Ejercicio 33. Tan pronto como un semáforo se pone en verde, un automóvil aumenta su rapidez desde el reposo a 50 mi/h con aceleración constante de 9,00 mi/h.s. En el carril de bicicletas, un ciclista aumenta la rapidez desde el reposo a 20,0 mi/h con aceleración constante de 13,0 mi/h.s. Cada vehículo mantiene la velocidad constante después de alcanzar su rapidez de crucero. a) ¿Para qué intervalo de tiempo la bicicleta está adelante del automóvil? b) ¿Por cuánta distancia máxima la bicicleta adelanta al automóvil? Para empezar, es obvio que la bicicleta se mantendrá en frente del carro, por tener mayor aceleración y ambos partir del reposo. Luego de que la bicicleta se fije a 20 mi/h, el carro seguirá acelerando hasta llegar a 50 mi/h, alcanzándola y sobrepasándola. Primero, calcularemos los tiempos en que se aceleró cada móvil.
Fórmula: v = vo + at Carro: vo = 0 v1 = 50 mi/h mi/h a1 = 9 mi/h.s v1 = vo + a1.t1
⁄ ⁄
Bicicleta: vo = 0 v2 = 20 mi/h mi/h a2 = 13 mi/h.s v2 = vo + a2.t2
⁄ ⁄ Luego de esto, el movimiento de cada ve hículo se divide en dos partes: Parte acelerada
Parte constante
Carro t1 Parte acelerada
Parte constante
Bicicleta t2
Si unimos ambos movimientos, existen 3 períodos de tiempo. 1. Cuando ambos están acelerados. 2. Cuando la bicicleta va a rapidez constante y el carro está acelerado. 3. Cuando ambos van a rapidez constante.
El ejercicio se puede resolver de dos maneras:
Manera “A”: Calculamos la distancia recorrida por el carro en los tiempos t 1 y t2, y luego la distancia recorrida por la bicicleta en los tiempos t 1 y t2 y los comparamos. 2
Fórmula: x = vo.t + at /s 2 2 2 Nota: como en el término “at /s” la aceleración (mi/h.s) se multiplica por t (s ), dejando como
unidad resultante mi.s/h, y para aplicación debe quedar “mi”, se transformarán las aceleraciones a 2
“mi/s ” por comodidad, de la siguiente manera:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Carro: vo = 0 a1 = 9 mi/h.s = 0,0025 mi/s
2
t1 = 5,555555 s t2 = 1,538461 s
[ ⁄ ] [ ⁄ ] Bicicleta: vo = 0 a2 = 13 mi/h.s = 0,0036 mi/s
2
t1 = 5,555555 s t2 = 1,538461 s
[ ⁄ ] Para calcular el x 21 (la distancia recorrida por la bicicleta para cuando el carro alcanza la rapidez de 50 mi/h), la fórmula a usar es la del Movimiento Rectilíneo Uniforme:
Fórmula: x = v.t
Nota: Cabe destacar, que el MRU de la bicicleta (con v 2 = 20 mi/h) empieza en el tiempo t 2 = 1,538461 s, con lo cual, para saber la distancia x 21 recorrida por la bicicleta para el tiempo t 1 se debe calcular la distancia x’ recorrida durante el MRU en un tiempo t’ = t 1 – t2 (que es el tiempo en que la bicicleta está en MRU hasta el tiempo t1) y sumársela a la distancia x 22 ya recorrida durante el movimiento acelerado. Por tanto: x21 = x22 + x’ x’ = v2.t’ t’ = t1 – t2 = 5,555555 s - 1,538461 s = 4,017094 s Como v2 está en mi/h, debemos transformer el t iempo t’ de segundos a horas:
t' = 4,017094 s . 1h / 3600 s = 0,001116 h
x’ mi/h h mi x21 = 0,00426 mi + 0,02232 mi =
Ahora, comparamos:
Para el tiempo t2:
Bicicleta: Carro:
El carro no ha alcanzado a la bicicleta para el primer tramo del movimiento.
Carro:
Para el tiempo t1:
Bicicleta: El carro alcanzó y sobrepasó a la bicicleta para el segundo tramo del movimiento.
Con estas comparaciones podemos ver que el punto donde el carro alcanza a la bicicleta, es en el tramo color aguamarina (el segundo).
Con esto, podemos decir que en alguna parte del segundo tramo, en un punto P, se encuentran.
Para el carro:
El carro presenta sólo un movimiento acelerado, por tanto, usaremos: 2
xp = vo.t + a1.t /2
Para la bicicleta: La bicicleta presenta dos movimientos, el acelerado y el de rapidez constante. Por tanto, el
xp es la suma del x22 que recorre en el acelerado, con un xp’ que recorre en el de rapidez constante: xp = x22 + xp’ La distancia xp’ se obtiene con la siguiente ecuación: xp’ = v2.tp en donde, el tiempo tp es el tiempo que transcurre desde que la bicicleta está fija a 20mi/h hasta que llega a xp, por tanto, es el tiempo t en el que ambos llegan a xp restado por el tiempo en que está acelerada la bicicleta: tp = t – t2 Ecuación final (sustituyendo las anteriores): xp = x22 + v2.(t-t2) Ahora, tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que son las ecuaciones subrayadas. El tiempo “t” es el tiempo en que la bicicleta estuvo delante del carro. Lo podemos resolver por igualación: xp = xp 2
vo.t + a1.t /2 = x22 + v2.(t-t2) Resolvemos: vo = 0 a1 = 9 mi/h.s = 32400 mi/h
2
2
x22 = 0,00426 mi v2 = 20 mi/h t2 = 1,538461 s = 0,00042735 h 2
0 + 32400mi/h .(t) /2 = 0,00426 mi + 20 mi/h (t – 0,00042735 h) 2
2
16200mi/h .t = 0,00426 mi + 20 mi/h . t – 0,008547 mi 2
2
16200mi/h .t = 20 mi/h . t - 0,004287 mi 2
2
16200mi/h .t - 20 mi/h . t + 0,004287 mi = 0
Ahora tenemos una ecuación de segundo grado, que al re solver, da: t = 0,00095847 h ≡ 0,00095847 h . 3600 s/ 1 h = 3,45050216 s t = 0,0002761 h ≡ 0, 0002761 h . 3600 s/ 1 h = 0,99394228 s El tiempo t = 0,99394228 s no tiene sentido, porque ese tiempo ocurre incluso antes de que termine el movimiento acelerado de la bicicleta, por tanto, el tiempo t que estamos buscando, que es aquel en que la bicicleta estuvo delante del carro, es t = 3,45050216 s .
Ahora, para saber la distancia máxima que se aleja la bicicleta del carro, basta con darse cuenta que los vehículos están máximamente alejados en el momento en que la bicicleta llega a la rapidez de 20 mi/h. Esto es obvio puesto que a partir de ese momento, la bicicleta fija su rapidez, y con eso, su aumento de distancia en función del tiempo, mientras que el carro sigue acelerando hasta que se cruzan. Por tanto, dicha distancia es la siguiente: x = x22 – x12 =
= 0,002337 mi
(Esto se ilustra mejor en la Manera “B”).
Manera “B”: Se crean dos tablas en Excel con los parámetros de Aceleración (mi/h.s), Rapidez (mi/h), Distancia (mi) y Tiempo (s), una para el Carro y otra para la Bicicleta. Se van a colocar 10 columnas, y se van a fijar los siguientes valores de tiempo: 0, 1, vacío, 2, 3, vacío, 4, 5, vacío, 6, de la siguiente manera: Aceleración (mi/h.s) Rapidez (mi/h) Distancia (mi) Tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
6
En la primera columna, se coloca 9 o 13 en la aceleración (dependiendo si es el carro o la bicicleta, respectivamente), 0 en la rapidez y 0 e n la distancia. Por comodidad y facilidad, se colocaran las tablas resultantes y luego se dirá cómo se llegó a ellas:
Carro: Acelera ción (mi/h.s) Rapidez (mi/h) Distanci a (mi)
9
9
9
9
9
9
0
0
9
18
27
36
45
50
0
0,005
0
2
0,0112 5 3
0,02
Tiempo (s)
0,0012 5 1
0,0312 5 5
0,0447 5309 6
Acelera ción (mi/h.s) Rapidez (mi/h) Distanci a (mi)
13
13
0
0
0
0
0
0
13
20
20
20
20
20
0
Tiempo (s)
0
0,0018 0556 1
0,00683 761 2
0,01239 316 3
0,01794 872 4
0,02350 427 5
0,02905 983 6
4
Bicicleta:
1. En ambos casos, los valores de las aceleraciones fueron colocados. 2. La fórmula que se colocó para obtener las rapideces, para el caso de los movimientos acelerados (los anteriores a la columna amarilla en el caso de la bicicleta, y los anteriores a la columna roja en el caso del carro, sin contar la rapidez en dichas columnas) fue la siguiente: Se sumó la celda de la rapidez inicial (la primera), y se sumó el valor de la multiplicación de las celdas de la aceleración y el tiempo, de la columna respectiva donde se calculó la rapidez.
Fórmula: v = vo + at Código de ejemplo: =B4+(C3*C6) El resto de las rapideces fueron colocadas. 3. La fórmula para las distancias fue dada por: i)
Para los movimientos acelerados: (los valores antes de la columna amarilla en el caso de la bicicleta y antes de la columna roja para e l caso del carro)
Se sumó la multiplicación de la celda con la rapidez inicial con la del tiempo respectivo al de la columna donde se va a calcular la distancia, se l e sumó la multiplicación 2
de la aceleración respectiva divida entre 3600 (para tener por unidades mi/s en lugar de mi/h.s) por el cuadrado del tiempo respectivo, divida entre dos.
2
Fórmula: x = vo.t + at /s Código de ejemplo: =(B4*C6)+(C3/3600*POTENCIA(C6;2)/2) ii) Para los movimientos a rapidez constante: (los restantes) En el caso de la bicicleta: Se multiplica la rapidez respectiva por la diferencia de tiempos: tiempo respectivo - 1,53846154 s* (que es el tiempo donde termina el movimiento acelerado), dividida entre 3600 para que esté en horas y no en segundos (puesto que la rapidez está en mi/h), y esto sumado a la distancia 0,0042735 mi* (que es la recorrida por la bicicleta en el movimiento acelerado). En el caso del carro: Se multiplica la rapidez respectiva por la diferencia de tiempos: tiempo respectivo - 5,55555556 s* (que es el tiempo donde termina el movimiento acelerado), dividida entre 3600 para que esté en horas y no en segundos (puesto que la rapidez está en mi/h), y esto sumado a la distancia 0,02659069 mi* (que es la recorrida por la bicicleta en el movimiento acelerado).
Fórmula: x = v.(t-to) Código de ejemplo: =E11*((E13-D13)/3600)+D12 *Los valores marcados con un asterisco (*) serán explicados a continuación. a) Los valores de la columna amarilla fueron hallados de la siguiente manera: En la tabla de la bicicleta, se fijó la rapidez 20 mi/h, y la aceleración 13 mi/h.s, y el tiempo se obtuvo de la división de la rapidez entre la aceleración.
Fórmula: v = vo + at Código de ejemplo: =D11/D10 La distancia fue hallada de la m isma manera que en el caso de los movimientos acelerados. En la tabla del carro, se colocó este valor obtenido del tiempo, se fijó en 9 mi/h.s la aceleración, y la rapidez y la distancia fue hallada igual que en los casos respectivos de movimientos acelerados. b) Los valores de la columna roja fueron hallados de la siguiente manera: En la tabla del carro, se fijó la rapidez 50 mi/h, y la aceleración 9 mi/h.s, y el tiempo se obtuvo de la división de la rapidez entre la aceleración.
Fórmula: v = vo + at Código de ejemplo: = J4/J3
La distancia fue hallada de la misma manera que en el caso de los movimientos acelerados. En la tabla de la bicicleta, se colocó este valor obtenido del tiempo, se fijó en 0 mi/h.s la aceleración, y la rapidez y la distancia fue hallada igual que en los casos respectivos de movimientos con rapidez constante. c)
Los valores de la columna naranja fueron hallados de la siguiente manera:
El tiempo que va en esa casilla, es el tiempo en que los vehículos se encuentran. Por tanto, éste es el tiempo que queremos calcular. Si hacemos las tablas obviando la columna naranja, quedaría: Carro: Aceleración (mi/h.s) Rapidez (mi/h) Distancia (mi) Tiempo (s)
9
9
9
9
9
9
9
9
0
0
9
13,8461538
18
27
36
45
50
50
0
0,00125
0,00295858
0,005
0,01125
0,02
0,03125
0,03858025
0,04475309
0
1
1,53846154
2
3
4
5
5,55555556
6
1 3 0
13
13
0
0
0
0
0
0
13
20
20
20
20
20
20
20
0
0,0018 0556 1
0,004273 5 1,538461 54
0,0068 3761 2
0,0123 9316 3
0,0179 4872 4
0,0235 0427 5
0,026590 69 5,555555 56
0,0290598 3 6
Bicicleta: Aceleración (mi/h.s) Rapidez (mi/h) Distancia (mi) Tiempo (s)
0
Se realiza una gráfica de Distancia en función del Tiempo, con dos líneas (una con los valores del carro y otra con los valores de la bicicleta). Las líneas se cortan en un punto, y la coordenada del tiempo de ese punto, es el tiempo que queremos conocer. Sugerencia: Se pueden hacer gráficas de Aceleración en función del Tiempo y Rapidez en función del Tiempo, por mera ilustración y tener una mejor idea del fenómeno.
Distancia en función del tiempo 0.05 0.045 0.04 0.035 ) i m 0.03 ( a i c 0.025 n a t s 0.02 i D 0.015
0.01 0.005 0 0
1
2
3
4
5
6
7 Carro Bicicleta
Tiempo (seg)
Si se quiere precisar mejor el valor de este tiempo, se puede realizar lo que se hizo en la 2
2
Manera “A”, con la ecuación 16200mi/h .t - 20 mi/h . t + 0,004287 mi = 0 y dar con el tiempo t = 3,45050216 s. También, se puede añadir la columna naranja, de la siguiente manera: Para el caso del carro, se fija la aceleración en 9 mi/h.s, se coloca el tiempo ya calculado, y se calcula la rapidez y distancia respectiva, con las fórmulas usadas para el caso del movimiento acelerado. Para el caso de la bicicleta, se fija la aceleración en 0 mi/h.s, la rapidez en 20 mi/h, se coloca el tiempo ya calculado, y se calcula la distancia respectiva con la fórmula usada para el caso del movimiento con rapidez constante. Carro: Aceleraci ón (mi/h.s) Rapidez (mi/h)
9
9
9
9
9
9
9
9
9
0
0
9
18
27
45
50
50
0
Tiempo (s)
0
0,0012 5 1
0,00 5 2
0,0112 5 3
31,05451 94 0,014882 46 3,450502 16
36
Distancia (mi)
13,84615 38 0,002958 58 1,538461 54
0,0 2 4
0,0312 5 5
0,038580 25 5,555555 56
0,044753 09 6
Bicicleta: Acelera ción (mi/h.s) Rapidez (mi/h) Distanci a (mi)
13
13
13
0
0
0
0
0
0
0
0
13
20
20
20
20
20
20
20
20
0
Tiempo (s)
0
0,0018 0556 1
0,00427 35 1,53846 154
0,00683 761 2
0,01239 316 3
0,01489 595 3,45050 216
0,01794 872 4
0,02350 427 5
0,02659 069 5,55555 556
0,02905 983 6
Luego, se puede graficar nuevamente, incluyendo ese valor, y ver si coincide con el corte de las líneas, para ver la precisión del valor obtenido en el tiempo buscado. Dependiendo del tamaño del gráfico (se nota más a medida que el gráfico se más grande), se puede ver la separación de las rectas y cómo ésta aumenta o disminuye con el tiempo. Se puede ver que la distancia entre los vehículos aumenta a medida que la bicicleta acelera, pero disminuye desde que la bicicleta se fija a rapidez constante. Por tanto, dicha distancia, obtenida de la misma forma en la Manera “A”, es la siguiente: x = x22 – x12 =
= 0,002337 mi
