M4 >2& &4 0)4L/ & 4) 0&OT)G 5. DE2 PL/-&OT)K& & 58 &3 =, =85G
26
6. & E2 OVH&/L &3 %87 &4 8] HM3. 7.
& E2 OVH&/L &3 18; &4 6] H&OL3.
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
27
1<. D-2M4 &3 &4 -L3TL & 2O) HME29O) & &3-/9Q9/ E2& 3& 0&O9N PL/ 3?. 7.;%= -LO 2O %=] & Q&O&>9-9LG %=. 2O 49Q/L U) -L3T)L )4 &9TL/ 3?. %==.:7, &4 &K&HP4)/ J &3&) 0&O&/4L ) 2O P/&-9L E2& 4& P&/H9T) )/ 2O %=] & -LH939NO )4 -L//&L/ 3LQ/& &4 P/&-9L & 0&OT) J F)O)/ 4 2O %7] 3LQ/& &4 -9T)L P/&-9L D) -2MOTL &Q&/M 0&O&/ &4 49Q/LG %1. 2O) P9&R) & P)SL 3& 0&O9N ) 3?. 1%:.7= &4 H&T/L -LO 2O 17] & P/9) D-2M4 >2& 32 -L3TLG %%. 2O -LH&/-9)OT& U) -LHP/)L 2O) P)/T9) & FO&/L3 &O 3?. 7.6==,) P)F)/ &O 5= \)3, P&/L )4 /&-9Q9/ 4) >)-T2/) & 32 P/L0&&L/ 4&& 4)3 39F29&OT&3 -LO9-9LO&3 ) P)F)/ &O 5= \)3. )4 -LOT)L, ;] & &3-2&OTLb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
%" SESI'N PRECIO DE COSTO9 PRECIO DE &ENTA9 PRECIO DE LISTA. 28
•
OB/ETI&OS.
4ograr que el alumno sea capaz de determinar el eneficio o utilidad de una operaci!n comercial, el precio de costo, precio de 'enta o precio de lista. •
ACTI&IDAD DE ENTRADA.
) los alumnos se le proporcionará un e#ercicio correspondiente al tema de la sesi!n, o del tanto por ciento, o regla de tres, para determinar el ni'el de conocimiento con que llega. •
MARCO TE'RICO.
&n esta sesi!n 'eremos la aplicaci!n de los porcenta#es prolemas de pérdidas y ganancias.
a la resoluci!n de los
4as transacciones desarrolladas en el comercio podemos reducirlas ásicamente a dos operaciones 'entas y compras. la primera consiste en entregar mercancías por dinerob, y la segunda en entregar dinero por mercancíasb. 4as transacciones indicadas se efectan con la idea de lograr un eneficio o utilidad, el cual se alcanza cuando el precio de 'enta es mayor que el precio de compra$ aunque a 'eces por di'ersas circunstancias, solo se otiene pérdida, la cual se da cuando el precio de compra es mayor que el precio de 'enta.
PRECIO DE COSTO &s el precio de adquisici!n o precio de compra de una mercancía.
CLASES PRECIO DE COSTO &l precio de costo puede ser de dos clases
C3st3 Net3, incluye solamente el precio de compra de una mercancía. C3st3 T3tal, cuando al precio de costo neto, se le incluye los gastos de transporte hasta el almacén, carga, descarga, etc, Pre4i3 De Lista &s el precio de lista o catálogo al que dee 'enderse un ien y?o ser'icio. Pre4i3 De &enta 4a cantidad de dinero que paga un consumidor por los ienes y?o ser'icios que recie, constituye el precio de 'enta. RESOLUCI'N DE PROBLEMAS 29
3e pueden presentar los siguientes casos
," CASO eterminaci!n del precio de 'enta de una mercadería. -onocido el costo total y el tanto por ciento de utilidad o pérdida. &K&HP4L =1 D) cuánto asciende la 'enta de una mercadería si esta fue efectuada con un 17] de pérdida, saiendo que cost!;.%== solesG 0&OT) @ -L3TL I 2T949) *P/9)+ 0&OT) I -L3TL @ P/9) ;.%== C 17] I ;.%==C=.17I 1.%5= 3L4&3 & P/9). 4) H&/-)&/9) >2& 0&O9) ) ;.%=="1.%5=I8.<:= 3L4&3. &K&HP4L =% D-uál es el importe de la 'enta de una mercadería que ha costado 157.=== soles si se quiere ganar el %7]G 0&OT) @ -L3TL I 2T949) *P/9)+ 0&OT) I -L3TL A 2T949) 0&OT) I 157.=== A *157.===C%7]+ 0&OT) I 157.=== A 55.:7=I 18;.:7= /pta
:" CASO eterminar el tanto por ciento de costo total y el importe de la 'enta.
utilidad o pérdida.conocido el
&K&HP4L 3i una empresa otu'o durante el a(o antepasado utilidades de 87.=== soles y al a(o siguiente aumentaron a 1:.7== soles. Dqué tanto por ciento representa el aumento alcanzado el segundo a(oG PL/ /&F4) & T/&3 39HP4& 3)Q&HL3 E2& 87.=== &3 ) 1== -LHL 1:.7== &3 )W 87.===?1==I1:.7==?W, & LO& W I 1:.7==C1==?87.=== I %8,<%] /espta.
30
!" CASO eterminar el costo de una mercadería, conocido el importe de la 'enta y el tanto por ciento de utilidad o pérdida. -onsiste en multiplicar el costo por el tanto por ciento in'ertido. &K&HP4L =1 D-uál sera el costo de un producto que se ha 'endido por ;.<:7 soles más que el costo, saiendo que la utilidad representa el %%]G 0&OT) @ -L3TL A 2T949) -L3TL I 0&OT) @ 2T949) -L3TL I* -L3TL A ;.<:7+ @ *-L3TLC%%]+ -L3TL I -L3TL A ;.<:7 @ =,%%-L3TL -L3TL @ -L3TL A =,%%-L3TL I ;,<:7 =,%%-L3TL I ;.<:7 -L3TL I ;.<:7?=,%%I 6=:<7,67 3L4&3. /pta. &K&HP4L =% D-uál será el costo de una máquina que se 'endi! en :.<67 soles con un %=] de utilidadG 0&OT) @ -L3TL A 2T949) -L3TL I 0&OT) " 2T949) -L3TL I :.<67 @ *-L3TLC%=]+ -L3TL *-L3TLC=,%7+ I :.<67 1,%7 -L3TL I :.<67 -L3TL I :.<67?1.%7 I 8.578 /espta. &K&HP4L =5. 2na pieza de pa(o se 'endi! en 17: soles el metro con %=] de pérdida. D-uál fue su costoG 0&OT) @ -L3TL I P/9) 0&OT) I -L3TL " P/9) 17: I -L3TL " *-L3TLC17]+ 17: I -L3TL @ =,17-L3TL 17: I =,;7-L3TL 17:?=,;7 I -L3TL 1;6,: I -L3TL /pta.
31
CÁLCULO DE LA UTILIDAD SOBRE EL PRECIO DE &ENTA. )lgunas 'eces la utilidad se calcula sore el precio de 'enta y esto es deido a que los gastos de colocar un producto al alcance de los clientes son calculados sore dicho precio. &ste caso nos lle'a a determinar a qué precio deerá 'enderse un producto para otener una utilidad sore el precio de 'enta. &K&HP4L. 2n liro ha costado al editor 7== soles el e#emplar y desea 'enderlo a un precio que le permita dar un %7] de comisi!n al corredor sore el precio de 'enta y ganar él un %7] sore dicho precio. D) cuanto deerá 'ender el liroG 0&OT) I -LHP/) A 2T949) 0&OT) I 7== A *%7] A %7]+ 0&OT) 0&OT) I 7== A 7=] 0&OT) 0&OT) I 7== A=,7=0&OT) 0&OT) @ =,7=0&OT) I 7== =,7= 0&OT) I 7== 0&OT) I 7==?=,7=I 1.=== 3L4&3 /espta. iferencia entre el tanto por ciento calculado sore el precio de costo y el precio de 'enta. 4a diferencia entre el porcenta#e calculado sore el precio de 'enta y compra es considerale y será tanto mas considerale cuanto mayor sea la utilidad calculada sore la 'enta. &K&HP4L 2n producto que ha costado 1== soles se quiere 'ender con un 5=] de utilidad sore el precio de costo, por lo que se deerá 'ender a 15= soles. esta utilidad de 5= soles sore el precio de 'enta solo representaría 5=?15=I =,%5=:8<%5C1==I%5,=;]$ en lugar del 5=] que representa sore el precio de costo.
32
E/ERCICIOS DE APLICACI'N 1. 39 3& )2H&OT) &O 32 ;] &4 P/&-9L & 2O )/T\-24L, &4 O2&0L P/&-9L &3 1,8%. D-2M4 &/) &4 P/&-9L 9O9-9)4G %. &3P23 & /&Q)K)/H& &4 1;] &4 P/&-9L & 2O) -)K) & T)Q)-L, T&OFL E2& P)F)/ PL/ &44) %,;:. D-2M4 &/) &4 P/&-9L 9O9-9)4G 5. )4 0&O&/ 2O) -)3) & 85.=== 3& F)O) &4 7] &4 P/&-9L & -LHP/). D-2MOTL U)Q\) -L3T)L 4) -)3)G 6. 2O -)Q)44L J 32 3944) U)O -L3T)L %1=. 3)Q9&OL E2& &4 P/&-9L & 4) 3944) &3 &4 6=] &4 P/&-9L &4 -)Q)44L, U)44)/ &4 0)4L/ &4 -)Q)44L J & 4) 3944)G 7. 2O -LH&/-9)OT& -LHP/) 3LHQ/&/L3 ) 1; 3L4&3. D) -NHL T9&O& E2& 0&O&/4L3 P)/) F)O)/ &4 %=] &4 -L3TLG 8. 2O -LH&/-9)OT& -LHP/) 3LHQ/&/L3 ) 1; 3L4&3. D) -NHL T9&O& E2& 0&O&/4L3 P)/) F)O)/ &4 %=] & 4) 0&OT)G :. )4 0&O&/ 2O) -)3) &O :7.=== 3& P9&/& &4 %7] &4 -L3TL. D-2MOTL U)Q/9) -L3T)L 4)-)3)G ;. )4 0&O&/ 2O) -)3) &O :7.=== 3& P9&/& &4 %7] & 4) 0&OT). D-2MOTL U)Q\) -L3T)L 4) -)3)G <. 3& -LHP/) )/T\-24L3 ) 2O 1=] H&OL3 E2& &4 P/&-9L & -L3TL J 3& 0&O& ) 2O 1=] HM3 E2& &4 P/&-9L & 493T). DE2 PL/-&OT)K& &4 -L3TL 3& F)O)G 1=. 0&O\ L3 -)3)3 ) :%== -)) 2O). &O 2O) P&/\ &4 %7] &4 P/&-9L & 0&OT) J &O 4) LT/) F)O& %7] &4 -L3TL. DF)O L P&/\ &O TLT)4 J -2MOTLG 11. 3& 0&O& 2O) Q9-9-4&T) &O <8= P&/9&OL &4 %=] & 32 0)4L/. D-2MOTL U)Q\) -L3T)LG 15. &OH) -LHP/N 2O) Q423) J 2O) >)4) PL/ %1:. 39 4) >)4) 4& -L3TN 77] HM3 E2& 4) Q423), D-2MOTL P)FN PL/ 4) >)4) J -2MOTL P)FN PL/ 4) Q423)G
33
KH3 7º 3&39NO.
&W)H&O P)/-9)4
&l alumno deerá resol'er un examen compuesto por cinco preguntas correspondientes a los temas tratados en las 6 sesiones anteriores. +" SESI'N INTER8S SIMPLE. •
OB/ETI&OS.
3e pretende que al finalizar estas sesiones, el alumno domine uno de los más importantes cálculos mercantiles, por la gran aplicaci!n que tiene en la mayoría de las operaciones comerciales y, por lo tanto, sea capaz de determinar los intereses, el capital, la tasa de interés, el tiempo y monto comprometidos en dichas operaciones. •
ACTI&IDAD DE ENTRADA.
) loa alumnos se les planteara un prolema de los que cuenta esta sesi!n y?o adicionalmente, preguntas relacionadas con al interés simple, proporciones, tanto por ciento, con el o#eto de medir el ni'el de conocimientos pre'ios con los llega a esta 8º sesi!n.
PRE#UNTAS DEué noci!n tiene del interés simpleG D-!mo está di'idido el interésG D-uáles son los elementos del interésG D-!mo se efectan los cálculos para determinar el interés, capital, tanto por ciento, el tiempo y el montoG
PROBLEMAS E0e12l3s D) qué tanto por ciento se deen prestar 578:,6= soles para otener 85:,7= soles de interés en tres a(os y siete mesesG DEué capital producirá 1576.%= soles de intereses en % a(os, 7 meses y 1= días, al 8]G •
MARCO TE'RICO.
INTER8S SIMPLE.
34
&s la ganancia que produce una cantidad de dinero *capital inicial+ a un tanto por ciento y en un tiempo determinado, sin que el capital inicial 'aríe. 4a /egla de 9nterés es una operaci!n por medio de la cual se halla la Fanancia o interés que produce una suma de dinero o -apital prestado a un Tanto Por -iento dado y durante un Tiempo determinado.
4a /egla de 9nterés es una de las más importantes en los cálculos mercantiles por la multitud de aplicaciones prácticas que tiene en la mayoría de las operaciones que se conciertan en el comercio 3u o#eto es calcular la ganancia que produce cualquier cantidad que se presta durante cierto tiempo a condici!n de que produzca, a quien la ha prestado, cierto eneficio que se estipula en un Tanto Por -iento de la cantidad prestada, con arreglo al tiempo que haya permanecido en su poder. &n esta regla se llama
CAPITAL 3 PRINCIPAL ) la cantidad que se presta o deposita. * - +
TASA DE INTER8S )l Tanto Por -iento que produce esta cantidad durante el tiempo que está en poder del prestatario * i +. INTER8S ) la ganancia que produce al prestador por el -apital Prestado o colocado a la Tasa estalecida y durante el Tiempo fi#ado. * 9 +. TIEMPO ) los días, meses, trimestres, semestres o a(os durante los cuales ha estado la cantidad en poder del prestatario. 3e considera el lapso comprendido entre la fecha del préstamo y la fecha de 'encimiento. * t + CLASES DE INTER8S El inter>s 2uede ser SIMPLE 3 COMPUESTO. &s 39HP4& cuando el interés o rédito, es decir, la ganancia que produce el -apital prestado, se percie al final de períodos iguales de tiempo, sin que el capital 'aríe. &s -LHP2&3TL cuando los intereses que produce el capital se suman al capital, al final de cada período de tiempo, formando de este modo un nue'o capital.
INTER8S SIMPLE 35
>!rmula 9I-CiCt 3iendo el tiempo 1 a(o, diremos 3?. 1== producen i al a(o 3?. - C 1 producirá 9 al a(o
tI1
-omo el -apital y el 9nterés son directamente proporcionales, porque a dole -apital, dole 9nterés, formaremos la proporci!n 1. 1== ? - C 1 I i ? 9 %. 1== C 9 I - C 1 C i 5. Tendremos 9 I - C i C 1?1== - I 9 ? i C 1?1==
,
espe#ando i I 9 ? - C 1?1==
3iendo el tiempo 'arios a(os. &l 9nterés que produce un -apital - durante t a(os es -C t. , por lo tanto diremos 3?. 1== 3?. - C t
producen producirán
9
i
al a(o al a(o
>ormando la proporci!n 1== ? - C t I i ? 9
y despe#ando tendremos
9 I - C i C t ? 1==
- I 9 ?? i C t ? 1==
i I 9 ?? - C t ? 1==
t I * 9 ? - C i + 1==
3i la tasa de interés se expresa segn el método del tanto por uno las f!rmulas se simplificarían de la siguiente manera * i ? 1== + 9I-CiCt
-I9?iCt
iI9?-Ct
tI*9?-Ci+
3iendo el tiempo meses 3?. 1== producen 3?. - C t ? 1% producirán
9
i al a(o
>ormando la proporci!n 1== ? - C t ? 1% I i ? 9 y despe#ando tendremos 36
9 I - C i C t ? 1%== i I 9 ?? - C t ? 1%==
- I 9 ?? i C t ? 1%== t I * 9 ? - C i + 1%==
-omo en el caso anterior, si expresamos la tasa de interés segn el método del tanto por uno, las f!rmulas se simplificarían an más como sigue 9 I - C i C t ? 1%
- I 9 ?? i C t ? 1%
i I 9 ?? - C t ? 1%
t I * 9 ? - C i + 1%
3iendo el tiempo días. 3?. 1== producen i al a(o 3?. - C t ? 58= producirían 9 >ormando la proporci!n 1== ? - C t ? 58= I i ? 9 9 I - C i C t ? 58=== i I 9 ?? - C t ? 58===
y despe#ando tendremos - I 9 ?? i C t ? 58=== t I * 9 ? - C i + 58===
-omo en los casos anteriores, estas f!rmulas quedarían simplificadas como sigue * tanto por uno + 9 I - C i C t ? 58=
- I 9 ?? i C t ? 58=
i I 9 ?? - C t ? 58=
t I * 9 ? - C i + 58=
/esumiendo las f!rmulas 'istas hasta el momento, estas pueden quedar resumidas en las siguientes tres 9 I - C i C )(os
9 I - C i C Heses ? 1%
9 I - C i C días ? 58=
37
E/ERCICIOS DE APLICACI'N. 1.D) -2MOTL )3-9&O& &4 9OT&/3 F)O)L PL/ 2O -)P9T)4 & 3?. 1.%== 2/)OT& 5 )SL3 ) 2O) T)3) )O2)4 & 16]G 3?. 7=6.== /PT). % .U)44)/ &4 9OT&/3 & 3?. 8== )4 5 B ] )O2)4 &O 6 )SL3. 3?. ;6.== /PT). 5. 2O -)P9T)4 & 3?. 7.=== 3& U) 9O-/&H&OT)L &O 2O 17] PL/ /)RNO & 9OT&/3 39HP4& )4 8] )O2)4. U)44& &4 T9&HPL & LP&/)-9NO. %.7= )SL3. /PT). 6. DE2 -)P9T)4 )4 58] )O2)4 2/)OT& 5 )SL3 P/L2KL 2O 9OT&/3 & 3?. 56.7=8G .51.<7= /PT). 7. 3& -L4L-)O L3 -)P9T)4&3 &O &4 Q)O-L. 2OL & 4L3 -)P9T)4&3 &/) 3?" 5.=== 9O>&/9L/ )4 LT/L. &4 H)JL/ >2& -L4L-)L )4 ;] )O2)4 J &4 H&OL/ )4 1%] )O2)4. 4L3 9OT&/&3&3 0&O-9L3 P/L2K&/LO 3?. 5;.%== &O 2O )SL. D-2M4&3 >2&/LO 4L3 -)P9T)4&3G .1<%.;== /PT). 1 1;<.;== /PT). % 8. U)44)/ 4L3 9OT&/&3&3 & 3?. 5;.=== )4 %<] )O2)4 & 9OT&/3 39HP4&, &OT/& &4 7 & )Q/94 J &4 16 & K2O9L 9 I %.16%. :; /PT). :. &T&/H9O)/ &4 9OT&/3 39HP4& 3LQ/& 3?. :7=.== )4 6] 2/)OT& B )SL. ) 17.== /PT). ;. DE2 -)P9T)4 P/L2-& &O ; H&3&3 * ) + 3?. 6; )4 8], * Q + 3?. 7= )4 7] 1.%== /PT). 1.7== /PT). <. DU)44)/ &4 9OT&/3 39HP4& & 3?. <== 2/)OT& 1%= \)3 )4 7]G 1=. U)44)/ 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& 3)Q9&OL E2& &4 -)P9T)4 & 3?. 1.87= &3 * ) + 3?. 1.8::,7= &O 6 H&3&3, * Q + 1.:=7 &O 1= H&3&3 * ) + 7,==] /. * Q + 6,==] /. 11. DE2 -)P9T)4 P/L2-& &O ; H&3&3, * ) + 3?. 6; )4 8], * Q + 3?.7= )4 7]G 9I-C9CT -I9?9CT * ) + 1.%== /PT). * Q + 1.7== /PT) 38
1%.D-2MOTL 3& U)Q/M )-2H24)L )4 -)QL & 8 )SL3 39 3& -L4L-N 2O -)P9T)4 & 3?. 5.=== )4 ;] & 9OT&/3 39HP4& )O2)4G .6.66= /PT). 15. U)44& &4 HLOTL E2& F&O&/) 2O -)P9T)4 & 3?. :.=== -L4L-)L 2/)OT& %17 \)3 ) 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 &4 58] ;.7=7 /PT). 16.DE2 -)P9T)4 >2& -L4L-)L )4 7] & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 E2& )4 -)QL & 5 )SL3 3& -LO09/T9N &O 3?. %5.===G . %=.=== /PT). 17.D) E2 T)3) )O2)4 >2& -L4L-)L 2O -)P9T)4 & 3?. 7.=== P)/) E2& )4 -)QL & 7 )SL3 3& T/9P49E2&G 6= ] /PT). 18.D &O -2MOTL T9&HPL 2O -)P9T)4, E2& /&P/&3&OT) &4 :7] & 2O HLOTL & 3?. ;.===, >2& -L4L-)L ) 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 &4 58]G 11 H&3&3 J 5.5 \)3. /PT). 1:. U)44)/ 4L3 9OT&/&3&3 & 3?. 5;.=== )4 %<] & 9OT&/3 39HP4& )O2)4, &OT/& &4 7 & )Q/94 J &4 16 & K2O9L. %.16%, :; /PT). 1;. DE2 -)P9T)4 )4 58] & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 2/)OT& 5 )SL3 P/L2KL 2O 9OT&/O3 & 56.7=8G 51.<7= /PT). 1<. D-2M4 &3 4) T)3) )O2)4 & 9OT&/3 39HP4& E2& 3& U) )P49-)L P)/) E2& 2O -)P9T)4 & 3?. ;.=== -L4L-)L &O % )SL3 J 8 H&3&3 U)J) F)O)L 3?. 8.===G 5=] /PT). %=. 2O -)P9T)4 & 3?. 7.=== 3& U) -LO0&/T9L &O 3?. 7.:7= J 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 &4 %1]. U)44)/ T9&HPL & 4) LP&/)-9NO. %7:.16 \)3. /PT). %1. 2O) -LLP&/)T90) & -/9TL LTL/F) 2O P/3T)HL & 3?. %=.=== P)/) 3&/ &02&4TL3 &O 1; H&3&3 ) 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 &4 5%]. &T&/H9O)/ 4) -)OT9) ) 3&/ &02&4T). %<.8== /PT). %%. U)44)/ 4L3 9OT&/&3&3 E2& -LQ/)/M 2O )-/&&L/ PL/ P/&3T)/ 3?. 5.%7= ) 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& 3&H&3T/)4 &4 %6] , 2/)OT& < H&3&3. 1. 1:= /PT). %5. 2O) P&/3LO) -L4L-) 2/)OT& ; H&3&3 &O 2O Q)O-L )3L-9)L 4)3 % ? 7 P)/T&3 & 32 -)P9T)4 ) 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 &4 %%] J &4 /&3TL ) 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 &4 %6 ] 2/)OT& &4 H93HL T9&HPL. 39 &O 4) P/9H&/) LP&/)-9NO &3&) -LQ/)/ 3?. :.8:% & 9OT&/3 D-2MOTL F)O)/M & 9OT&/&3&3 &O TLT)4G %=.%%8.1; /PT). %6. 2O -)P9T)4 & 3?. %7=.=== 3& P/&3T) &O 4)3 39F29&OT&3 -LO9-9LO&3 &4 %=] &4 TLT)4 ) 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 &4 %1] 2/)OT& 1; 39
H&3&3, &4 %7] &4 TLT)4 ) 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 &4 %5] 2/)OT& 17 H&3&3, &4 /&3TL ) 4) T)3) & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 7=.6=%,=; /PT). %7. 2O) P&/3LO) &PL39T) 3?. 57=.=== &O T/&3 Q)O-L3 &O &4 P/9H&/ Q)O-L &PL39T) &4 %=] &4 -)P9T)4 2/)OT& : H&3&3, &O &4 3&F2OL Q)O-L &4 67] &4 -)P9T)4 2/)OT& ; H&3&3 J &O &4 T&/-&/ Q)O-L &4 -)P9T)4 /&3T)OT& 2/)OT& ; H&3&3 J 1= \)3. U)44)/ &4 TLT)4 & 9OT&/&3&3 ) -LQ/)/, T&O9&OL &O -2&OT) E2& 4L3 Q)O-L3 P)F)O &4 68], 76] J 77] & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 /&3P&-T90)H&OT&. /PT).1%%.%:1,7% %8. 2O) P&/3LO) &PL39T) 323 )UL//L3 & 3? %=.=== 2/)OT& 2O )SL &O 2O) >9O)O-9&/) & 4) 39F29&OT& >L/H) 2O) P)/T& )4 %8] & 9OT&/3 39HP4& )O2)4 J &4 /&3TL )4 %6.7=] & 9OT&/3 39HP4& )O2)4. 4) P/9H&/) P)/T& 4& P/L2-& 3?. 1.77= HM3 E2& 4) 3&F2O). DE2 -)OT9) T&O\) 9HP2&3T) ) -)) T)OTL PL/ -9&OTLG 1.77=, == /PT)"
?" @" SESI'N INTER8S SIMPLE EN ESTA S8TIMA OCTA&A SESI'N SE RESOL&ERÁN PROBLEMAS ADICIONALES DE INTER8S SIMPLE CON EL OB/ETI&O DE REFOR-AR LOS CONOCIMIENTOS. PROBLEMAS DE INTER8S SIMPLE 1. -)4-24)/ &4 9OT&/3 & 578:7 3L4&3 2/)OT& : H&3&3 J 1; \)3, ) T)3)3 E2& 0)O &-/&-9&OL & 1?; &O 1?;, & 7], U)3T) 6]. *Hétodo de las partes alícuotas+. / %. 2O) HME29O) & 0)PL/, -LHP4&T)H&OT& 9O3T)4)), -L3TL 161=== 3L4&3. 39 3& 0) ) TLH)/ &O -2&OT) 2O 9OT&/3 & 7] J 2O) )HL/T9R)-9NO &4 1=] &O &4 P/&-9L & 0&OT) & 4) &O&/F\) H&-MO9-), \F)3& 1ºD )4 -)QL & -2)OTL3 )SL3 E2&)/M )HL/T9R)) 4) HME29O)G$ %ºD ) -2MOTL 3& &4&0)O 4L3 9OT&/&3&3 J )HL/T9R)-9LO&3 )4 -)QL & 7 H&3&3G / 1= )SL3 J ;;1%.7= 5. 2O -LOT/)T93T) & LQ/)3 PVQ49-)3 -2&OT) &O 32 P)/E2& & H)E29O)/9)3 -LO 2O) )P93LO)L/) ) 0)PL/ E2& 4& -L3TN 8==== 3L4&3 J E2& P2&& T/)Q)K)/ 1== \)3 )4 )SL. -)4-24)OL 8] & 9OT&/3 &4 -)P9T)4 J 6=== 3L4&3 )O2)4&3 PL/ -LO-&PTL & )HL/T9R)-9LO *depreciaci!n+ & 4) HME29O), D) E2 P/&-9L &Q& -)4-24)/, &O 323 P/&32P2&3TL3, -)) \) & T/)Q)KL & 4) )P93LO)L/)G / :8 3L4&3
40
6. 2O -)P9T)4 & 6==== 3L4&3 &3T20L 9HP2&3TL 2/)OT& 2O -9&/TL OVH&/L & )SL3, H&3&3 J \)3$ PL/ 4L3 )SL3 3& )QLON &4 7]$ PL/ 4L3 H&3&3, 6] J PL/ 4L3 \)3, &4 5]. -)4-24)/ &4 9OT&/3 P/L2-9L PL/ 9-UL -)P9T)4, 3)Q9&OL E2& 39 3& U2Q9&/) 9HP2&3TL 2/)OT& TLL &4 T9&HPL )4 7], U)Q/\) P/L2-9L 5;6= 3L4&3 HM3 E2& 39 3& U2Q9&/) 9HP2&3TL TLL &4 T9&HPL )4 5]. / <%8= 3L4&3 7. 2O -)P9T)4 & %;<=;= 3L4&3 U) &3T)L 9HP2&3TL )4 8] )O2)4 2/)OT& 4L3 H&3&3 & 3&T9&HQ/&, L-T2Q/& J OL09&HQ/&. DE2 Q&O&>9-9L L P&/K29-9L /&P/&3&OT) &O 4L3 9OT&/&3&3, )4 )P49-)/, -LHL &3 -L3T2HQ/&, &4 )SL -LH&/-9)4 &O 0&R &4 )SL O)T2/)4G / 6558.%= @ 65%6.5% I 11.;; 8. 2/)OT& 4L3 H&3&3 & 3&T9&HQ/&, L-T2Q/& J OL09&HQ/& 3& U) T&O9L 9HP2&3TL 2O -)P9T)4 & 16676= 3L4&3 )4 8] )O2)4. DE2 Q&O&>9-9L L P&/K29-9L /&P/&3&OT) &O 4L3 9OT&/&3&3 )4 )P49-)/, -LHL & -L3T2HQ/& &4 )SL -LH&/-9)4 &O 0&R &4 )SL O)T2/)4G / para el prestamista un eneficio y para el prestatario un per#uicio de 3?8.<6. :. 2O -)P9T)493T) F)3T) 4L3 7?15 & 32 >L/T2O) &O 4) -LHP/) & -)3)3, %?7 &O 4) )E2939-9NO & T9&//)3 J &4 /&3TL, &O )--9LO&3 & -LHP)S9)3 9O23T/9)4&3. 4)3 -)3)3 4& /&PL/T)O 2O 9OT&/3 )O2)4 &4 1=], 4)3 T9&//)3 :] J 4)3 )--9LO&3, 16]. 3)Q9&OL E2& 32 /&OT) )O2)4 &3 & 1;;6= 3L4&3, 9F)3& D-2M4 &3 4) >L/T2O) J E2 P)/T& 9O09/T9N &O -)) O&FL-9LG / 1<7===, :7===, :;=== y 6%=== ;. DE2 -)P9T)4 &3 )E2&4 E2& 9HP2&3TL )4 6] )O2)4 2/)OT& 7 H&3&3, P/L2-& 11== 3L4&3 H&OL3 E2& 39 3& 9HP239&/) )4 6] H&O32)4 2/)OT& &4 H93HL T9&HPLG / 8=== 3L4&3 <. D-2M4 &3 &4 -)P9T)4 E2& -L4L-)L )4 6.7=] 2/)OT& : H&3&3, < \)3 J &3P23 )4 7.6=] 2/)OT& 2O )SL, 7 H&3&3 J 1% 9)3, U) P/L2-9L &O TLT)4 1%8.;1 3L4&3G / 1%== 3L4&3 1=. 4L3 7?: & 2O) >L/T2O) -L4L-)) )4 5] ) )O2)4H&OT& 6%= 3L4&3 HM3 E2& &4 /&3TL -L4L-)L )4 6]. D-2M4 &3 4) >L/T2O)G / 6%=== 3L4&3 11. 4) 9>&/&O-9) &OT/& 4)3 >L/T2O)3 & L3 P&/3LO)3 &3 & ;=== 3L4&3$ 4) P/9H&/) 9HPLO& 32 9O&/L )4 6] J 4) 3&F2O), )4 7]. 39&OL 4L3 9OT&/&3&3 & )HQ)3 >L/T2O)3 9F2)4&3, 3& &3&) 3)Q&/ -2M4&3 3LO &3T)3. 41
/ 6==== J 5%=== 1%. 4L3 %?: & 2O -)P9T)4 3& U)O 9HP2&3TL )4 6] J &4 /&3TL )4 6.7=]$ )4 -)QL & 2O )SL, &4 -)P9T)4 -LO 323 9OT&/&3&3 )3-&O9N ) 587%7 3L4&3. D-2M4 >2& &4 -)P9T)4 P/9H9T90LG / 57=== 15. 4L3 5?7 & 2O -)P9T)4 U) 39L 9HP2&3TL )4 6] J &4 /&3TL )4 7]. )4 -)QL & 2O )SL &OT/& -)P9T)4 & 9OT&/&3&3 U)J 2O) 32H) & 1%== 3L4&3. -)4-24)/ 9-UL -)P9T)4. / 116<.65 16. 2O) P&/3LO) 9HP23L L3 -)P9T)4&3 ) 9OT&/3 39HP4& &4 P/9H&/L )4 6] J &4 3&F2OL )4 7] )O2)4. /&T9/N )4 -)QL & : )SL3 J < H&3&3, %5;== 3L4&3 &OT/& -)P9T)4 J /9TL3. D-2M4&3 U)O 39L 4L3 -)P9T)4&3 9HP2&3TL3, 39 &4 P/9H&/L &3 4L3 7?8 &4 3&F2OLG / ;=== J <8== 17" P/&3TL 4L3 %?5 & H9 -)P9T)4 )4 8] J &4 /&3TL )4 6 J B]. &4 9OT&/3 )O2)4 /&-9Q9L &3 9F2)4 ) 4L3 6?7 &4 9OT&/&3 E2& P/L2-& 55=== 3L4&3 )4 7] 2/)OT& 2O )SL. D-2M4 &3 H9 -)P9T)4G / %6=== 3L4&3
18. 3& U) -L4L-)L ) 9OT&/3 39HP4& 2O) -)OT9) )4 8] J LT/) )4 ;]. &4 P/9H&/ -)P9T)4 &3TM -LO &4 3&F2OL &O 4) /&4)-9NO & 5?7 ) %?: 4L3 -)P9T)4&3 & 9OT&/&3&3 /&2O9L3 U)O 32H)L )4 T/H9OL & 1= )SL3 J 1= H&3&3, 17<<7= 3L4&3. D-2M4&3 U)O 39L 4L3 -)P9T)4&3G / 85=== J 5==== 1:. U)Q9&OL -L4L-)L 4L3 :?1% & 323 >LOL3 )4 7] J 4L /&3T)OT& )4 6.7=], 2O -LH&/-9)OT& -LQ/) 2O) /&OT) )O2)4 & 56=== 3L4&3. )0&/9F2)/ 4L3 -)P9T)4&3 J -)4-V4&3& 4) T)3) VO9-) ) E2& &Q9&/)O &3T)/ -L4L-)L3 P)/) P/L2-9/ &4 H93HL 9OT&/3. / 615<87.%% J %<787%.%:$ 6.;=] 1;. 2O) P&/3LO) 9HPLO& 4L3 Y & 32 -)P9T)4 )4 6.:7] J &4 /&3TL )4 7.7=] J &O :% \)3 LQT9&O& 2O 9OT&/3 & 6<5 3L4&3. U)44)/ &4 0)4L/ &4 -)P9T)4. / 6<<%6.=7 1<. 2O 9O9092L -L4L-) 4) H9T) & 32 -)P9T)4 )4 8]$ 4) T&/-&/) P)/T& )4 7], J &4 /&3TL )4 6]. F)O) 2O /9TL )O2)4 & 18== 3L4&3. D-2M4 &3 &3T& -)P9T)4G / 5==== 3L4&3
42
%=. 3& T9&O&O L3 -)P9T)4&3 &4 P/9H&/L -L4L-)L )4 8] , U) P/L2-9L <=== 3L4&3 & 9OT&/3 $ &4 LT/L, E2& &3 H)JL/ E2& &4 P/9H&/L &O %==== 3L4&3, -L4L-)L )4 6] P/L2-& 1==== 3L4&3 & 9OT&/3. 32PLO9&OL E2& 4L3 L3 U)O &3T)L 9HP2&3TL3 2/)OT& &4 H93HL T9&HPL, \F)3& 1º -2M4&3 3LO 4L3 -)P9T)4&3 J %º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a, 16=;== 3L4&3, 55=== 3L4&3 )4 6.7=] J %%=== 3L4&3 )4 8]. %5. 3& U) 9HP2&3TL 2O -)P9T)4 )4 6]$ )4 >9O)4 &4 P/9H&/ )SL 3& /&T9/)O 4L3 9OT&/&3&3 J 2O) P)/T& &4 -)P9T)4 9F2)4 ) 4L3 9OT&/&3&3$ 4L H93HL 3& U)-& )4 >9O)4 &4 3&F2OL )SL, E2&)OL &OTLO-&3 )4 -)P9T)4 93H9O29L &O 8:6%.6=. U)44)/ &4 -)P9T)4. / ;8=== 3L4&3. %6. 3& T9&O& 9HP2&3TL 2O -)P9T)4 )4 6]. )4 >9O)4 &4 P/9H&/ )SL 3& /&T9/)O 4L3 9OT&/&3&3 J 3& /&T9/) &4 -)P9T)4 2O) -)OT9) 9F2)4 ) 4L3 9OT&/&3&3$ )4 >9O)4 &4 3&F2OL )SL 3& U)-& 4) H93H) LP&/)-9NO J /&324T) E2& &4 -)P9T)4 U) 93H9O29L &O 55:1.%=. D-2M4 &/) &4 -)P9T)4 P/9H9T90LG. / 65=== 3L4&3. %7. 2O) P&/3LO) U) 9O0&/T9L 2O TLT)4 & %<=== 3L4&3 &O T/&3 P)/T&3 T)4&3 E2&, -L4L-))3 )4 6], 5] J 6 1?%] , /&3P&-T90)H&OT&, 4& P/L2-&O )O2)4H&OT& &4 H93HL 9OT&/3. 1º D-2M4&3 3LO 4)3 32H)3 -L4L-))3 ) -)) 2O) & &3)3 T)3)3$ %º DE2 9OT&/3 P/L2-& -)) P)/T&G / 1º <===, 1%=== J ;=== 3L4&3, %º 58= 3L4&3. %8. 3& U) 0&O9L 2O T&//&OL & 32P&/>9-9& 9F2)4 ) 7 Ua. 1: M/&)3. 4L3 %?5 &4 9HPL/T& & 4) 0&OT) 3& U)O 9HP2&3TL ) 9OT&/&3 39HP4& 2/)OT& % )SL3, < H&3&3 J 1= \)3$ )4 6.7=] J, )4 -)QL & &3T& T9&HPL, &4 -)P9T)4 & 9OT&/&3&3 U)O 32H)L 65=6=.%7 3L4&3. -)4-24)/ &4 P/&-9L ) E2& 3& 0&O9N &4 H&T/L -2)/)L. 43
/ 1.11 3L4&3. %:. 2O) P&/3LO) -LHP/) 2O) -)3)$ PL/ -LO-&PTL & F)3TL3 & T/)O3>&/&O-9), P)F) )4 -LOT)L &4 1% J ^] &4 P/&-9L J, )4 -)QL & % )SL3 J < H&3&3, P)F) TLL &4 P/&-9L HM3 4L3 9OT&/&3&3 )4 7]. U)Q9&OL F)3T)L &O TLT)4 1<6=6= 3L4&3, \F)3& D-2M4 U) 39L &4 P/&-9L & 4) -)3)G / 176=== 3L4&3. %;. 2O -)P9T)4 & 1%=== 3L4&3 U) 39L 9HP2&3TL &O 4) 39F29&OT& >L/H) 2O) P)/T& )4 7] J 4) LT/) )4 ;]$ &4 9OT&/3 &O 2O )SL &3 & ;6= 3L4&3. DE2 P)/T& &4 -)P9T)4 U) 39L 9HP2&3T) )4 7] J E2 P)/T& )4 ;]G / 6=== J ;=== 3L4&3. %<. 2O) P&/3LO) 909& 2O -)P9T)4 & 6=== 3L4&3, &O L3 P)/T&3 4) P/9H&/) 4) -L4L-) )4 8] 2/)OT& 7 )SL3 J 4) 3&F2O) )4 7] 2/)OT& 6 )SL3. 4) 32H) & 4L3 9OT&/&3&3 P/L2-9L3 &3 9F2)4 )4 9OT&/3 E2& P/L2-9/\) &4 -)P9T)4 TLT)4 )4 7.7=] 2/)OT& 6 )SL3. -)4-24)/ 4)3 L3 `P)/T&3 &4 -)P9T)4. / 5%== 3L4&3 )4 8] J ;== 3L4&3 )4 7]. 5=. 2O) &HP/&3) /&-9Q& &O &PN39TL 4L3 )UL//L3 & 323 &HP4&)L3, PL/ 4)3 E2& P)F) 2O 9OT&/3 & 7] U)3T) 4L3 1=== 3L4&3$ & 6] PL/ 4L E2& &W-&) U)3T) %=== 3L4&3 J & 5] PL/ 4L E2& P)3& & &3T) -)OT9) U)3T) %==== 3L4&3. 2O &HP4&)L -LQ/N &O 2O )SL 2O 9OT&/3 & 1;=.5= 3L4&3. D-2M4&3 >2&/LO 323 )UL//L3G / 7=1= 3L4&3. 51. 2O -)P9T)493T) P/&3T) -9&/T) 32H) )4 7] PL/ L3 )SL3$ T&/H9O)L &4 P4)RL /&-LF& &4 -)P9T)4 J 4L3 9OT&/&3&3 J -L4L-) &4 TLT)4 )4 B] H&O32)4, -LO39F29&OL 6<7 3L4&3 & 9OT&/&3&3 )4 )SL. D-2M4 >2& &4 -)P9T)4 P/9H9T90)H&OT& P/&3T)LG / :7== 3L4&3. 5%. 2O 9O9092L 090& & 4L3 9OT&/&3&3 E2& 4& P/L2-& 2O -)P9T)4 9HP2&3TL )4 7] )O2)4. 2/)OT& ; )SL3 J )4 >9O)4 & -)) 2OL, /&T9/) 4L3 9OT&/&3&3 P)/) -2Q/9/ 323 F)3TL3$ P&/L, )4 >9O)4 &4 L-T)0L )SL, T9&O& E2& /&T9/)/ )&HM3 %=== 3L4&3 &4 -)P9T)4. U&-U)3 4)3 -2&OT)3 )4 &HP&R)/ &4 -9HL )SL, 3& &2-& E2& &4 -)P9T)4 P/9H9T90L, 32H)L -LO TLL3 4L3 9OT&/&3&3 /&-9Q9L3, )O &O TLT)4 15:87= 3L4&3. D-2M4 &3 &4 -)P9T)4 E2& 3& PL3&& V4T9H)H&OT&G / <5=== 3L4&3.
44
" SESI'N DESCUENTO COMERCIAL. •
OB/ETI&OS.
&l alumno deerá aprender a determinar el descuento o interés que se perdería en los casos de corar una cuenta antes de su 'encimiento a tra'és de un anco y, que adicionalmente, tome conocimiento que esta operaci!n no es otra cosa que un caso particular del interés. •
ACTI&IDAD PRE&IA.
-omo en los casos anteriores, se le proporcionará a los alumnos un prolema de los incluidos en esta sesi!n y?o algunas preguntas con el fin de e'aluar el ni'el 45
de conocimientos que tienen del tema o de la ase necesaria para comprenderlo.
Pre6untas DEué concepto tienen del descuento comercialG D-uáles son los elementos del descuento comercialG D-!mo se calcula el descuento comercialG DEué concepto tienen del 'alor nominal y c!mo se calculaG DEué concepto tiene del 'alor actual y c!mo se calculaG D-!mo se calcula el tanto por ciento de descuentoG
Pr3ble1as. 3e tomará uno de los incluidos en este tema.
E0e12l3 2na letra de 17== soles pagadera a los <= días, se desea corar al contado. -alcular el descuento comercial al 5]. e I 17==C=.=5C<=?58= I 11.%7 soles. •
MARCO TE'RICO.
3e entiende por descuento la cantidad que se rea#a de una suma que quiere corarse antes de su 'encimiento. 4o más frecuente se da en la negociaci!n de letras y documentos de comercio. por e#emplo, el tenedor de una letra que 'ence a no'enta dias necesita de dicho importe en el acto para pagar a su personal$ entonces recurre a su anco, el cual le entrega el importe de la letra rea#ándole una cantidad equi'alente a los intereses de la cantidad que se anticipa durante los no'enta días que faltan para el 'encimiento. esta cantidad que rea#a el anco se conoce como descuento. &l descuento es un caso especial del interés, ya que esto se reduce a lo que ha de producir un capital. en el caso de un préstamo o ahorro, el interés será a(adido al capital para determinar la cantidad que ha de reciir el anco o el ahorrista. en el caso de un adelanto de dinero ya sea `por un prestamista o anco, el interés será deducido del capital siendo esta deducci!n del que proporcion! el adelanto.
CLASES DE DESCUENTO. &n la práctica solo se usa un tipo de descuento, de los dos que se conocen como
46
escuento real o matemático, 'erdaderamente se anticipa.
es el interés
que producirá la cantidad que
&K&HP4L 3i una letra de %=.=== soles es presentada a un anco para ser descontada y el anco descuenta %== soles, el descuento real o matemático, es el interés que producirían los 1<.;== soles. *%=.=== @ %==+ durante los días que el anco tendrá que esperar para poder corar el adelanto. escuento comercial, es el interés que se calcula sore la cantidad de la letra o documento de comercio. Por esta raz!n se le conoce tamién como descuento ausi'o. &n la práctica es el usado porque es más fácil de calcular. &K&HP4L & &3-2&OTL -LH&/-9)4. D-uánto reciirá un comerciante que presenta ante su anco una letra de 8.=== soles que 'ence a los <= días, si el anco ofrece descontársela al 7]G )plicando la tasa de interés simple, otendremos el interés que el anco ha de descontar 9 I -CtCi?58= I 8.===C<=C=,=7?58=I :7 &4 -LH&/-9)OT& /&-9Q9/M 8.===":7I 7.<%7 /pta. 4a ley de descuento comercial, al igual que la de capitalizaci!n simple, s!lo se utiliza en el corto plazo *operaciones a menos de 1 a(o+. &K&HP4L & &3-2&OTL /&)4 L H)T&HMT9-L. D-uánto reciirá un comerciante que presenta ante su anco una letra de 8.=== soles que 'ence a los <= días, si el anco ofrece descontársela al 7]G 1== 3L4&3 &O 58= \)3 P/L2-&O 7 3L4&3 1== 3L4&3 &O <= \)3 P/L2-9/)O W 3L4&3 W I 7C<=?58= I 1,%7 3L4&3. e este cálculo se desprende que 1== soles que se coran al cao de <= días, tendrán un 'alor de 1=1,%7 . 1=1,%7 3L4&3 )UL/), 0)4/MO &O 4) >&-U) & 0&O-9H9&OTL 1== 3L4&3. 8=== 3L4&3 E2& &3 &4 0)4L/ & 4) 4&T/) 0)4/MO W 3L4&3.
47
W I 8===C1==?1=1,%7I7.<%7,<%8 3L4&3. 7.<%7,<5 3L4&3 &3 &4 9HPL/T& E2& 3& )&4)OT)/M )4 -LH&/-9)OT& J PL/ -LO39F29&OT& &4 &3-2&OTL 3&/M 8.=== " 7.<%7,<5 I:6,=: 3L4&3 /espta. PL/ V4T9HL PL&HL3 LQ3&/0)/ E2& 4) 9>&/&O-9) &OT/& )HQL3 &3-2&OTL3 &3 :7 @ :6,=: I =,<5
E/ERCICIOS DE APLICACI'N <, DESCUENTO BANCARIO9 COMERCIAL9 SIMPLE -)4-24)/ &4 &3-2&OTL PL/ )OT9-9P)/ 2O -)P9T)4 & ;==.=== PL/ : H&3&3 ) 2O) T)3) &4 1%].
48
-)4-24)/ &4 -)P9T)4 >9O)4 *0)4L/ )-T2)4+ E2& E2&)/\) & 4) LP&/)-9NO )OT&/9L/*P/LQ4&H) 1+. 3& &3-2&OT)O %==.=== PL/ 8 H&3&3 J <==.=== PL/ 7 H&3&3 ) 2O T9PL & 9OT&/3 &4 17]. -)4-24)/ &4 -)P9T)4 )-T2)4 TLT)4 *0)4L/ )-T2)4+ & 4)3 L3 LP&/)-9LO&3. DE2 9HPL/T& )-T2)4 *0)4L/ )-T2)4+ &3 H)3 &4&0)L, &4 E2& /&324T) & &3-LOT)/ 1.===.=== PL/ 8 H&3&3 )4 1%] L )4 &3-LOT)/ 1.%==.=== PL/ < H&3&3 )4 17]G 3& &3-2&OT)O ;==.=== PL/ 2O P4)RL & 6 H&3&3 J 4L3 9OT&/&3&3 &4 &3-2&OTL 3LO 6=.===. -)4-24)/ 4) T)3) & 9OT&/3 ) 4) E2& 3& U9RL &4 &3-2&OTL. U)44)/ &4 &3-2&OTL 39HP4& 3LQ/& 2O) &2) & 1.7== -LO 0&O-9H9&OTL &O < H&3&3 ) 2O) T)3) & &3-2&OTL &4 8]. D-2M4 &3 0)4L/ P/&3&OT& *0)4L/ )-T2)4+ & 4) &2)G U)44)/ &4 0)4L/ )-T2)4 )4 7] &4 &3-2&OTL 39HP4& & 1=== -LO 0&O-9H9&OTL &O 1 )SL. 1.%== -LO 0&O-9H9&OTL &O B )SL. ;== -LO 0&O-9H9&OTL &O 5 H&3&3. 2O Q)O-L -)/F) &4 8] & 9OT&/3 PL/ )&4)OT)L *8] & &3-2&OTL 39HP4&+. 39 P&/9-4&3 >9/H) 2O L-2H&OTL PL/ %=== ) 7 H&3&3, DE2 -)OT9) /&-9Q9/M &4 Q)O-LG 2O LH2H&OTL & 5.=== ) %:= \)3 -LO 9OT&/3 )4 7] >&-U)L &4 1= & )FL3TL &4 %==6 >2& &3-LOT)L &4 18 & >&Q/&/L & %==7 )4 6]. U)44)/ &4 9HPL/T& & 4) LP&/)-9NO *0)4L/ )-T2)4+. &T&/H9O)/ &4 &3-2&OTL 39HP4& 3LQ/& 5.7== PL/ 8= 9)3 )4 6] & &3-2&OTL 39HP4&. 7.=== PL/ <= 9)3 )4 5 B] & &3-2&OTL 39HP4&. 1.%== PL/ 6 H&3&3 )4 7] & &3-2&OTL 39HP4&. %.7== &4 7 & H)/RL & %==7 )4 1= & )Q/94 & %==7, )4 8] & &3-2&OTL 39HP4&. 6.=== &4 1= & L-T2Q/& & %==6 )4 15 & OL09&HQ/& & %==6 )4 7 B] & &3-2&OTL 39HP4&. 5.=== &4 17 & 3&T9&HQ/& & %==6 )4 5= & L-T2Q/& & %==6 )4 6 B] & &3-2&OTL 39HP4&. 2O Q)O-L -)/F) &4 8] & 9OT&/3 39HP4& PL/ )&4)OT)L *&4 8] & &3-2&OTL 39HP4&+, &O P/&3T)HL3 ) -L/TL P4)RL, &T&/H9O)/ 4) -)OT9) /&-9Q9) PL/ 2O) P&/3LO) E2& 3L49-9T)
49
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
0)4L/ OLH9O)4
>&-U)
P4)RL
>&-U) & T)3) & &3-2&OTL &3-2&OTL 50
%.=== 5.7== 1.=== 6.7==
1<.=6 =7.=8 1=.=: 17.=5 0)4L/ OLH9O)4
]
5 H&3&3 6 H&3&3 :7 9)3 <= 9)3
5=.=7 1<.=< %7.=: %8.=7
8] 7] 7 B] ;]
>&-U)
P4)RL
T)3) & >&-U) & T)3) & 9OT&/3 &3-2&OTL &3-2&OTL
5.=== ;==
1%.=1 =<.=%
8 H&3&3 67 9)3
6] 7]
%;.=6 =1.=5
7] 8B
1.%== %.:== %.7== 5.===
=1.11 =1.11 5=.=5 1=.=8
6 H&3&3 1%= 9)3 <= 9)3 7 H&3&3
8] 8] :] 6 B]
=6.=% %6.=1 16.=7 %<.=;
7] 7] ;] 6]
-2M4 &3 &4 0)4L/ OLH9O)4 & 2O) 4&T/) E2& O&FL-9)) <= \)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTL )4 7], 32>/& 2O &3-2&OTL & 78,%7G D-2M4 &3 &4 0)4L/ )-T2)4 & 2O) 4&T/) & 5.8== &3-LOT)) )4 1=] )O2)4, 8= \)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTLG 2O P)F)/ & 8.6;= 323-/9TL &4 17 & H)JL ) 1%= \)3 & P4)RL J O&FL-9)L &4 16 & K2O9L, 93H9O2JL &O 167,;=. D) E2 T)OTL PL/ -9&OTL 3& U9RL &4 &3-2&OTLG 2O) 4&T/) & %.6== )4 3&/ &3-LOT)) )4 8], 32>/9N 2O &3-2&OTL & 1;]. D) -2MOTL3 \)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTL >2& &3-LOT))G D-2M4 &3 &4 0)4L/ OLH9O)4 & 2O L-2H&OTL E2& &3-LOT)L )4 8], 8= \)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTL, E2&) /&2-9L ) 6.677G
,<" SESI'N DESCUENTO COMERCIAL. 51
EN ESTA D8CIMA SESI'N SE RESOL&ERÁN PROBLEMAS ADICIONALES DE DESCUENTO COMERCIAL CON LA FINALIDAD DE REFOR-AR LOS CONOCIMIENTOS. E/ERCICIOS DE APLICACI'N D-2MOTL &Q& &OT/&F)/ 2O Q)OE2&/L ) 2O) P&/3LO) ) E29&O 4& U)O &3-LOT)L 2O) 4&T/) & 1%76 3L4&3 )4 5] P)F)&/) &O < H&3&3G 2O) 4&T/) & -)HQ9L & 58== 3L4&3 &3-LOT)) ) 7 H&3&3 3& U) /&2-9L ) 57%7 3L4&3 D-2M4 U) 39L 4) T)3) &4 &3-2&OTLG D-2MOTL3 9)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTL >2& &3-LOT)) 2O) 4&T/) & %:== 3L4&3 E2& )4 %] 3&H&3T/)4 32>/9N 2O &3-2&OTL & 58 3L4&3G D-2M4 &3 &4 0)4L/ OLH9O)4 & 2O) 4&T/), E2& &3-LOT)) 1%8 \)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTL, )4 6], 3& U) /&2-9L ) 5%=67= 3L4&3G U)44)/ &4 &3-2&OTL -LH&/-9)4 J &4 0)4L/ )-T2)4 & 2O) 4&T/) & 17== 3L4&3 E2& 0&O-& &4 %= & )FL3TL J E2& U) 39L &3-LOT)) &4 18 & H)JL &4 H93HL )SL, )4 6]. ) E2 T)OTL PL/ -9&OTL U) 39L &3-LOT)) 2O) 4&T/) & 1;=== 3L4&3 3&3&OT) \)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTL, P)/) T&O&/ 2O &3-2&OTL & 8= 3L4&3. 2O) 4&T/) & 1;=== 3L4&3 &3-LOT)) )4 7] U) 32>/9L 2O) /&Q)K) & 5== 3L4&3. PL/ E2 T9&HPL U) 39L &3-LOT))G &O 2O) 4&T/) & 6;== 3L4&3 P)F)&/) &O <= \)3, 2O Q)OE2&/L U) /&Q)K)L 8= 3L4&3. U)44)/ 4) T)3) & &3-2&OTL. 2O -LH&/-9)OT& U) U&-UL &3-LOT)/ 2O) 4&T/) ) 6 H&3&3 )4 8], U) /&-9Q9L &4 Q)OE2&/L 5<%= 3L4&3. D-2M4 &/) &4 HLOTL & 4) 4&T/)G D-2M4 &3 &4 &3-2&OTL E2& 32>/& 2O P)F)/ & 6;== 3L4&3 )4 7] &3-LOT)L <= \)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTLG -2)OTL3 \)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTL U) 39L &3-LOT)) 2O) 4&T/) & 6=== 3L4&3 E2& )4 5] 3& U) /&2-9L ) 5<;% 3L4&3G D-2M4 &3 &4 0)4L/ OLH9O)4 & 2O) 4&T/), E2& &3-LOT)) >)4T)OL ;= \)3 P)/) 32 0&O-9H9&OTL, )4 1%], U) T&O9L 2O &3-2&OTL & 6= 3L4&3G
52
D-2M4 &3 &4 0)4L/ )-T2)4 & 2O) 4&T/) & ;8== 3L4&3, &3-LOT)) <= \)3 )OT&3 & 32 0&O-9H9&OTL )4 ;]G ,," SESI'N E;AMEN FINAL. &l alumno deerá resol'er un examen compuesto por cinco preguntas correspondientes a los temas tratados en las sesiones anteriores. KH3.
53
