Leaflet Cegah Penyakit Tidak Menular dengan CERDIKDeskripsi lengkap
Leaflet Cegah Penyakit Tidak Menular dengan CERDIK
starategi dalam trading binaryFull description
Full description
Deskripsi lengkap
Descrição completa
LPDP Sesi 1Full description
good luckFull description
Binary Trading
good luckDeskripsi lengkap
Full description
E-BOOK
101 Trik CERDIK
ala
Tentor
SMA
MATEMATIKA
FISIKA KIMIA
HAK CIPTA ADA PADA FORUM EDUKASI DILARANG MENYEBARLUASKAN DALAM BENTUK APAPUN TANPA IZIN TERTULIS DARI FORUM EDUKASI. EMAIL: [email protected]
Telah TERBIT.......!!! Sudah terbit dalam bentuk buku dengan judul berseri: - METODE THE KING ALA TENTOR FISIKA - METODE THE KING ALA TENTOR MATEMATIKA - METODE THE KING ALA TENTOR KIMIA Dan juga sudah terbit buku lainnya berjudul: - METODE THE KING ALA TENTOR BAHASA INGGRIS - METODE THE KING ALA TENTOR BIOLOGI Diterbitkan oleh penerbit
WAHYU MEDIA.
Buku tersebut berisi rumus-rumus praktis ala bimbingan belajar yang ditulis oleh tentor senior. E-book ini kami ambilkan dari materi buku tersebut. 30% dari isi buku tersebut kami masukkan dalam e-book ini. Nha, bagi adik-adik yang menginginkan BUKU METODE THE KING dalam bentuk buku dengan isi super lengkap, bisa mendapatkan buku tersebut di toko buku terdekat, utamanya di toko buku GRAMEDIA.
Buku yang Hebatt...! Selamat..... Kakak ucapkan selamat, karena kalian telah memiliki buku ini. Sungguh, ini adalah buku yang luar hebatttt.....!!! why?
1. Penulis Hebat
Buku ini ditulis oleh orang-orang “sakti” di bidangnya. Telah bertahun-tahun menjadi tentor/pengajar yang selalu dinantikan penampilannya oleh para siswa. Buku ditulis berdasarkan pengalamannya selama mengajar, juga berda sarkan studi secara intensif terkait bidang yang ditekuni.
2. Desain Isi nan Cantik
Simpel, menarik, enak dibaca, ngepop, bak novel remaja, itulah kesan dari desain isi buku ini. Desain buku dikonsep berdasarkan selera muda para pembaca. Intinya, buku ini akan bikin kalian tidak pernah jemu memandangnya, dan ingin terus...terus...dan terus..... membukanya.
3. Full Rumus Praktis
Syarat wajib agar bisa menjadi “pembantai” semua jenis soal adalah dengan menguasai konsep dasar. Buku ini berisi materi dasar yang benar-benar harus kuasai. Baru kemudian kalian akan diajari cara cepatnya, yang di bim bingan belajar sering disebut dengan “Rumus The King, Smart Solution, Metode Penalaran, Cara Cerdik” dll. Kuasai trik praktisnya, dan buat semua orang tercengang!
4. Konsultasi Bimbingan Gratis
Sebagai wujud totalitas dan tanggung jawab penulis terhadap para pembaca buku ini, penulis memberi kesempatan kepada kalian untuk konsultasi dan tanya jawab terkait isi buku ini. Tanyakan hal-hal yang masih membuat kalian bingung.... asiik kann!!! Konsultasi bisa dikirim melalui email __________ Rasakan pengalaman baru belajar secara asik dan menyenangkan. Cayoo...... lejitkan prestasimu!!
MATEMATIKA
BAB 1 PERSAMAAN KUADRAT
A. Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar-Akar A. Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar-Akar Catatan: Dalam soal persamaan kuadrat, rumus menentukan jumlah, selisih, dan kali akar-akar sangatdan seringHasil digunakan. Hampir semua A. hasil Jumlah, Selisih Kali Akar-Akar
Catatan: Dalam soaldengan persamaan kuadrat, rumus menentukan jumsoal harus dikerjakan melibatkan rumus-rumus ini. lah, selisih dan hasil kali akar-akar sangat sering digunakan. Hampir Dalam soal persamaan kuadrat, rumus menentukan semuaCatatan: soal harus dikerjakan dengan melibatkan rumus-rumus ini. jumx2 adalah Jika x1 dan dari persamaan lah, selisih danakar–akar hasil kali akar-akar sangatkuadrat sering digunakan. Hampir dikerjakan ax 2 + bxsemua + c= 0,soal a ≠harus 0 , maka berlaku:dengan melibatkan rumus-rumus ini. Jika x1 dan x2 akar–akar persamaan kuadrat
ax 2 + Jika bx + xc= dan 0, ax≠ 0akar–akar , maka persamaan kuadrat 1 2 , maka 2 x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) − 2x1 .x 2 b x1 + x 2 = − b a x1 + x 2 = − a c x1 . x 2 = c a x1 . x 2 = a D x1 − x 2 = ± D a x1 − x 2 = ± a
x13 + x 23 = ( x1 + x 2 ) − 3x1 .x 2 ( x1 + x 2 ) 3
2
2 2 x14 + x 24 = ( x1 + x 2 ) − 2x1 .x 2 − 2 ( x1 .x 2 ) x12 − x 22 = ( x1 + x 2 ) (x1 − x 2 )
x13 − x 23 = ( x1 − x 2 ) + 3x1 .x 2 ( x1 − x 2 ) 3
x14 − x 24 = ( x12 + x 22 ) (x12 − x 22 )
1
(Soal Ujian Nasional)
Contoh Soal : (Soal Ujian Nasional) (Soal Ujian Nasional) 2 Akar-akar persamaan kuadrat 60= 1. 1. Akar-akar persamaan kuadrat , 0a,>a0> 0 x 2 +x ( a+−( a1−) x1+) x6+= 2 2 adalah x1 dan . Jika , maka a =... 2 x2 = 2 adalah x1 dan x2. xJika , maka a =... x12 x+1 x+ 13 13 2 = a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. e.6 6 METODE BASIC CONCEPT METODE BASIC CONCEPT 2 60= 0 , adalah x1 dan x2, maka berlaku Akar-akar x 2 +x ( a+−( a1−) x1+) x6+= Akar-akar , adalah x dan x , maka berlaku 1
2
b c x1 + x2 =− =− ( a − 1 ) = (1 − a) dan x1.x2= = 6 a a
Karena berlaku x12 + x 22 = 13 maka 2 2 Karena 13 maka x 2 +berlaku x2= 13 x1 + x 2 = 1
2
⇒ ( x + x 2 ) − 2x1 x 2 = 13 ⇒ (1 − a) − 2.6 = 13 x12 + x 22 1= 13 ⇒1−a= ±5 2 ± 25 = 2 ⇒ ( x1 + x 2 ) − 2x1 x 2 = 13 ⇒ (1 − a) − 2.6 = 13 ⇒ a =−4 atau a =6 ⇒ Karena 1 − a =±a >250 = ±5 yang memenuhi a = 6. maka ⇒ a =−4 atau a =6 2
2
Jawaban: E Karena a > 0 maka yang memenuhi a = 6. Jawaban: Soal UM-UGM Kemampuan IPA E 2 0 2. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x − 3x + n = Soal UM-UGM Kemampuan IPA sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan 2 0 sama dengan 2. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x − 3x + n = x2 + x − n = 0 . Maka nilai n adalah... 2 + x −12n = 0 . Maka nilai jumlah pangkat A. -10 B. tiga -6 akar-akar C. 8 persamaan D. 10 x E. n adalah... A. -10 B.BASIC -6 C. 8 D. 10 E. 12 METODE CONCEPT Persamaan kuadrat pertama: METODE CONCEPT x 2 − 3xBASIC +n = 0; akar-akarnya x1 dan x 2 2 ⋅ x3x Maka diperoleh Persamaan kuadrat xpertama: n= 0; akar-akarnya x1 dan x 2 1 + x 2= 3;xx 1 − 2= +n
Maka diperoleh x1 + x 2= 3; x1 ⋅ x 2= n Persamaan kuadrat kedua: x 2 + x − n = 0; akar-akarnya p dan q Maka diperoleh p + q =−12dan p.q =−n
Persamaan kuadrat kedua:x1 + x 2= 3; x1 ⋅ x 2= n Maka diperoleh 2 Persamaan x + x −n = 0; akar-akarnya pkuadrat dan q 2 Selanjutnya diperoleh p + q = danqp.q =−n x + x −n = 0; akar-akarnya−p1dan
kedua:
diperoleh n Dari soalMaka diketahui berlakup x+1q2 += , −sehingga x−212 dan =p3 p.q + q3= 2 2 3 3 x 2 + x 2 =p3 + q3 , sehingga Dari soal xdiketahui berlaku didapatkan 1 2 1 + x 2 =p + q 2 2 3 2 x 3 3 1 + x 2 =p + q ⇒ (x diperoleh 1 + x 2 ) − 2x 1 x 2 =(p + q) − 3pq(p + q)
2
2
3
+ x 2 =− )− =−(pn)(+−q)1) ⇒ − 3pq(p + q) ⇒ 3(x2 1− 2(n) ( 2x 1)31 x−2 3( n =−10 =32 − 2(n) =− ( 1)3 − 3(−n)(−1) Jawaban: ⇒ n =−10A Jawaban: A
Rumus Praktis Jika x1, x2 dan x3 akar-akar persamaan
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 maka berlaku b 1. x1 + x 2 + x 3 = − a c 2. x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 = a d 3. x1 .x 2 .x 3 = − a Jika x1, x2 , x3 dan x4 akar-akar persamaan ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 maka berlaku b 1. x1 + x 2 + x 3 + x 4 = − a 2. x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 =
3. Akar-akar persamaan x 3 − 4x 2 + x − 4 =0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x22 + x32 = … a. 2 b. 14 c. 15 d. 17 e. 18 Cara Praktis Untuk x 3 − 4x 2 + x − 4 =0 mempunyai a = 1, b = -4, c = 1 dan d = -4 berlaku x 12 + x 2 2 + x 32
= ( x1 + x 2 + x 3 ) − 2 ( x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 ) 2
2
c −b = −2 a a 2 − ( −4 ) 1 = −2 1 1 = 16 − 2 = 14 Jawaban: B
B. Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat B. Sifat Akar-akar Persa0 mempunyai akar-akar x dan x , Persamaan kuadrat ax + bx + c = serta deskriminan maan(D):Kuadrat 2
1
2
D = b2 − 4.a.c Nilai dan sifat dari akar-akar x1 dan x2 tergantung pada nilai deskriminan. +c= 0 mempunyai akar-akar x1 dan Persamaan kuadrat ax 2 + bx ≥ Jika D 0deskriminan berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata x2, serta (D): (real) D > 0 akar-akarnya nyata dan berlainan D =yang b2 −sama 4.a.c D = 0 mempunyai dua akar
4
Jika D < 0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak nyata (imajiner, khayal)/tidak punya akar-akar. Beberapa hubungan antara akar-akar x1 dan x 2 pada persamaan
0 kuarat ax 2 + bx + c = Hubungan Kedua akar real positif
Akar-akar
x1
x2
+
+
Syarat
D≥ 0 x1 + x 2 > 0 x1 .x 2 > 0
Kedua akar real negatif
-
-
D≥0 x1 + x 2 < 0 x1 .x 2 > 0
Kedua akar berlawanan tanda
+
-
-
+
Kedua akar real berlawanan
x1 = − x 2
Akar yang satu kebalikan akar yang lain
x1 =
1 x2
D> 0 x1 .x 2 < 0
D> 0 x1 + x 2 = 0 x1 .x 2 < 0 D> 0 x1 .x 2 = 1
Catatan: Ingat, jangan menghafal sifat dalam tabel dia atas. Cukup pahami pakai logika. Misalnya dalam soal disebutkan akar-akarnya berlainan dan keduanya negatif. Akar-akar berlainan berarti D > 0. Kedua akarnya negatif berarti jika dijumlahkan hasilnya negatif (x1 + x2 < 0) dan jika dikalikan hasilnya positif (x1 + x2 > 0). Perhatikan contoh di bawah ini.
5
Contoh Soal : 1. Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat
SPMB K.IPA 2006
(p − 2 ) x2 + 2px + p − 1 =0 negatif dan berlainan adalah... A. p > 2
Syarat agar akar-akarnya bernilai negatif: (x1 + x2 < 0) dan (x1 . x2 > 0) −2p x1 + x 2 < 0 ⇒ < 0 ⇒ p < 0 atau p > 2 p−2 x1 .x 2 > 0 ⇒
p −1 > 0 ⇒ p < 1 atau p > 2 p −2
2 3
... (1)
... (2) ... (3)
Dari syarat (1), (2) dan (3), maka penyelesaian diperoleh p > 2. (Lihat materi pertidaksamaan) Jawaban: A
6
Syarat akar-akarnya bernilai negatif: (xdiperoleh + x2 < 0)p > 2. Dari syarat (1),agar (2) dan (3) atas maka penyelesaian 1 dan (x1 + x2 > 0) (Lihat materi pertidaksamaan) A Jawaban: A
Rumus Praktis Akar Persamaan Kuadrat Selisih Selisih Akar Persamaan Kuadrat Jika x12 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, Jika x1 dan akar-akar sebuahsebuah persamaan kuadrat, dan berlaku x2 + n, maka dan berlaku x1 = x2 +x1n,= maka D = (n . a)2
(Soal SPMB) 2. Sebuah persamaan kuadrat x2 – 9x + k – 1 = 0 mempunyai akarakar x1 dan x2, jika salah satu akar lebih satu dari akar yang lain, maka nilai k = … METODE BASIC CONCEPT Salah satu akar lebih satu dari akar yang lain, artinya bersifat x1 = x2 + 1 b x1 + x 2 =− = 9 a ⇒ x 2 + 1 + x 2 = 9 ⇒ 2x 2 = 8 ⇒ x 2 = 4 Karena x1 + x 2 = 9 maka x1 + 4 = 9 ⇒ x1 = 5 Dengan subtitusi ke hasil perkalian akar-akar, maka diperoleh c x1 .x 2 = = k − 1 ⇒ 4.5 = k − 1 a ⇒ 20 =k − 1
⇒ k = 20 + 1 = 21 CARA PRAKTIS Diketahui x1 = x2 + 1 ⇒ n = 1, maka berlaku D = (n . a)2 ⇒ 81 – 4(k – 1) = (1.1)2 ⇒ 4(k –1) = 80 ⇒ k –1 = 20 ⇒ k = 21
7
Rumus Praktis Perbandingan Akar Persamaan Kuadrat Perbandingan Akar Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 akar-akar sebuah persamaan kuadrat, dan Jika x1 dan x akar-akar sebuah persamaan kuadrat, dan berlaku x21 = nx2, maka: berlaku x1 = nx , maka: 2 nb2 = (n + 1)2a.c
(Soal Standar SNMPTN) 3. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x 2 − (k + 1 ) x + (k + 3 ) = 0 adalah dua kali akar lainnya, maka nilai k adalah... 5 5 E. -5 atau − A. 5 atau -5 C. 5 atau − 2 2 5 5 B. 5 atau 2 D. -5 atau 2 METODE BASIC CONCEPT Jika α dan β adalah akar-akar dari x 2 − (k + 1 ) x + (k + 3 ) = 0, maka berlaku α + β= k + 1 dan α ⋅ β= k + 3 . Karena dikatahui akar yang satu dua kali akar yang lain, β = 2α , maka berlaku α + β = α + 2α = 3α = k + 1 ⇒ k = 3α − 1 , dan α ⋅β = α ⋅ 2α = 2α2 = k + 3 ⇒ k = 2α2 − 3 .
Artinya: 3α − 1 = 2α2 − 3 ⇒ 2α2 − 3α − 2 =0
⇒ (2α + 1)(α − 2) = 0 ⇒ α1 = − 12 atau α2 = 2
1 5 Untuk α1 =− ⇒ k =− 2 2 Untuk α2 = 2 ⇒ k = 5
8
CARA PRAKTIS METODE SUPER TRIK
β = β2α= 2α DariDari persamaan dan diketahui x 2 −x(2k−+(1k )+x1+) (xk++(3k )+= persamaan diketahui 30) = 0 dan makaa = 1; b = − (k + 1); c = k + 3 dan n = 2. Selanjutnya Artinya − (k + 1); c = k + 3 dan n = 2 nb2=a =(n1;+b1)=2 a.c 2 nb2= (n + 1) 2 a.c ⇒ 2 ( −(k + 1) ) = (2 + 1)2 (1)(k + 3) ⇒ 2(k + 1)2 = 9 (k + 3) 2 ⇒2 2 ( −(k + 1) ) = (2 + 1)2 (1)( k + 3) ⇒ 2(k + 1)2 = 9 (k + 3) ⇒ 2k + 4k + 2 =9k + 27 ⇒ 2k2 − 5k − 25 =0 ⇒ (2k + 5)(k − 5) =0 ⇒ 2k2 + 4k + 2 =9k + 27 ⇒ 2k2 − 5k − 25 =0 ⇒ (2k + 5)(k − 5) =0 5 5 ⇒ k1 = − atau 5 k2 = 2 5 ⇒ k1 = − atau k2 = 2 Jawaban: C Jawaban: C
C. Menyusun Persamaan KuadPersamaan KuadC. C. Menyusun Menyusun Persamaan Kuadrat C. Menyusun Persamaan Kuadrat rat rat Jika akar-akar diketahui sebuah akar-akar sebuah kuadrat persamaan x dankuadrat x , maka Jika diketahui persamaan 1
persamaan adalah: x1 kuadratnya dan x 2 , maka persamaan kuadratnya adalah:
2
(x − x1 )(x − = x 2 ) 0 atau x 2 − (x x1 x 2 0 1 + x 2 )x + = x1 xdan x 20, maka Jika diketahui akar-akar kuadrat (x − x1 )(xsebuah − = x 2 ) persamaan 0 atau x 2 − (x 1 + x 2 )x + = 1x2 persamaan kuadratnya adalah: Jika diketahui akar-akar sebuah persamaan kuadrat x1 dan x 2 , maka Inti soalnya adalah diketahui persamaan kuadrat yang diketahui akarpersamaan kuadratnya adalah: Intixsoalnya adalah diketahui persamaan kuadrat yang akar x1 dan 2 dan hendak dibuat persamaan kuadrat yang baru akarakar-akar x1 dan x 2 dan hendak dibuat persaakarnya xdiketahui 3 dan x 4 di mana x 3 dan2 x 4 masih berhubungan dengan akar (x − x1 )(x − = x 2 ) 0 atau x − (x1 + x 2 )x += x1 x 2 0 x 3 dan x di mana yang baru akar-akarnya x1 dan x 2maan . (xkuadrat − x1 )(x − = x 2 ) 0 atau x 2 − (x1 + x 2 )x += x1 x 24 0 x 3 dan x 4 masih berhubungan dengan akar x1 dan x 2 .
Cara Praktis
Inti soalnya adalah diketahui persamaan kuadrat yang diketahui Inti soalnya adalah diketahui kuadratkuadrat yang diketahui x dan x dan akar-akar hendak persamaan dibuat persamaan yang 1
2
x1 danxxx1 dan akar-akar dan dibuat persamaan ax 2kuadrat + bx + cyang = 0, Diketahui adalah akar–akar 2dan xx42hendak x 3 dan x 4dari baru akar-akarnya di mana masih berhubun3 maka dapat disusun persamaan kuadrat yang baru x 3 xdan x 4 di mana x 3 dan x 4 masih berhubunakar-akarnya ganbaru dengan akar x1 dan 2. sebagai berikut. gan dengan akar x1 dan x 2 .
9
1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx1 dan nx 2 nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx 1. nx111 dan dannx nx222 1. Persamaan Persamaankuadrat kuadratdengan denganakar-akar akar-akar x nx dan nx 1. akar-akar nx111nx dan nx222nx 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar nxdengan adalah Inverskuadrat dari nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xx akar-akar nx dan nx22 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1. Persamaan kuadrat dengan x⇒ 1 dan 1 n nx1nx nx adalah dari dan nx 2nx 1. 1. Persamaan akar-akar nx adalah ⇒ Invers dari nxdengan adalah Inverskuadrat dari Invers nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x⇒ x akar-akar nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx dan nx22222 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar kuadrat dengan nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x⇒ 11111dan nnxnx nx adalah ⇒ Invers dari nx adalah ⇒ Invers dari nx adalah ⇒ Invers dari nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx dan nx22222nx 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx adalah ⇒ Invers dari nx dan nx 1. kuadrat dengan akar-akar nx adalah ⇒ Invers dari x nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 11111nx 1 dan x x x x 2 n n n nn nx nx adalah ⇒akar-akar dari Invers nx adalah dari nx11nx dan nx22nx 1. 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx adalah Invers dari nxdengan adalah Invers dari dan nx Invers 1. Persamaan kuadrat nx adalah ⇒ dari nx adalah ⇒ Invers dari Invers nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xx⇒ x akar-akar x⇒ kuadrat dengan nx dan nx222 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar x⇒ Diperoleh persamaan kuadrat baru x 111 dan n n n n nx adalah ⇒ dari nxadalah adalah n Invers dari Invers nx ⇒ dari nx adalah dari Invers nx adalah ⇒ dari Invers Invers nx 1. kuadrat dengan nx dannx nx222 1. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx adalah ⇒nkuadrat Invers dari x⇒akar-akar x⇒ nx dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan akar-akar Diperoleh baru 2 persamaan 111 dan Diperoleh persamaan baru nn nxnx kuadrat nxnx adalah ⇒ nxkuadrat dari Invers xakar-akar nx adalah ⇒ dari n nxbaru Invers nx adalah ⇒ Invers dari 22 dan nx 1. Persamaan kuadrat dengan adalah ⇒ dari nx adalah ⇒ Invers dari Invers 22x persamaan Diperoleh x x 1 x Diperoleh kuadrat baru Diperoleh persamaan 0 ataubaru ax += b.nx +2c.n2 0 + nn +nnnc kuadrat xa adalah = ⇒ nx persamaan Invers 22 dari nx adalah InversDiperoleh dari nx xbx⇒ n adalah ⇒ dari Invers 2x x Diperoleh persamaan kuadrat baru persamaan kuadrat baru a b c 0 atau ax b.nx + + + = ++ c.n 22n= Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru a b c 0 atau ax b.nx c.n2 00 = + + + = n nxx adalah nkuadrat 2 22 2 22 x= x c nkuadrat dari Invers Diperoleh x2n b x⇒ nxn 222n Diperoleh persamaan baru persamaan baru a 0 atau ax b.nx c.n + + + = + Diperoleh persamaan ataubaru ax ++= b.nx ++22c.n c.n 0 00 + = 00 atau ax b.nx + xaxax = xxbx n ++ cc kuadrat xbn 2x2n = 2222 22 n n n n Diperoleh persamaan kuadrat baru a b c 0 atau ax b.nx c.n = + + + = + 2 a b c 0 atau ax b.nx c.n 0000 x = + + + = + Diperoleh persamaan kuadrat baru a b c 0 atau ax b.nx c.n = + + + = + a b c 0 atau ax b.nx c.n = + + + = + xx nx xx2nn 22 2 22 x21 xn= 2 b persamaan nn cc+kuadrat n Diperoleh baru b 0 atau ax b.nx c.n 0 + + + = + 2n x aa xa2. 0 atau ax b.nx c.n 0 += + + = + dan Persamaan kuadrat dengan akar-akar b c 0 atau ax b.nx c.n 0xxx222 = + + = + 1 x x x2121 dan nnx kuadrat dengan22akar-akar 2. nx Persamaan 2n x x n n dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x x n n a b c 0 atau ax b.nx c.n 0 = + + + = + 1 2 dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar a b c 0 atau ax b.nx c.n 0 = + + + = + 1 2 x21 dan x 2 xnx x kuadrat x Persamaan 2. dengan xnxdan 2akar-akar dan 2. dengan akar-akar nn110x 2dan nPersamaan nn xkuadrat 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n= b 0kuadrat axnx b.nx +Invers +ckuadrat += +x1c.n xxdan xxxnxxnx222 nn22 dan 2. Persamaan dengan akar-akar 2. Persamaan dengan akar-akar kuadrat nxxnxn xatau 1111 x 2. a 2. Persamaan dengan akar-akar adalah ⇒ dari x dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 dan Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 n n x kuadrat nxxxxxnx2222 n222 nn adalah ⇒ nx xxxxxnx1111 dari Invers dari dan ndan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 2. Persamaan dengan akar-akar 2. Invers Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar nxx dengan adalah ⇒ n adalah ⇒ nx nx Invers dari dan ndan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xdan xn 2. kuadrat akar-akar 11 dan 22 n xkuadrat 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 2. Persamaan dengan akar-akar n n adalah ⇒ nx Invers dari 1 n nn x x x x x n x adalah ⇒ nx Invers dari dan n nn2 2. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xnxn x adalah nnkuadrat 11 x 22dan Persamaan akar-akar n adalah ⇒dengan nx x dengan Invers dari 11 22 n x x n n 2. dan n n 2. 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar adalah ⇒ nx Invers dari x x dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n ⇒ nx Invers dari x n n n x dan adalah ⇒ nx Persamaan kuadrat akar-akar Invers dari 1 2 n n x x x x adalah ⇒ nx Invers dari n n adalah ⇒ nx Invers dari dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x x n x 1 2 x dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n2 Persamaan nxn11 dan adalah ⇒ nx nnnxx dengan Invers dari adalah dari adalah ⇒nx nx Invers dari ndan adalah ⇒ nx dari Invers 2. kuadrat akar-akar xxkuadrat dan 2. dengan akar-akar adalah ⇒ nx nn ⇒ Invers Invers dari nnx 2 nx 2 nnn adalah ⇒ nx dari Diperoleh persamaan kuadrat adalah ⇒ nx x1 nbaru Invers Invers dari adalah ⇒ nx Invers dari 2. Persamaan Persamaan kuadrat dengan akar-akar nn adalah ⇒ nx nx nxn2xx adalah Invers dari n adalah ⇒ x dari n n Invers dan 2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n ⇒ nx dari n n x adalah ⇒ nx n Invers Invers dari n adalah ⇒c nx Diperoleh persamaan kuadrat ⇒ Invers Invers nx dari adari b (adalah nx +nx = 0nx nbaru n n (nnx )nnxnx+persamaan ) nx Invers adalah ⇒ dari ⇒ Invers dari 2 adalah x n adalah ⇒ nx Invers dari Diperoleh kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru adalah ⇒ nx dari Invers a ( nxdari +c= 0 )nn22x +persamaan adalah ⇒) nx Invers nnb ( nx adalah ⇒c nx Invers dari Diperoleh kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru n nx + b nx + = 0 ) ( ) aa((nx + b nx + c = 0 ) ( ) 22 n Diperoleh 3. Persamaan dengan baru akar-akar − x1 dan − x 2 , nx)) ++ bbpersamaan nx)kuadrat + cc = = 0kuadrat ( ) aa((nx nx + 0 ( Diperoleh kuadrat baru − x1 danbaru − x2 , 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akarkuadrat a ( nx b ( nx +x cadalah = 0 persamaan )2 +persamaan )−Diperoleh ⇒akar-akar −dengan x kuadrat Invers 2 3. dari Persamaan kuadrat akar-akar Diperoleh persamaan dan −−−xx212 ,,dan − x 2 , 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar −−xx11 baru dan 3. kuadrat dengan Diperoleh persamaan kuadrat baru a (Persamaan nx + b nx + c = 0 ) ( ) − x adalah ⇒akar-akar − x kuadrat Invers dari 3. dari Persamaan kuadrat akar-akar Diperoleh persamaan dan 3. Persamaan Persamaan kuadrat dengan −−xx11 baru dan −−−xx212 ,,dan − x 2 , 3. kuadrat dengan −Diperoleh x adalah ⇒akar-akar −dengan x Invers Diperoleh persamaan kuadrat baru persamaan kuadrat baru 2 ⇒ −x − x adalah Invers dari dan −− xx22 ,, 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar −−xx121 ,dan 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru a nx + b nx + c = 0 − x dan − 3. Persamaan dengan akar-akar ( ) ( ) −Diperoleh x adalah ⇒ − x Invers dari kuadrat Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru 22 − x adalah ⇒ − x1 dari −Invers x adalah ⇒bbakar-akar − x )) ++kuadrat Invers dari − x dan 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar − x dan −− xx22 ,, 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar a nx + nx c = 0 ( ) ( Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan baru a nx + nx c = 0 − x dan − 3. Persamaan kuadrat dengan , 1 ( ) ( 12 −Diperoleh x adalah ⇒ − xkuadrat InversDiperoleh dariInvers persamaan kuadrat 2 22−persamaan xnx adalah ⇒ −baru x1 baru dari + b + c = 0 ( nx )nx ( ) − x dan − x2 , 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2apersamaan Diperoleh persamaan kuadrat baru a nx + b nx + c = 0 ( ) ( ) a + b nx + c = 0 2 1 ( ) ( ) − x adalah ⇒ − x InversDiperoleh dari kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru adalah ⇒ − xx= Invers dari adalah ⇒ − dari a ( −Invers x ) aa((+(nx b = cnx ax − bx + c 0 ())2−222++x++)−b−bbb+(x(x(nx 3. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar nx nx = ) +0+ ccccatau = 000baru ) ) 2 a Diperoleh persamaan kuadrat nx + = 0 ) a nx nx + = 2 baru − x 1 dan − x 2 , persamaan kuadrat 2 2 − x adalah ⇒ − x Invers dari ⇒ − a ( −Invers x )aa((+nx bdari −++ x )2− cadalah axx = − bx + c 0 nx = bb++(x(nx +0+ )ccatau 00baru )()nx 2 nx adari badalah += c⇒ = ((= ())nx Diperoleh kuadrat 22 x) −+ xnx −0 x2= a ( −2Invers x ) aapersamaan +(nx b = − c 0 atau ax − bx + c baru 0 ) Diperoleh persamaan kuadrat + b + c = 0 ( ) ( ) nx + badalah + c⇒ = 0akar-akar )kuadrat ( nx )atau Persamaan kuadrat dengan 2 23. xbaru +akar-akar n dan x 2 +− xn1, dan − x 2 , 4. dengan − x − x Invers dari a ( −Persamaan x )4. + b = − x + c 0 ax = − bx + c 10 ( ) Diperoleh persamaan kuadrat a ( nx + b ( nxdengan + ckuadrat = 0akar-akar )kuadrat nxxndan x2 − +− n Persamaan dengan akar-akar xx22, ,, 3. Persamaan dengan dan 3. )kuadrat Persamaan kuadrat dengan akar-akar 11, dan x1 +akar-akar n danxx1 +2 − +− 4. Persamaan Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh kuadrat baru x12 + −nxdan +n 4. 3. Persamaan dengan x−2−, ,xx 2 ,, Persamaan kuadrat dengan akar-akar x + nkuadrat adalah ⇒ x −dengan nakar-akar Invers dari −xdan x11,xdan dan 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 persamaan 2 − 1− 3. Persamaan kuadrat akar-akar x + n dan x + n 4. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 1 −x 2 +c − xpersamaan +dari b⇒ = −−xxx)−dengan + 0 akar-akar atau ax += −− 0−n ) kuadrat (dengan adalah ⇒ Diperoleh persamaan kuadrat baru kuadrat baru x +an(Invers adalah nc akar-akar Invers dari dan 3. Persamaan kuadrat dengan akar-akar n−bx x2 − +− 4. 3. Persamaan xxxnxdan xxxx222,2,,,, Persamaan dan 3. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2kuadrat − dan − 3. Persamaan akar-akar 2 xx 1 − 1111, dan xatau nnxxax dan 4. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xaInvers +(Invers adalah x+ −cdengan nakar-akar Invers xbkuadrat +(dengan n−⇒ ⇒ Invers xxadalah adalah ⇒ dari 1x+− 2 ++ −nkuadrat xdari + = − x 0 = − bx c 0 ) ) − adalah ⇒ − dari Diperoleh persamaan kuadrat baru − x dan − x 3. dari Persamaan kuadrat dengan akar-akar , x + n dan x + n 4. 3. Persamaan , − x dan − x Persamaan kuadrat dengan akar-akar , 2 −2 x , 3. kuadrat dengan akar-akar 12 2 11− x 1 dan x Persamaan +aan(Invers adalah xxadalah nadalah Invers dari +dari −baru Invers dari Invers dari −22xxpersamaan −−− xx)x− 0xakar-akar atau = bx 0 xx2 ,, 2 (Invers (x−adalah )dengan − ++ bbn−⇒ = ++ cc ⇒0⇒ atau −−−−bx cc − 0− ⇒nx−− 2xax xax2= ))2xkuadrat (= adalah ⇒ dari kuadrat xx11 ++ dan 3. Persamaan dan 3. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar 22 2 Diperoleh persamaan kuadrat baru adalah ⇒ dari xbb= +(= x −− Invers adalah ⇒ dari x)) kuadrat + + atau = bx (Invers (−−n−−−−xxxxxadalah aaInvers −−xdari + + cc 00⇒ atau −−−bx cc − 00 x , adalah ⇒ xax = dari (Invers )x)dengan adalah ⇒ −−nxxxax Invers dari x1 ++ dan 3. Persamaan akar-akar 2 2 2persamaan Diperoleh kuadrat baru −= −nxx− xax 2= Invers dari x ++dari x atau −⇒ Invers dari xxadalah ⇒ dari a (Invers −+2xb(x bn−n) −+−adalah xadalah +adalah 0⇒ − bx + cbaru0 ) ( a(x −Invers n) −Diperoleh cx) = 0c ⇒ persamaan kuadrat 2 2 4. Persamaan kuadrat dengan x + akar-akar adalah ⇒ xxaxkuadrat dari aInvers −+xb(x + bn) = + 0 atau = − bx + baru cbaru0 1 n dan x 2 + n , (Invers )Diperoleh ( −+−−xxcx) = adalah ⇒ −−kuadrat a(x − n) −Diperoleh 0c persamaan dari persamaan baru Diperoleh persamaan kuadrat x1 + n dan x 2 + n , 4. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar − x adalah ⇒ − x Invers dari persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh kuadrat baru 2 persamaan x − n dan x2+2+= ndan 5. Persamaan kuadrat dengan akar-akar , + cxx22 ++0nn,, x dan 4. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar x 4. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 Diperoleh kuadrat baru akuadrat xpersamaan −kuadrat x ) kuadrat + c ⇒baru 0x atau −−nnbx Diperoleh persamaan (+−22b(x )xakar-akar (+adalah −−1n1n nndan dan −nn n,,, 5. Persamaan akar-akar Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru 2persamaan +dengan nb= −baru n xxxx122+ax Invers dari x − n dan 5. Persamaan kuadrat dengan , + dan 4. Diperoleh Persamaan kuadrat dengan akar-akar xxx 2 ++ 4. Persamaan kuadrat dengan akar-akar a(x − n) − n) c = 0 aakuadrat −−2xpersamaan ++dengan b⇒ −−xkuadrat xx+)) n + cckuadrat 010x atau ax −dan (dari ))x2 persamaan (= Diperoleh kuadrat baru baru xpersamaan b= +akar-akar atau ax = −bx bx + Diperoleh kuadrat baru ( ( xbaru −11n22= x+2cc−22n00, 5. Persamaan 2persamaan x − n adalah Invers dari n adalah ⇒ − n Invers Diperoleh 1 2 2 a(x −( −n) 0cc0akar-akar x−12bx += dan xDiperoleh − n− adalah xx(= +dengan Invers4. dariPersamaan a (n) −aa2dari x(dari +))xxb⇒ = +bx c++ ccx02 +00n , )−n+cxx)= xpersamaan ax = persamaan (+−)−22kuadrat (adalah )ckuadrat xb(x − ++ 00xx atau ax −−nbx Diperoleh kuadrat baru +dengan adalah ⇒atau −baru Invers += nbnb= ⇒ −atau nnax Invers 2+ n dan x + n , x1222= 4. Persamaan kuadrat akar-akar a(x − n) +)))x2x2b(x − n) + c = 0 − n adalah ⇒ x + n Invers dari a − x + b = − x + c 0 atau ax = − bx + c ( ( ) a − x + b = − x + c 0 atau ax − bx + c ( ( ) a − x + b = − x + c 0 atau ax = − bx + Diperoleh persamaan kuadrat baru ( ( ) a − x + b = − x + c 0 atau ax = − bx + cc 2 0000 adalah ⇒ xx −−nn 22 2 Invers dari nnkuadrat adalah ⇒ Invers 22 x Diperoleh a(x − n)−−a2xdari n) c+x = 0cbaru xb(x − adalah x atau + natau Invers dari x(+)− +)x2bnb−= = −n x(+ c+⇒ 0⇒ atau ax = = −bx bx + cc+ c00 0 ( ) ( ) aapersamaan + − x + c 0 ax − + ( ( ) x b = − 0 ax = − bx ) + adalah x − n Invers dari 2 2 a(x +Invers n)2 +aa(dari b(x c(= = −− xx0)) ++ cc ⇒00x atau −−bx atau ax 2= = bx ++ cc 00 (−−2xx+))x2n)+++bnb= (adalah − n 2ax a ( − x ) + b= − x + c 0 atau ax = − bx + c 0 ( )
10
1 1 dan 1 1 (berkebali 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 111 11 xdan 111 11 (berkebalikan 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan dan x(berkebalikan 2 6. (berkebalikan) 6. Persamaan Persamaan kuadrat kuadrat dengan dengan akar-akar akar-akar (berkebalikan) dan 1 1xxxdan 11 x1 x 1 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan) dan x 1 2 11 1 x 22 Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan) dan 1 x x x 1 1 6. 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan dan x x 1 1 111 222 1 1 6. 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x1 (berkebalikan) x1 1x11 dan xdan Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan) 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (berkebalikan) dan x(berkebalikan) 21 x12 (berkebalikan) (berkebalikan) 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan xbaru xxdan x(berkebalikan) 6. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 x 2 x x222 2 Diperoleh persamaan kuadrat 111 x x Diperoleh persamaan kuadrat baru x1 x 22 Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 persamaan Diperoleh + bx += a0= 0 kuadrat baru 1 22cx cx + bx + a 2 cx + bx + a = 0 persamaan kuadrat baru cxDiperoleh + bxpersamaan +persamaan a= 0 kuadrat Diperoleh baru Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh kuadrat baru 2 2 2 27. 22cx + bx + a = 0 Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 dan cx cx + bx + a++= cx bx = 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar akar-akar2 xx1122 xdan dan x2222 x 2 ++ bx aa0= 00 7. Persamaan kuadrat dengan 2x 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x 2 2 2 2 2 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 22xxdan 212 x 2dan 1 x Diperoleh persamaan kuadrat baru 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x2222 x 2 7. 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1122 xdan dan 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan 2 x 121x 2x 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2x 2 Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 x 7. Persamaan dengan akar-akar x1 x 2dan 7. Persamaan dengan akar-akar x1 dan 2 kuadrat 2 2kuadrat 2 2 2 a 2 x −2 (b − 2ac)x + 2 c = 0 akar-akar 2 2 2 22 x 2 7. Persamaan kuadrat dengan a x − (b − 2ac)x + c = 0 dan 2x 1 Diperoleh persamaan kuadrat baru 2x 22 x 2 22 7. 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x dan 7. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x dan 1 Persamaan kuadrat dengan akar-akar x dan x 1 2 Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 x − c20= Diperoleh persamaan kuadrat baru 1 22 a 222 (b − 2ac)x + 2 2 Diperoleh 2 2 2 (b −− 2ac)x 2ac)x ++ c22 = = persamaan kuadrat baru baru2 aa2 xx −−2 (b 2 c 0 persamaan kuadrat 2 Diperoleh 2 xDiperoleh 2 (b −persamaan 2 c = a − 2ac)x + 0 a x − (b − 2ac)x + c = 0 kuadrat baru a x − (b − 2ac)x + c = 0 21 x 21 2x 2 x 2 2 x x 2− 2ac)x 2 + 2 c = ax2(b1− x2 (b (b 0 Diperoleh persamaan kuadrat baru 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2− 2ac)x a2 xaax2221− −−22xx2ac)x Diperoleh persamaan kuadrat baru = Diperoleh persamaan kuadrat baru 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 2ac)x dan 8. 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xxx2dan −xdan (b − cc20= 00 Diperoleh persamaan kuadrat baru x+ cx++2 = 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar xxdan 2 x 112 xdan 1 x 221 x 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x x x x112 xxxdan x 1 x1 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 212 22 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x1 xx112 dan xxxxdan x 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar Persamaan kuadrat dengan akar-akar 22 2 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 12 x xx xx211 dan 8. 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x x x 12 x 1122 21 x 2211 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x x x 8. 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 8. Persamaan kuadrat dengan akar-akar dan x 2 x 2 dan xdan Diperoleh persamaan kuadrat baru Persamaan kuadrat dengan akar-akar 12 −12 (b2 x 2x −122ac)x c20= 0 Diperoleh persamaan kuadrat baru x12 xx−12ac)x xacx 2 2 kuadrat baruxacx −22(b + c+2 = Diperoleh 2 x 22 acx 12 (b − 2ac)x + − c20= persamaan kuadrat baru acxDiperoleh −Diperoleh (b2 −persamaan 2ac)x + c = 0 2 − (b2 − 2ac)x + c22 = acx persamaan kuadrat baru acx − 2ac)x c 0= 0 Diperoleh persamaan kuadrat baru 22 Diperoleh persamaan kuadrat baru acx (b−22 (b 2ac)x + cc2+2 = = Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 acx −−2 (b −−22ac)x Diperoleh persamaan kuadrat baru 2 2 persamaan 2 kuadrat baru acx − (b 2 − 2ac)x + c2+2 = 0c2 0= Diperoleh 2 acx 2 2 2 2 − (b − 2ac)x + 0 Diperoleh persamaan kuadrat baru acx − (b − 2ac)x + c = 0 acxacx −2(b−− (b −22ac)x + c++ = Diperoleh persamaan kuadrat baru acx (b 2ac)x = Diperoleh persamaan kuadrat baru −− 2ac)x cc20= 00 Diperoleh persamaan kuadrat baru x1x+ xdan x1 .x Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 dan 2 x + x .x 9. 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 2 1 2 x xdan +xxdan 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2xdan .xx .xx1 .x 2 Persamaan kuadrat dengan akar-akar 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 +x1x+2xx11xdan 9. 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar ++2x x1dan Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 .x 21 x 121.x 22 22 dan x + x dan .x 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x + x x .x 9. 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x + x dan x .x 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 2 1 2 1 2 1 2 Diperoleh persamaan kuadrat baru x1 + 1x 2x dan x1 .x 21 x 22.x 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar Diperoleh persamaan kuadrat baru + xdan 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1dan 2x dan Diperoleh persamaan kuadrat baru x + x 9. 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x + x .x221 2 9. Persamaan kuadrat dengan akar-akar 1 x 11 + 2 x 22 dan 1 .x xx211.x Persamaan kuadrat dengan Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh persamaan kuadrat baru Diperoleh kuadrat baru persamaan kuadrat baru 2 Diperoleh a22 x 22persamaan +2(ab − ac)x − bc = 0akar-akar Diperoleh persamaan kuadrat baru persamaan kuadrat baru a − ac)x − bc = 0 2 Diperoleh 2 x + (ab Diperoleh persamaan kuadrat baru a2(ab + ac)x (ab −−ac)x −0bc = 0 baru a xa2Diperoleh + −x ac)x −ac)x bc = 0bc 22+ persamaan kuadrat xa2(ab − bc = (ab = xx2(ab ++ (ab −− ac)x −− bc 00baru Diperoleh persamaan kuadrat 2 Diperoleh Diperoleh persamaan kuadrat baru persamaan kuadrat baru a222x xa22 ++ − ac)x ac)x − bc bc = 0= a (ab − − = 0 2 2 − ac)x − bc = 0bc = a2 x 2 2 +a2(ab x + (ab − ac)x − 0 2 x2(ab − ac)x − bc = 0= (ab ac)x bc = x ++ (ab −− ac)x −− bc 00 a xaa +
Contoh Soal :
(Soal Ujian Nasional) 2
0 adalah 1. Akar-akar persamaan kuadrat x + 2x + 3 =
(Soal Ujian Nas (Soal Ujian Nasion α dan β . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (Soal Ujian (Soal Ujian Nasion (Soal Ujian NasN (Soal Ujian Nasional (Soal Ujian Nasional) (Soal Ujian Nas (Soal Ujian Ujian Nasion Nasion (Soal 2 adalah … ( α − 2 ) dan (β − 2 ) persamaan Ujian Nasional) 2 x + 2x + 3 = α dan βPersa 0(Soal Akar-akar persamaan kuadrat adalah .Nasi Per (Soal Ujian α dan β x + 2x + 3 = 0 Akar-akar kuadrat adalah . (Soal Ujian Nasional) (Soal Ujian Nasion 2 2 (Soal Ujian Nasion α dan β . Persa 0 0adalah Akar-akarpersamaan persamaan kuadrat x x+2+2x2x+ +3 3= = adalah Akar-akar 2 x + 2x + 3 = α dan 0 adalah . Persa Akar-akar persamaan kuadrat α dan β . βPersa x + 2x + 3 = 0 Akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β . Persa
11
A. x2 + 6x + 5 = 0 B. x2 + 6x + 7 = 0 C. x2 + 6x + 11 = 0
D. x2 - 2x + 3 = 0 E. x2 + 2x + 11 = 0
METODE BASIC CONCEPT
0 maka berKarena α dan β adalah akar-akar x 2 + 2x + 3 = laku −b c α+β = = −2 dan α.β = = 3 a a Misalkan persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya x1 dan x2 dengan x1 = (α − 2) dan x2 = (β − 2) , maka persamaan kuadrat yang baru adalah x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 .x 2 = 0 ⇒ x 2 − ( ( α − 2 ) + ( β − 2 ) ) x + ( α − 2 )( β − 2 ) = 0 ⇒ x 2 − ( ( α + β ) − 4 ) x + αβ − 2 ( α + β ) + 4 = 0 ⇒ x 2 − ( −2 − 4 ) x + 3 − 2 ( −2 ) + 4 =0 ⇒ x 2 + 6x + 11 = 0
CARA PRAKTIS Karena akar-akarnya x1 = (α − 2) dan x2 = (β − 2) , maka diperoleh persamaan kuadrat yang baru: (x + 2)2 + 2(x + 2) + 3 = 0 ⇒ x 2 + 4x + 4 + 2x + 4 + 3 = 0 ⇒ x2 + 6x + 11 = 0
Jawaban: C Soal SPMB 2
0 2. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x + x − 2 = 1 1 + 1 dan +1 maka persamaan yang akar-akarnya x1 x2 adalah...
12
0 A. 2y2 − 3y + 1 =
0 D. 4y2 − 5y − 3 =
0 B. 2y2 − 5y + 1 =
0 E. 4y2 + 5y − 3 =
0 C. 2y2 + 3y + 1 = METODE BASIC CONCEPT 0 , maka Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar x 2 + x − 2 = b c x1 + x 2 = − = −1 dan x1 .x 2 = = −2 a a 1 1 + 1 dan b = + 1 , maka Misalkan a = x1 x2
3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya pangkat
0! tiga dari akar-akar persamaan kuadrat 3x 2 − 6x + 1 = METODE BASIC CONCEPT
0 Persamaan kuadrat yang diketahui: 3x 2 − 6x + 1 = b 2 dan Jumlah akarnya: x1 + x 2 =− = a c 1 hasil kali akar: x1 .x 2= = a 3 Persamaan kuadrat yang baru misal akar-akarnya p dan q. Pola hubungan akar-akar persamaan kuadrat lama dan baru: 3 3 p = x1 dan q = x 2
Uji Skill Rumus Praktis 1. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN Jika salah satu akar persamaan kuadrat x 2 − (k + 1 ) x + (k + 3 ) = 0 adalah dua kali akar lainnya, maka nilai k adalah... 5 A. 5 atau -5 C. 5 atau − E. -5 atau − 5 2 2 5 5 B. 5 atau D. -5 atau 2 2 2. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN
0 maka Jika a dan b adalah akar-akar persamaan 2x 2 + 3x − 2 = a b persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar dan adalah... b a 0 A. 4x 2 + x + 1 =
0 D. x 2 + 4x + 1 =
1 0 B. 4x 2 + 15x ==
0 E. 4x 2 + 17x + 4 =
0 C. 4x 2 + 7x + 1 =
15
3. UM-UGM/SIMAK UI K.IPA
0 adalah x1 dan x2. Jika u Akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 6x + c = dan v adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 − ( x12 + x 22 ) x + 4 = 0 serta u + v = u.v, maka x13 x 2 + x1 x 23 = … a. 4
b.
16
c. 32
d. 64
e. -64
4. UM-UGM/SIMAK UI Madas
y= x + c Sistem persamaan y x 2 + 3x = diketahui mempunyai pernyelesaian tunggal. Nilai c dan x + y berturut-turut adalah... A. -1 dan -3 C. -1 dan 0 E. 1 dan 3 B. -1 dan -1 D. 1 dan -3 5. UM-UGM/SIMAK UI K.IPA Garis y = 2x + k memotong parabola y = x 2 − x + 3 di titik ( x1 ,y1 )
7 , maka nilai k = ... dan ( x 2 ,y2 ) . Jika x12 + x 22 = A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3
6. UM-UGM/SIMAK UI Madas
0 mempunyai dua Nilai a agar persamaan kuadrat x 2 − 8x + 2a = akar yang berlainan dan positif adalah... A. a < 0 C. 0 < a < 8 E. a < 0 B. a < 8 D. a > 8 7. UM-UGM/SIMAK UI Madas Akar-akar persamaan x 2 − ( a + 3 ) x + 4a = 0 adalah α dan β . Nilai minimum dari α2 + β2 + 4αβ dicapai untuk a = … A. -7
B. -2
C. 2
D. 3
16
E. 7
8. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 4x – 1 = 0. 1 1 Maka + =… x1 x 2 A. 1
B.
1 3
C.
4 3
D. 3
E. 4
9. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN
0 adalah x1 dan x2. PersaAkar-akar persamaan kuadrat x 2 + bx + c = maan kuadrat dengan akar-akarnya x1 + x2 dan x1.x2 adalah… 0 A. x 2 + bcx + b − c =
D. x 2 + (b − c ) x − bc = 0
0 B. x 2 − bcx − b + c =
E. x 2 − (b − c ) x + bc = 0
C. x 2 + (b − c ) x + bc = 0 10. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN x 2 + ( 2a − 1 ) x + a2 − 3a − 4 = 0 akan mempunyai akar-akar yang real jika nilai a memenuhi … 5 1 A. a ≥ 1 C. a ≥ −2 8 8
1 E. a ≤ −2 8
5 5 B. a ≥ 2 D. a≤2 8 8
11. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN
α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 3x + k − 13 = 0. Jika α2 − β2 = 21 , maka nilai k adalah … A. -12 B. -3 C. 3 D. 12
17
E. 13
12. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Akar-akar persamaan kuadrat x 2 − αx + 2α − 7 = 0 adalah x1 dan x 2 . Jika 2x1 − x 2 = 7 , maka nilai α adalah … 7 A. − atau -2 D. 7 atau 2 2 7 B. − atau 2 E. 7 atau – 2 2 7 C. atau 2 2
13. Soal UAN SMA Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 - 9x + c = 0 adalah 121, maka nilai c = … A. -8 B. -5 C. 2 D. 5 E. 8 14. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Jika persamaan kuadrat x 2 + ( a − 2 ) x − 3a + 8 = 0 mempunyai akar x1 dan x2, maka nilai minimum dari x12 + x 22 tercapai untuk a = ... A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
15. Soal UAN SMA Akar - akar persamaan kuadrat x 2 + (a − 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a =…. A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 E. 8
18
BAB 2 FUNGSI KUADRAT A. Koordinat Titik Puncak/Titik Ekstrim Bentuk umum fungsi kuadrat: y = f(x) = ax 2 + bx + c
= b2 − 4ac Deskriminan (D): D
b 2a D b atau y = f − Nilai Ekstrim (ordinat puncak): y = − 4a 2a Sumbu simetri (absis puncak): x = −
ymin jika a > 0 ⇒ kurva terbuka ke atas y ekstrim y max jika a < 0 ⇒ kurva terbuka ke bawah Sketsa Grafik: a>0 Grafik Terbuka ke Atas
Grafik Terbuka ke Bawah
min mak a<0
D b b b oordinat titik puncak: (x,y) = − , f − atau − , − 2a 4a 2a 2a
19
Rumus Praktis Misalkan diketahui fungsi f(x), maka 0 Absis puncak ( x cc ) dapat diperoleh dari ⇒ f' ( x ) = Nilai ekstrim (max/min) = f( xcc )
Contoh Soal :
SOAL STANDAR SNMPTN (Rayon B)
2 Garis = y 6x − 5 memotong kurva y = x2 − kx + 11 di titik puncak P. Koordinat titik P adalah … SOAL STANDAR SNMPTN (Rayon B) A. (2, 7) D. (-1,-11) 1. Garis = y 6x − 5 memotong kurva y = x2 − kx + 11 di titik puncak P. Koordinat titik P adalah … B. (1, 1) E. (3, 13) A. (2, 7) C. (-2, -7) E. (3, 13) C. (-2, -7) B. (1, 1) D. (-1,-11)
METODE BASIC CONCEPT y = BASIC x2 − kx CONCEPT + 11 mempunyai Kurva METODE k k2 − 4 (11 ) −b D P Titik puncak22p , ⇔ , −4 2a+ 11 −4amempunyai Kurva y = x −kx 2 Karena garis = y 6x − 5 melalui titik puncak P maka
k k22 − 4( 11) 2 −b D kTitik − 4puncak (11) 6k P p , ⇔ 2 −,12k + 20 = − 2 −4 2a5 ⇔ −4ak − 44 = −4 2 2 k + garis 12k −= ⇔ = 0− 5⇔melalui 4) = 0 P maka (k + 16titik )(k −puncak Karena y64 6x ⇔ k1 = −16 atau k2 = 4
SOAL STANDAR SNMPTN (Rayon A) 2. Jika fungsi f(x) = px2 − (p + 1 ) x − 6 mencapai nilai tertinggi untuk x = −1 , maka nilai p =... 1 A. -3 C. − E. 1 3 1 B. -1 D. 3 CARA BIASA f ( x ) = px 2 − (p + 1 ) x − 6 mencapai maksimum untuk x = −1 , berarti x =
−b p + 1 1 = = −1 ⇒ p + 1 =−2p ⇒ p =− 2a 2p 3
METODE SUPER TRIK f'(x) = 0 ⇒ 2px − p − 1 =0 untuk x =−1 1 ⇒ −2p − p − 1 = 0 ⇒ p = − 3 Jawaban: E Soal UAN 3. Absis titik balik grafik fungsi y = px2 + (p – 3)x + 2 adalah p. Nilai p = … A. -3 C. -1 E. 3 3 2 B. − D. 2 3 METODE SUPER TRIK Titik balik/titik ekstrim f(x) ⇒ f’(x) = 0 f(x) = px2 + (p – 3)x + 2 ⇒ f’(x) = 2px + p - 3 = 0 ⇒ x = 3 − p (absis titik balik) ...(1) 2p Dari soal diketahui absis titik balik = p, artinya x = p ...(2)
21
Dari (1) dan (2) diperoleh 3−p = p ⇒ 2p2 + p − 3 = 0 2p ⇒ (2p + 3)(p − 1) = 0 2 1 ⇒ p =− atau p = 3 Jawaban: B SOAL STANDAR SNMPTN (Rayon C) 2
4. Jika fungsi kuadrat 2ax − 4x + 3a mempunyai nilai maksumum 1, maka 27a3 − 9a = ….. METODE BASIC CONCEPT f ( x )= 2ax 2 − 4x + 3a
f ( x )maks =
D = −4a
( 4 )2 − 4 (2a)( 3a) =1 −4 ( 2a)
0 3a2 − a − 2 = 0 ⇔ ( 3a + 2 )( a − 1) = 2 a = − atau a = 1 3 Ingat, agar nilai maksimum maka nilai a < 0, maka diperoleh 3 2 −2 −2 27 − 9 = −2 a = − sehingga 27a3 − 9a = 3 3 3
22
B. Hubungan Parabola dengan Grafik Parabola dan Sumbu x a>0 D>0
a>0 D=0
a>0 D<0
Sb X Sb X
Sb X
Sb X
Sb X
Sb X
a<0 D>0
a<0 D=0
a<0 D<0
Parabola dan Garis
Dengan D = deskriminan dari y1 - y2
23
Disebut: - selalu positif - definit positif - di atas sumbu x - f(x) > 0 Disebut: - selalu negatif - definit negatif - di bawah sumbu x - f(x) < 0
Keterangan: Diketahui dua buah kurva, misalnya kurva y1 dan y2. dari y1 - y2 = 0, maka diperoleh sebuah persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat tersebut Keterangan: mempunyai akar-akar x1 dan x2 serta deskriminan D. Sifat antara kedua Diketahui duadapat buah ditentukan kurva, misalnya kurva y1 deskriminan dan y2. Jika kedua perskurva tersebut berdasarkan (D) nya. amaan di atas disubstitusikan, maka diperoleh sebuah persamaan x 2 makatersebut Jika D >Persamaan 0 ⇒ x1 ≠kuadrat kedua kurva saling berpotongan pada kuadrat. mempunyai akar-akar x1 dan x2 kedua titik serta deskriminan D. Sifat antara kedua kurva tersebut dapat ditentukan D berdasarkan (D) nya. x maka kedua Jika = 0 ⇒ x =deskriminan kurva saling bersinggungan 1
2
JikaDD< >0 0⇒⇒ x x1≠≠xx 2 maka makakedua keduakurva kurvatidak salingberpotongan berpotongan Jika 1 2 pada kedua titik Jika D = 0 ⇒ x1 = x 2 maka kedua kurva saling bersinggungan Jika D < 0 ⇒ x1 ≠ x 2 maka kedua kurva tidak berpotongan
Contoh Soal :
= 1. Agar f ( x ) (p - 2) x 2 - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah … A. P > 1 C. P > 3 E. p < 1 atau p > 2 B. 2 < p < 3 D. 1 < p < 2 METODE BASIC CONCEPT = Diketahui : f ( x ) (p - 2) x 2 - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 Syarat selalu bernilai positif (definit positif): (i) a > 0, berarti p – 2 > 0 ⇒ p > 2 (ii) D < 0, berarti: 2 ( ( 2p - 3 ) ) − 4 (p − 2) ( 5p − 6 ) < 0 2
⇒ 4 ( 4p2 − 12p + 9 ) − 20p2 + 64p − 48 < 0 2
2
⇒ −4p + 16p − 12 < 0 ⇒ −p + 4p − 3 < 0
⇒ ( −p + 3)(p−1) < 0
24
... (1)
--
--
+ +
3 1 ⇒ p < 1 atau p > 3
... (2)
Yang memenuhi syarat (i) dan (ii) adalah p > 3.
Jawaban: C
Soal Standar SNMPTN 2. Supaya garis= y 2px − 1 memotong parabola y = x2 − x + 3 di dua titik, maka nilai p harus … 1 1 1 1 a. p < −2 atau p > 1 d. −2 < p < 1 2 2 2 2 1 1 1 1 b. p < −1 atau p > 2 e. −1 < p < 2 2 2 2 2 1 1 c. p < − atau p > 2 2
2
METODE BASIC CONCEPT y 2px − 1 dan y = x2 − x + 3 . Diketahui dua persamaan= Caranya, subtitusikan terlebih dahulu kedua persamaan di atas. 2 0 2px − 1 = x 2 − x + 3 ⇒ x − (1 + 2p ) x + 4 = Agar garis= y 2px − 1 memotong di dua titik pada y = x2 − x + 3 ,
maka D > 0. Maka, D = (1 + 2p )2 − 4 (1)( 4 ) > 0 ⇒ 4p2 + 4p + 1 − 16 > 0
⇒ 4p2 + 4p − 15 > 0 ⇒ ( 2p − 3 )( 2p + 5 ) > 0
5 3 Jadi, p < − atau p > 2 2
Jawaban: A
25
Soal Standar SNMPTN (Rayon A) 3. Supaya garis = y 2x + a memotong grafik fungsi f(x) = x 2 − x + 3 , maka haruslah … 3 3 3 A. a > B. a < C. a ≤ 4 4 4
D. a ≥
3 3 E. a = 4 4
METODE BASIC CONCEPT Garis = y 2x + a memotong grafik fungsi f(x) = x 2 − x + 3 , artinya 2x + a = x 2 − x + 3 ⇒ x 2 − 3x + 3 − a = 0 Garis memotong grafik fungsi y = f ( x ) bisa pada dua titik atau satu titik, dengan demikian syaratnya adalah D ≥ 0 D = b2 − 4ac ≥ 0
( −3)2 − 4 (1)( 3 − a) ≥ 0
9 − 12 + 4a ≥ 0 ⇒ 4a ≥ 3 ⇒ a ≥
3 4
METODE LOGIKA Perhatikan kalimat soal “…memotong grafik…”. Artinya kurva berpotongan di dua titik. Artinya D ≥ 0. Cari pilihan ganda yang berbentuk “…≥ 0…”. Pilihan jawaban yang mungkin hanya D. Ingat, METODE LOGIKA bukan metode yang dianjurkan karena tidak berlaku untuk semua soal. Namun, setidaknya bisa membantu jika siswa benar-benar tidak mengetahui cara untuk menyelesaikan soal. Jawaban: D
26
C. Menentukan Fungsi Kuadrat C. Menentukan Fungsi Kuadrat
Jika diketahui 3 buah titik dilalui kurva fungsi kuadrat. Jika diketahui 3 buah titik dilalui kurva fungsi kuadrat.
Contoh Soal :
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,0), (1,4), dan (2,3) adalah… a. y = x 2 + 2x + 3 c. y = x 2 − 2x + 3 e. y = − x 2 + 2x + 3 b. y = x 2 − 2x + 3 d. y = x 2 − 2x − 3 METODE BASIC CONCEPT Substitusi ke tiga titik ke fungsi y = ax 2 + bx + c ( − 1,0) ⇒ 0 = a – b + c (2, 3) ⇒ 3 = 4a + 2b + c (1, 4) ⇒ 4 = a + b + c Selesaikan ketiga persamaan di atas dengan eliminasi dan substitusi diperoleh a = − 1, b = 2 dan c = 3, sehingga ⇒ y= − x 2 + 2x + 3 METODE LOGIKA Ambil sembarang titik, kemudian masukkan ke pilihan jawaban. Yang memenuhi merupakan jawaban yang benar. Misalkan dari titik (-1,0), (1,4), dan (2,3) yang diketahui kita ambil titik (-1,0). Kemudian titik (-1,0) kita subtitusikan ke pilihan jawaban: a. 0 =( −1 ) + 2 ( −1 ) + 3 (salah) 2
b. 0 =( −1 ) − 2 ( −1 ) + 3 (salah) 2
c. y =( −1 ) − 2 ( −1 ) + 3 (salah) 2
d. 0 =( −1 ) − 2 ( −1 ) − 3 (salah) 2
e. 0 =− ( −1 ) + 2 ( −1 ) + 3 (benar) 2
27
Jawaban: e
Jika diketahui 2 titik potong terhadap sb X dan sebuah titik lain Jika diketahui 2 titik potong y =a(xterhadap − x1 )(x − sb x 2 )X dan sebuah titik lain Gunakan rumus: Gunakan rumus:
y =a(x − x1 )(x − x 2 )
x1 dan x 2 adalah absis titik potong pada sumbu x. x1 dan x 2 adalah absis titik potong pada sumbu x.
Contoh Soal :
Grafik di bawah ini adalah grafik dari… Y A. y = x 2 − 3x + 4
Soal Ujian Nasional
B. y = x 2 − 4x + 3 C. y = x 2 + 4x + 3 D. y = 2x 2 − 8x + 3
3
2
E. y = x − 3x + 3 1 3 X METODE BASIC CONCEPT Titik potong terhadap sumbu X adalah (1, 0) dan (3, 0). Artinya = x1 1= dan x2 3 . Fungsi kuadratnya adalah y =a( x − 1 )( x − 3) .
Sembarang titik yang lain berguna untuk menentukan nilai a. Titik (0, 3) jika disubtitusikan ke fungsi kuadratnya diperoleh 3 = a( 0 − 1)( 0 − 3) ⇒ 3 = a( −1)( −3) ⇒ a = 1
Jadi, fungsinya adalah y = x 2 − 4x + 3 METODE LOGIKA Ambil sembarang titik, kemudian masukkan ke pilihan jawaban. Yang memenuhi merupakan jawaban yang benar. Grafik melalui titik (1,0). Kita subtitusikan ke pilihan jawaban.
Jikadiketahui diketahuititik titikekstrim ekstrim ((xxcc,y ,ycc)) dan dansebuah sebuahtitik titiklain lain Jika 2 Jikadiketahui diketahuititik titik ekstrim( x(cx,y ,y ) 2dan sebuahtitik titiklain lain Jika =aa((xxc−−c x)cxccdan ycc Gunakanrumus: rumus: ekstrim yy= Gunakan )) ++ysebuah
rumus: Gunakan Gunakan rumus:
Contoh Soal :
SoalStandar Standar SNMPTN(Rayon (Rayon A) Soal Soal StandarSNMPTN SNMPTN (RayonA)A) Fungsi Fungsi kuadrat yang mempunyai minimum 2 untuk x =dan 1 dan kuadrat yang mempunyai nilainilai minimum untuk Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 2untuk x x= =1 1dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah … mempunyainilai nilai3 3untuk untukx x= =2 2adalah adalah…… mempunyai A. y = x2 − 2x + 1 C. y = x2 + 2x − 1 E. y = x2 − 2x − 3 2
2
2 x2x+−+12x + 3 D. yyy===x2xx2+++2x2x y= =x 2xy2−=−2x 1 C. C. 2x−+−11 A.A.y B. E.E.y y= =x2x − −2x2x− −3 3 METODE BASIC CONCEPT 2 2 kuadrat mempunyai 2 untuk x = 1 berarti y= =x2x2− −2x 2x+ +3 3 D. D. x + +2xminimum 2x+ +1 1 B.B.y Fungsi y y==xnilai puncaknya (1,2). 2 METODE BASIC CONCEPT METODE BASIC CONCEPT Fungsinya adalah y − y c = a(x − x c )2 ⇔ y − 2 = a ( x − 1 )
Fungsi kuadrat mempunyai nilaiminimum berarti Karena melalui (2, 3), maka 3minimum − 2= a ( 22−2untuk 1untuk Fungsi kuadrat mempunyai nilai )2 ⇒xa=x= =111berarti puncaknya(1,2). (1,2). puncaknya 2 2 Jadi, fungsinya y − 2= 1 ( x − 1 ) ⇒ y = x − 2x + 3 Fungsinyaadalah adalahy y− −y cy=c = a(x a(x− −x cx)c2)2⇔⇔y y− −2 =2 = a (ax( x− −1 )12) Fungsinya
2
29
METODE LOGIKA Fungsi melalui (2,3). Akan ditentukan pilihan jawaban yang melalui titik tersebut dengan cara disubtitusikan ke masing-masing pilihan. A. 3 = 22 − 2.2 + 1 ⇒ 3 = 1 (salah)
Uji Skill Rumus Praktis 1. Soal UAN SMA = Agar f ( x ) (p - 2) x 2 - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah … A. P > 1 D. 1< p < 2 B. 2 < p <3 E. p < 1 atau p > 2 C. P > 3 2. Soal UAN SMA Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksi-mum 3 untuk x = 1 dan grafiknya melalui titik (3, 1), memotong sumbu Y di titik … A. (0, 7/2) D. (0, 2) B. (0, 3) E. (0, 3/2) C. (0, 5/2)
30
3. Soal UAN SMA Suatu garis lurus mempunyai gradien -3 dan memotong parabol y= 2x 2 + x − 6 di titik (2,4). Titik potong lainnya mempunyai koordinat... A. (4,2) B. (3,1) C. (7,1) D. (3,-2) E. (-4,22) 4. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Agar kurva y = mx 2 − 2mx + m seluruhnya terletak di atas kurva = y 2x 2 − 3 , maka konstanta m memenuhi... A. m > 6 D. -6 < m < 2 B. m > 2 E. -6 < m < -2 C. 2 < m < 6 5. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Persamaan parabol yang memotong sumbu y di titik (0,3) dan mencapai puncak di titik (1,1) adalah y =... A. 4x 2 − 8x + 3
D. 2x 2 + 4x − 3
B. 4x 2 + 8x + 3
E. 2x 2 − 4x + 3
C. −4x 2 + 8x − 3 6. Jika fungsi f ( x ) = ax 2 + bx + c mencapai minimum di x = 0 dan grafik fungsi f melalui titik (0,2) dan (1,8), maka nilai a + b + 2c = A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 16 7. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Garis = y ax + b diketahui memotong parabola = y 2x 2 + 5 di titik 4 dan x1 .x 2 = 3 , maka nilai a ( x1 ,y1 ) dan ( x2 ,y2 ) . Jika x1 + x2 = dan b adalah … A. a = 8 dan b = -2 D. a = -8 dan b = 1 B. a = 8 dan b = -1 E. a = -8 dan b = 2 C. a = -8 dan b = -1
31
8. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Fungsi f(x) yang grafiknya di bawah ini adalah f(x)=… A. x 2 − 2x − 3 B. x 2 − 3x − 4 C. x 2 + 2x − 3
y -3
D. x 2 + 2x + 3 E. x 2 − x − 4
x
(-1,-4)
9. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax 2 + 4x + a ialah 3, sumbu simetrinya adalah x = … 1 A. -2 B. -1 C. D. 2 E. 4 2 10. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Jika Grafik y = x 2 + ax + b mempunyai titik puncak (1, 2), maka nilai a dan b adalah … A. a = 1, b = 3 D. a = 0,5, b = 1,5 B. a = -1, b = -3 E. a = 0,5, b = -1,5 C. a = -2, b = 3 11. Yang paling sesuai sebagai grafik y = x adalah …
32
12. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Supaya Grafik fungsi y = mx 2 − 2mx + m , seluruhnya di atas grafik fungsi= y 2x 2 − 3 , maka nilai m harus memenuhi… A. m > 2 D. −6 < m < 2 B. m > 6 E. m < −6 C. 2 < m < 6 13. Jika nilai-nilai a, b, c, dan d positif, maka grafik fungsi ay – bx2 – cx + d = 0 akan memiliki … (1) dua titik potong dengan sumbu (2) nilai maksimum (3) nilai minimum (4) titik singgung dengan sumbu 14. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Grafik di bawah ini adalah grafik dari… 2 A. y = x − 3x + 4
B. y = x 2 − 4x + 3 2 C. y = x + 4x + 3
1
D. y = 2x 2 − 8x + 3
3
−3
2 E. y = x − 3x + 3
15. Soal UAN SMA Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mem-punyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) adalah … A. y = x 2 − 2x + 1
D. y = x 2 + 2x + 1
B. y = x 2 − 2x + 3
E. y = x 2 − 2x − 3
C. y = x 2 + 2x − 1
33
34
BAB 3 PERTIDAKSAMAAN A. Sifat-sifat Pertidaksamaan Berikut adalah sifat-sifat umum operasi pertidaksamaan. Untuk a, b, c, d ∈ real, maka berlaku: a. a > b maka a + c > b + c b. a > b, c > d maka a + c > b + d c. a > b, b > c maka a > c d. a > b, c > 0 maka ac > bc e. a > b, c < 0 maka ac < bc a f. > 0 maka a, b > 0 atau a,b < 0 b g. a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2 h. a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2
B. Sifat Harga Mutlak Berikut adalah sifat-sifat umum harga mutlak yang perlu dipahami. − x, untuk x < 0
a. x = x, untuk x ≥ 0
b. x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a, a > 0 c. x > a ⇔ x < −a atau x > a, a > 0
35
C. Sifat Akar 2
x =
−C. x, untuk x < 0 Akar Sifat x, untuk x− x, 0 ≥ untuk x<0 x2 = x, untuk x ≥ 0
D. Super TRIK Penyelesaian Berbagai Bentuk Soal D. penyelesaian Super TRIK Penyelesaian Berbagai Pahami teknik semua soal. Model-model soal dalam ujian nasional maupun SNMPTN tidak jauh dari model soal yang diberikan Bentuk Soal dalam buku ini. Pahami teknik penyelesaian semua soal. Model-model soal dalam ujian nasional maupun SNMPTN tidak jauh dari model soal yang diberikan dalam buku ini.
Cara Praktis Trik Menentukan Garis Bilangan Super Cepat 1. Jadikan soal dalam bentuk perkalian pemfaktoran. Langkah ini bisa diabaikan jika soal sudah dalam bentuk perkalian pemfaktoran. 2. Tentukan pembuat nol-nya, dan masukkan ke garis bilangan. 3. Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan tanda pada ruas yang paling kanan. 4. GENAP – TETAP, artinya pangkat genap sama tanda 5. Pangkat ganjil berlawanan tanda
36
Contoh Soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini: 2 1. x + 2x − 8 > 0
CARA PRAKTIS 1. x 2 + 2x − 8 > 0 Penyelesaian: x 2 + 2x − 8 > 0 ⇒ ( x + 4 )( x − 2 ) > 0 Pembuat nolnya adalah: x = –4 dan x = 2 Garis bilangannya adalah sebagai berikut: Langkah selanjutnya adalah menentukan tandanya. Perhatikan tanda koefisien pangkat tertinggi, kemudian masukkan ke garis bilangan untuk menentukan penyelesaiannya.
Diperoleh garis bilangan Berdasarkan garis bilangan di atas, maka penyelesaian dari x 2 + 2x − 8 > 0 adalah x < -4 atau x > 2
37
2. − x 3 + 7x 2 − 10x ≥ 0 Penyelesaian: − x 3 + 7x 2 − 10x ≥ 0 ⇒ x ( − x 2 + 7x − 10 ) ≥ 0
⇒ x ( − x + 2 )( x − 5 ) ≥ 0 Pembuat nolnya adalah: x = 0; x = 2 dan x = 5 Garis bilangannya adalah sebagai berikut:
Perhatikan tanda koefisien pangkat tertinggi, kemudian masukkan ke garis bilangan untuk menentukan penyelesaiannya.
Diperoleh garis bilangan ++
--
++
--
0 2 5 Berdasarkan garis bilangan di atas, maka penyelesaian dari − x 3 + 7x 2 − 10x ≥ 0 adalah x ≤ 0 atau 2 ≤ x ≤ 5 . 3. (x – 3)(x – 4)(x + 2) < 0 Penyelesaian: Pembuat nolnya adalah: x = 3, x = 4 dan x = -2 Pangkat tertinginya positif, maka ruas kiri diisi tanda positif.
38
Selanjutnya dalam garis bilangan diperoleh:
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah: Hp = {x < - 2 atau 3 < x < 4} 4. (3 – x)(x + 5)(x – 6) ≥ 0 Penyelesaian: Pembuat nolnya adalah:x = 3, x = - 5 dan x = 6 Pangkat tertinginya negatif, maka ruas kiri diisi tanda negatif.
Selanjutnya dalam garis bilangan diperoleh:
Jadi, himpunan penyelewsaiannya adalah: Hp = { x ≤ −5 atau 3 ≤ x ≤ 6 } 5. (–x + 3)4(x + 2)5 (x2 – 4x) <0 Atau dapat ditulis (x – 3)4(x + 2)5 x(x – 4)<0 Penyelesaian: Pembuat nol nya adalah: x = 3, x = – 2 , x = 0 dan x = 4 Pangkat tertinginya positif, maka ruas kiri diisi tanda positif. Ingat, karena (–x + 3)4 pangkatnya genap, maka pada pembuat nol x = 3 tandanya sama.
39
Selanjutnya diperoleh garis bilangan:
Selanjutnya diperoleh garis bilangan: Hp = {–2 < 0 atau 0 < x < 3 atau 3 < x < 4}
Hp = {–2 < 0 atau 0 < x < 3 atau 3 < x < 4}
E. Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Lanjutan E. Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Lanjutan Cara Praktis
5. Metode Penyelesaian Pertia. Penyelesaian: f(x) >< 0 (1) tidak berlaku perkalian silang daksamaan Lanjutan g(x) (2) Penyelesaian: f(x).g(x) >< 0, g(x) ≠ 0 5. Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Lanjutan b. Penyelesaian: f(x) >< c (1) f(x) ≥ 0 (2) kedua ruas dikuadratkan Penyelesaiannya: irisan (1) dan (2)
Contoh Soal : Soal Standar SNMPTN 3x − 2 ≤ x adalah... 1. Himpunan semua x yang memenuhi x 0SNMPTN A. x < 0 atau 1 ≤ x ≤ 2 D. −Soal 2Soal ≤ x ≤Standar −Standar 1 atau x >SNMPTN B. 0 < x ≤ 1 atau x ≥ 2 E. x < 0 atau 2 ≤ x ≤ 3 3x3x− 2− 2 C. x ≤ −2 atau −1 ≤ x ≤ 0 ≤ ≤x adalah... Himpunan x adalah... Himpunansemua semuax xyang yangmemenuhi memenuhi xx CARA PRAKTIS D.D.−2−2 atau A.A. 2 2 ≤ ≤x ≤ x2<0 0atau x >0 0 atau ataux > 12≤x ≤ x≤ x ≤−1−1 3xx−< 3x1−≤ ≤x⇒ −x ≤0 x x 22 1 1atau x x< B.B.0 0<
x. ( −x + 1 )( x − 2 ) ≤ 0, dengan x ≠ 0 . penyelesaian METODE METODESUPER SUPERTRIK TRIK Diperoleh garis bilangan sebagai berikut.
+++ --+++ --3x3x− 2 3x − 2 − 20 3x − 2 2 ≤ ≤x ⇒ x≤ x ⇒ 1 −− x ≤0 0 xx xx < xx − ≤ 1 atau x ≥ 2 } Jadi, himpunan penyelesaiannya: ( −(x−+x{ 01+)( 3x3x− 2 x 2x 2 1 )( x 2 −)2 ) 2− −− ⇒⇒ ≤ ≤0 0 ⇒⇒ ≤ ≤0 0 Jawaban: B xx xx ( −(x−+x +1)(1)(x −x −2 )2 ) Penyelesaian ≤ ≤0 0sama Penyelesaiandari dari samadengan denganmen men xx
41
Soal Standar SNMPTN 2. Penyelesaian pertaksamaan A. x < 1 atau x > 1 B. −1 < x < 1
2
2x − x − 3 < 0 adalah … x2 − x − 6
1 2
1 1 atau −2 < x < −1 2 2
1 C. −1 < x < −1 atau 2 < x < 3 2 1 D. -2 < x < -1 atau 1 < x < 3 2 1 1 E. −3 < x < − atau 2 < x < 2 2 2
CARA PRAKTIS (2x − 3)( x + 1) 2x 2 − x − 3 <0⇒ <0 2 x −x −6 ( x − 3)( x + 2 ) Penyelesaian dari
(2x − 3)( x + 1) <0 ( x − 3)( x + 2 )
sama dengan mencari
penyelesaian dari ( x − 3 )( x + 2 )( 2x − 3)( x + 1 ) < 0 dengan syarat ( x − 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 dan ( x + 2 ) ≠ 0 ⇒ x ≠ −2 . Diperoleh garis bilangan sebagai berikut. ++
--2
++ -3
-3/2
++ 3
1 Jadi, himpunan penyelesaiannya: { − 2 < x < − 1 atau 1 < x < 3 } 2 Jawaban: D
42
Soal Ujian Nasional 3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x > x + 6,x ∈ R adalah … A. {x -2 < x < 3,x ∈ R} D. {x x < -2 atau x > 3,x ∈ R} B. {x x < -3 atau x > 2,x ∈ R}
C. {x -6 < x < 2 atau x > 3, x ∈ R}
E. {x x > 3,x ∈ R}
CARA PRAKTIS x > x + 6 mempunyai penyelesaian jika memenuhi: x ≥ 0 …(1) x + 6x ≥≤ 0 ⇒ x ≥ −6 …(2) Sedangkan penyelesaiannya adalah: x2 > x + 6 ⇒ x2 − x − 6 > 0 ⇒ ( x − 3)( x + 2) > 0 ⇒ x1 = 3 ; x2 = −2
Penyelesaian: x < −2 atau x > 3
…(3)
Penyelesaian x > x + 6,x ∈ R adalah yang memenuhi (1), (2) dan (3), sehingga diperoleh penyelesaian x > 3. CARA LOGIKA Ambil sembarang angka dari pilihan ganda, kemudian masukkan ke pertidaksamaan. Jika tidak memenuhi maka pilihan jawaban tersebut salah. Misal ambil x = 0, masukkan ke x > x + 6,x ∈ R , diperoleh 0 > 0 + 6 (salah). Jadi pilihan jawaban yang memuat angka 0 salah. Maka, A dan C salah. Selanjutnya ambil x = -4, jelas bah— wa −4 > −4 + 6 (salah). Pilihan jawaban B dan D jelas salah karena memuat x = -4. Pilihan jawaban yang tersisa adalah E. Jawaban: E
43
F. Trik Menyelesaikan Pertidaksamaan Mutlak
Cara Praktis Langkah penyelesaian: Penyelesaian bentuk:
adalah sama dengan penyelesaian (a − kb)(a+kb) (><) 0 Catatan: Untuk yang berbentuk pecahan, maka ditambah syarat penyebut tidak boleh sama dengan nol. Perhatikan contoh.
Soal Standar Ujian Nasional Tentukan himpunan penyelesaian dari: x −3 ≥2 44 x +1 METODE SUPER TRIK
Contoh Soal : Soal Standar Ujian Nasional x −3 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari: ≥2 x +1 CARA PRAKTIS ((x − 3) + 2(x + 1))((x − 3) − 2(x + 1)) ≥ 0
⇒ ( 3x − 1)( −x − 5) ≥ 0 Jadi, mencari penyelesaiannya dari
x −3 ≥ 2 sama artinya x +1
mencari penyelesaian dari (3x – 1)( – x – 5) ≥ 0 . 1 dan x = −5 . Pembuat nolnya x = 3 Ingat, penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1 . Pangkat tertinginya negatif, maka ruas kiri diisi tanda negatif. Selanjutnya dalam garis bilangan diperoleh:
Jadi, himpunan penyelelesaiannya adalah: 1 Hp = { −5 ≤ x ≤ , x ≠ −1 } 3 atau dapat juga ditulis Hp = { −5 ≤ x < −1 atau − 1 < x ≤
45
1 } 3
Soal Standar SNMPTN 2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 1 < 2 x − 6 adalah…. 11 11 11 A. x < −13 atau x > C. − < x < 13 E. −13 < x < 5 5 5 11 B. x < − atau x > 13 D. −13 < x < 13 5 CARA PRAKTIS 3x + 1 < 2 x − 6
⇔ ( ( 3x + 1 ) + 2 ( x − 6 ) ) ( ( 3x + 1 ) − 2 ( x − 6 ) ) < 0 ⇔ ( 5x − 11 )( x + 13 ) < 0 11 atau x = − 13 5
Pembuat nolnya adalah: x =
Jadi, Hp = { −13 < x <
11 } 5
Jawaban: E
Soal Standar SNMPTN 3. Penyelesaian pertaksamaan x − 2 ≤ 2x + 1 adalah... 2
A. −1 − 2 ≤ x ≤ 3
D. −1 ≤ x ≤ −1 + 2
B. −1 − 2 ≤ x ≤ −1 + 2 E. −1 ≤ x ≤ −3 1 C. −1 − 2 ≤ x < − 2 METODE BASIC CONCEPT Penyelesaian untuk x 2 − 2 ≤ 2x + 1 adalah: (i) Untuk 2x + 1 < 0 , maka:
46
x 2 − 2 ≤ − ( 2x + 1 ) ⇔ x 2 + 2x − 1 ≤ 0 x1,2 =
−2 ± 4 − 4.1. ( −1)
=−1 ± 2
2
−1 − 2 ≤ x ≤ −1 + 2 ...(a) 1 2x + 1 < 0 ⇔ x < − ...(b) 2 Dari (a) dan (b) diperoleh penyelesaian 1 −1 − 2 ≤ x < − ...(*) 2
(ii) Untuk 2x + 1 ≥ 0 , maka: x 2 − 2 ≤ 2x + 1 ⇔ x 2 − 2x − 3 ≤ 0
⇔ ( x − 3)( x + 1) ≤ 0
⇔ −1 ≤ x ≤ 3 ...(c) 1 2 x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ − ...(d) 2 Dari (c) dan (d) diperoleh penyelesaian 1 − ≤ x ≤ 3 ...(**) 2 Sehingga gabungan dari (*) dan (**) diperoleh penyelesaian pertaksamaan −1 − 2 ≤ x ≤ 3 Jawaban: A
47
Uji Skill Rumus Praktis 1. Soal UN SMA Himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2x2 + 11x – 5 ≥ 0 adalah .... 1 A. x x ≤ −5 atau x ≥ − , x ∈ R 2
1 B. x −5 ≤ x ≤ − , x ∈ R 2 1 C. x − ≤ x ≤ 5, x ∈ R 2
1 D. x x ≤ atau x ≥ 5, x ∈ R 2 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R E. x 2 2. Soal UN SMA Himpunan penyelesaian dari x2 – 10x + 21 < 0, x ∈ R adalah … A. {x| x < 3 atau x > 7; x ∈ R} B. {x| x < -7 atau x > 3 ; x ∈ R} C. {x| -7 < x < 3 ; x ∈ R} D. {x|-3 < x < 7 ; x ∈ R} E. {x| 3 < x < 7 ; x ∈ R} 3. Soal UN SMA Himpunan penyelesaian pertidaksamaan − x 2 + 4 x + 5 ≤ 0 adalah … A. B. C.
{x | −5 ≤ x ≤ −1} {x | −1 ≤ x ≤ 5} {x | −1 < x < 5}
D. E.
{x | x ≤ −1 atau x ≥ 5} {x | x < −1 atau x > 5}
48
4. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 2x2 − x − 3 < 0 adalah … Penyelesaian pertaksamaan 2 x − x −6 A. x < 1 atau x > 1 B. −1 < x < 1
1 2
1 1 atau −2 < x < −1 2 2
1 C. −1 < x < −1 atau 2 < x < 3 2 1 D. -2 < x < -1 atau 1 < x < 3 2 1 1 E. −3 < x < − atau 2 < x < 2 2 2 5. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN
( x − 2)( x2 + x − 6 )
> 0 adalah... x 2 + x − 20 A. x < -5 atau -3 4 B. x <-3 atau 2 < x < 4 E. -3 < x< 2 atau x > 4 C. -5 < x < -3 atau x >2
Solusi pertaksamaan
6. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN Himpunan semua nilai m yang membuat m yang memenuhi… A. m > 2 B. m > 4 C. −
2−m ≤ 0 adalah 2m − 5m − 12 2
3 D. − < m ≤ 2 atau m > 4 2 3 E. − ≤ m ≤ 2 atau m ≥ 4 2
3 atau 2 ≤ m ≤ 4 2
49
7. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN x 2 + 5x − 6 Grafik fungsi y = 2 berada x + x −6 (1) di atas sumbu x untuk 0 < x < 3 (2) di atas sumbu x untuk −3 < x < 1 (3) di bawah sumbu x untuk −4 < x < −1 (4) di bawah sumbu x untuk −6 < x < −3 Pernyataan yang benar adalah … A. 1, 2, dan 3 D. 4 B. 1 dan 3 E. semua benar C. 2 dan 4 8. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan A. 1 < x <
2 3
atau
B. x < −1 atau C. −1 < x <
2 3
2 3
2 3
x 2 − 3x − 4 < 0 adalah … 6x − 4
dan x > 4 2
D. x < −1 dan < x < 4 3 E. x > −1 dan x < 4 9. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Fungsi f ( x ) =
x2 − 2x + 1 terdefinisikan bila memenuhi …. 16 − x 2
A. −1 < x < 4 B. x < −1 atau x > 1 C. 1 ≤ x < 1
D. x < −4 atau x > 4 E. −4 < x < 4
50
10. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN
x2 − x terdefinisikan pada x +1
Fungsi f dengan rumus f ( x ) = himpunan… A. { x x ≥ −1 } B. { x x ≥ 0 } C. { x x ≥ 1 }
D.
E.
{x −1 ≤ x ≤ 0 {x −1 < x ≤ 0
atau x ≥ −1 } atau x ≥ 1 }
11. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai x yang memenuhi pertaksamaan
1 3 A. − ≤ x < atau x ≥ 2 2 4 1 3 B. x ≤ − atau < x ≤ 2 4 2 1 3 C. − ≤ x ≤ 2, x ≠ 2 4 1 3 D. x ≤ − atau x > 2 4 1 E. x ≤ − atau x ≥ 2 2
5 ≤ 1 adalah… 4x − 3
12. Soal Matematika IPA SPMB/SNMPTN Himpunan penyelesaian pertaksamaan x 2 + 5x ≤ 6 adalah… A. { x | −6 ≤ x ≤ 1} B. { x | −3 ≤ x ≤ −2} C. { x | −6 ≤ x ≤ −3 atau −2 ≤ x ≤ 1} D. { x | −6 ≤ x ≤ −5 atau 0 ≤ x ≤ 1} E.
{x | −5 ≤ x ≤ −3 atau
−2 ≤ x ≤ 0}
51
13. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 1 < 2 x − 6 adalah …. A. x < −13 atau x > B. x < −
11 5
11 atau x > 13 5
11 < x < 13 5 D. −13 < x < 13
C. −
E. −13 < x <
11 5
14. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Nilai yang memenuhi − x 2 + 2 x − 2 < 2 adalah … A. x < 2 B. x > 0 C. −2 < x < 0
D. 0 < x < 2 E. −2 < x < 2
15. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 2 Nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x − 2 > 4 x − 2 + 12 adalah …. A. −4 < x < 8 B. x > 8 atau x < −4 C. x > 2 atau x < −2 D. −2 < x < 2 E. x > 8 atau x < −2
52
BAB 4 LOGIKA MATEMATIKA A. Tabel Kebenaran Ingkaran atau negasi suatu pernyataan p adalah ~ p . Jika P benar maka ~P bernilai salah, dan sebaliknya. Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi p
q
p∧q
p∨q
p⇒q
p⇔q
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi
B
B
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
S
B
S
B
B
S
S
S
S
S
B
B
Cara menghafal • Konjungsi: p ∧ q dibaca “p dan q” (benar jika kedua-duanya benar) • Disjungsi: p ∨ q dibaca “p atau q” (salah bila kedua-duanya salah) • Implikasi: p ⇒ q dibaca “jika p maka q” (salah bila p benar dan q salah) • Biimplikasi: p ⇔ q dibaca “p jika dan hanya jika q” (benar bila kedua-duanya benar atau kedua - duanya salah)
53
• Implikasi: p ⇒ q dibaca “jika p maka q” (salah bila p benar dan q salah) • Biimplikasi: p ⇔ q dibaca “p jika dan hanya jika q” (benar bila kedua-duanya benar atau kedua - duanya salah) Ingkarannya No Pernyatan Negasi/Ingkarannya Ingkarannya p∧q ~ p∨ ~ q 1 No Pernyatan Negasi/Ingkarannya ~ p∧p~ 2 1 q ∨pp∧ q ∨ q q p∧~pq∧ q 3 2 p⇒ q ∨qp Ingkarannya qq 4 3 p⇔ ( pp∧∧~qq) ∨ ( q∧ ~ p ) p⇒
4
p ⇔No q
1
Pernyatan Negasi/Ingkarannya ( p ∧ q ) ∨ ( q∧ p ) p∧q
p∨ q
2 Contoh : q ∨Soal p
p∧ q
3 p⇒q p∧ q 1. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN 4 ⇔q Diketahui tiga ppernyataan berikut: ( p∧ q ) ∨ ( q∧ p ) P : Jakarta ada di pulau Bali Contoh Soal Q : 2 adalah bilangan prima R1. :Soal semua bilangan prima Dasar adalah bilangan ganjil Matematika SPMB/SNMPTN Pernyataan majemuk di bawah ini yang bernilai benar adalah … Diketahui tiga pernyataan berikut: A. ( ~ P ∨ Q ) ∧ R D. ~ P ⇒ R P : Jakarta ada di pulau Bali B. ( ~ Q ∨ ~ R ) ∧ ( ~ Q ∨ P ) E. ~ R ∧ ~ ( Q ∧ R ) prima C. (PQ∧ :~2Qadalah ~ R) ) ∧ ( Q ∨bilangan R : semua bilangan prima adalah bilangan METODE BASIC CONCEPT Perhatikan, konsep logika, Disjungsi bernilai salah jika p dan q keduanya bernilai salah. Konjungsi bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar. Implikasi bernilai salah jika p benar dan q salah. Jika (S = salah, B = benar) Dari soal dapat disimpulkan bahwa
54
Selanjutnya dari masing-masing jawaban diperoleh: A. ( ~ P ∨ Q ) ∧ R → bernilai salah ≡ (B ∨ B ) ∧ S ≡ (B ) ∧ S ≡ S
B. ( ~ Q∨ ~ R ) ∧ ( ~ Q ∨ P ) → bernilai salah ≡ (S ∨ B) ∧ (S ∨ S) ≡ (B ) ∧ ( S ) ≡ S C. (P ∧ ~ Q ) ∧ ( Q∨ ~ R ) → bernilai salah ≡ ( S ∧ S ) ∧ (B ∨ B ) ≡ ( S ) ∧ (B ) ≡ S D. ~ P ⇒ R → bernilai salah ≡B⇒ S ≡ S E. ~ R ∧ ~ ( Q ∧ R ) → bernilai benar ≡~ R ∧ ( ~ Q∨ ~ R ) ≡ B ∧ (S ∨ B) ≡ B ∧ B ≡ B
Jawaban: E 2. Negasi dari pernyataan: ”Jika ulangan dibatalkan, maka semua murid bersuka ria” adalah.... A. Ulangan dibatalkan dan semua murid tidak bersuka ria B. Ulangan tidak dibatalkan dan ada murid bersuka ria C. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid bersuka ria D. Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak bersuka ria E. Ulangna tidak dibatalkan dan semua murid tidak bersuka ria METODE BASIC CONCEPT Ingat, ~ ( p ⇒ q ) ≡ p∧ ~ q ”Jika ulangan dibatalkan, maka semua murid bersuka ria” negasinya adalah ”Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak bersuka ria” Jawaban: D
55
bersuka ria”
Jawaban: D
B. Konvers, Invers dan Kontraposisi B. B. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Konvers, Invers Dan Kontraposisi Cara menghafal: Cara menghafal: Implikasi p ⇒ q Implikasi p ⇒ q Konvers - nya q ⇒ p Invers - nya ~ p ⇒~ qq ⇒ p Konvers-nya Kontraposisi - nya ~ q ⇒~ p Cara menghafalnya Invers-nyaperhatikan p ⇒ q huruf depannya, K = Kebalik Artinya, untuk Konvers dan Kontraposisi merupakan kebalikan dari implikasi. Kontraposisi-nya q ⇒ p Misalkan diketahui implikasi a ⇒ ( ~ b ) , maka Konversnya adalah Cara menghafalnya perhatikan huruf depannya, K = b ) ⇒ a kita tinggal membaliknya. Untuk Kontraposisnya kita ( ~Kebalik peroleh ~ ( ~ b ) ⇒ ~ a ≡ b ⇒ ~ a Artinya, untuk Konvers dan Kontraposisi merupakan kebalikan dari implikasi. Sifat yang harus diketahui: Misalkan diketahui implikasi a ⇒ ( ~ b ) , maka Konver1. p ⇒ q ≡~ q ⇒~ p ≡~ p ∨ q snya 2. q ⇒ p ≡~ p ⇒~ q Bentuk yang ekuivalen (senilai) No Pernyataan
Senilai
1
p⇒q
~ q ⇒~ p ~p∨q
2
q⇒p
~ p ⇒~ q
3
p ⇒~ q
q ⇒~ p
4
q ⇒~ p
p ⇒~ q
56
3
p ⇒ q
q ⇒ p
4
q ⇒ p
p ⇒ q
Contoh Soal : Soal UAN SMA Kontraposisi dari pernyataan majemuk p ⇒ ( p∨ ~ q ) adalah.…
(p∨ ~ q) ⇒~ p B. ( ~ p ∧ q ) ⇒~ p C. ( p∨ ~ q ) ⇒ p A.
D. ( ~ p ∨ q ) ⇒~ p E.
( p∧ ~ q ) ⇒ p
Pembahasan: Ingat, kontraposisi dari pernyataan p ⇒ q adalah ~ q ⇒~ p . Maka kontraposisi dari p ⇒ ( p∨ ~ q ) adalah ~ ( p∨ ~ q ) ⇒~ p ≡ ( ~ p ∧ q ) Jawaban: B
C. Pernyataan Berkuantor C. Pernyataan Berkuantor No Pernyataan Cara Baca
Negasinya
1
1 ∀( x ) .P( x ) Untuk setiap x berlakulah P( x ) ∀( x ) .P( x ) atau Pernyataan Cara Baca Negasinya ∃(x) .P( x ) atau ∀( x ) .P( x ) Untuk setiapUntuk x berlakulah P( x ) ∀( x ) .P( xP) atau semua x berlakulah (x) ∃(x) .P( x ) atau 2 ∃( x ) .PUntuk Ada x berlakulahP( xP) ( x ) atau ∃( x ) .P( x ) atau semua x berlakulah (x)
2
∃( x ) .P( x )
No
∀(x) .P( x ) Beberapa x berlakulah P( x ) Ada x berlakulah P( x ) atau ∃( x ) .P( x ) atau
Beberapa x berlakulah P( x )
∀(x) .P( x )
Cara mudahnya: Ingkaran dari SEMUA adalah BEBERAPA/ADA Dan ingkaran dari BEBERAPA/ADA adalah SEMUA
57
Contoh Soal : IngkaranContoh dari pernyataan: Soal: ”Semua makhluk hidup perlu makan dan minum”, adalah ... A. Semua hidupSMA tidak perlu makan dan minum. 1. makhluk Soal UAN B.Pembahasan: Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum. Ingkaran daritidak pernyataan: C.Ingat: Ada makhluk hidup yang perlu makan dan minum. D. Semua makhluk tidak hidup perlu makan dan minum. ∀x, P(x)makhluk ≡ ∃x, ~hidup P(x)makhluk atau Ingkaran dari: Semua xmakan berlaku Pdan (x) minum”, ) ”Semua hidup perlu E.~ (Semua perlu makan tetapi tidak perlu minum. adalah ada/beberapa X sehingga tidak berlaku P (x). Jadi, pilihan adalah PENYELESAIAN CARA ... LOGIKA ganda A,dari: D, dan E jelas salah. P (x) adalah ada/beberapa X seIngkaran Semua x berlaku A. Semua makhluk hidup tidak perlu Sehingga ingkaran “Semua makhluk dan makan dan mi hingga tidak berlaku P (x). Jadi, pilihanhidup gandaperlu A, D,makan dan E jelas minum” adalah ”Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan dan salah. Ingkaran dari dan adalah atau. Pilihan yang memuat atau minum”. adalah E, maka jawabannya adalah E. Jawaban: Jawaban: B B D. Penarikan Kesimpulan
D. Penarikan Kesimpulan D. • Penarikan • Kesimpulan • Modus Ponens Prinsip Silogisme
• Modus Tollens Modus Ponens • pModus Ponens • pPrinsip Silogisme • pModus Tollens ⇒ q (B) ⇒ q (B) ⇒ q (B) p p ⇒ q(B)(B) (B) ∴pq p(B) ⇒ q (B) ∴q (B) p (B)
p⇒ q⇒ r q (B)(B) q ⇒ ∴p ⇒ rr (B)(B) ∴p ⇒ r (B)
p⇒ q q (B)(B) q ∴ p (B)(B) ∴ q (B)
∴q (B) Contoh Soal :
• Prinsip Silogisme 1. Soal UAN SMA p∨q ~q
p ⇒ q (B) ...... q ⇒ r (B)
Penarikan dari premis di atas adalah.... ∴p ⇒kesimpulan r (B) A. p B. ~p C. q D. ~(p V q) E. ~q Contoh Soal 1. Soal UAN SMA
58
Penarikan kesimpulan dari premis
METODE BASIC CONCEPT Ingat p ∨ q ≡~ p ⇒ q maka p∨q ~q ≡ ......
~p⇒ q ~q ∴ ~ (~ p) = p
Cara penarikan kesimpulan di atas sah dan dinamakan modus tollens. Jawaban: C 2. Soal UAN SMA Dari argumentasi berikut: Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik senang maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah … A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum. B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum. C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum. D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum. E. Ibu pergi atau adik tersenyum. METODE BASIC CONCEPT Diketahui: Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik senang maka dia tersenyum. Dimisalkan: p = ibu tidak pergi q = adik senang r = adik tersenyum Selanjutnya soal diubah menjadi: p⇒q q⇒r
∴p ⇒ r
59
Menurut aturan silogisme kesimpulan yang sah dari argumentasi di atas adalah p ⇒ q , yaitu “Jika ibu tidak pergi maka adik tersenyum”. Karena: p ⇒ q ≡~ p ∨ r Maka kesimpulan dari argumentasi di atas adalah: “Ibu pergi atau adik tersenyum”. Jawaban: E
Uji Skill Rumus Praktis 1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p ⇒ ( p∨ ~ q ) adalah ..... A. ( p∨ ~ q ) ⇒~ p B. ( p Ù q) Þ p C. (pÚ q) Þ p
D. ( p Ú q) Þ p E. (pÙ q) Þ p
2. Diberikan pernyataan berikut:
( ~ p∨ ~ q ) ⇒ q
Kontraposisi dari pernyataan di atas adalah ... A. q Ú (p Ù q) D. q ∨ (p ∧ q) B. q Ù (p Ú q) E. q ∧ (p ∨ q) C. q Ú ( p Ù q) 3. Ingkaran dari pernyataan: ”Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apabila semua nilai ujiannya tidak kurang dari 4,25”adalah ..... A. Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apbila ada nilai ujiannya kurang dari 4,25 B. Seorang siswa dinyatakan tidak lulus ujian apabila ada nilai ujiannya yang tidak kurang dari 4,25 C. Seorang siswa lulus nilai ujiannya di atas 4,25 D. Seorang siswa tidak lulus atau tidak mendapat nilai 4,25 E. Semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang dari 4,25 tetapi ia tidak lulus.
60
4. Soal Matematika Dasar SPMB/SNMPTN Diketahui tiga pernyataan berikut: P : Jakarta ada di pulau Bali Q : 2 adalah bilangan prima R : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil Pernyataan majemuk di bawah ini yang bernilai benar adalah … A. ( P Ú Q)Ù R
D. ~ P ⇒ R
B. ( Q Ú R)Ù ( Q Ú P) E. ~ R ∧ ~ ( Q ∧ R ) C. (P ∧ ~ Q ) ∧ ( Q ∨ ~ R ) 5. Soal UAN SMA Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut: 1. Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA. 2. IPA tidak sulit dikuasai atau IPTEK tidak berkembang. 3. Jika IPTEK tidak berkembang, maka negara akan semakin tertinggal. Dari ketiga pernyataan di atas dapat disimpulkan ... A. Jika penguasaan matematika rendah, maka negara akan semakin tertinggal. B. Jika penguasaan matematika rendah, makaIPTEK berkembang. C. IPTEK dan IPA berkembang. D. IPTEK dan IPA tidak berkembang. E. Sulit untuk memajukan negara. 6. Premis (1) : Jika ida lulus kuliah atau menikah maka ibu memberi hadiah. Premis (2) : Ibu tidak memberi hadiah. Kesimpulannya adalah.... A. Ida tidak lulus kuliah dan menikah B. Ida tidak lulus kuliah dan tidak menikah C. Ida tidak lulus kuliah atau menikah D. Ida tidak lulus kuliah atau tidak menikah E. Jika Ida tidak lulus kuliah maka Ida tidak menikah
61
7. Soal UAN SMA Diketahui premis-premis: (1) Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orangtua, maka Ayah membelikan bola basket (2) Ayah tidak membelikan bola basket Kesimpulan yang sah adalah … A. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orang lain C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua D. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua 8. Soal UAN SMA Diketahui pernyataan: 1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi. 2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung 3) Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah … A. Hari panas B. Hari tidak panas C. Ani memakai topi D. Hari panas dan Ani memakai topi E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi 9. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi di bawah ini ~p⇒ q q⇒r ∴ ....
adalah ..... A. p ∧ r B. p Ú r C. p∧ ~ r
D. ~ p ∧ r E. p ∨ r
62
10. Penarikan kesimpulan dari dua premis p∨q ~q
∴ ....
adalah ..... A. p B. p C. q
D. ~ (p ∨ q) E. ~ q
11. Kesimpulan dari tiga premis p Þ q r Þ q r \ ........
adalah ..... A. p B. ~ q C. q
D. p ∨ q E. p∧ ~ q
12. Soal UAN Diketahui premis-premis (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung. (2) Ibu tidak memakai payung. Penarikan kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah .... A. Hari tidak hujan B. Hari hujan C. Ibu memakai payung D. Hari hujan dan Ibu memakai payung E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung 13. Soal UAN Diketahui premis-premis berikut : 1. Jika sebuah segitiga siku-siku, maka salah satu sudutnya 900. 2. Jika salah satu sudut segitiga 900, maka berlaku theorema Phitagoras
63
Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis-premis di atas adalah …. A. Jika sebuah segitiga siku – siku, maka berlaku theorema phytagoras B. Jika sebuah segitiga bukan siku – siku, maka berlaku theorema phytagoras C. Sebuah segitiga siku – siku atau tidak berlaku theorema phitagoras D. Sebuah segitiga siku – siku dan tidak berlaku theorema phytagoras... E. Sebuah segitiga siku – siku dan berlaku theorema phytagoras 14. Soal UAN Perhatikan premis-premis berikut! 1. Jika Shafa rajin belajar maka Shafa naik kelas 2. Shafa tidak naik kelas atau Shafa mendapat hadiah Kesimpulan dari kedua premis di atas adalah … A. Jika Shafa tidak rajin belajar maka Shafa tidak mendapat hadiah B. Jika Shafa rajin belajar maka Shafa tidak mendapat hadiah C. Shafa rajin belajar atau Shafa tidak mendapat hadiah D. Shafa tidak rajin belajar atau Shafa mendapat hadiah E. Shafa rajin belajar atau Shafa mendapat hadiah 15. Diketahui premis-premis berikut: 1. Jika hari hujan maka udara dingin 2. Udara tidak dingin atau Linda tersenyum Kesimpulan yang sah adalah … A. Hari hujan atau Linda tersenyum B. Hari tidak hujan dan Linda tersenyum C. Hari tidak hujan atau Linda tidak tersenyum D. Hari hujan dan Linda tersenyum E. Hari tidak hujan atau Linda tersenyum....
64
BAB 5 EKSPONEN
A. A. Sifat Dasar Eksponen Sifat Dasar Eksponen A. Sifat Dasar Eksponen Aturan ini sangat penting untuk di pahami karena akan Aturan sangat penting untuk pahami karena akan sering digunaka Aturan iniini sangat penting untuk di di pahami karena akan sering digunakan sering digunakan dalam penyelesaian soal-soal ekspoA. Sifat Dasar Eksponen dalam penyelesaian soal-soal eksponen. Untuk setiap Y bilangan rea dalam penyelesaian soal-soal eksponen. Untuk setiap X, X, Y bilangan real nen. Untuk setiap X, Y bilangan real dan a, b bilangan buAturan inilat, sangat untuk dipahami karena sering digunakan dan a, baturan bilangan bulat, aturan berikut bawah dan a,penting b bilangan bulat, berlaku aturan berikut di di bawah ini.ini. berlaku berikut diberlaku bawah ini. akan dalam penyelesaian soal-soal eksponen. Untuk setiap X, Y bilangan real dan a, b bilangan bulat, berlaku aturan berikut di bawah ini. X ab.X=b X=(aX+b)(a+ b) 1. 1. X a .X a
( a−b ) Xa X 2. 2. b =b X=( aX−b ) XX b a ba ( a.b()a.b ) 3. 3. X( X )= X= X
( )
a a ( ) b a 4. 4. b X a X= X=( bX) b
−a 11 5. 5. a =a X=−Xa X X
( XY ) )= X= X.Y .Y 6. 6. ( XY a a
a aa a
X 0 1, x ≠ 0 = 7. 7. X 0= 1, x ≠ 0 x
= 0, 8. 8. 0 x 0= 0, x >x 0> 0
Cara Praktis
Soal-soal eksponen tidak terlalu sulit untuk dikerjakan. Kuncinya kalian eksponen harus memahami sifat-sifat dasar di atas. Soal-soal eksponen tidak terlalu sulit untuk dikerjakan. Soal-soal tidak terlalu sulit untuk dikerjakan. Kemudian, untuk menyelesaikannya lakukan langkah Kuncinya kalian harus memahami sifat-sifat dasar Kuncinya kalian harus memahami sifat-sifat dasar didi berikut: atas. Kemudian, untuk menyelesaikannya lakukan lang atas. Kemudian, untuk menyelesaikannya lakukan langi. Sederhanakan fungsi eksponen. Jadikan ruas kiri kah berikut: kah berikut: maupun kanan ke dalam bentuk eksponen dengan pokok paling sederhana. Gunakan sifat-sifat i. i. Sederhanakan Sederhanakan fungsi eksponen. Jadikan ruas maupun kanan bilangan fungsi eksponen. Jadikan ruas kirikiri maupun kanan di ataskeuntuk menyederhankan. ke dalam bentuk eksponen dengan bilangan pokok paling seder dalam bentuk eksponen dengan bilangan pokok paling sederii. Selanjutnya, carilah unsur yangdibisa dicoret. hana. Gunakan sifat-sifat di atas untuk menyederhankan. hana. Gunakan sifat-sifat atas untuk menyederhankan.
65
Contoh Soal : ( −2a) (2a) 3
1. Jika a ≠ 0 , maka
−
Soal Standar SNMPTN
2 3
= ….
1
(16a4 ) 3
A. −22 a B. −2a C. −2a2 D. 2a2 E. 22 a METODE BASIC CONCEPT
Soal Standar SNMPTN 2n+2.6n−4 2. Jika n bilangan bulat, maka = …. 12n−1 1 1 1 1 1 A. B. C. D. E. 16 9 8 3 27 METODE BASIC CONCEPT 2n+2.6n−4 2n+2.6n−4 2n+2.6n−4 = = n−1 12n−1 2n−1.6n−1 (2.6 ) 1) +1 22+1.6 −4= = 2n+2−(n−1).6n−4−(n−=
B. Persamaan Eksponen Persamaan eksponen adalah persamaan di mana eksponen dan
pokoknya memuat variabel. Perhatikan beberapa benB. bilangan Persamaan Eksponen
tuk persamaan eksponen serta metode penyelesainnya. Persamaan eksponen adalah persamaan di mana eksponen dan bilang an pokoknya memuat variabel. Perhatikan beberapa bentuk persamaan eksponen serta metode penyelesainnya. Bentuk-bentuk eksponen dan penyelesaiannya: = 1. c f(x) cg(x) penyelesaian = → f(x) g(x) = 2. c f(x) df(x) penyelesaian = → f(x) 0 = 3. c f(x) dg(x) penyelesaian → = log c f(x) log dg(x) 4. X f(x) = X g(x)
f(x) = g(x) x=1 x = 0, jika f(x) dan g(x) memuat suku konstan positif x = -1, jika f(-1) dan g(-1) bersama– sama genap atau bersama–sama ganjil
5. c2f(x) ± c f(x) ± d = 0
penyelesaian → persamaan kuadrat: (c f(x) )2 ± ( c f(x) ) ± d = 0
Cara Praktis a (= = px ) + b ( px ) + c 0 penyelesaian x1 + x 2 2
px + q
rx + s
a = b= penyelesaian x
ap br
log
bs aq 1
ar bs n rx + s = apx + q b= penyelesaian x b log q a p
n
n
68
p
log
c a
Cara Praktis Prinsip utama dalam penyelesaian soal eksponen adalah: Prinsip utama dalam penyelesaian soal eksponen adalah: i. i. Sederhanakan fungsi eksponen Sederhanakan fungsi eksponen ii. ii. Samakan bilangan pokok atau bilangan pangkat kedua Samakan bilangan pokok atau bilangan pangkat kedua ruas ruas iii. iii. Selesaikan persamaan Selesaikan persamaan
Contoh Soal :
Soal Ujian Nasional Soal Ujian Nasional
2 2x +3 327 Ujian +3 Nasional Penyelesaian 32x 3+2x5x2−+35x=−Soal Penyelesaian persamaan persamaan = 272xadalah adalah 2 2x +5x −3 2x +3 x dan x2 . 1. Penyelesaian persamaan 3 = 27 adalah 1 x1 xdandan x 2 .x . 1 2 Nilai x1 . x 2 = ....
A. Nilai -6 x1 .x Bx.2. = -3.... C. 1 Nilai 1 x 2 = ....
D. 3
E. 6
A. A. -6 -6 BASIC B. -3 -3 C. 1 1 D. 3 3 E .E . METODE CONCEPT B. C. D. 6 Langkah pertama, sederhanakan eksponen, jadikan kedua ruas 6 agar mempunyai bilangan pokok yang sama. 2 2 32x +5x−3 = 272x+3 ⇒ 32x +5x−3 = 33(2x+3) Karena bilangan pokoknya sudah sama, maka selanjutnya saMETODE BASIC CONCEPT METODE BASIC CONCEPT makan bilangan pangkatnya. Kemudian selesaikan persamaanLangkah pertama, sederhanakan eksponen, nya. Langkah pertama, sederhanakan eksponen, 2agar mempunyai bilangan jadikan kedua ruas 3( 2xkedua +3 ) 2x2jadikan +5x −3 ⇒ruas 2x + agar 5x −= 3 mempunyai 3 ( 2x + 3 ) bilangan 3 =3 pokok yang sama. pokok yang sama. 2 ⇒ 2x + 5x − 3 = 6x + 9 2
3) 2x +3 +5x2−3 x − 312 ( 2x +3= −327 +3 ⇒ −33 32x 3+2x5x2−+35x= 32x2x = 272x⇒ ⇒ 32x +−5x= = 3 (2x0+3) c −12 x1 .x 2 = ∴ pokoknya = = −6sama, maka Karena bilangan sudah Karena bilangan pokoknya a 2 sudah sama, maka selanjutnya samakan bilangan pangkatnya. selanjutnya samakan bilangan pangkatnya. Jawaban: A Kemudian selesaikan persamaannya. Kemudian selesaikan persamaannya. 2
Soal Ujian Nasional 2. Diketahui 2x + 2− x = 5 . Nilai dari 22x + 2−2x = ... A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 E. 27 METODE BASIC CONCEPT 2 Ingat, bahwa a2 + b2 = ( a + b ) − 2ab 22x + 2−2x =( 2x ) + ( 2− x ) =(2x +2− x ) − 2.2x .2− x 2
2
2
= (2x +2− x ) − 2.2x−x =( 5) − 2.20 2
2
= 52 − 2 = 25 − 2 = 23 Jawaban: A Soal Ujian Nasional 3. Akar-akar persamaan 2.34X − 20.32X + 18 = 0 adalah x1 dan x 2 nilai dari x1 + x 2 = … A. 0
B. 1
C. 1
D. 3
E. 4
METODE BASIC CONCEPT Diketahui persamaan 2.34X − 20.32X + 18 = 0. 34x = (32x ) , sehingga persamaan di atas dapat di ubah menjadi: 2
2. (32x )
2
−
20.32x + 18 = 0
Misalkan y = 32x , selanjutnya diperoleh: 2y2 − 20y + 18 = 0 2y2 − 20y + 18 = 0 ⇒ (2y − 2)( y − 9 ) = 0 2y − 2 = 0 ⇒ y = 1 y −9=0⇒ y =9 2x Karena y = 3 , maka Untuk y = 1, 1 = 32x 2x
Untuk y = 9,9 = 3
⇒
x=0
⇒
x =1
Jadi, akar-akar persamaannya adalah x1 = 0, x 2 = 1 . Dengan demikian x1 + x 2 = 0 + 1 = 1.
70
METODE SUPER TRIK
= Ingat : a (= px ) + b ( px ) + c 0 penyelesaian x1 + x 2 2
2. ( 32x )
2
−
20.32x + 18 =0 ⇒ 2x1 + 2x 2 =3 log
p
log
c a
18 2
3 ⇒ 2 ( x1 + x 2 ) = log9
3 ⇒ 2 ( x1 + x 2 ) = log32
⇒ 2 ( x1 + x 2 ) =2 ⇒ x1 + x 2 =1 Jawaban: B
C. Fungsi Eksponen Bentuk Dasar: f : ax atau f(x) = ax