Wilfred Kaplan Cálculo e Álgebra Linear Volume 1

cálculo e álgebra linear

volume

Vetores no Plano e Fun$õe$ de uma Variável

Wilfred Kaplan Donald J. Lewis Departamento de Matemática Universidade de Michigan Equipe de tradutores: Marco Antônio Raupp (Coordenador) Hilton Vieira Machado A d ii s o n José

Go nç alv al v es

Raimundo

A nt ôn io

Co n de

Marcos

Duarte

Eduardo

Kanan

Braga

Coelho

Maia Marques

Professores do Departamento de Matemática da Universidade de Brasíiia

Livros Técnicos e Científicos Editôra Ltda. Rio Rio de Jane Janeiro iro - G B /1972 /1972

1

COPYRIG COPYR IGHT HT © 1972, ALL RIGHTS RESERVED RESERVED

by

LIVR LIVROS OS

TÉCN TÉCNIC ICOS OS

E

CIENTÍ CIENTÍFIC FICOS OS

EDIT EDITÔR ÔRA A

LTDA. LTDA.

Aut A ut ho ri zed tr an sl atio at io n f ro m Engl ish is h lan^ lan ^ uage ed it io n pu bl is hed by Joh n W il ey & Sons, Inc., New New Yo rk . Copyrig ht © 1970 by John Wiley & Sons, Sons, Inc. AH AH Rights Reserve Reserved. d. Tradução auto rizada de' edição em em língua inglêsa publicada por John Wil ey & Sons, Sons, Inc., New Yo rk . Copyrig ht © 1970 by John Wiley & Sons. Sons. Todos os os Direitos Reserva Reservados. dos. Título do original em inglês: "CALCULUS AND LINEAR ALGEBRA" Volume 1.

IMPRESSO NO BRASIL/PRINTED IN BRAZIL

Capa: ag comunicação visual Itda.

Tiragem desta impressão: 8.000 exemplares Reimpressão;

1972

FICHA CATALOCBÁFICA (Preparada (Prepa rada pelo Centro Centro de Catalogação-na-fonte Catalogação-na-fonte do Sindi Sindicat catoo Nacio Naciona nall dos dos Editor Editores es de Livr Livros os,, GB) Kaplan, Wilfred Cálcn Cálcnlo lo e álge álgebra bra linear linear j por por |- Wil Wilfred fred Kaplan |e I Donald J. Lewis; tradução coor denada por Marco Antônio Raupp. Rio de Ja Janneiro eiro,, Livr Livros os Técn Técnic icos os e Cien ientífi íficos^ Brasí Brasíli lia, a, Ed. Un iv . de Brasília, 19 72. 3v. Bibliografia* Apêndices: vs. 1 e 2 1. Cálcn álcnlo lo.. 2. Álg Álgeb ebra ra linea linear. r. I Lewis, Donald Donald J., colab. colab. I I . Título. Título. CDD-517 72-0018 512.897 O

K26c

LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITÔRA LTDA. Av . Pres Pr esid id ent en t e Var g as , 962 96 2 — 10.° A n d ar — ZC-58 ZC-5 8 — C.P. 3655 36 55 Rio de Janeiro — GB.

COPYRIG COPYR IGHT HT © 1972, ALL RIGHTS RESERVED RESERVED

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TÉCN TÉCNIC ICOS OS

E

CIENTÍ CIENTÍFIC FICOS OS

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LTDA. LTDA.

Aut A ut ho ri zed tr an sl atio at io n f ro m Engl ish is h lan^ lan ^ uage ed it io n pu bl is hed by Joh n W il ey & Sons, Inc., New New Yo rk . Copyrig ht © 1970 by John Wiley & Sons, Sons, Inc. AH AH Rights Reserve Reserved. d. Tradução auto rizada de' edição em em língua inglêsa publicada por John Wil ey & Sons, Sons, Inc., New Yo rk . Copyrig ht © 1970 by John Wiley & Sons. Sons. Todos os os Direitos Reserva Reservados. dos. Título do original em inglês: "CALCULUS AND LINEAR ALGEBRA" Volume 1.

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Capa: ag comunicação visual Itda.

Tiragem desta impressão: 8.000 exemplares Reimpressão;

1972

FICHA CATALOCBÁFICA (Preparada (Prepa rada pelo Centro Centro de Catalogação-na-fonte Catalogação-na-fonte do Sindi Sindicat catoo Nacio Naciona nall dos dos Editor Editores es de Livr Livros os,, GB) Kaplan, Wilfred Cálcn Cálcnlo lo e álge álgebra bra linear linear j por por |- Wil Wilfred fred Kaplan |e I Donald J. Lewis; tradução coor denada por Marco Antônio Raupp. Rio de Ja Janneiro eiro,, Livr Livros os Técn Técnic icos os e Cien ientífi íficos^ Brasí Brasíli lia, a, Ed. Un iv . de Brasília, 19 72. 3v. Bibliografia* Apêndices: vs. 1 e 2 1. Cálcn álcnlo lo.. 2. Álg Álgeb ebra ra linea linear. r. I Lewis, Donald Donald J., colab. colab. I I . Título. Título. CDD-517 72-0018 512.897 O

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PREFÁCIO

Êste livro é o primeiro volume de um texto sôbre Cálculo e Álgebra Linear, que pretende fornecer material suficiente para cursos cursos de Matem ática dos dois prim eiros anos universitários. Nosso objetivo principal é a integração da Álgebra Linear com o Cálculo. Apesar de que estas estas duas duas disci plin as possam ser tratadas ind ependentement e, elas elas ganham mu ito em prof undid ade e significado quando relacionada relacionadass entre si. A Álgebra Linear é especialmente valiosa nos nos tópicos mais avançados avançados do Cálcul Cálcul o (funç ões de várias variáveis, equaçõe quaçõess dif erenc iais ); por ela a teoria é grandemente sim plif icada. Para Para o Cálculo elem entar a Álgebra Lin ear é menos im po rtant e. No entan to, ela é par ti cu lar  mente útil para o estudo de curvas no piano. Aí ela simplifica a teoria, revela o significado geométrico das fórmulas, e relaciona conceitos teóricos com conceitos físicos, como veloc idade e aceleração. Para Para o estudo da Álgebra Lin ear (espaços (espaços vetor iais e ma tri zes ), o Cálculo fornece um reservatório inesgotá inesgotáve vell de exemplos exemplos significativos para ilustrar e esclarecer a teoria. Neste Neste pr im eir o volu me, a Álgebra Linear aparece aparece em dois aspectos: aspectos: (1 ) vetores no plano (Cap. 1 ), e (2 ) independência independência linear e base basess para para conjuntos de funçõe funçõess (int ro du  zidos na Se Seç. 2-9 ). Ao p ri m eir o t ópic o dá-se dá-se m uit o mais pêso, pêso, e aplicaçõe aplicaçõess aparecem aparecem por todo o livro. O segundo é tratado superficialmente, mas com a freqüência suficiente para se ganhar familiarização com os conceitos, bem como confiança em manipulá-los. Êste encontro inicial com a idéia idéia de independên independência cia linear torn ará mais fácil um fu tur o estudo estudo mais aprofundado de espaços vetoriais. Onde é possível, o texto dá ênfase aos aspectos geométricos da teoria, tanto em Cálculo como em Álgebra Linear. Na verdade, gradualmente ficará claro que a Álgebra Lin ear é um Ins tru m ent o'es sen ci al para o desenvolv imento da Geometr Geometr ia e suas suas relações relações com o Cálculo. Geometria é freqüentemente usada para motivar demonstrações e enfatizar o aspecto qualitativo de algum teorema. Ao mesmo tempo, o aspec to computacional, tanto do Cálculo como da Álgebra Li near, é in teir amen te desenvolvido , e o estudante é motivado para o uso de computadores. Nós Nós acreditamo s que, para serem serem efetivos, tanto os matemáti cos como os que usam Matemática devem ter uma intuição qualitativa da teoria, bem como uma destreza nos métodos que dão resultados quantitativos. Êste princípio motiva a nossa discussão por todo o livro. O desenvolvimento matemático de um tópico inclui um tratamento rigoroso e es sencialmente auto-suficiente do material. Entretanto, em geral, as idéias difíceis são primeiro apresentadas intuitivamente, depois formuladas precisamente, il ustradas, e, finalmente, completamente estabelecidas. As demonstrações difíceis estão em seções sepa radas, radas, marcada marcadass com ( J ) , e pode podem m ser ser fàcilm ente omiti das. Além disso, se seçõe ções de dificuldade média, que podem ser omitidas sem afetar a continuidade, são marcadas com ( + ). O sinal ( J ) é também usado usado ocasionalmente ocasionalmente para Indicar um problema especialmente difícil.

PLANO DO TEXTO o Cap. Cap. 0, um capítulo intro dutó rio, é para para ser ser usado usado como referê referência ncia c. para revi são. Parte dêle (ou todo) pode ser estudada em maior profundidade, de acôrdo com a base dos estudantes.

o Cap. 1 introduz geometria plana.

os vetore vetoress

no plano;

a

aprese presentaçã ntação o

apóia-s póia-se e fortemente

na na

O Cap. 2 revisa e desenvolve a idéia de função e apresenta o conceito de limite como o primeiro passo no desenvolvimento do Cálculo. O axioma do menor limitante superior é Intro Intro duzido no final e, numa seçã seção ( J ) , é usado usado para para demonst rar os teorema teoremass principais. O Cap. 3 é um desenvolvimento sistemático do Cálculo diferencial, com algumas aplicações à geometria e às ciências. As derivadas de sen x, cos x, In x e são dadas com uma justi fic ação intu iti va e são são usadas usadas freqüent emen te; as demonstrações rigorosas são transferidas para o Cap. 5. Conseqüentemente, elas estão à disposição dos estudantes de Engenharia e Física para uso imediato. Um estudante completando êste capítulo fica com uma base sólida em Cálculo diferencial. Vetores aparecem em vários pontos, espe cialmente para curvas em forma paramétrica. O Cap. 4 é um tratamento completo do Cálculo integral. As seções introdutórias explicam as idéias de integrais definidas e indefinidas. Então, as principais técnicas para encontrar Integrais indefinidas são desenvolvidas. Finalmente, a terceira e mais longa parte é devotada à integral definida, com algumas aplicações, especlaimente Cálculos de área e comprimento de arco. A definição da integral é baseada nas estimativas s upe riores e inferiores, e leva a uma demonstração simples do teorema principal para integrais de funções funções contínuas. contínuas. A integral de Riemann Riemann é também definid a e, e, numa s eç ão(^ ), mos trada ser equivalente à integral defi ni da, para funções contínuas. Dá-se Dá-se ênfase ênfase a métodos computacionais e computadores. O Cap. 5 é um tratamento breve e rigoroso das funções trigonométricas, logarítmicas, exponenciais e outras relacionadas com elas. Êste capítulo pode ser omitido sem afetar a con tin uid ade, vis to que todos os resultados resultados p rin cip ais são dados em outr as partes do texto. O Cap. Cap. 6 apresenta apresenta outras aplicações aplicações do Cálcul Cálcul o di feren ci al: teste testess para máximos e mínimos, gráficos de curvas planas em coordenadas retangulares e polares, o método de Newton, Newton, a fórm ula de Taylor e formas indeterminadas. A maio r parte dêste dêste capítulo pode ser ser estudada im ediatam ente após após o Cap. 3, se assim se desejar, po is a integração sòmente aparece ocasionalmente. Em particular, as Seçs. 6-1 a 6-5 não fazem referência alguma à integração. O Cap. 7 apresenta aplicações da integral definida aó Cálculo de áreas, em coordenadas retangulares e polares, volumes de sólidos de revolução, momentos de dis tribu ições de massa massa e centróid es. Integrais de linha são introdu zidas em vários pontos. Opapel da int egração na nas Ciências Físicas Físicas é bem ilu str ado . Exis Exis tem discussões discussões sôbre int egrai s im pr óp rias e as regras do trap ézio e de Simp son . Seis Seis seçõe seçõess são devotadas às equa equaçõe çõess diferen ciais ; elas elas estão estão incluídas aqui: (1 ) porq ue o seu seu desenvolvim ento é uma extensão extensão natural da teoria ant erio r e (2 ) para torná-las disponíveis, já neste estágio estágio in ic ial , aos estudantes de Engenh aria e Física. O mater ial co berto é adequado para a maioria dos problemas que êstes estudantes encontrarão em seus primeiros anos de estudo. Grande parte do material apresentado neste capítulo não é essencial para os subsequentes. subsequentes. O professor deve deve escolher os tópicos a serem dis cutidos de acôrdo com o interesse dos estudantes, o seu próprio, e o tempo disponível. O Cap. 8 refere-se refere-se às às seqüências inf in it as e séries, testes de con vergênc ia, reor de nação e produto de séries, séries de potências, fórmula de Taylor e série de Fourier. Algu mas referências são feitas às séries complexas. Êste capítulo é consideràvelmente inde  pendente dos outros e pode ser estudado mais cedo ou mais tarde. No volume III (a ser publicado) os títulos dos Capítulos serão os seguintes; Cap. Cap. Cap. Cap. Cap. Cap. Cap. Cap.

9. Espaço Espaçoss Veto ri ais . 10. Matrizes e Determinantes. 11.. Geometria Euclidiana. 12. Cálcul Cálcul o Diferencial de Funções Funções de Vári as Variáveis . 13. Cálculo Integral de Funções Funções de Vár ias Variáveis . 14. Equações Diferenciais.

Numerosos problemas são propostos em todos os Capítulos. Respostas para alguns selecionados aparecem ao fim de cada volume. Os problemas para os quais são fornecidas respostas têm seus números ou letras indicados em negrito. Nós agradecemos ao editor pela sua colaboração, e especialmente a John B. Hoey pela sua ajuda e encorajamento. Queremos expressar ainda nossa apreciação à Sra. Helen M. Ferguson por seu excelente trabalho de datilografia do manuscrito.

Wilfred Kaplan Donald J

An n

A rb ot ',

19 69 .

Lewis

CONTEÚDO

Volume 1 CAP. 0 — INTRODUÇÃO, INTRODUÇÃO, 1 Rovisio do Algebr», Algebr», GM m *trÍa • Trigono m etria, etria, 1 0-1 0-2 -

Os Números Reais, 1

0-3 -

Valor Absoluto, 5

0-4 0-5 -

Conjuntos, 7

Desigualdades, 4

Geometria Plana e Espacial, 10

0-6 0-7 -

Geometria Analítica, 12

0-8 0-10-

Sistema de Equações Lineares, 17 [)eterminantes, 20 Funções, 24

0-11-

Funções Reais de uma Variável Real, 27

0-12-

Funções Reais de Várias Variáveis Reais, 28

0-130-14-

Gráfico de um Polinómio do Segundo Grau, 30 Circunferência, Elipse, Hipérbole, 33

0 -1 5 -

T r ig ig o no no m et et ri ri a, a, 39 39

0-16 0-16--

Coorde oordena nada dass Pola Polare res, s, 41 41

0-17 0-17-0-18-

Núme Número ross Comp Comple lexo xos, s, 43

0-19-

Expoentes e Logaritmos, 48

0-20-

indução, 51

0-21-

O Teorema Binomial. Permutações e Combinações, 54

0-9 -

Equações Lineares em x e y, 14

Equações Algébricas, 47

CAP. 1 — GEOME TRIA VE TOR IAL IA L EM DUAS DUAS DIMENSÕES, 57 1-1 1-1 -

Introduç ão^ 57

1-2 1-2 -

Segmentos Segmentos Orientado s

1-3 -

Adi ção de Veto res , 61

1-4 -

Subt ração de Veto res , 63

1-5 1-5 -

Mui tip lícaç ão de Vetores

1-6 í-7 -

Aplicações Geométric as, 69 Independência Independência Li near, Base, Base, 71

1-8 -

Vetores

1-9 -

Ângul o Entre Vetor es, Base Bases Ortogon ais, 78

1-101-10-

Produto Intern Intern o (Produ to Escalar), 82

1-111-111-121-12-

Propriedades do Produto in terno , 84 Ângulo Ori entad o de Dois Vetores, Fórm ula da Área, 88

e Vetores, 58

por

Escalares, Escalares, 64

Como Pares Pares de Núm eros , 75

1-131-141-15-

Apli cações à Física, Estátic a, 92 Equação da Linh a Reta, Reta, 96 Equações Equações Param étri cas da ret a, 98

1-16-

Equação Li near da Reta, 99

CAP. CAP. 2 — L IMITES, 103 103 2-1 2-1 -

Conceito de Função, Term ino log ia, Composição, 103

2-2 2-3 -

Análise Qualit ativ a de Funçõe Funçõess de uma Vari ável , 107 Operações com Funções de uma Vari áve l, 1Ú8

2 -4 -

Funçõe Funçõess Inversas, Inversas, 112

2-5 -

Li mit es, 117

2-6 -

Conti nuid ade, 123

2-7 2-8 -

Teoremas Sôbre Lim ites e Continu idade, 128 Conti nui dade de Polinóm ios e Outr as Funções Funções Comuns , 135

2-9 2-10-

Espaço Espaço Vet or ial de Funções, 140 Limit es quando X tende tende a + oo ou —

2-11-

Lim ites Infin ito s de uma Função, 146

2-12-

Lim ites de Seqüência Seqüênciass

2-132-14-

O Axiom a do Menor Lim itant e Superior, 158 Demonstrações Demonstrações dos Teoremas Teoremas Sôbre Lim ites e Conti nui dade, 162

Inf Inf in itas ,

oo, oo, 144

152

CAP. CAP. 3 — CÁL CULO DIFERENCIA DIFERENCIA L, 171 3-1 3-2 -

Mot iv ação, 171 171 Definição de Derivada, 176

3-3 3-4 3-5 -

Regras Regras Fund ament ais para a Deriv ação, 187 Demonstraçõ es das Regras Regras de Deriv Deriv ação, 190 A Regra de Cadei a, 199

3-6 -

Derivada de Funções Funções Invers as, 206

3-7 3-8 -

Funções Funções Relacion Relacion adas, 213 Funçõe Funçõess Imp líci tas, 216

3-9 -

Equações Equações Param étri cas , 222

3-103-11-

Funçõe Funçõess Vetor iais , 227 Derivação Derivação de Funções Funções Veto riai s, 230

3-12-

Regras Regras para a Derivaç ão das Funções Vet or iai s, 23 3

3-13-

Equação das Reta Retass Tangente e No rm al, Ângul o Entre Duas Duas Curv as, 23 7

3-14-

Derivadas Segundas, Segundas, Derivadas de Ordens Sup erior es, 242

3-15-

Signif icado Geom Geom étrico das Derivadas de Ordens Superiores, 245

3-163-17-

Signifi cado Físico Físico das das Derivadas Derivadas de Ordens Superiores, 248 Derivadas Superiores para Funções Compostas, Funções Funções Definidas por Equações Paramétricas, 253

3-18-

Derivadas Derivadas Superiores de Funçõe Funçõess Vetori ais , 256

3-19-

Máximos e Mínim os, 259

3-20-

Teorem a de Rolle, 266

3-21-

Teorema do Val or Médio, 267

3-22- A Diferen cial, 273 3-23- Regra Regrass do Cálcul Cálcul o em em Função de Diferenciais, 2 76

Inversas,

3-24- Aplicações Aplicações Numéricas da Diferenci al, 279 3- 25- A Dif erenc ial e as Tangentes, 281

CAP. 4 — CALCULO INTEGRAL INTEGRAL , 286 4-

1 -

intr odu ção, 286

4-2 -

A Integral Integral Indefin ida, 286

4-3 4-4 -

A Integrai Definid a, 291 291 Ârea, 297

4-5 4-6 -

Propriedades Propriedades Fundamentais da Integral Ind efinid a, 302 Aplicações das das Regra Regrass de integraç ão, 305

4-7 4-8 -

Substituição em em Integrais Integrais Indefinidas, 308 Teoremas Sõbre Substit uições, 315

4-9 4-10-

Integração po r Partes, Partes, 320 Decomposição Decomposição de Funçõ Funções es m ci on ais Raíz Raízes es Reai s), 32 3 ^

4-11-

Demons tração do Teorema da Decomposição Decomposição em em Frações Frações Parciais Parciais para o Caso de Raízes Reais, 327

4-12 -

Decompos ição em em Frações Parciais Parciais (C^so das Raí Raíze zess Com Com plexas e dos Fatôres Quadráticos), 331

4-13-

Integração de Funções Funções Dadas Dadas por Fó rmu las Diferentes em Adj A dj acen ace n tes , 33 6

4-144-15-

Métodos Métodos Aproxim ados Para Para Encont rar Integrais Integrais indefinid as, 340 ^ A Definição Definição da Integral Integral Definida, 34 4^

4-16-

Propri edades da Integ Integ ral Defin Defin ida, 351

4-17-

O Teorema Fundamental do Cálculo, Cálculo, 35 5j

4-18-

Área, 362

4-19-

Area sob uma Cur va, 364

4-20-

A Integral Como Como um Acu mu lador, 371 371

4-21-

Integração po r Partes Partes e Substi tuiç ão, 376

4-2 24-23-

Funções Pares Pares e Funções Funções ímp ares, 379 Desigualdade Desigualdadess para Integrai Integrai s, 382

4-244-25-

Teorema do Valo r Médio Para Para Integrais, Integrais, 383 A Integral Integral Definida Definida Como um Li mi te, 387

4-26-

Demonstração Contínua, 392

4-27-

Compr iment o de Arco, 397

4-28-

A Funçã Função o Comp rim ento de Arco, 402

4-294-30-

Mudanç a de Parâmetro , 403 Integração de Funções Funções Contínuas por Partes, 408

4-31-

Integração de Funções Funções Veto riai s, 416

xià

em Fraçõe Fraçõess Parciais Parciais

Intervalos

Existência da integral de Ríemann de uma Função

APEND A PENDtt CE T-

Tabela de Integrais Integrais Ind efin idas , 425

2-

Funções

345-

Funções Funções Expon enciais , 439 Logaritmos Naturais, 443 Fórmulas Trigonom étricas, 446

Trigonométricas

RESPOSTA DOS PROBLEMAS

(Caso (Caso de

Para

Ângulos

em

Radianos,

435

CONTEÚDO

Volume 2 CAP. 5 — AS FUNÇÕES FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS TRA NSCENDENTAIS ELEMENTA RES, 463 5-1 -

As Funçõ Funçõe es^ Seno e Co -Sen o, 463

5-2 -

Extensão do Cos

5-3 5-4 -

Identidades, 470 Função Ângulo ,473

5-5 -

Exist ência e Unic idad e da Função Ângul o ,477

5-6 -

Intôg ral de Uma Funç ão Racional de Sen Sen x e Cos Cos x ,479

5-7 •

As Funçõe Funçõess Exponencial Exponencial e Lo gar ítm ic a, 482

5-8 -

A Função Exponencial Complexa , 490

5-9 -

Funções Funções Hiper bó lic as, 494

%

e Sen s ao Intervalo Infinito, 467

5-10- Relaçã Relação o Entre Funçõe Funçõess Hiperbólicas e Trig ono métr icas, 495 5 - 11- Classifi cação de Funções, 498

CAP. 6 — APLICAÇÕES APLICAÇÕES DO DO CÁLCULO DIFER ENC IA L , 502 502 6- 1 - Teste Testess para Máximos Máximos e Mínimos , 502 502 6-2 - Máximos e Mínim os Condicionados. Mul tip lic ado r de Lagrange, Lagrange, 513 6-3 -

Concavidade e Convexidade; Pontos de in flex ão,

6-4 -

Observações no Tr-aça Tr-açado do de um Gr áfi c o ,

6-5 -

Mudança de Coo rden adas, 534

6-6 -

Curvas Curvas Planas: Planas: Equaçõe Equaçõess Vetori ais;

6-7 -

Componentes Tangencial e Norm al da Aceleração. Aceleração. Círculo Círculo , de Cu rv at u ra,

6-8 -

Curvas Curvas em em Coordenadas Coordenadas Pol ares ,

6-9 6-10-

Aceleração Aceleração e Curv atur a em Coordenadas Coordenadas Po lares, 562 Método de Newton , 569

6-116-12-

Estimativa do Er ro , 575 Fórmula de Taylor com Resto, 581 581

6-13-

Êrro no Método de Newton , 586

6-14-

Formas Indeterm inadas , Regra Regrass de L'H os pi tal,

6-

15-

519

52 2

Cur vat ur a, 551 551

556

Demonstr ações das das Regras Regras de L'Ho sp ital ,

589 595

CAP. CAP. 7 — APLICAÇÕES APLICAÇÕES DO CÁL CULO INTEGRAL INTEGRAL , 601 601 7-

1 -

Área entre duas duas Curvas, 601 601

7-2 -

Área em em Coordenadas Coordenadas Polares, 604

7-3 -

Uma Fórm Fórm ula Geral Geral de Á re a, 607

7 -4 -

Uma Uma

7-5 -

Volum e de um Sólido de Revoluç ão, 620

7-6 -

Sólidos

7-7 -

Vol um e de Outr os Sólidos , 629

Nova Nova Aproximação Para Para Á rea, de

Revolução:

Coord enadas

615

Polares

e

Fórmula

Paramétrica,

7-87-9 -

Área de uma Superf ície de Revoluç Revoluç ão, 633 Distribu ição de Mass Massa a e Outras Outras Distrib uiçõ es, 638

7-10-

Distrib uiçõ es de Massa Massa no Plano, 645

7-11-

Centró ide, 650

7-127-13-

Dist rib uiç ão de Massa Massa Sôbre Curv as, 651 651 Outras Aplicações Aplicações da Integr ação, 656

7-14-

Integrais Integrais Imp Imp róp rias, 665

7-15-

Equações Equações Diferenc iais, 675

7-167-177-18-

Equaçõ Equações es Diferenciais Diferenciais de Prim eira Ord em , 677 Equaçõe Equaçõess Diferenciais Lineares Lineares de Segun Segunda da Ord em , 681 681 A Equação Diferencial Linear Homogênea de Segunda Coeficientes Constantes^ 684

7-197-20-

A Equação Equação Linear Não Homogênea cientes Constantes, 686 Vibrações / 689

7-217-22-

Avaliação Numéric a de Integr Integr ais, Regra Regrass dos Trapézios, 694 694 Regra Regra de Símp so n, 697

7-237- 23-

Demonstrações de Expressões Expressões Para Êrro de Simpson, 701

de Segunda Segunda

Ordem

com

co m

Coefi

Ord em

nas nas Regras Regras dos Trapézios Trapézios e

CAP. CAP. 8 — SÉRI SÉRIES ES INFIN ITA S , 707 8-

1 -

Intro du ção, 707

8-2 -

Sucessõe ucessõess Inf in it as , 709

8-3 . 8-4 -

A Condi ção de Cauchy Para Para Sucessões , Séries Séries Infin it as, 716

8-5 -

Propr iedades das Séries Séries Inf in it as , 723

8-6 -

Cri tér io de Cauchy Cauchy Para Para Série Sériess Infin itas , 726

8-7 ^

Testes Testes de Co mp aração . Para Séries Séries con conr» Termo s Não Neg ati v os , 728

8-8 -

O Teste da Integr al , 731 731

8-9 -

Convergência Convergência A bs ol ut a, 735

8-108-1 0-

Testes da Razão Razão e da Raiz .736

8-118-12-

Séries Séries Al tern adas, 740 Reagrupamen to de Séries , 742

8-13-

Produtos d© d© Séries, 744

8-14 -

Sucessões Sucessões e Séries de Funç ões , 748

8-15-

Séries de Potên ci as, 751 751

8-16-

Demon str ação do Teorem a do Raio de Convergência , 754

8-17-

Propriedades das das Séries Séries de Potências, 756

8-18-

Demonstração do Teorema das Propriedades Propriedades de Série Sériess de Potênci as, 761 761

8-19-

Fórm ula de Tayl or com Resto, Resto, 765

8-20-

Séries Séries de Taylo r, 767

8-21-

Av aliaç ão Num éric a de Funções Funções por Séries Séries de Potências Potências , 773

8-228-238-24-

Série de Potências Como Solução de Equaç Equações ões Diferenc iais , 778 Séries Séries de Potências Comp lexas , 782 Séries Séries de Fo u ri er , 785

RESPOST RESPOSTAS AS AOS A OS PROB P ROBL L EMAS EMA S , 816 ÍNDICE ALFABÉTICO , 825

713

INTRODUÇÃO REVISÃO DE ÁLGEBRA, GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA

Neste capítu cap ítulo lo apresentamos apresenta mos um resumo de tópicos tópico s de álgebra, geometria e trigonomet trigon ometria ria essencia essenciais is para par a o restante do livro. No fim do capítulo capí tulo são dadas referências referências onde êstes êstes tópicos tópico s são totalmente tota lmente cobertos. Também apresentamos um certo número de exercícios através dos quais o leitor poderá pode rá refrescar seus conhecimentos e testar testa r sua base para pa ra o que segu segue. e.

0-1. 0-1.

Os Nú m ero s Reais Reais

Os números reais aparecem naturalmente quando se medem distâncias ou, mais geralmente, quando se consideram as posições relativas de pontos em uma reta. Escolhemos um pont po nto o de referência O sobre a reta, uma unidade unidad e de distância e indicamo indicamoss a posição posição de cada ponto na reta dando sua distância de O, em função da unidade escolhida; para distinguir os ponto po ntoss em um lado lad o de O daqueles no outro lado, atribuímos um sinal mais aos primeiros e um sinal menos aos últimos. últimos. O sinal mais, mais, entret ent retant anto, o, usualmente nã o é escrito. O resultado disso é o familiar eixo dos números da Fig. Fig. 0-1. 0-1. Todo núme nú mero ro real é representado representa do por um ponto sôbre o eixo, e cada ponto do eixo representa um único número. O ponto O representa

J ___ ___ L -4

O 3 t t

-3

V2^ ú Fig. 0-1. 0-1.

A

V3

Eixo dos núm ero^

O número número 0 (z (zero), ro), os pontos situad situados os a uma unidade de O correspondem aos númer números os - f 1 e — 1, os pontos a duas unidades de O correspondem aos números 2, —2, e assim por diante. Os números que correspondem a um número inteiro de unidades para par a o lado mais são sã o os inteiros positivos: 1 ,2 ,3 ,. .. , 10, , 3567, . . . ;

aquêles que correspondem a um número núme ro inteiro inte iro de unidad u nidades es para par a o lado menos são os inteiros negativos: ~ 1, 1, —2, —2, —3 , . . — 10 , .. — 5 0 , .. . Os números núme ros 0, 1, — 1, 2, — 2, 3, 3, —3, .. . são sã o chamados cham ados inteiros. Visto que podemos podemos dividir qualq qu alquer uer segmento de reta em um número núm ero dado de partes iguais, temos números númer os fracionár fraci onários: ios: 3 1/2, /2, 5 1/4, 1/4, — 2/3, 2/3, . . . Como em aritmética, cada fração pode ser escrita na forma mjn, onde m t n são inteiros t n é positivo. Chamamos êstes êstes números núme ros de números racionais. Um número real que não é racional é chamado irracional. Duas Du as expressõe expressõess que represent repres entam am números se dizem iguais ig uais se corres pondem ao mesmo pont po nto o sobre sobr e o eixo dos números. Assim Assim,, 1/2 e 2/4 são iguais porque ambos correspondem ao ponto médio do segmento indo de 0 até 1. 1. Em geral, números númer os racionais raciona is mjnQ pjq são iguais precisamente quando mq = np\ para todo número racional mjn podemos encon trar um outro número racional pjq pj q igual, tal que p Q q não tenham di visor comum. comum. O sinal sinal de igualdade ( = ) obedece a esta estass regra regras: s: se a=6, então b=^a\ se a = b e b=c, então a=c. Escrevemos a ^ ^ b para indicar que a não é igual a b. Quando procuramos procura mos determinar o comprimento da hipotenusa hipotenusa de triângulos retângulos que possuam um dos lados com comprimento uni tário, somos levados aos números y/~2, como sugere a Fig. 0-2. 0-2. Pode Pode-s -see mostrar que \ / T não nã o é um número número racion racional, al, sendo sendo,, portanto porta nto,, irracion irracional. al. Existe Existem m muitos outros outro s números números irracionais irracionais (por (po r exemplo, * \/X \/ X \ / 6 ) , cada um um exprim exprimind indo o o comprimento comprimento de um um seg segme mento nto de reta.

Fig. 0-2.

Núm eros irracionais irraciona is

e, portanto, representado por um ponto sôbre nosso eixo dos números. ir, o comprimento Também ir, compri mento da d a circunferência de diâmetro 1, é um número irracional.

0. 1 .

os

NÚMERO NÚMEROS S REAIS REAIS

A coleção cole ção de todos todo s êstes êstes números, os inteiros, inteiros , os racionais, os irra irr a cionais, forma a classe de todos os números reais. Podemos Podemos atribui atri buirr a cada número real uma representação decimal, por exemplo, 137,56214..

- 33 ,33 33 3..3 ,14 15 92 .. ..

Normalmente a representação representaçã o não termina, entã en tão o falamos falamos de uma decim decimal al infinita. Uma decim decimal al finita fini ta é um número núme ro racional; racio nal; por p or exemplo, 1,79 1,79 ^ = 179/1 179/100 00.. Entre En tretan tanto, to, nem todo número núme ro racional raciona l é igual a uma decimal decimal finita. Por Po r todo êste êste livro a palavra “ número núm ero”” normalmente indicará '*nú '*nú-mero real”. Os inteiros positivos e o zero zero desempenham desem penham um papel especial especial no processo de contagem, isto é, na determinação determ inação de quanto qua ntoss objetos objeto s existe existem m numa dada dad a coleção. Quando Quan do não nã o existe existe nenhum, nenhu m, dizemo dizemoss que existe existem m zero objetos ou que a coleção é vazia. Quando, Quan do, para algum algum inteiro positivo positivo podemos contar cont ar os objetos usand us ando o os inteiros 1, 2, 3, . . . n, dizemos dizemos fin ita.. (Uma coleção vazia também que existem72 objetos e que a coleção é finita é dita finita.) Qu ando and o não podemos contar con tar os objetos objetos dessa dessa maneira, maneira, dizemos que a coleção é infinita. Por Po r exemplo, a coleção de todos os inteiros é infinita, como também o são o conjunto dos inteiros pares e o conjunto dos números reais entre 0 e 1. Quando temos números à disposição,, esperamos naturalmente poder somá-los, somá-los, multiplicá-los multipl icá-los e possivelmente subtra sub traí-l í-los os e dividi-los. Diz-se Diz-se que uma coleção de números forma um sistema numérico quando adição e multiplicação estão definidas dentro do sistema e as seguintes proprie dades estão satisfeitas para números a, é, c quaisquer do sistema: 1.

a+ b — h

2.

a + (^ + c) c) = (a + 6) + c. c.

3.

0 está no siste sistema ma e a + 0 = a.

4.

Para qualqu qua lquer er a no sistema, existe uma única solução da equação ^ — 0. Denota Denotamos mos esta esta soluçã solução o por — a.

5.

ab = ba.

6.

a{bc) = {ab)c.

7.

1 está está no sist sistem emaa e tíi • 1 = c.

a.

(le (lei comutativa da adição) adição ) (lei lei asso associa ciativ tivaa da adição)

(lei (lei comutativa comutat iva da multiplicação) multipli cação) (le (lei associativa da multiplicação)

8. Para qualquer qualq uer a 0 no sistem sistema, a, existe existe uma única solução da equa eq uaçã ção o ajc == 1. Denotamos Denota mos esta soluç sol ução ão p or 9.

a{b + c) = fld + ac. ac.

(lei (lei distributiva) distribut iva)

INTRODUÇÃO

Destas Destas regra regrass podemos podemos mostrar a possibilidade de subtrair subt rair e dividir quaisquer quaisq uer dois dois números, números, com exceção da divisão po r zero. zero. Além Além do mais, ab = 0 se, e somente somente se, se, a = 0 ou 6 = 0. Também (— a) (— ( — b) = = (ab) e (— a) b = — (ab). Como Com o sabemos sabemos que a coleção de todos os números reais obedece obedece às regr regraas 1 , . . 9 , pode podemos mos dec declar larar ar que os os números números reai reaiss formam formam um um sist sistem emaa numérico. (Existem (Existem outros outro s sistem sistemas as numéricos, p o r exemplo o forma for mado do pelos números núme ros racionais e o form fo rmad ado o pelos números núm eros complex com plexos; os; ver Seç. eç. 0-17.)

0-2.

Desigualdades

Os números sobre o lado mais de O na Fig. Fig. 0-1 0-1 são chamados chamad os nú nú  meros positivos, os sôbre sôb re o lado lad o menos são chamados cham ados números negati negativos. vos. Um número que é não negativo é então positivo ou 0; um número que é não positivo é negativo ou 0. Para dois números a, 6, escrevemos a a (b é maior do que a) quando b — a é positivo. positivos, a < b indica que b corresponde a uma distância de O maior do que aquela a que a corres co rrespo ponde nde.. Se a é negativo e Z»é positivo, positivo , entã en tão o b -- a é positivo; assim todo número negativo é menor do que qualquer número positivo. positivo. Se a e è são ambos ambos negativo negativos, s, en tão tã o a < b quando b está mais perto de O do que a. Em todos os casos, a 2

Fig. 0-3.

63

fli < bu 02 < Ò2, az < 63

Os sinais sinais < e > são chamados sinais de desigualdade e satisfazem as seguintes regras:

St a 9^ b, então a b. 11. St a 0, entã en tão o ac < bc,

14. 14.

Se úf < 6 e c < 0, entã en tão o ac > bc,

15.

Para Par a nenhu nen hum m a se tem a < a.

16.

Se 0 

17.

Se a

a

0, entã en tão o a^ > 0.

4“ ^

b

c.

0-3.

VALOR ABSOLUTO ABSOLUTO

Se a e 6 são po positi sitivo voss, então 0 < ú í e 0 < 6 , o que que implica lica,, pela pela regr regraa 12, b < a + b e, e, portanto, pela pela reg regra ra 11 11, 0 < a + è; do mesm esmo mo modo do,, pelas regras 13 e 11, 0 < ab. Assim m, a soma e o p rodu ro duto to de números ab. Assi positivos são positivos. Visto que a + ( — a) = 0, é impossível impossível para a e — a serem serem ambos ambos positivos. positivos. Podemos combinar os sinais de igualdade e desigualdade: o símbolo signif significa ica “ úf = i ou a é menor men or do que è” ou, equivalente equivalentemente, mente, n ão é maior maio r do que Também escrev escrevem emos, os, po porr exemplo, a < b < c para pa ra indicar indi car que b é maior do que a mas nã nãoo é maior do que c. c. Uma expressão tal como a < b é chamada uma desigualdade; uma expressão tal como a < b < c é chamada uma dupla desigualdade, 0 -3 -3 .

Valo r Ab so luto

As regras regras para par a desigualdades permitem-nos definir o valor absoluto abs oluto de um número real a, o qual denotaremos por \a \. Definimos se 18.

\ a \

=

c

> 0,

se ^ < 0. 0.

a

Assim \2\ = 2 , !— 1,3 ,3|| = 1, 1,3. Em ge gera ral, l, |a j é o maior entre entre a, e — a. Da definição segue-se que 19. \a\ > 0, e \a\ é igual a 0 únicamente se a = 0. O valor absolu abs oluto to obedece estas estas regr regras as adiciona adicionais: is: 20 .

\a\ \a \ = \ — a\; a \;

21. \ a b \ ^ \ a \ \ b \ - , |a + è| < lal lal + |6l. 22 . Conseqüentemente, observamos que \a\ = \(a + b) - b\ < \ a + b\ + \ - b\ = \a + b\ + \ b\

de onde b\ . la | - 1*1 < la + b\.

Mas, anàlogamente, obtemos |í>| — |a | < |c + 61 e daí, temos a regra: 23.

| |a | - |ô || < la + 61.

in t r o d u ç ã o

Os números reais reais possuem uma uma outra ou tra proprie pro priedad dadee essencial essencial que não pode ser deduzida deduzi da das propriedades propried ades 1 até 9; esta propriedad propr iedadee é o princípio do menor limitante superior. Não necessitaremos deste princípio imediatamente e portanto adiaremos sua discussão para o Cap. 2, onde êle é necessário. sário. Usando Usan do êste êste princípio, podemos mostrar que todo número nú mero real pode ser ser representado represent ado como uma deci decim mal infinita. infinita. Por enqu en quan anto to suporemos suporemos que os números reais e as decimais decimais infini inf initas tas são o mesmo mesmo sistema numérico.

PROBL PROBLEMAS EMAS * 1. (a) (b)
Encontre Encontre Encontre Encontre

um inteiro x tal que 10 \ / T < x < 10 y / T . um inteiro x tal tal qu que — 5 \Z2” \Z2” < jc jc < — 3 V T . um número racionai x tal que < x < y /T , 0,01. um número racional jc tal que tt < jc < tt + 0,01.

2. Determine sc x < y, x = (a) (a) JC= - 3,

ou x > y para

- 2

cada um dos seguintes casos:

(b) (b) JC- 1, >» = - 2

(c) JC= \ / 3 — V T , y = y / T — y / l 1

(d) a:

V T - y /T i

3. Calcule:

(a)

1 . y =

y/T -y/n

i - 3,5i, (b) (b) !0,2|, (c) (c) ÜJc ÜJcH H, (d) j— Iat U ,

(e)

|jc-y!

-

jc| jc|

4. Mostre que \a — b\ pode ser interpreta interpretado do como a distância entre a g b sôbre o eixo dos números. 5. Achar jc em cada um dos casos: cas os: (a) ]jc| ]jc| = 0, (b) ( b) | jc | = 2, (d) ía : + 1| = 1.

2, (c ) |;c — 1 1 = 2,

6. O símbolo y/ jF indica 0 se jc == == 0 e a raiz quadrada positi p ositiva va de jc, jc, se jc > 0. 0. Justifique Justifique as seguintes regras para todos reais jc e (a) y / ^ = |jc|

(b)

(c) (x ÍJf| )2 =

(d) y / ^ — Ix y

y ’^

= |jc — y\ y \ .

7. Mostre que as regras regras 20 e 21 21 são sã o válidas para todos os o s números reais a g b, 8. (a) (b) (c) (d) (e) (f)

a l//>?

9. Prove Prove que, que, se jc e y são racionais, então xy *

g

x

y também

serão.

Os problemas problemas numerados em negrito terão as respostas dadas no final dêste volume.

0-4 .

CONJUNTOS

0-4.

7

Conjuntos

Em matemática as palavras coleção, classe e conjunto, são sinônimos. A palavra conjunto é, entretanto, mais comumente usada. Um conjunto de números, significa uma coleção de números reais, po r exemplo, os números 1, 2, 3, 4 ou todos os inteiros positivos, ou todos os números negativos. Podemos especificar um conjunto de números dando uma propriedade oomum aos números no conjunto e unicamente a êstes; por exemplo, o conjunto de todos os números que são inteiros positivos pares, ou o con ju nto de todos os números x para os quais 1 < x < 2. Um conjunto finito pode simplesmente ser especificado dando-se a lista de todos seus elementos; p.or exemplo, o conjunto formado pelos números 5, 7 e 11. Uma notação geralmente usada para descrever conjuntos é sugerida pelos seguintes exemplos: { x \ x > l},

{x I

^2

+

2x

-

1=

0}

,

que significa o conjunto de todos os números x maiores que 1. que significa o conjunto de todos os números x para os quais x^ + 2 x — —1 = 0, portanto, o conjunto que con siste de ambas as raízes desta equação do 2.® grau

Um conjunto, uma vez especificado, pode ser denotado por uma única letra. Assim, muitas vêzes escrevemos R para o conjunto de todos os números reais. Por união de dois conjuntos A e B entendemos o conjunto C que con siste dos objetos QmAe dos objetos em B, Assim, x está em C exatamente quando x está em ^ ou ;c está em B (ou talvez em ambos). Por exemplo, R é Si união dos números racionais e dos números irracionais. A união dt A e B é usualmente denotada por A U B (ver Fig. 0-4).

Fig. 0-4.

União e interseção

AU B

AHB

Por interseção de dois conjuntos A e B entendemos o conjunto C que consiste dos objetos que estão em ambos, A q B, Assim, se A é o con-

8

INTRODUÇÃO

ju nto dos inteiros pares (todos os inteiros divisíveis por 2) e ^ é o conjunto de todos os inteiros positivos, então a interseção át A ^ B consiste dos inteiros positivos que são pares. A interseção át A q B é usualmente denotada por A C\ B o\x AB (ver Fig. 0-4). Um conjunto sem objetos é chamado um conjunto vazio, Como dois quaisquer conjuntos vazios são indistinguíveis, nós falamos do conjunto vazio, e denotamo-lo por 0 . Os objetos num conjunto são chamados elementos do conjunto, e se todo elemento num conjunto A é também um elemento do conjunto jB, então diz-se que A está incluído em B ou que A é um subconjunto de B, O sím bolo AC . B é usado para indicar esta relação.(0 Se A C B ^ B C A, então A ^ B , Intervalos. Por um intervalo entendemos um conjunto que consiste de todos os números reais que se encontrem entre dois números dados, e que, talvez, inclua um ou ambos números dados. Um intervalo, pois, é descrito por uma dupla desigualdade (Seç. 0-2). Por exemplo, 0 < < jc < 1 descreve o conjunto consistindo de todos os números reais x que estão entre 0 e 1, incluindo os valores extremos 0 e 1; o conjunto pode também ser denotado por {x j 0 < x < 1}. Semelhantemente, —3 < x < < — 1 (ou { x | —3 < x < - ^ l } ) descreve o conjunto de todos os núme ros reais entre — 3 e — 1, excluindo — 3 e — 1. Sejam a ^ b números reais dados com a < b. Então o intervalo a < < X < è é chamado intervalo fechado e é denotado por [a, 6], O intervalo a < X < b é chamado intervalo aberto e é denotado por (o, b). Os inter valos a < x < b t a < x < b são chamados intervalos semi-abertos e são denotados por [a, b) e {a, 6], respectivamente. Em cada um dêstes quatro casos a e b são chamados os pontos terminais do intervalo; todo x para o qual a < x 0 descreve um intervalo infinitOy consistindo de todos os números reais x que são positivos ou zero. Os casos gerais são os seguintes a < X

a< X

X< b

x < b

todos números reais x.

O último dêstes intervalos, o inteiro sistema dos números reais vêzes descrito simbòlicamente pela dupla desigualdade — 00

<

JC <

é muitas

00 .

(0 As notações para conjuntos, tais como {!}, U* O serão pouco usadas. conceito de coegunto ocorrerá freqüentemente neste livro.

Porém, o

PROBLEMAS

9

Semelhantemente, o intervalo a < x pode ser descrito pela dupla desi gualdade a < X < 00. Nós não usaremos os têrmos aberto ou fechado para os intervalos infinitos, mas o têrmo ponto terminal ou ponto interior pode ser usado onde fôr apropriado. (O conceito de oo, ou infinito, será considerado no Cap. 2.) Todos os tipos de intervalos são ilustrados na Fig. 0-5, onde os pontos terminais incluídos são marcados por um pequeno X6

a

Aberto

Fechado

ò

semi-aberto

a Infinito

semi-aberto

b Infinito

infinito

0 Infinito

Infinito Totalidade

Fig. 0-5. Tipos de intervalos

dos

números

reais

PROBLEMAS

1. Seja N o conjunto de todos os inteiros positivos. Mostre que cada um dos seguintes conjuntos é finito e exiba seus elementos: (a) {x \x está em N e x < 5}, (b) {x \x está em e 11 < < 134}, (c) {x \x está em iVe + ;c <5 0> , (d) {x\ \x\ < y / l e x ou - x está em N) , 2. Determine se 3 pertence aos seguintes conjuntos: (a)

{Jc !

(b) {x I

> -

2} U {Jc I jc < 0}.

^ 5^

P i

I

_ I ^

inteiro par}

(c) O conjunto vazio 3. Descreva todos os subconjuntos de cada um dos conjuntos: (a) O conjunto consistindo de 0 e 1. (b) O conjunto consistindo de uma caneta, um lápis e uma borracha. (c) O conjunto consistindo de todos os pares onde ^: = 0 o u l e y = 0 o u Í . 4. Para cada uma das seguintes desigualdades descreva o conjunto de números reais x pa ra os quais a desigualdade é válida: (a) (b) x { x - 1 ) > 0 <4 (c) x ( x - 1) < 0 (d) ( x - l ) ( x - 2 ) < 0

INTRODUÇÃO

10

(e) (g)

(f) jc- 1 >- 0

x^- {^x + l > 0 2

:

x + l

x+1

(h) - < - 1

> 0

-

5. Classifique cada um dos seguintes intervalos em função dos tipos mostrados na Fig. 0-5 (a) - 1 < ;c < 1 (b) - 2 < jc (c) 3 < < 100 (d) j c > 0 (c) x < 0 , 6. Encontre a interseção de cada um dos seguintes pares de intervalos e classifique: (a) ( - 1, l] e [ 0 ,2 ] (b) [2, 5) e (0,4] (c)0 0 (b) 31 = \x + 2\ (c) 0 <

Ia :

- 2| < 1

(d)

JC+ 1

==2

(e) l(;c- 1) (;c -2 )l = 2 .

0-5.

Geo m etr ia Plan a e Espacial

Suporemos familiaridade do leitor com os axiomas e teoremas impor tantes da geometria plana (ver Referência n.® 5 no fim do capítulo). Os seguintes teoremas serão usados com freqúência: TEOREMA DE PITÁGORAS.

O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.

DESIGUALDADE TRIANGULAR. O comprimento de qualquer lado de um triângulo é menor do que a soma dos comprimentos dos ou tros dois lados. Suporemos também familiaridade com o sistema de coordenadas cartesianas no plano, como na Fig. 0-6. As unidades de distância sobre os eixos são iguais. Geometria espacial. Teoremas de geometria espacial serão raramente usados neste livro. Entretanto, é importante se estar familiarizado com as mais simples propriedades de retas, planos e esferas no espaço; em particular, saber-se que três retas mütuamente perpendiculares podem ser

0-5.

GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

11

constrmdas por um ponto dado, de modo a servirem como eixos de um sistema de coordenadas no espaço (ver Fig. 0-7). Além disso, ocasio nalmente faremos uso de fórmulas para áreas de superfícies S e volumes V (ver Fig. 0-8).

2.® Quadrante

— (-1,2) i X = A b s c i s s a y = Ordenada

1.® Qu ad ra n te

(0, y)

-

-------- .-------- # P

1

I

(x,y) \

.|..U

( 1. 1) ( 0, 0)

O Origem 1

Eixox

(x, 0)

E

(2,*-l)

( - 1, - 1)

3.® Quadrante

4.®

Quadrante

Fig. 0-6. Sistema de coordenadas cartesia nas DO plano

Fig. 0-7. paço

Coordenadas cartesianas no e

Pirâmide

Paralelepípedo

Fig. 0-8.

Sólidos importantes

Para uma esfera de raio r, F = |-7rr^ S = Para um prisma, cilindro ou paralelepípedo, V = base x altura.

12

INTRODUÇÃO

Para um cilindro circular reto de raio r e altura A, S (área da super fície lateral) = Para um cone ou uma pirâmide, K = f X base x altura. Para um cone circular reto, S (área da superfície lateral) = | x circun ferência da base X geratriz.

0-6.

Geom etria A n alític a

Em geometria analítica plana nós usamos um sistema de coordenadas cartesianas, como na Fig. 0-6. Todas as proposições da geometria plana podem ser traduzidas em proposições sôbre conjuntos de pontos dados por suas coordenadas. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, a distância entre dois pontos (xu yi) e (x 2 , J2) deve ser d - V {Xi -

xi)* + (^2 -

yi)^-

Uma equação em jc e ;; tem um gráfico associado no plano: o gráfico consiste dos pontos, e unicamente dêstes, cujas coordenadas satisfazem a equação. Vários gráficos com as equações associadas são mostrados na Fig. 0-9; lá estão três retas e uma circunferência. Podemos também representar gràficamente uma desigualdade ç m x t y , A parte sombreada na Fig. 0-10 é o gráfico da desigualdade < 1. Os pontos em consideração são todos aquêles no interior do círculo ^2 + ;;2 = 1.

ig. 0-9. Gráficos de equações

Fig. 0-10. Gráfico de uma desigualdade

Podemos também considerar os pontos que satisfazem duas equações ou duas desigualdades. Êste é um caso de interseção de dois conjuntos

0-6.

13

GEOMETRIA AN AL ÍTICA

(Seç. 0-4). A Fig. 0-11 ilustra a interseção dos gráficos de 4x + 7y = 2 e 2x — = 5; somente um ponto (41/26, — 8/13) satisfaz ambas as equa ções. A Fig. 0-12 ilustra a interseção dos gráficos de duas desigualdades; a parte sombreada (dentro do círculo e abaixo da reta) satisfaz ambas.

Fig. 0-11.

Interseç ão de dois gráficos

Fig. 0-12. Pontos satisfazendo duas desigualdades

A união de dois conjuntos também aparece quando lidamos com gráficos. Po r exemplo, o gráfico da equaç ão (x + y — 1) (x + + 1) = 0 é o conjunto de todos os pontos (x,y) para os quais ou x + y — 1 = 0 ou x + >^ + l = 0; portanto, êste conjunto é a união de dois gráficos como se vê na Fig. 0-13.

Fig. 0-13. Grá fico de (x + y — l ) i x + y + l ) ^ 0

As x4nterseçôes de um gráfico são as abscissas dos pontos de inter seção do gráfico com o eixo OX, As y4nterseçôes (ordenadas) são defi nidas anàlogamente. Po r exemplo, a reta 2x — 3;; = 5 da Fig. 0-11 tem jc-interseção 5/2 e >^-interseção — 5/3.

14

INTRODUÇÃO

Observe que diferentes equações podem ter o mesmo gráfico. Assim (x^ +

+ l) ( x + y — 2) = 0

3x + x^

—6 = 0

+ 2xy + y^ — 4x — 4y + 4 = 0 x + y - 2 = 0

têm todas o mesmo gráfico. A primeira equação é obtida da última multi plicando-se ambos os lados por x^ + y^ + l, que é diferente de zero para qualquer ponto do plano; a segunda é obtida da última multiplicando-se ambos os lados por 3; e finalmente a terceira é obtida da última por elevação de ambos os lados à segunda potência. Equações que têm o mes mo gráfico são chamadas equivalentes. Pode-se generalizar tôda esta discussão para geometria analítica espa cial com a ajuda do sistema x, y, z de coordenadas da Fig. Q-7. A distância d entre pontos (xi, y^, Zi) e (JC2, ^2) é d = V (Xi -

xi)* +

(y^ - y i f +

(Z2- zi)*.

Da mesma forma a equação x^ + y^ z"^ = tem como gráfico uma esfera cujo centro é a origem (0, 0, 0) e cujo raio é a (ver Fig. 0-14).

0>7. Equações L in eares em x e y Por uma equação linear em x e y entende-se uma equação da forma: Ax “f“ S y -f A, B e C

C = 0,

sendo números reais fixos com A e B não nulos simultâneamente. (0-70) * l* llllÍO ÍIW ¥

- ^ 1* ^

Fig. 0-14. Esfera

y

— cP‘

Fig. 0-15. Gráfico de uma equação linear

TEOREMA. O gráfico de uma equação linear é sempre uma reta, e tôda reta é o gráfico de alguma equação linear.

0-7.

EQUAÇÕES LINEARES EM X e y

15

Prova-se isto observando, primeiramente, que uma reta perpendicular ao eixo dos x e passando por (a, 0) tem por equação X = a.

(0-71)

Veja Fig. 0-15. Uma reta que não é perpendicular ao eixo dos x deve cortar o eixo dos num ponto (0, b); se (x,y) é outro qualquer ponto sôbre a reta, então, por semelhança de triângulos, a razão (y — b)jx tem o mesmo valor para todas as escolhas de (jc, y). Esta razão m ,é chamada inclinação da reta e a equação {y — b)!x = w, ou y = mx + b

(0-72)

é então uma equação cujo gráfico é a reta em questão. Ambas as Eqs. (0-71) e (0-72) podem ser escritas na forma (0-70) e, reciprocamente, toda equação na forma (0-70) pode ser escrita como (0-71) ou como (0-72) Se B 9^ 0, A,x + By + C = 0 é equivalente a

que é a mesma (0-72) se escrevermos A

.

C

(0-73)

Isto dá a inclinação w e a 3^-interseção b para a equação (0-70). Se jB = 0, então

C

e A x + C — Oé equivalente a x = ---- 7, da forma (0-71). A

Para uma reta paralela ao eixo dos x, w = 0 e a equação fica y = b.

Uma reta da forma (0-71) é perpendicular ao eixo dos x; neste caso dizemos que a inclinação é infinita. Por semelhança de triângulos, verificamos que a inclinação de uma reta que não seja perpendicular ao eixo dos x, pode ser determinada em função de dois pontos distintos (xj, yi) e (x2, 3^2) sôbre a reta. Temos m

y 2 - yi X 2 - Xj

(0-74)

Pelo mesmo raciocínio, uma equação para esta reta é y - yi = m(x -

(0-75)

Wilfred Kaplan Cálculo e Álgebra Linear Volume 1

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