02 ONDAS PERIODICAS

Características generales de una onda periódica Decimos que una onda es periódica cuando presenta una forma geométrica que se repite a intervalos de tiempo iguales, llamados períodos, es decir, puede ser descrita en términos de una función periódica. Una onda periódica puede tener cualquier forma geométrica, aunque lo usual es estudiar un caso fundamental: la onda periódica sinusoidal. Este tipo de ondas se denomina de esta manera porque su descripción matemática se realiza en términos de una función matemática donde aparece la función seno:

y ( x, t )  Asen(kx  t   ) (Ecuación de una onda sinusoidal periódica) Veamos entonces cuales son las características básicas de una onda de este tipo, tal como la que se representa en la figura:

Cresta

Cresta

Valle

Valle

λ La zona que se encuentra por encima del eje x se suele denominar cresta de la onda, mientras que la zona inferior se define valle de la onda. La onda habrá completado un ciclo entero cuando haya completado una cresta y un valle completo, sin importar el orden. La onda de la figura anterior tiene dos ciclos completos. Amplitud La amplitud de una onda se define como la distancia a la que se encuentra un punto material en vibración respecto de la posición de equilibrio. Dado que se trata de una distancia, su unidad de medida será el metro. Habitualmente se asocia la amplitud de una onda con la máxima elongación de la vibración; en tal caso, debemos hablar de amplitud máxima. En la imagen que representa una onda sinusoidal transversal en la cual la amplitud del punto p1 es A1, la de p2 es A2, etc.

La amplitud de una onda se asocia con la cantidad de energía que la misma transporta (más específicamente, con la potencia promedio que la misma entrega por unidad de tiempo, aunque esta magnitud depende de la cantidad de energía transportada). Una onda más amplia es una onda más potente, aunque no en proporción directa, sino que la potencia promedio es proporcional al cuadrado de la amplitud. Es decir, una onda que

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tiene el doble de amplitud que otra entrega una potencia promedio cuatro veces mayor que la primera; si la amplitud es el triple, la potencia promedio es nueve veces mayor, etc. Longitud: La longitud de onda λ (léase lambda) se define como la distancia entre dos puntos sucesivos de la onda que se encuentran en fase. También puede entenderse como la distancia que avanza la perturbación al cabo de un ciclo completo. Medimos λ en metros. En la figura, se puede apreciar cómo la longitud de la onda puede medirse entre cualquier pareja de puntos en fase, es decir, que tengan la misma coordenada sobre el eje y, pero que se encuentren vibrando en el mismo sentido.

Periodo: Se denomina periodo T de la onda al tiempo que tarda en completarse un ciclo. Medimos T en segundos. Frecuencia: La frecuencia f de una onda indica la cantidad de ciclos que cumple una onda en una determinada unidad de tiempo. Si elegimos un segundo como unidad temporal, diremos que la frecuencia de una onda es de x cantidad de ciclos por segundo, cantidad a la cual denominamos Hertz (Hz). Una onda cuya frecuencia es 10 Hz completa 10 ciclos por segundo; una onda con f = 25 Hz completa 25 ciclos por cada segundo, etc. La frecuencia de una onda y su periodo están vinculadas mediante una relación simple. Supongamos que cada una de las fotos de una cuerda vibrante que se muestran fueron tomadas con una exposición de un segundo:

Cantidad de ciclos en un segundo: 1 Frecuencia: 1 ciclo por segundo = 1 Hz Periodo: 1 segundo

Cantidad de ciclos en un segundo: 2 Frecuencia: 1 ciclo por segundo = 2 Hz Periodo: ½ segundo = 0,5 segundos

Cantidad de ciclos en un segundo: 1 Frecuencia: 4 ciclos por segundo = 4 Hz Periodo: 1/4 segundo = 0,25 segundos


Observando atentamente los ejemplos, podemos ver que la frecuencia de una onda periódica es siempre el

1  0,5 s, una onda con f = 4 Hz tendrá 2 1 1 un periodo de  0, 25 s, una onda con f = 10 Hz, tendrá su periodo igual a  0,1 s, etc. 4 10 recíproco de su periodo: Una onda de 2 Hz tiene un periodo igual a

Así, obtenemos las importantes relaciones:

T

1 f

f 

1 T

Velocidad de propagación: La velocidad de una onda, es decir, la velocidad con la que se transporta la energía de un lugar a otro en un movimiento ondulatorio depende, entre otras cosas, de las propiedades del medio a través del cual viaja. Nosotros habremos de estudiar sólo casos donde las ondas se propagan con velocidad constante. Para que esto sea posible, el medio en el cual se propaga la onda debe cumplir con tres propiedades: 1. Debe ser homogéneo: su densidad debe ser la misma en cualquier elemento de volumen dentro del medio. 2. Debe ser isotrópico: es decir, la velocidad de la onda deber ser la misma sin importar en que dirección se desplace. Un medio es isotrópico cuando dentro del mismo no existe una dirección privilegiada. 3. Debe ser no disipativo: la energía transportada por la onda no debe disiparse debido a las características del medio. Esto es equivalente a decir que podemos despreciar todas las fuerzas de fricción dentro del medio. Cabe señalar que esta suposición es una mera hipótesis que simplifica el estudio, ya que en la realidad no existe ningún medio material 100 % no disipativo. Suponiendo que el medio cumple con las propiedades anteriores, una onda se moverá a través del mismo con velocidad constante, tal como ya fue señalado. Por lo tanto, debe cumplirse la relación:

  x v t 

Si aplicamos la relación anterior para un ciclo completo de una onda periódica, vemos que x   y que t  T , por lo que podemos reescribir la ecuación de velocidad como:

v

 T

Esta es la ecuación que habremos de usar para calcular la velocidad de una onda.

También podemos observar que

v

 1  . T T

Pero como

1  f , tenemos que: T

v  . f Esta es otra forma alternativa para calcular la velocidad de propagación de la onda.


Fase y constante de fase: Hasta ahora, todas las representaciones gráficas de una onda que hemos utilizado tienen algo en común: su posición vertical en t = 0 es cero; pero esto no necesariamente tiene porque ser así; una onda puede comenzar en cualquier posición vertical inicial, es decir, puede comenzar en cualquier fase del ciclo, la cual debemos especificar mediante una constante de fase. La constante de fase φ (léase Fi) se mide asociando un valor angular a cada punto de la vibración, en comparación con el valor angular de una aguja que gira en un círculo completo: 90º - π/2

0º - 360º 0 - 2π

180º - π

270º - 3π/2

Nótese que en física medimos la posición angular en radianes y no en grados: la equivalencia es muy sencilla, puesto que 360º = 2π radianes, por lo tanto, 180º = π radianes, 90º = π/2 radianes, etc. Veamos algunos ejemplos:

0

Posición angular de la aguja = 0 Constante de fase de la onda: φ = 0

π/2 Posición angular de la aguja = π/2 Constante de fase de la onda: φ = π/2

Posición angular de la aguja = π Constante de fase de la onda: φ = π π

Posición angular de la aguja = 3π/2 Constante de fase de la onda: φ = 3π/2

3π/2 Curso de Física 4º año 2012 – REP.02 – Características de una onda periódica

Ejemplo: 1) Para la onda de la figura, cuya frecuencia es 10 hz, indique A, λ, T, v y φ

Solución: Nos piden que identifiquemos las seis características principales de la onda representada. Comencemos: El valor de la amplitud se obtiene directamente de la gráfica: A = 0,020 m También a partir de la gráfica podemos obtener el valor de la longitud de onda λ: como la gráfica muestra dos ciclos completos, hallamos λ mediante una sencilla regla de 3: 2 ciclos – 0,080 m

x

1 0,080  0,040m 2

1 ciclo – x Así, λ = 0,040 m Como la frecuencia f es un dato conocido, f = 10 Hz, hallamos el período aplicando la relación:

T

1 1   0,10 s f 10

Ahora, calculamos la velocidad:

v

 0,040   0,40m / s T 0,10

Por último, la constante de fase φ de la onda se obtiene al observar que la posición inicial de la onda en t = 0 corresponde a medio giro de la aguja en el círculo trigonométrico. Por lo tanto: φ = π

Otros ejemplos adicionales serán resueltos por el profesor en clase.


Ejercicios: 1.

La gráfica de la figura muestra dos ondas diferentes que se encuentran superpuestas. Completa la tabla con la información solicitada para cada onda. Característica Amplitud Longitud Período Frecuencia Velocidad de propagación Constante de fase

2.

Onda 1

Onda 2

Representa en un sistema de coordenadas cartesianas dos ciclos de una onda sinusoidal periódica con las siguientes características, y determina su frecuencia y su velocidad de propagación: Amplitud: 3,0 cm, Longitud: 6,0 cm, Período: 4,0 s, φ = π/2

3.

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta en cada caso a) Si la frecuencia de una onda se triplica, su período también. b) Si duplicamos la longitud de una onda, su amplitud se divide entre dos. c) Dos ondas cuyo primer punto es y (0) = 0 tienen la misma fase inicial

4.

Se determina que cierta onda sinusoidal en una cuerda tiene una frecuencia de 10 Hz. Se sabe también que la misma se propaga con una velocidad de 5,0 m/s. Dibuje esquemáticamente dos ciclos de dicha onda, sabiendo que la máxima elongación de la cuerda es 1,2 m y que su fase inicial es cero. Halle su período.

5.

Se provoca una onda con λ = 0,25 m y f = 4,0 Hz, en una cuerda de 12 m de largo. ¿Cuánto tarda la perturbación en llegar de un extremo a otro de la cuerda?

6.

La figura 1 representa la onda sonora emitida por una campana.

Figura 1

a)

¿Se trata de una onda mecánica o electromagnética? Explique cómo podría usar el aparato de la figura 2 para demostrar su respuesta.

b) ¿Se trata de una onda periódica? Justifique. c)

La campana está diseñada para emitir un sonido de 440 Hz de frecuencia. Conocido esto, y sabiendo que la velocidad el sonido en el aire es de 340 m/s aproximadamente, halle el período y la longitud de onda. Figura 2


7.

La distancia entre dos crestas sucesivas de las olas del mar en cierto día invernal es de 25 m. Si se sabe que las mismas se desplazan con una velocidad de 4,0 m/s: a) ¿Cada cuánto tiempo rompe una ola en la playa? b) ¿Con qué frecuencia llegan las olas?

8.

La onda de la figura se desplaza con una velocidad de 16,0 m/s. Indicar su amplitud, longitud y constante de fase. Calcular su frecuencia y periodo.

9.

Representar dos ciclos de una onda periódica cuya amplitud sea la mitad de la amplitud de la onda del ejercicio anterior, y que tenga una diferencia de fase de 3π/2 respecto de la misma.

10. La gráfica de la figura muestra la variación de voltaje en función del tiempo para cierto componente electrónico (este tipo de onda se llama diente de sierra).

a)

¿Tiene el componente un comportamiento periódico? Justifique, y en caso afirmativo, determine el periodo T b) ¿Cuál es el máximo voltaje alcanzado por el componente? ¿Con qué magnitud física asociamos ese valor en este caso?

11. En cierto medio material, se registra un movimiento vibratorio como el que se muestra en la gráfica. ¿Se trata de un medio no disipativo? Justifique.

12. Explique qué significa que un medio sea homogéneo e isotrópico. Señale ejemplos de medios que cumplan con dichas propiedades, y otros que no las verifiquen.


13. Una persona produce ondas periódicas en una cuerda a un ritmo de 5 ciclos por segundo. a) ¿Cada cuánto tiempo se produce un ciclo completo? b) Si la persona agita la mano cuatro veces más rápido, ¿aumenta o disminuye el periodo de las ondas producidas? ¿Por qué? Calcule el nuevo periodo c) La cuerda tiene una longitud de 6,0 m, y en cierto momento pueden observarse en ella 12 ciclos completos de la onda que van de un extremo al otro. ¿Cuál es la longitud de las ondas producidas en dichas condiciones?

14. Ya hemos mencionado que la velocidad de una onda sonora es aproximadamente 340 m/s en un día donde la temperatura es 20º C. Supongamos que en el estadio, un espectador observa cómo un pelotazo pega contra el palo. Si la persona se halla ubicada a 85 m del arco: ¿cuánto tarda en escuchar el sonido del pelotazo?

15. Represente a escala en un sistema de coordenadas cartesianas una onda que cumpla con: a)

Estar adelantada ¼ ciclo respecto a la onda de la figura b) Tener una potencia promedio cuatro veces menor que ella. c) Desplazarse al doble de velocidad, manteniendo igual frecuencia.


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