Infinit Infi nitos os e infinit´ infi nit´esimo esimoss 1) Definicio Definiciones. nes. Infinit´ Infini t´esimo: esimo : es e s toda tod a sucesi´ suce si´ on on nula (de l´ımite 0): {an } / l´ım an = 0 n→∞
Infinito: es toda sucesi´ on on de l´ımite infinito: infinit o: {an } / l´ım an = ±∞ n→∞
infinit os (infi ( infinit´ nit´esimos esi mos): ): 2) Comparac Comparaci´ i´ on. on. Sean {an } y {bn } infinitos
• Si
a n
bn
es un infinito infinit o (infinit´ (infin it´esimo), esimo) , {an } es de mayor orden que {bn }.
• Si l´ım ım ab n = k ∈ R, k = 0, {an } y {bn } son del mismo orden. n n →∞
- Si {an } es un infinito infinito y l´ım a pn = k ∈ R, k = 0, entonces {an } es un n n infinito de orden p. Llama Llamamo moss a kn p su parte principal. Infinito de referencia →∞
an = k ∈ R, k = 0, entonces {an } es (1/n (1/n)) p n un infinit´esimo esimo de orden orde n p. Llama Llamamo moss a k/n p su parte principal. Infinitésimo de ref.
- Si {an } es un u n infi i nfini nit´ t´esim es imoo y l´ım
→∞
ım an = 0, se dice que {an } es “despreciable” frente a {bn } : an bn • Si l´ım bn n →∞
´ 3) Ordenes de infinitud (Burgos, 50-51). (logα n) n)a nb cn ndn α>1, a>0
Sucesiones equivalentes igua l l´ l´ımite, finito o infinito, infinito , se dice que son equivalentes • Dadas {an } y {an } con igual
an ∼ an ⇐⇒ ⇐⇒ l´ım
n→∞
an =1 an
Entonces Entonces dos sucesiones sucesiones equivalen equivalentes tes tienen el mismo l´ımite. Y si dos sucesiones sucesiones a a = 1. n tienen tie nen igual igu al l´ımite ımit e a, finito y no nulo, son equivalen equivalentes tes pues: l´ım =a an n
→∞
an − an an − an = l´ım =0 • Si an ∼ an =⇒ l´ım n n an an
→∞
→∞
a − an = l´ım an − 1 = 0 (igual resultado con an en el denominador). D: l´ım n an an n n Entonces:
→∞
→∞
- La diferencia entre dos infinit´esimos esimos equivalentes equivalentes es un infinit´esimo esimo de orden superior a ambos. - La diferencia entre dos infinitos equivalentes es despreciable frente a ambos. La diferencia de infinitos puede serlo o no
de tabla de equivalencias
Equivalencia de logaritmos (A.3) Sea {a } una sucesion de t´erminos positivos a partir de uno dado, tal que su l´ımite es a ≥ 0 (a = 1) (a puede ser +∞). Se cumple n
an
∼ a =⇒ log a ∼ log a n
n
n
Es decir, al sustituir en un logaritmo su argumento por una sucesi´ on equivalente, resulta una expresi´on equivalente a la primera.
D: a) log a y log a tienen el mismo l´ımite. n
n
l´ım log a = l´ım log n
→∞
n
→∞
n
an a
a
n
an
= l´ım log →∞
n
n
a
+ log a = l´ım log a . n
n
Nota: Este u ´ltimo l´ımite existe siempre pues log a → log a (si n
a
→∞
∈ R+ ) o´ ±∞ .
b) El l´ımite del cociente de log a y log a es 1, pues n
n
log a − log a = log n
n
an a
= ε =⇒ log a = log a + ε n
n
n
n
→1
log a + ε a log Entonces: l´ım ım = l´ım 1 + ε = l´ log a log a →∞ log a →∞ →∞ n
