Diseno de Vigas - Parte 1

Mecánica de Sólidos II Diseño de Vigas (Parte 1)

Índice de Contenido • • • •

Introducción Seccion iones Ec Económica icas Dise Diseño ño de Vigas igas Pris Prismá mátitica cass Dise Diseño ño de Vigas igas de de Dife Difere rent ntes es Mate Materi rial ales es

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Introducción

Flexión en Vigas

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Flexió Flexión n simétr simétrica ica en en vigas vigas prod produce uce dos dos tipos tipos de de esfue esfuerzos rzos:: norma normall y cortante – Esfuerzo normal por flexión: σ f f = My/I M : momento interno en la sección de la viga y : distancia del eje neutro a la fibra donde el esfuerzo normal actúa I : Momento de inercia de área de la sección s ección trasversal de la viga

– Esfuerzo cortante horizontal: τ = VQ/Ib V : fuerza cortante en la sección Q = A’ ȳ A’ : área por encima del plano contra el cual el esfuerzo cortante actúa ȳ : distancia distancia desde el eje neutro a el centroide de el área I : momento de inercia de área de la sección s ección trasversal de la viga b : ancho de la viga

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Secciones Económicas

Economía • Estimaciones de los costos – Hay muchas formas de obtener las cifras relativas de los costos, de manera que dos o más diseños se comparan aproximadamente. – Se utilizan muchos estimadores de costos, según sea la aplicación, como área, volumen, peso, potencia, par de torsión, capacidad, velocidad y diversas relaciones de desempeño.

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Diseño de Vigas Prismáticas

Perfiles Comerciales •

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En una viga de sección rectangular o circular, las fibras situadas en la proximidad del E. N. están sometidas a un esfuerzo muy pequeño comparado con el esfuerzo en la parte superior o en la inferior. El hecho de que una gran parte de la sección esté poco aprovechada las hace poco apropiadas para trabajar a flexión. La fórmula de la flexión, M = σl/c, muestra que si el área de la sección rectangular (figura (a)) pudiera distribuirse de manera que la viga siguiera teniendo la misma altura, pero con la forma indicada en la figura, el momento de inercia aumentaría muchísimo, por lo que el momento flexionante que podría soportar sería mucho mayor.

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Físicamente, el incremento de momento resistente es debido a que hay muchas más fibras a mayor distancia del E. N., fibras que soportarán un esfuerzo mayor, y con un brazo de momento también mayor respecto del E. N. Sin embargo, la sección de la figura (b) no es realizable; las dos partes en que ha quedado dividida no pueden estar aisladas. Es necesario emplear parte del área en la s ujeción, como se indica en la figura (c). Se verá más adelante cómo el área del alma soporta prácticamente l a totalidad de la fuerza cortante vertical, y se estudiará cómo determinar sus dimensiones.

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Al escoger una determinada sección para aplicarla como viga es necesario decir que el momento que puede resistir, M r = σl/c = σS , debe ser igual o mayor que el momento flexionante máximo aplicado M. Esta condición puede expresarse por la desigualdad: S ≥ M/σ

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Que indica que la sección debe elegirse de manera que su módulo resistente (S) sea igual o mayor que la relación del momento flexionante al esfuerzo admisible.

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Perfiles Comerciales • Perfiles H (vigas de ala ancha), americanos (W)

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Diseño de Vigas Prismáticas Problema

Una viga de acero simplemente apoyada de 5 m de largo, AD, debe soportar las cargas distribuida y concentrada que se muestran en la figura. Si el esfuerzo normal permisible para el grado de acero utilizado es de 160 MPa, seleccione el perfil de patín ancho que deberá utilizarse. /m

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Propiedades de perfiles H (vigas de ala ancha), americanos (W)

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Dos canales métricos de acero laminado se sueldan a lo largo de sus bordes y se emplean para soportar las cargas que se muestran en la figura. Si se sabe que el esfuerzo normal permisible para el acero utilizado es de 150 MPa, determine los canales más económicos que pueden utilizarse.

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Propiedades de perfiles C

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Problema

Dos ángulos L102 X 76 de acero laminado se sujetan con pernos para soportar las cargas que se ilustran en la figura. Si se sabe que el esfuerzo normal permisible para el acero utilizado es de 140 MPa, determine el mínimo espesor del ángulo que puede utilizarse.

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Problema

Dos secciones laminadas W4 X 13 se unen con soldadura como se indica en las figuras. Sabiendo que para la aleación de acero utilizada σ U = 58 ksi y utilizando un factor de seguridad de 3.0 determine el máximo par que puede aplicarse cuando el ensamble se flexiona alrededor del eje z .

Caso (a)

Caso (b) 15


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Problema

Calcule el esfuerzo de tensión máximo σ t y el esfuerzo de compresión máximo σ c, debidos a las cargas, para la viga en voladizo mostrada en la figura.

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Problema

Un eje de 100 mm de diámetro que gira a 30 r/s esta sometido a unas cargas de flexión que le producen un momento flexionante máximo de 2500 π N•m. Calcular el par torsor máximo y la potencia máxima que puede actuar al mismo tiempo sobre el eje, sin que el esfuerzo cortante exceda de 80 MPa ni el esfuerzo normal de 100 MPa.

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Problema

Un eje macizo se somete a flexión y torsión simultáneas, por un momentó torsionante T y un momento flexionante M . Expresar el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal máximo resultantes, en función de T , de M y de radio r del eje. Aplicar las relaciones obtenidas al caso de un eje sometido a un T = 1200 N m y M = 900 N m, para determinar su diámetro, si los esfuerzos admisibles son de 70 MPa a cortante y 100 MPa a flexión.

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Problema

Diseñar un eje circular macizo que pueda soportar las cargas indicadas en la figura si τmáx ≤ 70 MPa y σmáx ≤ 120 MPa. Las correas de transmisión de las poleas B y C son verticales y las de la polea E son horizontales. Se desprecian el peso de las poleas y el del árbol.


Problema

Una viga ABC con un voladizo de B a C soporta una carga uniforme de 200 lb/ft en toda su longitud (consulte la figura). La viga es una sección en canal con las dimensiones que se muestran en la figura. El momento de inercia con respecto al eje z (el eje neutro) es igual a 8.13 in 4. Calcule el esfuerzo de tensión máximo σ t y el esfuerzo de compresión máximo σ c debidos a la carga uniforme.

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Seleccionar el perfil W más ligero que puede soportar la carga indicada en la figura sin exceder el esfuerzo admisible de 120 MPa. Determinar el esfuerzo real en el perfil escogido. Suponga que la viga está arriostrada adecuadamente para evitar la deflexión lateral.

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Vigas de Diferentes Materiales

Vigas de Diferentes Materiales La teoría de la flexión estudiada no se puede aplicar directamente a las vigas compuestas (o de varios materiales), ya que aquella se basa en la hipótesis de homogeneidad de la viga, lo que lleva consigo que, al permanecer planas las secciones planas, las deformaciones sean directamente proporcionales a la distancia a la línea neutra, y lo mismo ocurre con los esfuerzos. En el estudio de las vigas compuestas se hace la misma hipótesis de que las secciones planas permanecen planas, es decir, que la deformación es directamente proporcional a la distancia a la línea neutra, pero no ocurre igual con los esfuerzos, al no ser homogéneo el material. El método a seguir en el estudio de las vigas compuestas suele ser su transformación en una viga homogénea equivalente a la que se aplique directamente las formulas de la flexión. Los principios en que se basa esta transformación son que la deformación y la capacidad de carga no varíen. Examinemos el caso general de vigas compuestas de diferentes materiales 24


La viga de madera de la figura (a) esta reforzada en su cara inferior con una placa de acero firmemente asegurada a la madera de forma que no pueda haber deslizamiento entre ambos materiales cuando la viga se deforme. En este caso, no se cumplen todas las hipótesis que se hicieron para la deducción de la ecuación de flexión, por que allí se suponía la viga homogénea y, por tanto, no se pueden aplicar directamente los resultados obtenidos a la viga que ahora se considera. Sin embargo, mediante ciertas modificaciones o transformaciones es posible obtener una sección equivalente que sea de uno solo de los materiales, y a la que se puedan aplicar las conocidas formulas de la flexión.

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Para ello, consideremos una fibra longitudinal de acero en el punto A. Puesto que se supone que la madera y el acero están perfectamente unidos (atornillados, por ejemplo), las deformaciones de las fibras del acero y de la madera en el punto A han de ser iguales, es decir, ε ₐ = εm . Expresando esta relación en función de los esfuerzos y de los módulos elásticos se tiene:

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Además para equivalencia completa, las cargas soportadas por una fibra cualquiera de acero y su equivalente en madera debe de ser iguales, es decir,

Esto significa que el área de la sección equivalente en madera (equivalente a la sección de cada fibra de acero) es n veces el área de la sección de acero. La forma, dimensiones y situación del área equivalente quedan completamente determinadas por la condición de que las fibras de madera, equivalentes a las fibras de acero, tienen que estar a la misma distancia de la línea neutra, para que se verifique la condición de igual deformación. En resumen, la sección de madera equivalente a la de acero es n veces más ancha. En la figura (b) aparece representada la sección equivalente de madera. Se puede proceder a la inversa, es decir, obtener la sección equivalente en acero sustituyendo la parte de madera por otra de acero de anchura 1/ n de la que tenía la madera, como se observa en la figura (c). En estas condiciones, ya se puede aplicar directamente la fórmula de flexión a cualquiera de las secciones equivalentes. Si se aplica a la sección equivalente en madera, el esfuerzo real en el acero es, de acuerdo con la ecuación ( a), n veces el esfuerzo en la madera equivalente. Si se aplica a la sección equivalente en acero, el esfuerzo real en la madera es 1/ n del esfuerzo en el acero equivalente a esta madera. 27


El mismo procedimiento se emplea en vigas compuestas de más de dos materiales. Por ejemplo, en la sección experimental de la figura (a), que consiste en un núcleo o alma de aluminio, se han asegurado firmemente una placa de acero y otra de bronce. Aplicando al acero y al bronce las relaciones de sus módulos elásticos al del aluminio, la sección compuesta se transforma en su equivalente en aluminio que muestra la figura (b), a la cual se aplica la fórmula de la flexión. En todos los casos, la línea neutra pasa por el centro de gravedad de la sección equivalente, y el momento de inercia por emplear es el de la sección transformada con respecto a la línea neutra.

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Problema

Una viga de madera de 150 x 300 mm se refuerza en su parte inferior con una placa de acero de 75 mm de anchura y 10 mm de espesor. Calcular el momento flexionarte máximo que puede soportar si los esfuerzos admisibles son σa < 120 MPa y σm < 8 MPa. E a /E m = n = 20.

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Problema

Una viga de madera se refuerza con dos placas de acero firmemente sujetas a las caras superior e inferior, como se observa en la figura. Calcular el aumento de momento flexionante que puede resistir la viga, si n = 15 y los esfuerzos admisibles en el acero y en la madera son de 120 y 8 MPa, respectivamente.

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Problema

Una viga de acero en T se ha reforzado poniéndole los dos pedazos de madera que se muestran en la figura. El módulo de elasticidad es 12.5 GPa para la madera y 200 GPa para el acero. Considerando que se aplica un momento flector M = 50 kN·m a la viga compuesta, halle a) el esfuerzo máximo en la madera, b) el esfuerzo en el acero a lo largo de la fibra externa.

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Diseno de Vigas - Parte 1

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