Document créé le 28 novembre 2013
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Chapitre 20 Intégration 20.1 20 .1
Con Contin tinuité uité unif unifor orme me
Exercice 20.1.1 ()
Montrer Montr er que l’appl l’application ication x
→ sin x
2
n’est pas uniformément continue sur R.
Exercice 20.1.2 ()
Montrer que x
→ √ x est uniformément continue sur R
+
(on demande deux méthodes).
Exercice 20.1.3 ()
Prouver (f, g uniformément continues et bornées) (f g uniformément continue). Donner un contre-exemple quand on ne suppose plus que f et g sont bornés.
⇒
Exercice 20.1.4 ()
Soit f : R
→ R, continue, telle que
lim f (x) et lim f (x) existent dans
x→−∞
x→+∞
R.
Montrer que f est uniformément continue sur R. Exercice 20.1.5 ()
Soient a, b deux réels tels que 0 < a < b, et soit f : [a, b] R. On suppose k > 0 0,, x, y [ a, b] (avec x = y ), f (y) f (x) < k y 3
∃
∀ ∈
|
−
→
|
3
| − x |.
1. Mon Montrer trer que que f est uniformément continue sur [a, b]. 2. Mon Montrer trer que que ϕ : x
→ f (x) − kx
3
est strictement monotone sur [a, b].
3. On suppose que pour tout x de [a, b], ka 3 f (x) kb 3 . Montrer qu’il existe un α unique de [a, b] tel que ϕ(α) = 0. Exercice 20.1.6 (
) Soient f et g deux applications continues sur le segment [a, b], à valeurs réelles. Pour tout réel α, on pose M (α) = max (f (x) + αg (x)) )).. x∈[a,b a,b]]
Montrer Montr er que l’appl l’application ication M est lipschitzienne sur R.
20.2 Sommes de Riemann
Chapitre 20 : Intégration
Exercice 20.1.7 ()
On se donne un réel α de ]0, 1[. En revenant à la définition, montrer que x
→
xα est uniformément continue sur
R+ .
Exercice 20.1.8 ()
Soit f : R R, uniformément continue. Montrer qu’il existe deux réels a, b 0 tels que :
→
20.2
∀ x ∈ R, |f (x)| a|x| + b.
Sommes de Riemann
Exercice 20.2.1 ()
Calculer
1
0
2
x dx et
1
0
x3 dx en utilisant des sommes de Riemman.
Exercice 20.2.2 () k= pn
Calculer la limite quand n tend vers +
∞, de S
n
=
k=n
1 k
(avec p
∈ N ). ∗
Exercice 20.2.3 ()
Calculer lim S n, avec S n = n→+∞
√ √ k. n
1
n n k=1
Exercice 20.2.4 () n−1
Calculer lim
n→+∞
√ 1 S , avec S = n
n
n2
k=0
−k
2
.
Exercice 20.2.5 ()
Calculer lim S n, avec S n = n→+∞
Exercice 20.2.6 (
n!
1/n
.
nn
)
1 (2n)! Calculer lim S n, avec S n = n→+∞ n n!
1/n
.
Exercice 20.2.7 ()
Calculer lim S n(x), avec S n (x) = n→+∞
1x + 2 x +
· ·· + n
nx+1
x
(et x réel).
Exercice 20.2.8 ()
Soit f une application continue sur [0, 1], strictement positive. Montrer que
1
0
ln f (x) dx ln
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1
0
f (x) dx.
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20.3 Propriétés de l’intégrale
Chapitre 20 : Intégration
Exercice 20.2.9 ()
f (0) = 0 Soit f : [0, a] → [0 , b], continue strictement croissante, avec . On note g = f f (a) = b 1. Montrer que ab = f (x) dx + g(x) dx. (utiliser des sommes de Riemann.)
−1
a
.
b
0
0
u
2. Montrer que :
∀ u ∈ [0 , a], ∀ v ∈ [0, b] ,
uv
0
v
f (x) dx +
0
g(x) dx.
Exercice 20.2.10 ()
1
Soit f une application continue sur [0, 1]. Montrer que lim
n→+∞
n
(−1) f k = 0. k
n k=1
n
Exercice 20.2.11 ()
Soient f et g deux applications continues sur [0, 1]. 1 1 n−1 k k + 1 Montrer que lim = f g f (x)g (x) dx. n→+∞
n
n
k=0
n
0
Exercice 20.2.12 () n
Calculer lim
n→+∞
1 . n2 + kn
√ S , avec S = n
n
k=1
Exercice 20.2.13 () 3
Soit f une application de classe C n−1
sur [a, b], et n ∈ . On pose M = sup f . ∗
N
(3)
3
[a,b]
k b−a On pose S (f ) = , et on définit de même S (f ) et S (f ). f n n (b − a) ( b − a) b−a 1. Montrer que f (x) dx − S (f ) − S (f ) − S (f ) M 2n 6n 24n 1 (b − a) b − a f (b) − f (a) − f (b) − f (a) + O 2. Prouver que f (x) dx = S (f ) + n
n
b
k=0
a
2
n
n
4
n
2
20.3
3
3
2
b
a
n
n
12n2
2n
n3
Propriétés de l’intégrale
Exercice 20.3.1 ()
∼ 2√ n, avec S
Montrer que S n
n
= 1+
√ 12 + √ 13 + ··· + √ 1n .
Exercice 20.3.2 () R+
Soit E l’ensemble des applications continues de [a, b] dans
. b b 1 Pour toute application f de E , on pose I (f ) = f (x) dx dx. a a f (x) 1. Montrer que pour toute f dans E , I (f ) (b a)2 . Quand y-a-t-il égalité ?
−
2. Montrer plus précisément que I (f ), f E = [(b
{
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∈ }
∗
2
− a) , +∞[.
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20.3 Propriétés de l’intégrale
Exercice 20.3.3 (
Chapitre 20 : Intégration
)
Soit f une application[a, b] → , continue, telle que f (x) dx = |f (x)| dx. b
b
R
a
a
Montrer que f garde un signe constant sur [a, b]. Exercice 20.3.4 (
) Soit f une applicationde classe C1 sur [a, b], et telle que f (a) = f (b) = 0. b (b a)2 b 2 2 Montrer que f (x) dx f (x) dx. 8 a a a + b Indication : utiliser Cauchy-Schwarz, et penser à c = 2
−
Exercice 20.3.5 ( ) sin x Montrer que dx > x 0
π
2
π
π
2
sin x x
dx.
Exercice 20.3.6 ()
Soit f une application continue et positive sur [a, b]. Montrer que lim
n→+∞
I n = max f (x), avec I n =
n
x∈[a,b]
b
a
f n (x) dx.
Exercice 20.3.7 ()
Soit f : [a, b]
→ R, continue par morceaux.
Montrer que lim
λ→+∞
b
a
f (x)sin λx dx = 0.
Indication : commencer par supposer que f est la fonction caractéristique d’un sous-segment de [a, b], puis qu’elle est en escaliers. Exercice 20.3.8 ()
Soit f : [a, b] Prouver
→ R, continue par morceaux. 2 lim f (x)| sin λx| dx = f (x) dx. π b
λ→+∞
b
a
a
Même indication que dans l’exercice précédent. Exercice 20.3.9 ()
Soit f une application continue sur [0, 1]. Montrer que lim n n→+∞
1
0
xn f (x) dx = f (1).
Exercice 20.3.10 ()
Soit f une applicationde classe C1 sur [0, 1], telle que f (1) = 0. 2
Montrer que lim n n→+∞
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1
0
xn f (x) dx = f (1) (on pourra utiliser l’exercice précédent.)
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20.4 Intégrales fonctions de leurs bornes
20.4
Chapitre 20 : Intégration
Intégrales fonctions de leurs bornes
Exercice 20.4.1 ()
Montrer que x > a > e
2
⇒
x
a
dt 2x . < ln t ln x
Exercice 20.4.2 ()
Montrer que
x
e
lnln t dt
∼ x lnln x au voisinage de +∞.
Exercice 20.4.3 (
)
Déterminer les applications continues f telles que, pour tout x : f (x) +
0
(x
− t)f (t) dt = 1.
Exercice 20.4.4 (
Montrer que lim
) bx sin t
x
x→0 ax
t2
b a
dt = ln (avec 0 < a < b).
Exercice 20.4.5 ()
Calculer la limite de I (x) =
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1 x
x
0
arctan t t
dt quand x tend vers 0 ou vers + .
∞
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