Document créé le 29 octobre 2015
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Chapitre 4 Techniques d’analyse (dérivation) 4.1 4.1
Exer Exerci cice cess sur sur les les nom nombr bres es rée réels ls
Inégalités
dans R
Exercice 4.1.1 ()
Montrer que, pour tous réels a a,, b, c, on a : b 2 c2 + c2 a2 + a2b2 abc abc((a + + b b + + c c)). Exercice 4.1.2 ()
1. Montrer que, pour tous réels positifs a, b, c, on a : (b + + c c)( )(cc + + a a)( )(a a + + b b)) 8abc. 1 1 1 2. En déduire (a + + b b + + c c)) + + a b c
Exercice 4.1.3 (
9.
)
Soit a a,, b, c dans R+∗ . Prouver que
+ b + c ab bc ca a + b + c . Quan Quandd y a-t a-t-il -il égal égalité ité?? + + a + + b b b + + c c c + + a a 2
Exercice 4.1.4 () Soient a a,, b, c des réels tels que 0 a b c 1 et c a + + b b. Montrer que 0 (a + + b b + + c c)( )(a a + + b b c c)( )(a a b b + + c c)( )( a + b + b + + c c)) 3.
−
Exercice 4.1.5 () Soient m m,, n, p des entiers naturels. 1 Montrer que 1 m n 1+ n
⇒
m
−
−
m m 1 < 1 + + ( )2 . En déduire 1 + n n n
n
< 3
p 1+ n
, puis
Exercice 4.1.6 ()
Soit x1 , x2, . . . , xn une famille de réels de [0 [0,, 1]
n
. Prouver l’inégalité
n
(1
k=1
− x ) 1 k
Exercice 4.1.7 () On considère les réels a1 a2 . . . an 0 et b1 b2 . . . bn 0. Montrer que (a1 + + a a2 + + + a an )( )(bb1 + + b b2 + + + b bn ) n(a1 b1 + + a a2 b2 + + + a an bn).
···
···
···
−
k=1
xk .
n
< 3 p .
4.1 Exercices sur les nombres réels
Partie
Chapitre 4 : Techniques
d’analyse (dérivation)
entière
Exercice 4.1.8 () Résoudre 2x 1 = x 4 dans R.
− −
Exercice 4.1.9 ()
Résoudre dans R l’équation (E ) :
2x + 1 4x + 5 3x 1 . + = 3 6 2
−
Exercice 4.1.10 () 1 1 1 a + a + a = a . 2 3 5
Trouver les solutions réelles a de (E ) : Exercice 4.1.11 ( ) Pour tout entier n , on pose un = (2 +
√ 3) . Montrer que u − u = 1 − (2 − √ 3) . n
n
n
n
Exercice 4.1.12 ()
∗ , premiers entre eux. Montrer que q −1
Soient p et q dans N
k=1
p ( p k = q
− 1)(q − 1) . 2
Exercice 4.1.13 () Soient x un réel, et n un entier naturel non nul. On note t t l’opération “partie entière”. x + k x + k 1. Montrer que pour tout entier relatif k, . = n n n−1 x + k 2. Montrer que = x . n k=0
→
Exercice 4.1.14 () On note x l’entier “plafond” de x (le plus petit entier supérieur ou égal à x.)
Montrer que x ∈ R+ ⇒
x =
√ x.
Exercice 4.1.15 () Soit f : x x + x . On définit une suite (un) par u0 = m
√
→
Montrer que l’un au moins des u n est le carré d’un entier. Rationnels
Simplifier le réel x =
√ 3
5+2
3
Montrer que − Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
.
− √ − .
Exercice 4.1.17 () 1/9
n+1 = f (un )
et irrationnels
Exercice 4.1.16 ()
3
∈ N et ∀ n ∈ N, u
3
2/9 +
3
5
2
√ − 1) 3
4/9 = ( 2
1/3
.
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4.1 Exercices sur les nombres réels
Chapitre 4 : Techniques
d’analyse (dérivation)
Exercice 4.1.18 ()
Montrer que x =
3
2 41 + 3 243
√ 15 + 2 − 3
3
41 243
√ 15 est un nombre rationnel.
Exercice 4.1.19 ()
Montrer que tout rationnel r de [0, 1[ s’écrit d’une manière unique : r = les entiers a i (nuls à partir d’un certain rang) vérifiant 0 ai < i.
a2 a 3 + + 2! 3!
··· + an! + · ·· , n
5 7
Mettre sous cette forme le rationnel .
Borne
supérieure
Exercice 4.1.20 () On pose E = r Q+ , r2 2 et β = sup E . Montrer que β 2 = 2.
{ ∈
}
Exercice 4.1.21 () Soit a dans R+ , et m dans N∗. On pose E = r Q+, rm a . Montrer que E est une partie majorée de R. On pose β = sup(E ). Montrer que β m = a.
{ ∈
}
Exercice 4.1.22 ()
On pose E = u p,q
p = , p pq + 1
∈ N∗, q ∈ N
Exercice 4.1.23 () 1 1 On pose E = u p,q = 2 + 2 p q
−
1 , p pq
Exercice 4.1.24 () Soit A R, non vide bornée, et B =
⊂
∈
∗ . Déterminer
N∗ , q
∈
inf(E ) et sup(E ).
N∗ . Déterminer inf(E ) et sup(E ).
{|x − y| , (x, y) ∈ A × A}. Montrer que sup(B) = sup(A) − inf(A).
Exercice 4.1.25 ( ) Soit f : [0, 1] [0, 1], croissante, et E = x [0, 1], f (x) x et α = inf(E ). Montrer que f (α) = α .
→
{ ∈
}
Exercice 4.1.26 () n Soit E n = k + , k N∗ . Montrer que inf E n 2 n. À-t-on min E n = 2 n ? k
∈
√
√
Exercice 4.1.27 () Soit A, B non vides majorées de R+, et AB = ab, (a, b) A B . Montrer : sup(AB) = (sup A)(sup B).
{
∈ × }
Exercice 4.1.28 ()
Calculer λ = inf sup |x2 + tx t∈R x∈[0,1]
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4.2 Fonctions usuelles
4.2
Chapitre 4 : Techniques
d’analyse (dérivation)
Fonctions usuelles
Fonction logarithme Exercice 4.2.1 ()
Résoudre le système
x + y = 25 ln x + ln y = ln 100
Exercice 4.2.2 ()
Résoudre le système
x2 + y 2 = 169 ln x + ln y = ln 60
Exercice 4.2.3 ()
Résoudre le système
x + y = 2m
− 1
ln x + ln y = ln(m2
− m)
Exercice 4.2.4 () Résoudre l’équation ln(x + 3) + ln(x + 5) = ln 15. Exercice 4.2.5 () Montrer que : ( p > 0 , q > 0 , et p + q = 2)
⇒ p q ∈ [1, 4[. p q
Exercice 4.2.6 ()
Montrer que pour tout x strictement positif, x − x2 /2 < ln(1 + x) < x. n
En déduire la limite de
(1 +
k=1
k ) quand n tend vers + n2
∞.
Exercice 4.2.7 ()
Montrer que pour tout x dans ] − 1, 1[ on a ln(1 + x) x − ln(1 − x). En déduire la limite de la suite u n =
1 1 + + n n + 1
·· · + pn1 (avec k ∈ N, p 2).
Fonctions exponentielles Exercice 4.2.8 ()
Montrer que si 0 < x < 1 , alors nlim →∞ Exercice 4.2.9 () Résoudre le système (ex e2y = a,
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n
(1 + xk ) existe dans R.
k=1
2xy = 1)
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4.2 Fonctions usuelles
Chapitre 4 : Techniques
Exercice 4.2.10 () Résoudre l’équation e x + e1−x
d’analyse (dérivation)
− e − 1 = 0.
Exercice 4.2.11 ()
Montrer que pour tout x positif ou nul, (x − 2)ex + x + 2 0. Exercice 4.2.12 ( ) Résoudre 2sin x = cos x. 2
Exercice 4.2.13 () Résoudre 4x 3x−1/2 = 3x+1/2
−
− 2
2x−1
.
Exercice 4.2.14 () Résoudre (ab )x = a(b ) , puis a(b ) = b(a x
x
x
)
(avec a, b donnés dans R+∗ ).
Exercice 4.2.15 ()
Résoudre le système
3x5y = 22x+1 + 22x−1 3y 5x = 22x+2 + 22x−2
Fonctions arcsin
et arccos
Exercice 4.2.16 ()
3 4
1 8
Vérifier l’égalité : 2 arccos = arccos . Exercice 4.2.17 ()
− √
5 7 35 16 3 Vérifier l’égalité : arccos + arccos = arccos . 7 9 63
Exercice 4.2.18 ()
Vérifier l’égalité : arcsin
5 3 56 + arcsin = arcsin . 13 5 65
Exercice 4.2.19 () 4 5
Vérifier l’égalité : arcsin + arcsin Exercice 4.2.20 ()
5 16 π + arcsin = . 13 65 2
9 82
4 41
π 4
Vérifier l’égalité : arccos √ + arcsin √ = . Exercice 4.2.21 ()
Résoudre l’équation arcsin x + arcsin
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x π = . 2 3
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4.2 Fonctions usuelles
Chapitre 4 : Techniques
d’analyse (dérivation)
Exercice 4.2.22 () Soient x, y,z dans [0, 1]. Déterminer une CNS sur x, y,z pour que arccos x + arccos y + arccos z = π . Exercice 4.2.23 ()
Résoudre l’équation arccos
− arccos xb = arccos 1b − arccos 1a (avec a > b 1).
a x
Exercice 4.2.24 () 4 5
Résoudre l’équation arcsin + arcsin
5 = arcsin x. 13
Exercice 4.2.25 () Résoudre l’équation arcsin 2x arcsin x 3 = arcsin x.
√
−
Exercice 4.2.26 () Simplifier y(x) = arccos(1 2x2).
−
Exercice 4.2.27 () 1 x2 Simplifier y(x) = arccos 1 + x2
−
Exercice 4.2.28 () Simplifier y(x) = arcsin(3x 4x3 ).
−
Exercice 4.2.29 ()
Étudier l’application x → f (x) = arcsin
1 + sin(2x) . 2
Exercice 4.2.30 ()
Simplifier y(x) = arcsin
2x . 1 + x2
Exercice 4.2.31 () Étudier l’application x f (x) = arcsin cosx + arccos sinx.
→
Exercice 4.2.32 () 1 2
1 3
Calculer la valeur exacte de x = sin( arcsin ). Exercice 4.2.33 () 1 2
Etudier l’application x → f (x) = arccos cosx + arccos cos 2x. Exercice 4.2.34 () 1 2
1 6
Etudier l’application x → f (x) = arccos cosx + arccos cos 2x + arccos cos 3x. Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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4.2 Fonctions usuelles
Fonction
Chapitre 4 : Techniques
d’analyse (dérivation)
Arctan
Exercice 4.2.35 () 1 2
4 3
Vérifier l’égalité : 2 arctan = arctan . Exercice 4.2.36 () π 1 1 1 Vérifier l’égalité : = arctan + arctan + arctan . 4 2 5 8 Exercice 4.2.37 () π 1 1 1 Vérifier l’égalité : = 2 arctan + arctan + 2 arctan . 4 5 7 8 Exercice 4.2.38 () π 1 3 Vérifier l’égalité : = 5 arctan + 2 arctan . 4 7 79 Exercice 4.2.39 () π 1 Vérifier l’égalité : = 4 arctan 4 5
1 1 − 2 arctan 408 + arctan 1393
Exercice 4.2.40 () π 1 1 1 Vérifier l’égalité : = 3 arctan + arctan + arctan . 4 4 20 1985 Exercice 4.2.41 ()
Simplifier l’expression y(x) = arctan
−
1 cos x . 1 + cos x
Exercice 4.2.42 ()
√ 1 + x − 1 Simplifier l’expression y(x) = arctan . 2
x
Exercice 4.2.43 ()
√
Simplifier l’expression y(x) = arctan( 1 + x2 − x). Exercice 4.2.44 ()
Étudier l’application x → f (x) = arctan Fonctions
x x + arctan + arctan(2x2 ). x + 1 x 1
−
sh, ch, th
Exercice 4.2.45 () 1 2
Donner la valeur de y = 2 ch x − sh x pour x = ln 3.
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4.3 Dérivation des fonctions numériques
Chapitre 4 : Techniques
d’analyse (dérivation)
Exercice 4.2.46 () Exprimer y = ch4 x + ch3 x sh x + ch x sh3 x + sh 4 x à l’aide de l’exponentielle. Exercice 4.2.47 () Montrer que pour : (x, y) Exercice 4.2.48 (
2
2
∈ R , ch
∀
x + sh 2 y = sh2 x + ch2 y = ch(x + y) ch(x
− y).
)
Résoudre l’équation sh a + sh(a + x) + sh(a + 2x) + sh(a + 3x) = 0. Exercice 4.2.49 (
)
Calculer le produit P n = ch
x x ch 2 2 2
··· ch 2x .
·
n
Exercice 4.2.50 ()
Calculer les sommes :
R = ch x + ch(x + 2h) + S = sh x + sh(x + 2h) +
··· + ch(x + 2nh) · ·· + sh(x + 2nh)
Exercice 4.2.51 ()
Montrer que x = 0, th x =
2 th 2x
Exercice 4.2.52 ()
Simplifier l’expression y = ln
− th1x . En déduire S
n
= th x + 2th 2x +
··· + 2 − th 2 − x. n 1
n 1
1 + th x . 1 th x
−
Exercice 4.2.53 () Discuter l’équation ex (k + x) = e −x (k
− x).
Exercice 4.2.54 ()
Discuter et résoudre l’équation a ch x + b sh x = c .
4.3
Dérivation des fonctions numériques
Calculs
de dérivées
Exercice 4.3.1 ()
Trouver une expression de la somme S n (x) = 1 + 2x + 3x3 + ·· · + nxn−1 . Exercice 4.3.2 ()
Calculer la dérivée de f (x) = Exercice 4.3.3 (
)
√ x − √ x .
1 + sin 1 sin
x 2
Calculer la dérivée de f (x) = cos x(1 + tan x tan ). Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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4.3 Dérivation des fonctions numériques
Chapitre 4 : Techniques
d’analyse (dérivation)
Exercice 4.3.4 ()
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
√ 1 + x 1. f (x) = ln √ + x √ 11 + x 3. h(x) = ln √ 1 + x
2 2
2 2
− 1 , +1 √ 1 − x − √ , + 1 − x
2. g(x) = ln cos
2
1 x
4. k(x) = ln ln ln x.
2
Exercice 4.3.5 ()
Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 1. f (x) = e1/x |x(x + 1)| 2. g(x) = ee 3. h(x) = exp
√
x
1
e2
− x
2
Exercice 4.3.6 ()
Calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1. f (x) = x
(x ) x
2. g(x) = x
x 3. h(x) = n
1/x
nx
x/sin x
sin x 4. k(x) = x
.
Exercice 4.3.7 () 1 3
1 3
Calculer les dérivées de : 1. f (x) = sh x + sh 3 x 2. g(x) = th x − th 3 x 3. h(x) = ch x cos x + sh x sin x
4. k(x) =
ch x cos x sh x + sin x
−
Exercice 4.3.8 () n
− (Utiliser
n Soient k n dans N. Calculer A(n, k) = ( 1) p pk p p=1
Dérivation
n
f k (x) =
( 1) p pk x p
−
p=1
n .) p
et inégalités
Exercice 4.3.9 ()
Montrer que, pour tout x 0 : x −
x3 sin(x) x 3!
−
x 3 x5 + . 3! 5!
Exercice 4.3.10 ()
Montrer que, pour tout x > 0
1 arctan(x) > 1 . x
, on a l’inégalité : x +
Exercice 4.3.11 ()
Montrer que, pour tout x > 0 (et x = 1), on a l’inégalité :
x ln x 1 . < 2 x2 1
−
Exercice 4.3.12 ()
Montrer que, pour tout x > 0 , on a l’inégalité : ln Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
√ 1 1 + 1 + x < + ln(x).
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2
x
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4.3 Dérivation des fonctions numériques
Chapitre 4 : Techniques
d’analyse (dérivation)
Exercice 4.3.13 () x3 Prouver que pour x 0, on a : 0 2x + 6(1 + x)
x5 (x + 2) ln(1 + x) . 60
−
Exercice 4.3.14 ()
Pour tout entier k
2,
t k
et pour 0 t 1, on pose ϕk (t) = ln 1
Pouver l’inégalité 0 ϕk (t)
1 k
− − − .
2t(1 t) . k2
−
t ln 1
Exercice 4.3.15 ()
Pourver que, pour tout x > −1, on a l’inégalité : ln(1 + x) x −
5x2 . 6(2 + x)
Exercice 4.3.16 ()
Montrer que, pour t de
+∗
R
t3 1 1 , on a l’inégalité : < 3ln(t)
−
\{ }
3
1 + t 2
.
Exercice 4.3.17 ()
Montrer que, pour tout n de N∗ , on a : e
−
e 1 1+ 2n n
n
e.
Dérivée n-ième Exercice 4.3.18 (
)
Calculer les zéros de la dérivée n-ième de f (x) =
1 . 1 + x2
Exercice 4.3.19 () Calculer la dérivée n-ième de f (x) = x n−1 ln x. Exercice 4.3.20 () Calculer la dérivée n-ième de f (x) = sin(x cos α)ex sin α . Exercice 4.3.21 ()
√ dn dn+1 √ Pour tout entier naturel n, établir que n (4x)n+1/2 n+1 e x = e x . dx dx √ Indication : poser y = e x, z n = (4x)n+1/2y (n+1) , puis établir z n(n) = y par récurrence. Pour celà, montrer que 4xy + 2y y = 0, égalité qu’on dérive n fois. En déduire z 1 + 2z 0 2y x = 0 et pour n 1 : z n+1 + (4n + 2)z n 4z n−1 = 0, et dériver n + 1 fois.
− √
−
−
Exercice 4.3.22 ()
1 1 Si f n (x) = x n−1 ln(1 + x), montrer f n(n) (x) = (n 1)! + + 1 + x (1 + x)2
−
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···
1 . + (1 + x)n Page 10
4.3 Dérivation des fonctions numériques
Chapitre 4 : Techniques
d’analyse (dérivation)
Exercice 4.3.23 () Calculer la dérivée n-ième de f (x) = ex ch a ch(x sh a). Dérivée
des fonctions trigonométriques inverses
Exercice 4.3.24 ()
√ a − b Calculer la dérivée de f (x) = arctan 2
2
sin x b + a cos x
Exercice 4.3.25 () x 2n 1 Calculer la dérivée de f (x) = arccos 2n . x +1
−
Exercice 4.3.26 ()
Calculer la dérivée de f (x) = arctan √
1
x
− x et expliquer le résultat. 2
Exercice 4.3.27 ()
On pose y(x) = arctan x. Montrer que y (n)(x) = (n − 1)! cosn y sin ny + n
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π . 2
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