SADRŽAJ SADRŽAJ......................................................................................................................................................... 1 UVOD ............................................................................................................................................................. 2 ORTOGONALNOST I ORTOGONALNI KOMPLEMENT ..................................................................................... 3 ZAKLJUČAK................................................................................................................................................... 10 LITERATURA ................................................................................................................................................. 11
UVOD Funkcionalna analiza predstavlja alat za rješavanje raznih oblika jednačina, prevashodno onih u kojima se nepoznata pojavljuje kao funkcija. Na primjer,želimo naći takvu funkciju f = f(x), koja za svako x ∈ [0, 1] zadovoljava jednačinu ( ) ( ) = cos x . f(x) −∫ Ovo je primjer linearne jednačine po nepoznatoj f u kojoj je lijeva strana funkcija funkcije f za koju kažemo da je funkcional koji djeluje na funkciju f. Naravno, možemo posmatrati i jednačinu oblika f(x) −∫
(
)
()
= cos x .
u kojoj sada lijeva strana definiše nelinearan funkcional. Veliki broj jednačina u analizi i linearnoj algebri rješavamo na način da pronademo rješenje kao broj ili skup brojeva koji uvršteni u neku datu funkciju čine je nulom ili joj odreduju maksimalnu ili minimalnu vrijednost. Zbog toga u analizi i linearnoj algebri izučavamo sve vrste funkcija definisanih na Rn i Cn, tj. na konačnodimenzionalnim linearnim vektorskim prostorima nad realnim ili kompleksnim poljem skalara. Većina stvari u tim izučavanjima su bile olakšane činjenicom da je ograničen zatvoren skup u Rn i Cn kompaktan, tako da je ograničen niz uvijek imao konvergentan podniz. Druga olakšavajuća okolnost je bila ta da je linearno preslikavanje u tim prostorima uvijek neprekidno. U beskonačnodimenzionalnim slučajevima stvari izgledaju ”nešto” druga čije. Za rješavanje jednačine, npr. gornje integralne jednačine, kao prvo nam treba neki ”zgodan” normiran prostor u kome ćemo tražiti rješenje. Vidjet ćemo da su mogući mnogi različiti načini definisanja norme funkcije, koji će voditi ka različitim funkcionalnim prostorima koji će imati ili nemati neke korisne osobine kao što su separabilnost, kompletnost, kompaktnost, refleksivnost i dr. Na ovaj način uvest ćemo novu teoriju, funkcionalnu analizu, ali ”samo” linearni slučaj, u kojoj su analiza i linearna algebra spojene na jednom višem nivou.
2
ORTOGONALNOST I ORTOGONALNI KOMPLEMENT DEFINICIJA 1. Neka je H Hilbertov prostor. Za vektore x, y ∈ H kažemo da su ortogonalni ako i samo ako je (x, y) = 0. Tada pišemo x ⊥ y. Ako je fiksan element x ∈ H ortogonalan na svaki vektor skupa S ⊂ H, kažemo da je x ortogonalan na S i pišemo x ⊥ S. Ako je svaki vektor skupa S1 ⊂ H ortogonalan na svaki vektor skupa S2 ⊂ H, kažemo da su skupovi ortogonalni i pišemo S1 ⊥ S2. Za proizvoljan S ⊂ H, uvodimo oznaku S⊥ = {x ∈ H| (∀ u ∈ S) x ⊥ u} . Sljedećim tvrdjenjem dajemo neke jednostavne karakteristike ortogonalnosti. LEMA 1. Neka je H Hilbertov prostor i x, yn ∈ H (n ∈ N). 1. Neka je x ⊥ y1 i x ⊥ y2. Tada za proizvoljne a, b ∈ Φ vrijedi x ⊥ ay1 + by2. 2. Neka je x ⊥ yn (n ∈ N) i neka yn → y0 (n → ∞). Tada vrijedi x ⊥ y0. 3. Ako je x ⊥ S, tada je x ⊥ ̅̅̅̅̅̅ ( ). TEOREM 1. (PITAGORINA TEOREMA). Neka je H Hilbertov prostor. Ako su x, y ∈ H ortogonalni, tada vrijedi ‖
‖ =‖ ‖
‖ ‖
Dokaz: Neka su x, y ∈ H, ortogonalni. Iz jednakosti : 3
llx + yll 2= llxll 2+ (x, y) + (y, x) + llyll2 a na osnovu ortogonalnosti vektora imamo llx + yll 2= llxll 2+ (x, y) + (y, x) + llyll2 = llxll2 + 0 + 0 + llyll2 = llxll2 + llyll2 . LEMA 2. Ortogonalni komplement proizvoljnog podskupa Hilbertovog prostora H je potprostor od H. Dokaz : Zaista, neka je A ⊆ H i neka su x, y ∈ A⊥ i λ, μ ∈ Φ proizvoljni. Tada je za proizvoljan z ∈ A (λ x + μy, z) = λ (x, z) + μ(y, z) = 0 , tj. λ x + μy ∈ A⊥ , odnosno A⊥ je linearan vektorski prostor. Neka je sada (yn)n∈ N ⊂ A⊥ proizvoljan konvergentan niz. Neka je y tačka konvergencije tog niza. Tada za proizvoljno x ∈ A, na osnovu neprekidnosti skalarnog proizvoda imamo (x, y) = (x,
)=
∞
∞(
)= 0 .
Dakle y ∈ A⊥ , pa je A⊥ zatvoren skup, a to onda znači da je on potprostor od H. DEFINICIJA 2. Neka je S podskup od H, pri čemu je H Hilbertov prostor. Za S kažemo da je konveksan skup ako vrijedi: (∀ u, v ∈ S)(∀ λ∈ [0, 1]) λu + (1 − λ)v ∈ S .
TEOREM 2. Neka je S ⊆ H konveksan i zatvoren skup. Tada (∀ x0 ∈ H)(∃ y0 ∈ S) d(x0, S) = llx0 − y0ll . Dokaz : Neka je S ⊆ H konveksan i zatvoren skup i x0 ∈ H proizvoljan. Označimo d(x0, S) =
∈
(
)=
∈
‖
‖=d. 4
Na osnovu definicije infimuma, u S postoji niz (yn)n∈ N, takav da llx0 – ynll → d (n → ∞). Neka su m, n ∈ N, posmatrajmo elemente yn − x0, ym − x0 ∈ H i kako je H Hilbertov prostor, to za ove elemente vrijedi relacija paralelograma, tj. llyn + ym − 2x0ll2 + llyn − ymll2 = 2llyn − x0ll2 + 2llym − x0ll2 , što je ekvivalentno sa 4ll
– ⏟
ll2+ llyn − ymll2 = 2llyn − x0ll2 + 2llym − x0ll2 .
S obzirom da je po uslovu zadatka S konveksan skup, to je y ∈ S, pa vrijedi 4ll x0- ll2 + llyn − ymll2 ≥4(
∈
‖
‖ ) +llyn – ymll2 .
odnosno, 4ll x0- ll2 + llyn − ymll2 ≥4
+llyn – ymll2 .
Iz posljednje dvije nejednakosti dobijamo 2ll yn-x0ll2 +2 llym – x0ll2 - 4
≥ llyn – ymll2 .
Puštajući da m, n → ∞, zaključujemo da llyn − ymll → 0, a to znači da je (yn)n∈ N Cauchyev niz u S ⊆ H, i kako je H Hilbertov prostor, tj. kompletan, to je ovaj niz konvergentan. Dakle, postoji y0 ∈ H, takav da yn → y0 (n → ∞). Osim toga, zbog zatvorenosti skupa S je y0 ∈ S. Sada je d = d(x0, S) =
∈
‖
‖=
∞‖
‖= llx0 −
∞
ll = llx0 − y0ll.
Ostaje da pokažemo da je ovakav element jedinstven. Pretpostavimo da postoje y0, y0 ∈ S, takvi da je d(x0, S) = llx0 − y0ll i d(x0, S) = llx0 – y0 ll . Kako je S konveksan skup, to za svako λ ∈ [0, 1] vrijedi λ
+ (1 − λ) y0 ∈ S i pri tome je
llx0 –(λy0 + (1 − λ) y0 ) ll ≥ d = d(x0, S) . Sada imamo d ≤ llλx0 + (1 − λ)x0 − λy0 − (1 − λ)y0 ll 5
= llλ (x0 − y0) + (1 − λ)(x0 − y0 )ll ≤ llλ (x0 − y0) ll + k(1 − λ)(x0 − y0 )ll = λllx0 − y0ll + (1 − λ)llx0 − y0 ll = λd + (1 − λ)d = d . Dakle, mora vrijediti llx0 − (λy0 + (1 − λ)y0 ) ll = d , odnosno za proizvoljno λ ∈ [0, 1] llx0 − (λy0 + (1 − λ)y0 ) ll2 = d2 . Odavde na osnovu osobina skalarnog produkta imamo d2 = (x0 − λy0 − (1 − λ)y0 , x0 − λy0 − (1 − λ)y0 ) = ((x0 − y0 ) − λ (y0 − y0 ), (x0 − y0 ) − λ (y0 − y0 )) = (x0 − y0 , (x0 − y0 ) − λ (y0 − y0 )) − λ (y0 − y 0, (x0 − y0 ) − λ (y0 − y0 )) = (x0 − y0 , x0 − y0 ) − λ (x0 − y0 , y0 − y0 ) − λ (y0 − y0 , x0 − y0 ) − λ2(y0 − y0 , y0 −y0 ) = llx0 − y0 ll2 – λ((x0 − y0 , y0 − y0 ) + (x0 − y0 , x0 − y0 ))+ _2lly0 − y0 ll2 = d2 – λ((x0 − y0 , y0 − y0 ) + (x0 − y0 , x0 − y0 ))+ λ2lly0 − y0 ll2 . Iz posljednjeg zaključujemo da za svako _λ∈ [0, 1], vrijedi λ2lly0 − y0 ll2 – λ((x0 − y0 , y0 − y0 ) + (x0 − y 0, x0 − y0 ))= 0 . Kako je ovo kvadratni polinom po λ i mora biti jednak 0 za svako λ ∈ [0, 1], to će se dogoditi samo ako su koeficijenti tog polinoma jednaki 0. To izmedju ostalog znači da mora biti lly0 − y0 ll2 = 0 , iz čega onda dobijamo da je y0 = y0 .
TEOREM 3. Neka je H Hilbertov prostor i H1 potprostor prostora H. Tada za svaki x ∈ H postoji tačno jedan y ∈ H1, takav da je (x − y) ⊥ H1. Dokaz :
6
Kako je H1 potprostor Hilbertovog prostora H, to je H1 zatvoren i konveksan skup, pa na osnovu Teoreme 2. vrijedi (∀x ∈ H)(∃y ∈ H1) d(x,H1) |
‖x
y‖
Neka su sada u ∈ H1 i λ∈ Φ proizvoljni. Tada je: llx − y − λu ll ≥ llx − y ll ⇔ llx − y − λu ll2 ≥ llx − y ll2 . Zbog jednakosti ll x ll =√(x x) imamo da vrijedi (x − y − λu, x − y − λu) ≥ llx − y ll2. Primjenjujući sada osobine skalarnog produkta na prethodnu nejednakost, dobijamo: (x − y, x − y − λu) − λ (u, x − y − λu) ≥ llx − y ll2 ⇔ (x − y, x − y) − λ̅(x − y, u) − λ (u, x − y) + λ2(u, u) ≥ llx − y ll2 ⇔ llx − y ll2 − λ̅ (x − y, u) − λ (u, x − y) + λ2 llu ll2 ≥ llx − y ll2 ⇔ λ2 llu ll2 ≥ λ̅(x − y, u) + λ (u, x − y) (∀λ ∈ Φ, ∀u ∈ H1) Posmatrajmo sada dva slučaja: 1.
λ ∈ R, λ > 0, tada iz λ2 llu ll2 ≥ λ̅(x − y, u) + λ (u, x − y) (∀λ ∈ Φ, ∀u ∈ H1)
dobijamo λ2 llu ll2 ≥ λ (x − y, u) + λ (u, x − y). Dijeljenjem ove nejednakosti sa λ > 0, dobijamo (x − y, u) + (u, x − y) ≤ λ ll u ll2. Pustimo li da λ → 0, imamo da vrijedi (x − y, u) + (u, x − y) ≤ 0 2.
λ∈ R, λ< 0, tada iz λ2 llu ll2 ≥ λ̅(x − y, u) + λ (u, x − y) (∀λ ∈ Φ, ∀u ∈ H1) 7
dobijamo λ2 llu ll2 ≥ λ (x − y, u) + λ (u, x − y). Dijeljenjem ove nejednakosti sa λ < 0, dobijamo (x − y, u) + (u, x − y) ≥ λ llu ll2. Pustimo li da _ λ→ 0, imamo da vrijedi (x − y, u) + (u, x − y) ≥ 0 Iz nejednakosti (x − y, u) + (u, x − y) ≤ 0 (x − y, u) + (u, x − y) ≥ 0 dobijamo da za svako u ∈ H1 mora biti (x − y, u) + (u, x − y) = 0 Izvršimo li formalnu zamjenu u sa iu u poslednjem izrazu imamo ̅ (x−y, iu)+(iu, x−y) = i(x−y, u)+i(u, x−y) = −i(x−y, u)+i(u, x−y) = 0 . Dijeljenjem posljednje jednakosti sa i, dobijamo da za svako u ∈ H1 mora takodje biti (u, x − y) − (x − y, u) = 0 Jednakosti (x − y, u) + (u, x − y) = 0 (u, x − y) − (x − y, u) = 0 nam daju (u, x − y) = (x − y, u) = 0 , ∀u ∈ H1, odnosno,
(x − y) ⊥ H1.
Pokažimo jedinstvenost ovakvog elementa. Neka su y1, y2 ∈ H1 takvi da je 8
(x − y1) ⊥ H1 ∧ (x − y2) ⊥ H1 . To znači (∀u ∈ H1) (x − y1, u) = 0 ∧ (x − y2, u) = 0 , ili (∀u ∈ H1) (x − y1, u) − (x − y2, u) = 0 . Dakle, vrijedi (∀u ∈ H1) (y2 − y1, u) = 0 . Stavljajući sada da je u = y2 − y1, dobijamo (y2 − y1, y2 − y1) = lly2 − y1ll2 = 0 , iz čega je onda
y2 = y1.
Ovaj teorem nam ustvari govori da ako je H1 potprostor Hilbertovog prostora H, tada svaki x ∈ H možemo na jedinstven način napisati u obliku x = y + z, pri čemu je y ∈ H1 i z = x − y ⊥ H1.
TEOREM 4. Neka je H1 potprostor Hilbertovog prostora H tada (∀ x ∈ H)(∃ !y ∈ H1 ∧ ∃ !z ⊥ H1) x = y + z. Ili drugačije rečeno: TEOREM 5. Ako je H1 potprostor Hilbertovog prostora H, onda je H ortogonalna suma potprostora H1 i H1⊥ , u oznaci H = H1 ⊕ H1⊥
9
ZAKLJUČAK Ortogonalnost je jedan od najfrekventnijih pojmova u raznim oblastima matematike. Skoro da nema oblasti u kojoj se “ortogonalnost” ne pojavljuje kao određena relacija u skupu svih objekata određene vrste. Ovde je, naravno, nemoguće pomenuti sve definicije i sva tvrđenja u matematici u kojima se koriste pridevi “ortogonalan-a”. Pomenućemo samo neke definicije. U svim geometrijama počevši od euklidske geometrije, analitičke geometrije, diferencijabilne geometrije do Rimanovih mnogostrukosti ortogonalnost vektora je standardan pojam, bez koga možda i ne bi bilo tih geometrija. Osnovne trigonometrijske funkcije su definisane preko ortogonalnosti (koristeći pravougli trougao), pa se cela trigonometrija oslanja na na te definicije. U matematičkoj analizi su standardne teme: ortogonalni nizovi, ortogonalni polinomi, ortogonalni metod pri približnom rešavanju diferencijalnih jednačina, Furijeova analiza sva bazira na pojmu ortogonalnosti vektora u euklidskom prostoru. U funkcionalnoj analizi, posebno u Hilbertovim prostorima: ortogonalna razlaganja, Gram-Šmitov postupak ortogonalizacije, projektivni operatori, razni ortonormirani sistemi nizova (Harov, Rademaherov, Franklinov itd.), najbolje aproksimacije, čak u neeuklidskim prostorima, u metričkim prostorima definisane su pomoću pojma optimalnosti itd. U algebri postoje: ortogonalne matrice, ortogonalne grupe, ortogonalno preslikavanje, ortogonalni automorfizam itd.
10
LITERATURA http://sr.wikipedia.org/wiki/Ortogonalnosti_u_matematici http://www.pmf.untz.ba/studijski_odsjeci/mat/zaposleni/Nermin%20Okicic/PMF/FunkcionalnaA naliza/Vjezbe/Realna%20analiza%20I%20glava%20Vjezbe.pdf
11
