Álgebra Superior
������ 1:
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
C������ �������������
1) D��� �� ��� �����e��e� f���e� ��ede� c����de����e �������c���e� (e� dec��, �� �ce���� ��� � ���� ��� de ��� d�� �����e� de �e�d�d: f���� � �e�d�de��) �) b) c) d) e)
E� ���e�� 20 e� d�����b�e e���e 4. L� c��� ��b�e �� c�����. E� ��e �e c����e� �� c���� �����c� ��e ��e�e� d��e��. L� H������� c��� c��d�c��� de �� ������c� � �e����. 5 ≥ 2 + 1.
2) Dec�d� c���e� de ��� � �� �����e��e� e���e����e� ��� �������c���e�. �) b) c) d) e) f) �) �) �)
T�d� �e��� ��e�e ��� e�ce�c���e�. A������ ���������� ��� e������e��� A������ ��b�� ��� f�ec��. T�d�� ��� ��c������� c�ee� e� �� ����e�d� de ���e��� ��c���. C���d� ��� ��eb���� �e��e��� � C���c��c��c. �E���� e���d���d�? N� �e e���e�. C��c� e� �� ���e�� � �c��c�� e� �� ���e���. L�� �������� ��� b�e��� � ����� � ���������.
3) E�c��b� e� f���� ���b���c� ��� �����e��e� �������c���e�. �������c���e�. �) b) c) d)
2 + 2 = 4 � �� ��e�e e� �e���. T�d� ���e�� �e�� e� ��c����� � ����c�����. E� e�fe��� ��dece �� e�fe��ed�d � �� �� � ���� �� ��e���� ��� �������� �, � � �. S� e� e�fe��� �� ��e���� ��� �������� �, � � �, e����ce� �� e� c�e��� ��e ��dece �� e�fe��ed�d �.
e) M� �e��� c��e f����� � �e�d����. f) U� e�e�e��� �e��e�ece � �� ����� de d�� c�������� �� �e��e�ece � ������ de e����. 4) Ide���f���e e� c��ec���� ����c� �������d� e� c�d� ��� de ��� ��c����, ��e �e���� ���� de������ �������c���e� �����e� � f�����e��e �ee�c��b� e� ���b���� ��� �������c���e�. �) L�� �f��c���� �� e������ e� ���e���. b) L���� e� ��� e�ce�e��e ��e���� � T������� e� �� b�e� �����. c) L� ����c� e� ��� ����e � �� ��e��� e��� ce���d�.
Facultad de Química
UNAM
1 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
d) L�� ������� �� �c�����b��� ��e��� �����e�. e) �� ��e����� ��� �� ���� � ��e����� ��� �� � � e�c�d����. f) S� M���e� e� �� b�e� ����d��, e����ce� �����c����� e� e� �����d� de �� F�c����d. �) S� A��ce�� c���� e����ce� e� fe���. �) L�� ������� �����e� �� e���� e� �� ����� ���e� ��e ��� ���e�e�. �) L� ���e��� ��efe��d� de L��� A�be��� e� L���c� M��e����c�. �) S� ���e���� ��be� �e ��e�e� e� e�� d��ecc��� e����ce� �e�d�e��� ������. �) S� �� e���d�� f�e�� ����, ��d�� ��d������� �������. �) S� ��� de�e�� f�e��� c�b�����, e����ce� ��� �e�d���� c�b��������. �) S� � = 0, e����ce� � + � = 1 �) � + � > 2 �) � = 1 � + � = 2 � + �) � = 2 � � = 10 5) S��b���ce ��� �����e��e� �������c���e� ����������d���� ��� �e���� �����c���� � c��ec����� ����c��. �) b) c) d) e) f) �) �) �)
Nece���� ���e��e ��� �e��e� � e��� ��� e� d�b��. L�� ������� �� �e �����f����� e� c���e�. E���� ���b�e��� �� ��� f�c��e� ���� ��. S� ��e�� e� ���b�e, e����ce� e� ���� de e��e��� �� c���e. S� �� c���e de ���eb�� �� �� e��e��d� e����ce� ��e�� ���de. U�� ����e de �� L��� �� �e �e de�de �� T�e���. A������ ��� �� �e���� � ��� �� c��e. L�� ����� ��� ����� � ��� ����e��� ��� ����e�. S� B����� e��� e� S�d�����c� e����ce� e��� e� e� �e���fe��� ���.
6) I�d���e e� ��� �����e��e� �������c���e� c���e� ��� ��� c��ec����� ����c�� de c�d� �������c���. �) b) c) d) e) f) �) �) �) �)
J��� e� e� �e���d� � T���� e� e� c�����. J���e e� e� ����d�� � L��� e� e� ����d��. � ���d��. J��� �� e� e� ����d��. S� T���� e� e� ����d�� e����ce� �� �e�d�� �� �ed����. S� T���� �� e� e� ����d�� e����ce� debe c���c���e e� �e���d� �����. L�� A��e� ��� �������� ���e�e� � ��� A����c�e� ��� �������� ��e���. L�� ������ �� ��� ���ec���. S� ��� ������ ��� ���ec��� e����ce� ��� de �e�e� �e�� �����. S� �� ���e���� �e c���e��e e����ce� �e d�����. M�c��� ����e��� ��� � de�����d� c���d�� ���� ��e ����� �e�e� c��� �������� � de�����d� f���� ���� ��e ����� �e�e� c��� ��������.
7) S��b���ce ��� �����e��e� �������c���e� ���e����c��, ��������e�d� ��� �������c���e� �����e� ������c��d�� ��� �e���� �����c����. Rec�e�de ��e ≠ e� �� �e��c��� de =.
Facultad de Química
UNAM
2 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior �) b) c) d) e)
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
S� � = � e����ce� � = 2 S� � ≠ 2 e����ce� � > 1 S� � ≠ 2 � � = 3 e����ce� � = 1 S� � + � = 3 e����ce� � + � = 3 S� � � � = 2 e����ce� � � � ≠ 2
f) �) �) �) �)
� + � = 2 � � = 1 � + � + � = 2 � � + � = 10 S� � ≠ � � � ≠ � e����ce� � > � S� � + � � � � � = 1, e����ce� � � � S� � ≠ �, e����ce� � ≠ 1 � � ≠ 2
8) U����ce ������e��� ���� ������� ��� �������c���e� � ��ce� e����c��� �� �b�c�c��� de� c��ec���� ����c� ���d� e� ��� � �� �����e��e� e���c��d��. �) b) c) d) e) f) �) �) �) �)
J��� e��� ���� � M���� �� ����d�. S� � + 1 = 10 e����ce� � = 9 M���� �� e��� ���� � J��� �e �� �d�. S� � = 1 � � = 2 e����ce� � = 3 S� � ≠ 1 � � + � = 2 e����ce� � = 2 S� Ped�� e��� e� c��� � J��� e��� e� e� �����, e����ce� Pe�e E� T��� e� ���ce��e. � = 0 � � = 0 O � = 0 � � ≠ 0 � � = 2 N� �c���e ��e 6 = 7 N� �c���e ��e �� � + 0 = 10 e����ce� � = 5
9) E�c��b�, e� �e�����e c���� � c����e��e, �������c���e� ��e �e���� ��� f����� ��d�c�d�� e� c�d� ��c���. S������, c���d� �e� ����b�e, ��� ������e��� �� e�c��b�� ��� �������c���e�. �) b) c) d) e) f) �) �) �)
O( ) � ( ) ( ) � ( ) A �� �e� ( ) � ( ) ( ) � ( ) N� ( ) S� ( ) e����ce� ( ) S� �� ( ) e����ce� �� ( N� �c���e ��e ( ) ( ) �� ( )
10) Se��: �: � e� �e��� ��e b.
)
�: c e� ����� � c.
�: � e� �e��� � ����� ��e b.
� : � e� �e��� ��e c.
� : b e� �e��� ��e c.
T��d��c� ��� �����e��e� �������c���e�:
Facultad de Química
UNAM
3 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior �) b) c) d) e)
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
( p ∧ r ) → t [(¬ p ∧ q) ∧ r ] → t (q ∧ r ) → t (t ∨ s) → [(r ∧ p) → t )] [( p ∧ r ) ∧ s] → [((¬ p ∧ s) ∧ r ) ∨ (¬ s ∧ t ))]
Facultad de Química
UNAM
4 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 2:
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
������ �� ������. ����CA �A���A��CA
1) E�c��b� ��� ��b��� de �e�d�d ���� ��� � �� �����e��e� �������c���e�. I�d���e �� ��� �������c���e� ��� �����������, c������e�c��� � �b���d��. �) b) c) d) e) f) �) �) �) �) �)
( p ∧ q) → ¬( p ∨ q) ( p ∨ q) → ( p ∧ q) ¬( p ∨ q) → ( p ∧ q) [( p → q) ∧ (q → r )] ↔ ( p → r ) (¬ p ∨ q) ∧ (r → p) ( p ∧ ¬a) ↔ (a ∧ q) [(q ∨ ¬r ) ∧ p] → [( p ∨ q) ∧ r ] ( p ∧ ¬q) → (q ∧ ¬s) [ p → (q ∧ r )] ↔ [( p → q) ∧ ( p → r )] [(r ∧ s) ∨ q] →](r ∧ q) ∨ (¬r ∨ ¬q)] [(r ∧ ¬ s) ∨ (¬r ∨ s)] → [(q ∨ r ) ∧ (¬q ∧ ¬r )]
2) S� � � � ��� �e�d�de��� � � e� f����, d��� �� ��� �����e��e� �������c���e� ��� �e�d�de��� � ��. �) b) c) d) e)
( p ∧ q) → p ( p ∨ q) → ¬(q ∧ p) ( p → q) → q ( p → q) ↔ ¬(q → p) ( p ∨ q) → r
f) �) �) �)
( p ∨ q) ↔ ¬( p ∨ r ) ( p ∨ ¬q) → ¬r ( p → r ) ∨ ( p → ¬r ) ( p ∨ ¬r ) → (¬ p ∧ r )
3) C�������� ��� ��b��� de �e�d�d de ��� 8 �����e��e� �������c���e� � c��������e de ��e c�d� ��� de e���� e� ��� ����������. 1. A → ( B → A) 2. 3. 4. 5. 6.
( A → B) → [( A → ( B → C )) → ( A → C )] A → ( B → ( A ∧ B)) A ∧ B → A ; A ∧ B → B ( A → C ) → [( B → C ) → (( A ∨ B) → C )] A → A ∨ B ; B → A ∨ B
Facultad de Química
UNAM
5 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
7.
( A → B) → [( A → ¬ B) → ¬A)]
8.
¬¬ A → A
�������������
Se� � ��� ���������� � � �� �b���d�.
1) 2) 3) 4) 4�)
A ∨ ( B ∨ C ) A ∧ ( B ∧ C )
Le� de �� C�������e���. E������e�c�� de �� �����c�c���. Ne��c��� de �� �����c�c���. Le� ���c������ ���� �� d�����c��� Le� ���c������ ���� �� c�����c���
B ∨ B ∧
Le� c���������� ���� �� d�����c��� Le� c���������� ���� �� c�����c���
6) A ∧ ( B ∨ C ) , 6�) A ∨ ( B ∧ C ) ,
( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C ) ( A ∨ B) ∧ ( A ∨ C )
Le� d�����b����� de �� c�����c��� Le� d�����b����� de �� d�����c���
7) ¬( A ∨ B) , 7�) ¬( A ∧ B) ,
¬ B ∧ ¬
Le� de De M�����; �e��c��� de �� d�����c��� Le� de De M�����; �e��c��� de �� c�����c���
5) 5�)
, , ¬( A → B) , ( A ∨ B) ∨ C , ( A ∧ B) ∧ C ,
A → B A → B
∨ B ∧ B
, ,
¬ B → ¬ A
¬ ∨ B ∧ ¬ B
¬ B ∨ ¬
8) 8�)
∨ T ∧ T
, ,
� �
9) 9�)
∨ � ∧ �
, ,
�
,
A
10) ¬¬
Le�e� de �de����e�c��
� Le� de �� d�b�e �e��c���
1) E�c��b� �� c�������e��� de c�d� �������c���. �) S� ��� e� ���e�, e����ce� ������ e� ����e�. b) S� �� ��������� e� ����ce�e�, e����ce� ��� ������� de �� b��e ��� �����e�. c) � +� = � �����c� � < � 2) O�c�����: Ve��f���e ��� e������e�c��� ���e����e� (1 � 10) �ed����e ��� ��b�� de �e�d�d .
Facultad de Química
UNAM
6 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 3:
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
A���������, ������� � D����������. ����CA �A������CA.
1) B��c�� �� ����de� de c�d� ��� de ��� �����e��e� �����e����. A����ce c�� ���� � �����.
�) �) �) �) �) �) �) �) �) �) �) �)
P → Q, R → P , Q → R ∴ P P ∨ Q, Q → R, ¬ R ∴ P P ∧ Q, R ∧ P ∴ P P ∨ Q, P ∨ ¬Q ∴ P P → ¬Q, Q ∨ R, ¬ R ∴ ¬ P P ∨ Q, Q → R, Q ∧ S ∴ P P ∨ Q, ¬ P ∨ ¬Q ∴ P ↔ Q P → Q, Q → P , R → P , ¬ R → ¬S ∴ S → Q P ∧ Q ∴ P ∨ Q P → ¬Q, Q → R, R → ¬S ∴ ¬S ∨ ¬ P R → S , S → ¬ R ∴ ¬ R ( P ∨ Q) → T , R → ¬ P , ¬Q, R ∴ T
2) Ree�c��b� c�d� ��� de ��� �����e��e� �����e���� e� f���� ���b���c� ����d� ��� �e���� ���e��d��. De����� �e��f���e �� ����de� de� �����e���. S� e� �����e��� e� ����d�, c�������� ��� ded�cc���. �) S� J��� e��� ���� ( � ), e����ce� ��ede ��ce� ����c� ( � ). S� �� e��� ����, e����ce� �� ��ede �e���� c��� �����d� ( �: Se���� c��� ����d� ). J��� �� ��ede ��ce� ����c�. P�� �� �����, �� ��ede �e���� c��� ����d�. b) S� E�����e e� �� ���fe��� ( � ), e����ce� e� �e��c��� ( � ). S� �� e� �e��c���, e����ce� e� ��� �e����� f��� ( � ). ). P�� �� �����, �� e� �� ���fe��� e����ce� �� e� ��� �e����� f���. c) S� ��� e� ��e��e� ( � ), ), e����ce� ��e� f�e ��e�e� ( � ). A�e� f�e ��e�e�. P�� �� ����� ��� e� ��e��e�. d) E� ��e� e��� �e�����d� ( � ) �� ��e�� ( � ). N� e��� �e���d�. P�� �� �����, e� ��e� � �e� �� e��� �e�����d�. e) S� e��e c���� e��� f�b��c�d� e� I�����e��� ( � ), e����ce� ��� �ef�cc���e� ��� d�f�c��e� de c���e���� ( � ). E� c���� e� c��� ( � ) � ��� �ef�cc���e� �� ��� d�f�c��e� de c���e����. Pe�� e� c���� �� e� c���. P�� �� �����, �� f�e f�b��c�d� f �b��c�d� e� I�����e���. f) A �e��� ��e R����e� �e� e�e��d� ( � ) �e�de�e��� �� b��e ���e� ( � ). R����e� �e�� e�e��d� �� e� ��e�e �� ����� ( � ). S� �������� c���e������ �� b��e ���e�, e����ce� R����e� �e�� e�e��d�. S�����e��� �� b��e ���e�. P�� �� �����, R����e� ��e�e �� �����. �) S� e� ���fe��� ������e c���e ( � ), e� ���fe��� ������ ���e� ( � ). S� e� d�� fe���d� ( � ), e����ce� �� ��b�� c���e. N� ��b�� ��b�� (c���e � ���e�). Pe�� ��b�� ��� � �� ����. P�� �� ����� �e�d�e��� ���e�. �) M�� ��c�c���e� �e��� e� ����� ( � ) � e� d�c�e�b�e ( � ). N� ��ede� �e� e� ��� d�� �c�����e�. S� ��� e� d�c�e�b�e, e����ce� ��b�� ��e�e ( � ). Se�����e��e �� �e���� e� ����� ( � ). S� ��� ��c�c���e� �� ��� e� d�c�e�b�e, e����ce� e����� ��� c������� ( � ). E� c���� �����c� ��c�c���e� e� �����. P�� �� �����, c���d� ���e ��� ��c�c���e� e����� c������� � e����� �e���d�.
Facultad de Química
UNAM
7 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
�)
J��� � Ped�� ��e�e� �� ����� ed�d ( � ), � J��� e� ����� ��e Ped�� ( � ). S� e���� ��� de �� ����� ed�d, e����ce� M���� � J��� �� ��� de �� ����� ed�d (�). S� J��� e� ����� ��e Ped��, e����ce� J��� ���b��� e� ����� ��e S����� (�). P�� �� �����, � M���� � J��� �� ��� de �� ����� ed�d � J��� e� ����� ��e S�����. �) S� S���e� e��� e� �� c��ce� ( � ) e����ce� �� c���� ���b�e��� � �� f������ ( � ). S� �� c���� ���b�e���, e����ce� e��� e� e� e���c��� ( � ). S� e� ��� ��e�� �e���� de �� f������ ( � ), e����ce� c���� ���b�e���. P�� �� �����, �� e� ��� ��e�� �e���� de �� f������ � e��� e� e� e���c���. �) C����� �� �ec�b�� �� ������� ( � ), � S���e� e��� ������d� ��� de �� ��e ��ede ( �). S� S���e� e��� ������d� ��� de �� ��e ��ede, e����ce� �� c�e��� de b��c� e��� ��c�� ( � ). Pe�� �� c�e��� de b��c� de S���e� e��� ��c��. P�� �� �����, C����� �� �ec�b�� �� �������. �) M���� e��� c���d� ( � ) � S����� e��� ����e�� ( � ). S� A����� ��e�e ���b��� ( � ), e����ce� M���� e��� c���d�. P�� �� �����, A����� ��e�e ���b���. �� �b���. �) O �� L���c� e� d�f�c�� ( � ) � �� �e ����� � ��c��� e���d����e� ( � ). S� ��� M��e����c�� ��� f�c��e� f �c��e� ( � ), e����ce� �� L���c� �� e� d�f�c��. P�� �� �����, �� � ��c��� e���d����e� �e� ����� �� L���c�, e����ce� ��� M��e����c�� �� ��� f�c��e�. 3) De�e����e �� ��� ����d�� ��� �����e��e� �����e���� � e�c��b� �� e���c��d� de� �����e��� e� �e�����e c���� ��������d� e� �����f�c�d� de ��� �������c���e� �����e� ��e ����ece � �� de�ec�� de� �����e���. S� e� ����d� e� �����e���, c�������� ��� ded�cc���. �)
E: E���d�� E ↔ T T: Te����� c�� e���
T → D D → F
D: B��c� d�����cc���e� f�c��e�
∴ E → F
F: Ac�b� f������d�.
b) ¬T → H
T: H�� ���b���
H → ¬ F F ∨ R
H: H�� ���b�e
¬ R
F: H�� fe��c�d�d
∴ T
R: H�� �e����c���
Facultad de Química
UNAM
8 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
c) C ∧ P P → ( E ∨ L)
C: P���� e� c�f�
E → ¬C P: Me ec��� ��e���
∴ L
E: Me e���� L: L���� d) L: Me ��c� �� ���e���
( L ∨ H ) → ¬C B → ¬ H
H: He�ed�
B ∧ ¬ L ∴ C
C: Me c��� B: A�d� de b����c��
e) D: Me d����c��
D → (¬T → P ) ¬ E ∨ D
T: C������ ���b���
¬T ∴ E → P
P: P�e�d� �� c��� E: E����d�
f) ¬ L → ¬ R
L
L: S��e �� ����e
∴ R
R: E��� ��e��� �� �e�e��� �) C → T B → D
C: V�� � c���e � ��� 7:00 ��
( D ∧ T ) → Z ¬ Z
T: Me �e��� ��e �e������ �e������
∴ ¬C ∨ ¬ B
Facultad de Química
UNAM
9 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
B: V�� � b�����
Z: A�d� ����b�e�
D: Me de��e��
�) L
L: L��e�e
¬ R
( S ∧ L) → R
R: C�e� �����
∴ ¬ L → R
S: E� ��� b����� �) E → H E ∧ ¬ H
E: E� e�ef���e �b�e e� �ef���e��d��
∴ P
H: De�� ��e���� e� �� ����e������ P: E� ��e���� �e �� ��f�. �) M: S�� ��de���
M → A A → ¬ D
A: Me �d�����
J → D ∴ J → ¬ M
D: Me de����� J: J�e�� ��c��.
�) L: L��e�e
¬ L → T
T → P
T: L�e�� �e������
∴ P ∨ L
P: Ac�b� ������ �) L → M M ∴ L
Facultad de Química
UNAM
10 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
L: A�e� f�e ���e�
M: H�� e� ����e�
�) P��� e� �����e��e �����e���, c�d� ��b��c��� e� ��� c��c������ d�fe�e��e. A: Se �c���� �� ������
(¬C ∧ F ) → ¬ H ¬ N → ( H ∧ F ) ¬W → ( A → ¬C )
C: H�� c����e��e e��c���c�
_____________________ _______________________
F: L� c��de�� e��� f���
∴
N: Se ���d�ce NH3 W: H�� ��f�c�e��e ����
1) (¬W ∧ A) → N 2) ( A ∧ ¬C ) → H
H: H�� ����
3) N → (¬ H ∨ ¬ F ) 4) A → [¬ N → (W ∧ C )] 5) A → [¬ N → (W ∨ ¬C )]
Facultad de Química
UNAM
11 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 4:
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
C��������������. ����CA �A���A��CA
1) De�e������ e� ����� de �e�d�d de ��� �����e��e� e���c��d�� (A��� e� c������� ����e���� e� e� de ��� ���e��� �e��e�)
d) ∀ x, x − 3 < x
�) ∀ x, x 2 = x b) ∃ x, 2 x = x c)
2
∃ x, x + 3x − 2 = 0
e) ∃ x, x 2 − 2 x + 5 = 0 f) ∀ x, 2 x + 3 x = 5 x
2) Ne��� ��� e���c��d�� de� ���b�e�� 1. 3) Se� �1, 2, 3, 4� e� c������� ����e����. De�e������ e� ����� de �e�d�d de c�d� e���c��d�.
�) ∀ x, x + 3 < 6 b) ∃ x, x + 3 < 6
c)
2
∀ x, x − 10 ≤ 8
d) ∃ x, 2 x 2 + x = 15
4) Ne��� ��� e���c��d�� de� ���b�e�� 3. 5) Ne��� ��� e���c��d��.
�) ∀ x p( x) ∧ ∃ x q( x)
c)
∀ x ¬ p( x) ∨ ∀ x q( x)
b) ∃ y p( y) → ∀ y ¬q( y)
6) E�c��b�� ��� �����e��e� �������c���e� e� f���� ���b���c� � �e������, ����� de f���� ���b���c� c��� e� �e���. �) S� e� ���fe��� e��� ���e��e, ������� e���d����e� �� �e������ �� ���e�. b) T�d�� ��� e���d����e� �e�������� �� ���e� � e� ���fe��� e��� ��e�e��e. c) A������ e���d����e� �� �e�������� �� ���e� � e� ��e���� e��� ���e��e. 7) D�� �� c�����e�e���� ���� c�d� e���c��d� f����. A��� �3, 5, 7, 9 � e� e� c������� ����e����.
�) ∀ x, x + 3 ≥ 7
Facultad de Química
x, x e� ����� b) ∀ x,
UNAM
12 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
d) ∀ x, x = x
x, x e� ����� c) ∀ x, 8) Ne��� ��� e���c��d�� de� ���b�e�� 7. 9) Se� �1, 2, 3� e� c������� ����e����. De�e������ e� ����� de �e�d�d de c�d� e���c��d�. e���c��d�.
�) ∀ x ∀ y, x 2 + 2 y < 10
c)
2
b) ∃ x ∀ y, x 2 + 2 y < 10
d) ∃ x ∃ y, x 2 + 2 y < 10
∀ x ∃ y, x + 2 y < 10
10) Ne��� ��� e���c��d�� de� ���b�e�� 9. 11) Ne��� ��� �����e��e� e���c��d��.
�) ∀ x ∃ y ∀ z p( x, y, z )
c)
∀ x ∃ y ( p( x, y) → q( y))
b) ∃ x ∀ y ( p( x) ∨ ¬q( y))
d) ∃ x ∃ y ( p( x) ∧ q( y))
12) Se� �1, 2, 3, 4, 5� e� c������� ����e����. H����� e� c������� de ����de� de ��� �����e��e� f��c���e� ����c��.
�)
∃ x, 2 x + y < 7
c)
b) ∃ y, 2 x + y < 7
Facultad de Química
∀ x, 2 x + y < 7
d) ∀ y, 2 x + y < 7
UNAM
13 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 5:
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
C��������
1) E�c��b�� e� ����c��� c����������. �) b) c) d)
� e� ���e�c������� de � . � e� e�e�e��� de �. � �� e� ��bc������� de �. E� c������� ���e�c�� de �.
e) f) �) �)
� �� �e��e�ece � �. � e��� ��c���d� e� �.
C������� ��c�� � �e��e�ece � Ψ
2) E���c��� �e�b���e��e. �) � = � � � � ���e e� P����� b) � = � � � � ��b�� d����� c) � = � � � � e� ����� de 21 �����
d)
� = � � � � e� c��d�d���
f���c���
3) E�c��b�� e� f���� ��b����. �) b) c) d) e)
2
� = � � � � � � � 2 = 0� � = � � � � e� ��� �e��� de �� ����b�� �c��c������ 2 � = � � � � =9, � � 3 = 5� � = � � � � e� ��� ��c��� � = � � � � e� ��� c�f�� de� ���e�� 2324�
4) S� E = �1, 0�, 0 �, ��d�c�� e���e ��� �f����c���e� �����e��e� c���e� ��� c���ec��� � ��c���ec���. ��c���ec���.
�) b) c)
{0}∈ E
d) 0 ∈ E e) 0 ⊂ E
� ∈ E {0} ⊂ E
������������
1) S� � = �0, 1, 2�, 2 �, ������ ��d�� ��� ��bc�������� de � 2) S� � = = �0, �1, 2��, ������ ��d�� ��� ��bc�������� de �
Facultad de Química
UNAM
14 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Lógica Matemática y Conjuntos Con juntos
3) Se�� � = �2, 3, 4�
2
+ 8 = 0� � = � � � � � 6 � +
2
� = � � � � =4, � e� ���������
� = � � � � e� ����
C����e��� ��� �����e��e� �f����c���e� ���e����d� ⊂, ⊃ � ��c� ��c� (�� c������b�e�) e���e c�d� c�d� ��� de c��������. �) � � � b) � � � c) � � �
d) � � � e) � � � f) � ��
4) Se�� A = �1, 2, � , 8 , 9�, B = �2, 4, 6, 6 , 8�, C = �1, 3, 5, 7, 9�, D = �3, 4, 5�, E = �3, 5�. �C���e� c�������� ��ede� �e� �����e� � � d�d�� ��� c��d�c���e� �����e��e�? c) � ⊂ � � � ⊄ � d) � ⊂ � � � ⊄ �
�) � � � ��� d�������� b) � ⊂ � � � ⊄ �
5) Se� e� c������� ����e��� � = ��, �, �, �, �, �, � � � �e�� � = ��, �, �, �, � �, � = ��, �, �, �� � � = ��, �, �, ��. H�����:
�) b) c) d) e) f)
A ∪ C B ∩ C − B
�) ( A − C ) C �) C C ∩ A �) ( A − B ) C
B C AC − B B C ∪ C
�)
( A ∩ AC ) C
6) E� ��� d�������� de Ve�� ��e ����e�, �e����� �) V ∩ W b) W C c) W − V d) V C ∪ W e) V ∩ W C f) V C − W C
Facultad de Química
UNAM
15 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes
�
�
�
7) D�b���� �� d������� de de Ve�� c�� ��e� c�������� �, � � � de ��d� ��e �, � � � �e���� �e���� ��� �����e��e� c���c�e�����c��:
�) A ⊂ B, C ⊂ B, A ∩ b) A ⊂ B, C ⊄ B, A ∩
= � ≠ �
c) A ⊂ C , A ≠ C , B ∩ = � d) A ⊂ ( B ∩ C ), B ⊂ C , C ≠ B, A ≠ C
8) De ��� �����e��e �����e��e�� �f����c� �f����c��� �� �, ��d�c�� c���e� ��� c�e���� � c���e� ��� f����� �) � ∈ � b) � ⊂ � c) � ∈ ��� d) � ⊂ ��� 9) De��e���e ��e �� A, B � C ��� c��������, e����ce�: N���: S� �� � �������� ��b��� de �e�d�d, c��b�e: • ��� c�������� ��� � �����c���e�, • ��� →, • c����e�e��� ��� �e��c���, • ��� ��� , • • �����d�d ��� , • e� c������� c������� ��c�� � �� �b���d�, • e� c������� c������� ����e ����e�� �� � ��� ����������.
1)
A ⊂ B ⇔ BC ⊂ AC
6)
A⊂B∧B⊂
2)
A⊂B⇔A∩B=A
7)
A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
3)
A⊂B⇔AUB=B
8)
( AC )C = A
4)
A⊂A
9)
∅ =X
5)
A⊂B∧B⊂A⇔A
10)
A-A=∅
Facultad de Química
B
UN M
⇒A⊂C
C
16 ������ ���� ��� ������� � �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes
11)
A-∅=A
27)
A - B = A ⇔ B ⊂ AC
12)
A - B = A ∩ BC
28)
( A U B ) ∩ BC = A ⇔ A ∩ B = ∅
13)
AU∅=A
29)
AUB=A∩B⇔A=B
14)
AUX=X
30)
15)
AUA=A
( A ∩ BC ) U ( A C ∩ B ) = A U B ⇔ A∩B=∅
16)
A U AC = X
31)
Defina A + B = ( A - B ) U ( B - A )
17)
( A U B )C = AC ∩ BC
32)
18)
∅⊂A
Demuestre:A + B = ( A U B ) (A∩B)
19)
A∩B⊂A,
A∩B⊂B
33)
(A+B)+C=A+(B+C)
20)
34)
A+B=B+A
A⊂AUB,
B⊂AUB
21)
A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)
35)
A+∅=A
22)
A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)
36)
A+A=∅
23)
A-B=∅⇔A⊂B
37)
A U B = ( A ∩ BC ) U ( AC ∩ B ) U ( A ∩B)
24)
A-B=B-A⇔A=B
38)
( A ∩ BC ) ∩ ( A C ∩ B ) = ∅
25)
A-B=A⇔A∩B=∅
39)
( A ∩ BC ) ∩ ( A ∩ B ) = ∅
26)
A - B = A ⇔ A ⊂ BC
40)
( AC U B ) ∩ ( A ∩ BC ) = ∅
Facultad de Química
UNAM
17 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes
����� 6: ���������� �������� P��� ��� e�e�c�c��� 1 �� 4, c����de�e ��� �����e��e� ec��c���e� �) b) c) d) e) f)
3 � � 5 � � = 2 � + 2� + 5 2 � + 3� � � = � + 3� � 1 1 + � + � + � = 1 � +� +� = 1+� � + � + � = 1 + � − � + � �� + � = � − �
1) I�d���e �� �� ec��c��� e� ���e�� � �� ���e��. S� e� ���e��, ��d���e �� e� �������e� � �� �������e�. 2) P��� c�d� ����e�� ���e��, e�c��b� ��� c�ef�c�e��e�, �� ������� c�������e � �� ec��c��� �������e� ���c��d�. 3) P��� c�d� ����e�� ���e��, ��de�e ��� �����b�e� � d��� c��� e� �� �����b�e de����e�� � c���e� ��� ��b�e�. 4) P��� c�d� ����e�� ���e�� de�e����e, �� e� ����b�e, �� ����c��� �e�e��� � d�� ����c���e� �����c����e�. 5) �C���e� de ��� ������ �(2, �3, 0), �(2, �3, 1), �(1/2, �1/2, �2)� �(1/2, 1/2, �2) e���� e� e� ����� def���d� ��� �� ec��c��� � � � + � = �2? 6) �C���e� de ��� ������ �(1, �1, 1), �(�2, 5, 3), �(1/2, �1/7, 10)� �(0, 0, 0) e���� e� e� ����� def���d� ��� �� ec��c��� 2 � � 7� + � = 10? 7) E�c�e���e ��d�� ��� �����e� de �, ���e� ��e c�d� ��� de ��� �����e��e� ec��c���e� ec��c� ��e� �e���: �) ��) ���) �) �2 � � 2 = 4 � + � b) (�2 � 4) � � = = 3
Facultad de Química
UNAM
E��c���e��e ��� ����c��� S���c���e� ��f������ N������ ����c��� c) (�2 � 4) � = 0 � = 2 d) �� � � � = = 3�
18 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
8) E�c�e���e ��d�� ��� �����e� ������ de �, ���e� ��e c�d� ��� de ��� ec��c���e� �e���: �) ��) �) �2( � � + � ) � � � � � � + 1 = 0
Facultad de Química
UNAM
I�f������ ����c���e� N������ ����c��� b) �( � � + � ) � � � � � � + 1 = 0
19 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
����� 7: �������� ��������
1) Re�����ee e� ����e�� ���e�� e� �� f���� c�����c�. 2� +4� + 1 � 0
2� +2� � 2 � � �2� �� � 3� � �3 � � � � � � � � 4 De�e����e: �) b) c) d)
L� ������ de c�ef�c�e��e� E� �ec��� de c�������e� L� ������ ���e���d� E� ����e�� �������e� ���c��d�
2) E�c��b� �� ������ ���e���d� de� ����e�� � �e�������� ��� e� ����d� de e�c���� �ed�c�d�.
�1 + 2�2 � �3
+ �5
�2�3
� �1 � 4�6
4�4
� 2�5
�2 �0
3) D�d� ��� �����e��e� �����ce� , e�c��b���� e� f���� de ����e�� de ec��c���e� � e���e�e �� ����c���, ���c� � �e�e���, e� �� c���.
�������� Se ��e�e �� ������ �������e�. A. �� ����� �� �������
���� ������� ��� ���
������ �� ����������� � ����, � �� �������� ����� �� ����� �� ������� �������� (����� ������ � ������ �� �� ��������).
a
b
c
d e
f
6 0 A = 0 0 0
0
0
0 0
1
0
0 0
0
2
0 0
0
0
1
0
0
0 1
1 − 4 0 − 3 ≈ 0 − 2 0 − 1 0
Facultad de Química
UNAM
0
a − 1
0
0
0 0
1
0
0 0
0 1
0 0
0
0
1
0
0
0 1
0
b
c
d e
f
1 0 −4 0 1 − 3 / 2 ≈ 0 0 −2 0 0 − 1 0 0
0
0 0
− 1 / 6
0
0 0
− 24 / 6
1
0 0
−9/6
− 1 / 6
0 1 0 − 12 / 6 0 0 1 − 6 / 6
20 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
H�� 5 �����b�e� de����e���, de����e���, � ��� �����b�e ��b�e � , ���� �e c����e��e e� �� �����e���, e� ����e�� ��e�e �� ���e�� ��f����� de ����c���e�. Se b������ f c��� � . Se de��e��� ��� �����b�e� de����e��� �, �, �, �, � e� f��c��� de �. a=
1
r 6 24 b= r 6 9 c = r 6 12 d = r 6 6 e = r 6 6 f = r 6
F�����e��e, ��de��� e���e��� �� ����c��� �e�e��� de� ����e��.
1 0 0 �) 0 1 0 0 0 1
− 4
1 4 0 �) 0 0 1 0 0 0
7
1 0 − 2 0 1
1 24 r 9 r ∈ ℜ 6 12 6 6
1
2 0 0 π �) 0 3 0 − 2 0 0 4 − e
�)
a b c x = = d e f
3
1 −2
�)
0
1
2
2
0
−1
7
0
1
−2
8
3 − 2 0 5 0 − 10 1 1 − 4 0 0 2 − 3 0 1 1 0 0 0 0 5
2
4
3 0 − 1 5 7 �) 0 2 2 3 11 −
Facultad de Química
−3
UNAM
7 4 0 0 �) 0 0 1 0 0 0 0 3
−1
3
3
−2
8
1
4
−7
2
21 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
6 0 �) 0 0 0
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
0
0
0
0
− 1
1
0
0
0
− 4
0
2
0
0
− 3
0
0
1
0
− 2
0
0
0
1
− 1
4) S�� �e����e� �e���e��e ��� ����e���, de��e���e ��e ��� e������e��e�. �� � � ��1
4� � 4 � � 4� � 4
2� � 2 � � � � 1
2� � 2 � � 3� � �2
�3� + 4 � + 4� � �1
5 � + 2� � �2
5) E�c�e���e �� ���e��ecc��� de ��� �ec���:
�) � + � � 1 � � � 2� � �
�) 2 � � 3� � 5 � � + 2� � 50
6) De�e����e ��� ����e��� c������e��e� � c��c��e ��� ����c���e� �e�e���e�. − x
�) − 2 x 3 x
+ y
− z
=1
+ y
+ 3 z
= 10
+ y
+ 2 z = 3
y
�) 3 x x
− 3 y + 3 y
3 y
�) 3 x
+ y
3 x
+ 7 y
− x
+ 3 y
�) − 2 x
− 3 y
− 3 x
+ 7 y
− 2 z = −17 = 14 − 2 z = 1
+ 2 z = 6 − 3 z
= −15
+ 2 z = 11
+ z
= −9 = −8
+ 2 z = −26
3 x
+ y
+ 3 z
= 15
�) − x
+ 3 y
− z
= −5
2 x
+ 4 y
+ 2 z = 9
Facultad de Química
�)
UNAM
x
+ 3 y
− 3 z
− 3 x
+ y
+
1
�)
x
3 1 − x 3
+ −
1 3 1 2
=2
z = 6
y
+
y
− z
z 1
3
=5 =−
5 3
22 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es +
3 y x
+ y
− 2 z
− 2 x
+ y
+ 2 z
�)
�)
z − w
x
+ 3 y
+
3 x
+ y
+ 3 z
2 x
+ 6 y
+ 2 z
=3 =6
−w
z −
�)
=9
x
+ y
=1
y
+ z
=1
z + w
=1
x
+w
=1
x
+ y
=1
y
+ z
=1
=0
w
= −2 − 2w
=2
�)
z + w = 1 y
+w
=1
7) De��e�e θ de� de� ����e��. E�����d��e, �e��e��� ���� �e� c��� e� �� ����e�� de ec��c���e� � de����� �b�e��� �� f��c��� f��c��� ���e���. ���e���.
2 senθ
+
4 senθ
− 3 2 tan θ
(
2 tan θ
)
=2 2 =− 2
P��� ��e �e �e f�c����e ��ede ���� c������e� ����d� ���� �e����e� ����e��� de ec��c���e� de ����c��� ���c�, �����ce�, �������c��� , ������c���, c���e� e�c.�e �e ��e�e��� �� e�e���� senθ − 4 cos θ = 4 4 senθ − 4 cos θ = 4
De ��b�� ec��c���e� �e de��e�� e� ������� ���θ sen θ = 4 + 4 cos θ
senθ =
1 4
(4)(1 + cosθ ) ⇒
senθ = 1 + cosθ
Se ������ 4 + 4 cos θ = 1 + cos θ
�� �����, cosθ = −1 asì que θ = arccos(−1)
E� ���c� ����� ��e �����f�ce e��� �����d�d e� θ � π. Se c�����eb� e� e� ����e�� ��������: senπ
− 4 cos π
= 0 − 4( −1)
=4
4 senπ
− 4 cos π
= 4(0) − 4( −1)
=4
����� �� �������
E� ��� e�e�c�c��� 1 � 5, c����f���e c�d� ������ e� ��� de ��� �����e��e� c��e������. • ����� �� �������, ���� �� ����� �� ������� ��������.
Facultad de Química
UNAM
23 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior • •
�)
�)
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
����� �� ������� ��������. ��������� �� �� ����� �� �������.
0 0 0 1
�)
�)
1 0 0 0
�) �)
0 1 1 0
2 − 1 0 1
�)
�)
2) Red��c� ��� �����ce� �����e��e� � �� f���� de e�c����.
0 �) 2 0
−1
0
− 1
0
1
1
1
1
− 1 0 �) 1 0
1
0
− 1
1
1
1 1 0 − 1
3) De�e����e �� f���� de e�c���� �ed�c�d� de c�d� ������.
0 0 1 − 1 �) 0 0 0 0
0 0 1 − 1 �) 0 0 1 0
0
0
0
1 −1 0 1 0 1 0 − 1 0
0
0
0
0
−1
0
1 0 1 0 − 1 0
Facultad de Química
UNAM
− 1 − 6 0 �) 5 30 1 4 24 1
− 1 − 4 0 �) 5 20 1 4 16 1
1
0
− 2
−6
0
13
−5
1
15
−5
0
− 6
29
0
34
24
1
30
24 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
0 −1 −1 0 −1 −1 �) − 1 0 1 0 0 −1 0 0 1
1
0
1
0
0 1 0 1 0 0
4) Re��e��� ��� ����e��� de ec��c���e�
�)
x
+ z
+w
= −5
x
− z
+w
= −1
+ z
+w
= −3
+ y
x
+ 2 z
2 x
�)
x1
− 8 x 2
− 2 x1
+ 16 x 2
2 x1
− 16 x 2
x
+ y
+ z
= −2
+ 7 x 4
=9
− x3
− 20 x 4
= −24
+ 6 x3
+ 50 x 4
+w
− t
= −1 − 2 z − w
w
�)
+ t
= −3
− 3t
= −1
t
=1
− t = −2
x
�)
= 51
=1
y
�)
+ x 5
y
− z
+ t
=5
− y
+ z
− t = −5
y
− z
+ t
=5
− y
−w
x
+ 2 y
+ 3 z + 4w
=0
2 x
+ 2 y
+ 3 z + 4w
=0
3 x
+ 2 y
+ 3 z + 4w
=0
Facultad de Química
UNAM
= −1
25 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
�)
�)
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
x
+ y
=a
x
− y
=b
x
+ y
x
+ y
=a
x
− y
=b
x
− y
+ z
=c
+ z
=0
5) De��e���e ��e ��� �����e� de λ, ���� ��� c���e� e� ����e�� ��e�e ����c���e� �� �������e�, 2
debe� �����f�ce� �� ec��c��� c��d����c� λ − (a + d )λ + ad − bc = 0 (a − λ ) x
+ by
=0
cx
+ ( d − λ ) y
=0
6) Re��e��� ��� ����e��� c�� ��� �����ce� ���e���d�� d�d��.
�)
b)
7) Re��e��� e� ����e�� �������e� de c�d� ������ de c�ef�c�e��e�
�)
b)
8) C��c��e ��� �����e� de � ���e� ��e e� ����e�� c��� ������ ���e���d� �e ��d�c� �e���:
�)
c)
Facultad de Química
�) ��) ���)
E��c���e��e ��� ����c��� S���c���e� ��f������ N������ ����c���
b)
d)
UNAM
26 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
����� 8: B������� A��������� �� ���������� �������� B����cee ��� �����e��e� ec��c���e� ��e �e��e�e���� �e�cc���e� �����c�� ����d� ����e��� de ec��c���e�. Se ��e�e��� �� ����c��� ���b���d� ��� e� ����d� �����, ��� e�b����, c�� �b�e�� de �� �c���� de�����d� e���c��, �� �e ������c���� ������� de ��� �����ce� (�� �� �������� de� ����e�� �� �� e�c���� �ed�c�d�), �����c� e� c������� ����c��� � �� ����c��� �e�e���. S��� �e ��d�c� e� ���e�� ����� de �����b�e�, �����b�e� ��b�e� (�����e����) � e� ��� c���� e� ��e �c���e�, ��� de������d�de� ��e debe� �e� �e��e���� ���� �b�e�e� �� b����ce� de �� �e�cc��� �����c� e� c�e�����. E� ��d�� ��� c����, �e d� ���� ��� ����c��� �����c����, �� e�e���� de ������c��� de �����e� � ��� �����e���� ���� e� b����ce�. Se �ec���e�d� �� e���d����e e� ��� c���� de ��� de �� �����e���, ������� ����� �����e� � �b�e�e� �b�e�e� ����� b����ce��. b����ce��. A �e��� de ��e � e��e ������� �� �e �����, e� ��� de� ����d� ����� ���� �e debe � ��e e� ����d� c���� e� d�f�c�� ���� e� ���e�� de ��� �������, �e �ec���e�d� f�e��e�e��e �e����� �� ����d� ����� �� ��e e� c���� �� �� e� ���� ���� ��d��. Se ��de��� ��� ��� ���d� de d�f�c����d d�f�c����d e� �� �e����c���, �e����c���, de 1,2, 3 � 4 �����e����, � de 2 � 3 �����e���� ��e ��c���e� �e����c��� de de������d�de� ���� �b�e�e� ��� ����c��� �����c���� �dec��d� 1.
P2I4+ P4+ H2O → PH4I + H3PO4
2.
KOH + H2SO4+H2O → KHSO4
3.
FeI2 + HIO3 + HCl → FeCl3 + I2 + H2O
4.
Na2Cr 2O7 + NaI + HCl → CrCl3 + I2 + H2O + NaCl
5.
HCl + KMnO4 → Cl2 + KCl + MnCl 2 + H2O
6.
CaF2 + H2SO4 → CaSO4 + HF
7.
FeS + O2 →Fe2O3 +SO2
8.
K 2Cr 2O7 + H2O + S → SO2 + KOH + Cr 2O3
9.
CaC2O4 + KMnO4 + H2SO4
10.
CuSCN + KIO3 + HCl + O2 →
11.
PbCrO4 + KI + HCl → PbCl2 + Crl3 + KCl + I2 + H2O
12.
Cl2 + KOH → KCl + KClO3 + H2O
Facultad de Química
UNAM
→ CaSO4 + MnSO4 + K 2SO4 + CO2 + H2O
CuSO4 + ICN + KCl + H 2O
27 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
13.
Ba(OH)2 + HCl + H2O → BaCl2
14.
K 2Cr 2O7 + CH3CH2OH + H2SO4 →Cr 2(SO4)3 + CH3COOH + K 2SO4 + H2O
15.
KCLO3 + HCl → KCl + H2O + Cl2 + ClO2
16.
C + O2 → CO + CO2
17.
C2H4 + HCl →
18.
[Cr(N2H4CO)6]4[Cr(CN)6]3 + KMnO4 + H2SO4 →
C2H6 + C5H5Cl + C2H4Cl K 2Cr 2O7 + MnSO4 + CO2 +
KNO3 + K 2SO4 + H2O 19.
C3H8 + O2 → H2O + C + CO + CO 2
20.
Zn + HNO3 → Zn(NO3)2 + H2O + H2 + NH4 NO3 + Zn(NH2)2 + NO2 + NO
21.
As2S5 + HNO3 → H3AsO4 + H2SO4 + H2O + NO + NO 2
22.
NaBrO + H2O2 → NaBr + O 2 + H2O
23.
HNO3 + Cu + Ag → CuNO3 + AgNO3 + NO + H2O
24.
Cu + HNO3
25.
KMnO4 + H2SO4 + H2O2 → MnSO4 + K 2SO4 + H2O + O2
26.
CH3CH2CH3 + O2 → C + CO2 + CO + H2O
27.
PbS + Cu2 S + HNO 3 → Cu(NO3)2 +Pb(NO3)2 +NO +NO2 + H2O + S
→ Cu(NO3)2 + NO2 + NO+ H2O
Facultad de Química
UNAM
28 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
SOLUCIONES: 1.
P2I4+ P4+ H2O → PH4I + H3PO4
S���c���: 5 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e���, ��
, (C�ef�c�e��e�, 10, 13, 128, 40,32)
D��de c�ef�c�e��e� �e �ef�e�e � ��� ����c��� �����c����, � �e d� �� ��e�� de �����e� ���� ��� c�ef�c�e��e� de ��� c����e���� ��e b����ce�� �� �e�cc��� �e�cc��� c��� e��� e�c����. 2.
KOH + H2SO4 + H2O → KHSO4
S���c���: 4 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e���, ��
, (C�ef�c�e��e�, 1,1,−1,1) ��ed�� e�
����� �e������ de� �e�ce� c�ef�c�e��e ��� ��d�c� ��e e� ���� �� de� ���� ��d� (e� ���d�c�� e� �e� de �e�c����) 3.
FeI2 + HIO3 + HCl → FeCl3 + I2 + H2O
S���c���: 6 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e���, �� 4.
Na2Cr 2O7 + NaI + HCl → CrCl3 + I2 + H2O + NaCl
S���c���. 7 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e���, �� 5.
CaF2 + H2SO4 → CaSO4 + HF
S���c���: 4 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e���, �� 7.
FeS + O2 →Fe2O3 +SO2
S���c���: 4 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e���, �� 8.
CaC2O4 + KMnO4 + H2SO4
CuSCN + KIO3 + HCl + O2 →
, (C�ef�c�e��e� 4,7,2,4)
, (C�ef�c�e��e� 2, 2, 3, 3, 4, 2)
, (C�ef�c�e��e� 5, 2, 8, 5, 2, 1, 10, 8)
CuSO4 + ICN + KCl + H 2O
S���c���: 8 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e���, �� 11.
, (C�ef�c�e��e� 1, 1, 1, 2)
→ CaSO4 + MnSO4 + K 2SO4 + CO2 + H2O
S���c���: 8 �����b�e�, �����b�e�, 1 ��b�e, ��b�e, 1 �����e���, �� 10.
(C�ef�c�e��e� 16, 2 , 5, 2, 2, 2 , 8)
K 2Cr 2O7 + H2O + S → SO2 + KOH + Cr 2O3
S���c���: 6 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e���, �� 9.
(c�ef�c�e��e�: (c�ef�c�e��e�: 1,6, 14, 2, 3, 7, 8)
HCl + KMnO4 → Cl2 + KCl + MnCl 2 + H2O
S���c���: 6 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e���, 6.
(c�ef�c�e��e�: 10, 6, 30, 10, 13, 18)
, (C�ef�c�e��e� 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 2)
PbCrO4 + KI + HCl → PbCl2 + Crl3 + KCl + I2 + H2O
Facultad de Química
UNAM
29 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
S���c��� 8 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e��� �� �� 12.
Cl2 + KOH → KCl + KClO3 + H2O
S���c��� 5 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e��� �� 13.
Ba(OH)2 + HCl + H2O → BaCl2
, (C�ef�c�e��e� 2, 12, 16, 2, 2, 12, 3, 8)
, (C�ef�c�e��e� 3, 6, 5, 1, 3 )
S���c���: E� ���� �� de� de� ���� ��d�. S� �� �� ���� ���ed�����e��e, ���ed�����e��e, �b��e�e 4�����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e��� ��
, (C�ef�c�e��e� 1, 2, −2, 1) e� ����� de� �e�ce� c�ef�c�e��e �e
��d�c� ��e e� ���� �� c��� ���d�c��. 14.
K 2Cr 2O7 + CH3CH2OH + H2SO4 →Cr 2(SO4)3 + CH3COOH + K 2SO4 + H2O
S���c���: 7 �����b�e�, 1 ��b�e, 1 �����e��� �� �� 15.
, (C�ef�c�e��e� 1, 3, 4, 1, 3, 1, 7 )
KCLO3 + HCl → KCl + H2O + Cl2 + ClO2
S���c���: 6 �����b�e�, 2 ��b�e�, 2 �����e����, �� 16.
C + O2 → CO + CO2
S���c���: 4 �����b�e�, 2 ��b�e�, 2 �����e����, 17.
18.
C2H4 + HCl →
(C�ef�c�e��e� : 2, 4, 2, 2, 1, 2)
(C�ef�c�e��e� 3,2, 2, 1)
C2H6 + C5H5Cl + C2H4Cl
S���c���: 5 �����b�e�, 2 ��b�e�, 2 �����e����,
(C�ef�c�e��e� 14, 4, 7, 2, 2)
[Cr(N2H4CO)6]4[Cr(CN)6]3 + KMnO4 + H2SO4 →
K 2Cr 2O7 + MnSO4 + CO2 +
KNO3 + K 2SO4 + H2O
S���c���: 9 �����b�e�, 1 ��b�e, ��b�e, 1 �����e��� (1879 e� �� d������� de �� ������ e�c���� �ed�c�d�) �� 19.
( C�ef�c�e��e� C�ef�c�e��e� 10, 1176, 1399, 35, 1176, 420, 660, 223, 1879) �UFFF!
C3H8 + O2 → H2O + C + CO + CO 2
S���c���: 5 �����b�e�, 3 ��b�e�, 3 �����e����, �����e����, �� 3, 6, 3) 20.
, (C�ef�c�e��e� 4, 14, 16,
Zn + HNO3 → Zn(NO3)2 + H2O + H2 + NH4 NO3 + Zn(NH2)2 + NO2 + NO
S���c���: 9 �����b�e�, �����b�e�, 4 ��b�e�, 4 �����e����, �� 17,40,16,15,1,1,1,2,2)
Facultad de Química
UNAM
, (C�ef�c�e��e�,
30 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior 21.
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
As2S5 + HNO3 → H3AsO4 + H2SO4 + H2O + NO + NO 2
S���c���: 7 �����b�e�, �����b�e�, 2 ��b�e�, 2 �����e����, �e �b��e�e �� de������d�d e� dec�� 22.
�e �e��e��e ��
, (C�ef�c�e��e� 2, 56, 4, 10, 12,12, 44)
NaBrO + H2O2 → NaBr + O 2 + H2O
S���c���: Y� e��� b����ce�d�. S� �� �e d� c�e��� c�e��� de�de e� ����c����, �b��e�e 5 �����b�e�, 2
�
��b�e�, 2 �����e����, debe debe �e����e� ��� de������d�de� de������d�de� �� �������
23.
��
(������������ 1,1,1,1,1)
HNO3 + Cu + Ag → CuNO3 + AgNO3 + NO + H2O
��������� 7 �a��a����, � ������, � �a��������, ���� �������� �a ������a��a�
�� �����
24.
Cu + HNO3
��
(������������� 8,3 3, 3, �, 3, �)
→ Cu(NO3)2 + NO2 + NO+ H2O
��������� 6 �a��a����, � ������, � �a��������, �� ����� �������� �a� ������a��a���
�������a�
�, 6)
25.
(C����������� �, 1�, �, �,
KMnO4 + H2SO4 + H2O2 → MnSO4 + K 2SO4 + H2O + O2 ��������� 7 �a��a����, � ������, � �a��������, �� ����� �������� �a� ������a��a���
� ,
��
(C�����������
�, 3, 1, �, 1, �, 3)
26.
CH3CH2CH3 + O2 → C + CO2 + CO + H2O ��������� 6 �a��a����, 3 ������, 3 �a��������, �� ����� �������� �a� ������a��a���
� , ��
(C����������� �,
1�, �, � , 3, 3, 6, 16)
27.
PbS + Cu2 S + HNO 3 → Cu(NO3)2 +Pb(NO3)2 +NO +NO2 + H2O ��������� 9 �a��a����, 3 ������, ������, 3 �a��������, �� ����� �������� �a� ������a��a����
Facultad de Química
UNAM
31 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
� ��a� �� ������ ��
a� ����a� ��� �a���� �a����� �� ��������a ��� ��
�� �������� �a����� ��������� ��������� �a�a ����� ���
����������,
(C����������� � 1,�,16,�,1,�,�,8,3)
Facultad de Química
UNAM
32 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
����� 9: ��������
��������� �������� �� �������� 1) Ide���f���e ��� �e�����e�, ��� c�������, ��� ������� � ��� e�e�e���� (2, 2) de ��� �����ce�. De�e����e e� e�e�e��� (3, 1) de � � e� e�e�e��� (2, 3) de �.
− 1 0 A = 2 3 − 2 1
− 1 0 − 2 2 2 1
B =
2) De�e����e ��� �����e� de �, � � � ���e� ��e ��� �����ce� �����e��e� �e�� �����e�.
1 �) 0
0
1
2
− 3
=
0 1 x x + y 2 x + z
1 �) 0
0
1
2
− 3
=
x + z 0 1 − y 2 − z
3) �C���(e�) de ��� �����ce� ��� de ��� �����e��e� �����? �����?
1 1 A = 1 0
1 0 C = 1 1
E =
3 G= 0
1 0 B = 1 0
1 1 D = 0 0
1 0 F = 0 2
0 1 H = 1 1
�. ���������� �������� �. ���������� �������� �. ��������
0 1 1 0
0
3
�. ������� �. ���� �� �� ��������
����� �������������� ��� ��������
4) C��c��e, �� e� ����b�e, �� �����e��e. S� ��� ��e��c���e� �� ��ede� efec�����e, e������e ��� ���.
�)
1 − 1 0 1 0 1 + 1 2
Facultad de Química
1 1 − 1 �) − 3 1 1 − 1
UNAM
33 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
1 − 1 0 0 1 + 0
�)
− 2 4 − 6
�)
1 2 �) − [1 − 2] + 4 3
3
7 −5 − −5 7 3
1
− 2
− 3
4
5) ��a� A =
− 6
�)
− 2 4
0
, B =
1
y
5 − 2
0
2
3 − 5 7 0
− 4
3
− 4 − 6
8
− 2
− 6
4
C =
��������� �a �a���� � �a���� � ��� �a����a�a �a� ���a�������
�) 2 X + B = −3 A + C
1
3 A − X = B + 2C 2 2
�)
�) 0C + X + 5 B = 2 A
�) 2 X + B + C = 0
�)
�)
1 2
A − X = B − C
1 0C + X = 2 A − 4 B 2
�������������� �� ��������� 1) �� �� �������, �a�����.
3 �) 4
[1
2 3 4 1 �) − 2 − 4 3 0
2]
3 2] 4
− 3 �) 2 − 7
�)
[1
�)
2 3 4 1 − 2 1 4 0 − 2 − 4 3 0
1 − 2 4 0
0
1 0 1 0 1 1 4
−5
�) ������a �� ������ ������� �� �� �� �� ��
Facultad de Química
UNAM
34 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
3 4 A = 4 3 1 2
1 B = 6
2
5
5
2
6
1
3) Ca����� �a ������a ������a �� �� �� �� ��
1 2 5 A = 6 5 2
3 4 B = 4 3 1 2
�) E�������� �� �������� (�, �) ��
1 2 2 − 1 3 4 − 3 1 3
�) ��������� (� �) �) ��
1
A 3 =
1
− 5 − 2
8
6) Ca����� � Ca����� � ��
1 1 A = 0 1
Facultad de Química
UNAM
35 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
����� 10: ������ �������
1) ��������� �a� ������a� �� �a� ���������� �a�������
3 2 7 5 , 1 2 4 4
2) ���� ��� �a� ���������� �a������ �� ��� ������������
1 1 − 10 20 , 2 2 20 − 40 4 4 8 6
3) ��������� �a ������a �� 10 � �� �a ������a �� � �� � ���
4) E�������� �a ������a ���
cosθ senθ − senθ cos θ
5) Ob�e��� ��� ������ c��� ���e��� �e�:
1 3 2 8
1 A = 1 0 −1
6) De�e����e A, ��:
1
0
−1
1
0
1
7) A�����e e� ��������� de ���e����� ���e����� de �����ce� ���� c��c���� �� ���e��� de �� ������ d�d�,( e� c��� de �e� ����b�e).
− 3 − 2 �) − 5 − 3
− 1 1 0 �) 0 − 1 0 0 0 1
1 1 − 3 3 �) 2 1 − − 3 3
Facultad de Química
1 �) 3 − 6
UNAM
3
2
2
1
− 4 − 2
36 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
− 1 0 1 2 4 �) 1 − 0 −31 13
�)
1 1 3 2 3 3
− 1
1 1
− 1 − 1 �) 0 0
1
1
− 1
0
1
0
− 1 0 �) − 1 − 1
0 1 2
1 −1 1 0 1 − 1
1 1 2 1 1 1 0 1 1
8) �������a ��� ������a� �a����a��� ������� �a ������a �� �a �a���� �� ������������. (�� � �)
x 1)
a)
�)
+ y
x
− y
�) x
− y
x
− z
=1
− 2 x
+ y
x
− y
− z
=b
=3
x
+ y
− z
=c
=2
− x
=4
�) − x
− z = 2
x − x
9)
+ y
− 2 y
− z
− z = −1
3)
+ y
y
=a
+ z
=a
+ z = a
2
− z
3
=a
Ca����� �a� ������a� �� �a� ���������� �a����� � .�� a�����a �a ��������a.
Facultad de Química
UNAM
37 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
�)
�)
�)
�)
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
Facultad de Química
UNAM
38 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
����� 11: D������������ 1) ������� ��� ���������� �������������:
�)
�)
�)
3
6
4 7
�)
3 4 6 7
− 1 100
1
−
2 1
�)
2
�)
�)
�)
�)
�)
−1
0
1 2 1
�)
0
2
0
5
0
3
0
4
1
2
0
3
4
0
0
0
5
0
0
3
0
2
0
1
0
0
�)
�)
−3
5
1
1
0
−2
0
3
0
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
2
2
3
3
3
3
1
0 0
0
0 0 1
0 1 0
2
1
1
�)
0
0
0
0 1
0
1
0
0
0
5
2
0
0
7
0
3
0
9
−1
4
0
1
2
−3
−4
0
2
5
6
0
0
3
9
0
0
0
4
1
0 1
2 1 0
0 −1
3
0 1
1
4
0 1
0
2) ������� �� ������������ �� �� ������ �� ������������ ��� �������.
Facultad de Química
UNAM
39 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es 5 x
− 2 y
=1
+ y
+ 2 z
= −3
− 7 y
+ 2 z
= −2
�) − x
y
�)
x − x
− z
=0
− z
=1
+ y
= −1
3) ������� ����� ��� ������� �� λ (������ � ���������) ����� ��� ��� ������������� ���� ����. �)
�)
�)
�)
1 − λ
2
1
3 − λ
1 − λ
5
2
10 − λ
λ
1
4
λ
�)
1
0
0
0
λ − 2
1
0
2
λ − 1
2 − λ
0
0
1
3 − λ
0
0
1
1 − λ
�)
1 − λ
−1
1
1 − λ
x x
4) ������� �� ����� �
1
2
=
x − 1
1
−1
x − 1
5) ������� �� ����� �� �� x
0
0 x − 3 2
0
x − 1
2
−1 = − 2
x − 6
3
1
0
x − 7
0
0
x − 2
6) ��������� �� � ����� ��� a
b
1
2
=
a
4
1
a
=0
7) ������ ��� ������������� ���� ��� ����������.
5
�)
1
14
0 10
2
0
0
�)
−1
Facultad de Química
UNAM
1
−1
1
2
−1
2
4
−2
4
40 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
�)
�)
�)
�)
�)
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es 0 1
0
0
0
0 1
0
0
0 0 1
1
0 0
0
1 1 0
1
0
0
0
0
0
1 1 1
2
2
0
0
0
0
0 1 1
3
6
3
0
0
4
6
6
4
0
5
5
5
5
−1
1
1
2
2
2
3
4
4
8
1
1 1 0
1
�)
�)
0 0 0
1
0 1 0
0
0 0 1
0
0
0
0
0
1
1
0 0
0
0
2
0
0
2
1
0 0
0
0
6
3
0
3
0 0 0
1
0
6
6
4
5
0 0 1
0
−1
5
5
5
5
0 1 0
0
0 0 1
0
0 1 0
0
1
0 0
0
0 0 0
1
Facultad de Química
�)
UNAM
41 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinant es
����� 12: ����� �� C����� 1) ������� �a ����a �� C�a��� �a�a �������� ��� ������a� �����������
�)
�)
�)
�)
�)
�)
x
+ y
=1
x
− y
=1
�)
x
+ 2 z = 1
3 x
+ 4 z = 1
�)
3 x
− 3 y
− 2 z
− x
− 4 y
+ 2 z = 2
5 x
+ 4 y
x
− y
− z − w
=0
− x
− y
+ z + w
=2
x
+ y
− z + w
=1
x
+ y
+ z + w
=1
+ z
=3
=1
�)
�)
2) ������� �� ����� �� ������ ���� �������� � � � ��� ������� ���������:
(cos θ ) x − ( senθ ) y = cos θ − 2 senθ ( senθ ) x + (cos θ ) y = senθ + cos θ
Facultad de Química
UNAM
42 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes
����� 13: C������ �� D������������ ��� ����������� �� ��� D������������. ������A� D� �C�AC����� �A���C�� � D�������A����.
1)
�)
3)
�)
�)
Facultad de Química
��� −18
��� −1�
��� −10
6)
7)
8)
��� 3�
��� 1�
��� �1
��� 7
UNAM
��� −��
43 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Números Complejos
����� 14: ����������� B������. ������� C��������
E������ �� �a ����a ����a a � ��
1) �) 3) �) �) 6)
���a �����a �����a�a ���� ��������
��e��c���e� � e���e�e e� �� f���� � + b�, �����, d�fe�e�c���, d�fe�e�c���, ���d�c���, d�������e� d�������e� ��a���� �a� �����e��e� ��e��c���e�
7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Facultad de Química
UNAM
21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34)
44
������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior 3�) 36) 37) 38)
�������a�
41) 42)
Números Complejos
����a� ���������
Facultad de Química
UNAM
39)
�0)
�
45 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Números Complejos
����� 15: ����� ����������� � ����� �������������� � ����������� �� ����� ��������������. E�c��b�� e� f���� T�����������c�
1) 2) 3)
4) 5) 6)
P���� de f���� T�����������c�
9) 10) 11) 12)
θ rcis θ
θ rcis θ
7) 8)
− i i
i
−
� �ec��������
13) 14) 15)
abi
C��c��e ��� ���e�c���
16) 17) 18) 19) 20)
Re���ce ��� ��e��c���e� ��e �e ��d�c��, �����f���e ����e�� � f���� ������������c� ��� ���e��� ��e e���� e���e��d�� e� f���� �ec��������. � ec��������.
21) 22) 23) 24) 25) 26)
Facultad de Química
UNAM
46
������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
27) 28) 29) 30) 31) 32) 33)
Números Complejos
Facultad de Química
UNAM
47 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Números Complejos
����� 16: ������� �� D� ������. ��������� � ������ . ������� C��������. U�e e� �e��e�� de De D e M����e ���� e�e��� � �� ���e�c�� ��d�c�d�: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)
Ob�e��� ��� ���ce� ��e �e ��d�c�� 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
acs araas acs cbicas z z z z z i R��ce� c�b�c�� de
R��ce� c��d��d�� de R��ce� c�b�c�� de R��ce� c�b�c�� de
z i z z i
R��ce� c�b�c�� de
26)
R��ce� c�b�c�� de
R��ce� c�b�c�� de
27)
R��ce� c������ de
28)
R��ce� ������� de
29)
R��ce� �e���� de
R��ce� c�b�c�� de
−
R��ce� c�b�c�� de R��ce� c�b�c�� de
Facultad de Química
UNAM
−
R��ce� ������� de
48 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 17:
Números Complejos
���� C������� �� �� ������ �������� �� ����� �����������, �������� �� ������� ����� � �������� �� ���������� �� �������� ��������.
E�c�e���e ��� ���ce� c��d��d�� de ��� �����e��e� ���e��� c����e��� e� f���� �ec��������. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)
Re��e��� ��� �����e��e� ec��c���e� 16) 17) 18) 19) 20)
21) 22) 23) 24) 25)
Re��e��� 26) 27) 28) 29)
Facultad de Química
UNAM
49 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
30)
31)
32)
Números Complejos
Facultad de Química
UNAM
50 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 18:
Teoría de Ecuaciones
D������� ��������� � ������� ��� �������. �����A D� �C�AC�����
U����ce �� d������� �������c� ���� efec���� ��� �����e��e� ��e��c���e�:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
U����ce �� d������� �������c� � e� �e��e�� de� �e��d�� ���� ��� �����e��e� e�e�c�c���: 19.
D�d�
Facultad de Química
UNAM
e�c�e���e
51
������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Teoría de Ecuaciones
20.
D�d�
21.
D�d�
22.
De��e���e ��e
23.
De��e���e ��e
Facultad de Química
e�c�e���e
e�c�e���e
UNAM
e� �� f�c��� de 2
e� �� f�c��� de 3
−10
52 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 19:
Teoría de Ecuaciones
D����� �� �������� �� ����������. C���� �� ����������, C���� ���������� � ����������. �����A D� �C�AC�����
D�b��e ��� ���f�c�� de ��� �����e��e� ����������. Ob�e��� ��� �����e� e� �c��� de ��� ce��� e��e��� � ��c���ce ��� ����� ce��� �e��e� e���e e��e��� c���ec������.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 16.
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
E�c�e���e c���� ��fe����e� � ���e����e� ���� ��� ���ce� de ��� �����e��e� ec��c���e�. (e� e��e�� ��� ce�c��� ����b�e ��c�� �b��� � ��c�� ����b�, �e��ec�����e��e) 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
Facultad de Química
UNAM
53 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 20:
Teoría de Ecuaciones
���������� ��� ������ ������ � ������ ���������. �����A D� �C�AC������
1. �������a �a ���a����
�a�� ��� ��a �� ���
d�d� ��� ���� c����e��, debe �a���� �� 3+2�. Rec�e�de ��e c��� �� �e �e �� d�d� c�������� e� ��������� c�� ��� f�c���e� de �� ���� d�d� � �� c������d� ����� ��������� ��e � �� �e� e� f�c��� de �� ec��c��� de c����� ���d�. A� A � d���d�� �� ec��c��� de c����� ���d� ��� �� de �e���d� ���d�, �e �b��e�e ��� ec��c��� de �e���d� �e���d� ���d� ��e ��ede �e����e� c�� �� ec��c��� �e�e��� de �e���d� ���d�. A� ��ce� � �ce� e��� �b�e�d�� ��� ����� d�� ���ce� ��e �e������ �e� ���d�� c��d����c�� 2. Re��e��� �� ec��c��� ec��c��� ��� ����. 3. Re��e��� �� ec��c��� e� ��� ����.
.
d�d� ��e
e�
d�d� ��e ��e
4. Re��e��� �� ec��c��� ���� d�b�e.
d�d� ��e e� ���
5. Re��e��� �� ec��c��� ��e
d�d�
e� ��� ���� d�b�e.
6. Re��e��� �� ec��c��� d�d� ��e
e� ��� ���� d�b�e.
7. Re��e��� �� ec��c��� d�d� ��e e� ��� ���� d�b�e.
Facultad de Química
UNAM
54 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 21:
Teoría de Ecuaciones
����� �� ��� ������ �� D��������. ��������� ���� �� ����������� ������� �� �� ����� �� ��� ������ �� D�������� ���� ��� ��� ���������� ����������. �����A D� �C�AC������
1)
x 3 + 4 x − 1 = 0
�0)
3 x 4 −4 x 3 − 7 x 2 − 18 x − 22 = 0
�)
x 3 − 8 x 2 − 9 = 0
�1)
2 x 4 −5 x 3 − 8 x 2 − 3 x + 1 = 0
3)
x 3 + x 2 + 5 = 0
��)
x 4 −20 x 3 − 10 x 2 + 3 x + 24 = 0
�)
x 3 − 5 x 2 + 2 x − 3 = 0
�3)
5 x 4 +4 x 3 − 7 x + 11 = 0
�)
2 x 3 − 3 x 2 − x + 9 = 0
��)
3 x 4 −5 x 2 + 19 x − 15 = 0
6)
3 x 3 − 2 x 2 − 7 x − 5 = 0
��)
x 5 + x 4 − x + 12 = 0
7)
x 3 + 3x 2 + 7 x − 2 = 0
�6)
6 x 4 +3 x 3 − 7 x 2 − 20 = 0
8)
2 x 3 − 5 x 2 + 2 x + 6 = 0
�7)
x 6 + 4 x 2 − 30 = 0
9)
5 x3 + x 2 − 4 x + 1 = 0
�8)
4 x 4 +2 x 2 + 1 = 0
10)
4 x 3 − 7 x 2 − x − 15 = 0
�9)
x 5 − 2 = 0
11)
x 3 + 2 x 2 − 5 x − 8 = 0
30)
x 6 − 12 = 0
1�)
2 x 3 + 3x 2 + 4 x + 5 = 0
13)
8 x 3 − 10 x 2 + 4 x − 9 = 0
1�)
x 3 − 17 x 2 − 11x +14 = 0
1�)
22 x 3 − 19 x 2 − 15 x − 12 = 0
16)
x 4 −10 x 3 + x 2 + 6 x + 11 = 0
17)
2 x 4 +3x 3 − 5 x 2 + 2 x − 22 = 0
18)
5 x 4 −2 x 3 + 3x 2 − 4 x + 10 = 0
19)
x 4 −17 x 3 − 14 x 2 + x − 5 = 0
Facultad de Química
UNAM
55 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 22:
Teoría de Ecuaciones
������ ����������. ��������� ��� ������ ���������� �� ��� ���������� ����������. �����A D� �C�AC����� .
1)
x 3 + x 2 − 5 x − 2 = 0
�)
x 3 − 3 x 2 − 8 x − 10 = 0
3)
x 3 + x + 10 = 0
�)
2 x 3 − 3 x 2 − 7 x − 6 = 0
�)
2 x 3 + 7 x 2 − 19 x + 6 = 0
6)
2 x 3 + x 2 + x − 1 = 0
7)
5 x3 + 3 x 2 + 13 x − 6 = 0
8)
3 x 3 + 4 x 2 − 16 x + 8 = 0
9)
6 x 3 − 19 x 2 + x + 6 = 0
10)
6 x 3 − 29 x 2 + 39 x − 10 = 0
11)
2 x 3 − 3 x 2 + x − 6 = 0
1�)
2 x 3 + 13 x 2 + 12 x + 3 = 0
13)
12 x 3 − 32 x 2 − 33x − 7 = 0
1�)
24 x 3 + 50 x 2 − 31x − 15 = 0
1�)
x 4 + x 3 − 16 x 2 − 4 x + 48 = 0
16)
x 4 − 3 x 3 − 21x 2 − 43 x + 60 = 0
17)
12 x 4 − 20 x 3 − 57 x 2 + 50 x + 75 = 0
18)
28 x 4 − 3 x 3 − 154 x 2 − 54 x + 36 = 0
19)
x 4 − x 3 − 9 x 2 + 11x + 6 = 0
�0)
8 x 4 − 24 x 3 + 5 x 2 + 52 − 15 = 0
�1)
6 x 4 − 31x 3 − 44 x 2 + 371x − 392 = 0
Facultad de Química
UNAM
56 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
��)
Teoría de Ecuaciones
x 4 + 10 x 3 + 20 x 2 + 20 x − 44 = 0
�3)
��)
��)
�6)
�7)
�8)
Si
i
es raíz doble
�9)
Si
es raíz doble
30)
Si
es raíz triple
31)
Facultad de Química
UNAM
57 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 23:
Teoría de Ecuaciones
�������� ������� ������� C����� � �������� ������� ������� �� C����� �����. �������� ��� ��� ������� �� C������ ���� �������� ������ � �� ������� ���� C����� �����. �����A D� �C�AC����� .
1)
x 3 − 6 x − 6 = 0
�0)
x 4 + 10 x 3 + 35 x 2 + 46 x + 10 = 0
�)
x 3 − 12 x − 20 = 0
�1)
x 4 − 6 x 3 + 16 x 2 − 54 x + 63 = 0
3)
x 3 − 3x + 1 = 0
�)
x 3 − 6 x − 2 = 0
�)
x 3 + 9 x + 6 = 0
6)
x 3 − 12 x − 8 = 0
7)
2 x 3 − 6 x − 5 = 0
8)
9 x 3 − 30 x − 82 = 0
9)
x 3 + 6 x 2 + 6 x − 10 = 0
10)
x 3 − 6 x 2 + 21x − 20 = 0
11)
x 3 − 6 x 2 − 3 x − 8 = 0
1�)
x 3 − 9 x 2 − 9 x − 15 = 0
13)
x3 − 3 x + 2 = 0
1�)
x 3 + 3x 2 + 9 x + 9 = 0
1�)
x 4 + 6 x 3 + 8 x 2 + 8 x − 16 = 0
16)
x 4 − 8 x 3 + 20 x 2 − 16 x − 21 = 0
17)
x 4 + 2 x 3 − 8 x 2 − 6 x −1 = 0
18)
x 4 − 8 x 3 + 9 x 2 + 8 x − 10 = 0
19)
x 4 + 5 x 3 − 25 x − 25 = 0
Facultad de Química
UNAM
58 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 24:
1) �) 3) �) �) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 1�) 13) 1�) 1�) 16) 17) 18) 19) �0)
Teoría de Ecuaciones
������ ������������. ��������� ����� ���� ���������, ��� ������ ������������ �� ��� ���������� ����������. �����A D� �C�AC�����.
Facultad de Química
UNAM
59 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 25:
Espacios Vectoriales
����������� �����������. ���AC��� ��C����A���
E� ��� ���������� 1 a � ��a���� �a� ����a������ �������a��� �����a�a�, �����a�a�, �� ��� �������. 1)
a)
�)
a)
3)
a)
�)
a)
�)
��a� a)
6)
�)
�)
�)
�)
Ca�����
��−���3�
a)
��−0�−6� �
��������� �� ������ x �a� ���
a)
�)
E� ��� ���������� 7 a 9 ��a�� ��� ��� �������� ��� ��� �� ����� ��
7) 8) 9)
Facultad de Química
UNAM
60
������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Espacios Vectoriales
E� ��� �����e��e� e�e�c�c���, de� 10 �� 12 de�e����e e� � ��� �����e� (�� ��� ���) de � ��e ��ce� ����d�� ��� �����d�de� 10)
�)
11)
�)
12)
�)
b)
b)
b)
P��� ��� e�e�c�c��� 13 � 15, �e�� a � b �ec���e� �ec���e� 3, (3 c�����e��e�) c�����e��e�) 13)
De�e����e e� �ec��� 3, x, ��� ��e 2x−4b = 3a
1�)
E�������� �� ������ 3 �a� ��� 4x+3b = 2a
1�)
Ca����� ��� �������� 3, x � y ���e� ��e
16)
De�e����e ��� �ec���e� 2, x � y ���e� ��e
17)
T��ce e� �ec��� ��b�e �.
� c��c��e ��� c�����e��e� b.
E� ��� e�e�c�c��� 18 � 25 d��� �� e� ����e� �ec��� e� ��� c��b���c��� c� �b���c��� ���e�� de ��� �e�����e� 18) 19)
Facultad de Química
UNAM
20) 21)
61 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
��)
�3)
Espacios Vectoriales
��)
��)
E� ��� ���������� �6 a 30 ��������� ��������� �� � �� ��a ������a���� ������a���� ����a� �� �a� ������a� �� � �6) �7) �8)
31)
3�)
��������� ��� ��a������ ������
Ca����� �� � ��� �a����� �� k �a��� �a��� ���
��
Facultad de Química
UNAM
�� ��a ������a���� ����a� ��
Ca����� �� � ��� �a����� �� k �a��� �a��� ���
������a� ��
33)
30)
C�������� ��� ��a������ ������
��
33)
�9)
�� ��a ������a���� ����a� �� �a� ������a�
��a ��a ��a ������a���� ������a���� ����a� �� �a�
��a ��a ������a���� ����a� �� �a� ������a� ��a
62 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior 3�)
E�����a ��� ���������� ������a� �� ����a �� ���a������ �������a���. a.
3�)
�.
E������ ��� ���������� ������a� �� ����a �� ���a������ �������a���.
a.
36)
Espacios Vectoriales
�.
��a���� �a� ���a������ �������a��� �� ����a �� ������a� ����a���. a.
Facultad de Química
UNAM
�.
63 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 26:
��a� 1)
�������� �����, �����, ������� ����� ��� ��������, ������� � C������ ����������, ������������ �����������−���AC��� ��C����A���
E�������� �a� ���������� �� ��� ���������� ��������.
u �)
Espacios Vectoriales
�
�
u − � + � �
�
+ + + + +
��������� �a� ���������� �����������
+ �)
u − − �
Ca����� �a� ���������� �����������.
3)
u + �
��� ���? �C����� �� �a� ���������� ����������� ��� ��def���d�� � ���
+ + + 5)
De�e����e e� �ec��� �������� e� c�d� d��ecc���
6)
E�c�e���e �� �ec��� de �������d 3 c�� �� d��ecc��� de u�
7)
C��c��e �� �ec��� de �������d 2 c�� d��ecc��� ���e��� � �� de u�
8)
De�e����e �� �ec��� e� �� d��ecc��� de � c��� c��� �������d �e� 9 �ece� �� de �
9)
E�c�e���e �� �ec��� de �������d 9 e� �� d��ecc��� de ��
10)
12) 13)
�
�
�
C��c��e �� d�����c�� e���e ��� ������ P � � �. P ( 1, 1,−1) � ( (−2,3,4)
11)
u
b. P (4, (4, −3, 2, 0) � (0, (0, 2, −6, 4)
�C���e� ���e� de �ec���e� ��� ���������e�? �. (1, 1), (1, −1)
b. (1,−1, −1), (0, 1, −1)
c. ( 4, −2, −1), (−2, 3, 4)
d. (−7,−3, 1, 0), (0, 2, 6, 4)
E�c�e���e d�� �ec���e� ��e �e��, c�d� ���, ���������e� � (1, −2, 4) De�e����e �� �ec��� �������� ��e �e� ��������� � ( −2, 3, 1).
Facultad de Química
UNAM
64 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Espacios Vectoriales
P��� e� �����e��e e�e�c�c�� c��c��e c ��c��e e� ������ ��e f����� u � � � (e� (e� ������ ��� �e� �ece���e ��� c��c���d���) 14)
�) u = = (1,1), � = = (1,−1)
b)
u = = (−1, 1, 1), � = = (2, −2, 1)
c)
d)
u = = (3, 4), � = = (5, 12)
f)
u = = (1, −1, −1, −1), � = = (1, 1, 1, 1)
u = = (1,−1, 1, −1 ), � = (0, 1, 1,0 )
e) u = = ( 15)
, 1, −2 ), � = = (1,
, −2 )
C��c��e �� ����ecc��� ��������� de u ��b�e ��b�e � �) u = = (2,3), � = = (−2,1)
b)
u = = (0, −1, 6), � = = (−1, −3, 5)
c)
d)
u = = (3, 4), � = = (1, 1)
u = = (−2,−1, 0, 1), � = = (0, 0, −1,3)
16)
A���� e�c�e���e �� c�����e��e �ec������ de u ��������� ��������� � �
17)
C�����ebe �� de������d�d de C��c�� −Sc����� ���� ��� ���e� �.
b.
18)
De�c��b� �e������c��e��e e� c�������
19)
E���e�e �e������c��e��e e� c�������
20)
C�����ebe ��e ( d��ec���e�
21)
De�e����e, ��� c��e��� d��ec���e� � ��� ������� d��ec���e� ���� ��� �����e��e� �ec���e� �) e)
Facultad de Química
de ��d�� ��� �ec���e� 2 ���e� ��� e� ��e
de ��d�� ��� �ec���e� 3 ���e� ��e
e� �� �ec��� ��������. S�
b) f)
UNAM
.
c) �)
d)
.
��� ��� �������
65 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 27:
1)
Espacios Vectoriales
������� �������� � ������������� ������−���AC��� ��C����A���−
�
��a�
�) c)
�E� c�e��� � f���� �� �����e��e?
e��� e�
b)
e��� e�
e��� e� Ge�( )
d)
e��� e� Ge� ( )
P��� ��� �����e��e� �����e��e� e�e�c�c��� 3 Y 3 �e�� 2)
�) c) e) �)
3)
� e��� e�
?
b) � e��� e�
� e��� e�
?
d) � e��� e�
� e��� e�
?
� e��� e�
f)
?
?
�) � e��� e�
?
?
b) �E� c�e��� ��e e�
?
�E� c�e��� ��e e�
?
d) C�����e e�
c�� e�
e) �C��� e� e�
?
f)
?
�C��� e� e�
�) � C��� e� e�
?
� e��� e�
�) �E� c�e��� ��e e�
c)
?
?
�) �C��� e� e� e���c�� �e�e��d� de ��� c������� de
P��� ��� e�e�c�c��� 4 � 5 �e�� 4)
�)
�
e��� e� e�
Facultad de Química
UNAM
?
66 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
5)
Espacios Vectoriales
e��� e� e�
b)
�
c)
�
�)
De��e���e ��e e�
.
b)
De��e���e ��e e�
.
c)
De��e���e ��e e�
e��� e� e�
?
?
.
E� ��� e�e�c�c��� de� 6 � 9 de�e����e �� ��� c������� de �� ������ d�d�� de
�e�e��� �
+
6)
�)
7)
�)
8)
�)
9)
�)
10)
E�c�e���e �� c������� �e�e��d�� f����� ����
11)
E�c�e���e �� c������� �e�e��d�� f����� ����
12)
E�c�e���e ��d�� ��� �����e� de ���e� ��e
13)
E�c�e���e ��d�� ��� �����e� de ���e� ��e
b) b)
b)
b)
.
E� ��� e�e�c�c��� 14 � 21 de�e����e �� ��� �ec���e� ��� ���e���e��e ��de�e�d�e��e� 14)
,
,
Facultad de Química
,
15)
UNAM
,
,
,
67
������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
16)
17)
18)
Espacios Vectoriales
19)
����
20)
21)
+
22)
�P��� ��� �����e� de � e� ���e���e��e de�e�d�e��e e� c�������
23)
�P��� ��� �����e� de � e� c�������
24)
�E� c�e��� ��e e� c������� c���� e�e�e���� ��� de�e�d�e��e?
Facultad de Química
UNAM
?
+
e� ���e���e��e de�e�d�e��e?
debe �e� ���e���e��e
68 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 28: 1)
Espacios Vectoriales
�������� C���, A���, �������, ��������� �� ��������−���AC��� ��C����A���−
+ + + +
Se��
Efec��e �����e��c���e�
�����e��e�. �) d)
2)
Se� �) c) e)
3)
Se� �) c)
4)
c) e) �)
c)
e)
f)
De�e����e b) d) f)
�
E�c�e���e
b) d)
Se�� �)
b)
�ec���e� e�
b) d) f)
�)
5)
C�����ebe �� Ide���d�d de L������e ����
6)
C��c��e e� �e�� de� ������ f����d� ��� � �)
Facultad de Química
�
���� :
b)
UNAM
69 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Espacios Vectoriales
7)
De�e����e �� �ec��� �������� �e��e�d�c���� �� ����� def���d� ���
8)
E�c�e���e �� �ec��� de �������d 4 ��e �e� �e��e�d�c���� �� ����� def���d� ���
�
�
9)
�C��� e� e� ��e� de� ��������� c���� �����ce� e���� e� (1, 1, 1), (1, −1, −1) � (0, 1, − 1)?
10)
�C��� e� e� ��e� de� �����e������� c���� ��d�� �d��ce��e� ���
,
11)
�
?
��e�d�
C��c��e e� �����e� de� �����e�e���ed� c���� ��d�� �d��ce��e� ��� ��� �ec���e� de ����c��� (1,� −2, 3), (2, 0, 5) � (0, 4, 4, −1)
12)
A�����e e� ���d�c�� c��� ���� de������� ��e (1, 2, −1) � (−2, −4, 2) ��� �����e���.
13)
U����ce e� c���e��� ���� ��e ��e� �ec���e� �e�� c�������e� c���(e�) de ��� �����e��e� e�e�c�c��� �e c����e. �) b)
, � d��� e�
14)
�E� �e�d�d ��e ��
, � ���b���
15)
�E� c�e��� ��e ��
16)
De��e���e
17)
De��e���e �� Ide���d�d de J�c�b�
18)
F������ de E��e�. S�
e����ce�
e����ce�
?
?
��� ��e� ��d�� �d��ce��e� de �� �e���ed�� c�� ����e�
c����, de��e���e ��e e� �����e� �3e e���e�� c��
. P����, �e ��be de
�� �e��e���� ��e
Facultad de Química
UNAM
70 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
����� 29:
Espacios Vectoriales
������, ������ � ����������� −���AC��� ��C����A���−
E��� �� �� e� �� e���� ��d�f�c��d� P��� ��d�� ��� e�e�c�c��� de ���� �e��e, �e�� � e�� l l1 ,, l l 2,, l l3 � l l4, ��� ���e�� c���� �e��ec����� ec��c���e� ���������c�� ��� :
l l1
:
l l3 �
l l2 �
,,
l l4 �
1)
� C���e� de ��� ������ P,Q, R � S e���� e� l l 1?
2)
� C���e� de ��� ������ P,Q, R � S e���� e� l l 3?
3)
Ob�e��� 3 ������ e� l l1.
4)
E�c�e���e �� ���e��ecc��� de l l3 c�� ��� ������ c���de��d��.
5)
l Ob�e��� ��d�� ��� ���e� de �ec��� �����e��� ��e ��� e� e� c������� l l 1, l l2 , l l3 � l l4.
6)
E�c�e���e ��d�� ��� ���e� de �ec��� �e��e�d�c����e� ��e ��� e� e� c������� l l1 , l l2 , l l3 � l l 4,
7)
l De��e���e ��e l l1 , � l l4 �e ���e��ec��. De�e����e �� ����� de ���e��ecc���
8)
C�����ebe ��e l l1 , � l l3 ��� �ec��� �e���d��, e� dec��, �� ��� �����e���, �� �e ���e��ec��.
9)
Ded��c� ��� ec��c���e� �������c�� de l l 1, l l2 , l l3 � l l4.
Facultad de Química
UNAM
71 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
10)
Espacios Vectoriales
P��� c�d� �ec�� de l l1 , l l2 , l l3 � l l4 , �b�e��� ��� ec��c���e� de d�� ������ c��� ���e��ecc��� e��� def���d� ��� �� �ec�� d�d�. P����: ��e ��� ec��c���e� �������c��.
11)
De�e����e ��� ec��c���e� ���������c�� de �� �ec�� ��e ���� ��� P � e� �����e�� �
. 12)
De�e����e ��� ec��c���e� ec��c���e� ���������c�� ���������c�� de �� �ec�� ��e ���� ��� (�1, 4, 5) � e� �����e�� �
. 13)
Ob�e��� ��� ec��c���e� ���� �����c�� de �� �ec�� ��e ���� ��� � � ��� .
14)
Ded��c� ��� ec��c���e� ���������c�� de de �� �ec�� ��e ���� ��� (�1, 0, �2) � ��� (1, �3, �1).
15)
F�����e ��� ec��c���e� �������c�� de �� �ec�� ��e ���� ��� (�3, 2, �2) � ��� (�2, 1, �3).
16)
E�c�e���e ��� ec��c���e� �������c�� de �� �ec�� ��e ���� ��� � ��e�e �� d��ecc���
17)
�C��� de ��� ������ � �e��e�ece �e��e�ece �� �����
E� ��� �����e��e� d�� e�e�c�c��� e�c�e���e �� f���� ������������ de �� ec��c��� de� ����� ��e ���� ��� e� ����� X � � c��� ������ e� 18)
19)
20)
De�e����e ��� ec��c��� �e�e��� de� ����� de� e�e�c�c�� 18.
21)
De�e����e ��� ec��c��� �e�e��� de� ����� de� e�e�c�c�� 19.
22)
Ob�e��� ��� ec��c��� ������������ de� ����� c�� ec��c��� �e�e���.
�)
23)
Ob�e��� ��� ec��c��� de� ����� ��e ���� ��� � �
Facultad de Química
UNAM
b)
72 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����
Álgebra Superior
Espacios Vectoriales
24)
Ded��c� ��� ec��c��� de� ����� ��e ���� ��� (�1, 2, �4) � l l1.,
25)
l F�����e �� ec��c��� de� ����� ��e c����e�e � ��� �ec��� l l1 , � l l4.
26)
Ded��c� �� ec��c��� de� ����� ��e c����e�e � ��� �ec��� l l2 , � l l3.
27)
E�c�e���e ��� ec��c��� de� ����� ��e ���� ��� � e� �e��e�d�c����
28)
E�c�e���e ��� ec��c��� de� ����� ��e ���� ��� � e� �����e�� �� �����
29)
De�e����e ��� ec��c���e� ���� �����c�� de �� �ec�� de ���e��ecc��� de ��� ������
� 30)
C��c��e e� c��e�� de� ������ ��e f����� ��� ������ �
31)
De��e���e ��e ��� ������ c���� ec��c���e� ���
� –
��� �e��e�d�c����e� 32)
Ded��c� ��� ec��c��� de� ���e������ ���e������ e� ��e ���� ��� e� ����� e� ������ �
Facultad de Química
�
UNAM
73 ������ ���� ��� ������� �� �� ����� ������ �����