“METODO LOG PEARSON TIPO III”
A. OBJETIVO: Aprender el uso de métodos estadísticos hidrológicos, para su uso en el campo de la Irrigación de cultivos. B. FUNDAMENTO TEÓRICO: B.1. ESTADÍSTICA APLICADA A LA HIDROLOGÍA Es importante en la ingeniería utilizar la estadística como un medio numérico para predecir los cambios hidrológicos producidos por la naturaleza, contando como elemento principal el uso del agua. La estadística fundamentalmente se aplica sobre datos hidrológicos recolectados de estaciones meteorológicas, que pueden medir las precipitaciones, caudales de ríos, radiación solar, etc. Que son factores que influyen en el comportamiento del agua en nuestro medio. Es precisamente que mediante la estadística se busca encontrar un comportamiento típico del agua a través del tiempo en una determinada área, para así ayudar al ingeniero a diseñar las estructuras necesarias.
B.2. FUNCIONES DE FRECUENCIA Y DE PROBABILIDAD En una muestra dada, que puede ser una precipitación (mm), se observa que está idénticamente distribuido; a partir de este se puede construir un histograma de frecuencias, mediante los siguientes pasos: -
El rango de datos de la muestra aleatoria se divide en intervalos discretos Se cuenta el número de observaciones dentro de la muestra Se dibuja como un gráfico de barras
Si el número total de observaciones de cada barra del histograma de frecuencias, se divide entre el número de observaciones contadas, se obtiene otro de diagrama de barras, llamada Función de Frecuencia Relativa (fm(x)), que está dado por la expresión matemática:
La sumatoria de Frecuencias Relativas se convierte en una nueva Función de Frecuencias Acumuladas Fm(x), expresado de la siguiente manera:
Esta función se lleva al límite de aproximación a cero, obteniendo la siguiente figura:
Esta última función se llama Función de Distribución de Probabilidad, la cual se deriva y se obtiene la Función de Densidad de probabilidad para la población:
Esta última función es un grado de ajuste de la información, la cual por su forma puede ser ajustada por funciones de densidad conocida, como la función normal, la cual forma la campana de Gauss.
CICLO DE FUNCIONES DE FRECUENCIA Y PROBABILIDAD
La función Normal, tiene desventajas como el de tener valores negativos, la cual la muestra hidrológica no tiene y tiene forma simétrica, y la función de densidad obtenida por lo general no lo tiene, así que también se tiene otras funciones, la cual es nuestro tema ver la Distribución Log Pearson Tipo III. b.3. Distribución Log Pearson Tipo III: Esta Distribución se aplica al logaritmo de los datos, es muy utilizada por sus resultados de aceptable confiabilidad cuando se efectúan predicciones con grandes periodos de retorno, la expresión de la función es la siguiente:
Donde los 3 parámetros son:
Clog = es el coeficiente de Asimetría de los logaritmos de datos La función es muy complicada analíticamente, por lo que se usa la fórmula de Chow transformada logarítmicamente:
El valor de KT, se obtiene tabulando de una tabla, de acuerdo a la probabilidad de ocurrencia y al tiempo de retorno; en la siguiente tabla presentada, se obtiene dicho coeficiente (KT = k):
Dicho Coeficiente “k”, también puede obtenerse con la fórmula siguiente, la cual depende del coeficiente de asimetría de los logaritmos de datos (S = Clog) y de la variable normalizada “z” que depende del periodo de Retorno como una variable de probabilidad de excedencia. Aquí se muestra las siguientes fórmulas: z w
2.51557 0.802853 w 0.010328 w 2 1 1.432788 w 0.189269 w 2 0.001308 w 3
Donde:
* *
+ (
; 0
; p>0.5
Para p>0.5 se le agrega a z un signo negativo Donde :
Siendo w: Variable intermedia p: Probabilidad de excedencia T: Periodo de retorno (años)
De los parámetros “z” y Coeficiente de Asimetría:
C. EJEMPLO APLICATIVO Y COMPARATIVO: Dado los datos de máximas precipitaciones anuales de la Estación Luricocha:
n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
LURICOCHA AÑO P(mm) 1964 21.40 1965 19.40 1966 30.70 1967 23.20 1968 26.10 1969 12.10 1970 23.60 1971 38.60 1972 13.80 1973 30.80 1974 27.40 1975 30.60 1976 34.30 1977 32.90 1978 21.60
Se desea construir una defensa Ribereña, hallar la precipitación de diseño: SOLUCIÓN: El Ejemplo dado se resolverá mediante el método de Distribución Gumbel y el método de Distribución Log Pearson Tipo III; adoptando un periodo de retorno de 10 años que puede durar la posible estructura de defensa Ribereña Por Distribución Gumbel se obtiene de los datos los siguientes parámetros: -
Promedio (X) = 25.76 Desviación Estandar(σ)= 7.4758 Metodo de Momentos: α=0.17155; β=22.402541
A partir de los parámetros encontrados obtenemos la precipitación de diseño: X=35.52mm
Por Distribución Log Pearson Tipo III se obtiene de los datos los siguientes parámetros: -
Promedio (LogX) = 1.39 Desviación Estandar(σlogx)= 0.1420 Probabilidad de ocurrencia = 0.1 Coeficiente de Asimetría = -0.909 Coeficiente KT de tabla = 1.1348 Coeficiente KT de fórmula = 0.4532
A partir de los parámetros encontrados obtenemos los valores sabiendo que y=log(x): X= 35.672mm (KT de tabla) X= 28.548mm (KT de fórmula)
D. CONCLUSIONES: Después de lo investigado se pudo entender la necesidad de la hidrología estadística y de tener datos de estaciones hidrológicas para su desarrollo y mejor predicción; el método de Distribución Log Pearson Tipo III, es una función muy adaptable a las funciones obtenidas por las muestras de campo, la cual la hace una buena elección para largos periodos de retorno. E. RECOMENDACIONES DE ALGUNOS INVESTIGADORES: Para ajustar distribuciones de tres parámetros (Log Normal III, Log Pearson) se requiere estimar el coeficiente de asimetría de la distribución; para ello es necesario disponer de una serie con longitud de registros larga, mayor de 50 años, (Kite, 1988). Las distribuciones de dos parámetros son usualmente preferidas cuando se dispone de pocos datos, porque reducen la varianza de la muestra, (Ashkar, et al. 1994).
