Document créé le 29 octobre 2015
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Chapitre 9 Analyse asymptotique 9.1 9.1
Calc Calcul ulss de de lim limit itee en en un un poin pointt
Exercice 9.1.1 ()
Calculer xlim f ((x), avec f (x) = →0 f Exercice 9.1.2 ()
Calculer xlim f ((x), avec f (x) = →64 f Exercice 9.1.3 ()
√ 1 + x x − 1 √ 1 ++ x . + x − 1 3
√ x − 8 √ x − 4 . 3
√ x 3
Calculer xlim f ((x), avec f (x) = →1 f Exercice 9.1.4 ()
3 Calculer xlim f ((x), avec f (x) = f →4 1
− 2√ x + 1 . (x − 1)
2
3
2
√ 5 + x + x − √ − 5 − x.
Exercice 9.1.5 () √ Calculer x→ lim f f ((x), avec f (x) = x2 − 5x + 6 − x. +∞ Exercice 9.1.6 () 1/3 Calculer xlim f ((x), avec f (x) = x f x + + (1 − x3) . →∞ Exercice 9.1.7 () π x Calculer xlim f ((x), avec f (x) = (2x + 3x − 12)tan . f →2 4
Exercice 9.1.8 ()
π 4
a n
Calculer n→ lim un , avec un = tann ( + ). +∞
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9.1 Calculs de limite en un point
Chapitre 9 : Analyse
asymptotique
Exercice 9.1.9 ()
ln(x + 1) Calculer x→ lim f (x), avec f (x) = +∞ ln x
x ln x
.
Exercice 9.1.10 () √ √ √ Calculer x→ lim f (x), avec f (x) = (ch x + 1 − ch x)1/ x . +∞ Exercice 9.1.11 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x)
sin5x . sin2x
Exercice 9.1.12 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →1 f (x)
sin πx . sin3πx
Exercice 9.1.13 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →−2 f (x)
tan πx . x + 2
Exercice 9.1.14 () 1
− 2cos x
Calculer limπ f (x), avec f (x) = . x→ π − 3x 3
Exercice 9.1.15 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x)
cos(mx)
− cos(nx) .
x2
Exercice 9.1.16 () sin x
− cos x
tan x
− sin x .
Calculer limπ f (x), avec f (x) = . x→ 1 − tan x 4
Exercice 9.1.17 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x)
x3
Exercice 9.1.18 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x)
x sin2x . x + sin 3x
−
Exercice 9.1.19 () 1
Calculer xlim et →∞ f (x), avec f (x) = x sin →0 f (x) xlim x Exercice 9.1.20 ()
Calculer xlim , avec f (x) = (1 − x)tan →1 f (x) Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
πx . 2
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9.1 Calculs de limite en un point
Chapitre 9 : Analyse
asymptotique
Exercice 9.1.21 () x + 1 Calculer xlim f (x), avec f (x) = →∞ 2x + 1
x2
.
Exercice 9.1.22 ()
Calculer xlim →∞ f (x), avec f (x) =
x
x 1 x + 1
− .
Exercice 9.1.23 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x)
exp ax
− exp bx . x
Exercice 9.1.24 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x)
lncos x . x2
Exercice 9.1.25 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x)
1
− exp(−x) . sin x
Exercice 9.1.26 () Calculer lim f (x), avec f (x) = (cos x)1/x . x→0 Exercice 9.1.27 () Calculer xlim f (x), avec f (x) = (cos x)1/x . →0 2
Exercice 9.1.28 () Calculer x→ lim f (x), avec f (x) = ln(2x + 1) − ln(x + 2) . +∞ Exercice 9.1.29 () √ Calculer n→ lim un , avec un = n( n a − 1). +∞ Exercice 9.1.30 () 1 Calculer xlim f (x), avec f (x) = ln →0 x
Exercice 9.1.31 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x) Exercice 9.1.32 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x)
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1
1 + x . 1 x
−
− √ cos x . x2
√ 1 + sin x − √ 1 − sin x x
.
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9.1 Calculs de limite en un point
Chapitre 9 : Analyse
asymptotique
Exercice 9.1.33 () sin2x Calculer xlim f (x), avec f (x) = →0 x
1+x
.
Exercice 9.1.34 () Calculer x→ lim f (x), avec f (x) = x(ln(x + 1) − ln x). +∞ Exercice 9.1.35 () x 3 + 1 Déterminer α et β pour que xlim →∞ αx + β x2 + 1 = 0.
−
Exercice 9.1.36 () 1 Calculer x→±∞ lim 1 + x
x
,
lim xx , lim x1/x , x
→+∞
x
→0+
Exercice 9.1.37 ()
Calculer xlim →a f (x), avec f (x) =
x3 x
exp
−1
1 x(1
− x) , avec a = 0 puis a = 1.
Exercice 9.1.38 () etan x Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x) tan x
sin x
−e . − sin x
Exercice 9.1.39 () Calculer xlim f (x), avec f (x) = (ln(1 + x))x . →0+ Exercice 9.1.40 ()
Calculer xlim , avec f (x) = (tan x) exp →0 f (x)
1
−
1 . cos x
Exercice 9.1.41 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →1 f (x)
x 1 . xm 1
− −
Exercice 9.1.42 () Calculer limπ f (x), avec f (x) = (π − 2x)tan x. x→ 2
Exercice 9.1.43 ()
Calculer xlim , avec f (x) = →0 f (x)
ax
−b x
x
.
Exercice 9.1.44 () sin2 x Calculer xlim →a f (x), avec f (x) = x2
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− sin −a 2
2
a
.
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9.1 Calculs de limite en un point
Chapitre 9 : Analyse
asymptotique
Exercice 9.1.45 () Calculer xlim , avec f (x) = (cos x)1/ sin x . →0 f (x) 2
Exercice 9.1.46 () sin x ln(1 + x2 ) Calculer xlim , avec f (x) = . →0 f (x) x tan x
Exercice 9.1.47 () ln cos(ax)
Calculer lim f (x), avec f (x) = . x→0 ln cos(bx) Exercice 9.1.48 () Calculer lim f (x), avec f (x) = (cos x)cotan 2x . x→0 Exercice 9.1.49 ()
Calculer x→ lim f (x), avec f (x) = +∞
πx tan 2x + 1
1/x
.
Exercice 9.1.50 () Calculer limπ f (x), avec f (x) = (sin x) x−π/ . x→ 1
2
2
Exercice 9.1.51 () Calculer lim f (x), avec f (x) = (sin x)tan x . x→0 +
Exercice 9.1.52 () Calculer xlim f (x), avec f (x) = (cos x)ln |x| . →0 Exercice 9.1.53 () 2x + 1 Calculer xlim f (x), avec f (x) = →∞ 2x 1
−
2x
.
Exercice 9.1.54 () Calculer limπ f (x), avec f (x) = (tan x)tan2x . x→ 4
Exercice 9.1.55 ()
x
Calculer lim f (x), avec f (x) = x g(x) et g(x) = x . x→0 x −1 +
Exercice 9.1.56 () x Calculer xlim f (x), avec f (x) = →0 sin x
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sin x x−sin x
.
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9.2 Études locales de fonctions numériques
Chapitre 9 : Analyse
Exercice 9.1.57 () Calculer xlim f (x), avec f (x) = (1 + tan2 x) x →0
1 sin x
asymptotique
.
Exercice 9.1.58 () Calculer x→ lim f (x), avec f (x) = (th x)ln x . +∞ Exercice 9.1.59 ()
ln(x + 1) Calculer x→ lim f (x), avec f (x) = +∞ ln x
x ln x
.
Exercice 9.1.60 () Calculer limπ f (x), avec f (x) = (tan 3x2 ) tan3x . x→ 6
9.2
Études locales de fonctions numériques
Exercice 9.2.1 ()
Étude au voisinage de 0 de f (x) =
1 . ln sin x
|
|
Exercice 9.2.2 () Étude au voisinage de 1 de f (x) = exp(arctan(ln x)). Exercice 9.2.3 ()
Étude au voisinage de
π de f (x) = arctan(1 + tan x). 2
Exercice 9.2.4 ()
Étude au voisinage de +∞ de f (x) = x
u(x)
x2 + 1 , avec u(x) = . x2
Exercice 9.2.5 ()
Étude au voisinage de +∞ de f (x) = x u(x), avec u(x) =
sin x . x2
Exercice 9.2.6 () √ √ Étude au voisinage de +∞ de f (x) = x3 + x + 1 − x2 − x − 1. 3
2
9.3 Études globales de fonctions numériques Exercice 9.3.1 ()
Étudier la fonction f définie par f (x) = x 2 arctan Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
1 . 1 + x
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9.4 Études de familles de courbes
Chapitre 9 : Analyse
asymptotique
Exercice 9.3.2 ()
Étudier la fonction f définie par f (x) =
ln x 2 . ln x
| − | ||
Exercice 9.3.3 () 1 x
.
Étudier la fonction f définie par f (x) = (x + 1) exp 2
Exercice 9.3.4 () Étudier la fonction f définie par f (x) = arccos(2x3 − x). Exercice 9.3.5 () x 1 Étudier la fonction f définie par f (x) = x ln . x + 1
Exercice 9.3.6 ()
Étudier la fonction f définie par f (x) = Exercice 9.3.7 ()
Étudier la fonction f définie par f (x) = Exercice 9.3.8 ()
−
x(x2 + 1) . 2x 1
−
(x + 1) 3 . x 1
−
1 3
1 5
1 7
Étudier la fonction f définie par f (x) = cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x. Exercice 9.3.9 ()
Étudier la fonction f définie par f (x) =
x ln x . x2 1
−
Exercice 9.3.10 ()
Étudier la fonction f définie par f (x) =
|
x(x + 2) exp
|
1 x
.
Exercice 9.3.11 () 1 1 Étudier la fonction f définie par f (x) = 1 + + 2 x x
9.4
x
.
Études de familles de courbes
Exercice 9.4.1 () Étudier la famille de courbes définie par f λ (x) = x ln x + λx2. Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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9.5 Développements limités
Chapitre 9 : Analyse
asymptotique
Exercice 9.4.2 () π 2
, sur .
Étudier la famille de courbes définie par f n (x) = n cos (x) sin(x) n
0,
Exercice 9.4.3 () λ Étudier la famille de courbes définie par f λ (x) = x(x ) . Exercice 9.4.4 () x Étudier la famille de courbes définie par f λ (x) = x(λ ) . Exercice 9.4.5 ()
Étudier la famille de courbes définie par f λ (x) = exp
x
− λ .
x2
Exercice 9.4.6 () λ + ln(x) . x
Étudier la famille de courbes définie par f λ (x) = Exercice 9.4.7 ()
−
−λ
.
x + λ Étudier la famille de courbes définie par f λ (x) = x2 ln . x λ
Exercice 9.4.8 () Étudier la famille de courbes définie par f λ (x) = | x − λ|x . Exercice 9.4.9 ()
Étudier la famille de courbes définie par f λ (x) =
9.5
x x
x
Développements limités
Exercice 9.5.1 () Développement limité en 0, à l’ordre 6, de f (x) = cos x sin3x. Exercice 9.5.2 () Développement limité en 0, à l’ordre 3, de f (x) = (1 + x)1/x Exercice 9.5.3 () DL en 0, à l’ordre 8, de f (x) = (cos x − 1)(sh x − x) − (ch x − 1)(sin x − x). Exercice 9.5.4 ()
Développement limité en 0, à l’ordre 4, de f (x) =
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ln(1 + x) . (1 + x)2
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9.5 Développements limités
Chapitre 9 : Analyse
asymptotique
Exercice 9.5.5 () Développement limité en 0, à l’ordre 5, de f (x) = ln sin x/x. Exercice 9.5.6 () 1 x
Développement limité en 0, à l’ordre 3, de f (x) = arccos
sin x (pour x 0.) x
Exercice 9.5.7 () Développement limité en 0, à l’ordre 6, de f (x) = ln(1 + x)/1 − x + x2 . Exercice 9.5.8 () Développement limité en 0, à l’ordre 5, de f (x) = arctan ex . Exercice 9.5.9 () √ Développement limité en 0, à l’ordre 4, de f (x) = arcsin x − x. 3
Exercice 9.5.10 () Développement limité en 0, à l’ordre 4, de f (x) = [tan(x + π/4)]−cotan2x Exercice 9.5.11 ()
Développement limité en 0, à l’ordre 5, de f (x) =
√
1 + x +
√ 1 − x.
Exercice 9.5.12 () √ √ Développement limité en +∞, à l’ordre 4 en 1/x, de f (x) = x3 + x2 − x3 − x2 . 3
3
Exercice 9.5.13 () √ Développement limité en 0, à l’ordre 7, de f (x) = x2 + cos x. Exercice 9.5.14 () Développement limité en 0, à l’ordre 5, de f (x) = x/ln(1 + x). Exercice 9.5.15 () Développement limité en 0, à l’ordre 5, de f (x) = (tan x)etan x . Exercice 9.5.16 () DL en 0, à l’ordre 6, de f (x) = x(sin x + sh x − 2x) (pour x 0.)
Exercice 9.5.17 ()
Soit x n vérifiant tan x = x dans I n = nπ −
π π c d 1 , nπ + . Trouver le DA : x n = an + b + + 2 + o( 2 ). 2 2 n n n
Exercice 9.5.18 ()
On pose f 0(x) = 1 − x, et f n+1 (x) = Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
2
−
1 . Trouver le DL en 0, à l’ordre 5, de f n (x). f n (x)
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