Material de consulta: Miscelánea de problemas matemáticos, problemas de optimización, modelación y GeoGebra c Juan Carlos Ponce Campuzano
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UQ 12 de enero de 2015
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La computadora puede servir como una herramienta para complementar el pensamiento matemático avanzado de varias maneras. [...] En la educación se puede usar para [...] ayudar a los estudiantes a conceptualizar y construir por ellos mismos las matemáticas que ya han sido formuladas por otros. Ed Dubinsky y David Tall [8, p. 231]
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Contenido 1. Introducción
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1.1. La tecnología para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas . . . . 2. ¿Qué son las matemáticas?
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2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Matemáticas en Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. La naturaleza de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Miscelánea de Problemas I
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3.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3. Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4. Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5. Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.6. Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.7. Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4. Problemas de optimización
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4.1. El problema de la caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2. El problema del cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3. Problema de la recta que pasa por un punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5. Miscelánea de Problemas II
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5.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3. Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5
5.4. Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6. Breve reseña histórica del Cálculo
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6.1. Breve reseña histórica del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3. Distancia, Velocidad y Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3.1. Applets de Geogebra: Representación del movimiento . . . . . . . . 41 7. Acerca de los Elementos de Euclides
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7.1. Un poco de historia de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.2. Los Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.3.
Algunos contenidos de Los Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.3.1.
El pórtico axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.3.2.
Algunas proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.4. Comentarios Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 8. Transformaciones lineales
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8.1. Rotación y producto escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9. Proyecciones ortográficas
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9.1. Matrices de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.2. Un caso: cuando el eje Z es igual a cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9.3. Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10. Torre sobre la montaña
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10.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 10.2. Solución al problema por medio de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 65 11. Curvas paramétricas
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11.1. Ejemplos de curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 11.1.1. Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 11.1.2. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6
11.1.3. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.1.4. Cardioides y otras curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.1.5. Curva Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 11.1.6. Curva paramétrica que representa a Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 11.1.7. Curva paramétrica que representa a Pi en 3D . . . . . . . . . . . . . 72 11.2. Espiral logarítmica y espiral en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 11.2.1. Espiral logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 11.2.2. Espiral en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 12. El Cubo, uno de los sólidos platónicos
78
12.1. Secuencia de construcción de cubo en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 13. Secuencias y Listas en GeoGebra
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13.1. Secuencias de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 13.1.1. Mantel elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 13.1.2. Envolvente parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 13.1.3. Grafos o Enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 13.2. Superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 13.2.1. Construcción de superficies de revolución con GeoGebra . . . . . . 86 Referencias
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1. 1.1.
Introducción La tecnología para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas
En la actualidad, el uso de la tecnología en las escuelas ha modificado la manera de enseñar matemáticas. La introducción de nuevas herramientas tecnológicas, como calculadoras graficadoras y también computadoras personales, ha permitido nuevos acercamientos hacia las matemáticas.
Figura 1: Gráfica de f ( x, y) = sen( x, y)
La computadora, por ejemplo, puede servir como una herramienta para ayudar a los estudiantes a conceptualizar y construir por ellos mismos matemáticas que ya han sido formuladas por otros; además, puede servir también como complemento del pensamiento matemático avanzado porque sugiere posibles teoremas, sirve para buscar contra ejemplos, para realizar cálculos difíciles o engorrosos, e incluso, en algunos casos para probar teoremas que involucran un número finito de casos algorítmicos [8].
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Gracias al trabajo en conjunto de matemáticos, educadores matemáticos y programadores, se han desarrollado diferentes tipos de software que pueden ser usados con fines didácticos. Entre ellos se encuentran los llamados Sistemas de Álgebra Computacional (CAS, del inglés Computer Algebraic System) los cuales son programas para computadora o calculadora avanzada que nos permiten manipular expresiones algebraicas, graficar funciones y operar con números. Algunos ejemplos de este tipo de programas son: Derive 6.0, Scientific Work Place 5.5, Mathematica 8.0, Maple, entre otros.
Figura 2: Gráfica de f ( x, y) = x2 − y2 Es bien reconocido que los CAS ofrecen la posibilidad de reducir una gran cantidad de cálculos engorrosos y repetitivos, lo cual permite dedicar mayor tiempo a aspectos más interesantes de la materia. Asimismo, existen diversas investigaciones al respecto del uso del CAS para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, las cuales muestran evidencia de que los estudiantes que usan los CAS obtienen grandes beneficios para abordar problemas específicos y además, mejora potencialmente su aprendizaje. Por tal motivo, la formación y capacitación de los profesores de matemáticas requiere de procesos continuos de actualización para fortalecer no sólo los conocimientos matemáticos sino también para conocer las nuevas propuestas tecnológicas que surgen día a día. Por otra parte, el desarrollo de diversos programas libres de matemáticas (como GeoGebra1 por ejemplo), ha permitido el acceso al público en general a los CAS. Además, también se pueden encontrar fácilmente en internet, programas o sitios de matemáticas de acceso libre a todo público, como por ejemplo el sitio Wolfram Alpha2 (ver Figura 4). Los anteriores pueden ser utilizados para la enseñanza de diversos temas de matemáticas desde geometría, cálculo, probabilidad, álgebra, programación, entre otros muchos temas. 1 Sitio 2 Sitio
web: http://www.geogebra.org/cms/es/ web: http://www.wolframalpha.com/
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Figura 3: Ejemplo de GeoGebra
Figura 4: Ejemplo del sitio de Wolfram Alpha para resolver sen( x, y) = 0
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Ciertamente, el uso de la las nuevas herramientas tecnológicas y el acceso a internet nos permiten tener una aproximación a las matemáticas y a su enseñanza desde otro punto de vista. Sin embargo, debemos ser conscientes de que no podemos utilizar la tecnología como una caja negra la cual nos permitiría resolver cualquier problema. Como profesores debemos tener un conocimiento adecuado, dependiendo de las actividades que se lleven a cabo, del comportamiento de los programas de matemáticas que utilizamos en el aula para comprender los resultados por nosotros mismos y así, de esta manera, alentar a los estudiantes a ser más reflexivos con el uso de la tecnología. Otros sitios de interés con actividades, interactivos y temas diversos para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas son los siguientes: Cut The Knot (USA): http://www.cut-the-knot.org/ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (USA): http://oeis.org/ Geogebrando (España): http://geogebreando.blogspot.mx/ Geometría Dinámica (México): http://geometriadinamica.org/ Proyecto Descartes (España): http://recursostic.educacion.es/descartes/web/
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2. 2.1.
¿Qué son las matemáticas? Introducción
¿Qué son las matemáticas? Haga esta pregunta a varias personas elegidas al azar y es probable que reciba la respuesta “Las matemáticas son el estudio de los números”. Si usted insiste preguntando qué tipo de estudio quieren decir, es posible que pueda inducirlos a responder: “Es la ciencia de los números”. Si consulta también el Diccionario de la Lengua Española, puede encontrar una respuesta similar, aunque más precisa: matemática. (Del lat. mathematˇıca, y este del gr. τ α` µαθηµατικ α´ , der. de µα´ θηµα, conocimiento). 1. f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones [17].
Con esto, usted habrá obtenido una descripción de las matemáticas que dejó de ser precisa desde hace unos dos mil quinientos años atrás. Las matemáticas han sido, desde épocas antiguas, una actividad floreciente en todo el mundo que han permeado en un grado considerable en distintos ámbitos de la vida humana y en general de la sociedad. De hecho, la respuesta a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” ha cambiado varias veces durante el curso de la historia. En la antigüedad, hasta el año 500 a. C. (más o menos), las matemáticas eran de hecho el estudio de los números. Este fue el período de las matemáticas egipcias y babilónicas. En esas civilizaciones antiguas, la matemática consistía casi exclusivamente de la aritmética práctica. Fue en gran parte utilitaria y se consideraba más como un manual basado en, quizá, una regla básica: Realizar tal y tal cosa a un número y obtendrá la respuesta. El período que comprende alrededor del año 500 a. C. al 300 d. C. se considera como la época de las matemáticas griegas. Los matemáticos de la antigua Grecia se ocuparon principalmente de los números y la geometría. De hecho, consideraron números de forma geométrica, como medidas de longitud de segmentos, pero cuando se descubrió que había segmentos inconmensurables (también llamados magnitudes inconmensurables), terminaron sus estudios acerca del número. Recordemos que dos segmentos son inconmensurables si no existe ningún otro segmento que aplicarse a cada uno de ellos un número entero de veces, o dicho en otras palabras, si el cociente de sus longitudes no puede expresarse por una fracción ordinaria (un cociente de números enteros). Para los griegos, con su énfasis en la geometría, las matemáticas eran básicamente el estudio de los números y la forma. Se debe resaltar que fue a partir de los griegos cuando la matemática surgió como un área de estudio y dejó de ser una colección de técnicas para contabilizar, organizar, medir y contar. El interés de los griegos en matemáticas no sólo era utilitario, sino que 13
consideraron a las matemáticas como una actividad intelectual que tiene elementos estéticos y religiosos. Tales de Mileto (c. 624 a. C. - c. 546 a. C.), por ejemplo, introdujo la idea de que las afirmaciones de las matemáticas expresadas con precisión podían ser demostradas lógicamente por medio de un argumento formal. Esta innovación marcó el nacimiento del teorema, actualmente piedra angular de las matemáticas. Para los griegos, este enfoque culminó con la publicación de los Elementos de Euclides (ca. 325 - ca. 265 a. C.), conocido por ser el libro más difundido de todos los tiempos después de la Biblia.
2.2.
Matemáticas en Movimiento
No hubo cambios importantes en la naturaleza general de las matemáticas ni avances significativos hasta mediados del siglo XVII, cuando el físico, astrónomo y matemático inglés Sir Isaac Newton (1642-1727) y el abogado, filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) desarrollaron el Cálculo de manera independiente. En esencia, el Cálculo es el estudio del movimiento y el cambio. Las matemáticas, previas al siglo XVII, habían sido en gran parte restringidas a las cuestiones estáticas de conteo, medición y descripción de la forma. Con la introducción de técnicas para manejar el movimiento y el cambio, los matemáticos comenzaron a estudiar el movimiento de los planetas y de los cuerpos que caen sobre la tierra, el funcionamiento de la maquinaria, el flujo de los líquidos, la expansión de los gases, las fuerzas físicas, tales como el magnetismo y la electricidad, el vuelo, el crecimiento de las plantas y los animales, la propagación de epidemias, la fluctuación de variables, entre muchas otras cosas más. Después de Newton y Leibniz, la matemática se convirtió en el estudio del número, la forma, el movimiento, el cambio, y el espacio. La mayor parte del trabajo inicial que implica el Cálculo se ha dedicado al estudio de la física y, de hecho, muchos de los grandes matemáticos de la época también son considerados como físicos. Pero a partir de mediados del siglo XVIII se produjo un creciente interés en la naturaleza de las matemáticas, no sólo sus aplicaciones, muchos matemáticos comenzaron a tratar de comprender lo que había detrás del enorme poder que el Cálculo dio a la humanidad. Aquí la tradición griega de la prueba formal volvió a entrar en ascenso, similar a la matemática pura actualmente desarrollada. A finales del siglo XIX, las matemáticas se habían convertido en el estudio del número, la forma, el movimiento, el cambio y el espacio, y de las herramientas matemáticas que se utilizan en este estudio. El incremento de la actividad matemática que tuvo lugar en el siglo XX fue dramática. En el año 1900, podemos decir que el conocimiento matemático del mundo entero se había recopilado en un número finito de libros (unos 10000 libros, tal vez). Hoy tal vez se necesitaría un billón de volúmenes para contener todas las matemáticas conocidas. 14
Afortunadamente, con el desarrollo de la tecnología, ahora tenemos los libros digitales que pueden ser almacenados en espacios reducidos y además son de fácil acceso para todo mundo, lo cual implica la creación de bibliotecas digitales de libros, ya sean antiguos o escritos recientemente. El extraordinario crecimiento de las matemáticas no sólo ha sido un fomento comenzado en la antigüedad, de hecho, han surgido muchas nuevas ramas de las matemáticas. Hasta 1900, la matemática puede considerarse, razonablemente, como un conjunto pequeño de temas distintos: Teoría de Números, Álgebra, Geometría Clásica y Analítica, Cálculo Diferencia e Integral, Probabilidad, etc. Hoy en día existen un número enorme de ramas: Álgebra Abstracta, Lógica, Combinatoria, Procesos Estocásticos, Variable Compleja, Ecuaciones Diferenciales, Teoría de Continuos Cálculo de Variaciones, . . . y la lista continúa. Algunas ramas, como el Álgebra y la Topología, se han dividido en varios subcampos mientras que otros, tales como la Teoría de Categorías o la Teoría de Sistemas Dinámicos, son prácticamente nuevas áreas de estudio [6].
2.3.
La naturaleza de las matemáticas
Ante este enorme crecimiento en la actividad matemática, por un tiempo parecía que la única respuesta sencilla a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” era decir algo como: Es lo que los matemáticos hacen para ganarse la vida. Quizá sería mejor describir a las matemáticas por el proceso que se utiliza para estudiar algo y no tanto por el objeto de estudio, es decir, debemos considerar la metodología utilizada, lo cual conlleva al análisis de su naturaleza. Dentro de la filosofía de las matemáticas han surgido varias corrientes que tratan de explicar la naturaleza de las matemáticas, algunas de las más famosas son: el Logicismo, el Formalismo y el Intuicionismo3 . A grandes rasgos: 3 Para
más detalles consultar [13] y [18]
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El Logicismo es una de las escuelas de pensamiento en la filosofía de la matemática, propone la teoría que la matemática es una extensión de la lógica y, por lo tanto, parte o toda la matemática es reducible reducible a la lógica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron esta teoría cuyo padre fue Gottlob Frege. El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX. El Formalismo es una posición en filosofía de las matemáticas que considera que el lenguaje matemático puede reducirse a operar con signos. Los postulados (o reglas) son arbitrarios, solo están sujetos a una condición esencial, que es la compatiblidad. Es decir, pueden construirse tantas disciplinas matemáticas como sistemas compatibles de postulados. Su autor más importante es David Hilbert. El Intuicionismo es una aproximación a las matemáticas a partir de una vista mental constructiva humana. Todo objeto matemático es considerado producto de la mente humana, y, por ende, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. Por consiguiente, el Intuicionismo es una variedad del Constructivismo matemático, aunque no son el mismo concepto. Desde otro punto de vista, de acuerdo con el matemático inglés Keith J. Devlin [5], en los últimos treinta años ha surgido una definición de las matemáticas en la que la mayoría de los matemáticos están de acuerdo: La matemática es la ciencia de los patrones. De acuerdo con esta idea lo que el matemático hace es examinar patrones numéricos, patrones de formas, patrones de movimiento, patrones de comportamiento, patrones elecciones en una población, los patrones de eventos al azar, entre muchos otros. Estos patrones pueden ser reales o imaginarios, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, puramente utilitarios o simplemente de interés recreativo. Pueden surgir del mundo que nos rodea, desde las profundidades del espacio y el tiempo, o desde el funcionamiento interno de la mente humana. Diferentes tipos de patrones dan lugar a las diferentes ramas de las matemáticas. Por ejemplo: La Aritmética y Teoría de números estudian patrones de números y conteo. La Geometría estudia patrones de forma. El Cálculo nos permite manejar patrones de movimiento. La Lógica estudia patrones de razonamiento. La Teoría de Probabilidad trata con patrones de azar. La Topología estudia de patrones de cercanía y posición. 16
Uno de los aspectos de la matemática moderna, que es obvio hasta para el observador casual, es el uso de la notación abstracta: las expresiones algebraicas, fórmulas complicadas de aspecto y diagramas geométricos. El hecho de que el matemático confié plenamente en la notación abstracta, es un reflejo de la naturaleza abstracta de los modelos que estudia. Diferentes aspectos de la realidad requieren diferentes formas de descripción. Por ejemplo, dibujar un mapa es la forma más adecuada para estudiar la disposición de la tierra o para describir a alguien cómo encontrar su camino en una ciudad extraña. En este caso, el texto es mucho menos apropiado. Análogamente, diagramas de planos son la manera más apropiada para especificar la construcción de un edificio. La notación musical es la manera más adecuada para comunicar la música e incluso de poder tocar una pieza musical completa. En matemáticas, los conceptos, procedimientos y la notación son los medios más apropiados para la descripción y análisis varios tipos de patrones y estructuras abstractas. Por ejemplo, la notación simbólica del álgebra es el medio más adecuado para describir y analizar las propiedades generales de comportamiento de la suma y la multiplicación.
2.4.
Comentarios finales
No es una tarea simple tratar de contestar la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” La razón es porque la respuesta varía dependiendo de la perspectiva desde donde se mire. En lo personal, las matemáticas son el producto de un proceso histórico-social de la mente humana. Quizá en los próximos 100 años se propondrá una nueva perspectiva acerca de la naturaleza de las matemáticas debido al desarrollo de las tecnologías computacionales. En los últimos 50 años, el desarrollo de las computadoras ha evolucionado drásticamente de tal manera que ahora contamos con computadoras de bolsillo (las famosas tabletas) para el uso cotidiano de actividades diversas, desde comprar un boleto electrónico, hasta comunicarnos con alguien del otro lado del mundo. Las computadoras, en las manos de un usuario experto, pueden utilizarse para “realizar” matemática y el resultado se puede mostrar en una forma visual en la pantalla para que todos lo aprecien. Aunque sólo una parte relativamente pequeña de la matemática se presta para tales propósitos, ahora es posible comunicar a un gran número de personas al menos algo de la belleza y la armonía que el matemático “observa” y experimenta cuando hace matemáticas.
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3.
Miscelánea de Problemas I
3.1. Si
√
Problema 1 11 = 3.31662479 . . . Calcula una aproximación de 1 √ 11
con nueve cifras decimales, sin usar calculadora. Respuesta.
√
1 11 − 1
= = = =
3.2.
√ 11 + 1 √ √ 11 − 1 11 + 1 √ 11 + 1 √ 11 − 1 4.31662479 . . . 10 0.431442479 . . . 1
Problema 2
Un ciclista de alto rendimiento tarda 7 horas y media en recorrer un trayecto de 90 km, a una velocidad constante. 1. ¿Cuál es la velocidad del ciclista, expresado en km/h? 2. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 138 km? 3. ¿Cuánto tiempo tardaría en recorrer 93.6 km, si su velocidad constante es de 5.2 km/h? Respuestas. 1) El ciclista tarda 7 horas y media en recorrer un trayecto de 90 km. La velocidad es distancia sobre tiempo: d v= t Por lo tanto, tenemos 90km v= = 12km/hr 7.5hr 19
2) Como la velocidad es constante, el inciso anterior indica que el ciclista recorre 12 km por cada hora. Esto quiere decir que en 2 hr. recorrerá 24 km. En 3 hr. recorrerá 36 km. Esto implica una relación de proporcionalidad. En este caso, se puede aplicar una regla de tres. Es decir 138 km es a x hr. como 12 km es a 1 hr Expresado matemáticamente tenemos 12 138 = x 1 Despejando a x obtenemos 138 = 11.5 12 Por lo tanto, tardará 11.5 hr o 11 hr y media. x=
3) Ahora, si la velocidad constante es de 5.2 km/hr, entonces el tiempo que tardará en recorrer 93.6 km es: t =
=
3.3.
d v 93.6km = 18hr 5.2km/hr
Problema 3
Sin utilizar calculadora, encuentra el valor de la expresión A = (83, 875, 683, 470)2 − (83, 875, 683, 469 × 83, 875, 683, 471) Respuesta. Si n = 83, 875, 683, 470. Entonces A = n2 − ((n − 1) × (n + 1)) = n2 − (n2 − 1) = 1
3.4.
Problema 4
Observa la siguiente sucesión de números: 1, 5, 9, 13, 17, . . . 20
1. ¿Qué término está en la posición número 1010? 2. Determina una fórmula general para encontrar el término en la posición n-ésima. El término en la posición número 1010 es 4037. El término n-ésimo es , o lo que es lo mismo El término n-ésimo está dado por la fórmula 4(n − 1) + 1 o lo que es igual 4n − 3. Por lo tanto, el término que está en la posición 1010 es: 4(1010) − 3 = 4040 − 3 = 4037
3.5.
Problema 5
Sobre el diámetro de un círculo se construyen dos semicírculos como muestra la Figura 5. Si el diámetro del círculo está dividido en una razón de 43 . Establece la razón del área blanca respecto al área sombreada.
Figura 5:
Respuesta. Sea r1 el radio de la circunferencia pequeña y r2 el radio de la circunferencia grande. Entonces r1 3 = r2 4 El área total del círculo entero se puede expresar en términos de las dos circunferencias interiores. Es decir A t = π (r1 + r2 )2 21
Las áreas de las regiones blanca y sombreada están dadas por las siguientes expresiones Ac = π (r12 + r1 r2 ) y AC = π (r22 + r1 r2 ) respectivamente. Entonces, al hacer la razón entre ambas áreas tenemos Ac AC
=
π (r12 + r1 r2 ) r 3 = 1 = 2 r2 4 π (r2 + r1 r2 )
Por lo tanto, la razón del área blanca respecto al área sombreada es 34 .
3.6.
Problema 6
En un cuadrado de lado 3 se cortan triángulos rectángulos isósceles en cada una de sus cuatro esquinas, de tal manera que se forma un octágono regular al interior del √ cuadrado (Figura 6). Demostrar que el área de este octágono se puede expresar como 18 2 − 18.
Figura 6: Respuesta. Asignemos x al valor de los catetos de los triángulos que se forman y L el valor de la hipotenusa (que también corresponde al lado del polígono). Entonces, por el teorema de pitágoras, tenemos √ L = 2x 22
Sabemos también que el lado del cuadrado mide 3. Entonces tenemos la siguiente expresión 2x + L = 3. Sustituyendo el valor de L obtenemos
√ 2x + ( 2x ) = 3 Al despejar a x queda x= De aquí que
3 √ 2+ 2
√ 3 2 √ L= 2+ 2
El área del octágono se obtiene multiplicando el perímetro por el apotema entre 2. Esto lo podemos escribir de la siguiente manera A=
P·a . 2
En este caso el apotema a mide 3/2, porque el lado del cuadrado mide 3. Por lo tanto tenemos P·a = A= 2
8
√ 3 √2 2+ 2
3 2
2
√ Que al simplificar queda 18 2 − 18.
3.7.
Problema 7
La siguiente tabla muestra algunos valores de la tarifa de un taxi de acuerdo a la distancia recorrida. Distancia (km) 1 Tarifa (pesos) 12.3
3 6 21.3 34.8
1. Elabora una gráfica que representa la relación entre ambas variables, considerando la distancia en el eje horizontal y la tarifa en el eje vertical. 23
2. Aproxima los datos por una función lineal, esto es, sustituye valores de la tabla en la ecuación f ( x ) = a + bx para hacer un sistema de ecuaciones con dos variables. Resuelve el sistema y estima la tarifa que se debe pagar si se han recorrido 15.3 km, de acuerdo al modelo. Respuestas. 1) Una representación gráfica puede ser como la siguiente:
Figura 7: 2) Al sustituir los valores de x en la función f ( x ) = a + bx, se obtienen las siguientes ecuaciones a + b = 12.3 a + 3b = 21.3 a + 6b = 34.8 Se pueden considerar cualquier par de ecuaciones para hacer un sistema de ecuaciones de dos incógnitas. Al resolver cualquiera de estos sistemas, se tiene que: a = 7.8 y b = 4.5. Por lo tanto, la tarifa será de 76.65 pesos.
24
4.
Problemas de optimización
4.1.
El problema de la caja
Un problema clásico de optimización es el famoso problema de la caja construida a partir de una lámina rectangular o cuadrada. Una de sus tantas versiones es la siguiente: Se necesitan construir cajas de cartón sin tapa de diferentes capacidades. Para su construcción se utilizan láminas que tienen la forma de un cuadrado de lado 10 cm. Si de cada esquina se le cortan cuadrados de x cm de lado: 1. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja? 2. Obtener una función V ( x) que relacione a la caja con su volumen. 3. Obtener el dominio de V ( x ). 4. Realizar un bosquejo de su gráfica. 5. ¿Para qué valor de la variable x se obtiene un volumen máximo (o mínimo en su caso)?
Figura 8: Modelación del problema de la caja
25
El siguiente applet, realizado con GeoGebra, permite dar una idea intuitiva de la relación entre el volumen de la caja y la variable x, cuando esta última varía: http://www.geogebratube.org/student/m32563 No es difícil observar que las dimensiones de la caja son Largo: 10 − 2x, Ancho: 10 − 2x y Alto: x. De esta manera, la función que relaciona a la caja con su volumen es V ( x ) = x (10 − 2x )(10 − 2x ). V ( x ) no está definida para x = 0 ni x = 5 porque no tiene sentido para estos casos. De hecho, el dominio de V ( x ) es el intervalo abierto (0, 5). Con la ayuda del applet, se puede observar que se obtiene un volumen máximo (aprox.) de 74.05 centímetros cúbicos cuando x se aproxima al valor de 1.7. La solución general se obtiene calculando la derivada de la función V ( x ). Esto es V 0 ( x ) = 12x2 − 80x + 100. Esta función se iguala a cero para encontrar los puntos críticos. Es decir V 0 ( x ) = 12x2 − 80x + 100 = 0. Los valores donde la derivada V 0 ( x ) se hace cero son x1 = 5 y x2 = 5/3. El valor de x1 = 5 se descarta, por como está definido el dominio de V ( x ). Para verificar que es un máximo, se calcula la segunda derivada de V ( x ). Esto es V 00 ( x ) = 24x − 80. Ahora, se sustituye el valor de x2 = 5/3 en V 00 ( x ). De lo cual se obtiene que V 00 (5/3) = 24(5/3) − 80 = −40 Este último valor es negativo. Por lo tanto, cuando x es igual a 5/3 (ó 1.666 . . . aprox.) el volumen de la caja alcanza un valor máximo. Al sustituir 35 en V ( x ), obtenemos 74.07 (aprox).
4.2.
El problema del cono
Cálculo del volumen de un cilindro inscrito en un cono. Se inscribe un cilindro en un cono recto de altura h = 5 y radio de la base r = 1. ¿Cuál es el máximo volumen que puede tener ese cilindro? 26
Si el cilindro tiene altura h0 y radio r2 , entonces el volumen del cilindro está dado por la fórmula: V (h0 , r2 ) = πh0 r2 . Como se puede apreciar, esta expresión depende de dos variables (h0 , r2 ). Es posible establecer una relación entre alguna de estas variables y la variación del volumen del cilindro. En el siguiente applet, realizado con GeoGebra, se puede apreciar dicha relación. En este caso se estableció la relación entre el radio r y el volumen: http://www.geogebratube.org/student/m33748
Figura 9: Modelación del problema del cilindro inscrito en un cono
Preguntas: 1. ¿Cuál es la expresión algebraica (o función) que representa la curva que se muestra en la representación gráfica del applet? 2. ¿Cuál es el máximo volumen que puede tener el cilindro? 3. Existe otra manera de establecer la relación entre la altura y el volumen del cilindro. ¿Cuál es la expresión algebraica (o función) que representa dicha relación? 4. ¿Qué sucede cuando se modifican la altura y el radio del cono? 27
4.3.
Problema de la recta que pasa por un punto fijo
Una recta variable que pasa por el punto D = (1, 2) corta al eje x en el punto A = ( a, 0) y al eje y en el punto B = (0, b). Hallar el área mínima de los triángulos ∆AOB con la condición de que a > 1 y b > 2.
Figura 10: Respuesta: Por una parte, la recta que pasa por los puntos A y D tiene como pendiente m=
2 . a−1
Esta misma recta pasa por los puntos B y D. En este caso la pendiente es m = b − 2. Estamos hablando de la misma recta, por lo tanto b−2 =
2 . a−1
Si despejamos b obtenemos b=
2a . a−1 28
Por otra parte, la función que relaciona las variables a, b con el área del triángulo es f ( a, b) =
ab 2
con a > 1 y b > 2. Para obtener una función con una sola variable sustituimos el valor de b. Es decir a a2a −1 g( a) = 2 a2 g( a) = a−1 Esta función está definida para todo a en el intervalo abierto (1, ∞). Para buscar mínimos o máximos derivamos la función g( a), después igualamos la derivada a cero para encontrar los valores donde se anula. Es decir 2a( a − 1) − a2 ( a − 1)2 a ( a − 2) g0 ( a) = ( a − 1)2
g0 ( a) =
Hacemos g0 ( a) = 0. Entonces a ( a − 2) =0 ( a − 1)2 Como a > 1, tenemos que ( a − 1)2 > 0. Por lo que a( a − 2) = 0. De esta manera, a = 0 ó a = 2. El caso a = 0 no puede ser por las condiciones iniciales del problema. El único caso posible es a = 2. Para verificar que a = 2 es un mínimo o máximo, sustituimos este valor en la segunda derivada de la función g( a). La segunda derivada es
( a − 1)2 (2a − 2) − a( a − 2)(2a − 2) ( a − 1)4 2 g00 ( a) = ( a − 1)3 g00 ( a) =
Al sustituir obtenemos g00 (2) =
2 = 2. (2 − 1)3
Como este valor es positivo, entonces la función g( a) tiene un mínimo en a = 2. 29
Por último, dado que b =
2a a −1 ,
entonces al sustituir el valor de a obtenemos b=
2(2) = 4. 2−1
Por lo tanto, las dimensiones del triángulo son a = 2 y b = 4 con una área mínima de 4.
Figura 11: Diagrama de triángulo de área mínima y función g( a) =
a2 a −1 .
Nota: También es posible encontrar una función en términos de la variable b. En este caso se sigue el mismo procedimiento. Ver Applet de GeoGebra: http://www.geogebratube.org/student/m32808
30
5. 5.1.
Miscelánea de Problemas II Problema 1
Sea ∆ABC un triángulo con lados 3, 4 y 5 (ver Figura 12). ¿Cuánto vale el radio del círculo inscrito en el triángulo? Respuesta. Sea O el centro y r el radio de círculo. Primero, desde el centro O trazamos los segmentos OF, OD y OE perpendiculares a AB, BC y AC; respectivamente. La longitud de cada uno de estos segmentos es igual a r. Ahora, trazamos los segmentos OA, OB y OC, para formar los triángulos ∆AOC, ∆AOB y ∆BOC (ver Figura 12).
Figura 12: Sea A T el área del triángulo mayor ∆ABC. Esto es AT =
base · altura 3·4 = = 6. 2 2 31
En este caso consideramos como base AC y altura AB. Por otra parte tenemos que el área de los triángulos ∆AOC, ∆AOB y ∆BOC es A1 =
3·r , 2
A2 =
4·r 2
y
A3 =
5·r ; 2
respectivamente. La suma de estas tres áreas es el área total A T . Es decir A1 + A2 + A3 = A T . Sustituyendo valores tenemos A1 + A2 + A3 3·r 4·r 5·r + + 2 2 2 r (3 + 4 + 5) 2 r (12) 2 6r r
= AT = 6 = 6 = 6 = 6 = 1
Por lo tanto el radio de círculo mide 1. Nota: En un triángulo rectángulo cualquiera sucede que el radio de la circunferencia inscrita cumple la siguiente relación: r=
a+b−c 2
donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa. ¿Por qué? Este hecho se puede utilizar también para resolver el problema.
5.2.
Problema 2
Si a y b son números distintos tales que a a + 10b + =2 b b + 10a ¿Cuánto vale ba ?
32
Respuesta. a a + 10b + b b + 10a a(b + 10a) + b( a + 10b) b2 + 10ab ab + 10a2 + ab + 10b2 10a2 − 18ab + 8b2 5a2 − 9ab + 4b2 ( a − b)(5a − 4b)
= 2 = 2 = = = =
2b2 + 20ab 0 0 0
Como a y b son diferentes, tenemos que a − b 6= 0. Por lo tanto 5a − 4b = 0. Es decir, 5a = 4b. Por lo tanto a 4 = . b 5 Nota: Este problema también se puede resolver por prueba y error, sustituyendo valores de números enteros con la condición de que a y b sean diferentes. Este procedimiento puede ser muy tardado sin una calculadora a la mano. Quizá se podría tener suerte a los primeros tres intentos, pero eso sería una simple casualidad.
5.3.
Problema 3
Considera la sucesión 3, 4 12 , 6, 7 12 , 9, . . . 1. El número 3 está en la posición 1, mientras que el número 7 12 está en la posición 4. ¿En qué posición está el número 316.5? 2. ¿Qué número de la sucesión está en la posición 1024? 3. ¿Cuál es la fórmula general para obtener cualquier número de la sucesión? Respuesta. Inciso 3. La fórmula general se puede escribir de tres maneras distintas 3 ( n + 1), 2
1 1 ( n + 1), 2
donde n es un número natural que indica la posición. 33
1.5(n + 1),
Esto se puede deducir de la siguiente manera: En la sucesión 3, 4 12 , 6, 7 21 , 9, . . . podemos notar que a partir del segundo término, la diferencia de cualquier término con su antecesor es una constante 1 4 −3 2 1 6−4 2 1 7 −6 2 1 9−7 2 .. .
1 2 1 = 1 2 1 = 1 2 1 = 1 2
= 1
Nombremos de forma general esta sucesión 1 1 a1 = 3, a2 = 4 , a3 = 6, a4 = 7 , . . . 2 2 De esta manera, podemos escribir 1 2 1 = 1 2 1 = 1 2 1 = 1 2
a2 − a1 = 1 a3 − a2 a4 − a3 a5 − a4 .. . Esto se escribe brevemente como
a n − a n −1 = 1
1 2
donde n es un número natural y se cumple la condición inicial a1 = 3. A esta fórmula se le llama relación de recurrencia. La condición a1 = 3 es importante debido a que si cambiamos este valor, describiríamos otra sucesión; es decir, si a1 = 5, entonces tendríamos la sucesión 5, 6 21 , 8, 9 21 , . . . la cual también satisface la relación. 34
Para encontrar el término general an , es decir, la solución de la relación de recurrencia, podemos hacer el siguiente procedimiento: Sumemos de forma vertical el arreglo 1 2 1 = 1 2 1 = 1 2 1 = 1 2
a2 − a1 = 1 a3 − a2 a4 − a3 a5 − a4 .. .
a n − a n −1 = 3
3 2
Del lado izquierdo, da como resultado an − a1 , debido a que es una suma telescópica y del lado derecho queda 1 21 (n − 1). Lo cual significa que 1 a n − a1 = 1 ( n − 1). 2 Dado que a1 = 3, entonces 1 a n − 3 = 1 ( n − 1) 2 1 a n = 1 ( n − 1) + 3 2 1 1 an = 1 n − 1 + 3 2 2 1 1 an = 1 n + 1 2 2 3 1 an = 1 (n + 1) = (n + 1) = 1.5(n + 1) 2 2 Donde an es el número que está en la posición n-ésima. Sucesiones de este tipo se llaman progresiones artiméticas, debido a que la diferencia de cualquier término (distinto del primero) y su predecesor es una constante, llamada diferencia constante. Inciso 1. Para encontrar la posición del número 316.5 debemos despejar el valor de n en la expresión: 3 (n + 1) = 316.5 2 35
Esto es 3 ( n + 1) 2 3 3 n+ 2 2 3 n 2 3 n 2 3n n
= 316.5 = 316.5 = 316.5 −
3 = 316.5 − 1.5 2
= 315 = 630 = 210
Inciso 2. Para encontrar el número que está en la posición 1024 sustituimos el valor de n en la fórmula general 32 (n + 1). Es decir 3 3 3075 1 ((1024) + 1) = (1025) = = 1537.5 = 1537 . 2 2 2 2
36
5.4.
Problema 4
Al efectuar las operaciones indicadas en la siguiente expresión:
22008 + 22006 22007 + 22005
× 2008
Se obtiene un número de cuatro dígitos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de este número? Respuesta. Sea 22008 = 2x . Entonces 2008 x 2 + 22006 2 + 2 x −2 × 2008 = × 2008 22007 + 22005 2 x −1 + 2 x −3 ! 2 x 1 + 2−2 = × 2008 2 x (2−1 + 2−3 ) 1 + 2−2 × 2008 = 2−1 + 2−3 ! 1 + 212 = × 2008 1 1 + 3 2 2 ! 1 1+ 4 = × 2008 1 1 + 2 ! 8
=
5 4 5 8
× 2008
8 × 2008 = 4 = 2 × 2008 = 4016 La suma de los dígitos es 4 + 0 + 1 + 6 = 11. Nota: Este problema también es puede resolver de manera similar a la anterior, si suponemos x = 22008 . ¿Por qué?
37
6.
Breve reseña histórica del Cálculo El verdadero método para pronosticar el futuro de las matemáticas está basado en el estudio de su historia y de su estado actual. Henri Poincaré
El historiador de las matemáticas Morris Kline considera al Cálculo, después de la geometría, como la creación más grande en todas las matemáticas ([14], p. 342). Generalmente se atribuye su invención principalmente a dos matemáticos del siglo XVII, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Sin embargo, esta es una excesiva y absurda simplificación de los hechos. En realidad el Cálculo, tal y como lo conocemos actualmente, es el producto de una larga evolución en la cual ciertamente estos dos personajes desempeñaron un papel decisivo [19]. En términos muy generales, el Cálculo llegó para resolver y unificar los problemas de cálculo de áreas y volúmenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtención de valores máximos y mínimos, proporcionando una metodología general para la solución de todos estos problemas; también permitió definir el concepto de continuidad y manejar procesos infinitos. Por esto último, el Cálculo y sus derivaciones pronto encontraron múltiples aplicaciones y sirvieron para modelar procesos en todos los ámbitos científicos, empezando por la física y las ciencias naturales, hasta llegar a las ciencias sociales.
6.1.
Breve reseña histórica del Cálculo
A grandes rasgos, podemos decir que el Cálculo inició desde épocas antiguas con los griegos quienes abordaron diferentes problemas matemáticos. En particular, estaban interesados por resolver dos problemas clásicos: uno era el cálculo de áreas y el otro era el trazo de tangentes. Diversos fueron los personajes helénicos que hicieron grandes contribuciones al respecto, entre ellos, el más famoso fue Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C) de Ciracusa, cuya obra no sólo es considerada como la culminación de las contribuciones de los griegos, además sigue siendo objeto de admiración y estudio en la actualidad. Fue hasta la primera mitad del siglo XVII, en que se renovó el interés por esos problemas y varios matemáticos de distintas partes de Europa como Bonaventura Cavalieri (15981647), John Wallis (1616-1703), Pierre de Fermat (1601-1665), Gilles de Roberval (16021675) e Isaac Barrow (1630-1677), lograron avances que prepararon el camino para la obra de Leibniz y Newton. En el siglo XVIII, denominado El siglo del Análisis Matemático, se dio la consolidación del Cálculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente a la Mecánica. Con ese desarrollo, vino la especialización y el nacimiento de nuevas ramas de las matemáticas, tales como: la Teoría de Ecuaciones Diferenciales, ordinarias y parciales, el 38
Cálculo de Variaciones, la Teoría de Series y la Geometría Diferencial. Las aplicaciones del análisis incluyen ahora la Teoría de Vibraciones, la Dinámica de Partículas, la Teoría de Cuerpos Rígidos, la Mecánica de Cuerpos Elásticos y Deformables y la Mecánica de Fluidos. A partir de entonces, se distinguen las matemáticas puras de las matemáticas aplicadas. Al finalizar el siglo XVIII, algunos matemáticos habían detectado diversas limitaciones e incongruencias en las bases sobre las que se había desarrollado hasta entonces el Cálculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teoría Analítica del Calor, de 1807, remitían a la necesidad de considerar clases más amplias de funciones, como por ejemplo, funciones representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de integrabilidad de las funciones, así como las condiciones de convergencia para series de funciones. Fue hasta el siglo XIX, con la construcción del sistema de números reales, del concepto general de función real y del concepto de límite de una función; cuando se establecieron de manera rigurosa las bases fundamentales sobre las cuales descansa actualmente el Cálculo. Algunos de los personales notables que hicieron grandes contribuciones al respecto fueron Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard F. Riemann (1826-1866), Karl Weierstrass (1815-1897), Richard Dedekind (1831-1916), entre otros [3], [12]. Finalmente, es necesario decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en el desarrollo del análisis: la integral de Lebesgue, debida al francés Henri Lebesgue (1875-1941), el Análisis no-Estándar, debido básicamente a Abraham Robinson (1918-1974) y la integral de Riemann generalizada, debida a los matemáticos Ralph Henstock (1923) y Jaroslav Kurzweil (para mayores informes al respecto consultar [4]).
6.2.
Comentarios
Con base en la anterior reseña histórica, podemos afirmar que: La mayoría de los conceptos del Cálculo han requerido de un largo proceso evolutivo de varios siglos. Es por esta razón que no podemos esperar que los estudiantes logren comprenderlos de manera inmediata en un corto periodo de tiempo, como son por lo general los cursos de Cálculo. Pero sí podemos desarrollar paulatinamente en los estudiantes la madurez necesaria para alcanzar ese objetivo. Es cierto que los grandes nombres en la creación del cálculo son, naturalmente, Isaac Newton y Leibniz. Sin embargo, Descartes, Fermat, Cavalieri, Pascal, Roverbal, Barrow y al menos una docena más de conocidos matemáticos realizaron contribuciones significativas antes que ellos. Sin embargo, ni Newton ni Leibniz pudieron formular correctamente los conceptos básicos del Cálculo. 39
Es un hecho significativo que los fundamentos lógicos del sistema numérico, el álgebra y el análisis no fuesen desarrollados hasta finales del siglo XIX. En otras palabras, durante los siglos en los que se edificaron las ramas más importantes de las matemáticas, como el Cálculo, no había un desarrollo lógico para la mayor parte de ellas. Al parecer, la intuición de los grandes hombres impera más que su lógica. ¿Qué podemos deducir de la historia del Cálculo? Morris Kline [16] responde: Parece claro que primeramente se aceptaron y utilizaron los conceptos que tenían mayor significado intuitivo: todos los números, las fracciones y los conceptos geométricos. Los menos intuitivos, los números irracionales, los números negativos, los números complejos, el uso de letras como coeficientes generales y los conceptos del cálculo, necesitaron de muchos siglos para su creación o para su aceptación. Además, cuando fueron aceptados no fue la lógica la que indujo a ello a los matemáticos, sino los argumentos por analogía, el significado físico de algunos conceptos y la obtención de resultados científicos correctos. En otras palabras, fue la evidencia intuitiva lo que indujo a los matemáticos a aceptarlos. La lógica siempre ha venido mucho después de la invención, y, evidentemente, ha sido más difícil de alcanzar. Así pues, la historia de la matemática sugiere, aunque no lo pruebe, que es más difícil el planteamiento lógico. (p. 47) Por lo tanto, dentro de un ambiente donde se promueva la intuición se podría dar pauta para que los estudiantes logren desarrollar habilidades para comprender con profundidad conceptos del Cálculo. Por esto último, es importante que nosotros como profesores, tengamos al menos un conocimiento básico de la historia de las matemáticas, de la materia o materias que impartimos, para lograr que los estudiantes no solo estén enterados de hechos históricos sino también para desarrollar la intuición y finalmente lograr una mejor comprensión de los conceptos.
40
6.3.
Distancia, Velocidad y Aceleración
Desde un punto de vista físico, el Cálculo se puede definir como sigue: Cálculo Diferencial: Método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Cálculo Integral: Método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad. Intuitivamente: Para encontrar la distancia recorrida de un objeto, cuando se conoce la velocidad, se recurre al cálculo integral, es decir, se debe calcular el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto del tiempo. Para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado, se recurre al cálculo diferencial, es decir, se debe calcular la derivada de la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. El problema de la integración es recíproco al problema de derivación y viceversa. Al integrar, función velocidad, se calcula distancia. Al derivar, función distancia, se calcula velocidad. 6.3.1.
Applets de Geogebra: Representación del movimiento
Representación del movimiento. En estos applets pueden modificar diferentes parámetros para observar el comportamiento del movimiento que representan las diferentes funciones. Applet de GeoGebra, Un carro: http://www.geogebratube.org/student/m34761
41
Figura 13: Modelación de un carro
Applet de GeoGebra, Dos carros: http://www.geogebratube.org/student/m34763
Figura 14: Modelación de dos carros
42
Applet de GeoGebra, Hormiga en movimiento: http://www.geogebratube.org/student/m34765
Figura 15: Modelación de hormiga en movimiento Applet de GeoGebra, Montaña Rusa: http://www.geogebratube.org/student/m34770
Figura 16: Modelo para estudiar el comportamiento de la derivada de una función Applet realizado con base en el trabajo de Daniel Mentrard: Applet original: http://www.geogebratube.org/material/show/id/32494 Sitio de Daniel Mentrard, Mathematiques: http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/) 43
7.
Acerca de los Elementos de Euclides Los comienzos [de la Matemática] tuvieron una base intuitiva y empírica. El rigor se convirtió en una necesidad con los griegos, y -aunque se lograra poco hasta el siglo XIX- por un momento pareció alcanzado. Pero todos los esfuerzos por perseguir el rigor hasta el final han conducido a un callejón sin salida, donde ya no hay acuerdo sobre qué significa realmente. La matemática sigue viva y con buena salud, pero solo mientras se apoye en una base pragmática. Morris Kline ([15], p. 1599)
7.1.
Un poco de historia de Euclides
Euclides (330 a.C. - 275 a.C.) fue un matemático griego. En realidad se conoce muy poco su vida, pese a ser uno de los matemáticos más famosos de la Antigüedad. Posiblemente Euclides estudió en Atenas, lo cual explica su conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en la ciudad de Alejandría, donde alcanzó gran fama y prestigio durante el reinado de Tolomeo I Sóter. Euclides fue autor de diversos tratados, sin embargo su nombre se asocia principalmente a Los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. En esencia, Los Elementos son una compilación de obras de autores anteriores a Euclides (entre los que destaca Hipócrates de Quíos). Los Elementos se han transmitido a lo largo de 24 siglos a través de miles de ediciones y en diversas lenguas como el Griego original, el Árabe, el Latín y lenguas modernas como Inglés, Alemán, Euskera, Castellano, Catalán, entre muchas otras.
7.2.
Los Elementos
Los Elementos son en sí una compilación sustancial de conocimiento matemático. Fue utilizado durante más de dos mil años como libro de estudio de contenidos matemáticos. En Los Elementos se introdujo la noción de demostración y la ordenación lógica de los teoremas, y su contenido determinó el curso del pensamiento matemático posterior. En conjunto son 132 definiciones, 5 postulados, 5 nociones comunes o axiomas y unas 465 proposiciones distribuidas en 13 libros. Entre los comentadores árabes se extendió la creencia de que el tratado incluía otros dos libros, el XIV y el XV, que complementaban el estudio de los sólidos regulares del libro XIII.
44
La teoría de la geometría plana se encuentra contenida en los libros I-IV [9]; la geometría del espacio en XI-XIII [11]; la teoría generalizada de la proporción en V-VI [10]; la teoría aritmética en VII-IX [10]; el libro X da una conceptualización precisa de la inconmesurabilidad y una clasificación prolija de las variedades de rectas irracionales ([11]). La mayoría de los temas contenidos en Los Elementos se mantienen actuales en programas de estudio de matemáticas. De hecho, durante varios siglos, en diversas universidades alrededor del mundo, fue utilizado para la enseñanza de la geometría. Actualmente se utiliza como una introducción básica a la geometría. Es importante resaltar que el contenido de Los Elementos está basado en construcciones elementales con regla y compás. Sin embargo, lo que ha llamado más la atención es el conjunto de definiciones, postulados y nociones comunes, con la que inicia el Libro.
7.3.
Algunos contenidos de Los Elementos
7.3.1.
El pórtico axiomático
El libro I empieza con definiciones, algunas de ellas son: 1. Un punto es lo que no tiene partes. 2. Una línea es longitud sin anchura. 3. Los extremos de una línea son puntos. 4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella. 5. Una superficie es lo que solo tiene longitud y anchura. 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una línea tal que todas las rectas que caen sobre ella desde un punto interior son iguales entre sí. 16. Y el punto se llama centro del círculo. 23. Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos no se encuentran una a otra en ninguno de los dos sentidos. Después Euclides postula lo siguiente: 1. (Es posible) trazar una línea de cualquier punto a cualquier punto; 2. (Es posible) prolongar una recta finita continuamente en línea recta; 3. (Es posible) describir un circulo con cualquier centro y distancia; 4. Que todos los ángulos rectos son iguales ente sí; 45
5. Que si una línea recta al caer sobre dos rectas hace los ángulos interiores de un mismo lado menores que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas si son prolongadas indefinidamente se encontraran por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. El soporte de los elementos se remata con una selección de nociones comunes: 1. cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí 2. si cosas iguales se añaden a cosas iguales, los totales son iguales 3. si cosas iguales se sustraen de cosas iguales, los restos son iguales 4. las cosas que coinciden entre sí, son iguales 5. el todo es mayor que la parte 7.3.2.
Algunas proposiciones
Como ya he mencionado, Los Elementos contienen alrededor de 465 proposiciones. A continuación presento algunos ejemplos del Libro I, II y III. Proposición 1 (Libro I). Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.
Figura 17: Proposición 1 (Libro I)
Proposición 11 (Libro I). Trazar una línea recta que forme ángulos rectos con una recta dada, desde un punto dado en ella. 46
Figura 18: Proposición 11 (Libro I)
Proposición 47 (Libro I). En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Figura 19: Teorema de Pitágoras
47
Nota: Esta proposición se refiere al Teorema de Pitágoras. Ver Applet hecho en GeoGebra: http://www.geogebratube.org/student/m33575 Proposición 4 (Libro II). Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la (recta) entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos.
Figura 20: Proposición 4 (Libro II)
Proposición 5 (Libro II). Si se corta una línea recta en (segmentos) iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la (recta) entera junto con el cuadrado de la (recta que está) entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad.
48
Figura 21: Proposición 5 (Libro II)
Proposición 11 (Libro II). Dividir una recta dada de manera que el rectángulo comprendido por la (recta) entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante.
Figura 22: Proposición 11 (Libro II)
49
Nota: Ver Applet de GeoGebra: http://www.geogebratube.org/student/m33669 Proposición 21 (Libro II). En un círculo los ángulos en el mismo segmento son iguales entre sí.
Figura 23: Proposición 21 (Libro II)
Proposición 22 (Libro II). Los ángulos opuestos de los cuadriláteros en los círculos son iguales a dos rectos.
Figura 24: Proposición 22 (Libro II)
50
7.4.
Comentarios Finales
La forma de presentación de las proposiciones no es originalmente de Euclides, pero sí es suya la forma de presentación del conjunto de la obra: La exposición de los axiomas al inicio, la explícita declaración de cada una de las definiciones y el ordenado encadenamiento de los teoremas, dispuestos de forma que vayan de los más simple a lo más complejo. Aunque los matemáticos generalmente consideraron a Euclides como un modelo de rigor hasta bien entrado el siglo XIX, hay en el serios defectos que algunos matemáticos detectaron y de hecho combatieron. El primero es el empleo de la superposición. El segundo, la vaguedad de algunas definiciones y las imprecisiones de otras. Por ejemplo, las definiciones iniciales de punto, línea y superficie no tienen sentido matemático preciso y, como ahora sabemos, no se les puede dar ninguno porque cualquier desarrollo matemático independiente debe incluir términos indefinidos. Incluso hay defectos en las demostraciones propuestas. Algunos son errores debidos a Euclides que pueden corregirse, aunque en ciertos casos se requeriría una nueva demostración. Otro tipo de defecto que recorre todos los Elementos es la afirmación de un teorema general del que sólo se prueba algún caso especial o para posiciones especiales de los datos propuestos [15, p. 126-127]. A pesar de estos defectos, Los Elementos tuvieron tanto éxito que desplazaron a todos los textos de geometría anteriores. En el siglo III a. C., cuando aún se disponía de tratados de geometría, incluso Apolonio y Arquímedes se remitían a Los Elementos para citar resultados anteriores a ellos. En la actualidad permanecen vigentes como material de referencia y de estudio de diversos contenidos matemáticos e incluso de estudio no sólo matemático sino también filosófico.
51
8.
Transformaciones lineales
Un punto ( x, y) representado en el plano cartesiano se observa de la siguiente manera:
Figura 25: Punto en el plano cartesiano
A este punto le podemos aplicar una serie de transformaciones para cambiarlo de posición. Consideremos que el punto describe un vector, el cual podemos escribir como v = ( x, y). A este vector lo podemos rotar o incluso incrementar su magnitud y dirección.
8.1.
Rotación y producto escala
Para rotar un vector, se utiliza la matriz A=
cos α − sin α sin α cos α 53
Se multiplica la matriz A por el vector v = ( x, y). Esto es cos α − sin α x = ( x cos α − y sin α, x sin α + y cos α) sin α cos α y Para incrementar o disminuir la magnitud del vector se debe multiplicar por un escalar. El escalar determinará la magnitud del vector v. kv = (kx, ky) Si combinamos ambas operaciones, rotación y producto escalar, obtenemos: k · Av = k ·
cos α − sin α sin α cos α
x y
= (kx cos α − ky sin α, kx sin α + ky cos α)
Este nuevo vector depende de los parámetros α y k. Ver Applet de GeoGebra: http://www.geogebratube.org/student/m36010
Figura 26: Rotaciones en el plano
54
9.
Proyecciones ortográficas
Es posible realizar proyecciones del espacio tridimensional sobre el plano de dos dimensiones, las cuales se denominan Proyecciones ortográficas. Las proyecciones ortográficas son muy útiles para describir el movimiento de objetos que se mueven en el espacio por medio de una proyección al plano. También se utilizan para realizar animaciones de objetos en tercera dimensión. Aunque en realidad, lo que se crea es una ilusión de movimiento tridimensional. Las transformaciones de las coordenadas de un punto (o puntos) del espacio se realizan mediante un cambio de origen (o transformación lineal), cambio de escala, y giros respecto a los ejes (de la misma forma se pueden hacer transformaciones en el plano). A continuación se muestra una manera para rotar los planos YZ, XZ y XY con respecto a los ejes X, Y y Z; respectivamente.
9.1.
Matrices de rotación
Para lograr esto se utilizarán las siguientes matrices: 1 0 0 cos β 0 sin β cos γ − sin γ 0 0 1 0 C = sin γ cos γ 0 A = 0 cos α − sin α B = 0 sin α cos α − sin β 0 cos β 0 0 1 Los ángulos α, β, y γ rotan a los planos YZ, XZ y XY; respectivamente. Denotemos por M a la multiplicación de las matrices A·B·C Esto es
cos β cos γ − cos β sin γ sin β M = cos α sin γ + sin α sin β cos γ cos α cos γ − sin α sin β sin γ − sin α cos β sin α sin γ − cos α sin α cos γ cos α sin β sin γ + sin α cos γ cos α cos β Después, para obtener un nuevo punto en el espacio ( x 0 , y0 , z0 ), se multiplica la matriz M por ( x, y, z). Esto es ( x 0 , y0 , z0 ) = M · ( x, y, z). Pero como en el caso de las rotaciones (ver sección anterior), se puede considerar también multiplicar por un escalar para cambiar la magnitud o la dirección de ( x 0 , y0 , z0 ). Esto es
( x 0 , y0 , z0 ) = k · M · ( x, y, z) 55
Entonces x0 cos β cos γ y0 = k · cos α sin γ + sin α sin β cos γ z0 sin α sin γ − cos α sin α cos γ
− cos β sin γ sin β x cos α cos γ − sin α sin β sin γ − sin α cos β · y cos α sin β sin γ + sin α cos γ cos α cos β z
De lo cual se obtiene: 0 k(cos β( x cos α − y sen γ) + z sen β) x y0 = k(cos α(y cos γ + x sen γ) − sen α(z cos β + sen β(y sen γ − x cos γ))) z0 k(cos α(z cos β + sen β(y sen γ − x cos γ)) + sen α(y cos γ + x sen γ)) Para realizar la proyección ortográfica debemos establecer una base para poder generar cualquier punto en el espacio. En este caso, la base ortonormal B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} nos servirá para dicha proyección. Ahora, multiplicamos cada elemento de la base por la matriz M 1 cos β cos γ − cos β sin γ sin β A1 = cos α sin γ + sin α sin β cos γ cos α cos γ − sin α sin β sin γ − sin α cos β 0 0 sin α sin γ − cos α sin α cos γ cos α sin β sin γ + sin α cos γ cos α cos β
cos β cos γ − cos β sin γ sin β 0 A2 = cos α sin γ + sin α sin β cos γ cos α cos γ − sin α sin β sin γ − sin α cos β 1 sin α sin γ − cos α sin α cos γ cos α sin β sin γ + sin α cos γ cos α cos β 0
cos β cos γ − cos β sin γ sin β 0 A3 = cos α sin γ + sin α sin β cos γ cos α cos γ − sin α sin β sin γ − sin α cos β 0 sin α sin γ − cos α sin α cos γ cos α sin β sin γ + sin α cos γ cos α cos β 1
De lo cual se obtiene
cos β cos γ A1 = cos α sen γ + sen α sen β cos γ sen α sen γ − cos α sen β cos γ
− cos β sen γ A2 = cos α cos γ − sen α sen β sen γ cos α sen β sen γ + sen α cos γ 56
sen β A3 = − sen α cos β cos α cos β Lo anterior también se puede escribir de la siguiente forma A1 = (cos β cos γ , cos α sen γ + sen α sen β cos γ, sen α sen γ − cos α sen β cos γ) A2 = (− cos β sen γ , cos α cos γ − sen α sen β sen γ, cos α sen β sen γ + sen α cos γ) A3 = (sen β , − sen α cos β, cos α cos β) Los vectores anteriores nos permitirán hacer la proyección ortográfica. Consideremos el siguiente arreglo: XXX Variable XXX x XXX Vector X (1, 0, 0) cos β cos γ, (0, 1, 0) − cos β sen γ, (0, 0, 1) sen β,
y
z
cos α sen γ + sen α sen β cos γ, cos α cos γ − sen α sen β sen γ, − sen α cos β,
sen α sen γ − cos α sen β cos γ cos α sen β sen γ + sen α cos γ cos α cos β
Para realizar la proyección, debemos considerar una de las tres variables igual a 0. Por lo tanto, tenemos 3 casos.
9.2.
Un caso: cuando el eje Z es igual a cero
Un primer caso que debemos considerar es cuando z = 0. Por lo tanto tenemos: XXX
XXX Variable XX XXX Vector X
(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)
x
y
cos β cos γ, cos α sen γ + sen α sen β cos γ, − cos β sen γ, cos α cos γ − sen α sen β sen γ, sen β, − sen α cos β,
Con base en este arreglo podemos establecer las fórmulas que nos permiten realizar la proyección ortográfica: xx xy yx yy zx zy
= = = = = =
Escala ∗ cos( β) ∗ cos(γ) Escala ∗ (cos(α) ∗ sen(γ) + sen(α) ∗ sen( β) ∗ cos(γ)) Escala ∗ (− cos( β) ∗ sen(γ)) Escala ∗ (cos(α) ∗ cos(γ) − sen(α) ∗ sen( β) ∗ sen(γ)) Escala ∗ sen( β) Escala ∗ (− sen(α) ∗ cos( β)) 57
En las anteriores ecuaciones, el factor ’Escala’ es cualquier número real. Con esto valores podemos establecer puntos en el plano que representan puntos en el espacio. Básicamente se establece la base ortonormal, la cual nos permite crear la proyección ortográfica: Xr = ( x x , x y ) Yr = (y x , yy ) Zr = (z x , zy ) Por último, para establecer un punto cualquiera, simplemente hacemos una combinación lineal usando las coordenadas de los puntos que establecen la base ortonormal en R3 . Es decir: Pr = ( Px ∗ x x + Py ∗ y x + Pz ∗ z x , Px ∗ xy + Py ∗ yy + Pz ∗ zy ) Este punto, el cual está definido en R2 , representa un punto en el espacio R3 . Observación: Si se desea mover un punto en el espacio ( x, y, z) con respecto a un solo ángulo, entonces se debe considerar α = β = γ. Finalmente, para reducir las variables involucradas, podemos establecer uno de los ejes como fijo. Para ello establecemos que alguno de los ángulos sea igual a 0. Si hacemos β = 0 obtenemos las siguientes fórmulas xx xy yx yy zx zy
= = = = = =
Escala ∗ cos(γ) Escala ∗ cos(α) ∗ sen(γ) Escala ∗ (− sen(γ)) Escala ∗ cos(α) ∗ cos(γ) 0 Escala ∗ (− sen(α))
En este caso, el eje Z siempre estará definido en una línea recta. Los siguientes applets, muestran las transformaciones de una base ortonormal y de un punto ( x, y, z) en el espacio tridimensional. Ver Applet de GeoGebra: Punto en movimiento (Figura 27) http://www.geogebratube.org/student/m33861 Ver Applet de GeoGebra: Punto en el espacio con coordenadas ( x, y, z) (Figura 28) http://www.geogebratube.org/student/m36072
58
Figura 27: Punto en el espacio
Figura 28: Punto con vector en R3
59
9.3.
Ángulos de Euler
Existen otras maneras de hacer proyecciones ortográficas. Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos. Fueron introducidos por Leonhard Euler en mecánica del sólido rígido para describir la orientación de un sistema de referencia con un sólido rígido en movimiento. Para más información consultar el sitio Wolfram MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/EulerAngles.html
Figura 29: Dos sistemas ortonormales en donde se muestran los ángulos de Euler. (Imagen de Wikipedia) En este caso, las matrices de rotación de Euler son: cos ψ − sin ψ 0 1 0 0 cos φ − sin φ 0 A = − sin ψ cos ψ 0 B = 0 cos θ sin θ C = − sin φ cos φ 0 0 0 1 0 − sin θ cos θ 0 0 1 Dados dos sistemas de coordenadas xyz y XYZ con origen común, es posible determinar la posición de un sistema en términos del otro usando tres ángulos φ, θ y ψ. La intersección de los planos se llama línea de nodos (ver Figura 29) y se usa para definir los tres ángulos: 60
φ es el ángulo entre el eje x y la línea de nodos. θ es el ángulo entre el eje z y el eje Z. ψ es el ángulo entre la línea de nodos y el eje X. Como en la sección anterior, se debe multiplicar las matrices A, B, y C y después se debe calcular una base ortonormal. Sea M la multiplicación de las matrices, entonces cos φ cos ψ − cos θ sin φ sin ψ cos θ cos φ sin ψ + sin φ cos ψ sin θ sin ψ M = − cos θ sin φ cos ψ − cos φ sin ψ cos θ cos φ cos ψ − sin φ sin ψ sin θ cos ψ sin θ sin φ − sin θ cos φ cos θ Para realizar la proyección ortográfica utilizamos la base ortonormal B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Al multiplicar la matriz M por cada vector de la base obtenemos: cos φ cos ψ − cos θ sin φ sin ψ 1 A1 = M 0 = − cos θ sin φ cos ψ − cos φ sin ψ sin θ sin φ 0
cos θ cos φ sin ψ + sin φ cos ψ 0 A2 = M 1 = cos θ cos φ cos ψ − sin φ sin ψ − sin θ cos φ 0
sin θ sin ψ 0 A3 = M 0 = sin θ cos ψ 1 cos θ
Lo anterior también se puede escribir de la siguiente forma A1 = (cos φ cos ψ − cos θ sin φ sin ψ , − cos θ sin φ cos ψ − cos φ sin ψ, sin θ sin φ) A2 = (cos θ cos φ sin ψ + sin φ cos ψ , cos θ cos φ cos ψ − sin φ sin ψ, − sin θ cos φ) A3 = (sin θ sin ψ , sin θ cos ψ, cos θ ) Los vectores anteriores permiten realiza la proyección ortográfica.
61
Consideremos ahora el siguiente arreglo: XXX Variable XXX x XXX Vector X (1, 0, 0) cos φ cos ψ − cos θ sin φ sin ψ, (0, 1, 0) cos θ cos φ sin ψ + sin φ cos ψ, (0, 0, 1) sin θ sin ψ,
y
z
− cos θ sin φ cos ψ − cos φ sin ψ, cos θ cos φ cos ψ − sin φ sin ψ, sin θ cos ψ,
sin θ sin φ − sin θ cos φ cos θ
En este caso, se considerará solamente la rotación del plano XY con respecto el ángulo ψ y la rotación del eje Z con respecto al ángulo θ. Por lo tanto debemos considerar el siguiente arreglo XXX
Variable XXX x XXX Vector X (1, 0, 0) cos φ cos ψ − cos θ sin φ sin ψ, (0, 1, 0) cos θ cos φ sin ψ + sin φ cos ψ, (0, 0, 1) sin θ sin ψ,
z sin θ sin φ − sin θ cos φ cos θ
Con base en este arreglo podemos establecer las fórmulas que nos permiten realizar la proyección ortográfica: xx xy yx yy zx zy
= = = = = =
Escala ∗ (cos φ cos ψ − cos θ sin φ sin ψ) Escala ∗ sin θ sin φ Escala ∗ (cos θ cos φ sin ψ + sin φ cos ψ) Escala ∗ (− sin θ cos φ) Escala ∗ sin θ sin ψ Escala ∗ cos θ
En las anteriores ecuaciones, el factor ’Escala’ es cualquier número real. Con esto valores podemos establecer puntos en el plano que representan puntos en el espacio. Básicamente se establece la base ortonormal, la cual nos permite crear la proyección ortográfica: Xr = ( x x , x y ) Yr = (y x , yy ) Zr = (z x , zy ) Por último, para establecer un punto cualquiera, simplemente hacemos una combinación lineal usando las coordenadas de los puntos que establecen la base ortonormal en R3 . Es decir: Pr = ( Px ∗ x x + Py ∗ y x + Pz ∗ z x , Px ∗ xy + Py ∗ yy + Pz ∗ zy ) Este punto, el cual está definido en R2 , representa un punto en el espacio R3 . 62
Finalmente, para reducir las variables involucradas, podemos establecer uno de los ejes como fijo. Para ello establecemos que uno de los ángulos sea igual a 0. Si hacemos ψ = 0 obtenemos las siguientes fórmulas xx xy yx yy zx zy
= = = = = =
Escala ∗ cos φ Escala ∗ sin θ sin φ Escala ∗ sin φ Escala ∗ (− sin θ cos φ) 0 Escala ∗ cos θ
63
10. 10.1.
Torre sobre la montaña Planteamiento del problema
El siguiente problema se puede resolver de distintas formas. En el presente trabajo se resuelve utilizando un sistema de referencia, el Plano Cartesiano. Problema: Se planea construir una torre de una compañía celular en la parte oeste de una montaña como se muestra en la figura:
Figura 30: Torre de teléfono sobre montaña
¿Qué tan alto se debe poner la torre de tal manera que pueda dar señal a la parte este, después del lago? Preguntas 1. ¿Qué información es necesaria para resolver el problema? ¿Qué información no es importante saber? 2. Piensa geométricamente o algebraicamente, ¿cómo podrías matematizar el problema? 3. Usa la siguiente información para dibujar un modelo más preciso: La torre tiene una altura de 60 metros. La montaña tiene una altura de 243 metros y tiene una base de 853 metros desde el este hasta el oeste. La montaña es simétrica. El lago inicia en la base de la montaña (este) y tienen un ancho de 182 metros. 64
4. Primero predice o estima el punto donde se debe poner la torre sobre la montaña de tal manera que dé señal a la parte este, después del lago. Ahora, determina el punto exacto. Explica y escribe tu respuesta. 5. ¿Qué tan cercana fue tu predicción? ¿Es tu solución razonable? Explica tu respuesta. 6. ¿Qué sucede si cambias los datos? Fuente: Problema adaptado de la NCTM: Illuminations http://illuminations.nctm.org/
10.2.
Solución al problema por medio de ecuaciones lineales
Se puede realizar un modelo dinámico del problema para encontrar la respuesta intuitivamente. Ver Applet de GeoGebra: Torre en montaña http://www.geogebratube.org/student/m37286
Figura 31: Modelo dinámico del problema de la torre en la montaña
Como se mencionó anteriormente, el problema se puede resolver de distintas maneras. En este caso, usaremos el plano cartesiano y las condiciones dadas en el inciso 3 de la 65
sección anterior. El origen del plano cartesiano será la base de la izquierda de la montaña, como se muestra en la Figura 32.
Figura 32: Modelo del problema en el plano cartesiano Identificamos los puntos O, A, B, y D, los cuales están definidos como sigue: O A B D
= = = =
(0, 0) (853, 0) (1035, 0) (426.5, 243)
En la Figura 33 podemos apreciar tres rectas. Una es la recta l1 que pasa por los puntos D y B, otra es la recta l2 que pasa por los puntos O y D, por último la recta l3 que pasa por el extremo superior de la antena y es paralela a l2 . Las rectas l1 y l3 se intersecan en el extremo superior de la torre (ver Figura 33). Por lo tanto para encontrar el punto P, se tiene que restar la altura de la torre. Pero primero se debe encontrar el punto de intersección entre l1 y l3 . Las rectas l1 y l3 están definidas por las siguientes fórmulas 503010 486 x+ 1217 1217 243 y = x + 60 426.5 y = −
respectivamente. Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos que x=
12226049 ≈ 364.58665 . . . 33534
y y= 66
18473 ≈ 267.72463 . . . 69
Figura 33: Modelo del problema en el plano cartesiano
Finalmente a la variable y se le debe restar la altura de la torre, es decir y − 60 =
18473 14333 − 60 = ≈ 207.72463 . . . 69 69
Por lo tanto, las coordenadas del punto P son xp =
12226049 ≈ 364.58665 . . . 33534
y yp =
14333 ≈ 207.72463 . . . 69
También se puede expresar la solución de otra manera, por ejemplo 12226049 14333 P= , o P = (364.58665 . . . , 207.72463 . . .) 33534 69
67
11.
Curvas paramétricas
El objetivo de esta sección es generar una curva que representa a π. Para esto se requiere utilizar la idea de ecuación o curva paramétrica. En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
11.1.
Ejemplos de curvas paramétricas
11.1.1.
Parábola
Dada la ecuación y = x2 , una parametrización tendrá la forma (
x = u(t) y = v(t)
con t ∈ R. Una parametrización posible sería (
x=t y = t2
Figura 34: Curva paramétrica para la función f ( x ) = x2
68
11.1.2.
Circunferencia
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas cartesianas y radio r verifica que x2 + y2 = r2 . Una expresión paramétrica de la circunferencia es ( x = r cos t y = r sin t El parámetro t es un número real y determina el dominio de la curva, en este caso t ∈ [0, 2π ].
Figura 35: Curva paramétrica para la función x2 + y2 = r2 para r = 1.2
11.1.3.
Elipse
Una expresión paramétrica de la elipse es ( x = a cos t y = r sin t con t ∈ [0, 2π ]. 11.1.4.
Cardioides y otras curvas
Consideremos la siguiente expresión paramétrica ( x = ( a − b) cos(t) + b cos(t(( a/b) − 1)) y = ( a − b) sen(t) − b sen(t(( a/b) − 1)) 69
con a, b ∈ R, b 6= 0 y t ∈ R+ . Dependiendo de los parámetros a, b y t se formar diversas curvas, entre ellas la cardioide. Otra curva paramétrica que se puede definir es la Curva mariposa: x = sin(t) ecos(t) − 2 cos(4t) − sen5 (t/12) b = cos(t) ecos(t) − 2 cos(4t) − sen5 (t/12) con t ∈ [0, 7π ].
Figura 36: Elipse (azul), cardioide (rojo) y Curva mariposa (morado)
En el siguiente applet, realizado con GeoGebra, se puede interactuar con diferentes curvas paramétricas: http://www.geogebratube.org/material/show/id/40216 70
11.1.5.
Curva Pi
Para generar la curva que representa a π, es necesario definir propiamente a las funciones u(t) y v(t). Sea ( Curva pi =
x = u(t) y = v(t)
Donde la función u(t) se define de la siguiente manera: 70 65 11 98 26 35 u (t) = sen − 32t + sen − 31t + sen − 30t 37 32 12 41 29 12 18 177 51 59 125 54 − 29t + sen − 27t + sen − 26t + sen 41 7 71 19 34 33 18 151 59 52 118 49 − 25t + sen − 24t + sen − 22t + sen 29 11 75 22 9 45 52 133 37 61 143 144 + sen − 21t + sen − 20t + sen − 19t 33 52 45 14 46 41 254 19 246 92 722 176 + sen − 18t + sen − 17t + sen − 16t 47 52 35 25 111 67 3 273 32 229 117 136 sen − 15t + sen − 13t + sen − 12t + 23 19 25 21 33 28 19 43 135 23 205 33 + sen − 11t + sen − 10t + sen − 8t 4 11 8 10 6 23 55 101 11 2760 40 679 sen − 7t + sen − 6t + sen − 5t + 45 12 8 12 59 11 1207 21 8566 39 12334 47 + sen − 4t + sen − 3t + sen − 2t 18 23 27 28 29 37 185 596 3 247 25 15410 + sen −t − sen 9t + − sen 14t + 39 41 17 26 28 21 458 21 41 7 − sen 23t + − sen 28t + 131 37 36 8
71
Y la función v(t) se define como: 70 65 11 98 26 35 u (t) = sen − 32t + sen − 31t + sen − 30t 37 32 12 41 29 12 54 18 177 51 59 125 + sen − 29t + sen − 27t + sen − 26t 41 7 71 19 34 33 49 18 151 59 52 118 − 25t + sen − 24t + sen − 22t + sen 29 11 75 22 9 45 52 133 37 61 143 144 + sen − 21t + sen − 20t + sen − 19t 33 52 45 14 46 41 254 19 246 92 722 176 + sen − 18t + sen − 17t + sen − 16t 47 52 35 25 111 67 3 273 32 229 117 136 sen − 15t + sen − 13t + sen − 12t + 23 19 25 21 33 28 19 43 135 23 205 33 + sen − 11t + sen − 10t + sen − 8t 4 11 8 10 6 23 55 101 11 2760 40 679 sen − 7t + sen − 6t + sen − 5t + 45 12 8 12 59 11 1207 21 8566 39 12334 47 + sen − 4t + sen − 3t + sen − 2t 18 23 27 28 29 37 15410 185 596 3 247 25 + sen −t − sen 9t + − sen 14t + 39 41 17 26 28 21 21 41 7 458 sen 23t + − sen 28t + − 131 37 36 8
11.1.6.
Curva paramétrica que representa a Pi
Ver Applet de GeoGebra (Figura 37): http://www.geogebratube.org/student/m36997 11.1.7.
Curva paramétrica que representa a Pi en 3D
Ver Applet de GeoGebra (Figura 38): http://www.geogebratube.org/student/m36373 72
Figura 37: Curva paramétrica que representa a Pi
Figura 38: Pi en 3D
73
11.2.
Espiral logarítmica y espiral en 3D
La espiral logarítmica es una curva muy especial cuya expresión se puede representar por medio de la fórmula: θ = logb (r/a). Esta curva se puede apreciar en la naturaleza en diversos contextos:
Figura 39: Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano
Figura 40: Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano
74
Figura 41: Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano
Figura 42: Foto by Juan Carlos Ponce Campuzano
75
Figura 43: Islandia, Foto de Wikipedia
11.2.1.
Espiral logarítmica
Una parametrización de la espiral logarítmica es la siguiente: ( x = abr cos(t) y = abt sin(t)
Figura 44: Espiral logarítmica
76
Ver Applet de GeoGebra: http://www.geogebratube.org/student/m37003 11.2.2.
Espiral en 3D
Ver Applet de GeoGebra: http://www.geogebratube.org/student/m36368
Figura 45: Espiral en 3D
Applets realizados con base en el trabajo de: Daniel Mentrard (Mathematiques: http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/) Rafael Miranda (Geometría 3D: http://www.geometriadinamica.cl/)
77
12.
El Cubo, uno de los sólidos platónicos
Un cubo, o hexaedro regular, es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes. También se puede clasificar como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos. El cubo forma parte de los sólidos platónicos, los cuales son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. En total hay 5 sólidos platónicos, estos son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad. En 1750 Leonhard Euler publicó su Teorema de poliedros, el cual indica la relación entre el número de Caras (C), Aristas (A) y Vértices (V) de un poliedro convexo (sin orificios, ni entrantes) cualquiera: V−A+C = 2 Euler también demostró que sólo pueden ser cinco los sólidos regulares, aunque esto ya se había demostrado en la antigüedad (ver Los Elementos de Euclides). El cubo al igual que el resto de los sólidos platónicos, cumple el Teorema de poliedros de Euler, pues tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas: 8 − 12 + 6 = 2 En el siguiente applet, realizado con GeoGebra, se puede interactuar con un cubo en 3D: http://www.geogebratube.org/student/m34690
12.1.
Secuencia de construcción de cubo en 3D
Para realizar la construcción del cubo en 3D, primero se debe descargar el archivo de GeoGebra con nombre Base ortonormal: http://www.geogebratube.org/material/show/id/88097 Este archivo establece una proyección ortográfica para hacer representaciones en 3D. Una vez abierto el archivo Base ortonormal, en GeoGebra, se debe definir los deslizadores: α: Ángulo entre 0 y 90, con 1 de incremento. 78
a = 1 y b = 1 (ocultos). Posteriormente, se deben definir los vértices y las caras del cubo de tal manera que se pueda abrir o cerrar utilizando el deslizador α. Caras del cubo Base: Para hacer la base del cubo, se deben definir los vértices y polígono. 1. A=O + a*u + b*v 2. B=O - a*u + b*v 3. C=O - a*u - b*v 4. D=O + a*u - b*v 5. Usar el comando polígono para hacer la cara del cubo ABCD. Caras laterales I: Definir vértices y polígonos. 1. E=O + a*u + b*v + 2cos(α)*u + 2sen(α)*w 2. F=O + a*u - b*v + 2cos(α)*u + 2sen(α)*w 3. G=O - a*u + b*v - 2cos(α)*u + 2sen(α)*w 4. H=O - a*u - b*v - 2cos(α)*u + 2sen(α)*w 5. Usar el comando polígono para hacer caras laterales del cubo BCHG y ADFE. Caras laterales II: Definir vértices y polígonos. 1. I=O + a*u + b*v + 2cos(α)*v + 2sen(α)*w 2. J=O - a*u + b*v + 2cos(α)*v + 2sen(α)*w 3. K=O + a*u - b*v - 2cos(α)*v + 2sen(α)*w 4. L=O - a*u - b*v - 2cos(α)*v + 2sen(α)*w 5. Usar el comando polígono para hacer caras laterales del cubo ABJ I y CDKL. Caras superior o tapa: Definir vértices y polígono. 1. M=O + a*u + b*v + 2cos(α)*u + 2sen(α)*w +2cos(2α)*u+ 2sen(2α)*w 2. N=O + a*u - b*v + 2cos(α)*u + 2sen(α)*w +2cos(2α)*u+ 2sen(2α)*w 3. Usar el comando polígono para hacer la cara superior del cubo EFN M. 79
Figura 46: Cubo en 3D
13.
Secuencias y Listas en GeoGebra
GeoGebra tiene definido un sin número de comandos. Los que utilizaremos aquí son los siguientes: Segmento[
,] Listas=,. . ., Secuencia[ , , , ] Secuencia[ , , , , ] Curva[ , , , , ] Con estos comandos podemos crear listas de objetos. A continuación se presentan diversos usos de los comandos mencionados.
13.1.
Secuencias de segmentos
13.1.1.
Mantel elástico
En el siguiente Applet se puede apreciar una especie de mantel elástico (Figura 47) que fue creado usando secuencias de segmentos: http://www.geogebratube.org/material/show/id/38983 Los pasos para crear el mantel son los siguientes: 1. Definir un deslizador a entre 0 y 20, con incremento de 1. 2. Para crear segmentos horizontales se escribe el comando: Secuencia[Segmento[A + i*(B - A)/a, C + i*(D - C)/a], i, 0, a] 3. Para crear segmentos verticales se escribe el comando: Secuencia[Segmento[A + i*(C - A)/a, B + i*(D - B)/a], i, 0, a]
81
Figura 47: Mantel elástico
13.1.2.
Envolvente parabólica
En el siguiente Applet se puede apreciar una envolvente parabólica que fue creado usando secuencias de segmentos: http://www.geogebratube.org/material/show/id/38984
Figura 48: Envolvente parabólica Los pasos para crear la envolvente son los siguientes: 1. Definir dos segmentos. Primero el segmento AB y, desde el punto B, el segmento BC. 2. Definir un deslizador a entre 0 y 20, con incremento de 1. 82
3. Para crear los segmentos se escribe el comando: Secuencia[Segmento[A + i*(B - A) / a, B + i*(C - B) / a], i, 0, a] 13.1.3.
Grafos o Enlaces
La teoría de grafos4 (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas y también de las ciencias de la computación. Esta teoría estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas, que no se debe confundir con las gráficas de funciones que tienen una acepción más amplia), estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados que pueden ser orientados o no.
Figura 49: Ejemplos de grafos La teoría de grafos es una rama de la matemáticas discretas y aplicadas, y es una disciplina que unifica diversas áreas como por ejemplo la combinatoria, el álgebra, la probabilidad, la geometría de polígonos, la aritmética y la topología. Actualmente se utiliza en el campo de la informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones. En teoría de grafos, un grafo completo es un grafo simple donde cada par de vértices está conectado por una arista. Un grafo completo de n vértices tiene n(n − 1)/2 aristas y se denota por Kn (ver Figuras 50, 51, 52). La única manera para hacer que un grafo completo se torne disconexo sería a través de la eliminación de todos los vértices. El teorema de Kuratowski5 dice que un grafo planar no puede contener K5 (ó el grafo bipartito completo K3,3 ) y todo Kn incluye a Kn−1 , entonces ningún grafo completo Kn con n ≥ 5 es planar. En el siguiente Applet se puede apreciar los grafos completos Kn , para n = 1, 2, 3 . . . , 40: http://www.geogebratube.org/material/show/id/38986 4 Para 5 [2,
mayores detalles al respecto de la teoría de grafos consultar: [2] y [7] p. 268]
83
Figura 50: Grafo completo K5
Figura 51: Grafo completo K8
Figura 52: Grafo completo K13
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Los pasos para crear los grafos completos son los siguientes: 1. Primero hay que definir dos puntos A y B en el plano. 2. Después, definir un deslizador a entre 0 y 20, con incremento de 1. 3. Para crear una lista de puntos que rotan con respecto al punto B se debe escribir lo siguiente: Secuencia[Rota[A, i*2*p / a, B], i, 0, a] 4. Por último, para crear la secuencia de segmentos que unen a todos los puntos se debe escribir: Secuencia[Secuencia[Segmento[Elemento[lista1, i], Elemento[lista1, j]], i, 1, a], j, 1, a]
13.2.
Superficies de revolución
Una superficie de revolución es una superficie que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.
Figura 53: Superficie de revolución
En la Figura 53 se puede apreciar una superficie de revolución que se obtiene al rotar la función f ( x ) = x2 con respecto al eje y. 85
En la mayoría de los libros de Cálculo6 se muestra que el área de la superficie lateral generada al girar la gráfica de una función y = f ( x ) alrededor del eje x, está dada por la fórmula q Z b A x = 2π | f ( x )| 1 + [ f 0 ( x )]2 dx. a
Si se gira la gráfica alrededor del eje y, tenemos la expresión A x = 2π
Z b a
|x|
q
1 + [ f 0 ( x )]2 dx.
En Geogebra, es posible realizar una construcción para representar superficies de revolución. 13.2.1.
Construcción de superficies de revolución con GeoGebra
Para realizar la construcción, primero se debe descargar el archivo de GeoGebra con nombre Base ortonormal: http://www.geogebratube.org/material/show/id/88097 Este archivo establece una proyección ortográfica para hacer representaciones en 3D. Una vez abierto el archivo Base ortonormal, en GeoGebra, se deben definir los deslizadores: a: Entre -10 y 10, con 0.1 de incremento b: Entre -10 y 10, con 0.1 de incremento Rotar: Entre 0 y 6.28, con 0.1 de incremento dx: Entre 0 y 20, con 1 de incremento Después se define una función f ( x ) y los segmentos, con base en esta función, utilizando los comandos de curva y secuencia de GeoGebra. 1. Definir función: f ( x ) = x 2. Curva[x(O + i*u + i*v + f(i)*w), y(O + i*u + i*v + f(i)*w), i, a, b] 6 Consultar
[1, p. 499-509]
86
3. Secuencia[Curva[x(O + i*cos(j)*u + i * sen(j)*v + f(i)*w), y(O + i*cos(j)*u + i*sen(j)*v + f(i)*w), i, a, b], j, 0, Rotar, p / dx] 4. Secuencia[Curva[x(O + i*cos(j)*u + i*sen(j)*v + f(i)*w), y(O + i*cos(j)*u + i*sen(j)*v + f(i)*w), j, 0, Rotar], i, a, b] En el siguiente Applet se muestra la superficie de revolución de la función f ( x ) = x y f ( x ) = sen x cuando se rota el eje y (ver Figuras 54 y 55): http://www.geogebratube.org/material/show/id/39851
Figura 54: Superficie de revolución construida con GeoGebra, f ( x ) = x
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Figura 55: Superficie de revolución construida con GeoGebra, f ( x ) = sen x
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