CALCULO DE GIROS Y DEFLEXIONES
Método de Doble Integración
El método de la doble Integración consiste en encontrar la ecuación de la curva elástica (d2vdx2=MEI) por medio de una serie de integraciones sucesivas para determinar las deflexiones y rotaciones.
Para cada integración es necesario introducir una constante, estas constantes se resuelven por unas condiciones conocidas como condiciones de frontera.
Primera Integración:
d2vdx2dx=MEIdx
dvdx=MxEI+C1=θ
Segunda Integración:
dvdxdx=[MxEI+C1]dx
v=Mx22EI+C1x+C2=
Donde,
Δ=Ecuación de la deflexión de la viga
EI= constante a lo largo de la viga
Las condiciones de frontera son los valores de las deformaciones que dependen de las condiciones de apoyo de la viga, y de condiciones de continuidad de la viga.
Ejemplo 1: Deformaciones en un voladizo por el método de integración
Datos:
Curva Elástica
θA=0
γA=0
Diagrama de momentos flexionantes
y9 ton/m
y
9 ton/m
(-)
(-)
6 ton
Mx=-9+6x-wx22=-9+6x-x2
Cálculo de Rotaciones y Deflexiones
θ=MEIdx=1EI(-9+6x-x2)dx=1EI(-9x+6x22-x33+C1)
γ=MEIdx=1EI(-9x+3x2-x33+C1)dx
γ=1EI92x2+33x3-112x4+C1x+C2
Si θA=0, θ=0 Para x=0, C1=0
Si γA=0, γ=0 Para x=0, C2=0
Deflexión máxima: x=3m
θ=1EI-9x+3x2-x33
γ=1EI-92x2+x3-x124
γB=1EI-812+27-8112=1EI-486+2712-8112=-814EI
Rotación a la mitad del claro: x=1.5 m
θ=1EI-91.5+3(1.5)2-1.523=-7.87EI
Metodo Área de Momento
Este método también conocido como teorema de Mohr o teorema de Green fue planteado desde un principio por Otto Mohr y posteriormente en 1872 establecido por Charles E. Green.
Conceptualmente este método está basado en la relación que existe entre los momentos flectores generados por un sistema de cargas y las deformaciones que se generan en la estructura, logrando calcular las rotaciones y deflexiones a partir del diagrama de momento.
El método de área de momento está definido por los siguientes teoremas:
Teorema de las variaciones angulares
Este teorema es aplicable en aquellas partes de la curva elástica donde no se presentan discontinuidades.
θB-θA=xAxBMxEIdx
Teorema del primer momento de área
BA=-xAxBMxEI(x-x)dx
El momento estático se puede calcular de forma muy simple multiplicando el área bajo la curva del diagrama de momentos comprendido entre los puntos A y B por la distancia desde su centroide hasta el punto donde se desea calcular la deflexión.
Ejemplo 2. Cálculo de la rotación y la deflexión en el extremo de un voladizo con momento de inercia variable.
5 Ton10 TonDatos:
5 Ton
10 Ton
ACB
A
C
B
2 m2 m
2 m
2 m
Calcular la rotación en C, la deflexión en B y la deflexión en C.
Curva elásticaAtABtBA= BBCtCA= CθAC=θC
A
tAB
tBA= B
B
C
tCA= C
θAC=θC
Diagrama de M y de M/EI
40 ton-m10 ton-mM-(-)
40 ton-m
10 ton-m
M
-
(-)
IBC=44537 cm4
IBC=44537+2*30*0,64(23,3+0,32)2=65960 cm4
315,2/E
3
15,2/E
M/EI60,6/E200 cm200 cm12
M/EI
60,6/E
200 cm
200 cm
1
2
Cálculo de θC
θAC=θC
θAC=area1+area2+area3
=-1E200*22,42+60,6*2002+15,2*2002=-9820E kg/cm2
θAC=θC=-98202*106=-0,00491 rad=-0,28°
Cálculo de B
tBA= B=-1E60,6*2002*23*200+15,2*2002*13*200
tBA= B=-909333E=-9093332*106=-0,45 cm
Cálculo de C
tCA= c=-1E60,6*2002*200*23*200+15,2*2002*200*13*200+22,4*2002*23*200
tCA= C=-2724000E=-27240002*106=-1,36 cm
Método de Viga Conjugada
La viga conjugada es una viga ficticia estáticamente determinada de longitud igual a la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado al lado de la comprensión.
Desarrollado por Otto Mohr en 1868, básicamente este método se basa en la analogía que existe entre carga, momento flexionante, fuerza cortante, pendiente y deflexión, como lo indica:
EIy=Deflexión Ordenada elástica
EIdydx=Pendiente θ
EId2ydx2=Momento M
EId3ydx3=Fuerza Cortante V=dMdx
EId4ydx4=Carga =dVdx
Este método consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego, dando corte y aislando unas de las partes de mejor conveniencia, se obtiene el cortante que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.
Ejemplo 3: Determine la deflexión máxima para la viga mostrada por el método de viga conjugada. EI=cte; E=200Gpa; I=700(106)mm4
120 k
120 k
AC
A
C
B
B
Se calcula la reacción en el apoyo A de la viga conjugada aplicando la ecuación de equilibrio ΣMC=0 y se determina que:
ΣMC=0
Ay15=-1EI1240010103+5+124005(103)=0
Ay=1333,33 KN-m2EI
400/EI
400/EI
BCA
B
C
A
La localización del momento flector máximo en la viga conjugada se representa en el punto D, localizado a una distancia Xm del apoyo izquierdo.BXAC5 m10 m
B
X
A
C
5 m
10 m
Considerando el diagrama de la viga conjugada tenemos que:
SD=1EI-1333,33+1240xmxm=0
La deflexión máxima de la viga real al momento flexionante máximo en la viga conjugada, el cual se puede determinar al considerar xm=8,16 m. Tenemos que:
ΣMD=1EI-1333,338,16+1/2(40)(8,16)28,163=7244,51 kN-m3EI
Por lo tanto, la deflexión de la viga real será:
ΔC=-7244,51 kN-m3EI=7244,51 200(700)=-0,0517 m=-51,17 mm
Bibliografía: Análisis estructural-Ing. Jorge Buzón Ojeda
UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC
Taller de estructuras
Calculo de giros y Deflexiones por los métodos;
Doble Integración
Área de momento
Viga conjugada
Presentado por:
Yohana Castillo Almanza
Curso:
Lunes 2:30
Presentado a:
Ing. Andrés Galán
Barranquilla-Atlántico
2015
