Bab I METODE METO DE ENER ENERGI GI
Tujuan pembahasan Metode Energi untuk memformulasikan hubungan antara gaya dan perpindahan, kemudian menghitung komponen perpindahan (translasi dan rotasi) rotasi)
Beberapa kata-kunci kata-kunci
Energi Hukum konservasi energi Kerja (work) Kerja-luar (external work) Kerja-dalam (internal work) Energi-regangan (strain energy) Kerja riel (real work) Kerja maya (virtual work)
Tujuan pembahasan Metode Energi untuk memformulasikan hubungan antara gaya dan perpindahan, kemudian menghitung komponen perpindahan (translasi dan rotasi) rotasi)
Beberapa kata-kunci kata-kunci
Energi Hukum konservasi energi Kerja (work) Kerja-luar (external work) Kerja-dalam (internal work) Energi-regangan (strain energy) Kerja riel (real work) Kerja maya (virtual work)
didefinisikan sebagai kapasitas untuk Energi didefinisikan melakukan kerja. Kerja adalah usaha yang dilakukan oleh gaya pada perpindahan. Kerja didefinisikan didefinisi kan sebagai perkalian antara gaya gaya dengan komponen perpindahan perpinda han yang koresponden di arah gaya tersebut (misalny (misal nya a gaya P dengan translasi, momen M dengan rotasi, tegangan dengan regangan).
(external work) adalah kerja yang Kerja-luar (external dilakukan oleh gaya-luar.
Kerja-dalam (internal work) adalah kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam. Internal work menimbulkan energi yang tertimbun dalam struktur sebagai energi regangan (strain energy ). ).
Hukum konservasi energi menyatakan menyatakan bahwa sama dengan internal work . external work sama
Ilustrasi konsep kerja-luar (external work) pada kasus batang dengan beban aksial
Penjelasan :
Batang dengan panjang L dibebani gaya luar (tarik) P. Sifat pembebanan statis (static load ). Ketika dibebani, batang bertambah panjang hingga pada akhirnya diperoleh pertambahan panjang maksimum u pada saat nilai beban P. Kerja W yang dilakukan oleh beban P pada arah perpindahan u, dapat dihitung menggunakan diagram lendutan-beban.
∫ W = ∫ u.dP W = P.du c
Penjelasan :
Untuk material elastis →
∫
W = W c = P.du
Bila k sebagai kekakuan dari sebuah batang yang dibebani secara aksial didefinisikan sebagai gaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan satu satuan perpanjangan, yaitu k = (A.E)/L , maka P = k . u Diperoleh external work pada batang dengan beban aksial P :
∫
∫
W = k .u.du =k u.du =
1
1
k .u = P.u 2 2 2
Energi Regangan (strain energy)
Sebuah elemen kecil dengan tegangan tarik Diagram tegangan - regangan
Penjelasan :
Sebuah elemen kecil (Gb.a) dengan tegangan normal σ x. Gaya pada permukaan (kanan atau kiri) dari elemen adalah σx.dy.dz, dimana dy.dz adalah luasan kecil tak berhingga dari permukaan elemen.
Oleh gaya tsb, elemen bertambah panjang sebesar εx.dx, dimana εx adalah regangan dalam arah x. Bila elemen terbuat dari bahan yang elastis linier, maka tegangan sebanding dengan regangan (Gb.b). Bila elemen semula bebas dari pengaruh tegangan, maka gaya yang bekerja pada elemen tersebut meningkat secara linier dari nol hingga mencapai nilai penuh.
Penjelasan :
Gaya rata-rata yang bekerja pada elemen ketika terjadi deformasi adalah ½ σx . dy . dz. Gaya rata-rata dikalikan dengan jarak yang ditempuh selama bekerja merupakan kerja yang dilakukan pada elemen. Pada struktur dengan beban luar, maka kerja yang dilakukan oleh gaya luar dibarengi dengan kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam. Kerja-dalam akan menimbulkan energi yang tertimbun dalam struktur yang dinamakan energi regangan ( strain energy ).
Energi regangan U untuk elemen kecil yang mengalami tegangan pada sumbu tunggal adalah :
dU =
1 2
σ x .dy.dz × ε x .dx
gaya
=
1 2
σ x .ε x .dx.dy.dz
=
1 2
σ x .ε x .dV
jarak kerja
dV = volume elemen kecil
Energi regangan per satuan volume bahan disebut kerapatan energi regangan (strain energy density) Uo
U 0 =
1
σ x .ε x
2 Atau dapat ditafsirkan sebagai luas di bawah garis miring pada diagram tegangan-regangan (Gb.b). Luas yang dibatasi oleh garis miring dan sumbu vertikal dari diagram tersebut disebut energi komplementer U c Pada material elastis linier, maka :
U = U c =
1
∫ 2
vol
σ x .ε x .dV
Energi Regangan pada Kasus Lenturan U =
1
∫ 2
2
2
1 1 M . y dV = dx.dA 2 E I E
σ x
∫
dengan dx adalah panjang elemen , dA adalah luas penampang, dan inersia I = ∫ y 2 dA, maka U =
1
∫
M
L
2 2
2 panjang EI
dx.
1 M
2
∫ y dA = 2 ∫ EI dx
luas
2
0
Contoh Defleksi pada balok kantilever P L,E,I
v
Gaya P mengakibatkan terjadinya defleksi v External work akibat gaya P : W e = 12 P.v
Momen lentur pada jarak x dari P adalah : M = −P. x
Energi elastis akibat internal work L
W i = U =
1 2
M
2
∫ EI
dx =
0
P
2
3
P L
6 EI 3
diperoleh
v=
∫
2
x dx = 2
W e = W i 2
P.v =
L
2 EI 0
Konservasi Energi
1
2
PL
3 EI
3
P L
6 EI
Metode Kerja Maya (Virtual Work)
Jika struktur dalam keadaan seimbang akibat beban luar, maka menghasilkan deformasi dan gaya dalam. Bila diaplikasikan tambahan perpindahan maya (virtual displacement) atau gaya luar maya (virtual force), maka akan terjadi penambahan perpindahan dan gaya dalam. Kerja dari real force pada virtual displacement atau virtual force pada real displacement disebut virtual work (kerja maya). Virtual work dari gaya luar dan gaya dalam adalah sama.
Aplikasi untuk batang dengan beban aksial U1
U2 x
dx L
dx δ u
δ u +
d dx
δ u
Akibat beban aksial U, maka displacement pada suatu penampang x adalah u
Metode kerja maya (lanjutan) Internal virtual work pada batang tersebut adalah : δ W i
L
d
0
dx
= ∫ U
∫
(δ u )dx = U
L
0
d dx
(δ u )dx = U δ u = U (δ u2 − δ u1 )
External virtual work : δ W e
= U 2δ u2 − U 1δ u1 = U (δ u2 − δ u1 ) Diperoleh bahwa external dan internal virtual work adalah sama → merupakan prinsip virtual work
Metode kerja maya (lanjutan) Internal virtual work yang dinyatakan dalam bentuk tegangan dan regangan: U = σ A δε =
d
(δ u )
dx d (vol ) = A dx
maka: δ W i
=
∫ σ δε d (vol ) vol
Metode kerja maya (lanjutan) dari persamaan terakhir dapat digeneralisir bahwa internal virtual work adalah sama dengan energi elastik pada suatu struktur.
δ U s
= δ W e
Pada struktur dengan n beban nyata P i menyebabkan terjadinya tegangan σ. Bila pada struktur tersebut diberikan virtual displacement yang menyebabkan displacement δvi searah dengan arah beban maka persamaan menjadi:
∫
vol
n
σ (δε ) d (vol )
= ∑ Pi δ vi i =1
Metode kerja maya (lanjutan) Dengan cara yang sama, bila struktur dalam kondisi seimbang oleh beban maya δPi yang menyebabkan tegangan δσ , dikenai beban P i menyebabkan displacement vi di lokasi dan arah gaya maya, akan memberikan persamaan :
∫
vol
n
ε (δσ ) d (vol )
= ∑ vi δ Pi i =1
DEFLEKSI RANGKA BATANG (TRUSS) dengan prinsip VIRTUAL WORK
C P1
P2 (beban riel)
X 1 satuan (beban maya)
P3
Plane Truss (rangka batang bidang) dengan gaya riel P1, P2, P3 → akan dihitung defleksi vertikal pada titik X
Beban maya 1 satuan dikerjakan pada titik X (pada arah defleksi yang akan dihitung)
DEFLEKSI RANGKA BATANG (lanjutan) External virtual work yang dikerjakan oleh beban satuan adalah = 1× v Internal virtual work yang dikerjakan oleh gaya-dalam batang maya f i adalah = ∑ f i ∆li i
Persamaan virtual work menjadi : v = ∑ f i ∆li i
∆li adalah perubahan panjang setiap batang akibat gayabatang Fi (akibat gaya luar P i), diperoleh dari persamaan berikut :
∆li =
F i li
E Ai
DEFLEKSI RANGKA BATANG (lanjutan) Substitusi ke persamaan virtual work menjadi :
v=
1
∑ E i
F i f i li Ai
v = defleksi vertikal pada titik yang ditinjau Fi = gaya-dalam masing-masing batang akibat beban riel (beban luar) f i = gaya-dalam masing-masing batang akibat beban maya 1 satuan pada titik yang ditinjau li = panjang masing-masing batang Ai = luas penampang masing-masing batang E = modulus elastisitas batang
DEFLEKSI RANGKA BATANG (lanjutan) Jadi, tahapan menghitung defleksi pada struktur rangka batang (truss) adalah sebagai berikut (metode ini juga disebut dengan metode beban satuan) 1)
Hitung gaya batang akibat beban luar (beban riel) → Fi
2)
Beban luar diambil, kemudian pada titik yang ditinjau diberikan beban maya sebesar 1 satuan gaya pada arah defleksi yang akan dihitung. Selanjutnya hitunglah gaya batang akibat beban satuan tersebut → f i
3)
Gunakan rumus virtual work
v=
1
∑ E i
F i f i li Ai
Tabel Hitungan Defleksi Truss metode Beban Satuan No Batang i
Fi
fiX
Li
Ai
Fi . fiX . Li / Ai
1 2 . n
∑
Jumlah
F i f i li
i
Perpindahan pada titik X pada arah yang ditetapkan
v X =
1
∑ E i
Ai
F i f i li Ai
DEFLEKSI BALOK (BEAM) dengan prinsip VIRTUAL WORK Analogi pada plane truss, hitungan defleksi pada balok juga dilakukan dengan metode beban satuan. Hanya saja, external maupun internal force yang dihitung adalah momen lentur.
υ i
=∫
vol
My my EI I
d (vol ) =
=∫ 0
mM EI
dx
mM
∫ EI
2
0
L
υ i
L
dx
∫
A
2
y dA
Contoh 1: Menghitung rotasi di A ( θA) pada simple beam akibat beban terbagi rata q A
q
B
Prinsip Beban Satuan L
L
θ A
=∫ 0
M . m E . I
dx
Dengan : M adalah momen lentur dalam fungsi (x) akibat beban riel q. m adalah momen lentur dalam fungsi (x) akibat beban satuan (beban maya) berupa momen sebesar 1 satuan di titik A (karena rotasi selaras dengan momen).
Menghitung rotasi di A (lanjutan) x
Persamaan M(x) akibat beban q M(x)
x
m(x)
1
M ( x) = 12 q. L. x − 12 q. x = 12 q( L. x − x ) 2
Persamaan m(x) akibat beban 0 maya berupa momen 1 satuan di A m( x) =
L − x L
Substitusi ke persamaan θA diperoleh :
= 1−
x L
2
Menghitung rotasi di A (lanjutan) L
θ A
=∫ 0
=
M . m E . I
1
dx
L
EI ∫
1 2
q ( Lx − x )(1 − 2
0
=
q
L
2 EI ∫
( Lx − 2 x 2 +
0
= =
q
2 EI
1 2
x
1 qL3 24 EI
2 3
3
L
)dx
3
L
Lx − x + 2
x
1 2
)dx x
4
L
L
0
Contoh 2: Menghitung defleksi di tengah bentang pada simple beam akibat beban terbagi rata q
A
q
Prinsip Beban Satuan B
L
∆C
∆ C = ∫ 0
M . m E . I
dx
L
dengan : M adalah momen lentur dalam fungsi (x) akibat beban riel q. m adalah momen lentur dalam fungsi (x) akibat beban satuan (beban maya) berupa beban terpusat P sebesar 1 satuan di titik C (karena defleksi selarans dengan beban terpusat P).
defleksi di tengah bentang …. (lanjutan)
x
Persamaan M(x) akibat beban q
M ( x) = q. L. x − q. x = q( L. x − x ) 1 2
M(x)
x
1 2
2
1 2
P=1 1 4
Persamaan m(x) akibat beban maya P=1 di C →dibagi 2 bagian :
L
0 < x < 12 L
⇒ m( x) = 12 x
L < x < L
⇒ m( x) = 12 ( L − x)
1 2
2
defleksi di tengah bentang …. (lanjutan) Substitusi ke persamaan ∆C diperoleh : L
∆ C = ∫
M . m
0
=
E . I
1 EI
dx
1 L 2
∫
1 2
q( Lx − x )( 12 x)dx + 2
0
L
∫
EI 1 L 2
4
= 0,013021
1
qL
EI
atau =
5 qL4 384 EI
1 2
q ( Lx − x ) 12 ( L − x) dx 2
Contoh 3 P=2t q= 3 t/m A
30/70 (cm)
B
8m
C 4m
Hitung : a) Defleksi vertikal di C b) Rotasi di C Bila diketahui E = 2.000.000 t/m2 Dimensi ABC = 30/70 (cm)
(a) Penyelesaian menghitung ∆C Langkah 1 : susunlah persamaan momen lentur pada sepanjang ABC akibat beban riel P dan q (seperti gambar di atas) → menyusun M(x)
Σ MB = 0 → RA = 8 ton Σ MA = 0 → RB = 30 ton 2 2 Untuk 0 < x < 8 → M ( x) = R A x − 12 q x = 8 x − 1,5 x
Untuk 8 < x < 12 → M ( x) = R A x + R B ( x − 8) − 1 q x 2 = 38 x − 1,5 x 2 − 240 2
Langkah 2 : susunlah persamaan momen lentur pada sepanjang ABC akibat beban maya P = 1 satuan di C → menyusun m(x) P=1 B
A 8m
C 4m
Σ MB = 0 → rA = - 0,5 ton Σ MA = 0 → rB = 1,5 ton Untuk 0 < x < 8 →
m( x) = r A x = −0,5 x
Untuk 8 < x < 12 →
m( x) = r x + r ( x 8) = x 12
Langkah 3 : Gunakan persamaan untuk menghitung ∆C L
∆ C = ∫
M . m
0
= =
1
E . I
dx
8
∫
EI 0
(8 x − 1,5 x 2 )(−0,5 x ) dx +
1
12
∫
EI 8
(38 x − 1,5 x 2 − 240)( x − 12) dx
224 EI
Dengan (EI) = (2.000.000) x (1/12 x 0,3 x 0,73) = 17.150 diperoleh : 224 ∆ C = = 0,01306 m 17150
(b) Penyelesaian menghitung rotasi θC Langkah 1 : susunlah persamaan momen lentur pada sepanjang ABC akibat beban riel, menyusun M(x) → sama seperti kasus (a) Langkah 2 : susunlah persamaan momen lentur pada sepanjang ABC akibat momen = 1 satuan di C → menyusun m(x) B
A
C
8m m(x)
4m
1
Untuk 0 < x < 8 →
m( x) = 18 x
Untuk 8 < x < 12 →
m( x) = 1
1
Langkah 3 : Gunakan persamaan untuk menghitung θC L
θ C
=∫ 0
=
M . m E . I
1
dx
8
∫
EI 0
= dst ...
(8 x − 1,5 x 2 )( 18 x) dx +
1
12
∫
EI 8
(38 x − 1,5 x 2 − 240)(1) dx
