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LOSAS APOYADAS EN LOS BORDES. TIPOS DE LOSAS.
Figura 1. Tipos de losas estructurales. ������� �� ����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
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DISEÑO DE LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN. Diseño de Estructuras de Concreto. A. Nilson – G. Winter ) ( Diseño La acción estructural de una losa en una dirección puede visualizarse en términos de la deformación de la superficie cargada. La figura 2 ilustra una losa rectangular simplemente apoyada en la extensión de sus dos bordes largos opuestos y libres de cualquier soporte a lo largo de los dos bordes cortos. Si se aplica una carga uniformemente distribuida a la superficie, la forma deflectada será como la que indican las líneas sólidas. Las curvaturas y, en consecuencia, los momentos flectores son los mismos en todas las franjas que se extienden en la dirección corta entre los bordes apoyados, mientras que no se presenta curvatura y, por consiguiente, no existen momentos flectores para las franjas largas y paralelas a dichos bordes. La superficie que se forma es cilíndrica. Para efectos de análisis y diseño, una franja unitaria de tal losa, cortada formando ángulos rectos con las vigas de apoyo, como lo indica la figura 3, puede considerarse como una viga rectangular con ancho unitario, con una altura h igual al espesor de la losa y una luz 1, igual a la distancia entre los bordes apoyados. Esta franja puede analizarse mediante los métodos que se utilizaron para vigas rectangulares, calculando los momentos flectores para la franja con ancho unitario. La carga por unidad de área sobre la losa se convierte en la carga por unidad de longitud sobre la franja de losa. Puesto que todas las cargas sobre la losa deben transmitirse a las dos vigas de soporte, se concluye que todo el refuerzo debe colocarse formando ángulos rectos con estas vigas, con excepción de algunas barras que deben ubicarse en la otra dirección para controlar el agrietamiento por retracción de fraguado y temperatura. Una losa en una dirección puede considerarse entonces como un conjunto de vigas rectangulares una junto a la otra.
Figura 3. Forma deflectada de una losa en una dirección y cargada uniformemente. ������� �� ����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
Figura 2. Principio básico de la franja unitaria para el diseño a flexión. ������� �� ����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
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����� �. Espesores mínimos h para losas no pretensadas o postensadas en una dirección. Código ACI 318 – 2005.
Simplemente apoyadas Un extremo continuo Los dos extremos continuos En voladizo Nota: l ver en sección 8.7 del Código. Tabla válida para 9.5.2
l /20 /20 l /24 /24
/28 l /28 /10 l /10
= 4200 / ,ver sección
Métodos de análisis. Se puede analizar por medio de análisis elástico ACI 318 (8.3), excepto cuando se modifiquen de acuerdo con la sección 8.4 de la misma Norma. Recubrimientos, ver secciones 7.7.1 y 7.7.2 de la Norma (en general leer capítulo 7).
Tabla 2. Cuantías mínimas de refuerzo para temperatura y retracción en losas. (Diseño de Estructuras de Concreto. A. Nilson – G. Winter)
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(�.����������)���
�� �������� �� �.��%
El cortante rara vez controla el diseño de losas armadas en una dirección. Generalmente
> El espaciamientos de las barras de losas armadas en una dirección no debe ser mayor que 3Enℎ nilosasde 50armadas . en dos direcciones, el espaciamiento entre barras a flexión no debe exceder de 2 veces el espesor de la losa.
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����. ��. ���. ���� ���� �.
������ 4. ������� �� ������ �� ��� ���� ������ �� ��� ���������. ������� ��
����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
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DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA REDUCIR EL MOMENTO FLECTOR AL PARAMENTO. En el diseño de losas se puede reducir el momento flector al paramento de la respectiva viga de apoyo.
q 1 MR
M
1 b0 ������ �. ��������� ��� ������� ������� �� ���������.
: :Momento flector en el eje. Momento flector reducido al paramento de la viga de ancho Haciendo momentos en 1-1, se tiene:
= 2 − 2 4 − = 2 − − 8 Como 8 es de valor peque�o en comparaci�n con los otros t�rminos,se t�rminos, se puede puede despreciar: despreciar: Luego: = 2 −
�
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
COSTURAS EN MUROS O VIGAS PARALELAS A LA DIRECCIÓN DE LA ARMADURA PRINCIPAL.
Simbología Caso a
Caso b
fe
Caso a
L105 13 L101 12
L
L102 12
Losa armada en una dirección fe1
L/4
L/4 b0 L/4
L/4
L206 12
fe2 Losa armada en dos direcciones
������ �. ������ �� �����.
Caso a.Se debe colocar una armadura por la parte superior, igual o superior a armadura principal, en el lado corto).
0.30 (
Caso b.Se debe colocar una armadura por la parte superior, igual o superior a armadura principal, en el lado corto).
0.60 (
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LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES. D IRECCIONES. (Diseño de Estructuras de Concreto. A. Nilson – G. Winter)
/ 2
Cuando la relación entre los lados de la losa es menor que 2, empieza a tomar importancia la curvatura, también el momento flector en el sentido longitudinal y se comporta como una placa. Cualquier punto de la losa tiene curvatura en las dos direcciones principales, y puesto a que los momentos flectores son proporcionales a las curvaturas, también existen momentos en ambas direcciones. Para resistir estos momentos la losa debe reforzarse (armarse) en las dos direcciones, al menos por dos capas de barras perpendiculares con respecto a los dos pares de bordes. La losa debe diseñarse para tomar una parte proporcional de la carga en cada dirección. El tipo más simple de losa con acción en dos direcciones se muestra en la figura de abajo:
: carga por unidad de supericie
vigas r�gidas de HA vigas de acero muros ������ �. ���� ������ �� ��� ����������� ����� ������ �� ������ �������� ( �) ������� �� �� ������ ������� �� �� ����� ( �) ������ ��������� �� �� ����. ������� ��
����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
Los mayores momentos ocurren donde la curvatura es más aguda. En la figura 5b se advierte que esto ocurre para el centro de la luz de la franja corta . Supóngase que la carga se incrementa hasta que esta sección se ve sobreesforzada, de manera que el acero del centro de la franja está en fluencia. Si la franja fuera una viga aislada, esta condición significaría la falla. Sin embargo, al considerar la losa como un todo se observa que no se presentará una falla inmediata. Las franjas vecinas (tanto las paralelas como las perpendiculares ), al ser en realidad monolíticas con ella, van a tomar la fracción de cualquier carga adicional que la franja , no pueda soportar, hasta que ellas a su vez empiecen a fluir. Esta redistribución inelástica continuará hasta que, en un área relativamente grande de la porción central de la losa, todos los aceros en ambas direcciones estén en fluencia; solamente entonces se presentará la falla de toda la losa. A partir de este razonamiento, demostrado con ensayos, se concluye que las losas no necesitan diseñarse para el máximo momento absoluto en cada una de las dos direcciones (como el valor de en el ejemplo del párrafo anterior), sino únicamente para un momento promedio
0.048
�
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
menor en cada una de las dos direcciones en la porción central de la losa. Por ejemplo, uno de los métodos analíticos de uso general permite diseñar la anterior losa cuadrada para un momento de . En comparación con el momento máximo elástico real de 0.048 wp, se observa que se logra una reducción del 25% en el momento gracias a la redistribución inelástica. El mayor momento en la losa se presenta en el centro de la luz de la franja cortas de la figura 5b Es evidente que la curvatura, y por tanto el momento, en cualquier punto de la franja corta es menor que en el sitio correspondiente de la franja . En consecuencia, se presenta una variación del momento de la luz corta en la dirección larga de la luz; esta variación se ilustra cualitativamente en la figura 6. El diagrama de momentos de la luz corta de la figura 6a es válido sólo a lo largo de la franja central en 1-1. Para otras secciones, el valor del momento máximo es menor, como aparece. Las otras ordenadas de momento se reducen en forma proporcional. De igual modo, el diagrama de momentos de la luz larga de la figura 6b es aplicable únicamente en la línea central longitudinal de la losa; para otros sitios las ordenadas se reducen de acuerdo con la variación presentada. Estas variaciones en el momento máximo a través del ancho y del largo de una losa rectangular se tienen en cuenta en forma aproximada en la mayor parte de los métodos prácticos de diseño que se realizan para un momento reducido en la cuarta parte exterior de la luz de la losa en cada dirección.
0.036
������ �. �������� � ����������� �� ��� �������� �� ��� ���� ��������� ������������� ��� ������ ������� �� ��� ������ �����.
������� �� ����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
�
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS. Métodos de rotura. Basados en la teoría de la plasticidad. Suponer que el material se comporta como un cuerpo rígido – plástico perfecto. Métodos clásicos. Basados en la teoría de la elasticidad. Suponer que el material es homogéneo e isótropo y se comporta linealmente. Mediante los métodos clásicos, se obtienen con gran aproximación los esfuerzos en el estado de servicio, a partir de los cuales puede elegirse la distribución de las armaduras en las distintas zonas de las de la placa (losa) que resulta más adecuada en orden al buen comportamiento en servicio de la misma. Entre los métodos clásicos podemos nombrar los siguientes: - Solución de la Ecuación Diferencial de la Placa. (Ec. De Lagrange) - Solución numérica por el Método de Diferencias Finitas. - Método de Elementos Finitos. En el caso de losas (placas) complicadas (distintos espesores, condiciones variadas de apoyo, huecos, etc. - Métodos simplificados: Método de las franjas (desarrollado originalmente por Marcus). Método del ancho eficaz para cargas concentradas. Cálculo aproximado de esfuerzos en placas continuas.
Observación: La determinación precisa de los momentos en losas armadas en dos direcciones, según varias condiciones de continuidad en los bordes soportados, es matemáticamente muy compleja y no es adecuada para la práctica de diseño.
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
MÉTODO DE LAS FRANJAS. Veamos en primer lugar los tipos de losas:
lb : borde simplemente apoyado : borde empotrado o con continuidad
la
������ 10. ����� �� �����.
Considérense las franjas de losa de igual ancho y que se cruzan ortogonalmente en el centro del tramo. Si la placa (losa) está empotrada en dos lados contiguos, se tiene:
2 2 = 384 ; = 384 = , luego luego de = ⟹ = Para el apoyo de la figura:
lb la
lb la
2 5 = 384 ; = 384 = 5 2 + 5
Y para el apoyo que se indica, se tiene:
1 = 384 = 5 ⟹ y
lb la
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
5 = + = + 5 ∗ = ; ∗ =
∴ de acuerdo al caso y/o : coeficientes de momento flector según el caso (tipo de apoyos paralelos). la lb
qb
q qa ������ 11.
= 5 = 384 5 = 384 Luego: = ⟹ = + = Si la losa es cuadrada = = /2 Si sólo hubiera flexión: Momento máximo para cada franja:
/2 /2 ∙ = 0.0625 8 La teoría exacta de flexión de placas elásticas demuestra que el momento máximo de esta losa cuadrada es:
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
0.aproximadamente 048 (los momentos de torsión disminuyen los momentos flectores en un 25%) valor que puede llegar a 0.036 considerando el efecto de redistribución inelástica.
Tomando en cuenta los momentos de esquina, que disminuyen los momentos de vano, se tiene:
∗ ∗ 5 = 1 − 6 ∗ ∗ 5 = 1 − 6
= 18 Momentos de vano = 18
∗ ∗:Momentos lectores en direcci�n a y b respectivamente. ∗ ∗ = ; = :Coeicientes de los momentos lectores que dependen del tipo de apoyo. + =
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
TABLAS PARA EL CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE LOS MOMENTOS FLECTORES. Existen en la literatura especializada diferentes textos que tienen tablas que permiten determinar los coeficientes para el cálculo de los momentos flectores. También hay que destacar la tabla del Profesor Ingeniero Augusto Lucero Fiegehen, que permite el cálculo de los momentos sólo de vano. Tablas: -
Prof. Ing. Augusto Lucero F. ACI 318-63. Libro de Nilson y Winter. Libros de Hormigón Armado de Löser y Soliger. Manual: Beton Kalender. Etc. ANÁLISIS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS COEFICIENTES.
Método del Código ACI 318-61 (desarrollado originalmente por Marcus), se utiliza para losas soportadas en los bordes por vigas de acero, vigas monolíticas de Hormigón Armado y muros. ( Diseño Diseño de Estructuras de Concreto. A.Nilson – G. Winter )
ℎ ≥ 3ℎ
= =
Momentos lectores enen laslas franjas centrales dos direcciones.
Donde:
y :: carga coeficientes de momentos flectores. uniforme Ton/m � Kg/m y : longitud de la luz libre en la dirección corta y larga respectivamente.
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
������ 12. ������������ ���� �������� ��������� � � �����. ������� �� ����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
������ 13. ������������ ���� �������� ��������� ������� � ����� ������ �� �����. ������� �� ����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
������ 14. ������������ ���� �������� ��������� ������� � ����� ���� �� �����. ������� �� ����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
������ 1�. �������� �� �� ����� � ���� �������� � � �������� �� �� ���� � ��� ������ �� ��� ������. ������� �� ����������� �� ��������� �� ������ � �� �������
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
LOSAS CONTÍNUAS CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA. REPARTIDA.
=+
Cálculo aproximado de los momentos máximos y mínimos de tramos para la posición más desfavorable de la sobrecarga . Se utiliza método aproximado para losas de un tramo. : carga total. : peso propio. : sobrecarga. sobrecarga.
= + 12 = ; = + /2 = 12 = ; = − /2 + = 1 ; = + ′
Se descompone en:
Tramos iguales: Método aproximado para una viga continua de 3 tramos iguales (luces iguales). El método se puede aplicar a cualquier número de tramos.
′
a) Se carga con toda la viga: Se supone que la línea elástica sobre los apoyos interiores tiene tangentes horizontales.
= + 12
′ = 1289 ′
′ = 241 ′
′ = 1289 ′
������ 1�. ���� �������� �� 3 ������ ������������ ��� ����� ������������� �����������. �������������
�
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
′′
b) Se carga con toda la viga, pero alternando por tramo el sentido de la carga. Para el ejemplo, hacia abajo en tramos exteriores y hacia arriba en el central.
′′
Se supone que la línea elástica es la de una viga simplemente apoyada.
= 12
′′
′′
′′ = 18 ′′ ′′
′′ = 18 ′′ = − 18 ′′
′′
������ 1�. ���� �������� �� 3 ������ ������������ ��� ����� ������������� �����������, ���� ���������� ��� ����� �� ������� �� �� �����.
Sumando tramo a tramo, se tiene: Tramos exteriores:
� = ′ + + ′′ = 14.′82 + 8′′ Tramo interior: � = ′ + ′′ = 24′ − 8′′ Nota: 1. Para obtener � y � , ′′ se dispone en los tramos en sentidos contrarios a los considerados. 2. El procedimiento aproximado sigue el mismo camino que el cálculo exacto al cargar con en forma alternada la viga continua. No olvide que es inherente a la estructura. ��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
Para losas continuas con armadura cruzada (en
dos sentidos), los momentos alcanzan valores límites, cuando la sobrecarga se dispone en forma similar a un tablero de ajedrez, cargando todos los cuadros blancos o todos los negros.
P1)Para P1) Para este tipo de losas el procedimiento es el siguiente: Momentos de tramos: Se determinan los momentos de tramos, primero para la carga , suponiendo empotramiento perfecto para todos los apoyos interiores y después para la carga , suponiendo simple apoyos en todos sus lados. Por último se forman algebraicamente los momentos.
′
�′′ : � = ′ ′ + + ′′ ; � = − ′′ Dirección :� − ′′ Dirección : � = ′ + ′′ ; � = , , : de tabla para losas, simplemente apoyada en sus cuatro bordes. , : de tablas para losas según el tipo de apoyo de su disposición (se supone que sus bordes o lados interiores están empotrados perfectamente).
Momentos de apoyos: Estos momentos, suponiendo carga total , serán:
Direcci�n x ∶ = − ; Direc Direcci� ci�nn y ∶ = − donde puede ser: 8,10 ó 12. Nota: Si sobre un apoyo interior convergen 2 tramos de diferente tipo de apoyo (en tablas por ej. 4 y 5), el momento de empotramiento deberá determinarse para el tramo de número mayor (ej. 5), ya que, produce la carga parcial mayor. Tramos desiguales: El procedimiento indicado se puede utilizar siempre que la luz menor no sea inferior a 0.80 de la luz mayor. Para determinar los momentos de apoyos use la semisuma de las luces contiguas. En caso de mayor desigualdad de luces entre el tramo menor y el mayor, use el siguiente procedimiento: 1. Descomponga y en sentido e , para tal efecto utilice las tablas entregadas 2. Determinar los momentos máximos y mínimos para las posiciones más desfavorables de estas cargas y determine las armaduras para los momentos máximos. Nota: En este caso no se utilizan los coeficientes reductores . 3. Para la determinación de los momentos máx. calcule las correspondientes vigas continuas en sentido e , con las combinaciones de las cargas mencionadas.
∶ y ; ∶ y
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
P2)Método P2) Método aproximado de Pieper y Martens. Momentos de tramos:
= ; =
Donde:
, : momentos de tramos. , : coeficientes de momentos ( ).
fuerzas de corte internas y fuerzas de apoyo en
losas cruzadas
Para el caso de 2 losas pequeñas contiguas a una losa grande, utilizar para el cálculo de los momentos las tablas 5.12 a, b, c y d. Mediante su uso, se determinan los momentos positivos de ambas losas y el de apoyo entre ellas. Los momentos de la losa más grande se determinan mediante el procedimiento general dado por Pieper y Martens. Momentos de apoyos:
∶ ≤ 5 ∶ 1 + = 2 ≥ 0.75 � Si ∶ > 5 ∶ 1 = � El valor de se determina por: Si
puede ser y (en ambos sentidos) para se usa para se usa
= P3)Procedimiento P3) Procedimiento práctico.
1. Utilice la tabla que se adjunta (elaborada por Ingenieros chilenos), para el cálculo de los momentos positivos (de tramos). No considere posiciones desfavorables de sobrecarga, la tabla las tiene incorporadas. 2. Para el cálculo de los momentos de apoyo descomponga , en , trace las vigas continuas correspondientes y solicítelas con las cargas indicadas (tantas vigas como sea necesario para determinar todos los momentos de apoyo en e ).
y
=+
��
������� �� �������� ������ ��
����. ��. ���. ���� ���� �.
3. Diseñe las armaduras para los momentos correspondientes. Nota: Para los procedimientos indicados (P1, P2 y P3) puede diseñar las armaduras con el Método Clásico de tensiones admisibles o con el Método de Rotura. No olvide mayorar las cargas o momentos cuando diseñe en rotura. FUERZAS DE APOYO DEBIDO A LOSAS CRUZADAS. Las losas cruzadas descargan en sus bordes (en el caso de losas rectangulares o cuadradas), mediante cargas triangulares para el lado corto o menor de la losa y trapecial para el lado largo o mayor. Las descargas ya sean triangulares o trapeciales son distintas y dependen del tipo de apoyo de la losa individualmente. ( Ver: Fuerzas de apoyos de losas con armadura cruzada). Procedimiento práctico. Trabajar con cargas triangulares o trapeciales sobre las vigas de borde de las losas, principalmente con distintos ángulos de variación de carga es engorroso y poco práctico. Para evitar su laboriosidad, propongo trabajar con cargas triangulares y trapeciales isósceles (ángulos en la base de 45º), este procedimiento es más rápido y el error no es significativo. No obstante, se puede simplificar aún más el cálculo, si en vez de trabajar con las cargas triangulares y trapeciales isósceles, se utilizan (reemplazan) por cargas uniformes desde el punto de vista que den el mismo momento flector para la disposición apoyado – apoyado. Cargas uniformemente equivalentes
lado corto menor = 3 3 − lado largo mayor = 3 2
= 45�
������ 1�. �������� �� ����� �������� � ������ �� ������ ������������ � ����������� ���������.
��