álgebra tema R1
SniI2xr1T
tarea 5. Si x, y ∈ R, determinar el menor valor que
1. Siendo: ab ≠ 0 y a, b, c ∈ N, reducir:
()
c 0b
ab ⋅ ba b b – a a ⋅a a b a ⋅b a A) 1
b) ab
d) a/b
e) b/a
puede tomar:
c 0a
⋅ bb
2
y x M = 3 + 27 x y
c) ab
2. Calcular:
b=
b) 9
d) 24
e) 32
c) 18
6. Simplificar:
x+2
2⋅ 4 x
x
x 2 +1
a) 8
b) 4
d) 1
e) 1/2
2
(
x 2 –2
c) 2
a+b = a a–b b
a b
Calcular: ab–1 – 1. d) 2
)
a) 1– 6
b) 1– 3
c) 1– 2
d) 1+ 2
7. Al transformar a radicales simples:
a) 1
3 3 –2 + 1 3 – 1 3 + 1
e) 1+ 3
3. Si se cumple que: a .....∞ , ab > 0 b
b) 2
c)
2a + 4a2 – 4
2
e) 2 2
Se obtiene a) a/2
b) a
d) 4a
e) 6a
Hallar I ∩ J.
F=
a) 〈–∞, –3] ∪ [11, +∞〉 b) 〈–∞, –1] c) 〈–∞, 0] d) 〈–∞, 10] e) [11, +∞〉
san marcos REpaso 2014 – iI
A + B . Halle A + B. c) 2a
8. Simplifique:
4. Si: I = 〈–∞, –1] ∪ [10, +∞〉 y J' = 〈–3,11〉.
a) 6
2
1 1
26 – 15 3 50 – 38 + 5 3
a)
3 6
b)
3 5
d)
3 8
e)
3 3
álgebra
c)
3 4
Tema R1
TEORÍA de EXPONENTES - NÚMEROS REALES - DESIGUALDADES RADICACIÓN
14. Si "a" y "b" son números reales, calcular a + b +1 el mínimo valor de: a+b
9. Para todo abc ≠ 0, reducir: 1+c 1– c
(a ) bc
2 (b
)
(
1– c1– c
⋅ ab
a) a
b) b
d) 1
e) 8
)
–b
c1– c
a) 1/4 d) 1/3
c) c
3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4 3x –1 + 3x – 2 + 3x – 3 + 3x – 4
a) 81
b) 3
d) 27
e) 243
a) 6 d) 2
c) 9
(xy)n + (yz)n + (zx)n x
–n
+y
–n
+z
–n
⋅
x –1 ⋅ z –1 y
∀ n∈N – {1}; xyz ≠ 0. a) 1
b) 0
d) xyz
e) y
64
18. Si: M = {x∈R / x∈ 〈–5; 5〉 ∧ x∈[0; 8]} N = {x∈R / x∈ [–4; 6] ∨ x∈[4; 10]} P = {x∈R / x∈ [–5; 2] → x∈[0; 8]} Hallar (M∩N∩P). a) 〈–∞; 0〉∪[5; +∞〉 b) 〈0; 5〉 c) [0; 5] d) [0; 5〉∪〈10; +∞〉 e) 〈–∞; 0]∪[5; +∞〉
64 64
∞ 81 ⋅ 5 81 ⋅ 5 81... ∞
a) 2
b) 3/2
d) 5/4
e) 0 4
5
c) 4/3
11
4
13. Si: a = 23 , b = 34 , a = 92 , c = 163 .
19. Efectuar: J=
2 3 calcular: 3 c ⋅ 4 4 a a8 b3
a) 8
b) 27
d) 81/8
e) 81
Tema R1
álgebra
c) 1
17. Si M = 〈2; 6〉 ∪ 〈10; 14〉 y P = [4; 12]. Hallar la suma de los elementos enteros de: MDP a) 14 b) 40 c) 43 d) 54 e) 56
c) x
12. Calcular:
5
b) 5 e) 9
16. Si M = {x∈R /x2 ≥1} y N = {x∈R /1 ≤ x2 ≤4} Hallar la suma de los valores enteros de: M ∩ N. a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4
11. Reducir: A=n
c) 1/2
15. Determinar: "7M + 5m"; si x∈ 〈0; 2〉. x +2 m<
10. Reducir: L=
b) 3/2 e) 2
1 2 + 2+ 3
–
1 2 – 2– 3
+ 3 – 2
c) 3/4
2
2 2
3
san marcos repaso 2014 – iI
TEORÍA de EXPONENTES - NÚMEROS REALES - DESIGUALDADES RADICACIÓN
6 3
a) –
b) –
6 c) – 6 e)
d)
24. Hallar el valor de "x" que satisface la ecuación:
3 3 3–
x1+x
x5
=
x5 x5
3 2
T=
15 –
b) 5+
15 + 10 +
6
c) 5+
15 +
6
d) 5–
15 –
10 –
6
e) 5+
15 –
10 –
6
10 + 6 10 –
d) 2/3
8 e) 5 27
3 9 3 3 9 3 27 a) 10 d) 13
M = 3 – 2 2 + 5 – 2 6 + 7 – 2 12
Se obtiene: a) –1 c) –2+ 36 e) 2
c)
5
27 8
3
3
b) 7 e) 9
3
3
= ab
c
c) 16
26. Si {a; b; c} ⊂ R, tal que a + b + c = 1. Calcular el mínimo valor de: a2 + b2 + c2. a) 1 b) 1/3 c) 3 d) 4 e) 1/4
+ 9 – 2 20 + ...36 términos b) +1 d) –1+ 37
27. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. 0 < a < 1 entonces a2 < a II. 2(x2+y2) ≥ (x+y)2; x, y ∈ R
22. Indicar su denominador racionalizado de: 2 x +1
III. Si a2+b2=1 entonces – 2 ≤ a+b ≤ 2
x – 1 – 2x + x + 1
a) VFF d) FVV
b) x + 1 d) 2x + 1
b) VFV e) VVV
c) VVF
28. Si A es una expresión definida por: A=
23. Reducir: 2 x + x2 – 1 – x – x –1 x 2 – 1 x – x 2 – 1 x + x 2 – 1 1
a) 2x d) 5x
2 b) 5 3
25. Hallar el valor de a + b + c.
21. Al efectuar
a) x + 2 c) x – 1 e) x – 2
a) 6/27 6
10 + 5 – 15 – 6
a) 5+
e=
2
20. Racionalizar:
1+x 1+x
b) 3x e) x/2
c) 4x
san marcos repaso 2014 – iI
3 3
(
2+ 3+
5)
3
1
–2 2 –3 3 –5 5
Entonces al racionalizar y simplificar A, el denominador resultante, es: a) 12 b) 15 c) 18 d) 32 e) 42
álgebra
Tema R1
TEORÍA de EXPONENTES - NÚMEROS REALES - DESIGUALDADES RADICACIÓN
29. Si el radical doble:
30. Sea: x = 16a+8 ab +16b, donde a y b son números reales positivos.
y + 1 + x ; x, y ∈ Q+ 4x 5y 2y
Se transforma en radicales simples, determine la condición que relaciona a x e y.
(a – b)e será igual a:
a) x = 0, 4y b) y = 0,1x c) x = 2y
x – 15a + x – 15b entonces a– b
Si e =
a) 2( a+ b)
d) x = 3 y e) x = 0,3y
c)
5a + 5b
e)
a–
b)
a+ b
d) 5( a+ b)
b
respuesta 1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. B 7. C 8. E 9. D 10. E 11. A 12. C 13. E 14. E 15. A 16. C 17. E 18. A 19. C 20. E 21. D 22. C 23. C 24. E 25. A 26. B 27. E 28. C 29. A 30. C
Tema R1
álgebra
4 4
san marcos repaso 2014 – iI
ÁLGEBRA TEMA R2
SNII2XR2T
TAREA 1. Si xa > ya; además cumplen
xa + ya = 5;
Indique el valor de xa – ya. A) 22 D) 4
A) 81 D) 1/3
xa . ya = 1 B) 21 E) 5
B) 8 E) 3
C) 1/6
6. Si:
C) 21
S2 = (x2 + y2 + z2 + S)2 – (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2) S es equivalente a:
2. Si los números reales a, b y c verifican (a + b + c)2 = 5(ab + bc + ca); calcule:
A) x + y + z B) 2(xy + xz + yz)
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ab + bc + ac A) 8 B) 4 C) 5 D) 3 E) 7
C) x2 + y2 + z2 D) xy + xz + yz E) xyz 7. Si: x3 + y3 + z3 = 3, reducir:
3. Si a, b y c son números reales tal que:
a2 + 2b = 7
b2 + 4c = –7
c2 + 6a = –14
halle el valor de a2 + b2 + c2 A) 14
B) 21
D) 35
E) 49
N=
(a + b + c)2 + a3 + b3 + c 3 ab + bc + ac + abc
A) 3abc D) 3
B) abc E) 1
C) a+b+c
a2b2 + a2c2 + b2c2 = 19
ab + bc + ac = 7; a, b, c ∈R+
halle el valor de M =
a3 + b3 + c 3 – 11 abc + 3
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
B) 3 E) 1/3
C) 1
6
9
P(x) = (a3 + b – c – 10)xa + (c – b + 9)xa es idénticamente nulo. A) 2 B) 1 C) 0 D) 4 E) 3
9. Sea: a2 + b2 = ab + bc b2 + c2 = bc + ac c2 + a2 = ab + ac y 1 2 3 4 2014 P = + + + + ... + 1! 2! 3! 4 ! 2014 !
5. Si: a4 + b4 + c4 = 83
3
2 ; si el polinomio: 8. Hallar el valor de: a33 + a99
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac. E=
9 + (x + y + z3)3(x + y)(y + z)(x + z)
A) 9 D) 1/9
C) 28
4. Sean a, b y c que ∈ R verifican:
(x + y + z)3 – 2 3
1 1
halle el valor de:
(a + b + c)4
abc + a2bc + ab2c
ÁLGEBRA
2
TEMA R2
POLINOMIOS - PRODUCTOS NOTABLES FACTORIZACIÓN - MCD Y MCM
A) 27
B) 81
D) 1/9
E) 9
15. ¿Para cuántos valores de n la expresión
C) 1/3
64
10. Si: a3 + b3 + c3 = 3abc (a + b + c)3 Halle el valor de ab2 + a2c + bc 2 A) 1
B) 0
D) 27
E) 9
16. Sea:
C) 3
P(x; y) = x n – 2 + 3y A) 3
B) 4
D) 2
E) F. D.
+ 5xy5 – n C) 8
100 x –( +1 ( 100 99 ) 99 ) 2
x
cuando
x=
1 1 1 1 1 + + + + ... + 2 6 12 20 9900
A) 1
B) 0
D) –1
E) –100/99
13. Si el polinomio: P(x) = (a + b – 6abc)x2 + (a + c – 3abc) x + (b + c – 7abc)
se anula para más de dos valores de x.
Halle el valor numérico de:
( a +abcb + c )
A) 1
B) 8
D) 512
E) 27
14. Dado: f(x) = Halle:
M = f(x) + f A) 40 D) 250
TEMA R2
19. Si los polinomios: P(x – 1) = x2 – x + 8 y q(x) = x2 + |a – 1|x – 2b+1 son idénticos, halle el grado absoluto del polinomio:
–3
r(x; y) = 5x a +1y 2b – 3x a+3yb –1 + x 2a+1yb+3; a ≠ 2
A) 5 D) 6
C) 64
2x + 1 x
ÁLGEBRA
B) 3 E) 4
C) 7
20. Factorizar e indicar un factor primo de: P(x; y; z) = 2[(x + y + z)2 + (x + y – z)2] + 5(x2 + y2 – z2 + 2xy) A) 3x + 3y + 3z B) 3x + 2y + z C) 3x + 3y + z D) 3x – y – z E) 3x – 2y – 2z
( 12 ) + f ( 13 ) + ... + f ( 201 ) B) 210 E) 230
C) 3 5
18. Si: 2 2 2 P(x) =... + x 2c + x c +1 + x b – 5b + x a – 2 es un polinomio completo y ordenado; donde {a; b; c} ⊂ Z+, halle el valor de b – ac. A) –5 B) 2 C) –3 D) 4 E) 0
C) 100/99
x x 1 – 5 1 1+ 5 – ; 2 5 2
17. Si el polinomio: P(x; y) = mx4y2n + nx2m–4y3 + (m + n)5x2m – 5y9 es ordenado respecto a las variables x e y, halle el mayor valor de 2m + n A) 8 B) 7 C) 5 D) 9 E) 6
12. Halle el valor numérico del polinomio: P(x) =
P(x) =
determine el valor de P(4). A) 1 B) 2 D) 2 5 E) 3
11. Indique el grado del siguiente polinomio: 8 n –1
P(x; y) = y n x 5 – n es racional entero? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
C) 200
2 2
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
POLINOMIOS - PRODUCTOS NOTABLES FACTORIZACIÓN - MCD Y MCM
21. Al factorizar en Q. P(x) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) + 7x2 – 384
C) 4x2 + 4x + 1 D) 3x2 + 5x + 2
E) 2x2 + 4x + 2
indicar la suma de sus factores primos lineales. A) x B) 3x C) 2x D) –x E) –3x
27. Sean los polinomios P(x) = x4 – x3 + x – 1 y q(x) = x4 + 2x2 + 2(x2 – x + 1) + 3x(1 – x) tales que d(x) = MCM[P(x); q(x)], halle d(2) A) –8 B) –6 C) 3 D) 6 E) 9
22. Halle la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos de: f(x) = x5 + x + 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
28. Halle el término independiente del mínimo común múltiplo en R(x) de los polinomios. P(x) = x5 – 5x4 + 2x3 + 14x2 – 3x – 9 y q(x) = x4 – 2x3 + 2x – 1 A) 9 B) –9 C) 27 D) –27 E) 81
23. Indique la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio: P(x) = (x – 1)3 – 9(x – 1)2 – 9x – 1 A) 3 B) 2 C) –3 D) –10 E) –9
29. Halla el polinomio Q(x); si P(x) = (x2 – 9)2(x + 2) tenga como MCD = x2 + 5x + 6, además;
24. Señale el factor primo del polinomio: P(x) = (x + 1)5 + x A) x2 + x + 1 B) x2 – x + 1 2 C) x + x + 2 D) x2 + 2x + 3 2 E) x + 2x + 2
mcm = x4 – 13x2 + 36. A) (x – 3)(x2 + 4)2 B) (x + 3)(x2 + 4)2 C) (x + 3)(x2 – 4)3
25. ¿Cuántos factores lineales presenta: F(x) = x6 + 4x5 + 3x4 + 3x3 + 5x2 + 2 A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 6
D) (x + 3)(x2 – 4)2 E) (x + 3)2 (x2 – 4)2 30. ¿Cuántos factores racionales irreductibles admite el cociente que se obtiene de dividir el mcm entre el MCD de los polinomios? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
26. Señalar un factor primo de: P(x) = x3(3x + 1)3 – (6x + 1)2 – 15 A) 3x2 + x + 2 B) x2 + 3x + 2
RESPUESTA 1. B 2. B 3. A 4. D 5. E 6. D 7. D 8. E 9. A 10. E 11. C 12. A 13. D 14. D 15. B 16. E 17. A 18. C 19. D 20. C 21. C 22. C 23. D 24. A 25. A
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
26. A 27. E 28. B 29. D 30. B
3 3
ÁLGEBRA
TEMA R2
ÁLGEBRA TEMA R3
SNII2XR3T
TAREA 1. Hallar
A) 25 D) 22 3
4
B) 11 E) 13
6. Al desarrollar el binomio:
C) 14
xm yn+20 n –10 + y x
2. Simplificar: 19 20 C18 + C18 6 + C7 + C 8 E= 5 21 21 C 8 + C13
A) 1/2 D) 8
B) 2 E) 10
C) 23
5
E = 1 + 22! ⋅ 33! ⋅ 4 4 ! ⋅ 55! A) 10 D) 12
B) 24 E) 26
C) 4
se obtiene un solo término central cuya parte literal es x60.y600. Determine el valor de E = m+n. A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44
7. Sabiendo que en el desarrollo de (x+y)2n+1 los términos centrales son los de lugar "p" y "q", calcular: E = pq – n2 – 3n A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
3. Determine la relación entre "r" y "n" para que los coeficientes de los términos de lugares 3r y r+2 del binomio (1+x)2n sean iguales. A) n = r B) n + r = 0 C) n = 2r D) r = 2n E) n = 3r
8. El término independiente de 13
1 2 x – 5 x3
4. Determine el valor de "n" si el término de n 1 lugar 25 en la expansión de x 2 + 3 x contiene a x12. A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 66
A) 297 D) 354
B) 384 E) 374
es: C) 286
9. Determine el valor de M si el sexto tér10
x + M mino del desarrollo de 6 y 252x15.y–25
5. En el desarrollo de (x+y)n los coeficientes de los términos quinto y vigésimo lugar son iguales. El grado absoluto del desarrollo será:
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
n
A) x3y2 4
D) xy
1 1
B) x4y
es
C) x2y
3 4
E) x y
ÁLGEBRA
TEMA R3
BINOMIO NEWTON - COCIENTES NOTABLES - POLINOMIOS (TEORÍA CARDANO)
10. En el desarrollo de (3x3 + x–1)n existe un término en el cual su grado es numéri-
15. Si la siguiente división:
camente igual a su posición que ocupa. Indicar dicha posición, si la suma de coeficientes de todos los términos del desarrollo es igual a 234.
xn – yp
A) 8
B) 9
D) 11
E) 12
x 5n –12 – y 4p
C) 10
11. Hallar una de las razones entre los términos equidistantes de los extremos, siendo uno de ellos el tercero del desarrollo de:
16. Si n es el número de términos que presenta el cociente notable: x 40 – y 30
(a–2 – b–1)8
A) a–8.b4
B) a4.b12
D) a10.b4
E) a–12.b15
3
C) a8.b12
12. Si la división siguiente: x 6n+3 + a6n – 22 n–6
n– 8
A) 25
B) 24
D) 27
E) 28
D) x y
B) x8y9 E) xy
C) x10y18
9
xb – y c
E) 158
TEMA R3
ÁLGEBRA
B) 59 E) 62
C) 60
19. Se desea saber el número de términos del xn – 1 cociente notable: si se cumple x –1
es xa–96. y14. Hallar a+b+c B) 146
m39 – m38 + m37 – ... – m2 + m – 1 m35 – m30 + m25 – ... – m10 + m5 – 1
A) 58 D) 61
x a – y 24
D) 176
C) 4
si el grado del término de lugar 2k es el doble del grado del término de lugar k. A) 42 B) 40 C) 36 D) 30 E) 39
Q=
14. Si el octavo término del desarrollo:
A) 131
B) 3 E) 6
m 18. Si x – 8 es una división de un cociente x–2 notable, calcular el valor numérico de:
x2 – y9 7 6
n+5
x + y6
C) 26
x m – y5m – 8 A) x15y27
3
xm + yn
es un cociente notable, hallar el número de término de su desarrollo.
13. Hallar el tercer término en el siguiente cociente notable:
calcular: A) 2 D) 5
x –4y
17. Obtener el valor de (m+n) del cociente notable en:
x 2 +a 2
genera un cociente notable, donde uno de los términos en su desarrollo es: x24.y3. Calcula np. A) 12 B) 28 C) 14 D) 36 E) 24
C) 97
que: t10. t50. t100 = x236
2 2
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
BINOMIO NEWTON - COCIENTES NOTABLES - POLINOMIOS (TEORÍA CARDANO)
A) 130 D) 133
B) 131 E) 134
C) 132
C) 1 raíz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3 D) 1 raíz de multiplicidad 4 E) 1 raíz de multiplicidad 5
20. Sabiendo que al dividir: 5n
x2 n
5n
– y2
25. Halle un polinomio cuyas raíces sean las de: P(x) = x5– x3+ 2x2+ x – 4 pero disminuidas en 1. A) x5 – 5x4 + 9x3 + 9x2 + 7x – 1 B) x5 + 5x4 – 9x3 + 9x2 + 7x – 1 C) x5 + 5x4 + 9x3 + 9x2 + 7x – 1 D) x5 + 5x4 + 9x3 – 9x2 + 7x – 1 E) x5 + 5x4 + 9x3 + 9x2 + 7x + 1
n
x 3 –1 + y 3 –1
16 8
se obtiene como segundo término –x y ¿de cuántos términos está compuesto su cociente notable? A) 4 B) 2 C) 5 D) 8 E) 128
21. En el cociente notable de la siguiente (2x + y)n + (2x – y)n x existe término de la forma: –aa(4x2 – y2)5, hallar m+a. A) 11 B) 6 C) 12 D) 19 E) 13 división
26. En el siguiente polinomio: P(x) = 2x5+ 7x4+ 12x3+ 12x2+ 7x+ 2 una raíz es entera. Halle la semisuma de raíces complejas. A) –5/2 B) –5/4 C) –3/2 D) –3/4 E) –7/2
22. Si el cociente notable que se obtiene al dividir: (2x – 1)
25
+ (2x + 1)
27. Resuelva: x7– 20x5– 2x4+ 40x2+ 64x3 – 128 = 0 y dé como respuesta la suma de todas las raíces reales.
25
x tiene un término de la forma: m(4x2 –1)n, hallar m+n. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 16
B) 20
3 D) 2 2
E) 2 2
20
C)
28. Si a, b y c son raíces de la ecuación x3 – px2 +qx – r = 0 donde r ≠ 0. Halle el valor de: 1 + 1 + 1 a2 b2 c 2
23. Determine la semisuma de las raíces enteras del siguiente polinomio: P(x) = 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0 A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 13/3
A)
24. El siguiente polinomio: P(x) = x5– 3x4– 6x3 +10x2 +21x+9 presenta: A) 5 raíces diferentes B) 2 raíces de multiplicidad 2
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
A) 3 2
C)
q2 + 2pr r
2
2
q + 2p r2
B)
q2 – 2p r2
2 D) q + 2r p
2 E) q – 2pr r2
3 3
ÁLGEBRA
TEMA R3
BINOMIO NEWTON - COCIENTES NOTABLES - POLINOMIOS (TEORÍA CARDANO)
29. Sea F(x) un polinomio mónico de cuarto grado, cuya gráfica es: y
30. Encontrar la condición para que el polinomio:
5 –9
3
7
P(x) = x5+ ax3 +b /a, b ∈ R ∧ ab ≠ 0
admita una raíz doble distinta de cero. A) 3125b2 – 108a5 = 0
x
B) 3125b2 + 108a5 = 0 C) 3125b – 108a3 = 0
Halle la suma de raíces de: F(21x+71+1) A) –42 B) –40 C) –39 D) –38 E) –37
D) 3125b6 – 108a2 = 0 E) 3125a2 + 108b5
RESPUESTA 1. B 2. A 3. C 4. E 5. C 6. E 7. A 8. C 9. C 10. D 11. A 12. A 13. C 14. E 15. D 16. D 17. A 18. D 19. C 20. E 21. E 22. E 23. B 24. C 25. C 26. B 27. A 28. E 29. A 30. B
TEMA R3
ÁLGEBRA
4 4
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
ÁLGEBRA TEMA R4
SNII2XR4T
TAREA 6. Hallar el mayor valor de "m" si: x2 – (3m – 2)x + m2 = 1 cumple que una raíz es el triple de la otra. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8
1. Resolver la ecuación: x –1 – x – 8 – 2 =0 A) 11 D) 90/8
B) 113/8 E) 87/8
C) 89/8
2. Hallar el valor de "x".
A) 169 D) 16
B) 13 E) 20
3. Resolver la ecuación: 2 2 1– 2 1+ 1– A) 32 D) 60
C) 143
=2
3
x 2
B) 64 E) 24
C) 46
2x+4y = m 3x+ny = 15
9. Resolver:
de variables x e y es indeterminado. En este caso, la diferencia m –n es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6y 2 2 + 2 = 2 3 1 – 3y 9y – 1
A) –9/4 D) 4/9
B) 4/15 E) –1/2
C) 1/4
10. Qué valor de "x" satisface:
x–a – x – a –1 = x – b – x – b –1 x – a –1 x – a – 2 x – b –1 x – b – 2
5. En la ecuación: 2x2 – (m – 1)x + (m+1) = 0; qué valor positivo debe darse a "m" para que las raíces difieran en 1. A) 1 B) 11 C) 10 D) 4 E) 5
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
Si el sistema mx + 2y = 7 nx – y = 3 tiene solución única entonces: A) 2mn ≠ 0 B) m –2mn ≠ 0 C) m – 2n = 0 D) m + 2n = 0 E) m + 2n ≠ 0
8. Calcular el valor de a si las raíces de la ecuación: 3(a – 4)x2 – (5a – 8)x + 56 – 2a = 0 son recíprocas. A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 68/5
3
14243
4. El sistema
7.
3
14 + x + 14 – x = 4
14243
3
1 1
A)
a+b 2
B)
D)
a+b+2 2
E)
ÁLGEBRA
a+b 3
C)
a+b+3 2
a+2b 3
TEMA R4
ECUACIONES 1° Y 2° VALOR ABSOLUTO – ECUACIÓN 2° REDUCTIBLES – SISTEMA DE ECUACIONES
11. Siendo x1 y x1 las raíces de la ecuación 5x2 – 23x + 11 = 0
17. Para que los polinomios P(x) = (a2 + b2 – 109)x3 + 7x2 + cx
3x + 1 3x 2 + 1 hallar: E = 1 2x1 – 9 2x 2 – 9 A) 171/23 B) 175/33 C) 173/35 D) 170/33 E) 23/5
Q(x) = (a – b)x2 + 9x sean idénticos el producto abc debe ser igual a: A) –540 B) –270 C) 9 109 D) 270 E) 500
12. Hallar el conjunto de valores de "k" para el cual la ecuación kx2 + 8x + 4 = 0; no tenga raíces reales. A) [4; +∞〉 B) 〈2; +∞〉 C) 〈8; ∞〉 D) 〈 –∞; 4〉 E) 〈4; +∞〉
18. Un polinomio P(x) = x3+ ax2+ bx+c satisfacen las siguientes condiciones P(1) = 0; P(x)+P(–x) = 0, cualquiera sea el valor de x. ¿Cuál es el valor de P(2)? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
13. ¿Cuál es la raíz de 3x3–7x2+8x–2 = 0, si una de las raíces es 1–i? A) 1/3 B) –1/3 C) 2/3 D) –3 E) –1
19. Calcular los valores de m, de modo que la ecuación x3+mx2+11x+m = 0 admita las raíces a, b y g, las cuales verifican la relación a2+ b2+ g2 = 14. A) –6 y 6 B) –2 y 4 C) 2 y 5 D) 3 y 5 E) 1 y 2
14. Siendo a y b las raíces de la ecuación: x2 – 3kx + k2 = 0, tales que: a2 + b2 = 1,75. El valor de k2 es: A) (1,75)2 B) 17,5 C) 175 D) 0,5 E) 0,25
20. La ecuación x2 + px + q = 0 tiene raíces reales opuestos y no nulas. Se puede afirmar entonces que: A) p > 0 y q = 0 B) p = 0 y q > 0 C) p < 0 y q = 0 D) p = 0 y q < 0 E) p = q = 0
15. En un parqueo hay 37 vehículos, entre autor, motos y camiones de 6 ruedas. El número de motos excede en 3 al de autos y camiones juntos. Hallar el número de camiones si en total suman 118 ruedas. A) 5 B) 20 C) 12 D) 6 E) 9
21. El producto de las raíces de la ecuación
16. La diferencia de cuadrados de dos números pares consecutivos es 100. Hallar el número mayor. A) 26 B) 28 C) 23 D) 24 E) 30
TEMA R4
ÁLGEBRA
2 2 7 + x − 1 = x es: A) –50 B) –10 D) 50 E) 10
C) –5
22. La edad actual de Luis es el triple de la de su hija María. Hallar la edad de Luis sabiendo que dentro de 16 años el padre tendrá el doble de la edad de la hija.
2 2
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
ECUACIONES 1° Y 2° VALOR ABSOLUTO – ECUACIÓN 2° REDUCTIBLES – SISTEMA DE ECUACIONES
B) 47 E) 50
C) 48
el valor de
– – – –
A) –1
B) 0
D) 2
E) 4
)
C) 1
28. ¿Cuál de los siguientes números es raíz de la ecuación 15x3+ 7x2– 7x+ 1 = 0? A) 7/15
B) 1/2
D) 3/5
E) 1/3
C) 2/3
29. En P(x) = 2x5 – 9x4 + ax3 + (b – 9)x2 + (3c –7)x + d hallar (b+c) para que el número cero sea raíz triple del polinomio.
25. Descomponer el polinomio P(x) = x4– 8x3 + 17x2 + 2x– 24 sabiendo que dos de sus raíces son los números 2 y 3. A) (x – 2)(x – 3)(x + 1)(x – 4) (x (x (x (x
C) 2p– 4
(
A – B2 es dado por: B A) x B) 3x C) x – 1 D) x – 3 E) 3x – 1
B) C) D) E)
B) 4p E) p –2
27. Si a, b y c son las raíces de la ecuación x2 + x – 1 = 0, entonces log 1 + 1 + 1 a b c es igual a:
24. Sean los determinantes:
x + y ≥ 2 x2 + y2 ≤ 4
vale: A) 2 D) 4 –p
23. El dividendo de una división es 1081. El cociente y el resto son iguales y el divisor el doble del cociente. Hallar el divisor. A) 46 B) 48 C) 49 D) 50 E) 14
1 0 x2 x 1 con x ≠ 1 A= x 0 1 y B= 1 1 1 1 1
14243
A) 46 D) 49
2)(x – 3)(x – 1)(x + 4) 2)2 (x – 3)(x + 2) 2)(x – 3)(x + 2)2 2)(x – 3)(x + 4)(x – 1)
A) 20/3
B) 34/3
D) 10
E) 16/3
C) 31/3
30. La región en el primer cuadrante en el plano cartesiano determinada por la inecuación x2+ y2+ 2xy+3 ≤ 4x+4y tiene un área igual a:
26. El área de la región plana definida por el sistema de inecuaciones:
A) 3
B) 5
D) 8
E) 4
C) 6
RESPUESTA 1. C 2. A 3. B 4. D 5. B 6. B 7. E 8. E 9. D 10. D 11. C 12. E 13. A 14. E 15. A 16. A 17. D 18. E 19. A 20. D 21. B 22. C 23. A 24. B 25. A 26. E 27. B 28. E 29. B 30. E
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
3 3
ÁLGEBRA
TEMA R4
ÁLGEBRA TEMA R5
SNII2XR5T
TAREA 1. Resuelva: x3– 7x +6 ≥ 0
6. Resuelva:
e indique el mayor valor entero negativo. A) –3
B) –1
D) –4
E) –5
0<
C) –2
2. Resuelva: (x2– x)(1– x) ≥ 0 B) 〈–∞; 1〉 ∪ 〈2; +∞〉
E) 〈–∞; 0] ∪ {1} 3. Si 〈–∞; a] ∪ [b; l] es el C.S. de (2x+1)(x3–1)(4–x2) ≥ 0, halle a+b+l D) 1
E) 3
encuentre el supremo del conjunto solución. A) 4
B) 6
D) 8
E) 5
x +2 ≥ 4 – x A) [2; +∞〉
B) [4; +∞〉 C) [–2;+∞〉
D) [2; 4]
E) [–2; 4]
9. Resuelva: 1 x +1
Dé como respuesta la suma de ellos. A) 6
B) 5
D) 8
E) 7
5. Resuelva:
C) 4
x – 2 x +5 < x – 4 x +3
A) 〈–3; 4〉
B) 〈–4; 4〉
C) 〈–1; 4〉
D) 〈0; 4〉
{ }
C) 7
8. Resuelva la inecuación irracional
C) 2
4. Encuentre el supremo y el ínfimo del conjunto A, donde: 7 A = x ∈ R / 1 ≤ x 2 + 10
D) 〈310; 250〉
10 – x – 4 – 8 – x > 0
D) 〈–∞; –1] ∪ [1; 2]
B) –1
B) 〈120; 125〉
C) 〈200; 250〉
7. Luego de resolver la inecuación
C) [–1; 1] ∪ [2; +∞〉
A) 0
A) 〈2; 5〉 E) 〈120; 150〉
A) 〈–∞; 1] ∪ [2; +∞〉
5(x 2 – 115x – 600) <1 x(x + 5)
x –1
indique el número de soluciones enteras A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
C) 2
10. Sea el conjunto
{
A = x ∈ Z / x +2 ≤
E) 〈3; 4〉 ∪ –3 2
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
>
1 1
3 3
x +8
}
halle el n(A). A) 2
B) 3
D) 5
E) 6
ÁLGEBRA
C) 4
TEMA R5
INECUACIONES EN GENERAL - SISTEMA DE INECUACIONES PROGRAMACIÓN LINEAL
11. Dada las restricciones: x + y ≥ 12 3x + 2y ≤ 30 x ≥ 0 y ≥ 0
B) 12
D) 9
E) 6
B) 40
D) 64
E) 36
C) 8
E) 9
A) [1;
2 ]
B) [0; 2]
D) 〈1;
2 〉
E) [2; 3]
Calcule A ∩ B
B = {x∈R / |x –2| ≥ 2x–3}
A) 〈2; 6〉
B) 〈–∞; 5/3]
C) ∅
D) 〈2; 5/3]
18. Si 〈–∞; 2b〉 ∪ [3b; +∞〉 – {a} es el conjunto
C) 45
solución de: A) –2
6
3
3
2
x + 7(x − 8) (x − 8)(x − 14x + 48)
A) 〈4; 5〉
≤0
indique la suma de soluciones enteras. A) –3
B) –2
D) 0
E) 1
C) –1
1+ 5 2
B)
1;
C)
1 – 5 1+ 5 ; 2 2
D)
1+ 5 ;4 2
E) ∅ 20. Resuelva:
15. Resolver: x +4 +2 2 – x+4
TEMA R5
E) 3
19. Indique el conjunto solución de |x| 1 x > 1+ | x | x 2 – 6x + 11 < 3 | x – 3 |
C) 0
5 x + 5(x + 1)4 (x + 2) x 2 − 7x + 12 4 8 − x
4 – | x – 2| ≥ 0 , halle a + b. 3 – | x – 1| B) 0 C) 1
D) 2
14. Resuelva: 3
C) 〈0; 1〉
E) [5/3; 5]
13. Determine la suma de valores enteros de x e y que satisfacen el sistema 2x – 5y > 30 x + 3y < –22 y > –8 B) 5
C) 〈–4; 0〉
17. Sean: A = {x∈R / |x2 –2x–3| < 3x–3}
A) 44
D) –9
E) [–4; 4]
x –2+ 3–x
12. Halle el área de la región limitada por: y ≤ x + 3 x ≤ 7 x + y ≥ 1 x ≥ 0 y ≥ 0
A) –5
B) 〈0; 4]
D) [–4; 0]
16. Halle la variación:
determine la suma de las coordenadas del punto que minimiza la función f(x;y) = 5x+2y A) 10
A) [–4; 0〉
≥ x–4
ÁLGEBRA
2 2
(x2+6) |1–|1–x|| ≤ |||x2+10|–2|–2| A) [1; 3]
B) [–1; 3]
D) [–3; 3]
E) 〈–∞; 3]
C) ∅
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
INECUACIONES EN GENERAL - SISTEMA DE INECUACIONES PROGRAMACIÓN LINEAL
21. Resuelva:
26. Al resolver: |ax – 1| < a – 1 halle la variación de x, si a toma su mínimo
2x – 5 < |2x –2| – |3 –2x|| A) [5/2; 21〉 B) [5/2; +∞〉 C) 〈3; +∞〉 D) [5/2; 3〉 E) ∅
valor entero. A) 〈1/2; 2〉 D) [0; 1]
B) 〈0; 1〉 E) 〈1; 2〉
C) 〈–1; 0〉
27. Si |x –2| ≤ 1 halle el máximo valor de: |x3 –2x2 –5x +10| A) 9 B) 5 C) 4 D) 10 E) 1
22. Halle el conjunto: | x – 1 | +3 A = / x ≤ 1 4–x A) 〈–∞; 1] B) [1; +∞〉 C) {–1} D) 〈–∞; –7] E) {1}
2 28. Resuelva: x | x | –1 ≥ 0 x3 – 1 A) R – {1} B) R+ – {1} C) [–1; 1〉 D) [–1; 1〉 ∪ 〈1; +∞〉 E) 〈1; +∞〉
23. Resuelva: |x –3| + |x+5| ≥ 2|x +4| A) [3; +∞〉 B) R 0+ C) R 0– D) 〈–5; 4] E) R 24. Resolver la desigualdad: ||2– x| –3| < 1 A) 〈–2; 0〉 B) R C) 〈4; 6〉 D) 〈–2; 1〉 ∪ 〈3; 5〉 E) 〈–2; 0〉 ∪ 〈4; 6〉
29. Exprese en intervalos el conjunto | x – 2| A = 2 + / x ∈ –3 ;3] | x+4| A) [0; 5〉 D) [0; 2〉
B) [0; 4〉 E) [0; 7]
C) [2; 7〉
30. Resuelva: 3x –21– |5x–9| – |3– 3x| +x –21| >0 A) 〈8; +∞〉 B) [8; +∞〉 C) 〈–∞; 8〉 D) 〈–∞; 8] E) ∅
25. Resuelva: ||x –1| + x2| ≤ x2 +3 A) [–8; 4] B) [–2; 4] C) [0; 5] D) [–6; 1] E) [–8; 2]
RESPUESTA 1. B 2. E 3. D 4. E 5. A 6. E 7. C 8. A 9. C 10. B 11. B 12. C 13. D 14. A 15. A 16. A 17. C 18. B 19. E 20. B 21. D 22. E 23. C 24. D 25. B 26. B 27. C 28. D 29. C 30. E
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
3 3
ÁLGEBRA
TEMA R5
ÁLGEBRA TEMA R6
SNII2XR6T
TAREA 5.
1. Indicar el dominio de: F(x) = A) B) C) D) E)
x – | 2x – 3 | 1 + x–2 |x|–4
〈–4; 1] ∪ [3; 4] [–4;1] ∪ 〈3; 4〉 〈–4; 2] ∪ 〈3; 4〉 〈–4; 1] ∪ [2; 4〉 〈–4; 1] ∪ [3; 4〉
Sea F: Z → Z tal que: F(x–2) = x2 – 4x si: A = {x∈Z /F(x)= F(x+2)} B = {x∈Z /F(–x) = F(2– x)} entonces la suma de todos los elementos de A∪B es: A) –3 B) –2 C) 0 D) 2 E) 3
6. En un triángulo de 10 unidades de base y altura 6 unidades está inscrito un rectángulo (ver figura). Expresar la superficie S de dicho rectángulo en términos de la base.
2. Determine la suma de elementos del rango de la siguiente función real de variable real cuya regla de correspondencia vienen dada por: x 3 + 3x + 1 8 y = F(x) = + 5–x , x ∈ Z x–4 A) 141 B) 140 C) 41 D) 163 E) 0
h S b 3 2 x +6x 5 3 B) S(x) = – x2+3x 5 3 2 C) S(x) = x –6x 5 A) S(x) = –
3. Sea: G(x) = x + 3 – 2 ; F(x) = –G(x) hallar: Ran(G) – Dom(F) A) 〈0; 3〉 B) 〈1; +∞〉 C) [–5; –4〉 D) [–2; 1] E) [3; 4〉
3 2 x – 3x 5 2 E) S(x) = – x2+4x 5 D) S(x) =
144424443
4. Considerando la función: 3x+1 ;x>2 x+2 F(x) = 2 x –1; –1 ≤ x ≤ 2 x –3; x < –1 Calcular: F(F(0)) + F(F(2)) + F(–3) A) –4 B) –7 C) –12 D) 11 E) 21
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
7. Si las gráficas de f(x)=–3x+2 y g(x)=|x+8|–2 se intersecan en el punto (m; n), indicar el valor de (m+n). A) –14 B) 4 C) 13 D) –36 E) 17
1 1
ÁLGEBRA
TEMA R6
FUNCIONES - LOGARITMOS
8. Calcular el valor de "m" para que las funciones: f(x) = 8+m–x ∧ g(x) = |3x2+5x+2| sean tangentes. A) –4 B) –6 D) –13 E) –9
G(x)=–x–m
x
4x2 – 1 | 2x + 1 |
A) 〈–2; 2〉 B) [–2; 1〉 D) 〈–2; +∞〉 E) 〈–2; 2]
C) 〈2; +∞〉
11. Halle el rango de la función: F(x) = |x–1|+|x –2| + |x –3| A) [0; +∞〉 B) [1; +∞〉 C) [2; +∞〉 D) [1/2; +∞〉 E) [3; +∞〉
C) –1
A) 2/3
B) 1/3
D) 1
E) 3/2
C) 3/4
15. Hallar el dominio de la función inversa de G, donde G(x) = –(x2+6x+13) cuyo dominio es D(G) = 〈–6; –3〉
12. De la gráfica: F(x) = 6x; G(x) = 4x; H(x) = 2x hallar: a – c + b F(x) G(x) H(x) y
A) 〈4; 13〉
B) 〈3; 6〉
C) 〈–13; –6〉
D) 〈–6; –3〉
E) 〈–13; –4〉
16
n
16. Al calcular el logaritmo de am . a en la m base an. a ; donde m >0, n >0; a >0 ∧ a ≠ 1 obtenemos: c
a
B) 8 E) 14/3
b
x
ÁLGEBRA
A) n/m
B) mn
D) m
E) n
C) m/n
C) 5/4 17. Resolver: logx+1(5x+19) = 2 y dé como respuesta el producto de soluciones.
13. En la figura se muestran las gráficas cartesianas de las funciones:
TEMA R6
entonces "m" es igual a: A) –2 B) –4 D) 2 E) 4
14. Los gráficos adjuntos corresponden a las funciones: F(x) = –x2+2x ∧ G(x) = 0,5x2 si la máxima longitud vertical "d" se encuentra en la abscisa "a", calcule "a". y G d F x a
10. Hallar el rango de:
A) 2/3 D) 7/4
2 F(x) = x 8
C) –11
9. La gráfica de la parábola f(x) = –x2+6x–5 se intersecta con el eje "x" en los puntos "P" y "Q"y con el eje "y" en el punto "R". Halle el área del triángulo PQR. A) 15 u2 B) 10 u2 C) 12 u2 2 2 D) 20 u E) 30 u
G(x) =
y
2 2
A) 6
B) –18
D) –3
E) –12
C) 3
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
FUNCIONES - LOGARITMOS
18. Resolver: log 1 (x + 1) – log 1 (x – 3) = 1
24. Simplificar:
A) 5 B) 7 C) 4 D) –5 E) No tiene solución
A) a
2
aa
2
C) ac
B) c
a
D) a
19. Resolver:
log(loga c) log a
E)
c
a
9
4
log8 25. Reducir: R = log5 27log3 32
log x – 5 + log 2x – 3 = log 3 e indique la suma de soluciones. A) 5 B) 8 C) 6 D) 1/2 E) 13/2
A) 1/3
B) 1/6
D) 2/3
E) 3/2
55
C) 1/2
26. Luego de reducir: 20. Resolver:
A = log
x2 – x – 1 log =0 2 x2 + x – 2 y señalar la mayor solución. A) 0,5 B) –0,5 C) D) – 1,5 E) 1,5
1,5
dar el valor de (AB)
B) 0,64 D) 6,4
29 10 e indique una de las soluciones. 125 4 16 D) log5 5 B) log5
E) log425
C) 1
28. Si log1428 = a, hallar en función de "a" el valor de log4916
Q = 3loga x + 7x loga 3 C) 16
SAN MARCOS REPASO 2014 – II
(−4)
–1
35 4 25 C) log5 4
log3 log9(a + b)18 1 + log9 log3(a + b)
B) 4 E) 10
3
3
A) log5
23. Sabiendo que: x = 2log3a hallar el valor de:
A) 2 D) 5
2colog3antilog
5 x + 5− x =
22. Siendo a+b > 0, reducir:
B) 3/2 E) 1/4
⋅ log 1 (antilog3 2)
27. Resolver:
A) 1/2 B) 3/2 C) 2 D) 5/2 E) Ecuación absurda
A) 2 D) 1/2
2
A) 0,32 C) 3,2 E) 1,25
log 2 + log(4 – 5x – 6x 2) = 3 es: log(2x – 1)
3 ⋅ log9 432 + 5log 9 ⋅ 4log 3
B = antilog
21. Una solución de la ecuación
L=
4 2
A)
2(a–1) 2–a
B)
2(1–a) 2–a
C)
1– a 2–a
D)
a–2 1– a
E)
3 3
2–a a
ÁLGEBRA
TEMA R6
FUNCIONES - LOGARITMOS
29. Calcular "x" en: 40,5 + logx(log9x) = 0 A)
3
9
C) 9 9
B)
9
30. Resolver: log3
3
D) 27 3
E) 27 9
( xx +– 13 ) ≥ –1
e indique el menor valor entero positivo de su conjunto solución. A) 1 B) 6 C) 2 D) 4 E) 5
RESPUESTA 1. E 2. A 3. B 4. A 5. C 6. A 7. B 8. E 9. B 10. D 11. C 12. E 13. D 14. A 15. E 16. C 17. A 18. E 19. C 20. C 21. E 22. A 23. B 24. B 25. B 26. B 27. C 28. A 29. E 30. C
TEMA R6
ÁLGEBRA
4 4
SAN MARCOS REPASO 2014 – II