FACULTAD DE POSTGRADO ASIGNACIÓN:
EJERCICIOS 2: DEFLEXIONES A LARGO PLAZO EN UNA VIGA CONTINUA
SUSTENTADO POR: DANIEL ENRIQUE MENDOZA CORRALES
11513079
DISEÑO ESTRUCTURAL
CATEDRÁTICO: CATEDRÁTICO: MIE, OSCAR SANCHEZ
8 DE JUNIO DE 2016 TEGUCIGALPA, M.D.C.
HONDURAS, C.A.
INTRODUCCION Si una viga se deja bajo carga sostenida durante un largo periodo de tiempo se observa que se forman nuevas grietas se abren más las grietas existentes y las deflexiones aumentan hasta duplicar o triplicar su magnitud. Se presenta el procedimiento del cálculo de deflexiones a largo plazo para una carga sostenida del 30% de la carga viva para un período de tiempo de 4 años. El Modelo se ha r ealizado con la ayuda del programa ETABS 9.7.4 de donde obtenemos los esfuerzos de flexión del análisis estructural.
DEFINICION DEL PROBLEMA
Se continua el análisis de la viga previamente diseñada en la tarea anterior.
CONSIDERACIONES: La viga se diseñó para una sección de 50x25cm Se utilizarán las especificaciones CHOC-08 γc = 2,500 Kg/m3 Caso 1 f´c = 210 kg/cm2
fy = 2,800 kg/cm2
Caso 2 f´c = 280 kg/cm2
fy = 4,200 kg/cm2
PROCEDIMIENTO A SEGUIR: 1. 2. 3. 4.
Calcule la deflexión instantánea o de corto plazo δD sólo para carga muer ta. Calcule la deflexión instantánea δD+L para carga muerta más carga viva total. Determine la deflexión instantánea δL sólo para carga viva total. Calcule la deflexión instantánea por carga muerta más la parte permanente de la carga viva δD + δSL. 5. Determine la deflexión instantánea δL para la parte permanente de la carga viva. 6. Determine la deflexión a largo plazo por carga muerta más la parte permanente de la carga viva δLT.
Desarrollo General En primera instancia debemos calcular del análisis estructural de la viga, los momentos actuantes para cada una de las estaciones definidas en nuestras vigas, dichas estaciones coinciden con las zonas donde los momentos actuantes son máximos (fig.1), para ello definiremos los momentos por estación positivos y negativos de nuestro modelo en ETABS. Para ello consideraremos las condiciones de carga en servicio correspondientes a la carga muerta (DL), a la carga de servicio que es la permanente más la carga viva (DL+LL), y por último la carga sostenida correspondiente a la carga permanente más un 30% de la carga viva.
Fig. 1 Estaciones para momentos máximos positivos y negativos A continuación, presentamos los momentos t abulados:
Estación 2.5 5 7.5 10 12 14
DL (kg-m) 3,942.26 5,738.10 2,507.17 2,575.68 97.06 4,625.00
M+ MM+ MM+ M-
DL+LL (kg-m) 5,176.12 7,528.45 3,180.56 3,501.06 284.60 5,925.00
M+ MM+ MM+ M-
DL+0.3LL (kg-m) 4,312.42 6,275.21 2,709.19 2,853.29 153.32 5,015.00
M+ MM+ MM+ M-
Ahora debemos evaluar el módulo de ruptura del hormigón el cual se define en el CHOC-08 Eq 2.9-9 como fr = 1.99(f´c)0.5 kg/cm2 y su respectivo módulo de elasticidad Ec=15100 (f´c)0.5 kg/cm2 y tomando Es=2,030,000 kg/cm2CHOC-08 2.8.5.1. Calculamos también la relación entre los módulos de elasticidad para determinar la sección transformada equivalente de acero a concreto.
Caso f´c fy fr Ec n 1 210 2800 28.84 218,819.79 9.28 2 280 4200 33.30 252,671.33 8.03 Ahora procederemos al cálculo de los momentos de inercia para la sección completa agrietada, para esto haremos uso de la tabla 1, la cual nos muestra que, para las condiciones de viga rectangular simplemente reforzadas, como se debe proceder para dicho calculo. Para ello también necesitaremos las cuantías de acero resultantes del diseño por flexión.
tabla. 1 Momento de inercia para sección completa y agrietada cabe destacar que cuando el Momento crítico sea mayor que el momento actuante, se deberá utilizar la Inercia de la sección completa Ig = bh3/12 = 260,416.7 cm4. El Momento crítico se define como Mcr = fr Ig / yt CHOC-08 Eq 2.9-8
Caso 1 2
Mcr kg-m
3,003.94 3,468.65 La inercia efectiva se calcula mediante la expresión CHOC-0 8 2.9-7 para cada una de las estaciones definidas. 3 M 3 Mcr I g 1 cr I cr I e Ma Ma
Dado que se trata de una viga con tinua, el código nos permite tomar una inercia efectiva promedio para el cual utilizaremos el criterio expresado en el ACI 435R 2.5.2.2, donde se toma en consideración la continuidad del elemento basado en: •
Miembros continuos en ambos extremos •
•
= 0.70 + 0.15 ( + 2)
Para miembros continuos en un extremo •
= 0.85 + 0.15
Ie =Momento de inercia efectivo Icm =Momento de inercia efectivo en el centro d e la luz Ie + Ie2=Momento de inercia efectivo en los extremos continuos del elemento Icon=Momento de inercia efectivo en el extremo continuo del elemento.
Una vez obtenida la inercia promedio se procederán a calcular las deflexiones instantáneas en cada estación critica (centro de los claros y voladizo), para ello nos apoyaremos de igual forma en los comentarios del código ACI ’83 sobre el articulo 9.5.2.4:
Calculadas las deflexiones instantáneas podremos proceder al cálculo de las deflexiones a largo plazo, basándonos en el procedimiento especificado en el CHOC-08 2.9-10
1 + 50
Donde deberá permitirse suponer que el factor dependiente del tiempo de la aplicación de las cargas sostenidas sea igual a: • • • •
5 años o más 12 meses 6 meses 3 meses
2.0 1.4 1.2 1.0
donde λ es el factor que modifica a la deflexión sostenida tomándose el valor máximo de 2 para la carga muerta y el λt dependiente del tiempo (4 años en nuestro caso) para la porción de la carga viva sostenida. De manera que la deflexión a largo plazo se expresa de esta forma:
• • •
δlt= Deflexión a largo plazo δL=Deflexión inicial por la carga viva δD= El
multiplicador por la deflexión por carga muerta
El multiplicador por la deflexión debido a la carga viva permanente Se deben cumplir los criterios sobre los limites aceptables para deflexiones de la tabla CHOC-08 9.5-b •
t δsl=
MEMORIA DE CÁLCULOS CASO 1: Inercias criticas
Estación As (cm2) d (cm) 7.68 44.14 2.5 11.09 43.15 5 5.7 44.10 7.5 5.7 44.10 10 2.54 44.42 12 8.55 44.10 14
B
kd
Icr (cm4)
0.35 0.24
13.27 15.17
87,361.97 109,649.14
0.47 0.47
11.71 11.71
68,848.59 68,848.59
1.06 0.32
8.26 13.85
35,498.40 94,709.08
NOTA: Los valores de As y d, se obtienen del diseño pro flexión, remítase a la tarea anterior. Inercias efectivas de acuerdo con CHOC-08 2.9-7
MCr/Ma DL+LL Estación DL 0.76 0.58 2.5 0.52 0.40 5 1.20 0.94 7.5 1.17 0.86 10 30.95 10.55 12 0.65 0.51 14
Inercia Efectiva DL+0.3LL 0.70
DL 163,925.52
DL+LL 121,187.50
DL+0.3LL 145,853.82
0.48 1.11
131,280.20 260,416.67
119,226.94 230,242.23
126,187.73 260,416.67
1.05 19.59
260,416.67 260,416.67
189,852.79 260,416.67
260,416.67 260,416.67
0.60 140,111.77 116,304.01 NOTA: para las estaciones donde Mcr/Ma>1, la Inercia a utilizar es IG
130,321.71
Inercias Promedio ACI 435R 2.5.2.2
Inercia Efectiva Promedio DL+LL DL+0.3LL Estación DL 159,028.73 120,893.42 142,903.90 2.5 241,046.20 207,531.52 240,282.33 7.5 242,370.93 228,215.19 240,902.42 12 140,111.77 116,304.01 130,321.71 14 NOTA: para el voladizo utilizamos la Inercia efectiva en la estación 14 (apoyo). Las deflexiones instantáneas en cm son DL+LL (kg-m) DL+0.3LL (kg-m) l (m) K Estación DL (kg-m) 3,942.26 5,176.12 4,312.42 5 0.71 2.5 2,507.17 3,180.56 2,709.19 5 0.85 7.5 97.06 284.60 153.32 4 0.85 12 4,625.00 5,925.00 5,015.00 2 2.40 14
δDL
δLL+DL
δDL+0.3LL
0.209
0.361
0.255
0.105 0.003
0.155 0.008
0.114 0.004
0.151
0.233
0.176
La deflexión instantánea debida a la carga viva se obtiene de la diferencia de la deflexión en servicio menos la deflexión debido a cargas permanentes, bajo la premisa que la carga viva no puede actuar sola sin el efecto de la carga permanente.
Estación l (m) 5 2.5 5 7.5 4 12 2 14
δLL
0.152 0.050 0.005 0.082
l/180
l/360
2.78 2.78 2.22 1.11
1.39 1.39 1.11 0.56
Observamos entonces que, para los limites debido al efecto instantáneo de la carga viva, no se superan los límites de L/180 ni L/360 de la tabla 9.5-b CHOC-08. Ahora procedemos al cálculo de las deflexiones a largo plazo, para ello necesitamos los valores de λ, así como las deflexiones debido a la carga viva, la carga permanente y debido al 30% de la carga viva. De la gráfica podemos observar que para: ξ = 2 y para ξ t=48 = 1.75 ∞
por tanto λ = 2 y λ t=48 = 1.75, debido a que las vigas son simplemente reforzadas. ∞
Estación l (m) 2.5 7.5 12 14
δLL
δDL
δ0.3LL
l/480 l/240
5 5
0.152 0.050
0.209 0.105
0.045 0.009
0.65 0.28
1.04 1.04
2.08 2.08
4 2
0.005 0.082
0.003 0.151
0.002 0.025
0.01 0.43
0.83 0.42
1.67 0.83
Para la limitación de deflexión l/480, el voladizo no cumple, en el resto de condiciones la viga cumple con las limitaciones debido a la carga sostenida a largo plazo.
MEMORIA DE CÁLCULOS CASO 2: Inercias criticas
Estación As (cm2) 5.08 2.5 7.68 5 3.81 7.5 3.81 10 3.81 12 7.68 14
d (cm)
B
Icr (cm4)
kd
44.42 44.14
0.61 0.41
10.52 12.50
56,591.55 78,039.42
44.42 44.42
0.82 0.82
9.28 9.28
44,447.04 44,447.04
44.42 0.82 9.28 44,447.04 44.14 0.41 12.50 78,039.42 NOTA: Los valores de As y d, se obtienen del diseño pro flexión, remítase a la tarea anterior. Inercias efectivas de acuerdo con CHOC-08 2.9-7
MCr/Ma DL+LL Estación DL 2.5 0.88 0.67 5 0.60 0.46 7.5 1.38 1.09 10 1.35 0.99 12 35.74 12.19 14 0.75 0.59
Inercia Efectiva DL+0.3LL
DL
DL+LL
DL+0.3LL
0.80 0.55
195,428.31 118,324.93
117,929.18 95,877.05
162,657.92 108,840.75
1.28 1.22
260,416.67 260,416.67
260,416.67 254,475.47
260,416.67 260,416.67
22.62
260,416.67
260,416.67
260,416.67
0.69 154,973.37 114,631.59 NOTA: para las estaciones donde Mcr/Ma>1, la Inercia a utilizar es IG
138,384.30
Inercias Promedio ACI 435R 2.5.2.2
Inercia Efectiva Promedio DL+LL DL+0.3LL Estación DL 2.5 183,862.81 114,621.36 154,585.35 7.5 239,102.91 234,844.54 237,680.28 12 244,600.17 237,657.73 242,111.81 14 154,973.37 114,631.59 138,384.30 NOTA: para el voladizo utilizamos la Inercia efectiva en la estación 14 (apoyo). Las deflexiones instantáneas en cm son DL+LL (kg-m) DL+0.3LL (kg-m) l (m) K Estación DL (kg-m) 2.5 3,942.26 5,176.12 4,312.42 5 0.71 7.5 2,507.17 3,180.56 2,709.19 5 0.85 12 97.06 284.60 153.32 4 0.85 14 4,625.00 5,925.00 5,015.00 2 2.40
δDL
δLL+DL
δDL+0.3LL
0.157
0.330
0.204
0.092 0.002
0.119 0.007
0.100 0.004
0.118
0.205
0.143
La deflexión instantánea debida a la carga viva se obtiene de la diferencia de la deflexión en servicio menos la deflexión debido a cargas permanentes, bajo la premisa que la carga viva no puede actuar sola sin el efecto de la carga permanente.
Estación l (m) 2.5 5 7.5 5 12 4 14 2
δLL
l/180
l/360
0.173 0.027 0.004 0.086
2.778 2.778 2.222 1.111
1.389 1.389 1.111 0.556
Observamos entonces que, para los limites debido al efecto instantáneo de la carga viva, no se superan los límites de L/180 ni L/360 de la tabla 9.5-b CHOC-08. Ahora procedemos al cálculo de las deflexiones a largo plazo, para ello necesitamos los valores de λ, así como las deflexiones debido a la carga viva, la carga permanente y debido al 30% de la carga viva. De la gráfica podemos observar que para: ξ = 2 y para ξ t=48 = 1.75 ∞
por tanto λ = 2 y λ t=48 = 1.75, debido a que las vigas son simplemente reforzadas. ∞
Estación l (m) 2.5 7.5 12 14
δLL
δDL
δ0.3LL
l/480 l/240
5 5
0.173
0.157
0.047
0.57
1.04
2.08
0.027
0.092
0.008
0.22
1.04
2.08
4 2
0.004
0.002
0.001
0.01
0.83
1.67
0.086
0.118
0.025
0.37
0.42
0.83
Observamos como para todas las condiciones de la viga se cumple con las limitaciones debido a la carga sostenida a largo plazo.
CONCLUSIONES
La deflexión debido a la carga viva y debido a cargas sostenidas a largo plazo (30% de carga viva adicional a la permanente) para un período de 48 meses (4 años) han sido evaluadas para ambos casos en donde las resistencias de los materiales como el hormigón y el acero de refuerzo tienen menos resistencia (caso 1 f ’c 210 + fy 2,800kg/cm2) con respecto a otro, se puede observar que el aumento en la resistencia del hormigón es el factor determinante para que existe un incremento proporcional a la resistencia, que se traduce en un aumento del módulo de elasticidad del material y esto hace que las inercias efectivas se incrementen hasta en un 15%, lo cual nos permitió, para la limitante de deflexión debido a cargas sostenidas a largo plazo l/480, cumplir en el caso 2 debido a que en el caso 1 fue la única condición que no se cumplió.
El método para promediar las inercias efectivas propuesto por los comentarios del ACI 435, resultan acorde al criterio que la Inercia del centro del claro tiene una mayor contribución para el cálculo de la deflexión con respecto a los apoyos aledaños al claro, coincidiendo con lo que nos indica el CHOC-08, el cual permite que para elementos continuos y prismáticos, se permite tomar Inercia efectiva
como el valor obtenido de la ecuación (2.9-7) en el centro de la luz para tramos
simples y continuos, y en el punto de apoyo para voladizos. CHOC-08 2.9.5.2.4.
Un enfoque más conservador puede ser tomado en cuenta al momento de promediar las Inercias efectivas, será el de tomar los promedios absolutos, con esto se garantiza que, para ciertos casos, las inercias serán menores y en consecuencia, las deformaciones aumentaran; a mi criterio este método puede ser aplicado si nos encontramos con una estructura sobre la cual descansaran elementos no estructurales muy susceptibles a daños o en edificios cuyo nivel de importancia lo requiera.
