Ejercicio 1 Mapa Conceptual: Qué son Qué son planos en R3, qué parámetros se requieren y qué procedimiento debe seguirse para establecer su ecuación, qué condición se debe cumplir para que sean paralelos, y en caso de no ser paralelos qué método se aplica para llegar a las ecuaciones de la recta que forma su intersección.
Ejercicio 5
Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) ¿Son pararelos pararelos los siguientes planos 1:3x+8y-3z=1 y 2:-15x-40y+15z=5? Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos. b) ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A(-3,7,9), B(2,4,6) y C(2,2,-1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.
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Solución:
= (3,8,−3)
a. Sabemos que los vectores normales de cada plano son y respectivamente, además para saber si dos planos son paralelos, sus vectores normales deben paralelos, luego dos vectores son paralelos si , por tanto concluimos que los vectores son paralelos ya que b.
= (−15, (−15, −40, −40,1515)) || ↔ = (−15,−40,15) = (−5)(3,8,−3) (,,) ==((, , , , ))==(−3,(2,47,6,9)) = (, , ) = (2,2,−1) − − −− −− = 0 − − −
Las coordenadas de un punto cualquiera del plano son Vamos a buscar la ecuación del plano que contiene a los puntos:
Donde se hace uso de la matriz
Reemplazando los valores anteriores obtenemos:
+5 3 −−37 −−39 = 0 5 −5 −10 −3 ( + 3)3) − 55 −10 −3 ( − 7)7) + 55 −3−5 ( − 9)9) = 0 −5−3 −10 15( 15( − 3)3) + 35( 35( − 7)7) − 10( − 9) = 0 15 + 45 − (−35 + 245) 245)−− 10 + 9090 = 0 15 + 35 − 10 − 110 = 0 3 + 7 − 2 − 22 = 0
Calculamos el determinante:
Obteniendo:
Luego, rompiendo paréntesis:
Dividiendo toda la expresión por 5, se encuentra la ecuación del plano, la cual es:
