10. Formula Rio de Cuerpo de Los Complejos

Formulario de Algebra I

Cuerpo de los Complejos

Cuerpo de los Complejos Término imaginario

 = √ −1 −1 Donde:

1 = 

−1 = −

2 = −1

−2 = 1

3 = −

−3 = 

4 = 1

−4 = −1

Definición

Definimos como: Donde:

=  +  =    y =  z

 x 

Donde :

Variable Compleja Parte Real Parte Imaginaria

Representación: La representación de una variable no es más que un vector:

Y

(x,y) y   r

θ 

x

X

Operaciones con Números Complejos

-

Igualdad:

Entonces:

1 = 2 1 + 1 = 2 + 2 1 = 2 1 = 2

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Formulario de Algebra I

-

Suma o Resta:

Cuerpo de los Complejos

1 ± 2

1 ± 2 + 1 ± 2 -

1 ∙ 2

Producto:

12 − 12  + 1 2 − 2 1 -

1 2 ; 2 ≠ 0

Cociente:

1 2+12 2 1 −12 22+22 + 22+22  Módulo de un Número Complejo

Definición:

|| =  2 + 2

Propiedades:

|1 2 | = |1||2| 12=||12|| ; 2 ≠ 0 |1 + 2 | ≤ |1| + |2 | |1 + 2 | ≥ |1| − |2 | |1 − 2 | ≤ |1| + |2 | |1 − 2 | ≥ |1| − |2 | Conjugado de un Número Complejo

Definición: Propiedades:

 =  −  1 ± 2 = 1 ± 2 1 2 = 12

 12 = 12 ; 2 ≠ 0 www.carlos-eduardo.webs.tl

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Formulario de Algebra I

Identidades:

Cuerpo de los Complejos

 ̅  =     ̅  =   

̅ = || Argumento de un Número Complejo

Definición:

 =  + 2 2

 = 0,±1 0, ±1,, ±2, ±2, ±3, ±3, … 

 = tan  Propiedades:

 =  +    =  − 

Notaciones

Notación Cartesiana o Rectangular: z

=  + 

Notación Polar: Si:

 =  cos cos   =  sin sin 

Por tanto:

 = cos  +  sin   O también:

 =  Notación Exponencial:

 =   Notación Fasorial:

 = www.carlos-eduardo.webs.tl

θ 

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Formulario de Algebra I

Cuerpo de los Complejos

Teorema de Moivre para Exponentes

 = cos + si  sinn Teorema de Moivre para Raíces

1 

1 

+2   =  cos +2  + si  sin n  0,1,2,2,, … ,  − 1      = 0,1 Raíces de la Unidad:

 = 1

1 

 = cos 2  + si  sinn 2  Teorema de Euler

La constante e:

2

3

4

 = 1 +  + 2! + 3! + 4! + ⋯ 

 = lim→ 1 +  = lim→ 1 + 



e = 2.7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 957496696277240766 3035354759 4571382178 5251664274………

Definición:

 = cos cos +  sin sin  − = cos cos −  sin sin 

Identidades:

 +− cos cos  = 2  −− sin sin  = 2

Identidad de Euler: La fórmula más importante de las matemáticas, pues une de forma escueta (y misteriosa) distintos campos de esta ciencia:

 + 1 = 0 • • • •

es el número más importante de la geometría. e es el número más importante del análisis. i es el número más importante del álgebra. 0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación. π

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