8/26/2013
1
Metode Energi KL3101, KELAS 01 SEMESTER I 2013/2014
Topik Aplikasi Metode Energi Energi untuk Perhitun an Deformasi Struktur
Pengantar Kerja Gaya Luar Energi Regangan Prinsip Kekekalan Energi Perhitungan Perpindahan Menggunakan Prinsip Kekekalan Energi
Teorema Castigliano Prinsip Kerja Maya / Metode Beban Satuan
1
8/26/2013
Kerja Gaya Luar
Kerja yang dilakukan oleh gaya F gaya F : x
W Fdx 0
Kerja yang dilakukan oleh momen M momen M :
W Md 0
Kerja Gaya Luar
F
P1 + P2
W
L + 1
L
P1
1 2
P2 2
W P1 2 1 P1
P1
2
1
W
1 2
1 + 2
x
P11
P2
2
8/26/2013
Energi Regangan dF x dydz
x
d x dx
x
dz
dx
Energi regangan = kerja yang dilakukan oleh gaya dalam dU
U
1 2 1 2
V
dFd
1 2
x dydz x dx
x x dV
2
dV
2
2 E dV
V
Energi Regangan Gaya Aksial
Tegangan akibat gaya aksial: Energi regangan:
U N
V
N A L
N 2
2 EA
2
dV
N 2
2 EA dx 0
Jika gaya aksial N konstan di sepanjang batang, sepert pa a stru tur rang a atang: U N
N 2 L 2 EA
3
8/26/2013
Energi Regangan Momen Lentur
Tegangan akibat momen lentur:
My I
Energi regangan: U M
My
2 EI
2
2
L
dAdx
V
0
M 2 EI
M 2
2 EI 2
0
2 y dA dx
A
dx
Energi Regangan Gaya Dalam Lainnya
Gaya Geser, V : = 1.2 untuk penampang segiempat 10/9 untuk penampang lingkaran
L
G = modulus geser A v = luas bidang geser (shear area)
Torsi, T :
J = momen inersia polar
dx
0
UV
KV 2
L
0
K
2
V
2GAv
A Q
dx
2
I 2 A t 2
dA
2
U T
T L 2GJ
4
8/26/2013
Prinsip Kekekalan Energi
“Kerja yang dilakukan gaya luar = energi regangan”
W = U
Contoh 1
Tentukan besarnya perpindahan vertikal di ujung . P E , I , L
una an anya energ regangan a at momen lentur, abaikan energi regangan lainnya.
5
8/26/2013
Contoh 1
Kerja gaya luar:
Momen lentur:
W
P
P P
M V
M Px
x
Energi regangan:
L
U
M
L
2
2
P x
2
2 EI dx 2 EI 0
2
dx
0
3
P L
6 EI
Contoh 1
Gunakan prinsip kekekalan energi untuk W U P 2
2
3
P L
6 EI 3
3 EI
6
8/26/2013
Contoh 2
Tinjau kembali struktur pada Contoh 1.
, G = 77 GPa), P = 20 kN, L = 2 m, dan penampang balok berupa segi empat dengan lebar 200 mm dan tinggi 300 mm. Tentukan besarnya energi regangan akibat seluruh a a- a a dalam an dialami struktur.
Contoh 2
Pada balok terdapat gaya dalam berupa gaya geser
P
M Px V P V
Energi regangan: M
+
–
U U M U V L
0
M
L
2
2 EI
dx
2
KV
2GA dx 0
7
8/26/2013
Contoh 2
Energi regangan akibat momen lentur: 2
U M
2
3
6 EI
6 200 10
9
3
4.5 10 4
5.93 N-m 5.93 J Energi regangan akibat gaya geser: 2
V
KP L 2GA
2 77 10
9
2
2 0.06
1.2 20000
.
Energi regangan: U U M U V 6.03 J
Contoh 3
Tentukan putaran di ujung C pada struktur balok . 0 A
EI 3m
C M 0
B 1m
una an anya energ regangan a at momen lentur, abaikan energi regangan lainnya.
8
8/26/2013
Contoh 3
Momen lentur:
A
B
C
3m
1m
–
M 0 x
Kerja gaya luar:
W
M
M 0
M 0
3
2 3
M 0
Energi regangan:
U
2
x 0
1
2
18 EI
dx
0
2
M 0
2 EI
2 EI dx 0
0
2
2
M0
2 EI
2
M 0
EI
Contoh 3
Gunakan prinsip kekekalan energi untuk W U M 0 2
2
M 0
EI 0
EI
9
8/26/2013
Contoh 4
Tentukan perpindahan horizontal titik C akibat beban P an beker a ada struktur ran ka batan seperti tergambar. P
C
B
3m
D
A 4m
Contoh 4
Kerja gaya luar:
W
P 2 P
P
P
Gaya-gaya batang:
5 7 . 0
0 P
2
Energi regangan:
U
N L
2 EA
10
8/26/2013
Contoh 4 Batang
L
[m]
AB
E
A
E
A
N
0.
U
P
= N 2L /2E A
0.8
P 2 EA
AD
4
E
A
P
2 P 2/ EA
BC
4
E
A
P
2 P 2/ EA
BD
5
E
A –1.25 P
CD
3
E
A
W U
3.906 P 2/ EA
0
0 8.75 P 2/ EA
P 2
8.75 P
2
EA 17.5 P EA
Keterbatasan Hanya dapat menghitung perpindahan akibat satu . Hanya dapat menghitung perpindahan di lokasi beban terpusat, dan dalam arah yang sama dengan beban tersebut. Untuk kasus yang lebih umum, dapat digunakan Teorema Casti liano dan rinsi ker a ma a ( principle of virtual work).
11
8/26/2013
Teorema Castigliano Alberto Castigliano (1879)
Perpindahan di suatu titik sama dengan turunan ener i re an an terhada suatu gaya dengan arah yang sama yang bekerja di titik tersebut.
i
Putaran di suatu titik sama dengan turunan ener i re an an terhada suatu momen kopel dengan arah yang sama yang bekerja di titik tersebut.
i
Pi
U M i
Teorema Castigliano
Untuk struktur rangka batang 2
N L
U
2 EA
U L N N 2 P P 2 EA
NL N
EA P
12
8/26/2013
Teorema Castigliano
Untuk elemen balok (akibat momen lentur): L
U
M 2
2 EI dx 0
U L M M dx P EI P L U M M dx M EI M 0
0
0
Contoh 5
Gunakan teorema Castigliano untuk menentukan P seperti pada Contoh 1.
P E , I , L
13
8/26/2013
Contoh 5
Momen lentur:
M Px
M x P
P
M V
x
Perpindahan: L
L
dx
EI P 0
0
EI
3
dx
3 EI
Contoh 6
Gunakan teorema Castigliano untuk menentukan
balok kantilever seperti tergambar. = 200 GPa dan I = 500 × 10 6 mm4. Diketahui E 12 kN/m A
E , I 5m
B
14
8/26/2013
Contoh 6
M 6 x Px 2
Momen lentur:
x
P P 0 M 6 x
P
M V
x 2
Perpindahan di B: M M x EI P 0
5
L
B
6 x x 2
EI
0
1875
2 200 10
6
6
500 10
x
1875 2 EI
0.009375 m 9.375 mm
Contoh 6
M 6 x M 0 2
Momen lentur:
M
1 x
0
M 0 0
M o
M V
M 6 x
2
Putaran di B: L
B
M M
0
5
x
EI M 0
6 x 2
0
EI
250
200 10
6
500 10
6
1
x
250
EI
0.0025 rad CW
15
8/26/2013
Contoh 7
Tentukan besarnya perpindahan horizontal titik C pada struktur rangka batang seperti tergambar. 5 kN
B
C
10 kN
3m
D
A m
Diketahui semua batang memiliki modulus elastisitas E dan luas penampang A yang sama.
Contoh 7
Batang
E
A
N
AB
3
E
A
3.75 + 0.75 P
AD
4
E
A
BC
4
E
A
BD
5
E
A
CD
3
E
A
0.75
25.3125/ EA
5 + P
1
60/ EA
P
1
40/ EA
–6.25 – 1.25 P –1.25
Beban horizontal 10 kN di C dihitung sebagai P .
U
N
[m]
L
0
117.1875/ EA
0
0 242.5/E A
C
Nilai P = 10 kN sudah dimasukkan.
16
8/26/2013
Teorema Castigliano: Prosedur Analisis (1)
Pasang gaya P di titik yang akan ditentukan er indahann a. Arah gaya P dianggap sama dengan arah perpindahan yang akan dicari. Jika yang akan ditentukan adalah putaran, pasang momen M di titik tersebut.
Apabila telah terdapat gaya atau momen pada arah , sebesar P atau M dahulu, jangan masukkan nilai numeriknya.
Teorema Castigliano: Prosedur Analisis (2)
Hitung gaya aksial batang (untuk struktur rangka
dan portal) akibat seluruh beban yang bekerja termasuk P atau M tadi. Hitung turunan dari gaya batang atau momen lentur terhadap P atau M . atau M . Masukkan nilai numerik beban P Integrasikan dan/atau jumlahkan turunan U terhadap P atau M untuk memperoleh nilai perpindahan atau putaran.
17
8/26/2013
Metode Beban Satuan (Unit Load Method ) Dari contoh-contoh perhitungan menggunakan Teorema Casti liano da at dilihat bahwa nilai ∂ N /∂ P atau ∂ M /∂ P sama dengan nilai gaya batang atau momen lentur akibat beban P sebesar 1 satuan. /∂ M 0, dapat diperoleh Demikian pula dengan ∂ M dengan memasang momen M 0 sebesar 1 satuan. den an Oleh karena itu deformasi da at dihitun
L
Mm
0
EI
dx
NnL EA
Metode Beban Satuan (Unit Load Method ) N = gaya-gaya batang akibat beban yang bekerja n = gaya-gaya batang akibat beban 1 satuan di titik yang akan dihitung perpindahannya M = momen lentur akibat beban yang bekerja pada struktur = yang akan dihitung perpindahannya
18
8/26/2013
Metode Beban Satuan (Unit Load Method ) Untuk deformasi akibat geser dan torsi:
s 0
KVv GA
dx
t
TtL GJ
V = gaya geser akibat beban yang bekerja pada struktur v = gaya geser akibat beban 1 satuan di titik yang akan dihitun er indahann a T = gaya dalam torsi akibat beban yang bekerja pada struktur t = gaya dalam torsi akibat beban 1 satuan di titik yang akan dihitung perpindahannya
Prinsip Kerja Virtual Johann Bernoulli (1717)
Metode beban satuan awalnya diturunkan dari . sebesar 1 Misalkan suatu struktur diberi beban P satuan di titik A (yang akan ditentukan perpindahannya). Akibatnya, akan timbul gaya dalam m atau n. an Setelah itu baru ditera kan beban-beban sebenarnya bekerja pada struktur. Akibatnya, titik A akan berpindah sejauh .
19
8/26/2013
Prinsip Kerja Virtual Kerja yang dilakukan oleh beban virtual 1 satuan adalah W = 1 × = . Kerja yang dilakukan oleh gaya dalam n adalah u = nδ , sedangkan kerja yang dilakukan oleh gaya dalam m adalah u = m . Sesuai dengan prinsip kekekalan energi, kerja W harus sama den an total ker a an dilakukan oleh gaya-gaya dalam.
Metode Beban Satuan via Prinsip Kerja Virtual
Untuk struktur rangka batang
NL EA
W U
u n
n
nNL EA
nNL EA
20
8/26/2013
Metode Beban Satuan via Prinsip Kerja Virtual
Untuk struktur balok dan portal L
0
M
EI
L
dx
u m 0
mM EI
dx
W U L
0
EI
dx
Metode Beban Satuan: Prosedur Analisis Hitung gaya-gaya batang N atau momen lentur M . Hitung gaya-gaya batang n atau momen lentur m akibat beban 1 satuan di titik yang akan dihitung perpindahannya. Jika yang akan ditentukan adalah putaran, maka beban yang diberikan adalah momen 1 satuan. Tentukan besarnya deformasi dengan formula:
L
Mm
0
EI
dx
NnL EA
21
8/26/2013
Tabel Integral Volume
Integrasi:
L
Mmdx 0
untuk diagram momen yang sederhana (linier atau parabola) telah tersedia dalam bentuk tabel integral .
Contoh 8
Gunakan metode beban satuan untuk menentukan seperti pada Contoh 1. P E , I , L
22
8/26/2013
Contoh 8
Diagram momen lentur: 1
P
–
–
PL
L
m
M
Perpindahan: L
Mm
0
EI
dx
L PL L 3EI
PL3 3EI
Contoh 9
Gunakan metode beban satuan untuk menentukan
kantilever seperti pada Contoh 6. = 200 GPa dan I = 500 × 10 6 mm4. Diketahui E 12 kN/m A
E , I 5m
B
23
8/26/2013
Contoh 9
Diagram momen lentur: 1
12 kN/m
B
A 5m
– 150
– 37.5
Perpindahan:
M
5
m L
Mm
B
dx
5 5 150 2 37.5
500 10 0.009375 m 9.375 mm 0
EI
6 200 10
6
6
Contoh 10
Tentukan perpindahan horizontal titik C akibat . Balok AB dan kolom BC memiliki modulus elastisitas E dan inersia penampang I . 20 kN/m
A
B
6m
C 8m
24
8/26/2013
20 kN/m 1
0.75
80 kN
1
0.75
80 kN
6
160 –
+
6 –
m
M
L
Mm
C 0
EI
dx
8 6 2160 6 EI
0
2560
EI
Contoh 11 Tentukan besarnya perpindahan horizontal titik C . dan A konstan, dan bernilai sama untuk Anggap E semua batang.
5 kN
B
C
10 kN
3m
D
A 4m
25
8/26/2013
Contoh 11
Batang
[m]
E
A
AB
3
E
A
AD
4
E
BC
4
BD CD
L
N
n
N n L /E A
10.25
0.75
25.3125/ EA
A
15
1
60/ EA
E
A
10
1
40/ EA
5
E
A
–18.75
–1.25
117.1875/ EA
3
E
A
0
0
0
242.5/E A
C
26
