101 Trik Cerdik

E-BOOK

101 Trik CERDIK

ala

Tentor

SMA

MATEMATIKA

FISIKA KIMIA

HAK CIPTA ADA PADA FORUM EDUKASI DILARANG MENYEBARLUASKAN DALAM BENTUK APAPUN TANPA IZIN TERTULIS DARI FORUM EDUKASI. EMAIL: [email protected]

Telah TERBIT.......!!! Sudah terbit dalam bentuk buku dengan judul berseri: - METODE THE KING ALA TENTOR FISIKA - METODE THE KING ALA TENTOR MATEMATIKA - METODE THE KING ALA TENTOR KIMIA Dan juga sudah terbit buku lainnya berjudul: - METODE THE KING ALA TENTOR BAHASA INGGRIS - METODE THE KING ALA TENTOR BIOLOGI Diterbitkan oleh penerbit

WAHYU MEDIA.

Buku tersebut berisi rumus-rumus praktis ala bimbingan belajar yang ditulis oleh tentor senior. E-book ini kami ambilkan dari materi buku tersebut. 30% dari isi buku tersebut kami masukkan dalam e-book ini. Nha, bagi adik-adik yang menginginkan BUKU METODE THE KING dalam bentuk buku dengan isi super lengkap, bisa mendapatkan buku tersebut di toko buku terdekat, utamanya di toko buku GRAMEDIA.

Buku yang Hebatt...! Selamat..... Kakak ucapkan selamat, karena kalian telah memiliki buku ini. Sungguh, ini adalah buku yang luar hebatttt.....!!! why?

1. Penulis Hebat

Buku ini ditulis oleh orang-orang “sakti” di bidangnya. Telah bertahun-tahun menjadi tentor/pengajar yang selalu dinantikan penampilannya oleh para siswa. Buku ditulis berdasarkan pengalamannya selama mengajar, juga berda sarkan studi secara intensif terkait bidang yang ditekuni.

2. Desain Isi nan Cantik

Simpel, menarik, enak dibaca, ngepop, bak novel remaja, itulah kesan dari desain isi buku ini. Desain buku dikonsep berdasarkan selera muda para pembaca. Intinya, buku ini akan bikin kalian tidak pernah jemu memandangnya, dan ingin terus...terus...dan terus..... membukanya.

3. Full Rumus Praktis

Syarat wajib agar bisa menjadi “pembantai” semua jenis soal adalah dengan menguasai konsep dasar. Buku ini berisi materi dasar yang benar-benar harus kuasai. Baru kemudian kalian akan diajari cara cepatnya, yang di bim bingan belajar sering disebut dengan “Rumus The King, Smart Solution, Metode Penalaran, Cara Cerdik” dll. Kuasai trik praktisnya, dan buat semua orang tercengang!

4. Konsultasi Bimbingan Gratis

Sebagai wujud totalitas dan tanggung jawab penulis terhadap para pembaca buku ini, penulis memberi kesempatan kepada kalian untuk konsultasi dan tanya jawab terkait isi buku ini. Tanyakan hal-hal yang masih membuat kalian bingung.... asiik kann!!! Konsultasi bisa dikirim melalui email __________ Rasakan pengalaman baru belajar secara asik dan menyenangkan. Cayoo...... lejitkan prestasimu!!

MATEMATIKA

BAB 1 PERSAMAAN KUADRAT

A. Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar-Akar A. Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar-Akar Catatan: Dalam soal persamaan kuadrat, rumus menentukan jumlah, selisih, dan kali akar-akar sangatdan seringHasil digunakan. Hampir semua A. hasil Jumlah, Selisih Kali Akar-Akar

Catatan: Dalam soaldengan persamaan kuadrat, rumus menentukan jumsoal harus dikerjakan melibatkan rumus-rumus ini. lah, selisih dan hasil kali akar-akar sangat sering digunakan. Hampir Dalam soal persamaan kuadrat, rumus menentukan semuaCatatan: soal harus dikerjakan dengan melibatkan rumus-rumus ini. jumx2 adalah Jika x1 dan dari persamaan lah, selisih danakar–akar hasil kali akar-akar sangatkuadrat sering digunakan. Hampir dikerjakan ax 2 + bxsemua + c= 0,soal a ≠harus 0 , maka berlaku:dengan melibatkan rumus-rumus ini. Jika x1 dan x2 akar–akar persamaan kuadrat

ax 2 + Jika bx + xc= dan 0, ax≠ 0akar–akar , maka persamaan kuadrat 1 2 , maka 2 x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) − 2x1 .x 2 b x1 + x 2 = − b a x1 + x 2 = − a c x1 . x 2 = c a x1 . x 2 = a D x1 − x 2 = ± D a x1 − x 2 = ± a

x13 + x 23 = ( x1 + x 2 ) − 3x1 .x 2 ( x1 + x 2 ) 3

2

2 2 x14 + x 24 = ( x1 + x 2 ) − 2x1 .x 2  − 2 ( x1 .x 2 )   x12 − x 22 = ( x1 + x 2 ) (x1 − x 2 )

x13 − x 23 = ( x1 − x 2 ) + 3x1 .x 2 ( x1 − x 2 ) 3

x14 − x 24 = ( x12 + x 22 ) (x12 − x 22 )

1

(Soal Ujian Nasional)

Contoh Soal : (Soal Ujian Nasional) (Soal Ujian Nasional) 2 Akar-akar persamaan kuadrat 60= 1. 1. Akar-akar persamaan kuadrat , 0a,>a0> 0 x 2 +x ( a+−( a1−) x1+) x6+= 2 2 adalah x1 dan . Jika , maka a =... 2 x2 = 2 adalah x1 dan x2. xJika , maka a =... x12 x+1 x+ 13 13 2 = a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. e.6 6 METODE BASIC CONCEPT METODE BASIC CONCEPT 2 60= 0 , adalah x1 dan x2, maka berlaku Akar-akar x 2 +x ( a+−( a1−) x1+) x6+= Akar-akar , adalah x dan x , maka berlaku 1

2

b c x1 + x2 =− =− ( a − 1 ) = (1 − a) dan x1.x2= = 6 a a

Karena berlaku x12 + x 22 = 13 maka 2 2 Karena 13 maka x 2 +berlaku x2= 13 x1 + x 2 = 1

2

⇒ ( x + x 2 ) − 2x1 x 2 = 13 ⇒ (1 − a) − 2.6 = 13 x12 + x 22 1= 13 ⇒1−a= ±5 2 ± 25 = 2 ⇒ ( x1 + x 2 ) − 2x1 x 2 = 13 ⇒ (1 − a) − 2.6 = 13 ⇒ a =−4 atau a =6 ⇒ Karena 1 − a =±a >250 = ±5 yang memenuhi a = 6. maka ⇒ a =−4 atau a =6 2

2

Jawaban: E Karena a > 0 maka yang memenuhi a = 6. Jawaban: Soal UM-UGM Kemampuan IPA E 2 0 2. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x − 3x + n = Soal UM-UGM Kemampuan IPA sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan 2 0 sama dengan 2. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x − 3x + n = x2 + x − n = 0 . Maka nilai n adalah... 2 + x −12n = 0 . Maka nilai jumlah pangkat A. -10 B. tiga -6 akar-akar C. 8 persamaan D. 10 x E. n adalah... A. -10 B.BASIC -6 C. 8 D. 10 E. 12 METODE CONCEPT Persamaan kuadrat pertama: METODE CONCEPT x 2 − 3xBASIC +n = 0; akar-akarnya x1 dan x 2 2 ⋅ x3x Maka diperoleh Persamaan kuadrat xpertama: n= 0; akar-akarnya x1 dan x 2 1 + x 2= 3;xx 1 − 2= +n

Maka diperoleh x1 + x 2= 3; x1 ⋅ x 2= n Persamaan kuadrat kedua: x 2 + x − n = 0; akar-akarnya p dan q Maka diperoleh p + q =−12dan p.q =−n

Persamaan kuadrat kedua:x1 + x 2= 3; x1 ⋅ x 2= n Maka diperoleh 2 Persamaan x + x −n = 0; akar-akarnya pkuadrat dan q 2 Selanjutnya diperoleh p + q = danqp.q =−n x + x −n = 0; akar-akarnya−p1dan

kedua:

diperoleh n Dari soalMaka diketahui berlakup x+1q2 += , −sehingga x−212 dan =p3 p.q + q3= 2 2 3 3 x 2 + x 2 =p3 + q3 , sehingga Dari soal xdiketahui berlaku didapatkan 1 2 1 + x 2 =p + q 2 2 3 2 x 3 3 1 + x 2 =p + q ⇒ (x diperoleh 1 + x 2 ) − 2x 1 x 2 =(p + q) − 3pq(p + q)

2

2

3

+ x 2 =− )− =−(pn)(+−q)1) ⇒ − 3pq(p + q) ⇒ 3(x2 1− 2(n) ( 2x 1)31 x−2 3( n =−10 =32 − 2(n) =− ( 1)3 − 3(−n)(−1) Jawaban: ⇒ n =−10A Jawaban: A

Rumus Praktis Jika x1, x2 dan x3 akar-akar persamaan

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 maka berlaku b 1. x1 + x 2 + x 3 = − a c 2. x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 = a d 3. x1 .x 2 .x 3 = − a Jika x1, x2 , x3 dan x4 akar-akar persamaan ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 maka berlaku b 1. x1 + x 2 + x 3 + x 4 = − a 2. x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 =

c a

3. x1 .x 2 .x 3 + x1 .x 2 .x 4 + x1 .x 3 .x 4 + x 2 .x 3 .x 4 = − 4. x1 .x 2 .x 3 .x 4 =

e a

3

d a

3. Akar-akar persamaan x 3 − 4x 2 + x − 4 =0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x22 + x32 = … a. 2 b. 14 c. 15 d. 17 e. 18 Cara Praktis Untuk x 3 − 4x 2 + x − 4 =0 mempunyai a = 1, b = -4, c = 1 dan d = -4 berlaku x 12 + x 2 2 + x 32

= ( x1 + x 2 + x 3 ) − 2 ( x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 ) 2

2

c  −b  =   −2 a  a  2  − ( −4 )  1 =   −2 1 1   = 16 − 2 = 14 Jawaban: B

B. Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat B. Sifat Akar-akar Persa0 mempunyai akar-akar x dan x , Persamaan kuadrat ax + bx + c = serta deskriminan maan(D):Kuadrat 2

1

2

D = b2 − 4.a.c Nilai dan sifat dari akar-akar x1 dan x2 tergantung pada nilai deskriminan. +c= 0 mempunyai akar-akar x1 dan Persamaan kuadrat ax 2 + bx ≥  Jika D 0deskriminan berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata x2, serta (D): (real) D > 0 akar-akarnya nyata dan berlainan D =yang b2 −sama 4.a.c D = 0 mempunyai dua akar

4

 Jika D < 0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak nyata (imajiner, khayal)/tidak punya akar-akar. Beberapa hubungan antara akar-akar x1 dan x 2 pada persamaan

0 kuarat ax 2 + bx + c = Hubungan Kedua akar real positif

Akar-akar

x1

x2

+

+

Syarat

D≥ 0 x1 + x 2 > 0 x1 .x 2 > 0

Kedua akar real negatif

-

-

D≥0 x1 + x 2 < 0 x1 .x 2 > 0

Kedua akar berlawanan tanda

+

-

-

+

Kedua akar real berlawanan

x1 = − x 2

Akar yang satu kebalikan akar yang lain

x1 =

1 x2

D> 0 x1 .x 2 < 0

D> 0 x1 + x 2 = 0 x1 .x 2 < 0 D> 0 x1 .x 2 = 1

Catatan: Ingat, jangan menghafal sifat dalam tabel dia atas. Cukup pahami pakai logika. Misalnya dalam soal disebutkan akar-akarnya berlainan dan keduanya negatif. Akar-akar berlainan berarti D > 0. Kedua akarnya negatif berarti jika dijumlahkan hasilnya negatif (x1 + x2 < 0) dan jika dikalikan hasilnya positif (x1 + x2 > 0). Perhatikan contoh di bawah ini.

5

Contoh Soal : 1. Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat

SPMB K.IPA 2006

(p − 2 ) x2 + 2px + p − 1 =0 negatif dan berlainan adalah... A. p > 2

C. 0 

2 3

D.

2 3

2
E.

2

METODE BASIC CONCEPT Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat (p − 2 ) x2 + 2px + p − 1 =0 . Syarat agar akar-akarnya berlainan: (D > 0) D > 0 ⇒ 2p2 − 4. (p − 2 ). (p − 1 ) > 0 ⇒ 4p2 − 4 (p2 − 3p + 2 ) > 0 ⇒ 4p2 − 4p2 + 12p − 8 > 0 ⇒ p >

4 (p2 − 3p + 2 ) > 0 ⇒ 4p2 − 4p2 + 12p − 8 > 0 ⇒ p >

2 3

Syarat agar akar-akarnya bernilai negatif: (x1 + x2 < 0) dan (x1 . x2 > 0) −2p x1 + x 2 < 0 ⇒ < 0 ⇒ p < 0 atau p > 2 p−2 x1 .x 2 > 0 ⇒

p −1 > 0 ⇒ p < 1 atau p > 2 p −2

2 3

... (1)

... (2) ... (3)

Dari syarat (1), (2) dan (3), maka penyelesaian diperoleh p > 2. (Lihat materi pertidaksamaan) Jawaban: A

6

Syarat akar-akarnya bernilai negatif: (xdiperoleh + x2 < 0)p > 2. Dari syarat (1),agar (2) dan (3) atas maka penyelesaian 1 dan (x1 + x2 > 0) (Lihat materi pertidaksamaan) A Jawaban: A

Rumus Praktis Akar Persamaan Kuadrat Selisih Selisih Akar Persamaan Kuadrat Jika x12 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, Jika x1 dan akar-akar sebuahsebuah persamaan kuadrat, dan berlaku x2 + n, maka dan berlaku x1 = x2 +x1n,= maka D = (n . a)2

(Soal SPMB) 2. Sebuah persamaan kuadrat x2 – 9x + k – 1 = 0 mempunyai akarakar x1 dan x2, jika salah satu akar lebih satu dari akar yang lain, maka nilai k = … METODE BASIC CONCEPT Salah satu akar lebih satu dari akar yang lain, artinya bersifat x1 = x2 + 1 b x1 + x 2 =− = 9 a ⇒ x 2 + 1 + x 2 = 9 ⇒ 2x 2 = 8 ⇒ x 2 = 4 Karena x1 + x 2 = 9 maka x1 + 4 = 9 ⇒ x1 = 5 Dengan subtitusi ke hasil perkalian akar-akar, maka diperoleh c x1 .x 2 = = k − 1 ⇒ 4.5 = k − 1 a ⇒ 20 =k − 1

⇒ k = 20 + 1 = 21 CARA PRAKTIS Diketahui x1 = x2 + 1 ⇒ n = 1, maka berlaku D = (n . a)2 ⇒ 81 – 4(k – 1) = (1.1)2 ⇒ 4(k –1) = 80 ⇒ k –1 = 20 ⇒ k = 21

7

Rumus Praktis Perbandingan Akar Persamaan Kuadrat Perbandingan Akar Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 akar-akar sebuah persamaan kuadrat, dan Jika x1 dan x akar-akar sebuah persamaan kuadrat, dan berlaku x21 = nx2, maka: berlaku x1 = nx , maka: 2 nb2 = (n + 1)2a.c

(Soal Standar SNMPTN) 3. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x 2 − (k + 1 ) x + (k + 3 ) = 0 adalah dua kali akar lainnya, maka nilai k adalah... 5 5 E. -5 atau − A. 5 atau -5 C. 5 atau − 2 2 5 5 B. 5 atau 2 D. -5 atau 2 METODE BASIC CONCEPT Jika α dan β adalah akar-akar dari x 2 − (k + 1 ) x + (k + 3 ) = 0, maka berlaku α + β= k + 1 dan α ⋅ β= k + 3 . Karena dikatahui akar yang satu dua kali akar yang lain, β = 2α , maka berlaku α + β = α + 2α = 3α = k + 1 ⇒ k = 3α − 1 , dan α ⋅β = α ⋅ 2α = 2α2 = k + 3 ⇒ k = 2α2 − 3 .

Artinya: 3α − 1 = 2α2 − 3 ⇒ 2α2 − 3α − 2 =0

⇒ (2α + 1)(α − 2) = 0 ⇒ α1 = − 12 atau α2 = 2

1 5 Untuk α1 =− ⇒ k =− 2 2 Untuk α2 = 2 ⇒ k = 5

8

CARA PRAKTIS METODE SUPER TRIK

β = β2α= 2α DariDari persamaan dan diketahui x 2 −x(2k−+(1k )+x1+) (xk++(3k )+= persamaan diketahui 30) = 0 dan makaa = 1; b = − (k + 1); c = k + 3 dan n = 2. Selanjutnya Artinya − (k + 1); c = k + 3 dan n = 2 nb2=a =(n1;+b1)=2 a.c 2 nb2= (n + 1) 2 a.c ⇒ 2 ( −(k + 1) ) = (2 + 1)2 (1)(k + 3) ⇒ 2(k + 1)2 = 9 (k + 3) 2 ⇒2 2 ( −(k + 1) ) = (2 + 1)2 (1)( k + 3) ⇒ 2(k + 1)2 = 9 (k + 3) ⇒ 2k + 4k + 2 =9k + 27 ⇒ 2k2 − 5k − 25 =0 ⇒ (2k + 5)(k − 5) =0 ⇒ 2k2 + 4k + 2 =9k + 27 ⇒ 2k2 − 5k − 25 =0 ⇒ (2k + 5)(k − 5) =0 5 5 ⇒ k1 = − atau 5 k2 = 2 5 ⇒ k1 = − atau k2 = 2 Jawaban: C Jawaban: C

C. Menyusun Persamaan KuadPersamaan KuadC. C. Menyusun Menyusun Persamaan Kuadrat C. Menyusun Persamaan Kuadrat rat rat Jika akar-akar diketahui sebuah akar-akar sebuah kuadrat persamaan x dankuadrat x , maka Jika diketahui persamaan 1

persamaan adalah: x1 kuadratnya dan x 2 , maka persamaan kuadratnya adalah:

2

(x − x1 )(x − = x 2 ) 0 atau x 2 − (x x1 x 2 0 1 + x 2 )x + = x1 xdan x 20, maka Jika diketahui akar-akar kuadrat (x − x1 )(xsebuah − = x 2 ) persamaan 0 atau x 2 − (x 1 + x 2 )x + = 1x2 persamaan kuadratnya adalah: Jika diketahui akar-akar sebuah persamaan kuadrat x1 dan x 2 , maka Inti soalnya adalah diketahui persamaan kuadrat yang diketahui akarpersamaan kuadratnya adalah: Intixsoalnya adalah diketahui persamaan kuadrat yang akar x1 dan 2 dan hendak dibuat persamaan kuadrat yang baru akarakar-akar x1 dan x 2 dan hendak dibuat persaakarnya xdiketahui 3 dan x 4 di mana x 3 dan2 x 4 masih berhubungan dengan akar (x − x1 )(x − = x 2 ) 0 atau x − (x1 + x 2 )x += x1 x 2 0 x 3 dan x di mana yang baru akar-akarnya x1 dan x 2maan . (xkuadrat − x1 )(x − = x 2 ) 0 atau x 2 − (x1 + x 2 )x += x1 x 24 0 x 3 dan x 4 masih berhubungan dengan akar x1 dan x 2 .

Cara Praktis

Inti soalnya adalah diketahui persamaan kuadrat yang diketahui Inti soalnya adalah diketahui kuadratkuadrat yang diketahui x dan x dan akar-akar hendak persamaan dibuat persamaan yang 1

2

x1 danxxx1 dan akar-akar dan dibuat persamaan ax 2kuadrat + bx + cyang = 0, Diketahui adalah akar–akar 2dan xx42hendak x 3 dan x 4dari baru akar-akarnya di mana masih berhubun3 maka dapat disusun persamaan kuadrat yang baru x 3 xdan x 4 di mana x 3 dan x 4 masih berhubunakar-akarnya ganbaru dengan akar x1 dan 2. sebagai berikut. gan dengan akar x1 dan x 2 .

9

1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx1 dan nx 2 nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx 1. nx111 dan dannx nx222 1. Persamaan Persamaankuadrat kuadratdengan denganakar-akar akar-akar x nx dan nx 1. akar-akar nx111nx dan nx222nx 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar nxdengan adalah Inverskuadrat dari nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xx akar-akar nx dan nx22 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1. Persamaan kuadrat dengan x⇒ 1 dan 1 n nx1nx nx adalah dari dan nx 2nx 1. 1. Persamaan akar-akar nx adalah ⇒ Invers dari nxdengan adalah Inverskuadrat dari Invers nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x⇒ x akar-akar nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx dan nx22222 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar kuadrat dengan nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x⇒ 11111dan nnxnx nx adalah ⇒ Invers dari nx adalah ⇒ Invers dari nx adalah ⇒ Invers dari nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx dan nx22222nx 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx adalah ⇒ Invers dari nx dan nx 1. kuadrat dengan akar-akar nx adalah ⇒ Invers dari x nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 11111nx 1 dan x x x x 2 n n n nn nx nx adalah ⇒akar-akar dari Invers nx adalah dari nx11nx dan nx22nx 1. 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx adalah Invers dari nxdengan adalah Invers dari dan nx Invers 1. Persamaan kuadrat nx adalah ⇒ dari nx adalah ⇒ Invers dari Invers nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xx⇒ x akar-akar x⇒ kuadrat dengan nx dan nx222 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar x⇒ Diperoleh persamaan kuadrat baru x 111 dan n n n n nx adalah ⇒ dari nxadalah adalah n Invers dari Invers nx ⇒ dari nx adalah dari Invers nx adalah ⇒ dari Invers Invers nx 1. kuadrat dengan nx dannx nx222 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx adalah ⇒nkuadrat Invers dari x⇒akar-akar x⇒ nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar Diperoleh baru 2 persamaan 111 dan Diperoleh persamaan baru nn nxnx kuadrat nxnx adalah ⇒ nxkuadrat dari Invers xakar-akar nx adalah ⇒ dari n nxbaru Invers nx adalah ⇒ Invers dari    22 dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan adalah ⇒ dari nx adalah ⇒ Invers dari Invers 22x persamaan Diperoleh x x 1 x Diperoleh kuadrat baru Diperoleh persamaan 0 ataubaru ax += b.nx +2c.n2 0 + nn +nnnc kuadrat xa adalah  = ⇒ nx persamaan Invers 22 dari nx adalah InversDiperoleh dari nx  xbx⇒ n adalah ⇒ dari Invers 2x  x Diperoleh persamaan kuadrat baru persamaan kuadrat baru a b c 0 atau ax b.nx + + + = ++ c.n    22n= Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru a b c 0 atau ax b.nx c.n2 00 = + + + =     n nxx adalah nkuadrat 2 22 2 22 x= x c nkuadrat dari Invers Diperoleh x2n  b  x⇒  nxn     222n Diperoleh persamaan baru persamaan baru a 0 atau ax b.nx c.n + + + = +  Diperoleh persamaan ataubaru ax ++= b.nx ++22c.n c.n 0 00 + = 00 atau ax b.nx + xaxax  = xxbx n ++ cc kuadrat xbn 2x2n = 2222 22 n n n n Diperoleh persamaan kuadrat baru a b c 0 atau ax b.nx c.n = + + + = +     2 a b c 0 atau ax b.nx c.n 0000 x = + + + = +     Diperoleh persamaan kuadrat baru a b c 0 atau ax b.nx c.n = + + + = + a b c 0 atau ax b.nx c.n = + + + = +       xx nx   xx2nn 22 2 22 x21 xn= 2 b persamaan nn cc+kuadrat n Diperoleh baru b 0 atau ax b.nx c.n 0 + + + = + 2n x aa xa2. 0 atau ax b.nx c.n 0 += + + = + dan Persamaan kuadrat dengan akar-akar  b c 0 atau ax b.nx c.n 0xxx222 = + + = +  1 x x x2121 dan   nnx  kuadrat dengan22akar-akar 2. nx Persamaan 2n x x n n dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x x n n a b c 0 atau ax b.nx c.n 0 = + + + = +    1 2 dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar a b c 0 atau ax b.nx c.n 0 = + + + = + 1 2 x21 dan x 2 xnx   x  kuadrat x Persamaan 2. dengan xnxdan 2akar-akar dan 2. dengan akar-akar nn110x 2dan nPersamaan nn xkuadrat 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n= b 0kuadrat axnx b.nx +Invers +ckuadrat += +x1c.n xxdan xxxnxxnx222 nn22 dan 2. Persamaan dengan akar-akar 2. Persamaan dengan akar-akar  kuadrat nxxnxn xatau 1111 x 2. a 2. Persamaan dengan akar-akar adalah ⇒ dari x dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 dan Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 n n x  kuadrat nxxxxxnx2222 n222 nn adalah ⇒ nx xxxxxnx1111  dari Invers dari dan ndan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 2. Persamaan dengan akar-akar 2.  Invers Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nxx dengan adalah ⇒ n adalah ⇒ nx nx Invers dari dan ndan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xdan xn 2. kuadrat akar-akar 11 dan 22 n xkuadrat 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 2. Persamaan dengan akar-akar n n adalah ⇒ nx Invers dari 1 n nn x x x x x n x adalah ⇒ nx Invers dari dan n nn2 2. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xnxn x adalah nnkuadrat 11 x 22dan Persamaan akar-akar n adalah ⇒dengan nx x dengan Invers dari 11 22 n x x n n 2. dan n n 2. 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar adalah ⇒ nx Invers dari x x dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n ⇒ nx Invers dari x n n n x dan adalah ⇒ nx Persamaan kuadrat akar-akar Invers dari 1 2 n n x x x x adalah ⇒ nx Invers dari n n adalah ⇒ nx Invers dari dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x x n x 1 2 x dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n2 Persamaan nxn11 dan adalah ⇒ nx nnnxx dengan Invers dari adalah dari adalah ⇒nx nx Invers dari ndan adalah ⇒ nx dari Invers 2. kuadrat akar-akar xxkuadrat dan 2. dengan akar-akar adalah ⇒ nx nn ⇒ Invers Invers dari nnx 2 nx 2 nnn adalah ⇒ nx dari Diperoleh persamaan kuadrat adalah ⇒ nx x1 nbaru Invers Invers dari adalah ⇒ nx Invers dari 2. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar nn adalah ⇒ nx nx nxn2xx adalah Invers dari n adalah ⇒ x dari n n Invers dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n ⇒ nx dari n n x adalah ⇒ nx n Invers Invers dari n adalah ⇒c nx Diperoleh persamaan kuadrat ⇒ Invers Invers nx dari adari b (adalah nx +nx = 0nx nbaru n n (nnx )nnxnx+persamaan ) nx Invers adalah ⇒ dari ⇒ Invers dari 2 adalah x n adalah ⇒ nx Invers dari Diperoleh kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru adalah ⇒ nx dari Invers a ( nxdari +c= 0 )nn22x +persamaan adalah ⇒) nx Invers nnb ( nx adalah ⇒c nx Invers dari Diperoleh kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru n nx + b nx + = 0 ) ( ) aa((nx + b nx + c = 0 ) ( ) 22 n Diperoleh 3. Persamaan dengan baru akar-akar − x1 dan − x 2 , nx)) ++ bbpersamaan nx)kuadrat + cc = = 0kuadrat ( ) aa((nx nx + 0 ( Diperoleh kuadrat baru − x1 danbaru − x2 , 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akarkuadrat a ( nx b ( nx +x cadalah = 0 persamaan )2 +persamaan )−Diperoleh ⇒akar-akar −dengan x kuadrat Invers 2 3. dari Persamaan kuadrat akar-akar Diperoleh persamaan dan −−−xx212 ,,dan − x 2 , 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar −−xx11 baru dan 3. kuadrat dengan Diperoleh persamaan kuadrat baru a (Persamaan nx + b nx + c = 0 ) ( ) − x adalah ⇒akar-akar − x kuadrat Invers dari 3. dari Persamaan kuadrat akar-akar Diperoleh persamaan dan 3. Persamaan Persamaan kuadrat dengan −−xx11 baru dan −−−xx212 ,,dan − x 2 , 3. kuadrat dengan −Diperoleh x adalah ⇒akar-akar −dengan x Invers Diperoleh persamaan kuadrat baru persamaan kuadrat baru 2 ⇒ −x − x adalah Invers dari dan −− xx22 ,, 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar −−xx121 ,dan 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru a nx + b nx + c = 0 − x dan − 3. Persamaan dengan akar-akar ( ) ( ) −Diperoleh x adalah ⇒ − x Invers dari kuadrat Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru 22 − x adalah ⇒ − x1 dari −Invers x adalah ⇒bbakar-akar − x )) ++kuadrat Invers dari − x dan 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar − x dan −− xx22 ,, 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar a nx + nx c = 0 ( ) ( Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan baru a nx + nx c = 0 − x dan − 3. Persamaan kuadrat dengan , 1 ( ) ( 12 −Diperoleh x adalah ⇒ − xkuadrat InversDiperoleh dariInvers persamaan kuadrat 2 22−persamaan xnx adalah ⇒ −baru x1 baru dari + b + c = 0 ( nx )nx ( ) − x dan − x2 , 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2apersamaan Diperoleh persamaan kuadrat baru a nx + b nx + c = 0 ( ) ( ) a + b nx + c = 0 2 1 ( ) ( ) − x adalah ⇒ − x InversDiperoleh dari kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru adalah ⇒ − xx= Invers dari adalah ⇒ − dari a ( −Invers x ) aa((+(nx b = cnx ax − bx + c 0 ())2−222++x++)−b−bbb+(x(x(nx 3. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx nx = ) +0+ ccccatau = 000baru ) ) 2 a Diperoleh persamaan kuadrat nx + = 0 ) a nx nx + = 2 baru − x 1 dan − x 2 , persamaan kuadrat 2 2 − x adalah ⇒ − x Invers dari ⇒ − a ( −Invers x )aa((+nx bdari −++ x )2− cadalah axx = − bx + c 0 nx = bb++(x(nx +0+ )ccatau 00baru )()nx 2 nx adari badalah += c⇒ = ((= ())nx Diperoleh kuadrat 22 x) −+ xnx −0 x2= a ( −2Invers x ) aapersamaan +(nx b = − c 0 atau ax − bx + c baru 0 ) Diperoleh persamaan kuadrat + b + c = 0 ( ) ( ) nx + badalah + c⇒ = 0akar-akar )kuadrat ( nx )atau Persamaan kuadrat dengan 2 23. xbaru +akar-akar n dan x 2 +− xn1, dan − x 2 , 4. dengan − x − x Invers dari a ( −Persamaan x )4. + b = − x + c 0 ax = − bx + c 10 ( ) Diperoleh persamaan kuadrat a ( nx + b ( nxdengan + ckuadrat = 0akar-akar )kuadrat nxxndan x2 − +− n Persamaan dengan akar-akar xx22, ,, 3. Persamaan dengan dan 3. )kuadrat Persamaan kuadrat dengan akar-akar 11, dan x1 +akar-akar n danxx1 +2 − +− 4. Persamaan Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh kuadrat baru x12 + −nxdan +n 4. 3. Persamaan dengan x−2−, ,xx 2 ,, Persamaan kuadrat dengan akar-akar x + nkuadrat adalah ⇒ x −dengan nakar-akar Invers dari −xdan x11,xdan dan 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 persamaan 2 − 1− 3. Persamaan kuadrat akar-akar x + n dan x + n 4. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 1 −x 2 +c − xpersamaan +dari b⇒ = −−xxx)−dengan + 0 akar-akar atau ax += −− 0−n ) kuadrat (dengan adalah ⇒ Diperoleh persamaan kuadrat baru kuadrat baru x +an(Invers adalah nc akar-akar Invers dari dan 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n−bx x2 − +− 4. 3. Persamaan xxxnxdan xxxx222,2,,,, Persamaan dan 3. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2kuadrat − dan − 3. Persamaan akar-akar 2 xx 1 − 1111, dan xatau nnxxax dan 4. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xaInvers +(Invers adalah x+ −cdengan nakar-akar Invers xbkuadrat +(dengan n−⇒ ⇒ Invers xxadalah adalah ⇒ dari 1x+− 2 ++ −nkuadrat xdari + = − x 0 = − bx c 0 ) ) − adalah ⇒ − dari Diperoleh persamaan kuadrat baru − x dan − x 3. dari Persamaan kuadrat dengan akar-akar , x + n dan x + n 4. 3. Persamaan , − x dan − x Persamaan kuadrat dengan akar-akar , 2 −2 x , 3. kuadrat dengan akar-akar 12 2 11− x 1 dan x Persamaan +aan(Invers adalah xxadalah nadalah Invers dari +dari −baru Invers dari Invers dari −22xxpersamaan −−− xx)x− 0xakar-akar atau = bx 0 xx2 ,, 2 (Invers (x−adalah )dengan − ++ bbn−⇒ = ++ cc ⇒0⇒ atau −−−−bx cc − 0− ⇒nx−− 2xax xax2= ))2xkuadrat (= adalah ⇒ dari kuadrat xx11 ++ dan 3. Persamaan dan 3. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar 22 2 Diperoleh persamaan kuadrat baru adalah ⇒ dari xbb= +(= x −− Invers adalah ⇒ dari x)) kuadrat + + atau = bx (Invers (−−n−−−−xxxxxadalah aaInvers −−xdari + + cc 00⇒ atau −−−bx cc − 00 x , adalah ⇒ xax = dari (Invers )x)dengan adalah ⇒ −−nxxxax Invers dari x1 ++ dan 3. Persamaan akar-akar 2 2 2persamaan Diperoleh kuadrat baru −= −nxx− xax 2= Invers dari x ++dari x atau −⇒ Invers dari xxadalah ⇒ dari a (Invers −+2xb(x bn−n) −+−adalah xadalah +adalah 0⇒ − bx + cbaru0 ) ( a(x −Invers n) −Diperoleh cx) = 0c ⇒ persamaan kuadrat 2 2 4. Persamaan kuadrat dengan x + akar-akar adalah ⇒ xxaxkuadrat dari aInvers −+xb(x + bn) = + 0 atau = − bx + baru cbaru0 1 n dan x 2 + n , (Invers )Diperoleh ( −+−−xxcx) = adalah ⇒ −−kuadrat a(x − n) −Diperoleh 0c persamaan dari persamaan baru Diperoleh persamaan kuadrat x1 + n dan x 2 + n , 4. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar − x adalah ⇒ − x Invers dari persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh kuadrat baru 2 persamaan x − n dan x2+2+= ndan 5. Persamaan kuadrat dengan akar-akar , + cxx22 ++0nn,, x dan 4. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar x 4. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 Diperoleh kuadrat baru akuadrat xpersamaan −kuadrat x ) kuadrat + c ⇒baru 0x atau −−nnbx Diperoleh persamaan (+−22b(x )xakar-akar (+adalah −−1n1n nndan dan −nn n,,, 5. Persamaan akar-akar Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru 2persamaan +dengan nb= −baru n xxxx122+ax Invers dari x − n dan 5. Persamaan kuadrat dengan , + dan 4. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar xxx 2 ++ 4. Persamaan kuadrat dengan akar-akar a(x − n) − n) c = 0 aakuadrat −−2xpersamaan ++dengan b⇒ −−xkuadrat xx+)) n + cckuadrat 010x atau ax −dan (dari ))x2 persamaan (= Diperoleh kuadrat baru baru xpersamaan b= +akar-akar atau ax = −bx bx + Diperoleh kuadrat baru ( ( xbaru −11n22= x+2cc−22n00, 5. Persamaan 2persamaan x − n adalah Invers dari n adalah ⇒ − n Invers Diperoleh 1 2 2 a(x −( −n) 0cc0akar-akar x−12bx += dan xDiperoleh − n− adalah xx(= +dengan Invers4. dariPersamaan a (n) −aa2dari x(dari +))xxb⇒ = +bx c++ ccx02 +00n , )−n+cxx)= xpersamaan ax = persamaan (+−)−22kuadrat (adalah )ckuadrat xb(x − ++ 00xx atau ax −−nbx Diperoleh kuadrat baru +dengan adalah ⇒atau −baru Invers += nbnb= ⇒ −atau nnax Invers 2+ n dan x + n , x1222= 4. Persamaan kuadrat akar-akar a(x − n) +)))x2x2b(x − n) + c = 0 − n adalah ⇒ x + n Invers dari a − x + b = − x + c 0 atau ax = − bx + c ( ( ) a − x + b = − x + c 0 atau ax − bx + c ( ( ) a − x + b = − x + c 0 atau ax = − bx + Diperoleh persamaan kuadrat baru ( ( ) a − x + b = − x + c 0 atau ax = − bx + cc 2 0000 adalah ⇒ xx −−nn 22 2 Invers dari nnkuadrat adalah ⇒ Invers 22 x Diperoleh a(x − n)−−a2xdari n) c+x = 0cbaru xb(x − adalah x atau + natau Invers dari x(+)− +)x2bnb−= = −n x(+ c+⇒ 0⇒ atau ax = = −bx bx + cc+ c00 0 ( ) ( ) aapersamaan + − x + c 0 ax − + ( ( ) x b = − 0 ax = − bx ) + adalah x − n Invers dari 2 2 a(x +Invers n)2 +aa(dari b(x c(= = −− xx0)) ++ cc ⇒00x atau −−bx atau ax 2= = bx ++ cc 00 (−−2xx+))x2n)+++bnb= (adalah − n 2ax a ( − x ) + b= − x + c 0 atau ax = − bx + c 0 ( )

10

1 1 dan 1 1 (berkebali 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 111 11 xdan 111 11 (berkebalikan 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan dan x(berkebalikan 2 6. (berkebalikan) 6. Persamaan Persamaan kuadrat kuadrat dengan dengan akar-akar akar-akar (berkebalikan) dan 1 1xxxdan 11 x1 x 1 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan) dan x 1 2 11 1 x 22 Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan) dan 1 x x x 1 1 6. 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan dan x x 1 1 111 222 1 1 6. 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x1 (berkebalikan) x1 1x11 dan xdan Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan) 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan) dan x(berkebalikan) 21 x12 (berkebalikan) (berkebalikan) 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan xbaru xxdan x(berkebalikan) 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 x 2 x x222 2 Diperoleh persamaan kuadrat 111 x x Diperoleh persamaan kuadrat baru x1 x 22 Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 persamaan Diperoleh + bx += a0= 0 kuadrat baru 1 22cx cx + bx + a 2 cx + bx + a = 0 persamaan kuadrat baru cxDiperoleh + bxpersamaan +persamaan a= 0 kuadrat Diperoleh baru Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh kuadrat baru 2 2 2 27. 22cx + bx + a = 0 Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 dan cx cx + bx + a++= cx bx = 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar akar-akar2 xx1122 xdan dan x2222 x 2 ++ bx aa0= 00 7. Persamaan kuadrat dengan 2x 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x 2 2 2 2 2 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 22xxdan 212 x 2dan 1 x Diperoleh persamaan kuadrat baru 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x2222 x 2 7. 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1122 xdan dan 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 2 x 121x 2x 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2x 2 Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 x 7. Persamaan dengan akar-akar x1 x 2dan 7. Persamaan dengan akar-akar x1 dan 2 kuadrat 2 2kuadrat 2 2 2 a 2 x −2 (b − 2ac)x + 2 c = 0 akar-akar 2 2 2 22 x 2 7. Persamaan kuadrat dengan a x − (b − 2ac)x + c = 0 dan 2x 1 Diperoleh persamaan kuadrat baru 2x 22 x 2 22 7. 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x dan 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x dan 1 Persamaan kuadrat dengan akar-akar x dan x 1 2 Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 x − c20= Diperoleh persamaan kuadrat baru 1 22 a 222 (b − 2ac)x + 2 2 Diperoleh 2 2 2 (b −− 2ac)x 2ac)x ++ c22 = = persamaan kuadrat baru baru2 aa2 xx −−2 (b 2 c 0 persamaan kuadrat 2 Diperoleh 2 xDiperoleh 2 (b −persamaan 2 c = a − 2ac)x + 0 a x − (b − 2ac)x + c = 0 kuadrat baru a x − (b − 2ac)x + c = 0 21 x 21 2x 2 x 2 2 x x 2− 2ac)x 2 + 2 c = ax2(b1− x2 (b (b 0 Diperoleh persamaan kuadrat baru 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2− 2ac)x a2 xaax2221− −−22xx2ac)x Diperoleh persamaan kuadrat baru = Diperoleh persamaan kuadrat baru 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 2ac)x dan 8. 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xxx2dan −xdan (b − cc20= 00 Diperoleh persamaan kuadrat baru x+ cx++2 = 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xxdan 2 x 112 xdan 1 x 221 x 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x x x x112 xxxdan x 1 x1 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 212 22 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x1 xx112 dan xxxxdan x 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar Persamaan kuadrat dengan akar-akar 22 2 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 12 x xx xx211 dan 8. 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x x x 12 x 1122 21 x 2211 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x x x 8. 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x 2 x 2 dan xdan Diperoleh persamaan kuadrat baru Persamaan kuadrat dengan akar-akar 12 −12 (b2 x 2x −122ac)x c20= 0 Diperoleh persamaan kuadrat baru x12 xx−12ac)x xacx 2 2 kuadrat baruxacx −22(b + c+2 = Diperoleh 2 x 22 acx 12 (b − 2ac)x + − c20= persamaan kuadrat baru acxDiperoleh −Diperoleh (b2 −persamaan 2ac)x + c = 0 2 − (b2 − 2ac)x + c22 = acx persamaan kuadrat baru acx − 2ac)x c 0= 0 Diperoleh persamaan kuadrat baru 22 Diperoleh persamaan kuadrat baru acx (b−22 (b 2ac)x + cc2+2 = = Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 acx −−2 (b −−22ac)x Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 2 persamaan 2 kuadrat baru acx − (b 2 − 2ac)x + c2+2 = 0c2 0= Diperoleh 2 acx 2 2 2 2 − (b − 2ac)x + 0 Diperoleh persamaan kuadrat baru acx − (b − 2ac)x + c = 0 acxacx −2(b−− (b −22ac)x + c++ = Diperoleh persamaan kuadrat baru acx (b 2ac)x = Diperoleh persamaan kuadrat baru −− 2ac)x cc20= 00 Diperoleh persamaan kuadrat baru x1x+ xdan x1 .x Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 dan 2 x + x .x 9. 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 2 1 2 x xdan +xxdan 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2xdan .xx .xx1 .x 2 Persamaan kuadrat dengan akar-akar 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 +x1x+2xx11xdan 9. 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar ++2x x1dan Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 .x 21 x 121.x 22 22 dan x + x dan .x 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x + x x .x 9. 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x + x dan x .x 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 2 1 2 1 2 1 2 Diperoleh persamaan kuadrat baru x1 + 1x 2x dan x1 .x 21 x 22.x 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar Diperoleh persamaan kuadrat baru + xdan 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1dan 2x dan Diperoleh persamaan kuadrat baru x + x 9. 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x + x .x221 2 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 x 11 + 2 x 22 dan 1 .x xx211.x Persamaan kuadrat dengan Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh kuadrat baru persamaan kuadrat baru 2 Diperoleh a22 x 22persamaan +2(ab − ac)x − bc = 0akar-akar Diperoleh persamaan kuadrat baru persamaan kuadrat baru a − ac)x − bc = 0 2 Diperoleh 2 x + (ab Diperoleh persamaan kuadrat baru a2(ab + ac)x (ab −−ac)x −0bc = 0 baru a xa2Diperoleh + −x ac)x −ac)x bc = 0bc 22+ persamaan kuadrat xa2(ab − bc = (ab = xx2(ab ++ (ab −− ac)x −− bc 00baru Diperoleh persamaan kuadrat 2 Diperoleh Diperoleh persamaan kuadrat baru persamaan kuadrat baru a222x xa22 ++ − ac)x ac)x − bc bc = 0= a (ab − − = 0 2 2 − ac)x − bc = 0bc = a2 x 2 2 +a2(ab x + (ab − ac)x − 0 2 x2(ab − ac)x − bc = 0= (ab ac)x bc = x ++ (ab −− ac)x −− bc 00 a xaa +

Contoh Soal :

(Soal Ujian Nasional) 2

0 adalah 1. Akar-akar persamaan kuadrat x + 2x + 3 =

(Soal Ujian Nas (Soal Ujian Nasion α dan β . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (Soal Ujian (Soal Ujian Nasion (Soal Ujian NasN (Soal Ujian Nasional (Soal Ujian Nasional) (Soal Ujian Nas (Soal Ujian Ujian Nasion Nasion (Soal 2 adalah … ( α − 2 ) dan (β − 2 ) persamaan Ujian Nasional) 2 x + 2x + 3 = α dan βPersa 0(Soal Akar-akar persamaan kuadrat adalah .Nasi Per (Soal Ujian α dan β x + 2x + 3 = 0 Akar-akar kuadrat adalah . (Soal Ujian Nasional) (Soal Ujian Nasion 2 2 (Soal Ujian Nasion α dan β . Persa 0 0adalah Akar-akarpersamaan persamaan kuadrat x x+2+2x2x+ +3 3= = adalah Akar-akar 2 x + 2x + 3 = α dan 0 adalah . Persa Akar-akar persamaan kuadrat α dan β . βPersa x + 2x + 3 = 0 Akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β . Persa

11

A. x2 + 6x + 5 = 0 B. x2 + 6x + 7 = 0 C. x2 + 6x + 11 = 0

D. x2 - 2x + 3 = 0 E. x2 + 2x + 11 = 0

METODE BASIC CONCEPT

0 maka berKarena α dan β adalah akar-akar x 2 + 2x + 3 = laku −b c α+β = = −2 dan α.β = = 3 a a Misalkan persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya x1 dan x2 dengan x1 = (α − 2) dan x2 = (β − 2) , maka persamaan kuadrat yang baru adalah x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 .x 2 = 0 ⇒ x 2 − ( ( α − 2 ) + ( β − 2 ) ) x + ( α − 2 )( β − 2 ) = 0 ⇒ x 2 − ( ( α + β ) − 4 ) x + αβ − 2 ( α + β ) + 4 = 0 ⇒ x 2 − ( −2 − 4 ) x + 3 − 2 ( −2 ) + 4 =0 ⇒ x 2 + 6x + 11 = 0

CARA PRAKTIS Karena akar-akarnya x1 = (α − 2) dan x2 = (β − 2) , maka diperoleh persamaan kuadrat yang baru: (x + 2)2 + 2(x + 2) + 3 = 0 ⇒ x 2 + 4x + 4 + 2x + 4 + 3 = 0 ⇒ x2 + 6x + 11 = 0

Jawaban: C Soal SPMB 2

0 2. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x + x − 2 = 1 1 + 1 dan +1 maka persamaan yang akar-akarnya x1 x2 adalah...

12

0 A. 2y2 − 3y + 1 =

0 D. 4y2 − 5y − 3 =

0 B. 2y2 − 5y + 1 =

0 E. 4y2 + 5y − 3 =

0 C. 2y2 + 3y + 1 = METODE BASIC CONCEPT 0 , maka Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar x 2 + x − 2 = b c x1 + x 2 = − = −1 dan x1 .x 2 = = −2 a a 1 1 + 1 dan b = + 1 , maka Misalkan a = x1 x2

1  1  a + b =  + 1 +  + 1 =  x1   x2  x1 + x1 −1 = + 2= + 2= x1 x 2 −2

1 1 + +2 x1 x 2 5 2

1  1  1 1  1 a.b =  + 1  .  + 1  = + +  +1  x1   x2  x1 x 2  x1 x 2  1 1 = + + 1= 1 −2 2 Persamaan kuadrat dengan akar-akar a dan b adalah: x2 − ( a + b ) x + ab = 0

5 ⇒ x2 −   x + 1 = 0 2 0 ⇒ 2x2 − 5x + 2 = Jika variabelnya y, diperoleh 2y2 – 5y + 2 = 0 CARA PRAKTIS 0 , maka persamaan kuadrat dengan Diketahui x 2 + x − 2 = 1 1 0. akar-akar adalah −2x 2 + x + 1 = dan x1 x2

13

0 , maka persamaan kuadrat dengan Diketahui −2x 2 + x + 1 = 1 1 + 1 dan + 1 adalah akar-akar x1 x2 −2 ( x − 1 ) + ( x − 1 ) + 1 = 0 ⇒ −2 ( x 2 − 2x + 1 ) + ( x − 1 ) + 1 = 0 2

⇒ −2x 2 + 4x − 2 + x − 1 + 1 = 0 ⇒ −2x 2 + 5x − 2 = 0 ⇒ 2x 2 − 5x + 2 = 0

Jika variabelnya y, diperoleh 2y2 – 5y + 2 = 0

Jawaban: B

3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya pangkat

0! tiga dari akar-akar persamaan kuadrat 3x 2 − 6x + 1 = METODE BASIC CONCEPT

0  Persamaan kuadrat yang diketahui: 3x 2 − 6x + 1 = b 2 dan Jumlah akarnya: x1 + x 2 =− = a c 1 hasil kali akar: x1 .x 2= = a 3  Persamaan kuadrat yang baru misal akar-akarnya p dan q. Pola hubungan akar-akar persamaan kuadrat lama dan baru: 3 3 p = x1 dan q = x 2

Jumlah akarnya: p + q = x13 + x 23

= ( x1 + x 2 ) − 3x1 x 2 ( x1 + x 2 ) 3

Hasil kali akar:

1 6 = 23 − 3. .2 = 3 3 1 3 1 p.q = x13 .x 23 = ( x1 .x= =  2) 3 27

 

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x 2 − (p + q)x + p.q = 0 1 0 ⇒ x 2 − 6x + = 27 ⇒ 27x 2 − 162x + 1 = 0

14

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah

x 2 − (p + q)x + p.q = 0 1 0 ⇒ x 2 − 6x + = 27 ⇒ 27x 2 − 162x + 1 = 0

Uji Skill Rumus Praktis 1. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN Jika salah satu akar persamaan kuadrat x 2 − (k + 1 ) x + (k + 3 ) = 0 adalah dua kali akar lainnya, maka nilai k adalah... 5 A. 5 atau -5 C. 5 atau − E. -5 atau − 5 2 2 5 5 B. 5 atau D. -5 atau 2 2 2. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN

0 maka Jika a dan b adalah akar-akar persamaan 2x 2 + 3x − 2 = a b persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar dan adalah... b a 0 A. 4x 2 + x + 1 =

0 D. x 2 + 4x + 1 =

1 0 B. 4x 2 + 15x ==

0 E. 4x 2 + 17x + 4 =

0 C. 4x 2 + 7x + 1 =

15

3. UM-UGM/SIMAK UI K.IPA

0 adalah x1 dan x2. Jika u Akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 6x + c = dan v adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 − ( x12 + x 22 ) x + 4 = 0 serta u + v = u.v, maka x13 x 2 + x1 x 23 = … a. 4

b.

16

c. 32

d. 64

e. -64

4. UM-UGM/SIMAK UI Madas

y= x + c Sistem persamaan  y x 2 + 3x = diketahui mempunyai pernyelesaian tunggal. Nilai c dan x + y berturut-turut adalah... A. -1 dan -3 C. -1 dan 0 E. 1 dan 3 B. -1 dan -1 D. 1 dan -3 5. UM-UGM/SIMAK UI K.IPA Garis y = 2x + k memotong parabola y = x 2 − x + 3 di titik ( x1 ,y1 )

7 , maka nilai k = ... dan ( x 2 ,y2 ) . Jika x12 + x 22 = A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

E. 3

6. UM-UGM/SIMAK UI Madas

0 mempunyai dua Nilai a agar persamaan kuadrat x 2 − 8x + 2a = akar yang berlainan dan positif adalah... A. a < 0 C. 0 < a < 8 E. a < 0 B. a < 8 D. a > 8 7. UM-UGM/SIMAK UI Madas Akar-akar persamaan x 2 − ( a + 3 ) x + 4a = 0 adalah α dan β . Nilai minimum dari α2 + β2 + 4αβ dicapai untuk a = … A. -7

B. -2

C. 2

D. 3

16

E. 7

8. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 4x – 1 = 0. 1 1 Maka + =… x1 x 2 A. 1

B.

1 3

C.

4 3

D. 3

E. 4

9. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN

0 adalah x1 dan x2. PersaAkar-akar persamaan kuadrat x 2 + bx + c = maan kuadrat dengan akar-akarnya x1 + x2 dan x1.x2 adalah… 0 A. x 2 + bcx + b − c =

D. x 2 + (b − c ) x − bc = 0

0 B. x 2 − bcx − b + c =

E. x 2 − (b − c ) x + bc = 0

C. x 2 + (b − c ) x + bc = 0 10. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN x 2 + ( 2a − 1 ) x + a2 − 3a − 4 = 0 akan mempunyai akar-akar yang real jika nilai a memenuhi … 5 1 A. a ≥ 1 C. a ≥ −2 8 8

1 E. a ≤ −2 8

5 5 B. a ≥ 2 D. a≤2 8 8


α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 3x + k − 13 = 0. Jika α2 − β2 = 21 , maka nilai k adalah … A. -12 B. -3 C. 3 D. 12

17

E. 13

12. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Akar-akar persamaan kuadrat x 2 − αx + 2α − 7 = 0 adalah x1 dan x 2 . Jika 2x1 − x 2 = 7 , maka nilai α adalah … 7 A. − atau -2 D. 7 atau 2 2 7 B. − atau 2 E. 7 atau – 2 2 7 C. atau 2 2

13. Soal UAN SMA Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 - 9x + c = 0 adalah 121, maka nilai c = … A. -8 B. -5 C. 2 D. 5 E. 8 14. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Jika persamaan kuadrat x 2 + ( a − 2 ) x − 3a + 8 = 0 mempunyai akar x1 dan x2, maka nilai minimum dari x12 + x 22 tercapai untuk a = ... A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

15. Soal UAN SMA Akar - akar persamaan kuadrat x 2 + (a − 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a =…. A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 8

18

BAB 2 FUNGSI KUADRAT A. Koordinat Titik Puncak/Titik Ekstrim Bentuk umum fungsi kuadrat: y = f(x) = ax 2 + bx + c

= b2 − 4ac Deskriminan (D): D

b 2a D  b  atau y = f  −  Nilai Ekstrim (ordinat puncak): y = − 4a  2a  Sumbu simetri (absis puncak): x = −

 ymin jika a > 0 ⇒ kurva terbuka ke atas  y ekstrim  y  max jika a < 0 ⇒ kurva terbuka ke bawah Sketsa Grafik: a>0 Grafik Terbuka ke Atas

Grafik Terbuka ke Bawah

min mak a<0

D  b  b   b oordinat titik puncak: (x,y) =  − , f  −   atau  − , −   2a 4a   2a  2a  

19

Rumus Praktis Misalkan diketahui fungsi f(x), maka 0 Absis puncak ( x cc ) dapat diperoleh dari ⇒ f' ( x ) = Nilai ekstrim (max/min) = f( xcc )

Contoh Soal :

SOAL STANDAR SNMPTN (Rayon B)

2 Garis = y 6x − 5 memotong kurva y = x2 − kx + 11 di titik puncak P. Koordinat titik P adalah … SOAL STANDAR SNMPTN (Rayon B) A. (2, 7) D. (-1,-11) 1. Garis = y 6x − 5 memotong kurva y = x2 − kx + 11 di titik puncak P. Koordinat titik P adalah … B. (1, 1) E. (3, 13) A. (2, 7) C. (-2, -7) E. (3, 13) C. (-2, -7) B. (1, 1) D. (-1,-11)

METODE BASIC CONCEPT y = BASIC x2 − kx CONCEPT + 11 mempunyai Kurva METODE  k k2 − 4 (11 )   −b D  P Titik puncak22p  , ⇔  ,   −4 2a+ 11 −4amempunyai Kurva y = x −kx  2  Karena garis = y 6x − 5 melalui titik puncak P maka

 k k22 − 4( 11)  2 −b D  kTitik − 4puncak (11) 6k P p , ⇔ 2  −,12k + 20  = − 2 −4 2a5 ⇔ −4ak − 44 =  −4 2 2 k + garis 12k −= ⇔ = 0− 5⇔melalui 4) = 0 P maka (k + 16titik )(k −puncak Karena y64 6x ⇔ k1 = −16 atau k2 = 4

2 k2 − 4k(211 )4 ⇒6k 2 Ambil = = P (− 2,7 −12k + 20 5 )⇔ k2 − 44 = 2 −4

2 ⇔ k2 + 12k − 64 = 0 ⇔ (k + 16 )(k − 4 ) = 0

⇔ k11 = −16 atau k22 = 4

20

Jawaban: A

SOAL STANDAR SNMPTN (Rayon A) 2. Jika fungsi f(x) = px2 − (p + 1 ) x − 6 mencapai nilai tertinggi untuk x = −1 , maka nilai p =... 1 A. -3 C. − E. 1 3 1 B. -1 D. 3 CARA BIASA f ( x ) = px 2 − (p + 1 ) x − 6 mencapai maksimum untuk x = −1 , berarti x =

−b p + 1 1 = = −1 ⇒ p + 1 =−2p ⇒ p =− 2a 2p 3

METODE SUPER TRIK f'(x) = 0 ⇒ 2px − p − 1 =0 untuk x =−1 1 ⇒ −2p − p − 1 = 0 ⇒ p = − 3 Jawaban: E Soal UAN 3. Absis titik balik grafik fungsi y = px2 + (p – 3)x + 2 adalah p. Nilai p = … A. -3 C. -1 E. 3 3 2 B. − D. 2 3 METODE SUPER TRIK Titik balik/titik ekstrim f(x) ⇒ f’(x) = 0 f(x) = px2 + (p – 3)x + 2 ⇒ f’(x) = 2px + p - 3 = 0 ⇒ x = 3 − p (absis titik balik) ...(1) 2p Dari soal diketahui absis titik balik = p, artinya x = p ...(2)

21

Dari (1) dan (2) diperoleh 3−p = p ⇒ 2p2 + p − 3 = 0 2p ⇒ (2p + 3)(p − 1) = 0 2 1 ⇒ p =− atau p = 3 Jawaban: B SOAL STANDAR SNMPTN (Rayon C) 2

4. Jika fungsi kuadrat 2ax − 4x + 3a mempunyai nilai maksumum 1, maka 27a3 − 9a = ….. METODE BASIC CONCEPT f ( x )= 2ax 2 − 4x + 3a

f ( x )maks =

D = −4a

( 4 )2 − 4 (2a)( 3a) =1 −4 ( 2a)

0 3a2 − a − 2 = 0 ⇔ ( 3a + 2 )( a − 1) = 2 a = − atau a = 1 3 Ingat, agar nilai maksimum maka nilai a < 0, maka diperoleh 3 2  −2   −2  27   − 9   = −2 a = − sehingga 27a3 − 9a = 3  3   3 

22

B. Hubungan Parabola dengan Grafik Parabola dan Sumbu x a>0 D>0

a>0 D=0

a>0 D<0

Sb X Sb X

Sb X

Sb X

Sb X

Sb X

a<0 D>0

a<0 D=0

a<0 D<0

Parabola dan Garis

Dengan D = deskriminan dari y1 - y2

23

Disebut: - selalu positif - definit positif - di atas sumbu x - f(x) > 0 Disebut: - selalu negatif - definit negatif - di bawah sumbu x - f(x) < 0

Keterangan: Diketahui dua buah kurva, misalnya kurva y1 dan y2. dari y1 - y2 = 0, maka diperoleh sebuah persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat tersebut Keterangan: mempunyai akar-akar x1 dan x2 serta deskriminan D. Sifat antara kedua Diketahui duadapat buah ditentukan kurva, misalnya kurva y1 deskriminan dan y2. Jika kedua perskurva tersebut berdasarkan (D) nya. amaan di atas disubstitusikan, maka diperoleh sebuah persamaan x 2 makatersebut  Jika D >Persamaan 0 ⇒ x1 ≠kuadrat kedua kurva saling berpotongan pada kuadrat. mempunyai akar-akar x1 dan x2 kedua titik serta deskriminan D. Sifat antara kedua kurva tersebut dapat ditentukan D berdasarkan (D) nya. x maka kedua  Jika = 0 ⇒ x =deskriminan kurva saling bersinggungan 1

2

 JikaDD< >0 0⇒⇒ x x1≠≠xx 2 maka makakedua keduakurva kurvatidak salingberpotongan berpotongan  Jika 1 2 pada kedua titik  Jika D = 0 ⇒ x1 = x 2 maka kedua kurva saling bersinggungan  Jika D < 0 ⇒ x1 ≠ x 2 maka kedua kurva tidak berpotongan

Contoh Soal :

= 1. Agar f ( x ) (p - 2) x 2 - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah … A. P > 1 C. P > 3 E. p < 1 atau p > 2 B. 2 0, berarti p – 2 > 0 ⇒ p > 2 (ii) D < 0, berarti: 2 ( ( 2p - 3 ) ) − 4 (p − 2) ( 5p − 6 ) < 0 2

 

⇒ 4 ( 4p2 − 12p + 9 ) − 20p2 + 64p − 48 < 0 2

2

⇒ −4p + 16p − 12 < 0 ⇒ −p + 4p − 3 < 0

⇒ ( −p + 3)(p−1) < 0

24

... (1)

--

--

+ +

3 1 ⇒ p < 1 atau p > 3

... (2)

Yang memenuhi syarat (i) dan (ii) adalah p > 3.

Jawaban: C

Soal Standar SNMPTN 2. Supaya garis= y 2px − 1 memotong parabola y = x2 − x + 3 di dua titik, maka nilai p harus … 1 1 1 1 a. p < −2 atau p > 1 d. −2 2 e. −1 2 2

2

METODE BASIC CONCEPT y 2px − 1 dan y = x2 − x + 3 . Diketahui dua persamaan= Caranya, subtitusikan terlebih dahulu kedua persamaan di atas. 2 0 2px − 1 = x 2 − x + 3 ⇒ x − (1 + 2p ) x + 4 = Agar garis= y 2px − 1 memotong di dua titik pada y = x2 − x + 3 ,

maka D > 0. Maka, D = (1 + 2p )2 − 4 (1)( 4 ) > 0 ⇒ 4p2 + 4p + 1 − 16 > 0

⇒ 4p2 + 4p − 15 > 0 ⇒ ( 2p − 3 )( 2p + 5 ) > 0

5 3 Jadi, p < − atau p > 2 2

Jawaban: A

25

Soal Standar SNMPTN (Rayon A) 3. Supaya garis = y 2x + a memotong grafik fungsi f(x) = x 2 − x + 3 , maka haruslah … 3 3 3 A. a > B. a < C. a ≤ 4 4 4

D. a ≥

3 3 E. a = 4 4

METODE BASIC CONCEPT Garis = y 2x + a memotong grafik fungsi f(x) = x 2 − x + 3 , artinya 2x + a = x 2 − x + 3 ⇒ x 2 − 3x + 3 − a = 0 Garis memotong grafik fungsi y = f ( x ) bisa pada dua titik atau satu titik, dengan demikian syaratnya adalah D ≥ 0 D = b2 − 4ac ≥ 0

( −3)2 − 4 (1)( 3 − a) ≥ 0

9 − 12 + 4a ≥ 0 ⇒ 4a ≥ 3 ⇒ a ≥

3 4

METODE LOGIKA Perhatikan kalimat soal “…memotong grafik…”. Artinya kurva berpotongan di dua titik. Artinya D ≥ 0. Cari pilihan ganda yang berbentuk “…≥ 0…”. Pilihan jawaban yang mungkin hanya D. Ingat, METODE LOGIKA bukan metode yang dianjurkan karena tidak berlaku untuk semua soal. Namun, setidaknya bisa membantu jika siswa benar-benar tidak mengetahui cara untuk menyelesaikan soal. Jawaban: D

26

C. Menentukan Fungsi Kuadrat C. Menentukan Fungsi Kuadrat

 Jika diketahui 3 buah titik dilalui kurva fungsi kuadrat.  Jika diketahui 3 buah titik dilalui kurva fungsi kuadrat.

Contoh Soal :

Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,0), (1,4), dan (2,3) adalah… a. y = x 2 + 2x + 3 c. y = x 2 − 2x + 3 e. y = − x 2 + 2x + 3 b. y = x 2 − 2x + 3 d. y = x 2 − 2x − 3 METODE BASIC CONCEPT Substitusi ke tiga titik ke fungsi y = ax 2 + bx + c ( − 1,0) ⇒ 0 = a – b + c (2, 3) ⇒ 3 = 4a + 2b + c (1, 4) ⇒ 4 = a + b + c Selesaikan ketiga persamaan di atas dengan eliminasi dan substitusi diperoleh a = − 1, b = 2 dan c = 3, sehingga ⇒ y= − x 2 + 2x + 3 METODE LOGIKA Ambil sembarang titik, kemudian masukkan ke pilihan jawaban. Yang memenuhi merupakan jawaban yang benar. Misalkan dari titik (-1,0), (1,4), dan (2,3) yang diketahui kita ambil titik (-1,0). Kemudian titik (-1,0) kita subtitusikan ke pilihan jawaban: a. 0 =( −1 ) + 2 ( −1 ) + 3 (salah) 2

b. 0 =( −1 ) − 2 ( −1 ) + 3 (salah) 2

c. y =( −1 ) − 2 ( −1 ) + 3 (salah) 2

d. 0 =( −1 ) − 2 ( −1 ) − 3 (salah) 2

e. 0 =− ( −1 ) + 2 ( −1 ) + 3 (benar) 2

27

Jawaban: e

 Jika diketahui 2 titik potong terhadap sb X dan sebuah titik lain  Jika diketahui 2 titik potong y =a(xterhadap − x1 )(x − sb x 2 )X dan sebuah titik lain Gunakan rumus: Gunakan rumus:

y =a(x − x1 )(x − x 2 )

x1 dan x 2 adalah absis titik potong pada sumbu x. x1 dan x 2 adalah absis titik potong pada sumbu x.

Contoh Soal :

Grafik di bawah ini adalah grafik dari… Y A. y = x 2 − 3x + 4

Soal Ujian Nasional

B. y = x 2 − 4x + 3 C. y = x 2 + 4x + 3 D. y = 2x 2 − 8x + 3

3

2

E. y = x − 3x + 3 1 3 X METODE BASIC CONCEPT Titik potong terhadap sumbu X adalah (1, 0) dan (3, 0). Artinya = x1 1= dan x2 3 . Fungsi kuadratnya adalah y =a( x − 1 )( x − 3) .

Sembarang titik yang lain berguna untuk menentukan nilai a. Titik (0, 3) jika disubtitusikan ke fungsi kuadratnya diperoleh 3 = a( 0 − 1)( 0 − 3) ⇒ 3 = a( −1)( −3) ⇒ a = 1

Jadi, fungsinya adalah y = x 2 − 4x + 3 METODE LOGIKA Ambil sembarang titik, kemudian masukkan ke pilihan jawaban. Yang memenuhi merupakan jawaban yang benar. Grafik melalui titik (1,0). Kita subtitusikan ke pilihan jawaban.

28

2 3.1+ +4 4(salah) (salah) 121− −3.1 A.A. 0 0== 2 4.1+ +3 3(benar) (benar) 121− −4.1 B.B. 0 0== 2 4.1+ +3 3(salah) (salah) C.C. 0 0= =121+ +4.1 2 2 2(1) 8.1+ +3 3(salah) (salah) − −8.1 D.D. 0 0= =2(1) 2 3.1+ +3 3(salah) (salah) 121− −3.1 E.E. 0 0==

Jadi,pilihan pilihanganda gandayang yangbenar benaradalah adalahjawaban jawabanB.B. Jadi,

Jawaban:BB Jawaban:

 Jikadiketahui diketahuititik titikekstrim ekstrim ((xxcc,y ,ycc)) dan dansebuah sebuahtitik titiklain lain  Jika 2  Jikadiketahui diketahuititik titik ekstrim( x(cx,y ,y ) 2dan sebuahtitik titiklain lain  Jika =aa((xxc−−c x)cxccdan ycc Gunakanrumus: rumus: ekstrim yy= Gunakan )) ++ysebuah

rumus: Gunakan Gunakan rumus:

Contoh Soal :

SoalStandar Standar SNMPTN(Rayon (Rayon A) Soal Soal StandarSNMPTN SNMPTN (RayonA)A) Fungsi Fungsi kuadrat yang mempunyai minimum 2 untuk x =dan 1 dan kuadrat yang mempunyai nilainilai minimum untuk Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 2untuk x x= =1 1dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah … mempunyainilai nilai3 3untuk untukx x= =2 2adalah adalah…… mempunyai A. y = x2 − 2x + 1 C. y = x2 + 2x − 1 E. y = x2 − 2x − 3 2

2

2 x2x+−+12x + 3 D. yyy===x2xx2+++2x2x y= =x 2xy2−=−2x 1 C. C. 2x−+−11 A.A.y B. E.E.y y= =x2x − −2x2x− −3 3 METODE BASIC CONCEPT 2 2 kuadrat mempunyai 2 untuk x = 1 berarti y= =x2x2− −2x 2x+ +3 3 D. D. x + +2xminimum 2x+ +1 1 B.B.y Fungsi y y==xnilai puncaknya (1,2). 2 METODE BASIC CONCEPT METODE BASIC CONCEPT Fungsinya adalah y − y c = a(x − x c )2 ⇔ y − 2 = a ( x − 1 )

Fungsi kuadrat mempunyai nilaiminimum berarti Karena melalui (2, 3), maka 3minimum − 2= a ( 22−2untuk 1untuk Fungsi kuadrat mempunyai nilai )2 ⇒xa=x= =111berarti puncaknya(1,2). (1,2). puncaknya 2 2 Jadi, fungsinya y − 2= 1 ( x − 1 ) ⇒ y = x − 2x + 3 Fungsinyaadalah adalahy y− −y cy=c = a(x a(x− −x cx)c2)2⇔⇔y y− −2 =2 = a (ax( x− −1 )12) Fungsinya

2

29

METODE LOGIKA Fungsi melalui (2,3). Akan ditentukan pilihan jawaban yang melalui titik tersebut dengan cara disubtitusikan ke masing-masing pilihan. A. 3 = 22 − 2.2 + 1 ⇒ 3 = 1 (salah)

2 B. 3 = 2 − 2.2 + 3 ⇒ 3 = 3 (benar) 2 C. 3 = 2 + 2.2 − 1 ⇒ 3 = 7 (salah) 2 D. 3 = 2 + 2.2 + 1 ⇒ 3 = 9 (salah) 2 E. 3 =2 − 2.2 − 4 ⇒ 3 =−3 (salah)

Jawaban: B

Uji Skill Rumus Praktis 1. Soal UAN SMA = Agar f ( x ) (p - 2) x 2 - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah … A. P > 1 D. 1 2 C. P > 3 2. Soal UAN SMA Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksi-mum 3 untuk x = 1 dan grafiknya melalui titik (3, 1), memotong sumbu Y di titik … A. (0, 7/2) D. (0, 2) B. (0, 3) E. (0, 3/2) C. (0, 5/2)

30

3. Soal UAN SMA Suatu garis lurus mempunyai gradien -3 dan memotong parabol y= 2x 2 + x − 6 di titik (2,4). Titik potong lainnya mempunyai koordinat... A. (4,2) B. (3,1) C. (7,1) D. (3,-2) E. (-4,22) 4. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Agar kurva y = mx 2 − 2mx + m seluruhnya terletak di atas kurva = y 2x 2 − 3 , maka konstanta m memenuhi... A. m > 6 D. -6 < m < 2 B. m > 2 E. -6 < m < -2 C. 2 < m < 6 5. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Persamaan parabol yang memotong sumbu y di titik (0,3) dan mencapai puncak di titik (1,1) adalah y =... A. 4x 2 − 8x + 3

D. 2x 2 + 4x − 3

B. 4x 2 + 8x + 3

E. 2x 2 − 4x + 3

C. −4x 2 + 8x − 3 6. Jika fungsi f ( x ) = ax 2 + bx + c mencapai minimum di x = 0 dan grafik fungsi f melalui titik (0,2) dan (1,8), maka nilai a + b + 2c = A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 16 7. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Garis = y ax + b diketahui memotong parabola = y 2x 2 + 5 di titik 4 dan x1 .x 2 = 3 , maka nilai a ( x1 ,y1 ) dan ( x2 ,y2 ) . Jika x1 + x2 = dan b adalah … A. a = 8 dan b = -2 D. a = -8 dan b = 1 B. a = 8 dan b = -1 E. a = -8 dan b = 2 C. a = -8 dan b = -1

31

8. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Fungsi f(x) yang grafiknya di bawah ini adalah f(x)=… A. x 2 − 2x − 3 B. x 2 − 3x − 4 C. x 2 + 2x − 3

y -3

D. x 2 + 2x + 3 E. x 2 − x − 4

x

(-1,-4)

9. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax 2 + 4x + a ialah 3, sumbu simetrinya adalah x = … 1 A. -2 B. -1 C. D. 2 E. 4 2 10. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Jika Grafik y = x 2 + ax + b mempunyai titik puncak (1, 2), maka nilai a dan b adalah … A. a = 1, b = 3 D. a = 0,5, b = 1,5 B. a = -1, b = -3 E. a = 0,5, b = -1,5 C. a = -2, b = 3 11. Yang paling sesuai sebagai grafik y = x adalah …

32

12. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Supaya Grafik fungsi y = mx 2 − 2mx + m , seluruhnya di atas grafik fungsi= y 2x 2 − 3 , maka nilai m harus memenuhi… A. m > 2 D. −6 < m < 2 B. m > 6 E. m < −6 C. 2 < m < 6 13. Jika nilai-nilai a, b, c, dan d positif, maka grafik fungsi ay – bx2 – cx + d = 0 akan memiliki … (1) dua titik potong dengan sumbu (2) nilai maksimum (3) nilai minimum (4) titik singgung dengan sumbu 14. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Grafik di bawah ini adalah grafik dari… 2 A. y = x − 3x + 4

B. y = x 2 − 4x + 3 2 C. y = x + 4x + 3

1

D. y = 2x 2 − 8x + 3

3

−3

2 E. y = x − 3x + 3

15. Soal UAN SMA Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mem-punyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) adalah … A. y = x 2 − 2x + 1

D. y = x 2 + 2x + 1

B. y = x 2 − 2x + 3

E. y = x 2 − 2x − 3

C. y = x 2 + 2x − 1

33

34

BAB 3 PERTIDAKSAMAAN A. Sifat-sifat Pertidaksamaan Berikut adalah sifat-sifat umum operasi pertidaksamaan. Untuk a, b, c, d ∈ real, maka berlaku: a. a > b maka a + c > b + c b. a > b, c > d maka a + c > b + d c. a > b, b > c maka a > c d. a > b, c > 0 maka ac > bc e. a > b, c < 0 maka ac < bc a f. > 0 maka a, b > 0 atau a,b < 0 b g. a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2 h. a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2

B. Sifat Harga Mutlak Berikut adalah sifat-sifat umum harga mutlak yang perlu dipahami. − x, untuk x < 0

a. x = x, untuk x ≥ 0

b. x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a, a > 0 c. x > a ⇔ x < −a atau x > a, a > 0

35

C. Sifat Akar 2

x =

−C. x, untuk x < 0 Akar Sifat x, untuk x− x, 0 ≥ untuk x<0 x2 = x, untuk x ≥ 0

D. Super TRIK Penyelesaian Berbagai Bentuk Soal D. penyelesaian Super TRIK Penyelesaian Berbagai Pahami teknik semua soal. Model-model soal dalam ujian nasional maupun SNMPTN tidak jauh dari model soal yang diberikan Bentuk Soal dalam buku ini. Pahami teknik penyelesaian semua soal. Model-model soal dalam ujian nasional maupun SNMPTN tidak jauh dari model soal yang diberikan dalam buku ini.

Cara Praktis Trik Menentukan Garis Bilangan Super Cepat 1. Jadikan soal dalam bentuk perkalian pemfaktoran. Langkah ini bisa diabaikan jika soal sudah dalam bentuk perkalian pemfaktoran. 2. Tentukan pembuat nol-nya, dan masukkan ke garis bilangan. 3. Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan tanda pada ruas yang paling kanan. 4. GENAP – TETAP, artinya pangkat genap sama tanda 5. Pangkat ganjil berlawanan tanda

36

Contoh Soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini: 2 1. x + 2x − 8 > 0

2. 3. 4. 5.

− x 3 + 7x 2 − 10x ≥ 0 (x – 3)(x – 4)(x + 2) < 0 (3 – x)(x + 5)(x – 6) > 0 (–x + 3)4(x + 2)5 (x2 – 4x) ≥ 0

CARA PRAKTIS 1. x 2 + 2x − 8 > 0 Penyelesaian: x 2 + 2x − 8 > 0 ⇒ ( x + 4 )( x − 2 ) > 0 Pembuat nolnya adalah: x = –4 dan x = 2 Garis bilangannya adalah sebagai berikut: Langkah selanjutnya adalah menentukan tandanya. Perhatikan tanda koefisien pangkat tertinggi, kemudian masukkan ke garis bilangan untuk menentukan penyelesaiannya.

Diperoleh garis bilangan Berdasarkan garis bilangan di atas, maka penyelesaian dari x 2 + 2x − 8 > 0 adalah x < -4 atau x > 2

37

2. − x 3 + 7x 2 − 10x ≥ 0 Penyelesaian: − x 3 + 7x 2 − 10x ≥ 0 ⇒ x ( − x 2 + 7x − 10 ) ≥ 0

⇒ x ( − x + 2 )( x − 5 ) ≥ 0 Pembuat nolnya adalah: x = 0; x = 2 dan x = 5 Garis bilangannya adalah sebagai berikut:

Perhatikan tanda koefisien pangkat tertinggi, kemudian masukkan ke garis bilangan untuk menentukan penyelesaiannya.

Diperoleh garis bilangan ++

--

++

--

0 2 5 Berdasarkan garis bilangan di atas, maka penyelesaian dari − x 3 + 7x 2 − 10x ≥ 0 adalah x ≤ 0 atau 2 ≤ x ≤ 5 . 3. (x – 3)(x – 4)(x + 2) < 0 Penyelesaian: Pembuat nolnya adalah: x = 3, x = 4 dan x = -2 Pangkat tertinginya positif, maka ruas kiri diisi tanda positif.

38

Selanjutnya dalam garis bilangan diperoleh:

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah: Hp = {x < - 2 atau 3 < x < 4} 4. (3 – x)(x + 5)(x – 6) ≥ 0 Penyelesaian: Pembuat nolnya adalah:x = 3, x = - 5 dan x = 6 Pangkat tertinginya negatif, maka ruas kiri diisi tanda negatif.

Selanjutnya dalam garis bilangan diperoleh:

Jadi, himpunan penyelewsaiannya adalah: Hp = { x ≤ −5 atau 3 ≤ x ≤ 6 } 5. (–x + 3)4(x + 2)5 (x2 – 4x) <0 Atau dapat ditulis (x – 3)4(x + 2)5 x(x – 4)<0 Penyelesaian: Pembuat nol nya adalah: x = 3, x = – 2 , x = 0 dan x = 4 Pangkat tertinginya positif, maka ruas kiri diisi tanda positif. Ingat, karena (–x + 3)4 pangkatnya genap, maka pada pembuat nol x = 3 tandanya sama.

39

Selanjutnya diperoleh garis bilangan:

Selanjutnya diperoleh garis bilangan: Hp = {–2 < 0 atau 0 < x < 3 atau 3 < x < 4}

Hp = {–2 < 0 atau 0 < x < 3 atau 3 < x < 4}

E. Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Lanjutan E. Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Lanjutan Cara Praktis

5. Metode Penyelesaian Pertia. Penyelesaian: f(x) >< 0 (1) tidak berlaku perkalian silang daksamaan Lanjutan g(x) (2) Penyelesaian: f(x).g(x) >< 0, g(x) ≠ 0 5. Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Lanjutan b. Penyelesaian: f(x) >< c (1) f(x) ≥ 0 (2) kedua ruas dikuadratkan Penyelesaiannya: irisan (1) dan (2)

Penyelesaian:

40 Penyelesaian:

(2) Penyelesaian: f(x).g(x) >< 0, g(x) Perti≠ 0 5. Metode Penyelesaian daksamaan daksamaanLanjutan Lanjutan Penyelesaian: (1)(1)f(x) ≥ ≥0 0 Penyelesaian: f(x) (2)(2)kedua keduaruas ruasdikuadratkan dikuadratkan Penyelesaiannya Penyelesaiannyairisan irisan(1)(1)dan dan(2)(2) Atau: Atau: Atau: Atau:

f(x) < >c2c2 f(x)> >c cdiselesaikan diselesaikandengan dengancara caraf(x) f(x) Penyelesaian: Penyelesaian:

Contoh Soal : Soal Standar SNMPTN 3x − 2 ≤ x adalah... 1. Himpunan semua x yang memenuhi x 0SNMPTN A. x < 0 atau 1 ≤ x ≤ 2 D. −Soal 2Soal ≤ x ≤Standar −Standar 1 atau x >SNMPTN B. 0 < x ≤ 1 atau x ≥ 2 E. x < 0 atau 2 ≤ x ≤ 3 3x3x− 2− 2 C. x ≤ −2 atau −1 ≤ x ≤ 0 ≤ ≤x adalah... Himpunan x adalah... Himpunansemua semuax xyang yangmemenuhi memenuhi xx CARA PRAKTIS D.D.−2−2 atau A.A. 2 2 ≤ ≤x ≤ x2<0 0atau x >0 0 atau ataux > 12≤x ≤ x≤ x ≤−1−1 3xx−< 3x1−≤ ≤x⇒ −x ≤0 x x 22 1 1atau x x< B.B.0 0<
x. ( −x + 1 )( x − 2 ) ≤ 0, dengan x ≠ 0 . penyelesaian METODE METODESUPER SUPERTRIK TRIK Diperoleh garis bilangan sebagai berikut.

+++ --+++ --3x3x− 2 3x − 2 − 20 3x − 2 2 ≤ ≤x ⇒ x≤ x ⇒ 1 −− x ≤0 0 xx xx < xx − ≤ 1 atau x ≥ 2 } Jadi, himpunan penyelesaiannya: ( −(x−+x{ 01+)( 3x3x− 2 x 2x 2 1 )( x 2 −)2 ) 2− −− ⇒⇒ ≤ ≤0 0 ⇒⇒ ≤ ≤0 0 Jawaban: B xx xx ( −(x−+x +1)(1)(x −x −2 )2 ) Penyelesaian ≤ ≤0 0sama Penyelesaiandari dari samadengan denganmen men xx

41

Soal Standar SNMPTN 2. Penyelesaian pertaksamaan A. x < 1 atau x > 1 B. −1 < x < 1

2

2x − x − 3 < 0 adalah … x2 − x − 6

1 2

1 1 atau −2 < x < −1 2 2

1 C. −1 < x < −1 atau 2 < x < 3 2 1 D. -2 < x < -1 atau 1 < x < 3 2 1 1 E. −3 < x < − atau 2 < x < 2 2 2

CARA PRAKTIS (2x − 3)( x + 1) 2x 2 − x − 3 <0⇒ <0 2 x −x −6 ( x − 3)( x + 2 ) Penyelesaian dari

(2x − 3)( x + 1) <0 ( x − 3)( x + 2 )

sama dengan mencari

penyelesaian dari ( x − 3 )( x + 2 )( 2x − 3)( x + 1 ) < 0 dengan syarat ( x − 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 dan ( x + 2 ) ≠ 0 ⇒ x ≠ −2 . Diperoleh garis bilangan sebagai berikut. ++

--2

++ -3

-3/2

++ 3

1 Jadi, himpunan penyelesaiannya: { − 2 < x < − 1 atau 1 < x < 3 } 2 Jawaban: D

42

Soal Ujian Nasional 3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x > x + 6,x ∈ R adalah … A. {x -2 < x < 3,x ∈ R} D. {x x < -2 atau x > 3,x ∈ R} B. {x x < -3 atau x > 2,x ∈ R}

C. {x -6 < x < 2 atau x > 3, x ∈ R}

E. {x x > 3,x ∈ R}

CARA PRAKTIS x > x + 6 mempunyai penyelesaian jika memenuhi: x ≥ 0 …(1) x + 6x ≥≤ 0 ⇒ x ≥ −6 …(2) Sedangkan penyelesaiannya adalah: x2 > x + 6 ⇒ x2 − x − 6 > 0 ⇒ ( x − 3)( x + 2) > 0 ⇒ x1 = 3 ; x2 = −2

Penyelesaian: x < −2 atau x > 3

…(3)

Penyelesaian x > x + 6,x ∈ R adalah yang memenuhi (1), (2) dan (3), sehingga diperoleh penyelesaian x > 3. CARA LOGIKA Ambil sembarang angka dari pilihan ganda, kemudian masukkan ke pertidaksamaan. Jika tidak memenuhi maka pilihan jawaban tersebut salah. Misal ambil x = 0, masukkan ke x > x + 6,x ∈ R , diperoleh 0 > 0 + 6 (salah). Jadi pilihan jawaban yang memuat angka 0 salah. Maka, A dan C salah. Selanjutnya ambil x = -4, jelas bah— wa −4 > −4 + 6 (salah). Pilihan jawaban B dan D jelas salah karena memuat x = -4. Pilihan jawaban yang tersisa adalah E. Jawaban: E

43

F. Trik Menyelesaikan Pertidaksamaan Mutlak

Cara Praktis Langkah penyelesaian: Penyelesaian bentuk:

aaa ><)k )k ((>< bbb (><)k )k)kbbb aaa((>< (>< ><)k )0 aaa−−−kkkbbb((>< (>< )0 ><)0

adalah sama dengan penyelesaian (a − kb)(a+kb) (><) 0 Catatan: Untuk yang berbentuk pecahan, maka ditambah syarat penyebut tidak boleh sama dengan nol. Perhatikan contoh.

Soal Standar Ujian Nasional Tentukan himpunan penyelesaian dari: x −3 ≥2 44 x +1 METODE SUPER TRIK

Contoh Soal : Soal Standar Ujian Nasional x −3 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari: ≥2 x +1 CARA PRAKTIS ((x − 3) + 2(x + 1))((x − 3) − 2(x + 1)) ≥ 0

⇒ ( (x − 3) + (2x + 2) )( (x − 3) − (2x + 2) ) ≥ 0

⇒ ( 3x − 1)( −x − 5) ≥ 0 Jadi, mencari penyelesaiannya dari

x −3 ≥ 2 sama artinya x +1

mencari penyelesaian dari (3x – 1)( – x – 5) ≥ 0 . 1 dan x = −5 . Pembuat nolnya x = 3 Ingat, penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1 . Pangkat tertinginya negatif, maka ruas kiri diisi tanda negatif. Selanjutnya dalam garis bilangan diperoleh:

Jadi, himpunan penyelelesaiannya adalah: 1 Hp = { −5 ≤ x ≤ , x ≠ −1 } 3 atau dapat juga ditulis Hp = { −5 ≤ x < −1 atau − 1 < x ≤

45

1 } 3

Soal Standar SNMPTN 2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 1 < 2 x − 6 adalah…. 11 11 11 A. x < −13 atau x > C. − < x < 13 E. −13 < x < 5 5 5 11 B. x < − atau x > 13 D. −13 < x < 13 5 CARA PRAKTIS 3x + 1 < 2 x − 6

⇔ ( ( 3x + 1 ) + 2 ( x − 6 ) ) ( ( 3x + 1 ) − 2 ( x − 6 ) ) < 0 ⇔ ( 5x − 11 )( x + 13 ) < 0 11 atau x = − 13 5

Pembuat nolnya adalah: x =

Jadi, Hp = { −13 < x <

11 } 5

Jawaban: E

Soal Standar SNMPTN 3. Penyelesaian pertaksamaan x − 2 ≤ 2x + 1 adalah... 2

A. −1 − 2 ≤ x ≤ 3

D. −1 ≤ x ≤ −1 + 2

B. −1 − 2 ≤ x ≤ −1 + 2 E. −1 ≤ x ≤ −3 1 C. −1 − 2 ≤ x < − 2 METODE BASIC CONCEPT Penyelesaian untuk x 2 − 2 ≤ 2x + 1 adalah: (i) Untuk 2x + 1 < 0 , maka:

46



x 2 − 2 ≤ − ( 2x + 1 ) ⇔ x 2 + 2x − 1 ≤ 0 x1,2 =

−2 ± 4 − 4.1. ( −1)

=−1 ± 2

2

−1 − 2 ≤ x ≤ −1 + 2 ...(a) 1  2x + 1 < 0 ⇔ x < − ...(b) 2 Dari (a) dan (b) diperoleh penyelesaian 1 −1 − 2 ≤ x < − ...(*) 2

(ii) Untuk 2x + 1 ≥ 0 , maka:  x 2 − 2 ≤ 2x + 1 ⇔ x 2 − 2x − 3 ≤ 0

⇔ ( x − 3)( x + 1) ≤ 0

⇔ −1 ≤ x ≤ 3 ...(c) 1  2 x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ − ...(d) 2 Dari (c) dan (d) diperoleh penyelesaian 1 − ≤ x ≤ 3 ...(**) 2 Sehingga gabungan dari (*) dan (**) diperoleh penyelesaian pertaksamaan −1 − 2 ≤ x ≤ 3 Jawaban: A

47

Uji Skill Rumus Praktis 1. Soal UN SMA Himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2x2 + 11x – 5 ≥ 0 adalah .... 1   A.  x x ≤ −5 atau x ≥ − , x ∈ R  2  

1   B.  x −5 ≤ x ≤ − , x ∈ R  2    1  C.  x − ≤ x ≤ 5, x ∈ R   2 

1   D.  x x ≤ atau x ≥ 5, x ∈ R  2    1  ≤ x ≤ 5, x ∈ R  E.  x  2  2. Soal UN SMA Himpunan penyelesaian dari x2 – 10x + 21 < 0, x ∈ R adalah … A. {x| x < 3 atau x > 7; x ∈ R} B. {x| x < -7 atau x > 3 ; x ∈ R} C. {x| -7 < x < 3 ; x ∈ R} D. {x|-3 < x < 7 ; x ∈ R} E. {x| 3 < x < 7 ; x ∈ R} 3. Soal UN SMA Himpunan penyelesaian pertidaksamaan − x 2 + 4 x + 5 ≤ 0 adalah … A. B. C.

{x | −5 ≤ x ≤ −1} {x | −1 ≤ x ≤ 5} {x | −1 < x < 5}

D. E.

{x | x ≤ −1 atau x ≥ 5} {x | x < −1 atau x > 5}

48

4. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 2x2 − x − 3 < 0 adalah … Penyelesaian pertaksamaan 2 x − x −6 A. x < 1 atau x > 1 B. −1 < x < 1

1 2

1 1 atau −2 < x < −1 2 2

1 C. −1 < x < −1 atau 2 < x < 3 2 1 D. -2 < x < -1 atau 1 < x < 3 2 1 1 E. −3 < x < − atau 2 < x < 2 2 2 5. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN

( x − 2)( x2 + x − 6 )

> 0 adalah... x 2 + x − 20 A. x < -5 atau -3 4 B. x <-3 atau 2 < x < 4 E. -3 < x< 2 atau x > 4 C. -5 < x < -3 atau x >2

Solusi pertaksamaan

6. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN Himpunan semua nilai m yang membuat m yang memenuhi… A. m > 2 B. m > 4 C. −

2−m ≤ 0 adalah 2m − 5m − 12 2

3 D. − < m ≤ 2 atau m > 4 2 3 E. − ≤ m ≤ 2 atau m ≥ 4 2

3 atau 2 ≤ m ≤ 4 2

49

7. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN x 2 + 5x − 6 Grafik fungsi y = 2 berada x + x −6 (1) di atas sumbu x untuk 0 < x < 3 (2) di atas sumbu x untuk −3 < x < 1 (3) di bawah sumbu x untuk −4 < x < −1 (4) di bawah sumbu x untuk −6 < x < −3 Pernyataan yang benar adalah … A. 1, 2, dan 3 D. 4 B. 1 dan 3 E. semua benar C. 2 dan 4 8. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan A. 1 < x <

2 3

atau

B. x < −1 atau C. −1 < x <

2 3

2 3

2 3

x 2 − 3x − 4 < 0 adalah … 6x − 4

dan x > 4 2

D. x < −1 dan < x < 4 3 E. x > −1 dan x < 4 9. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Fungsi f ( x ) =

x2 − 2x + 1 terdefinisikan bila memenuhi …. 16 − x 2

A. −1 < x < 4 B. x < −1 atau x > 1 C. 1 ≤ x < 1

D. x < −4 atau x > 4 E. −4 < x < 4

50


x2 − x terdefinisikan pada x +1

Fungsi f dengan rumus f ( x ) = himpunan… A. { x x ≥ −1 } B. { x x ≥ 0 } C. { x x ≥ 1 }

D.

E.

{x −1 ≤ x ≤ 0 {x −1 < x ≤ 0

atau x ≥ −1 } atau x ≥ 1 }

11. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai x yang memenuhi pertaksamaan

1 3 A. − ≤ x < atau x ≥ 2 2 4 1 3 B. x ≤ − atau < x ≤ 2 4 2 1 3 C. − ≤ x ≤ 2, x ≠ 2 4 1 3 D. x ≤ − atau x > 2 4 1 E. x ≤ − atau x ≥ 2 2

5 ≤ 1 adalah… 4x − 3

12. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN Himpunan penyelesaian pertaksamaan x 2 + 5x ≤ 6 adalah… A. { x | −6 ≤ x ≤ 1} B. { x | −3 ≤ x ≤ −2} C. { x | −6 ≤ x ≤ −3 atau −2 ≤ x ≤ 1} D. { x | −6 ≤ x ≤ −5 atau 0 ≤ x ≤ 1} E.

{x | −5 ≤ x ≤ −3 atau

−2 ≤ x ≤ 0}

51

13. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 1 < 2 x − 6 adalah …. A. x < −13 atau x > B. x < −

11 5

11 atau x > 13 5

11 < x < 13 5 D. −13 < x < 13

C. −

E. −13 < x <

11 5

14. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai yang memenuhi − x 2 + 2 x − 2 < 2 adalah … A. x < 2 B. x > 0 C. −2 < x < 0

D. 0 < x < 2 E. −2 < x < 2

15. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 2 Nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x − 2 > 4 x − 2 + 12 adalah …. A. −4 < x < 8 B. x > 8 atau x < −4 C. x > 2 atau x < −2 D. −2 < x < 2 E. x > 8 atau x < −2

52

BAB 4 LOGIKA MATEMATIKA A. Tabel Kebenaran Ingkaran atau negasi suatu pernyataan p adalah ~ p . Jika P benar maka ~P bernilai salah, dan sebaliknya. Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi p

q

p∧q

p∨q

p⇒q

p⇔q

Konjungsi

Disjungsi

Implikasi

Biimplikasi

B

B

B

B

B

B

B

S

S

B

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

S

S

B

B

Cara menghafal • Konjungsi: p ∧ q dibaca “p dan q” (benar jika kedua-duanya benar) • Disjungsi: p ∨ q dibaca “p atau q” (salah bila kedua-duanya salah) • Implikasi: p ⇒ q dibaca “jika p maka q” (salah bila p benar dan q salah) • Biimplikasi: p ⇔ q dibaca “p jika dan hanya jika q” (benar bila kedua-duanya benar atau kedua - duanya salah)

53

• Implikasi: p ⇒ q dibaca “jika p maka q” (salah bila p benar dan q salah) • Biimplikasi: p ⇔ q dibaca “p jika dan hanya jika q” (benar bila kedua-duanya benar atau kedua - duanya salah) Ingkarannya No Pernyatan Negasi/Ingkarannya Ingkarannya p∧q ~ p∨ ~ q 1 No Pernyatan Negasi/Ingkarannya ~ p∧p~ 2 1 q ∨pp∧ q ∨ q q p∧~pq∧  q 3 2 p⇒ q ∨qp Ingkarannya qq 4 3 p⇔ ( pp∧∧~qq) ∨ ( q∧ ~ p ) p⇒

4

p ⇔No q

1

Pernyatan Negasi/Ingkarannya ( p ∧  q ) ∨ ( q∧  p ) p∧q

 p∨  q

2 Contoh : q ∨Soal p

 p∧  q

3 p⇒q p∧  q 1. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 4 ⇔q Diketahui tiga ppernyataan berikut: ( p∧  q ) ∨ ( q∧  p ) P : Jakarta ada di pulau Bali Contoh Soal Q : 2 adalah bilangan prima R1. :Soal semua bilangan prima Dasar adalah bilangan ganjil Matematika SPMB/SNMPTN Pernyataan majemuk di bawah ini yang bernilai benar adalah … Diketahui tiga pernyataan berikut: A. ( ~ P ∨ Q ) ∧ R D. ~ P ⇒ R P : Jakarta ada di pulau Bali B. ( ~ Q ∨ ~ R ) ∧ ( ~ Q ∨ P ) E. ~ R ∧ ~ ( Q ∧ R ) prima C. (PQ∧ :~2Qadalah ~ R) ) ∧ ( Q ∨bilangan R : semua bilangan prima adalah bilangan METODE BASIC CONCEPT Perhatikan, konsep logika,  Disjungsi bernilai salah jika p dan q keduanya bernilai salah.  Konjungsi bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar.  Implikasi bernilai salah jika p benar dan q salah. Jika (S = salah, B = benar) Dari soal dapat disimpulkan bahwa

54

Selanjutnya dari masing-masing jawaban diperoleh: A. ( ~ P ∨ Q ) ∧ R → bernilai salah ≡ (B ∨ B ) ∧ S ≡ (B ) ∧ S ≡ S

B. ( ~ Q∨ ~ R ) ∧ ( ~ Q ∨ P ) → bernilai salah ≡ (S ∨ B) ∧ (S ∨ S) ≡ (B ) ∧ ( S ) ≡ S C. (P ∧ ~ Q ) ∧ ( Q∨ ~ R ) → bernilai salah ≡ ( S ∧ S ) ∧ (B ∨ B ) ≡ ( S ) ∧ (B ) ≡ S D. ~ P ⇒ R → bernilai salah ≡B⇒ S ≡ S E. ~ R ∧ ~ ( Q ∧ R ) → bernilai benar ≡~ R ∧ ( ~ Q∨ ~ R ) ≡ B ∧ (S ∨ B) ≡ B ∧ B ≡ B

Jawaban: E 2. Negasi dari pernyataan: ”Jika ulangan dibatalkan, maka semua murid bersuka ria” adalah.... A. Ulangan dibatalkan dan semua murid tidak bersuka ria B. Ulangan tidak dibatalkan dan ada murid bersuka ria C. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid bersuka ria D. Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak bersuka ria E. Ulangna tidak dibatalkan dan semua murid tidak bersuka ria METODE BASIC CONCEPT Ingat, ~ ( p ⇒ q ) ≡ p∧ ~ q ”Jika ulangan dibatalkan, maka semua murid bersuka ria” negasinya adalah ”Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak bersuka ria” Jawaban: D

55

bersuka ria”

Jawaban: D

B. Konvers, Invers dan Kontraposisi B. B. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Konvers, Invers Dan Kontraposisi Cara menghafal: Cara menghafal:  Implikasi p ⇒ q  Implikasi p ⇒ q  Konvers - nya q ⇒ p   Invers - nya ~ p ⇒~ qq ⇒ p Konvers-nya  Kontraposisi - nya ~ q ⇒~ p Cara  menghafalnya Invers-nyaperhatikan  p ⇒  q huruf depannya, K = Kebalik Artinya, untuk Konvers dan Kontraposisi merupakan kebalikan dari  implikasi. Kontraposisi-nya  q ⇒ p Misalkan diketahui implikasi a ⇒ ( ~ b ) , maka Konversnya adalah Cara menghafalnya perhatikan huruf depannya, K = b ) ⇒ a kita tinggal membaliknya. Untuk Kontraposisnya kita ( ~Kebalik peroleh ~ ( ~ b ) ⇒ ~ a ≡ b ⇒ ~ a Artinya, untuk Konvers dan Kontraposisi merupakan kebalikan dari implikasi. Sifat yang harus diketahui: Misalkan diketahui implikasi a ⇒ ( ~ b ) , maka Konver1. p ⇒ q ≡~ q ⇒~ p ≡~ p ∨ q snya 2. q ⇒ p ≡~ p ⇒~ q Bentuk yang ekuivalen (senilai) No Pernyataan

Senilai

1

p⇒q

~ q ⇒~ p ~p∨q

2

q⇒p

~ p ⇒~ q

3

p ⇒~ q

q ⇒~ p

4

q ⇒~ p

p ⇒~ q

56

3

p ⇒ q

q ⇒ p

4

q ⇒ p

p ⇒ q

Contoh Soal : Soal UAN SMA Kontraposisi dari pernyataan majemuk p ⇒ ( p∨ ~ q ) adalah.…

(p∨ ~ q) ⇒~ p B. ( ~ p ∧ q ) ⇒~ p C. ( p∨ ~ q ) ⇒ p A.

D. ( ~ p ∨ q ) ⇒~ p E.

( p∧ ~ q ) ⇒ p

Pembahasan: Ingat, kontraposisi dari pernyataan p ⇒ q adalah ~ q ⇒~ p . Maka kontraposisi dari p ⇒ ( p∨ ~ q ) adalah ~ ( p∨ ~ q ) ⇒~ p ≡ ( ~ p ∧ q ) Jawaban: B

C. Pernyataan Berkuantor C. Pernyataan Berkuantor No Pernyataan Cara Baca

Negasinya

1

1 ∀( x ) .P( x ) Untuk setiap x berlakulah P( x ) ∀( x ) .P( x ) atau Pernyataan Cara Baca Negasinya ∃(x) .P( x ) atau ∀( x ) .P( x ) Untuk setiapUntuk x berlakulah P( x ) ∀( x ) .P( xP) atau semua x berlakulah (x) ∃(x) .P( x ) atau 2 ∃( x ) .PUntuk Ada x berlakulahP( xP) ( x ) atau ∃( x ) .P( x ) atau semua x berlakulah (x)

2

∃( x ) .P( x )

No

∀(x) .P( x ) Beberapa x berlakulah P( x ) Ada x berlakulah P( x ) atau ∃( x ) .P( x ) atau

Beberapa x berlakulah P( x )

∀(x) .P( x )

Cara mudahnya: Ingkaran dari SEMUA adalah BEBERAPA/ADA Dan ingkaran dari BEBERAPA/ADA adalah SEMUA

57

Contoh Soal : IngkaranContoh dari pernyataan: Soal: ”Semua makhluk hidup perlu makan dan minum”, adalah ... A. Semua hidupSMA tidak perlu makan dan minum. 1. makhluk Soal UAN B.Pembahasan: Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum. Ingkaran daritidak pernyataan: C.Ingat: Ada makhluk hidup yang perlu makan dan minum. D. Semua makhluk tidak hidup perlu makan dan minum. ∀x, P(x)makhluk ≡ ∃x, ~hidup P(x)makhluk atau Ingkaran dari: Semua xmakan berlaku Pdan (x) minum”, ) ”Semua hidup perlu E.~ (Semua perlu makan tetapi tidak perlu minum. adalah ada/beberapa X sehingga tidak berlaku P (x). Jadi, pilihan adalah PENYELESAIAN CARA ... LOGIKA ganda A,dari: D, dan E jelas salah. P (x) adalah ada/beberapa X seIngkaran Semua x berlaku A. Semua makhluk hidup tidak perlu Sehingga ingkaran “Semua makhluk dan makan dan mi hingga tidak berlaku P (x). Jadi, pilihanhidup gandaperlu A, D,makan dan E jelas minum” adalah ”Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan dan salah. Ingkaran dari dan adalah atau. Pilihan yang memuat atau minum”. adalah E, maka jawabannya adalah E. Jawaban: Jawaban: B B D. Penarikan Kesimpulan

D. Penarikan Kesimpulan D. • Penarikan • Kesimpulan • Modus Ponens Prinsip Silogisme

• Modus Tollens Modus Ponens • pModus Ponens • pPrinsip Silogisme • pModus Tollens ⇒ q (B) ⇒ q (B) ⇒ q (B) p p ⇒ q(B)(B) (B) ∴pq p(B) ⇒ q (B) ∴q (B) p (B)

p⇒ q⇒ r q (B)(B) q ⇒ ∴p ⇒ rr (B)(B) ∴p ⇒ r (B)

p⇒ q q (B)(B)  q ∴  p (B)(B) ∴  q (B)

∴q (B) Contoh Soal :

• Prinsip Silogisme 1. Soal UAN SMA p∨q ~q

p ⇒ q (B) ...... q ⇒ r (B)

Penarikan dari premis di atas adalah.... ∴p ⇒kesimpulan r (B) A. p B. ~p C. q D. ~(p V q) E. ~q Contoh Soal 1. Soal UAN SMA

58

Penarikan kesimpulan dari premis

METODE BASIC CONCEPT Ingat p ∨ q ≡~ p ⇒ q maka p∨q ~q ≡ ......

~p⇒ q ~q ∴ ~ (~ p) = p

Cara penarikan kesimpulan di atas sah dan dinamakan modus tollens. Jawaban: C 2. Soal UAN SMA Dari argumentasi berikut: Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik senang maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah … A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum. B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum. C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum. D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum. E. Ibu pergi atau adik tersenyum. METODE BASIC CONCEPT Diketahui: Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik senang maka dia tersenyum. Dimisalkan: p = ibu tidak pergi q = adik senang r = adik tersenyum Selanjutnya soal diubah menjadi: p⇒q q⇒r

∴p ⇒ r

59

Menurut aturan silogisme kesimpulan yang sah dari argumentasi di atas adalah p ⇒ q , yaitu “Jika ibu tidak pergi maka adik tersenyum”. Karena: p ⇒ q ≡~ p ∨ r Maka kesimpulan dari argumentasi di atas adalah: “Ibu pergi atau adik tersenyum”. Jawaban: E

Uji Skill Rumus Praktis 1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p ⇒ ( p∨ ~ q ) adalah ..... A. ( p∨ ~ q ) ⇒~ p B. ( p Ù q) Þ p C. (pÚ  q) Þ p

D. ( p Ú q) Þ p E. (pÙ  q) Þ p

2. Diberikan pernyataan berikut:

( ~ p∨ ~ q ) ⇒ q

Kontraposisi dari pernyataan di atas adalah ... A.  q Ú (p Ù q) D. q ∨ (p ∧ q) B.  q Ù (p Ú q) E. q ∧ (p ∨ q) C. q Ú ( p Ù q) 3. Ingkaran dari pernyataan: ”Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apabila semua nilai ujiannya tidak kurang dari 4,25”adalah ..... A. Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apbila ada nilai ujiannya kurang dari 4,25 B. Seorang siswa dinyatakan tidak lulus ujian apabila ada nilai ujiannya yang tidak kurang dari 4,25 C. Seorang siswa lulus nilai ujiannya di atas 4,25 D. Seorang siswa tidak lulus atau tidak mendapat nilai 4,25 E. Semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang dari 4,25 tetapi ia tidak lulus.

60

4. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Diketahui tiga pernyataan berikut: P : Jakarta ada di pulau Bali Q : 2 adalah bilangan prima R : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil Pernyataan majemuk di bawah ini yang bernilai benar adalah … A. ( P Ú Q)Ù R

D. ~ P ⇒ R

B. ( Q Ú  R)Ù ( Q Ú P) E. ~ R ∧ ~ ( Q ∧ R ) C. (P ∧ ~ Q ) ∧ ( Q ∨ ~ R ) 5. Soal UAN SMA Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut: 1. Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA. 2. IPA tidak sulit dikuasai atau IPTEK tidak berkembang. 3. Jika IPTEK tidak berkembang, maka negara akan semakin tertinggal. Dari ketiga pernyataan di atas dapat disimpulkan ... A. Jika penguasaan matematika rendah, maka negara akan semakin tertinggal. B. Jika penguasaan matematika rendah, makaIPTEK berkembang. C. IPTEK dan IPA berkembang. D. IPTEK dan IPA tidak berkembang. E. Sulit untuk memajukan negara. 6. Premis (1) : Jika ida lulus kuliah atau menikah maka ibu memberi hadiah. Premis (2) : Ibu tidak memberi hadiah. Kesimpulannya adalah.... A. Ida tidak lulus kuliah dan menikah B. Ida tidak lulus kuliah dan tidak menikah C. Ida tidak lulus kuliah atau menikah D. Ida tidak lulus kuliah atau tidak menikah E. Jika Ida tidak lulus kuliah maka Ida tidak menikah

61

7. Soal UAN SMA Diketahui premis-premis: (1) Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orangtua, maka Ayah membelikan bola basket (2) Ayah tidak membelikan bola basket Kesimpulan yang sah adalah … A. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orang lain C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua D. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua 8. Soal UAN SMA Diketahui pernyataan: 1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi. 2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung 3) Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah … A. Hari panas B. Hari tidak panas C. Ani memakai topi D. Hari panas dan Ani memakai topi E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi 9. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi di bawah ini ~p⇒ q q⇒r ∴ ....

adalah ..... A. p ∧ r B.  p Ú r C. p∧ ~ r

D. ~ p ∧ r E. p ∨ r

62

10. Penarikan kesimpulan dari dua premis p∨q ~q

∴ ....

adalah ..... A. p B.  p C. q

D. ~ (p ∨ q) E. ~ q

11. Kesimpulan dari tiga premis p Þ q r Þ q r \ ........

adalah ..... A.  p B. ~ q C. q

D. p ∨ q E. p∧ ~ q

12. Soal UAN Diketahui premis-premis (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung. (2) Ibu tidak memakai payung. Penarikan kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah .... A. Hari tidak hujan B. Hari hujan C. Ibu memakai payung D. Hari hujan dan Ibu memakai payung E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung 13. Soal UAN Diketahui premis-premis berikut : 1. Jika sebuah segitiga siku-siku, maka salah satu sudutnya 900. 2. Jika salah satu sudut segitiga 900, maka berlaku theorema Phitagoras

63

Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis-premis di atas adalah …. A. Jika sebuah segitiga siku – siku, maka berlaku theorema phytagoras B. Jika sebuah segitiga bukan siku – siku, maka berlaku theorema phytagoras C. Sebuah segitiga siku – siku atau tidak berlaku theorema phitagoras D. Sebuah segitiga siku – siku dan tidak berlaku theorema phytagoras... E. Sebuah segitiga siku – siku dan berlaku theorema phytagoras 14. Soal UAN Perhatikan premis-premis berikut! 1. Jika Shafa rajin belajar maka Shafa naik kelas 2. Shafa tidak naik kelas atau Shafa mendapat hadiah Kesimpulan dari kedua premis di atas adalah … A. Jika Shafa tidak rajin belajar maka Shafa tidak mendapat hadiah B. Jika Shafa rajin belajar maka Shafa tidak mendapat hadiah C. Shafa rajin belajar atau Shafa tidak mendapat hadiah D. Shafa tidak rajin belajar atau Shafa mendapat hadiah E. Shafa rajin belajar atau Shafa mendapat hadiah 15. Diketahui premis-premis berikut: 1. Jika hari hujan maka udara dingin 2. Udara tidak dingin atau Linda tersenyum Kesimpulan yang sah adalah … A. Hari hujan atau Linda tersenyum B. Hari tidak hujan dan Linda tersenyum C. Hari tidak hujan atau Linda tidak tersenyum D. Hari hujan dan Linda tersenyum E. Hari tidak hujan atau Linda tersenyum....

64

BAB 5 EKSPONEN

A. A. Sifat Dasar Eksponen Sifat Dasar Eksponen A. Sifat Dasar Eksponen Aturan ini sangat penting untuk di pahami karena akan Aturan sangat penting untuk pahami karena akan sering digunaka Aturan iniini sangat penting untuk di di pahami karena akan sering digunakan sering digunakan dalam penyelesaian soal-soal ekspoA. Sifat Dasar Eksponen dalam penyelesaian soal-soal eksponen. Untuk setiap Y bilangan rea dalam penyelesaian soal-soal eksponen. Untuk setiap X, X, Y bilangan real nen. Untuk setiap X, Y bilangan real dan a, b bilangan buAturan inilat, sangat untuk dipahami karena sering digunakan dan a, baturan bilangan bulat, aturan berikut bawah dan a,penting b bilangan bulat, berlaku aturan berikut di di bawah ini.ini. berlaku berikut diberlaku bawah ini. akan dalam penyelesaian soal-soal eksponen. Untuk setiap X, Y bilangan real dan a, b bilangan bulat, berlaku aturan berikut di bawah ini. X ab.X=b X=(aX+b)(a+ b) 1. 1. X a .X a

( a−b ) Xa X 2. 2. b =b X=( aX−b ) XX b a ba ( a.b()a.b ) 3. 3. X( X )= X= X

( )

a a ( ) b a 4. 4. b X a X= X=( bX) b

−a 11 5. 5. a =a X=−Xa X X

( XY ) )= X= X.Y .Y 6. 6. ( XY a a

a aa a

X 0 1, x ≠ 0 = 7. 7. X 0= 1, x ≠ 0 x

= 0, 8. 8. 0 x 0= 0, x >x 0> 0

Cara Praktis

Soal-soal eksponen tidak terlalu sulit untuk dikerjakan. Kuncinya kalian eksponen harus memahami sifat-sifat dasar di atas. Soal-soal eksponen tidak terlalu sulit untuk dikerjakan. Soal-soal tidak terlalu sulit untuk dikerjakan. Kemudian, untuk menyelesaikannya lakukan langkah Kuncinya kalian harus memahami sifat-sifat dasar Kuncinya kalian harus memahami sifat-sifat dasar didi berikut: atas. Kemudian, untuk menyelesaikannya lakukan lang atas. Kemudian, untuk menyelesaikannya lakukan langi. Sederhanakan fungsi eksponen. Jadikan ruas kiri kah berikut: kah berikut: maupun kanan ke dalam bentuk eksponen dengan pokok paling sederhana. Gunakan sifat-sifat i. i. Sederhanakan Sederhanakan fungsi eksponen. Jadikan ruas maupun kanan bilangan fungsi eksponen. Jadikan ruas kirikiri maupun kanan di ataskeuntuk menyederhankan. ke dalam bentuk eksponen dengan bilangan pokok paling seder dalam bentuk eksponen dengan bilangan pokok paling sederii. Selanjutnya, carilah unsur yangdibisa dicoret. hana. Gunakan sifat-sifat di atas untuk menyederhankan. hana. Gunakan sifat-sifat atas untuk menyederhankan.

65

Contoh Soal : ( −2a) (2a) 3

1. Jika a ≠ 0 , maka

−

Soal Standar SNMPTN

2 3

= ….

1

(16a4 ) 3

A. −22 a B. −2a C. −2a2 D. 2a2 E. 22 a METODE BASIC CONCEPT

( −2a) (2a) 3

−

2 3

= 1 (16a4 ) 3

2

( −2 ) ( a) (2 ) 3 ( a) 3

−

3

−

2 3

= 1 1 (16 ) 3 ( a4 ) 3 −

2

−

−

2

−

−23.a3 .2 3 .a 4

2 3

4

2 3 .a 3

2

 2 4   3− 2 − 4   23.2 3 a3 .a 3   3− −   = − 4 . 4 = − 2 3 3  a 3 3   = −2a     23 a3 Jawaban: B

Soal Standar SNMPTN 2n+2.6n−4 2. Jika n bilangan bulat, maka = …. 12n−1 1 1 1 1 1 A. B. C. D. E. 16 9 8 3 27 METODE BASIC CONCEPT 2n+2.6n−4 2n+2.6n−4 2n+2.6n−4 = = n−1 12n−1 2n−1.6n−1 (2.6 ) 1) +1 22+1.6 −4= = 2n+2−(n−1).6n−4−(n−=

3

3

23  2   1  1 =  =  = 63  6   3  27 Jawaban: A

66

Soal Standar UM-UGM 5 −   1   2 4 3. Jika 81p = 3 2 3 ( 2 )    3  maka p sama dengan....  2 2  

)

(

A. 0

1 9

B.

C.

1 3 3

METODE BASIC CONCEPT  1   − 45  81p = 3 2 3 ( 2 )   3   2 2  

1 3

E. 1

)

(

⇒ (3

D.

)

4 p

⇒ ( 34 )

p

1    1  5    2  2   1  −4  3. 2 3 2 3  = ( )     1              21.2 2     1   1 2 −3  − 5        2 2 3. 2 3 2 2 = ( )( )     3 4               1

⇒ (3

)

4 p

3 5 − −  1 2 3.  2.32  .2.2 2 .3 4 =  

3 −   14 − 45   12 ⇒ 34p =  3.3 .3  .  2 .2.2 2    

1.1 ⇒ 34p = ⇒ 4p = 0 ⇒ p = 0 Jawaban: A

67

B. Persamaan Eksponen Persamaan eksponen adalah persamaan di mana eksponen dan

pokoknya memuat variabel. Perhatikan beberapa benB. bilangan Persamaan Eksponen

tuk persamaan eksponen serta metode penyelesainnya. Persamaan eksponen adalah persamaan di mana eksponen dan bilang an pokoknya memuat variabel. Perhatikan beberapa bentuk persamaan eksponen serta metode penyelesainnya. Bentuk-bentuk eksponen dan penyelesaiannya: = 1. c f(x) cg(x) penyelesaian = → f(x) g(x) = 2. c f(x) df(x) penyelesaian = → f(x) 0 = 3. c f(x) dg(x) penyelesaian → = log c f(x) log dg(x) 4. X f(x) = X g(x)

f(x) = g(x) x=1 x = 0, jika f(x) dan g(x) memuat suku konstan positif x = -1, jika f(-1) dan g(-1) bersama– sama genap atau bersama–sama ganjil

5. c2f(x) ± c f(x) ± d = 0

penyelesaian → persamaan kuadrat: (c f(x) )2 ± ( c f(x) ) ± d = 0

Cara Praktis  a (= = px ) + b ( px ) + c 0 penyelesaian x1 + x 2 2

px + q

rx + s

 a = b= penyelesaian x

ap br

log

bs aq 1

 ar bs  n rx + s =  apx + q b= penyelesaian x  b log q   a   p

n

n

68

p

log

c a

Cara Praktis Prinsip utama dalam penyelesaian soal eksponen adalah: Prinsip utama dalam penyelesaian soal eksponen adalah: i. i. Sederhanakan fungsi eksponen Sederhanakan fungsi eksponen ii. ii. Samakan bilangan pokok atau bilangan pangkat kedua Samakan bilangan pokok atau bilangan pangkat kedua ruas ruas iii. iii. Selesaikan persamaan Selesaikan persamaan

Contoh Soal :

Soal Ujian Nasional Soal Ujian Nasional

2 2x +3 327 Ujian +3 Nasional Penyelesaian 32x 3+2x5x2−+35x=−Soal Penyelesaian persamaan persamaan = 272xadalah adalah 2 2x +5x −3 2x +3 x dan x2 . 1. Penyelesaian persamaan 3 = 27 adalah 1 x1 xdandan x 2 .x . 1 2 Nilai x1 . x 2 = ....

A. Nilai -6 x1 .x Bx.2. = -3.... C. 1 Nilai 1 x 2 = ....

D. 3

E. 6

A. A. -6 -6 BASIC B. -3 -3 C. 1 1 D. 3 3 E .E . METODE CONCEPT B. C. D. 6 Langkah pertama, sederhanakan eksponen, jadikan kedua ruas 6 agar mempunyai bilangan pokok yang sama. 2 2 32x +5x−3 = 272x+3 ⇒ 32x +5x−3 = 33(2x+3) Karena bilangan pokoknya sudah sama, maka selanjutnya saMETODE BASIC CONCEPT METODE BASIC CONCEPT makan bilangan pangkatnya. Kemudian selesaikan persamaanLangkah pertama, sederhanakan eksponen, nya. Langkah pertama, sederhanakan eksponen, 2agar mempunyai bilangan jadikan kedua ruas 3( 2xkedua +3 ) 2x2jadikan +5x −3 ⇒ruas 2x + agar 5x −= 3 mempunyai 3 ( 2x + 3 ) bilangan 3 =3 pokok yang sama. pokok yang sama. 2 ⇒ 2x + 5x − 3 = 6x + 9 2

3) 2x +3 +5x2−3 x − 312 ( 2x +3= −327 +3 ⇒ −33 32x 3+2x5x2−+35x= 32x2x = 272x⇒ ⇒ 32x +−5x= = 3 (2x0+3) c −12 x1 .x 2 = ∴ pokoknya = = −6sama, maka Karena bilangan sudah Karena bilangan pokoknya a 2 sudah sama, maka selanjutnya samakan bilangan pangkatnya. selanjutnya samakan bilangan pangkatnya. Jawaban: A Kemudian selesaikan persamaannya. Kemudian selesaikan persamaannya. 2

2

) 2x 2 +25x −= 32x 3+2x5x2−+35x=−33=3(2x3+3(32x) +3⇒ + 3+) 3 ) ⇒ 2x + 5x3−= 33 ( 2x 3 ( 2x 2

69

Soal Ujian Nasional 2. Diketahui 2x + 2− x = 5 . Nilai dari 22x + 2−2x = ... A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 E. 27 METODE BASIC CONCEPT 2 Ingat, bahwa a2 + b2 = ( a + b ) − 2ab 22x + 2−2x =( 2x ) + ( 2− x ) =(2x +2− x ) − 2.2x .2− x 2

2

2

= (2x +2− x ) − 2.2x−x =( 5) − 2.20 2

2

= 52 − 2 = 25 − 2 = 23 Jawaban: A Soal Ujian Nasional 3. Akar-akar persamaan 2.34X − 20.32X + 18 = 0 adalah x1 dan x 2 nilai dari x1 + x 2 = … A. 0

B. 1

C. 1

D. 3

E. 4

METODE BASIC CONCEPT Diketahui persamaan 2.34X − 20.32X + 18 = 0. 34x = (32x ) , sehingga persamaan di atas dapat di ubah menjadi: 2

2. (32x )

2

−

20.32x + 18 = 0

Misalkan y = 32x , selanjutnya diperoleh: 2y2 − 20y + 18 = 0 2y2 − 20y + 18 = 0 ⇒ (2y − 2)( y − 9 ) = 0 2y − 2 = 0 ⇒ y = 1 y −9=0⇒ y =9 2x Karena y = 3 , maka Untuk y = 1, 1 = 32x 2x

Untuk y = 9,9 = 3

⇒

x=0

⇒

x =1

Jadi, akar-akar persamaannya adalah x1 = 0, x 2 = 1 . Dengan demikian x1 + x 2 = 0 + 1 = 1.

70

METODE SUPER TRIK

= Ingat : a (= px ) + b ( px ) + c 0 penyelesaian x1 + x 2 2

2. ( 32x )

2

−

20.32x + 18 =0 ⇒ 2x1 + 2x 2 =3 log

p

log

c a

18 2

3 ⇒ 2 ( x1 + x 2 ) = log9

3 ⇒ 2 ( x1 + x 2 ) = log32

⇒ 2 ( x1 + x 2 ) =2 ⇒ x1 + x 2 =1 Jawaban: B

C. Fungsi Eksponen Bentuk Dasar: f : ax atau f(x) = ax

0
a>1

x Suatu Syarat: a >fungsi 0 dan a yang ≠ 1 ditentukan oleh f(x) = a dengan a > 0, a ≠ 1

( 0,1) 0 < a < 1 a > 1 O dan

x ∈ R disebut fungsi eskponen. ( 0,1)

Bentuk Dasar:

O

Sifat fungsi eksponen:= y f(x) = ax Syarat: a > 0 dan a ≠ 1  Nilai fungsi definit positif (kurva di atas sumbu x)  Memotong sumbu kartesian di (0,1)  Mempunyai asimptot datar y = 0 (sumbu x)  Monoton naik untuk a >1, monoton turun untuk 0 < a < 1  Mempunyai fungsi invers

Sifat fungsi eksponen:= y f(x) = ax

71

D. Pertidaksamaan Eksponen D. Pertidaksamaan Pertidaksamaan Eksponen D. Eksponen D. Pertidaksamaan Eksponen

Aturan penyelesaian pertidaksamaan eksponen adalah sebagai beriAturan penyelesaian penyelesaian pertidaksamaan eksponen adalah sebagai berikut. berikut. Aturan pertidaksamaan eksponen adalah sebagai Aturan kut. penyelesaian pertidaksamaan eksponen adalah sebagai berikut.

Jika 00 << aa << 11 ⇒ ⇒ f(x) f(x) << g(x) g(x) Jika

f(x) g(x) > aag(x) aaf(x) >

Jika aa >> 11 ⇒ ⇒ f(x) f(x) >> g(x) g(x) Jika

Contoh Soal : C a

Soal Ujian Na A 1 1. Himpunan penyelesaian dari   2 A. {x < −2 atau x > 5} B. {x < −2 atau x > 3} C. {x < −3 atau x > 2}

8+2x −x2

1 >  2

a

B sional

x +2

adalah …

D. {−2 < x < 3} E.

{−3

< x < 5}

Soal Ujian Ujian Nasional Nasional Soal 8+2x −x2

x +2

1 8+2x−x2  11 x+2  1  >   adalah Himpunan penyelesaian dari adalah … … METODE BASIC CONCEPT > Himpunan penyelesaian dari  2   2  8+2x −x2 x +2 2 2   1 1 >  Perhatikan soal:   x < − 2 atau x > 5 D. {{− −22 < < xx < < 33}} A. { }  x > 5} 2  A. {x < −2 2atau D. 1 Karena bilangan pokoknya = < 1, maka penyelesaian B. x < − 2 atau x > 3 E. {{− −33 < < xx < < 55}} { B. {x < −2 atau x > 3}2} E. pertidaksamaan pada soal di atas adalah: 8+2x −x2

x +2

1 1 >   ⇒ 8 + 2x − x 2 < x + 2   2   2 2 2) > 0 ⇒ x − x − 6 > 0 ⇒ ( x − 3 )( x +72

+++

-----2

Hp=

{x < −2

+++

0 3 atau x > 3} Jawaban: B Soal Ujian Nasional

2. Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x+1 + 8.3x − 3 > 0 adalah ... 1 A. x < 3 C. x < − 3 E. x < − 3 1 B. x > 3 D. x > − 1 METODE BASIC CONCEPT Diketahui 32x+1 + 8.3x − 3 > 0 . Akan dicari semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. 32x+1 + 8.3x − 3 > 0 ⇒ 31. ( 3x ) + 8.3x − 3 > 0 2

Dimisalkan 3x = y , dapat diperoleh: 3y2 + 8y − 3 > 0 ⇒ (3y −1) ( y + 3) > 0 1  Hp: y < −3 atau y >  3 

Karena 3x = y dan nilai dari eksponen tersebut tidak mungkin 1 negatif, maka yang diapakai y > . 3 1 1 Selanjutnya diperoleh y > ⇒ 3x > ⇒ x > −1 3 3 Jawaban: D

73

Uji Skill Rumus Praktis 1. Soal UAN SMA Nilai dari

(

7x

−3

2 6

5 4

x − 6y

y5

−1

3

)

x −2

untuk x = 4 dan y = 27 adalah …

( ) (1+ 2 2 ) 9 3 (1+ 2 2 )18 3

( ) (1+ 2 2 ) 27

A. 1+ 2 2 9 2

D. 1+ 2 2 27 2

B.

E.

C.

3

2. Soal UAN SMA NIlai x yang memenuhi pertidaksamaan A. x < -14 B. x < -15 C. x < - 16

3

1 64 3x > adalah … 82x 218x-36

D. x < -17 E. x < -18

3. Soal UAN SMA Himpunan penyelesaian persamaan 93x − 2.33x+1 − 27 = 0 adalah ... A. {2/3} D. {2/3, 4/3} B. {4/3} E. {2/3, 8/3} C. {8/3} 4. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 1

 x −1 + y −1  2 Jika x > 0 dan y > 0 maka   =…  xy  A. x + y

C.

B. xy x + y

D.

xy x+y x+y xy

74

E.

x+ y

5. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN −

3

Jika a ≠ 0 , maka

2

( −2a) (2a) 3 1 4 3

(16a )

= ….

A. −22 a B. −2a C. −2a2 D. 2a2 E. 22 a 6. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai dari 2 + 3 +2+ 5 − 2 + 3 +2− 5

(

A. -4

)(

B. -2

C. 0

D. 2

)(

)

… 10 + 2 3 =

E. 4


1

( x −3)

0,09 2 Nilai x yang memenuhi persamaan 0,33x+1 A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

adalah....

E. 2

8. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 2n+2.6n−4 Jika n bilangan bulat, maka = …. 12n−1 A.

1 27

B.

1 16

C.

1 9

D.

1 8

E.

1 3

9. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Penyelesaian pertaksamaan 9 − x+1 + 8.3− x − 1 > 0 adalah.... A. x < 0 E. x > 2 B. x < 1 D. x > 1 C. x < 2 10.Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 0, Jika x1 dan x2 adalah solusi dari per-samaan 32x+2 − 28.3x + 3 = maka x1 + x 2 = …. A. -2 B. -1

C. 0

D. 1

75

E. 2

11. UM-UGM MADAS 24x+7y−7 = 4 x+3y Jika x dan y memenuhi sistem persamaan  x−y , maka = 32x−7 27 y – x =.... A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2

12. UM-UGM K.IPA Nilai x yang memenuhi persamaan ( x 2 + 1 )

x2 +1

= ( x2 + 1)

x2 + x + 4

adalah.... A. x = 0 dan x = 3 D. x = -1 dan x = -3 B. x = -3 dan x = 3 E. x = 0 dan x = -3 C. x = -1 dan x = 3 13. UM-UGM MADAS Bentuk sederhana dari 7 + 48 adalah.... A. 3 + 2 2 C. 3 + 2 B. 3 + 2 2 D. 2 + 3 14. Soal UAN SMA Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB = ... A. 4 2 cm D. 8 - 2 2 cm B. C.

( 4 - 2 ) cm ( 4 - 2 2 ) cm

E.

( ) (8 - 4 2 ) cm

2+ 3

E.

C a

A

a

B

15. Soal UAN SMA Akar-akar persamaan 2.34X - 20.32X +18 = 0 adalah x1 dan x 2 . Nilai dari x1 + x 2 = … A. 0 B. 1

C. -1

D. 3

76

E. 4

BAB 6 LOGARITMA a

log b dibaca “logaritma b dengan bilangan pokok a” a

a b dengan bilangan pokok log b dibaca “logaritma a” Jika = logb c,= maka b ac

a c Jika = logb ac,=  a disebut bilangan pokok; syarat: >maka 0 danba ≠a1  b disebut bilangan yang dilogaritmakan  a disebut bilangan pokok; syarat: a > 0(numerator); dan a ≠ 1 syarat b > 0 ≠  PENTING: syarat a > 0 , a 1 serta b > 0 menjadisyarat syaratbyang  b disebut bilangan yang dilogaritmakanselalu (numerator); >0 harus dipenuhi dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan  PENTING: syarat a > 0 , a ≠ 1 serta b > 0 selalu menjadi syarat yang

harus dipenuhi dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan

A. Sifat Logaritma A. Sifat Logaritma Berikut ini merupakan beberapa sifat logaritma yang sering digunakan

dalam menyelesaikan soal-soal logaritma. Berikut ini merupakan beberapa sifat logaritma yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal logaritma. 1.

a a

log ac = c ⇒ a loga = 1 6. a n

a

a

log b

=b

a

2. log x = n log x 7. = log1 a= loga0 0 n

a 3. a log x + a log y = log xy 8. a log x = a log xn a log x 1 x y a log x a= x 4. = 9. a log x − a log y = log log y log y y 1 (a sembarang) 10. a log = − a log x x n 1 5. x log y = a log y 11. a log b . b log c. c log d = a log d n

77

Rumus Praktis Cara Praktis Bentuk Berulang dan Pecahan Berulang Bentuk Berulang dan Pecahan Berulang a 2 a0,aaaa ... ⇒ Contoh: = 20,2222 ...  =  = 0,aaaa ... ⇒ Contoh: 0,2222 ... 9 9 = 9 9 ab 31  =ab0,abababab ... ⇒ Contoh : =310,313131 ...  : = 0,313131 ... 99 = 0,abababab ... ⇒ Contoh99 99 99 abc 351  abc = 0,abcabcabc ... ⇒ Contoh: 351 = 0,351351 ...  999 = 0,abcabcabc ... ⇒ Contoh:99 = 0,351351 ... 999 999    

Contoh Soal : Soal Standar SNMPTN Soal Standar SNMPTN 1. Jika logx = b , maka log100 = ... Soal Standar SNMPTN 1 2 1 2 2 = b , makaC.10x =D.... A.Jika 10 logx log100 E. 10 B. 10x Jika log100 = ... b + 1 logx =bb+,1maka b b 10b 10

10x

METODE 1 BASIC CONCEPT 2 1 2 2 A. C. 1 D. E. 1 10 logxB. 2 2 2 Diketahui: = b A. B. C. D. E. b+1 b+1 b b 10b b+1 b+1 b b 10b 2 2 log100 2 10x log100 = = = = log10x log10 + log x 1 + log x 1 + b METODE BASIC CONCEPT Jawaban: B METODE BASIC CONCEPT Diketahui: 10 logx =b Diketahui: 10 logx = b

78

Soal Standar SNMPTN a

2. Jika a = 0,111... Maka nilai log729 =... A. -5 B. -4 C. -3 D. 4 CARA PRAKTIS = a 0,1111... = a

E. 5

1 . Maka, 9

1

log729 ⇒ 9 log729 =

9−1

log93 =

3 = −3 −1

Jawaban: C Soal UM-UGM 1 k

1 2 m

1 2 n

3. Nilai dari logm . logn . logk2 adalah.... A. 4

B. -4

C. 8

D. -8

E. 1

METODE BASIC CONCEPT 1 k

1

1

−1

−1

−1

logm2 .m logn2 .n logk2 = k logm2 . m logn2 . n logk2 = ( −2 ) klogm.( −2 ) mlogn. ( −2 ) nlogk =− ( 2 ) ( −2 )( −2 ).k logm. mlogn. nlogk = −8.k logk = −8 Jawaban: D

79

B. Penyelesaian Persamaan Logaritma B. Penyelesaian Persamaan Logaritma Teknik umum penyelesaian logaritma adalah sebagai berikut: Bentuk Pertama a log f(x) = k penyelesaian ⇒ f(x) = ak Teknik umum penyelesaian logaritma adalah sebagai berikut: dengan f(x) > 0 Bentuk Pertama a log f(x) = k penyelesaian ⇒ f(x) = ak Bentuk Kedua dengan f(x) > 0 Bentuk bilangan pokok disamakan a log f(x) = alog g(x) Bentuk Kedua 1. f(x) = g(x) Bentuk bilangan pokok 2. disamakan f (x) > 0 3. g(x) > 0 a log f(x) = alog g(x) 1. f(x) = g(x) 2. f (x) > 0 Bentuk Ketiga 3. g(x) > 0 Bentuk : a plog2 x + b log x + c = 0

Penyelesaian: 123 Penyelesaian: 123

persamaan dimisalkan plog x = y, Bentuk Penyelesaian: Ketiga p kemudian diselesaikan Bentuk : apersamaan log2 x + b log x+c = 0 dengan difaktorkan

Penyelesaian: persamaan dimisalkan plog x = y, kemudian persamaan diselesaikan dengan difaktorkan

Cara Praktis a plog2 x= + b log x + c 0 penyelesaian = ⇒ x1 .x 2 p

−

b a

Persamaan log2x – 3 log x + 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 maka nilai dari x1 . x2 = …

80

Contoh Soal : 1. Persamaan log2x – 3 log x + 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 maka nilai dari x1 . x2 = … METODE BASIC CONCEPT log2x – 3 log x + 2 = 0 ⇒ (log x – 2)(log – 1) = 0 ⇒ logx = 2 atau log x = 1 log x = 2 ⇒ x = 102 = 100 log x = 1 ⇒ x = 10 Jadi, x1 . x2 = 100.10 = 1000 METODE SUPER TRIK Ingat! a plog2 x= + b log x + c 0 penyelesaian = ⇒ x1 .x 2 p Maka, untuk log2x – 3 log x + 2 = 0 2. Nilai x yang memenuhi 2

log2 ( 4x − 4 ) −2 log ( 4x − 4 ) = 2log 4

⇒

−

b a

 3 − − 

x1 . x2 = 10  1  =103 = 1000 Soal Ujian Nasional

1 adalah.... 8

A. 3 atau 1 C. 3 atau 2 E. 3 atau 6 B. 3 atau 3/2 D. 3 atau 5/2 METODE BASIC CONCEPT 1 4 2 log2 ( 4x − 4 ) −2 log ( 4x − 4 ) = 2log =2 log 2−3 8 ⇒

{2 log(4x −4 )}

2

−

4.2 log ( 4x - 4 ) = -3

Dimisalkan 2 log ( 4x − 4 ) = p , dapat diperoleh: p2 − 4p + 3 = 0 ⇒ (p−1) (p−3) = 0 p = 1 atau p = 3

p = 1 ⇒ 2log ( 4x − 4 ) = 1 4x − 4 = 2 ⇒ x = p = 3 ⇒ 2log ( 4x − 4 ) = 3

3 2

4x − 4 = 23 = 8 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3 Jawaban: B

81

Soal Standar SNMPTN 3. Jika 4 log 4log x − 4log 4log 4log16 = 2 maka.... A. 2 log x = 8 B. log x = 4 2

C.

4

D.

4

E.

log x = 8

16

logx = 8

log x = 16

METODE BASIC CONCEPT 4 log 4log x − 4log 4log 4log16 = 2 ⇒ 4 log 4log x − 4log 4log 4log 42 = 2 ⇒ 4 log 4log x − 4log 4log 2 = 2 1 1 ⇒ 4 log 4log x − 4log 4log 4 2 = 2 2 ⇒ 4 log 4log x − 4log = 2  1 2 ⇒ 4 log 4logx −  −  =  2 3 3 3 4 ⇒ 4 log 4log x = log 4 2 ⇒4 log x == 42 8 ⇒ 4log 4log x = 2 Jawaban: C

Soal UM-UGM 4. Jika x memenuhi 2 log 3log ( x + 2 ) = 1 dan y memenuhi

(

a

log ( 3y − 1 ) )( 2 loga) = 3 , maka nilai x + y adalah….

A. 16 B. 13 C. 10 METODE BASIC CONCEPT

D. 9

log 3log ( x + 2 ) = 1 2 ⇒ 2log 3log ( x + 2 ) = log2 3 ⇒ log ( x + 2 ) = 2 3 ⇒ 3log ( x + 2 ) = log32 ⇒ x + 2 = 32 ⇒ x + 2 = 9 ⇒ x = 7 2

Jadi, x + y = 7 + 3 = 10

(

a

E. 4

log ( 3y − 1 ) )( 2 loga) = 3

⇒ ( 2 loga) ( a log ( 3y − 1 ) ) = 3 ⇒ 2log ( 3y − 1 ) = 3 2 ⇒ 2log ( 3y − 1 ) = log23 ⇒ 3y − 1 = 23 ⇒ y = 3

Jawaban: C

82

C. Pertidaksamaan Logaritma Langkah pertama adalah samakan bilangan pokok, selanjutnya selesaikan berdasarkan aturan di bawah ini! Jika 0 < a < 1

1. f(x) ≤ g(x) C. Pertidaksamaan Logaritma 2. f (x) > 0

3. g(x) > 0pokok, bilangan

Langkah log f(x) ≥pertama log g(x) adalah samakan saikan berdasarkan aturan di bawah ini! a

a

Jika a > 1 Jika 0 < a < 1 a

log f(x) ≥ log g(x) Jika a > 1

123

selanjutnya selePenyelesaian: 123 Penyelesaian:

1. f(x) ≥ g(x) 2. f (x) >≤0 g(x) 1. f(x) 3. g(x) 2. f (x)>>00 3. g(x) > 0

a

Penyelesaian:

123

Penyelesaian:

1. f(x) ≥ g(x) 2. f (x) > 0 3. g(x) > 0

123

Contoh Soal : Soal Ujian Nasonal 1. Batas-batas nilai x yang memenuhi log ( x − 1 ) < log ( x − 1 ) adalah.... 2

A. x < 2 C. x < 1 atau x > 2 B. x > 1 D. 0 < x < 2 METODE BASIC CONCEPT 2 log ( x − 1 ) < log ( x − 1 )

E. 1 < x < 2

Syarat 1: ( x − 1)2 > 0 (harus selalu dipenuhi karena hasil kuadrat selalu positif) Syarat 2: ( x − 1 ) > 0 ⇒ x > 1

83

Syarat 3: 2 log ( x − 1 ) < log ( x − 1 )

⇒ log ( x − 1 ) < 0 ⇒ log ( x − 1 ) < log 1

⇒ log ( x − 1 ) − log ( x − 1 ) < 0 2

⇒ ( x − 1) < 1

⇒ 2.log ( x − 1 ) − log ( x − 1 ) < 0

⇒x <2 Penyelesaiannya adalah yang menenuhi syarat 1,2 dan 3, yaitu: {1 < x < 2}. METODE LOGIKA Tipe soal seperti ini dapat kita tentukan jawabannya hanya dengan mempertimbangkan syarat-syarat logaritma. Misalnya log x, 2 maka nilai x harus positif (x > 0). Untuk log ( x − 1 ) < log ( x − 1 ) , kita cermati pilihan gandanya, ambil sembarang angka dari interval masing-masing pilihan ganda. Subtitusikan ke soal, jika ternyata tidak memenuhi maka jawaban tersebut salah. Coba perhatikan! A. x < 2 ⇒ Ambil x = 1 (karena 1 < 2). Subtitusikan ke persamaan log ( x − 1 ) ⇒ log (1 − 1 ) ⇒ log 0 (Salah, log 0 tidak boleh) B. x > 1 ⇒ Ambil x = 4 (karena 4 > 2). Subtitusikan ke persamaan 2 log ( x − 1 ) < log ( x − 1 ) ⇒ log ( 4 − 1 ) < log ( 4 − 1 ) ⇒ log9 < log3 2

(Salah, karena seharusnya log9 > log3 )

C. x < 1 atau x > 2 ⇒ Salah (lihat A dan B) D. 0 < x < 2 ⇒ Salah (lihat A) E. 1 < x < 2 ⇒ Satu-satunya jawaban yang tersisa.

84

Jawaban: E

Soal UM-UGM 2xlog 4x 1 2. Nilai x yang memenuhi log 2x < adalah.... x 2 1 A. x < -100 C. 0 < x < E. 2 < x < 10 100 1 1 0 1 Jadi, HP: 0 < x < 100 Jawaban: C

D. Fungsi Logaritma Bentuk dasar: y = a log x , merupakan invers dari y = ax

4. Fungsi Logaritma

Ingat syarat umum logaritma tetap berlaku: • a > 0 dan a ≠ 1 • x > 0 Bentuk dasar: ( 1,0 ) a > 1 0 < a < 1 X Y

Y

a>1

( 1,0 )

y = a log x , merupakan invers dari y = ax

85

X

O 0< a<1

Sifat-sifat fungsi logaritma y = a log x  kurvanya di sebelah kanan sumbu y  memotong sumbu kartesian di titik (1,0)  garis asimptot x = 0 (sumbu y)  monoton naik untuk a >0, monoton turun untuk 0
Uji Skill Rumus Praktis 1. Soal UAN SMA Penyelesaian persamaan: 2 log ( x + 2 ) −4 log ( 3x 2 − x + 6 ) = 0 adalah p dan q. Untuk nilai p > q maka nilai p.q = … 3 A. 2 B. 2

C.

1 2

D.

−3 2

E.

−5 2

2. Soal UAN SMA Nilai x yang memenuhi 1 4 log2 ( 4x − 4 ) −2 log ( 4x − 4 ) = 2log adalah.... 8 A. 3 atau 1 D. 3 atau 5/2 B. 3 atau 3/2 E. 3 atau 6 C. 3 atau 2 2

3. Soal UAN SMA = Jika log2 0,301 = dan log3 0,477 maka 3 225 = ... A. 0,714 B. 0,734 C. 0,756

D. 0,778 E. 0,784

86

4. Soal UAN SMA Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log2 log ( 2x+1 + 3 ) =1 +2 log x adalah … 2 3 D. -1 atau 3

A. 2 log3 B. 3 log2

C. log

E. 8 atau

1 2

5. Soal UAN SMA Penyelesaian pertidaksamaan log ( x − 4 ) + log ( x + 8 ) < log ( 2x + 16 ) adalah … A. x > 6 B. x > 8 C. 4 < x < 6

D. -8 < x < 6 E. 6 < x < 8

6. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN Himpunan penyelesaian pertaksamaan a log b . b log c. c log d = a log d adalah …. A. {x| −3 < x < 6} B. {x|5 < x < 6}

C. {x|x < −2 atau x > 5}

D. {x|x < −2 atau 5 < x < 6}

{x| −3 < x < −2 atau

E.

5 < x < 6}

7. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 1 1 1 Jumlah 10 suku pertama deret a log + a log 2 + a log 3 + x x x adalah.... a

1 log x 45

A. −55a log x

D.

B. −45a log x

E. 55a log x

a

C.

1 log x 55

87

8. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 1 x Jika b + 1 dan = log10 ulog ( 5u − 40 ) , maka nilai u adalah.... A. 25

B. 26

C. 27

D. 28

E. 30

9. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN 22x Jika log ( 2x + y ) = 1 dan 2y = maka x.y =.... 4 3 A. B. 7 C. 8 D. 12 E. 16 4 10. UM-UGM K.IPA Dua bilangan real a dan b memenuhi persamaan log ( x 2 + 2 )  − log ( x 2 + 2 )log ( x 2 + 2 ) = 4   4

maka a.b = ... A. -4 B. -1

3

C. 1

D.

1,99

E. -98

11. UM-UGM K.IPA Persamaan

( x2 −6x+14 )= ( 4x2 −4x+1)log x2 − 6x + 9 dipenuhi log ( x − 3 ) ( )

oleh x =.... A. 6 B. 3 atau 5 C. 3

D. 5 E. 6

12. UM-UGM K.IPA Jika 7 log2 = a , 2 log3 = b maka 6 log98 = …. A.

a a+b

a+2 C. a b + 1 ( )

B.

a+2 b +1

D.

a+1 b+2

88

a+2 E. b a + 1 ( )

BAB 7 LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran PENTING. Kunci pengerjaan soal yang berkaitan dengan persamaan lingkaran adalah pada mencari PUSAT dan JARI-JARI lingkaran. Y  Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari – jari = R.

x2 + y2 = R2

R O ( 0,0 )

 Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari–jari = R.

R2 ( x − a)2 + ( y − b )2 =

2

Y R

b

 Bentuk umum persamaan lingkaran

P ( a,b )

O ( 0,0 )

a

2

x + y + 2ax + 2by + c = 0

Syarat: Koefisien x2 dan y2 harus sama dan tidak sama dengan nol. Pusat: P(−a, −b)

Jari – jari: R = (−a)2 + (−b)2 − c

89

X

X

Rumus Praktis

Cara Praktis Trik mempermudah menghafal:

Pusat: koefisienmenghafal: x dan y dengan tanda berlawanan) Trik (separo mempermudah Pusat: R(separo koefisien x dan = pusat kuadrat − c y dengan tanda berlawanan) Jari-jari: Contoh: Jari-jari: R = pusat kuadrat − c Contoh:

Maka, x 2 + y2 − 2x + 4y − 11 = 0 2 2 Mempunyai Maka, x + y − 2x + 4y − 11 = 0 Pusat: P(1,-2) Mempunyai JariPusat: − jari= pusat kuadrat − c (R ) P(1,-2)

Jari − jari= (=R ) 12 +pusat 22 − ( kuadrat −11 )= −1c+ 4 + 11 2 2 = == 16 1 4+ 2 − ( −11 )=

=

1 + 4 + 11

= 16 4

Contoh Soal : Soal Ujian Nasional Soal Ujian Nasional 1. Lingkaran x + y + 2px + 6y + 4 = 0 mempunyai jari-jari 3 dan Soal Ujian Nasional menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebut adalah.… 2 2 mempunyai jariLingkaran x + y + 2px + 6y + 4 = 0 A. (-2, 3) B. (-2, -3) C. (2, 3) D. (3, -2) E. (-3, 2) jariLingkaran 3 dan menyinggung Pusat lingkaran jarix 2 + y2 + 2px +sumbu 6y + 4 = 0X.mempunyai METODE BASIC CONCEPT tersebut adalah.… jari 3 dan menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran tersebutpersamaan adalah.… Diketahui lingkaran x 2 + y2 + 2px + 6y + 4 = 0 denA. (-2, 3) B. (-2, -3) C. (2, -3) D. (3, -2) gan r = 3. E. A. (-3,(-2, 2) 3) B. (-2, -3) C. (2, -3) D. (3, -2) Pusat: (separo koefisien x dan y dengan tanda berlawanan) E. (-3, 2) 2

2

METODE BASIC CONCEPT METODE BASIC CONCEPT 90 Diketahui persamaan lingkaran x 2 + y2 + 2px + 6y + 4 = 0 2 2 den Diketahui persamaan lingkaran x + y + 2px + 6y + 4 = 0 den

Pusat: ( −p, −3 ) Karena r = 3, maka berlaku = R pusat kuadrat − c R=

p2 + 32 − 4 ⇒ 3=

p2 + 9 − 4

⇒ 32 = p2 + 5 ⇒ p2 =4 ⇒ p =±2

Jadi pusat lingkarannya (-2,-3) atau (2,-3).

Jawaban: B

Soal Standar UM-UGM 2. Lingkaran yang pusatnya berimpitan dengan pusat x 2 + y2 − 2x + 6y + 15 = 0 dan berjari-jari 5, memotong sumbu x dan sumbu y positif di titik (a,0) dan (0,b). Nilai ab =.... 15 A. 10 6 − 15 C. 8 6 − 10 E. 6 − 10 2 B. 10 5 − 15 D. 8 5 − 10 METODE BASIC CONCEPT

x 2 + y2 − 2x + 6y + 15 =0 ⇒ Pusat (1, −3 ) Persamaan lingkaran dengan pusat (1, −3 ) dan jari-jari 5 adalah

( x − 1) + ( y + 3) 2

2

= 25

Lingkaran memotong sumbu x positif, maka y = 0 ⇒ x = 5 = a. Lingkaran memotong sumbu y positif, maka x = 0 ⇒ y = 24 − 3 = b. Jadi, ab = 5

(

)

24 − 3= 10 6 − 15

91

Jawaban: A

B. Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran Ada beberapa cara untuk menentukannya:  Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) Y

Persamaan garis singgung (y − y 1 ) = mg (x − x1 )

( x1 ,y1 ) R

b

P ( a,b )

O ( 0,0 )

a

garis singung

X

Jari-jari ⊥ garis singgung (garis g), artinya mjari-jari.mg = -1, dan berlaku y −b mg = 1 x1 − a  Melalui sebuah TITIK pada lingkaran Persamaan garis singgung di titik (x1, y1), pada a. Lingkaran x 2 + y2 = R2 Rumus: b. Lingkaran Rumus:

x1 .x + y1 .y = R2

R2 ( x − a)2 + ( y − b )2 =

R2 ( x − a ) ( x1 − a ) + ( y − b ) ( y1 − b ) =

c. Lingkaran x2 + y2 + Ax + By + c = 0 Rumus:

x1 .x + y1 .y +

1 1 A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0 2 2

 Garis singgung dengan GRADIEN garis sudah diketahui Persamaan garis singgung dengan gradien m pada a. Lingkaran x 2 + y2 = R2 (pusat O(0,0) dan jari–jari R)

92

b. Lingkaran: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (pusat P(a,b) dan jari–jari R)

y − b= m ( x − a) ± R 1 + m2 Rumus: Rumus: y =mx ± R 1 + m2  Garis singing melalui sebuah TITIK di LUAR lingkaran b. Lingkaran: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (pusatPersamaan P(a,b) dan jari–jari R) umum garis singgung melalui y − b= m ( x − a) ± R 1 + m2 titik (x ,y ) di luar lingRumus: 1 1 karan adalah  Garis singing melalui sebuah TITIK di LUAR lingkaran − y 1 ) = m(x Persamaan(yumum garis− xsinggung 1) ..…(x (*),y ) di luar lingkaran melalui titik 1 1 adalah Selanjutnya, inti masalahnya adalah mencari nilai gradien (y − y 1 ) = m(x − x1 ) ..… (*) (m) persamaan (*) di atas. Langkah menentukan gradien (m) Selanjutnya, inti masalahnya adalah mencari nilai gradien (m) adalah: persamaan (*) di atas. Langkah menentukan gradien (m) adalah: 1. Subtitusikan (y − y 1 ) = m(x − x1 ) ke persamaan ling1. Subtitusikan persamaan lingkaran sehingga (y sehingga − y 1 ) = m(x − x1 ) ke sebuah karan diperoleh persamaan kuadrat. diperoleh sebuah persamaan kuadrat. 2. Nilai m akan diperoleh dengan mengambil nilai D = 0 2. Nilai m akan diperoleh dengan mengambil nilai D = 0

Atau, jika pusat P(a,b) dan jari–jari R maka persamaan Atau, jikagaris pusat P(a,b) dan jari–jari R maka persamaan garis singgung singgung dengan gradien m adalah dengan gradien m adalah y − b= m ( x − a) ± R 1 + m2 ….(**) y − b= m….(**) ( x − a) ± R 1 + m2 Selanjutnya, eliminasikan (*) dan (**) mendapatkan nilai m. Selanjutnya, eliminasikan (*)untuk dan (**) untuk mendapatkan nilai m.

Cara Praktis Mencari garis singing melalui sebuah TITIK di LUAR lingkaran menggunakan persamaan GARIS POLAR. Cara pengerjaan: • Tentukan persamaan garis polar • Tentukan titik potong garis polar dengan lingkaran • Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong di atas

93

Persamaan lingkaran: x 2 + y2 = R2 Persamaan GARIS POLAR: x1 .x + y1 .y = R2 2 Persamaan lingkaran: x 2 + y2 = 2 R 2 Persamaan lingkaran: ( x − a) + ( y − b ) = R2 2 Persamaan PersamaanGARIS GARISPOLAR: POLAR: x1 .x + y1 .y = R 2 2 Persamaan lingkaran: R ( x − a) ( x(1x−−a)a+) ( y+−( yb )−( yb1)− b= )R= 2

2

Persamaan GARIS POLAR: ( x − a) ( x1 − a) + ( y − b ) ( y1 − b ) = R2 Rumus Bantuan Rumus Bantuan ax1 + by1 + c Jari − jari (R) = 2 2 ax1 +aby+1b+ c Jari − jari (R) = a2 + b2

Contoh Soal : Soal Ujian Nasional 1. Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (-3,4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10, 5) dan jari-jari r. Nilai r = …. A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11

94

METODE BASIC CONCEPT Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 pada titik (-3 METODE BASIC CONCEPT adalah xx1 + yy1= r2 ⇒ −23x +2 4y= 25 ⇒ −3x + 4y − 25= 0 . Persamaan garis singgung lingkaran x + y = 25 pada titik (-3,4) adalah xx1 + yy1= r2 ⇒ −3x + 4y= 25 ⇒ −3x + 4y − 25= 0 . Jari-jari = jarak pusat ke garis singgung

Karena diketahui pusat lingkaran (10,5) dan persamaan garis 0 , maka jari-jari lingkaran tersebut singgungnya −3x + 4y − 25 = adalah Karena diketahui pusat lingkaran (10,5) dan persamaa ax −3(10) 4(5) − 25 35 1 + by 1 + c −3x ++4y − 25 = 0 , −maka singgungnya Jari − jari garis (R) = = = = 7jari-jari lingkara 2 2 2 5 tersebuta2adalah +b (−3) + (4) Jawaban: C

Soal+ Ujian −3(10) 4(5) − Nasional 25 −35 ax1 + by1 + c = = = 7 Jari − jari (R) = 2 2 2 2 2 2 5 2. Persamaan garis singgung lingkaran −4 = 0 −3)+ 4y + (4) a + b x + y − (2x yang tegak lurus garis 5x – 12y + 15 = 0 adalah.... Jawaban: A. 12x + 5y – 41= 0 dan 12x + 5y + 37 = 0 B. 12x + 5y + 41= 0 dan 12x + 5y - 37 = 0 C. 5x + 12y + 41= 0 dan 5x + 12y + 37 = 0 D. 5x + 12y – 41= 0 dan 5x + 12y – 37 = 0 E. 12x - 5y – 41= 0 dan 12x - 5y + 37 = 0 METODE BASIC CONCEPT

Soal Ujian Nasion 5 12 garisgaris singgung lingkarangradien x 2 + y2 − 2x + 4y − 4 = Garis yangPersamaan tegak lurus dengan di atas mempunyai 1 yang 12 tegak lurus garis 5x – 12y + 15 = 0 adalah.... = m2 −= − m1 5 A. 12x + 5y – 41= 0 dan 12x + 5y + 37 = 0 2 2 x + y − 2x + 4y − 4 = 0 mempunyai B. 12x + 5y + 41= 0 dan 12x + 5y - 37 = 0 Pusat: P(1,-2) Jari-jari: 12 + 22 − (−4)= 9= 3 5x – 12y + 15 = 0 ⇒ m1 =

95

Persamaan garis singgung dengan pusat (1,-2) dan r = 3 adalah y = −x 2 y − b= m ( x − a) ± R 1 + m2 ⇒ y= +2

−

12 12 ( x − 1) ± 3 1 +  −  5  5

⇒ y= +2

−

169 12 ( x − 1) ± 3 5 25

2

13 12 ( x − 1) ± 3. 5 5 ⇒ 5y + 10 = −12 ( x − 1) ± 3.13 ⇒ y= +2

−

⇒ 5y + 10 + 12x − 12 ± 39 = 0 ⇒ 5y + 12x − 2 ± 39 = 0 5y + 12x − 2 + 39 =⇒ 0 5y + 12x + 37 = 0 5y + 12x − 2 − 39 =⇒ 0 5y + 12x − 41 = 0 Soal Ujian Nasional 3. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,4) pada lingkaran x 2 + y2 = 4 adalah.... A. y = x + 4 C. y = − x + 4 B. y = 2x + 4

E. y = −x 2

D. y = −x 3 + 4

METODE BASIC CONCEPT Diketahui persamaan lingkaran x 2 + y2 = 4. Persamaan garis singgung pada lingkaran yang ditarik dari titik (x1,y1) di luar lingkaran adalah: y = m ( x − x1 ) + y1 . Pada lingkaran di atas R = 2 dan ( x1 ,y1 ) = (0,4) ,

y mx + 4 maka =

96

....(1)

mx + R m2 + 1 Dengan m adalah gradien dari: y = (1) = (2), maka berlaku

....(2)

mx + 4 = mx + R m2 + 1 ⇒ 4 = 2 m2 + 1 ⇒ 2 = m2 + 1 ⇒ 4 = m2 + 1 ⇒ m = ± 3

± 3x + 4 Jadi, persamaan garis singgungnya y = Atau, dapat ditulis persamaan garis singungnya adalah

3x + y = 4 dan − 3x + y = 4. CARA PRAKTIS • Tentukan persamaan garis polar Persamaan garis polar dari titik di luar lingkaran (0,4) pada lingkaran x 2 + y2 = 4 adalah 0.x + 4.y = 4 ⇒ y = 1 • Tentukan titik potong garis polar dengan lingkaran Untuk y = 1,

maka x 2 + y2 = 4 ⇒ x 2 + 12 = 4 ⇒ x 2 = 3 ⇒ x = ± 3 Jadi, titik potongnya

(

)

(

3,1 dan − 3,1

)

• Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong di atas

( 3,1) → 3x + y =4 Persamaan garis singgung melalui ( − 3,1 ) → − 3x + y =4 Persamaan garis singgung melalui

Jawaban: D

97

Uji Skill Rumus Praktis 1. Soal UAN SMA Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 2x - 6y - 7 = 0. di titik yang berabsis 5 adalah.… A. 4x – y – 18 = 0 D. 4x + y – 4 = 0 B. 4x – y + 4 = 0 E. 4x + y - 15 = 0 C. 4x – y + 10 = 0 2. Soal UAN SMA Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,4) pada lingkaran x2 + y2 = 4 adalah.... A. y = x+4

−x 3 + 4 D. y =

B. y = 2x+4

E. y = −x 2

C. y = -x+4 3. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN Persamaan garis yang sejajar dengan garis x – 2y = 10 dan membagi

0 atas dua bagian yang sama adalah.... lingkaran x 2 + y2 + 4x + 3 = 1 1 A. = D. = y x +1 y x −2 2 2 1 1 B. = E. y = x y x −1 2 2 1 C. = y x +2 2 4. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN

0 dan Lingkaran L1 : x 2 + y2 − 10x + 2y + 17 = L2 : x 2 + y2 + 8x − 22y − 7 = 0 , maka kedua lingkaran tersebut.... A. tidak berpotongan B. bersinggungan dalam

98

C. bersinggungan luar D. berpotongan di dua titik E. mempunyai jari-jari yang sama 5. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN Diketahui suatu lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva

y = x dan melalui titik asal O(0,0). Jika absis titik pusat lingkaran ter-sebut adalah a, maka persamaan garis sing-gung lingkaran yang melalui O adalah.... A. y = − x D. y = −2x 2 B. y = −x a C. y = −ax

E. y = −2ax

6. Persamaan lingkaran yang pusatnya berimpit dengan pusat

x 2 + y2 + 6x − 4y + 11 = 0 dan melalui titik (0,6) adalah.... 0 A. x 2 + y2 + 6x + 4y − 60 = 0 B. x 2 + y2 − 6x + 4y − 50 = 0 C. x 2 + y2 + 6x − 4y − 12 = 0 D. x 2 + y2 − 6x − 4y − 12 = 0 E. x 2 + y2 − 27x − 8y + 12 = 0, 7. Jika titik (a,1) terletak pada lingkaran x 2 + y2 + 4x − 6y − 27 = maka nilai a adalah .... A. -8 atau 4 D. 1 atau 6 B. -6 atau 5 E. 4 atau 5 C. -4 atau 8 8. Persamaan lingkaran dengan ujung diameter A(2,4) dan B(−4,2) adalah.....

10 A. (x − 3)2 + (y − 1)2 = 10 B. (x + 1)2 + (y + 3)2 =

99

10 C. (x − 1)2 + (y + 31)2 = 10 D. (x − 1)2 + (y − 3)2 = 10 E. (x + 1)2 + (y − 3)2 = 0 9. Jari – jari dan titik pusat lingkaran x 2 + y2 − 4x + 10y + 13 = adalah..... A. 2 dan (2, -5) D. 4 dan (-2, 5) B. 2 dan (-2, 5) E. 4 dan (2, -5) C. 2 dan (-2, -5) 10. Soal UAN SMA Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y – 7 = 0 yang tegak lurus garis y = 7 – 2x adalah …. A. 2x – y + 17 = 0 D. x – 2y + 3 = 0 B. 2x – y – 12 = 0 E. x – 2y = 0 C. X – 2y – 3 = 0 11. Persamaan lingkaran yang berjari-berjari 12 dan berpusat di (0,0) mempunyai bentuk…..

12 A. x 2 − y2 =

144 D. x 2 + y2 =

12 B. x 2 + y2 =

24 E. x 2 + y2 =

144 C. x 2 − y2 = 12. Soal UAN SMA Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah adalah….. A. 3 B. 3 C.

13

D. 3 3 E.

37

100

FISIKA

Bab I Mekanika Besaran, Dimensi dan Vektor Gerak Lurus dan Gerak Melingkar Dinamika Gerak Lurus Dinamika Gerak Rotasi Kesetimbangan Benda Tegar Momentum dan Impuls Energi dan Usaha Gravitasi Newton

2

A

BESARAN, DIMENSI DAN VEKTOR

Pertama sebelum mengupas lebih jauh tentang besaran, Dimensi dan Vektor. Kita selami lebih dulu makna dari tiga kata tersebut. Besaran :

Sesuatu yang dapat diukur, dapat dinyatakan dalam bentuk angka dan memiliki satuan (satuan adalah ukuran besar).

Dimensi :

Simbol yang menunjukkan besaran pokok itu terdiri dari besaran pokok apa saja.

Vektor : Besaran yang memiliki nilai dan arah.

1. Besaran dan Dimensi Besaran dibagi menjadi dua macam, yaitu besaran pokok dan turunan. Besaran pokok adalah besaran yang membentuk besaran turunan, karena besaran pokok adalah besaran dasar. Ada tujuh besaran pokok yang ditetapkan oleh dunia sebagai berikut: Besaran

Satuan

Dimensi

Banyak molekul

mole (mol)

N

Panjang

meter (m)

L

Kuat arus

ampere (A)

I

Suhu

kelvin (K)

i

Massa

kilogram (kg)

M

Waktu

sekon (s)

T

Intensitas Cahaya

candela (cd)

J

3

2. Vektor Berdasarkan arahnya besaran juga dibagi menjadi dua, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Jika pada awal sudah kita ketahui bahwa vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, maka skalar hanya memiliki nilai saja tanpa arah. Ketika kita dihadapkan kepada besaran vektor maka kita tidak bisa bebas menjumlahkan atau mengurangkan dengan operasi matematika biasa karena arah juga berpengaruh. Misalkan saja ada dua vektor yang nilainya sama namun berlawanan arah, maka jumlah dari dua vektor tersebut akan bernilai nol. F2 = F

F1 = - F

F1 + F2 = - F + F = 0

Kemudian untuk dua buah vektor yang membentuk sudut tertentu penjumlahan vektornya adalah sebagai berikut:

R

F1 a

b F2

c R = F1 + F2 + 2.F1 .F2 . cos a

Rumus Praktis Maka : R = F1 + F2 Jika : a = 0 o 2 2 Jika : a = 90 o Maka : R = F1 + F2 o Maka : R = F1 - F2 Jika : a = 180

4

Kemudian dari penjumlahan vektor di atas dapat kita buat diagram sederhana berbentuk segitiga tak beraturan sebagai berikut: R

F1 a

c

c

R

(

b F2

b F2

a

F1

Dari bentuk diagram penjumlahan di atas akan kita dapatkan sifat dasar vektor, yaitu: F1 F R = sin2c = sin a sin b

Rumus Praktis Jika : a = 120 o dan F1 = F2 Jika : a = 60 o dan F1 = F2

Maka : R = F1 = F2 Maka : R = F1 3 = F2 3

Telah kita lihat bagaimana penjumlahan vektor, sekarang adalah pengurangan vektor. Sebenarnya pengurangan vektor adalah bentuk penjumlahan vektor dimana salah satu komponen yang dijumlahkan berbalik arah. F2 a F1 R = F2 - F1 = F12 + F22 - 2.F1 .F2 . cos a R

5

Rumus Praktis Maka : R = F1 - F2 Jika : a = 0 o o Maka : R = F12 + F22 Jika : a = 90 o Maka : R = F1 + F2 Jika : a = 180

Vektor dapat diuraikan menjadi komponen-komponennya pada tiap-tiap sumbu koordinat, maksudnya adalah memproyeksikan vektor tersebut pada sumbu-sumbu koordinat. Secara sederhana kita hanya akan memandang dua sumbu pada bidang datar yaitu sumbu X dan sumbu Y sedangkan pada sumbu Z nilai proyeksinya nol.

F

(

F

Fy

Fx = F. cos i Fy = F. sin i

i Fx Dari komponen vektor di atas kita dapat menuliskannya dalam bentuk vektor satuan sebagai berikut, erikut, F = Fx i + Fy j + 0 k Besarnya vektor F di atas adalah sama dengan besarnya penjumlahan vektor komponen vektor tersebut. but. F =

Fx2 + Fy2 + 0 2

6

3. Pengukuran dan Angka Penting Besaran-besaran fisika adalah sesuatu yang dapat diukur. Pada pengukuran sering terjadi kesalahan dalam pembacaan nilai, hal ini biasa disebabkan kesalahan melihat (kesalahan paralaks) kesalahan dalam melihat ukuran karena sudut yang tidak tepat saat melihat. Pada pengukuran kita akan mengerti tentang angka penting. Angka penting adalah angka yang didapat pada pengukuran, jika sebuah angka tidak didapat dari pengukuran maka bukan angka penting. Berikut adalah sifat-sifat angka penting: 1. 2.

3.

Angka yang diperoleh dari hasil pengukuran. Semua angka yang bukan nol adalah angka penting. Contohnya 27000 maka terdiri dari dua angka penting, 2 dan 7 adalah angka penting. Semua angka nol disebelah kanan angka bukan nol pada desimal adalah angka penting. Contohnya 0,00880 maka terdiri dari tiga angka penting, 8 dan 0 adalah angka penting.

Pada operasi matematika antara angka penting, maka hasilnya akan memiliki banyak angka penting yang sama dengan salah satu angka penting yang dioperasikan dan yang paling sedikit jumlah angka pentingnya. Contohnya sebagai berikut: 2,345 # 1,2 = 2, 814 . 2, 8 Pada perkalian di atas dibulatkan menjadi dua angka penting karena 1,2 memiliki dua angka penting. Berikut adalah hukum pembulatan : p 1. 2. 3.

Semua angka yang berakhiran di atas angka 5 dibulatkan ke atas. Semua angka yang berakhiran di bawah angka 5 dibulatkan ke bawah. Semua angka yang berakhiran 5, maka akan dibulatkan ke atas jika angka sebelumnya ganjil, dan sebaliknya.

7

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Pasangan besaran di bawah ini yang memiliki dimensi berbeda adalah ... 1. 2. 3. 4.

energi dan usaha gaya dan kecepatan gaya dan laju energi percepatan dan kecepatan

A. 1 saja B. 1 dan 2 C. 2 dan 3

D. 3 dan 4 E. 4 saja Jawaban: A

Cara Cepat! satuan^samah = dimensi^samah Dari semua besaran-besaran di atas yang memiliki satuan sama adalah energi dan usaha, yaitu joule. ---------------------------------------------------------2. (UNAS) Dimensi dari momentum adalah ... A. M.L.T- 2 D. M.L- 1 .T- 2 -1 B. M.L.T E. M.L.T C. M.L2 .T- 2 Jawaban: B

Cara Cepat! rumus ( satuan ( dimensi p = m.v ( kg.m/s ( M.L.T- 1

8

3.

Catatan

(UNAS) hasil pengukuran panjang dan lebar suatu lantai adalah 12,61 meter dan 5,2 meter. Menurut aturan angka penting, luas lantai tersebut adalah ... A. 65 cm2 B. 66 cm2 C. 65,5 cm2

D. 65,57 cm2 E. 65,572 cm2 Jawaban: B

Cara Cepat! n A = nR nA adalah angka penting terkecil dan nR adalah angka penting hasil. Pada soal angka penting terkecil adalah 5,2 berarti nA = 2 . Maka jawaban yang benar adalah B (dengan pembulatan ke atas). ---------------------------------------------------------4. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Pada saat hari raya idul fitri akan dibagikan beras sebesar 2,5 kg kepada 7 orang dhuafa (orang-orang miskin). Maka banyak beras yang akan dikeluarkan adalah ... A. 4 N B. 8 N C. 15 N

D. 18 N E. 20 N Jawaban: D

Cara Cepat! Kenali pengukuran 7 orang (bukan angka penting) karena didapat bukan berasal dari pengukuran, sehingga angka penting hanya 2,5 kg (dua angka penting). Banyak = 7 # 2,5 = 17, 5 . 18

9

---------------------------------------------------------5. (BANK SOAL PENULIS) Energi mekanik sebuah bola pejal menggelinding dinyatakan dengan persamaan E = A + B.v 2 + C.~2 . Dengan E adalah energi, v adalah kecepatan linier dan ~ adalah kecepatan sudut. Maka dimensi dari ^ A # Bh /C adalah ... A. B. C.

L .T M. L . T L . T- 2

D. E.

M . L . T- 2 M.L- 2 .T- 2 Jawaban: A

Cara Cepat! Temukan dimensinya dan masukkan E ( dimensi ( M.L2 .T- 2 A ( dimensi ( M.L2 .T- 2 B ( dimensi ( M C ( dimensi ( M.L2 A # B ^M.L .T h^Mh C = M.L2 = M.T- 2 ---------------------------------------------------------6. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Dua buah gaya saling berlawanan satu sama lain. Masing-masing besarnya adalah 12 N dan 5 N, maka resultan gaya dari sistem tersebut adalah ... 2

A. 3 N B. 7 N C. 11 N

-2

D. 13 N E. 15 N Jawaban: B

10

Catatan

Cara Cepat! Catatan

a = berlawanan = 180 0 R = F1 - F2 R = F1 - F2 = 12 - 5 = 7 N Jadi resultannya adalah 13 N. ---------------------------------------------------------7. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Dua buah gaya saling tegak lurus satu sama lain. Masing-masing besarnya 12 N dan 5 N, maka resultan gayanya adalah ... A. 4 N D. 13 N B. 8 N E. 15 N C. 12 N Jawaban: D

Cara Cepat! a = tegak lurus = 90 0 R=

F12 + F22

R = 12 2 + 5 2 = 13 N ---------------------------------------------------------8. (SPMB) Dua buah vektor besarnya sama, satu sama lain saling membentuk sudut a. Jika perbandingan resultan dan selisih kedua vektor adalah 3 , tentukan nilai a tersebut adalah ... A. 30o B. 37o C. 45o

D. 53o E. 60o Jawaban: E

11

Cara Cepat! Catatan

a = cos- 1 c

c2 - 1 m c2 + 1 c = F1 + F2 F1 - F2

c = F1 - F2 = 3 F1 + F2 c2 - 1 -1 a = cos c 2 m c +1 3-1 2 = cos- 1 ` 3 1 j = cos- 1 ` 4 j + 1 = cos- 1 ` 2 j = 60 o Maka jawabannya 60o. ---------------------------------------------------------9. (BANK SOAL PENULIS) Perhatikan gambar berikut: y 7N 60 o 3, 5 N

x

Maka resultan gaya adalah ... A. 0,00 N D. 8,30 N B. 6,06 N E. 10,0 N C. 7,00 N Jawaban: B

Cara Cepat! besar sama dan arahberlawanan

Hapus gaya = *

12

Proyeksi sumbu x:

Catatan

FX = - 3,5 + 7. cos 60 o = - 3,5 + 3,5 = 0 Proyeksi sumbu y: FY = 7. sin 60 o = 6,06 N Maka resultannya adalah, FX2 + FY2 = 0 2 + 6, 06 = 6,06 N ---------------------------------------------------------10. (BANK SOAL PENULIS) Dua buah gaya yang sejenis berada pada titik tangkap yang sama yaitu F. Resultan gaya yang mungkin untuk dua gaya tersebut adalah, kecuali ... R=

A. 0 B. 0,5 F C. F

D. 2 F E. 2,5 F Jawaban: E

Cara Cepat! F2 - F1 G resultan G F2 + F1 F-F G R G F+F 0 G R G 2F Jadi jawabannya adalah E.

13

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (SIPENMARU) Besaran di bawah ini yang bukan besaran turunan adalah ... A. momentum D. massa B. kecepatan E. volume C. gaya 2.

(BANK SOAL PENULIS) Momentum sudut merupakan salah satu dari besaran ... A. B. C. D. E.

3.

(SIPENMARU) m2.kg/s merupakan satuan dari besaran A. B. C. D. E.

4.

skalar turunan pokok berdimensi tunggal tak berdimensi

momen gaya energi daya momen kelembaman momentum sudut

(UNAS) Berikut yang merupakan besaran turunan ... A. massa, panjang, waktu, dan arus listrik. B. intensitas cahaya, gaya, jumlah molekul, energi, dan massa jenis. C. suhu, arus listrik, tekanan, volume, dan usaha.

14

Catatan

D. momentum, daya, tegangan, dan kalor jenis. E. luas, kalor, muatan listrik, arus listrik, dan jumlah molekul.

Catatan

5.

(BANK SOAL PENULIS) Energi ikat pada sebuah kulit atom memiliki satuan joule, jika kita nyatakan menjadi SI maka sama dengan ... A. m2/kg.s B. kg.m2/s2 C. kg.m/s2

6.

D. kg/m.s2 E. kg.m2.s

(BANK SOAL PENULIS) M.L2 .T- 3 adalah dimensi untuk besaran A. gaya D. energi kinetik B. daya E. momen gaya C. momentum

7.

(UNAS) Besaran yang berdimensi sama dengan dimensi energi potensial adalah ... A. usaha B. daya C. gaya

8.

D. kecepatan E. percepatan

(SPMB) Sebuah kawat lurus dan panjang dipanasi pada salah satu ujungnya. Ternyata, temperatur titik-titik pada kawat itu (dalam oC) bergantung pada jarak dari ujung yang dipanasi menurut persamaan: T = To ` a + b.x 2j x

15

dengan x adalah jarak titik yang ditinjau dari ujung yang dipanasi (dalam meter), To , a, dan b adalah tetapan-tetapan. Satuan untuk To , a, dan b berturutturut adalah ... A. .oC, meter, dan meter-2. B. .oC.meter, tak bersatuan dan meter-2. C. .oC.meter-1, meter2 dan meter-1. D. .oC.meter, meter2 dan meter2. E. .oC, meter-1 dan meter-2. 9.

(BANK SOAL PENULIS) Tiga buah gaya yang memiliki besar sama saling membentuk sudut tertentu. Jika resultan gaya pada sistem tersebut sama dengan nol, maka sudut yang dibentuk oleh dua gaya yang berdekatan adalah ... A. 120o B. 60o C. 0o

D. E.

240o 90o

10. (SPMB) Dua buah gaya besarnya sama yaitu 20 N, saling membentuk sudut 120o. Besarnya resultan gaya sistem tersebut adalah ... A. 15 N B. 20 N C. 10 3 N

D. E.

26 N 25 N

11. (SPMB) Dua buah gaya saling membentuk sudut 83o, jika resultan gaya membentuk sudut 53o terhadap gaya 10 N, maka besarnya gaya yang lain adalah ...

16

Catatan

Catatan

A. 5 N B. 10 N C. 10 3 N

D. E.

16 N 15 N

12. (SPMB) Dua buah gaya besarnya masing-masing 4 N dan 3 N, maka resultan gaya yang mungkin adalah ... A. 0,25 N B. 2,25 N C. 7,01 N

D. 8,25 N E. 10,2 N

13. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah truk dengan massa M bergerak lurus berubah beraturan dengan percepatan a. Di dalam truk terdapat bandul yang awalnya dia, setelah truk bergerak dia membentuk sudut terhadap garis vertikal sebesar a, besar sudut tersebut adalah ... A. B. C. D. E.

a = sin- 1 â/gh a = cos- 1 â/gh a = tan- 1 â/gh a = sin- 1 â/Mh a = tan- 1 â/Mh

14. (BANK SOAL PENULIS) Tiga buah gaya yang memiliki besar sama (10 3 N) saling tegak lurus satu sama lain, maka resultan gaya sistem tersebut adalah ... A. 10 N B. 15 N C. 10 3 N

17

D. 10 6 N E. 30 N

B

GERAK LURUS DAN GERAK MELINGKAR

Gerak lurus secara sederhana adalah gerak yang lintasannya berupa garis lurus. Sedangkan gerak melingkar adalah gerak yang lintasannya berupa lingkaran.

1. Gerak Lurus Gerak lurus akan dibagi menjadi dua yaitu gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Pengertiannya adalah sebagai berikut:

a. Gerak Lurus Beraturan (GLB) Gerak lurus beraturan adalah gerak dimana kecepatan selalu tetap atau tidak memiliki percepatan. Ciri-ciri, rumus, dan grafik gerak tersebut sebagai berikut: • •

Ciri-ciri GLB : a = 0 ( v = tetap Rumus GLB : s = v.t v

s

vo

v = tan i

s = luas i t

t

b. Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) Gerak lurus berubah beraturan adalah gerak dimana percepatan selalu tetap atau kecepatannya berubah-ubah. Ciri-ciri, rumus, dan grafik gerak tersebut sebagai berikut:

18

Ciri-ciri GLBB : a ! 0 ( v = berubah - ubah Rumus GLBB : v = vo + a.t v 2 = vo2 + 2.a.s s = vo .t + 1 a.t 2 2 v

s

v

vo s = parabola

s = luas

t

t

Salah satu GLBB yang dapat kita temui dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak benda jatuh bebas dan gerak benda dilempar ke atas atau ke bawah. Gerak jatuh bebas dengan gerak dilempar memiliki perbedaan pada kecepatan awalnya. Gerak Jatuh bebas terjadi saat benda jatuh bebas begitu saja tanpa kecepatan awal. Oleh karena adanya percepatan gravitasi yang arahnya ke bawah, akhirnya benda tersebut memiliki kecepatan. h = 1 g.t 2 ( t = 2 v = g.t

2h g

(t=v g

4

v g=

2h ( v = g

2gh

Gerak dilempar terjadi saat benda sengaja dilempar dengan kecepatan awal. Ada dua cara saat melempar, yang pertama adalah dilempar ke bawah sehingga dipercepat oleh percepatan gravitasi, sedangkan yang kedua adalah dilempar ke atas melawan gravitasi. _ b b v 2 = vo2 ! 2.g.h ` '+ ke bawah - ke atas b h = vo .t ! 1 g.t 2b 2 a v = vo ! g.t

19

Setelah kita ketahui macam-macam gerak lurus kita akan mempelajari bagaimana jika dua gerak saling dipadukan. Pertama adalah perpaduan antara GLB dengan GLB, yang kedua perpaduan antara GLB dengan GLBB. Perpaduan GLB dengan GLB contohnya adalah gerak perahu yang tegak lurus dengan gerak arus sungai. Pada gerak ini perahu akan mengalami penyimpangan gerak sesuai dengan gerak perpaduan. Perpaduan GLB dengan GLBB contohnya adalah gerak parabola yaitu gerak benda dilempar ke atas dengan sudut tertentu. Ilustrasi geraknya sebagai berikut: vy = 0 vx h

v

vy a

vx

s

Pada titik terendah kecepatan arah vertikal berada pada nilai maksimum, pada titik tertinggi kecepatan vertikal sama dengan nol. Sedangkan kecepatan horizontal akan selalu tetap nilainya. Sumbu vertikal

Sumbu horizontal

vy = v. sin a - g.t s = v. sin a.t - 1 g.t 2

vx = v. cos a s = v. cos a.t

20

Rumus Praktis Waktu ke titik tinggi

t = vo . sin a = g

Waktu ke jarak terjauh

t' = 2vo . sin a = g

Ketinngian maksimum

2 2 h = vo . sin a 2g

Jarak horizontal terjauh

2 s = vo . sin 2a 2g

2h g 8h g

Kemudian apabila kita tinjau energi potensial dan energi kinetik pada gerak parabola, maka kita akan peroleh hubungan sebagai berikut:

Rumus Praktis E = E p + Ek Ep sin 2 a = E

E = E p + Ek cos 2 a = Ek E

Dari sekian fenomena gerak parabola, yang sering kita temui pada soal adalah gerak parabola sebagian. Ilustrasinya bisa berupa benda bergerak horizontal pada mulut meja dan akhirnya terjatuh hingga ke permukaan lantai dengan lintasan melengkung.

21

vy = 0

vx

h

s Karena pada saat benda tepat meluncur hanya ada gerak horizontal, sedangkan kecepatan arah vertikal sama dengan nol, maka berdasarkan arah vertikal bola seperti jatuh bebas. Sedangkan pada arah horizontal benda seakan melakukan GLB.

Rumus Praktis Waktu untuk benda jatuh bebas

t=

Jarak horizontal terjauh dari mulut meja

s = vx t = vx

2h g 2h g

2. Gerak Melingkar Gerak melingkar terbagi menjadi dua, sama halnya dengan gerak lurus gerak melingkar juga ada gerak melingkar beraturan (GMB) dan gerak melingkar tak beraturan (GMBB). Letak persamaan gerak lurus dan gerak melingkar adalah, Gerak Lurus

Gerak Melingkar

Hubungan

s = jarak v = kecepatan a = percepatan

i = jarak sudut ~ = kecepatan sudut a = percepatan sudut

s = i.r v = ~.r a = a.r

22

a. Gerak Melingkar Beraturan (GMB) Gerak melingkar beraturan (GMB) memiliki kecepatan sudut tetap. Ciriciri dan rumus gerak tersebut sebagai berikut: Ciri-ciri GMB : a = 0 ( ~ = tetap Rumus GMB : i = ~.t Contoh GMB dalam kehidupan sehari-hari adalah gaya sentripetal. Gaya sentripetal adalah gaya fiktif yang muncul begitu ada gerak melingkar yang arahnya menuju pusat lingkaran. Begitu gerak melingkar gaya ini pun akan segera menghilang secara simultan. Rumus gaya sentripetal sebagai berikut:: 2

F = mv r

atau F = m.~2 .r

Rumus Praktis Tegangan tali di titik terendah, benda diputar vertikal dengan tali

T = F+w

Tegangan tali di titik terendah, benda diputar vertikal dengan tali

T = F-w

= m.~2 .r + m.g

= m.~2 .r - m.g

F T = F+w

T w

w

T

T = F-w

T = F - w. cos a a

T w

F

23

F

b. Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) Gerak melingkar berubah beraturan memiliki kecepatan sudut berubahubah. Ciri-ciri dan rumus gerak tersebut sebagai berikut: Ciri-ciri GMBB : a ! 0 ( ~ = berubah - ubah Rumus GMBB : ~ = ~o + a.t ~2 = ~o2 + 2.a.i i = ~o .t + 1 a.t 2 2 Ada beberapa kasus yang biasa kita temukan pada soal, kasus-kasus itu antara lain sebagai berikut: Sebuah benda berjalan melewati lintasan berupa lingkaran vertikal, maka nilai kecepatan minimal benda tersebut agar dapat menempuh satu lintasan penuh atau paling tidak tepat akan jatuh.

Rumus Praktis v1 =

v1 Benda dapat menempuh lintasan penuh

24

5.g.r

Dengan r adalah jarijari lintasan lingkaran tersebut

v2 = g.r

v2

Dengan r adalah jarijari lintasan lingkaran tersebut

Benda tepat akan jatuh di puncak lintasan

Sebuah benda melewati sebuah tikungan yang sengaja dibuat miring atau tidak dan memiliki gesekan tertentu atau licin. Maka kecepatan minimum benda agar tidak slip.

Rumus Praktis v= n Jalan yang kasar dan tidak miring

licin

n.g.r

n adalah koefisien gesekan

v = tan a.g.r a adalah sudut yang dibentuk jalan

a Jalan yang licin dan miring

25

Rumus Praktis v=

n

g.r c

n + tan a 1 - n. tan a m

a

Kondisi terakhir pada rumus praktis di atas bersifat universal, sehingga rumus praktis pertama dan kedua bisa di dapat darinya. Rumus praktis pertama saat a = 0 o dan koefisien gesekan bukan nol. Sedangkan rumus praktis kedua saat gesekan n = 0 dan sudut bukan nol.

26

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah sepeda motor dengan kecepatan 36 km/jam lalu direm mendadak sehingga terbentuk bekas di jalan sepanjang 40 m. Dibutuhkan waktu berapa lama dari pengereman hingga berhenti ... A. 1 sekon B. 3 sekon C. 4 sekon

D. 8 sekon E. 9 sekon Jawaban: D

Cara Cepat! t = 2.s v0 + vt Kecepatan akhir sepeda motor adalah nol (berhenti). Kemudian ubah dulu 36 km/jam = 10 m/s maka waktu yang dibutuhkan: t = 2.s = 2.40 = 8 s v0 + vt 10 + 0 ---------------------------------------------------------2. (UM UGM) Sebuah mobil bergerak lurus dipercepat dari keadaan diam dengan percepatan 5 m/s2. Mobil tersebut kemudian bergerak dengan kecepatan konstan. Setelah beberapa saat mobil mulai diperlambat 5 m/s2 hingga berhenti. Bila kecepatan rata-rata mobil adalah 20 m/s dan waktu total untuk bergerak 25 sekon,

27

maka mobil melaju dengan kecepatan konstan selama ... A. 20 sekon D. 10 sekon B. 18 sekon E. 5 sekon C. 15 sekon Jawaban: C

Cara Cepat! t= t= =

a.T 2 - 4.vrat .T a

a.T 2 - 4.vrat .T a 5.25 2 - 4.20.25 = 15 5

---------------------------------------------------------3. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah truk mula-mula pada keadaan diam, lalu dia dihidupkan dengan percepatan tetap sebesar 2 m/s2. Setelah truk bergerak selama 10 s mesinnya dimatikan, truk mengalami perlambatan tetap 2 m/s2 dan truk berhenti hingga 10 s kemudian. Jarak total yang ditempuh truk adalah... A. 5 meter D. 150 meter B. 20 meter E. 200 meter C. 100 meter Jawaban: E

Cara Cepat! s=

a.^t1 + t2h2 4

a.^t1 + t2h2 4 2.^10 + 10h2 = = 200 m 4

s=

28

Catatan

4.

Catatan

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Dua buah bola dilempar ke atas secara bersamaan. Jika kecepatan bola pertama adalah 20 m/s dan kecepatan bola kedua adalah 10 m/s, maka selisih jarak tertinggi mereka adalah ... A. 1 meter B. 2 meter C. 10 meter

D. 15 meter E. 20 meter Jawaban: D

Cara Cepat! 2 2 Dh = v1 - v2 2g

2 2 Dh = 20 - 10 = 15 m 2.10

---------------------------------------------------------5. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah batu 8 kg dilemparkan ke atas dengan sudut 30o dan dengan kecepatan awal 10 m/s. Energi kinetik benda saat di titik tertinggi adalah ... A. 100 J B. 200 J C. 300 J

D. 400 J E. 500 J Jawaban: C

Cara Cepat! EK = EM . cos 2 a EK = ` 1 m.v 2j . cos 2 a 2 1 = ` 2 8.10 2j . cos 2 30 o = 300 J

29

6.

(SPMB) Sebuah benda bermassa 1 kg bergerak dalam silinder yang berotasi dengan kecepatan tertentu. Jika koefisien gesekan tong adalah 0,4 dan diameter tong 2 meter, maka kecepatan linier rotasi tong agar benda tidak slip adalah ... A. 2 m/s B. 4 m/s C. 5 m/s

D. 7 m/s E. 8 m/s Jawaban: C

Cara Cepat! v=

g.D 2n

10.2 2.0, 4 = 25 = 5 m/s ---------------------------------------------------------7. (BANK SOAL PENULIS) Mobil bergerak dalam tikungan yang miring 45o berjari-jari 40 m, maka kecepatan maksimum agar tidak slip adalah ... A. 5 m/s D. 25 m/s B. 10 m/s E. 30 m/s C. 20 m/s Jawaban: E v=

Cara Cepat! v = g.R. tan a v = 10.40.1 = 20 m/s

30

Catatan

Catatan

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah sepeda motor dengan kecepatan 72 km/jam lalu direm mendadak sehingga terbentuk bekas di jalan sepanjang 80 m. Dibutuhkan waktu berapa lama dari pengereman hingga berhenti.... A. 1 sekon D. 8 sekon B. 3 sekon E. 9 sekon C. 4 sekon ---------------------------------------------------------2. (UM UGM) Sebuah mobil bergerak lurus dipercepat dari keadaan diam dengan percepatan 10 m/s2. Mobil tersebut kemudian bergerak dengan kecepatan konstan. Setelah beberapa saat mobil mulai diperlambat 10 m/s2 hingga berhenti. Bila kecepatan rata-rata mobil adalah 40 m/s dan waktu total untuk bergerak 25 sekon, maka mobil malaju dengan kecepatan konstan selama ... A. 20 sekon D. 10 sekon B. 18 sekon E. 5 sekon C. 15 sekon ---------------------------------------------------------3. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah truk mula-mula pada keadaan diam, lalu dia dihidupkan dengan percepatan tetap sebesar 5 m/s2. Setelah truk bergerak selama 20 s mesinnya dimatikan, truk mengalami perlambatan tetap 5 m/s2 dan truk berhenti hingga 20 s kemudian. Jarak total yang ditempuh truk adalah...

31

A. 50 meter D. 1500 meter B. 200 meter E. 2000 meter C. 1000 meter ---------------------------------------------------------4. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Dua buah bola dilempar ke atas secara bersamaan. Jika kecepatan bola pertama adalah 15 m/s dan kecepatan bola kedua adalah 5 m/s, maka selisih jarak tertinggi mereka adalah ... A. 1 meter D. 15 meter B. 2 meter E. 20 meter C. 10 meter ---------------------------------------------------------5. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah batu 4 kg dilemparkan ke atas dengan sudut 45o dan dengan kecepatan awal 15 m/s. Energi kinetik benda saat di titik tertinggi adalah ... A. 125 J D. 425 J B. 225 J E. 525 J C. 325 J ---------------------------------------------------------6. (BANK SOAL PENULIS) Mobil bergerak dalam tikungan yang miring 30o berjari-jari 25 m, maka kecepatan maksimum agar tidak slip adalah ... A. 5 m/s B. 12 m/s C. 20 m/s

D. 25 m/s E. 30 m/s

32

Catatan

C

DINAMIKA GERAK LURUS

Dinamika gerak lurus akan mempelajari tentang sejarah terbentuknya gerak. Jika suatu benda diam dan kemudian dia bergerak, maka ada sesuatu yang telah membuatnya bergerak. Secara fisis gaya adalah penyebab gerak. Gaya : Besaran vektor yang berupa tarikan atau dorongan.

1. Hukum Newton Hukum Newton adalah hukum yang menjelaskan tentang gaya dan gerak jika dipandang dari sudut pandang fisika klasik. Ada tiga hukum yang dipublikasikan, antara lain: 1. Hukum I Newton Hukum I Newton atau biasa ^mungkin diamh disebut hukum kelembaman F 0 / = menjelaskan bahwa sebuah * benda akan cenderung diam ^mungkin GLBh atau bergerak dengan kecepatan tetap jika tidak ada gaya luar yang berpengaruh. 2.

Hukum II Newton Hukum II Newton menyatakan bahwa percepatan merupakan manifestasi dari total gaya persatuan massa sistem.

33

a=

/ F ( GLBB m

3.

Hukum III Newton Hukum III Newton menyatakan bahwa akan ada gaya yang melawan atas gaya yang kita berikan pada suatu benda yang masif, dimana besar gaya yang melawan itu sama dengan gaya yang diberikan. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal gaya normal.

/F

aksi

= -/ Freaksi ( N = Freaksi = gaya normal

b. Gaya Gesek Gaya normal adalah gaya yang tegak lurus terhadap bidang permukaan atau sejajar vektor luas. Sedangkan gaya gesek adalah bentuk perkalian antara gaya normal dengan koefisien gesekan.

Fg = n.N

^ ns = statish

*

^ nk = kinetish

Gaya gesek ada dua, yaitu: Statis : Gaya gesek statis adalah gaya gesek maksimal sesaat sebelum benda itu bergerak Kinetis : Gaya gesek kinetis adalah gaya gesek saat benda bergerak

34

Rumus Praktis Berikut ini akan kita rumuskan secara praktis bagaimana menentukan gaya gesek pada sebuah benda yang belum kita ketahui dia sudah bergerak atau belum bergerak (diam). 1. 2.

F Fg = n.N

Benda di atas belum 3. dapat kita ketahui apakah bergerak atau tidak.

Tentukan nilai gaya gesek statisnya ns .N . Bendingkan gaya gesek statis dengan gaya yang berkerja, Jika ns .N 2 F ( benda diam Jika ns .N 2 F ( benda bergerak Setelah dapat maka gaya geseknya: Jika diam ( Fg = F Jika bergerak ( Fg = nk .N

“Chase Exellence, Success will follow“

35

Contoh Soal : Catatan -----------------------------------------------------------1. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah mobil terbuka bagian belakangnya membawa sebuah kotak kayu yang kasar (koefisien kekasaran 0,8). Maka percepatan maksimum mobil agar kayu tidak slip ... D. 8,00 m/s2 A. 0,00 m/s2 2 B. 0,25 m/s E. 9,00 m/s2 2 C. 7,05 m/s Jawaban : D

Cara Cepat! aMax = n.g aMax = 0,8.10 = 8 m/s 2 Jadi jawabannya adalah 8 m/s2. -----------------------------------------------------------2. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah benda bermassa m didorong oleh seorang anak akan memiliki percepatan sebesar 2a, jika anak tersebut mendorong benda M dengan gaya yang sama maka benda akan dipercepat a. Dengan demikian jika dua benda disatukan, maka percepatan keduanya saat didorong dengan gaya yang sama adalah ... A. 2a/3 D. 3a/2 B. a/3 E. a C. 3a Jawaban : A

36

Cara Cepat! Catatan

aT = a1 .a2 a1 + a2 aT = 2a.a = 2a 2a + a 3 ---------------------------------------------------------3. (BANK SOAL PENULIS) Thomas Alfa Edison bermassa 25 kg, dia bersama ayahnya yang bermassa 60 kg berada di atas lift sebuah maal terkenal di Jakarta. Jika lift bergerak ke atas dengan percepatan 3 m/s2, maka gaya yang bekerja pada lantai lift adalah ... A. 5275 N B. 4275 N C. 3275 N

D. 2275 N E. 1275 N Jawaban : E

Cara Cepat! F = ^m1 + m2h^g + ah F = ^25 + 60h^10 + 3h = 85.13 = 1275 N 4.

(PREDIKSI UNAS PENULIS) 5 kg balok es bergerak mendatar pada sebuah permukaan yang kasar. Jika pada awalnya dapat bergerak dengan kecepatan 8 m/s, hingga dia akhirnya berhenti setelah menempuh jarak sejauh 10 meter. Maka gaya gesek yang dirasakan oleh balok es tersebut adalah A. 5 N D. 16 N B. 13 N E. 20 N C. 15 N Jawaban : D

37

Cara Cepat! Catatan

2 f=m v 2.s

2 f = 5. 8 = 16 N 2.10

---------------------------------------------------------5. (BANK SOAL PENULIS) Besarnya gaya kontak pada sistem di bawah ini adalah ... 10 N 8 kg

A. 2 N B. 5 N C. 10 N

2 kg

D. 30 N E. 40 N Jawaban : A

Cara Cepat! N = F#

m* m+m*

2 8+2 2 = 10 # 10 = 2 N

N = 10 #

---------------------------------------------------------6. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah katol di sebelah kiri dan kanan terdapat dua balok masing-masing bermassa 4 kg dan 3 kg. Jika katrol berputar ke arah balok yang besar, maka percepatan putaran katrol adalah ... (massa katrol dianggap nol)

38

Catatan

A. 10/3 m/s2 B. 7/10 m/s2 C. 3/10 m/s2

D. 10/7 m/s2 E. 7/3 m/s2 Jawaban : D

Cara Cepat! a = Dm g /m a = m2 - m1 g m2 + m1 4-3 10 = 4 + 3 .10 = 7 m/s 2 ---------------------------------------------------------7. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah balok berada pada bidang miring yang memiliki kemiringan 30o, maka besarnya koefisien gesekan balok dan bidang miring agar balok tidak slip adalah ... A. 0,25 B. 0,45 C. 0,58

D. 0,98 E. 1,24 Jawaban : C

Cara Cepat! n = tan a n = tan 30 o =

39

1/2 sin 30 o 3 = = 3 = 0, 58 cos 30 o 3 /2

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah mobil terbuka bagian belakangnya membawa sebuah kotak kayu yang kasar (koefisien kekasaran 0,4). Maka percepatan maksimum mobil agar kayu tidak slip ... A. 0,00 m/s2 B. 0,25 m/s2 C. 3,92 m/s2 2.

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah benda bermassa 2m didorong oleh seorang anak akan memiliki percepatan sebesar 3a, jika anak tersebut mendorong benda 4M dengan gaya yang sama maka benda akan dipercepat 2a. Dengan demikian jika dua benda disatukan, maka percepatan keduanya saat didorong dengan gaya yang sama adalah ... A. B. C.

3.

D. 8,00 m/s2 E. 9,00 m/s2

6a/5 a/3 3a

D. E.

5a/6 a

(BANK SOAL PENULIS) Thomas Alfa Edison bermassa 45 kg, dia bersama ayahnya yang bermassa 70 kg berada di atas lift sebuah maal terkenal di Jakarta. Jika lift bergerak ke atas dengan percepatan 2 m/s2, maka gaya yang bekerja pada lantai lift adalah ... A. 5380 N B. 4380 N C. 3380 N

D. 2380 N E. 1380 N

40

Catatan

4.

Catatan

(PREDIKSI UNAS PENULIS) 10 kg balok es bergerak mendatar pada sebuah permukaan yang kasar. Jika pada awalnya dapat bergerak dengan kecepatan 5 m/s, hingga dia akhirnya berhenti setelah menempuh jarak sejauh 5 meter. Maka gaya gesek yang dirasakan oleh balok es tersebut adalah ... A. 15 N B. 23 N C. 25 N

5.

D. 26 N E. 20 N

(BANK SOAL PENULIS) Besarnya gaya kontak pada sistem di bawah ini adalah ... 15 N 8 kg

A. 2 N B. 7 N C. 10 N 6.

7 kg

D. 30 N E. 40 N

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah katol di sebelah kiri dan kanan terdapat dua balok masing-masing bermassa 8 kg dan 2 kg. Jika katrol berputar ke arah balok yang besar, maka percepatan putaran katrol adalah ... (massa katrol dianggap nol) A. 3 m/s2 B. 4 m/s2 C. 5 m/s

41

D. E.

6 m/s2 7 m/s2

D

DINAMIKA GERAK ROTASI

Dinamika gerak rotasi adalah kelanjutan dari gerak melingkar, di mana dinamika akan lebih menekankan pada bagaimana sebuah benda bergerak melingkar. Pada dinamika rotasi kita akan mengenal istilah momen gaya atau torsi.

1. Momen Gaya (Torsi) Momen gaya merupakan besaran yang digunakan untuk menentukan apakah sebuah sistem berotasi atau tidak. Jika nilai momen gaya sama dengan nol, maka benda tak berotasi. Sedangkan jika bukan nol, maka benda dalam keadaan berotasi. Momen Gaya : Momen gaya sama dengan gaya dikalikan dengan (Torsi) jari-jari lintasan melingkar dari gerak rotasi.

x = F. sin a.d

F a

Gaya harus tegak lurus dengan d karena itu dikalikan dengan sin a

d

42

2. Momen Inersia Momen inersia adalah besaran yang menunjukkan adanya perubahan pemusatan massa atau berat sebuah benda akibat dari rotasinya terhadap sumbu putar tertentu. Secara sederhana momen inersia dirumuskan sebagai berikut: I=

# r .dm = / m .r = k.m.r 2

i

2 i

2

Dengan k adalah konstanta momen inersia. Setiap benda dengan bentuk geometri yang berbeda dan sumbu putar yang berbeda akan memiliki konstanta momen inersia yang berbeda-beda. Berikut adalah momen inersia berdasarkan beberapa bentuk benda yang umum pada kehidupan kita sehari-hari: Bentuk benda

Momen inersia

Koefisien

I = 2 m.r 2 5

k= 2 5

r

Bola pejal r

I = 2 m.r 2 3

k= 2 3

Bola berongga I = 1 m.r 2 2

r

k= 1 2

Silinder pejal I = m.r 2

r

Silinder berongga

43

k=1

I = 1 m.L2 3

L

k= 1 3

Batang poros pinggir

1

2

L

1

2

L

I = 1 m.r 2 12

k= 1 12

Batang poros tengah

Hubungan antara momen inersia dengan momen gaya dinyatakan oleh rumus sebagai berikut: x = I.a ( a = a = percepatan sudut r Persamaan ini umum dipakai pada benda yang sedang berotasi.

3. Momentum Sudut Momentum sudut adalah bentuk perkalian momen inersia dengan kecepatan sudut rotasi. L = I.~ ( ~ = v = kecepatan sudut r Jika momen gaya luar sama dengan nol, maka akan berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Kekekalan : momentum sudut

Total momentum sudut awal dan total momentum sudut akhir selalu bernilai tetap (L1 = L2 ).

44

Rumus Praktis Sebuah benda mengalami I1 .~1 = I2 .~2 atau perubahan momen inersia I1 .~1 + I3 .~3 = I2 .~2 + I4 .~4 dan kecepatan sudut berubah

4. Energi Kinetik Rotasi Energi kinetik rotasi adalah energi gerak benda saat dia berotasi. Secara sederhana energi kinetik rotasi dirumuskan sebagai berikut: EKR = 1 I.~2 = 1 k.m.v 2 2 2

Rumus Praktis Kecepatan saat di bawah h

v

45

v=

2.g.h 1+k

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah batang berputar pada porosnya (ditepi batang) dengan kecepatan sudut awal 20 rad/s. Jika massa batang adalah 12 kg dan panjang batang 1 m, maka besarnya torsi yang dirasakan batang pada saat 100 rad dan pada saat itu kecepatannya menjadi 60 rad/s2 adalah A. 4 Nm B. 32 Nm C. 16 Nm

D. 64 Nm E. 128 Nm Jawaban : D

Cara Cepat! 2 2 x = 1 M.L2 . c ~2 - ~1 m 3 2.i 2 2 x = 1 12.1 2 . c 60 - 20 m 3 2.100 = 4.16 = 64 Nm

---------------------------------------------------------2. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah katrol bermassa 4 kg, di sebelah kiri dan kanannya terdapat balok bermassa 4 kg dan 2 kg. Jika katrol bergerak ke arah balok yang lebih berat, maka percepatan katrol tersebut adalah A. 2,5 m/s2 B. 3,5 m/s2 C. 4,5 m/s2

D. 5,5 m/s2 E. 6,5 m/s2 Jawaban : A

46

Cara Cepat!

Catatan

a=

Dm

/ m + 21 m

.g

K

m2 - m1 .g m2 + m1 + 1 mK 2 4 - 2 .10 2, 5 m/s 2 = = 4 + 2 + 1 .4 2 ---------------------------------------------------------3. (SOAL KONTES FISIKA) Sebuah bola pejal dengan massa 8 kg dan jari-jari 2/7 cm menggelinding pada bidang miring dengan kemiringan 30o akibat dari gaya gravitasi. Maka percepatan sudut silinder tersebut adalah . a=

A. 62,5 rad/s2 D. 25,0 rad/s2 B. 50,0 rad/s2 E. 12,5 rad/s2 C. 37,5 rad/s2 Jawaban : E Cara Cepat! a=

g. sin i

^1 + kh R

Massa benda tidak akan kita gunakan. k adalah koefisien momen inersia, untuk bola besarnya 2/5. g. sin i a= ^1 + kh R 10. sin 30 o = 2 2 `1 + 5 j 7 50.^1/2h = = 12, 5 rad/s 2 7

47

4.

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah katrol bermassa 4 kg, di sebelah kiri dan kanannya terdapat balok bermassa 4 kg dan 2 kg. Jika katrol bergerak ke arah balok yang lebih berat, maka selisih tegangan tali katrol tersebut adalah ... A. 5 N B. 10 N C. 15 N

D. 20 N E. 25 N Jawaban : A

Cara Cepat! DT = k.mK .a DT = k.mK .a

m2 - m1 .g + m1 + k.mK j 1 4-2 .10 = 2 .4. e 4 + 2 + 1 .4 o 2 2 .10 5 N 2. = `8j = = k.mK .` m

2

---------------------------------------------------------5. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah katrol bermassa 4 kg, di sebelah kiri dan kanannya terdapat balok bermassa 4 kg dan 2 kg. Jika katrol bergerak ke arah balok yang lebih berat, maka tegangan tali katrol tersebut pada masing-masing balok adalah (dimulai dari balok yang ringan dulu) ... A. 5 N dan 10 N D. 20 N dan 25 N B. 10 N dan 15 N E. 25 N dan 30 N C. 15 N dan 20 N Jawaban : E

48

Catatan

Cara Cepat!

Catatan m1 1 m2

T1 = m1 ^g + ah

*

T2 = m2 ^g - ah

ZT m ^g ah ]1= 1 + ] = 2.^10 + 2, 5h = 25 N ] m1 1 m2 [ ]T2 = m2 ^g - ah ] ] = 4.^10 - 2, 5h = 30 N \ ---------------------------------------------------------6. (SOAL KONTES FISIKA) Sebuah bola berongga bermassa 2 kg dan berjari-jari 8 cm berada di atas bidang miring dengan kemiringan 30o. Jika gravitasi membuat bola menggelinding ke bawah, maka percepatan sudut menggelindingnya bola adalah ... A. 12,5 2 rad/s2 D. 25,0 3 rad/s2 B. 12,5 3 rad/s2 E. 25,0 6 rad/s2 C. 25,0 2 rad/s2 Jawaban : B

Cara Cepat! a= 1 R

g. sin i 1+k

Koefisien momen inersia bola berongga adalah 2/3. Jari-jari bola rubah menjadi meter. 10. sin 30 o a= 1 0, 08 1+ 2 3 = 12, 5 3 rad/s 2

49

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah batang berputar pada porosnya (ditepi batang) dengan kecepatan sudut awal 10 rad/s. Jika massa batang adalah 8 kg dan panjang batang 2 m, maka besarnya torsi yang dirasakan batang pada saat 50 rad dan pada saat itu kecepatannya menjadi 40 rad/s adalah .. A. 40 Nm B. 320 Nm C. 160 Nm 2.

640 Nm 1280 Nm

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah katrol bermassa 8 kg, di sebelah kiri dan kanannya terdapat balok bermassa 8 kg dan 4 kg. Jika katrol bergerak ke arah balok yang lebih berat, maka percepatan katrol tersebut adalah ... A. 2,5 m/s2 B. 3,5 m/s2 C. 4,5 m/s2

3.

D. E.

`D. 5,5 m/s2 E. 6,5 m/s2

(SOAL KONTES FISIKA) Sebuah silinder pejal dengan massa 10 ton dan jari-jari 1/3 cm menggelinding pada bidang miring dengan kemiringan 30o akibat dari gaya gravitasi. Maka percepatan sudut silinder tersebut adalah ... D. 10000 rad/s2 A. 10 rad/s2 2 B. 100 rad/s E. 100000 rad/s2 2 C. 1000 rad/s

50

Catatan

4.

Catatan

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah katrol bermassa 8 kg, di sebelah kiri dan kanannya terdapat balok bermassa 8 kg dan 4 kg. Jika katrol bergerak ke arah balok yang lebih berat, maka selisih tegangan tali katrol tersebut adalah ... A. 5 N B. 10 N C. 15 N

5.

20 N 25 N

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah katrol bermassa 8 kg, di sebelah kiri dan kanannya terdapat balok bermassa 8 kg dan 4 kg. Jika katrol bergerak ke arah balok yang lebih berat, maka tegangan tali katrol tersebut pada masing-masing balok adalah (dimulai dari balok yang ringan dulu) ... A. B. C. D. E.

6.

D. E.

5 N dan 10 N 10 N dan 15 N 25 N dan 25 N 30 N dan 50 N 50 N dan 60 N

(SOAL KONTES FISIKA) Sebuah bola berongga bermassa 2 kg dan berjari-jari 2 cm berada di atas bidang miring dengan kemiringan 30o. Jika gravitasi membuat bola menggelinding ke bawah, maka percepatan sudut menggelindingnya bola adalah ... A. 25 2 rad/s2 D. 50 3 rad/s2 B. 25 3 rad/s2 E. 50 6 rad/s2 C. 50 2 rad/s2

51

E

KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Menara Pissa, Eiffel, Monas dan semua benda raksasa yang luar biasa lainnya dibuat berdasarkan prinsip kesetimbangan benda tegar. Benda yang setimbang akan cenderung kokoh atau dapat mempertahankan keadaannya yang statis.

1. Syarat Benda Setimbang Ada dua syarat agar sebuah benda berada pada kesetimbangan: ^mungkin diamh

Kesetimbangan gerak lurus

/F = 0 *

Kesetimbangan gerak melingkar

/x = 0 *

^mungkin GLBh ^mungkin diamh ^mungkin GMBh

Berikut adalah rumus praktis untuk beberapa kasus yang sering ditemui dalam soal-soal kesetimbangan.

52

Rumus Praktis i1 T1

m.g T1 T2 sin a = sin b = sin c

i2 T2

c

dan juga

a

b

m.g T1 T2 = = sin c cos i1 cos i2

m.g

1 ` M + mj g. sin i T= 2 sin a 1 ` M + mj g i = 90 o, T = 2 sin a

T a i M. g

T

m.g

x L a

i M. g

m.g

1 ` 2 M + mj g. sin i.L T= x. sin a 1 ` 2 M + mj g.L o i = 90 , T = x. sin a

licin

tan i = 1 2n1 Dinding licin, permukaan kasar

i n1

53

tan i = n2

Dinding kasar, permukaan kasar

i

licin

n1

x 1 ` W + L wj tan i = 2 n1 ^w + W h

Lx w

W

1 - n2 .n1 2n1

Ada benda di atas balok yang miring

i n1

Dengan rumus praktis di atas kita tidak akan kesulitan lagi dalam menyelesaikan beberapa soal fisika.

2. Titik Berat Titik Berat adalah titik pemusatan berat pada sebuah benda. Berat pada benda memang terdistribusi secara merata pada tiap bagian, namun jika berat itu ditotal, maka posisi dari berat total itu akan berada pada suatu titik yang disebut titik berat. Rumus titik berat adalah: ^ x1, y1h

w1

^ X, Y h ^ x2, y2h

w2 w1 + w2

X = w1 .x1 + w2 .x2 w1 + w2 w1 .y1 + w2 .y2 Y= w1 + w2

54

Jika pada sebuah benda terdapat banyak sekali partisi berat, maka rumus di atas juga akan terdiri dari banyak pertisi tersebut. X = w1 .x1 + w2 .x2 + w3 .x3 + ... w1 + w2 + w3 + ...

Y=

w1 .y1 + w2 .y2 + w3 .y3 + ... w1 + w2 + w3 + ...

3. Macam-macam Kesetimbangan Macam-macam kesetimbangan ada tiga, yaitu:

Kesetimbangan labil: Pada ketimbangan ini benda mudah goyah oleh gaya

Kesetimbangan netral: Benda cenderung netral

Kesetimbangan stabil: Pada ketimbangan ini benda tidak goyah oleh gaya

55

Contoh Soal : ---------------------------------------------------------1. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah batang dengan panjang 5 meter disandarkan pada dinding yang licin dan permukaan lantai kasar. Pada saat itu batang dalam keadaan diam. Jika tinggi ujung batang 3 meter dari lantai, maka koefisien gesekan lantai adalah ... A. 0,50 B. 0,67 C. 0,80

D. 1,00 E. 1,25 Jawaban: B

Cara Cepat! n=

L2 - y 2 2y

Panjang batang adalah L, sedangkan tinggi proyeksi batang (tinggi ujung batang dari lantai) adalah y. 52 - 32 2.3 4 2 = 2.3 = 3 . 0, 67 ---------------------------------------------------------2. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah batang dengan panjang 5 meter bersandar pada dinding yang licin dan lantai kasar. Batang dan lantai membentuk sudut 45o. Apabila batang dalam ke adaan diam, maka koefisien gesekan lantai adalah ... n=

A. 0,2 B. 0,3 C. 0,5

D. 0,7 E. 0,9 Jawaban: A

56

Catatan

Cara Cepat! Catatan

n=

1 2 tan a

Panjang batang tidak terlalu penting, sehingga kita masukkan saja sudut pada rumus di atas, 1 1 n= = 2 = 0,5 2 tan 45 o ---------------------------------------------------------3. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah batang disandarkan pada dinding kasar dan lantai kasar, koefisien gesekan sama yaitu 0,45. Maka sudut yang dibentuk oleh batang terhadap lantai agar batang diam adalah ... A. 24,5o B. 26,5o C. 28,5o

D. 32,5o E. 41,5o Jawaban: C

Cara Cepat! a = arc. tan c

1 - n1 n2 2n1 m

a = arc. tan c

1 - 0, 45.0, 45 2.0, 45 m 319 = arc. tan ` 360 j = 41, 5 o

---------------------------------------------------------4. (PREDIKSI SNMPTN FISIKA) Sebuah truk memiliki berat 15 kN. Jarak antara ban depan-belakang 2,5 meter dan pusat massa berada 1 meter dari ban belakang. Maka gaya yang dialami oleh ban depan adalah...

57

A. 5000 N B. 6000 N C. 7000 N

D. 8000 N E. 9000 N

Catatan

Jawaban: B

Cara Cepat! F = x .w s x pada rumus di atas adalah jarak titik pusat dari ban belakan, s adalah jarak ban depan-belakang. F = 1 15000 2, 5 = 6000 N ---------------------------------------------------------5. (SOAL KONTES FISIKA) Tegangan tali pada gambar di bawah adalah ... T 30 o 60 o

A. 15 N B. 15 2 N C. 15 3 N

5 kg

2 kg

D. 15 5 N E. 15 6 N Jawaban: C

Cara Cepat! 1 ` M + mj g. sin i T= 2 sin a

58

Catatan

1 ` .5 + 2j 10. sin 30 o T= 2 sin 60 o 4, 5.0, 5 = = 15 3 N 0, 5 3 ---------------------------------------------------------6. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Perhatikan pada gambar di bawah: 60 o

30 o T2

T1

10 N Maka tegangan pada tali adalah ... A. 5,00 N dan 5,00 3 B. 12,0 N dan 12,0 3 C. 16,0 N dan 16,0 3 D. 20,0 N dan 20,0 3 E. 21,0 N dan 21,0 3

masing-masing N N N N N Jawaban: A

Cara Cepat! T1 = m.g. cos i1 T2 = m.g. cos i2 T1 = m.g. cos i1 = 10. cos 60 o = 5 T2 = m.g. cos i2 = 10. cos 30 o = 5 3

59

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah batang dengan panjang 8 meter disandarkan pada dinding yang licin dan permukaan lantai kasar. Pada saat itu batang dalam keadaan diam. Jika tinggi ujung batang 4 meter dari lantai, maka koefisien gesekan lantai setara dengan kemiringan ... A. 0,25 2 B. 0,25 3 C. 0,50 2 2.

0,50 3 0,50 6

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah batang dengan panjang 8 meter bersandar pada dinding yang licin dan lantai kasar. Batang dan lantai membentuk sudut 37o. Apabila batang dalam ke adaan diam, maka koefisien gesekan lantai adalah ... A. 0,25 B. 0,35 C. 0,55

3.

D. E.

D. 0,75 E. 0,95

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah batang disandarkan pada dinding kasar dan lantai kasar, koefisien gesekan sama yaitu 0,498. Maka sudut yang dibentuk oleh batang terhadap lantai agar batang diam adalah ... A. 24,5o B. 26,5o C. 28,5o

D. 32,5o E. 41,5o

60

Catatan

4.

Catatan

(PREDIKSI SNMPTN FISIKA) Sebuah truk memiliki berat 18 kN. Jarak antara ban depan-belakang 3 meter dan pusat massa berada 2 meter dari ban belakang. Maka gaya yang dialami oleh ban depan adalah... A. 8000 N B. 10000 N C. 12000 N

5.

D. 14000 N E. 20000 N

(SOAL KONTES FISIKA) Tegangan tali pada gambar di bawah adalah ... T 30 o

90 o A. 1,5 N B. 2,5 N C. 3,5 N 6.

8 kg 5 kg D. 4,5 N E. 5,5 N

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah papan nama warung nasi pecel (berbentuk persegi panjang simetri) dengan 2 kg ditahan dua tali yang sama panjang. Maka tegangan kedua tali masing-masing ... A. B. C. D. E.

61

10,0 N dan 10,0 N 12,0 N dan 12,0 N 16,0 N dan 16,0 N 20,0 N dan 20,0 N 21,0 N dan 21,0 N

F

MOMENTUM DAN IMPULS

Dalam kehidupan kita sehari-hari, tabrakan atau tumbukan kerap dijadikan sebagai berita di surat kabar. Apa sebenarnya tabrakan atau tumbukan itu? Selama ini yang kita ketahui hanya istilah kecelakaan saja, tanpa ada unsur fisika yang mampu kita cerna dari peristiwa itu.

1. Momentum Momentum adalah hasil kali antara massa dengan kecepatan benda. Momentum merupakan besaran vektor, sehingga arahnya sangat berpengaruh pada perhitungan. Rumus momentum: Kekekalan : momentum

p = m.v

Total momentum awal dan total momentum akhir selalu bernilai tetap ( p1 = p2 ).

Rumus Praktis Dua buah benda saling p1 + p2 = p1 *+ p2 * atau berinteraksi menimbulkan m1 .v1 + m2 .v2 = m1 .v1 *+ m2 .v2 * perubahan kecepatan

62

2. Impuls Impuls memiliki dua pengertian, selain sebagai perubahan momentum, ternyata impuls juga bermakna hasil perkalian antara gaya dan selang waktu yang berkerja pada benda saat tumbukan. Rumus impuls sebagai berikut: i = Impulse = *

Dp = perubahan momentum

F.t = tumbukan

Rumus Praktis Mencari gaya yang berkerja pada benda

F.t = p *- p ( F =

p *- p t

3. Tumbukan Tumbukan adalah istilah keren untuk tabrakan dalam dunia fisika. Dalam kehidupan nyata momentum tidak selalu kekal, tergantung dari jenis tumbukan. Ada tiga jenis tumbukan, yaitu:

Tumbukan Lenting Sempurna

Gaya yang berkerja pada sistem sama dengan nol. Nilai koefisien restitusinya e = 1. Momentum bersifat kekal. Energi kinetik kekal.

63

Tumbukan Lenting Sebagian

Tumbukan Tidak Lenting Sama Sekali

Gaya yang berkerja pada sistem sama dengan nol. Nilai koefisien restitusinya 0 < e < 1. Momentum bersifat kekal. Energi kinetik tidak kekal. Gaya yang berkerja pada sistem sama dengan bukan nol. Nilai koefisien restitusinya e = 0. Momentum tidak bersifat kekal. Energi kinetik tidak kekal. Benda pada akhirnya akan bergerak bersama (kecepatan akhir sama).

Koefisien restitusi adalah koefisien seberapa baik sebuah benda dapat bersifat lenting. Hubungan koefisien restitusi dengan gerak sebuah benda sebagai berikut: -e =

Dvâkhir h v2 *- v1 * = v -v 2 1 Dvâwalh

Rumus Praktis m A .v A

m B .v B

Dua benda saling bertumbukan, maka kekekalan momentumnya m A . v A + m B . v B = m A . v A *+ m B . v B *

64

Hubungan ketinggian berikutnya dengan ketinggian sebelum,

h0 h1

h1 e 2 , hn e 2n h0 = h0 = e = koefisien restitusi

tumbukan

m p .v p

Sebuah peluru bersarang pada balok yang diikat oleh tali, kecepatan peluru adalah, mB

h1

vp = `

m p .v p m B

mB + m p 2.g.h mp j

Peluru bersarang pada balok, vp = c

s

n

m p .v p m B

k

mB + m p 2.n.g.s mp m

Peluru bersarang pada balok, vp = c

s

65

mB + m p mp m

k.s 2 mB + m p

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah benda dengan kecepatan awal v menabrak benda lain sejenis yang diam. Jika pada akhir tabrakan benda tersebut diam sedangkan benda yang ditabrak bergerak, maka kecepatan benda kedua adalah ... A. 0,50 v B. 0,75 v C. 0,80 v

D. 1,00 v E. 1,25 v Jawaban : D

Cara Cepat! jika ( m1 = m2 v v' maka ( ) 1 = 2 v2 = v1' Karena benda sejenis, maka benda akan memiliki massa yang sama (sudah pasti). Dengan demikian kecepatan akhir benda akan saling ditukar satu sama lain. jika ( m1 = m2 v v' v maka ( ) 1 = 2 = v2 = v1' = 0 v2' = v = 1,00 v ---------------------------------------------------------2. (BANK SOAL PENULIS) Bola Jabulani memiliki daya pantul 30%, dan ini kurang bagus untuk seukuran bola piala dunia (menurut banyak pengamat). Maka kita perkirakan koefisien restitusi yang dimiliki oleh bola Jabulani

66

Catatan

adalah ... A. e = 0,55 B. e = 0,45 C. e = 0,30

D. e = 0,25 E. e = 0,12 Jawaban : A

Cara Cepat! e = daya pantul daya pantul = h2 = e 2 h1 ( e = daya pantul = 30% = 0, 3 . 0, 55 ---------------------------------------------------------3. (BANK SOAL PENULIS) Terkait dengan soal pada nomor 2. Jika bola bekel dijatuhkan secara bebas (tanpa kecepatan awal) dari ketinggian 10 meter dari permukaan tanah. Maka pantulan ketiga bola bekel mencapai ketinggian ... A. 24 cm D. 32 cm B. 26 cm E. 44 cm C. 28 cm Jawaban : C

Cara Cepat! hn = e 2n .h0 Dari soal nomor 2, telah kita peroleh nilai e sebesar 0,55. h3 = ^0, 55h2.3 .10 = ^0, 55h6 .10 = 0,0276.10 . 0,28 m = 28 cm

67

4.

(SOAL KONTES FISIKA) Sebuah bola plastik di dalamnya terdapat bubuk petasan yang kemudian dinyalakan. Oleh karena kekuatan bahan tidak dapat menahan daya ledak yang terlalu besar dari bubuk petasan sebesar 100 Mwatt maka dia membelah menjadi dua bagian dengan perbandingan 1 : 3. Jika pada kasus ini momentum kita anggap saja kekal, maka perbandingan kecepatan pecahan bola plastik besar terhadap yang kecil adalah... A. 3 : 1 B. 1 : 3 C. 1 : 1

D. 1 : 4 E. 4 : 1 Jawaban : B

Cara Cepat! vB mK vK = mB

vB mK 1 vK = mB = 3

---------------------------------------------------------5. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah peluru bermassa 10 g ditembakkan ke dalam suatu ayunan balistik bermassa 1,49 kg. Pada saat ayunan mencapai tinggi maksimum, tali membentuk sudut 60o. Jika panjang tali adalah 20 cm, maka kecepatan peluru ditembakkan adalah ... A. 170 m/s B. 190 m/s C. 120 m/s

D. 200 m/s E. 210 m/s Jawaban : E

Cara Cepat! vP = ` mP + mB j 2.g.L^1 - cos ah mP

68

Catatan

Catatan

Pertama kita konversi satuan untuk massa peluru dari gram menjadi kilogram (10 g = 0,01 kg), kemudian panjang tali dari cm menjadi meter (20 cm = 0,2 m). Kemudian masukkan ke dalam rumus. vP = c

0, 01 + 1, 49 m 2.10.0, 2.^1 - cos 60 oh 0, 01 = 150. 2 . 150.1,4 = 210 m/s

---------------------------------------------------------7. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Benda bermassa 2 kg bergerak secara GLBB di bawah pengaruh gaya tertentu. Selama 2 sekon kecepatannya berubah dari 2 m/s menjadi 6 m/s (dengan arah berlawanan). Jika pada kasus ini tidak ada gaya lain dari luar yang mempengaruhi, maka resultan gaya yang berpengaruh pada sistem selama 2 sekon adalah ... A. 8,00 N B. 12,0 N C. 16,0 N

D. 20,0 N E. 21,0 N Jawaban : A

Cara Cepat! F=

m^v2 ! v1h t

Jika kecepatan akhir arahnya berlawanan, maka kita pakai tanda +, dan sebaliknya. 2^6 + 2h F= =8 N 2

69

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah benda dengan kecepatan awal v menabrak benda lain dengan massa dua kali lipat yang diam. Jika pada akhir tabrakan benda tersebut diam sedangkan benda yang ditabrak bergerak, maka kecepatan benda kedua adalah ... A. 0,50 v B. 0,75 v 2.

1,25 v

D. E.

e = 0,25 e = 0,12

(BANK SOAL PENULIS) Jika bola bekel dijatuhkan secara bebas (tanpa kecepatan awal) dari ketinggian 1 meter dari permukaan tanah dan koefisien restitusinya 0,63. Maka pantulan kedua bola bekel mencapai ketinggian ... A. 14 cm B. 16 cm

4.

E.

(BANK SOAL PENULIS) Bola Buatan Indonesia memiliki daya pantul 40%, dan ini lumayan bagus untuk seukuran bola pada kompetisi lokal. Maka kita perkirakan koefisien restitusi yang dimiliki oleh bola buatan Indonesia adalah ... A. e = 0,63 B. e = 0,45 C. e = 0,30

3.

C. 0,80 v D. 1,00 v

C. 18 cm D. 22 cm

E. 34 cm

(SOAL KONTES FISIKA) Sebuah bola plastik di dalamnya terdapat bubuk petasan yang kemudian

70

Catatan

dinyalakan. Oleh karena kekuatan bahan tidak dapat menahan daya ledak yang terlalu besar dari bubuk petasan sebesar 100 Mwatt maka dia membelah menjadi dua bagian dengan perbandingan 2 : 4. Jika pada kasus ini momentum kita anggap saja kekal, maka perbandingan kecepatan pecahan bola plastik besar terhadap yang kecil adalah ...

Catatan

A. 3 : 1 B. 1 : 3 5.

E. 4 : 2

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah peluru bermassa 10 g ditembakkan ke dalam suatu ayunan balistik bermassa 2,49 kg. Pada saat ayunan mencapai tinggi maksimum, tali membentuk sudut 60o. Jika panjang tali adalah 40 cm, maka kecepatan peluru ditembakkan adalah ... A. 370 m/s B. 390 m/s C. 420 m/s

7.

C. 1 : 1 D. 2 : 4

D. 500 m/s E. 510 m/s

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Benda bermassa 8 kg bergerak secara GLBB dibawah pengaruh gaya tertentu. Selama 5 sekon kecepatannya berubah dari 6 m/s menjadi 4 m/s (dengan arah berlawanan). Jika pada kasus ini tidak ada gaya lain dari luar yang mempengaruhi, maka resultan gaya yang berpengaruh pada sistem selama 2 sekon adalah ... A. 8,00 N D. 20,0 N B. 12,0 N E. 21,0 N C. 16,0 N

71

G

ENERGI DAN USAHA

Dalam kehidupan kita sehari-hari, kita sering mendengar kata energi yang berarti kekuatan atau sesuatu yang dapat menimbulkan dampak tertentu mulai dari benda bergerak, benda meledak, dan lainnya.

1. Energi Adalah bentuk dari kekuatan dai alam semesta. Dikatakan bahwa energi bersifat kekal sesuai dengan hukum kekekalan energi:

Kekekalan: Energi

Manusia tidak dapat menciptakan energi atau bahkan meniadakan energi, yang dapat dilakukan manusia hanya merubah bentuk energi menjadi bentuk lain.

Energi ada dalam berbagai bentuk diantaranya adalah: Energi Mekanik EM = E p + Ek

Energi mekanik adalah jumlah dari energi potensial dengan energi kinetik. Energi mekanik selalu tetap (kekal) dalam sistem apapun.

72

Energi Potensial

Energi potensial adalah energi karena posisi terhadap potensial tertentu. Energi potensial gravitasi berdasarkan ketinggian terhadap potensial gravitasi, sedangkan energi potensial pegas terhadap pegas.

E pg = m.g.h E pp = 1 k.x 2 2 Energi Kinetik

Fisika klasik: energi kinetik adalah energi pada saat sebuah benda bergerak dengan kecepatan tertentu. Energi kinetik ada dua yaitu gerak lurus dan gerak melingkar.

Ek = 1 m.v 2 2

Masih ada beberapa bentuk energi yang belum saya sebutkan seperti energi panas, energi nuklir, energi gelombang, energi cahaya, di mana semua itu memiliki prinsip-prinsip yang berbeda satu sama lain.

2. Energi Usaha atau kerja adalah energi yang digunakan untuk merubah posisi suatu benda. Usaha juga dapat diartikan sebagai perubahan energi yang sejenis, misal perubahan energi potensial atau perubahan energi kinetik. Pada sistem non mekanik, usaha akan memiliki definisi lain.

a F

Usaha memindahkan balok, W = ^F. cos ah .s

s E p2

Usaha adalah perubahan energi potensial gravitasi, E p1

h2 W = DE p = E p2 - E p1

h1

73

Rumus Praktis Balok meluncur dari ketinggian R, hingga menempuh jarak s.

R s

R = n.s

n

3. Daya Daya adalah nama lain dari laju energi atau energi persatuan waktu. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan besaran tt ini. yang bersatuan watt ini. energi P = DE . E = t waktu Dt

74

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah balok dengan massa 2 kg meluncur pada permukaan bidang miring dengan panjang kemiringan 3 meter dan sudut kemiringan 30o. Jika koefisien gesekan yang dirasakan balok adalah 0,35, maka energi kinetik sesampainya di bawah adalah ... A. 1,00 Joule D. 8,00 Joule B. 3,00 Joule E. 9,00 Joule C. 4,00 Joule Jawaban: C

Cara Cepat! W = DEK = EK Karena energi kekal dan energi kinetik di atas sama dengan nol, maka energi kinetik di bawah maksimum. Dengan demikian besar energi kinetik sama dengan usaha benda. Gaya gesek yang dirasakan benda di bidang miring adalah, f = n.m.g. cos a = 0, 35.2.10. cos 30 o .6 N

W = EK = ^/ F h .s = ^m.g. sin a - f h .s

= ^2.10. sin 30 o - 6h .3 = 10 - 6 = 4 J

75

2.

(SPMB) Sebuah tongkat yang panjangnya 40 cm di atasnya dijatuhkan martil 10 kg dari ketinggian 50 cm di atas ujungnya. Bila gaya tahan rata-rata tanah adalah 103 N, maka banyaknya tumbukan martil yang perlu dilakukan terhadap tongkat agar menjadi rata dengan permukaan tanah adalah ... A. 4 kali B. 5 kali C. 6 kali

D. 8 kali E. 10 kali Jawaban: C

Cara Cepat! n=W EP Pertama kita konversi panjang tongkat dari cm menjadi meter (40 cm = 0,4 m), ketinggian martil juga (50 cm = 0,5 m). Kemudian masukkan ke dalam rumus. n = W = F .L EP m.g.h 10 3 .0, 4 = 10.10.0, 5 = 8 kali ---------------------------------------------------------3. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah benda bermassa 2 kg dilempar dengan sudut 30o terhadap bidang datar. jika kecepatan awal benda sebesar 20 m/s, maka perbandingan energi potensial dengan energi kinetiknya di titik tertinggi adalah ... A. 1 : 3 B. 3 : 1 C. 1 : 1

D. 1 : 4 E. 4 : 1 Jawaban : A

76

Catatan

Cara Cepat! Catatan

EP tan 2 a EK = Massa benda hanya digunakan untuk mengecoh saja, jadi jangan sampai terkecoh oleh beberapa data yang tidak penting. EP tan 2 30 o 1 2 1 =c m =3 EK = 3 ---------------------------------------------------------4. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah balok berada di atas lintasan yang licin berbentuk melengkung seperempat lingkaran dengan jari-jari 125 cm, dilepas hingga akhirnya berhenti sejauh 5 meter dari ujung lintasan paling bawah (lintasan mendatar kasar). Jika massa balok adalah 2 kg maka besarnya koefisien gesekan lintasan kasar adalah ... A. 0,10 B. 0,20 C. 0,25

D. 0,30 E. 0,35 Jawaban: E

Cara Cepat! n=R s Lagi-lagi massa benda hanya untuk mengecoh saja, kemudian konversi jarijari dari cm menjadi meter (125 cm = 1,25 m). Masukkan ke dalam rumus. 1, 25 n=R= 0, 25 s 5 =

77

---------------------------------------------------------5. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah balok bermassa 0,5 kg berada di atas puncak sebuah bidang miring dengan kemiringan 30o. Sedangkan di bawah bidang miring terdapat sebuah pegas dengan konstanta pegas sebesar 900 N/m, ketika balok jatuh ke dasar bidang miring, besar pemendekan pegas adalah ... (jarak ujung pegas dengan puncak bidang miring 3 m) A. 0,049 meter D. 0,129 meter B. 0,087 meter E. 0,187 meter C. 0,106 meter Jawaban: D

Cara Cepat! x=

2.m.g.s. sin a k

Masukkan semua data yang telah kita ketahui ke dalam rumus di atas, maka akan kita peroleh pemendekan pada pegas sebesar, 2.0, 5.10.3. sin 30 o x= 900 1 = 60 = 0, 129 m

78

Catatan

Catatan

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah balok dengan massa 10 kg meluncur pada permukaan bidang miring dengan panjang kemiringan 2 meter dan sudut kemiringan 53o. Jika koefisien gesekan yang dirasakan balok adalah 0,40, maka energi kinetik sesampainya di bawah adalah ... A. 112 Joule B. 312 Joule C. 412 Joule 2.

(SPMB) Sebuah tongkat yang panjangnya 20 cm di atasnya dijatuhkan martil 5 kg dari ketinggian 80 cm di atas ujungnya. Bila gaya tahan rata-rata tanah adalah 1000 N, maka banyaknya tumbukan martil yang perlu dilakukan terhadap tongkat agar menjadi rata dengan permukaan tanah adalah ... A. 4 kali B. 5 kali C. 6 kali

3.

D. 812 Joule E. 912 Joule

D. 8 kali E. 10 kali

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah benda bermassa 8 kg dilempar dengan sudut 45o terhadap bidang datar. jika kecepatan awal benda sebesar 80 m/s, maka perbandingan energi potensial dengan energi kinetiknya di titik tertinggi adalah ... A. 1 : 2 B. 2 : 1 C. 1 : 1

79

D. 1 : 4 E. 4 : 1

4.

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah balok berada di atas lintasan yang licin berbentuk melengkung seperempat lingkaran dengan jarijari 360 cm, dilepas hingga akhirnya berhenti sejauh 9 meter dari ujung lintasan paling bawah (lintasan mendatar kasar). Jika massa balok adalah 2 kg maka besarnya koefisien gesekan lintasan kasar adalah ... A. 0,10 B. 0,20 C. 0,25

5.

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah balok bermassa 4 kg berada di atas puncak sebuah bidang miring dengan kemiringan 53o. Sedangkan di bawah bidang miring terdapat sebuah pegas dengan konstanta pegas sebesar 800 N/m, ketika balok jatuh ke dasar bidang miring, besar pemendekan pegas adalah ... (jarak ujung pegas dengan puncak bidang miring 2 m) A. 20 cm B. 30 cm C. 40 cm

6.

D. 0,30 E. 0,40

D. E.

50 cm 60 cm

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah benda dilempar ke atas dengan sudut elevasi 30o dan energi kinetik 200 J. Energi kinetik di titik tertinggi adalah ... A. 100 joule D. 250 joule B. 150 joule E. 300 joul e C. 200 joule

80

Catatan

H

GRAVITASI NEWTON

Konsep gravitasi menjadi misteri yang belum terungkap hingga sekarang, dulu Issac Newton merumuskan bahwa gaya gravitasi adalah gaya tarikmenarik antara dua materi yang bermassa. Disebutlah rumusan ini sebagai konsep gravitasi Newton.

1. Konsep Gravitasi Gravitasi dapat dinyatakan menjadi empat besaran, yaitu gaya gravitasi, medan gravitasi, potensial gravitasi dan energi gravitasi. Berikut adalah penjelasan dan rumus untuk keempat besaran tersebut: Gaya Gravitasi F = G M.2m r

Medan Gravitasi g = F = G M2 m r

Gaya tarik menarik antara dua materi yang memiliki massa tertentu. Massa besar akan selalu dapat menarik massa yang lebih kecil. Contohnya kenapa apel tertarik ke Bumi, bukan sebaliknya. Medan gravitasi adalah besarnya gaya persatuan massa yang dirasakan oleh benda berada pada titik tertentu dari pusat sumber gravitasi (medan gravitasi nama lain dari percepatan gravitasi).

81

Energi Gravitasi E p = F . r = G M. m r

Energi gravitasi adalah energi potensial yang disebabkan oleh gravitasi akibat dari sebuah massa memiliki jarak tertentu dari sumber gravitasi. Energi gravitasi merupakan energi potensial yang dikenal.

Potensial Gravitasi Potensial gravitasi adalah energi gravitasi persatuan massa yang dirasakan oleh E M benda berada pada titik tertentu dari V= =G m r pusat sumber gravitasi. Potensial gravitasi dan energi gravitasi adalah besaran skalar. (E dan V: skalar, sedangkan F dan g: vektor)

2. Hukum Keppler Hukum Keppler diambil dari nama Johanes Kappler, yang pertama kali menjelaskan secara sederhana tentang fenomena orbital planet-planet di alam semesta. Ada tiga hukum yaitu:

Hukum I Keppler

Hukum I Keppler menjelaskan tentang orbital planet yang berbentuk elips, bukan berbentuk lingkaran.

Hukum II Keppler

Hukum II Keppler menjelaskan bahwa luas yang disapu oleh lintasan planet pada waktu yang sama akan selalu sama.

Hukum III Keppler

Hukum III Keppler menjelaskan bahwa jari-jari orbital pangkat tiga dibagi periode R 3 G.M tetap kuadrat akan selalu bernilai konstan = = T2 4r2 (tetap) pada kondisi bagaimanapun asal sumber gravitasi tetap.

82

Berikut ini adalah rumus praktis yang berhubungan dengan gravitasi dan hukum III Keppler mengenai perbandingan periode dan jari-jari.

Rumus Praktis T2 = ` r2 j .T1 r1 3

v= v=

2.g.r 2.G M r

v = g.r v = GM r

Untuk mencari perode dari planet kedua yang diketahui besar periode planet pertama dan perbandingan jari-jarinya. Kecepatan saat sebuah benda lepas dari medan gravitasi Bumi. Kecepatan ini adalah kecepatan minimal, yang juga dapat kita lihat pada roket Apollo. Kecepatan saat sebuah benda berada pada kondisi stasioner (diam) mengelilingi atau berevolusi terhadap Bumi. Contohnya kecepatan satelit.

83

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (SPMB) Dua buah massa masing-masing 20 kg dan 45 kg terpisah sejauh 15 cm, maka jarak antara massa kecil terhadap sebuah titik dimana resultan gayanya sama dengan nol adalah ... A. 1 cm B. 3 cm C. 6 cm

D. 8 cm E. 9 cm Jawaban: C

Cara Cepat! x=

m1 .s m1 + m2

20 .15 20 + 45 2 5 .15 = 2 5 +3 5 2 = 2 + 3 .15 = 6 cm ---------------------------------------------------------2. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Jika R adalah jari-jari bumi, maka besar percepatan gravitasi pada ketinggian h = R/3 di atas permukaan bumi adalah ... x=

A. 9g/16 B. 13g/14 C. 18g/32

D. 23g/24 E. 30g/40 Jawaban: A

84

Cara Cepat! Catatan

2 g' = ` R j g R+h 2 R g eR + 1 ho 3 3R 2 g 9 = ` 4R j = 16 g ---------------------------------------------------------3. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Pada titik sudut segitiga sama sisi dengan panjang tiap sisi 20 cm ditempati oleh benda bermassa 2 kg. Jika konstanta gravitasi umum G, maka gaya gravitasi yang dialami masingmasing benda adalah ...

g' =

A. 100G B. 100 3 G C. 200G

D. 200 3 G E. 300 3 G Jawaban: B

Cara Cepat! 2

F = G m2 s

3

Konvesi dulu panjang tiap sisi dari cm menjadi meter (20 cm = 0,2 m). 2 F=G 2 2 3 ^0, 2h 4 = G 0, 04 3 = 100 3 G ---------------------------------------------------------4. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah planet mempunyai massa 9 kali massa bumi, dan memiliki 1/3 kali jari-

85

jari bumi. Besar percepatan gravitasi pada permukaan planet tersebut adalah ... A. 9g B. 1/9 g C. 81g

D. 1/81 g E. 10g Jawaban: C

Cara Cepat! 2 gX = ` mX j` RX j gB mB RB 2 gX = ^9hc 1 m gB 1/3 = 81gB = 81g

---------------------------------------------------------5. (BANK SOAL PENULIS) Dua buah planet saling mengorbit pada bintang yang sama. Jika perbandingan jarak ke bintang adalah 49: 64, maka perbandingan periodenya adalah ... A. 7/8 B. 49/64 C. 64/49

D. 343/512 E. 512/343 Jawaban: D

Cara Cepat! T1 R1 3/2 T2 = ` R2 j Masukkan saja perbandingan jarak ke bintang ke dalam persamaan, T1 49 3/2 T2 = ` 64 j 49 3 7 3 343 = c 64 m = ` 8 j = 512

86

Catatan

6.

Catatan

(BANK SOAL PENULIS) Jari-jari bumi panjangnya sekitar 6400 km. Jika ada sebuah satelit mengorbit pada bumi dengan ketinggian 1/8 dari jari-jari bumi, maka kelajuan stasioner satelit adalah ... A. 567 m/s B. 2667 m/s C. 10667 m/s

D. 15667 m/s E. 20667 m/s Jawaban: C

Cara Cepat! v=

2

gR 2 ^R + hh

10.^64.10 5h2 ^64.10 5 + 8.10 5h . 10667 m/s

v=

2

---------------------------------------------------------7. (BANK SOAL PENULIS) Dua satelit mengorbit bumi dengan ketinggian R/2 dan R/3 permukaan bumi, maka perbandingan kecepatan keduanya secara berurutan adalah ... A. 2 2 : 3 B. 3 2 : 2 C. 4 2 : 3

D. 2 2 : 5 E. 5 2 : 3 Jawaban: A

Cara Cepat! v1 v2 = v1 v2 =

87

R + h2 R + h1

R + R/3 = R + R/2

8 2 2 9 = 3

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (SPMB) Dua buah massa masing-masing 4 kg dan 16 kg terpisah sejauh 9 cm, maka jarak antara massa kecil terhadap sebuah titik dimana resultan gayanya sama dengan nol adalah ... A. 1 cm B. 3 cm C. 6 cm 2.

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Jika R adalah jari-jari Bumi, maka percepatan gravitasi pada ketinggian h = 2R/3 di atas permukaan bumi adalah .. A. 9g/25 B. 13g/25 C. 18g/32

3.

D. 23g/24 E. 30g/40

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Pada titik sudut segitiga sama sisi dengan panjang tiap sisi 10 cm ditempati oleh benda bermassa 8 kg. Jika konstanta gravitasi umum G, maka gaya gravitasi yang dialami masing-masing benda adalah ... A. 400G B. 400 3 G C. 600G

4.

D. 8 cm E. 9 cm

D. 600 3 G E. 800 3 G

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah planet mempunyai massa 4 kali massa bumi, dan memiliki 2/5 kali jarijari bumi. Besar percepatan gravitasi

88

Catatan

Catatan

5.

pada permukaan adalah ...

planet

A. 5g B. 1/5 g C. 25g

D. 1/25 g 50g

(BANK SOAL PENULIS) Dua buah planet saling mengorbit pada bintang yang sama. Jika perbandingan jarak ke bintang adalah 36 : 49, maka perbandingan periodenya adalah ... A. 7/8 B. 49/64 C. 64/49

6.

D. 216/343 E. 512/343

(BANK SOAL PENULIS) Jari-jari bumi panjangnya sekitar 6400 km. Jika ada sebuah satelit mengorbit pada bumi dengan ketinggian 1/16 dari jari-jari bumi, maka kelajuan stasioner satelit adalah ... A. 575 m/s B. 2975 m/s C. 10975 m/s

7.

E.

tersebut

D. 15975 m/s E. 20975 m/s

(BANK SOAL PENULIS) Dua satelit mengorbit bumi dengan ketinggian R/5 dan 2R/3 permukaan bumi, maka perbandingan kecepatan keduanya secara berurutan adalah ... A. 2 2 : 3 B. 3 2 : 2 C. 4 2 : 3

89

D. E.

2 2 :6 5 2 :6

90

Bab II Zat dan Panas Suhu dan Kalor Fluida atau Zat Alir Teori Kinetik Gas Termodinamika Radiasi Kalor

91

92

A

SUHU DAN KALOR

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar tentang suhu ruangan, suhu tubuh dan lain sebagainya. Suhu adalah besaran fisika yang menjelaskan tentang panas, semakin besar nilai suhu berarti semakin panas sebuah benda tersebut. Sedangkan panas sendiri adalah suatu bentuk energi. Suhu dan panas berbeda satu sama lain.

1. Skala Suhu Suhu pada tiap wilayah memiliki skala yang berbeda-beda. Di negara kita skala celcius sangat populer, sedangkan di Amerika skala fahrenheit, namun skala yang menjadi patokan secara internasional adalah skala kelvin. Berikut adalah bagan konversi tiap skala suhu: 212 o fahrenheit

80 o

reamur

100 o

celcius

373 o

kelvin

titik didih

K

C

R

F

titik beku 273 o

0o

0o

K - 273 C R F - 32 100 = 100 = 80 = 180

93

32 o

Rumus Praktis F - 32 X - X1 180 = X2 - X1

Rumus untuk mencari suhu X pada termometer tersebut. X1, X2 adalah batas bawah dan atas.

2. Kalor Kalor adalah bentuk energi panas. Kalor bersifat simbiosis, ketika dilepas, maka yang diterima juga sama. Hukum Black

Kalor secara sederhana saya bagi menjadi dua, yaitu kalor perubahan suhu dengan kalor perubahan fase, akan dijelaskan dengan tabel: c pada rumus dalam tabel adalah kalor jenis, di mana tiap benda memiliki kalor jenis yang berbedabeda. Sedangkan L dan U adalah ka-lor lebur dan kalor uap. m adalah massa (perlu diingat bahwa massa benda yang mengalami perubahan fase bisa jadi tidak semuanya mengalami perubahan fase) dan T suhu. Grafik perubahan fase seba-gai berikut:

Kalor yang dilepas = kalor yang diterima (Qin = Qout ). Jenis kalor Perubahan suhu Perubahan fase (melebur, menguap)

Rumus

Q = m.c.^T2 - T1h Q = m.L Q = m.U

T menguap suhu naik melebur suhu naik

94

t

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Termometer Y akan membaca suhu dibawah -40oY pada keadaan membeku dan akan terbaca di atas 160oY pada keadaan mendidih. Jika pada air tertentu termometer celcius menyatakan suhu 27,5oC, maka pada termometer Y akan terbaca ... A. 15OY B. 35OY C. 45OY

D. 85OY E. 95OY Jawaban: A

Cara Cepat! Y-A C B - A = 100 o A pada rumus di atas adalah titik beku pada skala Y, sedangkan B adalah titik didih pada skala Y. Y - ^- 40 oh 27, 5 o o o = 100 o 160 - ^- 40 h o 27, 5 o Y + 40 = 160 o + 40 o 100 o Kemudian menjadi,

kita

sederhanakan o

lagi

Y = 27,5 o 200o - 40 o 100 = 27,5 o .2 - 40 o = 15 o Y ---------------------------------------------------------2. (SOAL KONTES FISIKA) Termometer terbuat dari menerapkan konsep hambatan listrik, jika pada saat air membeku hambatannya 20X dan pada

95

saat mendidih pada suhu 40X, maka pada 150oC akan terbaca pada termometer hambatan sebagai ... A. 50 ohm B. 48 ohm C. 15 ohm

D. 10 ohm E. 5 ohm Jawaban: A

Cara Cepat! X = C. ` B - A j + A 100 B adalah titik didih pada termometer hambatan, sedangkan A adalah titik beku pada termometer hambatan. 20 X = 150 o .` 40 - 20 100 o j + = 30 + 20 = 50 X ---------------------------------------------------------3. (SOAL KONTES FISIKA) Sebuah logam jatuh bebas dari ketinggian 490 meter di atas tanah. Kalor yang diserap dari tumbukan dengan tanah hanya 60% digunakan untuk menaikkan suhu logam tersebut sebesar 7oC, maka kalor jenis logam tersebut adalah ... A. 720 J/kgoC B. 620 J/kgoC C. 520 J/kgoC

D. 420 J/kgoC E. 320 J/kgoC Jawaban: D

Cara Cepat! c=

h.g.h DT

96

Catatan

Catatan

c = 60%.10.490 7 = 420 J/kg o C ---------------------------------------------------------4. (BANK SOAL PENULIS) Balok es bermassa 50 kg didorong di atas papan horizontal yang mempunyai suhu sama dengan es (0oC). Balok tersebut dapat melaju sejauh 21 meter. Ternyata setengah dari balok es mencair akibat dari lantai yang kasar, maka besar koefisien gesekan lantai dan balok es adalah ... A. 5 cm B. 20 cm C. 80 cm

D. 150 cm E. 200 cm Jawaban: E

Cara Cepat! n = 336.mL mT .g.s Massa balok yang mencair adalah setengah dari semula (mL = 25 kg ). n = 336.25 = 0, 8 50.10.21 ---------------------------------------------------------5. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah balok es bermassa 50 gram berada pada kondisi hampir mencair. Kemudian dia dicelupkan pada 200 gram air yang bersuhu 30oC. Jika kalor jenis air 1 kal/goC dan kalor lebur es 80 kal/g, maka suhu akhir campuran adalah ...

97

A. 0,00oC B. 4,00oC C. 6,00oC

D. 8,00oC E. 13,00oC

Catatan

Jawaban: D

Cara Cepat! T = mA .cA .TA - mes .Les mA + mes T = 200.1.30 - 50.80 = 8 o C 200 + 50 ---------------------------------------------------------6. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebongkah es bermassa 1 kg dengan suhu -40oC dimasukkan ke dalam 2 liter air bersuhu 20oC. Komposisi akhir campuran adalah ... (kalor jenis es 0,5 kal/goC dan kalor lebur es 80 kal/g). A. B. C. D. E.

0,75 kg es dan 2,50 liter air 0,50 kg es dan 2,25 liter air 0,25 kg es dan 2,25 liter air 0,75 kg es dan 1,15 liter air 0,75 kg es dan 2,25 liter air Jawaban: E

Cara Cepat! mL = mA .cA .TA - mes .ces .Tes L Konversi dulu massa dari kilogram menjadi gram (1 kg = 103 g), dan dari liter air menjadi gram (2 liter air = 2.103 g) 2.10 3 .1.20 - 10 3 .0, 5.40 80 = 25 g = 0, 25 kg

mL =

98

Catatan

Massa es setelah dicampur berkurang 0,25 kg (1 kg - 0,25 kg = 0,75 kg) sedangkan liter air bertambah 0,25 kg (2 liter + 0,25 kg = 2 liter + 0,25 liter = 2,25 liter).

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Termometer Y akan membaca suhu dibawah -20oY pada keadaan membeku dan akan terbaca di atas 120oY pada keadaan mendidih. Jika pada air tertentu termometer celcius menyatakan suhu 45oC, maka pada termometer Y akan terbaca ... A. 13OY B. 33OY C. 43OY 2.

D. 83oY E. 93oY

(SOAL KONTES FISIKA) Termometer terbuat dari menerapkan konsep hambatan listrik, jika pada saat air membeku hambatannya 60X dan pada saat mendidih pada suhu 80 X, maka pada 37oC akan terbaca pada termometer hambatan sebagai ... A. 67,4 ohm B. 48,4 ohm C. 15,4 ohm

99

D. 10,4 ohm E. 5,40 ohm

3.

(SOAL KONTES FISIKA) Sebuah logam jatuh bebas dari ketinggian 360 meter di atas tanah. Kalor yang diserap dari tumbukan dengan tanah hanya 40% digunakan untuk menaikkan suhu logam tersebut sebesar 6oC, maka kalor jenis logam tersebut adalah ... A. 210 J/kgoC B. 220 J/kgoC C. 230 J/kgoC

4.

(BANK SOAL PENULIS) Balok es bermassa 100 kg didorong di atas papan horizontal yang mempunyai suhu sama dengan es (0oC). Balok tersebut dapat melaju sejauh 60 meter. Ternyata setengah dari balok es mencair akibat dari lantai yang kasar, maka besar koefisien gesekan lantai dan balok es adalah ... A. 5 cm B. 28 cm C. 100 cm

5.

D. 240 J/kgoC E. 250 J/kgoC

D. 150 cm E. 200 cm

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah balok es bermassa 100 gram berada pada kondisi hampir mencair. Kemudian dia dicelupkan pada 50 gram air yang bersuhu 36oC. Jika kalor jenis air 1 kal/goC dan kalor lebur es 80 kal/g, maka suhu akhir campuran adalah ... A. -10,00oC B. -24,00oC C. -26,00oC

D. -28,00oC E. -36,50oC

100

Catatan

6.

Catatan

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebongkah es bermassa 1000 gram dengan suhu -20oC dimasukkan ke dalam 0,6 liter air bersuhu 30oC. Komposisi akhir campuran adalah ... (kalor jenis es 0,5 kal/goC dan kalor lebur es 80 kal/g). A. B. C. D. E.

101

0,75 kg es dan 2,50 liter air 0,50 kg es dan 2,25 liter air 0,25 kg es dan 2,25 liter air 0,90 kg es dan 0,70 liter air 0,95 kg es dan 1,00 liter air

B

FLUIDA ATAU ZAT ALIR

Fluida adalah zat yang dapat mengalir, biasanya berfase cair atau gas. Kali ini kita akan membahas tentang fluida statis dan fluida dinamis, pengertian keduanya sebagai berikut:

1. Fluida Statis Fluida statis atau fluida diam akan membahas tentang fenomena yang terjadi pada zat cair atau gas yang diam. Fenomena tersebut antara lain adalah sebagai berikut: Tekanan Hidrostatis Tekanan yang diberikan oleh fluida pada kedalaman tertentu. Pada kedalaman yang Ph = t f .g.h sama tekanan hidro statisnya sama, ini yang mendasari Hukum Pascal. Hukum Pascal

Tekanan pada fluida di ruang tertutup selalu sama pada ketinggian yang sama.

F A1

A2

w

p1 = p2 ( F1 = F2 A1 A2

t

102

Gaya Archimedes

FA

Gaya angkat ke atas yang diberikan oleh fluida di mana besarnya sama dengan berat benda yang dipindahkan. Ada tiga kondisi sebuah benda, yaitu: Melayang : t f = tB Tenggelam : t f 1 tB Mengapung : t f 2 tB t f = fluida, tB = Benda

w = FA

Kapilaritas

Gejala unik fluida pada pipa kapiler, air akan naik sedangkan air raksa akan turun

adhesi - kohesi pada air

adhesi - kohesi pada raksa

2. Fluida Dinamis Fluida dinamis atau fluida bergerak akan membahas fenomena tentang zat alir yang bergerak. Fenomena tersebut antara lain:

Hukum Kontinuitas (Q = A.v = tetap)

Debit pada pipa tertutup selalu tetap sama sehingga berlaku: Q = tetap ( Ai .v1 = A2 .v2

103

Hukum Bernoulli bercerita bahwa total tekanan pada pipa tertutup selalu sama.

Hukum Bernoulli

P1 + 1 t.v12 + t.g.h1 = P2 + 1 t.v22 + t.g.h2 2 2 Hukum Stoke adalah tentang kekentalan fluida yang menimbulkan gaya gesekan.

Hukum Stokes (Hukum Kekentalan)

F = 6r.r.h.v, h = viskositas

Rumus Praktis h1 v h1 s

Sebuah tangki bocor berisi fluida yang mengalir, kecepatan fluida dan jarak terjauh fluida adalah : v = 2.g.h1 s = v.t = 2.g.h1 . 2h2 g = 2 h1 .h2

104

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah balok terapung di permukaan air. Jika 10% bagian ada di atas permukaan, maka massa jenis balok tersebut adalah ... A. 0,50 g/cm3 D. 0,80 g/cm3 B. 0,60 g/cm3 E. 0,90 g/cm3 C. 0,70 g/cm3 Jawaban: E

Cara Cepat!

t = 1-h t = 1-h = 1 - 10% = 90% = 0,9 g/cm 3 ---------------------------------------------------------2. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah benda di dalam air memiliki berat 21 N, ketika di udara memiliki berat 30 N. Maka massa jenis benda tersebut adalah ... A. 1,33 g/cm3 D. 4,33 g/cm3 B. 2,33 g/cm3 E. 5,33 g/cm3 C. 3,33 g/cm3 Jawaban: C

Cara Cepat! t= W W-w

105

30 30 - 21 30 = 9 = 3, 33 g/cm 3

t=

Catatan

Jadi massa jenis benda tersebut 3,33 g/ cm3. ---------------------------------------------------------3. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah logam bermassa 30 kg. Jika benda tersebut dimasukkan ke dalam air beratnya menjadi 225 N dan jika dimasukkan ke dalam zat X beratnya adalah 112,5 N, maka massa jenis zat X adalah ... A. 0,54 g/cm3 D. 0,84 g/cm3 B. 0,64 g/cm3 E. 0,94 g/cm3 C. 0,74 g/cm3 Jawaban: E

Cara Cepat! m.g - wX tX = m.g - wA tX = 30.10 - 225 30.10 - 112, 5 = 0,74 g/cm 3 ---------------------------------------------------------4. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah balon udara memiliki jari-jari 5 meter, massa jenis udara di dalam balon adalah 0,75 g/cm3. Besar massa total maksimum penumpang adalah ... A. 5 kg B. 20 kg C. 100 kg

D. 170 kg E. 200 kg Jawaban: D

106

Cara Cepat! Catatan

m = t.` 4 rr 3j^1 - hh 3 m = 1,3. ` 4 r5 3j^1 - 75%h 3 = 1,3.523,3. ^1 - 0, 75h = 170 kg ---------------------------------------------------------5. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah bejana didalamnya dimasukkan air dengan tinggi permukaan air 300 cm. Bejana diletakkan di atas menara yang tingginya 1200 cm. Jika di bawah bejana dilubangi pada pinggirnya, sehingga air mengalir ke arah horizontal, maka jarak horizontal air yang dapat ditempuh oleh air sampai dia menyentuh tanah adalah ... A. 5 meter B. 8 meter C. 12 meter

D. 15 meter E. 20 meter Jawaban: C

Cara Cepat! X = 2 h.H Konversi dulu ketinggian dalam cm menjadi meter (300 cm = 3 m dan 1200 cm = 12 m). X = 2 3.12 = 2.6 = 12 m

107

---------------------------------------------------------6. ANK SOAL PENULIS) Sebuah tong berukuran tinggi 2 meter dan berjari-jari 1 meter diisi penuh oleh air. Di bawah bejana terdapat lubang yang jari-jarinya 5 cm. Maka waktu yang dibutuhkan untuk mengosongkan tong adalah A. 4,22 menit D. 7,22 menit B. 5,22 menit E. 8,22 menit C. 6,22 menit Jawaban: A

Cara Cepat! t = `Rj r

2

2.h g

2 t=c 1 m 0, 05

2.2 . 253 s 10 = 4, 22 menit ---------------------------------------------------------7. (SOAL KONTES FISIKA) Air terjun dengan ketinggain 20 meter dan debit air sebesar 10 m3/s dimanfaatkan untuk pembangkit listrik tenaga microhidro. Jika generator yang digunakan efisiensinya 30%, maka daya rata-rata yang dapat dihasilkan adalah ... A. 150 watt B. 200 watt C. 400 watt

D. 550 watt E. 600 watt Jawaban: E

Cara Cepat! P = h.Q.g.h P = 30%.10.10.20 = 600 watt

108

Catatan

Catatan

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Sebuah balok terapung di permukaan air. Jika 40% bagian ada di atas permukaan, maka massa jenis balok tersebut adalah ... A. 0,50 g/cm3 D. 0,80 g/cm3 B. 0,60 g/cm3 E. 0,90 g/cm3 C. 0,70 g/cm3 2.

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah benda di dalam air memiliki berat 24 N, ketika di udara memiliki berat 40 N. Maka massa jenis benda tersebut adalah ... A. 1,50 g/cm3 D. B. 2,50 g/cm3 E. C. 3,50 g/cm3

3.

4,50 g/cm3 5,50 g/cm3

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah logam bermassa 40 kg. Jika benda tersebut dimasukkan ke dalam air beratnya menjadi 325 N dan jika dimasukkan ke dalam zat X beratnya adalah 150 N, maka massa jenis zat X adalah ... A. 0,30 g/cm3 D. 0,60 g/cm3 B. 0,40 g/cm3 E. 0,70 g/cm3 C. 0,50 g/cm3

4.

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah balon udara memiliki jari-jari 10 meter, massa jenis udara di dalam balon adalah 0,85 g/cm3. Besar massa total maksimum penumpang adalah ...

109

A. 5 kg B. 20 kg C. 400 kg 5.

Catatan

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah bejana di dalamnya dimasukkan air dengan tinggi permukaan air 7 cm. Tinggi total bejana dari permukaan tanah adalah 14 cm. Jika di bawah bejana dilubangi pada pinggirnya, sehingga air mengalir ke arah horizontal, maka jarak horizontal air yang dapat ditempuh oleh air sampai dia menyentuh tanah adalah ... A. 5 cm B. 8 cm C. 12 cm

6.

D. 670 kg E. 817 kg

D. 14 cm E. 20 cm

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah tong berukuran tinggi 4 meter dan berjari-jari 2 meter diisi penuh oleh air. Di bawah bejana terdapat lubang yang jari-jarinya 8 cm. Maka waktu yang dibutuhkan untuk mengosongkan tong adalah ... A. 8,37 menit D. 11,37 menit B. 9,37 menit E. 12,37 menit C. 10,37 menit

7.

(SOAL KONTES FISIKA) Air terjun dengan ketinggain 15 meter dan debit air sebesar 8 m3/s dimanfaatkan untuk pembangkit listrik tenaga microhidro. Jika generator yang digunakan efisiensinya 20%, maka daya rata-rata yang dapat dihasilkan adalah ... A. 5 watt B. 20 watt C. 100 watt

D. 150 watt E. 240 watt

110

C

TEORI KINETIK GAS

Gas ideal adalah gas yang memiliki sifat-sifat khusus yang ideal. Di antaranya memiliki sifat tumbukan lenting sempurna, berlaku hukum gerak Newton, tidak ada gaya antar partikel, bergerak ke segala arah dan tersebar merata.

1. Persamaan gas ideal Persamaan gas ideal mempertimbangkan tekanan (P), volume gas ideal (V), suhu (T), dan banyak molekul gas ideal (n). Yang terkenal ada dua, yaitu sebagai berikut:

Hukum Boyle-Gay Lussac

Hukum Boyle-Gay Lussac menjelaskan bahwa tekanan dikalikan volume dibagi suhu akan selalu bernilai sama. P.V tetap ( P1 .V1 = P2 .V2 T = T1 T2

Hukum Umum Gas Ideal (PV = nRT)

Hukum umum gas ideal menjelaskan bahwa tekanan dikalikan volume dibagi suhu sama dengan banyak molekul dikalikan ketetapan gas ideal. P.V n.R ( P.V = N.k T = T

111

R pada persamaan di atas bernilai R = 8, 31 J/mol.K , sedangkan N pada persamaan di atas akan sama dengan n.NA , dimana NA = 6, 02.10 23 partikel/mol , dan k = 1, 38.10- 23 J/K .

2. Proses Gas Ideal Pada proses gas ideal besaran yang mengalami perubahan adalah tekanan, volume dan suhu. Dari variasi tiga besaran itu akan didapatkan empat proses gas ideal sebagai berikut:

Isobarik (Tekanan Tetap)

Pada proses isobarik tekanan tetap, hanya volume dan suhu yang berubah. V tetap ( V1 = V2 T = T1 T2

Isokhorik (Volume Tetap)

Pada proses isokhorik volume tetap, hanya tekanan dan suhu yang berubah. P tetap ( P1 P2 T = T1 = T2

Isotermis (Suhu Tetap)

Adiabatik (Tak ada Kalor)

Pada proses isotermis suhu tetap, hanya volume dan tekanan yang berubah. P.V = tetap ( P1 .V1 = P2 .V2 Pada proses adiabatik semua berubah, hanya saja tak ada kalor di sana. P.V tetap ( P1 .V1 = P2 .V2 T = T1 T2 P1 .V1c = P2 .V2c T1 .V1c - 1 = T2 .V2c - 1

112

3. Teori Kinetik Gas Teori kinetik gas menjelaskan tentang gerak yang dilakukan oleh gas mengakibatkan tekanan gas, energi dalam gas, dan kecepatan efektif gas mengalami pembangkitan. P = 1 N.t.v 2 = 2 N.Ek 3 3 V

Tekanan Gas

Pada persamaan di atas t adalah massa jenis (massa persatuan volume), Ek adalah energi kinetik gas, v adalah kecepatan gas ideal, V adalah volume gas ideal. Dan N pada persamaan di atas adalah n.NA , dimana NA = 6, 02.10 23 partikel/mol (oleh ahli kimia biasa disebut bilangan Avogadro). Kecepatan Efektif

v=

3.k.T m =

3.P t =

3.R.T Mr

Pada persamaan di atas m adalah massa, k = 1, 38.10- 23 J/K , Mr adalah massa atom relatif, dan R = 8, 31 J/mol.K . U = 1 .f.^n.R.T h = 1 .f.^N.k.T h 2 2

Energi Dalam Gas

Di atas adalah rumus umum energi dalam gas, di mana U adalah energi dalam, dan f derajat kebebasan. Derajat kebebasan inilah yang membedakan antara gas monoatomik dan gas diatomik.

a. Gas Monoatomik Gas monoatomik adalah gas dengan atom tunggal, seperti helium (He), neon (Ne), argon (Ar), dan lain-lain. Pada gas monoatomik derajat kebebasan bernilai f = 3 . Sehingga persamaan menjadi: U = 3 ^n.R.T h = 3 ^N.k.T h 2 2

113

b. Gas Diatomik Gas monoatomik adalah gas dengan atom ganda, seperti oksigen (O2), hidrogen (H2), nitrogen (N2), dan lain-lain. Pada gas diatomik derajat kebebasan bervariasi berdasarkan besarnya suhu.

! 300 K ( f = 3 )

U = 3 ^n.R.T h = 3 ^N.k.T h 2 2

! 500 K ( f = 5 )

U = 5 ^n.R.T h = 5 ^N.k.T h 2 2

! 1000 K ( f = 7 )

U = 7 ^n.R.T h = 7 ^N.k.T h 2 2

114

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Pada kondisi kamar, gas oksigen bermassa 4 gram akan memiliki volume sebesar ... (Ar O = 16, R = 8,314 J/mol.K) A. 0,45.10-3 m3 D. 3,00.10-3 m3 B. 1,00.10-3 m3 E. 3,45.10-3 m3 C. 2,45.10-3 m3 Jawaban: C

Cara Cepat! V = m # 2, 45.10- 3 2Ar Kondisi kamar adalah kondisi pada saat tekanan 1 atm dan suhu 25oC. V = 4 # 24,5.10 - 3 2.16 1 = 8 # 24,5.10 - 3 . 3.10- 3 m 3 ---------------------------------------------------------2. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Dua buah tabung yang memiliki volume sama dihubungkan dengan sebuah selang yang sangat kuat. Di dalam dua bejana tersebut terdapat gas masingmasing sebanyak N dan 3N. Bila gas dalam tabung N memiliki suhu 27oC, maka suhu pada tabung 3N adalah ... A. 100 K B. 200 K C. 300 K

D. 400 K E. 500 K Jawaban: A

115

Cara Cepat! Catatan

T2 = ` N1 j^T1 + 273h N2 T2 = ` N j^273 + 27 h 3N 1 .300 100 K =3 = ---------------------------------------------------------3. (SOAL KONTES FISIKA) Sebuah tabung elpiji di dalamnya terdapat sebuah gas yang bermassa 2 kg. Pada mula-mula suhu udara dalam tabung 27oC, namun kemudian tabung tersebut ditaruh di bawah terik matahari hingga suhu udara dalam tabung menjadi 127oC, karena peristiwa itu gas dalam tabung memuai dan akhirnya bocor. Banyaknya gas dalam tabung yang keluar akibat bocor adalah ... A. 0,30 kg B. 0,45 kg C. 0,50 kg

D. 0,60 kg E. 0,75 kg Jawaban: C

Cara Cepat! Dm = `1 - T1 j .m1 T2 Konversi dulu oC menjadi K (...oC+273 =... K) Dm = `1 - 273 + 27 j .2 273 + 127 300 = `1 - 400 j .2 1 = ` 4 j .2 = 0, 5 kg

116

4.

Catatan

(SOAL KONTES FISIKA) Dua tabung diisi dengan gas yang berbeda namun pada suhu yang sama nyaris. Jika massa atom relatif gas-gas tersebut berbanding 1 : 4, maka perbandingan momentum gas-gas tersebut adalah ... A. 1 : 1 B. 1 : 2 C. 1 : 3

D. 1 : 4 E. 1 : 5 Jawaban : B

Cara Cepat! ^mvhA = ^mvhB

^mvhA = ^mvhB

MrA MrB 1 1 4 =2

---------------------------------------------------------5. (BANK SOAL PENULIS) Jika suhu gas ideal dalam ruang yang tertutup (tidak ada kebocoran sedikitpun) dinaikkan menjadi 5 kali dari suhu awal (pada saat itu kecepatan partikel gas adalah 2.105 m/s), maka kecepatan gerak partikel setelah suhu dinaikkan adalah ... A. 448 km/s B. 548 km/s C. 648 km/s

D. 748 km/s E. 848 km/s Jawaban : A

Cara Cepat! v2 = v1 v2 = 2.10 5 = 2.10 5

117

T2 T1

5T T 5 . 448 km/s

---------------------------------------------------------6. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah tabung berisi gas ideal memiliki massa atom relatif 32, jika R = 8,314 J/ mol.K dan suhu di dalam tabung adalah 127oC, maka kecepatan partikel dalam tabung adalah ... A. 458 km/s B. 558 km/s C. 658 km/s

D. 758 km/s E. 858 km/s Jawaban : B

Cara Cepat! v=

3R.^T + 273h Mr.10- 3

3.8, 314.^127 + 273h 32.10- 3 . 558 m/s

v=

Jadi kecepatan partikel dalam tabung adalah 558 km/s.

118

Catatan

Catatan

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Pada kondisi kamar, gas oksigen bermassa 2 gram akan memiliki volume sebesar ... (Ar O = 16, R = 8,314 J/mol.K) A. B. C. D. E.

0,45.10-3 m3 1,50.10-3 m3 2,45.10-3 m3 3,00.10-3 m3 3,45.10-3 m3

2.

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Dua buah tabung yang memiliki volume sama dihubungkan dengan sebuah selang yang sangat kuat. Di dalam dua bejana tersebut terdapat gas masingmasing sebanyak N dan 2N. Bila gas dalam tabung N memiliki suhu 127oC, maka suhu pada tabung 3N adalah ... A. 100 K D. 400 K B. 200 K E. 500 K C. 300 K

3.

(SOAL KONTES FISIKA) Sebuah tabung elpiji di dalamnya terdapat sebuah gas yang bermassa 1 kg. Pada mula-mula suhu udara dalam tabung 127oC, namun kemudian tabung tersebut ditaruh di bawah terik matahari hingga suhu udara dalam tabung menjadi 227oC, karena peristiwa itu gas dalam tabung memuai dan akhirnya bocor. Banyaknya gas dalam tabung yang keluar akibat bocor adalah ...

119

A. 0,20 kg B. 0,35 kg C. 0,50 kg 4.

(SOAL KONTES PENULIS) Dua tabung diisi dengan gas yang berbeda namun pada suhu yang sama nyaris. Jika massa atom relatif gasgas tersebut berbanding 4 : 9, maka perbandingan momentum gas-gas tersebut adalah ... A. 1 : 1 B. 1 : 2 C. 2 : 3

5.

D. 1 : 4 E. 2 : 5

(BANK SOAL PENULIS) Jika suhu gas ideal dalam ruang yang tertutup (tidak ada kebocoran sedikitpun) dinaikkan menjadi 8 kali dari suhu awal (pada saat itu kecepatan partikel gas adalah 3.105 m/s), maka kecepatan gerak partikel setelah suhu dinaikkan adalah ... A. 448 km/s B. 548 km/s C. 648 km/s

6.

D. 0,60 kg E. 0,75 kg

D. 748 km/s E. 848 km/s

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Sebuah tabung berisi gas ideal memiliki massa atom relatif 44, jika R = 8,314 J/ mol.K dan suhu di dalam tabung adalah 327oC, maka kecepatan partikel dalam tabung adalah ... A. 483 km/s B. 583 km/s C. 683 km/s

D. 783 km/s E. 883 km/

120

D

TERMODINAMIKA

Fluida adalah zat yang dapat mengalir, biasanya berfase cair atau gas. Kali ini kita akan membahas tentang fluida statis dan fluida dinamis, pengertian keduanya sebagai berikut:

1. Hukum I Termodinamika Hukum I Termodinamika menyatakan hubungan antara tiga besaran, yaitu: kalor, perubahan energi dalam dan usaha.

Q = DU + W

5 ( menerima Q =) 6 ( melepas 5 ( naik DU = ' 6 ( turun 5 ( melakukan W =' 6 ( dikenai

Usaha gas dinyatakan menjadi empat kondisi sama seperti proses pada gas ideal. Pada gas ideal kita mengenal proses isobarik, isokhorik, isotermis dan adaiabatik. Isobarik

Tekanan tetap : W = P^V2 - V1h

Isokhorik

Volume tetap : W = 0

Isotermis

Suhu tetap : W = n.R.T. ln ` V2 j V1

Adiabatik

Q = 0 : W = - DU = 3 n.R^T2 - T1h 2

Persamaan (Q = DU + W ) tetap berlaku.

121

Rumus Praktis Pada grafik tekanan-volume di samping menunjukkan bahwa luas grafik adalah usaha.

P

W

W = luas V

2. Hukum II Termodinamika Hukum II Termodinamika menyatakan bahwa tidak akan mungkin ada proses mengalirnya kalor dari suhu rendah ke suhu tinggi (seharusnya dari suhu tinggi ke suhu rendah). Secara sederhana hal ini juga menjelaskan bahwa tidak ada mesin yang memiliki efisiensi 100%.

3. Hukum III Termodinamika Hukum III Termodinamika menjelaskan bahwa suhu mutlak adalah 273oC atau 0 K. Pada suhu ini semua atom diam dan aktivitas atomik berhenti total.

4. Hukum 0 Termodinamika Hukum 0 Termodinamika adalah hukum yang paling telat ditemukan, namun hukum ini sangat mendasar sekali. Menjelaskan bahwa tidak mungkin ada dua benda yang memiliki kondisi suhu, tekanan yang sama akan saling bertukar kalor satu sama lain.

5. Mesin Kalor Pada termodinamika kita akan mengenal dua macam mesin kalor, yaitu mesin Carnot dan Mesin Pendingin.

122

a.

Mesin Carnot Mesin Carnot adalah mesin dengan efisiensi yang tinggi. Dia menghasilkan usaha dari aliran kalor pada suhu renda ke suhu tinggi. W

TK

proses

TB

Efisiensi pada mesin carnot dinyatakan dengan rumus. h = 1 - TK , TK = rendah TB TB tinggi

Pada persamaan di atas perbandingan suhu pada reservoir suhu rendah dan suhu tinggi akan sama dengan perbandingan kalor pada kedua reservoir tersebut. h = W = QB - QK = 1 - TK , TK = QK QB QB TB TB QB b. Mesin Pendingin Mesin pendingin adalah kebalikan dari mesin carnot, jika pada mesin karnot menghasilkan usaha, maka pada mesin pendingin dia mendapatkan usaha untuk mendinginkan sesuatu. Jadi prinsip kerjanya berlawanan dengan mesin carnot. W

TB

proses

TK

Koefisien dayagunan dinyatakan dengan rumus. K p = TK , TK = rendah TB - TK TB tinggi

Koefisien daya guna selalu berada pada jangkauan nilai 2 sampai 6, semakin kecil nilai koefisien daya gunanya, berarti mesin semakin bagus Sebaliknya semakin besar koefisien daya gunaknya, maka semakin kurang bagus mesin pendingin tersebut.

Rumus Praktis Rumus di samping digunakan untuk mencari besarnya suhu pada reTB1 ^1 - h1h = TB2 ^1 - h2h servoir tinggi saat reservoir rendah tetap, dan efisiensinya juga meTK = tetap ngalami perubahan tertentu.

123

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah alat di dalamnya terdapat 0,25 mol gas ideal, dia mengalami pengembangan secara adiabatik. Jika pada peristiwa ini temperatur turun sebanyak 750oC, maka kerja yang dilakukan oleh gas ideal adalah ... A. 1,34.103 J B. 2,34.103 J C. 3,34.103 J

D. 4,34.103 J E. 5,34.103 J Jawaban : B

Cara Cepat! W = n.DT # 12, 471 W = 0, 25.750 # 12, 471 . 2, 34.10 3 J ---------------------------------------------------------2. (SOAL KONTES FISIKA) Suatu mesin dengan efisiensi lumayan tinggi digunakan untuk meggerakkan sebuah generator dengan keluaran 220 volt. Jika mesin menyerap 5,5 kJ kalor dan perbandingan suhu dalam kelvin 3 : 5, maka banyaknya muatan yang dihasilkan oleh sistem tersebut adalah ... A. 20 C B. 18 C C. 15 C

D. 10 C E. 5 C Jawaban : D

124

Cara Cepat! Catatan q=

Q`1 - TK j TB V

5, 5.10 3 `1 - 3 j 5 q= 220 5, 5.10 3 ` 2 j 5 = 10 C = 220 ---------------------------------------------------------3. (PREDIKSI UNAS PENULIS) Mesin Carnot pada reservoir suhu tinggi suhunya sebesar 527oC, sedangkan pada reservoir suhu rendah suhunya 27oC. Jika efisiensinya naik menjadi 50%, maka pada saat reservoir suhu rendah suhunya tetap sedangkan pada reservoir suhu tinggi suhunya akan menjadi ... A. 327oC B. 427oC C. 527oC

D. 627oC E. 727oC Jawaban : A

Cara Cepat! TT2 =

TR1

^1 - h2h

TT2 = 273 + 27 1 - 50% 300 600 K 327 o C = 0, 5 = = ---------------------------------------------------------4. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah mesin carnot memiliki suhu 27oC pada reservoir suhu rendah dan

125

127oC pada reservoir suhu tinggi. Jika mesin melepas panas sebesar 600 joule, maka efisiensi mesin carnot adalah ... A. 5% B. 20% C. 25%

D. 40% E. 90% Jawaban : C

Cara Cepat! h = 1 - TK TB Pada soal di atas harga kalor yang dilepas tidak begitu dibutuhkan untuk mencari efisiensi jika suhu pada reservoir tinggi dan rendah sudah diketahui, hanya untuk mengecoh saja. h = 1 - 273 + 27 273 + 127 300 1 = 1 - 400 = 4 = 25% ---------------------------------------------------------5. (BANK SOAL PENULIS) Mesin pendingin berdaya kerja 300 watt, jika suhu ruang pendingin adalah 270 K dan suhu udara luar adalah 300 K, maka besarnya aliran kalor yang diserap oleh mesin pendingin adalah ... A. 75 J/s B. 270 J/s C. 1700 J/s

D. 1750 J/s E. 2700 J/s Jawaban : E

Cara Cepat! Q/t = ` TK j .P TB - TK

126

Catatan

Catatan

Q /t = `

270 .300 300 - 270 j = 2700 J/s ---------------------------------------------------------6. (BANK SOAL PENULIS) Mesin pendingin berdaya kerja 300 watt, jika suhu ruang pendingin adalah 270 K dan suhu udara luar adalah 300 K, maka besarnya kalor yang diserap oleh mesin pendingin dalam waktu 15 menit adalah ... A. 6,43.103 kJ D. 3,43.103 kJ B. 5,43.103 kJ E. 2,43.103 kJ C. 4,43.103 kJ Jawaban : E

Cara Cepat! Q = ` TK j .P.t TB - TK Q =`

270 .300.^15.60h 300 - 270 j = 2700 # ^15.60h = 2, 43.10 3 kJ

Jadi, banyaknya kalor yang diserap oleh mesin pendingin dalam waktu 15 menit adalah 2,43.103 kJ.

127

Uji Skill Rumus Praktis

Catatan

---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah alat di dalamnya terdapat 0,50 mol gas ideal, dia mengalami pengembangan secara adiabatik. Jika pada peristiwa ini temperatur turun sebanyak 450oC, maka kerja yang dilakukan oleh gas ideal adalah ... A. 1,80.103 J B. 2,80.103 J C. 3,80.103 J 2.

(SOAL KONTES FISIKA) Suatu mesin dengan efisiensi lumayan tinggi digunakan untuk meggerakkan sebuah generator dengan keluaran 200 volt. Jika mesin menyerap 1,4 kJ kalor dan perbandingan suhu dalam kelvin 4 : 7, maka banyaknya muatan yang dihasilkan oleh sistem tersebut adalah ... A. 20 C B. 18 C C. 15 C

3.

D. 4,80.103 J E. 5,80.103 J

D. 10 C E. 3 C

(PREDIKSI UNAS PENULIS) Mesin Carnot pada reservoir suhu tinggi suhunya sebesar 717oC, sedangkan pada reservoir suhu rendah suhunya 127oC. Jika efisiensinya naik menjadi 60%, maka pada saat reservoir suhu rendah suhunya tetap sedangkan pada reservoir suhu tinggi suhunya akan menjadi ... A. 327oC B. 427oC C. 527oC

D. 627oC E. 727oC

128

4.

Catatan

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah mesin carnot memiliki suhu 127oC pada reservoir suhu rendah dan 327oC pada reservoir suhu tinggi. Jika mesin melepas panas sebesar 600 joule, maka efisiensi mesin carnot adalah ... A. 5% B. 20% C. 33%

5.

40% 90%

(BANK SOAL PENULIS) Mesin pendingin berdaya kerja 600 watt, jika suhu ruang pendingin adalah 240 K dan suhu udara luar adalah 400 K, maka besarnya aliran kalor yang diserap oleh mesin pendingin adalah ... A. 75 J/s B. 270 J/s C. 900 J/s

6.

D. E.

D. 1000 J/s E. 1200 J/s

(BANK SOAL PENULIS) Mesin pendingin berdaya kerja 600 watt, jika suhu ruang pendingin adalah 240 K dan suhu udara luar adalah 400 K, maka besarnya kalor yang diserap oleh mesin pendingin dalam waktu 45 menit adalah ... A. 6,43.103 kJ B. 5,43.103 kJ C. 4,43.103 kJ

129

D. 3,43.103 kJ E. 2,43.103 kJ

E

RADIASI KALOR

Di alam semesta ada banyak bentuk radiasi, salah satu adalah radiasi kalor atau radiasi panas. Kalor dapat mengalir melalui medium dan tanpa medium tergantung bentuk kalor tersebut.

1. Konduksi Perambatan kalor secara konduksi adalah melalui medium berbentuk padat. Medium itu biasa disebut konduktor. Contohnya: Besi, tembaga, emas, dan logam lainnya. Pada perpindahan kalor melalui medium padat tersebut tidak disertai dengan perpindahan partikel, namun hanya perpindahan kalor saja. T1 T2 L Kalor mengalir dari suhu tinggi ke suhu yang rendah seperti pada gambar di atas (T1 2 T2 ). Secara matematis laju aliran kalor atau daya kalor dinyatakan dalam rumus: k.A.^T1 - T2h P = dQ = L dt Dengan P adalah daya atau laju aliran kalor, k adalah koefisien konduktivitas (tiap benda beda-beda), A luas tampang lintang medium (konduktor), dan L adalah panjang konduktor.

130

2. Konveksi Perambatan kalor secara konveksi adalah melalui medium berbentuk zat yang dapat mengalir atau fluida (cair atau gas). Karena pada hakekatnya konveksi adalah perpindahan kalor disertai dengan partikel mediumnya. Secara sederhana dirumuskan sebagai berikut: P = dQ = h.A.^T1 - T2h dt Dengan h adalah koefisien konveksivitas termal (tiap benda beda).

3. Radiasi Perambatan secara radiasi adalah perambatan kalor tanpa melalui medium perantara. Pada kondisi ini kalor berupa gelombang elektromagnetik yang mampu berpindah tanpa medium. Secara matematis daya atau laju kalor dirumuskan dengan persamaan: P = dQ = v.e.A.T 4 dt Dengan v = 5, 67.10- 8 W/m 2 .K 4 adalah ketetapan stefan, e adalah emisivitas, yaitu pengaruh warna pada penyerapan atau pemancaran kalor. Benda dengan warna hitam mengkilat e = 1, sedangkan warna putih mengkilat e = 0, warna selain itu berada pada 0 < e < 1.

131

Rumus Praktis

Konduksi

Pada peristiwa konduksi biasanya kita akan bertemu dengan soal dua batang dengan koefisien konduktivitas berbeda saling dihubungkan, ditanyakan suhu pada titik sambungan. T = k1 .T1 + k2 .T2 ' L1 = L2 k1 + k2 T=

Konveksi

^k1 /L1h .T1 + ^k2 /L2h .T2 ' L1 ! L2 ^k1 /L1h + ^k2 /L2h

Soal konveksi jarang diujikan, namun biasanya memakai perbandingan saja. P1 h1 .A1 .DT1 P2 = h2 .A2 .DT2 Q1 A1 T1 4 Q2 = ` A2 j` T2 j

Radiasi

132

Contoh Soal : Catatan ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah besi A dan B memiliki panjang yang sama dan luas penampang yang sama juga dan keduanya disambung pada ujung-ujungnya. Hanya saja koefisien konduksi besi A sama dengan dua kali koefisien konduksi B. Jika pada ujung A diberi suhu 100oC sedangkan di ujung B diberi suhu 40oC, maka suhu pada sambungan A dan B adalah ... A. 20oC B. 27oC C. 52oC

D. 80oC E. 97oC Jawaban : D

Cara Cepat! T = k1 .T1 + k2 .T2 k1 + k2 T = 2k2 .100 + k2 .40 2k2 + k2 2.100 + 40 240 80 o C = 2+1 = 3 = ---------------------------------------------------------2. (PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Besi A disambung dengan besi B pada ujung-ujungnya. Jika panjang besi A adalah sepertiga kali panjang besi B, koefisien konduksi A adalah dua kali koefisien konduksi B, dan luas penampang yang sama. Maka besarnya suhu pada sambungan apabila suhu pada besi A sebesar 100oC dan suhu pada besi B sebesar 30oC adalah ...

133

A. 20oC B. 30oC C. 50oC

D. 80oC E. 90oC

Catatan Jawaban : E

Cara Cepat! T=

T= =

^k1 /L1h T1 + ^k2 /L2h .T2 ^k1 /L1h + ^k2 /L2h

^2k2 / 13 L2h .100 + ^k2 /L2h .30 ^2k2 / 13 L2h + ^k2 /L2h

6.100 + 30 630 90 o C 6+1 = 7 =

---------------------------------------------------------3. (BANK SOAL PENULIS) Seorang insinyur membuat disain bunker merapi menggunakan dua buah bahan yang masing-masing kita sebuh bahan A dan bahan B. Apabila bahan A memiliki ketebalan 3 cm dan koefisien konduksi sebesar 0,1 g.kal/cm.soC. Sedangkan bahan B memiliki ketebalan 5 cm dan koefisien konduksi sebesar 0,2 g.kal/cm.soC. Jika dinding A berada pada daerah yang terkena langsung pada merapi, maka perbandingan selisih suhu di luar dan sambungan dengan suhu di dalam dan sambungan adalah ... A. 5 : 6 B. 6 : 5 C. 6 : 7

D. 7 : 6 E. 7 : 8 Jawaban : B

134

Cara Cepat! Catatan

DT1 L k = ` L1 jc k2 m 2 1 DT2 DT1 3 0, 2 6 = ` 5 jc 0, 1 m = 5 DT2 ---------------------------------------------------------4. (BANK SOAL PENULIS) Suatu benda hitam pada suhu 27oC memancarkan energi sebesar 200 kJ, benda hitam tersebut dipanasi hingga suhunya mencapai 127oC. Maka energi yang dipancarkan setelah dipanaskan menjadi ... A. 474 kJ B. 574 kJ C. 674 kJ

D. 774 kJ E. 874 kJ Jawaban : A

Cara Cepat! E2 = ` T2 j E1 T1 4

E2 = ` 127 + 273 j 200 kJ 27 + 273 400 4 200 kJ = ` 300 j 64 = 27 .200 . 474 kJ ---------------------------------------------------------5. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah benda hitam dengan koefisien emisivitas 0,87 memiliki suhu sebesar 227oC dan luas permukaan 200 cm3, maka energi yang dipancarkan selama 10 menit adalah ... ( v = 5, 67.10- 8 W/m 2 .K 4 ) 4

135

A. 2,96.10-6 J B. 3,96.10-6 J C. 4,96.10-6 J

D. 5,96.10-6 J E. 6,96.10-6 J Jawaban : A

Cara Cepat! E = v.e.A.T 4 .t E = v.e.A.T 4 .t = 5,67.10 - 8 .0,87.200.10 - 6 .^500h .^10.60h . 2, 96.10- 6 J ---------------------------------------------------------6. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah bintang memiliki jari-jari 64000 km, suhu dipermukaan bintang 64000 kK. Jika bintang tersebut dianggap hitam sempurna, maka energi yang dipancarkan oleh bintang dalam setahun adalah ... A. 5,66.1048 J B. 4,66.1048 J C. 3,66.1048 J

D. 2,66.1048 J E. 1,66.1048 J Jawaban : E

Cara Cepat! E = v.e.^4rR 2h .T 4 .t Waktu dalam setahun kita anggap saja = 365 hari x 24 jam x 60 menit x 60 detik . 3,2.107 detik. E = v.e.^4rR 2h .T 4 .t = 5,67.10 - 8 .1.^4r 66, 4.107 @2h .^6, 4.107 h4 .^3, 2.107 h . 1, 6.10 48 J Jadi jawabannya adalah 1,6.1048 J.

136

Catatan

Catatan

Uji Skill Rumus Praktis ---------------------------------------------------------1. (BANK SOAL PENULIS) Sebuah besi A dan B memiliki panjang yang sama dan luas penampang yang sama juga dan keduanya disambung pada ujung-ujungnya. Hanya saja koefisien konduksi besi A sama dengan tiga kali koefisien konduksi B. Jika pada ujung A diberi suhu 90oC sedangkan di ujung B diberi suhu 30oC, suhu pada sambungan A dan B adalah ... A. 20oC B. 27oC C. 52oC 2.

(PREDIKSI SNMPTN PENULIS) Besi A disambung dengan besi B pada ujung-ujungnya. Jika panjang besi A adalah sepertiga kali panjang besi B, koefisien konduksi A adalah tiga kali koefisien konduksi B, dan luas penampang yang sama. Maka besarnya suhu pada sambungan apabila suhu pada besi A sebesar 90oC dan suhu pada besi B sebesar 20oC adalah ... A. 23oC B. 33oC C. 53oC

3.

D. 75oC E. 97oC

D. 83oC E. 93oC

(BANK SOAL PENULIS) Seorang insinyur membuat disain bunker merapi menggunakan dua buah bahan yang masing-masing kita sebuh bahan A dan bahan B. Apabila bahan A memiliki ketebalan 4 cm dan koefisien

137

konduksi sebesar 0,1 g.kal/cm.soC. Sedangkan bahan B memiliki ketebalan 2 cm dan koefisien konduksi sebesar 0,8 g.kal/cm.soC. Jika dinding A berada pada daerah yang terkena langsung pada merapi, maka perbandingan selisih suhu di luar dan sambungan dengan suhu di dalam dan sambungan adalah ... A. 15 : 6 D. 17 : 1 B. 16 : 1 E. 17 : 8 C. 16 : 7 4.

(BANK SOAL PENULIS) Suatu benda hitam pada suhu 127oC memancarkan energi sebesar 100 kJ, benda hitam tersebut dipanasi hingga suhunya mencapai 327oC. Maka energi yang dipancarkan setelah dipanaskan menjadi ... A. 406 kJ B. 506 kJ C. 606 kJ

5.

D. 706 kJ E. 806 kJ

(BANK SOAL PENULIS) Sebuah benda hitam dengan koefisien emisivitas 0,75 memiliki suhu sebesar 327oC dan luas permukaan 400 cm3, maka energi yang dipancarkan selama 1 menit adalah ... ( v = 5, 67.10- 8 W/m 2 .K 4 ) A. 2,12.10-7 J B. 3,12.10-7 J C. 4,12.10-7 J

D. 5,12.10-7 J E. 6,12.10-7 J

138

Catatan

KIMIA

BAB 1 STOIKIOMETRI LARUTAN

Stoikiometri berasal dari bahasa Yunani stoicheion yang berartiunsur unsur/ Stoikiometri berasal dari bahasa Yunani stoicheion yang berarti partikel dan metron yang berarti perhitungan, jadi stoikiometri atau partikel dan metron yang berarti perhitungan, jadi stoikiometri mempunyai mempelajari semua perhitungan kimia secara kuantitatif, mempunyai artiarti mempelajari semua perhitungan kimia secara kuantitatif, dan tidak ter-batas pada unsur saja tetapi juga perhitungan senyawa dan tidak terbatas pada unsur saja tetapi juga perhitungan senyawa maupun campuran. maupun campuran.

1. Konsep Mol

A. Konsep Mol kimia, satuan mol digunakan sebagai satuan Dalam perhitungan

untuk jumlah. 1 mol setara dengan 6,02 x 1023 partikel (Bilangan Dalam perhitungan kimia, satuan mol digunakan sebagai satuan untuk Avogadro/L). jumlah. 1 mol setara dengan 6,02 x 1023 partikel (Bilangan Avogadro/L).  Hubungan mol, massa, jumlah partikel, dan volume larutan dapat  Hubungan mol, massa, jumlah partikel, dan volume larutan dapat dilihat pada bagan di bawah ini: dilihat pada bagan di bawah ini :

:

X

X Massa Mr/Ar Massa Mr/Ar : :

Mol Mol

X 22,4 X

22,4:

:

: 23 6,02 x 10 Jumlah Partikel Jumlah partikel 6,02 x 1023 X X

Volume volume

(Ket: volume (STP/0OC, 1 atm)

= mol Sehingga:

Massa Volume gas Jumlah Partikel = = Mr / Ar 22, 4 6,02 ×1023

1

P ⋅ V = n ⋅R ⋅ T → n =

P⋅V R⋅T

 Pada kondisi bukan standar maka kita gunakan Rumus Gas Ideal:

P = tekanan (atm) V = volume gas (L) n = mol R = tetapan =0,08205 T = suhu (K) Dari tabel, terlihat bahwa untuk massa C yang sama,  Koefisien Reaksi, menunjukkan tiga hal, yaitu: O pada senyawa II perbandingan O pada senyawa I dengan  Koefisien Reaksi, menunjukkan tiga hal, yait adalah 16 : 32 = 1 : 2. Perbandingan Ko 4) Hukum Avogadro → Pada P dan T sama, gas – gas yang bervolume sama mengandung jumlah partikelmol sama. Perbandingan P⋅V P ⋅ V = n ⋅R ⋅ T → n = R⋅T

Perbandingan volume Perbandingan j

1. Volume gas CO2 yang dihasilkan dari p 8 gram gas metana menurut reaksi : CH 2H2O(g), jika diukur pada keadaan standar =1 A. 11,2 liter 1. Volume gas CO2 yang dihasilkan dari pembakaran sempurna 8 Perbandingan Koefisien B. + 2O 22,4(g) liter gram gas metana menurut reaksi: CH4(g) → CO (g) + Reaksi 2 2 C. adalah… 33,6 liter 2H2O(g), jika diukur pada keadaan standar D. 44,8 liter (Ar C = 12, H = 1) E. 56 liter A. 11,2 liter Penyelesaian : gr 22, 4 B. 22,4 liter = = Ingat !!! mol Mr V C. 33,6 liter D. 44,8 liter E. 56 liter Penyelesaian:

Contoh Soal :

Ingat !!! gr V mol = = Mr 22, 4

2

Mol CH4 = mol CO2, sehingga:

gr CH4 V CO2 8 V CO2 = ⇒ = ⇒ V CO= 2 11,2 L Mr CH4 22,4 16 22,4

Jawab: A

2. Pembakaran gas etana (C2H6) menurut reaksi: C2H6(g) + O2(g) → CO2(g) + H2O(g) (belum setara). Volume gas CO2 yang terbentuk pada pembakaran sempurna 3 liter gas etana adalah … liter A. 1,5 C. 6 E. 10,5 B. 3 D. 9 Penyelesaian: Langkah pertama adalah menyetarakan reaksi, sehingga didapat persamaan reaksi: C2H6(g) + 3,5 O2(g) → 2CO2(g) + 3H2O(g) C2H6 koefisien Volume

1 3

+

3,5O2 3,5 10,5

→

2CO2 2 6

koefisien C2H6 V C2H6 1 3 = ⇒= ⇒ V CO = 6 2 koefisien CO2 V CO2 2 V CO2

+

3H2O 3 9

Jawab: C

2. Hukum Dasar Kimia Ada 4 hukum dasar kimia yang wajib untuk diketahui yaitu : 1) Hukum Lavoiser/Hukum Kekekalan Massa → Massa zat sebelum dan sesudah reaksi adalah sama. Ada 4 hukum dasar kimia yang wajib untuk diketahui yaitu: Contoh : 1) Hukum Lavoisier/Hukum → dengan Massa zat dan 3 gram gas hidrogenKekekalan (H) yang Massa bereaksi 24sebelum gram gas sesudah reaksi adalah sama. oksigen (O) akan membentuk 27 gram air (H2O). Contoh: 3 gram gas hidrogen (H2) yang bereaksi dengan gas oksigen 2) Hukum Proust/Hukum Perbandingan Tetap24→gram Perbandingan (O2) akan membentuk 27tiap gram air (H2O). massa unsur dalam senyawa adalah sama.

B. Hukum Dasar Kimia

2) Hukum Proust/Hukum Perbandingan Tetap → Perbandingan massa unsur dalam tiap senyawa adalah sama.

3

Rumus Praktis Pada senyawa AxBy, berlaku : • Hubungan unsur dengan senyawa gr A x ⋅ Ar A ⇒ = gr senyawa Mr senyawa • Hubungan unsur dengan unsur lain gr A x ⋅ Ar A ⇒ = gr B y ⋅ Ar B

Contoh: Perbandingan massa unsur H dengan O dalam air selalu 1 : 8.

H2 (gr) O2 (gr) H2O (gr)

Keterangan

1

8

9

-

3

8

9

sisa H2 = 2 gram

2

18

18

sisa O2 = 2 gram

4

25

27

sisa H2 = 1 gram, sisa O2 = 1 gram

3) Hukum Dalton/Hukum Kelipatan Perbandingan → Apabila dua unsur dapat membentuk lebih dari satu senyawa, maka perbandingan massa dari unsur satu yang bersenyawa dengan sejumlah tertentu unsur lain merupakan bilangan bulat dan sederhana. Contoh: Senyawa I II

Massa unsur (gr) C O 12 16 12 32

Dari tabel, terlihat bahwa untuk massa C yang sama, perbandingan O pada senyawa I dengan O pada senyawa II adalah 16 : 32 = 1 : 2.

4

4) Hukum Avogadro → Pada P dan T sama, gas–gas yang bervolume Dari tabel, terlihat bahwa untuk massa C yang sama, sama mengandung jumlah partikel sama. perbandingan O pada senyawa I dengan O pada senyawa II 5) Hukum gay-Lussac adalah 16 : 32 =→1 Pada : 2. P dan T sama, volume gas yang bereaksi dan hasil reaksi berbanding bulat dan sederhana. 4) Hukum Avogadro → Pada P dan T sama, gas – gas yang bervolume sama mengandung jumlah partikel sama.

Rumus Praktis v1 n1 = v 2 n2

Catatan: Rumus ini merupakan hasil pemikiran Gay-Lussac dan Avogadro

Contoh Soal : 1. Pada reaksi 4 gram magnesium dengan 10 gram asam klorida dilakukan dalam wadah tertutup menurut persamaan reaksi: Mg(s) + 2HCl(ag) → MgCl2(ag) + H2(g) Maka jumlah massa zat yang dihasilkan adalah… A. 14 gram B. Lebih besar dari 14 gram C. Lebih kecil dari 14 gram D. Tepat sama dengan 12 gram E. Lebih kecil dari 12 gram

Penyelesaian:

Konsep Praktis

Soal di atas, mengikuti hukum Lavoisier, ciri–cirinya pada soal ada kata – kata “dalam wadah tertutup”, sehingga :

∑massa yang dihasilkan = ∑massa reaktan

Massa produk = massa reakan = (4+10) gram = 14 gram Jawab: A

5

2. UNAS 2006 Suatu cadangan gas terdiri 2 mol gas dinitrogen trioksida 2. SOAL UN 4 mol gas nitrogen monoksida. Jika campuran ini diura Suatu cadangan gas terdiri sempurna 2 mol gasmenjadi dinitrogen dan dan oksigen, m dengan gastrioksida – gas nitrogen 4 mol gas nitrogen monoksida. Jika campuran ini diuraikan perbandingan mol gas nitrogen dan oksigen adalah… dengan sempurna menjadi A. 2:3 gas–gas nitrogen dan oksigen, maka perbandingan mol gas nitrogen dan oksigen adalah… B. 3:4 A. 2:3 D. 5:6 C. 4:5 B. 3:4 E. 6:7 D. 5:6 C. 4:5 E. 6:7 Penyelesaian: Penyelesaian : Reaksi yang terjadi: Reaksi yang terjadi : Reaksi I : 2N2O3 → 2N2 +I 3O , mol O3 = 2+mol 2 2N Reaksi :22N O N→ 3O2, mol N2O3 = 2 mol 2 3 2 Reaksi II : 2NO → Reaksi N2 + O2II, mol NO → = 4Nmol : 2NO + O , mol NO = 4 mol 2

Reaksi I II Mol total

Mol N2 2 2 4

Maka perbandingan mol N2 : O2 = 4 : 5

2

Mol O2 3 2 5 Jawab: C

3. Rumus Empiris dan Rumus Molekul Rumus empiris adalah rumus yang paling sederhana dalam komposisi suatu senyawa, sedangkan rumus molekul adalah kelipatan dari rumus empiris. Langkah – langkah penyelesaian : Rumus empiris adalah paling sederhana dalam  Bila datarumus di soalyang berupa perbandingan massa komposisi atau % suatu senyawa,massa sedangkan rumus molekul adalah kelipatan dari rumus unsur dalam senyawa → Dibagi Ar masing – empiris. masing unsur →Didapat perbandingan mol → Rumus Langkah–langkah penyelesaian: Empiris →Dengan Mr senyawa → Rumus molekul Bila data di soal perbandingan atau % massa unsur→  Bila berupa data disoal berupa massa perbandingan volume dalam senyawa → dibagi Ar masing–masing unsur → didapat langsung didapat perbandingan → Rumus Empiris perbandingan mol →Mr Rumus Empiris → dengan Mr senyawa → →Dengan senyawa → Rumus molekul Rumus Molekul. Bila data di soal: berupa perbandingan volume → langsung didapat Contoh Soal perbandingan → Rumus Empiris → dengan Mr80% senyawa → Rumus 1. Suatu oksida logam M mengandung massa logam molekul. tersebut

C. Rumus Empiris dan Rumus Molekul

6

Contoh Soal : 1. Suatu oksida logam M mengandung 80% massa logam tersebut dan 20% oksigen. Jika Ar logam M = 64 dan O = 16, maka rumus oksida logam tersebut adalah… A. M2O D. M2O3 B. MO E. MO2 C. M3O4 Penyelesaian: 80 mol = M = 1,25 64 20 mol O= = 1,25 2 16 mol M = : mol O2 1,25 :1,25 1:1 = Reaksi : Mx O y → M + O2 Untuk mencari jumlah atom M ⇒

∑M= ∑M Untuk mencari jumlah atom O ⇒ ∑ O= ∑ O kanan

⇒x kiri=

1

kanan

⇒y kiri =

2

Jadi rumus oksida logam yang terbentuk: MO2

Jawab: E

2. Pada suhu dan tekanan tertentu 1,5 gram gas CxHy mempunyai volume yang sama dengan 2,2 gram gas CO2. Jika Ar C = 12, H = 1, O = 16, maka gas tersebut adalah… D. C2H6 A. CH4 B. C2H2 E. C3H8 C. C2H4 Penyelesaian:

Konsep Praktis Untuk mencari rumus kimia apabila diketahui Mr-nya → Cari jawaban yang mempunyai nilai Mr sama dengan yang diketahui.

7

Volume sama → perbandingan koefisien sama → perbandingan mol sama, sehingga : 1,5 2,2 mol C xHy = mol CO2 ⇒ 30 =⇒ Mr C xHy = Mr C xHy 44 C2H6 mempunyai Mr 30, sehingga dapat dipastikan bahwa gas CxHy tersebut adalah C2H6. Jawab: D 4. Pembakaran Hidrokarbon Suatu hidrokarbon apabila direaksikan dengan oksigen (O2) dan mengalami reaksi pembakaran sempurna akan menghasilkan gas karbon dioksida (CO2) dan uap air (H2O).

D. Pembakaran Hidrokarbon

Suatu hidrokarbon apabila direaksikan dengan oksigen (O2) dan Reaksi yang terjadi : mengalami reaksi pembakaran sempurna akan menghasilkan gas karbon C Hy + O2 → CO2 + H2O (belum setara) dioksidax (CO ) dan uap air (H2O). 2 Reaksi yang terjadi: Rumus Praktis : CxHy + O2 → CO2 + H2O (belum setara) Jika yang dibakar n mol CxHy, maka : 1   = n x + y   Koefisien O 2 4    Koefisien CO2 = nx

Rumus Praktis Jika yang dibakar n mol CxHy, maka: n  Koefisien H2O =  y 1  n2 x + y   Koefisien O = 2 4   Contoh soal :  3,2 Koefisien CO2metana = nx dibakar dengan oksigen. Gas Sejumlah gram gas n karbon dioksida yang terbentuk adalah…  Koefisien H2O = y A. 2,24 gram 2 B. 4,40 gram C. 8,80 gram D. 8,96 gram E. 17,6 gram Penyelesaian : Reaksi : CH4 + 2 O2 → CO2 + 2 H2O koefisien CO2 1  3,2  × mol CH4 = × = 0,2 mol Mol CO2 = koefisien CH4 1  16 

8

Contoh Soal : Sejumlah 3,2 gram gas metana dibakar dengan oksigen. Gas karbon dioksida yang terbentuk adalah… A. 2,24 gram D. 8,96 gram B. 4,40 gram E. 17,6 gram C. 8,80 gram Penyelesaian: Reaksi: CH4 + 2 O2 → CO2 + 2 H2O koefisien CO2 1  3,2  × mol CH4 = × = 0,2 mol Mol CO2 = koefisien CH4 1  16  Massa CO2 = mol x Mr = 0,2 x 44 = 8,8 gram

Konsep Praktis  3,2  Mol CO2 = nx ⋅ mol CO2 = 1⋅1⋅   = 0,2 mol  16  Massa CO2 = mol x Mr = 0,2 x 44 = 8,8 gram Jawab : C

E. Air Kristal Garam Air kristal garam (hidrat) adalah air yang terikat pada suatu kristal garam dengan perbandingan molekul tertentu. Air ini dapat dibebaskan melalui pemanasan. Contoh air kristal: CuSO4.5H2O, FeSO4. 7H2O, CaSO4. 2H2O, dsb. Langkah penyelesaian: Untuk senyawa G ⋅ xH2O

9

Rumus Praktis mol mol H2H O2O x = x = mol garam mol garam

Contoh Soal : Pada pemanasan 7,15 gram Na2CO3.xH2O, beratnya berkurang 2,65 gram (Ar Na = 23, C = 12, O = 16, H = 1). Rumus kristal adalah… A. Na2CO3. H2O C. Na2CO3.4H2O E. Na2CO3.10H2O B. Na2CO3.2H2O D. Na2CO3.6H2O Penyelesaian: Na2CO3 ⋅ xH2O → Na2CO3 + xH2O 7,15 g

4,5 g 2,65 g 4,5 2,65 mol mol 106 18 perbandingan 1 4 ⇒ jadikan koefisien Na2CO3 ⋅ xH2O → Na2CO3 + 4H2O ⇒ x = 4 Maka rumus kristalnya adalah Na2CO3.4H2O.

Konsep Praktis 2,65 mol H2O 18 4 = = mol garam 4,5 106 Maka rumus kristalnya adalah Na2CO3.4H2O.

x =

Jawab: C

10

6. Konsentr

Konsentrasi laruta

6. Konsentrasi Larutan Larutan dapat dinyatakan 6. Konsentrasi Persen Konsentrasi larutan menyatakan kadar suatumassa zat d F. Konsentrasi LarutanKonsentrasi larutan menyatakan kadarMenyatakan suatu zat da dapat dinyatakan dengan satuan – satuan khusu

dapat dinyatakan denganKonsentrasi satuan – satuan khusus Konsentrasi larutan menyatakan kadar suatu zat dalam larutan.  Persen massa (% m/m) larutan.  Persen massa (% m/m) dapat dinyatakan dengan satuan–satuan khusus, yaitu: jumlah massa (gram) zat te Menyatakan Menyatakan jumlah massa (gram) zat ter Persen massa (% m/m) larutan.

larutan. Menyatakan jumlah massa (gram) zat terlarut dalam 100 gram larutan. m %m m =

m1 %m m = ×100 % m1 + m2

1

m1 + m2

m % m m m1 1= massa = ×100 ×100 % mm m2massa 1 += 2

Contoh : Tentukan per Penyelesaian Contoh : persen massa dari 10 gram gula da Tentukan % m gula m = da Tentukan persen Penyelesaian : massa dari 10 gram Contoh: mgu Penyelesaian : m Tentukan persen massa dari 10 gram gula dalam 90 gula gram air! 10 = × 100 % = × 100 % m m m +m Penyelesaian: 1010 + 90×100 % air × 100 % = % m m = mgulagula  mgula 10Persen + 90 volum mgula + mair 10 ×100 % = ×100 % = 10 % %m m= Menyatakan 10 + 90 mgula + mair  Persen volume (% v/v) larutan.  Persen volumejumlah (% v/v) volume (liter) zat te Menyatakan Menyatakan jumlah volume (liter) zat te Persen volume (% v/v) larutan.

m1 = massa zat terlarut m = massa pelarut Contoh : 2

larutan. Menyatakan jumlah volume (liter) zat terlarut dalam 100 liter v % v v v v=11 volume = ×100 z larutan. % v v vv11 + = v 2×100 %p v 2+=vvolume volumezat zatterlarut terlarut vv11==volume v = volume pelarut v22= volume pelarut

v1 % v v = ×100 % v1 + v 2

1

2

Contoh : Tentukan pe larutan terda ontoh:: CContoh Penyelesaian Contoh: Tentukan persen persen volume volume dari dari larutan larutan urea urea Tentukan Tentukan persen volume dari larutanlarutan urea dimana dalam 100 mL dan 80 mL air! terdapat 20 mL urea larutan terdapat 20 mL urea dan 80 mL air! v larutan terdapat 20 mL urea dan 80 mL air! Penyelesaian % v= v Penyelesaian :: Penyelesaian: vure % v= v

v urea 20 v 20 Molaritas (M) 20 % 20 v%urea ×100 % ×100 % = ×100 % v= 100= vv v urea %% ×100 % == 20Menyatakan ××100 20 +80 % v= vurea + v air +80 + v urea+ v air 20 +80 vurea air  Molaritas Molaritas(M) (M) 

Menyatakanjumlah jumlahmol molzat zatterlarut terlarutdalam dalam1 Menyatakan

11

Molaritas (M)

 Molaritas (M)

Menyatakan mol zat terlarut dalam 1 liter ( Menyatakan jumlah mol zat terlarut dalamjumlah 1 liter (1000 mililiter) larutan . larutan. mol gr 1000 % ⋅10 ⋅ρ = M = =× mol gr 1000 % ⋅10 ⋅ρV (L) Mr V (mL) Mr M = =× = V (L) Mr V (mL) Mr

Contoh : Pada label sebuah botol tertulis H2SO4 98% massa deng Contoh: 1,84 g/ml (Mr HNO = 98), maka hitung molarias larutan Pada label sebuah botol tertulis H2SO4 98% massa3 dengan massa jenis Penyelesaian : 1,84 g/ml (Mr H2SO4= 98), maka hitung molaritas larutan tersebut! % ⋅10 ⋅ρ 98 ⋅10 ⋅1,84 = = 18, 4 M = Mr 98 % ⋅10 ⋅ρ 98 ⋅10 ⋅1,84 = = 18, M = 4 Pada pengenceran suatu zat, berlaku rumus : Mr 98 Penyelesaian:

M1rumus: ⋅ V1 = M2 ⋅ V2 Pada pengenceran suatu zat, berlaku

M1 ⋅ V1 = M2 ⋅ V2

M1 = molaritas zat mula-mula M2 = molaritas zat setelah pengenceran V1 = volume zat mula-mula V2 =volume zat setelah pengenceran

Pengenceran larutan dapat diperkecil dengan cara menambah zat terlarut atau mencampurkan Pengenceran dengan larutan sejenis yang lebih dengan cara m larutan dapat diperkecil pekat. Pada pengenceran, volume dan molaritas larutan berubah, terlarut atau mencampurkan dengan larutan seje tetapi jumlah mol zat terlarut tetap. pekat. Pada pengenceran, volume dan molaritas lar tetapi jumlah mol zat terlarut tetap. Pada campuran zat yang sejenis, berlaku rumus: Pada campuran zat yang sejenis, berlaku rumus : Mc ⋅ Vc = M1 ⋅ V1 + M2 ⋅ V2 + .... + M Mc ⋅ Vc = M1 ⋅ V1 + M2 ⋅ V2 + .... + Mn ⋅ Vn Mc M1 M2 Mn

= = = =

molaritas campuran molaritas zat 1 Mc 1 molaritas zat 2 M M molaritas zat n Mn2

= = = =

12

Vc = volume campuran molaritas V1 = campuran volume zat 1 Vc molaritas zat 1 1 V = volume zat 2 V 2 molaritas zat 2 V Vn = zat volume zat n Vn2 molaritas n

= = = =

volume ca volume za volume za volume za

Contoh: 1. Seorang siswa memerlukan larutan HCl 0,5 M sebanyak 1 L, sedangkan di laboratorium hanya tersedia larutan HCl 12 M, berapa milliliter yang harus diambil? Penyelesaian: M1 ⋅ V1 = M2 ⋅ V2 12 ⋅ V=1 0,5 ⋅1⇒ V=1 0,042 L= 42 mL 2. Larutan HCl 0,25 M sebanyak 200 mL dicampur dengan HCl 0,3 M sebanyak 250 mL, kemudian ke dalam campuran tersebut ditambahkan lagi HCl 0,2 M sampai volume campuran akhirnya menjadi 600 mL. Tentukanlah konsentrasi campuran sekarang! Penyelesaian: Mc ⋅ Vc = M1 ⋅ V1 + M2 ⋅ V2 + M3 ⋅ V3 Mc ⋅ 600 = 0,25 ⋅ 200 + 0,3 ⋅ 250 + 0,2 ⋅150

= Mc

50 + 75 + 30 = 0,258 M 600

Molalitas (m)

Menyatakan jumlah mol zat terlarut dalam 1 kg (1000 gram) pelarut. = m

mol gr 1000 = × P (kg) Mr P (gram)

Contoh:

Diketahui suatu larutan 0,25 molal. Jika kita gunakan air 250 gram sebagai pelarut maka tentukanlah massa zat terlarutnya! (Mr zat terlarut = 60) Penyelesaian:

gr 1000 × Mr P (gr) gr 1000 0,25 = × ⇒ gr = 3,75 60 250 = m

13

atau menyatakan jumlah mol pelarut dalam ju larutan. nA XA = Fraksi mol (X) n + nB Menyatakan jumlah mol zat terlarut dalamAjumlah mol X Atotal + XB larutan = 1 nB atau menyatakan jumlah mol pelarut dalam jumlah mol total XB = nA + nB larutan. XA =

nA nA + nB

XB =

nB nA + nB

X A + XB = 1

XA XB nA nB

= = = =

fraksi mol zat terlarut fraksi mol pelarut mol zat terlarut mol pelarut

Contoh: : m/m (Mr urea = 60, Tentukan fraksi mol dari larutanContoh urea 40% Tentukan fraksi mol dari larutan urea 40% m/m (M air = 18)! = 18) ! Penyelesaian: Penyelesaian : Di dalam 100 gram larutan ureaDi 40% terdapat 40 gram ureaurea dan40% terdapat 40 g dalam 100 gram larutan 60 gram air, maka: 60 gram air, maka : m 40 m 60 = 0,67 mol ⇒ nair = air = = 3,33 mol nurea = urea = Mr 60 Mr 18 nurea 0,67 murea 40 m 60 = = n Xurea = 0,1675 = = 0,67 mol ⇒ nair = air = = 3, urea = nurea + nair 0,67 + 3,33 Mr 60 Mr 18 nurea 0,67 X air = 1− Xurea = 1− 0,1675 = 0,8325 = Xurea = = 0,1675 nurea + nair 0,67 + 3,33

X air = 1: − Xurea = 1− 0,1675 = 0,8325 Soal Latihan 1. UNAS 2011 Tahap awal pembuatan asam nitrat dalam industri m oksidasi amonia yang menghasilkan nitrogen monok menurut reaksi berikut: 1. SOAL UN 4 NHdalam + 5 industri O2(g) → 4melibatkan NO (g) + 6 H2O(g) Tahap awal pembuatan asam nitrat 3(g) Volume nitrogen monoksida pada re oksidasi amonia yang menghasilkan nitrogen monoksida danyang uap dihasilkan air menurut reaksi berikut: 4 NH3(g) + 5 O2(g) → 4 NO (g) + 6 H2O(g) Volume nitrogen monoksida yang dihasilkan pada reaksi 6 liter gas amonia (P.T) adalah… A. 4 liter C. 10 liter E. 14 liter B. 6 liter D. 12 liter

Uji Skill Rumus Praktis

14

2. SOAL SNMPTN Pada suhu dan tekanan standar, gas CO2 dialirkan ke dalam larutan jenuh kalsium hidroksida sehingga terjadi reaksi. Jika pada reaksi itu dihasilkan 10 g endapan CaCO3, maka volume gas CO2 yang bereaksi sebanyak… (Ar Ca=40, C=12, O=16, dan H=1) A. 2,24 liter C. 11,2 liter E. 5,6 liter B. 22,4 liter D. 1,12 liter 3. SOAL SNMPTN Logam vanadium dihasilkan dengan cara mereaksikan vanadium pentoksida dengan kalium pada suhu tinggi. Reaksi yang terjadi (belum setara) adalah: Ca + V2O5 → CaO + V Jika 91 g V2O5 (Mr=182) bereaksi dengan 120 g Ca (Ar=40), maka jumlah logam vanadium (Ar=51) yang dihasilkan adalah… A. 25,5 g C. 76,5 g E. 122,5 g B. 51,0 g D. 102,0 g 4. SOAL UN Sebanyak 24 gram batu pualam direaksikan dengan 36 gram asam klorida dalam wadah tertutup menurut persamaan reaksi: CaCO3(s) + 2HCl(aq) → CaCl2(aq) + H2O(  ) + CO2(g) Massa senyawa hasil reaksi diperkirakan adalah… A. Sama dengan 60 gram D. Lebih kecil dari 60 gram B. Sama dengan 54 gram E. Lebih kecil dari 54 gram C. Lebih besar dari 60 gram 5. SOAL UN Jika diketahui Ar C=12 dan O=16 maka perbandingan massa karbon dan massa oksigen pada senyawa CO2 adalah… A. 1:2 C. 3:5 E. 4:7 B. 2:3 D. 3:8 6. SOAL UN Persamaan reaksi (belum setara) berikut ini: C3H8(g) + O2(g) → CO2(g) + H2O(g) Pada suhu dan tekanan tertentu, perbandingan volume CO2 dan H2O adalah… A. 1:3 C. 3:4 E. 5:4 B. 1:5 D. 5:3

15

7. SOAL SPMB Persen massa kalium (Ar=39) dalam kalium dikromat (Mr=294) adalah… A. 13,3 % C. 26,5 % E. 40,2 % B. 20,1 % D. 35,4 % 8. SOAL UM UGM Suatu cuplikan yang mengandung pirit (FeS) seberat 44 gram direaksikan dengan HCl sehingga dihasilkan FeCl2 dan gas H2S. Jika pada akhir reaksi diperoleh 7,5 liter gas H2S yang diukur pada saat 2,5 liter gas N2 bermasa 3,5 gram, maka persentase FeS didalam cuplikan tersebut adalah…(Ar Fe=56; Cl=35,5; H=1; S=32 dan N=14) A. 25 % C. 45 % E. 90 % B. 35 % D. 75 % 9. SOAL UN Pada pembakaran 10 cm3 senyawa hidrokarbon diperlukan 50 cm3 gas oksigen dan dihasilkan 30 cm3 gas karbon dioksida. Semua gas diukur pada suhu dan tekanan sama. Rumus kimia senyawa hidrokarbon tersebut adalah… A. C2H6 C. C3H8 E. C4H10 B. C3H6 D. C4H8 10. SOAL UN Pirimidin tersusun dari 60% karbon, 5% hidrogen dan sisanya nitrogen (Ar C = 12, O = 16, N = 14, H = 1). Jika 1 gram pirimidin mengandung 7,5 x 1021 molekul (L = 6 x 1023) maka rumus molekulnya adalah… A. C2H2N C. C5H5N2 E. C6H6N3 B. C4H4N2 D. C5H4N3 11. SOAL UM UGM Etanol (C2H5OH) dapat dijadikan bahan bakar alternatif sesuai dengan persamaan reaksi pembakaran: C2H5OH(  ) + 3 O2(g) → 2 CO2(g) + 3 H2O(l) Jika 13,8 gram etanol dibakar dengan 19,2 gram O2 maka gas CO2 yang akan diemisikan ke udara sebanyak…(Ar C=12, O=16, H=1) A. 8,8 gram C. 17,6 gram E. 35,2 gram B. 13,2 gram D. 26,4 gram

16

12. SOAL UN Seorang siswa mereaksikan 1,2 gram logam Mg yang tepat habis bereaksi dengan 100 ml HCl 3 M. persamaan reaksi: Mg(s) + 2 HCl(aq) → MgCl2(aq) + H2(g) Bila pada keadaan yang sama volume 2,5 liter gas O2 masanya 3,2 gram, maka volume gas H2 yang terjadi adalah…(Ar Mg=24) A. 1,12 liter C. 3,75 liter E. 12,5 liter B. 0,125 liter D. 7,50 liter 13. SOAL UN Jika 38 gram MgSO4. xH2O dipanaskan, akan diperoleh 20 gram MgSO4 (Ar Mg=24, H=1, S=32, O=16) maka harga x adalah… A. 2 C. 4 E. 6 B. 3 D. 5 14. Pada label sebuah botol tertulis HNO3 63% massa dengan massa jenis 1,3 g/ml (Mr HNO3= 63), maka molarias larutan tersebut adalah… A. 13 molar C. 6,3 molar E. 1,3 molar B. 6,5 molar D. 3,15 molar 15. SOAL UMPTN Kosentrasi larutan HCl yang diperoleh dengan mencampurkan 150 ml HCl 0,2 M dan 100 ml HCl 0,3 M adalah… A. 0,20 M C. 0,30 M E. 0,60 M B. 0,24 M D. 0,50 M

17

BAB 2

STRUKTUR ATOM, SISTEM PERIODIK UNSUR, DAN IKATAN KIMIA

A. Perkembangan Model Atom 1. Model Atom John Dalton

Zat terdiri atas partikel terkecil yang disebut atom. Atom suatu zat murni tidak dapat diuraikan menjadi partikel yang lebih kecil dan tidak dapat diubah menjadi atom zat lain. Atom-atom satu unsur sama/identik dalam segala hal, tetapi berbeda dari atom-atom unsur lain Atom-atom dapat bergabung satu sama lain secara kimia membentuk molekul dengan perbandingan sederhana Senyawa merupakan hasil reaksi dari atom-atom penyusunnya

2. Model Atom Thomson

Atom merupakan suatu bola yang bermuatan positif dan dikelilingi muatan-muatan negatif pada tempat–tempat tertentu dalam bola (seperti roti kismis, dengan kismis sebagai muatan negatifnya). Atom bersifat netral, karena jumlah muatan positif sama dengan jumlah muatan negatif.

3. Model Atom Rutherford

Atom tersusun dari inti atom yang bermuatan positif yang dikelilingi elektron yang bermuatan negatif. Massa atom terkonsentrasi pada bagian inti (pusat). Jumlah proton dalam inti sama dengan jumlah elektron yang mengelilingi inti, sehingga atom bermuatan netral. Sebagian besar volume atom adalah ruang kosong.

18

4. Model Atom Niels Bohr

Elektron hanya bergerak dalam lintasan yang Elektron memenuhi syarat tertentu menurut teori kuantum, lintasan ini disebut lintasan kuantum. Elektron bergerak pada lintasan dengan tingkat energi tertentu, dimana perpindahan elektron disertai penyerapan atau pelepasan energi.

5. Model Atom de Broglie (mekanika gelombang)

Gerakan materi merupakan suatu gerakan gelombang sehingga elektron (materi) juga merupakan gerakan gelombang. Elektron tidak mempunyai lintasan tertentu. Elektron menempati jarak-jarak tertentu dari inti atom.

B. Partikel Dasar Penyusun Atom Massa (kg)

Penemu

Letak

+1

1,67 x 10–27

Goldstein (1886) dan Rutherford (1919)

inti atom

0

1,67 x 10–27

J. Chadwick (1932)

inti atom

–1

9,11 x 10–31

J.J.Thomson (1897)

kulit atom

Partikel Proton (p) Neutron (n) Elektron (e)

C. Lambang Atom/Unsur A Z

X

Dimana: Nomor atom (Z) = jumlah proton = jumlah elektron Massa atom (A) = jumlah proton + jumlah neutron

Lambang suatu ion sama dengan lambang atomnya, dengan tambahan muatan ion di sebelah kanan atas.

19

Atom Bermuatan Positif (Kation)

Atom yang kelebihan proton karena berpindahnya elektron. Proton = nomor atom Elektron = nomor atom – muatan Neutron = massa atom – nomor atom Contoh: Jika lambang atom aluminium adalah

27 13

Al , hitunglah jumlah proton,

neutron, dan elektron dalam ion aluminium Al3+ ! Penyelesaian: Proton = nomor atom = 13 Elektron = nomor atom – muatan = 13 – 3 = 10 Neutron = massa atom – nomor atom = 27 – 13 = 14

Atom Bermuatan Negatif (Anion)

Atom yang kelebihan elektron karena berpindahnya elektron unsur lain ke dalam atom tersebut. proton = nomor atom elektron = nomor atom + muatan neutron = massa atom – nomor atom Contoh: Tentukan jumlah proton, elektron, dan neutron dari ion S2– bila 32 diketahui lambang unsur belerang adalah 16 S! Penyelesaian: proton = nomor atom = 16 elektron = nomor atom + muatan = 16 + 2 = 18 neutron = massa atom – nomor atom = 32 – 16 = 16

20

D. Nuklida Ada 3 jenis nuklida, yaitu: Isotop →mempunyai nomor atom sama tetapi massa atomnya berbeda atau jumlah proton sama tetapi jumlah neutron berbeda. Contoh: isotop-isotop hidrogen: 11 H ; 21 H ; 31 H isotop-isotop karbon: isotop-isotop oksigen:

12 6

C; 136 C; 146 C

16 8

O; 178 O; 188 O

Isobar →mempunyai nomor atom beda tetapi massa atomnya sama. Contoh: 146 C dengan 147 N Isoton →mempunyai jumlah netron sama tetapi nomor atom dan massa atomnya berbeda. Contoh: 49 Be dengan 105 B ; 136 C dengan 147 N

E. Perkembangan Sistem Periodik Unsur Untuk memudahkan mempelajari hubungan sifat antara unsur yang satu dengan yang lain, maka dibuat klasifikasi unsur–unsur berdasarkan persamaan sifat. Perkembangan klasifikasi tersebut antara lain:

1. Sistem Lavoisier (1789)

Dasar klasifikasi: kemampuan unsur dalam menghantarkan listrik dan panas. Menurut sistem ini, unsur dikelompokkan menjadi dua, yaitu:  Unsur logam: unsur yang dapat menghantarkan listrik dan panas, contoh: besi, tembaga, perak, emas, dsb.  Unsur non logam: unsur yang tak dapat menghantarkan listrik dan panas, contoh: belerang, arsen, oksigen, klor, nitrogen, fosfor, hidrogen, dan karbon. Kelemahan: adanya ketidaktegasan dalam mengklasifikasikan silikon, arsen, dan antimony, karena unsur–unsur tersebut memiliki sifat keduanya yaitu logam dan non logam.

21

2. Sistem Triade dari Johan Wolfgang Dobereiner (1826)

Hukum Triade Dobereiner menyatakan bahwa “massa atom (Ar) unsur kedua (yang) dalam triade merupakan harga rata – rata dari unsur pertama dan ketiga”. Contoh: Litium (Li), natrium (Na), dan kalium (K) dimasukkan dalam satu triade; Litium mempunyai Ar = 7; Kalium mempunyai Ar = 39, maka ( 7 + 39 ) = 23 Natrium mempunyai Ar = 2

3. Hukum Oktaf Newlands (1864)

Dalam hukum ini, unsur–unsur disusun berdasarkan urutan kenaikan massa atom relatif dimana sifat dari unsur–unsur tersebut akan berulang pada tiap unsur kedelapan (1 oktaf ). 1 Li Na K

2 Be Mg Ca

3 B Al

4 C Si

5 N P

6 O S

7 F Cl

Berdasarkan hukum ini, unsur Li, Na, dan K memiliki kemiripan sifat, demikian juga dengan unsur F dan Cl. Kelemahan dari hukum ini adalah hanya cocok untuk unsur dengan nomor massa kecil. Selain itu, ada beberapa unsur yang ternyata saling berimpitan.

4. Lothar Mayer (1869)

Menyusun unsur dalam satu tabel berdasar massa atom dan kesamaan sifat-sifat fisika unsur tersebut. Menyusun unsur dalam suatu tabel yang disebut sistem periodik, dan menempatkan unsur yang bersifat sama pada satu kolom vertikal yang sama.

5. Dmitri Ivanovich Mendeleev (1871)

Menyusun unsur dalam satu tabel berdasar massa atom relatif, kesamaan sifat-sifat fisika dan kesamaan sifat kimia unsur adalah fungsi periodik massa atom relatifnya. Keunggulan dari sistem periodik Mendeleev adalah: melakukan koreksi beberapa massa atom dan menukar posisi unsur dalam sistem periodik menjadi semakin baik dan tetap sesuai sifat dan

22

menyediakan tempat kosong untuk beberapa unsur yang belum diketemukan. Kelemahan dari sistem periodik Mendeleev adalah adanya unsur– unsur dengan massa atom relatif (Ar) lebih besar yang terletak di depan unsur yang Ar-nya lebih kecil. Hal ini dikarenakan susunannya yang berdasarkan kenaikan massa atom relatif. Misalnya unsur tellurium (Te) yang Ar-nya 128 berada di depan iod (I) yang memiliki Ar 127, agar kemiripan sifat dalam golongan terjaga.

6. G. Mosley

Menyempurnakan sistem periodik Mendeleev. Dikenal sebagai susunan berkala panjang. Sifat–sifat unsur bukan lagi sifat periodik dari massa atom relatifnya tetapi sifat–sifat unsur adalah fungsi berkala dari nomor atomnya.

7. Sistem Periodik Modern (1923)

Sistem Periodik Modern disusun berdasarkan konfigurasi elektron, dan unsur – unsur disusun menurut bertambahnya nomor atom.

F. Menghafal Unsur-unsur Golongan IA IIA IIIA

IVA

VA

Lambang unsur - Jembatan Keledai Li Na K Rb Cs Fr Li Na Kawin Robi Cs Frustasi Be Mg Ca Sr Ba Ra Bebek Mangan Cacing Seret Banget Rasane B Al Ga In Tl Bidadari Ala Gadis Indonesia Tlentik-tlentik C Si Ge Sn Pb Cucu Siapa Gerangan Senang Plembungan Atau Cerita Singkat Gegerkan Sank Prabu N P As Sb Bi Naik Perahu Asiknya Sebelum Binasa

23

VIA VIIA VIIIA

O S Se Te Po Orang Stres Sebaiknya Telefon Polisi F Cl Br I At Fuji Color Berhadiah Intan Antik He Ne Ar Kr Xe Rn Heri Nemuin Ari Karena Xedang Rindu

Unsur Periode ketiga: Na Mg Al Si P S Cl Ar (Nanti Minggu Ali Siap Pergi Sama Calon Artis) Unsur Periode Keempat: Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn (ScaTiVa Cari Manager Fenuh Cowok Niat Cuma Zenang-zenang)

G. Bilangan Kuantum 1. Untuk menyatakan posisi orbital, diperlukan 3 bilangan kuantum, yaitu: Bilangan kuantum utama (n) → menyatakan nomor kulit tempat terdapatnya elektron atau tingkat energi utama, jenisnya: n = 1 disebut Kulit K n = 5 disebut Kulit O n = 2 disebut Kulit L n = 6 disebut Kulit P n = 3 disebut Kulit M n = 7 disebut Kulit Q, dst n = 4 disebut Kulit N Bilangan kuantum azimuth (l) → menyatakan sub kulit tempat terdapatnya elektron, bentuk orbital, dan subtingkat energi elektron, jenisnya: s = sharp → nilai ℓ = 0 (ℓ = 0 s/d (n-1)) p = principal → nilai ℓ = 1 d = diffuse → nilai ℓ = 2 f = fundamental → nilai ℓ = 3 n = 1 → ℓ = 0 (sharp) n = 2 → ℓ = 0 (sharp) ℓ = 1 (principal) n = 3 → ℓ = 0 (sharp) ℓ = 1 (principal) ℓ = 2 (diffuse)

24

n = 4 →

ℓ=0 ℓ=1 ℓ=2 ℓ=3

(sharp) (principal) (diffuse) (fundamental)

Bilangan kuantum magnetik (m) → menyatakan orientasi orbital dalam ruangan tempat terdapatnya elektron dan banyaknya orbital dalam subkulit. Suatu orbital dapat digambarkan sebagai berikut: (m = -ℓ s/d ℓ) s

p

d

f

0

–1 0 +1

–2 –1 0 +1 +2

–3 –2 –1 0 + 1 +2 +3

nilai m

2. Untuk menyatakan kedudukan elektron, diperlukan bilangan kuantum spin (s).

s =+ 21 ⇒ belum berpasangan s =− 21 ⇒ sudah berpasangan



 = +½  = –½

H. Konfigurasi Elektron Konfigurasi elektron adalah pengisian elektron pada kulit atom. Ada 2 aturan “ yang wajib tau” untuk mengisi konfigurasi elektron, yaitu: 1. Aturan Hund → setiap orbital maksimum terisi 2 elektron Untuk sub kulit s → ada 1 orbital → maksimal 2 elektron Untuk sub kulit p → ada 3 orbital → maksimal 6 elektron Untuk sub kulit d → ada 5 orbital → maksimal 10 elektron Untuk sub kulit f → ada 7 orbital → maksimal 14 elektron 2. Aturan Aufbau → elektron-elektron mengisi orbital dari tingkat energi terendah kemudian baru mengisi tingkat energi yang lebih tinggi.

25

Diagram Aufbau: 1s 2s

2p

3s

3p

3d

4s

4p

4d

4f

5s

5p

5d

5f

6s

6p

6d

6f

7s

7p

7d

5g

Trik praktis menghafal aturan Aufbau s 1s

1x

s p 2s 2p

s p 3s 2p

Diulang 2x

s p d 4s 4p 3d

s p d 5s 5p 4d

Diulang 2x

s p d f 6s 6p 5d 4f

s p d f 7s 7p 6d 5f

Diulang 2x

Keterangan: s dan p: nomor sama s → d: nomor selisih 1 s → f: nomor selisih 2 Pengisian elektron dilakukan dari sub kulit s dan dilanjutkan ke subkulit paling belakang.

Contoh Soal : 1. Tulis konfigurasi elektron untuk

39 19

K

Penyelesaian : Nomor atom K → 19 Langkah penyelesaian : Langkah I : tulis urutan aturan aufbau (dikira–kira panjangnya) Langkah II : masukkan elektron (sejumlah nomor atom) ke dalam subkulit sampai habis (sesuai aturan Hund).

26

Langkah I

: 1s 2s 2p 3s 3p 4s

Langkah II

: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1

Konsep Praktis Elektron valensi → elektron yang berada pada orbital terluar. Contoh : 19 K :1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1 → elektron valensinya 1 (lihat 4s1). Penulisan konfigurasi elektron juga dapat disingkat dengan menggunakan konfigurasi elektron gas mulia. Nomor atom K = 19, sehingga gas mulia yang cocok digunakan untuk konfigurasi elektron K adalah Ar (karena nomor atomnya 18).dalam urutan gas mulia, periode Ar nomor 3, setelah Ar = 3+1 = 4 → konfigurasi elektron selalu dimulai dari s → 4s. Konfigurasi elektron K : [Ar] 4s1 Nomor Atom Gas Mulia : 2He

10Ne

+8

18

+8

Ar

36Kr

+18

54Xe

86Rn

+18

2. Konfigurasi elektron unsur X yang nomor atonya 29 adalah… A. [Ne] 3s2 3p6 4s2 3d9 D. [Ne] 3s2 3p5 4s2 3d9 B. [Ne] 3s2 3p6 4s1 3d10 E. [Ne] 3s2 3p5 4s1 3d10 C. [Ne] 3s2 3p5 4s2 3d10 Penyelesaian :

Konsep Praktis

Ingat!!! subkulit d cenderung terisi penuh (d10) atau setengah penuh (d5). berubah menjadi ns2 ( n − 1) d9  → ns1 ( n − 1) d10 berubah menjadi ns2 ( n − 1) d4  → ns1 ( n − 1) d5

27

29

berubah menjadi X : Ne 3s2 3p6 4s2 3d9  → Ne 3s2 3p6 4s1 3d10 Jawab: B

3. Nomor atom belerang adalah 16. Dalam anion sulfida, S2konfigurasi elektronnya adalah… A. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p4 D. 1s2 2s2 2p6 3s4 3p2 B. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 E. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 4s2 C. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 Penyelesaian:

Konsep Praktis X ⇒ Xn + → melepas n elektron X ⇒ Xn − → menangkap n elektron

16

S :1s2 2s2 2p6 3s2 3p 4 ⇒ S2− menangkap 2 elektron

2 elektron akan masuk ke 3p 4 ⇒ 16 S2− :1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 Cara Praktis: Untuk anion/kation yang elektron valensinya berada di subkulit p → memiliki konfigurasi elektron mirip dengan golongan gas mulia → elektron valensi berjumlah 8. Jawaban B 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 memiliki elektron valensi 8. Jawab: B 4. Nomor atom unsur X sama dengan 26. Konfigurasi elektron ion X3+ adalah… A. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 4s2 D. 1s2 2s2 2p6 3s2 3d5 4s1 B. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d4 4s2 E. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 C. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d3 4s2 Penyelesaian: 2 2 6 2 6 2 6 3+ melepas 3 elektron 26 X :1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d ⇒ X 3 elektron akan lepas mulai dari subkulit terluar yaitu ke 4s baru ke 3d ⇒ 26 X3+ :1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5

Jawab: E

28

I. Menentukan Golongan dan Periode Elektron valensi adalah elektron–elektron yang dapat digunakan untuk pembentukan ikatan. Elektron valensi merupakan elektron yang terdapat pada kulit terluar.

Rumus Praktis Apabila elektron valensi: Terletak di orbital s atau p → golongan utama atau A ns x np y golongan = ( x + y ) A ⇒ periode =n Terletak di orbital d → golongan transisi atau B ns x ( n − 1) dy golongan = ( x + y ) B,kecuali golongan VIIIB, ( x + y ) = 8 / 9 /10 periode = n

golongan Ib, (x + y) = 11 golongan IIb, (x + y) = 12

J. Hubungan Konfigurasi Elektron dan Golongan UNSUR UTAMA Konfigurasi EV Gol. elektron kulit terluar ns1 1 IA ns2 2 IIA ns2 np1 3 IIIA ns2 np2 4 IVA ns2 np3 5 VA

Nama golongan

Alkali Alkali tanah Alumnium Karbon Nitrogen

29

UNSUR TRANSISI Konfigurasi Gol. elektron sub kulit (n-1)d ns (n-1)d1 ns2 IIIB (n-1)d2 ns2 IVB (n-1)d3 ns2 VB (n-1)d5 ns1 VIB (n-1)d5 ns2 VIIB

ns2 np4 6 VIA ns2 np5 7 VIIA ns2 np6 8 VIIIA Ket: EV = elektron valensi

Oksigen Halogen Gas mulia

(n-1)d6 ns2 (n-1)d7 ns2 (n-1)d8 ns2 (n-1)d10 ns1 (n-1)d10 ns2

VIIIB

IB IIB

Contoh Soal : 1. Unsur 35.517Y dalam sistem periodik terletak pada… A. Golongan IVB, periode 5 D. Golongan VIIA, periode 3 B. Golongan VIIIB, periode 4 E. Golongan VIIIB, periode 3 C. Golongan IVA, periode 3 Penyelesaian: Konfigurasi elektron 17Y :1s2 2s2 2p6 3s2 3p5 → elektron valensi 3s2 3p5 → golongan VIIA (5+2 = 7), periode 3 Cara Praktis: Golongan = 17 – 10 = 7 → Golongan VIIA (nomor atom <20). Periode = 2 + 1 = 3. Jadi 17Y terletak di Golongan VIIA, periode 3. Jawab: D

Konsep Praktis Menentukan golongan dan periode tanpa membuat elektron valensi → menggunakan nomor atom gas mulia. Golongan = nomor atom – nomor atom gas mulia di bawahnya Periode = nomor urut gas mulia + 1 → Golongan B, jika nomor atom > 20 dan hasil pengurangannya 3 – 12. Sisa 8/9/10 = VIIIB, sisa 11 = IB, dan sisa 12 = IIB. → cara ini terbatas untuk unsur dengan golongan < 56.

30

2. Unsur 29A dalam sistem periodik terletak pada…. A. Golongan IA, periode 3 D. Golongan IB, periode 4 B. Golongan IB, periode 3 E. Golongan IIB, periode 3 C. Golongan IA, periode 4 Penyelesaian: Golongan = 29 - 18 = 11, Sisa 11, sehingga golongan IB Periode = 3 + 1 = 4. Jadi 29A terletak pada golongan IB, periode 4. Jawab: D 3. Unsur 75 33 A dalam sistem periodik terletak pada golongan dan periode berturut – turut… A. IIIA, 4 D. VIIA, 3 B. IIIB, 4 E. VIIB, 4 C. VA, 4 Penyelesaian: Golongan = 33 – 18 = 15 – 10 = 5 → golongan VA (karena sisa 15→ masuk golongan A, tinggal dikurangi nomor golongan gas mulia di bawahnya lagi). Periode = 3 + 1 = 4 Jawab: C 4. Konfigurasi elektron ion L3+ adalah 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d3. Dalam sistem periodik, atom unsur L terletak pada… A. Periode 3, golongan VIA B. Periode 3, golongan VIIA C. Periode 4, golongan IVA D. Periode 4, golongan VIA E. Periode 4, golongan VIB Penyelesaian: Ion L3+ : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d3 L (+3 e) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5 4s1 (Ingat!!! orbital d cenderung terisi penuh/setengah penuh). → Golongan VIB, periode 4 Jawab: E

31

K. Sifat Unsur dalam Sistem Periodik Sifat-sifat periodik unsur merupakan sifat-sifat yang berhubungan dengan letak unsur pada SPU, berubah dan berulang secara periodik. Atas ( 1 Golongan) VOKAL

kuadran I

energi ionisasi elektronegatifitas afinitas elektron oksidator asam oksi Kiri

Kanan ( 1 Periode)

KONSONAN jari-jari atom logam basa reduktor

Kuadran III

Bawah

Keterangan: Kuadran I →semua sifat diawali dengan huruf VOKAL → nilai ke atas dan ke kanan semakin besar. Kuadran III → semua sifat diawali dengan huruf KONSONAN → nilai ke bawah dan ke kiri semakin besar.

Contoh Soal : Diketahui unsur 12X, 13Y, dan 38Z. pernyataan yang benar dari ketiga unsur tersebut adalah… A. Unsur X, Y, dan Z terletak dalam satu periode B. Energi ionisasi pertama Z lebih besar dibandingkan energi ionisasi pertama X C. Unsur Y bersifat reduktor paling kuat dibandingkan X dan Z D. Urutan jari–jarinya adalah Z > X > Y E. Unsur X dan Y memiliki sifat kimia yang sama

32

Penyelesaian: Unsur X 12 Y 13 Z 38

Golongan 12 – 10 = 2 → IIA 13 – 10 = 3 → IIIA 38 – 36 = 2 → IIA

Periode 2+1=3 2+1=3 4+1=5

Letak unsur X, Y, dan Z dalam sistem periodik unsur:

X

Y

Z Unsur X dan Y terletak dalam 1 periode, tetapi Z tidak. Urutan energi ionisasi Y > X > Z Urutan sifat reduktor Z > X > Y Urutan jari – jarinya adalah Z > X > Y Unsur X dan Z memiliki sifat kimia yang sama Jawab: D

K. Ikatan Kimia – sifat senyawa ditentukan oleh ikatan kimia yang membentuk L. Sifat Ikatan Kimia

senyawa tersebut. ditentukan Jenis – jenisoleh ikatan kimia yangyang sering muncul di Sifat – sifat senyawa ikatan kimia membentuk soal ujian adalah: senyawa tersebut. Jenis–jenis ikatan kimia yang sering muncul di soal ujian 1. adalah: Ikatan ion → Ikatan 1. Ikatan Ion yang terjadi antara atom yang cenderung melepas elektron dengan atom yang cenderung menangkap → Ikatan yang(logam) terjadi antara atom yang cenderung melepas elektron (non logam). elektron (logam) dengan atom yang cenderung menangkap → Dapat terjadi karena adanya serah terima elektron antar ion. elektron (non logam). → Dapat terjadi karena adanya serah terima elektron antar ion. Sifat umum senyawa ion: dan titik Sifat Titik umumdidih senyawa ion: lelehnya tinggi Keras, tetapi mudah patahtinggi Titik didih dan titik lelehnya Penghantar panas yang Keras, tetapi mudah patahbaik Lelehan maupun larutannya Penghantar panas yang baik dapat menghantarkan listrik (elektrolit) Larut dalam air

33

Lelehan maupun larutannya dapat menghantarkan listrik (elektrolit) Larut dalam air Tidak larut dalam pelarut organik (misal: alkohol, eter, benzena)

Rumus Praktis Ikatan ion terjadi antara: Gol. IA (kecuali H) Gol. VIA Gol. IIA (kecuali Be) + Gol. VIIA Contoh : NaCl, Na2O, MgF2, KCl

Contoh Soal : 1. Unsur X mempunyai nomor atom 20. Unsur Y memiliki nomor atom 9. Senyawa yang terbentuk dari kedua unsur ini mempunyai rumus… E. XY3 A. XY C. XY2 B. X2Y D. X2Y3 Penyelesaian: Langkah pertama: buat konfigurasi elektron masing – masing unsur, dan ubah ke bentuk ionnya, 2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 → gol. IIA (logam) → X2+ 20 X :1s 9

Y :1s2 2s2 2p5 → gol. VIIA (non logam) → Y − Atom X melepas 2 elektron valensinya sehingga elektron valensinya menyerupai gas mulia dan terbentuk ion X2+. Atom Y menangkap 1 elektron pada kulit terluarnya sehingga konfigurasi elektronnya sama dengan gas mulia dan terbentuk ion Y-.

34

Konsep Praktis Golongan IA - IIIA → membentuk ion positif (kation) Golongan VA - VIIA → membentuk ion negatif (anion) Langkah kedua: samakan muatan ion. X2+ 2Y-

XY2

Jawab: C 2. Ikatan yang terbentuk antara senyawa 13A dengan 16Y adalah… A. A2B3 C. AB2 E. AB3 B. A3B2 D. A2B Penyelesaian: 2 2s2 2p6 3s2 3p1 → gol. IIIA → A 3+ 13 A :1s 16

Y :1s2 2s2 2p6 3s2 3p 4 → gol. VA → B2−

2A3+

A2B3

3B2-

Jawab: A

2. Ikatan Kovalen

→ terjadi karena pemakaian pasangan elektron secara bersama oleh 2 atom yang berikatan. → Terjadi antara sesama unsur non logam. Perhatikan konfigurasi elektron berikut ini: C :2 4 → ev = 4 6 Cl : 2 8 7 → ev = 7 17 Struktur Lewis C dan Cl Agar stabil maka masing-masing harus mempunyai 8 elektron valensi, maka C dan Cl saling berikatan kovalen menjadi CCl4.

35

ikatan kovalen

ikatan kovalen

Cl

Cl

Cl

C Cl

ikatan kovalen

ikatan kovalen

Cl Rumus Strukturnya: Cl

C

Cl

Cl

Contoh Soal : 1. Pasangan senyawa berikut yang merupakan pasangan senyawa yang memiliki ikatan kovalen adalah… A. KI, KF, dan Cl2 D. Cl2, HF, dan KI E. NaCl, KI, dan KF B. H2O, NH3, dan NaCl C. NH3, H2O, dan Cl2 Penyelesaian:

Konsep Praktis Senyawa yang mengandung atom H atau senyawa yang terdiri dari 2 atom sejenis PASTI mempunyai ikatan kovalen.

KI dan KF → ikatan ion, Cl2 →ikatan kovalen B. NaCl → ikatan ion, H2O, NH3 → ikatan kovalen C. NH3, H2O, Cl2 → ikatan kovalen D. Cl2, HF → ikatan kovalen, KI → ikatan ion E. NaCl, KI, KF → ikatan ion

36

Jawab: C

2. Ikatan dan senyawa yang terbentuk dari 6R dan 17Q adalah… A. RQ, ion D. RQ2, kovalen B. RQ, kovalen E. R2Q, kovalen C. RQ2, ion Penyelesaian : 2 2s2 2p 4 → gol. VIA (non logam) → R 2− 6 R :1s 17

Q :1s2 2s2 2p6 3s2 3p5 → gol. VIIA (non logam) → Q −

R22Q-

RQ2 Jawab: D

Jenis ikatan kovalen yang sering muncul di soal ujian:

Ikatan kovalen koordinasi

→ Ikatan yang terbentuk dengan cara penggunaan bersama pasangan elektron yang berasal dari salah satu atom, sedangkan atom yang lain hanya menerima pasangan elektron yang digunakan bersama.

Contoh Soal : Pasangan elekton yang menunjukan ikatan kovalen koordinat adalah pasangan elektron nomor… A. 1 D. 4 B. 2 E. 5 C. 3

1 H 2

37

5

H

F

N

B

F

H

x x xF x xx

4

3

Penyelesaian:

Konsep Praktis Ikatan kovalen koordinat → pilih yang “tanda”nya sama. Nomor 3, memiliki tanda lambang Lewis yang sama → ikatan kovalen koordinasi. Jawab: C

Ikatan Kovalen Polar

→ Jika pasangan elektron ikatan (PEI) tertarik lebih kuat ke salah satu atom. → Memiliki momen dipol > 0 → Bentuk molekul asimetris → Terdiri dari dua atom tidak sejenis (misal HCl, HBr, HI) atau terdiri lebih dari dua atom tetapi memiliki pasangan elektron bebas pada atom pusatnya (misal NH3, H2O, PCl3).

Ikatan Kovalen Non Polar

→ Jika PEI tertarik sama kuat kesemua atom → Memiliki momen dipol = 0 → Bentuk molekul simetris → Terdiri dari dua atom yang sejenis (misal H2, Br2, I2, Cl2, F2) atau terdiri lebih dari dua atom tetapi tidak memiliki pasangan elektron bebas pada atom pusatnya (misal BH3CH4, PCl5).

38

Contoh Soal : Diantara senyawa kovalen berikut yang bersifat polar, kecuali… A. H2S C. BCl3 E. HI B. NH3 D. H2O Penyelesaian: Ikatan Kovalen Polar → punya PEB Ikatan Kovalen Non Polar → tidak punya PEB Ada tidaknya PEB biasanya ditentukan dengan cara menggambar rumus Lewisnya. CARA PRAKTIS menentukan PEB: A. H2S → Unsur S golongan VIA (punya 6 EV), dan mengikat 2 atom H. PEB = 6 – 2 = 4 elektron (2 pasang) B. NH3 → Unsur N golongan VA (punya 5 EV), dan mengikat 3 atom H. PEB = 5 – 3 = 2 (sepasang) C. BCl3 → Unsur B golongan IIIA (punya 3 EV), dan mengikat 3 atom Cl. PEB = 3 – 3 = 0 ( tidak punya PEB) D. H2O → Unsur O golongan VIA (punya 6 EV), dan mengikat 2 atom H. PEB = 6 – 2 = 4 (2 pasang) E. HI → Unsur I golongan VIIA (punya 7 EV), dan mengikat 1 atom H. PEB = 7 – 1 = 6 (3 pasang) Jawab: C

39

3. Ikatan Hidrogen

→ Ikatan yang terjadi antara atom H dengan atom yang sangat elektronegatif (F, O, N). ikatan ini menyebabkan nilai titik didih menjadi tinggi.

Contoh Soal : Diantara senyawa – senyawa berikut, yang memiliki ikatan hidrogen adalah…. (1) CH3COOH (3) HF (2) NH3 (4) HI

Konsep Praktis Ikatan Hidrogen → atom H terikat langsung pada atom F, O, N. CH3COOH, NH3, HF → atom H terikat langsung pada atom O, N atau F. HI → ikatan kovalen polar. Jawab : A (1,2,3 benar)

4. Gaya London

Gaya London ( gaya tarik dipol sesaat) terjadi pada molekul non polar yang mempunyai gaya tarik lemah akibat terbentuknya dipol sesaat. Contoh: H2, N2, CH4, dan gas-gas mulia.

5. Gaya Tarik Dipol–dipol

Gaya tarik antara molekul-molekul kutub positif dengan kutub negatif. Gaya tarik antar molekulnya lebih kuat dari gaya tarik antara molekul dipol sesaat - dipol terimbas.

40

M. Bentuk Molekul Menurut teori VSEPR (teori tolak menolak pasangan elektron), bentuk molekul dipengaruhi oleh gaya tolak menolak antara pasangan elektron yang berada di sekitar atom pusat. Ada 3 jenis gaya tolak menolak antara pasangan elektron dengan urutan kekuatan gaya sebagai berikut: peb – peb > pei – peb > pei - pei pei = pasangan elektron ikatan peb = pasangan elektron bebas Dalam teori VSEPR, atom pusat dilambangkan dengan huruf A, pei dengan huruf X dan peb dengan huruf E. Jumlah pasangan elektron dan bentuk molekul: Atom pusat 2 3 4

5

6

pei

peb

2 3 2 4 3 2 5 4

0 0 1 0 1 2 0 1

Notasi VSEPR AX2 AX3 AX2E AX4 AX3E AX2E2 AX5 AX4E

3 2 6 5

2 3 0 1

AX3E2 AX2E3 AX6 AX5E

4

2

AX4E2

41

Bentuk molekul

contoh

Linier Trigonal datar Bentuk huruf V Tetrahedral Piramid trigonal Bentuk huruf V Bipiramid trigonal Tetrahedral tak beraturan Bentuk huruf T Linear Oktahedral Piramid bujur sangkar Bujur sangkar datar

BeCl2 BF3 SO2 CH4 NH3 H2O PCl5 SF4 CIF2 XeF2 SF6 BrF6 XeF4

Contoh Soal : Tentukan bentuk molekul dari H2O! Penyelesaian: Langkah–langkah penyelesaian soal: 1. Tentukan jumlah elektron valensi dari masing–masing atom. 2. Tentukan atom pusatnya ( Ingat !!! atom pusat merupakan unsur yang jumlahnya paling sedikit) 3. Tentukan jumlah pei dan peb-nya. 4. Tulis notasi VSEPR-nya, dan tentukan bentuk molekulnya. Elektron valensi O = 6 Elektron valensi H = 2 (dari 2 atom H) Jumlah elektron disekitar atom pusat (O) = 6 elektron. Karena O mengikat 2 atom H, maka pei ada 2, dan peb = 6 – 2 = 4 ( 2 pasang peb). Maka notasi VSEPR-nya adalah AX2E2. Bentuk molekulnya adalah tetrahedral bentuk huruf V.

42

Uji Skill Rumus Praktis 1. SOAL UN Letak unsur X dengan nomor atom 26 dan nomor massa 56,dalam sistem periodik pada golongan dan periode… A. II A C. VI B dan 4 E. VIII B dan 4 B. VI B dan 3 D. VIII B dan 3 2. SOAL UN Konfigurasi elektron X2- dari suatu ion unsur A. 1s 2s 2p 3s 3p B. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p4 C. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 2

2

6

2

2

32 16

X adalah…

D. 1s 2s 2p 3s2 3p6 3d2 E. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 3d2 2

2

6

3. SOAL SNMPTN Konfigurasi elektron ion X2+ yang memiliki bilangan massa 45 dan 24 neutron adalah… A. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d1 B. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 41 C. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d1 D. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d2 E. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d3 4. SOAL UM UGM 32 35 Diketahui 4 macam unsur 168 A, 16 B, 17 C,dan 36 18 B . Pernyataan yang benar tentang unsur-unsur tersebut adalah… 1. Unsur B memiliki jari-jari atom terbesar 2. Potensial ionisasi unsur D adalah yang terbesar 3. Unusr A lebih elektonegatif dari pada unsur B 4. Elektonegatifitas unusr D adalah yang terbesar

5. SOAL UN Suatu unsur mempunyai konfigurasi elektron: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d7 4s2 Berlaku pernyataan bahwa unsur tersebut: 1. Mempunyai nomor atom 27 2. Terletak pada periodik ke 4

43

3. Mempunyai 3 elekton tak berpasangan 4. Termasuk golongan alkali tanah Pernyataan yang benar adalah… A. 1 dan 2 C. 1 dan 3 E. 1,2, dan 3 B. 2 dan 4 D. 2 dan 3 6. Suatu unsur dengan nomor atom 12, sifat – sifat kimianya mirip dengan unsur nomor atom… A. 12 C. 16 E. 2 B. 20 D. 6 7. SOAL UN Perhatikan unsur-unsur dengan nomor atom berikut: 11X, 15Y,dan Pernyataan yang tidak benar tentang sifat unsur-unsur tersebut adalah… A. Unsur Z bersifat non logam B. Keelektronegatifan unsur Z > Y > X C. Ketiga unsur tersebut memiliki jumlah elektron valensi yang sama D. X dan Z dapat membentuk senyawa dengan rumus XZ E. Jari-jari atom unsur X > Y > Z 8. SOAL SNMPTN Diketahui nomor atom H=1, N=7, O=8 dan Cu=29. Spesies yang mempunyai ikatan kovalen koordinasi adalah… 1. Cu(NH3)42+ 3. NH4+ + 2. H3O 4. Cu(OH)4 9. SOAL UN Unsur A (Z=11) dan B (Z=16) dapat membentuk senyawa dengan rumus kimia dan jenis ikatan… A. AB, ionik C. A2B, ionik E. AB2, ionik B. AB, kovalen D. A2B, kovalen 10. SOAL UMPTN Ikatan kovalen koordinasi terdapat pada… A. H2O C. CH4 E. C2H4 B. NH4+ D. HF

44

17

Z

11. SOAL UNAS Senyawa ammonium klorida oleh Lewis digambarkan sebagai berikut: Pasangan elekton yang menunjukan ikatan kovalen koordinat adalah pasangan elektron nomor… A. 1 C. 3 E. 5 B. 2 D. 4

1 H 2

5

H

F

N

B

F

H

x x xF x xx

4

3

12. SOAL SPMB Titik didih HF lebih tinggi dari pada HCl. Hal ini memyebabkan Karena antara molekul-molekul HF terdapat ikatan… A. Kovalen D. Van der Waals B. Ion E. Kovalen koordinat C. Hidrogen 13. SOAL UNAS Senyawa berikut yang merupakan pasangan senyawa polar dan non polar adalah… A. NH3 dan CCl4 C. HCl dan H2O E. BCl3 dan NH3 B. H2O dan NH3 D. BCl3 dan PCl5 14. SOAL UN Nomor atom P adalah 15, sedangkan Br adalah 35. Bentuk molekul PBr5 adalah… A. tetrahedron D. trigonal piramida B. segitiga sama sisi E. bujur sangkar C. trigonal bipiramida 15. Suatu padatan dengan struktur kristal ionik akan memiliki sifat-sifat… A. lunak, titik lebur rendah, dan tidak menghantar listrik B. keras, titik lebur rendah, dan cairannya menghantar listrik C. keras, titik lebur rendah, dan tidak menghantar listrik D. lunak, titik lebur tinggi, dan cairannya menghantar listrik E. keras, titik lebur tinggi, dan cairannya menghantar listrik

45

BAB 3 LARUTAN ASAM – BASA

A. Larutan Asam-Basa Teori Asam-Basa

Menurut perkembangannya, ada 3 teori asam basa ,yaitu: Teori Asam-Basa

.. Bronsted-Lowry

Teori Arrhenius

Asam : Donor proton Basa : Akseptor proton Konsep penting !!! Asam konjugasi memiliki 1 atom H lebih banyak dibanding basa konjugasi. Contoh : + −  NH3 + H2O   NH4 + OH B1 A2 A 1 B2

Teori Lewis Asam  Akseptor elektron Basa  Donor elektron

Asam-Basa konjugasi

46

Contoh Teori Lewis:

H

O

H

+

H+

[

H



Asam Basa

H

O

H

[

+

Contoh Soal : 1. Tentukan manakah diantara zat-zat dibawah ini yang bersifat asam dan tulis hasil ionisasinya! a. HCl c. H2SO4 b. NaOH d. Mg(OH)2 Penyelesaian: Hasil ionisasi: HCl → H+ + Cl−

Asam

+

−

+

2− 4

NaOH → Na + OH

Basa

H2SO4 → 2H + SO 2+

Asam −

Mg(OH)2 → Mg + 2OH

Basa

Konsep Praktis Menurut Arrhenius, Asam  punya H+, Basa punya OHJawaban : HCl dan H2SO4. 2. SOAL SPMB Yang merupakan pasangan asam basa konjugasi pada reaksi : H2PO4− (aq) + H2O(l)  HPO24− (aq) + H3O+ (aq)

47

a. H2PO4− (aq) dan HPO24− (aq)

b. H2PO4− (aq) dan H2O(l)

d. HPO24− (aq) dan H2O(l)

e. HPO24− (aq) dan H3O+ (aq)

c. H2PO4− (aq) dan H3O+ (aq) Konsep Praktis Asam-Basa konjugasi memiliki struktur senyawa yang mirip. Jawaban (a) H2PO4− (aq) dan HPO24− (aq) karena struktur senyawanya mirip.

Penentuan pH Larutan

Untuk menentukan konsentrasi ion H+ dalam larutan, maka seorang kimiawan yang bernama Soerensen (1968 – 1939) mengajukan konsep pH. p dari pH berasal dari kata potenz yang berarti pangkat dan H merupakan tanda atom hidrogen. Nilai pH dirumuskan: pH = − log H+  pOH = − log OH− 

pH + pOH = 14

Semakin besar konsentrasi ion H+, makin kecil nilai pH. Artinya suatu larutan dengan pH = 1 merupakan 10 kali lebih asam daripada larutan dengan pH = 2. Pada suhu kamar, harga Kw = 1 x 10-14, maka: pH larutan < 7, sifat asam pH larutan = 7, sifat netral pH larutan > 7, sifat basa

Larutan Asam dan Basa

Larutan asam dan basa dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu larutan asam kuat dan asam lemah, serta larutan basa kuat dan basa lemah. Asam kuat akan terionisasi seluruhnya dalam air menjadi ion H+ atau H3O+ dan ion sisa asam, sedangkan basa kuat akan terionisasi total dalam air menjadi ion OH- dan ion sisa basa. Asam lemah dan basa lemah akan terionisasi

48

sebagian dalam air. Bagian yang terionisasi dan yang tidak terionisasi akan membentuk sistem kesetimbangan dalam larutan. Larutan

Rumus pH

Asam Kuat

Contoh senyawa

H  = a ⋅ Ma dimana a = jumlah H+ +

Ma = [asam]

Basa Kuat

OH- = b ⋅ Mb dimana b = jumlah OHMb = [basa]

H+ + Gol. VIIA kecuali F  HCl, HBr, HI H2SO4 , HNO3 , dan HClO4

OH- + Gol. IA  LiOH, NaOH, KOH, RbOH, CsOH OH- + Gol. IIA kecuali Be dan Mg  Ca(OH)2, Sr(OH)2, Ba(OH)2

Asam Lemah

H+  = Ka ⋅ Ma = α ⋅ Ma

HF, CH3COOH, H2CO3 , H3PO4 , dan HCN

Basa Lemah

OH-  = Kb ⋅ Mb = α ⋅ Mb

Be(OH)2 , Fe(OH)3 , Zn(OH)2 , dan Al(OH)3

Konsep Praktis Jika kalian kesulitan membedakan antara asam kuat, asam lemah, basa kuat dan basa lemah, maka perhatikan data yang diketahui. Bila terdapat nilai Ka berarti asam lemah. Sebaliknya bila terdapat nilai Kb berarti basa lemah.

49

Contoh Soal : 1. SOAL SPMB Besar pH larutan HCl 1 x 10-2 M adalah .. a. 2 c. 6 b. 4 d. 7

e. 9

Penyelesaian: HCl  asam kuat H+  = a ⋅ Ma

(

=1 ⋅ 1 × 10 −2 = 10

−2

)

pH = − log H  = − log 10 −2  +

=2

Jawab: A

2. pH dari larutan asam etanoat 0,2 M (Ka = 2 x 10-5) adalah… A. 3 – log 2 C. 4 – log 4 E. 5 – log 2 B. 1 – log 2 D. 2 – log 2 Penyelesaian: Asam etanoat → punya Ka → asam lemah + H= 

Ka ⋅ Ma = 2 × 10 −5 ⋅ 0,2

= 2 × 10 −3 pH = − log H+  = − log2 × 10 −3 = 3 − log2

Jawab: A

50

Titrasi Asam – Basa

Prinsip dari titrasi asam basa merupakan reaksi penetralan. Kadar larutan asam ditentukan dengan menggunakan larutan basa dan sebaliknya. Adapun rumus untuk titrasi asam basa adalah:

Rumus Praktis (M ⋅ V ⋅ n)asam = (M ⋅ V ⋅ n)basa Dimana : nasam = valensi asam, jumlah H+ nbasa = valensi basa, jumlah OHM = konsentrasi V = volume larutan

Contoh Soal : Berikut data hasil titrasi larutan H2SO4 dengan larutan NaOH 0,1 M. Percobaan

Volume H2SO4 Volume NaOH yang yang dititrasi (mL) digunakan (mL)

1

10

16

2

10

14

3

10

15

4

10

15

Berdasarkan data tersebut, konsentrasi larutan H2SO4 adalah… A. 0,070 M C. 0,080 M E. 0,143 M B. 0,075 M D. 0,133 M

51

Penyelesaian: (M ⋅ V ⋅ n)H SO = (M ⋅ V ⋅ n)NaOH 2

4

  16 + 14 + 15 + 15    ⋅1   0,1 ⋅  4     = 0,075 M

(M ⋅ 10 ⋅ 2 )= MH2 SO4

Jawab B

Indikator

Indikator adalah alat yang digunakan untuk mengetahui apakah suatu larutan bersifat asam atau basa. Macam-macam indikator: Nama Fenoftalin (pp)

Trayek pH

Perubahan warna

8,3 – 10

Tak berwarna – merah

Metil orange (mo)

3 – 4,5

Merah – kuning

Metil merah (mm)

4,4 – 6,6

Merah – kuning

Bromtimol blue (btb)

6,0 – 7,6

Kuning – biru

Lakmus

Asam

Lakmus merah: Merah Lakmus biru: Merah

Basa

Lakmus merah: Biru Lakmus biru: Biru

52

Contoh Soal : Data uji derajat keasaman dari dua jenis sampel air limbah menggunakan beberapa indikator: Indikator

Trayek pH/ Perubahan warna

Air limbah A

Air limbah B

MM

4,2 – 6,2 Merah – kuning

Kuning

Kuning

PP

8,3 – 10,0 Tak berwarna – merah

Merah

Tak berwarna

BTB

6,0 – 7,6 Kuning - biru

Biru

Hijau

Harga pH untuk sampel air limbah A dan B berturut – turut adalah … A. pH ≤ 10,0 dan 6,2 ≤ pH ≤ 10,0 B. pH ≥ 10,0 dan 6,2 ≤ pH ≤ 7,6 C. 6,2 ≤ pH ≤ 7,6 dan pH ≥ 10,0 D. 4,2 ≤ pH ≤ 8,3 dan 4,2 ≤ pH ≤ 6,2 E. 7,6 ≤ pH dan pH ≥ 8,3 Penyelesaian: Dengan metode garis bilangan, di dapat :

6,2

7,6

10

Air limbah A : pH ≥ 10,0

6

6,2

7,6

8,3

Jawab: B

53

Konsep Praktis Jika anda kesulitan membedakan menentukan tanda ≤ dan ≥, lihat tanda panah dari garis bilangan. Untuk tanda panah ke kanan, pilih angka yang paling besar, diberi tanda ≥. Untuk tanda panah ke kiri, pilih angka yang paling besar, diberi tanda ≤.

Uji Skill Rumus Praktis 1. SOAL SNMPTN  HS- (aq) + H2O (l)   H2S (aq) + OH- (aq). Ion HS- (aq) bertindak sebagai asam. Sebab Menurut teori asam basa Arrhenius, suatu asam dapat menerima ion H+. 2. SOAL SPMB H2O berlaku sebagai asam Bronsted – Lowry dalam reaksi …  (1). HS- + H2O   H2S + OH (2). NH4+ + H2O   NH3 + H3O+  (3). CH3NH2 + H2O   CH3NH3+ + OH (4). HSO4- + H2O   SO42- + H3O+ 3. SOAL UMPTN Ion H2PO4- adalah asam konjugasi dari HPO42- atau basa konjugasi dari H3PO4. Sebab Ion H2PO4- dapat melepaskan proton dan dapat pula mengikat proton.

54

4. SOAL UN Perhatikan data pengujian pH beberapa sampel air limbah berikut! Air limbah yang tercemar asam adalah…. A. P dan Q D. S dan T B. Q dan T E. T dan R C. R dan S

Jenis air limbah

pH

P

8

Q

5,5

R

7,6

S

9,4

T

4,7

5. SOAL UM UGM Amina merupakan basa Bronsted. Bau ikan yang tidak menyenangkan disebabkan adanya amina tertentu. Pada saat memasak ikan sering ditambahkan lemon juice untuk menghilangkan bau ikan. Sebab Asam dalam lemon juice mengubah amina menjadi garam ammonium yang mempunyai tekanan uap sangat rendah. 6. SOAL SPMB Suatu obat baru yang diperoleh dari biji tanaman ternyata basa organik yang lemah. Bila 0,1 M larutan tersebut dalam air mempunyai pH 11, maka Kb obat tersebut adalah… A. 10-2 C. 10-4 E. 10-6 -3 -5 B. 10 D. 10 7. SOAL UN Berdasarkan pengujian sampel air limbah, diperoleh data sebagai berikut: Sampel

Indikator MM (tayek pH 4,2-6,2) merahkuning

BTB (trayek pH 6,0-7,6) kuning-biru

PP (trayek pH 8,310) tak berwarnamerah

A

Kuning

Biru

Merah

B

Kuning

Biru

Tak berwarna

Harga pH untuk sampel A dan B berturut-turut adalah…

55

A. ≤ 6,3 dan 7,6 ≤ pH ≤ 8,3 B. 7,6 ≤ pH ≤ 8,3 dan ≤ 10 C. 7,6 ≤ pH ≤ 8,3 dan ≥ 10

D. ≥ 10 dan 7,6 ≤ pH ≤ 8,3 E. ≤ 10 dan 7,6 ≤ pH ≤ 8,3

8. SOAL UN Ke dalam gelas kimia yang berisi 100 mL CH3COOH dan gelas kimia yang berisi 100 mL HCl 0,002 M diteteskan indikator universal menunjukkan warna larutan yang sama. Bila Ka asam asetat 10-5, konsentrasi asam asetat adalah… A. 0,1 M C. 0,4 M E. 2 M B. 0,2 M D. 1 M 9. SOAL UN Berikut ini data hasil uji dua jenis air limbah dengan beberapa indikator sebagai berikut: Indikator

Trayek pH

Perubahan warna

Air limbah A

Air limbah B

Lakmus

4,5=8,3

Merah–biru

Biru

Merah

Metil merah

4,2–6,2

Merah–kuning

Kuning

Merah

Bromtimol biru

6,0–7,6

Kuning–Biru

Biru

Kuning

Fenolftalin

8,3–10,0

Tak berwarna– merah

Merah

Tak berwarna

Harga pH dari air limbah A dan B berturut – turut adalah… A. ≤ 10 dan ≥ 4,2 D. ≥ 8,3 dan ≤ 4,3 B. ≤ 8,3 dan ≥ 4,5 E. ≥ 10 dan ≤ 4,2 C. ≥ 4,2 dan ≤ 10 10. SOAL SNMPTN Diketahui reaksi berikut: − +  B ( OH)3 (aq) + H2O (l)  10 −9  B ( OH)4 (aq) + H (aq) Kc = pH yang dimiliki larutan B(OH)3 0,001 M dalam air adalah… A. 3 – log 3 C. 6 D. 11 + log 3 B. 3 E. 9

56

11. SOAL UN Berikut ini data hasil titrasi 25 mL asam cuka dengan natrium hidroksida 0,1 M menggunakan indicator fenolftalein: Titrasi ke

1

2

3

Volume CH3COOH, mL

25

25

25

Volume NaOH, mL

19

20

21

Berdasarkan data tersebut, konsentrasi asam cuka adalah… A. 0,05 M C. 0,08 M E. 0,12 M B. 0,06 M D. 0,10 M 12. SOAL SPMB Bila larutan asam kuat dengan pH = 1 diencerkan 10 kali, maka pH larutan = 2. Sebab Jumlah ion H+ dalam larutan berubah bila larutan diencerkan. 13. SOAL UN Berikut data hasil titrasi larutan HCl dengan larutan NaOH 0,1 M Percobaan

Volume HCl yang dititrasi (mL)

Volume NaOH yang digunakan (mL)

1

20

15

2

20

14

3

20

16

Berdasarkan data tersebut, konsentrasi larutan HCl adalah… A. 0,070 M C. 0,080 M E. 0,143 M B. 0,075 M D. 0,133 M 14. SOAL SPMB Manakah pasangan asam – basa konjugasi yang benar… (1). NH4+ dan NH2(2). H2PO4- dan HPO42(3). H3SO4+ dan HSO4(4). CH3OH2+ dan CH3OH

57

BAB 4

LARUTAN PENYANGGA (BUFFER), HIDROLISIS, DAN Ksp

A. Larutan Penyangga (Buffer) Buffer adalah larutan yang dapat mempertahankan harga pH apabila ke dalam larutan tersebut ditambah sedikit asam, basa, ataupun dilakukan pengenceran.

Contoh Soal : Perhatikan data percobaan berikut: Larutan

I

II

III

IV

V

pH awal

5

7

8

9

4

Ditambah sedikit asam

4,9

4

5,3

8,5

2,1

Ditambah sedikit basa

5,2

10

12,5

9,3

8,2

Yang termasuk larutan penyangga adalah … A. I dan II C. II dan III E. I dan V B. I dan III D. I dan IV Penyelesaian:

Konsep Praktis Buffer → ditambah sedikit asam maupun basa, pH relatif konstan.

58

Larutan I dan IV mengalami perubahan pH yang tidak terlalu signifikan, sehingga termasuk larutan penyangga. Jawab: D

Jenis Buffer Buffer

Spesi penyusun

pH

Contoh

Rumus pH

Buffer Asam pH < 7 CH3COOH + CH3COONa n H + =  K a × a H3PO4 + Li3PO4 asam lemah (AL)+ ng HF + CaF2 Garamnya Buffer basa

Basa lemah (BL)+ Garamnya

pH > 7 NH4OH + NH4Cl Mg(OH)2 + MgBr2 NH4OH + NH4NO3

n OH−=  Kb × b   n

Ada 2 tipe soal larutan penyangga:

Tipe 1. Cara langsung Maksudnya data soal bisa langsung dimasukkan ke dalam rumus buffer. Data yang ada di soal: AL + Garamnya atau BL + Garamnya Tips: data disoal mempunyai rumus senyawa yang mirip karena merupakan pasangan asam basa konjugasi, contoh: NH4OH + NH4Cl CH3COOH + CH3COONa

59

g

Contoh Soal : 1. 500 mL larutan Na-asetat 0,1 M dicampur dengan 500 mL larutan asam asetat 0,1 M, diketahui Ka asam asetat = 10-5. Harga pH larutan sama dengan … A. 5 C. 7 E. 9 B. 6 D. 8 Penyelesaian: Asam asetat → asam lemah (punya Ka), molnya = 500 mL × 0,1 M = 50 mmol Na-asetat → garam, molnya = 500 mL × 0,1 M = 50 mmol H+  =K a × na =10 −5 × 50 mmol =10 −5   ng 50 mmol

( )

pH = 5 − log 10 −5 =

Ingat !!! Asam lemah → punya Ka, Basa lemah → punya Kb Cara singkat: Dalam larutan buffer, apabila diketahui AL+Garamnya atau BL+Garamnya, maka nilai mol = molaritas, karena volume larutan sama. Maka: H+  =K a × na =10 −5 × 0,1 M =10 −5   ng 0,1 M

( )

pH = 5 − log 10 −5 = Apabila dalam soal diketahui nilai mol AL = mol garam atau mol BL = mol garam, maka pH = − log ( Ka ) Jawaban : A

60

Tipe 2. Cara tak langsung Data soal biasanya berupa asam dan basa sehingga harus direaksikan terlebih dahulu. Data di soal: AL + BK atau BL + AK Penyelesaian: 1. Cek mol asam dan basanya, bila mol AL/BL > BK/AK →Buffer. 2. Reaksikan, sehingga didapat mol AL/BL sisa dan mol garam. 3. Masukkan ke rumus buffer.

Contoh Soal : 1. Campuran dibawah ini yang menghasilkan sistem buffer adalah A. 50 mL NaOH 0,02 M + 50 mL H2SO4 0,02 M B. 50 mL NaOH 0,01 M + 50 mL CH3COOH 0,01 M C. 50 mL NH4OH 0,02 M + 50 mL HCl 0,02 M D. 50 mL NH4OH 0,04 M + 50 mL HCl 0,02 M E. 50 mL NH4OH 0,02 M + 50 mL HCl 0,04 M Penyelesaian:

Konsep Praktis Buffer → mol AL > mol BK atau mol BL > AK Karena: NH4OH → basa lemah, molnya = 50 mL x 0,04 M = 2 mmol. HCl → asam kuat, molnya = 50 mL x 0,02 M = 1 mmol. Jawaban: D 2. Larutan 100 mL CH3COOH 0,15 M dicampur dengan 50 mL larutan NaOH 0,2 M. Ka CH3COOH = 10-5 maka pH campuran tersebut…. A. 5 – log 3 C. 3 – log 5 E. 6 – log 5 B. 6 – log 3 D. 3 – log 6

61

Penyelesaian: CH3COOH + NaOH m

15 mmol

10 mmol

t

10 mmol

10 mmol

CH3COONa + H2O 10 mmol

s

10 mmol 5 mmol Terdapat sisa asam lemah →buffer asam Mol asam sisa = 5 mmol, Mol garam = 10 mmol n 5 mmol H+  = Ka × a = 10 −5 × 5 × 10 −6 =   ng 10 mmol

(

10 mmol 10 mmol

)

pH = 6 − log5 − log 5 × 10 −6 =

Cara Praktis Data di soal : AL + BK ( syarat : mol AL > mol BK )  K × na − nb Rumus pH : H+= a   nb Data di soal : BL + AK ( syarat : mol BL > mol AK )  K × nb − na Rumus pH : OH−=   b na = Dimana : na mol = asam, nb mol basa Data yang didapat dari soal: CH3COOH →asam lemah (punya Ka), mol awal = 15 mmol NaOH → basa kuat, mol awal = 10 mmol Mol asam lemah > mol basa kuat → buffer asam n −n 15 mmol - 10 mmol = 5 × 10 −6 K a × a b = 10 −5 × nb 10 mmol pH= 6 − log5

[H + ] =

Jawaban: E

62

3. Tentukanlah pH campuran 200 mL larutan NH3 0,2 M yang direaksikan dengan 200 mL larutan HNO3 0,1 M! (Kb NH3= 10–5) ! Penyelesaian: m

NH3 + HNO3 40 mmol 20 mmol

t

20 mmol

s

NH4NO3

20 mmol

20 mmol 20 mmol

20 mmol

Terdapat sisa basa lemah →buffer basa Mol asam sisa = 20 mmol, Mol garam = 20 mmol OH−  =K b × nb =10 −5 × 20 mmol =10 −5   ng 20 mmol

( )

pOH = 5 − log 10 −5 = pH = 14 − pOH = 14 − 5 = 9

B. Hidrolisis Garam Bila suatu garam dilarutkan ke dalam air, maka ada dua kemungkinan yang akan terjadi, yaitu: a. Garam akan bereaksi dengan air dan mengalami hidrolisis membentuk ion H+ atau OH-, sehingga larutan akan bersifat asam ataupun basa. Garam yang dapat mengalami hidrolisis adalah garam yang mengandung ion elektrolit lemah. b. Garam tidak akan bereaksi dengan pelarut air (tidak terhidrolisis), sehingga larutan tetap bersifat netral. Garam yang tidak terhidrolisis adalah garam yang tidak mengandung ion elektrolit lemah.

63

Asal ion

Contoh

Asam lemah

F− ,CH3COO− , PO34− ,CN− ,S2−

Basa lemah

Keterangan Ion-ion tersebut terhidrolisis menghasilkan OH− sehingga bersifat basa. Contoh: F− + H2O → HF + OH−

NH4+ ,Ag+ ,Cu2+ Ion-ion tersebut terhidrolisis menghasilkan H+ sehingga bersifat asam. Contoh: NH4+ + H2O → NH4OH + H+

Asam kuat

Cl− ,SO24− ,NO3−

Ion-ion tersebut tidak terhidrolisis

Basa kuat

Na+ ,Ba2+ ,Ca2+

Ion-ion tersebut tidak terhidrolisis

Berdasarkan asam-basa penyusunnya, garam dapat dibagi menjadi empat kelompok, yaitu: Penyusun garam

Jenis Hidrolisis

pH

AK + BL Contoh: NH4Cl, (NH4)2SO4, AgNO3, CuSO4

Hidrolisis pH < 7 sebagian

AL + BK Contoh: CH3COONa, K3PO4, BaF2, Ca(CH3COO)2

Hidrolisis pH > 7 sebagian

Sifat larutan Asam

Rumus pH

= H+   

Kw × [ G] Kb

G = garam

64

Basa

− OH =  

Kw × [ G] Ka

AL + BL Contoh: NH4CN, Al2S3, (NH4)2CO3

Hidrolisis pH < 7 sempurna pH >7

Asam (Ka > Kb)

pH =7

Netral (Ka = Kb)

AK + BK Tidak ter- pH = 7 Contoh: NaCl, K2SO4, hidrolisis Ba(NO3)2

H+  = K w × K a   Kb

Basa (Ka < Kb)

Netral

-

Contoh Soal : Diketahui garam–garam: 1. BaSO4 4. Mg(NO3)2 2. Na2CO3 5. K2S 3. NH4Cl Pasangan garam yang larutannya dalam air bersifat basa adalah… A. 1 dan 2 D. 3 dan 4 B. 1 dan 4 E. 3 dan 5 C. 2 dan 5 Penyelesaian:

Konsep Praktis Larutan dalam air bersifat basa → mengalami hidrolisis dengan spesi penyusun AL + BK.

65

Garam

Spesi penyusun

Sifat

BaSO4

Ba(OH)2 (BK)+ H2SO4 (AK)

Netral, tidak terhidrolisis

Na2CO3

NaOH (BK)+ H2CO3 (AL)

Basa

NH4Cl

NH4OH (BL)+ HCl (AK)

Asam

Mg(NO3)2

Mg(OH)2 (BK)+ HNO3 (AK)

Netral, tidak terhidrolisis

K2S

KOH (BK) + H2S (AL)

Basa Jawab : C

Ada 2 tipe soal hidrolisis, yaitu:

Tipe 1. Cara langsung Maksudnya data soal bisa langsung dimasukkan ke dalam rumus hidrolisis. Data yang ada di soal: Garam + nilai Ka atau Kb

Contoh Soal : 1. SOAL UMPTN Jika Ka CH3COOH = 10-5, maka pH larutan CH3COONa 0,1 M adalah… A. 7,0 D. 8,5 B. 7,5 E. 9,0 C. 8,0 Penyelesaian: CH3COONa merupakan garam → hidrolisis −14 OH−  = K w × [ Garam] = 10 × 0,1 M =10 −5   Ka 10 −5

( )

pOH =− log 10 −5 =5 ⇒ pH =14 − 5 =9 Jawaban: E

66

Tipe 2. Cara tak langsung Data soal biasanya berupa asam dan basa sehingga harus direaksikan terlebih dahulu, sehingga mol garam diketahui. Syarat: mol AL atau BL = mol AK atau BK

Contoh Soal : 1. Pada pencampuran 50 mL larutan CH3COOH 0,2 M dengan 50 mL larutan NaOH 0,2 M dimana nilai Ka CH3COOH adalah 10-5, maka diperoleh larutan dengan pH sebesar A. 5 D. 8,5 + ½ log 5 B. 9 E. 6 – log 7 C. 5,5 - ½ log 5 Penyelesaian: Reaksi yang terjadi : CH3COONa + H2O

CH3COOH + NaOH m

10 mmol

10 mmol

t

10 mmol

10 mmol

10 mmol

s

10 mmol

CH3COONa = V

Mol

=

campuran

10 mmol 10 mmol

10 mmol =0,1 M 100 mL

−14 OH−  = K w × CH3COONa = 10 × 0,1 M =10 −5   Ka 10 −5

( )

pOH = 5 − log 10 −5 = pH = 14 − pOH = 14 − 5 = 9

67

Cara singkat:

Rumus Praktis Data di soal : AL + BK ( syarat : mol AL = mol BK ) Kw mol = H+  ×   K b Vcampuran Rumus pH : Data di soal : BL + AK ( syarat : mol BL = mol AK ) Kw mol − OH = ×   K a Vcampuran Rumus pH : Dimana : mol = mol asam atau basa.

Data yang didapat: Mol CH3COOH = mol NaOH = 50 mL x 0,2 M = 10 mmol Kw mol 10 −14 10 mmol OH−  = 10 −5 × = −5 × =   K a Vcampuran 100 mL 10 pOH = 5 − log 10 −5  =   pH = 14 − 5 = 9 Jawab : B

C. Hasil Kali Kelarutan (Ksp) Kelarutan (s) adalah konsentrasi maksimum zat terlarut dalam suatu larutan atau dapat juga didefinisikan sebagai banyaknya jumlah mol maksimum zat yang dapat larut dalam suatu larutan yang bervolume 1 liter. Sedangkan definisi hasil kali kelarutan (Ksp) adalah hasil kali konsentrasi ion-ion suatu elektrolit dalam larutan (s).

68

Contoh: Tentukanlah kelarutan Mg(OH)2 dalam Molar, jika 5,8 gram Mg(OH)2 larut dalam 500 mL air! Mr Mg(OH)2 = 58! Penyelesaian: gr 1000 5,8 1000 s= × = × = 0,2 Molar Mr V (mL) 58 500 Hubungan antara kelarutan dengan Ksp: Nilai s besar (mudah larut)

Nilai Ksp besar

Nilai s kecil (sukar larut)

Nilai Ksp kecil

Kelarutan (s)

Penentuan rumus Ksp Untuk senyawa A xBy , maka : A xBy  x A y+ + y Bx − x

Ksp A y +  ⋅ Bx −  =    

y

Hubungan Ksp dengan kelarutan (s): Ksp =

(( x+y ) − 1)( x+y) −1 ⋅ sx+y

Rumus Praktis Ksp = X x ⋅ Y y ⋅ Sx + y Bila nilai x+y = 2, maka Ksp = S2 Bila nilai x+y = 3, maka Ksp = 4S3 Bila nilai x+y = 4, maka Ksp = 27S4

69

Contoh Soal : Tentukan nilai Ksp Ba(OH)2 bila diketahui kelarutan Ba(OH)2 adalah S. Penyelesaian: Ba(OH)2 → Ba2 + + 2OH− 2

2 Ba2 +  ⋅ OH−  = Ksp Ba(OH)2 = S ⋅ 2S = 4S3     ( )( )

Rumus Praktis Karena nilai x+y = 3, maka nilai Ksp Ba(OH)2 = 4S3.

Ada beberapa tipe soal tentang hasil kali kelarutan yang sering keluar di UNAS, maupun ujian masuk universitas, yaitu:

Tipe 1 : Hubungan Ksp dan kelarutan (s) Data yang diperoleh: Diketahui nilai s → dicari nilai ksp Diketahui nilai Ksp → dicari nilai s. Penyelesaian: langsung masukkan data ke rumus Ksp.

Contoh Soal : 1. Pada suatu suhu tertentu, kelarutan PbI2 dalam air adalah 1,5∙10-3 mol/L. Nilai Ksp dari PbI2 adalah … A. 4,50∙10-9 C. 6,75∙10-8 E. 1,35∙10-8 -9 -8 B. 3,37∙10 D. 4,50∙10

70

Penyelesaian: PbI2 → Pb2 + + 2I− 2

2 Pb2 +  ⋅ I−  = Ksp PbI2 = S ⋅ 2S     ( )( )

(

3 = 4S = 4 1,5 ⋅10 −3

)

3

= 3,37 × 10 −9

Cara singkat: Nilai x + y =3 maka, Ksp = 4s3 = 4(1,5 . 10-3)3 = 3,37 x 10-9

Jawab: B

2. Diketahui Ksp AgCl = 10-10, AgBr = 10-13, dan AgI = 10-16. Jika s menyatakan kelarutan dalam mol/L maka … A. sAgI > sAgBr > sAgCl D. sAgI = sAgBr < sAgCl B. sAgI < sAgBr < sAgCl E. sAgI > sAgBr < sAgCl C. sAgI < sAgBr > sAgCl Penyelesaian: Nilai x + y dari AgI, AgBr dan AgCl sama yaitu 2, sehingga nilai Ksp-nya adalah s2. → untuk AgI: Ksp AgI = s2 = sAgI

= Ksp AgI

= 10 −16 10 −8

→ untuk AgBr: Ksp AgBr = s2 = sAgBr

Ksp= AgBr

= 10 −13 10 −6,5

→ untuk AgCl: Ksp AgCl = s2 = sAgCl

Ksp= AgCl

= 10 −10 10 −5

71

Maka : sAgI < sAgBr < sAgCl Cara praktis:

Ksp ≈ s

Nilai Ksp AgI < AgBr < AgCl ≈ kelarutan AgI < AgBr < AgCl Jawab : B

Tipe 2 : Pengaruh ion sejenis Konsep praktis: Adanya ion sejenis dalam larutan menyebabkan nilai s (kelarutan) semakin kecil. Semakin besar konsentrasi ion sejenis, maka semakin kecil kelarutannya. Data yang diketahui: I. Tentukan ion sejenis dan konsentrasinya. II. Lihat nilai Ksp-nya. Bila di soal nilai Ksp tidak diketahui, cari nilai Ksp dari kelarutannya.

Contoh Soal : 1. Kelarutan PbI2 (Ksp = 1,6 x 10-8) dalam larutan Pb(NO3)2 0,1 M adalah…. A. 2 x 10-3 mol/L D. 4 x 10-4 mol/L -3 B. 4 x 10 mol/L E. 8 x 10-4 mol/L -4 C. 2 x 10 mol/L Penyelesaian: Data I : Konsentrasi ion sejenis Pb2+ = 0,1 M Data II : Ksp PbI2 = 1,6 x 10-8 Langkah penyelesaian: I. Tulis rumus Ksp-nya II. Masukkan data ion sejenisnya III. Hitung nilai kelarutannya

72

Ksp Pb2 +  ⋅ I−  =    

2

1,6 × 10 −8 =[ 0,1] ⋅ s2

s= 4 × 10 −4 Jawab: D 2. Kelarutan PbSO4 dalam air adalah 1,4 x 10-4 M pada suhu sekitar 30°C. Bila dilarutkan dalam larutan K2SO4 0,05 M, kelarutan PbSO4 menjadi … A. 1,0 x 10-8 M D. 1,2 x 10-5 M -6 B. 0,2 x 10 M E. 1,4 x 10-4 M -6 C. 0,4 x 10 M Penyelesaian: Data I : Konsentrasi ion sejenis SO42+ = 0,05 M Data II : Ksp PbSO4 = s2 = (1,4 x 10-4)2 = 2 x 10-8 Ksp Pb2 +  ⋅ SO24−  =    

2 × 10 −8 = [ s] ⋅[ 0,05]

s= 4 × 10 −7 = 0, 4 × 10 −6 Jawab: C

Tipe 3 : Pengendapan Konsep praktis: Q < Ksp → larutan belum mengendap (larut) Q = Ksp → larutan mulai mengendap (tepat jenuh) Q > Ksp → larutan sudah mengendap Langkah penyelesaian: I. Cari konsentrasi ion → [ ion] =

mol Vcampuran

II. Cari nilai Q-nya dengan rumus seperti rumus Ksp III. Bandingkan nilai Q dengan Ksp

73

Contoh Soal : Berikut harga Ksp beberapa senyawa: Ksp CaSO4 = 2 x 10-2 Ksp SrSO4 = 2 x 10-7 Ksp BaSO4 = 1 x 10-10 Ksp PbSO4 = 2 x 10-8 Jika 100 mL larutan yang mengandung ion Ca2+, Sr2+, Ba2+, dan Pb2+ sama yaitu 2 x 10-4 M kemudian dicampur dengan 150 mL larutan Na2SO4 0,002 M maka garam sulfat yang mengendap adalah… A. SrSO4 dan PbSO4 D. BaSO4 dan PbSO4 B. CaSO4 dan BaSO4 E. SrSO4 dan CaSO4 C. SrSO4 dan BaSO4 Penyelesaian: I. Cari konsentrasi ion mol V ×M 150 mL × 2 ⋅10 −4 M Ca2 +  = = = = 10 −4 M   V V 150 mL 150 mL + campuran campuran 2+   2+   2+   2+  Ca Sr Ba = = = Pb = 10 −4 M        

mol V ×M 150 mL × 0,002 M SO2 −  = = = = 10 −3 M  4  V V 150 mL 150 mL + campuran campuran II. Cari nilai Q, dan bandingkan dengan harga Ksp yang diketahui di soal. Senyawa

Q

Tanda

Ksp

Kesimpulan

<

2 x 10-2

Belum mengendap

CaSO4 Q Ca2 +  ⋅ SO24−  =     −4   −3   = 10 ⋅ 10     = 10 −7

74

SrSO4

Q Sr 2 +  ⋅ SO24−  =     − − 4 3 = 10  ⋅ 10     

<

2 x 10-7

Belum mengendap

>

1 x 10-10

Mengendap

>

2 x 10-8

Mengendap

= 10 −7 BaSO4 Q Ba2 +  ⋅ SO24−  =     − 4 − 3 = 10  ⋅ 10      = 10 −7 PbSO4 Q Pb2 +  ⋅ SO24−  =     − 4 − 3 = 10  ⋅ 10      = 10 −7 Jawab: D

Tipe 4 : Hubungan Ksp dan pH Data yang diperoleh : Diketahui nilai pH larutan → dicari nilai ksp Langkah penyelesaian : I. Cari nilai [OH-] dari nilai pH yang diketahui. II. Masukkan ke persamaan reaksi, sehingga didapat konsentrasi ion yang lain dari koefisiennya. III. Hitung nilai Ksp-nya.

75

Contoh Soal : 1. Larutan jenuh X(OH)2 mempunyai pH 9. Hasil kali kelarutan (Ksp) dari X(OH)2 adalah… A. 1 x 10-10 C. 1 x 10-15 E. 1 x 10-18 -11 -16 B. 5 x 10 D. 5 x 10 Penyelesaian: I. Cari nilai [OH-] dari nilai pH yang diketahui. pH = 9 ⇒ pOH = 5 ⇒ OH−  = 10 −5   II. Masukkan ke persamaan reaksi → [X2+] bisa ditentukan X ( OH)2  X2 + + 2OH− 1 ⋅10 −5 2

10 −5

Ingat !!! [OH-] yang didapat dari nilai pH merupakan [OH-] total, berapapun koefisien dari OH- dalam larutan. III. Hitung Ksp-nya 2

Ksp X ( OH = )2 X2+  ⋅ OH−   1 −5   −5  2 5 × 10 −16 =  2 ⋅10  ⋅ 10  =  

Konsep Praktis Untuk basa L(OH)x dan apabila konsentrasi L tidak diketahui x +1 1 → Ksp = OH−  x

76

Penyelesaian dengan cara praktis: pH = 9 ⇒ pOH = 5 ⇒ OH−  = 10 −5   1  −5  2 +1 10 = 5 × 10 −16  2

Ksp X ( OH)2=

2. Larutan NaOH ditambahkan sedikit demi sedikit ke dalam larutan CaCl2 0,03 M sampai mulai terbentuk endapan. Jika pH saat mulai terbentuk endapan adalah 12, maka Ksp Ca(OH)2 adalah… A. 9 x 10-3 C. 3 x 10-4 E. 3 x 10-6 -3 -5 B. 3 x 10 D. 9 x 10 Penyelesaian: pH =⇒ 12 pOH = 2 ⇒ OH−  = 10 −2   CaCl2  Ca2 + + 2Cl− 3 ⋅10 −2 3 ⋅10 −2 Ca ( OH)2  Ca2 + + 2OH− 3 ⋅10 −2

10 −2

Ksp Ca (= OH)2 Ca2 +  ⋅ OH−     

2 2

3 ⋅10 −2  ⋅ 10 −2  = = 3 × 10 −6     Jawab: E

77

Uji Skill Rumus Praktis 1. SOAL UMPTN Suatu larutan penyangga terdiri dari campuran CH3COOH 0,01 M (Ka = 10-5) dan CH3COONa 0,1 M mempunyai pH sebesar 6. Perbandingan volume CH3COOH : CH3COONa adalah… A. 1 : 1 C. 10 : 1 E. 100 : 1 B. 1 : 10 D. 1 : 100 2. SOAL UN Data percobaan pH beberapa larutan: Larutan

pH awal

pH dengan penambahan sedikit Asam

Basa

I

5,60

6,00

5,00

II

5,40

5,42

5,38

III

5,20

5,25

5,18

IV

8,20

8,80

7,80

V

9,20

9,60

8,70

Larutan yang mempunyai sifat penyangga adalah… A. I dan II C. III dan IV E. IV dan V B. II dan III D. III dan V 3. SOAL UN Beberapa campuran: 1. 100 mL HCl 0,1 M dengan 50 mL NaOH 0,1 M 2. 100 mL CH3COOH 0,1 M dengan 50 mL NaOH 0,1 M 3. 100 mL H2CO3 0,1 M dengan 100 mL NaOH 0,1 M 4. 100 mL HCN 0,1 M dengan 100 mL Ca(OH)2 0,1 M Larutan yang merupakan campuran buffer adalah… A. 1,2 C. 3,4 E. 2,4 B. 2,3 D. 1,3

78

4. SOAL UN pH larutan yang mengandung 6 gram CH3COOH (Mr = 60) dan 0,1 mol CH3COONa (Ka = 1 x 10-5) adalah … A. 1 C. 7 E. 12 B. 5 D. 9 5. SOAL UN Bila diketahui Ka CH3COOH = 1 x 10-5, harga pH campuran antara 100 mL larutan CH3COOH 0,2 M dan 100 mL NaOH 0,1 M adalah… A. 1 + log 2 C. 5 + log 2 E. 13 – log 2 B. 5 D. 6 6. SOAL UN Sebanyak 100 mL larutan CH3COOH 0,2 M dicampur dengan 100 mL larutan NaOH 0,2 M. Jika Ka CH3COOH = 1 x 10-5, maka pH larutan setelah dicampur adalah … A. 2 C. 5 E. 9 B. 4 D. 6 7. SOAL SPMB Larutan 50 mL NaCN 0,2 M diencerkan menjadi 100 mL. Ka HCN = 10-9, Kw = 10-14. Pernyataan yang benar tentang larutan ini adalah… 1. Konsentrasi NaCN menjadi 0,1 M  2. Larutan terhidrolisis dengan reaksi CN- + H2O   HCN + OH− [HCN] OH  3. Konstanta reaksi hidrolisis = CN−    4. pH larutan = 11 8. SOAL UMPTN Jika tetapan CH3COOH = 10-5, maka pH larutan CH3COONa 0,1 M adalah… A. 7,0 C. 8,0 E. 9,0 B. 7,5 D. 8,5 9. SOAL SPMB Garam berikut yang akan mempunyai pH < 7 jika dilarutkan dalam air adalah …

79

(1). NH4CN (2). CH3COONa (3). KNO3 (4). NH4NO3 10. SOAL UN Perhatian persamaan reaksi berikut: (1) CH3COO − + H2O  CH3COOH + OH−

( 2) CN− + H2O  HCN + OH− ( 3) Al3+ + 3H2O  Al( OH)3 + 3H+ ( 4 ) NH4 + + H2O  NH4OH + H+ ( 5) S2 − + 2H2O  H2S + 2OH− Pasangan persamaan reaksi hidrolisis untuk garam yang bersifat asam adalah… A. (1) dan (2) C. (2) dan (3) E. (4) dan (5) B. (1) dan (3) D. (3) dan (4) 11. SOAL UN Dilarutkan 0,556 gram PbCl2 sampai volume 100 mL. Bila Ar Pb = 207 dan Ar Cl = 35,5. Hasil kali kelarutan PbCl2 adalah… A. 1,6 x 10-5 C. 8,1 x 10-5 E. 3,2 x 10-6 -5 -6 B. 3,2 x 10 D. 1,6 x 10 12. SOAL UN Sebanyak 200 mL larutan AgNO3 0,02 M masing – masing dimasukkan kedalam 5 wadah yang berisi 5 jenis larutan yang mengandung ion S2-, PO43-, CrO42-, Br-, dan SO42- dengan volume dan molaritas yang sama. Jika harga Ksp Ag2S = 2 x 10-49, Ag3PO4 = 1 x 10-20, Ag2CrO4 = 6 x 10-5, AgBr = 5 x 10-13, dan Ag2SO4 = 3 x 10-5. Maka garam yang akan larut adalah… A. Ag2S dan Ag3PO4 B. Ag2S dan AgBr C. Ag2CrO4 dan Ag2SO4 D. Ag3PO4 dan AgBr E. AgBr dan Ag2SO4

80

13. SOAL UMPTN Ksp Mg(OH)2 = 2 x 10-11, maka kelarutan Mg(OH)2 pada larutan yang mempunyai pH = 11 adalah …. A. 2,7 x 10-4 C. 1 x 10-6 E. 2 x 10-7 -5 -11 B. 2 x 10 D. 2 x 10 14. SOAL UN Kelarutan Mg(OH)2 dalam NaOH 0,1 M dengan Ksp Mg(OH)2 = 1,8x10-11 mol3L-3 adalah… A. 1,8 x 10-13 mol/L D. 1,8 x 10-9 mol/L -10 B. 1,8 x 10 mol/L E. 6,7 x 10-6 mol/L -10 C. 4,5 x 10 mol/L 15. SOAL SNMPTN Jika 10 mL larutan AgNO3 0,02 M dicampurkan dengan 10 mL larutan NaCl 0,02 M, maka perak klorida (Ksp = 10-10) akan mengendap. Sebab Kelarutan perak klorida (Ksp = 10-10) dalam air sebanyak 10-5 mol/L

81

BAB 5

LARUTAN ELEKTROLIT DAN SIFAT KOLIGATIF LARUTAN

A. Larutan Elektrolit Berdasarkan daya hantar listriknya, larutan dapat dibedakan menjadi dua yaitu: • Larutan elektrolit → larutan yang dapat menghantarkan listrik • Larutan non elektrolit → larutan yang tidak dapat menghantarkan listrik Konsep dasar yang wajib dipahami pada bahasan ini adalah: Larutan

Non elektrolit

Elektrolit

Elektrolit kuat

Senyawa ionik

Elektrolit lemah

Asam kuat

Basa kuat

Senyawa kovalen non polar

Garam

82

Asam

Basa

lemah

lemah

Sifat larutan berdasarkan data pengamatan nyala lampu dan elektroda: Larutan

Elektrolit kuat

Ciri-ciri

Contoh senyawa

Elektroda

Nyala lampu

Ada gelembung gas

Terang Garam: NaCl, BaSO4, MgCl2

Elektrolit lemah

Ada Redup gelembung atau mati gas

Non elektrolit

Tidak ada gelembung gas

mati

Keterangan

Temasuk senyawa ion Mempunyai titik didih/ titik leleh tinggi Larutan/lelehannya dapat menghantarkan listrik

AK: HCl, H2SO4, HNO3, HBr BK: NaOH, Mg(OH)2, Ca(OH)2

Temasuk senyawa kovalen polar Mempunyai titik didih/titik leleh rendah Larutannya dapat menghantarkan listrik, sedang lelehannya tidak.

AL: HF, CH3COOH BL: NH4OH, Al(OH)3

Temasuk senyawa kovalen polar Mempunyai titik didih/titik leleh rendah Larutannya dapat menghantarkan listrik, sedang lelehannya tidak.

CO(NH2)2 (urea), C12H22O11 (gula), Alkohol (biasanya etanol/C2H5OH), dan C6H12O6 (glukosa).

Temasuk senyawa kovalen non polar Mempunyai titik didih/titik leleh rendah Larutan/lelehannya tidak dapat menghantarkan listrik

83

Contoh Soal: 1. Berikut ini adalah data percobaan daya hantar listrik beberapa larutan: Larutan Nyala Lampu

Pengamatan Elektroda

P

Terang

Bergelembung

Q

Mati

Tidak bergelembung

R

Redup

Bergelembung

S

Mati

Bergelembung

T

Redup

Bergelembung

Pasangan larutan yang bersifat elektrolit kuat dan non elektrolit berturut–turut adalah… A. R dan Q C. P dan Q E. T dan Q B. T dan S D. R dan S Penyelesaian: Elektrolit kuat → nyala terang, bergelembung →larutan P Non elektrolit → nyala mati, tidak bergelembung → larutan Q Jawab: C 2. Pada gambar larutan berikut, apabila diuji dengan alat uji elektrolit, maka larutan yang menghantarkan listrik paling kuat adalah… C A B

Ca2+ClCl-

K+ SO 24 K+ E

D

Na+ NO 3

Cl+ Na+Na Cl Na+Cl-

84

H+

Cl-

Penyelesaian: Menghantarkan listrik paling kuat → elektrolit kuat → garam, asam kuat atau basa kuat. Semakin banyalk jumlah ion dalam larutan → semakin kuat menghantarkan listrik Jawab: E 3. Dari larutan di bawah ini, yang diharapkan menghantarkan listrik paling baik adalah… A. Larutan urea 1 M D. Larutan H2SO4 0,1 M B. Larutan asam cuka 0,1 M E. Larutan H2SO4 1 M C. Larutan asam cuka 1 M Penyelesaian: Larutan yang menghantarkan listrik paling baik → larutan elektrolit kuat dengan konsentrasi yang lebih besar. Larutan urea → non elektrolit Larutan asam cuka → elektrolit lemah Larutan H2SO4 → elektrolit kuat Jawab: E 4. Berikut ini adalah data fisis beberapa zat tak dikenal: Zat

Mr

Titik leleh

Daya hantar listrik larutan

P

36

< - 85°C

+

Q

112

> 500°C

+

R

255

< 200°C

-

Dari data di atas, jenis ikatan yang terdapat dalam senyawa P, Q, R berturut–turut adalah…. A. Kovalen polar, ion, kovalen non polar B. Kovalen polar, ion, hidrogen C. Kovalen non polar, ion, kovalen polar D. Hidrogen, kovalen non polar, kovalen koordinat E. Kovalen koordinasi, kovalen polar, kovalen non polar

85

Penyelesaian: P → menghantarkan listrik, titik leleh rendah → kovalen polar Q → menghantar listrik, titik leleh tinggi → ion R → tidak menghantar listrik → kovalen non polar Jawab: A Derajat Ionisasi (α)

Derajat Ionisasi (α) Menurut Arrhenius, apabila senyawa – senyawa elektrolit dialiri arus listrik, Menurut Arrhenius, apabila senyawa–senyawa dialiri arus )listrik, maka akan terbentuk kation (ion positif ) danelektrolit anion (ion negatif yang maka akanbebas. terbentuk kation (ion positif ) dandihasilkan anion (iondari negatif ) yang bergerak Sedikit banyaknya ion yang penguraian bergerak bebas. Sedikit tingkat banyaknya ion yangyang dihasilkan penguraian tersebut menunjukkan pengionan dikenaldari dengan derajat tersebut menunjukkan tingkat pengionan yang dikenal dengan derajat ionisasi (α). ionisasi Derajat (α). ionisasi merupakan perbandingan dari jumlah mol zat yang terion Derajat perbandingan dari jumlah mol zat yang terion denganionisasi jumlahmerupakan mol zat mula – mula. dengan jumlah mol zat mula – mula.

t α=t α =m m

Dimana : Dimana: t = mol zat terionisasi tm == mol mol zat zat terionisasi mula - mula m = mol zat mula - mula

Harga derajat ionisasi berkisar antara 0 dan 1, yaitu : Harga ionisasi berkisar antara 0 dan 1, yaitu: α =derajat 0 → merupakan zat non elektrolit ( tidak terionisasi). αα ==01→ zat non →merupakan zat terionisasi total,elektrolit misalnya( tidak padaterionisasi). senyawa ion, asam kuat, αmaupun = 1 → zat total, misalnya pada senyawa ion, asam kuat, basaterionisasi kuat. kuat. maupun 0 < α < 1basa → zat terionisasi sebagian, misalnya pada asam lemah dan 0basa < α lemah. < 1 → zat terionisasi sebagian, misalnya pada asam lemah dan basa lemah. Contoh soal : 1. Tentukan ionisasi dari senyawa H2SO4 dan NaNO3 ! Penyelesaian : H2SO4 → 2H+ + SO42NaNO3 → Na+ + NO32. Berapakah besarnya derajat ionisasi apabila suatu larutan Na3PO4 0,5 mol terurai menghasilkan ion Na+ sebanyak 0,6 mol? Penyelesaian : Langkah I : tulis reaksi ionisasi yang terjadi, dan masukkan data yang

86

Contoh Soal: 1. Tentukan ionisasi dari senyawa H2SO4 dan NaNO3 ! Penyelesaian: H2SO4 → 2H+ + SO42NaNO3 → Na+ + NO32. Berapakah besarnya derajat ionisasi apabila suatu larutan Na3PO4 0,5 mol terurai menghasilkan ion Na+ sebanyak 0,6 mol? Penyelesaian: Langkah I: tulis reaksi ionisasi yang terjadi, dan masukkan data yang didapat ke dalam tabel dibawah ini. Na3PO4 Mula-mula

→

3Na+

+

PO43-

0,5 mol

terionisasi setimbang

0,6 mol

Langkah II: cari mol Na3PO4 pada saat keadaan terionisasi dan setimbang melalui perbandingan koefisien. Na3PO4

→

3Na+

Mula-mula

0,5 mol

terionisasi

0,2 mol

0,6 mol

setimbang

0,3 mol

0,6 mol

+

PO43-

Langkah III: hitung derajat ionisasinya. t 0,2 2 α= = = = 0, 4 m 0,5 5 .

B. Sifat Koligatif larutan Berdasarkan Hukum Raoult, sifat koligatif larutan adalah sifatsifat larutan yang tidak bergantung pada jenis zat terlarut, tetapi bergantung pada banyaknya partikel zat terlarut dalam larutan. 87 Larutan yang memenuhi

B. Sifat Koligatif larutan Berdasarkan Hukum Raoult, sifat koligatif larutan adalah sifat-sifat larutan yang tidak bergantung pada jenis zat terlarut, tetapi bergantung pada banyaknya partikel zat terlarut dalam larutan. Larutan yang memenuhi Hukum Raoult disebut larutan ideal, dan larutan–larutan seperti itu adalah larutan–larutan encer. Sifat–sifat koligatif larutan meliputi: 1. Penurunan tekanan uap 3. Penurunan titik beku 2. Kenaikan titik didih 4. Tekanan osmotik Rumus Sifat Koligatif Larutan: Sifat Koligatif

Rumus Non Elektrolit

Penurunan tekanan uap (∆P)

Rumus Elektrolit

∆P = P° ⋅ X ter P= P° − ∆P= P° ⋅ Xpel P = tekanan uap jenuh larutan X ter = fraksi mol terlarut P° = tekanan uap jenuh pelarut Xpel = fraksi mol pelarut

Kenaikan titik didih (∆Tb)

∆Tb = m ⋅ K b = m

∆Tb = m ⋅ K b ⋅ i

m = molalitas g 1000 × , dimana: Mr P P = gram pelarut

Khusus untuk pelarut air, T= b 100 + ∆Tb , dimana: Tb = titik didih larutan Penurunan ∆T = m ⋅ K ∆Tf = m ⋅ K f ⋅ i f f titik beku (∆Tf ) Khusus untuk pelarut air, = Tf 100 − ∆Tf , dimana: Tf = titik beku larutan

88

Tekanan osmotik

( π)

π = R⋅C⋅ T

π = R ⋅ C ⋅ T ⋅i g 1000 ⋅ Mr V V = volume larutan (mL)

= C

R = 0,082 = T 273 + °C

i = faktor van’t Hoff dimana nilai i =1+ ( n − 1) α

i = jumlah ion, α = derajat ionisasi untuk elektrolit kuat, nilai α = 1 sehingga i = n

Perbandingan sifat koligatif larutan elektrolit dengan sifat koligatif larutan nonelektrolit dengan konsentrasi yang sama disebut faktor van’t Hoff (i). Berbeda dengan zat nonelektrolit, zat elektrolit dalam air akan terurai menjadi ion - ionnya sehingga dengan jumlah mol yang sama, zat elektrolit akan menghasilkan konsentrasi partikel yang lebih banyak dibandingkan zat nonelektrolit. Satu mol zat nonelektrolit dalam larutan menghasilkan 6,02 ×1023 partikel. Sedangkan satu mol zat elektrolit menghasilkan partikel yang lebih banyak, apalagi zat elektrolit kuat yang dalam air terionisasi seluruhnya. Ada 3 tipe soal yang sering keluar di ujian yaitu: Tipe 1: Menghitung harga ∆P, ∆Tb, ∆Tf, atau π Langkah–langkah penyelesaian: Identifikasi senyawa yang diketahui di soal, apakah termasuk senyawa elektrolit atau non elektrolit. Masukkan data yang didapat di soal ke rumus sifat koligatif yang sesuai.

89

Contoh Soal: 1. Air sebanyak 180 gram dipanaskan pada suhu 100°C dan mempunyai tekanan uap air sebesar 760 mmHg. Jika kedalam air tersebut ditambahkan 30 gram urea (Mr = 60), maka tekanan uap larutannya adalah… A. 36,5 mmHg D. 723 mmHg B. 72,35 mmHg E. 723,5 mmHg C. 365 mmHg Penyelesaian: 180 30 = 10 mol , mol urea = = 0,5 mol Mol = air 18 60 ∆P = P° ⋅ X ter ⇒ X ter = = 760 ⋅ = 36,5

nurea nurea + nair

P= P O − ∆P = 760 − 36,5 = 723,5 mmHg

0,5 0,5 + 10

Jawab: E 2. Kedalam 500 gram air dilarutkan 17,4 gram kalium sulfat. Jika Kf air = 1,8 maka titik beku larutan adalah… A. - 0,36°C C. - 1,08°C E. - 2,36°C B. - 0,72°C D. - 2,16°C Penyelesaian: Kalium sulfat (K2SO4)→ larutan elektrolit dengan jumalah ion = 3, sehingga i = 3. gr zat terlarut 1000 ⋅ ⋅K f ⋅ i Mr gr pelarut 17, 4 1000 = ⋅ ⋅1,8 ⋅ 3 174 500 = 1,08 Tf = 0 − 1,08 = −1,08

= ∆Tf

Jawab: C

90

3. Pada suhu 27°C, sebanyak 13,68 gram sukrosa C12H22O11 (Mr = 342) dilarutkan dalam air sampai volumenya 200 mL. R = 0,082 L.atm/mol.K. Maka tekanan osmotik yang terjadi sebesar… A. 0,20 atm C. 0,98 atm E. 4,92 atm B. 0,44 atm D. 2,48 atm Penyelesaian: C12H22O11→ larutan non elektrolit  gr 1000  π = R⋅ ⋅ ⋅T  Mr V (mL)   13,68 1000  = 0,082 ⋅  ⋅ ⋅ ( 27 + 273)  342 200  = 0,082 ⋅ 0,2 ⋅ 300 = 4,92 Jawab: E 4. Dalam 400 mL air (ρ = 1 gr/mL) dilarutkan 32 gram naftalena (C10H8). Jika diketahui Kb air = 0,52, Ar C = 12, Ar H = 1, maka larutan akan mendidih pada suhu… A. 0,325°C C. 100,325°C E. 103,25°C B. 0,655°C D. 100,625°C Penyelesaian: Naftalena (C10H8)→larutan non elektrolit gr zat terlarut 1000 = ∆Tb ⋅ ⋅Kb Mr gr pelarut 32 1000 = ⋅ ⋅ 0,52 128 400 = 0,325 Tb = 100 + 0,325 = 100,325 Jawab: C

91

Tipe 2: Menghitung massa zat atau massa atom relatif

Langkah – langkah penyelesaian: Identifikasi senyawa yang diketahui di soal, apakah termasuk senyawa elektrolit atau non elektrolit. Masukkan data yang didapat di soal ke rumus sifat koligatif yang sesuai.

Contoh Soal: 1. Kedalam 200 gram air dilarutkan 17 gram senyawa non elektrolit. Larutan mendidih pada suhu 100,13°C. jika Kb air = 0,52°C/m maka massa molekul relatif senyawa diatas adalah… A. 60 C. 120 E. 340 B. 90 D. 180 Penyelesaian: ∆Tb = 100,13 – 100 = 0,13 gr zat terlarut 1000 ∆Tb = m ⋅ K b ⇒ m = ⋅ ⋅ Mr gr pelarut 17 1000 0,13 = ⋅ ⋅ 0,52 Mr 200 Mr = 340 Jawab: E 2. untuk mengetahui jenis gula yang digunakan dalam pembuatan sirup, larutan diencerkan sampai diperoleh kadar 10% massa. Larutan tersebut membeku pada suhu – 0,60°C (Kf air = 1,86). Dari data tersebut, sirup dapat diduga mengandung gula jenis… A. dekstrosa (Mr =180) D. natrium siklamat ( Mr = 201) B. sukrosa (Mr = 342) E. dulsina (Mr = 180) C. sakarin (Mr = 173) Penyelesaian: Gula → larutan non elektrolit ∆Tf = 0 – (- 0,60) = 0,60

92

Kadar zat terlarut = 10 %, maka dapat diasumsikan bila massa zat terlarut = 10 gram, maka massa pelarut = 100 – 10 = 90 gram. gr zat terlarut 1000 ∆Tf = m ⋅ K f ⇒ m = ⋅ ⋅ Mr gr pelarut 10 1000 0,60 = ⋅ ⋅1,86 Mr 90 Mr = 342 Jawab: B 3. Sejumlah 12 gram senyawa non elektrolit dilarutkan dalam air sehingga volumenya 4 liter. Jika tekanan osmotik larutan adalah 1,23 atm pada temperatur 27°C, harga R = 0,082 L.atm/mol°K masa molekul relatif senyawa itu adalah… A. 15 C. 60 E. 342 B. 30 D. 180 Penyelesaian: gr   π = R ⋅M⋅ T ⇒ M =   Mr ⋅ V (L)   12  1,23= 0,082 ⋅  ⋅ ( 27 + 273)  Mr ⋅ 4  Mr = 60 Jawab: C 4. Kedalam 250 gram air dimasukan garam K 2SO 4 sehingga diperoleh titik didih larutan 102,08 °C. jika Kb air = 0,52 (Ar.K=39, S=32, O=16) maka masa K 2SO 4 yang dilarutkan sebanyak… A. 17,4 gram C. 58 gram E. 174 gram B. 20,8 gram D. 87 gram Penyelesaian: K2SO4 → 2K+ + SO42- (jumlah ion hasil ionisasi = 3) K2SO4 = larutan elektrolit, dengan jumlah ion = 3, sehingga i = 3

93

∆Tb = 102,08 – 100 = 2,08 ∆Tb = 102,08 – 100 = 2,08gr zat terlarut 1000 ∆Tb = m ⋅ K b ⋅ i ⇒ m = ⋅ ⋅ gr zat terlarut 1000 Mr ∆Tb = m ⋅ K b ⋅ i ⇒ m = ⋅ gr pelarut ⋅ gr pelarut  massa 1000  Mr 2,08 =  ⋅ ⋅ 0,52 ⋅ 3   massa 1000   2,08 =   174⋅ 250  ⋅ 0,52 ⋅ 3 174gram250  Massa= 58 Massa = 58 gram Jawab: CC Jawab:

Tipe 3: Membandingkan sifat koligatif antara dua Tipe 3 : Membandingkan sifat koligatif antara dua larutan/ larutan/lebih lebih

KonsepPraktis Praktis Konsep Perbandingan larutan elektrolit dan non elektrolit, apabila Dalam konsentrasi yang sama maka: mempunyai konsentrasi yang sama : Larutan elektrolit mempunyai titik didih dandan tekanan Larutan elektrolit mempunyai titik didih tekanan osmotik lebih tinggi dibandingkan larutan non osmotik lebih tinggi dibandingkan larutan non elektrolit. elektrolit. Larutan elektrolit mempunyai titik beku lebih rendah Larutan elektrolit mempunyai titik beku lebih rendah dibandingkan larutan non elektrolit. dibandingkan larutan non elektrolit. Sehingga dapat disimpulkan: Sehingga dapat disimpulkan : Tb Ttinggi b tinggi

MM x ixbesar i besar

Tf rendah Tf rendah

Catatan: Nilai i untuk larutan non elektrolit = 1

94

M x i besar Tf rendah

Catatan : Nilai i untuk larutan non elektrolit = 1

Contoh Soal:

1. Diketahui data: Larutan non elektrolit

Massa (gram)

Mr

K

10

32

L

10

46

M

10

60

N

10

180

O

10

342

Jika masing–masing zat non elektrolit tersebut dilarutkan dalam 250 gram air, maka larutan non elektrolit yang mempunyai titik didih paling tinggi adalah…. A. Larutan K C. Larutan M E. Larutan O B. Larutan L D. Larutan N Penyelesaian:

Konsep Praktis Pada larutan non elektrolit → titik didih tinggi →∆Tb tinggi → molalitas tinggi

Larutan non elektrolit

Massa (gram)

Mr

mol

K

10

32

0,3

L

10

46

0,2

M

10

60

0,17

N

10

180

0,06

O

10

342

0,03

95

M x i besar Tf rendah

Catatan : Nilai i untuk larutan non elektrolit = 1 Larutan K mempunyai jumlah mol yang paling besar sehingga titik didih larutan K paling tinggi.

Cara Praktis Karena massa pelarut dan massa zat terlarut sama, maka: molalitas tinggi → Mr kecil Dari data, didapat bahwa larutan K mempunyai Mr paling kecil → titik didihnya paling tinggi

Jawab: A

2. Perhatikan bagan berikut ini: I

II

IV

V

III

mol urea mol air

Larutan yang memiliki titik beku paling tinggi adalah…. A. I C. III E. V B. II D. IV Penyelesaian: Larutan urea → larutan non elektrolit.

96

Konsep Praktis Pada larutan non elektrolit → titik beku tinggi →∆Tf rendah → molalitas kecil → jika massa pelarut sama, maka mol zat terlarut kecil Larutan I memiliki mol urea terendah → titik beku tinggi. Jawab: A 3. Diantara kelima larutan berikut ini, yang mempunyai titik didih paling rendah adalah … A. C6H12O6 0,03 M D. Al2(SO4)3 0,01 M B. Mg(NO3)2 0,02 M E. KAl(SO4)3 0,03 M C. NaCl 0,02 M Penyelesaian:

Konsep Praktis Yang mempunyai titih didih terendah → ∆Tb rendah → molalitas kecil → M x i = kecil C6H12O6 Mg(NO3)2 NaCl Al2(SO4)3 KAl(SO4)3

0,03 M x 1 = 0,03 ( non elektrolit ) 0,02 M x 3 = 0,06 0,02 M x 2 = 0,04 0,01 M x 5 = 0,05 0,03 M x 5 = 0,15

Jawab: A

4. Larutan yang isotonis dengan larutan KCl 0,1 M adalah… A. MgCl2 0,1 M D. K3PO4 0,15 M B. NaOH 0,2 M E. CO(NH2)2 0,5 M C. Al2(SO4)3 0,04 M

97

Penyelesaian:

Konsep Praktis Larutan isotonis → mempunyai tekanan osmotik sama →pada suhu yang sama, maka mempunyai nilai M x i yang sama KCl 0,1 x 2 = 0,2 MgCl2 0,1 x 3 = 0,3 NaOH 0,2 x 2 = 0,4 Al2(SO4)3 0,04 x 5 = 0,2 K3PO4 0,15 x 4 = 0,6 CO(NH2)2 0,5 x 1 = 0,5 (larutan non elektrolit) Yang isotonis dengan KCl 0,1 M adalah Al2(SO4)3

Uji Skill Rumus Praktis 1. SOAL UN Senyawa M mempunyai sifat sebagai berikut: 1. Mudah larut dalam air 2. Dapat menghantar listrik dalam fase cair, 3. Titik didihnya dan titik lelehnya tinggi. Jenis ikatan dalam senyawa M tersebut adalah… A. Kovalen polar D. Logam B. Kovalen non polar E. Ion C. Hidrogen

98

0,04 M. Jawab: C

2. SOAL UN Perhatikan tabel data fisik dan daya hantar larutan beberapa senyawa berikut: Senyawa

Titik leleh

Daya hantar listrik larutan

L

801 °C

Menghantarkan

M

- 86, 8 °C

Tidak menghantarkan

Jenis ikatan yang terdapat pada senyawa L dan M berturut – turut adalah … A. Ionik dan kovalen non polar B. Kovalen dan ionik C. Kovalen koordinat dan ionik D. Ionik dan kovalen polar E. Kovalen non polar dan kovalen polar 3. SOAL UN Perhatikan gambar pengujian daya hantar beberapa larutan berikut ini !

1

2

3

4

5

Larutan yang bersifat elektrolit kuat dan elektrolit lemah berturut – turut adalah…. A. 1 dan 2 C. 1 dan 5 E. 4 dan 5 B. 1 dan 3 D. 2 dan 3

99

4. SOAL UN Sejumlah zat diuji daya hantar listriknya dan diperoleh data pengamatan sebagai berikut: Larutan

Pengamatan Lampu

Gas

1

Menyala

Ada

2

Tidak menyala

Ada

3

Tidak menyala

Tidak ada

4

Tidak menyala

Tidak ada

5

Menyala redup

Ada

Pasangan larutan elektrolit lemah adalah… A. 1 dan 2 C. 2 dan 3 E. 3 dan 4 B. 1 dan 5 D. 2 dan 5 5. SOAL SNMPTN Sejumlah 100 gram senyawa non elektrolit yang tidak menguap, jika dilarutkan ke dalam 1 mol CCl4 mempunyai tekanan uap 75 mmHg pada 295 K. Tekanan uap CCl4 murni pada temperatur yang sama adalah 100 mmHg. Pernyataan yang benar adalah… (1) Penurunan tekanan uap larutan = 25 mmHg (2) Fraksi mol zat terlarut = 0,25 (3) Jika suhu dinaikkan, tekanan uap larutan > 75 mmHg (4) Titik didih larutan lebih tinggi daripada titik didih CCl4 murni 6. SOAL UN Dilarutkan 1,86 gram glikol (C2H6O2) dalam 90 gram air, bila tekanan uap air 23,6 mmHg. Penurunan tekanan uap jenuh larutan adalah… Ar C = 12, H = 1, O = 16. A. 0,14 mmHg C. 23,36 mmHg E. 23,74 mmHg B. 0,24 mmHg D. 23,46 mmHg 7. SOAL UM UGM Jika 87,75 gram NaCl dilarutkan dalam 7,5 kg air murni, maka larutan dalam keadaan normal (p = 1 atm) yang terjadi akan memiliki titik

100

beku dan titik didih sebesar …. (Ar Na = 23; Cl = 35,5; Kf air = 1,86; kb air = 0,5) A. – 0,744 °C dan 103,72 °C D. – 0,2 °C dan 100,372 °C B. – 0,744 °C dan 100,2 °C E. – 0,2 °C dan 100,744 °C C. – 0,372 °C dan 100,2 °C 8. SOAL SPMB Suatu larutan glukosa (Mr = 180) dalam 100 gram air (Kb = 0,52) mendidih pada 100,65 °C. Massa glukosa yang dilarutkan adalah… A. 5,6 gram C. 22,5 gram E. 67,5 gram B. 11,2 gram D. 45,0 gram 9. SOAL UNAS Jika diketahui tekanan osmotik larutan 100 gram asam benzoat, C6H5COOH, dalam benzena adalah 2 atm pada suhu tertentu, maka larutan 20 gram senyawa dimernya (C6H5COOH)2, dalam pelarut yang sama mempunyai tekanan osmotik sebesar… A. 0,5 atm C. 2,0 atm E. 8,0 atm B. 1,0 atm D. 4,0 atm 10. SOAL SNMPTN Suatu zat non elektrolit mempunyai rumus empiris CH2O. Jika 3,6 gram zat tersebut dilarutkan dalam 250 gram air, ternyata titik bekunya – 0,1488 °C. Bila Kf air = 1,86 der/m maka perkiraan terdekat rumus molekul zat tersebut adalah… A. CH2O C. C3H6O3 E. C6H12O6 B. C2H4O2 D. C5H10O5 11. SOAL UN Dilarutkan 0,063 gram suatu zat non elemen elektro sampai volum 100 mL pada suhu 27 °C menyebabkan tekanan osmotik larutan menjadi 190 mmHg. Massa molekul relatif zat tersebut adalah… ( 1 atm = 760 mmHg) A. 46 C. 62 E. 92 B. 60 D. 90 12. SOAL UMPTN Larutan dalam air yang mempunyai titik beku paling rendah adalah…

101

A. Glukosa 0,3 M B. Ferri klorida 0,2 M C. Natrium sulfat 0,3 M

D. Magnesium hidroksida 0,3 M E. Alumunium sulfat 0,2 M

13. SOAL UN Perhatikan grafik berikut: 10000 8000 6000 4000 2000 0

KL

M Jenis Larutan

NO

Jika jumlah mol partikel pelarutnya sama, maka larutan yang memiliki tekanan uap paling kecil adalah… A. K C. M E. O B. L D. N 14. SOAL SPMB Titik didih larutan NaCl 0,1 M lebih rendah dari titik didih larutan NaBr 0,1 M. Sebab Massa molar NaCl lebih rendah dari NaBr. 15. SOAL UN Bagan berikut menggambarkan larutan dengan berbagai konsentrasi:

I Keterangan

II

V IV III mol partikel zat terlarut mol partikel pelarut

Bagan yang menunjukkan tekanan uap larutan paling besar adalah… A. I C. III E. V B. II D. IV

102

101 Trik Cerdik

Recommend Documents