METODOS NUMERICOS 100401A_292
Azucena Gil Tutor
Juan Esteban Serna Cód. Juan Carlos Saavedra Cód. Yolima Vargas Escobar Cód. 40.079.610
Grupo: 100401_6
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Florencia Caquetá 2016
METODOS NUMERICOS 100401A_292
INTRODUCCIÓN
En este trabajo se hace alusión a distintos métodos utilizados para la solución aproximada de ecuaciones diferenciales e integrales, ilustrando su uso y estableciendo una comparación entre ellos a través de la solución de diferentes ejercicios, identificación aspectos como la precisión y la facilidad de aplicación
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1. Plantee y solucione dos ejercicios sobre Diferenciación Numérica explicando paso a paso el procedimiento utilizado.
Yolima Vargas Escobar Usar aproximaciones de diferencias finitas hacia adelante, hacia atrás y centradas para estimar la primera derivada de la siguiente función:
2 4 63 0.5 Utilizamos un tamaño de paso de ∆0.5 Sacamos derivada de la función anterior:
6 86 Y evaluamos en 0.5
. 60.5 80.5 6 . . SOLUCION: Para
∆. se puede usar la función para determinar: − 0.0 − 3 0.5 . + 1.0 + 9
Con los anteriores datos podemos calcular la diferencia hacia adelante
’0.5 ≅ 91.25 0.5 15.5 .34,78%
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Diferencia hacia atrás:
’0.5 ≅ 1.253 0.5 8.5 .26,08% Diferencia central:
’0.5 ≅ 93 0.5 24 .108,69% F(X) = Sen X
en X 1 =
y h = 0,01
La fórmula de derivación numérica es f ´ (x) =
+− y reemplazando por los
datos tenemos:
F´
+,− +,− ,− √ = = = 0, ( ) = , , ,
7035
Juan Esteban Serna Diferencia numérica: se utiliza para analizar y calcular aproximaciones de una derivada estas se clasifican por polinomios en su orden de derivada.
Ejemplo 1:
Aproximar el valor de la función f´(4) si f(x) = lnxsenx utilizando la fórmula de 3 puntos con n = 0,4
Fórmula a utilizar
ℎ2ℎ ℎ
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ℎ ′ ℎ 2ℎ X0 = Punto de interés H = Constante en la tabla F(Xo) = función
Empleamos la fórmula
ℎ2ℎ ℎ Reemplazamos valores
4 40.40.40.4 16 Efectuamos las operaciones
4 4.40.3.6 16 Igualamos el ejercicio para aplicarlo a la función (lnxsenx)
63.6 4 4.44.43. 0.16 Operando
4 0.33750.2260 0.16
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Evaluamos
4 0.0.6968 16 Obtenemos el resultado de la función de tres a evaluar
4 0.6968 Estimación de error Valor verdadero dela función derivada f(x) = lnxsenx es f´(4) =0,6968 Empleamos la fórmula para determinar la estimación de error
Reemplazamos valores
0.0.0602141 968 3.0711∗10− Formula a utilizar
%∗100% Reemplazamos Valores
%3.0711∗10 − ∗100% %0.30% Estimación de error 0.30%
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Juan Carlos Saavedra
si , ó , , ´ 2ℎ1 {}3 4 ℎ 2ℎ
Aproximar el valor de la función
´ 3 0,12 33 430,1 3 2 0,1 ´ 3 0,12 0,2090406 1.045203 El valor verdadero de la derivada de la función
x 3 1.040578 0,004625 4,4446 10 1,040578
-3
Er
E%
E% = Er x 100% = 0,0044446 x 100% = 0,44%
= 0,0044446
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2. Solucione el siguiente ejercicio utilizando la Regla del Trapecio. (n= 5)
Solución:
=
1 / 5 = 2 1 0,2 ∆ 5 1 1 → 1 1/ 11 1 12 0,5 1,2 1,728 1,728 0,824 1,2→ 11,2 / 11,095 2,095 1, 4 2,744 2,744 1,256 1,4→ 11,4/ 11,183 2,183 1, 6 4,096 4,096 1,809 1,6→ 11,6/ 11,264 2,264 1, 8 5,832 5,832 2,491 1,8→ 11,8/ 11,341 2,341 8 8 3,314 2 → 1 22 / 11,414 2,414 ∆ 2 2 2 2 2
0,2 0,520,824 21,256 21,809 22,491 3,314 2 0,10,51,6482,5123,6184,9823,3140,116,574 1,6574
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Respuesta:
1 / 1,6574 Solución:
=
=
2 0 0,4 ∆ 5 0 → 0 0 0,4→ 0,4, 0,841 0,8→ 0,8, 1,212 1,2→ 1,2, 1.585 1,6→ 1,6, 1,9937 2 → 2 2.454 ∆ 2 2 2 2 2 0,24 020,841 21,212 21.585 21,9937 2.454 0,21,6822,4243,173,9872,454 2,7434 Respuestas
2,7434
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3. Soluciones los siguientes ejercicios utilizando la Regla de Simpson 1/3 y 3/8. (n= 5)
Solución:
=
; =
1; 5 3
4 2 0,4 ℎ 5 5 2 → 2 3,69 3 → 3 6,695 4 → 4 13,65 Se emplea la siguiente fórmula
6 4
26 3,6946,695 13,65 14,71
Respuesta:
14,71
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Solución:
=
38 → 3
=
2 1 0,33 ℎ 3 1 → 1 0 1,33→ ,1,33 1,08 1,66→ ,1,66 2,66 1,99→ ,1,99 5,03 Se emplea la siguiente fórmula
3ℎ8 3 3
30,833 0 31,08 32,66 5,03 2,010 Respuesta
2,010
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4. Solucione los siguientes ejercicios utilizando la Integración de Romberg. Usando
segmentos de longitud 1, 1/2 y 1/4.
∫
∫ ln
Solución Primero se calculan las integrales del nivel 1, usando las reglas del trapecio para las longitudes de segmentos indicadas:
ℎ = 1
un segmento
0
1
1
ℎ =
dos segmentos
0
1
0
1
ℎ =
cuatro segmentos
Ahora se pasa al segundo nivel de aproximación donde se usa la fórmula que se dedujo anteriormente:
ℎ − ℎ Donde ℎ es la integral menos exacta (la de menos subintervalos) e exacta (la que usa el doble de subintervalos)
ℎ es la más
1 859140914
1.571583165 1.859140914 1.475730582 1 571583165
1.490678862 1.571583165 1.463710761 1 490678862
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Para avanzar al siguiente nivel, se debe conocer la formula correspondiente similar a la deducción de la fórmula,
ℎ − ℎ Se puede ver que la fórmula para el siguiente nivel de aproximación (nivel 3) queda como sigue:
− Así, se puede concluir que el valor de la aproximación, obtenido con el método de Romberg en el ejemplo 1, es:
≈1.46290944
Tenemos en cuenta los siguientes segmentos:
ℎ =1, ℎ = ½ , ℎ = 1
2
3
¼
Primero usamos la regla del trapecio (con los valores de h) para llenar el nivel 1.
Ih1 2 1 2 ln1ln2 2.560851701 ln12. ln1.5 ln2 2.189010122 Ih2 2 1 4 Ih3 28 1 [ln12ln 54 ln 32 ln 74 ln2] 2.09430857
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Ahora usamos las fórmulas de Romberg para cada nivel y obtenemos la siguiente tabla
2.560851701
2.065062929
2.189010122 2.09430857
2.062586615
2.062741385
Luego, podemos concluir que la aproximación buscada es:
≈2.062586821
6. Usar el Método de Euler mejorado para aproximar y(2,3) tomando h = 0.1 dada la ecuación diferencial
, 23 2 1 ó: 10ℎ20.12.1 1∗0ℎ0,010.121.2 1 0ℎ0, 1,1 ∗ 2 1 0.12 ∗ 2 1 3 2 ∗2.1 1.2 32 10.122.421.22 ó: 21ℎ2.10.12.2
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2∗1ℎ0,01.220.121.42 21ℎ1,12,2∗2 1.220.12∗2.11.2232∗2.21.4232 1.220.12.422.8221.482 ó: 32ℎ2.20.12.33∗2ℎ0,01.4820.121.682 32ℎ2,23,3∗2 1.4820.12∗2.21.48232∗2.31.68232 1.4820.1 2.8823.2822 1.7902 | |∗ | | 0 | 2 | | 1 | 1 | 2.1 | 1.2 | 1.22 | 2 | 2.2 | 1.42 | 1.482 | 3 | 2.3 | 1.682 | 1.7902 | 7. Aplicar el método de Taylor de orden dos a la ecuación y= Cos(xy), con la condición inicial: y(0)= 1.
Identificamos la expresión correspondiente a operar, tenemos entonces
+ ≅ + ℎ 12 ′ℎ Una vez realizado el proceso de definición tenemos:
,=cos
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cos Ahora tenemos el primer paso para la resolución del problema el cual quedaría, tomando como referencia h=0.5
10ℎ0.5 10ℎ00 2 (000cos00) 0. 5 10.50 2 (01cos0) 1.5 21ℎ1 ℎ 21ℎ11 2 (111cos11) 0. 5 1.50.5cos0.5 1.5 2 (0.5 1.51.5cos0.5 1.5) 1.67569 Como posible solución a través del método de Taylor
8. Resolver por el Método de Runge-Kutta de cuarto orden el problema de valor inicial:
3; 0 1 En el intervalo:
0 ≤ ≤ 0.4, ℎ 0.1 Identificando los valores correspondientes para cada uno de los conceptos tenemos:
0, 1, , -3y. Para =0.1 Identificando una coordenada válida tendríamos: 1 0.61 2 2 Donde
, 0 313
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, 0 .-3(1+.(-3))=-2.5475 , 0 .-3(1+.(-2.5475))=-2.61538 ℎ, ℎ 00.1-3(1+ 0.1 (-2.61538))=-2.20539 Tendremos entonces:
0.741148 Determinamos así los puntos correspondientes a
;; ;; ; ;0.2,0.551151; ;0.3,0.413894; ;0.4,0.317435 Luego:
) Dando las soluciones correspondientes tenemos:
. 0.741127; . 0.551121;. . 0.413860; . 0.317402
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CONCLUSIONES
Este trabajo permite analizar los diferentes métodos para la solución de problemas, ya que se explican técnicas de aproximación para el desarrollo de ecuaciones diferenciales, las cuales en ocasiones por métodos analíticos no suelen desarrollarse, de esta manera se identifica una gama de algoritmos para calcular los valores de una integral, permitiendo así desarrollar de una forma más sencilla y rápida, siempre bajo la premisa de que es una solución aproximada. Se resalta la importancia de Conceptualizar, analizar y desarrollar los distintos métodos o formas utilizadas para resolver ejercicios de métodos numéricos y sus distintas formas para llegar a un resultado real de los ejercicios, ya que nos fortalecen en el ámbito laboral y personal. Se destaca el hecho de que se debe ser práctico a la hora de seleccionar el método y los parámetros del mismo, basándonos siempre en el ámbito de aplicación, en las herramientas disponibles y en la precisión requerida
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BIBLIOGAFIA
García, I., & Maza, S. (2009). Métodos numéricos: problemas resueltos y prácticas: problemas resueltos y prácticas. Lérida, ES: Edicions de la Universitat de Lleida.Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10679 293&p00=diferencias+divididas+newton&ppg=5 Mesa, F., & Bravo, J. E. (2012). Elementos de cálculo numérico. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones.Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10584232 &p00=m%C3%A9todo+newton-+raphson&ppg=9 Nieves, H. A. (2014). Métodos numéricos: aplicados a la ingeniería: aplicados a la ingeniería. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria.Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=110135 82&p00=m%C3%A9todos+num%C3%A9ricos+tipos+error