LABORATORIO DE FISICA II
EL PROCESO DE MEDICION INTRODUCCION AL CALCULO DE ERRORES
COMICION Nº 9 - INTEGRANTES
DE LA RIVA, SILVANA INES – ING. EN COMPUTACION STEGMAYER, JOSE MARIA – ING. EN COMPUTACION FERNANDEZ MAHMOUD, CRISTHIAN LEANDRO – ING. INDUSTRIAL RUIZ, CAROLINA VICTORIA—ING. INDUSTRIAL
En este informe, expresaremos los resultados obtenidos durante los experimentos realizados en el laboratorio para determinar el grado de error de las mediciones realizadas.
1. Mediciones directas. Calculo del promedio. Error mínimo. Error accidental 1.1. 1. Estime el orden de magnitud de: La masa de una persona adulta: kg El volumen de aire del laboratorio: El espesor de una hoja de papel: m 1.1.2. Mida con el instrumento que le facilitara el docente:
La masa de una bolilla
Utilizaremos una balanza que aprecia desde la décima de gramo hasta la 10 milésima de gramo y que posee un alcance de 200g Apreciación de Balanza 0.1 g 0.001 g 0.0001 g
Peso maza grande 57.1 g 57.136 g 57.1357 g
Peso maza chica 22.5 g 22.552 g 22.5522 g
Peso cabello 0.002 g 0.0025 g
El diámetro de una bolilla.
Utilizamos un calibre de apreciación 0.02 mm para medir el diámetro de una pieza de maquina
Nº de Mediciones 1 2 3 4 Promedio
Justificación
Diámetro
20.00 mm + 11 * 0.02 mm 20.00 mm + 11 * 0.02 mm 19.00 mm + 39 * 0.02 mm 20.00 mm + 41 * 0.02 mm
20.00 mm 20.22 mm 19.78 mm 20.82 mm (20.20 ± 0.02) mm
Para medir el espesor de la misma pieza utilizamos un tornillo micrométrico de apreciación 0.01mm Nº de Mediciones 1 2 3 4 Promedio Mejore valor
Justificación
Espesor
8.00 mm + 30 * 0.01mm 9.00 mm + 39 * 0.01 mm 9.00 mm + 29 * 0.01 mm 9.00 mm + 43 * 0.01 mm
9.30 mm 9.39 mm 9.29 mm 9.43 mm (9.35 ± 0.01) mm (9.30 ± 0.01) mm
1
El tiempo de oscilación de un péndulo (o de un resorte)
Tómanos el tiempo que tarda un péndulo en realizar 10 oscilaciones, utilizando un cronómetro de apreciación 0.01seg. El tiempo medido fue de 20.37seg. 1.2. Búsqueda de información: Procesó de medición Consiste en un proceso físico experimental en el cual interactúan tres sistemas: 1. Lo que va a medirse. 2. El instrumento o conjunto de instrumentos con los que se mide. 3. El sistema de referencia con el que se compara, es decir las unidades. Al definir cada proceso de medición se da la receta mediante la cual interaccionan estos tres sistemas dando como resultado una cantidad, que es la medida de la magnitud en cuestión. Pero simultáneamente estas mismas instrucciones darán como producto la definición de la magnitud misma.
Errores de una medición:
1. Errores mínimos: Existe un límite para el número de cifras significativas con que se determina una magnitud, cada sistema que interactúa en el proceso de medición introduce una limitación que no puede superarse sin cambiar el sistema mismo.
Error de apreciación: Es el mínimo valor que se puede medir con el instrumento. Se considera, por lo general, que es la mitad de la apreciación del instrumento. Error de exactitud: Es la fidelidad con la que el instrumento recoge los datos de la realidad. Cuando más pequeño es el error de exactitud, más exacto es el instrumento. Está sujeto a error de calibración. Error de definición: está determinado por la naturaleza del objeto a medir (las rugosidades de un cuerpo aparentemente de superficie lisa, que por más que mejoremos el orden de cifra significativas, llega un momento que no puede mejorarse). Error de Interacción: Se origina de la interacción misma entre el instrumento y el objeto a medir.
Sistema a medir (objeto)
Proceso de medición
Sistema medidor Proceso de (instrumento) calibración
Sistema unidad (patrón)
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2. Errores sistemáticos: Son errores regulares que se producen siempre en el mismo sentido, es decir, con el mismo signo y en general son del mismo orden de magnitud. Alguna de las causas más frecuentes de errores sistemáticos es la construcción defectuosa de los instrumentos o bien su deterioro. 3. Errores accidentales: Son producidos por causas fortuitas, varían al azar y por ello pueden producirse tanto en un sentido como en el otro y no siempre con el mismo valor absoluto. Gracias a que se suponen distribuidos al azar aceptan un tratamiento estadístico y pueden corregirse repitiendo las mediciones. A ellos se aplica la Teoría de Errores de Gauss.
Valor promedio
Para calcular el mejor valor y su cota de incerteza, teniendo en cuenta los errores accidentales, la suma de las desviaciones respecto del mejor valor deben ser igual a cero. Esto quiere decir que si definimos el error de cada medición como la diferencia de cada medición respecto del mejor valor
Entonces el mejor valor se calcularía como el promedio aritmético
de las n lecturas.
∑
Error del promedio: Se calcula el error de cada ∑ √ Si se obtiene un valor pequeño de significa que la desviación de las mediciones respecto del valor medio es pequeña, mientras que un valor grande quiere decir que las lecturas difieren mucho del valor promedio. Para calcular el error cuadrático medio del promedio utilizamos la siguiente formula. √
∑ √
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Cota de una medición directa
Puede ocurrir que para un valor de muy pequeño o un valor muy grande de , el valor de calculado sea menor que el error mínimo definido anteriormente. Esto significa que la contribución al error dada por todas las fuentes de errores accidentales no pesa frente a los errores mínimos. De este modo la cota de estará dada por ese error mínimo:
Error absoluto: es la diferencia entre el valor medido y el verdadero valor , como es imposible conocer el verdadero valor usamos su mejor estimación ósea el promedio de las mediciones realizadas.
Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor medido de la magnitud
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Instrumentos: principio de funcionamiento del calibre y el tornillo micrométrico (escala vernier) Calibre: Este instrumento utiliza el método ideado por Vernier y Nonius, el cual consiste en utilizar una regla fija, graduada por ejemplo en centímetros y en milímetros, y una regla móvil que puede deslizarse sobre la fija la cual está dividida en un número de divisiones, por ejemplo diez (10), iguales, correspondiendo a estas 10 divisiones nueve (9) divisiones de la fija; por lo tanto, la apreciación del instrumento estará dada por la relación entre la menor división de la regla fija y la cantidad de divisiones de la regla móvil.
Tornillo micrométrico: Es un instrumento que consta de un montaje o cuerpo en forma de “U” o herradura con dos puntos que se aproximan entre sí mediante un tornillo de rosca fina, el cual tiene grabado en su contorno una escala. La máxima longitud de medida del micrómetro de exteriores normalmente es de 25 mm. El paso de rosca es de 0,05 mm, de modo que girando el tambor una vuelta completa el palpador avanza o retrocede 0,5 mm. El micrómetro tiene una escala longitudinal que sirve de fiel, que en su parte superior presenta las divisiones de milímetros enteros y en la inferior los de los medios de milímetros. En la superficie del tambor se encuentra grabado, en toda su circunferencia, 50 divisiones iguales, indicando la fracción de vuelta que ha realizado. Una división equivale a 0,01 mm.
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1.3. Discuta en el grupo de trabajo las siguientes cuestiones:
Estime el error mínimo.
Controle la presencia de errores sistemáticos.
Existió un error sistemático, producto de la deformación del calibre, de 0.2mm el cual fue corregido al final del proceso.
Calcule la dispersión y el error cuadrático medio del promedio. Nº de mediciones (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Promedio:
Diámetro ( 55.00 mm 55.00 mm 55.00 mm 54.95 mm 54.90 mm 54.90 mm 54.85 mm 54.80 mm 54.80 mm 54.70 mm = 54.89 mm
0.01 0.01 0.01 0.003 0.0025 0.0025 0.0016 0.008 0.008 0.03
√
0.0001 0.0001 0.0001 0.000009 0.00000625 0.00000625 0.00000256 0.000064 0.000064 0.000009 ∑ 0.00026106
= 0.002
Dé el valor acotado de la magnitud medida
El error cuadrático es menor al error mínimo, por lo tanto es despreciable.
Calcule el error relativo de la medición realizada. (Δm/m)= / = 0.0036
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¿Realizo un número suficiente de mediciones? Justifique su respuesta. En caso negativo, estime cuantas mediciones más convendría realizar.
En nuestro caso el error cuadrático es menor al error mínimo por lo que no es necesario efectuar más mediciones. 2. Mediciones indirectas. Propagación de errores. Planificación según un error prefijado 2.1. Mida con el error que se le indicara, la densidad del material de la muestra (solido) que le entregara el docente. Determinar a densidad de la esfera con un error del 1 % d= m/v Δd/d=0,01 V= (4/3)∏.rᶟ Planificacion (Δd/d) = (Δm/m) + (Δv/v) = 0.01 Distribuimos el error: (Δd/d)= 0.005 + 0.005 = 0.01
(Δm/m)= 0.005 Δm= 0.005 * m
Estimamos m = 100g
Δm= 0.005 * 100g Δm= 0.5 g
(Δv/v) = 0.005
Como v=(4/3)∏.rᶟ (Δv/v) = (Δ∏/∏) + 3 (Δd/d) Distribuimos el error: (Δv/v) = 0.0001 + 0.005 (Δ∏/∏) es despreciable frente al error aportado por el diámetro 3 (Δd/d) = 0.005 Δd = (0.005 *d)/3
Estimamos d =15 mm
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Δd =(0.005 *15 mm)/3 Δd = 0.03 mm Para medir con el error que se nos indicó necesitamos de una balanza que aprecie hasta las decimas de gramo y un calibre con una apreciación de 0.02 mm. Una vez que el docente nos proporcionó los instrumentos necesarios, realizamos las medidas necesarias: Numero de mediciones
Justificación
Diámetro
1
20 mm + 33 . 0,02 mm
20,66
2
20 mm + 31 . 0,02 mm
20,62
3
20 mm + 32 . 0,02 mm
20,64
4
20 mm + 32 . 0,02 mm
20,64
5
20 mm + 33 . 0,02 mm
20,66
Numero de mediciones 1
Apreciación 0,1 g
Masa 35,8 g
2.2 Medición indirecta No siempre es posible realizar una medida directa, porque existen variables que no se pueden medir por comparación directa, es decir, con patrones de la misma naturaleza, o porque el valor a medir es muy grande o muy pequeño y depende de obstáculos de otra naturaleza, etc. Medición indirecta es aquella que realizando la medición de una variable, podemos calcular otra distinta, por la que estamos interesados Ejemplo: Queremos medir la altura de un edificio muy alto, dadas las dificultades de realizar la medición directamente, emplearemos un método indirecto. Colocaremos en las proximidades del edificio un objeto vertical, que sí podamos medir, así como su sombra. Mediremos también la longitud de la sombra del edificio. Dada la distancia del Sol a la tierra los rayos solares los podemos considerar paralelos, luego la relación de la sombra del objeto y su altura, es la misma que la relación entre la sombra del edificio y la suya. Llamaremos:
So: a la sombra del objeto
Ao: a la altura del objeto 8
Se: a la sombra del edificio
Ae: a la altura del edificio
Luego
Esto nos permite calcular la altura del edificio a partir de las medidas directas tomadas. Errores en las medidas indirectas Cuando el cálculo de una medición se hace indirectamente a partir de otras que ya conocemos, que tienen su propio margen de error, tendremos que calcular junto con el valor indirecto, que suele llamarse también valor derivado, el error de éste, normalmente empleando el diferencial total. A la transmisión de errores de las magnitudes conocidas a las calculadas indirectamente se le suele llamar propagación de errores. Cálculo del error en las medidas indirectas Partiendo de unas medidas directas y de los errores de esas medidas, y conociendo una ecuación por la que a partir de las medidas conocidas podemos calcular el valor de una medida indirecta, un método de cálculo del error de esta medida indirecta es el cálculo diferencial, equiparando los diferenciales a los errores de cada variable. En el ejemplo de la altura del edificio, tenemos tres variables independientes la sombra del edificio, la sombra del objeto y la altura del objeto, y una variable dependiente la altura del edificio que calculamos mediante las otras tres y la ecuación que las relaciona, como ya se ha visto. Ahora calculemos el error cometido en la altura del edificio según todo lo anterior, la ecuación que tenemos es:
la derivada parcial respecto de la ecuación respecto a la sombra del edificio se calcula considerando las otras variable como constantes y tenemos:
del mismo modo derivamos respecto a la sombra del objeto:
y por último respecto a la altura del objeto:
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La definición de diferencial es:
Que en nuestro caso será:
Sustituyendo sus valores:
Tener en cuenta que todas las derivadas parciales se han tomado con signo positivo, dado que desconocemos el sentido del error que se pueda cometer durante la medición. Dónde: : es el error que hemos cometido al calcular la altura del edificio. : es el error de medida de la sombra del edificio. : es el error de medida en la altura del objeto. : es el error de medida en la sombra del objeto. Planificación de una medición a partir de un error prefijado Cuando planificamos una medición debemos saber que parte vamos a medir por ejemplo en un cilindro su diámetro y su altura (si es macizo) y su diámetro externo e interno y su altura (si el cilindro es hueco). Cuando nos solicitan hacer una medición con un error prefijado y sabiendo que variables procederemos a medir, vamos a determinar el error que le proporcionamos a cada variable para que obtengamos como mínimo ese error, y para saber con qué instrumento y de que apreciación podríamos utilizar para la medición Primero vamos a tratar de darle un orden de magnitud a la variable a medir y luego procederemos a repartir el error
Cuando procedemos a repartir el error podemos despreciar algunos como el error de π que si tomando las cifras significativas de la calculadora, y también despreciar el error por medir la altura ya que utilizaríamos una regla de metal, y otorgándole todo el error de la medición al diámetro para que se pueda medir con un calibre más o menos acorde.
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2.2. Medición de un cuerpo con perforación:
Si
Si
entonces no se desprecia
, pero solo se coloca el error de
en la
ecuación.
Si
Para ver si el orificio es despreciable hacemos una estimación
Ahora calcularemos el volumen de nuestra pieza; calcularemos con un error del 5%: (Ecuación del volumen de un cilindro macizo) (Error del cálculo de un cilindro macizo) Tenemos un error de 0.05 y lo dividimos en las magnitudes que medimos, es decir, la altura y el diámetro. Repartiremos el error equitativamente (0.01 de error para la medición del diámetro y 0.01 para la medición de la altura), quedándonos:
: Como tenemos calculadoras científicas podemos calcular
con los decimales
necesarios para hacer su error despreciable, en este caso, tomando un error de 0.001
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Es decir que necesito tomar a
con 3 cifras decimales:
: Es el error máximo que queremos aceptar a la hora de medir el diámetro de un cilindro. Se multiplica por 2 por estar elevado a una potencia de 2 en la ecuación del diámetro de un cilindro. Entonces:
Podemos usar una buena regla.
: Es el error máximo que aceptaremos a la hora de medir la altura h del cilindro. Entonces:
Necesito un instrumento de por lo menos Ap.: 0.1mm. Usaremos el calibre N° de mediciones
Diámetro mayor (D)
1
101
4.00
2
100
4.20
3
101
4.00
4
101
3.90
5
100
4.10
̅
∑
Altura (h)
̅
∑
12
̅
̅
Diametro
Altura
̅
N° de mediciones
̅
1
-0.048
2
-0.008
0.044
3
0.092
-0.016
4
0.122
5
-0.048
0.024
0.012
-0.056 ∑
∑
∑
∑
e min= e apreciación + e definición + e interacción + e exactitud = 0.05mm
̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅ (
̅
)
Por lo tanto nuestro volumen es: ̅
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