OPTIMASI MULTIVARIAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN
Oleh : Hafidh Munawir
BENTUK-BENTUK BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIV MULTIVARIA ARIAT T DARI DARI SEGI BENTUK GRAFIK I. Fungsi Linier : Y = ao + a X 1 1 + a2 X 2 Contoh: Y = 50 + 0,50 X 1 + 0,60 X 2 .
2.1. Fungsi Kuadrat : Y = 12X 1 + 18X 2 - 2X 12 - X 1.X 2 – 2X 22 2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a1 X1.a2 X2 Y = 5. 0,8 X1. 0,4 X2
BENTUK-BENTUK BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIV MULTIVARIA ARIAT T DARI DARI SEGI BENTUK GRAFIK I. Fungsi Linier : Y = ao + a X 1 1 + a2 X 2 Contoh: Y = 50 + 0,50 X 1 + 0,60 X 2 .
2.1. Fungsi Kuadrat : Y = 12X 1 + 18X 2 - 2X 12 - X 1.X 2 – 2X 22 2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a1 X1.a2 X2 Y = 5. 0,8 X1. 0,4 X2
Lanjutan:
2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X 1a1.X 2a2 Contoh: Y = 50.X 10,7.X 20,4 2. . Fu Fun si Tr Transedental :
Y = ao.X ao.X 1a1.X 2a2 .eb1X1.eb2X2 Y = 50.X 10,7.X 20,4. e 0,6X1.e.0,5X2
BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA
Fungsi Tak Berkendala
Fungsi Berkendala
PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA
Contoh : Fungsi Keuntungan :
f (Q1 , Q2 )
= Keuntungan Q1 = Output Q1 Q2 = Output Q2 π
2
12Q1 18Q2 2Q1 Q1.Q2 2Q2
2
Dari fungsi ini : Variabel Q 1 dan Q 2 independen Besaran Q 1 dan Q 2 tidak ada pembatas Titik optimum fungsi adalah titik ”Optimum Bebas”
Titik optimum bebasnya dicapai diwaktu π’ = 0
0
12
4
0
18
Q1
0.............. 1
0.............( 2 )
1
Q2
4Q2
Substitusi (1) & (2), didapat : Q1* 2
* f (Q1*,Q2 *)
Q2 * 4
Q1*, Q 2*,
* OptimumBebas
PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA
Fungsi Berkendala:
f (Q1 , Q2 ) ……… Fungsi
Tujuan
Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas
Perusahaan memproduksi 2 macam produksi (Q1&Q2) dengan tujuan memaksimumkan keuntungan;
Lanjutan:
Masalah yang dihadapi adalah terbatasnya modal, sehingga jumlah produksi dibatasi (kuota produksi) 950 satuan. Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum....?
Lanjutan:
Keuntungan Maksimum tersebut disebut ‘Titik Optimum Terkendala” atau “Maksimum Terkendala” Salah satu Cara menentukan titik optimum terkendala yaitu dengan Metode pengali Lagrange (Lagrange Multipliers)
Persamaan lagrange
Persamaan dengan kendala U = f (x, y)………Fungsi Tujuan ax + by = c…...Pers.Kendala. Persamaan fungsi diatas kemudian diubah menjadi persamaan lagrange Persamaan Lagrange: Z = f(x,y) + λ (c – ax – by)
Langkah2 metode lagrange
Membentuk persamaan kendala menjadi persamaan lagrange Mencari turunan pertama untuk semua variabel : Zx = 0, Zy = 0, dan Zλ = 0
Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga mendapatkan nilai x0, y0, dan λ 0 Menentukan nilai kritis dengan masukkan nilai x0, y0, λ 0 ke dalam persamaan awal f(x,y) atau persamaan lagrange Menentukan apakah nilai kritis maks/min/saddle point a. Jika Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum b. Jika Zxx < 0, Zyy < 0, dan D > 0 maksimum c. Jika D < 0 titik pelana (saddle point)
Contoh Soal :
Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya): C = 6x2 + 3y 2 Dengan Kendala: = Tentukan : a. Nilai x*, y* yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya Biaya Minimum C*; b. Buktikan C* adalah Optimum Minimum.
Jawaban: Fungsi Lagrange: C = 6x2 + 3y 2 + λ ( 18 – x – y) Turunan Pertama = 0 dC/ dx = Zx = 12x – λ = 0……….(1) dC/ dy = Zy = 6y - λ = 0…………(2) dC/ d λ = Zλ = 18 –x – y = 0 .....…(3)
MENENTUKAN TITIK KRITIS
Eliminasi pers (1) dan (2); persamaan (3) dan (4): (1) Zx=0=12x-λ (2) Zy=0=6y-λ Jadi : 12x-6y=0 ..............(4) – – (4) 12x-6y = 0 x 1 12x – 6y = 0 Jadi : 108-18x = 0 x = 6 ; y = 12, λ = 72 f(x,y) = 6x2 + 3y 2 = 6*36 + 3*144 = 216+432 = 648 Titik kritis (6,12,648)
Menentukan maks/min/saddle
Zxx = 12; Zyy = 6; Zxy = 0; Zyx = 0 D= 12*6 – 0*0 = 72
Karena Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum Nilai minimum = 648 Titik kritis/titik minimum = (6,12,648)
Lanjutan: Fungsi Utilitas
Contoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala:
Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas : U = Q1 . Q2 + 2 Q1 … Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas) Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 an 2. Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P1.Q1 + P2.Q2 = M........4Q1 + 2Q2 = 60. Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas....?
Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas): P Q1.Q1 P Q 2 .Q2 M 4Q1 2Q2
60
Q2 .
Q2* 0
I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu)
Q1*
Q1
Metode Pengali Lagrange Menentukan Fungsi Lagrange: U = Q1.Q2 + 2Q1 +
λ (
60 – 4Q1- 2Q2).
Turunan Petama Fungsi = 0. dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 ……(1) dU/dQ2 = f2 = Q1 - 2 λ = 0 ...….(2) dU/d λ = f λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0….(3)
Subtitusikan (1) ke (2):
Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan λ : (1)....dU/dQ1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 …......( x1) (2)....dU/dQ2 = Q1 - 2 λ = 0 ……...(x2) Jadi : (1)....Q2 + 2 – 4 λ = 0 (2)....2Q1 - 4 λ = 0. jadi: Q2 + 2 – 2Q1 = 0 Q2 = 2Q1 – 2 ……………(a)
Substitusikan (a) ke Persamaan kendala:
Substitusikan (a) ke persamaan (3): dU/d λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0…….(3) Jadi: 60 – 4Q1 – 2 (2Q1 – 2) = 0 60 – 8Q1 + 4 = 0………Q1* = 8. (3)…....60 – 4(8) – 2Q2 = 0 28 – 2Q2 = 0 ……..Q2* = 14.
II. KOMBINASI INPUT DENGAN BIAYA TERKECIL Formulasi Masalahnya adalah: Meminimisasi biaya: C = P1.X 1 + P2.X 2………Fungsi Tujuan
Dengan Kendala Quota Produksi: Q0 = f ( X 1, X 2 )…………Pers.Kendala (Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)
Fungsi Lagrange:
C = P1.X 1 + P2.X 2 + λ [ Qo – f (X 1,X 2)] Menentukan Turunan Pertama Fungsi: dC/dX 1 = f 1 = 0 …………..(1) dC/dX 2 = f 2 = 0 …………..(2) = 3 = 0 …………. 3
SOAL JAWAB LATIHAN OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA
1. Minimisasi biaya dengan kendala output: Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4Q12 +5Q22-6Q2; 1
2
Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.
Lanjutan: soal latihan
2. Minimisasi Biaya Kendala Output: Diketahui TC = 6Q12 + 3Q22; 1
2
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.
Lanjutan: soal latihan
3. Minimisasi Biaya kendala output: Diketahui fungsi tujuan: TC=Q12+2Q22-Q1.Q2; dengan kendala: Q1+Q2=8. Tentukan:
a.Jum a 1 an 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.
Lanjutan: Soal latihan
4. Optimum produksi kendala Cost: Diketahui TP=-5X 12 +10X 1.X 2-7X 22+40X 1; kendala X 1+X 2=1. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan
5. Maksimisasi produksi kendala Biaya: Diketahui fungsi tujuan: TP=X 12+5X 1.X 2-4X 22, dengan kendala: 2X 1+3X 2=74. Tentukan:
. 1 2 TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab
6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran: Diketahui fungsi utilitas U=Q1.Q2; dengan en a a: 15 1+5 2=150. entu an: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab
7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 4Q1.Q2 – Q22 ; dan Kendala: 2Q1 + 5Q2 = 11. Tentukan : a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan
8. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 27 + 6Q 1.Q2 – 2Q12 – Q22. dengan kendala: Q 1+Q2 = 9. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan
9. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = 16Q 1 + 26Q2 – Q12 – Q22. Kendala: 3Q1 + 4Q2 = 26. a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab
10. Optimum Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = Q 12 +2Q22 +5Q1.Q2. Dengan kendala:5Q1 + 10Q2 = 90. Tentukan: a. Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; b. Tentukan U optimum; c. Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.
Lanjutan: soal latihan
11. Optimasi utilitas kendala anggaran: Fungsi Utilitas : U = 4Q1Q2 – Q12 – 3Q22 2Q1 + 3Q2 = 45 Tentukan: a. Q1 dan Q2 yang memaksimumkan utilitas b. Tentukan U optimum,buktikan bahwa U optimum adalah optimum maksimum.
