Tema 6: INTEGRACIÓN • Integrales indefinidas • Algunas integrales inmediatas • Integración por partes • Cambio de variable. Integración por sustitución. • Integración de funciones racionales
INTEGRAL INDEFINIDA • Cada función F(x): (a,b) →ℜ que verifica F’(x) = f(x) ∀x∈(a,b) se dice que es una Función Primitiva de f(x) en (a,b). Teorema Fundamental del Cálculo Integral Dadas dos primitivas de una misma función f, F1(x) y F2(x), en un intervalo (a,b), éstas se diferencian en una constante: F1(x) = F2(x)+C ∀x∈(a,b) Definición • Al conjunto de todas las funciones primitivas de una función f(x) (F(x)+C) se le llama Integral INDEFINIDA de f(x) y se denota como f(x)dx = F(x) + C
ALGUNAS INTEGRALES INDEFINIDAS kdx = kx + C
senxdx = − cosx + C
x p +1
∫ x dx = p + 1 + C, p ≠ −1 p
1
∫ x dx = lnx + C e dx = e + C x
x
ax
∫ a dx = lna + C x
cosxdx = sen x + C
∫ ∫
1 1− x
2
dx = arcsenx + C
−1 2 dx = arccosx + C 1− x 1
∫ 1+ x
2
dx = arctagx + C
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 1.
d
f ( x)dx= f ( x), d ∫ f ( x)dx= f ( x) ∫ dx d
2.
∫ dxF ( x)dx= F ( x) +C , ∫dF ( x)dx= F ( x) +C
3.
∫[ f ( x) ±g( x)±...±h( x) ]dx = ∫ f ( x)dx±∫ g( x)dx±...±∫h( x)d
4.
∫ kf ( x)dx=k ∫ f ( x)dx
INTEGRALES REDUCIBLES A INMEDIATAS f(x) p +1
∫ f(x) f'(x)dx = p + 1 p
+ C, p ≠ −1;
e
f'(x)dx = e
f(x )
f(x )
+ C;
f'(x)
f'(x)senf(x)dx = − cosf(x) + C
f'(x)dx
f'(x)cosf(x)dx = senf(x) + C
∫ f(x) dx = lnf(x) + C; ∫ cos f(x) = tgf(x) + C; 2
∫a ∫
f'(x)dx =
f(x )
f'(x)
a f(x ) ln a
+ C;
∫
f'(x) 1 − f(x)
2 dx = arctagf(x) + C; 1 + f(x)
∫
2
dx = arcsenf(x) + C
−f'(x) 2 dx = arccosf(x) + C 1 − f(x)
INTEGRACIÓN POR PARTES Dadas dos funciones u(x) y v(x) derivables, con primera derivada continua, entonces: u(x)v'(x)dx = u(x) v(x) − v(x)u'(x)dx
Si u=u(x) y v=v(x), se verifica du=u’(x)dx y dv=v’(x)dx. De aquí, (1) puede escribirse como udv = u.v −
vdu
INTEGRALES RACIONALES Estas integrales tienen la forma ∫ P(x) dx siendo P(x) y Q(x) dos polinomios Q(x) Pasos: 1. El grado de P(x) debe ser menor que el grado de Q(x). Si grad(P(x))≥grad(Q(x)), los dividimos, es decir P(x) c(x)Q(x) + R(x) Q(x)
=
Q(x)
= c(x) +
R(x) Q(x)
con grad(R(x))
2. Si grad(P(x))
Descomposición: b.1.
P(x)
P(x)
1
A
B
C
⎢ ⎥ + + Q(x) a o (x − α 1 )(x − α 2 )(x − α 3 ) a o ⎣(x − α1 ) (x − α 2 ) (x − α 3 )⎦
b.2. P(x)
Q(x) b.3.
=
=
a o (x − α 1 )(x − α 2 )
P(x) Q(x) 1⎡
⎢
P(x)
=
=
3 =
1
A
B
P(x)
a o (x − α 1 )(x − α 2 ) [(x − a) + b ]
A
2
+
B
+
C
D
⎢ ⎥ + + 2+ 3 a o ⎣(x − α1 ) (x − α 2 ) (x − α 2 ) (x − α 2 ) ⎦
2
C
a o ⎣(x − α1 ) (x − α 2 ) ( x − α 2 ) 2
+
2
=
Mx + N ⎤
⎥
(x − a) 2 + b 2 ⎦
OTRAS INTEGRALES
∫ ax
1
2
+c
dx;
∫ ax
1 2
+ bx
dx;
∫ ax
2
1
+ bx + c
dx
1. .Cuando ax2+bx+c=0 tiene raices reales, se descompone como en el caso anterior 2. Si ax2+bx+c=0 no tiene raices reales, el denominador puede transformarse en una expresión como (mx n)2 p identificando los coeficientes con esta expresión 3. Dividimos numerador y denominador por p. 4. La integral se transforma, ajustando con constantes, en una de las integrales inmediatas ya estudiadas, por ejemplo ∫ 2 1
dt t +1
INTEGRALES DE LA FORMA
mx + n
∫ ax
2
+ bx + c
dx
1. Cuando ax2+bx+c=0 tiene raices reales, se descompone como en el caso previo 2. Si ax2+bx+c=0 no tiene raices reales, la integral se transforma, por medio de un cambio de variable en una integral de la forma B
2ax + b
∫ ax
2
+ bx + c
dt +
∫ ax
A 2
+ bx + c
dt = Bln(ax + bx + c) +
an integral of the previous case
2
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE R(a ,x)dx ⇒ x
a = t → xloga = logt x
∫ R(e ,x)dx ⇒ e = t → x = logt ⇒ logx = t → x = e ∫ R(log x,x)dx ⇒ arctg x = t → x = tgx ∫ R(arctgx,x)dx ⇒ arcsenx = t → x = senx ∫ R(arcsenx,x)dx ⇒ arccosx = t → x = cosx ∫ R(arccosx,x)dx x
x
x
m
p
r
⎛ax + b ⎞ n ⎛ax + b ⎞ q ⎛ax + b ⎞ s ∫ R(x,⎜⎝cx + d ⎠⎟ ,⎜⎝cx + d ⎠⎟ ,...,⎜⎝cx + d ⎠⎟ )dx ⇒ ⎛ax + b ⎞ ⎜ ⎟ = t M; M = m.c.m.(r,q,...,s) ⎝cx + d ⎠
∫ R(senx,cos x)dx ⇒ Si R(−senx,cos x) = R(senx,cosx) (Impar en seno) ⇒ cambio t = cos x, sen x = 1 − t ;
dx
cambio t = sen x, cos x = 1 − t 2 ;
dx
2
=
−dt 1 − t2
=
dt
dt Si R(senx, −cos x) = R(senx,cosx) (Impar en coseno) ⇒ dt 1− t Si R(−senx,− cosx) = R(senx,cos x) (Par en seno y coseno) ⇒ cambio t = tg x, sen x =
t 1+ t
; cos x = 2
2
1 dx dt = ; 1 + t 2 dt 1 + t 2
Cambio general : x
2t
1 − t2
dx dt = = t = tg , sen x = ; cos x ; 2 2 2 2 1 + t 1+ t dt 1 + t
