MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN El método de superposición es una técnica práctica de uso común para obtener deflexiones y ángulos de rotación de vigas. El concepto subyacente es muy simple y se puede enunciar así: En condiciones adecuadas, la deflexión de una viga producida producida por varias cargas diferentes que actúan de manera simultánea se puede determinar superponiendo las deflexiones producidas por las mismas cargas al actuar por separado. Por ejemplo, si v1 representa la deflexión en un punto particular en el eje de una viga debida a una carga q1 y si v2 representa la deflexión en el mismo punto debida a una carga diferente q2, entonces la deflexión en ese punto debida a las cargas q1 y q2 en acción simultánea es v1 + v2. (Las cargas q1 y q2 son independientes y cada una puede actuar en cualquier parte a lo largo
P q A
B
C L — 2
L — 2 (a)
y C
A
B
d C u A
x
u B
L — 2
L — 2 (b)
FIGURA 9.16 Viga simple con dos cargas.
del eje de la viga.) La razón para superponer deflexiones se basa en la naturaleza de las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión. Éstas son ecuaciones diferenciales lineales, debido a que todos los términos que contienen la deflexión v y sus derivadas están elevados a la primera potencia. Por tanto, las soluciones de estas ecuaciones para varias condiciones de carga se pueden sumar de manera algebraica, o superponer . (Las condiciones para que la superposición sea válida se describen más adelante en la subsección “Principio de superposición”.) Como ejemplo del método de superposición, considere la viga simple ACB que se muestra en la figura 9.16a. Esta viga soporta dos cargas: (1) una carga uniforme con intensidad q que actúa sobre todo el claro y (2) una carga concentrada P que actúa a la mitad del claro. Suponga que queremos encontrar la deflexión dC en el punto medio y los ángulos de rotación u A y u B en los extremos (figura 9.16b). Al utilizar el método de superposición obtenemos los efectos de cada carga al actuar de manera independiente y luego combinamos los resultados. Para la carga uniforme que actúa sola, la deflexión en el centro del claro y los ángulos de rotación se obtienen con las siguientes fórmulas obtenidas del catálogo: (d C )1
5q L4
(u A)1
384 E I
(u B)1
q L3 24 E I
en donde EI es es la rigidez a la flexión de la viga y L es su longitud. Para la carga P que actúa sola, las cantidades correspondientes se obtienen con las siguientes fórmulas obtenidas del catálogo: P L
(d C )2
3
2
(u A)2
48 E I
(u B)2
P L
16 E I
La deflexión y los ángulos de rotación debidos a las cargas combinadas (figura 9.16a) se obtienen sumando sus valores individuales: d C
u A
(d C )1
u B
(d C )2
(u A)1
(u A)2
5q L4 384 E I q L3 24 E I
P L3 48 E I P L2 16 E I
(a)
(b)
Las deflexiones y los ángulos de rotación en otros puntos en el eje de la viga se pueden determinar mediante este mismo procedimiento. Sin embargo, el método de superposición no está limitado a encontrar deflexiones y ángulos de rotación en puntos individuales. El método también se puede emplear para obtener ecuaciones generales para las pendientes y deflexiones de vigas sometidas a más de una carga.
Tablas de deflexiones de vigas El método de superposición es útil sólo cuando se dispone de fórmulas para deflexiones y pendientes. Para proporcionar un acceso conveniente a las fórmulas, se incluye un catálogo donde se encuentran tablas para vigas en voladizo y simples. Tablas similares se encuentran en manuales de ingeniería. Con estas tablas y utilizando el método de superposición podemos obtener deflexiones y ángulos de rotación para muchas condiciones de carga distintas. Principio de superposición El método de superposición para encontrar deflexiones en vigas es un ejemplo de un concepto más general conocido en mecánica como principio de superposición. Este principio es válido siempre que la cantidad por determinar sea una función lineal de las cargas aplicadas. Cuando ese es el caso, la cantidad deseada se puede determinar considerando que cada carga actúa por separado y luego estos resultados se pueden superponer para obtener la cantidad deseada debida a todas las cargas en acción simultánea. En estructuras ordinarias es usual que el principio sea válido para esfuerzos, deformaciones unitarias, y momentos flexionantes, y muchas otras cantidades además de deflexiones. En el caso particular de deflexiones de vigas, el principio de superposición es válido con las condiciones siguientes: (1) la ley de Hooke es válida para el material, (2) las deflexiones y rotaciones son pequeñas, y (3) la presencia de las deflexiones no altera las acciones de las cargas aplicadas. Estos requisitos aseguran que las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión sean lineales.
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN EN VIGAS HIPERESTÁTICAS El método de superposición es de importancia fundamental en el análisis de barras, armaduras, vigas, marcos y muchos otros tipos de estructuras estáticamente indeterminadas. En esta sección aplicaremos el método a vigas.
q
A
B
M A R A
R B
L (a)
B
A (b)
q
(d B)1 (c)
(d B)2 R B (d) FIGURA 10.12 Análisis de una viga
en voladizo apuntalada por el método de superposición con la reacción R B seleccionada como la redundante.
Iniciaremos el análisis observando el grado de indeterminación estática y seleccionando las reacciones redundantes. Luego, al haber identificado las redundantes, podemos escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen las otras reacciones desconocidas con las redundantes y las cargas. A continuación suponemos que tanto las cargas originales como las reacciones redundantes actúan sobre la estructura liberada y encontramos las deflexiones superponiendo las deflexiones separadas debidas a las cargas y a las redundantes. La suma de estas deflexiones debe ser igual a las deflexiones en la viga original. Sin embargo, las deflexiones en la viga original (en los puntos donde se eliminaron restricciones) son cero o tienen valores conocidos. Por tanto, podemos escribir ecuaciones de compatibilidad (o ecuaciones de superposición) que expresen el hecho de que las deflexiones de la estructura liberada (en los puntos donde se eliminaron las restricciones) son iguales que las deflexiones en la viga original (en esos mismos puntos). Como la estructura liberada es estáticamente indeterminada, es fácil determinar sus deflexiones empleando las técnicas ya conocidas. Las relaciones entre las cargas y las deflexiones de la estructura liberada rse denominan relaciones fuerza-desplazamiento . Al sustituir estas relaciones en las ecuaciones de compatibilidad, obtenemos ecuaciones en las que las redundantes son las cantidades desconocidas. Por tanto, en esas ecuaciones podemos despejar las reacciones redundantes. Después, conocidas las redundantes, podemos determinar todas las otras reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio. Además, partiendo del equilibrio podemos determinar también las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes. Los pasos descritos en términos generales en los párrafos anteriores se aclaran considerando un caso particular, el de una viga en voladizo apuntalada que soporta una carga uniforme (figura 10.12a). Se observan dos casos, el primero con la fuerza de reacción R B seleccionada como la redundante y el segundo con el momento de reacción M A como el redundante.
Comentarios generales El método de superposición descrito en esta sección también se denomina método de la flexibilidad o método de la fuerza. Este último nombre se origina del uso de las cantidades de fuerza (fuerzas y momentos) como las redundantes; el primer nombre se utiliza debido a que los coeficientes de las cantidades desconocidas en la ecuación de compatibilidad (términos como L3/3 EI en la ecuación f y L/3 EI en la ecuación j) son flexibilidades (es decir, deflexiones o ángulos producidos por una carga unitaria). Dado que el método de superposición comprende la superposición de deflexiones, sólo es aplicable a estructuras linealmente elásticas.
P RO CE DI MI EN TO DE AN L IS IS El siguiente procedimiento proporciona un medio para aplicar el método de superposición (o el método de fuerza) para determinar as reacc ones en v gas o e es estát camente n eterm na os.
q
Curva e ástica. A
B
M A R A
L
R B
Mediante el principio de superposición, dibuje la viga estáticamente indeterminada y muéstrela como una secuencia de las correspondientes vigas estáticamente etermina as.
(a)
A
Especifique las fuerzas o momentos redundantes desconocidos que deben retirarse de la viga con el fin de hacerla estáticamente eterm na a y esta e.
B
(b)
q
La primera de estas vigas, la viga primaria, soporta las mismas caras externas que a v ga estát camente n eterm na a, y ca a una de las otras vigas “agregadas” a la viga principal muestra la viga cargada con una fuerza o momento redundante independiente. Bosque e a curva e ef ex ón para ca a v ga e n que e manera simbólica el desplazamiento (pendiente) en el punto de cada fuerza redundante momento .
Ecuaciones e compati i i a . (u A)1 (c)
(u A)2
Escriba una ecuación de compatibilidad para el desplazamiento (pendiente) en cada punto donde haya una fuerza (momento) re un ante.
Ecuaciones de carga-desplazamiento.
• Relacione todos los desplazamientos o pendientes con las fuerzas o momentos usando las fórmulas del catálogo.
M A
(d)
• Sustituya los resultados en las ecuaciones de compatibilidad y despeje las redundantes desconocidas.
• Si el valor numérico de una redundante es positivo, tiene el mismo FIGURA 10.13 Análisis de una viga en
voladizo apuntalada mediante el método de superposición con la reacción de momento M A seleccionada como la redundante.
sentido que la dirección supuesta originalmente. Del mismo modo, un valor numérico negativo indica que la redundante actúa en sentido opuesto al sentido de la dirección supuesta.
Ecuaciones de equilibrio. Una vez que se han determinado las fuerzas y/o los momenos redundantes, las reacciones desconocidas restantes pueden encontrarse a partir de las ecuaciones de equilibrio aplicadas a las cargas que se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la viga.
