2.
Programación de Metas
Tomado de Winston, 2009
En todos los problemas formulados hasta este momento, ha existido un solo objetivo general, cómo maximizar ganancias o minimizar costos. En muchas situaciones, sin embargo, Usted puede tener objetivos múltiples, es decir, dos o más metas por lograr. As en un problema problema de inversiones, inversiones, usted podra desear, de manera manera simultánea, simultánea, maximizar maximizar la recuperación total esperada, maximizar la tasa de recuperación, minimizar la cantidad de riesgo implicado ! minimizar las obligaciones fiscales. "os objetivos múltiples pueden presentarse en problemas lineales, enteros e, incluso, en no lineales ! existen varias formas de manejar manejar los e#uilibrios. e#uilibrios. En este captulo usted aprenderá un planteamiento planteamiento para manejar tales e#uilibrios en un modelo de programación lineal.
APLICACIÓN 1.$ EL PROBLEMA MULTIOBJETI MULTIOBJETIVO VO DE ACEROS AREQUIP AREQ UIPA: A: Aceros Are#uipa produce tres tipos de tubos% A, #ue vende a &'( el pie, ), #ue vende a &'* el pie, ! +, #ue vende a & el pie. -ara manufacturar un pie del tubo A se re#uieren (. minutos de tiempo de procesamiento en cierta má#uina formadora. Un pie del tubo ) (./ minutos ! un pie del tubo + (.0 minutos en la misma má#uina. 1espu2s de la producción, cada pie de tubo independientemente del tipo, re#uiere una onza de material de soldadura. El costo de producción total esta estimado en &3, &/ ! &/ por pie p ie de tubo A, ) ! + respectivamente. -ara la semana siguiente, Aceros Are#uipa ha recibido un pedido excepcionalmente grande consistente en *((( pies del tubo A, /((( pies del tubo ) ! ((( pies del tubo +. +omo en la presente semana solamente ha! disponibles /( horas de tiempo de má#uina ! solamente (( onzas de material de soldadura se encuentran en inventario. El departamento de producción no será capaz de cumplir con la demanda #ue re#uiere un total de 4 horas de tiempo de má#uina ! ''((( onzas de material de soldadura. 1ebido a #ue la administración no espera #ue continúe el nivel de demanda tan alto no desea extender las instalaciones de producción, pero tampoco #uiere perder el contrato. -or consiguiente, está considerando la posibilidad de ad#uirir algunos tubos de proveedores japoneses al costo de entrega de &0 por pie de tubo A, &0 por pie de tubo ) ! &4 por
pe de tubo +. Estos datos se resumen en la siguiente tabla% Tipo de Tubo A B -recio de 5enta 6&7pie8 '( '* 1emanda 6pies8 *((( /( / ((( 9iempo de má#uina 6min7pie8 (.( (./ :ateri :aterial al de soldadu soldadura ra 6onzas 6onzas7pi 7pie8 e8 ' ' +ost +ostoo de prod produc ucció ciónn 6&7p 6&7pie ie88 3 / +ost +ostoo de ad#ui ad#uisi sici ción ón 6&7p 6&7pie ie88 0 0
C ( ( ( (.0( ' / 4
Disponibiid!d: 9iempo de má#uina% /( horas ; */(( minutos :aterial de soldadura% (( onzas El objetivo consiste en determinar cuánto de cada tubo producir ! cuánto ad#uirir del
.
SOLUCIÓN El problema #ue implica solamente la maximización de ganancias se formula utilizando seis variables de decisión% PA PA = número de pies de Tubo A por producir PB = número número de pies de Tubo Tubo B por producir PC = número número de pies de Tubo Tubo C por producir IA = número número de pies de Tubo Tubo A por comprar a Japón
*
IB = número de pies de Tubo B por comprar a Japón IC = número de pies de Tubo C por comprar a Japón
En t2rminos de estas variables de decisión ! de los datos del problema. los dos objetivos a buscar son los siguientes%
OBJETIVO1 % :aximizar la ganancia de la empresa% 1onde% ?anancia ; 6ganancia de la producción8 @ 6ganancia de los productos comprados a los japoneses8 ; 64-A @ -) @ -+8 @ 6/BA@ 0B) @ *B+8
OBJETIVO ": :inimizar el costo de importación% 1onde% +osto importación ; 6costo de importación de tubos 9ipo A8 @ 6costo de importación de tubos 9ipo )8 @ 6costo de importación de tubos tipo +8 ; 0BA @0B) @ 4B+ -or lo tanto el programa lineal asociado, inclu!endo las restricciones de demanda, de recursos ! lógicas es el siguiente%
M!#i$i%!& 4-A @ -) @ -+ @ /BA @ 0B) @ *B+ 6ganancia de la empresa8 Mini$i%!& 0BA @ 0B) @ 4B+ 6costo de importaciones8 1ependiendo de% Cestricciones de 1emanda% -A @ BA ; *((( 6demanda de tubos A8 -) @ B) ; /((( 6demanda de tubos )8 -+ @ B+ ; ((( 6demanda de tubos +8 Cestricciones de Cecursos% (.-A @ (./-) @ (.0-+ D; */(( 6tiempo de má#uina8 -A @ -) @ -+ D; (( 6material de soldadura8 Cestricciones lógicas% -A, -), -+, BA, B), B+ ; ( -rimero daremos una solución considerando dos modelos matemáticos% uno para la empresa cu!a función objetivo es la maximización de utilidades ! otro para la minimización del costo de las importaciones. 5eremos #ue existe un conflicto entre estos dos objetivos #ue se ilustra en el resultado de computación obtenido con el programa "BF1G. "a solución óptima siguiente es para el programa lineal en el cual el objetivo es maximizar la ganancia, ignorando el costo de las importaciones. 1icha solución óptima es%
S!id! de LINDO p!&! e ob'e(i)o de $!#i$i%!& ! u(iid!d de ! e$p&es!: :ax 4-A@ -)@ -+@ /BA@ 0B)@ *B+ =9 -A@ BA ; *((( -)@ B) ; /((( -+@ B+ ; ((( (.-A@ (./-)@ (.0-+ D; */(( -A@ -)@ -+ D; (( EF1 "- G-9B:U: HGUF1 A9 =9E- * G)
1UA" -CB+E= /.(( 0.(((
3
/8 (.((( 8 (.((( 08 ''00.004 FG. B9ECA9BGF=; *
*.((( .((( (.(((
Esta solución indica #ue Aceros Are#uipa deberá producir *((( pies de tubo 9ipo A ! *333.333 pies de tubo 9ipo +, mientras #ue deberá importar del
S!id! de LINDO p!&! e ob'e(i)o de Mini$i%!& e *os(o de i$po&(!*iones: :in 0BA @ 0B) @ 4B+ =9 -A@ BA ; *((( -)@ B) ; /((( -+@ B+ ; ((( (.-A@ (./-)@ (.0-+ D; */(( -A@ -)@ -+ D; (( EF1 "- G-9B:U: HGUF1 A9 =9E- ' G)
CE1U+E1 +G=9 (.((( (.0(( (.((( (.((( (.((( (.*((
CGI ="A+J GC =UC-"U= *8 (.((( 38 (.((( /8 (.((( 8 (.((( 08 3((.(((
FG. B9ECA9BGF=;
1UA" -CB+E= $0.((( $./(( $4.((( '*.((( (.(((
'
-ara minimizar el costo de importaciones Aceros Are#uipa deberá producir '*(( pies del tubo tipo A, ! /((( pies del tubo ), mientras #ue deberá importar del
A-"B+AF1G -CG?CA:A+BGF 1E :E9A=%
/
K1e #ue modo Aceros Are#uipa trata los objetivos en conflicto% maximizar las ganancias ! minimizar el costo de las importaciones>. Un planteamiento para manejar el e#uilibrio de estos objetivos en la programación de metas, en la cual, para cada objetivo, usted indica metas de penalizaciones.
CARACTER+STICAS CLAVE -ara aplicar la programación de metas ! llegar a una decisión, identifi#ue una meta en la forma de un valor objetivo num2rico especifico #ue usted desea #ue esa meta logre ! una penalización en la forma de un valor para cada unidad #ue el objetivo se encuentre por debajo de la meta si el objetivo es maximizar o por encima de la meta si el objetivo es minimizar. La #ue se han identificado estas metas ! sanciones, se encuentra una solución #ue minimice las penalizaciones totales asociadas con todos los objetivos.
Identificación de las metas y penalidades En el problema de Aceros Are#uipa, el director ejecutivo, sabiendo #ue la ganancia máxima posible es de &(((, puede elegir este valor como el objetivo #ue refleje la meta de lograr la ganancia más alta posible. As mismo, sabiendo #ue el costo mnimo posible de las importaciones, según la salida del "BF1G es de &3 GG, el director ejecutivo puede escoger este valor o a!"ún o#ro como la meta. -or ejemplo, el director ejecutivo puede estar igualmente satisfecho si se hace un intento de lograr un costo de importaciones de &/((((, Esta meta de &/(((( puede ser violada si al hacerlo tiene como resultado un aumento significativo de la ganancia. "as penalidades, a su vez reflejan la diferencia entre la meta ! lo real. Es lo #ue falta para alcanzar la meta. En cuanto ma!or sea esta diferencia, ma!or será la penalidad, por lo #ue el modelo de programación de metas deberá buscar la minimización de las penalidades. 1e otro lado se puede tambi2n asignar prioridades a cada una de las metas, de tal forma #ue es podra el ?erente plantear #ue la meta de la ganancia es dos veces mas prioritario #ue la meta del costo de importación.
,o&$u!*i-n de ! p&o.&!$!*i-n ine! p!&! un p&obe$! de p&o.&!$!*i-n de $e(!s: -ara desarrollar un modelo de programación lineal apropiado al problema de programación de metas, en el cual usted ha identificado las metas ! las penalidades para cada uno de los objetivos, siga los pasos acostumbrados en la identificación de variables de una so!a función objetivo ! de restricciones.
!/
Iden(i0i*!*i-n de !s V!&i!bes de De*isi-n:
+on el enfo#ue de programación de metas, además de las variables de decisión originales se necesita definir dos nuevas variables para cada objetivo% una para representar la cantidad en la cual el objetivo se pasa del objetivo especificado ! la otra para representar la cantidad #ue esta por debajo de la meta. -or ejemplo, para el problema de Aceros Are#uipa, debido a #ue ha! dos objetivos necesita las siguientes cuatro variables de decisión% $% = can#idad de dó!ares en &ue se e'cede !a "anancia de !a me#a de (55))) *% = can#idad de dó!ares &ue a!#an para !a "anancia me#a de (55))) $2 = can#idad de dó!ares en &ue !as impor#aciones e'ceden !a me#a de (,-8)) *2 = can#idad de dó!ares &ue a!#an para &ue !as impor#aciones a!cancen !a me#a de (,-8)).
El modelo final debe asegurar #ue solamente una variable de cada par tenga un valor positivo, ! #ue el valor de la otra sea cero.
b/
Iden(i0i*!*i-n de ! ,un*i-n Ob'e(i)o:
+omo se estableció anteriormente, en la programación de metas el objetivo es% /inimi0ar !a pena!i0ación #o#a! por no 1aber !o"rado !as dos me#as.
Aplicando la descomposición se tiene el siguiente resultado%
Pen!i%!*i-n (o(! = 6penalización por no alcanzar la meta de ganancia8 @ 6penalización por exceder la meta de importación8 "a variable de decisión 1' es la cantidad #ue falta para alcanzar la meta de ganancia de & (((. 1e igual manera, E* es la cantidad en #ue se excede la meta de importación de &3 ((. Cecuerde #ue el director ejecutivo ha asignado una prioridad del doble por cada dólar #ue falte para lograr la meta de ganancia #ue la asignada a cada dólar #ue se exceda de la meta de importación. As pues. la función objetivo para este problema es%
Mini$i%!& :
"D1 1E"
c) Identificación de las Restricciones: "as restricciones del modelo de programación de metas seran% Cestricciones de 1emanda%
-A @ BA ; *((( 6demanda de tubos A8 -) @ B) ; /((( 6demanda de tubos )8 -+ @ B+ ; ((( 6demanda de tubos +8 Cestricciones de Cecursos% (.-A @ (./-) @ (.0-+ D;*/(( 6tiempo de má#uina8 -A @ -) @ -+ D; (( 6material de soldadura8
RESTRICCIONES DE METAS: Una para cada meta%
Me(! 1: 2!n!n*i! 4-A @ -) @ -+ @ /BA @ 0B) @ *B+ @ 1' M E' ; (((
Me(! ": Cos(o de I$po&(!*i-n 0BA @ 0B) @ 4B+ @1* M E* ; 3 (( -ara ver de #ue manera E' ! 1' representan la cantidad en la cual la ganancia esta por arriba o por debajo del objetivo de & (((, observeN lo siguiente%
1. =i la ganancia 4-A @ -) @ -+ @ /BA @ 0B) @ *B+ excede la meta de & ((( entonces el valor de 1' deberá ser ( ! la de E' deberá ser% E' ; 4-A @ -) @ -+ @ /BA @ 0B) @ *B+ M ((( ó 4-A @ -) @ -+ @ /BA @ 0B) @ *B+ M E' ; (((
"3 =i la ganancia 4-A @ -) @ -+ @ /BA @ 0B) @ *B+ esta por debajo de la meta de & (((, entonces el valor de E' deberá ser ( ! el de 1' deberá ser% *% = ((( M 64-A @ -) @ -+ @ /BA @ 0B) @ *B+ 8
Res(&i**iones -.i*!s: -A, -), -+, BA, B), B+, 1', E', 1*, E* ; (
CARACTER+STICAS CLAVE En general, se inclu!e la siguiente restricción de metas para cada objetivo original%
Me(! ; O5alor objetivoP M Ocantidad por arriba de la metaP @ Ocantidad por debajo de la metaP Al combinar todas las piezas se obtiene el siguiente problema de programación lineal.
PRO2RAMA LINEAL DE METAS PARA EL PROBLEMA DE OBJETIVOS M4LTIPLES DE ACEROS AREQUIPA Mini$i%!&
*1' @ 'E*
1ependiendo de CE=9CB++BGFE= 1E 1E:AF1A -A @ BA ; *((( -) @ B) ; /((( -+ @ B+ ; (((
6demanda 9ipo A8 6demanda 9ipo )8 6demanda 9ipo +8 ,
CE=9CB++BGFE= 1E CE+UC=G= (.-A @ (./.-) @(.0-+ D;*/(( 6tiempo de ma#uina8 -A @ -) @ -+ D; (( 6material de soldadura8 CE=9CB++BGFE= 1E :E9A= :eta de ?anancia% 4-A @ -) @ -+ @ /BA @ 0B) @ *B+ $ E' @ 1' ; ((( :eta de Bmportación%
0
0BA @ 0B) @ 4B+ $ E* @ 1* ; /(((( CE=9CB++BGFE= "Q?B+A= -A, -), -+, BA, B), B+, 1', E', 1*, E* ; ( A continuación se muestra la solución por computadora del problema de programación de metas de Aceros Are#uipa utilizando el "BF1G ! acompaRado de las soluciones anteriores. +laramente se observa #ue la solución de la programación de metas minimiza las penalidades si es #ue se implementara una de las soluciones anteriores.
Soluciones óptimas para los tres modelos del problema de producir o comprar de Aceros Arequipa: PROGRAMAS LINEALES DE UN SOLO OBJETIVO MAXIMIZAR GANANCIA
Producir: Tipo A Tipo B Tipo C %mportar : Tipo A Tipo B Tipo B
MINIMIZAR IMPORTACIONES
2 000.00 0.00 2 333.33
1 200.00 4 000.00 0.00
0.00 4 000.00 2 !!!.!"
00.00 0.00 # 000.00
G$%$%&i$ ## 000.00 Co'(o I)po*($&i+% 42 !!!.!"
P!"AMA #$ M$TAS
#3 !00.00 3, 00.00
M%&%M%'A P$&A(%'A)%!&
2 000.00 * +++.++ 0.00 0.00 .9 - 000.00 - 222.22 0 ***.**
PRO2RAMACIÓN DE METAS CON PRIORIDADES: En la sección anterior formulamos ! resolvimos un modelo de programación por objetivos #ue implicaba una meta de prioridad ' ! una meta de prioridad *. En esta sección mostraremos cómo formular ! resolver modelos de programación por objetivos con metas de un mismo nivel de prioridad. Aun#ue se han desarrollado programas de computadora especialmente para resolver modelos de programación por objetivos. Estos programas no son tan fáciles de conseguir como el softSare de programación lineal de uso general. -or lo tanto, el procedimiento por computadora #ue se esboza en esta sección desarrolla una solución al modelo de programación por objetivos resolviendo una secuencia de modelos de programación lineal con un softSare de programación lineal de uso general.
Aplicación 2: El Problema de SOS; "a administración de =G= establece metas, es decir, cuotas mensuales para el tipo de clientes #ue se contactan. "a estrategia de contacto con clientes de =G= determina #ue en las siguientes cuatro semanas, la fuerza de ventas formada por / personas, deben efectuar *(( contactos con clientes #ue ha!an ad#uirido productos de la empresa, además de hacer '*( contactos con clientes nuevos. "a finalidad de esta última meta es asegurarse de #ue la fuerza de ventas investigue nuevas fuentes de ventas. 9omando en consideración tiempos de viaje ! de espera, as como el tiempo directo de venta ! de demostración, =G= ha asignado dos horas de esfuerzo de la fuerza de ventas para cada contacto con un cliente anterior. "os contactos con nuevos clientes tienden a ser más largos ! re#uieren tres horas cada uno. Formalmente, un vendedor trabaja /( horas a la semana, es decir '0( en un horizonte de planeación de / semanas% según un programa de trabajo normal los / vendedores tendrán disponibles /6'0(8 ; 0/( horas de la fuerza de ventas para contacto con clientes. "a administración, si fuera necesario está dispuesta a utilizar algo de tiempo extraordinario, pero tambi2n aceptará una solución #ue utilice menos de las 0/( horas programadas. =in embargo, la administración desea #ue, a lo largo de las / semanas, el tiempo extraordinario ! la subutilización de la fuerza de trabajo se limite, a no más de /( horas. As en referencia
4
al tiempo extraordinario la meta de la administración es no utilizar más de 0/( @ /( ; 0( horas para las ventas% ! en cuanto al uso de la mano de obra, la meta de la administración es utilizar por lo menos 0/( $ /( ; 0(( horas de la fuerza de ventas. Además de las metas de contacto con clientes. =G= estableció una meta en relación con el volumen de ventas. +on base en su experiencia. =G= estima #ue cada cliente anterior contactado generará ventas por *( dólares ! cada cliente nuevo generará '* dólares de ventas. "a administración desea generar ingresos por ventas de por lo menos 4(,((( dólares para el mes siguiente. 1ada la pe#ueRa fuerza de ventas de =G= ! el breve lapso involucrado, la administración decidió #ue la meta de tiempo extraordinario ! la meta de uso de la mano de obra sean de prioridad '. 9ambi2n conclu!ó en #ue la meta de 4(,((( dólares debe ser de prioridad *, ! #ue las dos metas de contactos con clientes deben ser de prioridad 3. =obre esta base, ahora podemos resumir las metas%
Me(!s de p&io&id!d 1 Me(! 1: Fo utilizar más de 0( horas del tiempo de la fuerza de ventas. Me(! ": Fo utilizar menos de 0(( horas. Me(!s de p&io&id!d " Me(! 5: ?enerar ingresos por ventas de por lo menos 4(,((( dólares. Me(!s de p&io&id!d 5 Me(! 6: 5isitar por lo menos *(( clientes anteriores. Me(! 7: 5isitar por lo menos '*( clientes nuevos. ,o&$u!*i-n de !s e*u!*iones ob'e(i)o: A continuación debemos definir las variables de decisión cu!os valores se utilizarán para determinar si podemos conseguir las metas. =upongamos #ue% x' ; número de clientes anteriores contactados x* ; número de clientes nuevos contactados +on estas variables de decisión ! las variables de desviación apropiadas, podemos desarrollar una ecuación objetivo por cada meta. El procedimiento utilizado es similar al de la sección anterior. Enseguida aparece un resumen de los resultados obtenidos para cada una de las metas.
Me(! 1 2'% @ ,'2 M e' @ d' ; 0(
donde% e' ; d' ;
cantidad en la cual el número de horas utilizadas por la fuerza de ventas es superior al valor meta de 0( horas cantidad en la cual el número de horas utilizadas por la fuerza de ventas es inferior al valor meta de 0( horas
Me(! " 2'% @ ,'2 M e*@ d* ; 0((
donde% e* ; d* ;
cantidad en la cual el número de horas utilizadas por la fuerza de ventas es superior al valor meta de 0(( horas cantidad en la cual el número de horas utilizadas por la fuerza de ventas es inferior al valor meta de 0(( horas
Me(! 5 25'% @ %25'2 M e3 @ d3 ; 4(,(((
donde% e3 ; d3 ;
cantidad en la cual el ingreso por ventas es superior al valor meta de 4(,((( dólares cantidad en la cual el ingreso por ventas es inferior al valor meta de 4(,((( dólares
Me(! 6 '% M e/ @ d/ ; *((
donde% e/ ; cantidad en la cual el número de contactos con clientes anteriores es superior al valor meta de *(( d/ ; cantidad en la cual el número de contactos con clientes anteriores es inferior al valor meta de *(( Me(! 7 '2 M e @ d ; '*(
donde% e ; d ;
cantidad en la cual el número de contactos con clientes nuevos es superior al valor meta de '*( cantidad en la cual el número de contactos con clientes nuevos es inferior al valor meta de '*(
,o&$u!*i-n de ! 0un*i-n ob'e(i)o: -ara desarrollar la función objetivo en el problema de =G=, empezaremos considerando las metas de prioridad '. Al considerar la meta ', si e1 ; (, habremos encontrado una solución #ue utilice no más de 0( horas del tiempo de la fuerza de ventas. +omo las soluciones en las cuales e1 es superior a cero representan un tiempo extraordinario por encima del nivel deseado, la función objetivo debe minimizar el valor de e1. Al considerar la meta *, d1 ; (, encontramos una solución #ue utilice por !o menos 0(( horas del tiempo de la fuerza de ventas. =i d2 es superior a cero, la utilización de la mano de obra no habrá alcanzado un nivel aceptable. -or lo tanto, la función objetivo para las metas de prioridad ' deben minimizar el valor de d2. La #ue ambas metas de prioridad ' tienen igual importancia, la función objetivo para el problema de prioridad ' es :n e1 + d2 Al considerar la meta de prioridad *, observamos #ue la administración desea alcanzar ingresos por ventas de por lo menos 4(,((( dólares. =i d; (, =G= conseguirá ingresos de por !o menos esa cantidad ! si d (, se obtendrán ingreses inferiores a la meta, por lo #ue la función objetivo para el problema de prioridad * es :n d A continuación consideraremos cuál debe ser la función objetivo para el problema de prioridad 3. Al tener en cuenta la meta /, si d! ; ( habremos encontrado una solución con por !o menos *(( contactos con clientes anterioresN sin embargo, si d! (, no habremos alcanzado la meta de entrar en contacto con por lo menos *(( clientes anteriores. As, para la meta /, el objetivo es minimizar d!. Al ver la meta si d" ; ( encontraremos una solución de a! menos '*( contactos con clientes nuevosN sin embargo, si d" (, no habremos alcanzado dicha meta. -ara la meta el objetivo es minimizar d". =i la meta / ! la sen de igual importancia la función objetivo para el problema de prioridades 3 sera :n d! @ d" =in embargo, suponga #ue la administración cree #ue generar nuevos clientes es vital para el 2xito a largo plazo de la empresa, ! #ue la meta debe tener doble peso #ue la /N de esta manera la función objetivo para el problema de prioridad 3 sera :n d! @* d" +ombinando las funciones objetivo para los tres niveles de prioridad. obtenemos la función objetivo general para el problema de =G=% :n P %3e% @ P % 3d2 @ P 2 3d, @ P , 3d4 @ P ,32d5 +omo indicamos anteriormente, P % P 2 P , son simples eti#uetas #ue nos recuerdan #ue las metas ' ! * son de prioridad 'N la meta 3 es de prioridad * ! las metas / ! sen de prioridad 3. Ahora podremos escribir el modelo completo de programación por objetivos como sigue% :n P %3e% @ P %3d2 @ P 23d, @ P ,6d4 @ -362d58 sujeto a% *x'@ 3x* M e' @d' ; 0( :eta ' *x' @ 3x* M e*@ d* ; 0(( :eta * *(x' @ '*x* M e3@ d3 ; 4( ((( :eta 3 x' M e/@ d/ ; *(( :eta / x* M e@ d ; '*( :eta x', x*, e', d', e*, d*, e3, d3, e/, d/, e, d;(
SOLUCION POR COMPUTADORA El siguiente procedimiento por computadora desarrolla una solución a un modelo de programación por objetivos, al resolver una secuencia del problema de programación lineal. El primer problema comprende todas las restricciones ! todas las ecuaciones objetivo para el modelo completo de programación por objetivosN sin embargo la función objetivo para este problema involucra únicamente metas de prioridad P %. 1e nuevo, nos referiremos a este problema como P %. +ual#uiera #ue sea la solución al problema P % se elabora el problema P 2 agregando una restricción al modelo P % la cual asegure #ue los problemas subsecuentes no degraden la solución obtenida para el problema P %. "a función objetivo para el problema de prioridad * toma en consideración únicamente las metas P 2. +ontinuaremos este proceso hasta #ue ha!amos considerado todos los niveles de prioridad. Blustramos e l procedimiento para el problema de =G= utilizando "BF1G.
-ara resolver el problema de =G=, iniciaremos con el problema P % :n e' @ d* sujeto a% *x'@ 3x* M e'@d' ; 0( :eta ' *x' @ 3x* M e*@ d* ; 0(( :eta * *(x' @ '*x* M e3@ d3 ; 4( ((( :eta 3 x' M e/@ d/ ; *(( :eta / x* M e@ d ; '*( :eta x', x*, e', d', e*, d*, e3, d3, e/, d/, e, d;( En la figura A mostramos la solución "BF1G para este programa lineal. "a solución, #ue consiste de '% ; 3(( contactos con clientes anteriores ! '2 ; ( contactos con clientes nuevos, consigue tanto las metas ' ! * por#ue e' ! d* son iguales a ceroN de manera alterna, el valor de la función objetivo de e' @ d* ; ( tambi2n confirma #ue ambas prioridades ' se alcanzaron. Fote #ue esta solución tambi2n alcanza la meta de ingresos por ventas, dado #ue e3 ; ((( dólares, alcanza la meta / !a #ue e/ ; '(( ! se #ueda corta en la meta en d ; '(( clientes nuevos. =in embargo, es aun más importante saber #ue ha! una solución #ue alcanza las metas de prioridad ' ! *. 1ado #ue la solución al problema P , tambi2n alcanza la meta de prioridad *, no es necesario #ue elaboremos un problema P 2. 1e hecho, pasamos directamente a la solución del P , cu!o modelo se forma agregando una restricción al problema P % la cual debe garantizar #ue todas las soluciones posteriores no degraden la solución !a obtenida para las metas de prioridad P % ! P 2. -odemos agregar una restricción #ue obligue a todas las soluciones futuras a satisfacer las restricciones e% @ d2 ; ( ! d, ; (. Al agregar estas restricciones al modelo ! escribiendo la función objetivo en función de la meta de prioridad 3, obtenemos el programa lineal ! la solución "BF1G #ue aparece en la figura ). "a solución óptima al problema P , es entrar en contacto con '% ; *( clientes anteriores ! con '2 ; 0( nuevos. Aun#ue esta solución excede la meta de contacto con los anteriores en e/ ; (, no llega a la meta de contactos con nuevos por d5 ; 0( clientes nuevos. =e consideraron todos los niveles de prioridad por lo #ue el procedimiento de solución ha terminado. "a solución óptima para =G= es entrar en contacto con *( clientes anteriores ! con 0( nuevos. Aun#ue dicha respuesta no satisface la meta de la administración de entrar en contacto con por lo menos '*( clientes nuevos, consigue todas las demás metas especificadas. =i a la administración no le satisface esta solución se podra considerar un conjunto distinto de prioridades. =in embargo, la administración debe considerar #ue en cual#uier situación con metas múltiples en distintos niveles de prioridad, mu! rara vez se alcanzarán todas las metas con los recursos existentes.
,i.u&! A: SOLUCION CON LINDO AL PROBLEMA P1 OBJETIVE ,UNCTION VALUE 1/
838888888
VARIABLE VALUE e1 83888888 d" 83888888 91 5883888888 9" 83888888 d1 83888888 e" 83888888 e5 78883888888 d5 83888888 e6 1883888888 d6 83888888 e7 83888888 d7 1883888888
REDUCED COST 13888888 13888888 83888888 83888888 83888888 83888888 83888888 83888888 83888888 83888888 83888888 83888888
,i.u&! B: SOLUCION CON LINDO AL PROBLEMA P5 MIN d6 "d7 SUBJET TO "91 59" ; e1 d1 <=8 "91 59" ; e" d" < =88 "7891 1"79" ; e5 d5 < >8888 91 ; e6 d6 < "88
'(
9" ; e7 d7 < 1"8 e1 d" < 8 d5 < 8 END OBJETIVE ,UNCTION VALUE 1/
1"838888888
VARIABLE e1 d" 91 9" d1 e" e5 d5 e6 d6 e7 d7
VALUE 83888888 83888888 "783888888 =83888888 83888888 83888888 83888888 83888888 783888888 83888888 83888888 =83888888
REDUCED COST 83888888 13888888 83888888 83888888 13888888 83888888 83888888 83888888 83888888 13888888 "3888888 83888888
Aplicación : Problema de prod#cción "a compaRa ACBE= ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes% +ada producto puede fabricarse en cual#uiera de las tres plantas. El análisis ha demostrado #ue sera rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos tres nuevos productos. En realidad, el propósito de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilización completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. :ientras #ue las plantas ACBE= generalmente operan a capacidad plena en sus lneas de productos existentes, la producción por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aun#ue la compaRa no necesita la fuerza laboral plena durante los perodos de holgura, el costo de los despidos sera considerable, ! ACBE= deseara evitar esto tanto como fuera posible. Además, la gerencia deseara balancear la utilización del exceso de capacidad entre las sucursales. Esto servira para distribuir e#uitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados ! reducir los agravios de la fuerza laboral #ue se le paga por horas, #ue de otra manera se sentira discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos. -ara el perodo presente se está considerando lo siguiente% "as plantas tienen las siguientes capacidades de producción en exceso 6en t2rminos de unidades8 de nuevos productos ! capacidades de embar#ue disponibles asignadas a los nuevos productos%
P!n(! ' * 3
E#*eso de P&odu**i-n 4( unidades 3(( T /( T
C!p!*id!d E$b!&?ue @pies *bi*os/ '*((( '(((( 0((
"os productos ', * ! 3 re#uieren 3(, *( ! ' pies cúbicos por unidad, respectivamente. "as contribuciones unitarias a la utilidad de los productos ', * ! 3 son &', ' ! '* respectivamente. "os pronósticos de ventas indican #ue ACBE= puede esperar ventas tan altas como ((, '((( ! 4(( unidades de los productos ', * ! 3 respectivamente, durante el periodo de planeación en consideración. 1ada la situación #ue hemos descrito, la administración ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente 6-'; más importante8%
P1. "ograr una utilidad perseguida de &'(((. P". Utilizar tanto de la capacidad de exceso como sea posible. 1ebido al bajo costo de la mano de obra, la administración cree #ue es ', veces más importante utilizar la capacidad de exceso de la planta ' #ue la de las plantas * ! 3.
''
P5. "ograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de la capacidad entre todas las plantas. 1ebido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta ', la administración cree #ue si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo, es dos veces más importante #ue favorecer a la planta ' con menor trabajo con respecto a las plantas * ! 3. P63 "ograr el pronóstico de ventas para el producto *, puesto #ue este tiene la ma!or contribución a la utilidad por unidad. P73 -roducir suficiente cantidad de los productos ' ! 3 para cumplir con las ventas pronosticadas. P=3 Fo exceder la capacidad de embar#ue disponible.
,o&$u!*i-n de $odeo "os siguientes pasos se re#uieren para formular el mo delo de programación de metas. '$E#*eso en !s &es(&i**iones de *!p!*id!d
Se!n: d des)i!*i-n ne.!(i)!3 e des)i!*i-n posi(i)!3 '' @ *' @ 3' M e' @ d' ; 4( '* @ ** @ 3* M e* @ d* ; 3(( '3 @ *3 @ 33 M e3 @ d3 ; /(. 1onde%
9i' ; número de unidades del producto i producidas en la planta j d1 d" d5 ;exceso de capacidad no utilizada en las plantas ',* ! 3 respectivamente. e1 e" e5 ; cantidad mediante la cual la capacidad de exceso se excede las plantas ',* ! 3 respectivamente. *$Res(&i**iones en e &e?uisi(o de esp!*io 3('' @ *(*' @ '3' M e/ @ d/ ; '*((( 3('* @ *(** @ '3* M e @ d ; '(((( 3('3 @ *(*3 @ '33 M e0 @ d0 ; 0(( 1onde%
d6 d7 d= ;número de unidades de capacidad de embar#ue disponible no utilizada en las plantas ',* ! 3, respectivamente. e6 e7 e= ; número de unidades de capacidad adicional de embar#ue re#uerida en las plantas ',* ! 3, respectivamente 3$Res(&i**iones en !s )en(!s espe&!d!s '' @ '* @ '3 M e4 @ d4 ; (( *' @ ** @ *3 M e @ d ; '((( 3' @ 3* @ 33 M e @ d ; 4(( 1onde%
d> d d ;número de unidades sublogradas de las ventas esperadas de los productos ', * ! 3 respectivamente. e> e e ; número de unidades sobrelogradas de las ventas esperadas de los productos ', * ! 3 respectivamente. /$B!!n*e de *!&.! de (&!b!'o 6'' @ *' @ 3'8 7 4( ; 6'* @ ** @ 3*8 7 3(( 6'' @ *' @ 3'V8 7 4( ; 6'3 @ *3 @ 338 7 /( Este balance de ecuaciones puede escribirse como una restricción meta por medio de una simple división ! por transposición del miembro derecho como sigue 6por transitividad, solamente dos restricciones de balance son necesarias8% (.(('3'' @ (.(('3*' @ (.(('33' @ (.((33'* @ (.((33** @ -(.((333* M e'( @ d'( ; ( (.(('3'' @ (.(('3*' @ (.(('33' @ (.((**3'3 @ (.((**3*3 @ (.((**333 M e'' @ d'' ; ( 1onde%
d18 d11; número de unidades producidas demasiado bajas con relación a las producidas en las plantas * ! 3, respectivamente.
'*
e18 e11; Fúmero de unidades producidas en exceso relativas a las #ue es producen en las plantas * ! 3, respectivamente. $ Res(&i**i-n de u(iid!d '6'' @ '* @ '38 @ '6*' @ ** @ *38 @ '*63' @ 3* @ 338 M e'* @ d'* ; '((( 1onde%
d1" ;suma en dólares por debajo de la utilidad perseguida. e1" ; suma en dólares por encima de la utilidad perseguida. =i la meta de utilidad no se enuncia, se puede restringir el lado derecho de esta ecuación para #ue sea cero ! determinar cuál sera la utilidad. -uesto #ue todas las variables reales 6ij8 ! las variables de desviación 6d ó e8 son no negativas, el valor de 6e'*, d'*8 sera la utilidad real. 0 ,un*i-n ob'e(i)o
Mini$i%!& ; -'6e'* @ d'*8 @ ',-*6d'8V @ -*6d* @ d38V @ *-36d'( @ d''8 @ -36e'( @ e''8 @ -/6d8V @ -6d4 @ d8 @-06e/ @ e @ e08 -uesto #ue la administración desea conseguir una utilidad perseguida de &'((( con la más alta prioridad, se asigna -' a las variables de desviación en la meta de restricción de utilidad. "a segunda meta de la administración sera utilizar el exceso de capacidad de planta hasta donde fuera posible. =in embargo, era preferible utilizar el exceso en la planta ' sobre las plantas * ! 3 en una relación de ', a '. Esta situación presumiblemente representa una distinción en los costos de operación de las diferentes plantas. -ara reflejar las prioridades relativas de la administración, se modifica la formulación estándar de la función objetivo 6#ue sera 6-*6d' @ d* @ d38 a ',-*d' @ -*6d* @ d38, #ue pondera el logro de la minimización de la desviación ' con un factor de 37* vez. El segundo nivel general de prioridades administrativas #ue tienen #ue ver con el problema de -*. "a tercera meta de la administración era lograr un balance de subutilizarla la planta ' en vez de sobreutilizarla, debido a factores adicionales desfavorables #ue existan all ! no se presentan en las plantas * ! 3. -or tanto, se asigna *-3 a d'( ! d'' ! -3 a e'( ! e''. -uesto #ue la cuarta meta era lograr las ventas esperadas del producto *, se asigna -/ a d. A d4 ! d asignamos -, pues la #uinta meta es el logro de estas ventas esperadas. A#u no preocupa el sobrelogro de las ventas pronosticadas, puesto #ue se puede, si ha! espacio disponible, almacenar un inventario. =i no es posible, las restricciones en la capacidad de embar#ue, #ue tienen prioridad más alta, tendrán en cuenta esta situación. -uesto #ue la sexta meta de la administración es no exceder la capacidad de embar#ue, se asigna a e/, e ! e0 el valor de -0.
Api*!*i-n 63 PROBLEMA DE TRANSPORTE . "a :ercur! 1istributing +ompan! suministra un solo producto a tres clientes en diversos sitios desde bodegas diferentes. 1urante el perodo de planeación considerado, la compaRa no puede cumplir la demanda de los clientes los cuales deben satisfacerse a expensas de otros. -ara evitar dese#uilibrios serios, es importante balancear la porción de demanda satisfecha entre ciertos clientes. 9ambi2n debido a acuerdos sindicales, la compaRa debe satisfacer ciertos re#uisitos mnimos en los niveles de embar#ue en ciertas rutas. Hinalmente, varias de las rutas sobre las cuales se podra embarcar el producto son peligrosas ! deben evitarse. El problema de transporte se resume a continuación, los costos de embar#ue se dan en cada una de las celdas ! los valores de demanda en los márgenes. Fote #ue la demanda total excede al suministro en '.(( unidades.
De ! Cien(e 1 Cien(e " Cien(e 5 Su$inis(&o Bode.! 1 '( / '* 3((( Bode.! " '( 3 /((( *((( '(( ((( De$!nd! "a administración ha expresado las siguientes preferencias de las metas en el orden decreciente de importancia 6-'; más importante8%
P13 =atisfacer la demanda total del cliente 3 6entrega garantizada8. P"3 =atisfacer por lo menos el 4W de la demanda de cada cliente. P53 :inimizar el costo de transporte para los artculos embarcados. P63 Embarcar por lo menos '.((( unidades en la ruta de la bodega * al cliente ' 6convenio sindical8. P73 :inimizar el costo de embar#ue en las rutas de la bodega ' al cliente 3 ! de la bodega * al cliente * 6peligros8. P=3 )alancear el porcentaje de demanda satisfecha entre los clientes ' ! *.
'3
,o&$u!*i-n de $odeo Se de0inen !s si.uien(es )!&i!bes: ij ; número de unidades embarcadas de la bodega i al cliente j. di ; sublogro de la meta en la restricción i$2sima. ei ; sobrelogro de la meta en la restricción i2sima. '. Res(&i**iones de su$inis(&o. El suministro se restringe a la capacidad de la bodega, por tanto, las desviaciones positivas pueden excluirse de las restricciones de suministro. '' @ '* @ '3 ; 3((( *' @ ** @ *3 ; /(((. *3 Res(&i**iones de de$!nd! . =upongamos #ue la compaRa nunca desea sobrecumplir la demanda del cliente. -or tanto, las desviaciones positivas pueden excluirse de las restricciones de demanda. =in embargo, las desviaciones negativas deben incluirse para identificar el sublogro de las metas de demanda, pues la demanda total excede el suministro total. '' @ *' @ d' ; *((( '* @ ** @ d* ; '(( '3 @ *3 @ d3 ; ((( $%eta 1) 3. MFni$! $e(! de de$!nd! s!(is0e*G! $%eta 2). -ara evitar dese#uilibrios grandes de satisfacción de demanda entre los clientes, se inclu!e una meta de satisfacción de por lo menos el 4W de la demanda de cada uno de los clientes. "as restricciones adecuadas, inclu!endo variables de desviación son las siguientes% '' @ *' @ d/ M e/ ; (.46*(((8 ; '(( '* @ ** @ d M e ; (.46'((8 ; ''* '3 @ *3 @ d0 M e0 ; (.46(((8 ; 34( /3 Me(! de *os(o de (&!nspo&(e $%eta ). -uesto #ue la compaRa desea minimizar el costo total de transporte, se impone una meta de cero ! se hace un intento por minimizar la desviación positiva de este valor de la meta perseguida. '('' @ /'* @ '*'3 @ *' @ '(** @ 3*3 $ e4 ; ( . Me(! de *on)enio sindi*! $%eta !). El convenio sindical expresa #ue al menos '.((( unidades deben embarcarse de la bodega * al cliente '. "a variable d representa una desviación negativa de esta meta, mientras #ue la variable e es la cantidad de sobrelogro de la meta. *' @ d M e ; '((( 0. Me(! de pei.&os en ! *!&&e(e&! $%eta "). 1ebido a los peligros de la carretera, la +ompaRa desea minimizar el embar#ue desde la bodega ' al cliente 3 ! desde la bodega * al cliente *. -or tanto, el nivel de meta para estas restricciones se fija en cero ! se minimizan e'( ! e''. '3 M e ; ( ** $ e'( ; ( 43 Me(! de b!!n*e ! *ien(es $%eta &).. "a compaRa desea transportar cantidades a los clientes ' ! * tales #ue una proporción igual de la demanda de cada una sea satisfecha. Esto se puede expresar por% 6'' @ *'8 7 *((( ; 6'* @ **8 7 '(( as, trasponiendo e incorporando variables de desviación, la restricción meta se convierte en% '' M '.33'* @ *' M '.33** @ d'' $ e'' ; ( 3 0un*i-n ob'e(i)o3
Mini$i%!& < P1@d5/ P"@d6 d7 d=/ P5@e>/ P6@d/ P7@13"e e18/ P=@d11 e11/ Fote #ue para -, e tiene un coeficiente de ',*, pues el costo de embar#ue de la bodega ' al cliente 3 6costo;'*8 es ',* veces ma!or #ue el costo de embar#ue de la bodega * al cliente * 6costo;'(8.
SOLUCIÓN APLICANDO PRO2RAMACIÓN LINEAL: 13 Modeo ! &eso)e& *onside&!ndo ! $e(! de p&io&id!d 1:
'/
"a salida nos indica #ue la meta de prioridad ' ha sido satisfecha 6d3;(8, esto se comprueba sumando los suministros hacia el cliente 3 6x'3@x*3;'(((@/(((;(((8 Ahora para resolver el modelo considerando la segunda meta, agregamos como restricción el valor de la penalidad de la meta ', a fin de no perder su valor 6d3;(8
"3 Modeo ! &eso)e& *onside&!ndo ! $e(! de p&io&id!d ":
"a salida nos indica #ue el re#uerimiento del al meno el 4W de la demanda del cliente 3 ha sido satisfecha 6d0;(8, en cambio los re#uerimientos de los clientes ' ! * no han sido satisfechos ! para llegar a cumplir dichos re#uerimientos, al cliente ' le faltara 0*/ unidades 6d/;0*8 ! al cliente * le faltara ' unidad 6d;'8.
53 Modeo ! &eso)e& *onside&!ndo ! $e(! de p&io&id!d 5:
'
L as sucesivamente hasta llegar a resolver el modelo co n la prioridad 0%
63 Modeo ! &eso)e& *onside&!ndo ! $e(! de p&io&id!d =:
Hinalmente se tiene la solución final del problema. El sólo observar el valor de las variables de penalización nos indica #ue metas se han cumplido ! #ue metas no se han cumplido ! por cuánto.
SOLUCIÓN APLICANDO PRO2RAMACIÓN DE METAS DEL HINQSB @Op*i-n 'oal Pro(rammin( /:
'0
API*A*IOES PROP,ES-AS: 13 Un pe#ueRo fabricante de e#uipo especial de productos de oficina, fabrica dos clases de productos, sillas ! lámparas. El margen bruto de la venta de una silla es &(N el de la venta de una lámpara &/(. "a producción de una silla o de una lámpara re#uiere ' hora de capacidad de producción de '( horas por semana. 1ebido a la capacidad limitada en las ventas, el máximo número de sillas ! lámparas #ue puede venderse es de seis ! de ocho por semana respectivamente. El gerente de planta ha colocado las siguientes metas, clasificadas de acuerdo a importancia 6prioridad8%
1esea evitar la subutilización de la capacidad de producción. 1esea vender tantas sillas ! lámparas como sea posible. -uesto #ue el margen bruto de la venta de una silla se ha fijado como el doble de la utilidad de una lámpara, tiene un deseo doble de lograr la meta de sillas sobre la meta de las lámparas 1esea minimizar el tiempo extra de la planta tanto como sea posible.
Hormule este problema como un problema de programación de metas, para #ue el gerente de planta pueda tomar una decisión #ue cumpla sus metas tanto como se pueda.
"3 B+E ACEXUB-A produce congeladores. "a compaRa tiene dos lneas de producción. "a tasa de producción para la lnea ' es 3 unidades por hora ! para la lnea * es de * unidades por hora. "a capacidad regular de producción es de /( horas por semana para ambas lneas. "a utilidad bruta de un congelador es de &'*. El presidente de la compaRa tiene las siguientes metas para la semana siguiente, #ue se muestran en orden descendente de prioridad. '$ +umplir la meta de producción de *(( unidades por semana. *$ "imitar la operación de tiempo extra de la lnea a horas. 3$ Evitar la subutilización de las horas normales de trabajo de ambas lneas. Hormule este problema como un problema de programación de metas.
53 Una +ompaRa manufacturera fabrica dos productos #ue tienen la utilidad ! las necesidades de recursos siguientes% C!&!*(e&Fs(i*!s Utilidad 7 unidad Yoras de departamento A 7unidad Yoras del departamento ) 7unidad
P&odu*(o 1 &/ ' *
P&odu*(o " &* '
El programa de producción del mes pasado utilizó 3( horas de mano de obra en el departamento A ! '((( horas en el
'4
departamento ). En los últimos 0 meses la administración ha sufrido fluctuaciones mensuales en la carga de trabajo en los departamentos por problemas de motivación de la fuerza de trabajo ! problemas sindicales. =e han hecho usuales nuevas contrataciones despidos ! transferencias interdepartamentales !a #ue la empresa no ha intentado estabilizar las necesidades de carga de trabajo. "a administración deseara desarrollar un programa de producción para el mes siguiente #ue consiga las siguientes metas%
Me(! 1: Utilizar 3( horas de mano de obra en el departamento A. Me(! ": Utilizar '((( horas de mano de obra en el departamento ). Me(! 5: Gbtener por lo menos '3(( dólares de utilidad. Hormule un modelo de programación de metas para este problema suponiendo #ue las metas ' ! * son de nivel P % ! #ue la meta 3 es de nivel P 2. =uponga #ue las metas ' ! * son de igual importancia.
63 Una industria de automóviles ::+ acaba de poner a la venta un nuevo auto de turismo de lujo. +omo parte de su campaRa promocional, el departamento de comercialización ha decidido enviar invitaciones personalizadas para un recorrido de prueba del nuevo vehculo a dos grupos meta% 6'8 los propietarios actuales del automóvil ::+ de lujo ! 6*8 los propietarios de automóviles de lujo fabricados por uno de los competidores de ::+. El costo de enviar una invitación perso$ nalizada a cada uno de los clientes se estima igual a un dólar por carta. +on base en la experiencia con este tipo de publicidad, ::+ estima #ue *W de los clientes del grupo ' ! '(W de los del grupo * harán el recorrido de prueba en el nuevo auto. +omo parte de esta campaRa, ::+ ha establecido las metas siguientes% Me(! 1: Gbtener #ue por lo menos '(.((( clientes del grupo ' hagan un recorrido de prueba. Me(! ": Yacer #ue por lo menos .((( clientes del grupo * hagan un recorrido de prueba. Me(! 5: "imitar el costo de envo de invitaciones a 4(,((( dólares. =uponga #ue las metas ' ! * son de prioridad -' ! #ue la meta 3 es de -rioridad -*, formule un modelo de programación por objetivos del problema ::+, suponiendo #ue las metas ' ! * son de igual importancia.
73 Una Empresa fabrica cuatro clases de juguetes de madera. "a empresa #uiere planear la producción de la semana próxima en sus tres operaciones, procesado, ensamble ! terminado. =e conoce lo siguiente% -roducto A ) + 1 1isponibilidad 9iempo de procesado 6horas8 3 / 0 3 /(( 9iempo de ensamble 6horas8 * 3 * 3(( 9iempo de terminado 6horas8 * ' / 3 *(( +ontribución7unidad & &4 & &0 1emanda 6unidades8 '(( '( ( *(( =e tiene los siguientes objetivos en orden de prioridad% a8 :inimizar la subutilización de las horas disponibles en cada operación. b8 =atisfacer la demanda de los productos A ! ). c8 ?enerar una contribución de &'((. d8 "imitar el tiempo extra en la operación de procesado a *( horas. =3 "a Zener +orporation produce dos tipos de televisores, de color ! blanco ! negro. El departamento de control de producción está tratando de establecer la programación de ensamble de las consolas para el próximo mes. Ambos tipos de televisores usan la misma consola ! se dispone de 4 ((( consolas. =e usa una misma lnea de ensamble para los dos tipos ! se dispone de '(( ((( horas de mano de obra regular. "os televisores de color, #ue son mas complejos, usan '. horas de mano de obra ! los blanco ! negro ' hora. -ara cumplir los objetivos de ventas se establecieron cuotas de /( ((( ! 3( ((( televisores de color ! blanco ! negro respectivamente. "as utilidades unitarias para los televisores a color ! televisores blanco ! negro son &4( ! &/( respectivamente. "os objetivos en orden de prioridad son% '8 +umplir con las cuotas de producción. *8 :inimizar el tiempo extra. 38 Asegurar para la empresa una utilidad de / (( ((( dólares. /8 -roporcionar seguridad en el trabajo ! utilizar en su totalidad las horas de trabajo regulares. 8 1e haber tiempo extra, este deberá limitarse al '(W de la capacidad regular disponible. Establezca el modelo matemático respectivo #ue determine la solución óptima para la empresa.
'
>3 Una +ompaRa manufacturera fabrica dos productos #ue tienen
la utilidad ! las necesidades
de recursos siguientes% C!&!*(e&Fs(i*!s Utilidad 7 unidad Yoras de departamento A 7unidad Yoras del departamento ) 7unidad
P&odu*(o 1 &/ ' *
P&odu*(o " &* '
"a empresa dispone de 3( horas de mano de obra en el departamento A ! '((( horas en el departamento ). "a demanda de los productos ' ! * son de *(( ! '( unidades respectivamente. En los últimos 0 meses la administración ha sufrido fluctuaciones mensuales en la carga de trabajo en los departamentos por problemas de motivación de la fuerza de trabajo ! problemas sindicales. =e han hecho usuales nuevas contrataciones, despidos ! transferencias interdepartamentales !a #ue la empresa no ha intentado estabilizar las necesidades de carga de trabajo. "a administración deseara desarrollar un programa de producción para el mes siguiente, para lo cual ha establecido los siguientes objetivos en orden de prioridad% '8 *8 38 /8
:inimizar el tiempo extra en cada departamento :inimizar la demanda insatisfecha de ambos productos. Gbtener por lo menos '(( dólares de utilidad. :inimizar el tiempo ocioso en el departamento A.
Establezca la solución óptima para este problema ! determine el plan de producción, la demanda insatisfecha de cada producto, el tiempo ocioso ! el tiempo extra en cada departamento ! la utilidad de la compaRa. :BF -'6e'@e*8@-*6d3@d/8@-3d@-/e0 =9 '@*@d'$e';3( *'@*@d*$e*;'((( e'$e3;( e*$e/;( '@d3;*(( *@d/;'( /'@**@d$e;'(( d*$e0;(
