SOAL-SOAL DAN PEMBAHASAN KONTINUITAS
A. KONTINUITAS No. 1.
Soal Tentukan apakah fungsi berikut kontinu pada x = 1
Jawab
Jadi fungsi f fungsi f ( x) x) tidak kontinu (diskontinu) di x di x = = 1
1
2.
Tentukan apakah fungsi berikut adalah kontinu pada x = -2
Jadi fungsi f ( x) tidak kontinu (diskontinu) di x = -2
3.
Tentukan apakah fungsi berikut adalah kontinu pada x = 0
Jadi fungsi f ( x) kontinu pada x = 0
2
4.
Apakah fungsi h( x)
Fungsi h tidak didefinisikan pada x = -1 karena menyebabkan pembagian sama dengan nol Dengan demikian, h(-1) tidak ada.
kontinu di x = -1 5.
Periksa apakah fungsi berikut kontinuitas pada x = 3 dan x = -3.
.
Kondisi h(-1) dilanggar, dan fungsi h( x) diskontinu di x = -1. Pakai aturan :
3
Jadi fungsi f ( x) kontinu di x = 3. Bagaimana dengan f ( x) di x =
6.
Untuk nilai x yang manakah fungsi
3 ? Cari sendiri ya !
akan kontinu untuk semua nilai x jika penyebut maka
kontinu.
Jadi
karena jika
akan kontinu jika
No.
kesimpulan
1.
−6
kontinu
2.
−5
kontinu
4
,
7.
Untuk nilai x yang mana, fungsi
3.
−4
diskontinu
4.
−3
kontinu
5.
−2
kontinu
6.
−1
kontinu
7.
0
kontinu
8.
1
diskontinu
9.
2
kontinu
10.
3
kontinu
11.
4
kontinu
kontinu. 8.
Tentukan nilai x dari fungsi
Pertama, bayangkan g( x) sebagai fungsi dengan menggunakan komposisi fungsional Misal f ( x) = x1/3 ,
kontinu.
5
dan
k ( x) = x20 + 5.
Fungsi k ( x) kontinu untuk setiap nilai x karena k polinomial, dan fungsi-fungsi f dan h juga kontinu untuk setiap nilai x. Sehingga komposisi fungsi
dan
kontinu untuk setiap nilai x. Karena
Maka, fungsi g kontinu untuk setiap nilai x.
9.
Untuk nilai x yang mana fungsi
Misal g ( x) = x2 - 2 x yang kontinu untuk setiap nilai x , karena polinomial, dan
kontinu. yang kontinu untuk
6
Karena g ( x) = x2 - 2 x = x( x-2) maka mudahlah bahwa
untuk
dan
Jadi,
kontinu untuk x ≤ 0 dan x ≥ 2. Sehingga, fungsi f
kontinu untuk x ≤ 0 dan x ≥ 2.
7
10.
Untuk nilai x yang mana fungsi
Ambil,
kontinu. dan
Karena g adalah hasil bagi dari polinomial y = x-1 dan y = x +2, maka fungsi g kontinu untuk semua nilai x KECUALI x +2 = 0, yaitu, KECUALI untuk x = -2. Fungsi h disebut kontinu untuk x> 0. Karena
maka g( x) > 0 untuk x < -2 dan x > 1. Dengan demikian, komposisi fungsi
kontinu untuk x < -2 dan x > 1. Sehingga fungsi f
8
kontinu untuk x < -2 dan x > 1.
11.
Untuk nilai x yang mana fungsi
Pertama, nyatakan fungsi f dengan menggunakan komposisi fungsi. Misalkan
dan
, yang keduanya dikenalkan untuk kontinu untuk semua nilai x. Dengan demikian, pembilang
kontinu (komposisi fungsional dari fungsi-fungsi yang kontinu) untuk semua nilai x.
kontinu.
Sekarang perhatikan penyebut
. Ambil
dan
. Fungsi-
fungsi g dan h kontinu untuk semua nilai x karena keduanya adalah polinomial, dan itu baik-diketahui bahwa fungsi k kontinu untuk maka mudah bahwa
. Karena
untuk
untuk x = 3 atau x = -3,
dan
(komposisi fungsional dari fungsi kontinyu) untuk
, sehingga dan
kontinu (perbedaan dari fungsi kontinyu) untuk
kontinu
. Dengan demikian, penyebut dan
. Ada satu
pertimbangan penting lainnya. Kita harus memastikan bahwa PENYEBUT PERNAH NOL. Jika
Maka
9
Kuadratkan kedua ruas, didapatkan 16 = x2 - 9 x2 = 25 dimana x = 5 atau x = -5 . Dengan demikian, penyebutnya adalah no l jika x = 5 atau x = -5. Kesimpulan, hasil bagi dari fungsi-fungsi kontinu,
, adalah kontinu untuk 12.
Untuk nilai x yang mana fungsi
dan
, tapi TIDAK KONTINU untuk x = 5 dan x = -5.
Perhatikan secara terpisah ketiga komponen fungsi-fungsi yang ditunjukkan f . Fungsi
kontinu untuk x > 1 karena merupakan hasil bagi dari fungsi-fungsi kontinu dan penyebut tidak pernah nol. kontinu.
10
Fungsi y = 5 - 3 x kontinu untuk
karena polinomial. Fungsi
kontinu untuk x < -2 karena merupakan hasil bagi dari fungsi kontinu dan penyebut tidak pernah nol. Sekarang periksa kontinuitas f dimana ketiga komponen digabungkan bersamaan, yaitu, dengan memeriksa kontinuitas pada x = 1 dan x = - 2. Untuk x = 1 fungsi f didefinisikan ketika f (1) = 5 - 3(1) = 2. Limit kanan
=
(Hindari bentuk tak tentu salah satu cara dari dua cara faktor pembilang diubah sebagai faktor kuadrat., Atau kalikan dengan konjugat dari penyebut terhadap dirinya sendiri.)
11
=2. Limit kiri
= = 5 - 3(1) =2. Sehingga,
. Karena
12
ketiga kondisi terpenuhi, dan fungsi f kontinu pada x = 1. Sekarang memeriksa kontinuitas pada x = -2. Fungsi f didefinisikan pada x = -2 ketika f (-2) = 5 - 3(-2) = 11. Limit kanan
= = 5 - 3( -2) = 11. Limit kiri
=
= -1 . Karena limit kiri ≠ Limit kanan, maka
13
TIDAK ada, kondisi tersebut menyebabkan fungsi f TIDAK kontinu pada x = - 2. Disimpulkan fungsi f kontinu untuk setiap nilai x KECUALI x = -2.
13.
14
