ERRORES DE UNA COMPUTADORA Y EN OPERACIONES DE CÁLCULO: ALMACENAMIENTO DE LOS NUMEROS EN LAS L AS COMPUTADORAS COMPUTADORAS
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar representar cantidades cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento truncamiento que resultan de representar representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando los números tienen un límite de cidras significativas que se usan para representar números exactos. Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero verdadero y el aproximado está dada por !alor verdadero " aproximación # error $eordenando la ecuación %.% se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es Et " valor verdadero & aproximación 'onde 'onde Et se usa para denota denotarr el valor valor exacto exacto del error error.. (e incluy incluyee el su)índice t para denotar que se trata del error *verdadero+. *verdadero+. omo ya se mencionó )revemente, esto contrasta con los otros casos, donde se de)e emplear una estimación *aproximada+ del error. -n defecto de esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está pro)ando. Por eemplo, un error de un centímetro es muc/o más significativo si se está midiendo un remac/e que un puente. -na manera de medir las magnitudes de las cantidades que se está evaluando es normali0ar el error respecto al valor verdadero, Error relativo fraccional " error verdadero 1 valor verdadero. 'onde, como ya se dio, en la ecuación, El error relativo tam)ién se puede multiplicar por el %223 para expresarlo como Et " 4error verdadero 1 valor verdadero5 %22 3. 'onde Et denota el error relativo porcentual verdadero.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracteri0ar o)servando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el verdadero. La precisión, se refiere a que tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. En una computadora el almacenamiento de un número solo puede /acerse con una cantidad finita de )its. Esta cantidad está determinada por la máquina en la cual se /ará la representación. El número de )its generalmente se llama pala)ra y estas van desde oc/o )its /asta 67. 8eneralmente una pala)ra almacena un número, sin em)argo a veces es necesaria más de una pala)ra para almacenar ciertos números. Por eemplo, si se quiere almacenar números enteros en una pala)ra de %6 )its, el primero de estos representa el signo del número 4un cero es signo más y un uno un signo menos5. Los %9 )its restantes pueden usarse para guardar números )inarios de 2 a :;<6< 4;%9&%5. Es decir una pala)ra de %6 )its puede contener un número cualquiera entre &:;<6= a #:;<6<. Para número reales se emplea la representación )inaria llamada de punto flotante 2. d%d;d:d7d9d6d%d>;d>:d>7d>9d>6d>< donde di con i " %?= representan la mantisa, y d> con " %...< la característica. El primer )it del exponente representa el signo de este. Propagación del error (en lo c!lc"lo ari#$%#ico&:
@uentes de error en los dispositivos digitales %. Error /umano error cometido por el programador, operador o usuario. ;. Error de redondeo nom)re general dado a los errores producidos al reali0ar aritmética en un dispositivo de precisión fia. Principia con el error in/erente y luego se propaga en virtud del error escondido, la adición insignificante, la ampliación del error y1o la cancelación sustractiva. :. Error por truncamiento 4o discreti0ación5 el error que ocurre cuando se usa una fórmula que es solo aproximada.
onsideración práctica, Acuándo redondearB 'os importantes reglas prácticas. Primero, nunca redondee una respuesta intermedia. La meor manera de asegurar esto es /acer que el dispositivo digital los almaceneC si de)en ser anotados a mano valores intermedios, asegúrese de usar varios dígitos de seguridad más que la exactitud deseada. (egundo, redondee siempre una respuesta final teniendo en mente que la exactitud de la respuesta final está limitada por la exactitud del dispositivo computacional, Dostraremos un procedimiento perfectamente ra0ona)le, el cual llamamos aritmética de precisión fia o más específicamente aritmética s, puede conducir a una variedad de errores.
CAUSAS PRINCIPALES DE LOS ERRORES EN LOS METODOS NUMERICOS
Las causas principales de errores en los métodos numéricos provienen del %. Fruncamiento de fórmulas matemáticas ;. $edondeo de los números almacenados en las computadoras. . ERRORES DE TRUNCAMIENTO Y REDONDEO Los errores de truncamiento provienen de las aproximaciones utili0adas
en las fórmulas matemáticas de los modelos que representan a los sistemas fisicoquímicos típicos en Gngeniería de Procesos. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utili0ar la serie completa 4que se supone es exacta5. Los errores de redondeo se asocian con el /ec/o que las computadoras
digitales solo pueden almacenar números con un número finitos de dígitos. Por consiguiente, de)emos conocer como almacenan números las computadoras y como se llevan a ca)o las sumas y restas dentro de las mismas.
Los errores de redondeo se originan de)ido a que le computadora puede guardar un número fio de cifras significativas durante el cálculo. Los números tales como H, e o I< no pueden ser expresados por un número fio de cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadoraC además, porque las computadoras usan una representación en )ase dos, y no pueden representar ciertamente números exactos en )ase die0. Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas es llamada error de redondeo.
ESTRATE'IAS UTILES PARA MINIMIAR ERRORES EN LOS RESULTADOS DE LAS OPERACIONES ). $ecopilar 'atos Jtiles
Esta estrategia se usa para identificar las fuentes comunes de datos inexactos e identificar como pueden ser com)atidos. ;. Gdentificar las ausas @undamentales de los Pro)lemas Esta estrategia se usa para identificar y verificar las causas reales de un pro)lema. :. 'esarrollar (oluciones Kpropiadas Esta estrategia se usa para identificar los cam)ios que atacan a las causas fundamentales de los pro)lemas 7. Planificar y Eecutar am)ios Esta estrategia se usa para llevar a ca)o los cam)ios fácil y efectivamente.
SO*T+ARE DE APLICACI,N
El softare de Kplicación es aquel que /ace que el computador coopere con el usuario en la reali0ación de tareas típicamente /umanas, tales como gestionar una conta)ilidad o escri)ir un texto. La diferencia entre los programas de aplicación y los de sistema estri)a en que los de sistema suponen ayuda al usuario para relacionarse con el computador y /acer un uso más cómo del mismo, mientras los de aplicación son programas que cooperan con el usuario para la reali0ación de las actividades mencionadas. Es en este softare de Kplicación donde se aprecia en forma más clara la ayuda que puede suponer un computador en las actividades /umanas, ya que la máquina se convierte en un auxiliar del /om)re, li)erándole de las tareas repetitivas. Los programadores de aplicaciones, a diferencia de los programadores de sistemas, no necesitan conocer a fondo el modo de funcionamiento interno del /ardare. Masta con que cono0can las necesidades de información de sus aplicaciones y cómo usar el sistema operativo, para conseguir satisfacer estas necesidades. (us programas de)en ser independientes del /ardare específico que se utilice y de)en ser transportados sin grandes pro)lemas de adaptación a otras computadoras y otros entornos operativos. 'entro de los programas de aplicación, puede ser útil una distinción entre aplicaciones verticales, de finalidad específica para un tipo muy delimitado de usuarios 4médicos, a)ogados, arquitectos?5, y aplicaciones /ori0ontales, de utilidad para una amplísima gama de usuarios de cualquier tipo. (oftare de Kplicación, programa informático diseNado para facilitar al usuario la reali0ación de un determinado tipo de tra)ao. Posee ciertas características que le diferencia de un sistema operativo 4que /ace funcionar al ordenador5, de una utilidad 4que reali0a tareas de mantenimiento o de uso general5
y de un lenguae 4con el cual se crean los programas informáticos5. (uele resultar una solución informática para la automati0ación de ciertas tareas complicadas como puede ser la conta)ilidad o la gestión de un almacén. iertas aplicaciones desarrolladas Oa medida> suelen ofrecer una gran potencia ya que están exclusivamente diseNadas para resolver un pro)lema específico. tros, llamados paquetes integrados de softare, ofrecen menos potencia pero a cam)io incluyen varias aplicaciones, como un programa procesador de textos, de /oa de cálculo y de )ase de datos.
CARACTERISTICAS Y 'ENERALIDADES DE PROCESADORES DE TE-TOS
-n procesador de textos es un programa informático que permite la creación, modificación 4o edición5 e impresión de documentos, fundamentalmente de texto. Los procesadores de textos actuales permiten crear documentos muy ela)orados y compleos con la inclusión en los mismos de ta)las, gráficos, imágenes y otros o)etos diversos. Ksí mismo, incorporan /erramientas avan0adas para la corrección ortográfica, creación de cartas personali0adas, cartas modelo, plantillas y otras muc/as aplicaciones que permiten maximi0ar el rendimiento de cualquier tra)ao que requiera la creación de documentos de tipo texto. Características: Previsualización: Esta opción proporciona una visión en pantalla de cuál
va a ser el resultado impreso del documento. WYSIWYG: Los procesadores de textos comúnmente utili0ados en la
actualidad disfrutan de esta característica, *Q/at Rou (ee Gs Q/at Rou 8etB+ 4Lo que se ve es lo que se o)tiene5. Lo que se ve cuando se está tra)aando es la apariencia real del documento, de esta forma se ve lo que se va a o)tener a medida que se ela)ora. on esta característica, la opción de previsuali0ación resulta menos necesaria.
Configuración de páginas: (e puede personali0ar el diseNo de la página
en lo que respecta a márgenes, orientación 4/ori0ontal o vertical5, tamaNo del papel, entre otros. Iner#ar o./e#o: Es posi)le insertar una gran diversidad de o)etos en un
documento gráficos, imágenes, ta)las, comentarios 4que no se verían en la impresión final5, otros arc/ivos, entre otros. Gestión de documentos: La opción *control de cam)ios+ permite mantener
en un mismo fic/ero versiones sucesivas de un mismo documento. ada cam)io reali0ado en el documento 4inserción, eliminación, formato, etc.5 queda registrado, untamente con el nom)re del revisor y posi)les comentarios adicionales. uando se comprue)an los cam)ios reali0ados, se puede aceptar o rec/a0ar cada cam)io, de forma individual o glo)almente. *"ncione:
Los procesadores de textos nos )rindan una amplia gama de funcionalidades, ya sean tipográficas, idiomáticas u organi0ativas, con algunas variantes según el programa de que se disponga. omo regla general, todos pueden tra)aar con distintos tipos y tamaNos de letra, formato de párrafo y efectos artísticosC además de )rindar la posi)ilidad de intercalar o superponer imágenes u otros o)etos gráficos dentro del texto.
PLANILLAS DE CALCULOS
Las planillas de cálculo son documentos compuestos de datos numéricos y alfanuméricos que se /ayan dispuestos en ta)las. Estos documentos pueden ser creados, editados y visuali0ados con distintos programas, los cuales permiten reali0ar operaciones matemáticas, crear ta)las dinámicas, di)uar gráficos y muc/as cosas más. Entre los programas más conocidos se encuentran el Dicrosoft Excel y el pen alc 4o Li)realc, en su versión más reciente5. 8oogle tam)ién permite tra)aar con planillas de cálculo online a través de 8oogle 'ocs.
En este tutorial se tra)aará con pen alc, pero la totalidad de los conceptos y funcionalidades que se descri)en son compartidas con el Excel.
ADMINISTRADORES DE ARC0I1OS
-n administrador de arc/ivos, gestor de arc/ivos o explorador de arc/ivos 4del inglés file manager5 es una aplicación informática que provee acceso a arc/ivos y facilita el reali0ar operaciones con ellos, como copiar, mover o eliminar arc/ivos donde el usuario lo quiera u)icar. El Kdministrador de Krc/ivos es una potente aplicación que sirve para la organi0ación de arc/ivos y directorios. (e utili0a para mover y copiar arc/ivos, iniciar aplicaciones, imprimir documentos, crear directorios y mantener discos. Para tra)aar con el administrador de Krc/ivos, se utili0an ventanas de directorio en las cuales se representa gráficamente la estructura de directorio del disco con los arc/ivos y directorios que contienen. El Kdministrador de Krc/ivos se inicia como el resto de aplicaciones, la primera ve0 que se inicie el icono del Kdministrador de Krc/ivos aparecerá en el grupo Principal del Kdministrador de Programas.
0ERRAMIENTAS DE DISE2O ASISTIDO
(e denomina /erramientas de diseNo asistido a un conunto de /erramientas que permiten el diseNo asistido por computador. Es frecuente utili0ar la sigla K', del inglés omputer Kided 'esign, para designar al conunto de /erramientas de softare orientadas fundamentalmente, pero no exclusivamente, al diseNo 4K'5, la fa)ricación 4KD5 y el análisis 4KE5 asistidos por computadora en los ám)itos científico e industrial.
SO*T+ARE MATEMATICO Y ESTADISTICO Softare matemático es aquel softare que se utili0a para reali0ar, apoyar
o ilustrar pro)lemas matemáticosC entre este tipo de softare se encuentran los sistemas alge)raicos computacionales y graficadores de funciones, entre otros. Existen grupos y proyectos dedicados al estudio y difusión de softare matemático li)re, los cuales /an aportado productos que facilitan el tra)ao con estas /erramientas. !n Pa"uete estadístico es un programa que está especialmente diseNado
para resolver pro)lemas en el área de la estadística, o )ien está programado para resolver pro)lemas de esta área. Existen muc/os programas que no son especialmente estadísticos pero que pueden /acer algunos cálculos aplica)les en estadística aplicada.
SO*T+ARE DE 'ESTION
E. Sóminas, cuentas de /a)eres1dé)itos, inventarios, entre otros.5, /an evolucionado /acia el softare de sistemas de información de gestión 4(G85, que accede a una o más )ases de datos grandes que contienen información comercial. Las aplicaciones en esta área reestructuran los datos existentes para facilitar las operaciones comerciales o gestionar la toma de decisiones. Kdemás de las tareas convencionales de procesamiento de datos, las aplicaciones de softare de gestión tam)ién reali0an cálculo interactivo 4p. E. el procesamiento de transacciones en puntos de ventas5.
UTILIACION DE PLANILLAS DE CALCULOS PARA AUTOMATIACION DE TAREA
El uso de una computadora /a llegado a evolucionar el tra)ao, tal es el caso de tra)aar en /oas de cálculo para agili0ar tareas conta)les, financieras, matemáticas, etc. Tasta que /ace unos aNos, sólo existían algunas /oas de cálculo que tra)aa)an a )ase de una serie de menús. (e le asigna el nom)re de /oa de cálculo a un /oa que está divida en renglones y columnas, al cruce de ellos se le denomina celdas so)re las cuales se almacena información 4letras o números5 que podemos usar para reali0ar operaciones, tales como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, cálculos financieros, estadísticos, de ingeniería, amorti0aciones, etc. -na
/oa
de
cálculo
es
un
programa
que
permite
introducir
fundamentalmente datos numéricos, para después tra)aar con ellos de una manera dinámica y efica0. Por su parte, las /oas de cálculo no son simples celdas para introducir números con los que reali0ar diferentes operaciones son /erramientas que permiten tratar esos números y /acer gráficos o exportarlos a otros documentos. Las )ases de datos son muc/o más completas, más sencillas y con muc/as más prestaciones, además de permitir que su información sea entendida por otros programas. Tasta /ace unos aNos, QordPerfect /a)ía sido el predilecto entre los usuarios, pero con la llegada de las suites y los sucesivos cam)ios de propietario de la firma, éste fue superado por Qord, que se /a /ec/o con una cuota del mercado muy importante. En /oas de cálculo, Excel /a)ía superado a Lotus, ya que siempre /a)ía sido el primero en aparecer con una nueva versión muc/o más meorada. (in em)argo, en Lotus (mart(uite U<, Lotus /a dado un gran empue a su programa y /a presentado una aplicación totalmente renovada, muy novedosa y fácil de manear. En )ases de datos, Kccess es el gran protagonista, aunque no se olvida a dMK(E, la )ase de datos por excelencia. 'e todas formas, /oy, para funcionar con Qindos U9, es recomenda)le Kccess o Kpproac/.
RESUMEN DE TA3LAS Y LISTAS
Las ta)las dinámicas son muy útiles para estructurar datos que se presentan en )ruto, resumirlos y crear informes. Sormalmente, una ta)la de datos de Excel no puede cam)iar de estructura. Podemos ordenar los datos, filtrarlos, aNadir su)totales, pero la estructura en filas y columnas es inaltera)le. -no de los o)etivos de las ta)las dinámicas es la posi)ilidad de alterar esa estructura y a la ve0 resumir datos. -na ta)la dinámica es una ta)la interactiva que contiene campos, ésta consiste en el resumen y análisis de un conunto de datos de una lista o ta)la original, atendiendo a varios criterios de agrupación, representa una ta)la de do)le entrada que nos facilita la interpretación de dic/os datos.
ANALISIS DE DATOS CON TA3LA DINAMICA
Permiten anali0ar sólo una porción de la Mase de 'atos, es decir, con una M' con gran cantidad de campos o columnas, ayudan a visuali0ar únicamente la información relevante, con lo que el análisis se torna más sencillo.
UTILIACION DE PRO'RAMAS DE RESOLUCION MATEMATICA APLICA3LE AL AREA DE LA IN'ENIERIA4 ASPECTOS 'ENERALES4 SINTESIS DE LAS OPERACIONES Y DE LAS *UNCIONES4 ELEMENTOS DE CALCULO4 MANE5OS4 *ORMULAS4 ECUACIONES Y 'RA*ICOS6
La variedad de /erramientas informáticas empleadas en la docencia a nivel universitario es amplia. (in em)argo, solo algunas aplicaciones parecen capaces de cam)iar fundamentalmente el proceso de enseNan0a y aprendi0ae de las maten áticas. (in lugar a dudas, los K(, que com)inan capacidades de cálculo sim)ólico, numérico y graVco, caen en esta categoría, y de /ec/o ocupan un
primer puesto destacado como la /erramienta más utili0ada en docencia matemática universitaria. La popularidad de los K( se de)e no sólo a su gran versatilidad, siendo usados en una gran variedad de áreas matemáticas, sino a su potencial para convertirse en el principal utensilio de la caa de /erramientas matemáticas del estudiante y posteriormente del matemático profesional. 'e /ec/o, /ay estudios que sugieren que la destre0a adquirida en estas compleas /erramientas durante la etapa de formación inWuye directamente en el tipo de tra)ao y estudios posteriores. (i )ien no entraremos aquí a valorar la necesidad de que en la enseNan0a universitaria de primer ciclo se escoa un K( de referencia 4como es el caso en Kustria con la adopción de 'erive como programa nacional para la enseNan0a matemática preuniversitaria si queremos seNalar que /ay situaciones de coexistencia de múltiples K( que claramente son inadecuadas para formar a nuestros estudiantes. En particular, y por no /a)lar de terceros, este es el caso en un departamento de Datemáticas de una pequeNa universidad de provincias. En esta universidad, )ásicamente politécnica, se dispone de una licencia glo)al de Datla), pero de otras fuentes y por vías variadas, se usan en la enseNan0a tam)ién Datemática, Daple y 'erive. Es más, en alguna asignatura impartida por distintos profesores, es posi)le encontrar clases de prácticas desarrolladas con distintos K(. Kunque la elección del óptimo 4XóptimosY5 se escapa de los o)etivos de esta nota, es ra0ona)le pensar que esta multiplicidad de programas no propicia precisamente el proceso educativo, especialmente en lo relativo a los K(, caracteri0ados. INTRODUCCION
El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven pro)lemas y reali0an cálculos puramente aritméticos. Pero /ay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo 4como las computadoras5 que nos ayudan en la eecución de las instrucciones del algoritmo. (i )ien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes de cam)iar de uno a otro sistema. -na )uena ra0ón para estudiar el análisis numérico es meorar nuestra comprensión de los conceptos de las matemáticas 4puras5 o)servando como algunos de ellos de)en modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales. 'espués de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muc/os pro)lemas del mundo real. El o)etivo de cualquier estudio de errores es tratar de conocer el efecto que, so)re el resultado final de un pro)lema numérico, produce cada uno de los diferentes tipos de errores que pueden tener lugar.
CONCLUSION
El estudio de los métodos numéricos, de la manera en que lo veo, es muy útil y por ende importante para quien quiera que necesite /erramientas para resolver operaciones, las cuales se sa)en que pueden resultar complicadas, y por más que se dominen los métodos tradicionales, estos muc/as veces pueden no ser suficientes, sin em)argo no esto no quiere decir que la operación sea imposi)le de solucionar, y es a/í donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es tra)ao de cierta manera. El /ec/o de que se tomen tan en cuenta los errores, no nos dea cerca de la perfección pero al considerarlos, al menos no da una idea de con que contamos y con que no, así podemos tomar decisiones informadas y por lo tanto pienso yo que meores. Kdemás pasando a la parte práctica, su estudio nos puede ayudar a modificar, entender e incluso simplificar algún tipo de softare que los manee, esto resulta muc/a ventaa para el usuario, pues si conoces lo que /aces lo puedes usar con más provec/o y optimi0ación. En pocas pala)ras las aplicaciones de los métodos numéricos son muy variadas y necesarias, especialmente parta las ingenierías como ya lo expresé anteriormente, con esto, puedo concluir que me interesa su estudio, y so)re todo aprenderlos y manearlos )ien, porque a/ora veo que en un futuro no muy leano es muy pro)a)le que los necesite aplicar.
3I3LIO'RA*IA
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-so del softare matemático 4;1;5 .mailxmail.com -so del softare matemático 4%1;5 .mailxmail.com Datemáticas para Gngenieros & ZDat/ématiques pour l[ingénieur et (ciences Tumaines\ .m;real.org Gngeniería de softare & Qiipedia, la enciclopedia li)re es.iipedia.org Gngeniería de softare & Qiipedia, la enciclopedia li)re es.iipedia.org (oftare Datemático Kplicado a la Gngeniería 4Q -niversidad del País !asco5 oc.universia.net
REPU3LICA 3OLI1ARIANA DE 1ENEUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
MATURIN ESTADO MONA'AS
Fundamentos Del Análisis Numérico
Pro7eora:
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