Algebra Linear e Geometria Analítica v.1

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa

Á LGEBRA LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA A NALÍTICA NALÍTICA Espaços vectoriais

Matrizes Funções lineares Determinantes

Volume 1 ISEL - DEETC Versão 3.6, Junho de 2008

Por Engº Carlos M. Ribeiro Licenciado em Engenharia Electrotécnica pelo IST

Álgebra Linear e Geometria Analítica, Volume 1 © 2008 por Engº Carlos M. Ribeiro Licenciado em Engenharia Electrotécnica pelo IST E-mail: [email protected]. c [email protected] pt Web: http://www.deetc.isel.ipl.pt/pa http://www.deetc.isel.ipl.pt/paginaspessoais/carlosribeiro ginaspessoais/carlosribeiro Versão 3.6, Junho de 2008

————— Conteúdo ————— Conteúdo, iii Lista de figuras, vi Simbologia, viii Capítulo 1

Espaços vectoriais

1.1

Introdução, 3

1.2

Axiomática dos espaços vectoriais, 3

1.3

Consequências algébricas dos axiomas, 5

1.4

Exemplos de espaços vectoriais, 6

1.5

Combinações lineares. Subespaços, 14

1.6

Independência linear e bases. Dimensão, 26

1.7

Soma de subespaços. Soma directa, 47

1.8

Anexos: vectores e o MATHEMATICA , 55 ©

Capítulo 2

Matrizes

2.1

Introdução, 67

2.2

Noção de matriz sobre um corpo. Alguns tipos de matrizes, 67

2.3

Espaço linear das matrizes, 71

2.4

Álgebra e anel das matrizes quadradas, 74

2.5

Transposição e transconjugação, 83

2.6

Submatrizes. Matrizes de blocos. Operações por blocos, 89

2.7

Característica de uma matriz, 94

2.8

Algoritmo de condensação vertical, 97

2.9

Sistemas de equações lineares. Princípios de equivalência, 100

2.10

Formas matricial e vectorial de um sistema, 103

2.11

Algoritmo de Gauss-Jordan, 105

iv

Conteúdo 2.12

Inversão matricial, 122

2.13

Matrizes elementares, 132

2.14

Divisão matricial, 137

2.15

Mudança de base, 141

2.16

Anexos: matrizes e o MATHEMATICA , 144 ©

Capítulo 3

Funções lineares

3.1

Introdução, 209

3.2

Funções lineares. Núcleo e imagem, 209

3.3

Álgebra das funções lineares, 221

3.4

Funções lineares em espaços de dimensão finita, 226

3.5

Representação matricial de uma função linear, 233

3.6

Isomorfismo entre L I ß J e Š7ß8 , 240

3.7

Alteração da representação matricial nas mudanças de base, 244

3.8

Anexos: funções lineares e o MATHEMATICA , 251

a b

©

Capítulo 4

Determinantes

4.1

Introdução, 269

4.2

Permutações. O grupo simétrico, 269

4.3

Funções multilineares, 278

4.4

Funções multilineares alternadas, simétricas e anti-simétricas, 283

4.5

Determinante numa base, 294

4.6

Determinante de um endomorfismo. Determinante de uma matriz, 296

4.7

Propriedades algébricas dos determinantes, 301

4.8

Algoritmo de condensação para o cálculo de determinantes, 312

4.9

Teorema de Laplace, 314

4.10

Método abreviado para o cálculo de determinantes, 322

4.11

Aplicação ao cálculo da característica de uma matriz, 323

4.12

Aplicação aos sistemas de equações lineares. Regra de Cramer, 327

4.13

Matriz adjunta e inversão de matrizes quadradas, 340

4.14

Fórmula de Cauchy, 345

Conteúdo

v

4.15

Derivada de um determinante, 348

4.16

Anexos: determinantes e o MATHEMATICA , 351

Bibliografia, 387

©

————— Lista de figuras ————— Capítulo 1

Fig. 1.1

Regra do triângulo, 10

Fig. 1.2

Multiplicação escalar, 10

Fig. 1.3

Segmentos equipolentes, 11

Fig. 1.4

Adição vectorial, 12

Fig. 1.5

Os espaços de funções reais diferenciáveis, 22

Fig. 1.6

Os espaços de polinómios de coeficientes num corpo, 22

Fig. 1.7

Soma de subespaços, 50

Capítulo 2

Fig. 2.1

Relação entre as soluções dos sistemas E\ œ F e E\ œ S , 109

Fig. 2.2

Caso de um sistema simplesmente indeterminado , 110

Fig. 2.3

Caso de um sistema duplamente indeterminado, 110

Fig. 2.4

Discussão de um sistema, 119

Capítulo 3

Fig. 3.1

Esquema representativo do Núcleo e Imagem, 212

Fig. 3.2

Funções lineares. Núcleo e imagem, 222

Fig. 3.3

A associatividade da Composição de funções lineares, 223

Fig. 3.4

Composição de funções lineares e produto por escalar, 224

Fig. 3.5

Distributividade em relação à adição, 224

Fig. 3.6

Elementos neutros à esquerda e à direita, 225

Fig. 3.7

As funções nulas e a Composição de funções lineares, 225

Fig. 3.8

Diagrama auxiliar para a proposição 3.8, 233

Fig. 3.9

Rotação em W # , 239

c d

Fig. 3.10 Imagem do cubo !ß " $ § ‘$ por meio de 0 , 239

Fig. 3.11 Matriz da aplicação composta, 243 Fig. 3.12 Matrizes da mesma função linear em diferentes diferentes pares de bases, 245

Lista de figuras

vii

Capítulo 4

Fig. 4.1

Esquema para obter as permutações de 4ª ordem, 271

Fig. 4.2

Composição (produto) de permutações, 271

Fig. 4.3

Composição de uma função linear com uma função multilinear, 281

Fig. 4.4

Coordenadas de uma função multilinear são formas multilineares, 282

Fig. 4.5

Função multilinear composta com um produto de função lineares , 283

Fig. 4.6

Mnemónica para o cálculo de determinantes de 2ª ordem, 301

Fig. 4.7

Regra de Sarrus, para o cálculo de determinantes de 3ª ordem , 302

Fig. 4.8

Primeira variante da regra de Sarrus, 302

Fig. 4.9

Segunda variante da regra de Sarrus , 302

Fig. 4.10 Determinação da paridade dos menores de 1ª ordem, 317 Fig. 4.11 Gráficos de 0" , 0# , 0"w e 0#w , 339

————— Simbologia —————

Lógica c: ................................................. negação (not) da proposição : : ” ; ..............................................disjunção (or) das proposições : e ; † : ” ; ..............................................disjunção exclusiva (xor) das proposições : e ; : • ; ..............................................conjunção (and) das proposições : e ; : Ê ; ............................................ : implica ; : ´ ;ß : Í ; ................................. equivalência das proposições : e ;

sse................................................. se e só se a....................................................quantificador universal (qualquer que seja...) b....................................................quantificador existencial (existe pelo menos um...) b" .................................................. quantificador existencial exclusivo (existe um e um só...)

ee af bf efa b

Conjuntos +ß ,ß -ß á ...................................conjunto formado por +ß ,ß -ß á B − \À p B ............................... conjunto dos elementos de \ com a propriedade p B gß ...............................................conjunto vazio P \ .............................................conjunto das partes (subconjuntos) do conjunto \

ab

Ec ß E.............................................complementar do conjunto E E Ï F ............................................ diferença entre os conjuntos E e F E  F ............................................reunião dos conjuntos E e F E  F ............................................intersecção dos conjuntos E e F +ß , ..............................................par ordenado formado pelos objectos + e , E ‚ F ........................................... produto cartesiano dos conjuntos E e F B" ß B# ß á ß B8 ß B 5 "Ÿ5Ÿ8 ............ lista de comprimento 8 de elementos de um conjunto \ gß ................................................lista vazia pr5 B.............................................. 5ª projecção ou componente da lista B \ 8 .................................................conjunto das sequências de 8 elementos de \ B5 5−M .......................................... família de elementos de um conjunto \ indexada por M pr3 B...............................................projecção ou componente de índice 3 da família B ( B3) \ M ................................................. conjunto das famílias de elementos de \ indexadas por M \Î<...............................................conjunto quociente do conjunto \ pela relação de equivalência < E3 ..............................................reunião duma família de conjuntos

a b a ab

ba b

ab +

3−M

E3 ............................................. intersecção duma família de conjuntos

3−P

Simbologia

ix

Relações binárias œ .................................................igual Á .................................................diferente − ................................................. pertence a, é elemento de Â ................................................. não pertence a, não é elemento de § .................................................está contido em, é uma parte de ¨ .................................................contém, é sobreconjunto de § Î .................................................não está contido em, não é parte de

ab

Funções 0 B ...............................................valor da função 0 no ponto B ] \ .................................................conjunto das funções de \ em ] 0

0À \ Ä ] ß \ Ä ] ........................ 0 é função de \ em ]

ab

0

ab

B È Cß B È 0 B ß B È C ...............B é aplicado por 0 em C ou 0 B I \ ................................................. relação

(função) identidade no conjunto \ 0 E ..............................................imagem directa do conjunto E por 0 " 0 E .......................................... pré-imagem do conjunto E por 0 0 " C ........................................... pré-imagem do conjunto singular C ou traço de C por 0 0 " ................................................ função inversa da função injectiva 0 1 ‰ 0 .............................................. composta das funções 1 e 0 ( 1 após 0) lim 0 B ......................................... limite da função 0 no ponto + BÄ+ 0 w + ß 0 ww + ß 0 a5 b + ...................... derivada de 1ª ordem, 2ª ordem, ordem 5 de 0 em + 0 w ß 0 ww ß 0 a5 b ..................................... função derivada de 1ª ordem, 2ª ordem, ordem 5 de 0 lnBß log+ B.......................................logaritmo neperiano de B  !, logaritmo de B na base + /B ß exp B.........................................função exponencial de base / +B .................................................. função exponencial de base +  ! sinß cos...........................................funções seno e coseno arcsinß arccos..................................funções arcseno e arccoseno , + 0 B dB ......................................integral definido da função 0 entre os pontos + e , M 0 B dB ...................................... integral definido da função 0 estendido ao intervalo M

a ab b ab ab ab ab ab

ef

' ' aa bb

Estruturas B  C............................................. soma dos elementos B e C de um grupóide aditivo B ‚ Cß B † Cß B C.............................. produto dos elementos B e C de um grupóide multiplicativo !.................................................... elemento neutro (zero) de um grupóide aditivo ".................................................... elemento neutro (um, unidade ou identidade) de um

grupóide multiplicativo B.................................................oposto (simétrico) do elemento regular B, num monóide aditivo " B ß "ÎB........................................ oposto (inverso) do elemento regular B, num monóide multiplicativo

! 8

5œ"

ab

B5 ............................................ soma da lista B3 "Ÿ3Ÿ8 de elementos de um semigrupo

comutativo aditivo

x

# 8

5œ"

Simbologia

ab

B5 .............................................produto da lista B3 "Ÿ3Ÿ8 de elementos de um semigrupo

comutativo multiplicativo E z F ........................................... E é isomorfo de F

Números Inteiros e Racionais

e

e f

! ..................................................conjunto dos números naturais com zero !ß"ß#ßáß8ßá ß ™ .............................................conjunto dos números naturais "ß #ß á ß 8ß á

cc d d

7ß 8 .............................................conjunto dos inteiros entre 7 e 8 inclusivé "ß 8 ..............................................intervalo "ß #ß á ß 8 § 

e

f

™....................................................conjunto dos inteiros ™ ................................................. conjunto dos inteiros  ! ™‡ ..................................................conjunto dos inteiros Á ! ™: ..................................................anel dos inteiros módulo : (corpo, se : é primo) ................................................... conjunto dos números racionais  .................................................conjunto dos racionais  !  ! .................................................conjunto dos racionais  !  .................................................conjunto dos racionais  !  ! .................................................conjunto dos racionais Ÿ ! ‡ ................................................. conjunto dos racionais Á !

Combinatória 8x...................................................factorial de 8 T8 ß E88 ........................................... permutações de 8 8 : ...............................................combinações de 8 elementos tomados : a : (coeficientes

Š‹

binomiais) de 8elementos tomados : a :

E:8 ................................................. arranjos

Números reais ‘................................................... conjunto dos números reais ‘ ................................................. conjunto dos números reais  ! ‘ ! ................................................. conjunto dos números reais  ! ‘ ................................................. conjunto dos números reais  ! ‘ ! ................................................. conjunto dos números reais Ÿ ! ‘‡ ..................................................conjunto dos números reais Á ! ‘................................................... recta acabada † ‘................................................... recta projectiva 1....................................................pi, razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer

ab

circunferência /.................................................... número de Neper, base da função exponencial B È exp B B Ÿ Cß C  B ..................................relação de ordem em ß ™ß  ou ‘ B  Cß C  B ..................................relação de ordem estrita em ß ™ß  ou ‘ +ß , ß +ß, ß +ß , ß +ß, .................intervalos limitados em ‘ ou num espaço ordenado

a bc da dc b

f

Simbologia

xi

a ba d a bc b kk

_ß, ß _ß, .......................... intervalos não limitados inferiormente em ‘ ou num espaço

ordenado (secções inferiores) +ß_ ß +ß _ ..........................intervalos não limitados superiormente em ‘ ou num espaço ordenado (secções superiores) + ¸ ,............................................. + aproximadamente igual a , B ..................................................módulo do real B max \ ............................................máximo do conjunto \ min \ .............................................mínimo do conjunto \ sup \ .............................................supremo do conjunto \ inf \ .............................................. ínfimo do conjunto \ _ß_.......................................menos infinito, mais infinito em ‘

Números complexos ‚................................................... conjunto dos números complexos ‚‡ ..................................................conjunto dos números complexos Á ! 3‘.................................................. conjunto dos imaginários puros

ab

B  3 C............................................forma algébrica de um complexo
ak k b a b aa bb aa bb ab

Espaços vectoriais !Bt................................................. produto de escalar por vector Bt  Ct............................................. soma de vectores Bt Ct................................................. produto de vectores (numa álgebra linear) t ?t............................................ vector, vector nulo, vector unidade (numa álgebra linear com Btß !ß

! ! # 8

3œ"

unidade)

ab

!3 Bt3 ..........................................combinação linear dos vectores da sequência Bt3 "Ÿ3Ÿ8 !3 B t3 œ 9t ................................... combinação linear vazia

3−g

pr5 Bt.............................................. 5ª projecção ou componente do vector Bt − Š 8 J £ I ........................................... J é subespaço vectorial de I I3 ..............................................produto cartesiano dos espaços vectoriais da família I 3 3−M

ab

de espaços vectoriais sobre um mesmo corpo Š

3−M

xii

Simbologia

# 9 9 ! 8

I3 ou I" ‚ I# ‚ â ‚ I8 ........ produto cartesiano dos espaços vectoriais da sequência

ab

3œ"

I 3 "Ÿ3Ÿ8 de espaços sobre um mesmo corpo Š I3 ..............................................soma directa externa da família I 3 3−M de espaços vectoriais

ab

3−M

ab

sobre um mesmo corpo Š I3 ..............................................soma directa da família I 3

ab

3−M

I3 ..............................................soma da família I 3

3−M

3−M de

3−M de

subespaços

subespaços

E  F ........................................... soma dos subespaços E e F E Š F ........................................... soma directa dos subespaços E e F I aM b ............................................... conjunto das famílias Bt3 3−M de vectores de I indexadas por M e tais que Bt3 œ !t no complementar de uma parte finita de M . IÎJ ..............................................espaço vectorial quociente de I pelo subespaço J " # $ W ß W ß W ......................................espaços de segmentos orientados com origem num ponto S Ò Ò Ò Ò EF µ GH ...................................equipolência entre os segmentos orientados EF e GH ~" ~# ~$ W ß W ß W ......................................conjunto dos segmentos aplicados em qualquer ponto s"ß W s#ß W s $ ......................................espaços vectoriais dos vectores livres W ¶ ß ‘ ......................................... espaço das sucessões reais convergentes ¶! ß ‘ ........................................espaço das sucessões reais convergentes para ! 6#‘ ...................................................espaço de Hilbert de sucessões reais B Mß ‘ ..........................................espaço das funções reais limitadas no conjunto M

ab

aa bb a b a b a b a b aa b b a b a b a b a b a b a b ab a a bb a b a b

D

Mß ‘ ..........................................espaço das funções reais diferenciáveis em M

C

Mß ‘ ..........................................espaço das funções reais contínuas no conjunto M Mß ‘ ........................................ espaço das funções reais de classe C 5 no conjunto M

C5

Mß ‘ .......................................espaço das funções reais de classe C _ no conjunto M ¶ ß ‚ ......................................... espaço das sucessões complexas convergentes ¶! ß ‚ ........................................espaço das sucessões complexas convergentes para ! 6#‚ ...................................................espaço de Hilbert de sucessões complexas B Mß ‚ ..........................................espaço das funções complexas limitadas no conjunto M C_

D

Mß ‚ ..........................................espaço das funções complexas diferenciáveis em M

C

Mß ‚ ..........................................espaço das funções complexas contínuas no conjunto M

C5

C_

Mß ‚ ........................................ espaço das funções complexas de classe C 5 no conjunto M Mß ‚ .......................................espaço das funções complexas de classe C _ no conjunto M

........................................... espaço dos polinómios de grau Ÿ 8 e de coeficientes no corpo Š P Š .............................................álgebra dos polinómios de coeficientes no corpo Š PŠ B ß PŠ Bt3 "Ÿ3Ÿ7 ......................subespaço gerado pela lista B œ Bt3 "Ÿ3Ÿ7 de vectores de um espaço vectorial I sobre o corpo Š PŠ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 ........................subespaço gerado pela lista Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de vectores de um espaço vectorial I sobre o corpo Š  Bt" ß Bt# ß á ß Bt7  ......................subespaço gerado pela lista Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de vectores de um espaço vectorial I Š dimŠ Iß dimI ................................dimensão do espaço vectorial I sobre o corpo P8

Š

a a

ab

b b

Simbologia

xiii

I z J ........................................... I é isomorfo de J

cd cd

Matrizes +34 "Ÿ3Ÿ7 .........................................matriz de tipo 7 ‚ 8 de elementos +34 de um conjunto \ "Ÿ4Ÿ8

quadrada de ordem 8 de elementos +34 de um conjunto \ 7ß8 Š ..............................................espaço vectorial das matrizes do tipo 7 ‚ 8 de elementos no corpo Š 8ß8 Š ...............................................álgebra das matrizes quadradas de ordem 8 de elementos no corpo Š S7ß8 .............................................. matriz nula do tipo 7 ‚ 8 S8 ................................................. matriz nula de ordem 8 M8 ...................................................matriz identidade de ordem 8 E „ F ........................................... soma (diferença) das matrizes E e F !E.................................................produto do escalar ! pela matriz E ET ß E> ß Ew ......................................matriz transposta de E E................................................... matriz conjugada de E E‡ ................................................. matriz transconjugada de E EF ................................................ produto das matrizes E e F c E .............................................. característica da matriz E tr E ..............................................traço da matriz quadrada E diag -" ß -# ß á ß -8 ....................... matriz diagonal (quadrada) de elementos diagonais +34

"Ÿ3ß4Ÿ8 ......................................matriz

aa bb a

b

c ce f e c d a c a

d

-" ß -# ß á ß -8

X//w ................................................ matriz de mudança da base / para a base /w E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; ................... Submatriz de E, obtida seleccionando as linhas 3" ß á ß 3: e as colunas 4" ß á ß 4; de E E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; ........... Submatriz de E, obtida seleccionando as linhas 3" ß á ß 3: e as colunas 4" ß á ß 4; de E E Mà N ...........................................Submatriz de E, obtida seleccionando as linhas cujos índices pertencem aos conjuntos M e N E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; .................. Submatriz de E, obtida eliminando as linhas 3" ß á ß 3: e as colunas 4" ß á ß 4; de E E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; ...................Submatriz de E, obtida seleccionando as linhas 3" ß á ß 3: e eliminando as colunas 4" ß á ß 4; de E E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; ...................Submatriz de E, obtida eliminando as linhas 3" ß á ß 3: e seleccionando as colunas 4" ß á ß 4; de E

aa b b a b aa bb a a b b a b aa bb

fd

b b d

Funções lineares Hom Iß J , L Iß J .....................espaço vectorial das funções lineares de I em J End I ..........................................álgebra dos endomorfismos de I Ker 2 , Nuc 2 ..............................núcleo da aplicação linear 2 Img 2 , Im 2 , 2 I ..................... imagem da aplicação linear 2 definida em I c 2 , -2 ..........................................característica da aplicação linear 2 n 2 , 82 .........................................nulidade da aplicação linear 2 OJ I ...............................................função (linear) nula do espaço I no espaço J

xiv

Simbologia

OI .................................................endomorfismo nulo

no espaço I det 2 ............................................determinante do endomorfismo 2 Q0 / 2 ..........................................representação matricial da função linear 2 nas bases 0 e / Q/ 2 ............................................representação matricial do endomorfismo 2 na base /

a ab b ab

Funções multilineares e determinantes Æ8 ................................................. grupo simétrico de ordem 8 I 8 .................................................. permutação

identidade de ordem 8 5ß 7 ................................................ permutação, transposição 5" ................................................ permutação inversa de 5 & 5 ...............................................sinal ou paridade da permutação 5. det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: ........... menor de ordem : da matriz E det E 3" ß á ß 3 :à 4 " ß á ß 4: .......... menor complementar do anterior cof det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: ... cofactor do menor det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: cof +34 ß cof+34 ............................... cofactor de +34 s................................................... matriz complementar de E (matriz dos cofactores dos E elementos de E) adjE...............................................matriz adjunta de E (transposta da anterior) det/ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 .......................determinante dos vectores Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 na base / det ? ............................................determinante do endomorfismo ? det E ß E .....................................determinante da matriz E F I : ß J .......................................espaço de todas as funções de I : em J M: Iß J ......................................espaço das funções :-lineares sobre I com valores em J A: Iß J .......................................espaço das funções :-lineares alternadas sobre I com valores em J S : Iß J ....................................... espaço das funções :-lineares simétricas sobre I com valores em J OJ I : ..............................................função :-linear nula de I : em J OŠI : ..............................................forma :-linear nula de I : em Š

a ab c aa a a c ab

dbbb dbb

aa b aa b kb k a b a b a b

aa bb ab aa bb

b

ac

db

a

b

Valores e vectores próprios 71 - ............................................multiplicidade geométrica do valor próprio 7+ - ............................................multiplicidade algébrica do valor próprio I- 2 ............................................ Subespaço próprio do endomorfismo 2 associado ao valor

próprio E 2 .............................................. espectro do endomorfismo 2 :2 - (resp. :E - )....................... polinómio característico do endomorfismo 2 (resp. da matriz E)

ab

Simbologia

xv

Espaços euclidianos Bt † Ctß ØBtß CtÙß BtlCt..............................produto interno dos vectores Bt e Ct Bt ................................................ norma euclidiana ou hermitiana do vector Bt versBt..............................................versor do vector não nulo Bt proj Ct Bt...........................................projecção ortogonal de Bt sobre Ct Á !t Bt ¼ Ct.............................................ortogonalidade entre vectores de um espaço com produto

ll

interno E .................................................complemento ortogonal de E o.n................................................. (base) ortonormada o.n.d.............................................. (base) ortonormada directa K B ß K Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 ................determinante de Gram da lista B œ Bt"ß Bt#ß á ß Bt7 KB ................................................. matriz de Gram da lista B B I .............................................conjunto das bases de um espaço vectorial O I ............................................. conjunto das orientações de um espaço vectorial real sgn.................................................sinal de uma base, num espaço euclidiano orientado ÔBt" ß Bt# ß á ß Bt8 Õ..............................produto misto dos vectores Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 Bt" ‚ Bt# ‚ á ‚ Bt8" .................... produto externo dos vectores Bt "ß Bt#ß á ß Bt8" Bt" ‚ Bt# ..........................................produto externo dos vectores Bt" e Bt# num espaço euclidiano orientado de dimensão $ B Iß J à Š ................................... espaço das formas bilineares sobre I ‚ J B Ià Š ........................................ espaço das formas bilineares sobre I A Ià Š ........................................ espaço das formas bilineares autoadjuntas sobre I Q Ià Š ........................................espaço das formas quadráticas sobre I S Iß J à ‚ .................................... espaço das formas sesquilineares sobre I ‚ J S Ià ‚ .........................................espaço das formas sesquilineares sobre I A‚ Iß ‚ ...................................... espaço das formas sesquilineares hermitianas sobre I Q‚ Ià ‘ ......................................espaço das formas quadráticas hermitianas sobre I E .................................................matriz pseudoinversa de E ¼

ab a ab ab

a a aa a a aa

b

a

b

b

b bb b b bb

Geometria analítica E, F ...............................................Espaço

afim, subespaço afim

Ò

EF , F  E.................................. vector de origem E e extremidade F

dimE..............................................dimensão do espaço afim E R8 .................................................espaços afins euclidianos reais orientados de dimensão 8 Sà / , Sà /t" ß /t# ß á ß /t8 ............... referencial num espaço afim o.n................................................. abreviatura de ortonormado (para referenciais) o.n.d.............................................. abreviatura de ortonormado directo (para referenciais) T B" ß B# ß á ß B8 ...........................ponto T de um espaço afim com coordenadas B" ß B# ß á ß B8 num dado referencial T ´ B" ß B# ß á ß B8 ......................ponto T de um espaço afim com coordenadas B" ß B# ß á ß B8 num dado referencial @t @" ß @# ß á ß @8 .............................vector de coordenadas @" ß @#ß á ß @8 numa dada base ØEà J Ù........................................... Subespaço afim gerado pelo ponto E e pelo subespaço vectorial J

a ba b a b a b a b

a a

b b a

b

1 Espaços vectoriais

Sec. 1.2] Axiomática dos espaços vectoriais 1.1

3

Introdução

Neste capítulo, faremos o estudo de uma importante estrutura algébrica muito utilizada nas ciências aplicadas e na engenharia: o Espaço Vectorial . Como pré-requisitos para o presente capítulo, mencionemos noções elementares sobre teoria dos conjuntos, lógica e estruturas algébricas (consultar o apêndice B); algum conhecimento dos números reais e complexos é também conveniente. Será útil a leitura prévia do apêndice B, no qual se definem as noções de operação unária, binária e 8 -ária; os conceitos de lei de composição interna e externa; as estruturas algébricas: grupóides, semigrupos, monóides, grupos, anéis, anéis de integridade e corpos comutativos (casos de , ‘ e ‚). Assume ainda relevo a noção de homomorfismo e, em particular, a de isomorfismo. Em anexo a este capítulo, apresenta-se informação relativa à forma como se pode utilizar o software MATHEMATICA para operar com vectores. ©

1.2

Axiomática dos espaços vectoriais

Em tudo o que se segue neste manual, Š designa um corpo comutativo, que designaremos simplesmente por corpo. Para a definição de Espaço Vectorial, seguiremos a via axiomática. As noções primitivas são as de escalar (elemento de um corpo comutativo Š) e de vector (elemento de um segundo conjunto I , eventualmente igual a Š). Para distinguir claramente os escalares dos vectores, nestes últimos usaremos uma seta superior (por exemplo, Bt). Assim, poremos a seguinte

a aa bb

b

Definição 1.1. – Espaço vectorial – Seja I um conjunto não vazio e Šß  ß ‚ um corpo comutativo (ver apêndice B ). Diz-se que I (cujos elementos serão chamados vectores ) é um espaço vectorial (ou linear) sobre o corpo Š (cujos elementos serão chamados escalares ), sse I estiver munido de uma lei de composição interna  À I # Ä Ià Btß Ct È Bt  Cta1b (adição vectorial) e de uma lei de composição externa † À Š ‚ I Ä Ià !ß Bt È !Bt (produto de escalar por vector ou multiplicação escalar, cujo resultado designaremos simplesmente por !Bt em vez de ! † Bt ) satisfazendo os seguintes oito axiomas: [A1] [A2] [A3] [A4]

[P1]

a Bt  Ct œ Ct  Bt

BtßC−I t

a

a b

b

a Bt  9t œ 9t  Bt œ Bt

a

b Bt  Bt œ Bt  Bt œ 9t

BtßCßD−I t t

9t−I Bt −I

Bt−I Bt −I

a

!ß" −Š

Bt −I

[P2]

a b a b

a b a b a b a b a b

!  " Bt œ !Bt  " Bt

a ! Bt  Ct œ !Bt  !Ct

!−Š

BtßC−I t

[P3]

a b

Bt  Ct  Dt œ Bt  Ct  Dt

a

!ß" −Š

! " Bt œ !" B t

2

Bt −I 1

Não existe ambiguidade no uso do sinal + para as adições em Š e em I : o contexto algébrico em que estes símbolos ocorrem determina facilmente qual a operação em questão.

2

Segundo o que é habitual, designamos por !" (e não ! ‚ " ) o produto dos escalares ! e " , no corpo Š.

4

Espaços vectoriais [Cap. 1 [P4]

a "Bt œ Bt

Bt −I

Os primeiros quatro axiomas dizem exclusivamente respeito à adição vectorial e são, por ordem, a comutatividade, a associatividade, a existência de elemento neutro 9t e a existência de simétrico para cada vector de I e significam que Iß  é um Grupo Comutativo. Como em qualquer grupo aditivo, o elemento neutro 9t (vector nulo, também designado por 9tI se houver necessidade de salientar qual é o espaço vectorial) é único, o mesmo se dizendo do simétrico Bt de cada vector Bt − I . Como em qualquer grupo comutativo aditivo Iß  , definiremos a subtracção vectorial por

a b

a b

a b

a b 1.1

Bt  Ct œ Bt  Ct

Os axiomas P1-P4 caracterizam o comportamento do produto de escalar por vector relativamente à adição escalar, à adição vectorial e ao produto de escalares. Os dois primeiros são, por ordem, a distributividade em relação à adição escalar e a distributividade em relação à adição vectorial. O terceiro é a associatividade mista. O último exige que a unidade do corpo Š seja elemento neutro à esquerda na multiplicação escalar. Normalmente, chama-se espaço vectorial ao conjunto I mas faz-se notar que, formalmente, o espaço vectorial é a estrutura algébrica formada pelo conjunto I , o corpo Š e as duas operações (adição vectorial e produto de escalar por vector) satisfazendo os axiomas A1-A4 e P1-P4, ou seja, o quaterno Iß Š ß  ß † . Dois espaços vectoriais Iß Š ß  ß † e I w ß Šw ß Š ß  são, pois, iguais sse I œ I w • Š œ Šw •  œ Š • † œ  .

a

a

b

b

a

b

Adjectiva-se, por vezes, o espaço vectorial segundo o corpo subjacente: assim, diremos que I é um espaço vectorial racional se Š œ , um espaço vectorial real se Š œ ‘ e um espaço vectorial complexo se Š œ ‚. A definição seguinte carateriza a noção de Álgebra Linear, juntando às operações definidas num espaço vectorial uma segunda lei de composição interna em I , chamada multiplicação vectorial .

a

b

Definição 1.2. – Álgebra linear – Seja Iß Šß  ß † um espaço vectorial sobre Š , com operações  e † . Diz-se que I é uma álgebra linear sobre Š se estiver definida uma segunda lei de composição interna Œ À I# Ä Ià Btß tC È Bt Ct (multiplicação vectorial, cujo resultado designaremos apenas por Bt Ct em vez de Bt Œ Ct ) satisfazendo os axiomas abaixo indicados:

a b

[M1] [M2] [M3]

a

BtßCßD−I t t

a

BtßCßD−I t t

a b a b a b a b ab Bt  Ct Dt œ Bt Dt  Ct Dt

Bt Ct  Dt œ Bt Ct  Bt Dt

a ! Bt Ct œ !Bt Ct œ Bt !Ct

!−Š

BtßC−I t

A álgebra linear diz-se associativa, se a multiplicação vectorial o for: [M4]

a

BtßCßD−I t t

a b ab

Bt Ct Dt œ Bt Ct Dt ,

M1/M2 são as distributividades à direita e à esquerda da multiplicação em relação à adição vectorial. M3 caracteriza o comportamento da multiplicação vectorial em relação à multiplicação de escalar por vector. M1, M2 e M4 significam que Iß  ß Œ constitui um

a

b

Sec. 1.3] Consequências algébricas dos axiomas

5

anel. Por satisfazer M1, M2 e M3, diz-se que a multiplicação vectorial é linear em cada um dos factores ou que é uma função bilinear sobre I com valores em I (ver capítulo 4).

a

b

Se for Bt Ct œ Ct Bt, para quaisquer Btß Ct − I , diremos que a álgebra (e o anel Iß  ß Œ ) é comutativa e se Œ tiver elemento neutro ?t − I tal que Bt ?t œ ?t Bt œ Bt, para qualquer Bt − I , diremos que a álgebra tem unidade ou identidade. Por exemplo, ‚ é um espaço vectorial sobre ‘ e uma álgebra linear comutativa com unidade " sobre ‘, se considerarmos como multiplicação vectorial Œ a multiplicação de complexos. 1.3

Consequências algébricas dos axiomas

Os axiomas enunciados atrás têm um certo número de consequências algébricas, de entre as quais se salientam as proposições a seguir demonstradas. Observe-se que estas proposições são verificadas em qualquer espaço vectorial, uma vez que elas só dependem dos referidos axiomas. Proposição 1.1. Em qualquer espaço vectorial I sobre um corpo Š , o produto de um escalar por um vector é nulo sse um dos factores for nulo !Bt œ 9t Í ! œ ! ” Bt œ 9t

a b 1.2

Demonstração: Para qualquer ! − Š e qualquer Bt − I , tem-se, sucessivamente,

a b

9t  !Bt œ !Bt œ !  ! Bt œ !Bt  !Bt

Pela lei do corte, segue-se que !Bt œ 9t. Do mesmo modo, para qualquer ! − Š e qualquer Bt − I , tem-se, sucessivamente,

a b

9t  !Bt œ !Bt œ ! 9t  Bt œ !9t  !Bt

De novo, da lei do corte resulta !9t œ 9t. Portanto, se ! œ ! ou Bt œ 9t, teremos !Bt œ 9t . A implicação recíproca !Bt œ 9t Ê ! œ ! ” Bt œ 9t é equivalente a !Bt œ 9t • ! Á ! Ê Bt œ 9t

Provemos a implicação anterior: sendo, ! Á ! existe !" − Š tal que !"! œ ". Calculando, finalmente, Bt vem

ˆ ‰

a b

Bt œ "Bt œ !"! Bt œ !" !Bt œ !" 9t œ 9t



Proposição 1.2. Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š . Então, para qualquer escalar ! − Š e qualquer vector Bt − I , tem-se

a b a b a b

 !Bt œ ! Bt œ ! Bt

a b 1.3

6

Espaços vectoriais [Cap. 1 Demonstração: Tem-se

a b a a bb a b a a bb

!Bt  ! Bt œ !   ! Bt œ !B t œ 9t

Da mesma forma, tem-se

!Bt  ! Bt œ ! Bt  Bt

œ !9t œ 9t

o que termina a demonstração.



Proposição 1.3. Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š . Então, para quaisquer escalares !ß " − Š e quaisquer vectores Btß Ct − I , tem-se

a b a b

a b a b 1.4.1

!  " Bt œ !Bt  " Bt

1.4.2

! Bt  Ct œ !Bt  !Ct

Demonstração: Tem-se, sucessivamente, por definição de subtracção e pela proposição anterior:

a a b b a a a a bbbb

aa bb

aa aa bbbb

!  " Bt œ !   " Bt œ !Bt   " Bt œ !Bt   "Bt œ !Bt  "Bt t œ !Bt  ! Ct œ !Bt   !Ct œ !Bt  !Ct ! Bt  Ct œ ! Bt  C

1.4



Exemplos de espaços vectoriais

Exemplo 1.1. O axioma A3 garante que I Á g, visto que 9t − I . O presente exemplo vai mostrar que não é necessário mais qualquer vector em I para se obter um espaço vectorial. Sendo Š um corpo e I œ 9t um conjunto singular,a3b I constitui um espaço vectorial sobre Š, com as operações definidas, para qualquer ! − Š, por

ef

[A]

9t  9t œ 9t

[P]

!9t œ 9t

a b a b 1.5

1 .6

Exemplo 1.2. Fazendo I œ Š , obtém-se com a adição e o produto de Š um espaço vectorial sobre Š. O vector nulo é o zero ! de Š e o simétrico de B − Š é B. Observe que, neste caso, os vectores confundem-se com os escalares. Exemplo 1.3. Seja Š um corpo, 8 −  um inteiro positivo e I œ Š8 . Então, o conjunto Š8 de todas as sequências (listas) de comprimento 8 de escalares de Š é um espaço vectorial sobre Š (chamado espaço cartesiano de dimensão 8 sobre o corpo Š), com as seguintes operações, para quaisquer ! − Š, B" ß B# ß á ß B8 − Š8 e C"ß C#ß á ß C8 − Š8 [A] [P] 3

a

a

b a b a

b

a

b a

b

B" ß B# ß á ß B8  C" ß C# ß á ß C8 œ B "  C "ß B#  C #ß á ß B 8  C 8

a

! B" ß B# ß á ß B8 œ !B" ß !B# ß á ß !B8

b

b

a b a b 1.7

1 .8

t para De facto, não importa a natureza do único elemento de I. Estamos, simplesmente, a usar a notação 9 designar esse elemento.

Sec. 1.4] Exemplos de espaços vectoriais

a

b b

7

a

b b

Os escalares B" ß B# ß á ß B8 são chamados as componentes ou projecções do vector B" ß B# ß á ß B8 , escrevendo-se, às vezes, B5 œ pr5 Bt œ pr5 B"ß B#ß á ß B8 . Observe-se que, nestas definições, usam-se (nos segundos membros) as operações pré-existentes em Š para definir as operações novas no espaço vectorial Š8. Observe-se ainda que o vector nulo de Š8 é 9t œ !ß !ß á ß ! e que o simétrico de B"ß B# ß á ß B8 é B"ß B#ß á ß B8 ou seja,

a

a

a b a

ba b

9t œ !ß !ßá ß !

a

 B" ß B# ß á ß B 8 œ B"ß B#ß á ß B8

b

a b a b 1.9

1.10

Observe-se a generalidade deste exemplo, que tem uma infinidade de casos particulares como sejam, por exemplo, ‘ß ‘# ß ‘$ ß ‚ß ‚# ß ‚8 , etc. Exemplo 1.4. Seja Š um corpo e I œ Š o conjunto das sucessões de escalares de Š. Então Š é um espaço vectorial sobre Š, com a adição usual de sucessões e o produto de escalar por sucessão definidos, para quaisquer ! − Š, B8 − Š e C8 − Š , por: [A] [P]

ab ab a ab a b

B8  C8 œ B 8  C 8

ab

b

ab

a b a b a b a b a b 1.11

1.12

! B8 œ !B8

Observe-se que, nestas definições, novamente se utiliza a estrutura algébrica pré-existente em Š para definir as operações do espaço vectorial. Observe-se ainda que o vector nulo de Š é a sucessão constante nula ! œ ! e que o simétrico de uma sucessão B8 é a sucessão B 8 ou seja,

ab

ab

ab ab a b

1.13

!œ !

1.14

 B8 œ B8

Como caso particular, citemos o espaço vectorial real ‘ das sucessões de números reais e o espaço complexo ‚ das sucessões de números complexos. É óbvio que poderíamos também indexar as sucessões usando ! e definindo de igual modo as operações, obtendo-se o espaço Š! . Exemplo 1.5. Seja Š um corpo e I œ Ša! b o conjunto das sucessões de escalares de Š, cujos termos são todos nulos, com excepção de um número finito deles, ou seja a4b

ã b e f a b a b ab ab ab a b e f Ša! b œ

™

B8 − Š! À 8À B8 Á ! é finito § Š!

Com as operações definidas por 1.11 e 1.12 obtém-se um novo espaço vectorial. O vector nulo e o simétrico de B8 são, como anteriormente, !œ !

 B8 œ B8

a b a b 1.15 1.16

Exemplo 1.6. Seja Š um corpo, E um conjunto e I œ ŠE o conjunto das funções escalares definidas em E, ŠE œ 0À 0À E Ä Š . Então ŠE é um espaço vectorial sobre Š, se definirmos 4

Observe-se que este conjunto Ša b é o mesmo que o conjunto das sucessões de escalares, cujos termos se anulam, a partir de alguma ordem. !

8

Espaços vectoriais [Cap. 1

a soma de funções 0ß 1 − ŠE e o produto do escalar ! − Š pela função 0 − ŠE como sendo as funções 0  1 e !0 dadas, para todo o B − E , por

a ba b a b a b a ba b a b

[A]

a b a b 1.17

0 1 B œ 0 B 1 B

[P]

1.18

!0 B œ !0 B

Observe-se que, novamente, se utiliza a estrutura algébrica pré-existente em Š para definir as operações necessárias ao espaço vectorial ŠE . Observe-se ainda que o vector nulo de ŠE é a função constante nula ! e que o simétrico da função 0 é a função 0 , estando estas definidas, para todo o B − E, por:

ab a ba b a b

a b a b 1.19

! B œ!

1.20

0 B œ 0 B

e

f

Observe-se que os exemplos 1.3 e 1.4 são casos particulares do presente exemplo, com E œ "ß #ß á ß 8 e E œ  ou E œ ! , respectivamente. O próprio Exemplo 1.1 pode também ser visto à luz do caso ŠE , com E œ g e em que, portanto, I é o conjunto singular constituído apenas pela função vazia (de g em Š).

c d

Segundo este exemplo, poderemos falar do espaço vectorial real ‘M das funções reais definidas no intervalo M œ !ß " ou do espaço vectorial complexo ‚M das funções complexas definidas no mesmo intervalo (ou noutro qualquer conjunto).

ab

Exemplo 1.7. Seja Š um corpo, 8 − ! um inteiro não negativo e I œ P8 Š o conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a 8 e com coeficientes em Š.

a b  ab " 8

P8

Š œ

:À : B œ

+ 5 B 5 ß com + 5 − Š

5œ!

P8

a b ab

Ÿ

1.21

ab ab ! ab ! ab a ba b ! a b a ba b ! a b Š

é um espaço vectorial sobre Š, se definirmos a soma dos polinómios :ß ; − P8 Š ,

onde : B œ

8

5œ!

+5 B 5 e ; B œ

8

5œ!

, 5 B 5 , e o produto do escalar ! − Š pelo polinómio

: − P8 Š como sendo os polinómios :  ; e !: dados por:

[A]

8

:; B œ

5œ!

[P]

8

!: B œ

a b a b 1.22

+ 5  , 5 B5

1.23

!+5 B 5

5œ!

Observe-se que também aqui se utiliza a estrutura algébrica pré-existente em Š para definir as operações do espaço vectorial. Observe-se ainda que o vector nulo de P8 Š é o polinómio

ab !

nulo ! e que o simétrico do polinómio : tal que : B œ estes definidos para todo o B − Š , por:

8

5œ!

ab

+ 5 B 5 é o polinómio : , estando


9

ab " a ba b " a b ab ab ab a b ab ! ab ab - ab a b  ab " a b a bŸ 8

!B5

!B œ

5œ! 8

+5 B5

: B œ

5œ!

a b a b 1.24

1.25

É claro que, se ! Ÿ 7 Ÿ 8, então P7 Š § P8 Š . Em face do exposto anteriormente, podemos afirmar, por exemplo, que o conjunto P$ ‘ dos polinómios de coeficientes reais e grau menor ou igual a $ é um espaço vectorial real. Exemplo 1.8. Sejam +! ß +" ß á ß +8 ß á − Š ! as sucessões de escalares de um corpo Š, nulas a partir de alguma ordem (para cada sucessão, existe uma ordem < tal que +3 œ !, para 3  <) e considere-se o conjunto I œ P Š dos polinómios

_

5œ!

+5 B5 cujos coeficientes são os

termos daquelas sucessões; note-se que, de facto, este somatório tem apenas um número finito de parcelas ( Ÿ <  "), sendo nulas as restantes. É claro que P Š œ P8 Š . 8−!

_

P

Š œ

+ 5 B5 ß com + 5 − Š !

:À : B œ

5œ!

a b 1.26

ab

é um espaço vectorial sobre Š, se definirmos a soma de polinómios e o produto de escalar por um polinómio através de: P

Š

[A]

a ba b ! a b a ba b ! a b :; B œ

_

5œ!

[P]

_

!: B œ

a b a b 1.22.1

+ 5  , 5 B5

1.23.1

!+5 B 5

5œ!

Observe-se ainda que o vector nulo de

ab

P

Š

é o polinómio nulo ! œ

ab ! a ba b " a b

simétrico do polinómio : tal que : B œ

_

5œ!

+5 B5

: B œ

5œ!

!Ÿ7Ÿ8Ê

P!

!B5 e que o

5œ!

+ 5 B 5 é o polinómio definido por: _

Tem-se, como é óbvio,

!

_

ab ab ab ab Š § P7 Š § P8 Š § P Š

a b 1.25.1

10

Espaços vectoriais [Cap. 1 Consideremos, agora, dois polinómios : e ; dados por

ab " ab " _

:B œ

+5 B 5

5œ! _

; B œ

,5 B 5

5œ!

e o seu produto usual

a ba b a b a b " "  " _

:; B œ : B ; B œ

_

+ 5B

5œ!

5

_

, 5B

5œ!

5

œ

- 5B 5

5œ!

onde, para 5 −  ! , -5 œ

"

" 5

+3 , 4 œ

34œ5

+3 ,53 œ +! ,5  +" ,5"  â  +5","  +5 ,!

3œ!

Esta multiplicação verifica os axiomas M1 a M4, tratando-se de uma multiplicação vectorial e, portanto, P Š é uma Álgebra Linear (esta álgebra é, ainda, comutativa e com unidade: o polinómio constante ? B œ ") sobre Š.

a b ab

ab ab

Segundo o que acabámos de ver e a título de exemplo, os conjuntos P ‘ e P ‚ dos polinómios de coeficientes reais (respectivamente, complexos) constitui uma Álgebra Linear sobre o corpo dos reais (respectivamente, complexos). Exemplo 1.9. Seja Š œ ‘ e I œ W $ o conjunto dos segmentos orientados (incluindo o segmento nulo, de comprimento !) aplicados num ponto S do espaço tridimensional. Definindo a adição em W $ através da regra do triânguloa5b (ver figura 1.1) e o produto de um número Ò ! − ‘ por um segmento ST como sendo um novo segmento orientado aplicado em S, com a Ò mesma direcção de ST , o mesmo sentido ou o oposto conforme !  ! ou !  ! e um Ò comprimento igual a ! vezes o comprimento de ST (ver figura 1.2), obtém-se um espaço vectorial real.

kk

Ò

Ò

Fig. 1.1 – Regra do triângulo: EG µ SF .

5

Ò

Ò

Fig. 1. 2 – Multiplicação escalar: SE œ # SF .

Ò Ò Ò A soma de dois segmentos SE e SF é o segmento SG , em que G é a extremidade do segmento de origem Ò Ò E e equipolente a SF (ou a extremidade do segmento de origem F e equipolente a SE ). Por equipolente entende-se com a mesma direcção, sentido e comprimento (ver exemplo 1.10).


11

É deste exemplo que provêm os termos vector e espaço vectorial . É ainda neste espaço que, a nível elementar, se pensa quando se fala em grandezas escalares (massa, temperatura, trabalho, energia, etc) e grandezas vectoriais (força, velocidade, campo eléctrico, etc), distinguindo-se estas das primeiras pelo facto de, além de intensidade, possuirem também direcção e sentido. Sendo, ainda, Š œ ‘ e I œ W # o conjunto dos segmentos orientados aplicados num ponto S de um plano qualquer e usando as regras anteriores para as operações de adição vectorial e multiplicação escalar, obtém-se um novo espaço vectorial real. Por último, se I œ W " for constituído pelos segmentos orientados existentes sobre uma recta e aplicados num ponto S desta e usando as regras anteriores para as operações, W " constituirá também um espaço vectorial real. $ Exemplo 1.10. Seja Š œ ‘ e I œ W~ o conjunto dos segmentos orientados (incluindo os

segmentos nulos, de comprimento !) aplicados em qualquer ponto do espaço tridimensional. Ò Ò Ò Ò Diremos que EF e GH são equipolentes (e escreve-se EF µ GH ) sse o ponto médio Q de 1.3). EH coincidir com o ponto médio de FG (ver figura

Fig. 1.3 – Segmentos equipolentes.

A relação µ de equipolência é uma relação de equivalência (ver secção A.3 do apêndice A), ~ $ em classes de equivalência formadas por segmentos orientados o que determina a partição de W ~$ equipolentes entre si, as quais constituem o chamado conjunto-quociente de W por µ , $ designado por W~ Î µ . Cada classe de equivalência é chamada um vector livre (ou deslizante) e ~$ s$ œ W o referido conjunto quociente será designado por W Î µ . A classe (única) a que pertence Ò Ò Ò um segmento EF é designada por [EF ], dizendo-se que os segmentos pertencentes a [EF ] são os representantes da classe. Para cada ponto S do espaço, existe um e um só representante s $ constitui um espaço vectorial real se de cada classe aplicado em S. Vamos, agora, ver que W definirmos as operações do seguinte modo: Ò

Ò

Ò

Ò

[A] A soma [EF ]  [GH ] dos vectores livres [EF ] e [GH ] é a classe (vector livre) a Ò Ò que pertence a soma (pela regra do triângulo) de dois representantes de [EF ] e [GH ] aplicados num mesmo ponto S qualquer do espaço tridimensional, isto é, Ò

Ò

a b

Ò

[EF ]  [GH ] œ [ST ]

1.27

em que Ò

Ò

Ò

Ò

Ò

Ò

Ò

ST œ SQ  SR , com SQ µ EF e SR µ GH .

12


$

s . Fig. 1.4 – Adição vectorial em W

[P] Quanto à multiplicação escalar, poremos, para qualquer ! − ‘,

a b

Ò Ò ![EF ] œ [!EF ]

1.28

Ò

onde !EF é calculado de acordo com a regra do exemplo 1.9. $

s tudo se passa como se um vector livre fosse um segmento orientado que Na prática, em W pode deslocar-se paralelamente a si próprio e estar, portanto, aplicado em qualquer ponto do espaço tridimensional (daí a designação de deslizante). De modo semelhante se podem definir os # s " dos vectores livres de um plano e de uma recta, espaços vectoriais reais Ws e W respectivamente.

a

b

Exemplo 1.11. O conjunto I œ ‘ œ !ß  _ constitui um espaço vectorial real pondo, para quaisquer Bß C − ‘ e ! − ‘, [A]

B  C œ BC

[P]

!B œ B! œ / ! ln B

a b a b 1.29

1.30

O vector nulo deste espaço é " e o simétrico de B é B œ "ÎB.

ab

# $ œa b

Exemplo 1.12. Seja I 3 3−M uma família qualquer de espaços vectoriais sobre o mesmo corpo Š e consideremos o produto cartesiano I œ I3 dos espaços I3 3−M

Iœ

I3 œ

Bt3

3−M À

3−M

Considerem-se, agora, as operações definidas por: [A] [P]

ab ab a b ab a b Bt3

3−M

! Bt3

 Ct3

3−M

3−M

œ !Bt3

œ Bt3  Ct 3 3−M

3−M



a Bt3 − I3

3−M

a b a b 1.31.1

1.31.2

Obtém-se, deste modo, um espaço vectorial sobre Š, chamado espaço produto dos I 3 . O vector nulo de I é constituído pelos vectores nulos dos I 3 e o simétrico pelos simétricos (nos I 3 ) de cada vector componente:


13

a b ab a b ab œa b  e f $ œa b a b a b ba b a b a b a a b a b 9t œ 9tI 3

 Bt3

3−M

Particularmente, podemos fazer os I3 obtendo-se então o espaço I M œ

œ Bt3

3−M

Bt3

a b a b 1.32.1

3−M

1.32.2

3−M

todos iguais a um mesmo espaço vectorial I ,

3−M À

a Bt3 − I

3−M

Exemplo 1.13. Se, no exemplo anterior, fizermos M œ "ß #ß á ß 8 , para 8  !, obtém-se o produto cartesiano 8

I œ I" ‚ I # ‚ â ‚ I8 œ

I3 œ

Bt"ß Bt# ß á ß Bt8 À a Bt3 − I 3 "Ÿ3Ÿ8

3œ"

a

As equações

1.31.1

e

Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 ß Ct" ß Ct# ß á ß Ct8

[A] [P]



1.31.2 podem, neste caso, escrever-se, para quaisquer − I e ! − Š, na forma:

Bt" ß Bt# ß á ß Bt8  Ct" ß Ct# ß á ß Ct8 œ Bt"  Ct "ß Bt#  Ct #ß á ß Bt 8  Ct 8

! Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ !Bt" ß !Bt# ß á ß !Bt8

b a b a b 1.33.1

1.33.2

O vector nulo de I é constituído pelos vectores nulos dos I 3 e o simétrico pelos simétricos (nos I3 ) de cada vector componente À

a

9t œ 9tI" ß 9tI# ß á ß 9tI 8

a

b a

b

1.34.1

 Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 œ Bt"ß Bt#ß á ß Bt8

ab

a b a b

b

1.34.2

Particularmente, podemos fazer os I3 "Ÿ3Ÿ8 todos iguais a um mesmo espaço vectorial I , obtendo-se, então, o espaço I8 œ

œa

b



Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 À a Bt3 − I "Ÿ3Ÿ8

Mais particularmente, se fizermos I œ Š , teremos o espaço cartesiano Š8 do exemplo 1.3.

a

b

Exemplo 1.14. Seja Iß Šß  ß † um espaço vectorial sobre um corpo Š e Šw § Š um subcorpo de Š. Se considerarmos a restrição  do produto † ao conjunto Šw ‚ I  œ † lŠw‚I À Šw ‚ I Ä I , facilmente se prova que Iß Šwß  ß  constitui igualmente um espaço vectorial, mas agora sobre Šw . Observe-se que este espaço é diferente do primeiro (embora com os mesmos vectores). Adiante (ver exemplo 1.56) veremos que a dimensão do novo espaço é, em geral, maior do que a do primeiro (pelo facto de existirem menos escalares). Em linguagem prática, enuncia-se por vezes esta propriedade dizendo que «Se I é um espaço vectorial sobre Š e Šw é subcorpo de Š, I é também espaço vectorial sobre Šw». O vector nulo e o simétrico de cada vector de I são evidentemente os mesmos nos dois espaços (visto que o grupo comutativo Iß  é o mesmo).

a b

a

b

14


Este exemplo significa, pois, que todo o espaço vectorial complexo é automaticamente um espaço vectorial real e que este é, por sua vez, um espaço vectorial racional . Exemplo 1.15. Neste exemplo vamos ver que, a partir de um espaço vectorial real, é sempre possível construir um espaço vectorial complexo. Seja, então, I um espaço vectorial real e façamos I w œ I # œ Ö Btß Ct À Bt − I • Ct − I×Þ O leitor pode, a título de exercício, verificar que I w é um espaço vectorial complexo, para as operações a seguir indicadas, onde !  3" − ‚ (e, claro !ß " − ‘) e Btß Ct ß Btwß Ctw − I w : [A] [P]

a b a ba b a b a b a a ba b a

Btß Ct  Btw ß Ctw œ Bt  Bt w ß Ct  Ct w

b

t "Bt  !Ct !  3" Btß Ct œ !Bt  "Cß

a b a b 1.35

b

1.36

a ba

b

a b

Note-se que também aqui se utilizaram as operações pré-definidas no espaço I para definir as operações de I w e que o vector nulo de I w é 9tß 9t e Btß Ct é o simétrico de Btß Ct . Do acima exposto resulta, por exemplo, que ‘% é espaço vectorial complexo, com as operações: [A] [P] 1.5

a b a b a a ba b a

B" ß B# ß B$ ß B%  C " ß C# ß C$ ß C% œ B"  C "ß B#  C#ß B$  C $ß B%  C %

b

!  3" B" ß B# ß B$ ß B% œ !B"  "B$ß !B #  "B %ß "B "  !B $ß "B #  !B %

b

Combinações lineares. Subespaços

Definição 1 .3. – Combinação linear – Seja 7  ! um número inteiro,

a

B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7

b

ab

uma sequência de 7 vectores de um espaço vectorial I sobre um corpo Š e !t œ !3 "Ÿ3Ÿ7 uma sequência de 7 escalares (ou seja, um vector do espaço Š7 ). Chama-se combinação linear dos Bt3 a uma soma (que resulta num vector de I ) do tipo

"

!3 Bt3

a b

!3 Bt3 œ 9t

a b

7

3œ"

Se 7 œ !, põe-se, por definição:

" 3−g

1.37.1

1.37.2

Os exemplos seguintes ilustram o conceito de combinação linear:

aa

a b a b a bb a b a a b a b a

b

Exemplo 1.16. Em ‘$ , o vector 6ß""ß 6 é combinação linear dos vectores da sequência B œ "ß #ß " ß #ß "ß # ß "ß 2ß 1 , visto que

b a

b a b a ba b a b b a b a b

6ß ""ß 6 œ # "ß  #ß "  $ #ß  "ß #  # "ß 2ß 1

Neste caso, esta é a única combinação linear dos vectores "ß #ß " ß #ß "ß # e "ß 2ß 1 que resulta no vector 6ß""ß 6 : de facto, a igualdade 6ß ""ß 6 œ B "ß  #ß "  C #ß  "ß #  D "ß 2ß 1

equivale ao sistema de equações

Sec. 1.5] Combinações lineares. Subespaços

Ú ÛÜ a b aa b a b a bb a b aa bb aa a b a b a ba b a a b a b a Ú ÛÜ

15

B  #C  D œ ' #BC  #D œ "" B  #C  D œ '

o qual é determinado e tem apenas a solução B œ #ß C œ $ß D œ #. Exemplo 1.17. Em ‘$ , o vector #ß ""ß "! é também combinação linear dos vectores da lista ? œ #ß "ß # ß "ß )ß ( ß "ß #ß " , visto que

bb aa bb

#ß ""ß "! œ " #ß "ß #  " "ß )ß (  " "ß #ß " œ " #ß "ß #  # "ß )ß (  # "ß #ß "

Observe que, neste caso, existem mesmo infinitas combinações lineares dos vectores de ? que resultam no vector #ß""ß"! , duas das quais se indicam em cima: de facto, tem-se, para qualquer + − ‘ ,

b a ba b b a b

#ß ""ß "! œ $  #+ #ß "ß #  + "ß )ß (  %  $+ "ß #ß "

Procedendo como anteriormente, a igualdade

#ß ""ß "! œ B #ß "ß #  C "ß )ß (  D "ß #ß "

equivale ao seguinte sistema de equações lineares:

#B  C  D œ # B  )C  #D œ "" #B  (C  D œ "!

Este sistema é indeterminado e tem uma infinidade de soluções que são (+ é real arbitrário): B œ $  #+ß C œ +ß D œ %  $+ , onde + − ‘

a b aa b a b a bb a b a b a Ú ÛÜ a b a b a b a b œ aa bb

Exemplo 1.18. Em ‘$ , o vector #ß#ß" não é combinação linear dos vectores da lista @ œ #ß "ß # ß "ß )ß ( ß "ß #ß " . Agora, a igualdade

b a

#ß #ß " œ B #ß "ß #  C "ß )ß (  D "ß #ß "

b

é equivalente ao sistema de equações lineares

#B  C  D œ # B  )C  #D œ # #B  (C  D œ "

O sistema anterior não tem qualquer solução (sistema dito impossível ou inconsistente) não sendo, pois, possível exprimir #ß #ß " como combinação linear dos vectores de @. Exemplo 1.19. No espaço vectorial real ‘‘ das funções de ‘ em ‘ e para qualquer + − ‘, as funções B È cos B  + e B È sin B  + são combinação linear das funções da lista cosß sin , visto que cos B  + œ cos+cosB  sin+ sinB sin B  + œ sin+ cosB  cos+ sinB

Estas combinações lineares são únicas: por exemplo e em relação à primeira, de

16


a a b

a cos B  + œ ? cosB  @ sinB

B−‘

b

resulta, com B œ ! e B œ 1Î#,

œ a ab

? œ cos+ @ œ cos 1Î#  + œ  sin+

b

Exemplo 1.20. No espaço P8 Š dos polinómios de grau menor ou igual a 8, todo o polinómio : − P8 Š é combinação linear dos polinómios da lista - œ "ß Bß B#ß á ß B8 , visto que

ab

a

ab "

b

8

:B œ

+5 B 5

5œ"

Observe-se que, para cada polinómio : , a combinação linear anterior é única (método dos coeficientes indeterminados). Em muitos casos, restringindo o número de vectores de um espaço vectorial I sobre um corpo Š e usando as mesmas regras operatórias de I , obtém-se ainda um espaço vectorial sobre Š: é o caso dos chamados subespaços de I , cuja definição se apresenta a seguir: Definição 1.4. – Subespaço – Sendo I um espaço vectorial sobre um corpo Š e J § I um subconjunto de I , diz-se que J é um subespaço vectorial de I e escrevemos J £ I sse [S1]

J não é vazio, isto é, J Á g.

[S2]

J é fechado em relação à adição vectorial, ou seja,

a

b

a Bt − J • Ct − J Ê Bt  Ct − J

BtßCt

[S3]

J é fechado para a multiplicação escalar, isto é,

a

b

a ! − Š • Bt − J Ê !Bt − J

!ßBt

É fácil reconhecer que a conjunção de S2 e S3 é equivalente a [S4]

J é fechado para as combinações lineares, ou seja, a

!ß" ßBßC t t

a

b

! − Š • " − Š • Bt − J • Ct − J Ê !Bt  " Ct − J

Facilmente se mostra que estas condições são as necessárias e suficientes para que J , munido da restrição da adição vectorial em I a J # (S2 assegura que esta restrição é uma lei de composição interna em J ) e da restrição da multiplicação escalar em I a Š ‚ J (S3 garante que esta é uma aplicação em J ), seja ainda um espaço vectorial sobre Š. A relação £ entre subespaços de I é uma relação de ordem lata parcial (reflexiva, anti-simétrica e transitiva – ver apêndice A, definição A.6).


17

Observe-se que S3 implica, com ! œ ", que J é fechado em relação à simetrização, ou relação à simetrização e à adição levam ao fecho seja, Bt − J Ê Bt − J . Os fechos de J em de J em relação à subtracção vectorialß definida por 1.1 . Isto implica então, por S1, que existe pelo menos um vector Bt − J e portanto Bt  Bt œ 9t − J : logo, todo o subespaço J § I contém, portanto, o vector nulo de I (que é também o vector nulo de J ). Isto mostra que a condição S1 poderá ser substituída por:

a b

[S0]

9t − J .

ef

O conjunto singular formado apenas pelo vector nulo 9t é, como facilmente se reconhece, um subespaço de I e constitui, obviamente, o menor subespaço de I possível (o mínimo no sentido da relação de ordem £ ), sendo o maior o próprio I (o máximo no sentido da referida relação £ ). 9t e I são chamados os subespaços triviais de I , dizendo-se os restantes não triviais ou próprios.

ef

a ab b "

S2 e S3 significam igualmente que, se J é subespaço de I , J conterá qualquer combinação linear de vectores seus, isto é, se Bt3 "Ÿ3Ÿ7 for uma lista de vectores de J (eventualmente vazia), então, para quaisquer escalares !3 "Ÿ3Ÿ7 , 7

t3 − J !3 B

3œ"

a b 1.38

Nas proposições seguintes, dá-se conta do comportamento dos subespaços em relação às operações com conjuntos.

ab +

Proposição 1.4. – Intersecção de subespaços – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e J3 3−M uma família qualquer (eventualmente infinita) de subespaços de I . Então o conjunto J œ J3 é ainda um subespaço de I . 3−M

Demonstração: Basta provar que S1, S2 e S3 se verificam em relação a J . S1: Como os J3 são subespaços de Iß tem-se 9t − J3 para todo o 3 − M e portanto 9t − J Þ Então J é não vazio. S2: Sejam Bt e Ct vectores de J . Então, Btß Ct − J3 para todo o 3 − M . Como os J 3 são subespaços, Bt  Ct − J3 , para todo o 3 − M e portanto Bt  Ct − J . S3: Seja Bt um vector de J e ! um escalar de Š. Então Bt − J3, para todo o 3 − M . Sendo os J3 subespaços, ter-se-á !Bt − J3 para todo o 3 − M e, em consequência, !Bt − J , o que termina a demonstração. 

Corolário 1.4.1. Se J e K são subespaços de um espaço vectorial I , então J  K é também um subespaço de I . Proposição 1.5. – Reunião de subespaços – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e J e K subespaços de I . Então, J  K é um subespaço de I sse J § K ” K § J .

18


Demonstração: Como J § K Ê J  K œ K e K § J Ê J  K œ J , J  K será, evidentemente, um subespaço caso se dê uma daquelas inclusões. Vejamos, agora, a recíproca que é equivalente a J  K é subespaço • J § Î K Ê K § J : seja ?t um vector de J que não pertença a K e @t um vector qualquer de K. Ambos pertencem a J  K e, sendo este um subespaço, o mesmo sucederá com ?t  @t. Sendo assim, tem-se ?t  @t − J ” ?t  @t − K . Mas a hipótese ?t  @t − K é absurda, visto que então, como K é subespaço, ter-se-ia ?t  @t  @t œ ?t − K , o que contraria a nossa escolha inicial de ?t. Portanto, terá de ser ?t  @t − J , o que, sendo J um subespaço, implica ?t  @t  ?t œ @t − J . Isto mostra que K § J , provando deste modo a proposição. 

a b

a b

Proposição 1.6. – Subtracção de subespaços – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e J e K subespaços de I . Então, J Ï K não é um subespaço de I . Demonstração: Basta notar que J Ï K não contém o vector nulo.



De seguida, apresentam-se vários exemplos de subespaços vectoriais dalguns dos espaços anteriormente apresentados:

a

b

Exemplo 1.21. Seja +t œ +" ß +# ß á ß +8 um vector arbitrário do espaço cartesiano Š8. Os subconjuntos J +t de Š8 definidos por J+t œ

b"

a

8

B " ß B # ß á ß B8 À

+4 B4 œ !

4œ"

Ÿ

constituem subespaços de Š8 que coincidem com Š8 , se +t œ 9t . Se +t Á 9t, estes subespaços são, por vezes, chamados hiperplanos de Š8 . Por exemplo, no caso de ‘# (e interpretando geometricamente) e com +t Á 9t, os conjuntos J +t serão rectas passando pela origem; Em ‘$ e de novo com +t Á 9t, serão planos passando pela origem.

a

b

Exemplo 1.22. De acordo com a proposição 1.4, para qualquer sequência +t" ß +t# ß á ß +t7 de 7 vectores de Š8 , o conjunto

,

a b

7

J œ

a b

1.39

J +t3

3œ"

onde os J +t 3 "Ÿ3Ÿ7 são espaços do tipo construído no exemplo anterior, constituirá igualmente um subespaço de Š8 . Sendo os +t3 da forma +t3 œ +3" ß +3# ß á ß +38 , os vectores B" ß B# ß á ß B8 − J satisfarão o sistema de equações lineares homogéneas seguinte

a

b

ÚÝ ÛÝ Ü

a

b

+"" B"  +"# B#  â  +"8B 8 œ ! +#" B"  +## B#  â  +#8B 8 œ ! â â +7" B"  +7# B#  â  +78 B8 œ !

Se algum dos vectores +t3 for nulo, o subespaço J +t3 correspondente pode ser eliminado da expressão 1.39 , visto que J+t 3 œ Š8 é elemento neutro na intersecção (portanto, naquela expressão podem figurar só os hiperplanos de Š8 ).

a b


19

Como casos particulares, aponte-se, por exemplo em ‘$ , a intersecção de dois (7 œ # e 8 œ $) planos não coincidentes passando pela origem, que produz uma recta passando também pela origem. Portanto, as rectas passando pela origem são subespaços vectoriais de ‘$ . Exemplo 1.23. Sendo Bt um vector qualquer de um espaço vectorial I sobre um corpo Š, o conjunto ŠBt œ

œ

CÀ t b Ct œ !Bt !−Š

 ef

dos múltiplos escalares de Bt é um subespaço de I , como facilmente se reconhece. Se Bt Á 9t, este subespaço é, por vezes, designado por recta de I ; se Bt œ 9t, fica como é óbvio ŠBt œ 9t .

a# b

Exemplo 1.24. Seja I 3 3−M uma família qualquer de espaços vectoriais sobre o mesmo corpo Š. O subconjunto de I3 formado pelas famílias Bt3 3−M de vectores dos I3 , com Bt3 − I3 para 3−M

ab

#

todo o 3 − M , e tais que Bt3 œ 9tI 3 , para 3 no complementar de uma parte finita N de M , constitui também um subespaço de I3 chamado soma directa externa dos I 3 e designado por

9 # I3 §

3−M

3−M

I3 . É claro que, se M é finito, tem-se

3−M

9 # I3 œ

3−M

3−M

I3 . Se, em particular, os I3 forem

todos iguais a um mesmo espaço vectorial I , a soma directa externa designa-se por I aM b (coincidente com I M , se M for finito): trata-se, portanto, do conjunto das famílias Bt3 3−M de vectores de I tais que Bt3 œ 9t no complementar M Ï N de uma parte N finita do conjunto M de índices:

Ú : ÛÜa b a b Ú ab Ûa b a b Ü I3 œ

Bt3

3−M À

Bt3

3−M À

3−M

I

M

œ

ab

Þ ß à Þ ß à

a Bt3 − I3 • b

a Bt 3 œ 9tI3

a Bt3 − I • b

a Bt 3 œ 9t

3−M

3−M

N §M 3−MÏN N finito

N §M 3−MÏN N finito

Exemplo 1.25. O espaço Ša! b do exemplo 1.5 é subespaço do espaço Š! do exemplo 1.4. Exemplo 1.26. Consideremos os espaços ‚ e ‘ das sucessões complexas (ou reais) e, nestes, os subconjuntos B ß ‚ e B ß ‘ , obviamente não vazios, formados pelas sucessões limitadas

a b a b a b œa b a b œa b B B

kk  kk 

ß ‚ œ

D8 À b  a D 8  <

ß ‘ œ

B8 À b  a B 8  <

<−‘ 8−

<−‘ 8−

Como se sabe, a soma de sucessões limitadas é ainda uma sucessão limitada e o produto de um complexo (respectivamente, de um real) por uma sucessão complexa (respectivamente, real) limitada também o é; portanto, estamos de novo em presença de um subespaço de ‚ (respectivamente, de ‘ ).

a b a b

Exemplo 1.27. Consideremos o espaço ‚ das sucessões complexas (ou o espaço ‘ das sucessões reais) e nestes os subconjuntos não vazios ¶ ß ‚ e ¶  ß ‘ formados pelas

20


sucessões convergentes

a b œa b a b œa b

 

¶ ß ‚ œ

D8 À b lim D8 œ P

¶ ß ‘ œ

B8 À b lim B8 œ P

P−‚ 8Ä_

P−‘ 8Ä_

Como se sabe, a soma de sucessões convergentes é ainda uma sucessão convergente e o produto de um complexo (ou de um real) por uma sucessão complexa (ou real) convergente também o é; portanto, estamos em presença de um subespaço de ‚ (ou de ‘ ). Mais ainda, como toda a sucessão convergente é limitada, ¶ ß ‚ e ¶ ß ‘ são subespaços de B  ß ‚ e de B ß ‘ , respectivamente.

a b a b a b a b a b a b a b a b ša b › a b ša b ›

a b

Exemplo 1.28. Os conjuntos ¶! ß ‚ e ¶!  ß ‘ das sucessões complexas ou reais convergentes para ! (infinitésimos) são subespaços dos espaços ¶ ß ‚ e ¶ ß ‘ do exemplo anterior ¶! ß ‚ œ

D8 À lim D8 œ !

¶! ß ‘ œ

B8 À lim B8 œ !

8Ä_

8Ä_

Como se sabe, a sucessão nula é um infinitésimo, a soma de infinitésimos é ainda um infinitésimo e o produto de um número complexo (respectivamente, um número real) por um infinitésimo também o é; portanto, trata-se de subespaços de ¶ ß ‚ e ¶  ß ‘ , respectivamente. Tem-se, afinal,

a b a b

aa bb aa bb aa bb

¶!  ß ‚ § ¶  ß ‚ § B  ß ‚ § ‚  ¶!  ß ‘ § ¶  ß ‘ § B  ß ‘ § ‘ 

Exemplo 1.29. Consideremos o espaço ‚ (ou ‘ ) das sucessões complexas (respectivamente, reais) e neste o subconjunto não vazio 6#‚ (respectivamente, 6#‘) formado pelas sucessões ?8 tais que a série de termo geral ?8 # é convergente:

ab

#

6‚ œ 6#‘ œ

a a

kk b "k k Ÿ b " Ÿ _

D8 À b

P−‘

8œ" _

B#8 œ P

B8 À b

P−‘

D8 # œ P

8œ"

Não é difícil mostrar que estamos, de novo, em presença de subespaços de ‚ e ‘ , respectivamente, e que são ainda subespaços dos espaços respectivos do exemplo anterior (para o fecho em relação à adição, observe que, para quaisquer sucessões D8 e A8 complexas ou reais, se tem: D8  A8 # Ÿ # D8 #  # A 8 # ). Estes espaços chamam-se espaços de Hilbert a6b de sucessões.

k

6

k kk k k

aba b

Hilbert, David: matemático alemão (Königsberg 1862 – Göttingen 1943). Mais geralmente, um espaço de Hilbert é um espaço vectorial real ou complexo com produto interno e completo em relação à norma definida por este (ver capítulo 6).


21

Exemplo 1.30. No espaço vectorial complexo (respectivamente, real) ‚M (respectivamente, ‘M ) das funções escalares complexas (respectivamente, reais) definidas num intervalo M § ‘, considere-se o conjunto C Mß ‚ (respectivamente, C Mß ‘ ) das funções contínuas em M

a b a b œ a b œ C C

a b a b a b a b a b

Mß ‚ œ

0 − ‚M À a lim 0 B œ 0 +

Mß ‘ œ

0 − ‘M À a lim 0 B œ 0 +

+−M BÄ+

+−M BÄ+

Como é sabido, a soma de funções contínuas no intervalo M é uma função contínua nesse intervalo, o mesmo se passando com o produto de um escalar por uma função contínua. Também se utilizam as notações C! Mß ‚ e C! Mß ‘ . Em face do acima exposto, podemos afirmar que C Mß ‚ e C Mß ‘ são subespaços de ‚M e ‘M , respectivamente.

a b a b

a b a b

Exemplo 1.31. No espaço vectorial complexo (respectivamente, real) ‚M (respectivamente, ‘M ) das funções escalares complexas (respectivamente, reais) definidas num intervalo M § ‘, considere-se o conjunto B Mß ‚ (respectivamente, B Mß ‘ ) das funções limitadas em M

a b a b œ a b œ

B B

a b k a bk  k a bk 

Mß ‚ œ

0 − ‚M À b  a 0 B  P

Mß ‘ œ

0 − ‘M À b  a 0 B  P

P−‘ B−M

P−‘ B−M

Sabe-se que a soma de funções limitadas em M é também limitada e que o mesmo sucede com o produto de um escalar (real ou complexo) por uma função limitada: está-se, pois, mais uma vez na presença de um subespaço de ‚M ou de ‘M , conforme o caso.

a b a b

Exemplo 1.32. Seja M § ‘ um intervalo aberto e D Mß ‚ e D Mß ‘ os conjuntos das funções de M em ‚ ou de M em ‘ diferenciáveis em M . Também aqui estamos na presença de subespaços de ‚M ou de ‘M :

a b œ a b œ

D

Mß ‚ œ

D

Mß ‘ œ

ab ab  ab ab 

0 B 0 + −‚ +−M BÄ+ B+ 0 B 0 + 0 − ‘M À a lim −‘ +−M BÄ+ B+ 0 − ‚M À a lim

a b a b

Exemplo 1.33. Seja M § ‘ um intervalo aberto, 5  ! um inteiro e C5 Mß ‚ e C5 Mß ‘ os conjuntos das funções de M em ‚ ou de M em ‘ 5 vezes diferenciáveis em M e com derivada 0 a5 b de ordem 5 contínua em M (entende-se por derivada de ordem ! a própria função, isto é C! Mß ‚ œ C Mß ‚ e C! Mß ‘ œ C Mß ‘ ). Estas funções dizem-se de classe C5 em M . Também aqui estamos na presença de subespaços de ‚M e de ‘M :

a b a b a b a b a b ˜˜ a b 5

Mß ‚ œ 0 − ‚M À 0 a5 b −

C

5

Mß ‘ œ 0 − ‘M À 0 a5 b −

C

C C

a a

Mß ‚ Mß ‘

b™™ b

22

Espaços vectoriais [Cap. 1 Tem-se, neste caso (ver figura 1.5), 5  5w  ! Ê

5

C

a b a b a b a b a b w

Mß ‚ § C5 Mß ‚ §

!

C

Mß ‚

Exemplo 1.34. Seja M § ‘ um intervalo aberto e C_ Mß ‚ e C_ Mß ‘ os conjuntos das funções de M em ‚ ou de M em ‘ infinitamente diferenciáveis em M (funções de classe C_ em M ). Pela proposição 1.4, também aqui estamos na presença de subespaços de ‚M e de ‘M , que são a intersecção dos espaços do exemplo anterior: C

C

_

_

a b œ a b œ

 , a b  , a b

Mß ‚ œ 0 − ‚M À a 0 a5 b existe œ 5− !

Mß ‚

5

Mß ‘

5− !

Mß ‘ œ 0 − ‘M À a 0 a5 b existe œ 5− !

5

C

C

5− !

0

C (I , R )

I

R

D (I , R ) 1

C (I , R ) . . .

. . .

:

C (I , R )

Fig. 1.5 – Os espaços de funções reais de classe C5 e de classe C_ .

ab

Exemplo 1.35. Os espaços P8 Š dos polinómios de grau menor ou igual a um certo 8  ! (Exemplo 1.7) são subespaços uns dos outros: tem-se, de facto, P7 Š § P8 Š § P Š , se ! Ÿ 7 Ÿ 8 . A figura seguinte ilustra a situação: P( K ) . . .

ab ab ab

P2 ( K )

P1( K ) P0 ( K )

Fig. 1.6 – Os espaços de polinómios de coeficientes num corpo Š .


23

Exemplo 1.36. No espaço W $ dos segmentos orientados aplicados num ponto S do espaço tridimensional, o conjunto T dos segmentos orientados aplicados em S e existentes sobre um qualquer plano passando por S constitui, como facilmente se verifica, um subespaço de W $ . O mesmo se pode dizer do conjunto V dos segmentos orientados aplicados em S e existentes sobre uma recta que contenha S. Vamos, agora, provar que o conjunto de todas as combinações lineares de uma lista de vectores de um espaço vectorial I constituem sempre um subespaço de I e que este é o menor subespaço de I que contém simultaneamente todos os vectores da lista:

a

b

Proposição 1.7. Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 uma lista de 7  ! vectores de I . O conjunto E de todas as combinações lineares possíveis dos vectores de B é um subespaço de I , contendo todos os vectores de B e que está contido em qualquer subespaço de I que contenha igualmente os vectores de B : é, portanto, o menor subespaço de I contendo os vectores de B . Demonstração: Se 7 œ !, tem-se B œ g. Neste caso, por ser

!

!3Bt 3 œ 9t,

3−g

ef

tem-se E œ 9t , que satisfaz

todas as condições do enunciado. Passemos, então, ao caso 7  !: a lista B será

a


! ! ! !a b ! !a b 7

É óbvio que E Á g, visto que 9t œ que

7

3œ"

!3 Bt3 

visto que "

7

3œ"

7

3œ"

"3 Bt3 œ

!3 Bt3 œ

7

7

3œ"

3œ"

3œ"

!Bt3 − E . Por outro lado, E é fechado para a adição, pois

!3  "3 Bt3 ,

"!3 Bt3 .

b

e é igualmente fechado para a multiplicação escalar,

Isto significa que E é subespaço de I . O subespaço E

contém, obviamente, todos os Bt3 já que Bt3 œ

a b

! 7

4œ"

$ 34 Bt4

a7b

.

Por último, se J é um subespaço de I

contendo os Bt3 , então, por 1.38 , J conterá todas as combinações lineares dos Bt3 , o que significa que E § J , terminando assim demonstração.  O subespaço E representa, assim, o menor subespaço de I contendo todos os vectores Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 ou ainda a intersecção de todos os subespaços de I contendo aqueles vectores. Isto leva-nos a pôr a seguinte

a

b

Definição 1.5. – Subespaço gerado por uma lista de vectores – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 uma lista de 7  ! vectores de I . O subespaço E de I formado por todas as combinações lineares dos vectores de B é chamado 7

$34 é o símbolo de Kronecker, definido por $34 œ

œ "!

se 3 œ 4 se 3 Á 4

Kronecker, Leopold : matemático alemão (Liegnitz 1823 – Berlim 1891).

24


subespaço gerado por B

a a

a b a b ab a b

ou envolvente linear de B e designa-se por PŠ B , PŠ Bt3 "Ÿ3Ÿ7 ou ou ainda, quando se subentende o corpo, P B , P Bt3 "Ÿ3Ÿ7 ou por

b b Ú a b ab e f ÛÜ a b œ ab

por PŠ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 P Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 a8b :

P g œP

œ 9t ,

P Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 œ

!  7

Ct − IÀ

b

a! b−Š 3

Ct œ 7

3œ"

!3 Bt3

se 7 œ ! , se 7  !

a b 1.40

Da definição anterior e da proposição 1.7 resultam, para qualquer subespaço J de I contendo os vectores Bt3 "Ÿ3Ÿ7 , as relações:

a

a Bt3 − P Bt" ß Bt# ß á ß Bt7

a

"Ÿ3Ÿ7

b

b

a b 1.41

P Bt"ß Bt#ß á ß Bt7 § J

a

b

Pode facilmente ser verificado que P Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 é, afinal, a soma (no sentido da definição 1.12) dos subespaços ŠBt3 , mencionados no exemplo 1.23 (os ŠBt3 são rectas de I , se Bt3 Á 9t):

b "a b

a

P Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 œ

ab

a b

7

1.42

ŠBt3

3œ"

Quando P B é o próprio espaço vectorial I , diz-se que B é uma sequência ou lista geradora (de I ) ou ainda que B constitui um sistema de geradores de I : Definição 1.6. – Sistema de geradores – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e B uma lista de 7  ! vectores de I . Se P B œ I , diremos que B é uma lista geradora (de I ) ou um sistema de geradores de I .

ab

ab

B é um sistema de (vectores) geradores de I Í P B œ I

ab

a b 1.43

A definição anterior equivale, obviamente, a dizer que todo o vector Ct − I é combinação linear dos vectores Bt3 3−M :



B é um sistema de geradores de I Í a Ct − I Ê Ct

b

a! b−Š 3

7

Ct œ

"  a b !3Bt 3

1.44

3−M

Caso exista alguma lista geradora de I (necessariamente de comprimento 7 finito), diremos que o espaço vectorial I é do tipo finito ou de dimensão finita). A seguir, formaliza-se esta definição: Definição 1.7. – Espaço de dimensão finita – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š. Diz-se que o espaço I é do tipo finito (ou de dimensão finita ) sse existe alguma sequência B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de vectores de I geradora de I .

a

8

b

t"ß Bt#ß á ß Bt7  . Também se utilizam as notações  B  e  B


25

a

b

Os espaços que não são gerados por qualquer lista Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de vectores seus dizemse de dimensão infinita.

aba b aa b a b a a b b a b a b ab ˆ ‰ ab ab " ab

ef

Exemplo 1.37. As sequências g, 9t , 9tß 9t , etc geram, todas elas, o espaço trivial 9t . Exemplo 1.38. A lista de 8 vectores de Š8 -œ

"ß !ß ! ß á ß ! ß !ß ! ß "ß " ß á ß ! ß á ß !ß ! ß !ß !ß á ß "

bb

gera Š8 , visto que todo o vector B" ß B# ß á ß B8 − Š8 é combinação linear dos vectores de -:

a

a

B" ß B# ß á ß B8 œ B" "ß !ß !ß á ß !  B# !ß "ß "ß á ß !  â  B 8 !ß !ß !ß á ß "

b

Exemplo 1.39. No 1.39. No espaço P8 Š dos polinómios de grau g rau menor m enor ou igual a 8 e coeficientes em Š, a sequência de 8  " polinómios

ab

- œ "ß Bß Bß B # ß á ß B 8

gera P8 Š , pois tem-se, para qualquer polinómio : − P8 Š : 8

+5 B 5

:B œ

5œ"

Exemplo 1.40. O espaço P Š de todos os polinómios de coeficientes em Š não é gerado por qualquer lista de polinómios seus, visto que, se a lista for vazia, gera apenas o polinómio nulo e, se não o for, não pode, obviamente, gerar os polinómios cujo grau seja superior ao máximo dos graus dos polinómios presentes na lista. Isto significa que P Š tem dimensão infinita.

ab

aa

b a b a bb a b eeaa bb aa bb a a b a b a bbf f ea b f ab a a b a b a b b a b a b ÚÝ a b a b b ÛÝ a b a Üa b a b

Exemplo 1.41. A lista ? œ "ß "ß " ß #ß "ß " ß $ß !ß # não é geradora de ‘$ , visto que P? œ œ œ

Bß C ß D À Bß B ß C ß D œ + "ß  "ß "ß "  , #ß " ß "  - $ß !ß ! ß # à +ß , ß - − ‘ Bß Cß C ß D À Bß B ß Cß C ß D œ +  #,  $-ß +  +  ,ß +  ,  #Bß Cß Cß D À #B # B  C  $D œ ! Á ‘ $

Geometricamente, P ? representa um plano passando pela origem.

Exemplo 1.42. Para qualquer 7 − , a sequência ?7 œ ?"8 ß ?#8 ß á ß ?78 de suces sucessõe sõess ?58 de escal escalar ares es de um corpo corpo Š defin definid idas as a seguir seguir não não pode pode gerar gerar Š , vist vistoo que nenhuma sucessão com algum termo não nulo e de ordem superior a 7 pode ser combinação linear das sucessões ?58 "Ÿ5Ÿ7 : 8− 

?"8 œ "ß!ßáß!ßá ?#8 œ !ß"ßáß!ßá â ?78 œ !ß!ßáß"ßá

Adiante veremos que o espaço Š tem também dimensão infinita.

a b

a

ab

a bb

Exemplo 1.43. No espaço vectorial real ‘‘ das funções de ‘ em ‘, as funções B È cosB 8 pertencem ao subespaço de ‘‘ gerado por "ß cosBß cos #B ß á ß cos 8B . Isto

26


resulta da fórmula de Eulera9b e do binómio de Newtona10b , que permitem concluir que (ver igualdades C.57 e C.58 no apêndice C):

a b a b cosB cosB

a

#:

œ

#:"

œ

" ##:

Š ‹ !ˆ ‰ ˆ a b ‰ ! ˆ ‰ â a b b ‰ #: :

" ##:#



:"

5œ!

"

##:"

#:" 5

b ab  "

:"

#: 5

5œ!

cos # :  5 B

cos # :  5  " B

ab

Exemplo 1.44. Se I for um espaço vectorial sobre um corpo Š e se Šw § Š for subcorpo de Š, uma lista B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de vectores de I gera dois subespaços: o subespaço PŠ B , para combinações lineares com escalares no corpo Š

Ÿ

7

PŠ B œ

?t œ

? 3Bt 3 • ? 3 − Š § I

3œ"

ab

e o subespaço PŠw B , quando os escalares nas combinações lineares estão em Šw

ab  " 7

PŠ w B œ

?t œ

? 3Bt 3 • ? 3 − Šw

3œ"

Ÿ

§I

Se Šw Á Š, estes dois subespaços de I não são iguais, tendo-se obviamente

ab ab ab

PŠw B § PŠ B

ab

É ainda evidente que PŠw B é espaço sobre Šw , mas não sobre Š, visto que não é fechado para o produto por escalar (de Š). Quanto a PŠ B , será espaço vectorial sobre Š (e também sobre Šw ).

1.6

Independência Independência linear e bases. Dimensão

Na presente secção, vamos definir a importante impo rtante noção de independência linear, bem como as noções de base e dimensão de um espaço vectorial. Comecemos pela primeira:

ab

Definição 1.8. – Dependência/independência linear – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š, 7 −  e B œ Bt3 "Ÿ3Ÿ7 uma sequência de vectores de I . Diz-se que B é linearmente dependente (sobre Š) sse existe um vector !t œ !3 "Ÿ3Ÿ7 − Š7 Ï 9t tal que

! 7

3œ"

ab

!3 B t3 œ 9t :

ab

B œ Bt3

"Ÿ3Ÿ7 é



linearmente dependente Í b 7 !t Á 9t • !t −Š

ef

" 7

3œ"

!3Bt 3 œ 9t

 a b

9

Euler, Leonhard : matemático suíço (Bâle 1707 – São Petersburgo 1783).

10

Newton, Sir Isaac Isaac: físico, matemático e astrónomo inglês (Woolsthorpe 1642 – Kensington 1727).

1.45

Sec. 1.6] In Independência linear e bases. Dimensão

27

Se a lista B de vectores não for linearmente dependente, diremos que é linearmente independente (sobre Š). Tem-se, portanto:

ab

B œ Bt3

" 7

"Ÿ3Ÿ7 é

linearmente independente Í a 7 !t −Š

!3 Bt3 œ 9t Ê ! t œ 9t

3œ"

a b 1.46

Por definição, diremos que a lista g vazia é linearmente linearment e independente. Observações: ç Observe-se aqui que a dependência linear de uma lista de vectores depende do corpo Š de

escalares que se considere:

ab

Se I é espaço vectorial sobre Š e se Šw § Š é subcorpo de Š, uma lista B œ Bt3 "Ÿ3Ÿ7 de 7 vectores de I , B pode ser linearmente dependente sobre Š e linearmente independente sobre Šw . O que se pode afirmar, com generalidade, é Šw § Š • B é linearmente dependente sobre Šw Ê B é linearmente dependente sobre Š.

e isto equivale a Šw § Š • B é linearmente independente sobre Š Ê B é linearmente independente sobre Šw.

a b aa b a bb b a b aa b a b b a b

Por exemplo, a lista B œ Bt" ß Bt# œ "  3ß 3 ß "  3ß " de vectores de ‚# é linearmente dependente sobre ‚ (observe que Bt" œ 3Bt# ), mas é linearmente independente sobre ‘, pois se +ß, − ‘ ,

a b a

+ "  3ß 3  , "  3ß " œ !ß ! Ê

+  ,  3 +  , ß ,  3+ œ !ß ! Ê + œ , œ !

no entanto, qualquer lista ‘-dependente é também ‚-dependente e toda a lista ‚-independente será igualmente ‘-independente. ç Consideremos uma lista linearmente independente de : vectores de Š8 Bœ

aa

ba

b a

B""ß B#" ß áß á ß B8" ß B"#ß B## ß áß á ß B8# ß áß á ß B": ß B#:ß á ß B8:

bb

w Nestas condições, quaisquer que sejam os o s escalares es calares B8"ß" ß B 8 8"ß# ß á ß B8"ß: , a lista B de : vectores de Š8" obtida de B juntando cada um destes escalares aos seus vectores vect ores

Bw œ

aa

ba

é ainda linearmente independente, o que resulta de ser e

! :

5œ"

b a

B"" ß B#" ß á ß B8" ß B8"ß" ß B"# ß B##ß á ß B8# ß B8"ß# ß á ß B ":ß B#:ß á ß B8:ß B 8"ß:

! :

!5 Bt5w œ 9t

5 œ"

equivalente a

!

bb

:

!5 Bt5 œ 9t

5 œ"

!5 B8"ß 8"ß5 5 œ !.

ab

Se uma sequência B de vectores é linearmente independente, todo o vector de P B é combinação linear dos vectores de B e esta combinação linear é única, o que se prova na seguinte

28


ab

Proposição 1.8. – Unicidade da combinação linear – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e B œ Bt3 "Ÿ3Ÿ7 uma lista de 7 vectores de I . A sequência B é linearmente independente sse, para cada Ct − P B , existe um e um só !t œ !"ß !#ß á ß !7 − Š7 tal que

ab

" b

a

7

Ct œ

b

!3 Bt3

3œ"

a

Observe-se que, se Ct œ 9t, então !t œ !ß !ß !ß áß á ß ! œ 9tÞ Demonstração:

ab "

Suponhamos que Ct é um vector de P B tal que 7

Ct œ

" 7

!3 Bt3 œ

3œ"

" 3 Bt3

3œ "

daqui se segue que

"a

b

7

!3  " 3 Bt3 œ 9t

3œ"

ab

Sendo a lista Bt3 "Ÿ3Ÿ7 linearmente independente, a igualdade anterior implica !3  " 3 œ !, o que equivale a !3 œ " 3 , para todo o 3 − "ß #ß á ß 7 , sendo portanto única a combinação linear que exprime Ct nos Bt3 . Reciprocamente, se B for linearmente dependente, existirá "t œ " 3 Á 9t tal que

e

f

"

ab

7

ab "

Bt3 œ 9t " 3 B

3œ"

a

b

então, se Ct − P B , existirá !t œ !"ß !#ß á ß !7 − Š7 tal que 7

Ct œ

" 7

!3 Bt3 œ

3œ"

" 7

!3 Bt3  9t œ

3œ"

!3Bt 3 

3œ "

" 7

"a

b

7

"3Bt 3 œ

3œ "

!3  "3 Bt 3

3œ "

Basta, agora, observar que os escalares !3  "3 não são todos iguais aos !3 respectivos, visto que "t œ " 3 Á 9t. Portanto, Ct exprime-se de duas formas diferentes como combinação linear

ab

dos Bt3 , nomeadamente,

! 7

3œ"

!3 Bt3

e

!a 7

3œ"

b

!3  " 3 Bt3 .



ab

A proposição anterior garante, portanto, que se B œ Bt3 "Ÿ3Ÿ7 for uma lista linearmente independente de vectores de I , todo o vector Ct − I se exprime quando muito de uma forma como combinação linear dos Bt3 (de uma e uma só forma quando Ct − P B e de nenhuma, quando Ct Â P B ). Para garantir que todo o vector de I se possa exprimir nos Bt3 será necessário que P B œ I e, portanto, que B seja também geradora I . Isto leva-nos à importante noção de Base:

a ba b

ab


29

Definição 1.9. – Base de um espaço de dimensão finita – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e B œ Bt3 "Ÿ3Ÿ8 uma lista de 8 vectores de I . Diremos que B é uma base de I sse B gera I e B é linearmente independente:

ab

ab ab

B é uma base de I Í P B œ I • B é linearmente independente

a b 1.47

Em virtude da proposição 1.8, se B œ Bt3 "Ÿ3Ÿ8 é uma base de I , todo o vector Ct de I se

! 8

exprime de uma e uma só forma como combinação linear

3œ"

!3 Bt3

dos vectores de B. Os

a

b

escalares únicos envolvidos em tal combinação linear são chamados as coordenadas (contravariantes) de Ct em relação à base B e o vector !t œ !" ß !#ß á ß !8 − Š8 é o vector das coordenadas de Ct ou a representação de Ct, relativa à base B. !3

De seguida, vamos enunciar e provar um certo número de proposições envolvendo os conceitos de subespaç subespaçoo gerado gerado, independ independênci ênciaa linear linear e base. Uma delas permitir-nos-á definir rigorosamente a noção de dimensão de um espaço vectorial, como sendo o número de vectores de uma qualquer base desse espaço. Outras três de entre elas (as operações elementares) serão essenciais para fundamentar o Algoritmo de Condensação, de grande utilidade em vários temas da Álgebra Linear.

a

b

Proposição 1.9. Uma sequência B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de vectores de um espaço vectorial I sobre um corpo Š é linearmente dependente sse existir nela um vector Bt5 que seja combinação linear dos restantes:

a

b

Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 é linearmente dependente Í b Bt5 œ "Ÿ5Ÿ7 !3 −Š

" 3Á5

!3 Bt3

a b 1.48

Demonstração: A condição é suficiente, pois b Bt5 œ

"Ÿ5Ÿ7 !3 −Š

"

!3 Bt3 Ê

3Á5

b

"Ÿ5Ÿ7 !3 − Š

"

!3 Bt3  Bt 5 œ 9t

3Á5

mas esta última igualdade mostra o anulamento de uma combinação linear dos vectores de B, na na qual !5 œ " Á !, o que implica a dependência linear de B. Reciprocamente, de B for linearmente dependente, existe !5 Á ! tal que

" 7

3œ"

!3 Bt3 œ

"

!3 Bt3  !5 Bt5 œ 9t

3Á5

daqui se segue facilmente que Bt5 œ

" 3Á5



!3 Bt3 !5

Os seguintes corolários da proposição anterior são óbvios:



30


ab

Corolário 1.9.1. Uma sequência Bt" formada por um só vector é linearmente dependente sse Bt" œ 9t:

ab

a b

Bt" é linearmente dependente Í Bt" œ 9t

1.48.1

a b

Corolário 1.9.2. Uma sequência Bt" ß Bt# formada por dois vectores é linearmente dependente sse um desses vectores for múltiplo escalar do outro, isto é:

a b

Bt" ß Bt# é linearmente dependente Í b Bt" œ !Bt# ” b Bt # œ " Bt " !−Š

" −Š

a b 1.48.2

Corolário 1.9.3. Se algum vector numa sequência for nulo, a sequência é linearmente dependente. Corolário 1.9.4. Se, numa sequência, existirem dois vectores iguais, a sequência é linearmente dependente. Corolário 1.9.5. Se, numa sequência, um dos vectores for múltiplo escalar de outro, a sequência é linearmente dependente. Corolário 1.9.6. Se, numa sequência, existir uma subsequência linearmente dependente, então a sequência será linearmente dependente. Corolário 1.9.7. Toda a subsequência de uma sequência linearmente independente será, também, linearmente independente.

a

b

Proposição 1.10. Uma sequência B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de vectores de um espaço vectorial I sobre um corpo Š é linearmente dependente sse existir nela um vector Bt5 que seja combinação linear dos anteriores :

a

b


Demonstração: A condição é obviamente suficiente, se atendermos a que Bt5 œ

"

a b 1.49

!3 Bt3

35

!

35

!3 Bt3 œ

!

3 5

!3 Bt3 

!

35

!Bt3

e à proposição 1.9 anterior. Reciprocamente, sendo B linearmente dependente, existe pelo menos

e

f

um 5 − "ß #ß á ß 7 tal que !5 Á ! e

e

! 7

3œ"

!3 Bt3 œ 9t. Portanto, o conjunto

f e

E œ 3À !3 Á ! § "ß #ß #ß á ß 7

f

é finito e não vazio e, portanto, tem um máximo 5 œ maxE. Devido à definição de 5, tem-se !3 œ ! para 3  5 e !5 Á ! . Então Entãoß fica fica simplesm simplesment entee

"

!3 Bt3  !5 Bt5 œ 9t

35

donde se conclui Bt5 œ

" 35



!3 Bt3 !5


31

Observe-se que, se 5 œ ", fica !" Bt" œ 9t e !" Á !, donde Bt " œ 9t: mesmo assim, poderemos dizer que Bt" é combinação linear (vazia) dos vectores anteriores. 

a ba

b

A proposição anterior é equivalente a dizer que uma sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 é linearmente independente sse nenhum dos seus vectores for combinação linear dos anteriores (isto é, Bt" Á 9t e nenhum dos Bt5 , com 5  ", é combinação linear dos anteriores).

aa

ba

ba

bb

Exemplo 1.45. A sequência de !ß!ß!ß$ ß !ß!ß"ß" ß !ß"ß%ß! ß #ß!ß"ß$ % vectores de ‘ é linearmente independente, visto que nenhum dos seus vectores é combinação linear dos anteriores (isto sucederá igualmente com qualquer lista de 7 vectores não nulos de Š8 , cujas primeiras componentes se anulem, mas diminuindo sempre o número de !'s nessas primeiras componentes de cada vector para o seguinte da lista).

a

b

Proposição 1.11. Uma sequência B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de vectores de um espaço vectorial I sobre um corpo Š é linearmente dependente sse existir nela um vector Bt5 que seja combinação linear dos seguintes :

a

b


Demonstração: A condição é obviamente suficiente, se atendermos a que Bt5 œ

"

a b 1.50

!3 Bt3

35

!

!3 Bt3 œ

35

! ! !Bt3 

3 5

!3 Bt 3

35

e à proposição 1.9. Reciprocamente, sendo B linearmente dependente, existe pelo menos um

e

f

5 − "ß #ß á ß 7 tal que !5 Á 0 e

! e 7

3œ"

!3 Bt3 œ 9t. Portanto, o conjunto

f e

E œ 3À !3 Á ! § "ß #ß #ß á ß 7

f

é finito e não vazio e, portanto, tem um mínimo 5 œ minE. Devido à definição de 5, tem-se !3 œ ! para 3  5 e !5 Á ! . Então Entãoß fica fica simplesm simplesment entee !5 Bt5 

"

!3 Bt3 œ 9t

35

donde se conclui Bt5 œ

" 35



!3 Bt3 !5

Observe-se que, se 5 œ 7, fica !7 Bt7 œ 9t e !7 Á !, donde Bt7 œ 9t: mesmo assim, poderemos dizer que Bt7 é combinação linear (vazia) dos vectores seguintes. 

a

b

A proposição anterior é equivalente a dizer que uma sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 é linearmente independente sse nenhum dos seus vectores for combinação linear dos seguintes (isto é, Bt7 Á 9t e nenhum dos Bt5 , com 5  7, é combinação linear dos vectores seguintes).

32


aa

ba

ba

bb

Exemplo 1.46. A sequência #ß!ß"ß$ ß !ß!ß%ß! ß !ß!ß!ß" de vectores de ‘% é linearmente independente, visto que nenhum dos seus vectores é combinação linear dos seguintes. Isto sucederá igualmente com qualquer lista de 7 Ÿ 8 vectores não nulos de Š8 , cujas primeiras componentes se anulem, mas aumentando sempre o número de !'s dessas primeiras componentes de cada vector para o seguinte da lista: tais listas dizem-se escalonadas; segue-se a definição: Definição 1.10. – Lista escalonada em Š8 – Consideremos uma lista

a aa a


com

ÚÝ ÝÜÛ

b

bb

Bt" œ B"" ß B "# ß á ß B "8 Bt# œ B#" ß B ## ß á ß B #8 â Bt7 œ B7" ß B7# ß á ß B78

b

de 7  ! vectores de Š8 . Diremos que a lista B está na forma escalonada sse se der uma das condições seguintes: i) Bt" œ Bt# œ á œ Bt 7 œ 9t iiÑ Existe Existe um <, com " Ÿ < Ÿ 7 , tal que

œ

3 Ÿ < Ê Bt3 Á 9t 3  < Ê Bt3 œ 9t

e

f

e, além disso, a sequência 53 , definida para 3 − "ß #ß á ß < , por

e

53 œ min 4À B34 Á !

f

é estritamente crescente, isto é, " Ÿ 5"  5#  â  5 < Ÿ 8

Portanto, a lista do exemplo anterior é escalonada e são-no também, por exemplo, as listas

aaaa aa

b ab a b a b a bb b a b b ba ba ba ba

!ß !ß "ß $ ß !ß !ß !ß # ß !ß !ß !ß ! , em ‘% !ß$ß"ß$ß& ß !ß!ß%ß!ß# ß !ß!ß!ß"ß" ß !ß!ß!ß!ß" , em ‘& "  #3ß !ß "ß #3 ß !ß #  3ß !ß # 3 ß !ß!ß!ß$#3 ß !ß!ß!ß! ß !ß!ß!ß! , em ‚%

bb

Da proposição 1.11, resulta imediatamente o seguinte Corolário 1.11.1. Toda a lista escalonada de vectores não nulos de Š8 é linearmente independente. Demonstração: Nas condições do enunciado, nenhum dos vectores da lista pode ser combinação linear dos seguintes e, portanto, a lista é linearmente independente. 

Sec. 1.6] Independência linear e bases. Dimensão

33

a

b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b

Proposição 1.12. Seja B7 œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 uma lista linearmente independente de 7 vectores de um espaço vectorial I sobre um corpo Š e Bt7" um vector de I Ï P B7 (portanto, B7 não é geradora de I , caso contrário, não existiria um tal vector Bt7" ). Nestas condições, a lista de 7  " vectores B7" œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7ß Bt7" é ainda linearmente independente e gera um subespaço P B7" de I contendo estritamente P B7 :

a b

B7 é linear/ independente • Bt7" − I Ï P B7 Ê B7" é linear/ independente 1.51 Bt7" − I Ï P B7 Ê P B7 § P B 7" • P B 7 Á P B 7"

Demonstração:

! ! a b a b a b A igualdade

7

3œ"

7

!3 Bt3 œ

3œ"

!3 Bt3  !B t7"

mostra que toda a combinação linear de vectores de

a b a b a b

B7 é combinação linear dos vectores de B7" , logo: P B7 § P B7" . A hipótese de que Bt7" Â P B7 (mas obviamente que Bt7" − P B7" ) mostra, por outro lado, que P B7 Á P B7" .

Por fim, para provar que B7" é linearmente independente, atendamos à definição e ponhamos

" 7

!3 Bt3  " Bt7" œ 9t

3œ"

Esta igualdade implica que " œ ! (se assim não fosse, tinha-se Bt7" œ

a b

!a b 7

3œ"

!3Î " Bt 3 ou seja,

Bt7" − P B7 , contrariamente à hipótese!). Portanto, na igualdade anterior fica apenas

" 7

!3 B t3 œ 9t

3œ"

e, agora, a independência linear de B7 mostra que terá que ser, igualmente, !3 œ !, para todo o 3 œ "ß á ß 7.  Como consequência da proposição anterior, temos o seguinte corolário que mostra que, num espaço de dimensão infinita, existem listas de vectores linearmente independentes com tantos vectores quantos queiramos:

a

b

Corolário 1.12.1. Seja I um espaço de dimensão infinita sobre um corpo Š . Para todo o 8 −  existe uma sequência de 8 vectores B œ Bt "ß Bt #ß á ß Bt 8 linearmente independente. Demonstração:

ef

Por indução em 8: é claro que I Á 9t ; portanto e para 8 œ ", é linearmente independente a sequência B" œ Bt" , onde Bt" Á 9t é um vector não nulo arbitrário em I.

ab a b ab ab

Se for B8 œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 uma sequência linearmente independente com 8 vectores, como escolher um I Ï P B8 Á g (visto que I tem dimensão infinita, B 8 não pode gerar I ), podemos vector Bt8" − I Ï P B8 e a proposição anterior permite concluir que Bt "ß Bt #ß á ß Bt 8ß Bt8" é ainda linearmente independente e com 8  " vectores. 

a

b

34


Mais adiante (proposição 1.17), veremos que a recíproca deste corolário é, igualmente, verdadeira. Vamos, agora, ver que, se o vector que se junta a uma lista de vectores pertencer ao subespaço que ela gera, a nova lista gera ainda esse subespaço e é linearmente dependente:

a

b a b b

Lema 1.13.1 Seja B7 œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 uma lista de m vectores de um espaço vectorial E sobre um certo corpo Š e Bt7" − P B7 um vector qualquer do subespaço gerado por B7 . Então, a lista B7" œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt ß Bt7" gera o mesmo subespaço que B7 gera e é linearmente dependente:

aa

Bt7" − P Bt" ß Bt# ß á ß Bt Bt7" − P Bt" ß Bt# ß á ß Bt

Demonstração:

a bb a a

m

m

m

bb a

a b

Ê Bt" ß Bt# ß á ß Bt ß Bt7" é linearmente dependente Ê P Bt" ß Bt# ß á ß Bt ß Bt7" œ P Bt "ß Bt #ß á ß Bt m

m

a

b! ! a b a b

m

b

1.52

Visto ser Bt7" − P Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 , a proposição 1.9 mostra que B7" é linearmente dependente. Por outro lado, a igualdade

7

3œ"

7

!3 Bt3 œ

3œ"

!3 Bt3  !B t7"

P B7 § P B7"

mostra que

a b

Para mostrar a inclusão inversa, basta atender a que Bt7" − P B7 :

a b

"

7"

Dt − P B7" Ê Dt œ

" a b 7

!3Bt 3 œ

3œ"

" "a a b a b 7

!3Bt 3  !7"

3œ"

b

7

"3Bt 3 œ

3œ"

!3  !7" "3 Bt 3

3œ"

a última expressão mostra que Dt − P B7 e que, portanto, P B7" § P B7 .

a



b

Lema 1.13.2 Seja B7 œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt uma lista linearmente dependente de m vectores de um espaço vectorial E sobre um certo corpo Š . A proposição 1.10 garante a existência de um vector Bt5 da lista B7 que é combinação linear dos anteriores. A nova lista m

a

B7" œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt5" ß Bt5" ß á ß Bt

m

b

de 7  " vectores obtida retirando Bt5 à lista B7 gera ainda o mesmo subespaço que era gerado por B7 : Bt5 œ

"

ab

" 3 Bt3 Ê P Bt3

35

3Á5

ab

œ P Bt3

Demonstração:

a b a b a b " " " a b

É óbvio que P B7" § P B7 . Quanto à inclusão inversa, tem-se, como no lema anterior: 7

Dt − P B7 Ê Dt œ

!3Bt 3 œ

3œ"

!3Bt 3  !5

3Á5

35

"3Bt 3 œ

"a b " a b a b !3  !5 "3 Bt 3 

35

a última expressão mostra que Dt − P B7" e que, portanto, P B7 § P B7" .

!3Bt 3

35




35

É claro que, com demonstração análoga, é também possível retirar duma lista um vector seu que seja combinação linear dos restantes ou dos seguintes (proposições 1.9 e 1.11) sem que, com isso, se altere o respectivo subespaço gerado.

a

a

b

b

Proposição 1.13. Seja I um espaço vectorial de dimensão finita e B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 uma lista geradora de I . Se C œ Ct"ß Ct#ß á ß Ct7 for uma lista de vectores de I linearmente independente, então tem-se, necessariamente,

a b a b 1.53.1

7Ÿ8

Além disso, o espaço I é gerado por uma lista de 8 vectores que inclui todos os vectores de C :

a

b a

I œ P Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ P Ct "ß Ct #ß á ß Ct 7ß Bt 3" ß Bt 3# ß á ß Bt 387

b

1.53.2

Demonstração: Como B é geradora de I , o lema 1.13.1 permite construir a lista

a

C" œ Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 ß Ct"

b

de 8  " vectores que será ainda geradora, mas linearmente dependente. Recorrendo ao lema 1.13.2, conclui-se que existe em C" um vector que é combinação linear dos seguintes e que é possível retirá-lo desta lista sem que se altere o subespaço gerado; mas esse vector não pode ser Ct" , visto que ele não é nulo (Porquê?). Portanto, um dos vectores Bt3 pode ser retirado da lista C" , obtendo-se uma nova sequência B" de 8 vectores geradora de I . Introduzamos, agora, nesta lista o vector Ct2 . De acordo com o lema 1.13.1 a lista de 8  " vectores obtida

a

C# œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 ß Ct"ß Ct 2

b

é geradora de I e linearmente dependente. Portanto, existirá de novo um vector que é combinação linear dos seguintes e, tal como antes, esse vector não poderá ser nenhum dos Ct3, devido à independência linear destes. Logo, o vector a retirar (lema 1.13.2) terá que ser um dos Bt3 , obtendo-se uma nova lista B# com 8 vectores geradora de I . Este processo de aplicação alternada dos lemas 1.13.1 e 1.13.2 leva à construção de listas B3 com 8 vectores, geradoras de I , e onde os vectores Bt3 vão sendo sucessivamente substituídos pelos Ct5 . Se fosse 7  8 e ao fim de 8 aplicações de cada um dos lemas referidos, obtinha-se uma lista B8 geradora de I formada pelos 8 primeiros vectores de C, ficando ainda de fora dessa lista os últimos 7  8  ! vectores de C. Sendo essa lista B8 geradora, o vector Ct8" seria combinação linear dos primeiros 8 vectores Ct5 , o que significa que a lista C seria linearmente dependente, em contradição com a hipótese. Fica, assim, provado que deverá ser 7 Ÿ 8. Portanto, e aplicando 7 vezes cada um dos lemas anteriores, somos conduzidos a uma lista B7 geradora de I , contendo todos os 7 vectores Ct5 e ainda 8  7  ! dos Bt3 (os únicos vectores de B que não foram retirados ao longo do processo), obtendo-se o resultado do enunciado: uma lista geradora de I do tipo B7 œ Ct" ß Ct#ß á ß Ct7 ß Bt3" ß Bt3# ß á ß Bt387 . 

a

b

Com base na proposição anterior é fácil provar que, num espaço de dimensão finita, todas as bases têm o mesmo número de vectores, facto que é fundamental para a definição da importante noção de dimensão de um espaço vectorial:

36


a

b a

b

Proposição 1.14. – Invariância do comprimento das bases – Seja I um espaço de dimensão finita e considerem-se duas bases, B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 e C œ Ct"ß Ct #ß á ß Ct 7 desse espaço. Então, será 7 œ 8 . Demonstração: Basta aplicar a anterior proposição 1.13 duas vezes: B é linearmente independente e C é geradora de I , portanto 8Ÿ7

Por outro lado, C é linearmente independente e B é geradora de I , portanto 7Ÿ8

Pela propriedade anti-simétrica da relação de igualdade, será 7 œ 8.



O resultado anterior garante que todas as bases de um mesmo espaço vectorial I de dimensão finita sobre certo corpo Š são constituídas pelo mesmo número de vectores, o qual representa, assim, um atributo intrínseco do espaço I a que chamaremos a dimensão de I (sobre Š). Formaliza-se, agora, a definição: Definição 1.11. – Dimensão de um espaço vectorial – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š. Chama-se dimensão de I (sobre Š ) ao número de vectores de uma base arbitrária de I e usa-se a notação dimŠ E ou, mais simplesmente, dim E, se subentendermos o corpo. Portanto, para calcular a dimensão de um espaço vectorial, teremos que procurar uma sua base qualquer e verificar o número de vectores que a constitui. Convém observar que a dimensão de um espaço vectorial depende do corpo Š, tanto como de I : como se viu, se Šw for um subcorpo de Š, I será também espaço sobre Šw mas a dimensão de I sobre Šw será, em geral, maior que a dimensão sobre Š, como se ilustra por alguns dos exemplos que seguem:

ef

Exemplo 1.47. O espaço 9t tem uma única base, a saber, a sequência vazia g. Portanto:

ef

dim 9t œ !

Exemplo 1.48. Em Š8 , a sequência de 8 vectores -œ

aa

ba

b a

"ß !ß á ß ! ß !ß "ß á ß ! ß á ß !ß !ß á ß "

a

bb b

é uma base, visto que, como facilmente se comprova (prove-o, como exercício), é linearmente independente e gera Š8 . Nesta base, as coordenadas de um vector B" ß B# ß á ß B8 − Š8 são os próprios escalares B" ß B# ß á ß B8 . É esta a única base de Š8 onde tal sucede, daí a sua importância e o facto de ser designada por base canónica de Š8 . Podemos, pois, escrever: dimŠ Š8 œ 8

ab

Exemplo 1.49. No espaço P8 Š dos polinómios de coeficientes em Š e grau inferior ou igual a 8, a lista de 8  " polinómios

ˆ

-8 œ "ß Bß B # ß á ß B8

‰

constitui uma base, como facilmente se prova (demonstre!). Neste caso, também é óbvio que as


37

coordenadas de um polinómio são os respectivos coeficientes, o que só acontece com esta base. Por isso é chamada base canónica de P8 Š . Conclui-se, portanto, que:

ab

ab

dimŠ P8 Š œ 8  "

ab

Este exemplo mostra também que, no espaço P Š , existem listas linearmente independentes com tantos vectores quantos queiramos: por exemplo, as listas -8 com qualquer 8 − ! . Exemplo 1.50. Em W " , uma base é constituída por qualquer segmento orientado não nulo, tendo-se, portanto: dim‘ W " œ " Exemplo 1.51. Em W # , uma base é constituída por quaisquer dois segmentos orientados não colineares. Por isso, dim‘ W # œ # Exemplo 1.52. Em W $ , uma base é constituída por quaisquer três segmentos orientados não coplanares. Logo: dim‘ W $ œ $

efab

Exemplo 1.53. No espaço ‘ do exemplo 1.11 e sendo ? − ‘ Ï " , ? será uma base já que, se B − ‘  , tem-se:

a b

B œ ? log? B œ log? B ?

o que mostra que ? gera ‘ e é, obviamente, linearmente independente pois que !? œ ?! œ " Ê ! œ

ab

log?" œ !

Neste caso, a coordenada de B − ‘ na base ? é log? B. Tem-se, pois, dim‘ ‘ œ ".

a

b

Exemplo 1.54. Seja I um espaço vectorial de dimensão 8 sobre um corpo Š, com uma base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 , e considere-se o espaço I 7 (ver exemplo 1.13). A lista de 78 vectores de 7

I

-œ

ÎÐ aa Ð Ïa

bb aa b a

/t" ß 9tß á ß 9t ß 9tß /t" ß á ß 9t ß â 9tß 9tß á ß /t" ß

bb b

/t# ß 9tß á ß 9t ß 9t ß t/# ß á ß 9t ß â 9t ß 9t ß á ß t/# ß

â â â â

aa a

bb ÑÓ Ó bÒ

/t8 ß 9tß á ß 9t ß 9tß t/8 ß á ß 9t ß â 9tß 9tß á ß /t8

é uma base de I 7 (demonstre!). Portanto: dimŠ I 7 œ 78 œ 7dimŠ I Da mesma forma e mais geralmente, em relação ao espaço produto, tem-se:

$  " 7

dimŠ

7

I3

3œ"

œ

3œ"

dimŠ I 3

38

Espaços vectoriais [Cap. 1 Exemplo 1.55. ‚ é um espaço vectorial sobre ‘ e a lista

a b

- œ "ß 3

é uma base deste espaço visto que, para qualquer D œ +  3, − ‚ , D œ + † "  , † 3, onde +ß , − ‘

e, portanto, qualquer vector D − ‚ é combinação linear (com escalares reais) dos vectores " e 3; logo, ‚ œ P "ß 3 . Por outro lado, - é linearmente independente, como resulta de

a b

+†",†3œ!Ê+ œ!•,œ!

Deste modo, tem-se À dim‘ ‚ œ # É claro que a dimensão de ‚ sobre ‚ é ": dim‚ ‚ œ ". Exemplo 1.56. No exemplo 1.14, vimos que, se I é um espaço vectorial sobre um corpo Š e Š § Š for um subcorpo de Š, I será igualmente espaço vectorial sobre Šw ; em particular, Š será um espaço vectorial sobre Šw . Vamos, agora, ver que, se as dimensões de I sobre Š e de Š sobre Šw forem finitas, o mesmo sucede com a dimensão de I sobre Šw e que esta é igual ao produto das dimensões de I sobre Š e de Š sobre Šw : w

dimŠw I œ dimŠ I † dimŠw Š Suponha-se que dimŠ I œ 8 e dimŠw Š œ 7 e sejam

a

b a

/ œ /t" ß t/# ß á ß /t8 e 5 œ 5 " ß 5# ß á ß 57

b

bases de I sobre Š e de Š sobre Šw , respectivamente.

a b

Basta provar que a lista - œ 53 /t4 Š "Ÿ3Ÿ7 ‹ de 78 vectores de I é uma base de I sobre Šw :

de facto, a lista - gera I

"Ÿ4Ÿ8

ab !

P - œ I

visto que, para qualquer Bt − I se tem Bt œ

8

4œ"

B4 /t4 , onde os B4 − Š são únicos. Porém, os B4

são “vectores” do espaço Š e exprimir-se-ão na base 5 deste espaço, de forma única, como

! !Œ !  !! a b

combinação linear dos 53, vindo portanto: B4 œ expressão na anterior, vem 8

Bt œ

7

4œ"

8

3œ"

B34 53 /t4 œ

7

3œ"

7

4œ" 3œ"

w B34 53 , onde os B34 − Š ; substituindo esta

B34 53 /t4 , em que B34 − Šw

A igualdade anterior prova que os 78 vectores 53 /t4 geram I (sobre Šw ). Vejamos, agora, a independência linear de -:

!! a b 8

7

4œ" 3œ"

B34 53 /t4 œ 9t Ê

!Œ !  8

7

4œ"

3œ"

B34 53 /t4 œ 9t Ê

! 7

a

"Ÿ4Ÿ8 3œ"

Fica, assim, provado que - é uma base de I sobre Šw .

B34 53 œ ! Ê

a

a B34 œ !

"Ÿ4Ÿ8 "Ÿ3Ÿ7


39

Assim e por exemplo, todo o espaço vectorial complexo I é também um espaço vectorial real e, no exemplo 1.55, vimos que dim‘ ‚ œ #; estes resultados implicam que:

ï

dim‘ I œ dim‚ I † dim‘ ‚ œ # dim‚I #

a

b

De facto, se / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 for uma base de I sobre ‚ (dim‚I œ 8), então a lista de #8 vectores

a

- œ /t" ß 3/t" ß /t#ß 3/t# ß á ß /t8 ß 3/t8

a b b !a

b

será uma base de I sobre ‘, visto que "ß 3 é base de ‚ sobre ‘: - gera I (através de escalares reais), visto que por hipótese, para qualquer Bt − I existem complexos D5 œ !5  3" 5 tais que:

!a 8

Bt œ

a bb !

8

!5  3"5 /t5 œ

5œ"

8

!5 /t5  "5 3/ t5

5œ"

œ

! a b 8

!5 /t5 

5œ"

"5 3/t5

5œ"

a última expressão dá Bt como combinação linear dos vectores de -, através dos escalares reais !5 e " 5 , provando assim que - gera I (usando escalares reais). A sucessão de igualdades anteriores (em sentido inverso) mostra, por fim, que, se uma combinação dos vectores de - é nula, os escalares reais !5 e " 5 terão de ser todos nulos, o que significa a independência linear de -.

a

Exemplo 1.57. Em relação ao espaço complexo I w do exemplo 1.15, se / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 for uma base de I , então a lista de 8 vectores

aa b a b a bb a b Œ! !  ! a ! a ba b -œ

/t" ß 9t ß /t# ß 9t ß á ß /t8ß 9t

b

a b b

t Ct − I w se tem: será uma base de I w œ I # . De facto, - gera I w , visto que para qualquer Bß 8

8

Bß t Ct œ

8

B5 /t5 ß

5œ"

C5 /t5

œ

5œ"

B5 /t 5 ß C 5 /t 5

5œ"

8

œ

B5  3C5 /t5 ß 9t

5œ"

onde os B5  3C5 são escalares complexos. Para provar que - é linearmente independente, recorra-se à definição respectiva: anulemos uma combinação linear (com escalares complexos D5 œ !5  3" 5 ) dos /t5 ß 9t em I w , resultando sucessivamente,

a b ! a b ! a ba b a b !a b a b a b Œ! !  ÚÝ ! ÛÝ ! Ü e f 8

5œ" 8

D5 /t5 ß 9t œ

8

5œ"

!5  3" 5 /t5 ß 9t œ 9tß 9t

!5 /t5 ß " 5 /t5

5œ"

8

5œ"

!5 /t5 ß

8

5œ"

œ 9tß 9t

" 5 /t5

œ 9tß 9t

da última igualdade resulta, finalmente:

8

!5 /t5 œ 9t

5œ" 8

" 5 /t5 œ 9t

5œ"

o que, sendo / linearmente independente, implica, para todo o 5 − "ß #ß á ß 8 ,

40


e

œ

!5 œ ! " 5 œ !

f

donde se segue que, para todo o 5 − "ß #ß á ß 8 , se tem !5 œ " 5 œ ! ou seja, D5 œ !5  3" 5 œ !

Portanto, tem-se dim‚ I w œ dim‘ I . Podemos ainda observar que as sequências

aaaa bb aa b b a a bb bb

? œ 9ß t /t" ß 9ß t /t# ß á ß t9ß /t8 @ œ /t" ß t/" ß /t# ß t/# ß á ß t/8 ß t/8

serão também bases de I w sobre ‚ (demonstre!). Proposição 1.15. Todo o espaço vectorial I de dimensão finita 8 sobre um corpo Š é isomorfoa11b do espaço cartesiano Š8 . Demonstração:

a

b

Seja / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 uma base de I . Pela proposição 1.8, a aplicação 0/À Š8 Ä I definida por

b !

a

8

0/ B" ß B# ß á ß B8 œ

5œ"

B5 /t5

é injectiva (devido à independência linear de /) e sobrejectiva (devido a ser / uma lista geradora de I ); por outro lado, facilmente se verifica que 0 / transforma as operações do espaço cartesiano Š8 nas respectivas operações do espaço vectorial I , isto é,

aa

ba aa

0/ B" ß B# ß á ß B8  C"ß C#ß á ß C8 0/ ! B" ß B# ß á ß B8

bbbb a a

bb a

œ 0 / B "ß B#ß á ß B8  0 / C "ß C#ß á ß C 8 œ !0/ B"ß B #ß á ß B8

b

(no capítulo 3, as funções satisfazendo as duas condições anteriores serão chamadas lineares ou homomorfismos e, se forem bijectivas, isomorfismos). Portanto, 0 / é um isomorfismo de Š8 sobre I .  Para exprimir o facto de dois espaços I e J sobre o mesmo corpo Š serem isomorfos, escrevemos I z J ; usando esta notação, podemos enunciar a proposição anterior escrevendo: dimŠ I œ 8 Ê I z Š 8 A proposição anterior mostra que Š8 constitui, por assim dizer, o modelo de espaço vectorial de dimensão 8 sobre Š e que os restantes espaços vectoriais I sobre Š com igual dimensão são diferentes de Š8 apenas quanto à natureza dos seus vectores (e, claro, quanto à definição das operações). É, portanto, indiferente manipular algebricamente os vectores de I ou as suas coordenadas (que são vectores de Š8 ) em relação a uma qualquer base de I .

11

Dois espaços vectoriais I e J sobre o mesmo corpo Š dizem-se isomorfos sse existir uma bijecção 0À I Ä J t œ !0 Bt . tal que: 0 Bt  Ct œ 0 Bt  0 Ct e 0 !B

a b ab ab a b

ab


41

A relação z entre espaços vectoriais sobre o mesmo corpo é uma relação de equivalência (ou seja, é reflexiva, simétrica e transitiva), que divide o conjunto dos espaços vectoriais de dimensão finita sobre Š em classes de espaços isomorfos, os quais são algebricamente idênticos. O corolário 1.15.1 mostra que dois espaços pertencem à mesma classe sse têm a mesma dimensão. Do exposto, pode escrever-se, por exemplo, para todo o 8  !, P8

ab

Š z Š8"

Do mesmo modo, facilmente se conclui (mostre-o a título de exercício!) que a aplicação

a ba ab

b !

_ a  b 0À Š Ä P Š à +! ß +" ß á ß +< ß !ß !ß á È +5 B 5 !

5œ!

é um isomorfismo de Ša! b sobre P Š , que são, portanto, espaços vectoriais isomorfos:

ab

P

Š z Ša! b

A proposição anterior mostra que, por cada base / que se fixe em I , fica definido um isomorfismo 0/ de Š8 sobre I , que estabelece uma correspondência biunívoca entre as coordenadas (em Š8 ) de um vector Bt − I em relação à base / e esse vector Bt, de tal modo que é equivalente trabalhar com os vectores de I ou com as suas coordenadas em Š8. Quando dois espaços são isomorfos, isso significa que são algebricamente iguais (diz-se que são iguais, a menos de um isomorfismo) e, por vezes, esses espaços são identificados um com o outro: assim, por exemplo, W $ pode identificar-se com ‘$ (e ainda com P# ‘ ) e diz-se que W $ é a interpretação geométrica de ‘$ , confundindo-se cada terno ordenado BßCßD de números reais com um segmento orientado de W $ . Analogamente, W # é a interpretação geométrica de ‘# e W " é a interpretação geométrica de ‘" : é neste sentido que falamos, às vezes, em rectas de ‘$ , planos de ‘$ , etc (de facto, as rectas, planos, etc existem em W $!).

aa b b

Corolário 1.15.1. Dois espaços vectoriais I e J de dimensão finita sobre o mesmo corpo Š são isomorfos sse têm a mesma dimensão. Demonstração: ambos isomorfos de Š8 e, A condição é necessária: se dimI œ dimJ œ 8, então I e J são portanto, isomorfos um do outro.

Reciprocamente, suponha-se que I e J são isomorfos e que dimI œ 7 e dimJ œ 8; então I é isomorfo de Š7 e J é isomorfo de Š8 , donde, Š7 z Š8 , o que implica 7 œ 8Þ  Proposição 1.16. Num espaço vectorial I de dimensão finita 8 sobre um corpo Š : i)

Qualquer lista linearmente independente tem, quando muito, 8 vectores.

ii) Qualquer lista geradora de I tem, pelo menos, 8 vectores. iii) Qualquer lista linearmente independente e com 8 vectores é uma base de I .

42

Espaços vectoriais [Cap. 1 iv) Qualquer lista geradora de I e com 8 vectores é uma base de I . v) Toda a lista linearmente independente de vectores de I é prolongável a uma base. vi) Toda a lista geradora de I contém uma base. vii) Se J § I é subespaço de I , então dimJ Ÿ dimI œ 8 . viii) Se J § I é subespaço de I e dimJ œ dimI , então J œ I .

Demonstração: i) I .

Resulta da proposição 1.13, visto que as bases de I têm 8 vectores e são geradoras de

ii) Resulta da proposição 1.13, visto que as bases de I têm 8 vectores e são independentes. iii) Uma tal lista é, com certeza, geradora de I : se o não fosse, a proposição 1.12 permitia acrescentar um vector à lista, obtendo-se uma lista de 8  "  8 vectores linearmente independentes, o que é contraditório com a alínea i). iv) Uma tal lista é, com certeza, linearmente independente: se o não fosse, o lema 1.13.2 permitia retirar um vector à lista, mantendo-a geradora de I, mas apenas com 8  "  8 vectores, o que contraria a alínea ii).

a

b

v) Como se viu, se B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 é linearmente independente será 7 Ÿ 8. A proposição 1.12 permite, enquanto a lista não for geradora de I , ir acrescentando vectores (mantendo a independência linear) até que, quando tivermos acrescentado 8  7 vectores, teremos uma lista de 8 vectores linearmente independentes e, portanto, uma base de I , contendo a lista dada. Isto mostra, em particular, que todo o espaço vectorial de dimensão finita tem, pelo menos, uma base, a qual se pode obter pelo algoritmo que acabámos de utilizar nesta demonstração: B œg Enquanto

ab

P B Á I

ab

I Ï P B à lista B

Acrescentar um vector arbitrário de Fim

ef

O ciclo anterior termina ao fim de 8 œ dimŠ I iterações e, no final, B será uma base de I. Observe que o algoritmo funciona, mesmo no caso limite I œ 9t , obtendo-se, neste caso, a base B œ g. Cabe aqui notar que, num espaço de dimensão infinita, a iteração neste algoritmo não termina nunca ( Loop infinito!).

a

b

vi) Como se viu anteriormente, se B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 é geradora de I , será 7  8. O lema 1.13.2 permite retirar vectores à lista B (mantendo-a geradora), enquanto ela for linearmente dependente. Após retirar 7  8 vectores, obtém-se uma lista geradora com 8 vectores a qual será, como vimos antes, linearmente independente, logo uma base de I contida em B. Portanto, pode obter-se uma base de I , a partir de uma sequência B geradora, mediante o algoritmo:

Sec. 1.6] Independência linear e bases. Dimensão B é linearmente dependente Retirar a B um vector que seja combinação linear dos restantes

43

Enquanto

a12b

Fim

e fa b e f

O ciclo anterior termina ao fim de 7  8 iterações e, por fim, B será uma base de I. No caso limite I œ 9t , acabará por obter-se a sequência vazia g, que é linearmente independente e uma base de I œ P g œ 9t . Neste caso, a lista inicial era, necessariamente:

a

B œ 9tß 9tß á ß 9t

b

vii) Como uma base de J é, por definição, linearmente independente em J (e, portanto, também em I , visto que o corpo Š é o mesmo), a alínea i) garante imediatamente a desigualdade desejada.

ab

ab

viii) Se dimJ œ dimI , isso significa que toda a base , de J é, igualmente, base de I . Portanto J œ P , e I œ P , , donde J œ I .  As duas primeiras alíneas da proposição anterior permitem dar a seguinte interpretação da dimensão de um espaço vectorial: ç A dimensão de I representa o número máximo de vectores que uma lista linearmente independente pode ter em I . ç A dimensão de I representa o número mínimo de vectores que uma lista geradora de I

deverá possuir. ç A dimensão de I é igual a 8 sse existe uma lista linearmente independente com 8 vectores e toda a lista com 8  " vectores é linearmente dependente.

A seguinte proposição dá uma condição necessária e suficiente para que um espaço vectorial tenha dimensão infinita: Proposição 1.17. – Caracterização dos espaços de dimensão infinita – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š . Então, I tem dimensão infinita sse, para todo o 8 −  , existe uma lista linearmente independente com 8 vectores. Demonstração: O corolário 1.12.1 mostra que a condição é necessária. Mas ela é também suficiente, em virtude da alínea i) da proposição anterior.  Exemplo 1.58. O espaço vectorial Š das sucessões de escalares, citado no exemplo 1.42, tem dimensão infinita, visto que as listas ?7 de sucessões aí apresentadas são linearmente independentes. Também são de dimensão infinita os espaços Ša b e Ša! b .

12

Ou combinação linear dos vectores anteriores ou dos seguintes (proposições 1.10 e 1.11).

44


ab

Exemplo 1.59. O espaço P Š tem dimensão infinita, visto que as listas de polinómios

ˆ

-8 œ "ß Bß B # ß á ß B8

‰

são linearmente independentes, para todo o 8 −  (método dos coeficientes indeterminados). Exemplo 1.60. Como as funções B È "ß B È Bß B È B#ß á ß B È B 8 são linearmente independentes para todo o 8 − , terão também dimensão infinita os espaços ‘M , C Mß ‘ , D Mß ‘ , C5 Mß ‘ , etc, onde M œ +ß , § ‘, com _ Ÿ +  , Ÿ _, é um intervalo aberto.

a b a b

a b

a b

Exemplo 1.61. O espaço ‘ tem dimensão infinita sobre : de facto, o número real 1 é transcendente (isto é, pode demonstrar-se que 1 não é solução de equação algébrica alguma com coeficientes racionais não todos nulos). Então, as listas

ˆ

B8 œ "ß 1ß 1# ß á ß 18

‰

são linearmente independentes, para todo o 8 − , visto que

! 8

5œ 0

é possível se forem nulos todos os +5 .

+5 1 5 œ ! (onde os + 5 − ) só

a

b

Proposição 1.18. – Propriedades das operações elementares – Cada uma das seguintes operações (ditas elementares), quando realizadas sobre uma lista B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de 7  ! vectores de um espaço vectorial I sobre um corpo Š , não alteram a dependência ou independência linear nem o subespaço gerado por essa lista (nem, obviamente, a dimensão deste subespaço e o comprimento 7 da lista): i)

Troca entre si de dois elementos Bt3 e Bt4 da lista, com 3 Á 4 e, claro, 7  # :

a

b a

Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt4 ß á ß Bt7 Ä Bt" ß Bt# ß á ß Bt4 ß á ß Bt3 ß á ß Bt7

b

a b 1.54

ii) Substituição de um vector Bt3 da lista pelo seu produto por um escalar ! Á ! , com 7  ":

a

b a

b

Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt7 Ä Bt" ß Bt# ß á ß !Bt3 ß á ß Bt7 , onde ! Á !

a b 1.55

iii) Sendo 7  #, substituição de um vector Bt3 da lista pela sua soma com o produto de outro vector Bt4 , com 4 Á 3 , multiplicado por um escalar " arbitrário:

a

b a

Bt"ß Bt#ß á ß Bt3 ß á ß Bt7 Ä Bt"ß Bt#ß á ß Bt3  " Bt4 ß á ß Bt7

b

a b 1.56

Demonstração: i) Esta propriedade é consequência da comutatividade e associatividade da adição vectorial.

a

b

a

b

ii) Seja B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt7 e Bw œ Bt" ß Bt# ß á ß !Bt3 ß á ß Bt7 Þ A igualdade

! 7

5œ"

"5 Bt5 œ

!

5Á3

"5 Bt5 

" 3 !

a b !Bt3

mostra que toda a combinação linear de vectores de B será combinação linear dos vectores de


ab a b ! a b ! a b ab

45

Bw , portanto P B § P Bw . A igualdade anterior mostra ainda que se B w é linearmente independente, também B o será, visto "3 Î! œ ! implica " 3 œ !Þ Por outro lado, a igualdade "5 Bt5  "3 !Bt3 œ

5Á3

a b

"5 Bt5  "3 ! Bt3

5Á3

mostra que as combinações lineares dos vectores de Bw são também combinação linear dos vectores de B, logo P Bw § P B . Dela se segue também que, se B for linearmente independente, Bw também será, já que por ser ! Á !, "3 ! œ ! implicará "3 œ !. iii) Como anteriormente, façamos

a

b

a

B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt7 e Bw œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt3  " Bt 4ß á ß Bt7

A igualdade

! ab a b a b ! 7

5œ"

!5 Bt5 œ

!

a

b a

b

!5 Bt5  !3 Bt3  "Bt4  !4  !3 " Bt4

5Á3ß4

b

mostra que toda a combinação linear dos vectores de B é combinação linear dos vectores de Bw, ou seja, P B § P Bw . Ela mostra também que, se B w for linearmente independente, também o será B, pois que a

5Á3ß4

a b b ! a b

!5 œ ! • !3 œ ! • !4  !3 " œ ! Ê a

5Á3ß4

Por outro lado, a igualdade

a a b ab a b

!5 Bt5  !3 Bt3  "Bt4 œ

5Á3

!5 œ ! • !3 œ ! • !4 œ !

!5 Bt5  !3 "  !4 Bt4

5Á4

mostra que uma combinação linear dos vectores de Bw é forçosamente combinação linear dos vectores de B, logo P Bw § P B . Da igualdade anterior se segue também que, se B for linearmente independente, Bw também será, já que

a b

a !5 œ ! • !3 "  !4 œ ! Ê a !5 œ ! • !4 œ !

5Á4

5Á4



As operações das três alíneas da proposição anterior são chamadas operações elementares de tipos 1, 2 e 3, respectivamente, sobre a lista B de vectores. Por vezes, usam-se as seguintes notações para indicar aquelas operações: I "

Bt3 Ó Bt4 I #

Bt3 Ò !Bt3 ß

onde ! Á !

$

I

Bt3 Ò Bt3  " Bt4

É óbvio que qualquer composição de operações daqueles três tipos não alterará também o subespaço gerado pela lista nem a sua dependência ou independência lineares. Em particular, tem-se o seguinte:

a

b

Corolário 1.18.1. Cada uma das seguintes operações, quando realizadas sobre uma lista B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de 7  ! vectores de um espaço vectorial I sobre um corpo Š , não

46


alteram a dependência ou independência linear nem o subespaço gerado por essa lista (nem, obviamente, o seu comprimento 7 ): i) Sendo 7  #, substituição de um vector Bt3 da lista pela soma do produto de um escalar ! Á ! por esse vector com o produto de um escalar " por outro vector Bt4 , com 4 Á 3:

a

b a

b

a b

Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt7 Ä Bt" ß Bt# ß á ß !Bt3  "Bt4 ß á ß Bt7 , onde ! Á !

ii) Sendo 7  ", substituição de um vector Bt3 por uma combinação linear vectores da lista B, desde que !3 Á ! :

a

b Š

Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt7 Ä Bt" ß Bt# ß á ß

! 7

5œ"

!5 Bt5 ß á ß Bt7

‹

, onde !3 Á !

1.57

! 7

! 5 Bt5

dos

5œ"

a b 1.58

Demonstração: i)

Esta operação é a composição I $ ‰ I # de uma operação do tipo 3 com outra do tipo 2: I #

Bt3 Ò !Bt3 I $

!Bt3 Ò !Bt3  "Bt 4 $ ‰ â ‰ I#$ ‰ I1$ ‰ I # de uma operação do tipo 2 ii) Esta operação é a composição I7" seguida por 7  " operações de tipo 3: I #

Bt3 Ò !3 Bt3 ß onde !3 Á ! I "$

!3 Bt3 Ò !3 Bt3  !5" Bt5" ß

onde 5" Á 3

I #$

!3 Bt3  !" Bt" Ò !3 Bt3  !5" Bt5"  !5 # Bt5# ß

á !3 Bt3 

!

7# <œ"

!

$ 7 I 7"

!5< Bt5< Ò

onde 5" Á 5# Á 3

! 5 Bt5



5œ"

A primeira operação deste corolário é, por vezes, chamada operação de tipo 4. Analogamente às operações dos tipos 1, 2 e 3, pode usar-se a notação: I %

Bt3 Ò !Bt3  " Bt4 ß onde ! Á !

Sec. 1.7] Soma de subespaços. Soma directa 1.7

47

Soma de subespaços. Soma directa

Nesta secção, vamos analisar de mais perto um processo de gerar novos subespaços de um espaço vectorial I dado, a partir de outros subespaços de I . Comecemos por provar a seguinte proposição:

a b

Proposição 1.19. Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e I 5 "Ÿ5Ÿ7 uma lista de 7 subespaços de I . O conjunto E § I formado por todas as somas

7

Bt5 de vectores

5œ"

Bt5 − I5 é ainda um subespaço de I .

Demonstração:

!

! ! ! !a b 7

9t − E, pelo que S1 é obviamente válida, visto que

9t œ 9t. Quanto a S2 tem-se, se Bt e

5œ"

Ct − E ,

7

Bt  Ct œ

7

Bt5 

5œ"

7

Ct 5 œ

5œ"

5œ"

Bt 5  Ct 5

e, como Bt5  Ct5 − I5 , será Bt  Ct − E. Por fim, S3 resulta de ! !Bt5 − I 5 .

! !a b 7

Bt 5 œ

5œ"

7

5œ"

!Bt 5

e de ser 

O subespaço E mencionado na proposição anterior é chamado soma dos subespaços I 5 e designado pela notação

! 7

5œ"

I 5 , como se formaliza na seguinte:

a b

Definição 1.12. – Soma de subespaços – Seja I um espaço vectorial e I 5 "Ÿ5Ÿ7 uma sequência de 7 subespaços de I . O subespaço formado por todas as somas de vectores

! ! 

Bt5 − I5 é chamado soma dos subespaços I5 e designado por

! œ 7

I5 œ

7

5œ"

I5 :

7

Ct − IÀ b Ct œ Bt 5 −I 5

5œ"

Bt 5

5œ"

a b 1.59.1

em particular, se 7 œ # : I"  I# œ

œ

Ct − IÀ b Ct œ Bt "  Bt # Bt" −I " Bt# −I #



a b 1.59.2

A proposição que se segue dá conta das principais propriedades da soma de subespaços.

48


a b

Proposição 1.20. – Propriedades da soma de subespaços – Seja I 5 "Ÿ5Ÿ7 uma lista de subespaços de um espaço vectorial I . Então: i)

e

f

Para todo o 3 − "ß #ß á ß 7 ß I3 §

! 7

I 5

5œ"

ii)

- ! 7

7

I5 §

5œ"

I 5

5œ"

iii) Se J é um subespaço de I contendo todos os I5 (logo, J também conterá a reunião dos I 5 ), então:

! e f ! ! f ! ! 7

5œ"

I5 § J

iv) Se 5 é uma permutação de " ß # ß á ß 7 , então: 7

5œ"

e

I55 œ

7

5œ"

I 5

v) Para todo o 3 − "ß #ß á ß 7 ,

7

5œ"

I5 œ I3 Í

I5 § I 3

5Á3

vi) Tem-se: dim

Œ!  ! 7

5œ"

7

I5

Ÿ

5œ"

dimI 5

Demonstração: i)

e !

f

A primeira inclusão resulta de que, para qualquer 3 − "ß #ß á ß 7 , se tem: Bt − I3 Ê Bt œ Bt 

!

9t Ê Bt −

7

5œ"

5Á3

I 5

ii) A segunda inclusão obtém-se reunindo as 7 inclusões em i)

Œ !  - -Œ!  ! 7

a

"Ÿ3Ÿ7

I3 §

5œ"

7

I5

Ê

3œ"

I3 §

7

7

3œ"

5œ"

7

I5

œ

5œ"

I5

Sec. 1.7] Soma de subespaços. Soma directa

! 7

iii) Quanto à terceira proposição, se Bt −

5œ"

49

I5 , Bt será soma de vectores Bt5 − I5 os quais

pertencerão também a J (em virtude de ser I5 § J ). Como J é subespaço,

! ! !

J , o que significa que

7

5œ"

I5 § J .

! 7

5œ"

Bt5 pertencerá a

iv) Resulta da comutatividade e associatividade da adição vectorial. v) Como

Bt5 œ

5Á3

que Bt5  9t e o vector nulo pertence a I3, segue-se

5Á3

! ! ! 7

I5 §

5Á3

Então, se

! 7

5œ"

I5 œ I3 , vem imediatamente

Reciprocamente, suponha-se que

! !

5œ"

I 5

I5 § I 3 .

5Á3

7

5œ"

I5 : então será

5œ"

5Á3

Bt œ

! 7

I5 § I3 e seja Bt −

Bt5 œ Bt3 

! î !

Bt 5 − I 3

5Á3

−

I5 §I3

5Á3

o que mostra que

! 7

I5 § I 3 e isto juntamente com i) termina a demonstração.

5œ"

aa b

b

vi) Supondo dimI5 œ 85 e que /5 œ /t5" ß /t5# ß á ß /t585 é base de I5 , mostra-se facilmente que a junção / œ /" ” /# ” â ” /7 œ /t545 "Ÿ5Ÿ7 das bases /5 constitui um sistema de geradores de

! 7

5œ"

"Ÿ45Ÿ85

I 5 : de facto, tem-se, sucessivamente:

Bt −

! 7

5œ"

I5 Ê Bt œ

! ! ! 7

5œ"

Bt5 œ

7

85

5œ"

45 œ"

!545 /t545

 ! !a a b œ

7

85

5œ" 45 œ"

!545 /t54 5

b

Esta última expressão mostra que Bt é combinação linear dos /t54 5 "Ÿ5Ÿ7 , o que termina a "Ÿ45Ÿ85 demonstração.  A proposição anterior significa que a soma dos subespaços I5 é o menor subespaço de I contendo cada um dos I5 e, portanto, contendo um subespaço de I ).

7

5œ"

I 5 (note que esta reunião não é, em geral,

50


Corolário 1.20.1. Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e Eß Fß G subespaços de I . Tem-se: i) E § E  F • F § E  F ii) E  F § E  F iii) Se J é um subespaço de I contendo E e F , tem-se: E  F § J iv) E  F œ F  E v) E  F œ E Í F § E

a b a b ef ef

vi) dim E  F Ÿ dimE  dimF

a b

vii) dim E  F œ dimE  dimF  dim E  F viii) E  9t œ 9t  E œ E ix) E  E œ E Demonstração:

As primeiras seis alíneas resultam da proposição anterior, fazendo 7 œ #.

ef a ‹

As alíneas viii) e ix) resultam de v), fazendo F œ 9t e F œ E, respectivamente.

a

b b

Quanto a vii), seja = œ dimE  F , 7 œ dimE e 8 œ dimF . Como E  F é um subespaço de E e de F , será = Ÿ 7 e = Ÿ 8. Tome-se, então, uma base - œ -t" ß t-# ß á ß -t= de E  F e prologuemo-la (proposição 1.16.v) a uma base + œ -t" ß t-# ß á ß -t= ß +t" ß +t# ß á ß +t7= de E e também a uma base , œ -t" ß t-# ß á ß -t= ß t," ß t,# ß á ß t,8= de F .

Š

E A+B

A →

→

A ∪ B →

→

B →

→

→

Fig. 1.7 – Os espaços E , F , E  F e as suas bases.

Para provar a igualdade desejada, basta provar que a lista

Š

< œ -t" ß t-# ß á ß -t= ß +t" ß+t# ßá ß +t7= ß t," ß t,# ß á ß t,8=

‹

Sec. 1.7] Soma de subespaços. Soma directa

51

de 7  8  = vectores de I é uma base de E  F : comecemos por ver que:

ab

P < œEF

De facto, t onde +t − E e ,t − F Dt − E  F Ê Dt œ +t  ,ß œ

Œ! !a =

5œ"

œ

=

!5 -t5 

5œ"

"5 +t5

!5  #5 -t5 

5œ"

ab

!  Œ! b ! ! 7=

7= 5œ"

=



#5 -t5 

5œ" 8=

"5 +t5 

5œ"

! 

8=

5œ"

(5 ,t5

(5 ,t5

a última expressão mostra que Dt é combinação linear dos vectores de < e, portanto, E  F § P < . A inclusão inversa é óbvia, já que

! ! ðñò ! a b ðóóóóóóóóñóóóóóóóóò =

Dt − P < Ê Dt œ

5œ"

7=

!5 -t5 

5œ"

"5 +t5 

8=

5œ"

# 5 ,t5

−F

−E

œ +t  ,t − E  F

Vejamos, agora, que < é linearmente independente, recorrendo à definição:

! =

!5 -t5 

5œ"

o que equivale a

!

7=

!

8=

"5 +t5 

5œ"

# 5 ,t5 œ 9t

5œ"

a b 1.60

! ! ! a b ðóóóóóóóóñóóóóóóóóò ðóóñóóò !a b !a b ! =

7=

5œ"

!5 -t5 

5œ"

8=

"5 +t5 œ

5œ"

−F

−E

A igualdade anterior mostra que

8=

#5 ,t5 − E  F , donde, existem !5 − Š tais que:

5œ"

8=

#5 ,t5 œ

5œ"

o que equivale a

# 5 t,5

!

=

!5 -t5

5œ"

=

!

8=

!5 -t5 

5œ"

# 5 ,t5 œ 9t

5œ"

atendendo a que , é uma base de F , tem-se, forçosamente, # 5 œ !, para 5 œ "ß á ß 8  =. Substituindo os valores de # 5 em 1.60 e atendendo a que + é uma base, resulta o anulamento dos !5 (5 œ "ß á ß =) e dos " 5 (5 œ "ß á ß 7  =), terminando a demonstração. 

a b

ab

Dependendo dos subespaços I3

"Ÿ3Ÿ7 ,

a soma em que se decompõem os vectores de

pode ou não ser única; quando for única, diz-se que a soma é directa:

! 7

5œ"

I 5

52


a b

Definição 1.13. – Soma directa de subespaços – Uma soma de subespaços I 5 "Ÿ5Ÿ7 de um espaço vectorial I diz-se directa sse, para cada vector ?t − J œ

ab

só sequência B œ Bt3

5œ"

de vectores, em que Bt3 − I3 , tal que

"Ÿ3Ÿ7

! 7

?t œ

! 7

I5 , existe uma e uma

a b 1.61

Bt5

5œ"

Neste caso, a soma (directa) dos I5 designa-se por

9 7

5œ"

I5 , em vez de

note-se que, para o vector nulo, a soma referida será : 9t œ

! 7

! 7

5œ"

I 5 . (em particular,

9t ).

5œ"

Na proposição seguinte, vamos ver que uma soma de subespaços é directa sse a intersecção de cada subespaço com a soma dos restantes se reduzir ao vector nulo.

Proposição 1.21. – Caracterização da soma directa – A soma J œ

a b e f

! 7

5œ"

!

I 5 de uma

sequência I5 "Ÿ5Ÿ7 de subespaços de um espaço vectorial I é directa sse, para cada 3 − "ß #ß á ß 7 , a intersecção I3  I 5 se reduz a 9t . J œ

9 7

5Á3

I5 Í J œ

5œ"

ef

! 7

I5 •

5œ"

a I3 

"Ÿ3Ÿ7

! ef

a b 1.62

I k œ 9t

5Á3

Demonstração: 1. A condição é suficiente: Suponhamos que ?t −

! 7

I5 e que existem duas decomposições de ?t em vectores dos I5 :

5œ"

?t œ

! ! !a 7

5œ"

e

f

Bt5 œ

7

5œ"

Ct5 Ê

7

5œ"

b

Bt5  Ct 5 œ 9t

Para cada 3 − "ß #ß á ß 7 , pode pois escrever-se

a b !a b e f !a b a b ðóóóñóóóò ðóñóò ! Bt3  Ct3 

5Á3

Bt5  Ct 5 œ 9t

Portanto, para qualquer 3 − "ß #ß á ß 7 ,

Bt3  Ct3 œ −I 3

5Á3

Ct5  Bt 5

−

I 5

5Á3

a b e

Mas, como os I5

"Ÿ5Ÿ7

são subespaços, Bt3  Ct3 − I3 e

f

para qualquer 5 − "ß #ß á ß 7 :

!a

5Á3

b!

Ct5  Bt5 −

I5 e, portanto,

5Á3

Sec. 1.7] Soma de subespaços. Soma directa Bt3  Ct3 − I3 

53

! ef I5 œ 9t

5Á3

daqui se conclui que a Bt3 œ Ct3

"Ÿ3Ÿ7

o que significa que a decomposição de ?t é única e a soma é directa. 2. A condição é necessária:

e

f ! !

! ef !

Suponha-se que existia um 3 − "ß #ß á ß 7 tal que K3 œ I3  um vector de K3 (observe que +t3 − I3 e +t3 −

ab

numa soma de vectores +t5

I5 ). Como +t3 −

5Á3

"Ÿ5Ÿ7 ,

Se for ?t um vector de

7

5œ"

I5 , +t3 será decomponível

5Á3

tais que +t5 − I5 para todo o 5 Á 3, satisfazendo +t3 œ

!

I5 Á 9t e seja +t 3 Á 9t

5Á3

+t5

5Á3

I5 será, com Bt5 − I5 :

! ! a b ! a b ! ! a b !a b e f ! a b !a ?t œ

7

Bt5 œ Bt3 

5œ"

Bt 5

5Á3

œ Bt3  +t3 

Bt5  +t 3

5Á3

œ Bt3  +t3 

Bt5 

5Á3

œ Bt3  +t3 

+t 5

5Á3

Bt5  +t 5

5Á3

como, para qualquer 5 − "ß #ß á ß 7 ß Bt5  +t5 − I5 e Bt3  +t3 Á Bt3 , as expressões ?t œ

7

5œ"

Bt5 e ?t œ Bt3  +t 3 

Bt5  +t 5

5Á3

b

são duas decomposições de ?t diferentes numa soma de vectores dos I 5 . Daqui se segue que a soma

! 7

I 5 não é directa.



5œ"

A proposição anterior tem o seguinte corolário imediato, fazendo 7 œ #: Corolário 1.21.1. Se E e F são subespaços de um espaço vectorial I , então:

ef

J œ E Š F Í J œ E  F • E  F œ 9t

54

Espaços vectoriais [Cap. 1 Exemplo 1.62. Os conjuntos

š a b a b› š a b a b›

T œ 1À a 1 D œ 1 D D−‚

§ ‚‚

M œ 2À a : D œ 2 D D−‚

§ ‚‚

ef

formados pelas funções pares e pelas funções ímpares, respectivamente , são subespaços de ‚‚ (demonstre!). Como a única função simultaneamente par e ímpar é a função nula ( T  M œ 9 ) e, para toda a função 0 − ‚ ‚ , se tem

a b a a b a bb a a b a bb

0 D œ

" " 0 D  0 D  0 D  0 D # #

onde a primeira parcela é função par e a segunda é função ímpar (verifique!), será ‚‚ œ T Š M. Vamos, agora ver que a dimensão de uma soma directa de subespaços é igual à soma das dimensões destes: Proposição 1.22. – Dimensão da soma directa – Sejam I" ß I# ß á ß I: subespaços de dimensões finitas 8" ß 8# ß á ß 8: de um espaço vectorial I . Então: dim

Š9 ‹ ! a b :

:

5œ"

I5 œ

5œ"

a b

dim I 5

1.63

Demonstração: Tome-se, para cada subespaço I 5 , uma base

a

b

/5 œ /t5" ß /t5# ß á ß /t585 à 5 œ "ß #ß á ß :

e mostremos que a lista de 8 œ

! :

5œ"

ˆ 9

85 vectores de I

/ œ /" ” /# ” á ” / : œ /t"" ß /t"# ß á ß /t"8" ß /t#" ß /t## ß á ß /t#8# ß á ß /t:" ß /t:# ß á ß /t:8:

é uma base de J œ

:

5œ"

‰

I 5 :

A lista / gera J . De facto, se Bt − J , então Bt é soma única de vectores dos I5 (por definição de soma directa) ç

! :

Bt œ

Bt5 ß onde Bt5 − I 5

5œ"

a b

Mas, sendo Bt5 − I5 , o vector Bt5 será combinação linear única dos vectores da base /5 : Bt5 œ

! 85

3œ"

!53 /t53ß 5 œ "ß #ß á ß :

1.64

Sec. 1.8] Anexos: vectores e o MATHEMATICA

a b !!

55

Substituindo esta última expressão em 1.64 , obtém-se :

Bt œ

85

5œ" 3œ"

ab

!5 3/t5 3

o que mostra que Bt − P / . ç

A lista / é linearmente independente. De

!! :

vem, por ser

! 85

3œ"

85

5œ" 3œ"

!53 /t53 − I5

!5 3/t5 3 œ 9t œ 9t  9t  â  9t

e J ser uma soma directa dos I5 ,

! 85

3œ"

!5 3/t5 3 œ 9tß 5 œ "ß #ß áß :

que Como os vectores /t53 são linearmente independentes (/5 é uma base de I5 ) segue-se !53 œ !ß

1.8

œ

5 œ "ß #ß áß : 3 œ "ß #ß á ß 8 5

Anexos: vectores e o MATHEMATICA



©

 MATHEMATICA

©

O software MATHEMATICA permite a manipulação de vectores através da noção de lista, que é mais geral que a de vector; um vector não contém listas como elementos seus. Existem várias funções para manipulação de listas e, de entre estas, salientamos: ©

ç

List[]

ou {}

Devolve a lista formada pelos argumentos. ç

Plus[]

ou +

Adiciona as listas elemento a elemento. ç

Times[]

ou * ou espaço

Multiplica escalares entre si e também escalares por listas. ç

Part[]

ou [[]]

Permite extrair elementos e sublistas de uma lista. ç

Take[] e Select[]

Permitem extrair sublistas, segundo vários critérios. ç

Sort[], Join[] e Union[]

56

Espaços vectoriais [Cap. 1 Permitem ordenar, concatenar e reunir listas. ç

Length[] e Dimensions[][[1]]

Devolvem o comprimento de uma lista. ç

VectorQ[]

Função booleana que devolve True sse o argumento é um vector. ç

Table[], Range[] e Array[]

Permitem construir listas. ç

Sum[]

e Product[]

Calculam somas e produtos dos elementos de uma lista. Nas páginas seguintes, apresenta-se um notebook ilustrando o uso de algumas das funções aqui mencionadas:




57

Uma função F pode utilizar-se com 3 sintaxes possíveis: F[x] , ou F@x ou ainda x/ / F

@ ê 4D

Sin Pi

1 2

H ê 4L

Sin @ Pi

1 2

HPi ê 4L êê Sin 1 2

Vectores 1.8.1 O que s ão?

No MATHEMATICA, um vector é uma lista de escalares racionais, reais ou complexos

v

8

8

− 2,

z

:

− 2,

=

3, 1, 2, 4

<

3, 1, 2, 4

83 ê 4,

=

3 4

,

<

−

5 8

,

2 7

,

−

−5

2 9

ê 8, 2 ê 7,

−2

ê 9<

>

As componentes podem ser números irracionais ou transcendentes...


58

8Sin@Pi ê 4D, Cos@3

t

=

1

:

1

,

4

2

J1

π

N

5 ,

−

−

5,

3

∗ Pi

ê 5 D,

@5D, ArcSin@Sqrt@3D ê 2D<

− Sqrt

>

E podem ser complexos...

81

w

=

81

+ , − 3 +

+

I,

−3 +

2 ,

−1 +

2 ∗ I,

2 ,

,

−1 +

2 ∗ I, I,

H4 IL ^ 2< +

<

15 + 8 

Somando com + ou Pl us[ ] ...

v + w

8

− 1 + ,

<

2 , 2 , 2 + , 19 + 8 

@

Plus v, w

8

− 1 + ,

D <

2 , 2 , 2 + , 19 + 8 

z−t

:

3

−

4

1

,

2

−

5 8

+

1 4

J

−1 +

N

5 ,

2 7

+

5,

−

2 9

π −

3

>

1.8.2. Acesso às co mpon entes de um vecto r



Podemos extrair compo nentes de um vector com w[ [ ] ] ou P a r t [ ] e Take[ ]

w

@@3DD

−1 +

2


w

@@83
8

2

−1 +

w

59

<

@@81, 3, 3
81

+ , − 1 +

2 ,

−1 +

<

2

@ 81, 3, 3
Part w,

81

+ , − 1 +

2 ,

−1 +

<

2

Extrair as 2 primeiras componentes

@

D

Take w, 2

81

+ , − 3 +

<

2

Ou as 2 últimas

@

Take w,

8

,

D

−2

<

15 + 8 

Extrair da 2ª até à 5ª componentes

@ 82, 5
Take w,

8

−3 +

2 ,

−1 +

2 ,

,

Ou da 1ª à 5ª de 2 em 2

@ 81, 5, 2
Take w,

<

15 + 8 


60

81 

+ , − 1 +

<

2 , 15 + 8 

Extrair elementos de acordo com co ndições: Select[]

w

810, 7, 13, 4, 11, 16, 9, 20, 7, 13 <;

=

@

Select w, OddQ

87,

D

<

13, 11, 9, 7, 13

@

D

Select w, EvenQ

810,

<

4, 16, 20

@

Select w,

87, 

 <

9

»»

 >

D

15 &

<

4, 16, 20, 7

Ordenar

@D

Sort w

84, 

<

7, 7, 9, 10, 11, 13, 13, 16, 20

Juntar listas (concatenação e reunião)

u

816, 3, 12, 8, 3, 21, 15, 20, 13 <;

=

@

Join u, w

816,

D <

3, 12, 8, 3, 21, 15, 20, 13, 10, 7, 13, 4, 11, 16, 9, 20, 7, 13

@

Union u, w

D


83,

4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20, 21

61

<

1.8.3. Dimensão (compr imento ) de um vector



Pode obter-se o comprimento d o vector com Lengt h[ ] ou Di mensi ons[ ] ...

@D

Length v

5

@ D@@1DD

Dimensions v

5

1.8.4. Trata-se mesmo de um vector?

@D

VectorQ v

Tr ue

@ D

VectorQ Pi

Fal se

@882, 3<, 5
VectorQ

Fal se

1.8.5. Geração de vectores



Podemos gerar vectores, através das funções Tabl e[ ] e Range[ ]

@

Table i ^ 2

ê H1 iL, 8i, 4

62

:

1

4

,

2

3

9

,

4

,

16 5

>

Lista dos valores de 2i , para i entre 4 e 16 de 3 em 3

@

Table 2 ∗ i,

88,

8i, 4, 16, 3
14, 20, 26, 32

Lista dos complexos 3k^2+2kI , para k entre 1 e 3

@

Table 3 ∗ k ^ 2 + 2 ∗ k ∗ I,

83

8k, 3
<

2 , 12 + 4 , 27 + 6 

+

Lista de 5 inteiros aleatórios entre - 9 e 9 divididos por 2

B 12 RandomInteger@8

Table

:

− 1,

3 2

,

−

9 2

− 9,

9

>

, 2, 4

Vector de 6 uns e zeros alternados. OddQ[ i ] dá Tr ue sse i é ímpar e EvenQ[i] dá True sse i é par

@ @

@D

D 8i, 6
Table If OddQ i , 1, 0 ,

81,

<

0, 1, 0, 1, 0

Vector dos primeiros 10 números primos...

@

@ D 8i, 10
Table Prime i ,

82,

<

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29


Lista de 5 inteiros entre 1 e 5

@D

Range 5

81,

<

2, 3, 4, 5

Lista dos inteiros entre 4 e 8

@

Range 4, 8

84,

D

<

5, 6, 7, 8

Lista dos racionais entre 3/ 4 e 13/ 2, de 3/ 4 em 3/ 4

@ ê 4, 13 ê 2, 3 ê 4D

Range 3

:

3 4

,

3 2

,

9 4

, 3,

15 4

,

9 2

,

21 4

@

Remove "Global`∗"



>

, 6

D

Podemos gerar vectores simbólic os com a função Array[]

@ 86
v = Array y,

8y@1D, y@2D, y@3D, y@4D, y@5D, y@6D< 1.8.6. Operações vector iais



Podemos s omar, subtrair e mult iplicar os elementos de vectores

Soma dos elementos de um vector

@ @@iDD, 8i, Length@vD
Sum v

63


64

@ D y@2D y@3D y@4D y@5D y@6D

y 1

+

+

+

+

+

Produto dos elementos de um vector

@ @@iDD, 8i, Length@vD
Product v

@D @D @D @D @D @D

y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6

Multiplicação de escalar por vector

u

=

3∗v

83 y@1D,

@D

@D

@D

@D

@ D<

3y 2 , 3y 3 , 3y 4 , 3y 5 , 3y 6

Soma e subtração de vectores

8u

+

v, u − v

884 y@1D,

<

@D

@D

@D

@D

@ D<, 82 y@1D,

4y 2 , 4y 3 , 4y 4 , 4y 5 , 4y 6

@D

@D

@D

@D

@ D<<

2y 2 , 2y 3 , 2y 4 , 2y 5 , 2y 6

2 Matrizes

Sec. 2.2] Noção de matriz sobre um corpo. Alguns tipos de matrizes

67

2.1 Introdução No presente capítulo abordaremos a noção de matriz de um ponto de vista autónomo, isto é, sem relevar a sua correspondência com os homomorfismos de espaços vectoriais de dimensão finita, tema que será tratado no capítulo 3. Serão estudados os espaços vectoriais de matrizes, bem como a álgebra linear (e anel) das matrizes quadradas. A interpretação das matrizes como sequências de vectores de um espaço cartesiano conduzirnos-á à noção de característica de uma matriz e a proposição 1.18 vai permitir a fundamentação do importante algoritmo – dito de condensação – para a sua determinação. O paralelismo entre a proposição 1.18 e os princípios de equivalência dos sistemas de equações lineares levam ao método de eliminação de Gauss-Jordana1b para a resolução daquele importante tipo de sistemas. A aplicação de métodos matriciais aos sistemas de equações lineares são um bom exemplo prático do poder unificador da ferramenta matricial. Por último, os resultados obtidos sobre sistemas de equações vão permitir-nos o estudo do problema da inversão de uma matriz (não necessariamente quadrada), a obtenção de um algoritmo de condensação para a determinação da(s) inversa(s) e ainda estudar o problema da divisão matricial esquerda e direita. Abordamos também a teoria das matrizes elementares e a sua relação com a inversão, a característica e a equivalência de matrizes. Por último, trataremos das mudanças de base nos espaços vectoriais de dimensão finita.

2.2

Noção de matriz sobre um corpo. Alguns tipos de matrizes

Começaremos por definir a noção de matriz: Definição 2.1. – Matriz sobre um corpo – Sejam 7ß 8 −  números naturais, Š um corpo e considerem-se os intervalos "ß 7 e "ß 8 de  . Chamaremos matriz do tipo 7 ‚ 8 sobre 9 corpo Š a uma família E œ +34 a3ß4b−c"ß7d‚c"ß8d de elementos de Š indexada por "ß 7 ‚ "ß 8 , isto é a uma função EÀ "ß 7 ‚ "ß 8 Ä Šà 3ß 4 È +34 a2b . O escalar de Š que é o valor de E no ponto 3ß 4 − "ß 7 ‚ "ß 8 é designado por +34 (ou E34 ) e a matriz E é também designada por +34 "Ÿ3Ÿ7 ou, mais simplesmente, +34 a3b , quando não houver interesse em especificar o tipo "Ÿ4Ÿ8 7 ‚ 8 da matriz.

cc d d c d c d c d a b a b c d c d cd cd

c d c d

c d c d

Uma matriz fica completamente determinada pelos seus valores nos 7 ‚ 8 pontos do domínio "ß7 ‚ "ß8 e, portanto, pode ser representada por uma tabela de duas entradas constituída por 7 linhas e 8 colunas de escalares +34 do corpo Š colocados entre parêntesis rectosa3b . Como o primeiro índice 3 é constante em cada linha da tabela, diz-se que ele é o índice das linhas da matriz; do mesmo modo e sendo o segundo índice 4 constante em cada coluna, 4 é

1

Gauss, Carl Friedrich: matemático, físico e astrónomo alemão (Brunswick 1777 – Göttingen 1855). Jordan, Marie Ennemond Camille: matemático francês (Lyon 1838 – Paris 1922).

2

Mais geralmente, podem considerar-se matrizes de tipo 7 ‚ 8 sobre qualquer conjunto \ , como sendo as 7ß8 aplicações de "ß 7 ‚ "ß 8 em \ , sendo o seu conjunto designado por \ .

c

3

d c d

a b

Também se usam as notações +34

Î ++ ÐÐ ã Ï+

"" #"

7"

"Ÿ3Ÿ7 "Ÿ4Ÿ8

l l

, +34

+"# +## ã +7#

"Ÿ3Ÿ7 "Ÿ4Ÿ8

e ainda

â +"8 â +#8 ä ã â +78

Ñ ããã ++ Ó ã Ó ou ã ã Ò ããã +

"" #"

7"

+"# +## ã +7#

ãã ãã ãã ãã

â +"8 â +#8 . ä ã â +78

68

Matrizes [Cap. 2

chamado o índice das colunas da matriz.

cd

E œ +34 "Ÿ3Ÿ7 œ "Ÿ4Ÿ8

ÔÖ ÖÕ

+"" +#" ã +7"

+"# +## ã +7#

â +"8 â +#8 ä ã â +78

×Ù ÙØ

a b 2.1

A matriz diz-se racional, real ou complexa consoante Š œ , Š œ ‘ ou Š œ ‚ e designaremos o conjunto de todas as matrizes do tipo 7 ‚ 8 sobre um corpo Š por Š7ß8 . É óbvio que, se o corpo Š for finito (por exemplo, ™: – os inteiros módulo : – onde : é um número primo)a4b o mesmo acontecerá com Š7ß8 , tendo-se

a b a b

# Š7ß8 œ #Š

a b

78

2.2

Se o corpo Š for infinito (casos de , ‘ e ‚), o mesmo sucederá com Š7ß8.

a b c d c d cd aa b b

Da definição de matriz, resulta que duas matrizes são iguais sse têm o mesmo tipo e coincidem em todos os pontos 3ß 4 − "ß 7 ‚ "ß 8 , isto é,

cd +34

"Ÿ3Ÿ7 "Ÿ4Ÿ8

œ ,34

"Ÿ3Ÿ7w "Ÿ4Ÿ8w

Í 7 œ 7w • 8 œ 8 w • "Ÿ3Ÿ7 a + 34 œ , 34

"Ÿ4Ÿ8

a b 2.3

Para cada " Ÿ 3 Ÿ 7, a sequência +34 "Ÿ4Ÿ8 é chamada a linha 3 de E (ou 3ª linha de E) e, para cada " Ÿ 4 Ÿ 8, a sequência +34 "Ÿ3Ÿ7 é chamada a coluna 4 (ou 4ª coluna de E). O vector de Š8 cujas componentes constituem a linha 3 de E é chamado o 3º vector-linha de E e o vector de Š7 cujas componentes constituem a coluna 4 de E é o 4º vector-coluna de E. Deste modo, pode a matriz E ser considerada como uma lista de 7 vectores de Š8 (as linhas de E) ou como uma lista de 8 vectores de Š7 (as colunas de E). Da mesma maneira que as filas (termo que designa, indistintamente, as linhas ou colunas) de uma matriz do tipo 7 ‚ 8 se identificam com vectores de Š8 ou de Š7 , uma matriz do tipo " ‚ " é também identificada com o escalar único +"" que a constitui. As observações anteriores mostram que se pode definir a noção de matriz com base na noção de lista: trata-se de uma lista de 7 listas (as linhas) cada uma das quais com igual número 8 de escalares de Š. Pode aplicar-se recursivamente esta ideia e constituirem-se listas de ; matrizes +345 (ou seja, listas de listas de listas de escalares) e assim sucessivamente, obtendo-se a noção recursiva de tensor de ordem : a5b , como uma lista de tensores de ordem :  "; a ordem é, afinal, o número de índices presentes em +3"3 #â3: ; uma matriz +34 é, portanto, um tensor de 2ª ordem, um vector @3 é um tensor de 1ª ordem, considerando-se um escalar como um tensor de ordem 0.

c d

cd

ab

 ‘

Se 7 œ ", a matriz E constitui uma matriz-linha ou vector-linha e consiste no vector +1" ß +1# ß á ß +18 − Š8 matricialmente, continuaremos a escrever

a

b

c

d

E œ +1" +1# â +18 − Š1ß8

4

5

a

b

e

f

Trata-se dos corpos ™: ß Š ß Œ onde ™: œ !ß "ß á ß :  " , : é um número primo e as operações são definidas por: B Š C œ B  C mod : e B Œ C œ BC mod :. Nestas igualdades, + mod , designa o resto da divisão inteira de + por ,.

a

b

a b

Corresponde, nas linguagens de programação, à noção de “array” de dimensão : , sendo que as matrizes são os “arrays” de dimensão #.

Sec. 2.2] Noção de matriz sobre um corpo. Alguns tipos de matrizes

a

69

b

Se 8 œ ", tem-se uma matriz-coluna ou vector-coluna +"1ß +#1 ß á ß +71 − Š7 que, matricialmente, se escreve Eœ

ÔÖ ÖÕ

+"" +#1 ã +71

×Ù ÙØ

− Š7ß1

Adiante referiremos a operação de transposição matricial que nos permitirá escrever a matrizcoluna de uma forma tipograficamente mais conveniente, do modo seguinte

c

E œ +"" +#1 â +71

d

T

− Š7ß1

Se 7 œ 8, a matriz diz-se quadrada de ordem 8 e o conjunto destas matrizes é designado por Š8ß8 ; se 7 Á 8, dizemos que a matriz é rectangular.

cd

Numa matriz +34 quadrada de ordem 8, os elementos +33 constituem a diagonal principal , 1ª diagonal ou diagonal descendente; os elementos +34 , com 3  4 œ 8  ", constituem a diagonal secundária, 2ª diagonal ou diagonal ascendente. Numa matriz rectangular, chama-se por vezes, diagonal à lista dos elementos da forma +33 (" Ÿ 3 Ÿ min 7ß 8 ).

e f

a b

Definem-se vários tipos de matrizes, conforme a configuração dos escalares presentes em 2.1 . Seguem-se alguns exemplos:

Exemplo 2Þ1. Se 7 œ 8 e +34 œ !, para 3  4, a matriz diz-se triangular superior; a título de exemplo, apresenta-se uma matriz complexa triangular superior: Eœ

Ô Õ

3 "  3 $ ! # 3 ! ! !

× Ø

Exemplo 2Þ2. Se 7 œ 8 e +34 œ !, para 3  4, a matriz diz-se triangular inferior; por exemplo, a seguinte matriz real é triangular inferior: Eœ

Ô Õ

" ! ! # " ! " ! %

× Ø

Exemplo 2Þ3. Se uma matriz é simultaneamente triangular superior e inferior, isto é, 7 œ 8 e +34 œ !, para 3 Á 4, a matriz diz-se matriz diagonal e, sendo +33 os elementos da diagonal principal, escreve-se diag +"" ß +##ß á ß +88 ; por exemplo, a seguinte matriz real é diagonal:

a

Eœ

Ô Õ

b

" ! ! ! " ! ! ! %

× Ø

a

œ diag "ß "ß %

b

70

Matrizes [Cap. 2

Uma matriz rectangular de tipo 7 ‚ 8, chama-se matriz diagonal sse for +34 œ !, para 3 Á 4, isto é, são nulos os elementos de E que não estejam na diagonal, por exemplo, Eœ

Ô Õ

" ! ! ! ! # ! ! ! ! ! !

× Ø

Exemplo 2Þ4. Uma matriz diagonal quadrada cujos elementos diagonais são iguais entre si chama-se matriz escalar (adiante justificaremos esta denominação), isto é, 7 œ 8 e +34 œ !, para 3 Á 4, e +33 œ 5 ; a seguinte matriz real E é matriz escalar: Eœ

Ô Õ

× Ø

# ! ! ! # ! ! ! #

a

œ diag #ß #ß #

b

Exemplo 2Þ5. Entre as matrizes escalares refiram-se as matrizes identidade, em que 5 œ " (mais tarde, veremos a razão deste nome). A matriz identidade de ordem 8 é designada por M 8 ou simplesmente M , quando a ordem 8 for subentendida. O respectivo elemento genérico é o símbolo ou delta de Kronecker $ 34 (ver nota de rodapé 7 no capítulo 1), definido a seguir $ 34 œ

œ

a b

! 3Á4 " 3œ4

2.4

A título de exemplo, mostram-se as matrizes identidade de 2ª e 3ª ordens

Ô ” • Õ

" ! M# œ ! "

M$ œ

" ! ! ! " ! ! ! "

× Ø

Exemplo 2Þ6. As matrizes 7 ‚ 8 cujos elementos são todos nulos são chamadas matrizes nulas e designam-se por S7ß8 ou, sendo quadradas de ordem 8, simplesmente por S8 . Caso não haja necessidade de indicar o tipo, usa-se apenas S. A seguir, mostram-se exemplos: S#ß$ œ

”

! ! ! ! ! !

•

S# œ

” • ! ! ! !

’

Exemplo 2Þ7. As matrizes de tipo 7 ‚ 8, cujos elementos são 234 œ

" 34"

“

"Ÿ3Ÿ7 "Ÿ4Ÿ8

são

denominadas matrizes de Hilbert e designam-se por L7ß8 . Usa-se a notação L 8 para a matriz de Hilbert quadrada de ordem 8. A seguir, mostra-se um exemplo: L$ œ

ÔÖ Õ

" " # " $

" # " $ " %

" $ " % " &

×Ù Ø

Exemplo 2Þ8. Uma matriz quadrada de ordem 8 cujos elementos são tais que +34 œ !ß se 3  4  " ” 4  3  "

é chamada matriz tridiagonal (note que qualquer matriz de ordem 8 Ÿ # é tridiagonal). A

Sec. 2.3] Espaço linear das matrizes

71

seguir, mostra-se um exemplo de uma matriz real tridiagonal de 4ª ordem: Eœ

ÔÖ ÖÕ

# " ! ! $ " $ ! ! # ! " ! ! " $

×Ù ÙØ

Exemplo 2Þ9. Diremos que uma matriz I − Š 7ß8 é escalonada sse as suas linhas formam uma lista escalonada de vectores de Š8 (ver definição 1.10). Assim, são escalonadas as matrizes

Eœ

ÔÖ ÖÖÖ Õ

# " $ ! " $ ! ! # ! ! ! ! ! !

×Ù ÙÙÙ Ø

Fœ

ÔÖ ÖÕ

! ! ! !

# " ! " ! " $ # ! ! % " ! ! ! !

×Ù ÙØ

Gœ

ÔÖ ÖÖÖ Õ

$ ! ! ! !

" ! # # # " " ! ! ! $ " ! ! ! " ! ! ! !

×Ù ÙÙÙ Ø

Na secção 2.16, ilustra-se a construção de alguns dos tipos anteriores de matrizes, usando o software MATHEMATICA . ©

2.3

Espaço linear das matrizes

Nesta secção, iremos definir um certo número de operações algébricas sobre matrizes que nos levarão à construção dos espaços vectoriais Š7ß8 e das álgebras Š8ß8 de matrizes quadradas de ordem ordem 8. Comecemos por definir a adição matricial:

cd

cd

Definição 2Þ2. – Adição de matrizes – Dadas duas matrizes E œ +34 e F œ ,34 sobre um corpo Š e do mesmo tipo 7 ‚ 8 (ou seja, Eß F − Š7ß8 ), chamaremos soma de E e F à nova matriz E  F − Š7ß8 cujos elementos -34 estão definidos por: -34 œ +34  ,34 à 3 œ "ß # ß á ß 7à 4 œ "ß # ß á ß 8

ou ainda

a b EF

34 œ

E34  F34 à 3 œ "ß #ß á ß 7à 4 œ "ß #ß á ß 8

a b a b 2.5 2.6

Portanto, as matrizes somam-se, somando (em Š) os elementos homólogos das matrizes E e F e só faz sentido adicionar matrizes do mesmo tipo. As propriedades formais da adição em Š, à custa da qual se definiu a adição matricial, implicam imediatamente que esta adição é: ç Associativa: a

EßFßG−Š7ß8

a b

a b

EF G œ E F G

ç Comutativa: a

EßF−Š7ß8

E F œ F E

72

Matrizes [Cap. 2 ç Tem elemento neutro, que é a matriz nula S7ß8 : b

a E  S7ß8 œ S7ß8  E œ E

S7ß8 −Š7ß8 E− Š7ß8

ç Toda a matriz E tem simétrica (única) E: a

b

E−Š7ß8 E−Š7ß8

a b a b a b a b

E  E œ E  E œ S 7ß8

As propriedades anteriores mostram que Š7ß8 ß  constitui um grupo comutativo aditivo. Como em qualquer grupo aditivo, define-se a subtracção por o que é equivalente a

a b EF

34 œ

a b a b 2.7

E  F œ E  F

E34  F34 à 3 œ "ß #ß á ß 7à 4 œ "ß #ß á ß 8

2.8

Com vista a obter um espaço vectorial, vamos a seguir definir a operação de produto de um escalar de Š por uma matriz do tipo 7 ‚ 8 sobre Š. Trata-se de uma lei de composição externa definida em Š ‚ Š7ß8 e com valores em Š7ß8 : Definição 2Þ3. – Produto de escalar por matriz – Dado um escalar ! − Š e uma matriz E œ +34 sobre um corpo Š do tipo 7 ‚ 8 (ou seja, E − Š7ß8 ), chamaremos produto de ! por E à nova matriz !E − Š7ß8 cujos elementos ,34 estão definidos por:

cd

,34 œ ! +34 à 3 œ "ß #ß á ß 7à 4 œ "ß #ß á ß 8

ou ainda

a b !E

34 œ

!E34 à 3 œ "ß #ß á ß 7à 4 œ "ß #ß á ß 8

a b a b 2.9

2.10

Portanto, multiplica-se um escalar por uma matriz, multiplicando (em Š) esse escalar por cada um dos elementos da matriz. Das propriedades do produto no corpo Š , resultam imediatamente as seguintes propriedades para o produto definido por 2.9 :

a b

ç Distributividade em relação à adição escalar: a

!ß" −Š E− Š7ß8

a b

!  " E œ !E  "E

ç Distributividade em relação à adição matricial : a

!−Š EßF−Š7ß8

a b

! E  F œ !E  !F

ç Associatividade mista:

a b a b

a ! " E œ !" E

!ß" −Š E− Š7ß8

Sec. 2.3] Espaço linear das matrizes

73

ç A unidade do corpo é elemento neutro à esquerda no produto de escalar por matriz : a "E œ E

E−Š7ß8

As propriedades anteriores constituem os axiomas A1-A4 e P1-P4 do capítulo 1 e significam, portanto, que Š7ß8 é, com as operações definidas atrás, um espaço vectorial sobre o corpo Š em que os “vectores” são as matrizes do tipo 7 ‚ 8 de elementos em Š. A família de 78 matrizes G !" "Ÿ!Ÿ7 definidas por

a b

a b

"Ÿ"Ÿ8

G!"

34 œ

$3! $ 4 "

cd

a b 2.11

formam uma base de Š7ß8 , na qual as coordenadas de uma matriz \ œ B34 − Š7ß8 são os próprios escalares B34 que a constituem:

"" 7

\œ

8

B34 G34

3œ" 4œ"

Por esta razão, a base mencionada é chamada base canónica de Š7ß8. O que acabou de se expor mostra que dimŠ Š7ß8 œ 78

a b 2.12

Por exemplo, a base canónica de ‚#ß# (sobre ‚) será -œ

Œ” • ” • ” • ” • " ! ! " ! ! ! ! ß ß ß ! ! ! ! " ! ! "

e a base canónica de ‚#ß# (sobre ‘) é -œ

Œ” • ” • ” • ” • ” • ” • ” • ” • a b cd a b " ! 3 ! ! " ! 3 ! ! ! ! ! ! ! ! ß ß ß ß ß ß ß ! ! ! ! ! ! ! ! " ! 3 ! ! " ! 3

Pela proposição 1.15 e atendendo a 2.12 , podemos afirmar que o espaço Š7ß8 é isomorfo do espaço cartesiano Š78 e é óbvio que, por exemplo, a aplicação +34

"Ÿ3Ÿ7 "Ÿ4Ÿ8

È +"" ß +"# ß á ß +"8 ß +#" ß +## ß á ß +#8 ß á ß +7" ß +7# ß á ß +78

é um isomorfismo de Š7ß8 sobre Š78 . Sendo Š7ß8 um espaço vectorial sobre Š, podemos recorrer às proposições 1.1, 1.2 e 1.3 para concluir imediatamente que: a

!−Š E− Š7ß8

a

!−Š E− Š7ß8

a

!ß" −Š E− Š7ß8

a

ˆ ‰ ˆ a b a b a b‰ â b ‰ â b ‰

!−Š EßF−Š7ß8

!E œ S7ß8 Í ! œ ! ” E œ S 7ß8

 !E œ ! E œ ! E !  " E œ !E  "E

! E  F œ !E  !F

74

Matrizes [Cap. 2

Observe-se, por último, que uma matriz escalar de ordem 8 será sempre da forma 5M 8 , onde 5 − Š é um escalar

a

b

diag 5ß 5 ß á ß 5 œ 5M8

2.4

Álgebra e Anel das matrizes quadradas

Vamos, agora, definir uma terceira operação matricial: o produto de matrizes. Definição 2Þ4. – Produto matricial – Sejam 7ß 8ß : −  e E − Š7ß8 e F − Š8ß: matrizes dos tipos 7 ‚ 8 e 8 ‚ : sobre um corpo Š . O produto das matrizes E e F (por esta ordem) é a matriz EF − Š7ß: do tipo 7 ‚ : , cujos elementos -34 se definem por:

"

a b

8

-34 œ

2.13

+35 ,54 à 3 œ "ß #ß á ß 7à 4 œ "ß #ß á ß :

5œ"

ou seja

a b " a b

a b

8

EF

34 œ

2.13

E35 F54 à 3 œ "ß #ß á ß 7à 4 œ "ß #ß á ß :

5œ"

a b

As 7: igualdades 2.13 mostram que o elemento EF 34 da linha 3 e coluna 4 de EF se calcula mediante a soma dos produtos dos 8 elementos da linha 3 de E pelos 8 elementos respectivos da coluna 4 de F e que o número de linhas de EF é o número de linhas de E, sendo o seu número de colunas igual ao número de colunas de F. Note-se que a condição prévia para que o produto EF , por esta ordem, esteja definido é que o número de colunas de E seja igual ao número de linhas de F (igual a 8). Daqui resulta imediatamente que para que uma matriz E se possa multiplicar por si mesma (E œ F ), é necessário que ela seja quadrada o que significa que a potência de base E e expoente natural só estará definida quando E for quadrada. Convém ainda observar que o produto matricial será uma lei de composição interna (em Š8 ), apenas quando 7 œ 8 œ : . Nas condições da definição anterior e se 7 Á :, o produto FE não está definido. Se 7 œ : Á 8 , então EF e FE estão definidos mas EF − Š7ß7 enquanto que FE − Š8ß8 , o que significa que será, certamente, EF Á FE. Finalmente, se tivermos 7 œ 8 œ :, EF e FE serão ambas matrizes quadradas de ordem 8, mas, ainda assim, as igualdades 2.13 implicam que, em geral, será EF Á FE, como mostra o exemplo seguinte:

a b

Exemplo 2 Þ10. Considerem-se as matrizes Eœ

”

•

”

•

”

•

# " " $ eFœ " # # "

ter-se-á, neste caso, EF œ

”

•

% ( " ( e FE œ Á EF $ " $ %

Sec. 2.4] Álgebra e Anel das matrizes quadradas

75

Do exposto, podemos concluir que, para ser EF œ FE , é necessário (mas não suficiente) que E e F sejam matrizes quadradas e da mesma ordem. Existem, de facto, casos de matrizes quadradas em que EF œ FE e, quando tal acontecer, diremos que E e F são matrizes permutáveis ou comutáveis. É o que acontece, entre outros, nos casos a seguir indicados: Exemplo 2 Þ11. Caso de ser nulo um dos factores: a

E−Š8ß8

ˆ

ES8 œ S8 E œ S 8

‰

a b ÚÝÝ a b " a b " " ÛÝÝ a b " a b " " Ü

Para quaisquer 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8, as igualdades 2.13 implicam imediatamente 8

ES8

34

8

œ

E35 S 8

54

œ

E35 ! œ

5œ" 8

S8 E

34

œ

5œ" 8

S8

35 E54

œ

! œ ! œ S8

34

! œ ! œ S8

34

5œ" 8

!E54 œ

5œ"

a b a b

8

5œ"

5œ"

Exemplo 2 Þ12. Caso de um dos factores ser a matriz identidade M 8 :

ˆ

a 8ß8 EM8 œ M8E œ E

E−Š

a b ÚÝÝ a b " a b " ÛÝÝ a b " a b " Ü

‰

As igualdades 2.13 levam directamente, para 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8 e onde $ 34 é o símbolo de Kronecker, às igualdades 8

EM8

34

œ

8

E35 M8

54

œ

5œ" 8

M8 E

34

œ

M8

35 E54

œ

$ 35 E54 œ E 34

5œ"

Exemplo 2 Þ13. Sejam E e F as matrizes seguintes Eœ

5œ" 8

5œ"

Ô Õ

E35 $ 54 œ E34

# " " " " # # " #

× Ø

Verifica-se, neste caso, que EF œ FE œ

eF œ

Ô Õ

Ô Õ

0

" " # ' 5 " % 3

" ! ! ! " ! ! ! "

× Ø

× Ø

œ M$

De tudo o que se viu anteriormente, pode concluir-se que o produto matricial não é comutativo e a discussão que fizémos pode ser condensada do seguinte modo:

76

Matrizes [Cap. 2

E − Š7ß8 F − Š8ß:

ÚÝ  ÛÝ Ü Ê

Ú ÛÜ

7 Á : Ê Existe EF , mas não existe FE. 7 Á 8 Ê EF − Š7ß7 • FE − Š8ß8 Ê EF Á FE EFß FE − Š8ß8 Ê Em geral, será EF Á FE, 7œ:Ê 7œ8Ê

œ

mas existem matrizes permutáveis.

A seguinte proposição resume algumas das propriedades do produto matricial: Proposição 2Þ1. – Propriedades do produto matricial – Sejam 7ß8ß:ß; −  e Š um corpo. O produto de matrizes sobre Š satisfaz as seguintes propriedades: i) Associatividade: para quaisquer matrizes E − Š7ß8 , F − Š8ß: e G − Š:ß; , tem-se

a b a b EF G œ E FG

ii) Distributividade à direita em relação à adição (e subtracção) matriciais: sendo Eß F − Š7ß8 e G − Š8ß: , tem-se:

a b

E  F G œ EG  FG

iii) Distributividade à esquerda em relação à adição (e subtracção) matriciais: sendo E − Š7ß8 e Fß G − Š8ß: , tem-se:

a b

E F  G œ EF  EG

iv) Para quaisquer matrizes E − Š7ß8 e F − Š8ß: e qualquer escalar ! − Š , verificamse as igualdades seguintes

a b a b a b !E F œ E !F œ ! EF

v) Existência de elementos neutros (as matrizes identidade) à esquerda e à direita: para qualquer matriz E − Š 7ß8 , tem-se: M7 E œ EM8 œ E

vi) Anulamento do produto: para quaisquer matrizes E − Š7ß8 , F − Š8ß: , tem-se E œ S7ß8 ” F œ S8ß: Ê EF œ S 7ß:

Observe-se que, ao contrário do que acontece com o produto de escalares, a recíproca desta implicação não é válida: EF pode ser a matriz nula, sem que nem E nem F o sejam.


77

Demonstração: i)

Para quaisquer 3 œ "ß #ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß ; :

aa b b "a b ""  "" "" " "  "  " " a b a a bb :

EF G

34

:

œ

EF

<œ" 8

3< G <4

œ

<œ"

5œ" 8

E35 F5< G<4 œ

5œ" <œ" 8

œ

54

E 35 F 5
<œ" 5œ" 8

:

E35

F5< G<4

œ

<œ"

5œ"

E35 FG

8

E35 F5< G<4 œ

:

œ

:

8

œ E FG 34



:

E 35

F 5
<œ"

5œ"

5œ"

ii) Neste caso, a igualdade resulta de ser, para 3 œ "ß # ß á ß 7 e 4 œ "ß # ß á ß : :

aa b b " a b " a b " a " " a b a b a 8

EF G

34

8

œ

EF

35 G 54

5œ" 8

œ

8

œ

E 35  F 35 G 54 œ

5œ"

E 35 G 54  F 35 G 54

5œ"

b

8

E35 G54 

5œ"

F35 G54 œ EG

34

 FG

34

œ EG  FG 34

5œ"

b

iii) Tal como anteriormente, teremos, para 3 œ "ß # ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß : :

a a bb " a b " a b "a " " a b a b a 8

E FG

34

œ

8

E35 F  G

5œ" 8

œ

54

8

œ

E 35 F 54  G54 œ

5œ"

E 35 F 54  E 35 G 54

5œ"

b

8

E35 F54 

5œ"

E35 G54 œ EF

34

 EG

34

œ EF  EG 34

5œ"

b

iv) Resulta imediatamente das igualdades seguintes, para 3 œ "ß #ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß : :

ÚÝÝ aa b b "a b ÝÝÝ ÝÝ "a b ÛÝÝ a a bb " a b ÝÝÝ ÝÝÜ "a b ÚÝÝ a b " a b ÛÝÝ a b " a b Ü 8

!E F

34

œ

!E

35 F54

œ

!E35 F54

5œ" 8

œ

34

! E35 F54 œ !

œ

E35 !F

54

E35 F54 œ ! EF

34

5œ" 8

œ

5œ" 8

œ

5œ" 8

5œ" 8

E !F

"a b " a b " a b " a b 8

E35 !F54

5œ" 8

! E35 F54 œ !

5œ"

E35 F54 œ ! EF

34

5œ"

v) Tem-se, para 3 œ "ß #ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß 8 e sendo $ 34 o símbolo de Kronecker: 7

M7 E

34

œ

M7

35 E54

œ

5œ" 8

EM8

34

œ

E35 M8

5œ"

54

" " 7

$ 35 E54 œ E 34

5œ" 8

œ

E35 $ 54 œ E34

5œ"

78

Matrizes [Cap. 2 vi) Tem-se, para 3 œ "ß #ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß : :

ÚÝÝ a b " a b " ÛÝÝ a b " a b " Ü 8

S7ß8 F

8

œ

34

S7ß8

35 F 54

œ

5œ" 8

ES8ß:

34

œ

! F54 œ

5œ" 8

E35 S8ß:

54

œ

5œ"

" "

a b a b

8

! œ ! œ S 7ß:

5œ" 8

E35 ! œ

5œ"

! œ ! œ S 7ß:

5œ"

34

34



Exemplo 2 Þ14. Um produto matricial pode ser nulo, sem que nenhum dos factores o seja, como mostra o exemplo seguinte

”

•

# " ! Eœ •F œ ! $ #

Ô Õ

" " # # $ $

× Ø

Ê EF œ S#

Exemplo 2 Þ15. Note-se, de passagem, que as “leis do corte” à esquerda e à direita não são válidas (na mesma forma em que são válidas para os escalares). Por exemplo a lei do corte à esquerda a

E− Š7ß8 FßG−Š8ß:

a

b

E Á S7ß8 • EF œ EG Ê F œ G

não é válida, como mostra o exemplo seguinte

Ô • Õ

”

# " ! Eœ ßFœ ! $ #

× Ô Ø Õ

$ " " ! ßGœ ! #

# # " # $ "

× Ø

O leitor pode verificar que, neste caso, será E Á S#ß$ • EF œ EG œ

” •

& # •FÁG $ %

Outra situação que exige cuidado é a da multiplicação de ambos os membros de uma igualdade matricial por uma mesma matriz: há que fazer a multiplicação à esquerda em ambos os membros ou à direita em ambos os membros; por exemplo, não são, em geral, válidas as implicações E œ F Ê GE œ FG e E œ F Ê EH œ HF

Se 7 œ 8, o produto matricial constitui uma lei de composição interna em Š8ß8 e as quatro primeiras alíneas da proposição anterior são precisamente os axiomas M1 a M4 do capítulo 1. O produto matricial é, pois, uma função bilinear associativa em Š8ß8 e este é igualmente um espaço vectorial (de dimensão 8# ) sobre Š: conclui-se que o conjunto Š8ß8 das matrizes quadradas de ordem 8 é (com a adição matricial 2.5 , o produto por escalar 2.9 e com o produto matricial 2.13 ) uma Álgebra Linear não comutativa sobre Š e a penúltima alínea da proposição anterior mostra que esta álgebra tem unidade ou identidade, precisamente a matriz identidade de ordem 8, M8. É claro, igualmente, que Š8ß8 ß ß ‚ constitui um Anel não comutativo com identidade, mas não um Corpo (se 8  ", o produto matricial não é comutativo); quando estudarmos a

a b

a b

a

a b

b


79

a

b

inversão matricial, veremos que existe uma razão adicional para que Š8ß8 ß ß ‚ não seja um corpo, pois há em Š8ß8 elementos singulares não nulos. Se I œ 5M8 for uma matriz escalar, então, para qualquer matriz E − Š7ß8,

a b a b

EI œ E 5 M8 œ 5 EM8 œ 5 E

ou seja, multiplicar E por uma matriz escalar I à direita equivale a multiplicar E pelo escalar 5 que forma a diagonal de I . Do mesmo modo, se I œ 5M7 for uma matriz escalar, então, para 7ß8 qualquer matriz E − Š

a b a b

IE œ 5M7 E œ 5 M7 E œ 5E

ou seja, multiplicar E por uma matriz escalar I à esquerda equivale a multiplicar E pelo escalar 5 que forma a diagonal de I : a isto se deve a designação de matriz escalar para as matrizes da forma 5M 8 , visto que elas se comportam na multiplicação por outra matriz como se de escalares se tratasse. Para as matrizes quadradas (e só para estas) é possível definir, por recorrência, a potenciação com base matricial e expoente natural (para algumas matrizes quadradas, passaremos, mais tarde, a expoente inteiro negativo) , pondo: Definição 2Þ5. – Potência de matriz e expoente natural – Seja E − Š 8ß8 uma matriz quadrada de ordem 8 sobre um corpo Š . A potência de base E e expoente 5 − ! define-se pondo, por recorrência,

œ

E! œ M 8 E5 œ E5" Eß 5  !

a b

a b 2.14

É claro que a aplicação repetida de 2.14 dá, para 5  !,

ðñò

E5 œ E EâE 5 factores

A potenciação goza de algumas das propriedades habituais, mas nem todas, como consta da Proposição 2Þ2. – Propriedades da potência – Para quaisquer matrizes EßF − Š 8ß8 e quaisquer :ß ; −  ! , tem-se: i) ii)

E: E; œ E:;

a b E:

;

œ E: ;

iii) Se E e F são permutáveis, então EF : œ F : E

ivÑ Se E e F são permutáveis, então

a b

E: F : œ EF

:

80

Matrizes [Cap. 2

e f

(Se : − !ß " , a igualdade é válida, mesmo que E e F não sejam permutáveis). Demonstração: i)

Por indução em ; : se ; œ !, tem-se: E: E! œ E: M8 œ E : œ E :!

Se E: E; œ E:; , então:

a b a b a b

E: E;" œ E: E ; E œ E : E ; E œ E :; E œ E a:;b" œ E :a;"b

ii) Novamente por indução em ; . Se ; œ !, tem-se:

ˆ ‰

!

E:

a b

œ M8 œ E ! œ E :!

Se E: ; œ E:; , então:

ˆ ‰ ˆ ‰ E:

;"

œ E: E: œ E:; E: œ E :;: œ E :a;"b ;

iii) Suponha-se EF œ FE e mostremos a igualdade EF : œ F : E por indução em : : Se : œ !, será EF ! œ EM8 œ E œ M8 E œ F ! E

e, supondo que EF œ FE e EF : œ F : E , então:

a b a b a b

a b a b a b

EF :+1 œ E F : F œ EF : F œ F : E F œ F : EF œ F : FE œ F :F E œ F :"E

iv) De novo por indução em : : Se : œ !, será E! F! œ M8 M8 œ F ! E!

a b aa baba bb a a b a b b a a b b

Por outro lado, supondo que EF œ FE e E: F : œ EF : , tem-se:

E:+1 F :+1 œ E : E F : F œ E : EF : F œ E : F : E F œ E: F : EF œ EF : EF œ EF :" 

a ba b a b ab " ab

As igualdades 2.5 , 2.9 e 2.14 dão significado às expressões 7

-5 E 5 œ -!M8  - "E  - #E #  â  - 7E 7

:E œ

5œ!

a b 2.15

onde 7  ! é um inteiro, os -5 !Ÿ5Ÿ7 são escalares de um corpo Š e E − Š8ß8 é matriz


81

ab

quadrada de ordem 8: são os polinómios matriciais na matriz quadrada E , de coeficientes -5 − Š e de grau Ÿ 7 e é óbvio que : E é ainda uma matriz quadrada de ordem 8. Vejamos alguns exemplos:

ab ! 7

Exemplo 2 Þ16. Se E e F são matrizes permutáveis e se : F œ

-5 F 5 for um polinómio

5œ!

ab

arbitrário em F, vamos ver, graças a algumas das propriedades da álgebra matricial e à 3ª alínea da proposição 2Þ2, que E e : F são também permutáveis:

ab " "ˆ ‰ " ˆ ‰ " ˆ ‰ " ˆ ‰ "  a b 7

7

5

E: F œ E

-5 F œ

5œ! 7

7

E -5 F

- 5 EF 5

œ

5œ! 7

5

œ

5

7

5

-5 F E œ

5œ!

5œ!

-5 F 5 E œ : F E

-5 F E œ

5œ!

5œ!

ab

O que acabámos de mostrar no exemplo anterior implica em particular que, para qualquer matriz quadrada E e qualquer polinómio : , as matrizes E e : E são sempre permutáveis

ab ab

a b 2.16

E: E œ : E E

Exemplo 2 Þ17. A não comutatividade do produto matricial acarreta a não validade de algumas manipulações algébricas que estamos habituados a fazer sobre escalares. Seguem-se alguns exemplos destas diferenças entre a manipulação de escalares e de matrizes: ç Em geral, a fórmula do binómio de Newton não é válida, isto é, para 7  # inteiro e EßF − Š 8ß8 , tem-se, geralmente:

a b "Š ‹ EF

7

7

Á

5œ!

Por exemplo, para Eœ

vem

Ô Õ

2

1 "

× Ø

a b

7 75 5 E F 5

# ! " e F œ $ " $

Ô Õ

$  1 # " # $ ! " "

2.17

× Ø

ÚÝÝ × aÝ b ÕÔ Ø ÛÝÝ Ô × a b ÝÜ Õ Ø % ! $ E  F œ "" % " * ! ( $ # ( # # E  #EF  F œ "! " % ## " "( #

Á EF

#

82

Matrizes [Cap. 2 Mas, para quaisquer matrizes EßF − Š 8ß8 será sempre, por exemplo,

a b â ba b ‰ a b a b EF EF

# $

œ E  F E  F œ E #  EF  FE  F # œ E#  EF  FE  F # E  F œ E$  E# F  EFE  EF #  FE#  FEF  F #E  F $

a b 2.18

ç Se Eß F − Š8ß8 são matrizes permutáveis e 7 − ! é um inteiro, então será válida a

fórmula do binómio de Newton (ver secção 11 do apêndice B):

a b "Š ‹

E e F são permutáveis Ê E  F

7

7

7 75 5 E F 5

œ

5œ!

a b 2.19

Por exemplo, seja E − ‘$ß$ a matriz já anteriormente referida e G o seguinte polinómio do 3º grau na matriz E

ab

$

#

G œ : E œ E  $E  E  #M $ œ

a b ÚÝÝ Ô Ýa b Õ ÛÝÝ ÝÜ

Ô Õ

" & " ) ( " " $ !

× Ø

Devido a 2.16 , E e G são permutáveis (verifique!) e, portanto, o binómio de Newton é aplicável a E e G ; por exemplo, para expoente 7 œ $, tem-se

× Ø

$#& &% "!) &% E  G œ &% $#& #(! ! "!( $#& &% "!) &% E$  $E# G  $EG #  G $ œ &% $#& #(! ! "!( $

Ô Õ

× a b Ø

œ E  G $

ç A fórmula da diferença de quadrados não é válida, isto é, para Eß F − Š8ß8, tem-se,

geralmente:

a ba b

E#  F # Á E  F E  F

a b 2.20

Por exemplo, e de novo para as matrizes E e F anteriores, vem

ÚÝÝ Ô Ý Õ ÛÝÝ Ô ÝÜ a ba b Õ

× Ø

* # * E  F œ ! " "# % $ * # ! " E  F E  F œ " # "( * # " #

#

Aqui, a fórmula que será sempre verificada é

× Ø

Á E#  F#

a ba b

E#  EF  FE  F # œ E  F E  F

a b 2.21

Sec. 2.5] Transposição e transconjugação

83

ç Se Eß F − Š8ß8 são matrizes permutáveis, será então válida a fórmula da diferença de

quadrados

a ba b

E e F são permutáveis Ê E#  F # œ E  F E  F

a b 2.22

O leitor pode verificar que, para as matrizes permutáveis E e G já referidas, virá

ÚÝÝ Ô Ý Õ ÛÝÝ ÝÜ a ba b ÕÔ

× Ø

$* $) # E  G œ '% "$ "% ") #' & $* $) # E  G E  G œ '% "$ "% ") #' & #

2.5

#

× Ø

œ E#  G #

Transposição e transconjugação

Vamos tratar agora de uma nova operação matricial que, ao contrário das anteriormente estudadas, é uma operação unária que transforma matrizes em novas matrizes e a que se chama transposição: Definição 2Þ6. – Transposição – Seja Š um corpo e 7ß 8 − . A Transposta de uma matriz E − Š7ß8 é a matriz ET − Š8ß7 (também designada por E > ou E w ), cujas linhas são as colunas de E (ou vice-versa, o que é, obviamente, equivalente). Sendo ET 43 o elemento da linha 4 e da coluna 3 de ET e E34 o elemento da linha 3 e da coluna 4 de E , tem-se, portanto,

ˆ ‰

ˆ ‰ ET

43

œ E34 ß 3 œ "ß #ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß 8

a b 2.23

A transposição satisfaz um certo número de propriedades muito simples que se resumem a seguir: Proposição 2Þ3. – Propriedades da transposição – Seja Š um corpo e 7ß 8ß : − . Para quaisquer matrizes Eß F − Š7ß8 , G − Š8ß: e qualquer escalar ! , tem-se: i) ii)

a a a a

ET

b

œE

E„F

iii) !E iv)

T

b b

T

b

T

œ ET „ F T

œ !ET

EG T œ G T E T

Demonstração: i)

Para qualquer 3 œ "ß # ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß 8 , virá :

Šˆ ‰ ‹ ˆ ‰ ET

T

34

œ ET

43

œ E34

84

Matrizes [Cap. 2 ii) Tem-se, para 3 œ "ß #ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß 8 :

â b ‰ a b E„F

T

43

œ E„F

34 œ

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ

E34 „ F34 œ ET

43

„ FT

43

œ ET „ F T

‰

43

iii) Neste caso e para 3 œ "ß #ß á ß 7 e 4 œ "ß # ß á ß 8, ficará

â b ‰ a b T

!E

43

œ !E

34 œ

ˆ ‰ ˆ ‰

!E34 œ ! E T

43

œ !ET

43

iv) Para 3 œ "ß #ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß : , tem-se:

â b ‰ a b " EG

8

T

43

œ EG

34 œ

"ˆ ‰ ˆ ‰ "ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 8

E35 G54 œ

5œ"

8

E

T

G

53

5œ"

T

45

GT

œ

5œ"

45

ET

53

œ G TET

43



Para qualquer matriz complexa E − ‚7ß8 , a matriz conjugada de E é designada por E − ‚7ß8 e é formada pelos complexos conjugados dos elementos de E :

ˆ‰ E

34

œ E34 à 3 œ "ß #ß á ß 7 e 4 œ "ß #ß á ß 8

a b 2.24

A seguinte proposição é consequência das propriedades do operador conjugação em ‚ e tem demonstração imediata (deixada ao cuidado do leitor): Proposição 2Þ4. – Propriedades da conjugação – Sejam 7ß 8ß : −  . Para quaisquer matrizes Eß F − ‚7ß8 , G − ‚8ß: e qualquer número complexo ! , tem-se: i)

EœE

ii) E „ F œ E „ F iii) !E œ ! E. Se ! − ‘, tem-se ! E œ !E . iv) Para qualquer matriz E − ‚7ß8 , tem-se E − ‘7ß8 Í E œ E . v) EG œ E G

A matriz transposta de E é chamada a transconjugada de E e designada por E‡ . Definição 2Þ7. – Transconjugação – Sejam 7ß 8 −  e E − ‚7ß8 uma matriz complexa. A transconjugada de E é a matriz E‡ definida por

ˆ‰

E‡ œ E

T

a b 2.25

As proposições 2Þ3 e 2Þ4 implicam imediatamente as seguintes propriedades para o operador transconjugação, cuja demonstração é óbvia (faça-a, a título de exercício!):


85

Proposição 2Þ5. – Propriedades da transconjugação – Sejam 7ß 8ß : −  . Para quaisquer matrizes Eß F − ‚7ß8 , G − ‚8ß: e qualquer número complexo ! , tem-se: i) ii)

a a a a

E‡

b b b b ‡

œE

E„F

‡

œ E‡ „ F ‡

a b

iii) !E ‡ œ !E‡ . Se ! − ‘, tem-se !E ‡ œ !E‡ . iv) Para qualquer matriz E − ‚7ß8 , tem-se E − ‘7ß8 Í E ‡ œ E T . v)

EG ‡ œ G ‡ E‡

De acordo com o seu comportamento perante os operadores transposição e transconjugação, definem-se vários tipos importantes de matrizes: as matrizes simétricas, as matrizes hemisimétricas (ou anti-simétricas), as matrizes hermitianas (ou hermíticas) e as matrizes hemi- (ou anti-) hermitianas (ou hermíticas). Seguem-se as definições:

c d

Definição 2Þ8. – Matriz simétrica – Seja 8 −  e E œ +34 − Š8ß8 uma matriz quadrada de ordem 8 sobre um corpo Š . A matriz E diz-se simétrica sse for invariante por transposição, isto é:

a b

E é simétrica Í E T œ E

2.26

(Observe que a igualdade anterior implica que a matriz E seja quadrada). Em termos dos elementos +34 de E, será:

a b 2.27

+34 œ +43 ß 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8

Os escalares +34 e +43 figuram na matriz E em posições simétricas relativamente à diagonal principal respectiva. O seguinte exemplo mostra uma matriz simétrica complexa: Exemplo 2 Þ18. A seguinte matriz E − ‚ $ß$ é simétrica: Eœ

Ô Õ

! "3 $3 "  3 #3 % $3 % "3

× Ø c d

Definição 2Þ9. – Matriz anti-simétrica – Seja 8 −  e E œ +34 − Š8ß8 uma matriz quadrada de ordem 8 sobre um corpo Š . A matriz E diz-se anti-simétrica (ou hemi-simétrica) sse a matriz transposta de E for igual à matriz E : E é anti-simétrica Í E T œ E

a b 2.28

(Observe que a igualdade anterior implica, uma vez mais, que a matriz E seja quadrada). Em termos dos elementos +34 de E , será: +34 œ +43 ß 3ß 4 œ "ß #ß áß 8

a b 2.29

86

Matrizes [Cap. 2

As igualdades anteriores implicam, em particular para os elementos da diagonal principal, que se tem +33 œ +33 . Se o corpo Š tiver característica diferente de 2, isto conduz a que +33 œ !. É o que acontece com os corpos , ‘ e ‚a6b . O seguinte exemplo mostra uma matriz real hemisimétrica: Exemplo 2 Þ19. A seguinte matriz E − ‘ $ß$ é hemi-simétrica: Eœ

Ô Õ

! " $ " ! % $ % !

e

× Ø

f

Exemplo 2 Þ20. Os conjuntos W œ EÀ ET œ E § Š8ß8 das matrizes simétricas de ordem 8 e L œ EÀ E T œ E § Š8ß8 das matrizes hemi-simétricas da mesma ordem constituem subespaços de Š8ß8 (isto é, são satisfeitos os requesitos S1-S3 do capítulo 1, facto cuja demonstração deixamos ao cuidado do leitor, como exercício).

e

f

Além disso, tem-se, para qualquer matriz E − Š 8ß8 ,

sendo que seguir:

Úˆ ˆ ÛÜ ˆ ˆ

" #

a

‰ ˆ ‰ a b ‰ Š ˆ ‰‹ a ‰ Š ˆ ‰‹ a

Eœ

b

" #

ˆ

E  ET 

E  ET é uma matriz simétrica e

" #

E  ET

" #

E  ET

‰‰ ˆ ‰‰ ˆ T

T

œ

" #

E  ET

œ

" #

E  ET

T

T

" #

" #

E  ET

E  E T é hemi-simétrica, como se mostra a

œ

" #

ET  ET

T

œ

" #

ET  ET

T

b ˆ ‰ b ˆ ˆ ‰‰

œ

" #

ET  E œ

" #

œ

" #

ET  E œ 

E  ET " #

E  ET

A igualdade anterior significa que o espaço Š8ß8 é soma dos seus subespaços W e L (ver definição 1.12): Š8ß8 œ W  L

e f a b

Além disso, se E − W  L , então ET œ E œ E , donde E œ E . Conclui-se que, se o corpo Š tiver característica diferente de 2, será E œ S8 e, obviamente, W  L œ S8 e o corolário 1.21.1 permite deduzir que Š8ß8 será soma directa de W e L : Š8ß8 œ W Š L

2.30

a b a b a b

Tem-se ainda, pela proposição 1.22 e atendendo a que dim Š8ß8 œ 8# ,



#

dimL œ 8 #8 œ #" 8 8  " # # dimW œ 8#  8 #8 œ 8 #8 œ #" 8 8  "

a b 2.31

c d

Definição 2Þ10. – Matriz hermitiana – Seja 8 −  e E œ +34 − ‚8ß8 uma matriz complexa quadrada de ordem 8 . A matriz E diz-se hermitiana (ou hermítica) sse for

6

Mas não com ™# , por exemplo. Aqui tem-se !  ! œ ! e também "  " œ !, o que mostra que ! œ ! e " œ ": Portanto, ! não é o único escalar simétrico de si mesmo.


87

invariante por transconjugação, isto é:

a b

E é hermitiana Í E‡ œ E

2.32

(Observe que a igualdade anterior implica que a matriz E seja quadrada). Em termos dos elementos de E , será:

a b 2.33

+34 œ +43 ß 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8

As igualdades anteriores implicam, para os elementos da diagonal principal, que se tem +33 œ +33 , o que é equivalente a +33 − ‘. O seguinte exemplo mostra uma matriz hermitiana: Exemplo 2 Þ21. A seguinte matriz E − ‚ $ß$ é hermitiana: Eœ

Ô Õ

# "  3 $3 "  3 $ % $3 % !

× Ø c d

Definição 2Þ11. – Matriz anti-hermitiana – Seja 8 −  e E œ +34 − ‚8ß8 uma matriz complexa quadrada de ordem 8 . A matriz E diz-se anti-hermitiana (ou anti-hermítica)a7b sse a sua transconjugada coincidir com a simétrica:

a b

E é anti-hermitiana Í E‡ œ E

2.34

(Observe que a igualdade anterior implica que a matriz seja quadrada). Em termos dos elementos de E , será:

a b 2.35

+34 œ +43 ß 3ß 4 œ "ß #ß áß 8

As igualdades anteriores implicam, para os elementos da diagonal principal, que se tem +33 œ +33 , o que é equivalente a +33 − 3‘ (conjunto dos imaginários puros). A seguir, exemplifica-se uma matriz anti-hermitiana: Exemplo 2 Þ22. A seguinte matriz E − ‚ $ß$ é anti-hermitiana: Eœ

Ô Õ

#3 "3 "  3 $3 $3 %

$3 % !

× Ø

Exemplo 2 Þ23. ‚8ß8 é, como se viu, um espaço vectorial de dimensão 8# sobre ‚ e, portanto, terá dimensão #8# sobre ‘ (ver exemplo 1.56).

e

f

e

f

Sejam ainda L œ EÀ E‡ œ E § ‚8ß8 e L w œ EÀ E‡ œ E § ‚8ß8 respectivamente os conjuntos das matrizes hermitianas e hemi-hermitianas de ordem 8. Estes conjuntos não constituem subespaços de ‚8ß8 , como espaço vectorial complexo, visto que a condição S2 – fecho em relação ao produto por escalar complexo – não se verifica, atendendo à 3ª alínea da proposição 2Þ5; no entanto, considerando ‚8ß8 um espaço vectorial real e atendendo àquela alínea, os conjuntos L e L w já são subespaços de ‚8ß8 (isto é, são satisfeitos os requesitos S1S3 do capítulo 1, facto cuja demonstração deixamos ao cuidado do leitor, como exercício). Além disso, tem-se, para qualquer matriz E − ‚ 8ß8 , 7

Usam-se também os termos hemi-hermitiana ou hemi-hermítica.

88

Matrizes [Cap. 2

sendo que a seguir:

" #

ˆ ˆ ˆˆ " # " #

a

b a a ‰‰ ˆˆ ˆˆ ‰‰ ‰‰ " #

Eœ

b

a

E  E‡ 

E  E‡ é uma matriz hermitiana e

E  E‡ E  E‡

‰‰‰‰ ˆˆ ‡ ‡

œ œ

" # " #

E  E‡ E  E‡

‡ ‡

œ œ

" # " #

" #

" #

E  E‡

b

b

E  E‡ é hemi-hermitiana, o que se prova

E‡  E‡ E‡  E‡

‡ ‡

œ œ

" # " #

aa

bb ˆˆ ˆ ‰ ‰‰

E ‡  E œ "# E  E ‡ E ‡  E œ  "# E  E ‡

A igualdade anterior significa que o espaço vectorial real ‚8ß8 é soma dos subespaços L e L w (ver definição 1.12): ‚8ß8 œ L  L w

e f

Além disso, se E − L  L w , então E‡ œ E œ E , donde E œ E , ou seja, E œ S8 e, obviamente, L  L w œ S8 e o corolário 1.21.1 permite deduzir que ‚8ß8 é soma directa de L e L w : ‚8ß8 œ L Š L w

a b 2.36

Quanto às dimensões de L e L w , tem-se (como exercício, encontre uma base de cada subespaço), 8#  8 œ 8# dim‘ L œ dim‘ L œ 8  # # w

a b 2.37

Observe-se que estes resultados estão de acordo com a proposição 1.22: #8# œ dim‘ ‚8ß8 œ dim‘L  dim‘L w œ 8 #  8 #

Para terminar esta secção, faremos referência a um operador matricial, chamado traço, que actua sobre matrizes quadradas e que passamos a definir, Definição 2Þ12. – Traço de uma matriz – Dada uma matriz E − Š 8ß8 quadrada de ordem 8, chama-se traço de E à soma dos elementos da diagonal principal de E

ab " 8

tr E œ

+33 − Š

3œ"

a b 2.38

As principais propriedades do operador traço resumem-se na Proposição 2Þ6. – Propriedades do traço – As principais propriedades do operador traço são: i)

Para quaisquer matrizes Eß F − Š 8ß8 , tem-se:

a b ab ab

tr E „ F œ tr E „ tr F

Sec. 2.6] Submatrizes. Matrizes de blocos. Operações por blocos

89

ii) Para qualquer escalar 5 − Š e qualquer matriz E − Š8ß8 , tem-se:

a b ab

tr 5E œ 5 tr E iii) Para qualquer matriz E − Š 8ß8 , vem:

a b ab

tr ET œ tr E

iv) Para quaisquer matrizes E − Š7ß8 e F − Š8ß7 e mesmo quando for EF Á FE , temse sempre:

a b a b

tr EF œ tr FE Demonstração: i)

cd

cd a b "a b " " a b a b cd a b "a b " a b

Sejam E œ +34 e F œ ,34 . Então 8

8

tr E „ F œ

8

+33 „ ,33 œ

3œ"

,33 œ tr E „ tr F

+33 „

3œ"

3œ"

ii) Sendo E œ +34 , obtém-se

8

8

tr 5E œ

+33 œ 5 tr E

5+33 œ 5

3œ"

3œ"

iii) Basta observar que E e ET têm diagonais principais iguais.

cd cd a b " a b ""

iv) Sejam E œ +34 e F œ ,45 . O resultado pretendido decorre das igualdades sucessivas 7

tr EF œ

7

EF

3œ"

33

8

œ

"" 8

+35 ,53 œ

3œ" 5œ"

"a b a b 8

,53 +35 œ

5œ" 3œ"

Na secção 2.16, mostramos o uso do software operações matriciais aqui estudadas.

2.6

7

FE

55

œ tr FE



5œ"

MATHEMATICA ©

para levar a cabo as

Submatrizes. Matrizes de blocos. Operações por blocos

c d c d ff c c dd

Considere-se uma matriz E − Š7ß8 e sejam : − "ß 7 e ; − "ß 8 dois inteiros. Sejam

ee

M œ 3" ß 3# ß á ß 3: § "ß 7 N œ 4" ß 4# ß á ß 4; § "ß 8

c d c d

a b 2.39

duas partes não vazias de "ß 7 e de "ß 8 respectivamente (supomos 3"  3#  â  3 : e 4"  4#  â  4; ). A matriz de tipo : ‚ ; sobre Š obtida de E tomando apenas os elementos das linhas com índices pertencentes a M e das colunas com índices pertencentes a N é chamada uma submatriz extraída de E de tipo : ‚ ; e será designada por uma das notações

c d ce

fe

E Mà N œ E 3" ß 3# ß á ß 3: ; 4" ß 4# ß á ß 4;

fd

− Š:ß;

a b 2.40

90

Matrizes [Cap. 2

ou mais abreviadamente por

c

d

E 3" ß 3# ß á ß 3: à 4" ß 4# ß á ß 4; − Š:ß;

a b 2.41

Nalgumas situações (como acontecerá no capítulo 4) é útil indicar os índices das filas eliminadas, ao invés de indicarmos as filas seleccionadas, como começámos por fazer. Neste sentido, se fizermos

cc dd ee

ff

M w œ "ß 7 Ï M œ < "ß < # ß á ß < 7: N w œ "ß 8 Ï N œ ="ß = #ß á ß = 8;

designaremos a submatriz extraída de E indicando as filas eliminadas por

a b a

b c d

E Mà N œ E 3" ß 3 # ß á ß 3: à 4" ß 4# ß á ß 4 ; œ E M w à N w − Š7:ß8;

a b 2.42

A convenção que faremos é, portanto, a de que: ç Para indicarmos as filas seleccionadas, usamos parêntesis rectos. ç Para indicarmos as filas eliminadas, usamos parêntesis curvos.

c d c d

A sintaxe anterior pode aplicar-se separadamente às linhas e às colunas de E e, sendo M e N partes não vazias de "ß 7 e "ß 8 respectivamente, temos as seguintes quatro alternativas de notação:

cMà N d œ Ec3 ß á ß 3 à 4 ß á ß 4 d − Š aMà N b œ Ea3 ß á ß 3 à 4 ß á ß 4 b − Š cMà N b œ c3 ß á ß 3 à 4 ß á ß 4 b − Š aMà N d œ Ea3 ß á ß 3 à 4 ß á ß 4 d − Š

E E E E

"

:

"

"

:

:

"

"

;

"

"

:

;

;

"

:ß;

7:ß8;

;

:ß8; 7:ß;

Indicação de linhas e colunas seleccionadas. Indicação de linhas e colunas eliminadas. Indicação de linhas seleccionadas e colunas eliminadas. Indicação de linhas eliminadas e colunas seleccionadas.

c d cd Š ‹ Š‹

É claro que, para : œ ; œ ", se terá E 3à 4 œ + 34 . O número de sequências nas condições 2.39 é de 7: e 8; , respectivamente. Portanto o número de submatrizes de tipo : ‚ ;

a b Š‹ Š‹ a b c d

existentes numa matriz de tipo 7 ‚ 8 é de

7 :

‚

8 ;

.

c d

Se os índices em 2.39 forem consecutivos (isto é, M e N são subintervalos de "ß 7 e de "ß 8 respectivamente), as submatrizes respectivas chamam-se blocos de tipo : ‚ ; . Portanto, um bloco de E é uma submatriz formada por filas consecutivas de E (mas não necessariamente obtida eliminando filas consecutivas); o número de blocos de tipo : ‚ ; existente numa matriz 7 ‚ 8 é de 7  :  " ‚ 8  ;  " .

a

b a

b

Exemplo 2 Þ24. Sendo Eœ

Ô Õ

# $ % ! " $ # % & " & $

× Ø

− ‘$ß%


91

tem-se, por exemplo,

c c

d a b c b a d ” d a b c b a d ”

•

$ ! − ‘#ß# " $ " $ # E #ß $à "ß #ß $ œ E "à % œ E #ß $ à % œ E "à "ß #ß $ œ − ‘#ß$ & " & E "ß $à #ß % œ E #à "ß $ œ E "ß $ à "ß $ œ E #à #ß % œ

•

A primeira submatriz (do tipo # ‚ #) não é um bloco de E, pois as filas lá representadas não são consecutivas; a 2ª destas submatrizes já constitui um bloco de E do tipo # ‚ $, constituído pelas linhas consecutivas # e $ e pelas colunas consecutivas "ß # e $. Sendo " Ÿ : Ÿ 7 e " Ÿ ; Ÿ 8 , é possível dividir uma matriz de tipo 7 ‚ 8 em : ‚ ; blocos, mediante a construção de uma fragmentação da matriz: uma fragmentação de E obtémse construindo partições dos conjuntos dos índices " ß # ß á ß 7 das linhas e dos índices "ß #ß á ß 8 das colunas em : e ; subconjuntos respectivamente, através de sequências crescentes de índices de linhas

e

e

f

f

# Ÿ 3"  3#  â  3 :" Ÿ 7

e de índices de colunas # Ÿ 4"  4#  â  4 ;" Ÿ 8

œ ee

ff ee

ff ee

ff

ee

"ß #ß á ß 7 œ "ß á ß 3"  "  3 "ß á ß 3#  "  â  3 :"ß á ß 7 "ß #ß á ß 8 œ "ß á ß 4"  "  4" ß á ß 4#  "  â  4 ;"ß á ß 8

a b

ff a b 2.43

"Ÿ<Ÿ: e a matriz E de blocos resultante As partições acima determinam : ‚ ; blocos E<= "Ÿ=Ÿ; escreve-se na forma

ÔÖ ÖÖÖ Õ

E"" E#" Eœ ã E:"

E"# E## ã E:#

â â ä â

E"; E#; ã E:;

×Ù ÙÙÙ Ø

a b 2.44

Assim, a matriz E é do tipo 7 ‚ 8, como matriz de escalares, mas é do tipo : ‚ ; , como matriz de blocos. Exemplo 2Þ25. A seguinte matriz real está fragmentada em # ‚ $ blocos

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

# " " $ $ # ! " " #

! # " # $

×Ù ÙÙÙ ÙÙ – Ø

$ " % ! E"" & " œ E#" ! $ % #

E"# E##

E"$ E#$

—

92

Matrizes [Cap. 2

em que

ÚÝÝ ÛÝÝ Ü

” • ”• ” • Ô × Ô × Ô × Õ Ø Õ Ø Õ Ø a b œ ee ff ee ff ee f ef f # " ! $ " ß E"# œ ß E"$ œ " $ # % ! $ # " & " $ œ ! " ß E## œ # ß E#$ œ ! " # $ % #

E"" œ E#"

Neste caso, a fragmentação apresentada corresponde às partições 2.43 seguintes: , para as linhas "ß #ß $ß %ß & œ "ß #  $ß %ß & "ß #ß $ß %ß & œ "ß #  $  %ß & , para as colunas

A matriz é quadrada de &ª ordem, como matriz real e é do tipo # ‚ $, como matriz de blocos.

a b

"Ÿ<Ÿ: uma família de : ‚ ; matrizes Reciprocamente, sejam :ß ; −  e E<= "Ÿ=Ÿ; sobre um corpo Š tais que, para cada " Ÿ < Ÿ : , todas as matrizes E <= "Ÿ=Ÿ; têm o mesmo número 7 < de linhas e, para cada " Ÿ = Ÿ ; , todas as matrizes E<= "Ÿ<Ÿ: têm o mesmo número 8= de colunas. Pode, então, construir-se uma matriz de blocos do tipo : ‚ ; que será designada por

c d E<=

"Ÿ<Ÿ: "Ÿ=Ÿ;

aa bb

e que, como matriz de escalares, será do tipo 7 ‚ 8, onde 7 œ

! :

7< e 8 œ

<œ"

! ;

8=.

=œ"

As operações matriciais podem ser realizadas por blocos. Como regra geral, podemos dizer que se aplicam às matrizes de blocos os mesmos procedimentos válidos para as matrizes de escalares. Tudo se passa como se as operações matriciais que atrás definimos fossem, afinal, aplicadas a blocos do tipo " ‚ ". Vejamos, uma a uma, as operações matriciais:

a b

ç Adição por blocos: sejam :ß ; −  e E<=

a b

e F<= "Ÿ<Ÿ: duas famílias de matrizes "Ÿ=Ÿ; sobre um corpo Š tais que, para cada " Ÿ < Ÿ : , todas as matrizes E <= "Ÿ=Ÿ; e F <= "Ÿ=Ÿ; têm o mesmo número 7< de linhas e, para cada " Ÿ = Ÿ ; , todas as matrizes E <= "Ÿ<Ÿ: e F<= "Ÿ<Ÿ: têm o mesmo número 8= de colunas. A soma (respectivamente, a diferença) das matrizes de blocos E œ E<= "Ÿ<Ÿ: e F œ F<= "Ÿ<Ÿ: é a nova matriz de blocos E „ F que se "Ÿ=Ÿ; "Ÿ=Ÿ; obtém somando (ou subtraindo) os blocos homólogos de cada uma delas:

a b ÔE ÖÖE ÖÖ ã ÕE

c d

""

E"#

â

E";

#"

E##

â

E#;

ã

ä

ã

E:#

â

E:;

:"

× ÔF ÙÙ ÖÖF ÙÙ „ ÖÖ ã Ø ÕF

a b

aa bb

c d

""

F"#

â

F";

#"

F##

â

F#;

ã

ä

ã

F:#

â

F:;

:"

"Ÿ<Ÿ: "Ÿ=Ÿ;

× ÔE ÙÙ ÖÖE ÙÙ œ ÖÖ Ø ÕE

× ÙÙ ÙÙ Ø

""

„ F ""

E"# „ F "#

â

E "; „ F ";

#"

„ F#"

E## „ F##

â

E#; „ F#;

ã

ä

ã

E:# „ F:#

â

E:; „ F:;

:"

ã „ F:"

a b a b a b c d

a b 2.45

ç Multiplicação de escalar por matriz de blocos: sejam :ß ; −  e E<= "Ÿ<Ÿ: uma família de "Ÿ=Ÿ;

matrizes sobre um corpo Š tal que, para cada " Ÿ < Ÿ : , todas as matrizes E <= "Ÿ=Ÿ; têm o mesmo número 7< de linhas e, para cada " Ÿ = Ÿ ; , todas as matrizes E <= "Ÿ<Ÿ: têm o mesmo número 8= de colunas. Sendo ! − Š, o produto de ! pela matriz E de blocos E œ E<= "Ÿ<Ÿ: ,é "Ÿ=Ÿ;


93

a matriz obtida multiplicando por ! cada um dos blocos E<=

ÔÖ ÖÖÖ Õ

E"" E#" ! ã E:"

E"# E## ã E:#

â â ä â

×Ù ÙÙÙ Ø

ÔÖ ÖÖÖ Õ

!E"" E"; !E#" E#; œ ã ã !E:" E:;

!E"#

â â ä â

!E##

ã !E:#

a b

!E"; !E#;

ã !E:;

×Ù ÙÙÙ Ø

a b 2.46

ç Transposição de matrizes por blocos: sejam :ß ; −  e E<= "Ÿ<Ÿ: uma família de matrizes

aa bb

"Ÿ=Ÿ;

sobre um corpo Š tal que, para cada " Ÿ < Ÿ : , todas as matrizes E <= "Ÿ=Ÿ; têm o mesmo número 7< de linhas e, para cada " Ÿ = Ÿ ; , todas as matrizes E <= "Ÿ<Ÿ: têm o mesmo número 8= de colunas. A transposta da matriz E œ E<= "Ÿ<Ÿ: de blocos é a matriz que se obtém "Ÿ=Ÿ; transpondo cada bloco E<= e ainda transpondo E como se de uma matriz de escalares se tratasse

c d

ÔÖ ÖÖÖ Õ

×Ù ÙÙÙ Ø

T

E"" E#" ã E:"

E"# E## ã E:#

â â ä â

E"; E#; ã E:;

œ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÕ

T E""

T E#"

â

T E:"

T E"#

T E##

â

T E:#

ã T E";

ã T E#;

ä â

ã T E:;

×Ù ÙÙÙ ÙØ

a b 2.47

a b a b aa b b a b c d

ç Produto de matrizes por blocos: sejam :ß ;ß ? −  e E<=

duas famílias e F=> "Ÿ=Ÿ; "Ÿ>Ÿ? de matrizes sobre um corpo Š tais que, para cada " Ÿ < Ÿ : , todas as matrizes E <= "Ÿ=Ÿ; têm o mesmo número 7< de linhas e, para cada " Ÿ = Ÿ ; , todas as matrizes E <= "Ÿ<Ÿ: têm o mesmo número 8= de colunas. Suponha-se ainda que, para cada " Ÿ = Ÿ ; , todas as matrizes F=> "Ÿ>Ÿ? têm 8= linhas e que, para cada " Ÿ > Ÿ ? , todas as matrizes F => "Ÿ=Ÿ; têm o mesmo número B> de colunas. Portanto, as matrizes E<= são do tipo 7 < ‚ 8= e as matrizes F => são do tipo 8= ‚ B> . O produto da matriz de blocos E œ E<= "Ÿ<Ÿ: pela matriz de blocos "Ÿ=Ÿ; F œ F=> "Ÿ=Ÿ; é a nova matriz de : ‚ ? blocos G œ G <> "Ÿ<Ÿ: , em que "Ÿ>Ÿ? "Ÿ>Ÿ?

a b c d

c d

"

"Ÿ<Ÿ: "Ÿ=Ÿ;

a b

;

G<> œ

E<= F=> e onde G<> é matriz 7< ‚ B >

2.48

=œ"

As igualdades matriciais anteriores podem escrever-se na forma

Ô !E F Ö × ÖÖ ÙÙ ÖÖ !E F ÙÙ œ ÖÖ Ø ÖÖÖ ã Õ !E F ;

ÔE ÖÖE ÖÖ ã ÕE

""

E"#

â

E";

#"

E##

â

E#;

:"

ã

ä

ã

E:#

â

E:;

×ÔF ÙÖ F ÙÖ ÙÖ ÙÖ ã ØÕF

"=

""

F"#

â

F"?

#"

F##

â

F#?

;"

ã

ä

ã

F;#

â

F;?

="

;

"= F=#

=œ"

=œ"

;

;

#=

="

=œ"

;

:=

=œ"

="

;

!E

â

!E

"= F=?

=œ" ;

!E

â

ã

ä

ã

â

!E

#= F=#

=œ"

;

:= F=#

=œ"

#= F=?

=œ"

;

!E

!E

:= F=?

=œ"

× ÙÙ ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù Ø

a b 2.49

Na secção 2.16, refere-se a utilização do software blocos, através do package ALGA`Matrizes`.

MATHEMATICA©

para tratar matrizes por

94

Matrizes [Cap. 2

2.7

Característica de uma matriz

Nesta secção, vamos ver que, em qualquer matriz de tipo 7 ‚ 8 (eventualmente rectangular) sobre um corpo Š, o subespaço de Š8 gerado pelas linhas e o subespaço de Š7 gerado pelas colunas têm a mesma dimensão. Essa dimensão comum é um atributo importante da matriz a que chamaremos a respectiva característica.

c d b b a

Proposição 2Þ7. Seja E œ +34 − Š7ß8 uma matriz do tipo 7 ‚ 8 sobre um corpo Š , com linhas
a a

b

a

b

Demonstração: Seja Eœ

e sejam

ÔÖ Ö Õ

+"" +#" ã +7"

a

b

+"# +## ã +7"

â +"8 â +#8 ä ã â +78

a ba

×Ù Ù Ø

a

b

a b b a b ab

as 7 linhas de E. Suponha-se que dimP
a

b ab

a

b

=t" œ = "" ß ="# ß á ß ="8 ß á ß =t# œ =#" ß =## ß á ß =#8 ß á ß =t< œ = <" ß =<# ß á ß =<8

Então, cada uma das linhas
ÚÝÝ ÝÝ ÛÝÝ ÝÝ Ü

"Ÿ3Ÿ7

de E é combinação linear (única) dos =t5

! ! !

"Ÿ5Ÿ<

<

? "5 =t 5

5œ" <

? #5 =t 5

5œ"

<

5œ"

?75 =t5

onde os ?35 são escalares únicos. As 7 igualdades vectoriais em Š8 anteriores equivalem às 7 ‚ 8 igualdades escalares, válidas para cada 4 œ "ß #ß á ß 8,

ÚÝÝ ÝÝ ÛÝÝ ÝÝ Ü

+"4 œ ?"" ="4  ?"# =#4  â  ?"< =<4 œ +#4 œ ?#" ="4  ?## =#4  â  ?#< =<4 œ â

! ! ! <

?"5 =54

?#5 =54

5œ" < 5œ"

+74 œ ?7" ="4  ?7# =#4  â  ?7< =<4 œ

<

5œ"

?75 =5 4

Sec. 2.7] Característica de uma matriz

95

Mas as igualdades escalares anteriores equivalem também às seguintes 8 igualdades vectoriais (no espaço Š7 ), para 4 œ "ß #ß á ß 8, -t4 œ

ÔÖ ÖÕ

×Ù ÙØ

ÔÖ ÖÕ

+"4 ?"" +#4 ?#" œ ="4 ã ã ?7" +74

×Ù ÙØ

 =#4

ÔÖ ÖÕ

?"# ?## ã ?7#

×Ù ÙØ

 â  =<4

ÔÖ ÖÕ

?"< ?#< ã ?7<

×Ù ÙØ

as quais mostram que as colunas -t4 de E são combinação linear dos < vectores de Š7

ÔÖ ÖÕ

?t" œ

×Ù ÙØ

?"" ?#" ß ?t# œ ã ?7"

Portanto, pode concluir-se que

a b a

ÔÖ ÖÕ

×Ù ÙØ

?"# ?## ß á ß ?t< œ ã ?7#

b a

ÔÖ ÖÕ

P -t" ß t-# ß á ß -t8 § P ?t"ß ?t #ß á ß ?t<

A inclusão anterior implica

a

a

?"< ?#< ã ?7<

×Ù ÙØ

b

b a

a b

dimP -t" ß t-# ß á ß -t8 Ÿ dimP ?t" ß ?t# ß á ß ?t< Ÿ < œ dimP
b

dimP -t" ß t-# ß á ß -t8 Ÿ dimP
b

Repetindo o argumento anterior em relação a ET e atendendo a que as linhas de ET são as colunas de E e vice-versa, conclui-se que será também

a a

b b

a a

dimP
b b



A proposição anterior permite-nos pôr a seguinte Definição 2Þ13. – Característica de uma matriz – Sejam 7ß 8 −  e E − Š7ß8 uma matriz de tipo 7 ‚ 8 sobre um corpo Š . Chama-se característica de E à dimensão do subespaço gerado pelas linhas (ou colunas) de E a qual será designada por c E .

ab

Da definição anterior resultam imediatamente algumas propriedades que se resumem na Proposição 2Þ8. – Propriedades da característica – Seja E − Š 7ß8 uma matriz de tipo 7 ‚ 8 sobre um corpo Š. Então: i)

a b ab a b ab

c S7ß8 œ ! e c M8 œ 8

ii) c ET œ c E .

96

Matrizes [Cap. 2

ef a b a b ab e f a b e a b a bf

iii) Se ! − Š Ï ! , então c !E œ c E . iv) c E Ÿ min 7ß 8 .

v) Se F − Š8ß: for uma matriz de tipo 8 ‚ : sobre Š , tem-se c EF Ÿ min c E ß c F

vi) A característica de E é invariante, por operações elementares executadas sobre as filas de E. vii) Se E é uma matriz escalonada, a sua característica é igual ao número de linhas não nulas nela existentes. Demonstração: i)

bf e f a b ef

O subespaço gerado pela linhas é

ea

!ß ! ß á ß !

œ 9t . Portanto,

c S7ß8 œ dim 9t œ !

Por outro lado, as linhas de M 8 constituem a base canónica de Š8 e o subespaço por elas gerado é o próprio Š8 : portanto,

ab a b

c M8 œ dim Š8 œ 8 ii) É consequência imediata da proposição 2Þ7. iii) Basta observar que as linhas de !E se obtêm das linhas de E por operações elementares do tipo 2 (com ! Á !); deste modo, a proposição 1.18 garante que os subespaços de Š8 gerados pelas linhas de !E e de E são iguais, o mesmo acontecendo, portanto, às características respectivas (que são as dimensões daqueles subespaços).

a aa b e b f

b a ab b a a cd

bb

iv) Como E tem 7 linhas
cd

v) Fragmentando E nas suas 8 colunas -t4 "Ÿ4Ÿ8 e F nos seus 8 ‚ : elementos ,45 "Ÿ4Ÿ8 e "Ÿ5Ÿ: calculando o produto EF por blocos, resulta a matriz Y œ EF œ ?t 5 "Ÿ5Ÿ: fragmentada também nas suas : colunas ?t5 onde

cd

" 8

?t5 œ

,45 -t4 à 5 œ "ß áß :

4œ"

As : igualdades vectoriais anteriores (em Š7 ) significam que as colunas de EF são combinação linear das colunas de E e que, portanto,

a

b a

b a b ab

P ?t" ß ?t# ß á ß ?t: § P -t" ß t-# ß á ß -t8 Ê c EF Ÿ c E

Raciocinando em termos das transpostas e recorrendo a ii), à proposição 2Þ3.iv e à desigualdade anterior (aplicada a F T ET ), tem-se

a b â b ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ a b

c EF œ c EF

T

œ c F TE T Ÿ c F T œ c F

Sec. 2.8] Algoritmo de condensação vertical

97

a b a b a b a b a b e a b a bf

Portanto, é simultaneamente c EF Ÿ c E e c EF Ÿ c F , o que implica a desigualdade desejada: c EF Ÿ min c E ß c F . vi) Observe-se que, pela proposição 1.18, uma operação elementar executada sobre as linhas de uma matriz E − Š7ß8 não altera o subespaço vectorial Z § Š8 gerado por elas, nem a dependência ou independência linear das referidas linhas; portanto, a dimensão de Z , que é a característica de E, também não se altera. Obviamente que idêntico raciocínio vale também para as colunas de E. Portanto: A característica de E − Š7ß8 é invariante por operações elementares sobre as filas de E vii) Se E é escalonada, as linhas nulas que eventualmente ocorram (na parte inferior de E) podem ser retiradas da lista das linhas, que isso não alterará o subespaço Z § Š 8 gerado pela referida lista (as linhas nulas são combinação linear das anteriores – lema 1.13.2) e o corolário 1.11.1 garante que as linhas não nulas restantes são linearmente independentes: conclui-se daqui que a característica de uma matriz escalonada é igual ao número de linhas não nulas nela existentes:

ab

E − Š 7ß8 é escalonada Ê c E é o número de linhas de E não nulas.

2.8



Algoritmo de condensação vertical

O problema de calcular a característica de uma matriz E dada é muito importante em álgebra linear e ele pode ser resolvido através de um algoritmo, baseado nas operações elementares sobre listas de vectores (ver proposição 1.18) os quais, no caso vertente, são as linhas (ou as colunas) da matriz E e conhecido por algoritmo de condensação vertical (se as operações incidem sobre linhas) ou algoritmo de condensação horizontal (se as operações incidem sobre as colunas de E). O algoritmo tem, como veremos, as mais variadas aplicações, para além do cálculo da característica de uma matriz: resolução de sistemas de equações lineares, inversão de matrizes, cálculo de determinantes, etc; ele resolve também o problema vectorial típico de calcular uma base e a dimensão do subespaço gerado por uma lista de vectores dada, determinando ainda se esta é ou não linearmente independente. O algoritmo de condensação vertical baseia-se nas alíneas vi) e vii) da proposição 2Þ8 e visa, por meio de uma sequência adequada de operações elementares sobre as linhas, transformar qualquer matriz E − Š7ß8 numa matriz I escalonada, sendo que este processo não altera a característica de E

ab ab

c E œ c I œ número de linhas não nulas de I

O referido algoritmo de condensação vertical pode ser informalmente delineado nos termos seguintes: 1. Procurar um elemento não nulo na matriz E , fazendo esta busca por colunas da esquerda para a direita e de cima para baixo. Se não foi encontrado nenhum elemento diferente de zero, tem-se E œ S7ß8 e o algoritmo terminou com característica igual a !. Se foi encontrado um elemento não nulo, ele pertencerá a uma certa linha 3 e a uma coluna 5 , ou seja, será +35 Á ! e a característica será, pelo menos, " . 2. Trocar a linha 3 onde ocorreu o elemento +35 anteriormente referido com a primeira linha (operação elementar do tipo 1).

98

Matrizes [Cap. 2 " 3. Observe-se que, neste ponto, será +"5 Á ! ; multiplique-se a primeira linha por +"5 , obtendo-se +"5 œ " (operação elementar do tipo 2); este elemento é chamado o 1º redutor ou 1º pivot do algoritmo.

4. Para todas as linhas P3 a partir da segunda (inclusivé), substituam-se as linhas pela diferença entre cada uma delas e o produto de +35 pela primeira linha (operação do tipo 3): isto é, P3 será substituída por P3  +35 P" . Atendendo a que +"5 œ " , isto fará com que o elemento +35 seja substituído por +35  +35 † +"5 œ +35  +35 † " œ ! .

a

b

5. Repetir os todos os passos anteriores, para o bloco E "à "ß #ß á ß 5 − Š7"ß85 obtido de E eliminando a primeira linha e as primeiras 5 colunas, se este não for vazio; caso contrário, o algoritmo terminou.

cd

Apresentamos, a seguir, o algoritmo de condensação vertical de um modo mais formal, para transformar uma matriz E œ +34 − Š7ß8 noutra matriz I escalonada e, em simultâneo, calcular a característica < de E: os dados de entrada são a matriz E œ +34 . As saídas são a característica < de E e a matriz escalonada F . As convenções de notação feitas na versão em pseudo-código abaixo mostrada são:

cd

.................................. Afectação entre escalares (ou vectores de Š8 ).

=

aik

.............................. Escalar: elemento da linha i e coluna k da matriz E.

Linhai v

...................... Vector de Š8 constituído pela linha i da matriz E.

Ç w......................... Troca dos vectores v e w de Š8 entre si.

• ................................ Conjunção.

....................Comentário.

% Texto

Segue-se o algoritmo: m=#Linhas(a); n=#Colunas(a); r=0; k=0; b=a; Enquanto r  m • k  n

Ô % Busca do Pivot: ÖÖ Fazer ÖÖ Ô k=k+1; ÖÖ Ö i=r; ÖÖ ÖÖ Fazer ÖÖ ÖÖ i=i+1 ÖÖ Õ ÖÖ Enquanto b œ 0 • i  m ÖÖ Enquanto b œ 0 • k  n; ÖÖ Se b Á 0 então ÖÖ Ô % Redução da coluna k de b: ÖÖ Ö r=r+1à ÖÖ ÖÖ Se i Á r então Linha Ç Linha à ÖÖ ÖÖ Linha =Linha /b à ÖÖ ÖÖ Para i=r+1 até m ÖÖ Ö Linha =Linha -b *Linha Ö Õ FimPara Õ FimSe; ik

ik

ik

i

r

r

i

Saída: {r, b} FimEnquanto

r

rk

i

ik

r

% bik é pivot?

% Op. de tipo 1 % Op. de tipo 2 % Op. de tipo 3

Sec. 2.8] Algoritmo de condensação vertical

99

Na secção 2.16, apresenta-se uma implementação do algoritmo anterior utilizando o software MATHEMATICA : trata-se da função Caracteristica definida no package chamado ALGA`Matrizes`. ©

Quando se faz manualmente a condensação de uma matriz, raramente se segue rigorosamente o algoritmo anterior. Algumas modificações do algoritmo incluem: No passo 3 do algoritmo esboçado na pág. 98 deste capítulo, não se divide a primeira ç linha pelo pivot (forçando o pivot a ser igual a " ). Deste modo, se a referida linha for constituída por inteiros, não aparecerão fracções nos outros elementos da linha, o que complicará os cálculos subsequentes. ç

No passo 4, em vez de fazermos operações do tipo 3 para anular os elementos por baixo do pivot, fazemos operações do tipo 4: para 3 œ #ß á ß 7 , substitui-se P3 por +"5 P3  +35 P" o que conduz a substituir +35 por +"5 +35  +35 +"5 œ ! , como se pretendia.

ç

No passo 1, escolher, sempre que possível, um elemento igual a " (e não apenas diferente de zero), pois isso possibilitará a utilização de operações do tipo 3 (e não do tipo 4) para reduzir a zero os elementos debaixo do pivot.

ç

Observe-se que, se o objectivo é apenas o cálculo da característica de E , podemos fazer, ao longo do processo, operações sobre linhas e também sobre colunas.

ç

Ao programar o algoritmo e com vista a minimizar os erros de arredondamento típicos do uso da representação de vírgula flutuante para implementar os números reais, usa-se para pivot o elemento de maior valor absoluto da primeira coluna da matriz na qual este elemento se não anule.

Vamos agora apresentar alguns exemplos de utilização do algoritmo de condensação vertical: Exemplo 2 Þ26. Calcule-se a característica da seguinte matriz E − ‘ &ß% , usando condensação:

Eœ

ÔÖ ÖÖÖ Õ

# " $ ! $ " # " & # $ # # ! ) " " " "! %

×Ù ÙÙÙ Ø

Tem-se, executando as operações elementares indicadas e indicando dentro de rectângulos os pivots utilizados,

ÔÖ ÖÖÖ Õ

# " $ ! $ " # " & # $ # # ! ) " " " "! %

×Ù ÙÙÙ Ø

P" ÇP&

ÔÖ ÖÖÖ Õ

 →

" " "! % $ " # " & # $ # # ! ) " # " $ !

×Ù ÙÙÙ Ø

P#ÄP #$P" P$ ÄP$&P"

→

P%ÄP %#P " P& ÄP& #P"

ÔÖ ÖÖÖ Õ

" " "! % ! # $# "$ ! $ %( ") ! # #) ( ! " "( )

×Ù ÙÙÙ Ø

100

Matrizes [Cap. 2

P# ÇP&

ÔÖ ÖÖÖ Õ

 →

P$ Ä " # P$ P% Ä " $ P%

 →

P& ÄP&

" " ! " ! $ ! # ! # " " ! " ! ! ! ! ! !

ÔÖ ÖÖÖ Õ

"! % "( ) %( ") #) ( $# "$ "! % "( ) # $ # $ # $

×Ù ÙÙÙ Ø ×Ù ÙÙÙ Ø

P$ ÄP$$P# P% ÄP% #P#

→

P& ÄP&#P#

P%ÄP%P$

ÔÖ ÖÖÖ Õ ÔÖ ÖÖÖ Õ

" " "! ! " "( ! ! % ! ! ' ! ! #

  →

P&ÄP&P$

% ) ' * $

×Ù ÙÙÙ Ø

" " "! % ! " "( ) ! ! # $ ! ! ! ! ! ! ! !

×Ù ÙÙÙ Ø

Como existem 3 linhas não nulas na matriz escalonada final, a característica da matriz E (tal como a de todas as matrizes que ocorreram ao longo do algoritmo) é 3, visto ser esta a dimensão do subespaço de ‘% gerado pelas suas 5 linhas (as quais são linearmente dependentes o que era, aliás, óbvio visto tratar-se de 5 vectores do espaço cartesiano ‘% cuja dimensão é 4); uma base deste subespaço é formada pelas 3 primeiras linhas da matriz escalonada obtida.

2.9

Sistemas de equações lineares. Princípios de equivalência

Nesta secção, aborda-se uma importante aplicação da teoria das matrizes e do algoritmo de condensação: a discussão e resolução de sistemas de equações lineares num corpo Š qualquer. Consideraremos sistemas com qualquer número 7 −  de equações e qualquer número 8 −  de incógnitas e com coeficientes e incógnitas pertencentes a um certo corpo Š. A chamada forma canónica de um tal sistema será

ÚÝ ÛÝ Ü

+"" B"  +"# B#  â  +"8B 8 œ ," +#" B"  +## B#  â  +#8B 8 œ ,# , em que â â +7" B"  +7# B#  â  +78 B8 œ ,7

œ

+34 ß B4 ß ,3 − Š 3 œ "ß á ß 7à 4 œ "ß á ß 8

a b 2.50

ou ainda,

" 8

+34 B4 œ ,3 , onde 3 œ "ß á ß 7

4œ"

a b 2.50

A forma canónica caracteriza-se, pois, por: ç Estão no 1º membro todos os termos contendo as incógnitas (os termos +34 B4 ). ç Os termos independentes de incógnitas estão no 2º membro (os termos ,3 ). ç A ordem das incógnitas é a mesma em todas as equações, embora seja arbitrária.

a b

Se os segundos membros das equações 2.50 forem todos nulos, o sistema diz-se homogéneo, dizendo-se também homogénea cada equação do sistema. Poremos, agora, duas definições importantes

Sec. 2.9] Sistemas de equações lineares. Princípios de equivalência

101

a b

Definição 2Þ14. – Solução de um sistema – Chama-se solução do sistema 2.50 a qualquer vector

a

b

Bt œ B" ß B # ß á ß B8 − Š8

a b

tal que se verifiquem em simultâneo as 7 igualdades 2.50 . O conjunto W das soluções do sistema é o subconjunto de Š8 que resulta da intersecção dos subconjuntos de Š8 constituídos pelas soluções de cada equação isoladamente; sendo W3 o conjunto das soluções da 3 -ésima equação 2.50 , será portanto,

a b

+ œa 7

Wœ

3œ"

W3 œ

W 3

b " 8

B " ß B # ß á ß B8 À

+34 B4 œ ,3

4œ"



8

§Š

a b 2.51

Definição 2Þ15. – Sistemas equivalentes – Diremos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes, sse o conjunto W das soluções é o mesmo para os dois sistemas. Isto implica imediatamente que o número 8 de incógnitas tem de ser igual em ambos sistemas, mas não necessariamente o número 7 de equações, como se ilustra facilmente com o exemplo seguinte: se uma das equações (a equação de ordem 5 ), tiver +54 œ ,5 œ ! (ou seja, a 5 -ésima equação é !B"  !B#  â  !B8 œ ! ), então será W 5 œ Š8 . Como Š8 é o elemento neutro da intersecção 2.51 , podemos eliminar W5 œ Š8 daquela intersecção sem alterar o conjunto W , isto é, podemos eliminar a 5-ésima equação do sistema, obtendo-se, assim, um novo sistema (de 7  " equações) equivalente ao primeiro.

a b

Note-se ainda que, se a equação 5 do sistema for da forma !B"  !B#  â  !B 8 œ , 5 Á ! ,

a b

será W5 œ g e, como g é elemento absorvente para a intersecção 2.51 , virá W œ g: o sistema não terá qualquer solução (dizendo-se que é impossível , incoerente ou incompatível). Existem 3 tipos de transformações que podem ser feitas sobre um sistema de equações lineares e que não alteram o conjunto W das suas soluções: essas transformações constam dos chamados princípios de equivalência dos sistemas: Proposição 2Þ9 – Princípios de equivalência – Cada uma das seguintes operações, quando executadas sobre um sistema de equações 2.50 , não altera o conjunto W das soluções definido por 2.51 , resultando, portanto, num sistema equivalente ao primeiro:

a b

i)

a b

Troca entre si de duas equações do sistema.

ii) Multiplicação de ambos os membros de uma das equações por um escalar não nulo. iii) Substituição de uma das equações pela que dela se obtém, somando-a membro a membro com outra das equações multiplicada por qualquer escalar.

102

Matrizes [Cap. 2

Demonstração:

a b

Considerem-se o sistema 1 dado por 2.50 e o sistema 2 obtido após execução de cada uma das operações referidas e designem-se por W3" e W3# os conjuntos de soluções da 3-ésima equação daqueles dois sistemas e por W " e W # os conjuntos das soluções dos mesmos: i)

a b

Resulta imediatamente da comutatividade e associatividade da intersecção 2.51 .

ef

ii) Tem-se, neste caso e sendo " Ÿ 5 Ÿ 7 e ! − Š Ï ! ,

b! › b !a b ›

ša ša

W5" œ

8

B" ß B# ß á ß B8 À

W5# œ


+54B 4 œ ,5

4œ" 8 4œ"

!+54 B4 œ !, 5

As implicações

a

b

" 8

B " ß B # ß á ß B8 −

W5"

Ê

"a b

a

8

+54 B4 œ ,5 Ê

4œ"

b

!+54 B4 œ !,5 Ê B "ß B #ß á ß B8 − W 5#

4œ"

mostram que W5" § W5# . Reciprocamente, se ! Á !, existe !" e tem-se:

a

b

B" ß B# ß á ß B8 −

"a b

Ê

!

!+54 B4 œ !,5 Ê

4œ"

8

"

"a b " 8

W5#

a

8

"

!+54 B4 œ !

4œ"

b

+54 B4 œ ,5 Ê B" ß B# ß á ß B8 − W 5"

!,5 Ê

4œ"

o que mostra que W5# § W5" e que, portanto, W5" œ W5# . W é, portanto, igual em ambos os sistemas.

a b

iii) Sejam " Ÿ 3 Á 4 Ÿ 7 e considere-se o sistema 2 que resulta de 2.50 , substituindo a equação 3 pela sua soma com o produto de um escalar " pela equação 4. Comecemos por observar que os conjuntos das soluções de ambos os sistemas se pode decompor da forma seguinte

ˆ ˆ

‰ ‰

W " œ W3"  W4 "  W # œ W3#  W4 # 

+

Œ+  Œ+  W5"

5Á3ß4

W5#

5Á3ß4

+

Como só a 3ª equação será distinta em ambos sistemas, será W5" œ W5# , para 5 Á 3 e, portanto W5" œ W 5# . 5Á3ß4

5Á3ß4

a b

Bastará, agora, provar que W3"  W4" œ W3#  W 4# ; tem-se, para o sistema 1 2.50 ,

ÚÝ ša ÛÝ ša Ü

b! b! 8

W3" œ


W4 " œ


5œ" 8 5œ"

› ›

+35 B5 œ ,3 § Š8 +45 B5 œ ,4 § Š8

Sec. 2.10] Formas matricial e vectorial de um sistema e, para o segundo sistema, vem:

ÚÝ ša ÛÝ ša Ü W3# W4#

œ

œ

b !a b b! › 8


W4 "

œ

b

W3"

103

5œ"

›

+35  "+45 B5 œ ,3  ",4 § Š8 8


+45 B5 œ ,4 § Š8

5œ"

As implicações

a " "a

B " ß B # ß á ß B8 − 8

5œ" 8



" 8

+35 B5 œ ,3 •

b

" " "a b " a 8

W4 "

Ê

8

+35 B5 œ ,3 •

5œ"

5œ"

8

+45 B5 œ ,4 •

5œ"

"+45 B5 œ " , 4 Ê

5œ" 8

b

+45 B5 œ ,4 Ê B" ß B# ß á ß B8 − W 3#  W 4 #

+35  " +45 B5 œ ,3  " ,4 •

5œ"

+45B 5 œ , 4 Ê

5œ"

mostram que W3"  W "4 § W3#  W4# . Por outro lado, usando o mesmo raciocínio, mas com " em 2 2 1 vez de " , conclui-se que W3  W4 § W3  W41 e que, portanto, W3"  W4" œ W3#  W4# .  Com base no que vimos anteriormente, podemos ainda observar que, a estes 3 princípios de equivalência, podemos juntar uma 4ª operação que conduz a um sistema equivalente (mas com 7  " equações): a que nos permite retirar do sistema qualquer equação do tipo !B"  !B#  â  !B8 œ ! .

a b œ

É costume classificarem-se os sistemas 2.50 , consoante a cardinalidade do conjunto W § Š 8 das suas soluções, do modo seguinte

Ú ÛÜ

Determinado (#W œ ") Indeterminado (#W  ") Sistema Impossível (W œ g) Possível (W Á g)

2.10 Formas matricial e vectorial de um sistema

a b

Vamos, agora, ver que as 7 equações simultâneas 2.50 equivalem a uma única igualdade matricial e ainda a uma igualdade vectorial; estas igualdades constituem a forma matricial do sistema e a sua forma vectorial. Para tal, introduzam-se a matriz dos coeficientes ou matriz simples do sistema E œ +34 − Š7ß8 , a matriz-coluna ou vector-coluna das incógnitas \ œ B" B# â B8 T e a matriz-coluna ou vector-coluna dos termos independentes F œ ," ,# â ,7 T . Usando estas matrizes, facilmente se reconhece que as 7 igualdades simultâneas 2.50 equivalem à igualdade matricial única

c d cc dd a b

E\ œ F

a b a b 2.52

A igualdade anterior constitui a forma matricial do sistema de equações, que tem 2.50 por forma canónica. Nesta forma, é evidente que cada \ satisfazendo a igualdade anterior constitui uma solução do sistema. É ainda útil introduzir-se a matriz completa ou ampliada do sistema Ew œ E F − Š7ß8" .

 ‘

104

Matrizes [Cap. 2

Dado um sistema E\ œ F , diz-se que o sistema E\ œ S (com idêntica matriz dos coeficientes E) é o sistema homogéneo associado a E\ œ F ; este sistema homogéneo tem, portanto, os mesmos coeficientes +34 das incógnitas, mas termos independentes ,3 nulos. Fragmentando a matriz E nas suas 8 colunas E" ß E# ß á ß E8 e a matriz \ nas suas 8 linhas (que são, afinal, as incógnitas B4 ), obtém-se

a b 2.53.1

B" E"  B # E#  â  B 8 E8 œ F

ou, mais abreviadamente,

"

a b

8

2.53.2

B4 E4 œ F

4œ"

É claro que poderíamos usar a notação vectorial, designando-se as colunas de E por +t" ß +t# ß áß +t8 e F por t,, vindo então

" 8

a b

B4+t4 œ ,t

2.53.3

4œ"

a ba b

Qualquer das igualdades 2.53 é uma igualdade vectorial em Š7 que traduz o facto de ser F combinação linear das colunas E4 "Ÿ4Ÿ8 da matriz E. Qualquer das igualdades vectoriais 2.53 é designada por forma vectorial do sistema 2.50 e esta forma é a chave para a resolução das duas principais questões que se põem relativamente ao sistema:

a b

a b

ç Qual a condição necessária e suficiente para que o sistema seja possível? ç Verificando-se a condição anterior, em que condições será o sistema determinado?

A seguinte proposição responde às duas questões anteriores: Proposição 2Þ10. – Teorema da existência e da unicidade – Considere-se um sistema de 7 equações lineares a 8 incógnitas, E\ œ F , com matriz completa E w e sejam < œ c E e = œ c E w . Então:

ab

ab

i)

O sistema é possível sse = œ < .

ii) O sistema é determinado sse, além de = œ < , é ainda < œ 8 . Demonstração: i) Comecemos por observar que, como Ew tem apenas mais uma coluna do que E, a sua característica = só poderá ser igual a < ou a <  ". A questão da existência de solução para o sistema pode ter uma formulação vectorial, graças a 2.53 : o sistema é possível sse o vector F pertencer ao subespaço de Š7 gerado pela lista E œ E" ß E# ß á ß E8 de vectores de Š7 e, pelo que vimos no capítulo 1, isso acontece sse P E" ß E# ß á ß E8 œ P E" ß E# ß á ß E8 ß F ou seja, sse = œ <.

a b a b

a

a

aab

b

b b a

b

ii) Supondo que = œ <, ter-se-á F − P E"ß E#ß á ß E8 e o sistema será determinado sse os escalares B4 em 2.53 forem únicos. Para que isso aconteça, a proposição 1.8 mostra que deverá a lista E" ß E# ß á ß E8 das colunas de E ser linearmente independente (ou seja, deverá

Sec. 2.11] Algoritmo de Gauss-Jordan

105

a

b

esta lista constituir uma base de P E" ß E# ß á ß E8 ), pelo que a característica < de E deverá ser igual a 8.  Observações: ç A proposição 2Þ8.iv mostra que é sempre < Ÿ 8 e, quando um sistema for possível (= œ <), a diferença 8  <  ! é chamada o grau de indeterminação do sistema. Se este for igual a ", diremos que o sistema é simplesmente indeterminado; quando for igual a #, diremos

que é duplamente indeterminado e assim sucessivamente. Um sistema é, pois, determinado sse = œ <, ou seja, sse o seu grau de indeterminação 8  < for igual a !. ç Podemos, agora, precisar melhor a classificação dos sistemas feita anteriormente

Sistema

Ú ÛÜ

œ

< œ 8 Ê Determinado (#W œ " ). <  8 Ê Indeterminado de grau 8  <  ! (#W  " ). = œ <  " Ê Impossível (W œ g ). = œ < Ê Possível (W Á g )

ç Suponha-se que a característica < de E é igual ao número de equações 7; neste caso, é necessariamente = œ 7, visto que E w tem também 7 linhas e não pode ter característica 7  ": o sistema é, portanto, possível , para todo o F − Š 7 . Outra forma de obter este resultado é observar que, quando < œ 7, fica P E" ß E# ß á ß E8 œ Š7 , o que leva a que todo o F − Š7 seja combinação linear dos E" ß E# ß á ß E8 .

a b

a

b

ç Pelo que acabámos de ver, <  7 é condição necessária (mas não suficiente) para que um

sistema seja impossível . ç Note-se ainda que se for 7  8 (número de incógnitas superior ao de equações), ter-se-á concerteza <  8 e isto significa que o sistema não pode ser determinado (só poderá ser

impossível ou indeterminado).

ç Tudo o que acima foi dito pode ser usado para obter uma formulação alternativa da

discussão de um sistema:

ÚÝÝ < œ 7 Ê = œ 7 Ê Ý Ú= œ < Ê ÛÝ ÝÝ <  7 Ê ÛÜ = œ <" Ê Ü

œ << œ 88 ÊÊ <œ8Ê WÁgœ <8Ê

Determinado (#W œ "). Indeterminado de grau 8  <  ! (#W  ").

Possível (W Á g)

Sistema

Possível (

)

Determinado (#W œ "). Indeterminado de grau 8  <  ! (#W  ").

Impossível (W œ g).

2.11 Algoritmo de Gauss-Jordan Observando que existe um perfeito paralelismo entre os princípios de equivalência dos sistemas e as 3 operações elementares referidas na proposição 1.18, vemos que, aplicando estas às linhas (e só às linhas) da matriz completa Ew , obtém-se a matriz completa de um novo sistema que será equivalente ao primeiro. Observe-se que a única operação admitida sobre colunas é a troca de colunas da matriz E, a qual corresponde à reordenação das incógnitas nas equações 2.50 , devendo, no final, ter-se essa reordenação em conta. Se usarmos o algoritmo de condensação anteriormente referido, poderemos discutir e posteriormente resolver qualquer sistema de equações lineares dado; tal é a base do algoritmo de Gauss-Jordan para a resolução de sistemas de equações lineares:

a b

106

Matrizes [Cap. 2

ç Quando a matriz completa Ew estiver na forma escalonada, o mesmo se passa com a matriz E dos coeficientes e ficaremos a conhecer as características = e <, assim como se o sistema é ou

não possível.

ç Sendo o sistema possível e comparando < com 8, saberemos se a solução é única. ç Após levar a matriz completa Ew à forma escalonada, usam-se os < pivots já determinados para, com operações do tipo 3 ou 4, anularmos os elementos da matriz E situados nas < colunas dos pivots e acima destes, após o que poderemos trocar as colunas de E por forma a fazer com que as colunas contendo os pivots ocupem as primeiras < posições em E (isso equivale a alterar

a ordem das incógnitas, o que deverá ser levado em conta, aquando da obtenção das soluções). Dividindo, se necessário, cada linha 3 (entre " e <) por +33, obtém-se a matriz completa E w de um sistema equivalente ao sistema dado e contendo, nas suas primeiras < filas, a matriz identidade de ordem <, como se indica a seguir Ew œ

”

M<

S7<ß<

G<ß8< S7<ß8<

F<ß" H7<ß"

•

As primeiras < incógnitas (correspondentes às colunas de M < ) são chamadas incógnitas principais e, se o sistema for possível e determinado, todas as incógnitas são principais; as restantes 8  < incógnitas (correspondentes às colunas de G<ß8< ) são chamadas incógnitas secundárias ou livres (em número igual ao grau de indeterminação do sistema). Note-se que não existem, quando o sistema for determinado (8  < œ !). Podem, então, acontecer 3 casos: 1. H7<ß" Á S7<ß" : neste caso, será = œ <  " e o sistema será impossível . 2. H7<ß" œ S7<ß" : neste caso, será = œ < e o sistema será possível . Poderão agora acontecer duas situações: 2.1. < œ 8 (sistema determinado): neste caso, as matrizes G<ß8< e S 7<ß8< não existem, não havendo incógnitas secundárias e ficando apenas Ew œ

”

M8

S78ß8

F8ß" S78ß"

•

A solução do sistema será, obviamente, \ œ F8ß" . 2.2. <  8 (sistema indeterminado de grau 8  <  !): neste caso, existem < incógnitas principais e 8  < incógnitas secundárias, cujos valores ficam arbitrários. A matriz completa é Ew œ

M<

S7<ß<

G<ß8< S7<ß8<

F<ß" S7<ß"

•

\ < , onde \< é matriz-coluna contendo as < incógnitas principais e \ 8< é outra matriz-coluna contendo as 8  < incógnitas secundárias, o produto E\ realizado

Fragmentando \ em \8<

” •

”


107

por blocos dá E\ œ

”

M<

S7<ß<

G<ß8< S7<ß8<

•” • ”

• ” •

\<  G <ß8<\ 8< F <ß" \ < œ œ \8< S 7<ß" S 7<ß"

Da igualdade anterior, segue-se que \<  G<ß8<\8< œ F <ß"

donde, \< œ F<ß"  G<ß8<\ 8<

Por fim, obtêm-se as soluções do sistema de equações lineares E\ œ F , em função das 8  < incógnitas secundárias, contidas em \8< . \œ

” • ” ”

F<ß"  G<ß8<\ 8< \ < œ \ 8< \ 8<

•

• ” • ”

•

F<ß"  G<ß8< \8< F <ß" G <ß8< œ œ  \8< S8<ß"  M8< \8< S 8<ß" M 8<

a b 2.54

As 8  < incógnitas secundárias presentes em \8< ficam arbitrárias, tomando, cada uma delas, qualquer valor do corpo Š: ç Se Š for infinito, haverá uma infinidade de soluções para o sistema (o conjunto W será infinito); se 8  < œ ", diz-se que há uma infinidade simples de soluções; se 8  < œ #, diz-se

que há uma dupla infinidade de soluções e assim por diante. ç Se o corpo Š for finito, então será também finito o número de soluções do sistema, tendo-

se

a b

# W œ #Š

a b

a b

8<

2.55

Na última das igualdades 2.54 , vemos que a solução geral \ de E\ œ F é soma de \! œ

” • F<ß" S8<ß"

(que é uma solução particular do sistema – exactamente aquela que se obtém, fazendo \8< œ S) com ] œ

”

•

G <ß8< \ 8< M 8<

a

b

é vector-coluna que é a solução geral do sistema homogéneo associado E\ œ S e onde \8< contendo as 8  < incógnitas secundárias B3" ß B3# ß á ß B38< . É claro que, se o desejarmos, podemos substituir as 8  < incógnitas secundárias por outros tantos parâmetros escalares arbitrários >5 "Ÿ5Ÿ8< .

ab

108

Matrizes [Cap. 2

Fragmentando a matriz

”

•

G <ß8< − Š8ß8< nas suas 8  < colunas ]" ß ]# ß á ß ]8< , M 8<

”

• 

G <ß8< œ ]" M 8<

]#

â ]8<

‘

e fragmentando também \8< nas suas 8  < linhas (os parâmetros >5 œ B35 ), obtém-se

"

a b

8<

\ œ \! 

2.56

>5 ]5

5œ"

Vemos, agora, que as soluções de E\ œ S formam o conjunto W! œ

œ

"

 a a

8<

]À] œ

b

>5 ]5 • >5 − Š œ P ] "ß ] #ß á ß ] 8< § Š8

5œ"

b

W! é, portanto, o subespaço de Š8 gerado por ]" ß ]# ß á ß ]8< e estes são linearmente independentes formando, pois, uma base de W ! ; então:

dimW! œ 8  <

a b 2.57

O facto de que o conjunto W! das soluções de um sistema homogéneo E\ œ S constitui sempre (ao contrário do que acontece com o conjunto das soluções de um sistema não homogéneo) um subespaço vectorial de Š8 pode ser provado directamente, atendendo às condições S1, S2 e S3 mencionadas no capítulo 1: ç Condição S1:

É claro que um sistema homogéneo tem sempre, pelo menos, a solução \ œ S, portanto S − W ! ç Condição S2: \ß \ w − W! Ê E\ œ S • E\ w œ S Ê E\  E\ w œ S  S Ê E \  \ w œ S Ê \  \ w − W !

a

ç Condição S3:

b

a b

a b

! − Š • \ − W! Ê ! − Š • E\ œ S Ê ! E\ œ !S Ê E !\ œ S Ê !\ − W !

a b

Também a decomposição 2.56 pode ser deduzida de uma forma directa, como mostra a proposição seguinte que estabelece a relação entre as soluções de E\ œ F e de E\ œ S: Proposição 2Þ11. – Relação entre as soluções de E\ œ F e E\ œ S – Sejam E − Š 7ß8 e F − Š7ß" matrizes dadas e considere-se o sistema de 7 equações e 8 incógnitas E\ œ F , com \ matriz das incógnitas e o respectivo sistema homogéneo associado E\ œ S . Sempre que o sistema E\ œ F seja possível, a sua solução geral \ obtém-se de uma solução particular \! , somando-lhe a solução geral ] do sistema homogéneo associado E\ œ S .


109

Demonstração: Sejam W e W!a8b os conjuntos de soluções de E\ œ F e de E\ œ S, respectivamente, e fixemos uma solução \! − W qualquer de E\ œ F (solução particular). Comecemos por provar que a soma de \! com qualquer solução ] − W! de E\ œ S dá-nos ainda uma solução de E\ œ F :

a

b

\! − W • ] − W! Ê E\! œ F • E] œ S Ê E\ !  E] œ F  S Ê E \!  ] œ F Ê \!  ] − W Porém, todas as soluções de E\ œ F são desta forma, visto que, sendo \ qualquer solução de E\ œ F , se tem

a a b ðóñóò

b

\ − W • \! − W Ê E\ œ F • E\ ! œ F Ê E\  E\ ! œ F  F Ê E \  \! œ S Ê \  \ ! − W !

Mas, como \ œ \!  \  \ ! , conclui-se que a solução \ é, de facto, soma da solução −W !

particular \! com uma solução (que é \  \! œ ] ) de E\ œ S .



Da proposição anterior, segue-se que, para qualquer \! − W , se tem: Wœ

œ a

\À b \ œ \ !  ] • ] − W ! ]

b

a b 2.58

Podemos, pois, afirmar que o conjunto W resulta de fazer uma translação de W ! , definida pelo vector \ ! (ver esquema na figura 2.1). n

K

0 0

Fig. 2.1 – Relação entre as soluções dos sistemas E\ œ F e E\ œ S .

Se o sistema E\ œ F é real, com 2 incógnitas e possível, então: ç Se é determinado, W! œ

ea bf e f !ß !

e W œ \! são conjuntos singulares.

ç Se é simplesmente indeterminado, W! e W são duas rectas paralelas em que W! passa pela

origem (ver figura 2.2).

ç Se é duplamente indeterminado, então W! œ W œ ‘# (situação só possível com E œ S e F œ S).

8

W! e W são respectivamente um subespaço de Š8 e uma variedade linear (ver capítulo 7) de dimensão 8  <.

110

Matrizes [Cap. 2

0

0

Fig. 2.2 – Caso de um sistema simplesmente indeterminado.

Se o sistema E\ œ F é real, com 3 incógnitas e possível, então: ç Se é determinado, W! œ

ea bf e f !ß !ß !

e W œ \! são conjuntos singulares.

ç Se é simplesmente indeterminado, W! e W são duas rectas paralelas em que W! passa pela


ç Se é duplamente indeterminado, W! e W são dois planos paralelos em que W! passa pela


ç Se é triplamente indeterminado, então W! œ W œ ‘$ (situação só possível com E œ S e F œ S).

0

0

Fig. 2.3 – Caso de um sistema duplamente indeterminado.

A seguir, apresenta-se formalmente, o algoritmo de Gauss-Jordan, para a resolução de um sistema de 7 equações a 8 incógnitas, numa versão em pseudo-código e, na secção 2.16, apresenta-se a implementação na linguagem do software MATHEMATICA constituindo a função GaussJordan. O algoritmo tem como entradas a matriz +34 dos coeficientes e o vector ,3 dos termos independentes e, como saída, uma solução particular =: 4 "Ÿ4Ÿ8 do sistema e os vectores =254 "Ÿ5Ÿ8< de uma base do espaço das soluções do sistema homogéneo associado; valem as "Ÿ4Ÿ8 convenções tipográficas feitas na pág. 98 do presente capítulo: ©

a b

a b


111

m=#Linhas(a); n=#Colunas(a); s=0; r=0; k=0; c=[a,b];

% Matriz completa

Para k=1 até n pivk=False

% pivk=True sse kª incógnita é principal

FimPara; Enquanto s  m • k  n+1

ÔÖ % Busca do Pivot: ÖÖ Fazer ÖÖ Ô k=k+1; ÖÖ ÖÖ i=s; ÖÖ ÖÖ Fazer ÖÖ Ö i=i+1 ÖÖ Õ Enquanto c œ 0 • i  m ÖÖ Enquanto c œ 0 • k  n+1; ÖÖ Se c Á 0 então ÖÖ % Redução da coluna k de c: ÖÖ Ô s=s+1; ÖÖ ÖÖ Se k Ÿ n então ÖÖ ÖÖ r=r+1; ÖÖ ÖÖ piv =True ÖÖ ÖÖ ÖÖ ÖÖ FimSe; ÖÖ ÖÖ Se i Á s então Linha Ç Linha ; ÖÖ ÖÖ Linha =Linha /c ; ÖÖ ÖÖ Para i=1 até m ÖÖ Õ Se i Á s então Linha =Linha -c FimPara Õ FimSe ik

ik

% c ik é pivot?

ik

k

i

s

s

% Op. de tipo 1 % Op. de tipo 2

s

sk

i

i

*Linha s

ik

FimEnquanto; % Discussão da solução e saída de resultados: Se s Á r então Saída: Sistema impossível Senão % Solução particular sp: Para k=1 até n

spk =0

FimPara; i=0; Para k=1 até n Se piv k œ True então

i=i+1; spk œ ci,n+1

FimSe

FimPara; % Solução sh do sistema homogéneo associado: Para i=1 até n-r Para k=1 até n

shik=0 FimPara

FimPara; t=0; Para s=1 até n Se piv s œ False então

t=t+1;

i=0; Para k=1 até n Se pivk œ True então

i=i+1; shtk =-cis Senão shts =1

% Op. de tipo 3

112

FimSe

Matrizes [Cap. 2 FimPara

FimSe

FimPara; Saída: {sp, sh} FimSe

Observações:

ç O algoritmo de eliminação Gauss-Jordan conduz a um grande número de operações de

divisão/multiplicação e de subtracção. Para obtermos uma estimativa do número de operações necessárias à resolução de um sistema, consideremos a aplicação do método a um sistema de 8 equações e 8 incógnitas e convencionando considerar a multiplicação e subtração incluídas nas operações de tipo 3 como uma operação única (o equivale a contar apenas as operações de multiplicação/divisão); Para a condensação da matriz completa E F , teremos:

 ‘

– Considerando o 1º pivot +"" Á !, para anular o elemento +3" da linha 3 e 1ª coluna teremos que fazer fazer a operaç operação ão P3 Ä P3  ++"3"" P" de tipo tipo 3 e isto isto traduztraduz-se se por " divisão divisão ( ++"3"" ) e ainda ainda 8 operações de multiplicação/subtracção (correspondentes aos 8  " elementos +34 da linha 3, com "  4 Ÿ 8 e ao termo independente , 3 ), o que perfaz um total de "  8  "  " œ 8  " operações. Para anular todos os elementos +3" para 3  ", faremos portanto 8  " 8  " œ 8 #  " operações. Para os pivots seguintes, o número de operações irá sempre diminuindo, de modo que, para se obter uma matriz em escada, será necessário um total X " de operações dado por

a b

a ba b 8

X"

œ " ˆ5 5 œ"

8 #

8

 "‰ œ " 5

#

5 œ"

" " "  " " œ 8a 8  "ba #8  "b  8 œ 8ˆ 8  "‰a #8  &b ¸ 8

$

5 œ"

'

'

$

Para valores de 8 grandes, 8$ Î$ será uma boa estimativa do número de operações necessárias à obtenção da matriz escalonada (dizemos que o número de operações é da ordem de 8$ Î$). – A fase de retro-substituição requer uma operação (divisão) para a incógnita B8 , duas para B8" , três para B8$ e assim por diante. O total X # de operações nesta fase será de

"

a b

8

X# œ

" 5 œ 8 8" # 5œ"

– Do que vimos nos pontos anteriores, o total geral X de operações conducentes à resolução de um sistema de 8 equações e 8 incógnitas é portanto de X œ X"  X# œ

" '

ˆ

a b ˆ

‰a#8  &b  " 8 8  "

8 8"

#

‰

" " œ 8 8 #  $8  " ¸ 8 $ $ $

Para valores elevados elevados de 8, o número de operações necessárias à resolução de um sistema de 8 equações lineares e 8 incógnitas é, pois, da ordem de 8$Î$. ç O algoritmo é muito sensível à propagação de erros de truncatura nos cálculos, podendo

facilmente conduzir a soluções completamente erradas, para determinadas matrizes “malcondicionadas”. A situação de instabilidade nos cálculos ocorre em particular quando os pivots têm um valor pequeno (em módulo); para evitar pivots pequenos, uma possível estratégia


1 13

chamada escolha parcial de pivotsa9b consiste em escolher o elemento de maior valor absoluto na coluna relevante para pivot (em vez do primeiro não nulo dessa coluna, como fizémos) à custa de uma troca de linhas (operação de tipo 1); um aperfeiçoamento adicional deste método é a chamada escolha total de pivotsa10b , na qual se escolhe para pivot o elemento de maior valor absoluto considerando também as colunas de E à direita da coluna relevante e fazendo uma troca de colunas – e de linhas – para levar o pivot à posição corrente em consideração (reordenação das incógnitas e operação de tipo 1). Exempl Exemplo o 2Þ27. Considere-se o sistema de % equações

ÚÝ ÝÜÛ

B  #C  #D $B  #C  D #B  &C  $D B  %C  'D

Condensemos a matriz completa do sistema:

ÔÖ ÖÕ

" $ Ew œ # " " # ! " ! * ! )

ÔÖ Ö Õ

# # & % # # " (

# # " & $ % ' ! # " " Ä ) "

×Ù Ù Ø

×Ù ÙØ ÔÖ Ö Õ

Ä " ! ! !

ÔÖ ÖÕ

" # # ! ) ( ! * " ! # % # # # " # " ! " ( " ( ! * *

×Ù Ù Ø

lineares a $ incógnitas reais

œ# œ& œ % % œ!

×Ù ÙØ ÔÖ Ö Õ

# " ) # Ä

" ! ! !

Ä

ÔÖ ÖÕ

# " ! !

" ! ! ! # # " "

# ) * " # " " "

# # ( " " ) # " " ! Ä ! !

×Ù Ù Ø

ÔÖ Ö Õ

×Ù ÙØ # " ! !

Ä # # # " " " ! !

×Ù Ù Ø

Neste caso, é = œ < œ 8 œ $ e, portanto, port anto, o sistema é possível e determinado. A última linha nula pode ser retirada da matriz, obtendo-se a matriz completa de um sistema equivalente ao dado e, para determinar a única solução existente, basta transformar a matriz dos coeficientes (quadrada de $ª ordem) na matriz identidade

Ô Õ

" # # # ! " # " ! ! " "

× Ô Ø Õ Ä

× Ô Ø Õ ea bf

" # ! % ! " ! " ! ! " "

O conjunto das soluções do sistema é, pois, W œ

" ! ! # Ä ! " ! " ! ! " "

#ß "ß " ß " " .

Exempl Exemplo o 2Þ28. Vejamos, agora, o sistema em ‘

Ú ÛÜ

9

Em inglês, partial pivoting pivoting .

10

Em inglês, total pivoting .

B  &C  %D  "$A œ $ $B  C  # D  & A œ # #B  #C  $D  %A œ "

× Ø

114

Ô Õ

Matrizes [Cap. 2

Procedendo como anteriormente, obtém-se

× Ô Ø Õ

" & % "$ $ $ " # & # Ä # # $ % "

" & % "$ $ ! "' "! %% ( ! ) & ## # # &

× Ô Ø Õ

" & % "$ $ Ä ! "' "! %% ( ! ! ! ! $

× Ø

Tem-se, neste caso, = œ $ e < œ # e, então, o sistema não tem qualquer solução (sistema impossível ), ), sendo W œ g. Exempl Exemplo o 2Þ29. Seja, agora, o sistema real

Ú ÛÜ

B  # C  $D  # A œ # #B  &C  )D  'A œ & $B  %C  &D  #A œ %

Partindo, de novo, da matriz completa e condensando, vem

Ô Õ

× Ô Ø Õ

" # $ # # # & ) ' & Ä $ % & # %

" # $ # # ! " # # " ! # % % #

× Ô Ø Õ

" # $ # # Ä ! " # # " ! ! ! ! !

× Ø

Agora, será = œ < œ # e 8 œ % ; consequentemente, o sistema é possível e duplamente indeterminado (8  < œ %  # œ #). As incógnitas principais são as que correspondem às colunas onde ocorreram os pivots, ou seja, são B e C; as incógnitas secundárias são as restantes D e A. De novo, a última linha pode ser eliminada, obtendo-se a matriz completa de um sistema equivalente ao sistema inicial e, para obter a solução geral do sistema (que já sabemos ter uma dupla infinidade de soluções), basta transformar a matriz de #ª ordem formada pelas duas colunas das incógnitas principais na matriz identidade M # :

” Tem-se, portanto

• ”

" # $ # # " ! " # ! Ä ! " # # " ! " # # "

ÚÝ ÝÜÛ

B œ D D  #A C œ "  #D  # A , em que DßA − ‘ D œD AœA

O conjunto W das soluções do sistema dado é, portanto, Wœ œ Exempl Exemplo o 2Þ30.

estão definidas por

eeaa

•

b b a b a a b

fb

D  #Aß "  #D  #Aß D ß A À D ß A − ‘ !ß "ß " ß !ß !ß !  D "ß #ß #ß "ß " ß !  A #ß #  #ß !ß ! ß " À D ß A − ‘ § ‘%

f

Considere-se o corpo ™& ß ß ‚ dos inteiros módulo &, onde as operações

Sec. 2.11] Algoritmo de Gauss-Jordan  ! " # $ %

! ! " # $ %

" " # $ % !

# # $ % ! "

$ $ % ! " #

1 15 % % ! " # $

‚ ! " # $ %

! ! ! ! ! !

" ! " # $ %

# ! # % " $

$ ! $ " % #

% ! % $ # "

Tendo em atenção estas tabelas, podemos construir a tabela dos simétricos e inversos: B ! " # $ %

B ! % $ # "

B"  " $ # %

Determinemos as soluções do sistema de equações lineares nas incógnitas Bß Cß D − ™ & :

Ú ÛÜ

B  #C  #D œ $ $C  %D %D œ" $B  $C  #D œ $

Procedendo como nos exemplos anteriores e atendendo às tabelas anteriores para as operações em ™& , vem

Ô Õ

× Ô Ø Õ

" # # $ ! $ % " Ä $ $ # $

" $ # $ ! $ " " $ $ $ $

× Ô Ø Õ

" $ # $ Ä ! $ " " ! % # %

× Ô Ø Õ

" $ # $ Ä ! $ " " ! ! # $

× Ø

Aqui, é = œ < œ 8 œ $ e o sistema é possível e determinado. Vamos, agora, obter a solução do sistema, observando que #" œ $ e %" œ % ,

Ô Õ

" $ # $ ! $ " " ! ! # $

× Ô Ø Õ Ä

" $ ! ! ! % ! " ! ! # $

a b Ú ÛÜ

× Ô Ø Õ

" ! ! $ Ä ! % ! " ! ! # $

A solução do sistema é, portanto, $ß%ß% Þ Exempl Exemplo o 2Þ31. Considere, de novo em ™& , o sistema

%B  $C  $D œ " #B  %C  $D œ !  B  # C  $D œ $

× Ô Ø Õ

" ! ! $ Ä ! " ! % ! ! " %

× Ø

116

Matrizes [Cap. 2

Tem-se, agora,

Ô Õ

× Ô Ø Õ

% $ $ " # % $ ! Ä " # $ $ $

" $ # % # " $ ! % # # $

× Ô Ø Õ

" $ # % Ä ! ! % # ! ! % #

× Ô Ø Õ

" $ # % Ä ! ! % # ! ! ! !

× Ø

O sistema tem = œ < œ # e 8 œ $, sendo possível e simplesmente indeterminado. Para obter as soluções, continuamos a condensação, eliminando a última linha e trocando entre si a segunda e a terceira coluna (nova ordem para as incógnitas: BßDßC),

”

• ”

• ”

" # $ % $ ! % % " ! $ $ Ä Ä ! % ! # ! % ! # ! " ! $

•

As incógnitas principais são B e D e a incógnita secundária é C. A matriz completa obtida permite escrever a solução geral do sistema:

Ú ÛÜ

B œ $  $C œ $  #C C œC , onde C − ™& D œ$

e

af b

O conjunto W das soluções do sistema tem, portanto, & elementos (ver equação 2.55 ), obtidos da solução geral anterior fazendo C tomar todos os valores de ™& œ !ß "ß #ß $ß % : Wœ

ea b a b a b a b a bf Ú ÛÜ a b $ß !ß ! ß $ ß !ß " ß $ ß #ß # ß $ ß %ß $ß $ ß $ ß "ß % ß $

Exempl Exemplo o 2Þ32. Consideremos

o sistema real seguinte, onde + e , são parâmetros reais B  +C +C  +D +D œ" B  +  , C D œ + ,B  +,C  ,D œ + # ,

Como os coeficientes do sistema dependem dos parâmetros +ß, − ‘ , destes dependerá igualmente a natureza do sistema. Analisemos a situação:

Ô Õ

" + + " +, " , +, ,

× Ô Ø Õ

" " + + Ä ! , +# , ! !

× a b a bØ + "+ "+ ,

" +" +#  " ,

O seguinte esquema resume os casos possíveis e mostra que o sistema nunca é impossível:

ÚÝ œ ÝÜÛ œ

+ œ " Ê = œ < œ " • 8 œ $ Ê sistema duplamente indeterminado. + Á " Ê = œ < œ # • 8 œ $ Ê sistema simplesmente indeterminado. + œ " Ê = œ < œ # • 8 œ $ Ê sistema simplesmente indeterminado. ,Á! + Á " Ê = œ < œ $ • 8 œ $ Ê sistema determinado. ,œ!

Sistema

Vamos resolver o sistema nos quatro casos anteriores:


1 17

ç Para + œ " • , œ !, vem, tomando B para incógnita principal,

Ú ÛÜ

B œ " C  D C œC , em que Cß D − ‘ D œD

Isto permite obter a solução geral na forma vectorial:

a b a b a b a b a b aa bb a b a ba b

Bß Cß Cß D œ "  C  D ß Cß Cß D œ "ß !ß !ß !  C "ß "ß "ß !  D "ß !ß !ß " , em que Cß D − ‘

"ß !ß ! é uma solução particular do sistema dado (é a que se obtém, fazendo C œ D œ ! ) e C " "ß "ß !  D " "ß !ß " é a solução geral do sistema homogéneo associado ao sistema inicial, " ß ! e "ß !ß ! ß " os quais formam uma base a qual constitui o subespaço de ‘$ gerado por "ß "ß deste subespaço, que terá dimensão # (igual ao grau de indeterminação). ç Para + Á " • , œ !, eliminando a terceira linha (nula) e trocando entre si a segunda e terceira coluna (ordem das incógnitas: BßDßC), vem

”

• ” • ”

" + + " Ä ! ! "+ +" " + + " " Ä Ä ! " ! " !

”

" + + " ! "+ ! +" ! + +" " ! "

•

•

Ä

As variáveis principais são B e D e a solução geral é

Ú ÛÜ

B œ +  "  +C CœC , em que C − ‘ D œ " "

A solução geral na forma vectorial é

a b a aa b b

b a

b a

b

Bß Cß Cß D œ +  "  +C + Cß Cß Cß " " œ +  "ß " ß !ß !ß " "  C +ß "ß "ß ! , em que C − ‘

+  "ß !ß " é uma solução particular do sistema dado (é a que se obtém, fazendo C œ !) e C +ß"ß! é a solução geral do sistema homogéneo associado ao sistema dado, a qual constitui o subespaço de ‘$ gerado por +ß"ß! sendo este vector uma base deste subespaço, que terá dimensão " (igual ao grau de indeterminação).

a

b

ç Para + œ " • , Á !, eliminando a última linha (nula), vem

”

• ”

" " " " , ! , , Ä ! , ! ! ! , ! !

• ” Ä

As variáveis principais são B e C e a solução geral é

Ú ÛÜ

Bœ"D C œ! , em que D − ‘ D œD

" ! " " ! " ! "

•

118

Matrizes [Cap. 2

A solução geral na forma vectorial é

a b a

b a b a

b

Bß Cß Cß D œ "  D ß !ß !ß D œ "ß !ß !ß !  D "ß !ß !ß " , em que D − ‘

aa bb

"ß !ß ! é uma solução particular do sistema dado (é a que se obtém, fazendo D œ !) e D "ß!ß" é a solução geral do sistema homogéneo associado ao sistema dado, a qual constitui o subespaço de ‘$ gerado por "ß!ß" sendo este vector uma base deste subespaço, que terá dimensão " (igual ao grau de indeterminação).

a

b

ç Finalmente, para + Á " • , Á !, vem sucessivamente,

Ô Õ Ô Õ ÔÖ Õ

" ! ! " ! !

× Ô ab b Ø Õ a a × Ô bb Ø Õ aa bb b×Ù a b Ø

× bb Ø a b × bb Ø

+ + " " + + " , "+ +" +" Ä ! , "+ Ä # ! !  +" 1 ! "+ , + " , + ! + +" " , ! ! , + +  "  "  +# "  + , ! + "+ Ä ! , ! + "+ ! "  +" ! ! "  +"

a ab aa a

" ! ! ! " ! ! ! "

" ,

ab aa

+ $  + # ,  "  +,  , + , "+  +"

Pelo que a única solução é

Ú a a b ÛÜ aa bb

B œ ", + $  +# ,  "  +, +,  , + C œ , " + D œ  +"

Ä

b

Vejamos, agora, o sistema real de 3 equações e 3 incógnitas seguinte, em que + e , são parâmetros reais Exemplo2.33.

Ú ÛÜ a Ú a ÛÜ a b a 

+B  C  +D +D œ #,  ,D ,D #B  C  +D +D œ +  #, # ,  +B  #,D +B  C  +  , D œ +  $,  , #  + # D

b

a

a b ba b ba b

b

Primeiro, há que levar o sistema nas incógnitas reais BßCßD à forma canónica: +B  C  +  , D œ #, #  + B  C  #, #,  + D œ +  #, #, +B  C  +  , "  +  , D œ +  $,

‘

Condensemos a matriz ampliada E F do sistema, por meio de operações elementares e começando por trocar as 2 primeiras colunas, o que significa que a ordem das incógnitas passou a ser CßBßD :

a b


Ô Õ

+ " +, #, #  + " #,  + +  #, + " +  , "  +  , +  $, " + +, #, P#ÄP#P" ! # , + P$ÄP$P" ! ! +, +, +,

a ba b Ô × Õ a ba b Ø

1 19

× Ô Ø Õ G" ÇG #

 →

" + " #  + " +

+, #,  + +, "+,

a ba

b

#, +  #, +  $,

× Ø

  →

b

O a

Impossível Simplesmente indeterminado Determinado

a b

Fig. 2.4 – Discussão do sistema no plano dos parâmetros +ß , .

ˆ ‘‰

É, agora, possível discutir as soluções do sistema, em função dos valores reais dos parâmetros + e , e onde < œ c E e = œ c E F : Sistema

Ú ÛÜ

ab œ

+  , œ ! Ê < œ = œ # Ê possível e 8  < œ $  # œ " (simplesmente indetº) +  , œ ! Ê < œ # Ê impossível + , Á ! Ê = œ $ +  , Á ! Ê < œ $ Ê possível e 8  < œ ! (determinado)

a b

Considerando o espaço ‘# dos parâmetros +ß , , podemos ilustrar toda a discussão anterior na figura 2.4. Vamos, agora, resolver o sistema nos casos de possibilidade: ñ Se for +  , œ !, a matriz completa do sistema será, após eliminar a 3ª linha (nula) e substituir , por + :

”

" + #+ #+ ! # + +

•

P" Ä#P Ä#P" +P +P#

”

  →

# ! %+  + # ! # + +

%+  + # +

• – P" Ä " # P"

→

P# Ä " # P#

" ! ! "

+a%+b #  +#



+a%+b # + #

—

120

Matrizes [Cap. 2

a b

Portanto, as soluções são, para quaisquer +ß D − ‘, (relembre a ordem Cß Bß D das incógnitas!)

ÚÝÝ ÛÝÝ Ü

+ +  D # # + % + + % + Cœ  D # # DœD Bœ

a b a b

Vectorialmente, fica

a b a b  a b Œ Œ a b Œ a b Š ‹ Š ‹ a ba b ×Ù Ô × ÔÖ Õ Ø Õ Ø ˆ ‰ ×Ù ÔÖ Õ Ø Bß Cß D œ

œ

O vector a parcela D

+a%+b + ß  # # ß! +a%+b + ß  # # ß" é

+ + + %+ + %+  Dß   Dß D # # # # + + %+ + + %+ ß ß!  D ß ß" # # # #

é uma solução particular do sistema inicial (obtida quando D œ !) e

a solução geral do sistema homogéneo associado àquele.

ñ Se for +  , Á ! • +  , Á !, a matriz completa do sistema será, após dividir a 3ª linha por +  , +  , , " + +, ! # , ! ! "

P" ÄP"  + # P#

  →

P# Ä " # P#

#, +

P#ÄP # ,P$

  →

P" ÄP" a,+b P$

" +,

" + ! #,  " , ! # ! +  +, " ! ! " +,

" ! ! #,  "  +# +  + , ! " ! #  #a+,b

, +,

" +,

! ! "

a b

A solução (única) do sistema é, em função de + e , (observe-se de novo a ordem Cß Bß D das incógnitas!):

a b Œ a b ! Bß Cß D œ

Š

‹ 

+ , + , "  ß #,  "  + ß # # +, # +, +,

Exemplo 2.34. – Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel – Vamos

métodos iterativos para resolver sistemas

8

agora mencionar dois

+34 B4 œ ,3 Ð3 œ "ß #ß á ß 8Ñ de 8 equações lineares

4œ"

e 8 incógnitas determinados (= œ < œ 8 ) e ainda com + 33 Á !. Resolvendo cada equação em ordem a B3 , obtemos B3 œ

Š " ‹

" ,3  +33

+34 B4

4Á3


121

a

b

Definamos, por recorrência, uma sucessão de pontos Bt5 œ B5ß" ß B5ß# ß á ß B5ß8 − Š8 , do modo seguinte:

Ú a ÛÜ Š !

b

Bt! œ B!ß" ß B!ß# ß á ß B!ß8 − Š8 B5ß3 œ

" +33

,3 

‹

+34 B5"ß4 à 5  ! e 3 œ "ß #ß á ß 8

4Á3

Prova-se que, se esta sucessão for convergente, ela converge para a solução do sistema. Este método é conhecido por método de Jacobia11b . Uma variante do algoritmo anterior que, normalmente, converge mais rapidamente para a solução é o método de Gauss-Seidela12b , no qual se utilizam imediatamente as coordenadas do vector Bt5 assim que se determinam, isto é, põe-se

Ú a ÛÜ Š !

b!

Bt! œ B!ß" ß B!ß# ß á ß B!ß8 − Š8 B5ß3 œ

" +33

,3 

43

+34 B5ß4 

43

‹

+34 B5"ß4 à 5  ! e 3 œ "ß #ß á ß 8

Uma condição suficiente (mas não necessária) para que ambos os métodos convirjam é que, para cada 3, os +33 sejam superiores em módulo à soma dos módulos dos restantes +34 , isto é, a

k k "k k

"Ÿ3Ÿ8

l

+33 

+34

4Á3

l

A seguir apresenta-se a implementação do método de Gauss-Seidel no MATHEMATICA , na qual a iteração termina quando Bt5  Bt5"  & (& especificado) ou quando se atinge um certo número especificado de pontos calculados. Nesta implementação, é devolvida a solução e o número de pontos calculados: GaussSeidel[a_?MatrixQ, b_?VectorQ, x0_?VectorQ, &_, maxiter_?IntegerQ] := Module[{y0 = x0, y1 = x0, n = Length[x], i, j, cont = True, m = 0}, While[cont, For[i = 1, i <= n, i++, y1[[i]] = 1/a[[i, i]]*(b[[i]] - Sum[a[[i, j]]*y1[[j]], {j, 1, i - 1}] Sum[a[[i, j]]*y0[[j]], {j, i + 1, n}]); m++ ]à cont = Norm[y1 - y0] >= & && m <= maxiter; y0 = y1 ]; {y1, m} ]

11 12

Jacobi, Carl Gustav Jacob: matemático alemão (Potsdam 1804 – Berlim 1851). Seidel, Philipp Ludwig von : matemático alemão (Zweibrücken 1821 – München 1896).

©

122

Matrizes [Cap. 2

A função seguinte devolve a lista de pontos calculados (incluindo Bt! ): GaussSeidelPoints[a_?MatrixQ, b_?VectorQ, x0_?VectorQ, &_, maxiter_?IntegerQ] := Module[{y0 = x0, y1 = x0, n = Length[x], i, j, cont = True, lista, m = 0}, lista = {y1}; While[cont, For[i = 1, i <= n, i++, y1[[i]] = 1/a[[i, i]]*(b[[i]] - Sum[a[[i, j]]*y1[[j]], {j, 1, i - 1}] Sum[a[[i, j]]*y0[[j]], {j, i + 1, n}]); lista = Join[lista, {y1}]; m++ ]; cont = Norm[y1 - y0] >= & && m <= maxiter; y0 = y1 ]; lista ]

Na secção 2.16, mostramos o uso que se pode fazer do software MATHEMATICA , na resolução e discussão de sistemas de equações lineares, incluindo exemplos de uso das funções anteriores e da sua interpretação geométrica em ‘# (sistemas de 2 equações e 2 incógnitas sobre o corpo ‘). ©

2.12 Inversão matricial Como vimos anteriormente, a matriz identidade é elemento neutro para o produto matricial e, para matrizes rectangulares 7 ‚ 8, existem elementos neutros distintos à esquerda e à direita, respectivamente M7 e M8 . Para analisarmos a questão da inversão de uma matriz rectangular E e porque o produto matricial não é comutativo, temos que considerar “inversas direitas” (quando a “inversa” é o 2º factor) e “inversas esquerdas” (quando a “inversa” constitui o 1º factor). Definição 2.16. – Inversas laterais – Dada uma matriz E − Š7ß8 corpo Š, chama-se inversa direita de E a qualquer matriz \. − Š8ß7

de tipo 7 ‚ 8 sobre um tal que

E\. œ M7

e inversa esquerda de E a toda a matriz \/ − Š8ß7 tal que \/E œ M 8

a b a b 2.59 2.60

Observe-se que as matrizes \. , \/ , M7 e M8 só poderiam ser dos tipos indicados, por ser simultaneamente, E − Š7ß8 . Podemos ver de imediato que as matrizes \. e \/ , se existirem serão necessariamente iguais e únicas e que, nesse caso, a matriz E tem que ser quadrada: a igualdade daquelas duas matrizes resulta de ser

a b

a b

\. œ M8 \. œ \ /E \ . œ \ / E\ . œ \ /M 7 œ \ / Ê \ . œ \ /

Por outro lado, se \." e \.# são inversas direitas de E e \/ for uma inversa esquerda, procedendo como anteriormente, virá \." œ \/ • \ .# œ \/ Ê \. " œ \ . #

o que mostra a unicidade da inversa direita (caso exista também inversa esquerda). Do mesmo modo se pode provar a unicidade da inversa esquerda (caso exista inversa direita). Por outro lado, se ambas as inversas existem, das alíneas iv) e v) da proposição 2.8 resulta

Sec. 2.12] Inversão matricial

123

aa bb aa bb

aa b b

aa b b 

c M7 Ÿ c E Ÿ 7 Ê 7 Ÿ c E Ÿ 7 Ê c E œ 7 c M8 Ÿ c E Ÿ 8 Ê 8 Ÿ c E Ÿ 8 Ê c E œ 8

Ê7œ8

e, portanto, a matriz E será quadradaa13b ; isto equivale a dizer que, se E for rectangular, seguramente não existirá pelo menos uma das inversas. É ainda fácil reduzir o problema da inversa esquerda ao problema da inversa direita, por transposição; de facto

a b

\/ E œ M 8 Í \ / E

T

a b 2.61

œ M 8T Í E T \/T œ M 8

e estas equivalências mostram que \/ é uma inversa esquerda de E sse \ /T é uma inversa direita T de ET e, como \/ œ \/T , poderemos concluir que se obtém uma inversa esquerda de E, mediante a transposição de uma inversa direita de ET . Graças a 2.61 reduz-se, portanto, a questão da inversa esquerda de E ao problema da inversa direita (de ET ).

a b

a b

Vamos apresentar, de seguida, a condição necessária e suficiente para que uma matriz E − Š 7ß8 tenha inversa direita e também a condição para existir inversa esquerda:

ab

Proposição 2.12. – Existência de inversas laterais – 7 ‚ 8 sobre um corpo Š e < œ c E . então:

i)

Seja E − Š 7ß8 uma matriz de tipo

E tem inversa(s) direita(s) sse < œ 7 .

ii) E tem inversa(s) esquerda(s) sse < œ 8 . Demonstração: i)

a b

Atente-se em 2.59 e fragmentemos as matrizes \. e M7 nas suas 7 colunas



‘ 

\. œ \" \# â \ 7 M 7 œ F " F # â F 7

‘

Observe-se, desde já, que os vectores F3 de Š7 são linearmente independentes e constituem a base canónica de Š7, donde

a

b

P F" ß F# ß á ß F7 œ Š7

a b

Fazendo o produto E\ . por blocos, verifica-se facilmente que a igualdade 2.59 equivale às 7 igualdades E\3 œ F3 , para 3 œ "ß #ß á ß 7

a b 2.62

e cada uma destas igualdades é a forma matricial de um sistema de 7 equações e 8 incógnitas, sendo que estes 7 sistemas têm em comum a matriz E dos coeficientes.

a b

É, agora, óbvio que a matriz \ . satisfazendo 2.59 existe sse forem simultaneamente possíveis todos estes sistemas, ou seja, sse os vectores F3 − Š 7 pertencerem ao subespaço de Š7 gerado pelas colunas E4 "Ÿ4Ÿ8 da matriz E (ver demonstração da proposição 2.10), o que

ab

13

Esta conclusão pode também ser tirada recorrendo às propriedades do traço: Sendo \ − Š8ß7 uma inversa (bilateral) de E − Š7ß8 , será E\ œ M7 e \E œ M8 . O resultado decorre de ser 7 œ traE\ b œ tr a\E b œ 8 e, portanto, 7 œ 8.

124

Matrizes [Cap. 2

equivale evidentemente a

a

b a b

P F" ß F# ß áß F7 § P E" ß E# ß áß E8

a

b

Porém tem-se, como se viu, P F" ß F# ß á ß F7 œ Š7 e a inclusão anterior transforma-se em

a

Š7 § P E" ß E# ß á ß E 8

a

b

b

o que, juntamente com a inclusão óbvia P E" ß E# ß á ß E 8 § Š 7, acaba por dar a equivalência que pretendíamos demonstrar

a

b

Existe inversa direita de E Í P E" ß E# ß á ß E8 œ Š7 Í < œ 7 ii) Resulta imediatamente do resultado anterior, por transposição,

ˆ ‰

ab

Existe inversa esquerda de E Í Existe inversa direita de ET Í c E T œ 8 Í c E œ < œ 8 

Em face dos resultados provados na proposição anterior, podemos fazer a discussão do que se pode passar em relação à inversão de uma matriz E − Š 7ß8

E − Š7ß8

ÚÝÝ ÝÝ ÛÝ ÝÝ ÝÜ

7  8 Ê< Ÿ 7 8 Ê < 8 Ê 87Ê<Ÿ87Ê< 7Ê

7œ8

Ê

œ œ Ú ÛÜ

Não existe inversa esquerda de E e existirá inversa direita, sse < œ 7. Não existe inversa direita de E e existirá inversa esquerda, sse < œ 8. Existem ambas as inversas de E <œ8Ê e são iguais e únicas, como provámos. <  8 Ê Não existe qualquer das inversas de E.

œ

Vamos, de seguida, analisar cada um dos casos mencionados no quadro anterior: ç Se for <  7  8, então não existem inversas. ç Quando < œ 7  8 E não tem inversa esquerda, mas tem mais do que uma inversa direita, visto que os sistemas 2.62 são todos possíveis e indeterminados de grau 8  7. Para calcularmos as matrizes inversas direitas de E, apenas teremos que resolver os 7 sistemas 2.62 , todos com grau de indeterminação 8  7, o que pode ser feito em simultâneo, visto terem todos a mesma matriz E de coeficientes; obtém-se, assim, o algoritmo

a b

a b



E

F"

F#

‘  ‘ ’  ‘

â F7 œ E

M7 Ä M 7

G7ß87

F 7ß7

“

a b 2.63

e daqui se deduzem as colunas \ 3 que formarão as matrizes inversas direitas \. œ \"

\#

â

\7

Se o corpo Š for infinito (ß ‘ß ‚), haverá uma infinidade de inversas direitas; se Š for finito, então existirão 8  7 parâmetros arbitrários por cada sistema (as incógnitas secundárias desses sistemas) e, sendo estes em número de 7, haverá 7 8  7 parâmetros; no total, o número de inversas direitas é de #Š 7a87b .

a b

a b

O exemplo seguinte ilustra o cálculo das inversas direitas:

Sec. 2.12] Inversão matricial Exemplo 2.35.

125

A seguinte matriz E real não terá inversa esquerda ($ œ 7  8 œ &). Eœ

Ô Õ

" # " ! $ ! " $ % # " " " " #

× Ø

Para calcularmos as possíveis inversas direitas, condensemos a matriz

Ô Õ Ô Õ

" ! " " ! !

ÔÖ Õ

# " " ! ( " $ ! $

" ! $ % " " ) ( " % # ! $ $ "

" ! ! " ! Ä ! " ! " " ! ! " " "

$ " # ! # ! # ! " ! " "

× Ô Ø Õ

! ! " # " ! " ! Ä ! " $ % ! " ! " ! " $ ! ! $ ! % Ä ! " ! " " " ! ! $ $ $ "

× Ô Ø Õ

 %$ "

 "$ !

 ($ "

" $

" $

" $

×Ù Ø

$ " ! ! # ! " ! " " ! " " ( ! " " "

× Ø

× Ø

colunas A característica de E é < œ 3 œ 7 e, portanto, existem inversas direitas \., cujas \" ß \# e \$ serão as soluções gerais dos 3 sistemas, de 3 equações e 5 incógnitas, duplamente indeterminados que acabámos de resolver em cima. As soluções gerais são

\" œ

\# œ

\$ œ

ÔÖ ÖÖÖ Ö Õ ÔÖ ÖÖÖ Ö Õ ÔÖ ÖÖÖ ÖÕ

 %$  -"# "  -""  -"# " $  -""  -"# -"# -""

" $

 "$  -## -#"  -##  -#"  -## -## -#"

×Ù ÙÙÙ Ù Ø

 ($  -$# "  -$"  -$# " $  -$"  -$# -$# -$"

onde os -34 são 6 parâmetros reais arbitrários.

×Ù ÙÙÙ Ù Ø ×Ù ÙÙÙ ÙØ

126

Matrizes [Cap. 2

Existe, pois, uma infinidade de inversas direitas de E, com expressão geral

\. œ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÕ

 %$  -"# "  -""  -"# " $  -""  -"# -"# -""

" $

 $"  -## -#"  -##  -#"  -## -## -#"

×Ù ÙÙÙ ÙØ

 $(  -$# "  -$"  -$# " , onde -34 − ‘ $  -$"  -$# -$# -$"

Pode verificar-se o resultado: E\. œ

œ

Ô Õ

" # " ! $ ! " $ % # " " " " #

œ M $

ÔÖ ×ÖÖÖ ØÖ Õ

 %$  -"# "  - ""  - "# " $  -""  -"# -"# -""

" $

 $"  -## - #"  - ##  -#"  -## -## -#"

 $(  -$# "  - $"  - $# " $  -$"  -$# -$# -$"

×Ù ÙÙÙ Ù Ø

ç Se for <  8  7, não existem inversas. ç Quando < œ 8  7 , E não tem inversa direita, mas terá várias inversas esquerdas. Para calcular as inversas esquerdas de E, aplica-se 2.63 a ET e, após se obter as inversas direitas de ET , transpõem-se estas. Neste caso, os 8 sistemas 2.61 vão ser todos indeterminados de grau 7  8.

a ab b

Se o corpo Š for infinito (casos de ß ‘ß ‚), haverá uma infinidade de inversas esquerdas; se Š for finito, então existirão 7  8 parâmetros arbitrários por cada sistema (as incógnitas secundárias desses sistemas) e, sendo 8 o número de sistemas, haverá 8 7  8 parâmetros pertencentes a Š e, ao todo, existirão #Š 8a78b inversas esquerdas. Ilustra-se, no seguinte exemplo, o cálculo das inversas esquerdas:

a b

a b

Exemplo 2.36.

Considere-se a matriz E seguinte

Eœ

ÔÖ ÖÖÖ Õ

" # " ! $

! " $ % #

" " " " #

×Ù ÙÙÙ Ø

a qual não tem inversas direitas, visto que se tem $ œ 8  7 œ & . Calculemos as suas inversas esquerdas, se existirem: para isso, determinamos as inversas direitas de ET , o que já fizemos no exemplo anterior; agora, para se obter as inversas esquerdas procuradas, basta transpor o resultado obtido nesse exemplo: \/ œ

ÔÖ Õ

 %$  -"#  "$  -##  ($  -$#

"  -""  -"# -#"  -## "  -$"  -$#

" $ " $ " $

 -""  -"#  -#"  -##  -$"  -$#

-"# -## -$#

×Ù Ø

-"" -#" , onde -34 − ‘ -$"


127

Segue-se a verificação do resultado

\/ E œ

ÔÖ Õ

 %$  "$  ($

 -"#  -##  -$#

" $ " $ " $

"  -""  -"# -#"  -## "  -$"  -$#

 -""  -"#  -#"  -##  -$"  -$#

-"# -## -$#

-"" -#" -$"

Ô×Ö ÙØÖÖÖ Õ

" # " ! $

! " $ % #

" " " " #

×Ù ÙÙÙ Ø

œ M $

ç Se for <  7 œ 8, não existirá inversa e diz-se que a matriz quadrada E é não invertível . ç Para < œ 7 œ 8, existem os dois tipos de inversas em simultâneo, sendo então estas iguais e únicas, isto é, \. œ \ / e a matriz quadrada E diz-se invertível , sendo a inversa (bilateral) designada por E" œ \. œ \/ . Portanto, tem-se

ab

a b

E − Š8ß8 é invertível Í c E œ 8

2.64

e podemos ainda escrever E − Š8ß8 é invertível Í

b

E" −Š8ß8

EE" œ E " E œ M 8

a

a b 2.65

b

As igualdades anteriores mostram que E e E" são sempre permutáveis e o que acabamos de ver significa que, no anel não comutativo com identidade Š8ß8 ß ß ‚ das matrizes quadradas de ordem 8, os elementos invertíveis são as matrizes cuja característica coincide com a ordem (matrizes ditas regulares) e os elementos não invertíveis são as matrizes com caraterística inferior à ordem (matrizes ditas singulares, sendo que por entre estas está, é claro, a matriz nula S8 , com < œ !  8). Há, pois, elementos não invertíveis e não nulos, (por exemplo, em ‘#ß#, a

”

•

" # não é invertível, com < œ "  #). Isto significa que, para 8  ", # % Š8ß8 ß ß ‚ não é um corpo, porque o produto matricial não é comutativo e ainda porque existem matrizes não nulas e não invertíveis. No anel Š8ß8 ß ß ‚ os termos invertível

matriz

a

b

a

b

(existência de inversa) e regular (característica igual à ordem) são, pois, sinónimos, o mesmo acontecendo com não invertível e singular.

a ba b

Agora, os 8 sistemas 2.61 são todos possíveis e determinados (o que implica a existência unicidade da inversa bilateral) e 2.63 simplifica-se, obtendo-se o algoritmo de condensação seguinte



E

ou seja,

F"

F#

‘   ‘  ‘

â F8 Ä E

\" \ # â

‘

\8

E M 8 Ä M8 E"

Exemplo 2.37.

Vamos usar o algoritmo anterior para inverter a matriz quadrada Eœ

Ô Õ

" # $ # " ! % # &

× Ø

a b 2.66

128

Ô Õ Ô Õ

Matrizes [Cap. 2

 ‘

Condensemos, então, a matriz E M $ :

" # % & ! !

# $ " ! # & ! ! #& & ! &! ! " )

× Ô Ø Õ × Ô Ø Õ

" ! ! " # $ ! " ! Ä ! & ' ! ! " ! ' ( #! "& " ! ! $& $! Ä ! " ! ' & ! ! "

Daqui resulta que a inversa é: E

"

œ

Ô Õ

" ! # " % ! & "! )

× Ô Ø Õ × Ø

! & ! ! Ä ! & " ! ! % $ ( ' ' &

& % $ "! ( ' ) ' &

Como verificação, podem calcular-se os produtos EE

"

œ

E" E œ

Ô Õ Ô Õ

" # $ # " ! % # & & % $ "! ( ' ) ' &

×Ô ØÕ ×Ô ØÕ

& % $ "! ( ' ) ' & " # $ # " ! % # &

$ ' "

" # )

# ! " ! ' &

× Ø

Ä

× Ø

× Ø × Ø

œ

œ

Ô Õ Ô Õ

" ! ! " ! !

! " ! ! " !

! ! " ! ! "

× Ø × Ø

œ M $

œ M $

No package ALGA`Matrizes` , implementado em linguagem MATHEMATICA e descrito na secção 2.16, definem-se as funções InversaDireita[A,c] e InversaEsquerda[A,c] ©

que calculam as inversas laterais de A tendo como parâmetros os apresentam-se exemplos de uso dessas funções.

c[i].

Naquela secção,

a b

No referido package, figura também a implementação do algoritmo 2.66 , constituindo a função Inversa[A]; trata-se aqui de mero exercício demonstrativo, pois o software já possui uma função para esse efeito chamada Inverse[A]. A seguinte proposição dá conta de algumas das propriedades da inversão, para matrizes quadradas

Proposição 2.13. – Propriedades da inversa – ! − Š e 5 − ! , então:

i)

Sejam EßF − Š 8ß8 matrizes quadradas,

E é invertível sse E" é invertível e tem-se

a b E"

"

œE

ii) E é invertível sse ET é invertível e

a b a b ET

"

œ E"

T


129

iii) Se ! Á ! (ou seja, se ! é invertível no corpo Š ) e E é invertível, então !E é invertível e tem-se

a b !E

"

"

œ !" E" œ

!

E"

iv) E é invertível sse o sistema homogéneo E\ œ S é determinado, tendo apenas a solução trivial \ œ S . v) E e F são invertíveis sse EF é invertível e

a b EF

"

œ F " E"

a b

Mais geralmente, para todo o : −  , as matrizes de uma sequência E5 "Ÿ5Ÿ: são invertíveis sse o produto

# a :

E5 o for e tem-se

5œ"

E" E# âE:

b

"

œ E:" âE#" E""

a b 2.67

vi) E é invertível sse E5 é invertível e tem-se

a b a b E5

"

œ E"

5

vii) Se E é invertível, então E" F œ FE" Í EF œ FE

isto é, E" e F permutam sse E e F o fazem. Demonstração: i)

É consequência de ser EE" œ E" E œ M8 .

a b a b a bˆ ‰ ˆ ‰a b ab

ii) Resulta de ET E"

T

œ E " E

T

œ M8T œ M 8 .

iii) É consequência imediata de ser !E

"

!

E" œ ! !" EE" œ "M8 œ M 8 .

iv) Resulta das equivalências

E é invertível Í < œ c E œ 8 Í E\ œ S é sistema determinado

v) Suponha-se que E e F são invertíveis; então existem E" e F " e as igualdades

a ba

b aaa bb b

a a bb

EF F "E " œ EF F " E " œ E FF " E " œ EM8 E" œ EE" œ M8

mostram que F " E" é a inversa (necessariamente única) de EF e que, portanto, EF é invertível. Provemos, agora, a implicação contrária: se uma das matrizes E ou F não é invertível, será

a a b a bb

min c E ß c F  8

130

Matrizes [Cap. 2

e a proposição 2.8.v implica que

a b a a b a bb

a b

c EF Ÿ min c E ß c F  8 Ê c EF  8 o que mostra que EF não é invertível. Quanto à segunda afirmação, ela demonstra-se facilmente por indução. vi) Por indução em 5 : para 5 œ !, fica

a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b E0

"

œ M8" œ M8 œ E "

Admitindo que, para 5  !, é E 5

"

œ E " , então, para 5  " vem

E5"

se

"

œ E5 E

"

œ E " E 5

!

5

"

œ E " E "

5

œ E "

5

E " œ E "

5"

vii) Multiplicando ambos os membros de EF œ FE à esquerda e à direita por E" , obtém-

a b

a b

EF œ FE Ê E " EF E " œ E " FE E " Ê FE " œ E "F

Por outro lado, multiplicando ambos os membros de E" F œ FE" à esquerda e à direita por E, obtém-se

a b a b

E" F œ FE" Ê E E "F E œ E FE " E Ê FE œ EF



Observações:

ab

ab

ç Sejam E − Š7ß7 e F − Š8ß8 matrizes sobre um corpo Š com ordens 7 e 8 respectivamente e invertíveis (isto é, c E œ 7 e c F œ 8). Então, para qualquer matriz G − Š 7ß8 , a matriz de blocos Y œ

”

E S8ß7

•

G − Š78ß78 F

é também invertível e tem-se: Y

"

”

E" œ S8ß7

E" GF" F "

•

, o que pode ser facilmente verificado multiplicando Y e Y " por blocos. Do mesmo modo, para qualquer matriz H − Š 8ß7 , a matriz de blocos Z œ

”

•

E S7ß8 78ß78 −Š H F

é igualmente invertível, sendo: Z

"

”

E" œ F " HE"

S7ß8 F "

•

, o que pode também ser facilmente verificado multiplicando Z e Z " por blocos.


131

Podemos, agora, usar a alínea vi) da proposição anterior para definir a potência de expoente 5 inteiro negativo de uma matriz quadrada E regular, pondo

a b a b

E5 œ E5

"

5

œ E " , com 5 − 

a b 2.68

Deste modo e para matrizes E regulares, faz sentido a potência E5 , com expoente 5 − ™. As inversas podem ser utilizadas para resolver sistemas de equações lineares, podendo ter-se em consideração os 3 casos seguintes, onde E − Š 7ß8 : ç Matriz E com característica < œ 7  8.

Neste caso, existem inversas direitas \. e qualquer sistema E\ œ F é possível, sendo \ œ \. F solução do sistema, qualquer que seja a inversa direita \. usada, porque

a b a b

E\ œ E \. F œ E\. F œ M 7F œ F ç Matriz E com característica < œ 8  7.

Neste caso, existem inversas esquerdas \/ e, se o sistema E\ œ F for possível, ele será determinado; podemos, então, multiplicar ambos os membros de E\ œ F à esquerda por \/ , obtendo-se a solução \/ F para o sistema, a qual não dependerá da inversa esquerda \ / utilizada:

a b

a b

E\ œ F Ê \/ E\ œ \ /F Ê \ /E \ œ \ /F Ê M 8\ œ \ /F Ê \ œ \ /F ç Matriz E quadrada com característica < œ 7 œ 8.

É um caso particular dos anteriores, obtendo-se a solução E" F para o sistema E\ œ F :

a b

ˆ ‰

E\ œ F Ê E " E\ œ E "F Ê E "E \ œ E "F Ê M 8\ œ E "F Ê \ œ E "F

Observe-se que os métodos anteriores para resolver sistemas não têm grande interesse prático, visto que é maior o trabalho de condensação para inverter E do que o correspondente trabalho para resolver E\ œ F pelo algoritmo de Gauss-Jordan.

132

Matrizes [Cap. 2

2.13 Matrizes elementares Chama-se matriz elementar de ordem 8 a uma matriz obtida de M 8 por uma única operação elementar sobre linhas ou sobre colunas; essa matriz elementar diz-se associada à operação elementar que lhe deu origem. Definição 2.17. – Matriz elementar –

Observações:

ç Da definição anterior resulta a existência de 3 tipos de matrizes elementares,

correspondentes aos 3 tipos de operações elementares:

I" œ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

" ã ! ã ! ã !

â ä â ä â ä â

! ã ! ã " ã !


! ã " ã ! ã !


×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø

! ã ! ã ß I# œ ! ã "

ÔÖ ÖÖ Õ

" ã ! ã !

â ä â ä â

×Ù ÙÙ Ø

! â ! ã ä ã ! â ! ß I$ œ ã ä ã ! â "

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

" ã ! ã ! ã !


! ã " ã ! ã !


! â ! ã ä ã " â ! ã ä ã " â ! ã ä ã ! â "

×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø

ç Trocando entre si as linhas 3 e 4 de M8 ou as colunas com os mesmos índices obtém-se a mesma matriz elementar I " (operação de tipo 1). Esta matriz é simétrica e, portanto, igual à

transposta.

ç Multiplicando uma linha 3 de M8 por um escalar ! Á ! obtém-se a mesma matriz elementar I# obtida ao multiplicar a coluna 3 por !. Esta matriz é simétrica e, portanto, igual à transposta. ç As matrizes elementares obtidas pela mesma operação elementar de tipo 3 sobre linhas e sobre colunas de M 8 são transpostas. ç Em face das observações anteriores, podemos afirmar que a matriz elementar obtida de M 8

por uma operação elementar (de qualquer dos 3 tipos) sobre colunas é a transposta da matriz elementar obtida pela mesma operação elementar sobre linhas de M 8.

a b

a

b

Seja, agora, E − Š7ß8 uma matriz de tipo 7 ‚ 8 sobre um corpo Š e P" ß P# ß á ß P7 as suas linhas. As linhas de M7 constituem a base canónica /t" ß /t# ß á ß /t7 de Š7 e facilmente se reconhece que multiplicar à esquerda o vector-linha /t3 por E resulta na linha 3 de E, para todo o 3 œ "ß #ß á ß 7.

c

ÔÖ ÖdÖÖ ÖÖ Õ a a

/t3 E œ ! ! â " â !

+"" +#" ã +3" ã +7"

+"# +## ã +3# ã +7#

b b

â +"8 â +#8 ä ã â +38 ä ã â +78

×Ù ÙÙÙ c ÙÙ Ø

d

œ + 3" + 3# â + 38 œ P3

Do mesmo modo, sejam G" ß G# ß á ß G8 as colunas da mesma matriz E − Š7ß8 . As colunas de M8 constituem a base canónica /t" ß /t# ß á ß /t8 de Š8 e é fácil reconhecer que a multiplicação

Sec. 2.13] Matrizes elementares

133

à direita do vector-coluna /t4 por E resulta na coluna 4 de E, para todo o 4 œ "ß #ß á ß 8.

E/t4 œ

ÔÖ ÖÕ

+"" +#" ã +7"

+"# +## ã +7#

â +"4 â +#4 ä ã â +74

â +"8 â +#8 ä ã â +78

Ô×Ö ×Ù ÙÖÙÖÖÖ ÙÙÙÙ ØÖÕ ÙØ ! ! ã " ã !

œ

ÔÖ ÖÕ

+"4 +#4 ã +74

×Ù ÙØ

œ G4

ab

Com os resultados anteriores, podemos agora mostrar que a matriz / E resultante da execução de uma qualquer operação elementar / sobre as linhas de E é igual ao produto à esquerda da matriz elementar associada àquela operação elementar por E − Š 7ß8 , como se prova na seguinte Seja E − Š7ß8 uma matriz de tipo 7 ‚ 8 sobre um corpo Š e / uma operação elementar (de qualquer dos 3 tipos) sobre linhas de E . Então: Proposição 2.14.

a b î ab

/ E œ / M7 E œ IE matriz

elementar

I

em que I é a matriz elementar obtida de M7 pela mesma operação elementar / sobre linhas. Demonstração:

ab

ab

Vamos ver separadamente os 3 tipos de operações elementares: para isso, designemos por / E a matriz resultante de aplicar uma operação elementar / à matriz E e por I œ / M um dos 3 tipos de matriz elementar: Operação de tipo 1: sejam " Ÿ 3  4 Ÿ 7 e I a matriz elementar resultante de trocar as linhas 3 e 4 de M7 ; fazendo o produto IE por blocos, vem: ç

ÔÖ ÖÖÖ a b ÖÖÖ Ö Õ

IE œ / M7 E œ

×Ù ÙÙÙ ÙÙÙÙ Ø

/t" ã /t4 ã Eœ /t3 ã /t7

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖÖÖ Õ

/t" E ã /t4 E ã /t3 E ã /t7 E

×Ù ÙÙÙ ÙÙÙÙ Ø

œ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖÖÖ Õ

P" ã P4 ã P3 ã P7

×Ù ÙÙÙ ÙÙÙ a b Ù Ø œ/ E

Operação de tipo 2: seja " Ÿ 3 Ÿ 7 e I a matriz elementar resultante de multiplicar a linha 3 de M7 pelo escalar ! Á !; calculando o produto IE por blocos, vem: ç

ÔÖ a b ÖÖÖ Õ

IE œ / M7 E œ

×Ù ÙÙÙ Ø

/t" ã !/t3 E œ ã /t7

ÔÖ ÖÖÖ a Õ

/t" E ã ! /t3 E ã /t7 E

×Ù b ÙÙÙ Ø

œ

ÔÖ ÖÖÖ Õ

P" ã !P3 ã P7

×Ù ÙÙÙ a b Ø œ/ E

134

Matrizes [Cap. 2

Operação de tipo 3: sejam " Ÿ 3  4 Ÿ 7 e I a matriz elementar resultante de somar à linha 3 o produto de " − Š pela linha 4 de M7; fazendo o produto IE por blocos, vem: ç

ÔÖ ÖÖ a b ÖÖÖ ÖÖ Õ

IE œ / M7 E œ

×Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù Ø

/t" ã /t3  " /t4 ã Eœ /t4 ã /t7

ÔÖ ÖÖ a ÖÖÖ ÖÖ Õ

×Ù b ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ø

/t" E ã /t3  " /t4 E ã /t4 E ã /t7 E

œ

ÔÖ ÖÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

×Ù a b ÙÙÙ ÙÙ ÙÙ Ø

/t" E ã /t3 E  " /t4 E ã /t4 E ã /t7 E

œ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ ÖÖ Õ

P" ã P3  " P4 ã P4 ã P7

×Ù ÙÙÙ ÙÙ a b ÙÙ Ø œ/ E

Portanto, executar uma operação elementar / sobre linhas de E é multiplicar à esquerda a matriz E pela matriz elementar associada àquela operação /.  Resultado análogo vale também para as operações sobre colunas de E, mas o produto pela matriz elementar deve agora ser efectuado à direita: Seja E − Š7ß8 uma matriz de tipo 7 ‚ 8 sobre um corpo Š e / uma operação elementar (de qualquer dos 3 tipos) sobre colunas de E . Então: Proposição 2.15.

a b î ab

/ E œ E / M8 œ EI matriz

elementar

I

em que I é a matriz elementar obtida de M8 pela mesma operação elementar / sobre colunas. Demonstração: A demonstração é análoga à anterior e é deixada ao cuidado do leitor.



Da definição resulta imediatamente que todas as matrizes elementares são regulares, visto que elas resultam da execução de uma operação elementar sobre uma matriz regular (a identidade). Na secção anterior, vimos que uma matriz quadrada E de ordem 8 é regular sse a sua característica é igual a 8: por outras palavras, E − Š8ß8 é regular sse E pode ser transformada na matriz identidade M 8 por meio de um número finito de operações elementares sobre linhas. Pelo que acima foi dito, esta condição equivale à existência de uma sequência de matrizes elementares I" ß I# ß á ß I: de ordem 8 tais que

a

b

I: âI# I" E œ M 8

A igualdade anterior mostra que o produto de matrizes elementares I:âI# I " é a matriz inversa de E, E" œ I: âI# I"

a b

e invertendo ambos os membros e atendendo a 2.67 , obtém-se: E œ I"" I#" á I:"

Podemos, portanto, enunciar a seguinte

a b 2.69

Sec. 2.13] Matrizes elementares Proposição 2.16.

135

Uma matriz quadrada é regular sse ela é produto de matrizes elementares.

a b a b

Se atendermos a que M 8 é elemento neutro do produto matricial, a igualdade 2.69 pode escrever-se: E" œ I: âI# I" œ I: âI# I" M8

2.70

Mas esta igualdade significa que E" se obtém de M 8 pela mesma sequência de operações elementares sobre linhas que transformaram E em M 8 : obtém-se assim de novo o algoritmo expresso em 2.66 :

a b

 ‘ 

E M 8 Ä M8 E"

‘

Graças às matrizes elementares, podemos mesmo generalizar este algoritmo, permitindo que a condensação envolva também operações elementares sobre colunas: Seja E − Š8ß8 uma matriz quadrada regular de ordem 8 sobre um corpo Š. Fazendo operações elementares sobre linhas e sobre colunas da matriz (de ordem #8 ) Proposição 2.17.

” • E M 8 M8 S8

de modo a levá-la à forma

” • M8 G F S8

tem-se E" œ FG

Demonstração:

bˆ

‰

Como M8 se obtém de E por operações elementares sobre linhas e colunas, existem sequências de matrizes elementares I" ß I# ß á ß I: e I"w ß I#w ß á ß I;w tais que

a

I: âI# I" EI"w I#w á I;w œ M 8

Sejam G œ I: âI# I" e F œ I "w I#w á I ;w . As matrizes F e G são regulares (por serem produto de matrizes regulares); então G EF œ M8 Ê G "G EF œ G " Ê EF œ G " Ê EFG œ G "G Ê EFG œ M 8

A última igualdade mostra que E" œ FG , que é o resultado pretendido.



Observações:

 ‘

ç Em geral, começamos por transformar E numa matriz X = triangular superior, por meio de operações elementares sobre as linhas de E M 8 , o que nos conduz à matriz G . ç Neste ponto, conhecemos a característica de E e saberemos se existe inversa.

136

Matrizes [Cap. 2

ab

ç Se c E œ 8, transformamos a matriz triangular X= obtida anteriormente na matriz X identidade M 8 , por meio de operações elementares sobre as colunas de = . Este processo M 8 fornece-nos a matriz F.

”•

ç Por fim, calcula-se o produto FG œ E " . Exemplo 2.38.

Usemos o algoritmo anterior para calcular a inversa de Eœ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

Temos:

" # $ # " ! % # & " ! ! ! " ! ! ! " " ! ! " ! !

! ! & ' ! " # $ " ! ! "

" ! ! ! ! !

! " ! ! ! !

×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø ×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø

Ô Õ

" # $ # " ! % # &

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

! " # $ ! ! & ' " ! ' ( Ä ! " ! ! ! ! " ! ! ! ! "

" # % ! ! !

" ! ! " ! ! " # " ! ! & ! # ) ' & ! ! & ) Ä ! ! ! " # $ ! ! ! ! ! " ' ! ! ! ! ! ! & !

Portanto, tem-se: Fœ

ÔÖ Õ

# & " &

" ! !

 $& ' &

!

"

A inversa é então dada por E

"

œ FG œ

ÔÖ Õ

" ! !

# & " &

!

 $& ' &

"

×Ù Ø

×ÙÔ ØÕ

× Ø

! " ! ! ! ! ! " ' ! ! !

e G œ

Ô Õ

! ! " ! ! !

×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø ×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ ÔÖ ÖÖÖ ÖÖÖ Õ

" # $ ! & ' ! ! " Ä " ! ! ! " ! ! ! "

" ! ! ! ! & Ä " ! ! ! ! !

" ! ! # " ! ) ' &

" ! ! # " ! ) ' &

× Ô Ø Õ œ

! " ! # & " &

!

! ! "  $& ' &

"

×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø ×Ù ÙÙÙ ÙÙÙ Ø

" ! ! # " ! ) ' & ! ! ! ! ! ! ! ! ! " ! ! # " ! ) ' & ! ! ! ! ! ! ! ! !

× Ø

& % $ "! ( ' ) ' &

× Ø

Vamos agora definir uma relação de equivalência no conjunto Š7ß8 das matrizes de tipo 7 ‚ 8 sobre um corpo Š. É a noção de equivalência de matrizes:

Sec. 2.14] Divisão matricial

137

Definição 2.18. – Matrizes equivalentes – Diz-se que duas matrizes EßF − Š 7ß8 são equivalentes sse existem duas matrizes quadradas regulares T − Š7ß7 e U − Š8ß8 tais que

a b 2.71

F œ TEU

A relação binária anterior é de equivalência (ver Apêndice A, definição A.5), visto que E œ M7 EM 8 , o que mostra que a relação é reflexiva; por outro lado, a implicação F œ TEU Ê E œ T " FU"

mostra que a relação é simétrica. Por fim, a implicação

a b a ba b

F œ T E U • G œ T w FUw Ê G œ T w T E U U w œ T wT E UU w

prova que a relação é transitiva. Como T e U são regulares sse são produto de matrizes elementares, podemos dizer que E e F são equivalentes sse F se obtém de E por meio de operações elementares sobre linhas e colunas:

ˆ ‰ a b ðóóóóñóóóóò ðóóóñóóóò

F œ I: âI# I" E I"w I#w á I;w T

U

Como as operações elementares sobre as filas de E não alteram a sua característica, isto significa que, se E e F são equivalentes, as suas características são necessariamente iguais. No capítulo 3, veremos que a recíproca desta implicação é também verdadeira (corolário 3.12.1).

2.14

Divisão matricial

Devido à não comutatividade do produto matricial, o problema da divisão matricial tem que ser posto de duas formas diferentes: a divisão esquerda (divisor à esquerda) e a divisão direita (divisor à direita). Assim, dadas uma matriz E − Š7ß8 (o divisor) e uma matriz F − Š7ß: (o dividendo) com o mesmo número 7 de linhas que a matriz E, chamaremos quociente da divisão esquerda de F por E a qualquer matriz \ − Š 8ß: tal que E\ œ F

a b 2.72

De forma semelhante, se F − Š:ß8 (o dividendo) for uma matriz com o mesmo número 8 de colunas que a matriz E, o quociente da divisão direita de F por E é qualquer matriz \ − Š:ß7 tal que \E œ F

a b 2.73

Podemos fixar a nossa atenção exclusivamente na divisão esquerda, porque a questão da divisão direita se pode reduzir facilmente àquela, por transposição \E œ F Í E T \ T œ F T

a b 2.74

A equivalência anterior mostra que dividir F por E à direita equivale a dividir F T por ET à esquerda.

138

Matrizes [Cap. 2

a b  

O problema de calcular \ em 2.72 é equivalente à resolução de : sistemas de equações lineares com 7 equações e 8 incógnitas cada um, para o que basta fragmentar as matrizes \ e F nas suas : colunas

‘ ‘

\ œ \"

\#

â \:

F œ F"

F#

â F:

a b ‘ 

Fazendo o produto E\ por blocos, a equação 2.72 transforma-se em



E\"

E\#

â

E\: œ F"

F#

â

F:

‘

o que equivale aos : sistemas com a mesma matriz E de coeficientes

a b

E\5 œ F5 , com 5 œ "ß #ß á ß :

2.75

e é, agora, óbvio que o problema da divisão esquerda tem solução sse estes sistemas são simultaneamente possíveis, o que acontece sse os vectores F5 − Š7 forem todos combinação linear das colunas da matriz E (ver proposição 2.10), ou seja sse c E œ c E F . Se esta condição se der, podemos calcular as soluções resolvendo simultaneamente os sistemas anteriores, mediante a condensação da matriz E F − Š7ß8:. Se a característica < de E for igual a 8, todos os sistemas serão determinados e há uma só solução \ para o problema da divisão esquerda; se for <  8, então os : sistemas serão todos indeterminados com o mesmo grau de indeterminação 8  < e existirá mais que uma solução. Neste caso, as soluções \ serão função de : 8  < parâmetros escalares arbitrários (as 8  < incógnitas secundárias de cada sistema), o que implica a existência de #Š :a8
a b ˆ ‘‰

 ‘

a b

a b

Sejam E − Š7ß8 e F − Š7ß: matrizes com o mesmo número de linhas. O problema da divisão esquerda de F por E é solúvel sse c E œ c E F e, sendo < œ c E , existe uma e uma só solução sse < œ 8 . Quando <  8 , existem várias soluções (uma infinidade, se Š for infinito e em número de #Š :a8
a b ˆ ‘‰

ab

a b

a b

Em virtude de 2.74 podemos enunciar proposição idêntica para a divisão direita:

Proposição 2.19. – Divisão direita –

Sejam E − Š7ß8 e F − Š:ß8 matrizes com o mesmo

a b Œ” •

número de colunas. O problema da divisão direita de F por E é solúvel sse c E œ c

ab

E F

e, sendo < œ c E , existe uma e uma só solução sse < œ 7 . Quando <  7 , existem várias soluções (uma infinidade, se Š for infinito e em número de #Š :a7
a b

O problema da resolução de um sistema E\ œ F na forma matricial é, afinal, o problema da divisão esquerda de uma matriz-coluna F pela matriz E. Identicamente, o problema da inversa direita de E é equivalente à divisão esquerda da matriz identidade M7 por E − Š 7ß8 , visto que se trata de resolver a equação matricial E\. œ M7

Sec. 2.14] Divisão matricial Exemplo 2.39.

139

Para dividir F por E à esquerda, Eœ

Ô Õ

" # $ # " ! " $ $

 ‘ × Ô Ø Õ a b ˆ ‘‰

× Ø

eFœ

Ô Õ

$ ' & " ) (

condensemos a matriz E F

Ô Õ

" # $ $ ' # " ! & " Ä " $ $ ) (

" # $ $ ' ! & ' "" "$ ! & ' "" "$

× Ø

× Ô Ø Õ

& ! $ ( % Ä ! & ' "" "$ ! ! ! ! !

× Ø

Temos, neste caso, c E œ c E F œ # e, portanto, a divisão esquerda é possível; os dois sistemas de equações lineares que acabámos de resolver são simplesmente indeterminados e as suas soluções são \" œ



( &

 $& !""

"" &

 '& !""

!""

‘

T

e \# œ



O resultado da divisão é



\ œ \"

Ô Ö ‘ Õ

\ # œ

( $ &  & !"" "" ' &  & !""

% $ &  & !#" '  "$ &  & !#"

!""

!#"

% &

 $& !#"

ÙØ× ÖÕÔ œ

'  "$ &  & !#"

!#"

( &  $-"" "" &  '-""

% &  $-#"  "$ &  '- #"

&-""

&-#"

‘

T

ÙØ×

O leitor pode verificar a correcção do resultado, calculando E\  F e verificando que é igual a S$ß# . Existe, pois, uma dupla infinidade de soluções para este problema de divisão esquerda. Tem particular interesse o caso em que E − Š8ß8 é matriz quadrada de ordem 8 regular. Neste caso, as proposições anteriores mostram que os problemas de divisão esquerda e direita têm uma e uma só solução; para a divisão esquerda, fica, com F − Š 8ß: ,

a b

ˆ ‰

E\ œ F Ê E " E\ œ E "F Ê E "E \ œ E "F Ê M 8\ œ E "F Ê \ œ E "F

e o quociente único E" F − Š8ß: é designado pela notação EÏF : EÏF œ E " F

Para a divisão direita, vem, com F − Š :ß8,

a b

ˆ ‰

\E œ F Ê \E E " œ FE " Ê \ EE " œ FE " Ê \M 8 œ FE " Ê \ œ FE "

e para a matriz FE" − Š:ß8 usa-se a notação FÎE: FÎE œ FE "

Em qualquer dos casos, o quociente tem o mesmo tipo que o dividendo F . Para poder ser EÏF œ FÎE , terá que ser F quadrada de ordem 8 e, mesmo nesse caso, ainda pode ser EÏF Á FÎE . Porém, a proposição 2.13.vii mostra que E " F œ FE " sse EF œ FE . Portanto, se as matrizes E e F forem permutáveis, então a divisão esquerda e a divisão direita

140

Matrizes [Cap. 2

têm a mesma solução (quociente): EF œ FE Ê EÏF œ FÎE , em que Eß F − Š8ß8 • E é regular Exemplo 2.40.

Para as matrizes não permutáveis

Ô Õ

Eœ

calculemos E" :

Ô Õ Ô Õ

" # % & ! !

# $ " ! " ! ! " # & ! ! ! ! #& #! & ! &! $& ! " ) '

× Ø

eFœ

$ ' ( ! ! " ! ! "

" ! # " % ! & "! )

" # $ # " ! % # &

× Ô Ø Õ × Ô Ø Õ

! " # ! Ä ! & " ! ' "& " $! Ä ! & !

donde resulta que a inversa de E é: E

"

œ

Ô Õ

Ô Õ

! " # " # $ # " $

× Ø

× Ô Ø Õ × Ø

! & ! $ " # ! ! Ä ! & ' # " ! " ! ! " ) ' & % $ ( ' ' &

& % $ "! ( ' ) ' &

× Ø

Ä

× Ø

Os quocientes esquerdo e direito de F por E são diferentes, porque E e F não são permutáveis: "

EÏF œ E F œ

FÎE œ FE

Exemplo 2.41.

"

œ

Ô Õ Ô Õ

& % $ "! ( ' ) ' & ! " # " # $ # " $

×Ô ØÕ ×Ô ØÕ

! " # " # $ # " $ & % $ "! ( ' ) ' &

× Ø × Ø

œ

œ

Ô Õ Ô Õ

"! ' ( "* "! "( "' * "$ ' & % " ! ! %% $$ #(

Para as matrizes permutáveis (verifique!) Eœ

Ô Õ

" # $ # " ! % # &

tem-se, como se viu no exemplo anterior, E

"

œ

× Ø

Ô Õ

eF œ

Ô Õ

&) $# (& ## #) &% '% "% &'

& % $ "! ( ' ) ' &

× Ø

× Ø

× Ø

× Ø

Sec. 2.15] Mudança de base

141

Os quocientes esquerdo e direito de F por E são, agora, iguais: "

EÏF œ E F œ

FÎE œ FE" œ

O package

Ô Õ Ô Õ

& "! ) &) ## '%

×Ô ØÕ

% $ &) $# ( ' ## #) ' & '% "% $# (& & % #) &% "! ( "% &' ) '

×Ô ØÕ

(& &% &' $ ' &

× Ø × Ø

Ô Õ Ô Õ

"! ' * œ %# %! $' "# ") % "! ' * œ %# %! $' "# ") %

× Ø × Ø

ALGA`Matrizes` ,

descrito na secção 2.16, implementa as funções DivisaoEsquerda[A,B,c] e DivisaoDireita[A,B,c] que resolvem, quando possível, o problema da divisão matricial de B por A, em função de parâmetros c arbitrários, apresentando-se ainda exemplos do seu uso.

2.15 Mudança de base Vamos começar por introduzir notações matriciais para escrever as combinações lineares. Num espaço vectorial I de dimensão finita 8 sobre um corpo Š, considere-se uma base

a

/ œ /t" ß /t# ß á ß /t8

b

ab

Sabemos que, dado um vector Bt − I , são únicas as suas coordenadas B3 "Ÿ3Ÿ8 em relação à base / e será

" 8

Bt œ

B3 /t3

3œ"

c

d

Introduzindo a matriz-linha simbólicaa14b /t" /t# â /t8 e a matriz-coluna \/ œ

ÔÖ Ö Õ

B" B# ã B8

×Ù Ù Ø

contendo as coordenadas referidas e identificando o seu produto (de tipo " ‚ ") com o vector Bt − I , podemos escrever

c

d

Bt œ /t" /t# â /t8 \/

No mesmo espaço vectorial I de dimensão finita 8 sobre um corpo Š, considerem-se, agora, duas bases

aa

/ œ /t" ß /t# ß á ß /t8 /w œ /tw" ß /t#w ß á ß /t8w

14

bb

Observe que esta matriz-linha é constituída por vectores: Não se trata, pois, de uma matriz sobre o corpo mas sim sobre o espaço I .

Š,

142

Matrizes [Cap. 2

Cada vector /tw4 há-de exprimir-se nos /t3 de uma e uma só forma, através das respectivas coordenadas >34 − Š relativas à base / /tw4 œ

"

a b

8

2.76

>34 /t3

3œ"

As 8 igualdades vectoriais anteriores podem escrever-se matricialmente

c

c d

d c

d

a b

/tw" /t#w â /t8w œ /t" /t# â /t8 X //w

2.77

A matriz X//w œ >34 , cuja coluna 4 contém as coordenadas de /tw4 na base /, é chamada matriz de mudança ou de passagem da base / para a base /w e o facto de /w ser uma base de I implica que as suas colunas são linearmente independentes e que, portanto, X //w é regular. Multiplicando ambos os membros de 2.77 por X //"w à direita, obtém-se

c

a b

d c

d

/t" /t# â /t8 œ /tw" /t#w â /t8w X //"w

o que permite concluir que

a b a b

X/w/ œ X //"w

2.78

Além da relação anterior, é óbvio que

2.79

X// œ M 8

a

b

Se for, agora, /ww œ /tww" ß /t#wwß á ß /t8ww uma terceira base de I , ter-se-á

œ cc

dd cc

dd

/tww" /t#ww â /t8ww œ /t"w /t#w â /t 8w X /w/ ww /tw" /t#w â /t8w œ /t" /t# â /t8 X //w

Substituindo a 2ª destas igualdades na 1ª, obtém-se

c

d c

/tww" /t#ww â /t8ww œ /t" /t# â /t8

da

X//w X /w /ww

b

concluindo-se que

a b 2.80

X//ww œ X//w X/ w /ww

Como se transformam as coordenadas de um vector Bt quando se muda de base? tem-se

c

d c

d c ï

d

Bt œ /tw" /t#w â /t8w \/w œ /t" /t# â /t 8 X//w \/w œ /t" /t# â /t 8 \ / \ /

Como as coordenadas de Bt na base / são únicas, deverá ser \/ œ X//w \/ w

a b 2.81

Observe-se que as coordenadas do vector ocupam nesta igualdade posições contrárias às que são ocupadas pelos vectores das bases: daqui a designação de coordenadas contra-variantes que também lhes é dada.

Sec. 2.15] Mudança de base

aa b a

ba

143

aa b a

bb

ba

bb

Considerem-se, em ‘$ , as bases / œ "ß !ß " ß "ß "ß "ß ß !ß "ß " e /w œ !ß "ß " ß "ß #ß " ß "ß !ß " . Para calcular a matriz X//w de mudança da base / para /w , teremos de exprimir os /tw4 nos /t3 . Este processo conduz-nos a três sistemas de equações lineares com 3 equações e 3 incógnitas cada um, mas todos com a mesma matriz dos coeficientes: podemos, portanto, resolvê-los de uma só vez condensando a matriz seguinte Exemplo 2.42.

Ä

Ä

Ô Õ Ô Õ Ô Õ

" " ! ! " " ! " " " # ! " " " " " "

× Ô Ø Õ × Ô Ø Õ × Ô Ø Õ Ä

" " ! ! " " ! " " " # ! ! # " " # #

" " ! ! " " " " ! " " " # ! Ä ! $ ! ! $ " ' # ! ! $ ! ! # $ " " ! ! ! $ ! # ! # Ä ! " ! ! ! $ " ' # ! ! "

Daqui se conclui que X//w

Ô Õ

× Ø

Ä

! ! " " ! # ! # $ " ' # #Î$ " "Î$ #Î$ ! #Î$ "Î$ # #Î$

× Ø

× Ø

Ä

× Ø

# $ " " # ! # œ $ " ' #

Por exemplo, o vector Bt œ $/tw"  #/t#w  %/t $w exprime-se na base / por

c

d ÔÕ

# $ " " # ! # Bt œ /t" /t# /t$ $ " ' #

×Ô × a ØÕ Ø $ # %

œ

" %/t"  "%/t #  "(/t $ $

b

Em relação ao exemplo anterior, as matrizes de mudança da base canónica para as bases / e / são, respectivamente, Exemplo 2.43.

w

Ô Õ Ô Õ

× Ø × Ø

" " ! " X-/ œ ! " " " " ! " " ! X-/w œ " # " " "

a b

A expressão 2.80 permite confirmar a matriz obtida no exemplo anterior, já que X//w œ X/- X -/w œ

X -/"X -/w

Ô Õ

# " " " " " " œ $ " # "

×Ô ØÕ

! " " " # ! " " "

× Ô Ø Õ

em que a inversa de X -/ se pode obter pelo algoritmo de condensação.

# $ " " # ! # œ $ " ' #

× Ø

144

Matrizes [Cap. 2

As coordenadas do vector Bt do exemplo anterior na base canónica serão \- œ X-/w \/w œ

a

b

Ô Õ

! " " " # ! " " "

×Ô × Ô × ØÕ Ø Õ Ø $ # %

œ

' " *

Portanto, Bt œ 'ß "ß * ; este resultado pode ser confirmado por substituição directa dos /tw3 em Bt œ $/tw"  #/t#w  %/t $w .

a

b

Podemos generalizar o procedimento usado nos exemplos anteriores, para obter a matriz X//w de passagem de uma base / œ /t"ß /t#ß á ß /t8 de Š8 para uma segunda base /w œ /tw" ß /t#w ß á ß /t8w : Exemplo 2.44.

a

b

c

d c

d

/tw" /t#w â /t8w œ /t" /t# â /t8 X //w

Trata-se de calcular as coordenadas dos vectores /tw3 em relação à base / e, para tal, será necessário resolver os 8 sistemas de equações lineares nas incógintas >43 − Š resultantes das 8 igualdades vectoriais

" 8

/tw3

œ

>43/t4 à 3 œ "ß #ß á ß 8

4œ"

Todos estes sistemas serão determinados e terão a mesma matriz I dos coeficientes (cujas colunas são constituídas pelos vectores da base /); as matrizes dos termos independentes destes sistemas são os 8 vectores de /w . Podemos, pois, resolvê-los de uma só vez fazendo a condensação vertical da matriz I I w de tipo 8 ‚ #8 (em que I w tem por colunas os vectores de /w ), por forma a obter a matriz M8 X //w do mesmo tipo e cuja metade direita será a matriz de mudança de base pretendida:

‘ ‘  ‘ 

I I w Ä M8 X//w

‘

Se / for a base canónica de Š8, ficará I œ M8 e, então, não será necessária a condensação, w w resultando imediatamente X//w œ I ; se / for a base canónica, então será I w œ M8 e a condensação I M8 Ä M8 X//w mostra, de acordo com 2.66 , que será X//w œ I " .

 ‘ 

‘

2.16 Anexos: matrizes e o MATHEMATICA

a b

©

 MATHEMATICA

©

O software MATHEMATICA dispõe de funções capazes de resolver grande parte dos problemas por nós analisados neste capítulo; de entre as referidas funções salientamos: ©

ç MatrixQ[A]

Verifica se o argumento A é uma matriz, devolvendo True ou False. ç

IdentityMatrix[n]

Devolve a matriz identidade de ordem n. ç

DiagonalMatrix[vector]

Sec. 2.16] Anexos: matrizes e o MATHEMATICA

145

Devolve a matriz diagonal com as componentes do vector na diagonal. ç

RowReduce[A]

Reduz a matriz A à forma escalonada, com pivots iguais a " e anulando todos os elementos nas colunas dos pivots à excepção destes. Facilmente se obtém a característica de A , por simples observação do resultado (número de linhas não nulas). Se aplicada à matriz completa dum sistema, permite fàcilmente resolvê-lo. Para obter a matriz completa ab a partir das matrizes a e b, pode usar-se ab = Transpose[Join[Transpose[a], {b}]]

ç MatrixRank[A,

ZeroTest-> test]

Calcula a característica da matriz A, usando a função são nulos. ç

test

para testar se os elementos de A

LinearSolve[A, B]

Calcula um vector sp solução particular do sistema A.X==B, se este for possível ou dá uma mensagem de erro, quando o sistema for impossível. Se o sistema for determinado, será esta a sua única solução; se for indeterminado, obtemos a solução geral mediante soma com uma combinação linear arbitrária dos vectores fornecidos pela função NullSpace[A]. sp = LinearSolve[A,B]

ç NullSpace[A]

Calcula uma base sh do espaço vectorial das soluções do sistema homogéneo A.X==O. A base é devolvida como uma lista sh de vectores (uma matriz do tipo 8  < ‚ 8).

a b

sh = NullSpace[A]

Quando indeterminado, a solução geral sg de A.X==B obtém-se por sg = sp + Array[c, {Length[sh]}].sh

onde os c[1] ç

,

c[2] á c[n-r] ,

,

são parâmetros arbitrários.

Solve[A.X == B, X]

Resolve a equação A.X == B em ordem às variáveis presentes na lista X. No caso de sistemas indeterminados, podemos escolher as < variáveis principais e colocá-las na lista X. ,

ç

Reduce[A.X == B, X]

Resolve a equação A.X == B em ordem às variáveis mencionadas na lista X. Esta função é particularmente potente, permitindo mesmo fazer a discussão de sistemas com parâmetros (estes não são obviamente parte da lista X). A solução vem como uma expressão lógica envolvendo os operadores booleanos && e || (conjunção e disjunção). ,

ç

Inverse[A]

Calcula a matriz inversa da matriz quadrada regular A ou dá uma mensagem de erro, se a matriz for singular.

146

Matrizes [Cap. 2

A título de ilustração dos algoritmos descritos neste capítulo, apresenta-se nas próximas páginas, um package chamado ALGA`Matrizes` implementado em MATHEMATICA , onde se utilizam os algoritmos de condensação mencionados. Os módulos implementados são: ©

ç

Caracteristica[A,PivotUm -> opcao]

Devolve a lista formada pela característica e pela forma escalonada da matriz, com opção para que os pivots sejam 1 ou não (por defeito, não são). ç

GaussJordan[A,B]

Usa o algoritmo de Gauss-Jordan na resolução do sistema de equações lineares A.X == B ç

.

Inversa[A]

Determina a inversa da matriz quadrada A , por condensação. ç

InversaDireita[A,c]

Calcula as inversas direitas de A, se existirem, com parâmetros c. ç

InversaEsquerda[A,c]

Calcula as inversas esquerdas de A, se existirem, com parâmetros c. ç

DivisaoEsquerda[A,B,c]

Determina a divisão esquerda de B por A, se existir, com parâmetros c. ç

DivisaoDireita[A,B,c]

Determina a divisão direita de B por A, se existir, com parâmetros c. determina a solução do sistema AX == B , a partir da estimativa inicial X0 com a tolerancia tol e com um máximo de pontos max e devolve a lista formada pela solução aproximada e pelo número de pontos calculados (excluindo X0). ç

GaussSeidel[A,B,X0,tol,max]

determina a lista de um máximo de max+1 soluções aproximadas (incluindo X0) do sistema AX == B , a partir da estimativa inicial X0 com a tolerancia tol. ç

GaussSeidelPoints[A,B,X0,tol,max]

ç

Passagem[e1,e2]

Determina a matriz de mudança da base e1 para a base e2; mais geralmente, determina a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vectores da lista e2 em relação à base e1. ç

Coordenadas[e1,e2,xe1]

Transforma as coordenadas xe1 de um vector da base e1 para a base e2. Segue-se a listagem do package ALGA`Matrizes` : (* (* (* (*

Package by Carlos Ribeiro, Maio 2008 *) Contexto : ALGA`Matrizes` *) Versão : 3.5 *) Versão do Mathematica : 6.0 *)

BeginPackage["ALGA`Matrizes`"]


147

(* ------------------------------ HELP ON-LINE ------------------------------ *) AppendRows::usage = "AppendRows[mat1, mat2, ...] dá uma nova matriz composta pelas submatrizes \ mat1, mat2, ..., juntando-lhes as linhas. As submatrizes deverão ter o mesmo número de linhas." AppendColumns::usage = "AppendColumns[mat1, mat2, ...] dá uma nova matriz composta pelas \ submatrizes mat1, mat2, ..., juntando-lhes as colunas. As submatrizes deverão ter o mesmo \ número de colunas." ZeroMatrix::usage = "ZeroMatrix[m] devolve a matriz nula quadrada de ordem m. ZeroMatrix[m, n] \ devolve a matriz nula de tipo m x n." SquareMatrixQ::usage = "SquareMatrixQ[mat] testa se a matriz mat é quadrada." Op1::usage = "Op1[A,i,j] Matriz que resulta de trocar as linhas i e j na matriz A." Op2::usage = "Op2[A,i,x] Matriz que resulta de multiplicar a linha i da matriz A pelo \ escalar x não-nulo." Op3::usage = "Op3[A,i,j,y] matriz obtida de A, substituindo a linha i pela sua soma com \ o produto do escalar y pela linha j." Op4::usage = "Op4[A,i,j,x,y] matriz obtida de A, substituindo a linha i \ pela soma do produto com o produto do escalar y pela linha j." PivotUm::usage = "PivotUm é uma opção da função Caracteristica[] que indica que os pivots \ deverão ser 1s, quando PivotUm for igual a True. Por defeito é PivotUm -> False." Caracteristica::usage="Caracteristica[A, PivotUm -> Opção] Devolve a lista composta pela característica de A, seguida da matriz levada à forma escalonada. PivotUm é uma opção que \ indica que os pivots deverão ser 1s, quando PivotUm for igual a True. \ Por defeito é PivotUm -> False."

\

GaussJordan::usage="GaussJordan[A,B] Resolve o sistema A.X = B, devolvendo uma lista formada \ por uma solução particular e pela lista contendo os vectores duma base do espaço das soluções \ do sistema homogéneo A.X = O." Inversa::usage="Inversa[A] calcula a matriz inversa da matriz quadrada A." InversaDireita::usage="InversaDireita[A,c] calcula a(s) matriz(es) inversa(s) direita(s) da \ matriz A e usando c como parâmetro." InversaEsquerda::usage="InversaEsquerda[A,c] calcula a(s) matriz(es) inversa(s) esquerda(s) \ da matriz A e usando c como parâmetro." DivisaoEsquerda::usage="DivisaoEsquerda[A,B,c] calcula o quociente de B por A, com o divisor \ A à esquerda e usando c como parâmetro." DivisaoDireita::usage="DivisaoDireita[A, B, c] calcula o quociente de B por A, com o divisor \ A à direita e usando c como parâmetro." GaussSeidel::usage="GaussSeidel[a, b, x0, err, iter] tenta resolver o sistema ax=b pelo método \ de Gauss-Seidel, a partir de um ponto inicial x0 com um erro inferior a err e realizando um \ máximo de iter iterações." GaussSeidelPoints::usage="GaussSeidelPoints[a, b, x0, err, iter] devolve a lista de pontos \ obtida pelo algoritmo de Gauss-Seidel na resolução do sistema ax=b, a partir de um ponto \ inicial x0 com um erro inferior a err e realizando um máximo de iter iterações." Passagem::usage="Passagem[e1, e2] Devolve a matriz cujas colunas são as coordenadas dos \ vectores da lista e2, na base formada pelos vectores da lista e1; se e2 for outra base, \ calcula a matriz de mudança de e1 para e2. A lista e1 deve ser uma base e os vectores de e2 \ devem pertencer ao espaço gerado por e1."

148

Matrizes [Cap. 2

Coordenadas::usage="Coordenadas[e1, e2, xe1] Devolve as coordenadas em relação à base e2 de \ um vector, dadas as suas coordenadas xe1 em relação à base e1." Begin["`Private`"] (* -------------------------------- DEFAULTS -------------------------------- *) Options[Caracteristica] = {PivotUm -> False}; (* --------------------------- MENSAGENS DE ERRO ---------------------------- *) Op2::escalarnulo3 = "Operação do tipo 2 inválida. O 3º argumento não pode ser nulo."; Op4::escalarnulo4 = "Operação do tipo 4 inválida. O 4º argumento não pode ser nulo."; GaussJordan::errdimensao = "GaussJordan[A,B]: Nº de linhas da matriz A diferente do \ comprimento do vector B."; GaussJordan::impossivel = "Sistema AX = B impossível."; Caracteristica::matrizvazia = "Matriz vazia." Inversa::inverrdimensao = "A matriz a inverter não é quadrada ou é vazia."; Inversa::singular = "A matriz é singular."; InversaDireita::naoexiste = "A matriz não tem inversa(s) direita(s)."; InversaEsquerda::naoexiste = "A matriz não tem inversa(s) esquerda(s)."; DivisaoEsquerda::naoexiste = "A divisão esquerda não é possível."; DivisaoEsquerda::dimensao = "O número de linhas das matrizes a dividir não é igual"; DivisaoDireita::naoexiste = "A divisão direita não é possível."; DivisaoDireita::dimensao = "O número de colunas das matrizes a dividir não é igual"; GaussSeidel::errdim = GaussSeidelPoints::errdim = "O comprimento do vector inicial é \ diferente da ordem da matriz simples do sistema."; GaussSeidel::errindep = GaussSeidelPoints::errindep = "O comprimento do vector dos termos \ independentes é diferente da ordem da matriz simples do sistema."; GaussSeidel::errdiag=GaussSeidelPoints::errdiag="Existe(m) elemento(s) nulo(s) na diagonal \ da matriz simples."; GaussSeidel::dimensao = GaussSeidelPoints::dimensao = "A matriz simples do sistema \ não é quadrada."; Passagem::naobase = "A primeira lista não é uma base."; Passagem::errdim = "Os vectores da segunda lista não pertencem ao espaço gerado pelos \ vectores da primeira lista."; Coordenadas::naobase = "A segunda lista não é uma base."; Coordenadas::errdim = "As bases indicadas nos dois primeiros argumentos não são do mesmo \ espaço ou o vector tem a dimensão errada."; (* ------------------------------ IMPLEMENTAÇÃO ------------------------------ *) (* Implementação da função ZeroMatrix *) ZeroMatrix[0, ___] := {} ZeroMatrix[m_Integer, 0] := Table[{}, {m}] ZeroMatrix[m_Integer, n_Integer] := Normal[SparseArray[{},{m, n}]] /; \ m >= 0 && n>=0 ZeroMatrix[m_Integer] := ZeroMatrix[m, m] /; m >= 0

Sec. 2.16] Anexos: matrizes e o MATHEMATICA (* Implementação da função SquareMatrixQ *) SquareMatrixQ[a_?MatrixQ] := SameQ @@ Dimensions[a] (* Implementação da função AppendRows *) SameRowSize[l_List] := (SameQ @@ (Dimensions[#][[1]]& /@ l) ) AppendRows[l__?MatrixQ] := Transpose[Join @@ Transpose /@ {l}] /; \ SameRowSize[{l}] (* Implementação da função AppendColumns *) SameColumnSize[l_List] := (SameQ @@ (Dimensions[#][[2]]& /@ l) ) AppendColumns[l__?MatrixQ] := Join[l] /; SameColumnSize[{l}] (* Implementação das operações elementares *) Op1[a_?MatrixQ, i_Integer, j_Integer] := Module[{temp = a[[i]], b = a}, b[[i]] = b[[j]]; b[[j]] = temp; b] Op2[a_?MatrixQ, i_Integer, x_] := Module[{b = a}, If[x == 0, Message[Op2::escalarnulo3], b[[i]] = x b[[i]]; b]] Op3[a_?MatrixQ, i_Integer, j_Integer, x_] := Module[{b = a}, b[[i]] = b[[i]] + x b[[j]]; b] Op4[a_?MatrixQ, i_Integer, j_Integer, x_, y_] := Module[{b = a}, If[x == 0, Message[Op4::escalarnulo4], b[[i]] = x b[[i]] + y b[[j]]; b]] (* Implementação do módulo Caracteristica *) Caracteristica[a_?MatrixQ, opt___?OptionQ] := Module[{m = Length[a], n = Dimensions[a][[2]], b = a, r = 0, k = 0, i, piv1}, {piv1} = {PivotUm}/.Flatten[{opt, Options[Caracteristica]}]; If[m == 0 || n== 0, Message[Caracteristica::matrizvazia]; Print["Caracteristica[", a, ", PivotUm -> ", piv1, "]"], While[r < m && k < n, While[k++; i = r; While[i++; b[[i, k]] == 0 && i < m, Null]; b[[i, k]] == 0 && k < n, Null ]; If[b[[i, k]] != 0, r++; b = Op1[b, r, i]; If[piv1, b = Op2[b, r, 1/b[[r, k]]]; For[i = r + 1, i <= m, i++, b = Op3[b, i, r, -b[[i, k]]]], For[i = r + 1, i <= m, i++, If[b[[i,k]] != 0, b = Op4[b, i, r, b[[r, k]], -b[[i,k]]]]] ] ] ]; {r,b} ] ] (* Implementação do módulo GaussJordan *) GaussJordan[a_?MatrixQ, b_?VectorQ] := Module[{m = Length[a], n = Dimensions[a][[2]], s = 0, r = 0, k = 0, c, i, piv, sp, sh}, If[m != Length[b], Message[GaussJordan::errdimensao], (* Condensação da matriz completa *) c = Transpose[Join[Transpose[a],{b}]]; piv = Table[False,{n}]; While[s < m && k < n+1, While[k++; i = s; While[i++; c[[i, k]] == 0 && i < m, Null];

149

150

Matrizes [Cap. 2 c[[i, k]] == 0 && k < n+1, Null ]; If[c[[i, k]] != 0, s++; If[k <= n, r++; piv[[k]] = True]; If[i != s, c = Op1[c, s, i]]; c = Op2[c, s, 1/c[[s, k]]]; For[i = 1, i <= m, i++, If[i != s, c = Op3[c, i, s, -c[[i, k]]]] ] ] ]; (* Discussão da solução e preparação da saída *) If[s != r, (* Sistema impossível *) Message[GaussJordan::impossivel]; Print["GaussJordan[", a, ", ", b, "]"], (* Sistema possível *) (* sp: solução particular *) sp = Table[0,{n}]; For[k = 1; i = 0, k <= n, k++, If[piv[[k]], i++; sp[[k]] = c[[i, n+1]]] ]; (* sh: base do espaço das soluções do sistema homogéneo associado *) sh = Table[0,{n-r},{n}]; For[s = 1; t = 0, s <= n, s++, If[Not[piv[[s]]], t++; For[k = 1; i = 0, k <= n, k++, If[piv[[k]], i++; sh[[t, k]] = -c[[i, s]], sh[[t, s]] = 1] ] ] ]; {sp, sh} ]

] ] (* Implementação do módulo Inversa *) Inversa[a_?MatrixQ] := Module[{n = Length[a], cont = True, r = 0, k = 0, b, i}, If[Not[SquareMatrixQ[a]], Message[Inversa::inverrdimensao]; Print["Inversa[", a, "]"], (* Inversão da matriz *) b = Transpose[Join[Transpose[a],IdentityMatrix[n]]]; While[r < n && k < n && cont, k++; i = r; While[i++; b[[i, k]] == 0 && i < n, Null]; If[b[[i, k]] == 0, cont = False, r++; If[i != r, b = Op1[b, r, i]]; b = Op2[b, r, 1/b[[r, k]]]; For[i = 1, i <= n, i++, If[i != r, b = Op3[b, i, r, -b[[i, k]]]] ] ] ]; If[cont, Transpose[Take[Transpose[b],-n]], Message[Inversa::singular];Print["Inversa[", a, "]"] ] ] ]

Sec. 2.16] Anexos: matrizes e o MATHEMATICA (* Implementação do módulo InversaDireita *) InversaDireita[a_?MatrixQ, c_]:= Module[{sh = NullSpace[a], i}, If[Caracteristica[a][[1]] == Length[a], Transpose[Table[LinearSolve[a,IdentityMatrix[Length[a]][[i]]]+ Array[c[i],{Length[sh]}].sh,{i,Length[a]}]], Message[InversaDireita::naoexiste]; Print["InversaDireita[", a, ", ", c, "]"] ] ] (* Implementação do módulo InversaEsquerda *) InversaEsquerda[a_?MatrixQ, c_] := If[Caracteristica[a][[1]] == Dimensions[a][[2]], Transpose[InversaDireita[Transpose[a], c]], Message[InversaEsquerda::naoexiste]; Print["InversaEsquerda[", a, ", ", c, "]"] ] (* Implementação do módulo DivisaoEsquerda *) DivisaoEsquerda[a_?MatrixQ,b_?MatrixQ, c_]:= Module[{sh=NullSpace[a]}, If[Length[a]==Length[b], If[Caracteristica[a][[1]]== \ Caracteristica[Join[Transpose[a],Transpose[b]]][[1]], Transpose[Table[LinearSolve[a,b[[All,i]]]+Array[c[i],{Length[sh]}].sh, \ {i,Dimensions[b][[2]]}]], Message[DivisaoEsquerda::naoexiste]; Print["DivisaoEsquerda[",a,", ",b,"]"] ], Message[DivisaoEsquerda::dimensao];Print["DivisaoEsquerda[",a,",",b,"]"] ] ] (* Implementação do módulo DivisaoDireita *) DivisaoDireita[a_?MatrixQ,b_?MatrixQ, c_]:= Module[{sh=NullSpace[a]}, If[Dimensions[a][[2]]==Dimensions[b][[2]], If[Caracteristica[a][[1]]==Caracteristica[Join[a,b]][[1]], Transpose[DivisaoEsquerda[Transpose[a],Transpose[b],c]], Message[DivisaoDireita::naoexiste]; Print["DivisaoDireita[",a,", ",b,"]"] ], Message[DivisaoDireita::dimensao];Print["DivisaoDireita[",a,", ",b,"]"] ] ] (* Implementação do módulo GaussSeidel *) GaussSeidel[a_?MatrixQ,b_?VectorQ,x0_?VectorQ,&_,maxiter_?IntegerQ]:= Module[{y0=x0,y1=x0,n=Length[x0],i,j,cont=True,m=0,ok=True}, If[SquareMatrixQ[a], If[Length[a]==Length[b], If[Length[a]==Length[x0], For[i=1,i<=n,i++,ok=ok && a[[i,i]]!=0]; If[ok, While[cont, For[i=1,i<=n,i++, y1[[i]]=1/a[[i,i]]*(b[[i]]-Sum[a[[i,j]]*y1[[j]],{j,1,i-1}]-\ Sum[a[[i,j]]*y0[[j]],{j,i+1,n}]); m++ ]; cont=Norm[y1-y0]>=& && m<=maxiter;

151

152

Matrizes [Cap. 2 y0=y1 ]; {y1,m}, Message[GaussSeidel::errdiag] ], Message[GaussSeidel::errdim] ], Message[GaussSeidel::errindep] ], Message[GaussSeidel::dimensao]

] ]

(* Implementação do módulo GaussSeidelPoints *) GaussSeidelPoints[a_?MatrixQ,b_?VectorQ,x0_?VectorQ, &_,maxiter_?IntegerQ]:= Module[{y0=x0,y1=x0,n=Length[x0],i,j,cont=True,lista,m=0,ok=True}, If[SquareMatrixQ[a], If[Length[a]==Length[b], If[Length[a]==Length[x0], For[i=1,i<=n,i++,ok=ok && a[[i,i]]!=0]; If[ok, lista={y1}; While[cont, For[i=1,i<=n,i++, y1[[i]]=1/a[[i,i]]*(b[[i]]-Sum[a[[i,j]]*y1[[j]],{j,1,i-1}]-\ Sum[a[[i,j]]*y0[[j]],{j,i+1,n}]); lista=Join[lista,{y1}]; m++ ]; cont=Norm[y1-y0]>=& && m<=maxiter; y0=y1 ]; lista, Message[GaussSeidelPoints::errdiag] ], Message[GaussSeidelPoints::errdim] ], Message[GaussSeidelPoints::errindep] ], Message[GaussSeidelPoints::dimensao] ] ] (* Implementação do módulo Passagem *) Passagem[e1_?MatrixQ,e2_?MatrixQ]:= Module[{n=Length[e1]}, Which[Not[SquareMatrixQ[e1]], Message[Passagem::naobase], MatrixRank[e1]!=n, Message[Passagem::naobase], Dimensions[e2][[2]]!=n, Message[Passagem::errdim], True, Transpose[e2.Inverse[e1]] ] ] (* Implementação do módulo Coordenadas *) Coordenadas[e1_?MatrixQ,e2_?MatrixQ,xe1_?VectorQ]:= Module[{n=Length[e1]}, Which[Not[SquareMatrixQ[e1]], Message[Coordenadas::naobase], MatrixRank[e1]!=n, Message[Coordenadas::naobase], Length[e2]!=n || Length[xe1]!=n, Message[Coordenadas::errdim], True, Passagem[e2,e1].xe1 ] ]


153

End[] EndPackage[]

O package ALGA`Matrizes` deverá ser previamente carregado por meio de um dos comandos <
Nas páginas seguintes, apresenta-se um notebook onde se ilustra o uso do package anterior e das funções próprias do software MATHEMATICA para resolver vários p roblemas matriciais. ©

Matrizes [Cap. 2

154

Matrizes 2.16.1. O que s ão?

ü

No MATHEMATICA, uma matri z é uma list a de lis tas do mesmo co mpri mento

a =

882, 2, 1<, 83, − 2, 1<, 81, − 5, 1<, 83, 2, − 1<<;

b =

882, − 5<, 83, 4, 1<<; 8

<

c = 3, − 2, 5 ;

ü

Pode formatar-se uma matriz com a função Mat r i xFor m[ ]

êê MatrixForm

a

2 2 1 3 −2 1 1 −5 1 3 2 −1

2.16.2. Acesso aos elementos de um a matriz

ü

Podemos extrair partes de uma matriz

Obtém-se o elemento na posição ( 3, 2) da matriz por meio de a[ [ 3, 2] ] ou Par t [ a, 3, 2]

8a@@3, 2DD,

@

Part a, 3, 2

D<


8− 5,

<

−5

A linha 3

@@3DD

a

81,

− 5,

<

1

A coluna 2

@@ All, 2DD

a

82,

− 2, − 5,

<

2

Podemos extrair as 2 primeiras linhas com Take[ a, 2]

@

Take a, 2

D êê MatrixForm

2 2 1 3 −2 1

Ou as 2 últimas linhas

@

D êê MatrixForm

Take a, − 2

1 −5 1 3 2 −1

Podemos extrair as 2 primeiras colunas

155

Matrizes [Cap. 2

156

@

Take a, All, 2

D êê MatrixForm

2 2 3 −2 1 −5 3 2

Podemos extrair as 2 últimas colunas

@

D êê MatrixForm

Take a, All, − 2

2

1 −2 1 −5 1 2 −1

Ou as linhas de ordem par

@ 82, 4, 2
Take a,

3 −2 1 3 2 −1

Ou as colunas 2 e 3

@

Take a, All,

82, 3
2

1 −2 1 −5 1 2 −1

2.16.3. Dimensões (ti po) de um a matriz


Podemos obter o vector contendo o número de linhas e de colunas (tipo da matriz)

@D

Dimensions a

84, 3<

E extrair daí o número de linhas

@ D@@1DD

Dimensions a

4

@D

Length a

4

E o número de colunas

@ D@@2DD

Dimensions a

3

2.16.4. Trata-se mesmo de uma matriz?

A função Mat r i xQ verifica se um objecto é uma matriz

@D

MatrixQ a

157

Matrizes [Cap. 2

158

Tr ue

@D

MatrixQ b

Fal se

@D

MatrixQ c

Fal se

2.16.5. Geração d e matr izes

Podemos gerar matrizes i dentidade de qualquer ordem

@ D êê MatrixForm

IdentityMatrix 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Podemos gerar matrizes diagonais

@82, − 3, 0, 1
DiagonalMatrix

2 0 0 −3 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

Matriz diagonal complexa com elementos diagonais aleatórios


159

@

@ @8− 10, 10
DiagonalMatrix Table RandomInteger

−9 +

10  0

0 0 0 0

−6 + 9 

0 0 0

0 0 0 0 −5 − 2  0 0 3− 8  0 0

0 0 0 0 − 10 − 10 

Podem gerar-se outras matrizes com Tabl e[ ] ou Ar r ay[]

Ha = Table@1 ê Hi + j − 1L, 8i, 3<, 8j, 4

1 2

1 3

1 4

1 2

1 3

1 4

1 5

1 3

1 4

1 5

1 6

H b = Array@x, 83, 4

D x@1, 2D x@1, 3D x@1, 4D D x@2, 2D x@2, 3D x@2, 4D D x@3, 2D x@3, 3D x@3, 4D

x 1, 1 x 2, 1 x 3, 1

Hc = RandomInteger@8− 9, 9<, 84, 3

Podemos gerar uma matriz tridiagonal de 8ª ordem com elementos aleatórios inteiros entre - 10 e 10 nas 3 diagonais

@ @

@

D

@8− 10, 10
Table If Abs i − j ≤ 1, RandomInteger MatrixForm

Matrizes [Cap. 2

160

−2 −9

0 0 0 0 0 0

4 1 0 0 0 0 0 0

0 1 2 0 0 0 0 0

0 0 1 −5 8 0 0 0

0 0 0 3 −8 −9 0 0

0 0 0 0 6 6 6 0

0 0 0 0 0 −6 9 3

0 0 0 0 0 0 2 −5

Matriz 5x6 formada por números primos escolhidos aleatoriamente de entre os primeiros 2000

@

@

@81, 2000
Table Prime RandomInteger

8273 773 17093 1579 2417

9377 1483 2711 4591 13 691

3271 8501 3617 11 159 1451

16927 5639 14983 9601 479

11681 4759 12763 1559 3863

15889 10 657 14699 2207 4793

2.16.6. Operações matric iais

Podem somar-se matrizes com + ou Pl us[ ]

Hc = a + bL êê MatrixForm @ D 1 + x@2, 1D 2 1 + x@3, 1D 3

1 + x 1, 1

@ D 1 + x@2, 2D 3 1 + x@3, 2D 4 1 + 2

x 1, 2

@ D 1 + x@2, 3D 4 1 + x@3, 3D 5 1 + 3

x 1, 3

Multiplicar por escalar

Hd = − Pi ∗ aL êê MatrixForm

@ D 1 + x@2, 4D 5 1 + x@3, 4D 6 1 + 4

x 1, 4


163

E conjugar

Hd = Conjugate@cDL êê MatrixForm 102 39  − 5 5

−

86 18  − 5 5

−

13 3  + 2 2

−8 −

8

266 121  − 13 13

−

92 34  − 13 13 8  + 13 13

61 22  − 5 5

5 7  + 2 2

−

73 24  + 5 5

7−

24 16  − 13 13

Podemos definir a função transconjugada

@

D

@

@ DD

TransConjugada a_ ? MatrixQ : = Transpose Conjugate a

Podemos, agora, usá-la

@ D êê MatrixForm

TransConjugada d

102 39  + 5 5 13 3  − 2 2 266 121  + 13 13

−

−

86 18  + 5 5

−8 + 8  −

92 34  + 13 13

61 22  + 5 5

73 24  − 5 5

5 7  − 2 2 8  − − 13 13

7+ 24 16  + 13 13

@

@ DD == d

TransConjugada TransConjugada d

Tr ue

Podemos calcular potências de matrizes

Ha = Table@Hi + jL ê H1 + Abs@i − jDL, 8i, 4<, 8j, 4

Matrizes [Cap. 2

164

2

3 2

4 3

5 4

3 2 4 3

4

5 2

2

5 2

6

7 2

5 4

2

7 2

8

@

MatrixPower a, 3

D êê MatrixForm

3301 36

5153 32

12593 54

154805 576

5153 32

581 2

59935 144

11317 24

12593 54

59935 144

5783 9

211333 288

154805 576

11317 24

211333 288

22651 24

@

D êê MatrixForm

MatrixPower a, − 2

3956854176 6 902452 561

−

1709058624 6 902452 561

−

1 709058 624 6902452561

1 609475 444 6902452561

−

120 503304 6902452561

−

−

170 052096 6 902452561

41067096 6 902452561

442309104 6902452561

@

MatrixPower a, 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

−

120503304 6902452 561

−

−

442309104 6902452561

41067096 6902452561

659269 044 6902452561

−

231678624 6902452561

−

170 052096 6 902452 561

231 678624 6902452561

266544416 6 902452561

D êê MatrixForm

0 0 0 1

2.16.7. Matrizes permutáveis

 Definir fu nção polinómio Pol Al eat or i o na matriz mat com coeficientes inteiros aleatórios entre - 9

e 9 e grau aleatório até maxgr au - devolve uma lista contendo o grau gerado, os coeficientes gerados e a matriz obtida


@

165

H

@ D ModuleB8grau = RandomInteger@80, maxgrauF

PolAleatorio mat_ ? MatrixQ, maxgrau_ ? IntegerQ 1 && 1 ≥ 0 &

LD :=

grau

k=0

 A f un ção Mat Al eat or i a gera uma matriz quadr ada de ordem aleatór ia entre 2 e 5 com elementos

inteiros aleatórios entre - 9 e 9

@D :=

MatAleatoria

@8n = RandomInteger@82, 5
Module

a é uma matriz quadrada aleatória

Ha = MatAleatoria@DL êê MatrixForm −1

9

3

−2

b é a matriz polinómio em a com grau gr até 4 e coeficientes cf

8gr, cf, b< = PolAleatorio@a, 4D; O grau, os coeficientes e a matriz polinómio em a gerada anteriormente

8gr, cf, b êê MatrixForm < :2, 84,

<,

− 1, − 3

− 79

24

72 − 87

>

Matrizes [Cap. 2

166

Verificar que a e b são permutáveis

H p = a.bL  Hq = b.aL Tr ue

@

8

Map MatrixForm, p, q

:

295 − 855 , − 285 390

295 − 855 − 285 390

H

L4 = a 4. b4

>

Verificaçãode que a. b

H p = [email protected], 4DL  Hq = MatrixPower@a, 4D.MatrixPower@ b, 4DL Tr ue

p

êê MatrixForm

47152726420 − 71836014105 − 32930742250 6191942 216 11031472 641 28 865807720 46472670946 − 37496710654 27 669 372 445

êê MatrixForm

q

47152726420 − 71 836014105 − 32930742250 6 191942216 11 031472641 28 865807720 46472670946 − 37 496710654 27 669372445

Binómiode Newton:

Ha + bL3 = a 3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b 3


H p = MatrixPower@a + b, 3DL  Hq = MatrixPower@a, 3D + 3 MatrixPower@a, 2D.b + 3 a.MatrixPower@ b, 2D + MatrixPower@ b, 3DL Tr ue

p

êê MatrixForm

109719 − 147917 − 116298 34 776 32 712 55 328 116074 − 126 686 49876

êê MatrixForm

q

109719 − 147917 − 116298 34776 32712 55328 116074 − 126686 49876

Verificaçãode que a2 − b

=

H a + bL. Ha − bL

H p = MatrixPower@a, 2D − MatrixPower@ b, 2DL  Hq = Ha + bL.Ha − bLL Tr ue

p

êê MatrixForm

31 944 2866

− 3513

− 3022

− 1812

1292 − 3274 − 1496

êê MatrixForm

q

167

Matrizes [Cap. 2

168

31 944 2866

− 3513

− 3022

− 1812

1292 − 3274 − 1496

2.16.8. Matrizes não permutáveis

Gerar nova matriz b aleatória e da mesma ordem que a matriz a

H b = RandomInteger@8− 9, 9<, 8Length@aD, Length@aD

2 8 −7 3 9 2 −9 −8

Verificar que a e b não são permutáveis

H p = a.bL == Hq = b.aL Fal se

p

êê MatrixForm

25 21 − 34

− 77

− 75

− 23

− 39

− 25

16

êê MatrixForm

q

− 36

84 − 44 96 56 − 79

−4 −5 − 42


H

169

L4 ≠ a 4. b4

Verificaçãode que a. b

H p = [email protected], 4DL == Hq = MatrixPower@a, 4D.MatrixPower@ b, 4DL Fal se

p

êê MatrixForm

4 919860 2 285749 − 2 625150 4 475298 − 1 269389 − 4 874232 − 6424 717 6942 125 10797 643

êê MatrixForm

q

− 7198325

− 863315

6766995 − 2 205 775 13419 573 11763 441 − 1 075 200 20772 113 15810 796

Binómiode Newtonnão se verifica :

Ha + bL3 ≠ a3

+

3 a2 b

+

3 ab2

+

b3

H p = MatrixPower@a + b, 3DL == Hq = MatrixPower@a, 3D + 3 MatrixPower@a, 2D.b + 3 a.MatrixPower@ b, 2D + MatrixPower@ b, 3DL Fal se

p

êê MatrixForm

68 32 625 − 176 229 671 − 33 − 13 171

Matrizes [Cap. 2

170

êê MatrixForm

q

− 328 − 512

164

1770 1320 2323 1874 − 708 − 1527

H

L H

Verificaçãode que a2 − b 2 ≠ a + b . a − b

L

H p = MatrixPower@a, 2D − MatrixPower@ b, 2DL == Hq = Ha + bL.Ha − bLL Fal se

p

êê MatrixForm

− 38

133 144 − 55 115 81 26 − 81 5

êê MatrixForm

q

− 99

294 2 15 − 120 234 115 − 49 − 32 9

2.16.9. Representação gráfi ca

Podemos representar matrizes geometricamente em 3D

@D

ListPlot3D a


B

@ D

171

@8− 0.15`, 0.15`
b = Table Cos x y + RandomReal

:x, 0,

3 π π , , 2 20

> :y, 0,

3 π π , 2 20

@D

ListPlot3D b

E podemos representar matrizes geometricamente em 2D

>F;

Matrizes [Cap. 2

172

@

ListDensityPlot b, Mesh → False

D

2.16.10. Característica

@

D

Needs "ALGA`Matrizes`"

Ha = 881, − 2, 1, 0, 3<, 80, 1, 3, 4, 2<, 8− 1, 1, − 1, − 1, − 2<
1 0

−2

1 −1 1

1 3

0 4

3 2 − 1 − 1 −2

Cálculo da característica

? Caracteristica


Caracteristica@ A, PivotUm -> OpçãoD Devolve a lista composta pela característica de A, seguida da matriz levada à forma escalonada. PivotUm é uma opção que indica que os pivots deverão ser 1s, quando PivotUm for igual a True. Por defeito é PivotUm -> False.

8 MatrixRank@aD, Caracteristica@aD@@1DD< 3

@

D

Remove "Global`∗"

2.16.11. Sist emas

 Sistema determinado

Ha = 881, 2, 2<, 83, − 2, − 1<, 82, − 5, 3<, 81, 4, 6<
8

<

b = 2, 5, − 4, 0 ;

Uso de RowReduce[ ]

Hab = Transpose@Join@Transpose@aD, 8 b
173

Matrizes [Cap. 2

174

@ D êê MatrixForm

RowReduce ab

1 0 0 0

0 1 0 0

0 2 0 1 1 −1 0 0

Uso de GaussJ or dan[ ]

? GaussJordan

GaussJordan@ A,BD Resolve o sistema A.X = B, devolvendo uma lista formada por uma solução particular e pela lista contendo os vectores duma base do espaço das soluções do sistema homogéneo A.X = O.

@

D

solu = GaussJordan a, b

882,

1,

<, 8<<

−1

Hsp = solu@@1DDL êê MatrixForm 2 1 −1

Verificação do resultado

a.sp == b

Tr ue

Uso de Li near Sol ve[ ] e Nul l Space[ ]


175

Hsp = LinearSolve@a, bDL êê MatrixForm 2 1 −1

@D

NullSpace a

8<

Uso de Sol ve[ ]

8

<

X = x, y, z ;

sistema = a.X  b

8x + 2 y + 2 z ,

3x − 2 y − z, 2x − 5 y + 3z, x + 4 y + 6 z

@

Solve sistema, X

88x → 2,

D

<<

y → 1, z → − 1

Uso de Reduce[ ]

@

Reduce sistema, X

x  2 &&y  1 &&z  − 1

D

<  82, 5,

− 4,

<

0

Matrizes [Cap. 2

176

@

D

Remove "Global`∗"

 Sistema impossível

Ha = 881, 5, 4, − 13<, 83, − 1, 2, 5<, 82, 2, 3, − 4<
8

<

b = 3, 2, 1 ;

Uso de RowReduce[ ]

@ D êê MatrixForm

RowReduce ab

1 0

7 8

3 4

0 1

5 8

−

0 0 0

0

0 11 4

0 1


@

D



177

GaussJ or dan: : i mpossi vel : Si st ema A. X

@881,

GaussJ or dan

<, 83,

5, 4,

− 13

− 1,

=

B i mposs í vel .

< 82, 2, 3,

<<, 83,

2, 5 ,

−4

2, 1

Uso de Li near Sol ve[ ]

Hsp = LinearSolve@a, bDL êê MatrixForm Li near Sol ve: : nosol : Li near equat i on encount er ed t hat has no sol ut i on.

@881,

Li near Sol ve

5, 4,

<, 83,

− 13

− 1,

< 82,

2, 5 ,

2, 3,

<<, 83,

−4

2, 1

Uso de Sol ve[ ]

8

<

X = x, y, z, w ;

sistema = a.X  b

8− 13 w+ x + 5 y + 4 z ,

@

5 w+ 3 x − y + 2 z,

Solve sistema, X

D

8<

Uso de Reduce[ ]

@

Reduce sistema, X

D

− 4 w+ 2

x+2y+3z

<  83,

<

2, 1



Matrizes [Cap. 2

178

Fal se

@

D

Remove "Global`∗"

 Sistema duplamente indeterminado

Ha = 881, 2, − 3, 2<, 82, 5, − 8, 6<, 83, 4, − 5, 2<
−3

2 −8 6 −5 2

8

<

b = 2, 5, 4 ;

Uso de RowReduce[ ]

−3

2 2 −8 6 5 −5 2 4

@ D êê MatrixForm

RowReduce ab

1 0 1 −2 0 0 1 −2 2 1 0 0 0 0 0


@

D



880,

< 88−1,

1, 0, 0 ,

< 82,

2, 1, 0 ,

179

− 2,

<<<

0, 1

Hsp = solu@@1DDL êê MatrixForm 0 1 0 0

Hsh = solu@@2DDL êê MatrixForm −1

2

2

1 0 −2 0 1

@D

Remove c

Hsg = sp + Array@c, 8Length@shD

@

Simplify a.sg − b

80,

D

<

0, 0

4 soluções particulares do sistema, para valores aleatórios inteiros dos parâmetros c[i ] entre - 6 e 6

Matrizes [Cap. 2

180

@ ê

@@D

@8− 6, 6
Table sg . Table c i → RandomInteger

886,

− 3,

< 811,

2, 4 ,

− 13, − 3,

< 8− 4,

4 ,

< 8− 6, 11, 4,

11, 6, 1 ,

<<

−1

Uso de Li near Sol ve[ ] e Nul l Space[ ]

Hsp = LinearSolve@a, bDL êê MatrixForm 0 1 0 0

@D

sh = NullSpace a

882,

− 2,

< 8− 1,

0, 1 ,

<<

2, 1, 0

Hsg = sp + Array@c, 8Length@shD
2c 1 −c 2 1−2c 1 +2c 2 c 2 c 1

Uso de Sol ve[ ]

8

<

X = x, y, z, w ;

sistema = a.X  b

82 w+ x + 2 y − 3 z ,

6 w+ 2 x + 5 y − 8 z , 2 w+ 3 x + 4 y − 5 z

<  82,

<

5, 4


Resolver em ordem a x e y

@

Solve sistema, X

88x → 2 w− z,

@@81, 2
y → 1 − 2 w+ 2 z

<<

Uso de Reduce[ ]

@

Reduce sistema, X

z  − 1 + x + y &&w  −

1 2

D

+x+

@

y 2

D

Remove "Global`∗"

 Discussão de um sistema: caso 1

Ha = 881, 1, 1, 3<, 82, 2, 1, 1<, 81, 1, 3, 14<, 80, 0, 2, u<
1 2 1 0

1 2 1 0

1 1 3 2

3 1 14 u

8

<

8

<

b = 1, 2, 4, v ;

X = x, y, z, w ;

sistema = a.X  b

181

Matrizes [Cap. 2

182

83 w+ x + y + z,

w+ 2 x + 2 y + z, 14w+ x + y + 3 z , u w+ 2 z

@

Reduce sistema, X

u 

30 + v 3

<  81,

<

2, 4, v

D

&&y  7 − x &&z  − 15 &&w  3

@

D

Remove "Global`∗"

 Discussão de um sistema: caso 2

Ha = 88u^ 2, 1, u<, 8u ^ 2 − v^ 2, 1, u + 1<, 83 u ^ 2 − 2 v^ 2, 2, 2 u + 1<
u2

1 u

u2 − v2

1 1+u

3 u2 − 2 v2 2 1 + 2 u

8

<

b = v − u, v, 3 v ;

8

<

X = x, y, z ;

sistema = a.X  b

9u2 x + y + u z, Iu2 − v2M x + y + H1 + uL z, I3 u2 − 2 v2M x + 2 y + H1 + 2 uL z =  8− u + v,

@

Reduce sistema, X

D

<

v, 3 v


Iu  − v &&y  2 v − v2 − v2 x + v3 x &&z  − v + v2 xM »» 1 &&y  − 2 u − u2 − v2 x − u v2 x &&z  u + v2 x Hu − vL Hu + vL ≠ 0 &&x  u−v

@

D

Remove "Global`∗"

2.16.12. Método de Gauss-Seidel

 Gauss Sei del [ a, b, x0, t ol , max] determina a solução do sistema ax = b, a partir da

estimativa inicial x0 com a tolerancia t ol e calculando um máximo de max ponto s e devolve a lis ta formada pela solução aproximada e pelo n úmero de pontos calculados.  GaussSei del Poi nt s[ a, b, x0, t ol , max] determina a lista das soluções aproximadas do

sistema ax = b, a partir da estimativa inicial x0 com a tolerancia t ol e com um máximo de max+1 pontos.

Primeiro exemplo: uso da função GaussSei del .

? GaussSeidel

GaussSeidel@a, b, x0, err, iterD tenta resolver o sistema ax=b pelo método de Gauss -Seidel, a partir de um ponto inicial x0 com um erro inferior a err e realizando um máximo de iter iterações.

Ha = 886, − 2, 3<, 82, 4, − 1<, 84, 2, 7<
8

b = 10, 4, 20

810, 4, 20<

<

183

Matrizes [Cap. 2

184

@

LinearSolve a, b

81,

D

<

1, 2

8

<

H L

x0 = 0, 0, 0 ; ε = 10 ^ − 6 ;

@

GaussSeidel a, b, x0, ε , 100

::

D

1076052546519130475 4304209768276963961 10043156375399369573 , , , 36 1076052481665702912 4304209926662811648 5021578247773280256

>

>

@ @@1DD, 6D

N %

81. 00000,

<

1. 00000, 2. 00000

Segundo exemplo: uso das funções GaussSei del e GaussSei del Poi nt s e interpretação geométrica.

? GaussSeidelPoints

GaussSeidelPoints@a, b, x0, err, iterD devolve a lista de pontos obtida pelo algoritmo de Gauss -Seidel na resolução do sistema ax=b, a partir de um ponto inicial x0 com um erro inferior a err e realizando um máximo de iter iterações.

Ha = 883, − 2<, 83, 4<
8

<

b = − 1, 11

Matrizes [Cap. 2

186

33

@ @ H1 − tL ∗ pontos@@iDD + t ∗ pontos@@i + 1DD, 8i, Length@ pontosD − 1
equacoestraj = Simplify Table

@

@ PlotRange → 88− 1 ê 2, 9 ê 5<, 84 ê 5, 3<<, AspectRatio → Automatic, Frame −> True, PlotStyle → Black, Axes → FalseDD;

sopontos = Graphics ListPlot pontos,

@

@ 8 < PlotRange → 88− 1 ê 2, 9 ê 5<, 84 ê 5, 3<<, AspectRatio → Automatic, Frame −> True, PlotStyle → Gray, Axes → FalseDD;

trajectoria = Graphics ParametricPlot equacoestraj, t, 0, 1 ,

@

@8H3 x + 1L ê 2, H11 − 3 xL ê 4<, 8x, − 1 ê 2, 2<, PlotRange → 88− 1 ê 2, 9 ê 5<, 84 ê 5, 3<<, AspectRatio → Automatic, Frame −> True, Axes → FalseDD;

rectas = Graphics Plot

@

Show sopontos, trajectoria, rectas

D


187

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Terceiro exemplo: uso das funções GaussSei del e GaussSei del Poi nt s e interpretação geométrica.

Ha = 88− 3, 2<, 81, − 2<
2

1

−2

8

<

b = − 1, − 1

8− 1,

<

−1

@

LinearSolve a, b

81, 1<

D


189

@

@ PlotRange → 88− 1 ê 2, 3 ê 2<, 8− 1 ê 2, 3 ê 2<<, AspectRatio → Automatic, Frame −> True, PlotStyle → Black, Axes → FalseDD;

sopontos = Graphics ListPlot pontos,

@

@

8

<

trajectoria = Graphics ParametricPlot equacoestraj, t, 0, 1 ,

88− 1 ê 2, 3 ê 2<, 8− 1 ê 2, 3 ê 2<<, AspectRatio → Automatic, Frame −> True, PlotStyle → Gray, Axes → FalseDD; PlotRange →

@

@8H3 x − 1L ê 2, Hx + 1L ê 2<, 8x, − 1 ê 2, 2<, PlotRange → 88− 1 ê 2, 3 ê 2<, 8− 1 ê 2, 3 ê 2<<, AspectRatio → Automatic, Frame −> True, Axes → FalseDD;

rectas = Graphics Plot

@

Show sopontos, trajectoria, rectas

D

1.5

1.0

0.5

0.0

- 0.5 - 0.5

0.0

0.5

2.16.13. Inversão de m atrizes r ectangulares

1.0

1.5

Matrizes [Cap. 2

190

Inversas direitas

? InversaDireita

InversaDireita@ A,cD calcula aHsL matrizHesL inversaHsL direitaHsL da matriz A e usando c como parâmetro.

Ha = 881, − 2, 1, 0, 3<, 80, 1, 3, 4, 2<, 8− 1, 1, − 1, − 1, − 2<
1 0

−2

1 −1 1

1 3

0 4

3 2 − 1 − 1 −2

Cálculo das inversas direitas de a

Hx = InversaDireita@a, cDL êê MatrixForm 1 7 − − c @2D@2D − − c @3D@2D @ D@2D 3 3 − 1 + c @1D@1D − c @1D@2D c @2D@1D − c @2D@2D − 1 + c @3D@1D − c @3D@2D 1 1 1 − c @1D@1D − c @1D@2D − c @2D@1D − c @2D@2D − c @3D@1D − c @3D@2D 3 3 3 c @1D@2D c @2D@2D c @3D@2D c @1D@1D c @2D@1D c @3D@1D 4 − − 3

c 1

Verificação do cálculo anterior

@

D êê MatrixForm

Simplify a.x

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Exemplo de 4 matrizes inversas direitas para valores aleatórios (inteiros entre - 9 e 9) dos parâmetros c[i ][ j ]


191

@ ê @ @ @ D@jD → RandomInteger@8− 9, 9
Table x . Flatten Table c i

−

25 3

−7

:

−

23 3

7 1

−

4 3

8 −

13 3

−

− 12

5

−

29 3

1 9

,

22 3

−

2

4 3

17 3

0 6

−9

2 3

−

−5

−3

− 13

−5

− 14

10 3

25 3

19 3

16 3

10 3

1

−3

3

0

5

4

−4

−5

−9

−5

−8

−6

−

4 3

,

13 3

−

1 3

−

22 3

−

,

16 3

−

19 3

− 11

−2

7 3

−

20 3

0

29 3

6 4

52 3

>

−9 −8

Cálculo das inversas esquerdas de a (não existem)

? InversaEsquerda

InversaEsquerda@ A,cD calcula aHsL matrizHesL inversaHsL esquerdaHsL da matriz A e usando c como parâmetro.

@

D

InversaEsquerda a, c

HL

HL

I nvers aEsquer da: : naoexi st e : A mat r i z não t em i nver sa s esquer da s .

@881,

I nver saEsquer da

− 2,

< 80,

1, 0, 3 ,

< 8− 1, 1,

1, 3, 4, 2 ,

<<, cD

− 1, − 1, − 2

Soluções de um sistema a. x  b (possível e indeterminado), usando as inversas direitas de a

8

<

b = a. 2, − 1, 3, 2, − 1

84, 14,

<

−6

@

D êê MatrixForm

Simplify x.b

Matrizes [Cap. 2

192

@ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ DL H @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ DL @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D @ D@ D

4 − 4 c 1 2 − 14 c 2 2 + 6 c 3 2 2 1+2c 1 1 −2c 1 2 +7c 2 1 −7c 2 2 −3c 3 1 +3c 3 2 1 +2c 1 2 +7c 2 1 +7c 2 2 −3c 3 1 −3c 3 2 −2 − 2 + 2 c 1 4 c 1 2 + 14 c 2 2 − 6 c 3 2 4 c 1 1 + 14 c 2 1 − 6 c 3 1

H

Uso de GaussJ or dan[ ] para o mesmo efeito

@D

Remove k

@

D

m = GaussJordan a, b ;

@@1DD + Array@k, 8Length@ m @@2DDD
m

@D @ D + k@2D @ D − k@2D @D @D

4−k 1 2−k 1 4−k 1 k 1 k 2

ü

Inversas esquerdas

Ha = 881, 0, − 1<, 8− 2, 1, 1<, 81, 3, − 1<, 80, 4, − 1<, 83, 2, − 2<
1

0 −1 −2 1 1 1 3 −1 0 4 −1 3 2 −2

Cálculo da característica

@ D@@1DD

Caracteristica a


193

3

Cálculo das inversas esquerdas y de a

Hy = InversaEsquerda@a, cDL êê MatrixForm @ D@2D − 1 + c@1D@1D − c @1D@2D 1 − − c @2D@2D c @2D@1D − c @2D@2D 3 7 − − c @3D@2D − 1 + c @3D@1D − c @3D@2D 3 4 − − 3

@ D@1D − c@1D@2D c@1D@2D c@1D@1D 1 − c @2D@1D − c @2D@2D c @2D@2D c @2D@1D 3 1 − c @3D@1D − c @3D@2D c @3D@2D c @3D@1D 3 1 − 3

c 1

c 1


@

D êê MatrixForm H∗ verificação

Simplify y.a

L

do cálculo anterior ∗

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Exemplo de 3 matrizes inversas esquerdas para valores aleatórios (inteiros entre - 9 e 9) dos parâmetros c[i ][ j ]

@ ê @ @ @ D@jD → RandomInteger@8−9, 9
Table y . Flatten Table c i

:

−

16 3

−9

1 3

−

28 3

− 10

−

−

25 3

− 15

7 3

23 3

4

−4

9

−1

6

−8

14 3

,

1

31 3

−

28 3

− 11

−

−

16 3

−9

7 3

Cálculo das inversas direitas de a (não existem)

@

InversaDireita a, c

D

20 3

−6

−4

9

−2

3

−5

−4

16 3

8 3

10

−

8 3

3

19 3

−

,

1 3

11 3

−1

−4

−3

7

−5

−1

>

Matrizes [Cap. 2

194

HL

HL

I nvers aDi r ei t a: : naoexi st e : A mat r i z não t em i nver sa s

@881, 0,

<, 8− 2,

I nvers aDi r ei t a

−1

< 81, 3,

<, 80, 4,

1, 1 ,

di r ei t a s .

<, 83, 2,

−1

<<, cD

−1

−2

Sistema a. x  b possível e determinado com solução imposta {2, - 3, 1}

8

b = a. 2, − 3, 1

81,

<

<

− 6, − 8, − 13, − 2

Solução do sistema a. x  b (possível e determinado), usando as inversas esquerdas y de a. A solução não depende da inversa esquerda usada.

@

D

x = Simplify y.b

82,

− 3,

<

1

Sistema a. x  b impossível

8

<

b = 1, 1, 1, 1, 1 ;

@

m = GaussJordan a, b

D

GaussJ or dan: : i mpossi vel : Si st ema A. X

@881, 0,

GaussJ or dan

<, 8− 2,

−1

< 81,

1, 1 ,

Neste caso, x = y. b não é solução de a. x  b

=

B i mposs í vel .

3,

−1

<, 80, 4,

<, 83, 2,

−1

<<, 81,

−2

1, 1, 1, 1


@

195

D

x = Simplify y.b

8c@1D@1D − 2 H1 + c@1D@2DL, c@2D@1D − 2 c@2D@2D,

−3 + c

@3D@1D − 2 c@3D@2D<

2.16.14. Inversão de matrizes quadradas

? Inversa

Inversa@ AD calcula a matriz inversa da matriz quadrada A.

Ha = 88− 1, 2, − 3<, 82, 1, 0<, 84, − 2, 5<
2 4

2 1

−3

0 −2 5

Cálculo da inversa (bilateral)

Hx = Inversa@aDL êê MatrixForm −5

4

10 8

−7

−3

6 −6 5


@

D êê MatrixForm

Simplify a.x

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Matrizes [Cap. 2

196

@

D êê MatrixForm

Simplify x.a

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Verificação das funções do package ALGA`Mat r i zes ` , recorrendo à função I nver se[ ]

Hy = Inverse@aDL êê MatrixForm −5

4

10 8

−7

−3

6 −6 5

@D

Inversa a == y

Tr ue

@

D

InversaDireita a, c == y

Tr ue

@

D

InversaEsquerda a, c == y

Tr ue

2.16.15. Divisão matri cial

 Divisão esquerda


? DivisaoEsquerda

DivisaoEsquerda@ A,B,cD calcula o quociente de B por A, com o divisor A à esquerda e usando c como parâmetro.

Ha = 88− 1, 2, − 3<, 82, 1, 0<, 81, 3, − 3<
2 −3 1 0 3 −3

2 1

H b = a.882, − 1<, 81, 1<, 8− 1, 3<
−6 −1 −7

Divisão esquerda de b por a

Hx = DivisaoEsquerda@a, b, cDL êê MatrixForm @ D@1D 11 + 6 c@1D@1D 5 5 c @1D@1D 7 − 5

3c 1

@ D@1D 13 − + 6 c @2D@1D 5 5 c @2D@1D 4 − 5

3c 2


@

Simplify a.x == b

Tr ue

D

197

Matrizes [Cap. 2

198

4 soluções da divisão esquerda para valores aleatórios (inteiros entre - 9 e 9) dos parâmetros c[i ][ 1]

@ ê

@ @ D@1D → RandomInteger@8−9, 9
Table x . Table c i

109 5

22 5

:

−

19 5

−5

−

223 5

−

,

− 35

53 5

139 5

131 5

−

283 5

20

− 45

−

,

38 5

−

112 5

41 5

101 5

77 5

15

15

,

−

199 5

− 35

−

41 5

77 5

>

15

 Divisão direita

? DivisaoDireita

DivisaoDireita@ A, B, cD calcula o quociente de B por A, com o divisor A à direita e usando c como parâmetro.

Ha = 88− 1, 2, − 3, 1<, 82, 1, 0, − 1<, 81, 3, − 3, 0<
2 1

2 −3 1 1 0 −1 3 −3 0

H b = 882, − 1, 1<, 81, 1, 3<<.aL êê MatrixForm −3

4

6 12

−9

3 − 12 0

Divisão direita de b por a

Hx = DivisaoDireita@a, b, cDL êê MatrixForm


@ D@1D @ D@1D

3−c 1 4−c 2

−c

@ D@ D c@1D@1D @ D@ D c@2D@1D

1 1 4−c 2 1


@

Simplify x.a == b

D

Tr ue

Divisões com divisor a invertível e dividendo b não permutável com a

Ha = 88− 1, 2, − 3<, 82, 1, 0<, 84, − 2, 5<
2 4

2 1

−3

0 −2 5

H b = 880, 1, − 2<, 8− 1, 2, − 3<, 82, − 1, − 3<
1 −1 2 2 −1

−2 −3 −3

a.b  b.a

Fal se

Hx = DivisaoEsquerda@a, b, cDL êê MatrixForm

199

Matrizes [Cap. 2

200

− 10

6

7

19 16

− 10

− 17

−9

− 13


a.x == b

Tr ue

Hy = DivisaoDireita@a, b, cDL êê MatrixForm −6

5 −4 1 0 0 − 44 33 − 27


y.a == b

Tr ue

As divisões dão resultados diferentes

x  y

Fal se

Divisões com divisor a invertível e dividendo b permutável com a


A matriz b é um polinómio em a; portanto, é permutável com a

H b = 2 ∗ MatrixPower@a, 3D − MatrixPower@a, 2D + 3 ∗ MatrixPower@a, 1D − 4 MatrixPower@a, 0DL êê MatrixForm − 58

32 − 75 − 22 28 − 54 64 − 14 56

Verificação de que a e b são permutáveis

a.b  b.a

Tr ue

As divisões esquerda e direita dão o mesmo resultado

Hx = DivisaoEsquerda@a, b, cDL êê MatrixForm 10 − 6 − 9 − 42 40 − 36 − 12 18 4

Hy = DivisaoDireita@a, b, cDL êê MatrixForm 10 − 6 − 9 − 42 40 − 36 − 12 18 4

As divisões dão resultados iguais

201

Matrizes [Cap. 2

202

x  y

Tr ue

2.16.16. Mudanças de base

? Passagem

Passagem@e1, e2D Devolve a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vectores da lista e2, na base formada pelos vectores da lista e1; se e2 for outra base, calcula a matriz de mudança de e1 para e2. A lista e1 deve ser uma base e os vectores de e2 devem pertencer ao espaço gerado por e1.

Definam-se duas bases de

e1 =

881,

883,

881, − 2, 1<, 83, 0, − 1<, 8− 2, 2, 3<<

− 2,

e2 =

3:



< 83, 0,

1 ,

<, 8− 2,

−1

<<

2, 3

883, 0, 1<, 81, 1, 1<, 81, − 3, 1<< < 81,

0, 1 ,

< 81,

1, 1 ,

− 3,

<<

1

A matriz de mudança de e1 para e2 é:

Ht12 = Passagem @e1, e2DL êê MatrixForm 6 11 13 11 6 11

1 22 15 22 6 11

29 22 5 − 22 2 − 11


203


Ht21 = Passagem @e2, e1DL êê MatrixForm 0

2

1 4

−

9 4

5 2 37 8

3 4

−

3 4

7 8

−

Verificação dos resultados:

@

@ DD

t12.t21  IdentityMatrix Length e1

Tr ue

Defina-se um vector através das suas coordenadas na base e1:

8

xe1 = 4, − 2, 5

84,

− 2,

<

<

5

As suas coordenadas na base e2 são:

? Coordenadas

Coordenadas@e1, e2, xe1D Devolve as coordenadas em relação à base e2 de um vector, dadas as suas coordenadas xe1 em relação à base e1.

@

D

Coordenadas e1, e2, xe1

Matrizes [Cap. 2

204

:−

33 2

,

229 8

,

71 8

>

Definam-se duas bases de

e1 =

881 + I, − 2 + 2 I<, 83 − 2 I, 5 I<<

881 + ,

e2 =

2  :

<, 83 − 2 ,

<<

−2 + 2 

5

883 − I, 1 + I<, 81 − 2 I, − 3<<

883 − ,

< 81 − 2 ,

1+ ,

<<

−3


Ht12 = Passagem @e1, e2DL êê MatrixForm 35 21  − 17 17 9 19  + 17 17

−

26 49  + 17 17 30  + 17 17

−


Ht21 = Passagem @e2, e1DL êê MatrixForm 3 4  + 20 5

29 2  + 20 5

9 7  − 20 20

21  7 − 20 20

Verificação dos resultados:


205

@

@ DD

t12.t21  IdentityMatrix Length e1

Tr ue

Defina-se um vector através das suas coordenadas na base e2:

8

<

xe2 = 4 − 2 I, − 2 + 5 I

84 − 2 ,

<

−2 + 5 

As suas coordenadas na base e1 são:

@

D

Coordenadas e2, e1, xe2

:−

375 17

−

242  17

,

9 17

+

206  17

>

3 Funções lineares

Sec. 3.2] Funções lineares. Núcleo e imagem

209

3.1 Introdução Até ao presente capítulo, temos estudado os espaços vectoriais e as suas principais propriedades algébricas. Vamos agora estudar as funções que respeitam a estrutura algébrica daqueles espaços, ou seja, os homomorfismos dos espaços vectoriais. Veremos que estas funções constituem, por sua vez, um espaço vectorial e que este estudo permitirá lançar nova luz sobre a álgebra das matrizes, a qual veremos ser isomorfa da álgebra das funções lineares entre espaços com dimensão finita. As funções lineares, para além do seu interesse intrínseco, desempenham também um importante papel no cálculo diferencial das funções de mais de uma variável e que permitirá aproximar localmente as funções não lineares diferenciáveis por funções lineares, como o leitor poderá constatar quando estudar aquele tema nas cadeiras de Análise Matemática.

3.2

Funções lineares. Núcleo e imagem

Comecemos por definir a noção de função linear: Sejam I e J espaços vectoriais sobre um mesmo corpo Š e 2À I Ä J uma função. Diz-se que 2 é uma função linear ou um homomorfismo de I em J sse forem verificadas as condições seguintes, para quaisquer vectores Btß Bt w − I e qualquer escalar ! − Š: Definição 3.1. – Função linear –

a b ab a b a b ab

[L1]

2 Bt  Bt w œ 2 Bt  2 Bt w

[L2]

2 !Bt œ !2 Bt

Portanto, a função 2 é linear sse transforma as operações características do espaço vectorial I nas respectivas operações em J . Convém observar que I e J devem ser espaços sobre o mesmo corpo Š, sem o que a condição L2 não faria sentido. A conjunção das duas condições anteriores é equivalente à condição única seguinte, onde ! e " são escalares e Btß Bt w − I : [L3]

a

b ab a b aa bb a b

2 !Bt  "Bt w œ !2 Bt  "2 Bt w

Fazendo, em particular, ! œ ! e ! œ " em L2, obtém-se

a b

a b

2 9t I œ 9tJ 2 Bt œ 2 Bt

3.1

Da igualdade 1.1 que define a subtracção vectorial e da segunda das igualdades anteriores, obtém-se, para quaisquer vectores Btß Bt w − I ,

a b ab a b

a b

2 Bt  Bt w œ 2 Bt  2 Bt w

3.2

Portanto, as funções lineares respeitam a subtracção. Por outro lado, L1 e L2 implicam que, para qualquer combinação linear

! Œ"  " a b 7

4œ"

!4 /t4 de vectores de I , se tem: 7

2

7

!4 /t4

4œ"

œ

!4 2 /t4

4œ"

a b 3.3

210

Funções lineares [Cap. 3

a b

a b

Observe, ainda, que a primeira das igualdades 3.1 mostra que a igualdade 3.3 é válida, mesmo quando 7 œ !. A proposição seguinte descreve o comportamento das funções lineares no que respeita aos subespaços de I e de J : Proposição 3.1.

função linear: i)

Sejam I e J espaços vectoriais sobre um mesmo corpo Š e 2À I Ä J uma

a b ab a b a b a a b a b a b b ab a b a a b a b a bb a b a a b a b a b b ab ab

Se E § I é um subespaço de I , então 2 E é um subespaço de J . Em particular, o contradomínio 2 I de 2 é um subespaço de J .

ii) Se E § I é um subespaço de I e se / œ /t"ß /t#ß á ß /t7 for um sistema de vectores geradores de E , a sequência 2 / œ 2 /t" ß 2 /t # ß á ß 2 /t 7 será um sistema de geradores de 2 E , isto é, 2 E œ P 2 /t" ß 2 /t # ß á ß 2 /t 7

Em particular, se /t" ß /t# ß á ß /t8 for uma base de I , então 2 /t" ß 2 /t# ß á ß 2 /t8 será um sistema de geradores do contradomínio 2 I .

iii) Se E § J é um subespaço de J , então 2 " E é um subespaço de I . Em particular, o traço de 2 segundo 9tJ é um subespaço de I . Demonstração:

ab

i) Mostremos que 2 E satisfaz as condições S1, S2 e S3 do capítulo 1 (definição de subespaço):

a b a b ab ab ab ab a b ab a b a b ab

Quanto a S1, a primeira das igualdades 3.1 mostra que

E é subespaço de I Ê 9tI − E Ê 2 9t I − 2 E Ê 9t J − 2 E Ê 2 E Á g

Para o fecho em relação à adição S2, tem-se, sucessivamente,

ab

Ctß Ct w − 2 E Ê

b Ct œ 2 Bt • Ct w œ 2 Bt w Ê

BßB t t w−E

Ê Ct  Ct w œ 2 Bt  2 Bt w œ 2 Bt  Bt w Ê Ct  Ct w − 2 E

A última implicação deve-se ao facto de se ter Bt  Bt w − E, por ser E um subespaço de I e, consequentemente, Ct  Ct w − 2 E .

ab

ab

ab

Por último e para S3 (fecho em relação ao produto por escalar), seja Ct − 2 E e ! − Š: existe Bt − E tal que Ct œ 2 Bt e então

ab a b

!Ct œ !2 Bt œ 2 !Bt

ab ab

Porém, como E é subespaço de I , será !Bt − E e, por consequência, !Ct − 2 E .

Quanto à segunda parte, sendo I um subespaço de I , a sua imagem 2 I – que é o contradomínio de 2 – será um subespaço de J .


211

ab ab a a b a b a bb a b

ab

ii) Como /t4 − E, tem-se (para 4 œ "ß á ß 7) 2 /t4 − 2 E e, por ser 2 E um subespaço vectorial de J : P 2 /t" ß 2 /t# ß á ß 2 /t7

§2 E

Reciprocamente, ter-se-á:

ab a b Œ!  ! a b a a b a b a b b a b a a b a b a bb 7

Ct − 2 E Ê b Ct œ 2 Bt Ê Ct œ 2 B−E t

4œ"

7

B 4 /t 4 œ

4œ"

B 42 /t 4 Ê

Ê Ct − P 2 /t " ß 2 /t# ß á ß 2 /t7 Ê Ê 2 E § P 2 /t " ß 2 /t # ß á ß 2 /t 7

Por fim, as duas inclusões anteriores equivalem a

a b a a b a b a bb a b a a b a b a bb a b ab a b ab a b aa b a b b a b a ab b ab ab ab a b ab ef ab ef 2 E œ P 2 /t" ß 2 /t # ß á ß 2 /t 7

Quanto à segunda afirmação, basta atender a que uma base /t" ß /t# ß á ß /t8 de I gera I e, portanto, 2 /t" ß 2 /t# ß á ß 2 /t8 gera 2 I , que é o contradomínio de 2 . iii) Basta mostrar, de novo, que 2" E satisfaz as condições S1, S2 e S3:

Como 9tJ − E , a primeira igualdade 3.1 mostra que o vector 9t I (pelo menos) pertence a 2 E que, portanto, não será vazio (condição S1). "

Quanto a S2, tem-se:

Btß Bt w − 2" E Ê 2 Bt ß 2 Bt w − E Ê 2 Bt  2 Bt w − E Ê Ê 2 Bt  Bt w − E Ê Bt  Bt w − 2 " E

Por fim, para S3, tem-se:

! − Š • Bt − 2 " E Ê ! − Š • 2 Bt − E Ê !2 Bt œ 2 !Bt − E Ê !Bt − 2 " E

Quanto à segunda parte, basta considerar E œ 9tJ .



Da proposição anterior, resulta que o contradomínio 2 I de uma função linear 2À I Ä J é sempre um subespaço de J . De igual modo, a pré-imagem do subespaço trivial 9tJ § J por 2 é sempre um subespaço de I : estes subespaços têm, respectivamente, o nome de Imagem e Núcleo (ou Kernel) da aplicação linear 2, o que se formaliza na seguinte Definição 3.2. – Imagem, núcleo, característica e nulidade – Sejam I e J espaços vectoriais sobre um mesmo corpo Š e 2À I Ä J uma função linear. O contradomínio de 2 é um subespaço de J chamado Imagem de 2 e a pré-imagem de 9t J § J por 2 é um subespaço de I chamado o Núcleo, Kernel ou Espaço nuloa1b de 2 e designados

ab ab

ab

respectivamente por Img 2 e Nuc 2 ou Ker 2

1

Os autores anglo-saxónicos, usam o termo nullspace.

ef

212


ab ab a b š a b› ab ab š ab › ab aa bb aa aa bbbb

Img 2 œ Im 2 œ 2 I œ Ct − JÀ b Ct œ 2 Bt B−I t

§ J

Ker 2 œ Nuc 2 œ Bt − IÀ 2 Bt œ 9t J § I

a b a b ab a b 3.4

A dimensão do espaço Img 2 é chamada a característica da função 2 – designada por c 2 ou -2 – e a dimensão do núcleo é chamada a nulidade de 2 , que designaremos por n 2 ou 82 : c 2 œ -2 œ dim Img 2 n 2 œ 82 œ dim Ker 2

E

3.5

F

Ker (h)

Img(h) →

→

F

E

Fig. 3.1 – Esquema representativo do Núcleo e Imagem de uma função linear 2À I Ä J .

a b

a b

O conjunto de todas as funções lineares de I em J designa-se por L Iß J ou Hom Iß J . Se o espaço J de chegada for o espaço Š, a função linear (de I em Š e, portanto, assumindo valores escalares) toma o nome de forma linear. Se 2À I Ä J é injectiva, diz-se que 2 é um monomorfismo de I em J e se 2 for sobrejectiva, diz-se que 2 é um epimorfismo de I sobre J . Se 2À I Ä J é bijectiva, diz-se que 2 é um isomorfismo de I sobre J . Neste caso, os espaços vectoriais I e J são algebricamente idênticos, dizendo-se isomorfos (ou iguais, a menos de um isomorfismo) o que se descreve através da notação I z J (leia-se “I é isomorfo de J ”).

ab

Se J œ I , a função linear toma o nome de endomorfismo de I e designaremos por End I o conjunto dos endomorfismos de I (ou seja, o conjunto L Iß I ).

a b

Se 2 é um endomorfismo bijectivo de I denominamo-lo por automorfismo de I , dizendo-se ainda que 2 é invertível ou regular. Uma das propriedades interessantes do núcleo de um operador linear é a que o relaciona com a injectividade deste: Proposição 3.2. – Caracterização das funções lineares injectivas – Sejam I e J espaços vectoriais sobre um mesmo corpo Š e 2À I Ä J uma função linear. A função 2 é injectiva sse

ab e f

Ker 2 œ 9tI Þ

Além disso, se Ct! − J , tem-se:

ab œ

2" Ct! œ

ab

g Bt!  Ker 2

a b ab ab

se Ct! − J Ï Img 2 se Ct! − Img 2 e em que 2 Bt ! œ Ct !

a b 3.6.1


ab

213

Em particular, se 2 for injectiva e Ct! − Img 2 , então:

ab ef

ab

a b

2" Ct! œ Bt! ß onde 2 Bt ! œ Ct !

Demonstração:

ab e f ab ab ab a b

3.6.2

A condição é necessária: como Ker 2 é subespaço de I , tem-se 9tI § Ker 2

Por outro lado, se 2 é injectiva, então:

ab e f

Bt − Ker 2 Ê 2 Bt œ 9t J œ 2 9t I Ê Bt œ 9t I Ê Ker 2 § 9t I

As inclusões anteriores equivalem à igualdade

ab e f ab e f a b a b a b a ba b e fa b a b ab ab a ba b ab ab ab ab a b a b ab a b a b ab ab a b a b a b a b a b a b ab a b ab ab ab ab Ker 2 œ 9tI

A condição é suficiente: de facto, se Ker 2 œ 9tI , então:

2 Bt œ 2 Bt w Ê 2 Bt  2 Bt w œ 9t J Ê 2 Bt  Bt w œ 9t J Ê Ê Bt  Bt w − Ker 2 œ 9t I Ê Bt  Bt w œ 9t I Ê Bt œ Bt w

o que mostra ser 2 injectiva.

Quanto à segunda parte da proposição, se Ct! − J Ï Img 2 , não existe qualquer vector B − It tal que 2 Bt œ Ct! , o que significa que 2 " Ct ! œ g . Se Ct! − Img 2 , então será 2 " Ct! Á g. Escolha-se em 2 " Ct ! um certo vector Bt !; por definição, tem-se 2 Bt! œ Ct! e mostremos que 2" Ct! œ Bt!  Ker 2

De facto,

Bt − Bt!  Ker 2 Ê Bt œ Bt !  Bt " • Bt " − Ker 2 Ê Ê 2 Bt œ 2 Bt !  2 Bt " œ Ct !  9t I œ Ct ! Ê Bt − 2 " Ct !

o que mostra que Bt!  Ker 2 § 2 " Ct! . Por outro lado, tem-se

Bt − 2 " Ct! Ê 2 Bt œ Ct ! Ê 2 Bt  2 Bt ! œ Ct !  Ct ! œ 9t I Ê Ê 2 Bt  Bt! œ 9t I Ê Bt  Bt! − Ker 2 Ê Bt œ Bt !  Bt  Bt ! Ê Bt − Bt !  Ker 2

ab

as implicações anteriores mostram que também 2" Ct! § Bt!  Ker 2 e, portanto, 2" Ct! œ Bt!  Ker 2



A proposição seguinte reflecte o comportamento das aplicações lineares no que respeita à independência linear de vectores dos espaços envolvidos:

214


a

b

Sejam I e J espaços vectoriais sobre um mesmo corpo Š , 2À I Ä J uma função linear e / œ /t" ß /t# ß á ß /t7 uma lista de vectores de I . Proposição 3.3.

i)

a b a b a a b a b a bb ab a b a a b a b a bb a b a b a b a a b a b a bb ab aa b a a b a b b a bb

Se a lista / œ /t" ß /t# ß á ß /t7 for linearmente dependente, o mesmo sucede com a lista 2 / œ 2 t/" ß 2 t/# ß á ß 2 t/7 .

ii) Se a lista (de vectores de Img 2 )

2 / œ 2 t/" ß 2 t/# ß á ß 2 t/7

for linearmente independente, o mesmo sucede com a lista / œ /t" ß /t# ß á ß /t7 .

iii) Se 2 for injectiva e a lista / œ /t"ß /t# ß á ß /t7 for linearmente independente, o mesmo sucede com a lista 2 / œ 2 /t" ß 2 /t# ß á ß 2 /t 7 de vectores de Img 2 . iv) Se 2 não é injectiva, existe uma sequência e œ /t" ß /t# ß á ß /t7 linearmente independente de vectores de I , tal que a sequência 2 / œ 2 /t" ß 2 /t # ß á ß 2 /t 7 das imagens é linearmente dependente. Demonstração: i)

Suponhamos que / é linearmente dependente. Então, existe !5 Á ! tal que

! 7

!4 /t4 œ 9t I

4œ"

e, aplicando 2 a ambos os membros, obtém-se:

Œ"  a b " a b 7

2

7

!4 /t4

œ 2 9t I Ê

4œ"

!4 2 /t4 œ 9t J

4œ"

ab

Ora, a expressão obtida é uma combinação linear dos vectores 2 /t4 na qual existe " Ÿ 5 Ÿ 7 tal que !5 Á !, o que mostra que 2 / é linearmente dependente.

ab

ii) É a contra-recíproca da implicação anterior e, portanto, equivalente a esta.

a ba b e f ! ab Œ!  !

iii) Mostremos que 2 / é linearmente independente, se 2 for injectiva (o que, pela proposição 3.2, equivale a Ker 2 œ 9tI ) e / for também linearmente independente 7

4œ"

7

!4 2 /t4 œ 9t J Ê 2

4œ"

!4 /t4

! 7

œ 9t J Ê

4œ"

!4 /t4 −

ab e f

Ker 2 œ 9t I Ê

7

Ê

4œ"

!4 /t4 œ 9tI Ê !" œ !# œ â œ !7 œ !

ab e f

iv) Se 2 não é injectiva a proposição 3.2 garante que Ker 2 Á 9t I . Basta agora considerar uma base / œ /t" ß /t# ß á ß /t7 do núcleo, que será linearmente independente, e para a qual a sequência das imagens 2 / œ 2 /t" ß 2 /t# ß á ß 2 /t 7 œ 9t J ß 9t J ß á ß 9t J será, claro está, linearmente dependente. 

a a b ab a b a b a bb a

b

Vamos, a seguir, apresentar alguns exemplos de funções lineares, definidas em vários espaços vectoriais:


215

Sendo I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š, a função nula t È 9tJ é, claramente, linear. Neste caso, tem-se OJ I À I Ä J à B Exemplo 3.1.

œ aa bb e f Ker OJ I œ I Img OJ I œ 9tJ

Se J œ I , usaremos a notação OI para a função nula OI À I Ä I .

Sendo I § J um subespaço de um espaço vectorial J sobre um corpo Š, a injecção canónica 4À I Ä J à Bt È Bt é linear, visto que, para quaisquer Btß Bt w − I e !," − Š, Exemplo 3.2.

a

b

ab a b

4 !Bt  "Bt w œ !Bt  "Bt w œ !4 Bt  "4 Bt w

Para esta função, é

œ aa bb e f Ker 4 œ 9t Img 4 œ I

Sendo I um espaço vectorial, a função identidade em I , I I À I Ä Ià Bt È Bt é um automorfismo de I . Com efeito tem-se, como em cima, Exemplo 3.3.

II

a

b

ab a b

!Bt  "Bt w œ !Bt  "Bt w œ !II Bt  "I I Bt w

Tal como no exemplo anterior, tem-se

œ aa bb e f Ker I I œ 9t Img I I œ I

Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š , 2À I Ä J uma função w w linear e I § I um subespaço de I . A restrição 2lI À I Ä J de 2 a I é também uma função linear (demonstre!), que fica definida por Exemplo 3.4. w

w

ab ab

2lI Bt œ 2 Bt , em que Bt − I w w

Tem-se, neste caso,

œ aa bb a a bb

Ker 2lI œ Ker 2  I w Img 2lI œ 2 I w w

w

Considere-se um espaço vectorial I sobre um corpo Š e o endomorfismo de I , 25 À I Ä I definido por: Exemplo 3.5.

ab b a b a b ab a b 25 Bt œ 5Bt

onde 5 − Š é um escalar arbitrário. Como

a

b a

ab a b

25 !Bt  "Bt w œ 5 !Bt  "Bt w œ 5 !Bt  5 "Bt w œ ! 5Bt  " 5Bt w œ !2 5 Bt  "2 5 B t w

segue-se que 25 é linear. O endomorfismo 25 é chamado uma homotetia de razão 5 . Se 5 Á !,

216


tem-se:

œ aa bb e f Ker 25 œ 9t Img 25 œ I

Se 5 œ !, então,

œ aa bb e f Ker 25 œ I Img 25 œ 9t

Note que, se 5 œ ", fica 25 œ II e, se 5 œ !, é 2 5 œ OI (função nula em I ); por outro lado, se 5 Á !, 25 será um automorfismo de I , cujo inverso é Bt È 5" Bt. Exemplo 3.6. Considerem-se os espaços Š7ß8 e Š8ß7 das matrizes de tipos 7 ‚ 8 e 8 ‚ 7 sobre o corpo Š. O operador transposição T À Š7ß8 Ä Š8ß7 é linear. O núcleo é formado apenas pela matriz nula S7ß8 e a imagem é Š8ß7. Trata-se, portanto, de um isomorfismo de Š7ß8 sobre Š8ß7 .

Considerem-se os espaços ‚7ß8 e ‚8ß7 das matrizes complexas de tipos 7 ‚ 8 e 8 ‚ 7 e o operador transconjugação *À ‚7ß8 Ä ‚8ß7 que transforma cada matriz complexa na sua transconjugada. Se os espaços forem considerados como espaços vectoriais reais, o operador é linear, já que, se !ß " − ‘, Exemplo 3.7.

a

!E  " F

b

‡

œ !E ‡  "F ‡

Porém, se os espaços se considerarem como complexos, tem-se

a

b a b a b

!E  " F

‡

œ !E ‡  "F ‡

e o operador transconjugação não será linear. Exemplo 3.8.

Considere o espaço ¶ ß ‘ das sucessões reais convergentes e a função limÀ ¶ ß ‘ Ä ‘à ?8 È lim?8

a ba b

que, a cada sucessão convergente, associa o seu limite. Esta função é linear, pois, como se sabe da análise, para quaisquer sucessões reais convergentes ?8 ß @8 e quaisquer escalares !ß " − ‘ ,

a

b

lim !?8  "@8 œ !lim? 8  " lim @ 8

a b a b a b œ a b a b a b

O núcleo da função lim é o conjunto ¶! ß ‘ dos infinitésimos e a imagem é ‘ (prove!): Ker lim œ ¶! ß ‘ Img lim œ ‘

Exemplo 3.9.

Considere o espaço ¶ ß ‚ das sucessões complexas convergentes e a função limÀ ¶ ß ‚ Ä ‚à ?8 È lim?8

a ba b

que, a cada sucessão convergente, associa o seu limite. Esta função é linear, pois, como se sabe da análise, para quaisquer sucessões complexas convergentes ?8 ß @8 e quaisquer escalares

Sec. 3.2] Funções lineares. Núcleo e imagem !ß " − ‚

a

217

b

lim !?8  "@8 œ !lim? 8  " lim @ 8

a b a b

O núcleo da função lim é o conjunto ¶! ß ‚ dos infinitésimos e a imagem é ‚:

a

b

Sendo Š um corpo e +t œ +" ß +# ß á ß +8 − Š8 , as funções 2+t À Š8 Ä Š definidas, para todo o B" ß B# ß á ß B8 − Š8 , por Exemplo 3.10.

a

b "

2+t B" ß B# ß á ß B8 œ

a b a !a a

a b

8

3.7

+4 B4

4 œ"

b a b b ! b ! ! b a b

são lineares, pois, se Bt œ B" ß B# ß á ß B8 , Ct œ C"ß C#ß á ß C 8 e !," − Š:

a

2+t !Bt  "Ct œ 2+t !B "  "C "ß !B #  "C #ß á ß !B 8  "C 8 œ

8

4œ"

+4 !B4  "C4 œ

8

4œ"

+4 !B4 

8

4œ"

+4 "C4 œ !

8

4 œ"

+4 B4  "

! 8

4 œ"

+ 4 C4

œ !2+t B" ß B# ß á ß B8  " 2+t C" ß C# ß á ß C8

Observe-se que 29t é a função nula de Š8 em Š e que 2+t œ 2+t . Neste caso, tem-se

ÚÝÝ ÛÝÝ Ü

+t œ 9t Ê +t Á 9t Ê

œ aa bb e f ˜ a b a  ab Ker 2+t Img 2+t Ker 2+t Img 2+t

œ Š8 œ ! œ B" ß B# ß á ß B8 À œŠ

b!

8 4 œ" +4 B4 œ

™

! é um hiperplano de Š8

a b b Œ"  " a b "

Reciprocamente, se 2À Š8 Ä Š é uma forma linear e / œ /t"ß /t#ß á ß /t8 é a base canónica de Š8 , tem-se

ab a ab a b

8

2 Bt œ 2 B "ß B#ß á ß B8 œ 2

8

B 4 /t 4 œ

4œ"

8

B 42 /t 4 œ

4œ"

+4 B4

4 œ"

onde +4 œ 2 t/4 − Š. Portanto, as únicas formas lineares de Š8 em Š são as que se exprimem por meio da igualdade 3.7 .

ab # a b a a b a b a bb b aa a a b b a ba a b b a ba bab b a bb a a aa bb a ab b a bab bb a a a ba b a b a b a bb a bb ab ab

Exemplo 3.11. Sejam I

e J3

"Ÿ3Ÿ7

espaços vectoriais sobre um corpo Š e 23 À I Ä J3 uma

sequência de 7 funções lineares. A função 2À I Ä

7

3œ"

por J3 definida

2 Bt œ 2" Bt ß 2# Bt ß á ß 2 7 Bt

é linear, como se mostra a seguir, onde !ß " − Š e Btß Ct − I :

a

2 !Bt  "Ct œ 2 " !Bt  "Ct ß 2 # !Bt  "Ct ß á ß 2 7 !Bt  "Ct œ !2" Bt  "2" Ct ß !2 # Bt  "2 # Ct ß áß !2 7 Bt  "2 7 Ct œ !2" Bt ß !2# Bt ß á ß !27 Bt  "2" Ct ß "2# Ct ß á ß " 2 7 Ct œ ! 2" Bt ß 2# Bt ß á ß 27 Bt  " 2 " Ct ß 2 # Ct ß á ß 2 7 Ct œ !2 Bt  " 2 Ct

218


Quanto ao núcleo e imagem de 2, tem-se:

ÚÝ a b + a b ÛÝ a b # a b Ü 7

Ker 2 œ Img 2 §

3œ" 7 3œ"

Ker 23

Img 23

Como exercício, justifique o facto de a última relação não ser uma igualdade. Exemplo 3.12.

são da forma

Dos dois exemplos anteriores, resulta que as funções lineares 2À Š8 Ä Š7

ab a

b a

Ct œ 2 Bt œ 2 B"ß B # ßá ß B 8 œ C "ßC #ß á ß C 7

b

em que

" 8

C3 œ

+34 B4 à 3 œ "ß #ß á ß 7

4 œ"

onde os +34 são escalares. As 7 igualdades escalares anteriores equivalem a uma igualdade matricial única:

c

d

] œ E\

c

onde \ œ B" B# â B8 T ß ] œ C" C# â C 7 Exemplo 3.13.

J œ

# 7

ab

d

T

cd

e E œ +34 − Š7ß8 .

Seja J3 "Ÿ3Ÿ7 uma lista de 7 espaços vectoriais sobre um corpo Š e

J3 o espaço vectorial produto. Considere as projecções pr3 À J Ä J3 definidas por:

3œ"

a

b

pr3 Bt"ß Bt#ß á ß Bt7 œ Bt3 à 3 œ "ß á ß 7

a

b a b a b aa a b a ab ab # # a b e f  ab ab # a b

As 7 funções pr3 acima definidas são lineares, visto que, para quaisquer !ß " − Š e Bt œ Bt"ß Bt#ß á ß Bt7 ß Ct œ Ct "ß Ct#ß á ß Ct7 − J , se tem:

bb b

pr3 !Bt  "Ct œ pr3 ! Bt"ß Bt# ß á ß Bt7  " Ct "ß Ct #ß á ß Ct 7 œ œ pr3 !Bt"  "Ct" ß !Bt#  "Ct #ß á ß !Bt 7  "Ct 7 œ !Bt3  " Ct3 œ !pr3 Bt  " pr3 Ct

Pode ainda o leitor mostrar que

Ker pr3 œ

J5 ‚ 9t J ‚ 3

53

Img pr3 œ J 3

Exemplo 3.14.

Sejam I3

"Ÿ3Ÿ7 7

funções lineares. Sendo I œ

J5

53

e J espaços vectoriais sobre um corpo Š e 23 À I3 Ä J

I3 o espaço produto, consideremos a função 2À I Ä J

3œ"

definida, para todo o Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 − I , por:


219

b "ab

a

7

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 œ

a

23 Bt3

3œ"

b a b a b aa a b a bb b ! a b !a a b a bb ! ab ! ab ab ab ÚÝ a b # a b ÛÝ a b ! a b Ü ab ab ab ab Œ"  "a b œ aa bb a ab b

A função 2 anteriormente definida é também linear, pois tem-se, para quaisquer !ß " − Š e Bt œ Bt"ß Bt#ß á ß Bt7 ß Ct œ Ct "ß Ct#ß á ß Ct7 − I : 2 !Bt  "Ct œ 2 ! Bt "ß Bt #ß á ß Bt 7  " Ct "ß Ct #ß á ß Ct 7 œ 2 !Bt"  "Ct " ß !Bt #  "Ct # ß á ß !Bt 7  "Ct 7 7

œ

7

23 !Bt3  "Ct 3 œ

3œ" 7

œ!

3œ"

23 Bt3  "

7

3œ"

3œ"

!2 3 Bt 3  "2 3 Ct 3

23 Ct3

œ !2 Bt  " 2 Ct

Quanto ao núcleo e à imagem de 2, tem-se (demonstre!): Ker 2 ¨ Img 2 œ

7

3œ" 7

3œ"

Ker 23

Img 23

Seja 8  ! um inteiro. A função HÀ P8 ‘ Ä P8 ‘ que transforma cada polinómio de grau inferior ou igual a 8 na sua derivada é um endomorfismo de P8 ‘ , cujo núcleo é P! ‘ e cuja imagem é P8" ‘ : Exemplo 3.15.

8

H

ab

8"

+5 B

5

5œ!

5  " +5"B5

œ

5œ!

Ker H œ P! ‘ Img H œ P8" ‘

Daqui se segue que H não é injectivo nem sobrejectivo.

a b

Seja M § ‘ um intervalo aberto. O operador derivação HÀ D Mß ‘ Ä ‘M que transforma cada função 0 diferenciável em M na sua função derivada H0 é linear, atendendo aos teoremas sobre diferenciabilidade (regras de derivação) Exemplo 3.16.

a

b

H !0  "1 œ !H0  "H1

O núcleo de H é formado pelas funções constantes em M e a imagem de H é o conjunto das funções primitiváveis em M . O operador derivação H aqui definido não é injectivo nem sobrejectivo. Exemplo 3.17.

Seja M § ‘ um intervalo aberto e + − M . A função

a b a b

Int + À C Mß ‘ Ä C Mß ‘ à 0 È J+ chamada integral indefinido com origem +, que transforma cada função 0 contínua em M na função J+ (de classe C" e, portanto, contínua em M e cuja derivada é 0 , devido ao teorema

220


fundamental do cálculo integral) definida, para todo o B − M por

a b ( a b B

J+ B œ

0 > d>à B − M

+

é linear, visto que, como se sabe do cálculo integral, para quaisquer funções 0 e 1 contínuas em M e quaisquer reais ! e " , tem-se

( a b a b ( a b ( a b B

B

!0 >  " 1 > d> œ !

+

B

0 > d>  "

+

1 > d>

+

Observe-se que a função J+ se anula, necessariamente, em +. O núcleo de Int + é formado apenas pela função nula e a imagem de Int + é formada pelas funções de C" Mß ‘ que se anulam em +:

a b

a b a b e ab f

Img Int + œ C" Mß ‘  J À J + œ ! O operador Int + é, pois, injectivo mas não sobrejectivo. Exemplo 3.18.

Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š, 7  ! um inteiro e

a


b

uma lista de 7 vectores de I . Considere-se, ainda, a função 2B À Š7 Ä I , definida, para todo o 7 vector 5t œ 5" ß 5# ß á ß 57 − Š , por

a

b

b "

a

7

2B 5" ß 5# ß á ß 5 7 œ

53 Bt3

3œ"

A função 2B é linear, como se mostra a seguir, onde !ß " são escalares e

a

b a

?t œ ?" ß ? # ß á ß ? 7 e @t œ @"ß @ #ß á ß @ 7

são vectores de Š7 :

a

b a !

b

b !a 7

2B !?t  " @t œ 2B !? "  " @ "ß !? #  " @ #ß á ß !? 7  " @ 7 œ œ

7

3œ"

! ab ab

!?3 Bt3 

7

3œ"

" @3Bt 3 œ !

! 7

3œ"

? 3Bt 3  "

! 7

3œ"

3œ"

b

!? 3  " @ 3 B t 3

@ 3Bt 3

œ !2B ?t  " 2B @t

É fácil reconhecer que o subespaço gerado por B é a imagem de 2B, que B é geradora de I sse 2B for sobrejectiva, que B é linearmente independente sse 2B for injectiva e que B é uma base de I sse 2B for um isomorfismo de Š7 sobre I :

ÚÝ a b a b ÛÝ Ü

P B œ Img 2B B é geradora de I Í 2B é sobrejectiva B é linearmente independente Í 2B é injectiva B é uma base de I Í 2B é um isomorfismo de Š7 sobre I

Sec. 3.3] Álgebra das funções lineares

221

Daqui se pode, de novo, obter o resultado (já referido no capítulo 1 – proposição 1.15) de que todo o espaço vectorial I de dimensão 8 sobre um corpo Š é isomorfo do espaço cartesiano Š8 .

3.3

Álgebra das funções lineares

a b a ba b a b a b aa b b

a b

ab

a b

Nesta secção, vamos introduzir em L Iß J uma estrutura de espaço vectorial sobre o corpo Š em relação ao qual estão definidos os espaços vectoriais I e J . Para tal, considerem-se duas funções lineares 2ß 5À I Ä J e defina-se 2  5À I Ä J como a função dada por: 2  5 Bt œ 2 Bt  5 Bt ; Bt − I

3.8

O leitor pode verificar facilmente que 2  5 é ainda uma função linear (verifique as condições L1 e L2 para 2  5 !) e que L Iß J ß  é um grupo comutativo aditivo (axiomas A1-A4 dos espaços vectoriais – capítulo 1), cujo zero é a função OJ I À I Ä J identicamente nula em I , tal que, para todo o vector Bt − I , OJ I

Bt œ 9tJ ; Bt − I

3.9

Por outro lado, a função simétrica de uma função 2À I Ä J é a função 2 tal que, para todo o vector Bt − I :

a ba b a a bb a b a ba b a b a b

2 Bt œ  2 Bt ; Bt − I

a b 3.10

Como em qualquer grupo comutativo, põe-se

2  5 œ 2  5

donde, para qualquer Bt − I ,

2  5 Bt œ 2 Bt  5 Bt ; Bt − I

a b 3.11

Sendo ! − Š e 2À I Ä J uma função linear, define-se o produto de ! por 2 como a nova função !2À I Ä J obtida pondo, para todo o vector Bt − I ,

a ba b a a bb a b !2 Bt œ ! 2 Bt

; Bt − I

a b 3.12

A função !2 é linear (Mostre!) e a operação anterior satisfaz os axiomas P1-P4 dos espaços vectoriais (capítulo 1). Em resultado disto, L Iß J constitui um espaço vectorial sobre o corpo Š. Vamos, agora, definir uma terceira operação binária entre funções lineares: o produto ou composição de funções lineares. Proposição 3.4. – Composição de funções lineares – Sejam Kß I e J espaços vectoriais sobre um mesmo corpo Š e 5À K Ä I e 2À I Ä J funções lineares. A função (designada por

2 ‰ 5 ou, simplesmente, 25 ) 2 ‰ 5À K Ä J definida, para todo o Bt − K , por

222


a ba b a a bb

a b

2 ‰ 5 Bt œ 2 5 Bt ; Bt − K

3.13

é linear e é designada por composta ou produto de 2 e 5 (ver figura 3.2 ). Demonstração: Para provar que 2 ‰ 5 é linear, mostremos que L1 e L2 se verifica m. Quanto a L1:

a ba b aa aa bb bba a bab a ba a babbb a ba b a ba b a a bb a a bb a a a bbb aa ba bb 2 ‰ 5 Bt  Bt w œ 2 5 Bt  Bt w œ 2 5 Bt  5 Bt w œ 2 5 Bt  2 5 Bt w œ 2 ‰ 5 Bt  2 ‰ 5 Bt w

Em relação a L2, tem-se:

2 ‰ 5 !Bt œ 2 5 !Bt

œ 2 !5 Bt

œ ! 2 5 Bt

G

œ ! 2 ‰ 5 Bt



E

F

Fig. 3.2 – Composição de funções lineares.

Observe-se que, nas condições da proposição anterior, existe 2 ‰ 5 e, se K Á J , 5 ‰ 2 não existe. Se K œ J Á I , então 2 ‰ 5 é um endomorfismo de J , enquanto que 5 ‰ 2 é um endomorfismo de I , sendo, portanto, 2 ‰ 5 Á 5 ‰ 2. Por fim, se for K œ I œ J , então 2 ‰ 5 e 5 ‰ 2 são ambos endomorfismos de I . Mas, mesmo assim tem-se, geralmente, 2‰5 Á 5‰2

No entanto, existem como veremos endomorfismos 2ß 5 para os quais é 2 ‰ 5 œ 5 ‰ 2 ; destes endomorfismos diremos serem permutáveis ou comutáveis. De tudo o que acaba de ser dito pode, portanto, afirmar-se que a composição de funções lineares não é comutativa. A operação de composição anteriormente definida goza de certas propriedades em relação às operações dos espaços vectoriais L Kß I e L Iß J e que se resumem na seguinte

a b a b

Proposição 3.5. – Propriedades da composição – Sejam Iß J ß K e L espaços vectoriais sobre um corpo Š. A composição de funções lineares satisfaz as seguintes propriedades algébricas, para quaisquer ! − Š , 5ß 5 w − L Kß I , 2ß 2w − L Iß J , ? − L J ß L :

a b

a b a b

Sec. 3.3] Álgebra das funções lineares i)

Associatividade:

223

a b

a b

?‰2 ‰5 œ?‰ 2‰5

ii) Comportamento da composição em relação ao produto por escalar:

a ab b aa bb !2 ‰ 5 œ ! 2 ‰ 5 2 ‰ !5 œ ! 2 ‰ 5

iii) Distributividades à direita e à esquerda em relação à adição:

a b a b

2 ‰ 5  5w œ 2 ‰ 5  2 ‰ 5 w 2  2w ‰ 5 œ 2 ‰ 5  2 w ‰ 5

iv) Existência de elementos neutros à esquerda e à direita: I J ‰ 2

œ2 2 ‰ I I œ 2

v) Propriedade das funções nulas em relação à composição: OJ I ‰ 5

œ OJ K 2 ‰ OIK œ OJ K

Demonstração: i)

Atente-se no esquema de composição seguinte G

E

F u u

H

Fig. 3.3 – A associatividade da Composição de funções lineares.

De acordo com a figura, tem-se, sucessivamente, para qualquer Bt − K,

aa b ba b a ba a bb a a a bbb aa ba bb a a bba b ? ‰ 2 ‰ 5 Bt œ ? ‰ 2 5 Bt

œ ? 2 5 Bt

œ ? 2 ‰ 5 Bt

œ ?‰ 2‰5

Bt

224


ii) Observe-se o esquema de composição G

E

F

Fig. 3.4 – Composição de funções lineares e o produto de escalar por função linear.

Então, tem-se, para qualquer Bt − K,

aa b ba b a ba a bb a a a bbb a ba b a a bba b a a bba b aa ba bb a a bb a a bb a ba b a a bba b !2 ‰ 5 Bt œ !2 5 Bt

œ ! 2 5 Bt

œ ! 2 ‰ 5 Bt œ ! 2 ‰ 5

Bt

Identicamente, ter-se-á, atendendo à linearidade de 2, 2 ‰ !5

Bt œ 2 !5 Bt

œ 2 !5 Bt

œ !2 5 Bt

œ ! 2 ‰ 5 Bt œ ! 2 ‰ 5

Bt

iii) De acordo com os esquemas de composição que se seguem, poderemos escrever, para qualquer Bt − K,

aa a bba bba ba a ba b ba aa bb a a bbab b a a bb 2  2w ‰ 5 Bt œ 2  2 w 5 Bt œ 2 5 Bt  2 w 5 Bt œ 2 ‰ 5 Bt  2 w ‰ 5 Bt œ 2 ‰ 5  2w ‰ 5 Bt G

E

F

G

E

F

Fig. 3.5 – Distributividades à esquerda e à direita em relação à adição.

Do mesmo modo, tem-se:

a a bba b a aa ba bba bab abaa bb a a bb a ababbb a a bb 2 ‰ 5  5w

Bt œ 2 5  5 w Bt œ 2 5 Bt  5 w Bt œ 2 5 Bt  2 5 w Bt œ 2 ‰ 5 Bt  2 ‰ 5 w Bt œ 2 ‰ 5  2 ‰ 5 w Bt

Sec. 3.3] Álgebra das funções lineares

225

iv) Atendendo às figuras seguintes, E

F

E

E

E

F

E

F

F

F

Fig. 3.6 – Funções identidade IJ e I I : elementos neutros à esquerda e à direita.

poderemos escrever, para qualquer Bt − I ,

a ba b a a bb a b a ba b a a bb a b IJ

‰ 2 Bt œ I J 2 Bt

œ 2 Bt

De modo análogo e para qualquer Bt − I ,

2 ‰ II Bt œ 2

I I

Bt

œ 2 Bt

v) G

EG

G

E

FE

FG

E

FG

FE

EG

F

F

Fig. 3.7 – As funções nulas OJ I , OIK e OJ K e a Composição de funções lineares.

Em relação à figura da esquerda, tem-se, para qualquer Bt − K,

a

a a bb ba b a a bb a b

OJ I

ba b

‰ 5 Bt œ OJ I 5 Bt

ab

œ 9t J œ OJ K Bt

Para a segunda igualdade, atente-se na figura anterior à direita, com Bt − K:

a

2 ‰ OIK Bt œ 2

OIK

Bt

œ 2 9t I œ 9t J œ

OJ K

ab Bt



Observações:

ç Observemos que a operação ‰ de composição é, em geral, uma lei de composição externa

a b a b a ba b ab

‰ À L Iß J ‚ L Kß I Ä L Kß J à 2ß 5 È 2 ‰ 5

Porém, se K œ I œ J , 2 e 5 são endomorfismos de I e a composição é, então, uma lei de composição interna em End I .

a ab b

ç As alíneas i ), iii) e iv) da proposição anterior significam que End I ß ß ‰ constitui um anel não comutativo com unidade, que é a função identidade em I , I I .

226


ab

ç Se atendermos também a ii), conclui-se ser End I uma álgebra linear sobre o corpo Š

(segundo os axiomas M1-M4 do capítulo 1).

Vamos ver, de seguida, que é possível definir a potenciação (com expoente inteiro positivo) para qualquer endomorfismo de um espaço vectorial, pondo Definição 3.3. – Potência de um endomorfismo com expoente inteiro – Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š e 2À I Ä I um endomorfismo de I . Para todo o inteiro 7  ! ,

poremos por recorrência,

œ

2! œ I I 27 œ 2 ‰ 2 7" , se 7  !

Se 2 for um automorfismo de I , poderemos definir a potência de expoente inteiro negativo 7 − ™  , pondo:

ˆ ‰

27 œ 2"

7

à7!

onde 2" é o automorfismo inverso de 2 . A definição anterior dá, portanto, para 7  !,

ðóóóóñóóóóò

27 œ 2 ‰ 2 ‰ â ‰ 2 7 vezes

A associatividade implica que, para qualquer endomorfismo 2À I Ä I e 7ß 8 −  ! , se tem 278 œ 27 ‰ 2 8

e a igualdade anterior vale para 7ß 8 − ™, se 2 for um automorfismo de I .

ab "

Sendo 7  ! e !5 !Ÿ5Ÿ7 uma sequência de 7  " escalares de Š pode, portanto, definirse o polinómio no endomorfismo 2, de grau inferior ou igual a 7 e coeficientes !5 , por 7

!5 25 œ !! I I  !" 2  !# 2 #  â  !7 2 7

5œ!

3.4

Funções lineares em espaços de dimensão finita

Vamos, agora, ver algumas propriedades das funções lineares definidas num espaço com dimensão finita, entre as quais se inclui a que mostra que uma função linear definida num espaço I de dimensão finita fica completamente determinada pelos seus valores nos vectores de uma base de I : Seja I um espaço vectorial sobre um corpo Š com dimensão finita 8 e J um outro espaço vectorial sobre o mesmo corpo. Seja ainda 2ÀI Ä J uma função linear. Então: Proposição 3.6.

Sec. 3.4] Funções lineares em espaços de dimensão finita i)

a

227

b

Se / œ /t" ß /t# ß á ß /t7 for uma sequência geradora de I , então

a b a a b a b a bb ab a b a b a a b a b a bb ab a a bb ab ab a a bb a a bb ab ab a ab a b a b 2 / œ 2 t/" ß 2 t/# ß á ß 2 t/7

será uma sequência geradora de Img 2 .

ii) Se 2 é injectiva e / œ /t"ß /t#ß á ß /t8 é uma base de I , então 2 / œ 2 t/" ß 2 t/# ß á ß 2 t/8

será uma base de Img 2 , sendo então: dim Img 2 œ dimI œ 8 . iii) Ker 2 e Img 2 têm dimensão finita , tendo-se

dim Ker 2  dim Img 2 œ dimI

a b a b 3.14.1

ou seja,

n 2  c 2 œ dimI

3.14.2

b

iv) Se 2 é nula em cada um dos vectores de uma base / œ /t"ß /t#ß á ß /t8 de I , então 2 é identicamente nula (2 œ OJ I ), isto é, para todo o Bt − I , 2 Bt œ 9t J à Bt − I

ab

v) Sendo / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 uma base de I e Ct" ß Ct#ß á ß Ct8 uma lista de 8 vectores de J , existe uma e uma só função linear :À I Ä J tal que : /t4 œ Ct4 ß para 4 œ "ß #ß á ß 8. Demonstração: i)

Resulta imediatamente da proposição 3.1.ii, fazendo aí E œ I e notando que

a b ab

2 I œ Img 2

a aa b b a aa bb a ab bb a bb a b a b ab a a bb a b a a bb ab a b ab a b

ii) Como / é uma base de I , / é geradora de I . Pela alínea anterior, a sequência 2 /t" ß 2 /t# ß á ß 2 /t8 gera Img 2 ; atendendo, por outro lado, à proposição 3.3.iii, é linearmente independente (visto ser / linearmente 2 / œ 2 /t" ß 2 /t # ß á ß 2 /t8 independente e 2 injectiva); daqui se segue que 2 / é uma base de Img 2 , donde resulta a igualdade das dimensões de I e Img 2 :

ab

dim Img 2 œ 8 œ dimI

iii) A relação enunciada e que agora provaremos é, por vezes, denominada teorema fundamental das funções lineares. Como Ker 2 é subespaço de I , tem-se, obviamente, ! Ÿ dim Ker 2 Ÿ 8. Seja então = a dimensão de Ker 2 e / Kera2b œ /t" ß /t# ß á ß /t=

uma base do núcleo de 2. Observe-se que

/t4 − Ker 2 Ê 2 /t4 œ 9t J à 4 œ "ß #ß á ß =

228


Como / Kera2b é linearmente independente, podemos prolongar esta lista a uma base /I de I (ver proposição 1.16.v), mediante a inserção de 8  = vectores /t="ß /t=#ß á ß /t8 de I Ï Ker 2 :

ab

a

/I œ /t" ß /t# ß á ß /t= ß /t=" ß /t=# ß á ß /t8

a

b

b

ab

A proposição fica demonstrada, se provarmos que a lista ? de 8  = vectores de Img 2 definida por

a a b a b a bb ab a a bb a b ab ab ab ab a b ab ab æ ! ! ! ! a b a b a b Œ  ðóóñóóò ! a b ab ab ab a b a ba b ab ab ab ? œ 2 /t=" ß 2 /t =# ß áß 2 /t 8

é uma base de Img 2 e que, portanto, dim Img 2 œ 8  =:

Como, para =  4 Ÿ 8, se tem 2 /t 4 − Img 2 , vem, por ser Img 2 subespaço de J : P ? § Img 2

3.15

Por outro lado, tem-se (justifique cada passagem!): Ct − Img 2 Ê b Ct œ 2 Bt Ê B−I t

8

8

Ê Ct œ 2

4œ"

B 4 /t4

=

œ

4œ"

B 42 /t 4 œ

4œ"

9tJ B 4 2 /t 4 

8

B 42 /t 4 Ê

4œ="

9tJ

Ê Ct œ

8

4œ="

B42 t/4 Ê Ct − P ? Ê

Ê Img 2 § P ?

3.16

As relações 3.15 e 3.16 equivalem a P ? œ Img 2 e, portanto, ? gera Img 2 .

Vejamos, por fim, que ? é linearmente independente, o que resulta das implicações seguintes (justifique cada passagem!):

! ab 8

Œ!  ! ! 8

B4 2 /t4 œ 9tJ Ê 2

4œ="

B 4 /t 4

8

Ê

8

œ 9t J Ê

4œ="

=

B4 /t4 œ

4œ="

4œ"

! !

B4 /t4 Ê

4œ=" =

ab

B 4 /t 4 − Ker 2 Ê

! 8

B4 /t4 

4œ"

B4 /t4 œ 9t I Ê

4œ="

Ê B" œ B# œ â œ B 8 œ ! Ê B=" œ B=# œ â œ B 8 œ !

o que prova a independência linear de ?. iv) De facto, para qualquer vector Bt − I e sendo B4 as coordenadas de Bt em relação à base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 , tem-se:

a

b

a b Œ"  " a b " 8

2 Bt œ 2

8

B 4 /t4

4œ"

8

œ

B42 /t 4 œ

4œ"

4œ"

v) Considere-se a função :À I Ä J definida por

ab " 8

: Bt œ

4œ"

B4 Ct4

B 4 9t J œ 9t J

Sec. 3.4] Funções lineares em espaços de dimensão finita

229

onde os escalares B4 são as coordenadas (únicas) de Bt em relação à base /. É óbvio que a função : (mostre que : é linear!) satisfaz as condições do enunciado, visto que, para qualquer 3 œ "ß #ß á ß 8, se tem:

ab " 8

: /t3 œ

$ 34 Ct4 œ Ct3

4œ"

Fica, pois, demonstrada a existência de uma função linear : nas condições do enunciado. Vejamos, agora, que : é única: para isso, consideremos uma segunda função linear :w À I Ä J tal que

ab ab a b a b a ba b

: /t3 œ :w /t3 œ Ct 3à 3 œ "ß #ßá ß 8

As igualdades anteriores equivalem a

: /t3  :w /t3 œ :  :w /t3 œ 9t J à 3 œ "ß #ß á ß 8

a

b

Portanto, :  :w anula-se em todos os vectores da base / œ /t"ß /t# ß á ß /t8 ; pela alínea anterior, será :  :w œ OJ I e, portanto, : œ :w .  Podemos, em consequência da proposição anterior, tirar importantes conclusões sobre funções lineares entre espaços de dimensão finita, como se apresenta no seguinte Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š com dimensões finitas 8 e 7, respectivamente e 2 À I Ä J uma função linear com característica < e nulidade = . Então: i) 2 é injectiva sse < œ 8. Corolário 3.6.1

ii) 2 é sobrejectiva sse < œ 7 . iii) Se 2 é um isomorfismo de I sobre J , então 7 œ 8 . Isto significa que, se I z J , tem-se necessariamente dimI œ dimJ .

e f e f

iv) ! Ÿ < Ÿ min 7ß 8 . v) max !ß 8  7 Ÿ = Ÿ 8. vi) 2 é sobrejectiva Ê 7 Ÿ 8 . vii) 2 é injectiva Ê 8 Ÿ 7 .

a

b

viii) 7 œ 8 Ê 2 é injectiva Í 2 é sobrejectiva Í 2 é um isomorfismo de I sobre J . ix) Um endomorfismo de um espaço com dimensão finita é injectivo sse for sobrejectivo. x) 2À I Ä I é um automorfismo de I Í < œ 8 . (2 diz-se também invertível ou regular)

230


Demonstração:

ab

ab

Sejam = œ dimKer 2  ! e < œ dimImg 2  ! , respectivamente, a nulidade e a característica de 2 e mostremos as relações anteriores: i)

ab e f ab

2 é injectiva Í Ker 2 œ 9tI Í = œ ! œ 8  < Í < œ 8 .

ii) 2 é sobrejectiva Í Img 2 œ J Í < œ 7 . iii) 2 é um isomorfismo de I sobre J Ê 2 é bijectiva Ê < œ 8 • < œ 7 Ê 7 œ 8 .

ab

iv) Como Img 2 § J , será < Ÿ 7; por outro lado, =  < œ 8 implica < Ÿ 8 e, portanto,

e f

< Ÿ min 7ß 8

ab

v) O núcleo é um subespaço de I e, portanto, = œ dimKer 2 Ÿ 8. Por outro lado, < Ÿ 7 Ê 7 Ÿ < Ê 8  7 Ÿ 8  < œ = Ê 8  7 Ÿ =

A última desigualdade, juntamente com ! Ÿ =, implica finalmente

e

f

max !ß 8  7 Ÿ = Ÿ 8 vi) Se 2 é sobrejectiva, então < œ 7. Porém, vimos em iv) que < Ÿ 8, ou seja, 7 Ÿ 8. vii) Se 2 é injectiva, será < œ 8 e, como é sempre < Ÿ 7, resulta 8 Ÿ 7. viii) Suponha-se que 7 œ 8: então, temos 2 é injectiva Í < œ 8 Í < œ 7 Í 2 é sobrejectiva

Portanto, as condições anteriores significam que quando 7 œ 8, 2 é bijectiva: logo, 2 será um isomorfismo de I sobre J . ix) É consequência da alínea anterior, visto que a condição 7 œ 8 se dá necessariamente. x) Como 2 é um endomorfismo de I , a condição 7 œ 8 é automaticamente satisfeita e, portanto, o resultado é consequência imediata da alínea ix).  Observação:

ç O exemplo 3.17 mostra que a conclusão do corolário 3.6.1.ix não tem lugar para um endomorfismo de um espaço I com dimensão infinita: o operador

a b a b a b a b e ab f a b Int + À C Mß ‘ Ä C Mß ‘ à 0 È J+

é, como se viu então, injectivo mas a sua imagem é

Img Int + œ C" Mß ‘  J À J + œ ! Á C Mß ‘ o que mostra que Int + não é sobrejectivo!

A proposição seguinte, mostra que, quando o domínio de uma função linear tem dimensão infinita, o núcleo ou a imagem terão também, necessariamente, dimensão infinita.

Sec. 3.4] Funções lineares em espaços de dimensão finita

231

ab

ab

Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š e 2 À I Ä J uma função linear. Se I tem dimensão infinita, então pelo menos um dos espaços Ker 2 ou Img 2 tem dimensão infinita. Proposição 3.7.

Demonstração:

a a bb

a a bb

ab

ab

Suponha-se, por absurdo, que I tem dimensão infinita e que Ker 2 e Img 2 têm dimensões finitas = œ dim Ker 2 e < œ dim Img 2 . Considere-se, então, uma base de Ker 2

ab

a

/ Kera2b œ /t" ß /t# ß á ß /t=

b

Como I tem dimensão infinita, podemos encontrar em I listas linearmente independentes com quantos vectores quantos queiramos (ver proposição 1.17): consequentemente, ampliemos a base anterior, acrescentando-lhe um número : de vectores superior a <, para obter a sequência linearmente independente de =  : vectores de I :

ab

a

b

/ œ /t" ß /t# ß á ß /t= ß /t=" ß /t=# ß áß /t=: à onde :  <

ab

(claro que 2 /t4 œ 9t J , para 4 œ "ß #ß á ß = e 2 /t4 Á 9t J , para 4 œ =  "ß =  #ß á ß =  : ).

ab a a b a b a bb

a b

Consideremos, agora, a sequência ? de : vectores de Img 2 , formada pelas imagens dos /t=4 "Ÿ4Ÿ: : ? œ 2 /t=" ß 2 /t=# ß áß 2 /t =:

a a b b ab " a b

Como :  < œ dim Img 2 , a sequência ? é linearmente dependente. Portanto existem escalares !4 "Ÿ4Ÿ: não todos nulos, tais que

e

:

!4 2 /t=4 œ 9t J

f

e em que existe 5 − "ß #ß á ß : tal que !5 Á !

4œ"

Para finalizar a demonstração, atente-se, agora, na sequência de implicações (justifique cada passagem!)

! a b :

4œ"

Œ!  ! ab ! ! !a b ! :

!4 2 /t=4 œ 9t J Ê 2

4œ"

!4 /t=4

:

Ê

4œ" :

Ê Ê

4œ" = 4œ"

!4 /t=4 −

œ 9t J

Ker 2 =

!4 /t=4 œ

4œ" :

"4 /t4 

" 4 /t4

4œ"

!4 /t=4 œ 9t I

Ê A lista / será linearmente dependente, o que é absurdo.



A proposição 3.2 permite interpretar o problema dos sistemas de equações lineares à luz da teoria das funções lineares: de facto, seja E\ œ F a forma matricial de um sistema de 7 equações nas 8 incógnitas \ œ B" B# â B8 T − Š8 e onde E − Š7ß8 e F − Š7 . A função

c

d

232


" 8

8

7

2E À Š Ä Š à \ È E\ œ

B 4E4ß onde os E4 são as colunas de Eß

4œ"

é linear, como imediatamente se reconhece, e o conjunto W das soluções do sistema é formado pelos vectores de Š8 cuja imagem por 2E é igual ao vector F − Š7 dos termos independentes do sistema. Portanto, trata-se afinal de calcular a pré-imagem de F por meio de 2E :

ab e f ab aa bb a b ab a b a b a a bb a a bb W œ 2E" F œ \À E\ œ F § Š8

Seja < œ c E œ dim P E" ß E# ß á ß E8 . A definição de 2E mostra que: ç A imagem de 2E é o subespaço gerado por E" ß E# ß á ß E8

Img 2E œ P E" ß E# ß á ß E 8

portanto, tem-se:

c 2E œ dim Img 2E œ dim P E" ß E# ß á ß E8 œ <

As igualdades 3.6.1, por seu lado, mostram que:

ab a b a ˆ ‘ ‰

b

ç O sistema tem solução sse F − Img 2E œ P E" ß E# ß á ß E8 ou seja,

a

P E" ß E# ß á ß E8 œ P E" ß E# ß á ß E8 ß F

o que equivale ainda a:

b

<œc E F

ç O núcleo de 2E é o conjunto W! das soluções do sistema homogéneo associado E\ œ S :

ab e f a b a a bb a b a a b b ab

W! œ Ker 2E œ \À E\ œ S § Š8

e a dimensão deste subespaço de Š8 é o grau de indeterminação do sistema

ab

dim W! œ dim Ker 2E œ dim Š8  dim Img 2E œ 8  c E œ 8  < ç Se F − Img 2E , as soluções do sistema E\ œ F obtêm-se de uma sua solução particular \! somando-lhe o núcleo de 2E , ou seja, as soluções ] do sistema homogéneo associado E\ œ S: \ œ \!  ]

a b ef

ab

ç O sistema é determinado sse F − Img 2E Ker 2E œ 9t ou < œ 8), ou seja:

e 2E for injectiva (o que equivale a

ˆ ‘‰

E\ œ F é determinado Í < œ c E F

•<œ8

ç Se < œ 7, então 2E é sobrejectiva e o sistema E\ œ F é possível, qualquer que seja o vector F − Š 7 . ç Se 7  8, então é <  8 e 2 E não será injectiva, ou seja, o sistema não é determinado.

Sec. 3.5] Representação matricial de uma função linear 3.5

233

Representação matricial de uma função linear

Na presente secção, vamos estabelecer um dos resultados mais importantes sobre funções lineares: o da correspondência entre as funções lineares (entre dois espaços de dimensão finita) e as matrizes. Após fixarmos bases no domínio (com dimensão 8) e no espaço de chegada (com dimensão 7) de uma função linear 2, fica univocamente determinada uma matriz de tipo 7 ‚ 8, que se dirá a representação matricial de 2 em relação às referidas bases. Esta matriz depende não só de 2, mas também das duas bases escolhidas.

a

b

Proposição 3.8. – Matriz de um operador linear – Seja I um espaço vectorial, com dimensão 8 sobre um corpo Š , e / œ /t"ß /t#ß á ß /t8 uma sua base. Seja, por outro lado, J um

â b c d ‰

segundo espaço vectorial sobre o mesmo corpo, com dimensão 7 , e seleccione-se uma base 0 œ 0t " ß 0t # ß á ß 0t 7 de J . Se 2À I Ä J é uma função linear, existe uma e uma só matriz 7ß8 tal que: Q0 / 2 œ 234 − Š i)

t 3 verificam-se as relações Entre as imagens dos /t4 por h e os 0

ab " 7

2 /t4 œ

a b

234 0t 3à 4 œ "ß #ß á ß 8

3.17

3œ"

ou seja, matricialmente,

c a b a b a bd  2 t/" 2 t/# â 2 /t 8 n

E

‘ ab

œ 0t " 0t # â 0t 7 Q0 / 2 F

3.18

m

→

→

e1

( e1 ) →

→

e2 ...

( e2 ) Img (h ) ...

→

e

a b

→

(e )

n

n

→

f = (

1

→

,

2

,...,

→ m

)

Fig. 3.8 – Diagrama auxiliar para a proposição 3. 8.

a a

b b

ab

ii) Se B" ß B# ß á ß B8 forem as coordenadas de um vector Bt − I em relação à base / e C" ß C# ß á ß C7 as coordenadas da sua imagem Ct œ 2 Bt em relação à base 0 , tem se:

" 8

C3 œ

234B4 à 3 œ "ß #ß á ß 7

4œ"

matricialmente, fica

ab

 cc

\/ œ B " B # â B 8 ]0 œ C" C# â C7

3.19

a b 3.20

]0 œ Q0 / 2 \/

onde

a b

d d

T

T

a b 3.21

234

Funções lineares [Cap. 3 iii) Tem-se sempre:

a b a a bb

a b

c 2 œ c Q0 / 2

3.22

Demonstração:

ab ab a b a b a b

i) Os vectores 2 /t4 pertencem a J e, como 0 é uma base de J , cada um deles exprime-se de uma e uma só forma como combinação linear dos 0t 3 através das suas 7 coordenadas 234 "Ÿ3Ÿ7 em relação à base 0 : portanto, a matriz Q0 / 2 œ 234 , do tipo 7 ‚ 8 tal que as relações 3.17 ou 3.18 se verificam é única e determinada exclusivamente por 2 e pelo par de bases /ß 0 .

ab c d

ii) Por outro lado, tem-se, para qualquer vector Bt − I :

a b Œ!  ! ab ! ! !Œ !  ! 8

Ct œ 2 Bt œ 2

4œ"

8

œ

8

4œ" 7

œ

B 4/t 4

B4 2 /t4 œ

3œ"

8

4œ"

4œ"

7

B4

234 B4 0t 3 œ

3œ" 7

2 340t 3

3œ"

C30t 3

Como as coordenadas de Ct na base 0 são únicas, deverá ter-se:

" 8

C3 œ

234B 4 à 3 œ "ß #ß á ß 7

4œ"

a b a b ab c d a ba b a a b a b a bb a b ab

o que equivale à expressão matricial 3.20 , onde as matrizes-coluna \/ e ] 0 contêm, respectivamente, as coordenadas de Bt e da sua imagem Ct por 2 em relação às bases / e 0 , (segundo as expressões 3.21 ) e Q0 / 2 œ 234 .

ab

iii) Comecemos por recordar que a característica de 2 é a dimensão do subespaço Img 2 e que a característica de Q0 / 2 é a dimensão do subespaço gerado pelas suas colunas. Mas, pela proposição 3.6.i, tem-se Img 2 œ P 2 t/" ß 2 /t# ß á ß 2 /t 8 e o resultado é, agora, uma consequência imediata do facto de as colunas de Q0 / 2 conterem precisamente as coordenadas dos 2 /t4 em relação à base 0 (o espaço Img 2 é isomorfo do subespaço gerado pelas colunas de Q0 / 2 ). 

a abb

ab

A matriz Q0 / 2 é chamada a representação matricial de 2, em relação ao par de bases /ß 0 .

a b

Observações:

ab

ç A matriz Q0 / 2 tem um número de linhas 7 igual à dimensão do espaço J de chegada e um número de colunas 8 igual à dimensão do espaço I domínio de 2.

ab

ab

ç A coluna 4 da matriz Q0 / 2 contém as coordenadas do vector 2 /t4 , relativamente à base 0 .

Sec. 3.5] Representação matricial de uma função linear

235

a

b

ç No caso de 2 ser um endomorfismo de I , a mesma base / œ /t"ß /t#ß á ß /t8 serve para o domínio I e para o codomínio (embora não seja obrigatoriamente assim) e usaremos a notação Q/ 2 (em vez de Q// 2 ) para a representação matricial (quadrada de ordem 8) de 2 em relação à base / comum.

ab

ab

Seguem-se alguns exemplos: Seja I I À I Ä I a função identidade em I . Consideremos agora duas bases / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 e /w œ /tw"ß /t#w ß á ß /t8w de I e determinemos a representação matricial de I I em relação às bases citadas (/w no domínio e / no codomínio): tem-se I I /tw4 œ /t4 w , para todo o 4 œ "ß #ß á ß 8, donde Exemplo 3.19.

a

b

a

b

c a b a b a bd c a b II

/tw"

II

/t#w â

I I

/t8w

ˆ ‰ d ab

d c

œ /t"w /t#w â /t8w œ /t" /t# â /t8 Q //

Comparando com 2.77 , obtemos

Q//

w

ab I I

œ X //

w

I I

a b 3.23

w

Vemos assim que a matriz que representa I I nas bases / e /w é a matriz de mudança da base / para a base /w (ver secção 2.15). Em particular, quando /w œ /, 2.79 mostra-nos que

ab

Q// II œ X// Ê Q/

ab I I

a b

a b 3.24

œ M8

o que mostra que a representação matricial da função identidade não depende da base / (adoptada para o domínio e para o codomínio). Seja I § J um subespaço com dimensão 8 de um espaço vectorial J de dimensão 7  8 sobre um corpo Š e considere-se a injecção canónica 4À I Ä J à Bt È Bt. Seja, agora, / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 uma base de I e 0 œ /t"ß /t#ß á ß /t8ß /t8"ß /t8#ß á ß /t7 um prolongamento de / a uma base 0 de J (que existe, pela proposição 1.16.v). Tem-se, claro está, 4 /t5 œ /t5 , para 5 œ "ß #ß á ß 8. Portanto, a representação matricial de 4, em relação ao par de bases /ß 0 será: Exemplo 3.20.

a ba b

a

b

a

ÔÖ ÖÖÖ a b ÖÖÖ ÖÕ

Q0 / 2 œ

" ! ã ! ! ã !

! " ã ! ! ã !

â â ä â â ä â

! ! ã " ! ã !

×Ù ÙÙÙ ÙÙÙÙ ” Ø œ

b

M 8 S78ß8

•

Sejam I e J espaços vectoriais de dimensões 8 e 7 respectivamente e t È 9tJ a função nula. Para qualquer par de bases / œ /t"ß /t#ß á ß /t8 e OJ I À I Ä J à B

a

Exemplo 3.21.

ˆ

‰

ab

0 œ 0t " ß 0t # ß á ß 0t 7 , tem-se OJ I /t5 œ 9t J œ

! 7

3œ"

!0t 3 e, portanto,

b

236

Funções lineares [Cap. 3 Q0 /

a b OJ I

œ S7ß8

Observe-se que, também aqui, a matriz não depende da escolha das bases. Seja I um espaço vectorial de dimensão finita 8 sobre um corpo Š e 2À I Ä I o endomorfismo de I mencionado no exemplo 3.5 Exemplo 3.22.

ab b ×Ù Ù Ø

ab ab

25 Bt œ 5Bt œ 5 I I Bt

a

Para qualquer base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 , tem-se 25 /t3 œ 5/t3 ; logo, a matriz de 25 nessa base / será:

ÔÖ ab Ö Õ

Q/ 25 œ

5 ! ã !

! â ! 5 â ! ã ä ã ! â 5

a

b

ab

œ diag 5ß 5ß á ß 5 œ 5M8 œ 5Q/ I I

a

b

Seja 2À I Ä I um endomorfismo de um espaço vectorial I de dimensão 8 sobre um corpo Š e suponha-se a existência de uma base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 de I e de escalares -" ß -# ß á ß -8 tais que, para 4 œ "ß #ß á ß 8, Exemplo 3.23.

a

b

ab

2 /t4 œ -4 /t4

A representação matricial de 2, em relação à base / será a matriz diagonal de ordem 8

ÔÖ a b ÕÖ

Q/ 2 œ

-"

!

! ã !

-#

ã !

â ! â ! ä ã â -8

×Ù ÙØ

a

œ diag -" ß -# ß á ß -8

a b b b "

a a

b

Exemplo 3.24. Sendo Š um corpo e +t œ +" ß + # ß á ß +8 − Š8 , considere-se a 2+t À Š8 Ä Š definida, para todo o B" ß B# ß á ß B8 − Š8 , por (ver exemplo 3.10)

função linear

8

2+t B" ß B# ß á ß B8 œ

+4 B4

4œ"

Daqui resulta que

ab " 8

2+t /t3 œ

a

b

+4 $ 34 œ +3

4œ"

ab

onde / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 é a base canónica de Š8. Portanto, sendo 0 œ " a base canónica de Š, tem-se:

ab c

Q0 / 2+t œ +" +# â +8

cd

d

Em relação ao exemplo 3.12, a representação matricial de 2À Š8 Ä Š7 em relação às bases canónicas de Š8 e Š7 é matriz E œ +34 aí definida. Exemplo 3.25.

Sec. 3.5] Representação matricial de uma função linear

237

ab ab

A função HÀ P8 ‘ Ä P8 ‘ que transforma cada polinómio de grau inferior ou igual a 8 na sua derivada é, como se viu no exemplo 3.15, um endomorfismo de P8 ‘ : Exemplo 3.26.

ab

Œ"  "a b ab a ÚÝÝ a b a b ÛÝÝ a b Üab 8

H

8"

+5 B

5

5  " +5"B5

œ

5œ!

5œ!

b

Considere-se, agora, a base canónica de P8 ‘ , - œ "ß Bß B # ß á ß B8 . Ora, H" HB H B# â H B8

œ! œ" œ #B œâ œ 8B 8"

Daqui se segue que a representação matricial de H, em relação à base - será a matriz de ordem 8  ":

ÔÖ a b ÖÖÖ Õ

Q- H œ

! ! ã ! !

" ! ã ! !

! # ã ! !

â â ä â â

! ! ã 8 !

×Ù ÙÙÙ Ø

ab ab

Considere-se a função linear (ver exemplo 3.17) Int À P8" ‘ Ä P8 ‘ , que transforma cada polinómio : − P8" ‘ de coeficientes reais e de grau menor ou igual a 8  " no seu integral indefinido T − P8 ‘ com origem !: Exemplo 3.27.

ÚÝ ÛÝ Ü

Daqui resulta:

ab ab ab a b ( a b Œ!  !

Int : œ T ß

B

onde T B œ

: > d>

!

Int

8"

+5 B5

8"

œ

5œ!

ÚÝÝ ÛÝÝ Ü

5œ!

aa bb ab a b

Int " Int B Int B# â

Int B8"

+5 5" 5" B

œB œ B# Î# œ B$ Î$ â œ B8 Î8

a

b

e, portanto, a representação de Int em relação às bases canónicas - œ "ß Bß B #ß á ß B8" e

238


a

b

ab

ab ÔÖ ÖÖÖ a b ÖÖ ÖÕ

a b

-w œ "ß Bß B# ß á ß B8 de P8" ‘ e de P8 ‘ será a matriz de tipo 8  " ‚ 8:

×Ù ÙÙÙ ÙÙÙ Ø aa b a bb a b a b a b a b a b a b Q- - Int œ w

Exemplo 3.28.

definida por:

! " ! ! ã !

! !

! ! !

â â â " â $ ã ä ! !

" #

! ã !

! ! ! ! ã " 8

Considere, em ‘# , a base / œ "ß " ß "ß " e a função linear 2À ‘# Ä ‘# 2 Bß C œ #B  Cß B  C

Para calcular a representação matricial de 2, em relação à base /, temos de calcular as coordenadas de 2 "ß " œ "ß # e de 2 "ß " œ $ß ! em relação àquela base, para o que basta resolver os dois sistemas de equações lineares seguintes (que sabemos, de antemão, serem determinados – porquê?)

œ

œ

!" œ" !" œ#

!  " œ $ !  " œ !

Como a matriz dos coeficientes dos dois sistemas é a mesma, podemos resolvê-los em simultâneo, condensando a matriz seguinte

”

• ”

" " " $ " " " $ Ä " " # ! ! # " $

• ” Ä

# ! $ $ ! # " $

• ” Ä

" ! $Î# $Î# ! 1 "Î# $Î#

•

Atendendo às soluções dos sistemas, temos:

a b a b a b a b a b a b a b a b $ # $ #

2 "ß " œ "ß # œ 2 "ß " œ $ß ! œ

"ß "  "ß " 

" # $ #

"ß " "ß "

A matriz de 2 é, pois:

ab ”

Q/ 2 œ

• aa b a bb • a b

" $ $ # " $

A matriz de 2 em relação à base canónica de ‘# , - œ "ß ! ß !ß " , seria, como facilmente se conclui:

ab ”

Q- 2 œ

# " " "

Consideremos, em W # , uma base / œ /t" ß /t# formada por dois segmentos unitários e ortogonais (ver figura 3.9) aplicados num ponto S e a aplicação 3) À W # Ä W # que roda cada segmento aplicado em S de um certo ângulo ) em torno de S. Exemplo 3.29.

a b

Sec. 3.5] Isomorfismo entre L Iß J e Š7ß8

239

→

2 →

(

2

)

cos( )

→

(

1

)

sin( )

→

1

-sin( )

O

cos( )

Fig. 3.9 – Rotação em W # .

Da figura conclui-se facilmente que

œ aa bb a ab b a ab b

3) /t" œ cos ) /t"  sin ) /t# 3) /t# œ sin ) /t"  cos ) /t#

Matricialmente, fica

c a b a b d c d” aa bb aa bb • a b ” aa bb aa bb • a b 3) /t" 3) /t#

œ /t" /t#

cos ) sin )

sin )

cos )

o que mostra que a matriz de 3) em relação à base / será: cos ) sin )

Q/ 3) œ

sin )

cos )

Exemplo 3.30. Seja / œ /t" ß /t# ß /t$ a base canónica de ‘$ e considere uma função 0À ‘$ Ä ‘# que transforma o cubo dos vectores Bt œ B"/t"  B #/t #  B $/t $ ,

c d

linear onde

B" ß B# ß B$ − !ß " , na região plana sombreada da figura abaixo. 4

3

2

1

0 -1

-2

-3 -1

0

1

2

c d 3

Fig. 3.10 – Imagem do cubo !ß "

a

ba

4

$

5

6

§ ‘$ por meio de 0 .

A matriz que representa 0 em relação às bases canónicas de ‘$ e de ‘# pode ser determinada, se soubermos que um $ß #ß % é um vector do núcleo de 0 . A figura mostra que as imagens dos vectores da base canónica / œ /t" ß /t# ß /t$ de ‘$ são os vectores #ß # ß $ß " e !ß # . O que a imagem não nos mostra é qual destes vectores é 0 /t" , 0 /t # e 0 /t $ respectivamente. Existem $x œ ' formas diferentes de ordenar os vectores #ß # ß $ß " e !ß # . Mas o facto de sabermos que $ß #ß % é um vector do núcleo de 0 e que 0 é linear

a b a b

a

b

b

a b a b a b a a bb a ab b

240


permitirá esclarecer a questão, visto que terá que ser

a

b a

b ab ab ab a b

0 $ß#ß % œ 0 $/t"  #/t#  %/t $ œ $0 /t "  #0 /t #  %0 t/ $ œ !ß!

As seis correspondências possíveis encontram-se na tabela seguinte:

ab aa bb aa bb aa bb ab ab ab 0 /t"

$ß " $ß " #ß # #ß # !ß # !ß #

ab aa bb aa bb aa bb

ab ab ab ab aa bb aa bb aa bb aa b b aa bb aa bb

0 /t#

!ß # #ß # $ß " !ß # #ß # $ß "

0 /t$

$0 /t "  #0 /t #  %0 /t $

#ß # !ß # !ß # $ß " $ß " #ß #

"(ß * &ß "& !ß ! ")ß ' )ß "% #ß %

Dos casos possíveis, apenas um (o terceiro caso, a sombreado) torna nulo o vector $0 t/"  #0 t/#  %0 t/$ , pelo que se conclui que as imagens dos vectores da base canónica de ‘$ por 0 são necessariamente as que se seguem:

Úab a b ÛÜ aa bb aa bb ab 0 t/" œ #ß # 0 /t# œ $ß " 0 /t$ œ !ß #

Como as coordenadas dos vectores 0 /t3 em relação à base canónica - de ‘# coincidem com as suas próprias componentes, a matriz de 0 em relação às duas bases canónicas será, de imediato,

ab ”

Q-/ 0 œ

# $ ! # " #

•

Podemos, agora, determinar a função linear 0 :

a b aa b a b b a a b b a a b a b b be Isomorfismo entre a 0 Bß Cß D œ 0 B/t"  C/t#  D/t $ œ B0 /t "  C0 /t #  D0 /t $ œ B #ß #  C $ß "  D !ß # œ #B  $Cß #B  C  #D

3.6

L

Iß J

Š7ß8

Veremos neste parágrafo que a correspondência entre as funções lineares e as matrizes é um isomorfismo de espaços lineares e que, no caso dos endomorfismos, é um isomorfismo de álgebras lineares:

a

b a b a b

Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š (com dimensões 8 e 7 , respectivamente) e 2ß 5À I Ä J duas funções lineares.Sejam ainda / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 uma base de I e 0 œ 0t " ß 0t # ß á ß 0t 7 uma base de J . Então: Proposição 3.9.

i)

ˆ ‰ a b ab ab a b ab

M0 / 2  5 œ M0 / 2  M0 / 5

ii) M0 / !2 œ !M0 / 2 , onde ! − Š.

3.25 3.26

a b

Sec. 3.6] Isomorfismo entre L Iß J e Š7ß8 Demonstração:

241

a b ÚÝÝ a b ! Ý ! ÛÝÝ a b ÝÜ a b ! Ú ab c d ÛÜ aa bb cc dd

i) Seja ? œ 2  5 . Devido a 3.17 , tem-se: 2 /t4 œ

5 /t4 œ ? /t4 œ

e onde

7

234 0t 3

3œ" 7

534 0t 3

3œ" 7

onde 4 œ "ß #ß á ß 8

?34 0t 3

3œ"

7ß8 Q0 / 2 œ 234 − Š Q0 / 5 œ 534 − Š7ß8 7ß8 Q0 / ? œ ?34 − Š

a b ÚÝÝ a b a ba b a b a b ÝÝ ! ! ÛÝÝ !ˆ ‰ ÝÝ !a b Ü ab œ a b ab ab a b ÚÝ a b ! ÛÝ a b ! Ü œ aa bb cc dd

Para calcularmos a representação matricial de ? œ 2  5 , calculemos as imagens dos vectores da base / por meio de 2  5 e atendamos à expressão 3.17 , aplicada a 2 e + 5 , e à definição de adição de funções lineares: ? t/4 œ 2  5 /t4 œ 2 t/4  5 /t4 œ

7

3œ" 7

œ

3œ" 7

œ

3œ"

234 0t 3 

7

3œ"

5340t 3


234 0t 3  534 0t 3

234  534 0t 3

únicas, pelo que terá de ser: Porém, as coordenadas dos vectores ? /t4 na base 0 são 3 œ "ß #ß áß 7 4 œ "ß #ß á ß 8

?34 œ 234  534 onde

e as 7 ‚ 8 igualdades anteriores equivalem à igualdade matricial desejada: Q0 / 2  5 œ Q0 / 2  Q0 / 5

ii) Seja ? œ !2. As igualdades 3.17 , escrevem-se 7

2 /t4 œ ? /t4 œ

e

3œ" 7 3œ"

234 0t 3 ?34 0t 3

7ß8 Q0 / 2 œ 234 − Š 7ß8 Q0 / ? œ ?34 − Š

em que 4 œ "ß #ß á ß 8

242


a b ÚÝÝ a b a ba b a b ÛÝÝ ! Ü !a b ab œ a b ab a b

Para calcularmos a representação matricial de ? œ !2, calculemos as imagens dos vectores da base / por meio de !2 e atendamos à expressão 3.17 , aplicada a 2, e à definição de produto de escalar por função linear: ? /t4 œ !2 /t4 œ !2 /t 4 œ! œ

7

3œ" 7

3œ"

t3 234 0


t3 !234 0

Porém, as coordenadas dos vectores ? /t4 na base 0 são únicas, pelo que terá de ser ?34 œ !234 onde

3 œ "ß #ß áß 7 4 œ "ß #ß á ß 8

e as 7 ‚ 8 igualdades anteriores equivalem à igualdade matricial do enunciado: Q0 / !2 œ !Q0 / 2



ab a b a b e f

A proposição anterior mostra que a função Q0 / À L Iß J Ä Š7ß8 à 2 È Q0 / 2 que transforma cada função linear na respectiva matriz (do tipo 7 ‚ 8) em relação ao par de bases /ß 0 satifaz as condições L1 e L2 e é, portanto, linear; além disso, a equação 3.20 mostra que, se Q0 / 2 œ S7ß8 , então 2 œ OJ I o que significa que Ker Q 0 / œ OJ I e que, em virtude da proposição 3.2, Q 0 / é injectiva e, obviamente, também sobrejectiva (porquê?), ou seja, um isomorfismo de L Iß J sobre Š7ß8 : podemos então escrever

a b ab

a b

a a bb

a b

I ß J z Š7ß8 End I z Š8ß8

L

3.27

O isomorfismo anterior permite concluir que:

aa a a bbbb a b

a b

dim L Iß J œ 78 dim End I œ 8#

3.28

a b

De tudo o que acima se disse resulta que a escolha de um par de bases /ß 0 em I e J determina um isomorfismo Q0 / de L Iß J sobre Š7ß8 e que existem tantos isomorfismos quantos os pares /ß 0 de bases de I e J .

a b

De seguida, veremos que também o produto de matrizes corresponde à composição de funções lineares: Sejam I , J e K espaços vectoriais sobre um corpo Š (com dimensões 8 e funções lineares. Sejam ainda 7 e :, respectivamente) e 5À K Ä I e 2À I Ä J duas Proposição 3.10.

aˆ ˆ

b‰ ‰

/ œ /t" ß /t# ß á ß /t8 0 œ 0t " ß 0t # ß á ß 0t 7 1 œ 1t " ß 1t# ß á ß 1t:

a b

Sec. 3.6] Isomorfismo entre L Iß J e Š7ß8

243

bases de I , J e K, respectivamente. Nestas condições, tem-se:

a b

ab ab

a b 3.29

Q0 1 2 ‰ 5 œ Q0 / 2 Q /1 5 g = (

→

1

→

,

2

→

,...,

p

e=(

)

G

→

1

2

→

,...,

n

)

E

( ) eg

fe

(

→

,

( )

)

fg

F →

f = (

1

,

→

2

,...,

→

m

)

Fig. 3.11 – Matriz da aplicação composta.

Demonstração:

a b ÚÝÝ a b ! Ý ! ÛÝÝ a b ÝÜ a b ! Ú ab c d ÛÜ aa bb cc dd

Seja ? œ 2 ‰ 5 . Devido a 3.17 , tem-se: 2 /t4 œ

5 1t< œ ? 1t < œ

e onde

7

3œ" 8

4œ" 7 3œ"

234 0t 3 onde 4 œ "ß #ß á ß 8 54< /t4 onde < œ "ß #ß á ß :

?3< 0t 3 onde < œ "ß #ß áß :

7ß8 Q0 / 2 œ 234 − Š Q/1 5 œ 54< − Š8ß: Q0 1 ? œ ?3< − Š7ß:

a b

Para calcularmos a representação matricial de ? œ 2 ‰ 5 , calculemos as imagens dos vectores da base 1 por meio de 2 ‰ 5 , de acordo com a expressão 3.17 e com a definição de composição:

a b a ba b Œ!  ! ! ab "

a a bb ! ab !Œ! 

? t1< œ 2 ‰ 5 1t < œ 2 5 t1 < 8

œ2

4œ"

8

œ

4œ"

54< /t4 7

54<

3œ"

8

œ

54< 2 /t4

4œ" 7

234 0t 3 œ

8

3œ" 4œ"

onde < œ "ß #ß á ß :

234 54< 0t 3

Porém, as coordenadas dos vectores ? 1t< na base 0 são únicas, pelo que terá de ser: 8

234 54< onde

?3< œ

4œ"

œ

3 œ "ß #ß áß 7 < œ "ß #ß á ß :

244


a b

e as 7 ‚ : igualdades escalares anteriores equivalem à igualdade matricial 3.29 :

a b a ba b a b

ab ab a b a ab b a a b a b ˆˆ ‰‰ â b ‰ ˆ ‰ ab ab Q0 1 2 ‰ 5 œ Q0 / 2 Q /1 5



b

As equações 3.25 , 3.26 e 3.29 significam que a função Q/ À End I Ä Š8ß8 é um isomorfismo dos anéis (não comutativos e com unidade) End I ß ß ‰ e Š8ß8 ß ß ‚ e também das correspondentes álgebras lineares.

ab

Se I œ J œ K e 2 for um automorfismo do espaço 8 -dimensional I (o que equivale a ser c 2 œ 8) e 2 " o automorfismo inverso, então 3.29 dá-nos, para qualquer base de I , M8 œ Q/ I I œ Q/ 2 ‰ 2 " œ Q / 2 Q / 2 " M8 œ Q/ I I œ Q/ 2" ‰ 2 œ Q / 2" Q / 2

Isto que mostra que

ˆ ‰ ˆ a b‰

Q/ 2" œ Q/ 2

"

ab

a b 3.30

e é claro que 2 é invertível se e só se o mesmo acontece com a matriz Q/ 2 , ou seja, se e só se ambos têm característica igual a 8, ou seja ambos são regulares.

3.7

Alteração da representação matricial nas mudanças de base

Vamos ver, nesta secção, como se comporta a representação matricial de uma função linear 2, perante mudança(s) de base nos dois espaços vectoriais envolvidos: Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š, com dimensões finitas 8 e 7 respectivamente, e 2À I Ä J uma função linear. Consideremw w se, ainda, duas bases /ß / de I e duas bases 0ß 0 de J . Se as bases se relacionam entre si por Proposição 3.11. – Mudança de bases –

a b c 

a b

d‘c 

d ‘ a ba b ab

/tw" /t#w â /t8w œ /t" /t# â /t8 X // w w w 0t " 0t # â 0t 7 œ 0t " 0t # â 0t 7 X 0 0 w

w

a b 3.31

então, as representações matriciais de 2 nos pares de bases /ß 0 e /w ß 0 w relacionam-se por

ab

ab

Q0 / 2 œ X0 0 Q0 / 2 X // œ X 0" 0 Q 0 / 2 X // w

w

w

w

w

Demonstração: Atentemos no seguinte esquema de composição de funções

w

a b 3.32

Sec. 3.7] Alteração da representação matricial nas mudanças de base fe

E

(

ee

E

)

245

( ) F

E

F

E f e

(

f f

F

)

F

( )

Fig. 3.12 – Matrizes da mesma função linear em diferentes pares de bases.

Temos, atendendo à proposição 3.5.iv, 2 œ IJ ‰ 2 ‰ I I

a b

A equação 3.29 implica imediatamente

ab a b ab a b ab ab ab ab

Q0 / 2 œ Q0 0 w

a b

w

w

Q0 / 2 Q //

IJ

w

Atendendo a 3.23 tem-se Q// II œ X// e Q0 0 representações de 2 nos dois pares bases é w

w

w

I J

œ X0 0 , pelo que a relação entre as

Q0 / 2 œ X0 0 Q0 / 2 X// w

a b

w

Mas, 2.78 permite ainda escrever

w

ab

ab

Q0 / 2 œ X0" 0 Q0 / 2 X // w

a b

w

w

I I

w

w



w

A relação 3.32 mostra-nos que as representações matriciais da mesma função linear 2 são matrizes equivalentes (ver definição 2.18). Reciprocamente, se EßF − Š 7ß8 são matrizes equivalentes, existem matrizes regulares T − Š7ß7 e U − Š8ß8 tais que F œ T EU. Seja 2À I Ä J a função linear que tem, em relação a um par de bases /ß 0 , a representação matricial E; em relação ao par de bases /w ß 0 w de I e J tais que

c

a b d‘c 

d ‘

a b

/tw" /t#w â /t8w œ /t" /t# â /t8 U w w w " 0t " 0t # â 0t 7 œ 0t " 0t # â 0t 7 T

a representação de 2 será, como se viu, F œ T EU e, portanto, E e F são representações da mesma função linear 2, em bases diferentes: podemos, pois, enunciar o Duas matrizes EßF − Š 7ß8 são equivalentes sse elas representam a mesma função linear de um espaço I de dimensão 8 para um espaço J de dimensão 7 (sobre Š ). Corolário 3.11.1.

Como se viu no capítulo 2, a relação anterior é uma relação de equivalência que divide Š7ß8 em classes de equivalência de matrizes equivalentes; cada função linear 2ÀI Ä J corresponde a uma destas classes e qualquer propriedade matricial : comum a todas as matrizes equivalentes (por exemplo, a sua característica) pode ser considerada uma propriedade da própria função linear 2, pondo, por definição

246


a a bb a a b

a b a a bb a b b a b ab ab ab : 2 œ : Q0 / 2 ,

onde : Q0 / 2 não depende da escolha das bases /ß 0 . A este propósito, recorde-se a proposição 3.8.iii respeitante à característica de 2. Consideremos, agora, o caso especial dos endomorfismos de I em que, tomando as mesmas bases / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 e /w œ /tw" ß /t#w ß á ß /t8w no domínio e no codomínio, as igualdades 3.32 se transformam em Q/ 2 œ X/ / Q/ 2 X // œ X //"Q / 2 X // w

a b

w

w

w

a b 3.33

w

A igualdade 3.33 sugere a definição de uma nova relação (apenas entre matrizes quadradas) do seguinte modo: Definição 3.4. – Matrizes semelhantes – Dizemos que semelhantes sse existe uma matriz regular X − Š 8ß8 tal que

duas matrizes EßF − Š 8ß8 são

a b

F œ X " EX

3.34

Observações:

ç A relação de semelhança definida em Š8ß8 é uma relação de equivalência (tal como a equivalência de matrizes): a reflexividade resulta de ser F œ M8" EM8 ; a simetria é consequência

da implicação

F œ X " EX Ê E œ XFX "

e a transitividade resulta da implicação

ˆ

‰ ˆ

‰ˆ ‰ a b a b ab ab

F œ X " EX • G œ T "FT Ê G œ T " X "EX T œ T "X " E X T œ X T

"

E XT

ç Pela definição anterior, poderemos dizer que as representações matriciais Q/ 2 e Q/ 2 w

do mesmo endomorfismo de um espaço de dimensão finita são matrizes semelhantes.

ç Mas a recíproca também é verdadeira: se Eß F − Š8ß8 são semelhantes, existe uma matriz regular X − Š8ß8 tal que F œ X "EX . Se for 2À I Ä I o endomorfismo de I representado por E numa certa base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 de I , esse mesmo endomorfismo será, como vimos, representado por F œ X " EX na base /w œ t/w"ß /t#w ß á ß /t8w tal que

a c

ba d c

b

d

/tw" /t#w â /t8w œ /t" /t# â /t8 X

ç Observemos que as relações de equivalência e de semelhança de matrizes são diferentes

entre si: em primeiro lugar, a equivalência define-se entre matrizes possivelmente rectangulares enquanto a semelhança diz respeito, exclusivamente, a matrizes quadradas; em segundo lugar, para as matrizes quadradas (caso em que ambas as relações estão definidas), a semelhança das matrizes implica obviamente a sua equivalência, mas a recíproca não é verdadeira: por exemplo, qualquer matriz regular E − Š8ß8 é equivalente à matriz identidade M8 (isto é, E representa um automorfismo de um espaço de dimensão 8 ), mas só a matriz identidade é semelhante à matriz identidade.

Sec. 3.7] Alteração da representação matricial nas mudanças de base

247

Do acima exposto, podemos concluir o seguinte Duas matrizes EßF − Š 8ß8 são semelhantes sse elas representam o mesmo endomorfismo de um espaço I de dimensão 8 sobre Š . Corolário 3.11.2. Observações:

ç Como acabámos de ver, a relação de semelhança definida em Š8ß8 é uma relação de

equivalência, ficando, pois, Š8ß8 dividido em classes de equivalência de matrizes semelhantes. A cada endomorfismo 2 de um espaço I de dimensão 8 sobre Š corresponde uma destas classes e qualquer propriedade matricial : que seja comum a todas as matrizes semelhantes (isto é, invariante por uma transformação 3.33 ) poderá ser atribuída à própria função 2, pondo

a b a b a a bb

a b 3.35

: 2 œ : Q/ 2

a a bb

e onde : Q/ 2 não depende da escolha da base /. Isto acontece, entre outras propriedades, com a característica de um endomorfismo 2 , que é, portanto a característica de qualquer matriz que o represente (ver proposição 3.8.iii). ç No capítulo 5, veremos outras propriedades matriciais invariantes pela transformação E È X " EX , como por exemplo, o polinómio característico de E, os valores próprios de E, o determinante de E, o traço de E, o traço da adjunta de E e, mais geralmente, a soma dos menores principais de uma dada ordem de E; todos estes invariantes podem, segundo 3.35 , ser atribuídos a qualquer endomorfismo que seja representado matricialmente por E .

a b

aa b b a a b a b b aa b a bab b a b

Exemplo 3.31. Para ilustrar 2À ‘# Ä ‘# do exemplo 3.28 e

o uso das expressões 3.33 , podemos considerar a função calcular a matriz Q/ 2 de 2 na base /w œ #ß " ß "ß # a partir da matriz Q/ 2 de 2 na base / œ "ß " ß "ß " aí considerada. Comecemos por calcular X// , para o que deveremos exprimir os vectores #ß " e "ß # como combinação linear dos vectores "ß " e "ß " . Para resolver os dois sistemas de equações obtidos, bastará condensar a matriz w

”

ab a ba b • ”

w

" " # " " " # " Ä " " " # ! # $ "

• ” Ä

# ! " $ ! # $ "

• ” Ä

" ! "Î# $Î# ! " $Î# "Î#

Das soluções obtidas para os sistemas anteriores, vem

”

" " $ # $ "

X// œ w

•

eß invertendo a matriz anteriorß tem-se X/ / œ X//" œ w

a b ab

w

”

" " $ & $ "

•

De 3.33 resulta então,

ab

Q/ 2 œ X/ / Q/ 2 X // œ w

w

w

”

•”

•”

• ”

" " $ " $ $ " " $ " * $ œ & $ " # " $ # $ " & ( '

•

•

248


ab

Poderíamos também ter partido da matriz Q- 2 de 2 na base canónica - de ‘#, que obtivemos também no exemplo 3.28. Agora devemos calcular X -/ , para o que é necessário exprimir os vectores de /w na base canónica, o que é imediato: X-/ œ w

”

# " " #

w

•

Invertendo a matriz anterior, virá X/ - œ X-/" œ w

a b ab ab

w

”

•

•”

•” ab

" # " & " #

A expressão 3.33 dá, por fim, Q/ 2 œ X/ - Q - 2 X -/ œ w

w

w

”

" # " & " #

# " " "

• ”

" * $ # " œ " # & ( '

•

o que confirma o resultado anteriormente obtido para Q/ 2 . w

Como vimos, a matriz de uma função linear depende das bases que se usem para a determinar. É, pois, natural que se procure escolher bases que conduzam a uma matriz o mais simples possível: a este respeito, a proposição seguinte mostra que, para toda a função linear 2 entre espaços de dimensão finita, existe um par de bases em relação às quais a matriz 234 da função é toda constituída por zeros, excepto os < elementos 233 "Ÿ3Ÿ< que valem " e onde < é a característica de 2.

cd

ab

Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š , com dimensões 8 e 7 respectivamente, e 2À I Ä J uma função linear com característica < . Então, existe um par de bases /ß 0 em relação às quais a matriz de 2 é da forma: Proposição 3.12.

a b

ab ”

Q0 / 2 œ

M< S7<ß<

a b

•

S<ß8< œ N< S7<ß8<

3.36

Demonstração:

ˆ

‰

ab

Observemos que é < Ÿ 7 e < Ÿ 8 (Corolário 3.6.1.iv). Ora, como Img 2 § J tem dimensão <, tome-se uma base 0t " ß 0t # ß á ß 0t < de Img 2 e prolongue-se esta base a uma base de J (ver proposição 1.16.v)

ˆ

ab

0 œ 0t " ß 0t # ß á ß 0t < ß 0t <"ß á ß 0t 7

ˆ‰

‰

ab

Vamos, agora, construir uma base / de I : os vectores 0t 3 "Ÿ3Ÿ< pertencem a Img 2 e são, portanto, imagens de pelo menos um vector /t3 de I : seleccionemos, para cada 3 œ "ß #ß á ß <, um desses vectores /t3 ; ficamos, assim, com uma lista de < vectores de I , /t3 "Ÿ3Ÿ< tais que:

ab

2 t/3 œ 0t 3 ß 3 œ "ß #ß á ß <

ˆ‰

a b 3.37

Sec. 3.7] Alteração da representação matricial nas mudanças de base

ab

a

ab

b

249

Pela proposição 3.6.iii (teorema fundamental), Ker 2 terá uma dimensão = œ 8  < e, portanto, Ker 2 tem uma base /t<" ß á ß /t<= composta por = vectores. Tem-se, claro está,

a b a

a b

2 /t<3 œ 9t J ß 3 œ "ß #ß á ß =

3.38

Juntemos as duas listas, formando a lista / de 8 œ <  = vectores / œ /t"ß /t#ß á ß /t< ß /t<" ß á ß /t<=

b

Provemos, agora, que a lista anterior é uma base de I , para o que basta provar que é linearmente independente, visto que é formada por 8 œ <  = vectores: admitamos que uma combinação linear dos /t3 "Ÿ3Ÿ<= é nula:

ab

"

a b

<=

3.39

!4 / t4 œ 9tI

4œ"

ab

mas, aplicando 2 a ambos os membros, obtém-se (note que 2 9tI œ 9t J ):

Œ"  " a b " a b ðóóóñóóóò " æ ab <=

2

<=

!4 /t4

œ

4œ"

!4 2 /t4

4 œ" <

<=

œ

!4 2 /t4 

4œ"

9tJ !4 2 /t4

4 œ<"

9tJ

ou seja:

Œ"  " a b " ‰ a b a b " ab ab ab a b <=

2

<

!4 /t4

œ

4œ"

!4 2 /t4

4 œ" <

œ

!4 0t 4 œ 9t J

4 œ"

ˆ

Mas 0t " ß 0t # ß á ß 0t < é uma base de Img 2 , donde !" œ !# œ â œ !< œ ! . Substituindo estes valores em 3.39 , obtém-se <=

!4 / t4 œ 9t I

4 œ<"

Finalmente, como os /t4 <"Ÿ4 Ÿ<= são uma base de Ker 2 , será !<" œ ! <# œ â œ !<= œ !

ab

Portanto, todos os !4 "Ÿ4Ÿ<= em 3.39 são nulos e, portanto, os /t4 "Ÿ4 Ÿ<= formam uma base de I .

250


a b ab ˆ‰ a ba b c a b a b a b a b a bd ÔÖ ×Ù ÖÖÖ ÙÙÙ  ‘ ÖÖÖ ÙÙÙ ÖÕ ÙØ ðóóóóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóóóóò ab a a bb

A relação 3.18 entre as os 2 /t4 e os 0t 3 fica, atendendo a 3.37 e 3.38 : 2 /t" 2 /t# â 2 /t < 2 /t <" â 2 " ! ã ! œ 0t " 0t # â 0t < 0t <" â 0t 7 ! ã !

/t <= ! â " â ã ä ! â ! â ã ä ! â

œ ! ! ã " ! ã !

! ! ã ! ! ã !

â â ä â â ä â

! ! ã ! ! ã !

Q0 / 2

o que termina a demonstração. De passagem, observe que c Q0 / 2 œ < e que este resultado está de acordo com a proposição 3.8.iii.  Observações:

ç A representação matricial N< anterior é chamada forma normal ou canónica de 2 (ou de qualquer matriz E que represente 2 ).

a b

ç Se uma matriz E tem característica <, ela é equivalente a uma matriz da forma 3.36 ; quer

isto dizer que será possível levá-la à referida forma por operações elementares sobre linhas e colunas. Podemos agora provar que se duas matrizes Eß F − Š 7ß8 têm a mesma característica, elas são necessariamente equivalentes:

ab ab

Sejam Eß F − Š7ß8 duas matrizes de tipo 7 ‚ 8 sobre um corpo Š . As matrizes E e F são equivalentes sse c E œ c F . Corolário 3.12.1.

Demonstração:

Como se viu na secção 2.13 sobre matrizes elementares, se E e F são equivalentes, as suas características são iguais.

a b a b a b

Reciprocamente, seja < œ c E œ c F e 2E ß 2F À Š8 Ä Š7 funções lineares representadas em certo par de bases /ß 0 por E e por F, respectivamente. As características de 2E e de 2F são iguais a < e, consequentemente, as formas canónicas de 2E e 2F são ambas iguais a 3.36 ; daqui conclui-se que E e F são ambas equivalentes a N < e a transitividade da relação de equivalência mostra que E e F serão equivalentes entre si. 

a b

Sec. 3.8] An Anexos: funções lineares e o MATHEMATICA 3.8

Anexos: funções lineares e o MATHEMATICA

2 51 ©

 MATHEMATICA

©

O MATHEMATICA pode também ser um bom auxiliar no que respeita às funções lineares. Dispõe de funções capazes de resolver boa parte dos problemas por nós analisados neste capítulo; de entre as referidas funções salientamos: ©

ç NullSpace[A] NullSpace[A]

Devolve uma base do núcleo do operador representado por A . A expressão

Length[NullSpace[A]]

devolve a nulidade do operador representado por

. A ç MatrixRank[A MatrixRank[A] ] Caracteristica[A][[1]]

(do package ALGA`Matrizes` )

Devolve a característica do operador representado por A . O Package ALGA`Funcoe ALGA`FuncoesLinea sLineares` res` implementa algumas funções adicionais que resolvem alguns problemas sobre funções lineares e consta das seguintes funções: ç MatrizRepNov MatrizRepNova[f1,e a[f1,e1,f2,e 1,f2,e2,A1] 2,A1]

a b a b

Devolve a representação em relação ao par de bases f2,e2 da função linear que é representada por A1, em relação ao par de bases f1,e1 . Nestes pares, a primeira base é do espaço de chegada e a segunda é do espaço de partida. ç MatrizRep[f2 MatrizRep[f2,e2,A1 ,e2,A1] ]

a b

Determina a representação matricial nas bases f2,e2 do operador que é representado por A1 em relação às bases canónicas. No par de bases indicadas, a primeira base é do espaço de chegada e a segunda é do espaço de partida. ç

Imagem[A]

Devolve uma base da imagem do operador linear representado por A . A expressão Length[Imagem[A]] devolve também a característica do operador representado por A . ç

InjectivaQ[A]

Devolve True se e só se a função representada por A é é injectiva. ç

SobrejectivaQ[A]

Devolve True se e só se a função representada por A é é sobrejectiva. Apresentamos a seguir a implementação do package do package ALGA`Funcoe ALGA`FuncoesLinea sLineares` res` :

252 (* (* (* (*


Package by Carlos Ribeiro, Maio 2008 *) Contexto : ALGA`FuncoesLineares` *) Versão : 3.5 *) Versão do Mathematica : 6.0 *)

BeginPackage["ALGA`FuncoesLineares`", {"ALGA`Matrizes`"}] (* ------------------------------ HELP ON-LINE ------------------------------ *) MatrizRepNova::usage = "MatrizRepNova[f1,e1,f2,e2,a1] devolve a representação em \ relação ao par de bases f2,e2 da função linear que é representada por a1,em relação \ ao par de bases f1,e1.Nestes pares,a primeira base é do espaço de chegada e a segunda \ é do espaço de partida." MatrizRep::usage = "MatrizRep[f2,e2,a1] determina a representação matricial nas \ bases f2,e2 do operador que é representado por a1 em relação às bases canónicas. \ No par de bases indicadas, a primeira base é do espaço de chegada e a segunda \ é do espaço de partida." Imagem::usage = "Imagem[a] devolve uma base da imagem (contradomínio) do operador \ representado por a." InjectivaQ::usage = "InjectivaQ[a] devolve True se o operador representado por a é injectivo; \ False, no caso contrário." SobrejectivaQ:: usage = "SobrejectivaQ[ a] devolve True se o operador representado \ por a é sobrejectivo; False, no caso contrário." Begin["`Private`"] (* --------------------------- MENSAGENS DE ERRO ---------------------------- *) MatrizRepNova::naobase = "Uma das listas indicadas não é uma base"; MatrizRepNova::errdim = "As dimensões da matriz não são compatíveis com as bases indicadas"; (* ------------------------------ IMPLEMENTAÇÃO ------------------------------ *) (* Implementação do módulo MatrizRepNova *) MatrizRepNova[f1_?MatrixQ, e1_?MatrixQ, f2_?MatrixQ, e2_?MatrixQ, a1_?MatrixQ] := Module[{t1 = Passagem[e1, e2], t2 = Passagem[f2, f1]}, Which[ Not[SquareMatr ixQ[t1] && SquareMatrixQ[t 2]], Message[MatrizRepNova::naobase], MatrixRank[f1] != Length[f1], Message[MatrizRe pNova::naobase] , MatrixRank[e2] != Length[e2], Message[MatrizRe pNova::naobase] , Length[t2] != Length[a1] || Length[t1] != Dimensions[a1] [[2]], Message[MatrizRepNova::errdim], True, t2.a1.t1 ] ] (* Implementação do módulo MatrizRep *) MatrizRep[f2_?MatrixQ, e2_?MatrixQ, a1_?MatrixQ] := MatrizRepNova[IdentityMatrix[Length[f2]],IdentityMatrix[Length[e2]],f2,e2,a1] (* Implementação do módulo Imagem *) Imagem[a_?MatrixQ] := Module[{m = Caracteristica [Transpose[a]]}, Take[m[[2]],m[[1]]] ] (* Implementação do módulo InjectivaQ *)

Sec. 3.8] An Anexos: funções lineares e o MATHEMATICA

2 53

InjectivaQ[a_?MatrixQ] := MatrixRank[a]==Dimensions[a][[2]] (* Implementação do módulo SobrejectivaQ *) SobrejectivaQ[a_?MatrixQ] := MatrixRank[a]==Length[a] End[] EndPackage[]

O package ALGA`FuncoesLineares` deverá ser previamente carregado por meio de um dos comandos <
Nas páginas seguintes apresenta-se um notebook que ilustra o uso do destas funções para resolver alguns problemas sobre funções lineares.

MATHEMATICA ©

e


254

Funções Funçõ es linea lin eares res 3.8.1. 3.8 .1. Núcleo, Imagem, nuli dade e característi ca; inject ivid ade e sobrejectiv idade



Com o MATHEMATIC MATHEMATICA, A, podemos estudar as f unções l ineares

<<

ALGA`FuncoesLineares`

Se a representação matricial (em certo par de bases) for

Ha

882, 2, 1<, 83,

=

2 2

1

3

−2

1

1

−4

0

1 6

1

Uma base do núcleo será

ker

=

NullSpace@aD

88− 4, − 1,

10<<

E a nulidade é

s

1

=

Length@kerD

−

2, 1<, 81,

−

4, 0<, 81, 6, 1<
Sec. 3.8] Anexos: funções lineares e o MATHEMATICA

Uma base da imagem (contradomínio) será

? Ima Imagem gem

Imagem@aD devolve uma base da imagem H contradomínioL do operador representado por a.

img

=

Imagem @aD

882,

3, 1, 1<, 80,

− 10, − 10, 10,

10<<

A característica é

r

=

Length@imgD

2

Ou ainda

r

=

MatrixRank@aD

2

O teorema fundamental sobre as dimensões

r + s

Tr ue



Dimensions@aD@@2DD

255


256

A função é injectiva?

? InjectivaQ InjectivaQ

InjectivaQ@aD devolve True se o operador representado por a é injectivo; False, no caso contrário.

InjectivaQ@aD

Fal se

E sobrejectiva?

? Sobrejecti SobrejectivaQ vaQ

SobrejectivaQ@aD devolve True se o operador representado por a é Sobrejectivo; False, no caso contrário.

SobrejectivaQ@aD

Fal se

3.8.2. 3.8 .2. Mudança Mudança de bases e a repr esentação matri cial



ep[[ ] e Mat r i zRepN zRepNova[ ] permitem manipular a representação matricial, As fu nç ões Mat r i z Rep quando se mudam as bases Exemplo 2.1

? Mat r i zRep zRep


257

MatrizRep@f2,e2,a1D determina a representação matricial nas bases f2,e2 do operador que é representado por a1 em relação às bases canónicas. No par de bases indicadas, a primeira base é do espaço de chegada e a segunda é do espaço de partida.

? Mat r i z RepNova epNova

MatrizRepNova@f1,e1,f2,e2,a1D devolve a representação em relação ao par de bases f2,e2 da função linear que é representada por a1,em relação ao par de bases f1,e1.Nestes pares,a primeira base é do espaço de chegada e a segunda é do espaço de partida.

Definam-se um par de bases em

3 4  e  por

f2

=

881,

e2

=

88− 1, 2, 1, 1<, 80, 2, 1,

−

1, 2<, 81, 1, 0<, 82, 1,

Defina-se um segundo par de bases de

f3

=

880, 1,

e3

=

882, 1, 2,

A função f :

4 

Ø

= 88

−1

2

1

4

−1

−5

3

1 5

−

−

de

1<, 82, 3,

−

2, 1<, 81, 1, 1, 1<<;

4  por

1, 1<, 83,

2<, 81, 1,

1<<;

−

−

1, 0<<;

1, 2<, 8− 1, 0, 1, 3<, 82,

−

1, 0,

−

3<<;

y, z, w) w) #( 2x+3y- z +2w, x- 2y+4z- w, x+5y- 5z+ 5z+3w 3w) é representada em relação às bases

3  e

2, 3,

2 3 −2

2<, 82,

3  ;( x,

canónicas f 1, e1 d e

Ha1

−

3  e

−

−

−

de

4  pela

matriz 3×4 dos coeficientes da última expressão

1, 2<, 81,

−

2, 4,

−

1<, 81, 5,

−

5, 3<

258

A função f é representada em relação às bases f 2 e e2 de 3 e de 4 por

Ha2

7 2 3 2

=

MatrizRep@f2, e2, a1DL êê MatrixForm

1 15 2

0

2 2

4

0 0

0

A mesma função f é representada em relação às bases f 3 e e3 de 3 e de

Ha3

=

4  pela

matriz obtida por

MatrizRepNova@f2, e2, f3, e3, a2 DL êê MatrixForm

22

6

6

4

35

29

15

−4

− 23

− 16

−9

1

Ou ainda por

Ha3

=

MatrizRepNova@IdentityMatrix@Length@f3DD,

IdentityMatrix@Length@e3DD, f3, e3, a1DL êê MatrixForm

22

6

6

4

35

29

15

−4

− 23

− 16

−9

1

Uma base do núcleo de f será

ker

=

NullSpace@a1D

88− 1, − 4,

0, 7<, 8− 10, 9, 7, 0<<


E a nulidade de f é

s

=

Length@kerD

2

Uma base da imagem (contradomínio) de f será

img

=

Imagem @a1D

882,

1, 1<, 80,

− 7,

7<<

A característica de f é

r

=

Length@imgD

2

Ou ainda

r

=

MatrixRank@a1D

2


r + s



Dimensions@a1D@@2DD

259


260

Tr ue

A função f é injectiva?

InjectivaQ@a1D

Fal se

E sobrejectiva?

SobrejectivaQ@a1D

Fal se



Exemplo 2.2

A função f :

4 

Ø

3  ;( x,

y, z, w) #( 2x+3y- z+2w, x- 2y+4z- w, 2x- 3y+2z) é representada em relação às bases

canónicas f 1, e1 de 3 e de

Ha1

= 88

2, 3,

2 3

−1

2

1

−2

4

−1

2

−3

2

0

−



4

pela matriz 3×4 dos coeficientes da última expressão

1, 2<, 81,

−

2, 4,

−

1<, 82,

−

3, 2, 0<
A função f é representada em relação às bases f 2 e e2 de 3 e de 4 por

Ha2

=



1 4

1 2 5 − 2 −

33 4 13 2

−

3

5 4 7 4 3 2

21 4 109 − 4 39 2

A mesma função f é representada em relação às bases

f 3 e e3 de 3 e de

Ha3

=

4  pela

matriz obtida por


36

− 14

3

23

77

− 31

6

53

− 51

24

−3

− 37

Ou ainda por

Ha3

=



36

− 14

3

23

77

− 31

6

53

− 51

24

−3

− 37


ker

=

NullSpace@a1D

88− 19, − 6,

10, 33<<


s

=

Length@kerD

261


262

1


img

=

Imagem @a1D

882,

1, 2<, 80,

− 7, − 12<,

80,

0, 66<<


r

=

Length@imgD

3

Ou ainda

r

=

MatrixRank@a1D

3


r + s



Dimensions@a1D@@2DD

Tr ue



263

InjectivaQ@a1D

Fal se

E sobrejectiva?

SobrejectivaQ@a1D

Tr ue



Exemplo 2.3

Definam-se um par de bases em

3 2  e  por

f2

=

881 + I, 2 I, 2 − I<, 81, I, 1 + I<, 82 − 5 I, 2 + I, 3 I<<;

e2

=

882 I, 1 − I<, 83 − 2 I,

Defina-se um segundo par de bases de

3  e

−

de

2  por

f3

=

882 − 2 I, 1 − I,

e3

=

882 − I, 3 + I<, 81 + 3 I,

A função f :

2 

Ø

3  ;( z,

= 88

1 + I<, 82 − I, 0, 3 − I<, 8I, 2 − I, 2 + I<<;

−

1 + 2 I<<;

w) #( 2z+( 1- i ) w, ( 2- 3i ) z- i w, ( 2+i ) z+( 1+2i ) w) é representada em relação às bases

canónicas f 1, e1 de 3 e de

Ha1

−

2 + I <<;

2  pela

matriz 3×2 dos coeficientes da última expressão

2, 1 − I<, 82 − 3 I,

−

I<, 82 + I, 1 + 2 I<

264

2

1−

2−3

−

2+

1+2

A função f é representada em relação às bases f 2 e e2 de 3 e de

Ha2

=


31  1 − 4 4 223 239  + 20 20

11  27 + 2 2 123 261  − 10 10

−

−

2  por

−

19 67  − 20 20

−

49 43  + 10 10

A mesma função f é representada em relação às bases f 3 e e3 de 3 e de

Ha3

=

2  pela

matriz obtida por


107 3 − 34 2 2 +2 17 42  24 − 17 17

19 57  + 17 17 29 2 − 17 17 52 41  + 17 17

−

Ou ainda por

Ha3

=



107 3 − 34 2 2 +2 17 42  24 − 17 17

19 57  + 17 17 29 2 − 17 17 52 41  + 17 17

−



ker

=

265

NullSpace@a1D

8<


s

=

Length@kerD

0


img

=

Imagem @a1D

882,

2 − 3 , 2 + <, 80, 1 + 3 ,


r

=

Length@imgD

2

Ou ainda

r

2

=

MatrixRank@a1D

−1 +

5 <<


266


r + s



Dimensions@a1D@@2DD

Tr ue


InjectivaQ@a1D

Tr ue

E sobrejectiva?

SobrejectivaQ@a1D

Fal se

4 Determinantes

Sec. 4.2] Permutações. O grupo simétrico

269

4.1 Introdução Em muitas aplicações da Álgebra Linear à Geometria e à Análise, o conceito de determinante desempenha um importante papel. Começaremos por um breve estudo do grupo simétrico, após o que abordaremos com generalidade a teoria das funções multilineares alternadas e as suas propriedades. Estas são, na essência, as propriedades dos determinantes. Definiremos depois as funções determinante numa base, determinante de uma matriz e determinante de um endomorfismo. Apresentaremos adiante três métodos gerais para o cálculo de determinantes de ordem 8: o método de condensação, um método recursivo baseado no Teorema de Laplace restrito e um método misto, resultante do uso alternado de condensação e do Teorema de Laplace. Estudaremos também a relação entre a teoria dos determinantes e a característica de uma matriz, bem como a resolução de sistemas de equações lineares à custa de determinantes (regra de Cramer e Teorema de Rouché). O teorema de Laplace restrito conduzir-nos-á à definição da noção de matriz adjunta e à sua utilização na inversão de matrizes quadradas regulares. Na parte final, faremos referência à fórmula de Cauchy. No capítulo 6, aquando da abordagem do produto misto, veremos uma “interpretação geométrica” do determinante: o módulo do determinante de uma lista de vectores numa base ortonormada representa o volume do paralelepípedo definido por esses vectores.

4.2

Permutações. O grupo simétrico

Definição 4.1. – Permutação – Seja 8  " um inteiro. Uma permutaçãoa1b de ordem 8 é uma aplicação bijectiva 5À "ß #ß á ß 8 Ä "ß #ß á ß 8 . Designando por 55 a imagem de 5 por meio de 5, cada permutação será definida pelas 8 imagens 5" ß 5# ß á ß 58 em que, devido à injectividade de 5 , será " Ÿ 5" Á 5# Á á Á 58 Ÿ 8 . Utilizaremos a notação

e

f e a

f b

a b 4.1

5 œ 5 " ß 5# ß á ß 58

para designar a permutação 5 . A função identidade

e

f e

f

I 8 À "ß #ß á ß 8 Ä "ß #ß á ß 8 à 5 È 5

é uma permutação dita permutação identidade de ordem 8 e, usando a notação introduzida acima, poderemos escrever

a

b a b

a b 4.2

I 8 œ "ß #ß á ß 8

O número de permutações de ordem 8 é de 8 8  " â# † " œ 8x e designaremos por Æ8 o conjunto de todas as permutações de ordem 8:

e

Æ8 œ 5À 5 #Æ8 œ 8x

1

Ver o exemplo B.35 no apêndice B.

é uma permutação de ordem 8

f

a b 4.3

270

Determinantes [Cap. 4

Definição 4.2. – Transposição – Seja 8  # um inteiro. Chama-se transposição permutação 7 − Æ8 , para a qual existem inteiros 3ß 4 − "ß #ß á ß 8 com 3  4 , tais que

Ú ÛÜ

a

e

7 3 œ 4 7 4 œ 3 7 5 œ 5 à

f

a uma

a b 4.4

5 Á 3ß 4

b

portanto, será 7 œ "ß #ß á ß 3  "ß 4ß 3  "ß á 4  "ß 3ß 4  "ß á ß 8 Þ

ˆ‰ a b

Sendo 8  #, o número de transposições de ordem 8 é de 8# œ #" 8 8  " (tantas quantos os subconjuntos 3ß 4 de "ß #ß á ß 8 ). Para 8 œ ", não existem transposições. De entre as transposições, podemos ainda salientar as chamadas transposições elementares, definidas como segue:

e f e

f

Definição 4.3. – Transposição elementar – Seja 8  # um inteiro. Chama-se transposição elementar a uma permutação 7 − Æ8 , para a qual existe um inteiro " Ÿ 3  8 , tal que

Ú ÛÜ

7 3 œ 3  " 7 3" œ 3 7 5 œ 5à

a b 4.5

5 Á 3ß 3  "

O número de transposições elementares é de 8  " , visto ser este o número de formas distintas de seleccionar o inteiro " Ÿ 3  8 .

Exemplo 4.1.

Existe apenas uma permutação de ordem ", que é a identidade Æ" œ

ea bf "

Não existem transposições, quando 8 œ " .

ˆ‰

Consideremos 8 œ #. Existem #x œ # permutações de 2ª ordem e, entre estas, œ " transposição (elementar). Tem-se

Exemplo 4.2.

# #

Æ# œ

ea b a bf "ß # ß #ß "

a b

Neste caso, existe apenas a permutação identidade I # œ "ß # e uma transposição elementar 7 œ #ß " .

a b ˆ‰

Consideremos 8 œ $. Existem $x œ ' permutações de 3ª ordem e, de entre œ $ são transposições. Tem-se

Exemplo 4.3.

estas,

$ #

ea b a b a b a b a b a bf a b a ba b a b Æ$ œ

"ß # ß $ ß "ß $ß # ß #ß "ß $ ß #ß $ ß " ß $ß " ß # ß $ß #ß "

Neste caso, além da permutação identidade I$ œ "ß #ß $ ,existem três transposições que são "ß $ß # ß #ß "ß $ e $ß #ß " . Destas, as duas primeiras são elementares.


ˆ‰

271

Consideremos 8 œ %. Existem %x œ #% permutações de 4ª ordem e, de entre œ ' são transposições. Tem-se (ver figura 4.1)

Exemplo 4.4.

estas,

% #

eeaa bb aa bb aa bb aa bb aa bb aa eeaa bb aa bb aa bb aa bb aa bb aa ˆ‰ a b ba ba ba ba ba b

Æ% œ

"ß #ß $ ß % #ß "ß $ß % $ß "ß #ß % %ß"ß#ß$

ß ß ß ß

"ß # ß %ß $ #ß "ß %ß $ $ß "ß %ß # %ß"ß$ß#

ß ß ß ß

"ß $ ß #ß % #ß $ß "ß % $ß #ß "ß % %ß#ß"ß$

ß ß ß ß

"ß $ ß %ß # #ß $ß %ß " $ß #ß %ß " %ß#ß$ß"

ß ß ß ß

"ß %ß # ß $ #ß %ß "ß $ $ß %ß "ß # %ß$ß"ß#

ß ß ß ß

"ß %ß $ ß # #ß %ß $ß " $ß %ß #ß " % ß$ß#ß"

bbff bbff

  

Aqui, além da permutação identidade I% œ "ß #ß $ß % ,existem %# œ ' transposições que são "ß#ß%ß$ ß "ß$ß#ß% ß "ß%ß$ß# ß #ß"ß$ß% ß $ß#ß"ß% ß % ß#ß$ß" . De entre estas, as duas primeiras e a quarta são elementares.

a

Para obter as 24 permutações de 4ª ordem, podemos recorrer ao esquema da figura 4.1, que pode ser usado também para outros valores de 8. Este processo de “desdobramento” consiste em colocar nos nós-raízes (de nível !) das 8 árvores os números " a 8; cada um destes nós tem 8  " descendentes de nível " (diferentes da raiz); estes por sua vez têm 8  # descendentes (diferentes dos nós dos dois níveis anteriores) e assim por diante, até que, no nível 8  #, existe apenas um descendente (o único dos números " a 8 que não foi usado antes). Nível 1

2

3

4

0

4 3

2

3

4

1

4

3

1

4

2

1

3

2

1

3 3

3

4 2

4 2

3 3

4 1

4 1

4 1

3 2

4 1

2 2

3 1

3 1

2 2

2 3

3 4

3

4

2

3

2

4

3

4

1

3

1

4

Fig. 4.1 – Esquema para obter as

2

4

1

2

1

3

2

3

1

2

1

1 =24

%x œ #% permutações de 4ª ordem.

Sejam 5" e 5# duas permutações de ordem 8 e consideremos, agora, a composição (também chamada produto) de 5" com 5# : σ

{1,2,...,n}

{1,2,...,n}

σ σ οσ

{1,2,...,n}

Fig. 4.2 – Composição (produto) de permutações.

a b

Como a composta de duas bijecções é uma bijecção, segue-se que a composição ‰ é uma lei de composição interna em Æ8 . Portanto, Æ8 ß ‰ constitui um grupóide e, para 8  #, este

272


grupóide não é comutativo. Todavia, a composição é associativa, tem elemento neutro (a permutação identidade I 8 ) e, sendo uma função bijectiva, cada permutação 5 tem uma inversa 5" tal que 5 ‰ 5" œ 5 " ‰ 5 œ I 8 : trata-se, portanto, de um grupo (não comutativo para 8  #) a que chamaremos o grupo simétrico de ordem 8. Portanto, tem-se: ç 8#Ê ç ç ç

a

b

5" ß5# −Æ8

a b

5" ß5# ß5$ −Æ8

5" ‰ 5# Á 5# ‰ 5"

a

5" ‰ 5# ‰ 5$ œ 5" ‰ 5# ‰ 5$

b

a I8 ‰ 5 œ 5 ‰ I 8 œ 5

5−Æ8

a

b 5 ‰ 5" œ 5" ‰ 5 œ I 8

5−Æ8 5" −Æ8

Exemplo 4.5.

a ba b

Por exemplo, em Æ$ , calculemos "ß$ß# ‰ $ß#ß" : tem-se, neste caso,

a ba b a b

"È$È# #È#È$ $È"È"

a ba b

e, portanto, "ß $ß # ‰ $ß #ß " œ #ß $ß " . Do mesmo modo, para $ß #ß " ‰ "ß $ß # , vem: "È"È$ #È$È" $È#È#

a ba b a b a ba aa bb aa bb aa bb aa bb aa bb a b a aa b ba a b ab a b aa b b a a b b a b a b

Portanto, será outros exemplos:

b a b aa bb b b

$ ß # ß " ‰ " ß $ ß # œ $ ß " ß # Á " ß $ ß # ‰ $ ß # ß " œ # ß $ ß " . Seguem-se

#ß"ß$ ‰ #ß$ß" œ "ß$ß# Á #ß$ß" ‰ #ß"ß$ œ $ß#ß" $ ß " ß # ‰ # ß $ ß " œ " ß # ß $ œ # ß $ ß " ‰ $ ß " ß # œ " ß # ß $ œ I $

O exemplo anterior mostra que # ß $ ß " œ $ ß " ß # " . Tem-se ainda, a título de exemplo, algumas composições e inversas em Æ% e Æ& (verifique as igualdades!), Exemplo 4.6.

%ß$ß"ß# ‰ #ß%ß$ß" œ $ß#ß"ß% $ß &ß #ß "ß % ‰ %ß #ß "ß &ß $ œ "ß &ß $ß %ß # $ß %ß "ß # " œ $ß %ß "ß # $ß &ß #ß "ß % " œ %ß $ß "ß &ß # #ß "ß &ß $ß % " œ #ß "ß%ß&ß$

Exemplo 4.7.

Sendo 7 uma transposição de ordem 8, tem-se 7 ‰ 7 œ I 8

o que mostra que 7 " œ 7 , para qualquer transposição 7 .

a b 4.6

Sec. 4.2] Permutações. O grupo simétrico Exemplo 4.8.

273

Seja " Ÿ 3  4 Ÿ 8 e considere-se a transposição 7 de 3 e 4

a

Ú ÛÜ

7 3 œ 4 7 4 œ 3 7 5 œ 5 ß

5 Á 3ß 4

b

e uma permutação 5 œ 5" ß 5# ß á ß 53 ß á ß 54 ß á ß 58 . Calculemos 5 ‰ 7 , para o que basta atentar no esquema

Daqui se conclui ser

Ú ÛÜ

3 È 4 È 54 4 È 3 È 53 5 È 5 È 55 ß

5 Á 3ß 4

a

5 ‰ 7 œ 5" ß 5# ß á ß 54 ß á ß 53 ß á ß 58

b

Portanto, a troca de dois elementos 53 e 54 entre si numa permutação 5 conduz a uma nova permutação que tem a forma 5 ‰ 7 , onde 7 é uma transposição. Em particular, a troca de dois elementos consecutivos 53 e 53" entre si na permutação 5 leva-nos a uma permutação da forma 5 ‰ 7 em que 7 é transposição elementar. Com base neste último exemplo, podemos provar a Proposição 4.1. – Decomposição de uma permutação – Seja 5 − Æ8 uma ordem 8  ". Então, existem transposições 7" ß 7#ß á ß 7 : , com :  8 , tais que

permutação de

a b 4.7

5 œ 7 " ‰ 7 # ‰ â ‰ 7:

Demonstração: A demonstração consiste em transformar a permutação identidade I 8 na permutação 5 dada, por sucessivas trocas dos seus elementos: seja

a

I 8 œ "ß #ß á ß 8

b

Se 5" Á ", então troquemos 1 com 5" (se for 5" œ ", passamos para o passo seguinte); após isto, obtém-se a permutação

a

I 8 ‰ 7 " œ 5" ß #ß á ß 8

b

Se 5# Á #, então troquemos # com 5# (se for 5# œ #, saltamos para o passo seguinte); após esta operação, obtemos a permutação

a

I 8 ‰ 7" ‰ 7 # œ 5"ß 5# ß á ß 8

b

Continuando com este procedimento, ao fim de um máximo de : trocas (: Ÿ 8  ", sendo que : œ 8  " só será atingido, se for sempre 55 Á 5 , 5 œ "ß #ß á ß 8  " ), chega-se a

274


a

b

I 8 ‰ 7" ‰ 7# ‰ â ‰ 7: œ 5"ß 5# ß á ß 58 œ 5

e a proposição está demonstrada, visto que I 8 ‰ 7" ‰ 7# ‰ â ‰ 7: œ 7" ‰ 7# ‰ â ‰ 7: .



Vejamos, agora, que toda a transposição é um produto de transposições elementares: Seja 7 − Æ8 uma transposição de ordem 8  # . Então, existem transposições elementares 0" ß 0# ß á ß 05 tais que Proposição 4.2.

a b 4.8

7 œ 0" ‰ 0# ‰ â ‰ 05

Demonstração:

a b

Considere-se uma transposição 7 de ordem 8 dada por 4.4 e onde 3  4 . Se 4 œ 3  " , o resultado é imediato, visto que 7 é ela própria elementar. Se 3  "  4, consideremos a permutação identidade

a

I 8 œ "ß #ß á ß 3ß 3  "ß á ß 4  "ß 4ß á ß 8

b

e façamos as < œ 4  3 transposições elementares 0" ‰ 0# ‰ â ‰ 0< que trocam sucessivamente os elementos nas posições consecutivas 3ß 3  " ß 3  "ß 3  # ß á ß 4  "ß 4 , o que levará o elemento 3 a ocupar a posição 4 (o elemento 3 avança desde a posição 3 até à posição 4, através de < trocas entre elementos ocupando posições consecutivas)

a ba a a ba a b a

b a

b b b a b

I 8 ‰ 0" ‰ 0# ‰ â ‰ 0< œ "ß #ß á ß 3  "ß 3  #ß á ß 4ß 3ß á ß 8

De seguida, executemos as = œ 4  3  " transposições elementares 0<" ‰ â ‰ 0<= que trocam os elementos nas posições 4  "ß 4  # ß 4  #ß 4  $ ß á ß 3  "ß 3 , o que leva o elemento 4 da permutação anterior a ocupar a posição 3 (o elemento 4 recua até à posição 3, exclusivamente através de trocas entre elementos ocupando posições consecutivas), obtendo-se finalmente, com 5 œ <  = œ # 4  3  " (sempre ímpar):

b

0" ‰ 0# ‰ â ‰ 05 œ "ß #ß á ß 4ß 3  "ß á ß 4  "ß 3ß á ß 8 œ 7




Com as duas proposições anteriores, é óbvio que podemos garantir que toda a permutação de ordem 8 é decomponível num produto de transposições elementares : Seja 5 − Æ8 uma permutação de ordem 8  " . Então, existem transposições elementares 0" ß 0# ß á ß 0: tais que Proposição 4.3.

a b 4.9

5 œ 0 " ‰ 0 # ‰ â ‰ 0:

Demonstração:

a b

a b

Basta substituir em 4.7 cada transposição pela sua decomposição 4.8 em transposições elementares. 

a b

O leitor pode a título de exercício provar a última proposição directamente, sem usar 4.8 . As proposições anteriores mostram que toda a permutação é um produto de transposições (que


275

a b a b

poderão também ser exclusivamente elementares) e diremos que 5 é uma permutação par ou ímpar, consoante for par ou ímpar o número : de transposições nas decomposições 4.7 ou 4.9 . Do mesmo modo, chamaremos sinal ou paridade de 5 ao inteiro & 5 definido por

a b

ab

ab a b

& 5 œ "

:

4.10

Portanto, o sinal de 5 é " ou ", conforme a permutação 5 (e :) for par ou ímpar. Da definição resulta imediatamente que todas as transposições (elementares ou não) são ímpares e que a permutação identidade I 8 é par:

aa bb

a b

& 7 œ " & I 8 œ "

4.11

A demonstração da proposição 4.1 fornece-nos o algoritmo para determinar a paridade de uma permutação qualquera2b , como se mostra nos exemplos seguintes: Exemplo 4.9.

ab

A única permutação de 1ª ordem I " œ " é par

ab

& I " œ " Exemplo 4.10.

Determinemos as paridades das # permutações de # ª ordem:

œ aa bb ÚÝÝ a b Ý aa bb ÛÝÝ a b ÝÜ aa bb ÚÝÝ a b Ý aa bb ÛÝÝ a b ÝÜ aa bb

& "ß # œ " & #ß " œ "

Exemplo 4.11.

Vejamos, agora, as paridades das ' permutações de $ª ordem: & & & & & &

Exemplo 4.12.

œ " œ " œ " œ " œ " œ "

Determinemos as paridades de seis das #% permutações de % ª ordem: & & & & & &

2

"ß #ß $ "ß $ß # #ß "ß $ #ß $ß " $ß "ß # $ß #ß "

"ß #ß $ß % "ß $ß #ß % #ß %ß $ß " %ß #ß $ß " $ß "ß %ß # $ß %ß #ß "

œ " œ " œ " œ " œ " œ "

A paridade de 5 − Æ8 pode também ser calculada mediante a contagem de todos os pares a53 ß 54 b para os quais se tenha 3  4 • 53  54 (chamados inversões de 5 ). A permutação 5 será par ou ímpar, consoante for par ou ímpar o número resultante da contagem referida.

276


a

b

Eis como determinar as & últimas paridades anteriores, partindo da identidade "ß #ß $ß % :

ÚÝÝ a aÛ a ÝÝ a Üa

bb bb b

"ß #ß $ß % "ß#ß$ß% "ß #ß $ß % "ß#ß$ß% "ß#ß$ß%

Ä Ä Ä Ä Ä

aa aa a

bb a bb a b a

b bb a

"ß $ß #ß % #ß"ß$ß% Ä #ß%ß$ß" %ß #ß $ß " $ß#ß"ß% Ä $ß"ß#ß% Ä $ß"ß%ß# $ß #ß "ß % Ä $ß %ß "ß #

b

Vamos, agora, demonstrar a proposição que relaciona o sinal da composta de duas permutações com os sinais de cada uma dessas permutações:

Proposição 4.4. – Paridade da composta –

Seja 8  " um inteiro e 5ß 5w − Æ8 . Então

a b a ba b

a b

& 5 ‰ 5w œ & 5 & 5 w

4.12

Demonstração:

a b

Em virtude de 4.7 , podemos escrever



ab a b ab a b

5 œ 7" ‰ 7# ‰ â ‰ 7: Ê & 5 œ "

:

5w œ 7"w ‰ 7#w ‰ â ‰ 7:w w Ê & 5 w œ "

:w

e daqui conclui-se que 5 ‰ 5 w œ 7" ‰ 7# ‰ â ‰ 7: ‰ 7"w ‰ 7#w ‰ â ‰ 7:w w

Deste modo, a paridade de 5 ‰ 5w é definida por :  : w e fica, por fim,

a b a b a b a b aba b a b e f a b ae f b & 5 ‰ 5 w œ "

::w

œ " : ‚ "

:w

œ & 5 & 5w



A igualdade 4.12 significa que, se 8  #, a função

&À Æ8 Ä "ß "

é um homomorfismo do grupo simétrico de ordem 8 Æ8 ß ‰ sobre o grupo multiplicativo comutativo "ß" ß ‚ . Desta proposição resulta imediatamente o seguinte Corolário 4.4.1 (Teorema de Bézout) a3b. qualquer transposição 7 − Æ8 , tem-se sempre

Seja 8  # um inteiro e 5 − Æ8 . Então, para

a b ab

& 5 ‰ 7 œ & 5

Demonstração:

ab

a b

Basta atender a que & 7 œ " e fazer 5w œ 7 em 4.12 . 3

Bézout, Etienne: matemático francês (Nemours 1730 – Les Basses-Loges 1783).

a b 4.13




277

Este corolário significa que toda a permutação muda de paridade, quando sobre ela se executa uma transposição (Teorema de Bézout), o que permite olhar para o algoritmo que usámos para determinação da paridade de uma permutação a uma nova luz: partimos de uma permutação (a identidade I 8 ) cuja paridade conhecemos (par) e, por cada transposição executada, muda essa paridade até obtermos a permutação cuja paridade se pretende determinar:

a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b ðóñóò a b "ß # ß $ß % Ä "ß $ß # ß % par

ímpar

"ß # ß $ß % Ä #ß "ß $ ß % Ä #ß % ß $ß " par

par

ímpar

"ß # ß $ß % Ä %ß #ß $ ß " par

ímpar

"ß #ß $ß % Ä $ß #ß "ß % Ä $ß "ß #ß % Ä $ß "ß %ß # par

par

ímpar

ímpar

"ß #ß $ß % Ä $ß # ß "ß % Ä $ß %ß " ß # par

ímpar

par

Vamos, de seguida, tratar de mais uma consequência de 4.12 : uma permutação e a sua inversa têm sempre a mesma paridade.

Corolário 4.4.2.

Seja 8  " um inteiro e 5 − Æ8 . Então

ˆ ‰ ab

a b

& 5 " œ & 5

Demonstração:

ab a b

4.14

Observando que & I 8 œ " e que, por definição de inversa, se tem 5 ‰ 5" œ I 8

bastará agora usar 4.12 para obter

ˆ

‰ abˆ ‰ a ba b

& 5 ‰ 5 " œ & 5 & 5 " œ "

Se 5 e 5" tivessem paridades diferentes, seria & 5 & 5" œ ", contrariando o resultado anterior.  O teorema de Bézout tem também uma implicação interessante: quando 8  #, das 8x permutações de ordem 8 , metade são permutações pares e a outra metade são ímpares. No grupo simétrico Æ8 de ordem 8  # existem sempre permutações ímpares.

Corolário 4.4.3.

pares e

8x #

8x #

permutações

278


Demonstração: Seja 7 − Æ8 uma transposição de ordem 8 (uma tal transposição existe, visto que 8  #) e 0À Æ8 Ä Æ8 a função 5 È 5 ‰ 7 . A função 0 é uma bijecção de Æ8 sobre si próprio (demonstre!) que transforma as permutações pares em ímpares e vice-versa (Teorema de Bézout). Deste modo, se for : o número de permutações pares e 3 o número de permutações ímpares, será :  3 œ 8x e :  3 • 3  :

As desigualdades anteriores implicam imediatamente : œ 3 œ

8x #.



Na secção 4.16, usamos o MATHEMATICA para implementar várias funções úteis para trabalhar com permutações (ver package ALGA`Determinantes`). ©

4.3

p

Funções multilineares

Definição 4.4. – Funções : -lineares. – Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š e −  um inteiro positivo. Chama-se função multilinear de ordem : (ou ainda : -linear) sobre

a

b a a b a b

b b b

I com valores em J a uma função 2À I : Ä J à Bt" ß Bt# ß á ß Bt: È 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: , tal que são lineares as : “funções parciais” 25 À I Ä J à Bt5 È 2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt5 ß á ß Bt: , isto é, para qualquer 5 œ "ß #ß áß : tem-se:

a a

b a b a a b a b

[ML1] 2 Bt"ß á ß Bt5  Ct5 ß á ß Bt: œ 2 Bt"ß á ß Bt5 ß á ß Bt:  2 Bt"ß á ß Ct 5ß á ß Bt : [ML2] 2 Bt" ß á ß !Bt5 ß á ß Bt: œ !2 Bt" ß á ß Bt5 ß á ß Bt:

Quando 2 for uma função escalar (J œ Š ), diremos que se trata de uma forma multilinear . O conjunto das aplicações : -lineares sobre I com valores em J constitui um subespaço vectorial do espaço vectorial F I : ß J de todas as funções de I : em J a4b . Este subespaço vectorial designa-se por M: Iß J . Quando : œ " , M: Iß J coincide com o espaço vectorial L Iß J das funções lineares de I em J .

a b

a b

A função 2 diz-se linear, bilinear, trilinear, etc, conforme for : œ ", : œ #, : œ $, etc. Da condição [ML2] resulta (com ! œ !)

a

b

2 Bt"ß á ß 9tI ß á ß Bt: œ 9tJ

portanto, uma função multilinear anula-se se for nulo algum dos seus argumentos; por outro O espaço F aI: ß J b está definido através das operações

4

a0  1baBt"ß Bt#ß á ß Bt: b œ 0 aBt"ß Bt#ß á ß Bt: b  1aBt"ß Bt#ß á ß Bt: b a!0 baBt"ß Bt# ß á ß Bt: b œ !0 aBt" ß Bt# ß á ß Bt: b A função OJ I (identicamente) nula definida por :

t" ß Bt# ß á ß B t: b œ t9J OJ I : aB é o vector nulo deste espaço e o simétrico de 0 será a função 0 definida por

a0 baBt"ß Bt#ß á ß Bt: b œ 0 aBt"ß Bt#ß á ß Bt: b

Sec. 4.3] Funções multilineares

279

lado, da aplicação repetida de ML1 e ML2 resulta a igualdade seguinte, para qualquer combinação linear Bt œ

! 7

3œ"

B3 /t3 de 7 vectores /t3 de I ,

Š

"

‹ " a a b

7

2 Bt" ß á ß

7

B3 /t3 ß á ß Bt: œ

3œ"

B32 Bt "ß á ß /t3ß á ß Bt:

3œ"

b a b

Sendo I de dimensão finita 8 e / œ /t"ß /t# ß á ß /t8 uma base de I , cada um dos argumentos Bt3 de 2 será combinação linear dos vectores de /, através das suas coordenadas B53 "Ÿ5Ÿ8 "Ÿ3Ÿ: relativas à base /

" 8

Bt3 œ

B53 3 /t53 à 3 œ "ß #ß áß :

53 œ"

Portanto e devido à multilinearidade de 2, será

b Œ" "

a

8

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: œ 2

" 8

B5"" /t5" ß

5" œ" 8

B5## /t5 # ß á ß

5# œ"

œ

" 8

B5 ::/t5 :

5: œ"

ˆ

B5" "B 5## âB5:: 2 /t5" ß /t5 # ß áß /t5 :

5"ß5 #ßáß5:œ"

 ‰

a b 4.15

A última expressão mostra que uma função :-linear definida num espaço I com dimensão 8 fica inteiramente determinada pelos seus 8 ‚ 8 ‚ â ‚ 8 œ 8 : valores

ðóóóóóñóóóóóò ˆ ‰ ‰ : factores

2 t/5" ß /t5# ß á ß /t5: − J

ˆ

em todas as combinações /t5" ß /t5# ß á ß /t5:

Exemplo 4.13.

"Ÿ5" ß5#ßáß5:Ÿ8

de : vectores da base /.

A função 2À ‘# Ä ‘ definida por

a b

a b 4.16

2 B" ß B # œ % B " B#

é uma forma bilinear (: œ #) sobre ‘ (8 œ "). Exemplo 4.14.

Em geral, as funções 2À ‘# Ä ‘ definidas por

a b

a b 4.17

2 B" ß B# œ + B " B #

e onde + é uma constante real são formas bilineares (: œ #) sobre ‘ (8 œ "). Exemplo 4.15.

Mais geralmente, sendo Š um corpo, a função 2À Š: Ä Š definida por

a

b

2 B" ß B# ß á ß B: œ + B" B# âB: œ +

a

b

$ :

4œ"

B4

a b 4.18

e onde + é uma constante de Š é uma forma : -linear sobre Š (verifique!). Observe que + œ 2 "ß "ß á ß " .

280


Exemplo 4.16.

ab a b

A função 2À ‘#

#

a b a b

Ä ‘ definida, para Bt œ B"ß B# ß Ct œ C "ß C # − ‘# por

2 Btß Ct œ B" C"  #B"C #  B #C "  $B #C #

é uma forma bilinear sobre ‘# (verifique!).

a b

Exemplo 4.17. Mais Ct œ C"ß C# − ‘# por

ab c d”

geralmente, as funções 2À ‘#

a b " #

2 Btß Ct œ

#

4.19

Ä ‘ definidas, para Bt œ B"ß B# ß

+34 B3 C4 œ \ TE] œ B" B#

3ß4œ"

a b a b a b

•” •

+"" +"# +#" +##

C" C#

4.20

(onde os +34 são constantes reais) são formas bilineares sobre ‘# (prove!). Observe que os +34 são as imagens das % combinações possíveis dos # vectores da base canónica de ‘# por 2 :

aaaa bb aa bbbb a b a b a b " c +"" œ 2 "ß ! ß "ß ! +#" œ 2 !ß " ß "ß !

aaaa bb aa bbbb a b ÔÖ dÕÖ

+ "# œ 2 "ß ! ß !ß " + ## œ 2 !ß " ß !ß "

Mais geralmente ainda, as funções 2À Š8 Bt œ B" ß B# ß á ß B8 ß Ct œ C"ß C #ß á ß C 8 − Š8 por Exemplo 4.18.

8

+34 B3 C4 œ \ TE] œ B" B# â B8

2 Btß Ct œ

3ß4œ"

+"" +"# +#" +## ã ã +8" +8#

#

Ä Š definidas, para

â +"8 â +#8 ä ã â +88

×ÔÙÖ ÙÖØÕ

C" C# ã C8

×Ù ÙØ a b 4.21

(onde os +34 são constantes de Š) são formas bilineares sobre Š8 . Observe que os +34 são as imagens dos 8# pares ordenados possíveis de vectores da base canónica de Š8 por 2. \ e ] são matrizes-coluna e a matriz E œ +34 − Š8ß8 é chamada a matriz da forma bilinear 2. \ TE] é uma matriz de tipo " ‚ " que identificamos com o seu elemento escalar e é óbvio que esta matriz é simétrica, donde \ T E] œ \ TE] T œ ] TE T \ .

c d

a b

ab a b "

a b a b

As funções 2À ‘# Ct œ C" ßC # ß tD œ D " ßD # − ‘# por Exemplo

4.19.

$

a b a b

Ä ‘ definidas, para quaisquer Bt œ B"ß B# ß #

2 Btß Ctß Dt œ

4.22

+345 B3 C4 D5

3ß4ß5œ"

(onde os +345 são #$ constantes reais) são formas trilineares sobre ‘# (verifique!). Observe que os +345 são as imagens dos #$ œ ) ternos ordenados possíveis dos # vectores da base canónica de ‘# por 2.

a b b

Em geral, sendo Š um corpo, as funções 2À Š# : Ä Š definidas, para quaisquer Bt" œ B "" ß B#" ß Bt# œ B "#ß B## ß á ß Bt: œ B ": ß B#: − Š# por

a

Exemplo 4.20.

a

b

a

b

b "

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: œ

a

#

+5"5#â5: B5"" B5 ## âB5 ::

5"ß5 #ßáß5:œ"

a b 4.23

(onde os +5"5 #â5: são #: constantes de Š) são formas : -lineares sobre Š# (verifique!). Observe que os +5"5#â5: são as imagens das #: listas ordenadas possíveis de : vectores da base canónica de Š# por 2.

Sec. 4.3] Funções multilineares

281

a b b

Mais geralmente ainda, sendo Š um corpo, as funções 2À Š8 definidas, para quaisquer Exemplo

4.21.

a

b

a

b

a

:

ÄŠ

Bt" œ B"" ß B#" ß á ß B8" ß Bt# œ B"#ß B## ß á ß B8# ß á ß Bt: œ B":ß B#:ß á ß B8: − Š8

por

b "

a

ˆ

8


+5"5#â5: B5"" B5 ## âB5 ::

5"ß5 #ßáß5:œ"

‰

a b 4.24

(onde os +5"5 #â5: são 8: constantes de Š) são formas : -lineares sobre Š8 (verifique!). Observe que os +5"5 #â5: são as imagens das 8: listas ordenadas possíveis de : dos 8 vectores da base canónica de Š8 por meio de 2.

a b

Seja M um intervalo compacto de ‘ e C Mß ‘ o espaço das funções reais contínuas em M e considere, para quaisquer 0ß 1 − C Mß ‘ , a função 2À C Mß ‘ # Ä ‘ definida por Exemplo 4.22.

a b a b ( a b a b

a a bb

a b

0 B 1 B dB

2 0ß 1 œ

4.25

M

a b a b

Facilmente se verifica que 2 é uma forma bilinear sobre C Mß ‘ .

Seja M um intervalo compacto de ‘ e C Mß ‘ o espaço das funções reais contínuas em M e considere, para quaisquer funções 0" ß 0# ß á ß 0: − C Mß ‘ , a aplicação 2À C Mß ‘ : Ä ‘ definida por Exemplo 4.23.

a a bb

a

a b

b ( a b a b a b a b

2 0" ß 0# ß á ß 0: œ

0" B 0 # B â0 : B dB

M

a b 4.26

Facilmente se verifica que 2 é uma forma : -linear sobre C Mß ‘ . Se forem Iß J e K espaços vectoriais sobre um corpo Š, 2À I : Ä J uma função :-linear sobre I com valores em J e ?À J Ä K uma função linear, facilmente se prova que 1 œ ? ‰ 2 é uma função : -linear sobre I com valores em K Exemplo 4.24.

a

b aa

1 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: œ ? 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: E

bb

F

G

Fig. 4.3 – Composição de uma função linear

? com uma função :-linear 2.

a b 4.27

282


Š "

‹

Em particular, se dimJ œ 7 e se 0 œ 0t "ß 0t #ß á ß 0t 7 for uma base de J , as projecções 7

pr3 À J Ä Šà Ct œ

C< 0t < È C 3 , para 3 œ "ß #ß á ß 7

<œ"

são formas lineares de J em Š e, portanto, as coordenadas 23 œ pr3 ‰ 2À I : Ä Š da função 2À I : Ä J :-linear com valores em J são formas : -lineares 2 3 sobre I

b "a

a

7


b

a b

t3 23 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: 0

3œ"

E

4.28

F

K

Fig. 4.4 – As Coordenadas

23 de uma função :-linear são formas : -lineares.

Reciprocamente, dadas 7 formas : -lineares 23À I : Ä Š, a função 2À I : Ä J definida por

b "a

a

7


b

t3 23 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: 0

3œ"

é uma função :-linear sobre I e com valores em J .

a

b a

b a b a

ab

Considere-se a função 2À ‘$ Bt œ B" ßB # ßB $ ß Ct œ C " ßC # ßC $ − ‘$ por Exemplo

4.25.

#

Ä ‘$ definida para quaisquer vectores

2 Btß Ct œ B# C$  B $ C#ß B$ C"  B " C$ß B "C#  B #C "

b

a b 4.29

Facilmente se comprova que 2 é uma função bilinear sobre ‘$ , tomando valores também em ‘$ (trata-se, afinal, de uma lei de composição interna em ‘$). Se forem Iß J e K espaços vectoriais sobre um corpo Š, 2À I : Ä J uma função :-linear sobre I com valores em J e ?À K Ä I uma função linear, então a função : 0 À K Ä J definida por Exemplo 4.26.

a

b a a b a b a bb b a a b a b a bb

0 Bt"ß Bt#ß á ß Bt: œ 2 ? Bt" ß ? Bt # ß á ß ? Bt :

a

a b 4.30

é uma aplicação : -linear sobre K com valores em J : trata-se da composta de 2 com a função ?: À K: Ä I : à Bt" ß Bt# ß á ß Bt: È ? Bt" ß ? Bt# ß á ß ? Bt: .

Sec. 4.4] Funções multilineares alternadas, simétricas e anti-simétricas G

283

E

F

Fig. 4.5 – Composição de uma função :-linear

4.4

2 com a função ?: .

Funções multilineares alternadas, simétricas e anti-simétricas

Nesta secção, vamos definir alguns tipos particulares de funções multilineares: as funções alternadas, simétricas e anti-simétricas. Definição 4.5. – Funções : -lineares alternadas. – Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š , :  " um inteiro e 2À I : Ä J uma função : -linear sobre I com valores em J . Diz-se que 2 é alternada sse, para quaisquer índices " Ÿ 3  4 Ÿ : a5b , se tem

a

b

Bt3 œ Bt4 Ê 2 Bt"ß á ß Bt3 ß á ß Bt4ß á ß Bt: œ 9tJ

a b 4.31

As funções :-lineares alternadas sobre I com valores em J formam um subespaço vectorial de M: Iß J , que designaremos por A: Iß J .

a b

a b

Portanto, uma função multilinear diz-se alternada sse é nula sempre que forem iguais dois quaisquer dos seus argumentos. Definição 4.6. – Funções : -lineares simétricas e anti-simétricas. – Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š e :  " um inteiro. Diz-se que uma função : -linear 2À I : Ä J

sobre I com valores em J é: i)

sse para qualquer permutação 5 − Æ: e para toda a sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt: de vectores de I , se tem

a

simétrica

b

ˆ

‰ a

2 Bt5" ß Bt5# ß á ß Bt5: œ 2 Bt"ß Bt# ß á ß Bt:

b

ii) anti-simétrica sse, nas mesmas condições, se tem

ˆ

‰ aba

2 Bt5" ß Bt5# ß á ß Bt5: œ & 5 2 Bt "ß Bt#ß á ß Bt:

a b 4.32

b

a b 4.33

As aplicações : -lineares simétricas sobre I com valores em J constituem um subespaço vectorial de M: Iß J , que designaremos por S : Iß J .

a b

5

a b

Observe que, se :  #, o número de pares a3ß 4b com " Ÿ 3  4 Ÿ : é de transposições de ordem : .

ˆ :# ‰, ou seja, é igual ao número de

284


Observação:

ç Quando : œ " , observemos que toda a função : -linear é simultaneamente alternada,

simétrica e anti-simétrica. Atente na figura 4.3 e sejam Iß J e K espaços vectoriais sobre um corpo Š e (respectivamente 2À I Ä J uma função :-linear sobre I com valores em J alternada simétrica, anti-simétrica). Para qualquer função linear ?À J Ä K, a função :-linear 1 œ ? ‰ 2 sobre I com valores em K definida por Exemplo 4.27. :

a

b aa

1 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: œ ? 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt:

bb

é também alternada (respectivamente simétrica, anti-simétrica). Exemplo 4.28. Com referência à figura 4.5, sejam Iß J corpo Š e 2À I : Ä J uma função :-linear sobre I

e K espaços vectoriais sobre um com valores em J alternada (respectivamente simétrica, anti-simétrica). Para qualquer função linear ?ÀK Ä I , a função 0 À K: Ä J definida por

a

b a a b a b a bb

0 Bt"ß Bt#ß á ß Bt: œ 2 ? Bt" ß ? Bt # ß á ß ? Bt :

é uma aplicação :-linear alternada (respectivamente simétrica, anti-simétrica) sobre K com valores em J . Podemos caracterizar as funções : -lineares simétricas de outras formas equivalentes à definição 4.6.i, como se mostra na

Proposição 4.5. – Caracterização das funções simétricas – vectoriais sobre um corpo Š e :  # um inteiro e 2À I : Ä J uma

Sejam I e J espaços função : -linear sobre I

com valores em J . Então são equivalentes as seguintes proposições: i)

2 é simétrica.

a

b b a

ii) Para toda a sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt: de : vectores de I e para todo o inteiro " Ÿ 3  : , tem-se

a

2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt3" ß Bt3 ß á ß Bt: œ 2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt3 ß Bt3"ß á ß Bt:

a

b

b a b 4.34

iii) Para toda a sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt: de : vectores de I e para quaisquer inteiros " Ÿ 3  4 Ÿ : , tem-se

a

b a

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt4ß á ß Bt3 ß á ß Bt: œ 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt4ß á ß Bt:

Demonstração:

a b a b

b a b 4.35

a b

As condições são necessárias, visto que as condições 4.34 e 4.35 resultam de 4.32 fazendo 5 igual a uma transposição elementar ou a uma transposição. Mas elas são também suficientes, porque (proposições 4.1 e 4.3) qualquer permutação 5 − Æ: é uma composição de transposições (gerais ou elementares). 

Sec. 4.4] Funções multilineares alternadas, simétricas e anti-simétricas

285

Podemos enunciar uma proposição semelhante, que se demonstra da mesma forma que a anterior, para as funções : -lineares anti-simétricas: Proposição 4.6. – Caracterização das funções anti-simétricas – Sejam I e J espaços vectoriais sobre um corpo Š , :  # um inteiro e 2À I : Ä J uma função : -linear sobre I com

valores em J . Então, as seguintes proposições são equivalentes: i)

2 é anti-simétrica.

a

b b a

ii) Para toda a sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt: de : vectores de I e para todo o inteiro " Ÿ 3  : , tem-se

a

2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt3" ß Bt3 ß á ß Bt: œ 2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt3 ß Bt3"ß á ß Bt:

a

b

b a b 4.36

iii) Para toda a sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt: de : vectores de I e para quaisquer inteiros " Ÿ 3  4 Ÿ : , tem-se

a

b a

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt4ß á ß Bt3 ß á ß Bt: œ 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt4ß á ß Bt:

ba b 4.37

Observações:

ç Devido a estas equivalências, alguns autores usam qualquer das condições anteriores como

a própria definição de função simétrica (respectivamente, anti-simétrica). ç Como consequência das proposições anteriores, podemos afirmar:

– Numa aplicação :-linear simétrica é irrelevante a ordem dos seus : argumentos (o que significa que não se altera a função, quando executamos uma operação elementar do tipo " sobre a lista Bt" ß Bt# ß á ß Bt: dos seus argumentos – proposição 4.5.iii).

a

b

– Pelo contrário, uma função : -linear anti-simétrica muda de sinal quando se faz uma transposição de dois quaisquer dos seus argumentos (o que significa que a função muda de sinal, quando executamos uma qualquer operação elementar do tipo " sobre a lista Bt" ß Bt# ß á ß Bt: dos seus argumentos – proposição 4.6.iii ).

a

a b a b a b

ab

A forma bilinear 2À ‘# todo o Ct œ C"ß C# − ‘# , por Exemplo 4.29.

#

a b

Ä ‘ definida, para todo o Bt œ B"ß B# − ‘# e

c

2 Btß Ct œ #B"C "  $B "C #  $B #C "  B #C # œ B"

é simétrica, visto que

b

B#

d”

# $ $ "

•” •

C" œ \ TE] C#

a b

2 Ctß Bt œ #C "B "  $C "B #  $C #B "  C #B # œ #B "C "  $B "C #  $B #C "  B #C # œ 2 Btß Ct

Observe que a matriz E é simétrica.

286


a b a b a b a b a b a

A função trilinear 2À ‘# $ Ä ‘# que transforma os terno de vectores Bt œ B" ßB # ß Ct œ C" ßC # ß Dt œ D " ßD # − ‘# no vector Exemplo 4.30.

2 Btß Ctß Dt œ $B" C" D"  #B " C# D#  #B #C " D#  #B #C #D "ß B "C "D "  B #C "D "  B "C #D "  B "C "D #

b

é simétrica, visto que, trocando dois vectores consecutivos, não se altera o seu valor: Assim, trocando Bt com Ct obtém-se

a b aa a b a b aa a b

2 Ctß Btß Dt œ $C" B" D"  #C "B# D#  #C #B "D #  #C #B #D "ßC "B "D "  C #B "D "  C "B #D "  C "B "D # œ $B" C"D"  #B"C # D#  #B # C"D #  #B # C#D "ß B "C "D "  B #C "D "  B "C #D "  B "C "D # œ 2 Btß Ctß Dt

e, por fim, trocando Ct com Dt, 2 Btß Dt ßCt œ $B" D" C"  #B " D# C#  #B #D " C#  #B #D #C "ß B "D "C "  B #D "C "  B "D #C "  B "D "C # œ $B" C"D"  #B" C#D #  #B # C"D #  #B # C#D "ß B "C "D "  B #C "D "  B "C #D "  B "C "D # œ 2 Btß Ctß Dt Exemplo 4.31.

definida por

bb bb

Sendo 2À I # Ä J uma função bilinear qualquer, a função 0À I # Ä J

a b a a b a bb

0 Btß Ct œ

a b

" 2 Btß Ct  2 Ctß Bt #

4.38

é uma função simétrica, visto que

a b a a b a bb a a b a bb a b

0 Ctß Bt œ

Exemplo 4.32.

" 2 Ctß Bt  2 Btß Ct #

œ

" 2 Btß Ct  2 Ctß Bt #

œ 0 Btß Ct

As funções dos exemplos 4.22 e 4.23 são simétricas (prove!).

Mais geralmente, sendo 2À I : Ä J uma função :-linear qualquer sobre I com valores em J , a função 0À I : Ä J definida por Exemplo 4.33.

a

b "ˆ


2 Bt5" ß Bt 5# ß á ß Bt 5:

5−Æ:

‰

a b 4.39

onde 5 é um escalar constante e o somatório é estendido às :x permutações de ordem : , é uma função simétrica, visto que para qualquer permutação = − Æ: se tem, fazendo 5w œ 5 ‰ =,

ˆ

‰ "ˆ "ˆ a b

0 Bt=" ß Bt=# ß á ß Bt=: œ 5

2 Bt 5w" ß Bt 5#w ß á ß Bt5:w

5−Æ:

œ5

‰ ‰

2 Bt5w" ß Bt5#w ß á ß Bt5:w

5w −Æ:

œ 0 Bt" ß Bt# ß á ß Bt:


a a b a a b aa a a

a b b a b

287

#

Ä ‘$ do exemplo 4.25 é anti-simétrica. Para quaisquer vectores Bt œ B" ßB # ßB $ ß Ct œ C" ßC # ßC $ − ‘$ tem-se Exemplo 4.34.

A função bilinear 2À ‘$

2 Btß Ct œ B# C$  B $ C#ß B$ C"  B " C$ß B "C#  B #C "

e trocando a ordem dos argumentos, vem

b

a b 4.40

b b a b abb b ab

b a

2 Ctß Bt œ C# B$  C$ B#ß C $ B"  C "B$ß C "B#  C #B " œ  B# C$  B $ C# ß  B $C "  B " C$ ß  B "C #  B #C " œ  B# C$  B$ C# ßB $C "  B "C $ßB "C #  B #C " œ 2 Btß Ct Exemplo 4.35.

por

O leitor pode facilmente verificar que a forma trilinear 2À ‘$

a b

$

Ä ‘ definida

2 Btß Ctß Dt œ B" C# D$  B $C" D#  B #C$ B"  B $C #D "  B #C "D $  B "C $D #

é anti-simétrica, visto que

a b a b a b

2 Btß Ctß Dt œ 2 Ctß Btß Dt œ 2 Btß Dt ß Ct Exemplo 4.36.

definida por

Sendo 2À I # Ä J uma função bilinear qualquer, a função 0À I # Ä J

a b a a b a bb

0 Btß Ct œ

a b

" 2 Btß Ct  2 Ctß Bt #

4.41

é uma função anti-simétrica, visto que

a b a a b a bb a a b a bb a b

0 Ctß Bt œ

" 2 Ctß Bt  2 Btß Ct #

œ

" 2 Btß Ct  2 Ctß Bt #

œ 0 Btß Ct

Mais geralmente, sendo 2À I : Ä J uma função :-linear qualquer, a função : :-linear 0À I Ä J definida por Exemplo 4.37.

a

b "abˆ


& 5 2 Bt 5" ß Bt 5# ß á ß Bt 5:

5−Æ:

‰

a b 4.42

onde 5 é um escalar constante e o somatório é estendido às :x permutações de ordem : , é uma função anti-simétrica, visto que para qualquer permutação = − Æ: se tem, fazendo 5w œ 5 ‰ = e atendendo a que & =" œ & = ,

a b ab ˆ ‰ " a b ˆ " ˆ ‰ ˆ " a b ˆ ‰ ˆ ab "a bˆ aba b

0 Bt=" ß Bt=# ß á ß Bt=: œ 5

& 5 2 Bt 5w" ß Bt 5#w ß á ß Bt 5:w

5−Æ:

‰

& 5 w ‰ =" 2 Bt5w" ß Bt 5#w ß á ß Bt 5:w

œ5

5w −Æ:

‰ ‰

& 5w & =" 2 Bt5w" ß Bt5#w ß á ß Bt5w:

œ5

5w −Æ:

& 5w 2 Bt5w" ß Bt5#w ß á ß Bt5:w

œ& = 5

5w −Æ:

œ & = 0 Bt" ß Bt# ß á ß Bt:

‰

288


As funções multilineares alternadas gozam de importantes propriedades, que condensamos na seguinte Proposição 4.7. – Propriedades das funções alternadas – Sejam I e J espaços sobre um corpo Š, :  # um inteiro e 2À I : Ä J uma função : -linear. Então:

i)

a

b

vectoriais

Para que 2 seja alternada é necessário e suficiente que, para toda a sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt: de : vectores de I contendo dois vectores consecutivos Bt3 e Bt3" iguais (onde " Ÿ 3  : ), se tenha

a

b

2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt3 ß Bt3" ß á ß Bt: œ 9t J

a b 4.43

ii) Se 2 é alternada, então 2 é anti-simétrica. iii) Se o corpo Š tiver característica diferente de # , a recíproca da implicação anterior também é verdadeira, isto é, toda a função : -linear 2 anti-simétrica será alternada.

a ! b " ‹ a b

iv) Se 2 é alternada, não se altera o valor de 2 para a sequência Bt"ß Bt# ß á ß Bt: de vectores de I somando a um qualquer deles Bt3 uma combinação linear " 5 Bt5 dos 5Á3

outros vectores, ou seja,

a

b Š

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt: œ 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 

a

4.44

" 5 Bt5 ß á ß Bt:

5Á3

b

Em particular, uma operação elementar do tipo 3 executada sobre a sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt: não altera o valor de 2 .

a

b

v) Se 2 é alternada, então, para qualquer sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt: de vectores de I , qualquer " Ÿ 3 Ÿ : e quaisquer !ß "5 − Š , tem-se

Š

2 Bt" ß Bt# ß á ß !Bt3 

"

‹ a

"5 Bt5 ß á ß Bt: œ !2 Bt "ß Bt #ß á ß Bt3ß á ß Bt:

5Á3

b a b 4.45

Em particular, a execução de uma operação de tipo 4 (substituição de um vector Bt3 por !Bt3  "Bt4 , onde " Ÿ 3 Á 4 Ÿ : e ! Á ! ) dá

a

b a

2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt3 ß á ß Bt4 ß á ß Bt: œ

a

b

"

!

2 Bt"ß Bt#ß á ß !Bt3  " Bt4 ß á ß Bt4 ß á ß Bt:

vi) Se Bt" ß Bt# ß á ß Bt: é linearmente dependente e 2 é alternada, então:

a

b

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: œ t9J

b

a b 4.46

vii) Se 2 é alternada e se 8 œ dimI , então:

a b e f b ˆ Š‹

ç Se :  8, 2 é a função nula, isto é, A: Iß J œ OJ I : .

a

ç Se : Ÿ 8 e / œ /t "ß /t #ß á ß /t 8 é uma base de I , então 2 é completamente determinada pelos seus valores nas 8: sequências /t3" ß /t3# ß á ß /t3: , com

‰


289

" Ÿ 3"  3#  â  3 : Ÿ 8Þ Exprimindo cada vector Bt 3 através das suas coordenadas na base / por

" 8

Bt3 œ

B53 3 /t53 , para 3 œ "ß #ß á ß :

53 œ"

a função alternada 2 vem dada pela seguinte expressão:

a

b

" Œ" a b

2 Bt" ß Bt#ß á ß Bt : œ

& 5

"Ÿ3" 3#â3:Ÿ8

 ˆ

B 3 " "B 3 # #âB 3 : : 2 /t 3" ß /t 3# ß á ß /t 3 : 5

5

5

5−Æ:

Š‹

‰

a b 4.47

Na expressão do 2º membro, o somatório exterior tem 8: parcelas e o somatório interior estende-se ao grupo simétrico Æ: das :x permutações 5" ß 5# ß á ß 5: de ordem : e em que & 5 é o sinal de 5 .

ab

a

b

a

b

viii) Em particular, se 8 œ dimI e 2 for 8 -linear alternada (: œ 8 ), então 2 será completamente determinada pelo seu valor 2 /t" ß /t# ß á ß /t8 numa base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 de I , vindo:

a

a

b

b Œ" a b


a

b a b a b

& 5 B5" " B 5## âB 588 2 /t "ß /t #ß á ß /t 8

5−Æ8

4.48

onde B53 é a 5 -ésima coordenada do vector Bt3 em relação à base / œ /t"ß /t#ß á ß /t8 .

ix) Uma função 8-linear alternada 2 Á OJ I 8 (não identicamente nula) sobre um espaço com dimensão 8 anula-se se e só se os seus 8 argumentos formarem uma sequência linearmente dependente.

a

b

a

b

2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 œ 9t J Í Bt "ß Bt#ß á ß Bt8 é linearmente dependente

a

ab

Isto equivale ainda a dizer que uma sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 independente (é uma base de I ) sse 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 Á 9tJ .

b

a b 4.49

é linearmente

Demonstração: i) A condição apresentada é obviamente necessária, visto que existem dois vectores Bt3 e Bt3" iguais. E também é suficiente, como se prova a seguir:

a

b

Seja " Ÿ 3  : e consideremos uma sequência B œ Bt "ß Bt #ß á ß Bt : de vectores de I e que 2 se anula sempre que dois vectores consecutivos de B sejam iguais; então será ç

a b a b a b ðóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóò a b ðóóóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóóó a òb 2 Bt" ß á ß Bt3  Bt3" ß Bt3  Bt3"ß á ß Bt: œ 9t J

Devido à multilinearidade de 2, vem

2 Bt"ß á ß Bt3 ß Bt3 ß á ß Bt:  2 Bt"ß á ß Bt3 ß Bt3" ß á ß Bt: œ9t J

 2 Bt" ß á ß Bt3" ß Bt3 ß á ß Bt:  2 Bt" ß á ß Bt3" ß Bt3" ß á ß Bt: œ 9t J œ9tJ

290


Mas ao 1ª e a 4ª parcelas do 1º membro da igualdade anterior são nulas por hipótese, donde resulta

a

b a

2 Bt" ß á ß Bt3 ß Bt3" ß á ß Bt: œ 2 Bt"ß á ß Bt3"ß Bt3 ß á ß Bt:

b

Daqui se segue que 2 é anti-simétrica, pela proposição 4.6.ii. Por fim, sejam " Ÿ 3  4 Ÿ : dois índices e suponha-se que Bt 3 œ Bt 4 . Se 4 œ 3  " , o resultado é imediato; se 3  "  4 Ÿ : , trocando os vectores Bt3" e Bt 4 , os vectores Bt 3 e Bt 4 ficam consecutivos e por ser 2 anti-simétrica, vem visto que os vectores ç

b ˆ î

a

‰

2 Bt"ß á ß Bt3 ß Bt3" ß á ß Bt4 ß á ß Bt: œ 2 Bt"ß á ß Bt3ß Bt4 ß á ß Bt3" ß á ß Bt: œ 9tJ œ 9t J

iguais

ii) Como 2 é alternada, teremos

aa b b ðóóóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóóóòb a a b ðóóóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóóóò a b a b a b

9tJ œ 2 Bt"ß á ß Bt3  Bt4ß á ß Bt3  Bt4ß á ß Bt: œ 2 Bt"ß á ß Bt3 ß á ß Bt3 ß á ß Bt:  2 Bt"ß á ß Bt3 ß á ß Bt4 ß á ß Bt: œ9tJ

 2 Bt"ß á ß Bt4 ß á ß Bt3 ß á ß Bt:  2 Bt" ß á ß Bt4 ß á ß Bt4 ß á ß Bt: œ9t J

œ 2 Bt" ß á ß Bt3 ß á ß Bt4ß á ß Bt:  2 Bt" ß á ß Bt4ß á ß Bt3 ß á ß Bt:

Daqui se segue imediatamente que 2 é anti-simétrica (proposição 4.6.iii):

a

b a

2 Bt" ß á ß Bt3 ß á ß Bt4 ß á ß Bt: œ 2 Bt" ß á ß Bt4ß á ß Bt3 ß á ß Bt:

a

b

b

iii) Suponha-se que 2 é anti-simétrica e calculemos 2 Bt"ß á ß Bt3 ß á ß Bt4 ß á ß Bt: com Bt3 œ Bt4 .

aa a ba ï

b b aa b

bb

2 Bt" ß á ß Bt3 ß á ß Bt3 ß á ß Bt: œ 2 Bt"ß á ß Bt3 ß á ß Bt3 ß á ß Bt: Ê 2 Bt" ß á ß Bt3 ß á ß Bt3 ß á ß Bt:  2 Bt"ß á ß Bt3 ß á ß Bt3 ß á ß Bt: œ t9J Ê "  " 2 Bt "ß á ß Bt3ß á ß Bt3 ß á ß Bt: œ 9tJ Á!

Como o corpo Š tem característica Á #, será "  " Á ! a6b e, portanto, 2 será alternada, porque:

a

b

2 Bt" ß á ß Bt3 ß á ß Bt3 ß á ß Bt: œ t9J

6

Como exemplo de corpo em que "  " œ ! e no qual este resultado não é válido, considere o corpo œ e!ß " f, com as operações de adição e produto seguintes

™#

 ! "

! ! "

" " !

‚ ! "

! ! !

" ! "

Sec. 4.4] Funções multilineares alternadas, simétricas e anti-simétricas iv) Por 2 ser : -linear e alternada, tem-se:

Š

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 

"

" 5 Bt5 ß á ß Bt:

5Á3

291

‹ a b " ðóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóò a b a b œ 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt3ß á ß Bt: 

" 5 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt5 ß á ß Bt:

5Á3

œ9 t J , porque o vector Bt5 é sempre igual a um dos restantes

œ 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt3ß á ß Bt:

!

O resultado enunciado para uma operação elementar do tipo 3 é apenas um caso particular desta proposição (em que, no somatório "5 Bt5 , todos os " 5 são nulos à excepção de um). 5Á3

v) Usando a alínea anterior e a :-linearidade de 2, obtém-se imediatamente o resultado

Š

2 Bt" ß Bt# ß á ß !Bt3 

"

‹ a

"5 Bt5 ß á ß Bt: œ 2 Bt"ß Bt#ß á ß !Bt 3ß á ß Bt :

5Á3

a

œ !2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt:

b b

Quanto à operação de tipo 4, ela resulta de um caso particular da propriedade anterior:

a a

b a

2 Bt"ß Bt#ß á ß !Bt3  "Bt4 ß á ß Bt4 ß á ß Bt: œ !2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt3ß á ß Bt4 ß á ß Bt:

b

para o que basta, agora, multiplicar ambos os membros por "Î!.

b

vi) Se Bt" ß Bt# ß á ß Bt: é linearmente dependente, um dos seus vectores Bt5 será combinação linear dos restantes (ver proposição 1.9) Bt5 œ

"

!3 Bt3

3Á5

O resultado é agora consequência da alínea anterior, para o que basta somar

!a b ‹

!3 Bt3 ao

3Á5

vector Bt5 , obtendo-se

Š

‹ Š

"a b ‹ Š a b a b a b " ˆ a b a b

2 Bt" ß á ß Bt5 ß á ß Bt: œ 2 Bt"ß á ß Bt5 

 !3 Bt3 ß á ß Bt: œ 2 Bt "ß á ß 9t Iß á ß Bt: œ 9t J

3Á5

vii) Se :  8, qualquer sequência de : vectores Bt "ß Bt #ß á ß Bt : será linearmente dependente (ver proposição 1.16.i) e o resultado anunciado é consequência imediata da alínea anterior.

ab

Suponha-se : Ÿ 8 e seja / œ /t "ß /t #ß á ß /t8 uma base arbitrária de I . Exprimamos os vectores Bt3 "Ÿ3Ÿ: através das respectivas coordenadas B53 "Ÿ5Ÿ8 na base /: "Ÿ3Ÿ: 8

Bt3 œ

B53 3 /t53 à 3 œ "ß #ß áß :

53 œ"

‰

Como 2 é alternada, na expressão 4.15 , anulam-se os valores de 2 /t5" ß /t5# ß á ß /t5: sempre que haja índices repetidos em 5" ß 5# ß á ß 5: :

292


a

b

"

ˆ

8


B5" " B5## âB5:: 2 /t5 " ß t/5 # ß á ß t/5 :

"Ÿ5" Á5#ÁâÁ5:Ÿ8

‰ a b

a b b a a bb a b a a b b a b a b Œ Š‹ b ˆ ‰ ‰ a b b ‰ ˆ ‰ abˆ ‰ ˆ ‰ a b

o que reduz o número de parcelas em 4.15 de 8: para apenas E:8 (arranjos de 8, : a :)

a

4.50

8‚ 8 " ‚ â‚ 8: " ‚ 8 : x 8 : x 8x 8 œ œ E:8 œ :x 8: x :

8‚ 8" ‚â‚ 8 :"

œ

Estas parcelas podem, por sua vez, associar-se em 8: grupos de :x parcelas nas quais os índices 5" ß 5# ß á ß 5: são os mesmos, mas por ordem diferente e será possível, em cada um destes 8: grupos de :x parcelas, trocar a ordem dos vectores em 2 /t5" ß /t5# ß á ß /t5: para 2 /t3" ß /t3# ß á ß /t3: , onde " Ÿ 3"  3 #  â  3 : Ÿ 8 (ordem crescente dos : índices).

a Š ‹ ˆ

Portanto, para cada sequência 5" ß 5# ß á ß 5: , existe = − Æ: tal que 3 œ 5 ‰ = e " Ÿ 3"  3#  â  3 : Ÿ 8 . Multiplicando ambos os membros à direita por 5 œ =" − Æ: , obtém-se 5 œ 3 ‰ 5 e, nesta igualdade, quando 5 varre o grupo simétrico Æ: , obtemos todas as sequências 5" ß 5# ß á ß 5: que têm os mesmos : índices, mas por diferentes ordens. Como 2 é anti-simétrica (por ser alternada), vem

a ˆ

2 /t5" ß /t5# ß á ß /t 5: œ 2 /t3 " ß /t3 # ß á ß /t3 : œ & 5 2 /t3" ß/t3# ßá ß /t 3: à 5 − Æ: 5

5

5

Associando em 4.50 as :x parcelas contendo o mesmo valor 2 /t3" ß /t3# ß á ß /t3: , ficamos com 8 : parcelas do tipo

Š‹

‰ "ab Œ ðóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóò ˆ a b Š‹ Š‹ Š‹ èëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëéëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëê ‰ " Œ ðóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóò "ab a b ðóóóóñóóóóò ˆ Š‹ & 5 B3

5

"

" B3 # # âB3 : : 5

5

2 /t3"ß /t3 #ß á ß /t3 : à " Ÿ 3"  3 #  â  3 : Ÿ 8

5−Æ:

:x parcelas

Constatamos, portanto, que o somatório 4.50 , que é composto de um total de E:8 œ 8 :

parcelas, fica decomposto em

2 Bt"ß Bt# ß á ß Bt: œ

8 :

:x parcelas

& 5 B3 " " B3 5

"Ÿ3" 3#â3:Ÿ8

ˆ‰

:x

parcelas do tipo anterior: E:8 œ

8 :

8 :

parcelas

5

#

# âB3 : : 5

2 /t3" ß /t3 # ß á ß /t3 :

5−Æ:

:x parcelas

viii) Se for : œ 8, o somatório exterior na expressão anterior terá apenas uma parcela (observe que 88 œ ") e, além disso, será 3 œ 3" ß 3# ß á ß 38 œ "ß #ß á ß 8 œ I 8 , o que

a

b a

b


293

implica 3 ‰ 5 œ I 8 ‰ 5 œ 5. Assim, para : œ 8, obtém-se

"ab b Œ ðóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóò a

a


& 5 B5" " B 5## âB 588 2 /t "ß /t #ß á ß /t 8

5−Æ8

b

8x parcelas

a

b

Portanto, conclui-se que uma função 8-linear alternada 2 sobre um espaço vectorial I com dimensão 8 com valores em J fica totalmente determinada pelo seu valor 2 /t"ß /t#ß á ß /t8 numa base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 de I .

a

b

a b a ab

a

ba

ix) A expressão 4.48 implica que, se a função 8-linear alternada 2 sobre um espaço I de dimensão 8 for nula numa base / œ /t"ß /t#ß á ß /t8 qualquer de I , então 2 será nula em todos os pontos de I 8 (será 2 œ OJ I 8 ). Portanto, se B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 é linearmente independente e 2 Á OJ I 8 , deverá ser 2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 Á 9t J (caso contrário, 2 anulava-se na base B e seria 2 œ OJ I 8 ). Por outro lado, a alínea @ ) mostra que, se Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 for linearmente dependente, então 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ 9tJ . Portanto, Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 é linearmente dependente sse 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ t9J . 

a

Observações:

b

b

b

a

a b

b

a b ˆ ‰ b a b b

ç A expressão 4.47 revela um dado muito importante: as funções : -lineares alternadas sobre um espaço de dimensão 8  : ficam completamente determinadas pelos seus valores nos 8 : t3" ß /t3# ß á ß /t3: , com " Ÿ 3"  3#  â  3 : Ÿ 8 , e em que : pontos de I da forma /

Š‹

a a

/ œ /t" ß /t# ß á ß /t8 é uma qualquer base de I .

ç Em particular, pela expressão 4.48 , uma função 8 -linear alternada definida num espaço 8-dimensional fica totalmente determinada pelo seu valor numa base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 de I .

a b a b

Para melhor se compreender a estrutura da expressão 4.48 , vejamos o exemplo de uma função bilinear alternada definida num espaço bidimensional I ( : œ 8 œ #Ñ e com valores num espaço J . O somatório 4.48 terá #x œ # parcelas. Se for / œ /t"ß /t# uma base de I , os argumentos Bt" ß Bt# expressar-se-ão na base / por Exemplo 4.38.

a b

a b

Bt" œ B"" /t"  B#" /t# Bt# œ B"# /t"  B## /t#

e 2 Bt" ß Bt# terá então a seguinte expressão:

a b a

ba b a b a b a b

2 Bt" ß Bt# œ B"" B##  B#"B"# 2 /t "ß /t #

Deste modo, 2 fica completamente determinada pelo valor 2 /t" ß /t# − J .

Para novo exemplo sobre a estrutura da expressão 4.48 , vejamos o caso de uma função trilinear alternada definida num espaço tridimensional I ( : œ 8 œ $Ñ e com valores num espaço J . O somatório 4.48 terá $x œ ' parcelas. Se for / œ /t "ß /t #ß /t$ uma base de I , os argumentos Bt" ß Bt# ß Bt$ expressar-se-ão na base / por Exemplo 4.39.

a b

294


a a

Bt" œ B"" /t"  B#" /t#  B$" /t$ Bt# œ B"# /t"  B## /t#  B$# /t$ Bt$ œ B"$ /t"  B#$ /t#  B$$ /t$

b

e 2 Bt" ß Bt# ß Bt$ terá então a seguinte expressão:

ba

B"" B## B$$  B #" B$# B"$  B $" B"# B#$  B $"B## B"$  B ""B $#B#$  B #"B "#B $$ 2 /t "ß t/#ß t/$

a a b

b

b

É evidente que 2 fica completamente determinada pelo valor 2 /t" ß /t# ß /t$ − J . Ilustremos agora o uso da expressão 4.47 mais complexa, através do exemplo de uma função bilinear alternada (: œ #Ñ definida num espaço tridimensional I (8 œ $) e com valores num espaço J . O somatório exterior terá $# œ $ parcelas e o interior ficará com #x œ # parcelas, num total de $ ‚ # œ ' œ E #$ parcelas. Se for / œ /t "ß /t #ß /t $ uma base de I , os argumentos Bt" ß Bt# expressar-se-ão na base / por Exemplo 4.40.

ˆ‰

b

Bt" œ B"" /t"  B#" /t#  B$" /t$ Bt# œ B"# /t"  B## /t#  B$# /t$

a b

e, para 2 Bt" ß Bt# , virá a seguinte expressão:

a

a

ba b a

ba b a ba b a ba ba b

B"" B##  B#" B"# 2 /t" ß /t#  B"" B$#  B $"B "# 2 /t "ß /t $  B#"B $#  B $"B ## 2 /t #ß /t $

Neste caso, 2 fica determinada pelos $ valores 2 /t"ß /t# ß 2 /t"ß /t$ ß 2 /t#ß /t$ − J , ou seja 2 /t3 ß /t4 , com " Ÿ 3  4 Ÿ $ .

a b

4.5

Determinante numa base

Vamos, nesta secção, tratar das formas 8-lineares alternadas definidas num espaço I com dimensão 8  ".

a a b

b

a a a

b b

Sejam, então, dimI œ 8 e 2ß 2 w À I 8 Ä Š duas formas 8-lineares alternadas. Para qualquer sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 de vectores de I e qualquer base / œ /t"ß /t# ß á ß /t8 , temos, usando 4.48 ,

a a

b b

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ w


ab

onde os B34

a

b

& 5 B5" " B 5# #âB 588 2 /t "ß /t #ß á ß /t 8

5−Æ8

w

& 5 B5" " B 5## âB 588 2 /t "ß /t #ß á ß /t 8

5−Æ8

b

a b 4.51

são as coordenadas dos vectores Bt4 "Ÿ4Ÿ8 em relação à base / e os valores e 2 w /t"ß /t# ß á ß /t8 são escalares de Š. Se for 2 Á OŠI 8 , será

"Ÿ3ß4Ÿ8

2 /t" ß /t# ß á ß /t8

Œ" a b Œ" a b ab b a b

necessariamente,

a b

a

e da 1ª equação 4.51 tiramos

2 /t"ß /t#ß á ß /t8 Á !

Sec. 4.5] Determinante numa base

"ab

295

& 5 B5" " B5# # âB58 8 œ

5−Æ8

aa

bb

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 2 /t" ß /t# ß á ß /t8

a b bb a b aa

Substituindo esta expressão na 2ª igualdade 4.51 , vem w

a

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt8

2w /t" ß /t# ß á ß /t8 œ 2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 2 /t" ß /t# ß á ß /t8

Concluimos, assim, que a função 2w é múltipla de 2, já que (independente de Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 ). Portanto:

b

a a

a b 4.52

b b é constante

2w /t" ß/t# ßáß/t 8 2 /t"ß/t#ßáß/t 8

Todas as formas 8 -lineares alternadas definidas num espaço 8 -dimensional são múltiplas das que não forem identicamente nulas. Isto significa que o espaço A Iß Š das formas 8lineares alternadas sobre um espaço vectorial 8-dimensional I tem dimensão 1 e que qualquer forma 8-linear 2 Á OŠI 8 constitui uma base de A Iß Š .

a b

a b a a bb

dim A Iß Š œ "

a

ab a

bb aa

Se for /w œ /tw" ß /t#w ß á ß /t8w

Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ

/tw" ß /t#w ß á ß /t8w

Portanto, o quociente funções 2 e 2w .

a b 4.53

a b

uma outra base de I , a igualdade 4.52 dá, fazendo ,

bb aa

bb

2w /tw" ß /t#w ß á ß /t8w 2w /t" ß /t# ß á ß /t8 œ 2 /t" ß /t# ß á ß /t8 2 /tw" ß /t#w ß á ß /t8w 2w 2

não depende da base de I em que é calculado, mas somente das

a b

A igualdade 4.48 mostra que para definir uma forma 8-linear alternada sobre um espaço vectorial 8-dimensional I , basta dar o seu valor numa base / deste espaço. Assim, poremos a seguinte Definição 4.7. – Determinante numa base. – Seja I um espaço vectorial de dimensão 8  " sobre um corpo Š e / œ /t "ß /t #ß á ß /t8 uma base de I . Chama-se determinante na base / à forma 8-linear alternada (única) sobre I , det/ À I 8 Ä Š , cujo valor na base / é igual

a

a ". Portanto, por definição,

a b a

e, da expressão 4.48 resulta

b

a b a b b Œ " a b ðóóóóóóóñóóóóóóóò a b "ab a b det/ /t"ß /t#ß á ß /t8 œ "

det/ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ

& 5 B5" "B 5# # âB 588

5−Æ8

œ

& 5 B5" " B5# # âB58 8

5−Æ8

em que os B53 são as coordenadas do vector Bt3 na base / .

4.54

det/ /t"ß t/#ß á ß t/8 œ"

4.55

296


A definição anterior dá origem a uma forma 8-linear alternada sobre I para cada base / deste espaço e todas estas formas são distintas de OŠI 8 (visto que não se anulam na base /).

a b a b aa bb a b ðóóóóóóóñóóóóóóóò a b a

a b

Para as compararmos, seja /w œ /tw" ß /t#w ß á ß /t8w uma segunda base de I . A igualdade 4.52 dá, fazendo 2w œ det/w e 2 œ det/ e atendendo ainda a 4.54 ,

a

det/w Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ

det/w /t" ß /t# ß á ß /t8 det/ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 det/ /t" ß /t# ß á ß /t8 œ"

œ det/w /t" ß /t# ß á ß /t8 det/ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8

Portanto,

a

b

b

b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b

det/w Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ det/ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 det/w /t" ß /t# ß á ß /t8

4.56

Da última igualdade resulta ainda, fazendo Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ /tw" ß /t#w ß á ß /t8w ,

" œ det/w /tw" ß /t#w ß á ß /t8w œ det/ /t"w ß /t#w ß á ß /t8w det/w /t" ß /t# ß á ß /t8

Consequentemente, para qualquer par de bases /ß /w de I , tem-se det/w /t" ß /t# ß á ß /t8 œ

4.6

a b

"

4.57

det/ /tw" ß /t#w ß á ß /t8w

Determinante de um endomorfismo. Determinante de uma matriz

Considere-se um espaço vectorial I de dimensão 8  " e um endomorfismo ?À I Ä I . Para 8 qualquer forma 8-linear alternada 2À I Ä Š e qualquer base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 de I , vimos no exemplo 4.28 que a função 1À I 8 Ä Š definida por

a

a

b a a b a b a bb a b bb a a b aa b a a b a b a bb a a ab a b ba bb a

b

1 Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 œ 2 ? Bt" ß ? Bt # ß á ß ? Bt 8

é uma forma 8-linear alternada sobre I . A equação 4.52 mostra então que, se 2 Á OŠI 8 , 1 Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ

ou seja,

2 ? Bt" ß ? Bt# ß á ß ? Bt8

œ

1 /t" ß /t# ß á ß /t8 2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 2 /t" ß /t# ß á ß /t8

2 ? /t" ß ? /t# ß á ß ? /t8 2 Bt "ß Bt #ß á ß Bt 8 2 /t" ß /t# ß á ß /t8

b

t 8 bb # bßáß?a/ O quociente 2a?a/t2"ab/tß?"ß/att/#ßáß/ não depende da base / nem da forma 8-linear alternada t 8 b 2 Á OŠI 8 , sendo apenas função do endomorfismo ? . Chamar-lhe-emos o determinante de ? :

Seja I um espaço vectorial de dimensão 8  " e ?À I Ä I um endomorfismo de I . O determinante de ? é o escalar (único), designado por det ? , tal que, para qualquer forma 8 -linear alternada não nula 2À I 8 Ä Š Definição 4.8. – Determinante de um endomorfismo. –

ab

Sec. 4.6] Determinante de um endomorfismo. Determinante de uma matriz

a b a a b a b a bb a b a

sobre I e qualquer sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 de vectores de I , se tem 2 ? Bt" ß ? Bt# ß á ß ? Bt8

œ det ? † 2 Bt "ß Bt #ß á ß Bt 8

b

297

a b 4.58

Podemos, agora, provar algumas das propriedades do determinante de um endomorfismo na seguinte Proposição 4.8. – Propriedades do determinante de um endomorfismo – espaço vectorial de dimensão 8 sobre um corpo Š . então:

i)

a

b a a a b a b a bb a b a ab aa b

b

Seja I um

Se for / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 uma base de I , então para qualquer endomorfismo ?À I Ä I e qualquer sequência Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 de vectores de I , tem-se

ab a b a b a bb

det/ ? Bt" ß ? Bt# ß áß ? Bt8 œ det ? † det/ Bt "ß Bt #ß áß Bt 8

b a b

Em particular, se Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 œ /t"ß /t#ß á ß /t8 , será

4.59

a b

det ? œ det/ ? /t" ß ? /t# ß á ß ? /t8

4.60

iiÑ O determinante da função identidade I I é igual a "

ab

det I I œ " Mais geralmente, para qualquer escalar 5 − Š , o determinante da homotetia de razão 5 , 5 I I À Bt È 5Bt é dado por

a b

a b

det 5 I I œ 5 8

4.61

a b a b ab a b

iiiÑ O determinante da composta de dois endomorfismos de I é igual ao produto dos seus determinantes; por outras palavras, para todo o par ?ß @ de endomorfismos de I , tem-se det @ ‰ ? œ det @ det ?

a b 4.62

ab

ivÑ Um endomorfismo ?À I Ä I é regular (invertível) se e só se for det ? Á ! . Neste caso, tem-se

ˆ ‰ a a bb

det ?" œ det ? Demonstração: i)

"

a b

Basta considerar 2 œ det/ em 4.58 . Fazendo, por fim,

a b

a b a b a b a b a a b a b a bb Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 œ /t"ß /t#ß á ß /t8

em 4.59 e atendendo a que det/ /t"ß /t#ß á ß /t8 œ ", obtém-se

det ? œ det/ ? /t" ß ? /t# ß á ß ? /t8

a b 4.63

298


a b a b a b a bb a b a b a b a b a b aa ba a a bab ba aa bbb aa abb bbb a b a b

iiÑ Basta fazer ? œ I I na igualdade 4.60 :

ab a a b a b a b

det II œ det/ II /t" ß II /t# ß á ß I I /t8 œ det/ /t" ß /t# ß á ß /t8 œ " Para qualquer escalar 5 − Š , tem-se por 4.60 e devido à multilinearidade de det/, det 5 I I œ det/ 5/t" ß 5/t# ß á ß 5/t8 œ 5 8 det/ /t" ß /t# ß á ß /t8 œ 5 8 iiiÑ Basta aplicar 4.60 ao endomorfismo composto @ ‰ ? e atender a 4.59

det @ ‰ ? œ det/ @ ? /t " ß @ ? /t # ß á ß @ ? /t 8 œ det @ det/ ? /t" ß ? /t# ß á ß ? /t 8 œ det @ det ?

ivÑ Se ? é regular, então o endomorfismo inverso ?" satisfaz a condição ? ‰ ?" œ I I

e as duas alíneas anteriores implicam

ab ˆ ‰ ab ˆ ‰ a a bb ab a b a a b a b a bb a b a a b a b a bb det ? det ?" œ "

o que prova que det ? Á ! e que

det ?" œ det ?

"

Reciprocamente, se det ? Á ! e se /t" ß /t# ß á ß /t8 é uma base de I , o escalar det/ ? /t" ß ? /t# ß á ß ? /t8 œ det ? Á !

ab

isto mostra que ? /t" ß ? /t# ß á ß ? /t8 c ? é igual a 8. Portanto ? é invertível.

é linearmente independente e que a característica 

Vamos, agora, definir a noção de determinante de uma matriz quadrada sobre um corpo Š:

c d

Definição 4.9. – Determinante de uma matriz. – Seja E œ +34 − Š8ß8 uma matriz quadrada de ordem 8  " sobre um corpo Š . Chama-se determinante da matriz E e designase por det E a7b o determinante dos vectores-coluna de E na base canónica de Š8 . Como as coordenadas dos vectores-coluna de E na base canónica de Š8 coincidem com as próprias

ab

a b

componentes que compõem esses vectores, da igualdade 4.55 resulta

ab "ab

det E œ

& 5 +5" " +5# # â+58 8

5−Æ8

7

a b 4.64

Também se utilizam as notações kEk e k+34k para designar o determinante da matriz E, embora estas se prestem a alguma confusão com a notação usada para o módulo.

Sec. 4.6] Determinante de um endomorfismo. Determinante de uma matriz Observações:

299

c d

ç Se 8 œ ", a igualdade anterior dá para valor do determinante de E œ +"" o próprio escalar +"" :

ac db

det +""

a b

œ +""

ç A soma 4.64 estende-se às 8x permutações do grupo simétrico de ordem 8 e a definição mostra que a forma 8-linear det é um elemento de A8 Š8 ß Š .

a b

ab

ç Se 8  # e pelo corolário 4.4.3, das 8x parcelas, metade têm & 5 œ " tendo a outra metade & 5 œ ".

ab

ab

ç A ordem da matriz E diz-se também a ordem do det E e cada produto +5" " +5# # â+58 8

diz-se um termo do determinante ou da matriz (associado à permutação 5) e a paridade de 5 diz-se igualmente paridade do termo. ç O termo +"" +## â+88 associado à permutação identidade diz-se termo principal do

determinante.

ç Usando esta terminologia, podemos afirmar que o determinante da matriz E é a soma dos termos pares do determinante com os termos ímpares (que só existem para 8  # ) multiplicados por ".

c d âââ a b ââââ â

O determinante de uma matriz E œ +34 pode também escrever-se indicando todos os elementos de E: +"" + det E œ #" ã +8"

+"# +## ã +8#

â +"8 â +#8 ä ã â +88

âââ âââ ââ

Convém observar que existe uma grande diferença entre a expressão

ÔÖ ÖÕ âââ âââ ââ

+"" +#" ã +8"

+"# +## ã +8#

â +"8 â +#8 ä ã â +88

×Ù ÙØ âââ âââ ââ

(com parêntesis rectos) que designa uma matriz e é um elemento de Š8ß8 e a expressão +"" +#" ã +8"

+"# +## ã +8#

â +"8 â +#8 ä ã â +88

(com traços verticais) que designa um escalar do corpo Š e que é o determinante da matriz anterior. Convém ainda observar que o determinante pode também ser encarado como uma função detÀ Š8ß8 Ä Šà E È detE (ou seja, um elemento de F Š8ß8 ß Š ).

a

b

A definição de determinante de uma matriz quadrada permite-nos uma escrita alternativa para algumas das expressões das secções anteriores:

300


a b

ç A igualdade 4.47 pode reescrever-se na forma seguinte

a

b

ââ â " âââ ââ

2 Bt"ß Bt#ß á ß Bt : œ

"Ÿ3" 3#â3:Ÿ8

ac d b

B3" " B3# " ã B3: "

B3" # B3# # ã B3: #

â â ä â

ââ ââ ˆ ââ ââ

‰

a

b

B 3" : B 3# : 2 /t 3"ß /t 3#ß á ß /t 3 : ã B 3: :

b Š‹

a b 4.47.1

onde figuram os determinantes das matrizes de ordem : cujas colunas contêm as coordenadas 3" ß 3# ß á ß 3: dos vectores Bt" ß Bt# ß á ß Bt: em relação à base /t" ß /t# ß á ß /t8 de I . Se considerarmos a matriz \ œ B53 − Š8ß: cujas colunas contêm as 8 coordenadas na base / dos vectores Bt" ß Bt# ß á ß Bt: , trata-se de formar os determinantes de todas as submatrizes de ordem : extraídas de \ (e que são em número de 8: ).

a

a b a

ç A igualdade 4.48 pode ser escrita da seguinte forma

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt8

a

âââ b ââââ â

B"" B œ #" ã B8"

B"# B## ã B8#

âââ âââ a ââ

â B"8 â B#8 2 /t"ß t/#ß á ß t/8 ä ã â B88

b

a

b

a b 4.48.1

b

onde figura o determinante da matriz quadrada de ordem 8 cujas colunas contêm as 8 coordenadas dos vectores Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 em relação à base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 .

a b

ç A igualdade 4.55 pode reescrever-se na forma seguinte

a

det/ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8

a

âââ b ââââ â

B"" B œ #" ã B8"

B"# B## ã B8#

â B"8 â B#8 ä ã â B88

b

âââ âââ ââ

a

a b 4.55.1

b

onde figura o determinante da matriz quadrada de ordem 8 cujas colunas contêm as 8 coordenadas dos vectores Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 em relação à base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 .

a a b ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

ç Considerando duas bases / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 e /w œ /tw" ß /t#w ß á ß /t8w de I e atendendo à igualdade anterior, concluimos que det/w /t" ß /t# ß á ß /t8 será o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas dos vectores /t" ß /t# ß á ß /t8 em relação à base /w ; mas esta matriz é precisamente a matriz X/w/ de mudança da base /w para a base / (ver equação 2.77 ):

det/w /t" ß /t# ß á ß /t8 œ det X /w/

Portanto, a igualdade 4.56 pode também ser escrita na forma alternativa: det/w Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ det/ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 det X /w /

4.56.1

Sec. 4.7] Propriedades algébricas dos determinantes

301

ç Se for I um espaço vectorial de dimensão 8 sobre um corpo Š e ?À I Ä I um endomorfismo de I , a equação 4.60 escreve-se, para qualquer base / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 de I ,

a b a a b a a b a b a bb a a b a b a bb a a b a b a bb a b ab a b a a bb det ? œ det/ ? /t" ß ? /t# ß á ß ? /t8

b

Mas det/ ? /t" ß ? /t# ß á ß ? /t8 é o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas dos vectores da sequência ? /t" ß ? /t# ß á ß ? /t8 em relação à base /. Porém, vimos no capítulo 3 – equação 3.18 – que esta matriz é precisamente a representação matricial Q/ ? de ? em relação à base /. Portanto, det ? œ det Q/ ?

a b 4.65

ou seja, o determinante de um endomorfismo é igual ao determinante de qualquer das suas representações matriciais. 4.7

Propriedades algébricas dos determinantes

Nesta secção, vamos estudar as principais propriedades do determinante de uma matriz quadrada, as quais, na sua maioria, resultam imediatamente das propriedades das formas 8lineares alternadas sobre um espaço 8-dimensional já estudadas antes.

a b

Vejamos o que resulta da expressão 4.64 para 8 œ # e 8 œ $ :

a b

ç Para 8 œ #, a soma 4.64 tem #x œ # parcelas que são:

º

+"" +#"

º

+"# œ +"" +##  +#" +"# +##

e daqui resulta a seguinte mnemónica simples para o cálculo de determinantes de 2ª ordem

+ _

Fig. 4.6 – Mnemónica para o cálculo de determinantes de 2ª ordem.

âââ âââ

a b

ç Para 8 œ $, a soma 4.64 tem $x œ ' parcelas que são: +"" +#" +$"

+"# +## +$#

âââ âââ

+"$ +#$ œ +"" +## +$$  +#" +$# +"$  +$" +"# +#$  +$" +## +"$  +"" +$# +#$  +#" +"# +$$ +$$

e daqui resulta a seguinte mnemónica simples, chamada regra de Sarrusa8b , para o cálculo de determinantes de 3ª ordem 8

Sarrus, Pierre Frédérique: matemático francês (Sainte Afrique 1798 – Sainte Afrique 1861).

302


_

+

Fig. 4.7 – Regra de Sarrus, para o cálculo de determinantes de 3ª ordem.

De passagem, mencionemos duas variantes interessantes da regra de Sarrus: ç Na primeira, copiamos as duas primeiras colunas do determinante para a sua direita.

Então, os termos pares obtêm-se a partir da diagonal principal e das duas diagonais paralelas à direita desta. Os termos ímpares obtêm-se a partir da diagonal secundária e das duas diagonais paralelas à direita desta, de acordo com a figura seguinte

+ _

Fig. 4.8 – Uma variante da regra de Sarrus, para o cálculo de determinantes de 3ª ordem.

ç Na segunda variante, copiamos as duas primeiras linhas do determinante para baixo deste.

Então, os termos pares obtêm-se a partir da diagonal principal e das duas diagonais paralelas abaixo desta. Os termos ímpares obtêm-se a partir da diagonal secundária e das duas diagonais paralelas abaixo desta (ver a figura seguinte)

+ _

Fig. 4.9 – Outra variante da regra de Sarrus, para o cálculo de determinantes de 3ª ordem.

a b

O uso de 4.64 para valores de 8 superiores a 3 torna-se impraticável, devido ao elevado número 8x de parcelas (para 8 œ %, seriam já #% parcelas e, para 8 œ "!, esse número elevar-seia a "!x œ $'#))!! ): não existem, portanto, mnemónicas simples para 8  $ e o cálculo prático deste tipo de determinantes far-se-á por algoritmos que desenvolveremos mais à frente.


303

Nas páginas seguintes, vamos provar as mais importantes propriedades da função determinante de matriz, as quais são, na sua maioria, consequência imediata da matéria anterior respeitante às funções 8-lineares alternadas em geral: Proposição 4.9. Para qualquer 8  "

e qualquer matriz E − Š 8ß8 , tem-se

ˆ ‰ ab

a b

det ET œ det E Demonstração:

4.66

a b

Seja F œ ET ; então, será ,34 œ +43 . Se atendermos a 4.64 , ter-se -á

a b "ab

det F œ

& 5 ,5" " ,5# # â,58 8

5−Æ8

Seja ainda = œ 5" a permutação inversa de 5 − Æ8 e alteremos a ordem dos factores ,53 3 em cada termo do determinante de F de modo a levar os referidos factores a ficarem ordenados por ordem crescente dos índices das linhas; é óbvio que as transposições que levam 5 à permutação identidade transformarão esta na permutação =, para a qual se tem em virtude de 4.14 ,

a b

ab ab

& = œ& 5

Atendendo ainda a que a aplicação 5 È = de Æ8 em si próprio é bijectiva e a que, portanto, quando 5 percorre Æ8 , = percorre também todo o Æ8 , vem

a b "ab "ab

det F œ

& 5 ,5" " ,5# # â,58 8 œ

5−Æ8

œ

"ab ab

& = ,"=" ,#=# â, 8=8

=−Æ8

& = +=" " +=# # â+=88 œ

=−Æ8

det E




Esta propriedade mostra que o determinante de uma matriz é igual ao determinante dos seus 8 vectores-linha na base canónica de Š , que nos dá a seguinte expressão para o determinante de E, equivalente a 4.64 ,

a b

ab "ab a a b det E œ

& 5 +"5" +#5# â+858

5−Æ8

b

a b 4.67

Portanto, de ora em diante, escrevemos det Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 para designar o determinante da matriz cujas colunas são Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 ou cujas linhas são esses mesmos vectores (a que poderemos simplesmente chamar as filas da matriz).

304


Corolário 4.9.1.

i)

Seja E − ‚8ß8 uma matriz complexa de ordem 8 . Então:

ˆ‰ ab ˆ ‰ ab

det E œ det E

ii) det E‡ œ det E

ab

iii) Se E é hermitiana, então det E − ‘ .

ab

ab

iv) Se E é hemi-hermitiana, então det E − ‘ ou det E − 3‘ , conforme 8 for par ou ímpar. Demonstração: i)

Resulta imediatamente da definição e das propriedades do operador conjugação em ‚:

ˆ‰ "ab

det E œ

& 5 +5" " +5# # â+ 58 8 œ

5−Æ8

ii) Neste caso, tem-se

"ab

& 5 +5"" +5## â+588 œ

ab

det E

5−Æ8

ˆ ‰ Šˆ ‰ ‹ ˆ ‰ a b

det E‡ œ det E

T

œ det E œ det E

iii) Se E é hermitiana, tem-se

a b ab ab ab ab a b a b a b ab a b ab aa bb a ab b a ab b 

E‡ œ E Ê det E ‡ œ det E Ê det E œ det E Ê det E − ‘

iv) Se E é hemi-hermitiana, então se forem +t" ß +t# ß á ß +t8 as colunas de E, E‡ œ E Ê det E ‡ œ det E œ det +t "ß +t #ß á ß +t 8 Ê det E œ " 8 det E Ê

8 é par Ê det E œ det E Ê det E − ‘ 8 é ímpar Ê det E œ det E Ê det E − 3 ‘




A proposição seguinte resume algumas propriedades da função determinante: Proposição 4.10. – Propriedades do determinante de uma matriz –

determinante (de uma matriz) goza das seguintes propriedades: i)

ab a

det M8 œ "

A função

a b a b 4.68

ii) Operação elementar de tipo 1: para quaisquer " Ÿ 3  4 Ÿ 8

b

a

det Bt"ß Bt#ß á ß Bt3 ß á ß Bt4 ß á ß Bt8 œ det Bt"ß Bt#ß á ß Bt4 ß á ß Bt3 ß á ß Bt8

b

4.69


305

iii) Multilinearidade: para qualquer " Ÿ 3 Ÿ 8 e ! − Š ,

aa

bb a a

bb a

det Bt" ß Bt# ß á ß Bt3  Ct3ß á ß Bt8 œ det Bt" ß Bt# ß á ß Bt3ß á ß Bt8  det Bt" ß Bt# ß á ß Ct 3ß á ß Bt8 det Bt" ß Bt# ß á ß !Bt3 ß á ß Bt8 œ !det Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt8

ab

a b a b

a b a b ab

a b

4.70

iv) Para qualquer escalar 5 − Š e qualquer matriz E − Š8ß8 ,

a b

det 5E œ 5 8 det E Em particular,

4.71

det E œ " 8 det E

4.72

v) Operação elementar de tipo 2: para qualquer " Ÿ 3 Ÿ 8 e ! Á ! ,

a

b

det Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt8 œ

" !

a

b

det Bt" ß Bt# ß á ß !Bt3 ß á ß Bt8 ; ! Á !

a b 4.73

vi) Operação elementar de tipo 3: para quaisquer " Ÿ 3 Á 4 Ÿ 8 e sendo " − Š um escalar,

a

b a

det Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt4 ß á ß Bt8 œ det Bt" ß Bt# ß á ß Bt3  " Bt4ß á ß Bt4 ß á ß Bt8

b a b

Mais geralmente, para qualquer " Ÿ 3 Ÿ 8 e quaisquer escalares " 5 , tem-se:

a

b Š

det Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt8 œ det Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 

" 5Á3

vii) Anulamento do determinante de uma matriz:

a

b

" 5 Bt5 ß á ß Bt8

a

‹

i)

a

b

b

a b 4.75

det Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 œ ! Í Bt"ß Bt#ß á ß Bt8 é linearmente dependente Demonstração:

4.74

a b 4.76

Da definição resulta, sendo / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 a base canónica de Š8,

ab a

b

det M8 œ det/ /t" ß /t# ß á ß /t8 œ " ii) É consequência de ser det uma forma 8-linear alternada e, portanto, anti-simétrica. iii) Resulta de ser det uma forma 8-linear e, portanto, linear em cada um dos 8 vectores. iv) É mais uma consequência da 8-linearidade da função det:

a b a

b

a

b

ab

det 5 E œ det 5 +t" ß 5 +t# ß á ß 5 +t8 œ 5 8 det +t" ß +t# ß á ß +t8 œ 5 8 det E onde +t" ß +t# ß á ß +t8 são as colunas de E.Fazendo 5 œ ", obtém-se:

a b a b ab

det E œ " 8 det E

b

306


v) Basta dividir por ! Á ! ambos os membros da segunda igualdade da alínea ii da presente proposição:

a

b

a

det Bt" ß Bt# ß á ß !Bt3 ß á ß Bt8 œ !det Bt" ß Bt# ß á ß Bt3 ß á ß Bt8

b

vi) É resultado de particularizar à função det a proposição 4.7.iv. vii) Ver proposição 4.7.ix.



Sejam :ß 8 −  e A − Š:ß8 e F − Š8ß: matrizes dos tipos : ‚ 8 e 8 ‚ : respectivamente. Então: Proposição 4.11. – Determinante do produto –

i)

Se :  8, tem-se

a b

a b

det EF œ !

4.77

ii) Se : Ÿ 8, então, usando as notações da secção 6 do capítulo 2 para designar submatrizes:

a b

det

EF œ

db a c

db‹ a4.78b

a b ab ab

a b

" Š ac det

E "ß #ß á ß :à 3" ß 3# ß á ß 3:

"Ÿ3" 3#â3:Ÿ8

iii) Se, em particular, : œ 8 então:

det

F 3" ß 3#ß á ß 3: à "ß #ß á ß :

det EF œ det E det F

4.79

Demonstração: Sejam:

c d

c d

– Z − Š:ß: a matriz produto de E œ +35 por F œ ,54 Z œ EF

a

b

a

b

– / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 e = œ =t" ß =t# ß á ß =t: as bases canónicas dos espaços vectoriais Š8 e Š: respectivamente;

a b

– ?À Š8 Ä Š: a função linear cuja matriz em relação ao par de bases canónicas =ß / é E

ab

Q=/ ? œ E − Š:ß8

Fragmentemos F nas suas : colunas ,t" ß ,t# ß á ß ,t: − Š8 e calculemos o produto Z œ EF , por blocos. Obtemos, assim, as : colunas @t" ß @t# ß á ß @t: − Š: da matriz Z , pelas expressões: @t3 œ E,t3 à 3 œ "ß #ß á ß :

a b

Segundo o que vimos no capítulo 3 – equação 3.20 – isto equivale a dizer que as colunas de Z são as imagens das colunas de F por meio de ?:

ˆ‰

@t3 œ ? ,t3 à 3 œ "ß #ß á ß :


307

Tem-se, pois, por definição de determinante da matriz Z ,

ab

a b Š ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰‹

det Z œ det= @t" ß @t# ß á ß @t:

œ det= ? ,t" ß ? ,t# ß á ß ? ,t:

, onde ,t5 − Š8 , para 5 œ "ß #ß á ß :

Se considerarmos, então, a forma :-linear alternada 2 sobre Š8 definida por

b ˆ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰‰ ‰ ab ˆ

a

2 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: œ det= ? Bt" ß ? Bt # ß á ß ? Bt : ,

poderemos escrever

det Z œ 2 ,t"ß ,t# ß á ß ,t: Como se viu na proposição 4.7.vii tem-se: i)

Se :  8, será 2 œ OŠI : , donde

ab

det Z œ !

a b

ii) Para : Ÿ 8, virá por 4.47.1 ,

a b ˆ

‰

det Z œ2 ,t" ß,t# ßáß,t : œ

!

ââ , , â , ââ ââ , , â , ââ âââ ã ã ä ã âââ 2ˆ/t â, , â , â ðóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóò 3" "

3" #

3" :

3# "

3# #

3# :

3: "

3: #

3: :

t3# ßáß/ t 3: 3" ß/

"Ÿ3"3#â3:Ÿ8

det

‰

ab 1

ˆF 3" ß3#ßáß3: à"ß#ßáß:‘‰

Mas, da definição de 2, obtém-se

ˆ

‰ ˆ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰‰ ab ˆ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰‰ ˆ ‰ â b‰ ˆ ‰ âââ âââ âââ ˆ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰‰ ââââ a b ââ â ðóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóò a c db ab ab ab a b Š‹ aa cc ddbb aa bb a b 2 /t3" ß/t3# ßá ß /t3: œ det= ? /t3" ß ? /t 3# ß á ß ? /t3:

2

Porém, det= ? t/3" ß ? t/3# ß á ß ? t/3: é igual ao determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas em relação à base canónica = de Š: dos vectores ? /t3" ß ? /t3# ß á ß ? /t3: , ou seja, as colunas de índices 3" ß 3# ß á ß 3: da representação matricial E œ Q=/ ? da função linear ?: det= ? /t3" ß ? /t3# ß á ß ? /t3:

œ

+"3" +#3" ã +:3"

+"3# +#3# ã +:3#

â +"3: â +#3: ä ã â +:3:

3

det E "ß#ßáß:à3"ß3#ßáß3:

O resultado anunciado obtém-se, agora, substituindo 3 em 2 e, de seguida, em 1 . iii) A expressão 4.78 tem

8 :

parcelas e, se : œ 8 terá apenas uma parcela, sendo

det E "ß #ß á ß :à 3" ß 3# ß á ß 3: œ det E det F 3" ß 3# ß á ß 3: à "ß #ß á ß : œ det F

O resultado é imediato e confirma o já obtido em 4.62 .



308


Exemplo 4.41.

a b

Podemos verificar a expressão 4.78 , usando as matrizes

”

•

# $ " eFœ Eœ & # %

Ô Õ

$ ! # & " %

× Ø

Temos, calculando directamente o determinante de EF ,

Ô• Õ

× ” Ø ” • ab º º º º a b a b ˆ‰ a b º ºº º º ºº º º ºº a ba b a ba b a ba b $ ! "" "" # & œ "& ' " % "" "" " " det Z œ œ "" œ "" '  "& œ ** "& ' "& ' # $ " Z œ EF œ & # %

Por outro lado, usando 4.78 , obtêm-se

$ #

œ $ parcelas

# $ $ ! # " $ ! $ " # &   & # # & & % " % # % " % œ %  "& "&  !  )  & "#  !  "#  # )  & œ "* † "&  "$ † "#  "! † $ œ #)&  "&'  $! œ **

det Z œ

Corolário 4.11.1.

Seja 8 −  . U ma matriz E − Š

n,n

caso,

ab

é regular se e só se det E Á ! e, neste

ˆ ‰ a a bb

det E" œ det E

º

a b

"

4.80

Demonstração:

ab

a b

Já vimos que E tem inversa se e só se as suas linhas (e também as colunas) forem linearmente independentes e isto equivale à condição det E Á !, por 4.76 . Supondo satisfeita esta condição ter-se-á

a ba b

EE" œ M8

Usando as equações 4.68 e 4.79 , vem

ab ˆ ‰

det E det E" œ " O resultado é, agora, imediato.



A proposição seguinte dá conta de um importante resultado sobre determinantes e que será utilizado para provar o teorema de Laplace.

Proposição 4.12. – Determinante de uma matriz triangular – uma matriz triangular superior de submatrizes sobre um corpo Š

Seja <  " um inteiro e E


Eœ

a b

onde as matrizes E55

"Ÿ5Ÿ<

ÔÖ Ö Õ

E"" S ã S

E"# E## ã S

â E"< â E#< ä ã â E<<

309

×Ù Ù Ø

são quadradas de ordem :5 (sendo E de ordem 8 œ

! <

:5 ).

5œ"

Nestas condições,

ab $ a b

a b

<

det E œ

det E55

4.81

5œ"

Demonstração: Bastará provar para < œ #, sendo o caso geral imediato, por indução em <. Seja então Eœ

”

Q S8:ß:

•

F − Š8ß8 R

uma matriz quadrada de ordem 8  " e Q − Š:ß: uma matriz quadrada de ordem !  :  8 . Claro está que R será quadrada de ordem 8  :  ! e F − Š :ß8: . Pretende-se mostrar que

ab a b ab a a b b a ab a b det E œ det Q det R

b

Seja / œ /t" ß t/# ß á ß t/8 a base canónica de Š8, I œ P /t"ß t/#ß á ß t/: o subespaço de Š8 gerado por , œ /t" ß /t# ß á ß /t: e J œ P /t:"ß /t:#ß á ß /t8 o subespaço de Š8 gerado por - œ /t:" ß /t:# ß á ß /t8 . É claro que I e J têm dimensões : e 8  : , respectivamente, e que Š8 é soma directa de I com J : Š8 œ I Š J . Sejam ainda: ?À Š8 Ä Š8 à Bt È EBt o endomorfismo de Š8 representado por E em relação à base canónica / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 de Š8 .

a

ç

b

ç @À I Ä Ià Bt È Q Bt o endomorfismo de I representado por Q em relação à base , œ /t" ß /t# ß á ß /t: de I .

a

b a

E, finalmente, AÀ J Ä J à Bt È R Bt o endomorfismo de J representado por R em relação à base - œ /t:" ß /t:# ß á ß /t8 de J . ç

Tem-se, portanto,

b

ab ab ab aa bb aa aa bbbb aa bb a b a a bb a b

E œ Q/ ? , Q œ Q , @ e R œ Q - A

Daqui se conclui que

det ? œ det Q/ ? œ det E det @ œ det Q, @ œ det Q det A œ det Q- A œ det R

ab 1

310


c d ab " " ab

Dada a forma triangular da matriz E œ +34 e as definições anteriores, podemos escrever, para 4 œ "ß #ß á ß : : :

8

? /t4 œ

+34 /t3 œ

3œ"

" 8

+34 /t3 

3œ"

ab

!/t3

2

3œ:"

œ @ /t4 à 4 œ "ß#ß á ß :

Mas, para 4 œ :  "ß :  #ß áß 8,

ab " " " " a b ðñò ab ab a b aa ba b a a ba b aa bb a a b bb a bb a b a a b a bb :

8

? /t4 œ

8

+34 /t3 œ

3œ" :

+34 /t3 

3œ"

œ

+34 /t3

ab

3œ:"

3

+34 /t3  A /t4 œ à 4 œ :  "ß :  #ß á ß 8

3œ"

−I

Da 1ª igualdade 1 , obtém-se, atendendo a 2 ,

ab ab

det E œ det ? œ det/ ? /t" ß ? /t # ß á ß ? /t 8 œ det/ @ /t" ß @ /t# ß áß @ /t: ß ? /t :" ß áß ? /t8

4

Considere-se, agora, a função 1 À I: Ä Š definida por

1 Bt" ß Bt# ß á ß Bt: œ det/ Bt" ß Bt# ß á ß Bt: ß ? /t :" ß á ß ? /t8

5

ab

A função 1 é uma forma :-linear alternada sobre I e, portanto, atendendo a 1

a a b a b a bb a b a b a ba a b a b ab a b a a b a bb ab " a b  a b " a a b a bb ababab ab a b a a b a b a bb a b a a b 1 @ /t" ß @ /t# ß á ß @ /t:

œ det @ 1 /t "ß /t #ß á ß /t : œ det Q 1 /t "ß /t #ß á ß /t :

b ab 6

Substituindo Bt" ß Bt# ß á ß Bt: por /t" ß /t# ß á ß /t: em 5 , obtém-se

1 /t" ß /t# ß á ß /t: œ det/ /t" ß /t# ß á ß /t: ß ? /t:" ß á ß ? /t8

a b a b

mas, por ser det/ uma forma 8-linear alternada, podemos atender a 3 e usar 4.75 para obter :

1 /t" ß /t# ß áß /t: œ det/ /t" ß /t# ß áß /t: ß

:

+3ß:" /t3  A /t:" ß áß

3œ"

+38 /t3  A /t 8

3œ"

œ det/ /t" ß /t# ß á ß /t: ß A /t:" ß á ß A /t8

Atendendo a 4 , 5 , 6 e 7 , obtém-se:

ab 7

a bb

det E œ 1 @ /t" ß @ /t# ß áß @ /t : œ det Q det/ /t "ß /t #ß áß /t :ß A /t :" ß áß A /t 8 O resultado fica, portanto, demonstrado se pudermos provar que

a

a b a bb a b

det/ /t" ß /t# ß á ß /t: ß A /t:" ß á ß A /t8 œ det R

ab 8


311

Para tal, consideremos a função 2À J 8: Ä Š, definida por

a

b a

2 Bt:" ß Bt:# ß á ß Bt8 œ det/ /t" ß /t# ß á ß /t: ß Bt:" ß Bt:# ß á ß Bt8

a b a a b a b a bb aa bb aa

b

ab

A função 2 é uma forma 8  : -linear alternada sobre J e, portanto, atendendo a 1 , 2 A /t:" ß A /t:# ß á ß A /t 8

bb

œ det A 2 /t :"ß /t :#ß á ß /t 8 œ det R 2 /t:"ß /t:#ß á ß /t8

Mas, da definição de 2 resulta

a

b a b a a b a b a bb a b ab a b a bb a a b a b a bb a b

2 /t:" ß /t:# ß á ß /t8 œ det/ /t"ß /t# ß á ß /t: ß /t:" ß /t:# ß á ß /t8 œ "

e portanto,

2 A /t:" ß A /t:# ß á ß A /t8

œ det R

O primeiro membro de 8 vale então

a

det/ /t" ß /t# ß á ß /t: ß A /t:" ß áß A /t8 œ 2 A /t :" ß A /t :# ß áß A /t 8 œ det R como queríamos demonstrar.

Corolário 4.12.1.

para 3  4. Então



c d

Seja E œ +34 − Š8ß8 uma matriz triangular superior, isto é +34 œ !

ab $

a b

8

det E œ

4.82

+55

5œ"

Demonstração:

a b ab "ab

É consequência imediata da proposição anterior. Pode também verificar-se este resultado directamente: recordemos a expressão 4.64 det E œ

& 5 +5" " +5# # â+58 8

5−Æ8

Vamos ver que, das 8x parcelas deste somatório, só uma não é necessariamente nula: ser

Se 5"  ", será +5"" œ !; Portanto, para que o termo associado a 5 não seja nulo, tem que 5" œ "

Quanto a 5# , será 5# Á 5" œ "; então, deverá ser 5#  # eß se 5#  #, será + 5## œ !. Portanto, para que o termo associado a 5 não seja nulo, tem que ser 5# œ #

Continuando com este raciocínio, conclui-se que deverá ser 55 œ 5 , para todo o " Ÿ 5 Ÿ 8, ou seja, 5 œ I 8 . Assim, o único termo não necessariamente nulo é igual a associado à permutação identidade 5 œ I 8 (termo principal).

# 8

5œ"

+55 e que está 

312


Observações:

ç Usando a proposição 4.9, é fácil provar que a proposição 4.12 Ðe o seu corolárioÑ são

válidos igualmente para matrizes triangulares inferiores, visto que

âââ âââ ââ

E"" E#" ã E<"

S E## ã E<#

âââ âââ ââ

ÎÐ ÔÖ ÐÐ Ö ÏÕ $ ˆ ‰ $ a

â S â S œ det ä ã â E<<

E"" E#" ã E<"

S E## ã E<#

<

œ

â S â S ä ã â E<<

<

T

det E55 œ

5œ"

det E55

5œ"

b

âââ ×Ù ÑÓ ÙØ Ó Óââââ Ò â T

T E"" S œ ã S

T E#" E#T# ã S

T â E<" T â E<# ä ã T â E<<

ç Sejam E − Š:ß: e F − Š;ß; matrizes de ordens : e ; sobre um corpo Š e Y œ

âââ âââ ââ

” • E G H F

(será obviamente G − Š:ß; e H − Š;ß:). Então, supondo E invertível, podemos escrever Y œ

”

•”

M: HE"

S:ß; E F  HE " G S;ß:

Então, atendendo à proposição 4.12, teremos

ˆ

G M ;

•

‰

detY œ detE det F  HE" G , com detE Á ! Do mesmo modo, se for F invertível, podemos escrever

”

E  GF " H GF " Y œ S;ß: M;

Da proposição 4.12 resulta agora

ˆ

•”

M: H

S:ß; F

•

‰

detY œ detF det E  GF " H , com detF Á !

4.8

Algoritmo de condensação para o cálculo de determinantes

Com base no que sabemos sobre o efeito das operações elementares sobre o valor do determinante de uma matriz e de ser fácil o cálculo do determinante de uma matriz triangular, podemos agora usar o algoritmo de condensação para levar o determinante à forma triangular superior, após o que o resultado é imediato, usando a igualdade 4.82 . É este o primeiro dos métodos gerais para o cálculo de determinantes (em particular, de ordem superior a 3). Note-se que, neste caso, podem fazer-se operações elementares com linhas e também com colunas ao longo do procedimento, se isso nos for conveniente.

a b

O quadro seguinte ilustra, em pseudo-código, o algoritmo de condensação vertical, adaptado ao cálculo de determinantes: o input é a matriz quadrada a de ordem n e o output é o seu determinante d.

Sec. 4.8] Algoritmo de condensação para o cálculo de determinantes

313

% a é matriz quadrada de ordem n n=Ordem(a); r=0; d=1; Enquanto r  n

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ ÖÖÖ ÖÖÖ ÖÖ ÖÖÖ ÖÖ ÖÖ ÖÖ ÖÖ ÖÖ ÖÖÖ ÖÖ ÖÖÖ ÖÖ ÖÖ ÖÖ Õ

% Busca do Pivot: i=r; Fazer i=i+1 Enquanto ai,r+1 œ 0 • i  n; Se ai,r+1 Á 0 então

% ai,r+1 é pivot?

ÔÖ ÖÖ ÖÖÖ ÖÖ ” ÖÖÖ ÖÖ ÖÖÖ ÖÖ Ö Õ

< œ <  "à % Redução da coluna r de a: Se i Á r então Linhai Ç Linhar ; d=-d FimSeà pivot=arr ; d=pivot*d; Linhar =Linhar /pivot; Para i=r+1 até n Linhai =Linhai -air *Linhar FimPara

% Operação de tipo 1 % Anti-simetria

% Multilinearidad e % Operação de tipo 2 % Operação de tipo 3

Senão

”

d=0; Devolver d

FimSe

FimEnquanto; % Saída do resultado: Saída: d

Na secção 4.16, apresenta-se a implementação do algoritmo anterior utilizando o software MATHEMATICA , constituindo a função CondensacaoDet definida no package intitulado ALGA`Determinantes` . ©

Exemplo 4.42. A título de exemplo, calculemos o determinante da seguinte matriz E de 5ª ordem, pelo método de condensação vertical:

ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ

" % detE œ $ # % " ! œ ! ! !

# " ' "" *

" ! œ# ! ! ! œ

# $ ! & "

a

# " ! ! !

! " # " " ! " # " " ! " # ! !

# # % ! # # % "! "! '

ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ

$ " # % " œ $ $ # ! % $ " * ! ) œ ! "% ! "# !

# % "( %) #'

b

# $ ! & " # " ! ! !

ââ ââ ââ ââ ââ

$ " * ! # $" œ ! #% ($ ! $" !

" " † " † # † %) † #!& œ "'%! "#

! " # " "

# # % ! #

! # " % % $% "# &% ) %# # " ! ! !

! " # ! !


ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ

$ " # ! " œ ! $ ! ! !

ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ

$ * '# œ # ""$ *$ # % "( %) !

# "" ' " *

$ * $" ($ #!&

" ! ! ! !

! " # " " # " ! ! !

# "! "! % '

$ "% ) * "#

! # " % # "( "# &% ) %#

ââ ââ ââ âââ â â ââ ââ ââ ââ â $ * $" ""$ *$

314


4.9

Teorema de Laplace

Na presente secção, vamos enunciar um teorema que nos vai conduzir a um novo método geral (recursivo) para o cálculo de determinantes: trata-se do teorema de Laplacea9b: Proposição 4.13. – Teorema de Laplace (geral) – Sejam 8  " e !  :  8 números inteiros e E − Š8ß8 uma matriz quadrada de ordem 8 sobre um corpo Š . Para quaisquer :

colunas de E , com índices " Ÿ 4"  4#  â  4 : Ÿ 8 e usando as notações da secção 6 do capítulo 2 para as submatrizes de E , o determinante de E pode ser calculado por

" a b "

ac

:

! a3 4 b 5

5

5œ"

db a a

det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4:

"Ÿ3"â3:Ÿ8

bb a b 4.83.1

O segundo membro da igualdade anterior é chamado o desenvolvimento de Laplace de det E segundo as colunas 4" ß 4# ß á ß 4: . Existem 8: desenvolvimentos de Laplace para o determinante de E segundo : colunas (correspondentes a outras tantas sequências estritamente crescentes 4"  4#  â  4: de índices das colunas) tendo o somatório na expressão 4.83.1 um número de parcelas também igual a 8: .

ab

Š‹

a b

Š‹

Demonstração:

a

b

ab

c d

Seja / œ /t" ß /t# ß á ß /t8 a base canónica de Š8 e +t5 "Ÿ5Ÿ8 as colunas de E œ +34 − Š8ß8. Fixemos : colunas em E, de índices " Ÿ 4"  4#  â  4 : Ÿ 8 e defina-se uma função 2À Š8 : Ä Š mediante a igualdade

a b ˆ

‰

ˆ

2 Bt4" ß Bt4# ß á ß Bt4: œ det/ +t "ß á ß +t 4""ß Bt 4"ß +t4 ""ß á ß +t 4#"ß Bt 4 #ß +t 4 #"ß á ß +t 4 :"ß Bt 4 :ß +t 4 :"ß á ß +t 8

‰

A função 2 é uma forma :-linear alternada sobre Š8 e a definição de 2 mostra que

a b

b ˆ

ab a

det E œ det/ +t" ß +t# ß á ß +t8 œ 2 +t4" ß +t4# ß á ß +t4:

‰

Atendendo a 4.47.1 , obtém-se, fazendo uso das notações introduzidas na secção 6 do capítulo 2 para a designação das submatrizes de E,

ab

âââ " ââââ â " ac

det E œ

"Ÿ3" 3#â3:Ÿ8

+3" 4" +3# 4" ã +3: 4"

+3"4# +3#4# ã +3:4#

âââ âââ ˆ ââ db ˆ

â +3"4 : â +3#4 : 2 /t3" ß /t3# ß á ß /t3: ä ã â +3:4 :

‰

det E 3" ßá ß 3: à4" ß á ß 4: 2 /t3" ß /t3# ß á ß /t3:

œ

"Ÿ3" 3#â3:Ÿ8

‰

Recorrendo à definição da forma :-linear alternada 2, tem-se:

ˆ

‰

ˆ

2 /t3" ß /t3# ß á ß /t 3: œ det/ +t "ß á ß +t 4""ß /t 3"ß +t 4""ß á ß +t 4#"ß /t 3#ß +t 4 #"ß á ß +t 4 :"ß /t 3 :ß +t 4 :"ß á ß +t 8

9

ab 1

‰

Laplace, Pierre-Simon, marquis de: astrónomo, matemático e físico francês (Beaumont-en-Auge 1749 – Paris 1827).

Sec. 4.9] Teorema de Laplace

315

Transpondo sucessivamente /t3" (que está na coluna 4" ) com todos os vectores anteriores, leva-se aquele vector para a coluna " (após 4"  " transposições elementares); repetindo o processo para /t3# , podemos deslocar este para a coluna #, após 4#  # transposições e assim sucessivamente até levar o vector /t3: para a coluna : (executando mais 4:  : transposições elementares). Terminado este processo e atendendo à anti-simetria da forma 8-linear alternada det/ , levamos os vectores /t3" ß /t3# ß á ß t/3: para as : primeiras colunas, sem alterar a ordem dos

! ! :

restantes 8  : vectores +t5 ; fazendo =4 œ

ˆ

:

45 

5œ"

‰

5 , obtém-se:

5œ"

2 t/3" ß /t3# ß á ß /t3: œ

a b ˆ

" =4 det/ /t3" ß /t3# ß á ß /t3: ß +t" ß á ß +t4"" ß +t4"" ß á ß +t4#" ß +t4 #" ß á ß +t4 :" ß +t4 :" ß á ß +t8

‰

Porém, det/ é também função 8-linear alternada (logo, anti-simétrica) das linhas da matriz e, como 3"  3#  â  3: , podemos praticar com as linhas 3 "ß 3#ß âß 3: um processo de transposições elementares sucessivas semelhante ao usado para as colunas 4" ß 4 #ß âß 4: e que leve aquelas linhas (que contêm as componentes iguais a " nos vectores /t35 ) a ocupar as : primeiras posições; O número total de transposições a realizar será, como antes, de

! ! ˆ :

=3 œ

:

35 

5œ"

5 . Usando as notações da secção 6 do capítulo 2 para designar as submatrizes

5œ"

a b ca ca aa bb

de E e após este procedimento, somos conduzidos, usando 4.81 , às igualdades:

‰ a a aa

2 /t3" ß /t3# ß á ß /t3: œ " œ "

b a b º b º bb ç aa ab =3

=3 +=4

M:

œ"

œ " œ "

bb º bb º bb

E 3" ß áß 3: à 4" ß áß 4: S8:ß: E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: M: E 3" ß áß 3: à 4" ß áß 4: S8:ß: E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: =4

"

=3 +=4

det M: det E 3"ß á ß 3:à 4" ß á ß 4: det E 3"ß á ß 3:à 4" ß á ß 4:

=3 +=4

ab

Mas

" "  " "  "a b " " a b a b :

=3 +=4 œ

:

35 

5œ" :

œ

:

5



45 

5œ"

5œ"

:

35  45  #

5œ"

:

5

5œ"

:

5œ

5œ"

35  45  : :  "

5œ"

donde:

!a b a b a b a b a b èéê a ba b ðóóñóóò ‰ a b ab ˆ ˆ ‰ a b!a b a a bb :

:

"

=3 +=4

œ "

! a3 4 b:a:"b 5

5

5œ"

œ

"

! a3 4 b 5

5œ"

par

"

:

5

œ "

35 45

5œ"

: :"

œ"

Substituindo o valor obtido para "

=3 +=4

na expressão 2 de 2 /t3" ß /t3# ß á ß /t3: , obtemos

:

2 /t3" ß t/3# ß á ß /t3: œ "

35 4 5

5œ"

det E 3"ß á ß 3:à 4" ß á ß 4:

2

316


ab

a b

Substituindo esta igualdade em 1 , obtém-se finalmente 4.83.1 .



Observações:

ç Considerando que : pode tomar valores entre " e 8  " e usando o binómio de Newton, o número de formas de aplicar o teorema de Laplace a quaisquer colunas de E será

"Œ  " Œ  8"

8 :

:œ"

8

œ

:œ!

a b

8 #œ "" :

8

ˆ

 # œ # 8  # œ # # 8"  "

‰

Considerando ainda que o desenvolvimento de Laplace por determinadas : colunas coincide 8 com o desenvolvimento pelas 8  : colunas complementares (visto que 8: œ 8: e que menores complementares têm a mesma paridade), o número de desenvolvimentos de Laplace distintos por colunas de E é, de facto, metade do total calculado acima:

Š‹ Š ‹

a b a b ab

Número de desenvolvimentos por colunas œ #8"  "

a b ab

4.84

ç Por ser det ET œ det E , é também válida uma fórmula semelhante a 4.83.1 , mas dizendo respeito a : linhas de E: é o desenvolvimento de Laplace de det E segundo as linhas 3" ß 3# ß á ß 3: ; portanto, fixando quaisquer : índices de linhas " Ÿ 3"  3 #  â  3 : Ÿ 8 , o determinante de E − Š 8ß8 é dado pela expressão:

" a b Š‹ "

:

! a3 4 b 5

5œ"

5

ac

db a a

det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4:

"Ÿ4"â4:Ÿ8

bb a b 4.83.2

Existem 8: desenvolvimentos de Laplace para o determinante de E segundo : linhas (correspondentes às sequências estritamente crescentes 3"  3#  â  3: de índices das linhas) tendo o somatório na expressão 4.83.2 um número de parcelas também igual a 8: ; Quanto ao número de desenvolvimentos de Laplace distintos por linhas, ele é igualmente de #8"  ".

a b

ac

Š‹

db

ç A expressão det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: que é o determinante da submatriz (de ordem :) de E formada pelas linhas de índices 3" ß á ß 3: e pela colunas de índices 4" ß á ß 4: é chamada o

menor de ordem : formado por aquelas filas de E e o valor ? œ

!a b db :

35  45 define a paridade

5œ"

do menor (o menor diz-se par ou ímpar consoante aquela soma ? for par ou ímpar).

a b a b c Š‹

ac d

ç Se 3" ß á ß 3: œ 4" ß á ß 4: , o menor det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: diz-se principal . É formado por elementos de E pertencentes a linhas e colunas com iguais índices (o que significa que a diagonal principal de E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: é uma parte da diagonal principal de E).

Existem

8 :

menores principais de ordem : num determinante de ordem 8 e é óbvio que todo o

menor principal é par, visto que ? œ

aa

!a b ! bb ac :

5œ"

:

35  35 œ #

3 5 é par.

5œ"

ç O valor det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: que é o determinante da submatriz de E (de ordem 8  : ) obtida eliminando as linhas de índices 3" ß á ß 3: e as colunas de índices 4" ß á ß 4: é chamada o menor complementar do menor det E 3" ß á ß 3 :à 4" ß á ß 4 : . Um menor e o seu

db

menor complementar têm necessariamente a mesma paridade, visto que a soma das paridades

Sec. 4.9] Teorema de Laplace

a

317

b a b

dos dois é # "  #  â  8 œ 8 8  " que é sempre um número par (se as paridades fossem distintas, a soma referida seria ímpar!). O complementar de um menor principal de ordem : é outro menor principal (de ordem 8  : ).

aa ac

dbbb bb a b a a bb a b

ç Chama-se cofactor ou complemento algébrico de um menor det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: ao produto de " ? pelo respectivo menor complementar det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: ; usaremos a notação cof det E 3" ß á ß 3: à 4"ß á ß 4:

a ba a c dbb a ac dbb a b!a b a a a c db a b a b a a bb a b a b a b âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ :

cof det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4:

œ "

35 4 5

5œ"

det E 3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4:

4.85.1

Um menor de ordem : œ " será det E 3à 4 e é obviamente igual ao elemento +34 da linha 3 e da coluna 4 de E; a sua paridade é dada por 3  4 e o menor complementar det E 3à 4 é de ordem 8  ". O cofactor de +34 será cof +34 œ "

34

det E 3à 4

4.85.2

em que E 3à 4 designa a submatriz de ordem 8  " obtida de E por eliminação da linha 3 e da coluna 4. O valor da paridade " 34 é exclusivamente função da posição 3ß 4 do elemento +34 de E e o cálculo deste valor pode ser feito facilmente usando a mnemónica ilustrada na figura seguinte     ã ‡

    ã ‡

    ã ‡

    ã ‡

â â â â ä â

‡ ‡ ‡ ‡ ã 

Fig. 4.10 – Mnemónica para determinar a paridade dos menores de 1ª ordem.

ç Usando a terminologia que acabámos de introduzir, podemos enunciar o teorema de

Laplace (nas suas duas variantes) do seguinte modo:

Š‹

O determinante de uma matriz de ordem 8 é igual à soma dos produtos dos 8: menores de ordem : contidos em : filas paralelas (linhas ou colunas) pelos respectivos cofactores. Este enunciado traduz as duas fórmulas seguintes (desenvolvimento de Laplace do determinante de E por : colunas ou por : linhas, respectivamente):

" "

ac ac

db a a c db a a c

det E 3" ß á ß 3: à 4"ß á ß 4: cof det E 3 "ß á ß 3:à 4"ß á ß 4:

"Ÿ3"â3:Ÿ8

"Ÿ4"â4:Ÿ8

det E 3" ß á ß 3: à 4"ß á ß 4:

ç A função

db b d bb

cof det E 3 "ß á ß 3 : à 4" ß á ß 4 :

à " Ÿ 4"  4#  â  4 : Ÿ 8 à " Ÿ 3 "  3 #  â  3 : Ÿ 8

do package ALGA`Determinantes` implementada em linguagem MATHEMATICA na secção 4.16 usa as fórmulas de Laplace para calcular um determinante de ordem arbitrária. LaplaceDet ©

318


ˆ‰

Determinemos, de novo, o valor do determinante da matriz do exemplo 4.42, &x através do teorema de Laplace, escolhendo : œ # e desenvolvendo pelos &# œ #x$x œ "! menores de 2ª ordem contidos nas colunas 4" œ " e 4# œ $, por exemplo: Exemplo 4.43.

âââ â a b ââââ ââ

âââ âââ âââ â

" # ! # $ % $ " # # # % " œ det E œ $ ! # & " ! $ % " " # !

âââ º ºâââ âââ º ºâââ ââ

âââ âââ âââ º ºâââ âââ âââ âââ º ºâââ ââ ââ

! % " $ # # " ! " ! & ! $  & ! $ œ % " $ # " # ! " # !

âââ âââ âââ âââ

$ # # $ # # " ! " ! ! % "  ! % "  # " % " " # ! & ! $

º ºââââ ââ º ºââââ a b a ba a ba b a b

%  $

" #

# & "

$  #

# "

# $ "

# ! #

# # #

ââ º ââ ââ ââ º ââ b a ba $ % $  # !

$ $ #  % !

" "

ºââââ ââ ºââââ b # ! "

# "

ââ ââ º ââ ââ ââ º ââ a b a

# % #

# $ &

$ % "  % !

# # !

" "

$ # #  % $

ââ ââ ââ ºââââ ââ ââ ââ ââ ºââââ ââ b a b a b # ! &

" "

# % !

# $ !

# # %

$ " $

$ # "

a b

œ  " † #  # %%  " "'  " † )'  "" † %)  # † ")  ) † *%  ( † "#  & %  ' † ## œ #  ))  "'  )'  &#)  $'  (&#  )%  #!  "$# œ "'%!

Vamos mencionar, em seguida, um caso particular do teorema de Laplace, por vezes chamado teorema de Laplace restrito e que se obtém imediatamente do teorema geral, fazendo aí : œ ": Corolário 4.13.1. – Teorema de Laplace restrito – quadrada de ordem 8 sobre um corpo Š . Então:

i)

Sejam 8  " e E − Š 8ß8 uma matriz

Para qualquer " Ÿ 4 Ÿ 8 , o determinante de E pode ser calculado por:

ab " a b 8

det E œ

+34 cof +34 à " Ÿ 4 Ÿ 8

3œ"

a b 4.86.1

O 2º membro da expressão anterior é conhecido por desenvolvimento de Laplace do determinante de E pela coluna 4. ii) Para qualquer " Ÿ 3 Ÿ 8 , o determinante de E é também dado por:

ab " a b 8

det E œ

+34 cof +34 " Ÿ 3 Ÿ 8

4œ"

a b 4.86.2

O 2º membro da expressão anterior é conhecido por desenvolvimento de Laplace do determinante de E pela linha 3.

Sec. 4.9] Teorema de Laplace Demonstração:

319

a ba b

a c db

Basta considerar : œ " em 4.83.1 e 4.83.2 e atender a que det E 3à 4 œ +34 . Observações:

ç As expressões

a b a b



ab

4.86.1 e 4.86.2 dão uma definição recursiva do det E , visto exprimirem um determinante de ordem 8 em termos de determinantes de ordem 8  ". Quando se aplica o teorema de Laplace restrito, a ordem dos determinantes baixa de 8 para 8  " (embora o número de determinantes a calcular passe de " para 8). Frisemos que convém aplicar o teorema à fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, visto que, sempre que +34 œ ! e sendo este o elemento absorvente do produto em Š, o produto +34 cof +34 anula-se e, assim, poupamos o trabalho de calcular o cofactor de +34 (que envolveria o cálculo de um determinante de ordem 8  "): isto significa que o número de parcelas não nulas em 4.86.1 ou 4.86.2 pode, na prática, ser inferior a 8.

ab a b a b

ç É óbvio que o teorema de Laplace restrito conduz a um algoritmo recursivo para calcular determinantes de qualquer ordem 8, segundo a seguinte fórmula de recorrência:

c d

E œ +34

Ú a b ÜÛ !a b

ß se 8 œ "

+""

"Ÿ3Ÿ8 "Ÿ4Ÿ8

8

Ê det E œ

"

a a bb

34

+34 det E 3à 4 ß se 8  "

3œ"

Aplica-se sucessivamente o teorema de Laplace restrito à fila mais conveniente de acordo com o critério descrito anteriormente, até que a ordem dos determinantes envolvidos seja calculável por qualquer das mnemónicas referidas nas figuras 4.6 e 4.7, ou seja, até que os determinantes a calcular sejam de 2ª ou 3ª ordem (podia mesmo levar-se a recorrência até se obter 8 œ "). Na secção 4.16 deste capítulo, implementamos na linguagem MATHEMATICA a função RecursivoDet como parte do package ALGA`Determinantes` e usando o algoritmo que acabámos de descrever . ©

Calculemos o valor do determinante da matriz E do exemplo 4.42, por recorrência, através do teorema de Laplace restrito, começando por aplicá-lo à linha " de E (que tem um zero), o que conduz a determinantes de 4ª ordem: Exemplo 4.44.

ââ ââ a b âââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â ââ ââ ââ

" % det E œ $ # %

# $ ! & "

$ ! œ " & "

% $ # # %

! " # " "

" # " " $ ! & "

# % ! # " # " "

ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ

# # % ! #

$ # " $ !

# " # $ !

# " $ $ !

% $ # %

% $ # %

" # " " $ ! & "

# % ! # " # " "

# " $ ! # % ! #

ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ

320


Aplicando, de novo, o teorema de Laplace restrito a cada um dos determinantes de 4ª ordem anteriores e desenvolvendo pela linha 2, para o primeiro; pela coluna 4, para o segundo; pela linha 2, para o terceiro e pela coluna 2 para o quarto, obtém-se (usando a regra de Sarrus da figura 4.7 ou uma das suas variantes para os determinantes de 3ª ordem obtidos):

âââ âââ ââ âââ âââ ââ âââ âââ ââ

âââ âââ ââ

âââ âââ ââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

$ " # # $ # # $ " # $ " # ! # % " ! œ "'! œ # & ! $  % & " $  " & " & " ! $ " # ! " " ! " " # " " # !

âââ âââ ââ âââ âââ ââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

% " # # $ # % % " # % " # $ # % " " ! " # " !  $ $ # % œ "!! œ # # # " ! $ % " # % " # % " # % " # ! % $ " $ ! # # & " % " "

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

# $ " # % $ # % $ " " œ $ & " $  # # & $  " # & " œ #! $ " " ! % " ! % " " !

âââ âââ ââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

% $ " # $ # % % " # % " # $ ! # % " !  & $ # %  " $ # % œ %%! œ $ # # & " ! % " # % " # # " ! % " " #

Substituindo estes resultados no desenvolvimento inicial, vem

ab a b a b a b

det E œ " "'!  # "!!  # #!  $ ‚ %%! œ "'!  #!!  %!  "$#! œ "'%!

a

b

Mostremos que, para todo o inteiro 8  # e B"ß B#ß B$ß áß B8"ß B8 − Š8 , o seguinte determinante Z 8 – dito de Vandermondea10b – é dado por: Exemplo 4.45.


" B" B#" Z8 œ ã B8# " B8" "

" B# B## ã B8# # 8" B#

O produto no 2º membro tem

10

âââ âââ âââ $ a âââ

" â " " B$ â B8" B 8 B#$ â B#8" B 8# œ B4  B 3 ã ä ã ã "Ÿ34Ÿ8 8# B$8# â B8" B 88# 8" B 8" B$8" â B8" 8

ˆ‰ a b 8 #

œ

" #

8  " 8 factores.

Vandermonde, Alexandre-Théophile: matemático francês (Paris, 1735 – Paris 1796).

b

Sec. 4.9] Método abreviado para o cálculo de determinantes

321

Consideremos a sucessão de funções escalares @8 À Š Ä Š definida, para todo o 8  # e B − Š , por:

âââ âââ a b âââ âââ

" B" B#" @8 B œ ã 8# B" B8" "

" B# B## ã 8# B# B8" #

" B$ B#$ ã 8# B$ B$8"

â â â ä â â

" B8" B#8" ã 8# B8" 8" B8"


" B B# à 8  # • B − Š ã B 8# B 8"

ab

É claro que o determinante de Vandermonde é dado por Z8 œ @8 B8 e o teorema de Laplace restrito aplicado à última coluna do determinante anterior mostra que @8 constitui um polinómio em B de grau 8  " (em particular, @# é o polinómio de grau " definido por @ # B œ B  B " ) e que o coeficiente de maior grau deste polinómio é o cofactor de B8" , ou seja, @8" B8" . Além disso, tem-se @8 B5 œ !, para " Ÿ 5 Ÿ 8  " , visto que o determinante fica com a última coluna igual à coluna 5 , pelo que as raízes do polinómio @8 são B" ß B# ß B$ ß á ß B8" . Decompondo o polinómio @8 em factores lineares, podemos escrever, para 8  $ e B œ B 8 ,

ab a b e f a b$ a b

ab

a bâ

ab

@8 B8 œ @8" B8"

ba

ba

B 8  B " B 8  B # â B 8  B 8"

b‰

8"

œ @ 8" B 8"

B8 B3

3œ"

ab a b $a b a b $a b a b $a b a b $a b $a b a b $a b$ a b$ a

Aplicando recursivamente a igualdade anterior, vem, para os @5 B5 , com # Ÿ 5 Ÿ 8,

ÚÝÝ ÝÝÝ ÝÝÝ ÝÝÝ ÛÝÝ ÝÝÝ ÝÝÝ ÝÝÝ Ü a

ab a b a b ab ab a b b b $a b

@8 B8 œ @8" B 8"

a b $a

3œ" 8#

B 8"  B 3

3œ" 8$

@8# B8# œ @ 8$ B8$

"

B #  B3

3œ"

B8  B3

@8" B8" œ @ 8# B 8#

B8#  B3

3œ"

ââââ

#

@$ B $ œ @ # B #

B$  B 3

3œ"

"

@# B# œ B#  B" œ

Substituindo sucessivamente @5 B5 expressão seguinte para @8 B8 : @8 B 8 œ

8"

#

3œ"

em @5" B5" , para 5 œ #ß $ß á ß 8  " , obtemos a 8$

B$  B3 â

3œ"

B#  B3

8#

B 8#  B 3

3œ"

8"

B 8"  B 3

3œ"

B8  B3

3œ"

Observe que o número total de factores na expressão anterior é de

a b a b a b a b Š‹

"#â 8$  8#  8" œ

" 8" 8œ #

8 #

b

322


Podemos, por fim, escrever:

a b $ $a 8

4"

Z8 œ @ 8 B 8 œ

B 4  B3

4œ#

3œ"

b $ a œ

B4  B3

"Ÿ34Ÿ8

b

4.10 Método abreviado para o cálculo de determinantes

Vimos que, ao usarmos o teorema de Laplace restrito, há conveniência em fazer o desenvolvimento do determinante pela fila com o maior número possível de zeros, porque assim se minimiza o número de cofactores a calcular: o ideal seria que apenas um elemento da fila não fosse nulo! Esta observação conduz à ideia óbvia de usar primeiro o método de condensação para anular todos os elementos de uma fila à excepção de um e, de seguida, aplicar o teorema de Laplace restrito a essa fila. Tal algoritmo constitui o chamado método misto ou abreviado para o cálculo de determinantes (na prática, de ordem superior a 3). Neste algoritmo, para calcularmos um determinante de ordem 8, agimos do modo seguinte: ç Por condensação, anulamos todos os elementos de uma fila qualquer (convém a que já

tiver mais zeros à partida), com excepção do pivot (é claro que, se isto não for possível, o determinante é nulo). ç Aplicamos o teorema de Laplace restrito à fila referida no ponto anterior, o que nos conduzirá a um determinante apenas e de ordem 8  ". ç Repetimos os dois passos anteriores para o determinante de ordem 8  " obtido acima e

assim sucessivamente, até que o determinante a calcular seja de 2ª ou 3ª ordem e possa já ser calculado pelas mnemónicas das figuras 4.6 ou 4.7. Usemos o algoritmo anterior para repetir o cálculo do determinante de 5ª ordem mencionado no exemplo 4.42 Exemplo 4.46.

ââ ââ detaEb œ ââ ââ ââ

" % $ # %

# $ ! & "

! " # " "

# # % ! #

$ # " $ !


Por condensação horizontal (operações com colunas), anulemos os elementos da linha 3, usando +$& œ " como pivot, através das operações de tipo 3 (não alteram o valor do determinante) seguintes: G" Ä G"  $G&ß G $ Ä G$  #G &ß G % Ä G %  %G & e aplicando, de seguida, o teorema de Laplace restrito à linha 3:


" % $ # %

# $ ! & "

! " # " "

# # % ! #



$ ) # "! " œ ! $ "" ! %

# $ ! & "

' $ ! & "

"% "! ! "# #


ââ ââ ââ ââ

$ ) # "! " œ "" $ % !

# $ & "

' "% $ "! & "# " #

ââ ââ ââ ââ

Após o procedimento anterior, usemos operações sobre linhas (condensação vertical) para anular os elementos da 2ª coluna, tomando +%# œ " como pivot (note que há conveniência em que o pivot seja igual a ", para que se sigam operações de tipo 3); as operações de tipo 3 serão: P" Ä P"  #P% ß P # Ä P#  $P% ß P 3 Ä P $  &P% . O uso do teorema de Laplace restrito na 2ª

Sec. 4.11] Aplicação ao cálculo da característica de uma matriz

323

coluna seguido da regra de Sarrus completam o cálculo (em vez de usarmos a regra de Sarrus, podíamos, claro está, baixar a ordem do determinante para 2, através da operação G$ Ä G$  )G" e de mais uma aplicação do teorema de Laplace, desta feita à linha 2):

ââ ââ ââ ââ

) "! "" %

# $ & "

' $ & "

ââ ââ ââ ââ

ââ ââ ââ ââ

"% ! "! # œ "# $" # %

! ! ! "

ââ ââ ââ ââ

ââ ââ ââ

% ") ! ! "' œ # "! # $" " #

ââ ââ ââ

% ! "!

ââ ââ ââ

") ! "' œ % " # $"

ââ ââ ââ

# ! "!

* ) œ "'%! #

4.11 Aplicação ao cálculo da característica de uma matriz

É possível calcular a característica de uma matriz, atendendo à teoria dos determinantes. Comecemos por provar a

Proposição 4.14.

i)

Seja E − Š7ß8 uma matriz não nula, de característica < :

Qualquer submatriz Q extraída de E tem característica inferior ou igual a < .

ii) Toda a matriz quadrada regular extraída de E é de ordem inferior ou igual a < . iii) Existe uma matriz quadrada regular extraída de E e de ordem < . Demonstração:

c

d

i) Sejam 1 Ÿ : Ÿ 7 e 1 Ÿ ; Ÿ 8 e Q œ E 3 "ß 3 #ß á ß 3 :à 4"ß 4#ß á ß 4 ; − Š:ß; uma submatriz de tipo : ‚ ; extraída de E. Considere-se a matriz

c

d

Q w œ E "ß #ß á ß 7à 4 " ß 4# ß á ß 4; − Š7ß;

que é composta pelas ; colunas de E que contribuem para Q (note que Q é submatriz de Q w ); o espaço gerado pelas colunas de Q w é subespaço do espaço gerado pelas colunas de E (ambos subespaços de Š7 ), o que significa que a característica de Q w é inferior ou igual à de E:

a b

c Qw Ÿ < Mas o espaço gerado pelas linhas de Q é subespaço do espaço gerado pelas linhas de Q w (ambos subespaços de Š; ), donde se deduz ser a característica de Q é inferior ou igual à de Q w :

ab a b

c Q Ÿ c Q w

ab

Das duas relações anteriores se conclui o resultado pretendido c Q Ÿ <.

ab a b ab c

ab

ii) Se Q é matriz regular de ordem : extraída de E, teremos c Q œ : e, pela alínea anterior, será : œ c Q Ÿ <, como diz o enunciado.

e f

iii) Como E tem característica < Ÿ min 7,8 , será essa a dimensão do espaço Y § Š7 gerado pela colunas +t4 "Ÿ4Ÿ8 de E. Como se viu na proposição 1.16.vi do capítulo 1, a sequência +t4 "Ÿ4Ÿ8 das colunas de E contém uma base +t4 5 "Ÿ5Ÿ< de Y f ormada por < vectores, em que " Ÿ 4"  4#  â  4 < Ÿ 8 .

d

ˆ ‰

Seja, agora, Q w œ E "ß #ß á ß 7à 4" ß 4# ß á ß 4< − Š7ß< a matriz extraída de E cujas colunas são os vectores da base referida. Es colunas de Q w são linearmente independentes e a

324


a a b b

característica de Q w é igual a <. Isto implica que o subespaço Z § Š< gerado pela sequência das linhas B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 de Q w tem dimensão < e, de novo pela proposição 1.16.vi, B conterá uma base Bt3 5 "Ÿ5Ÿ< de Z formada por < vectores. Desta forma, a matriz

c

Q œ E 3 " ß 3 # ß á ß 3< à 4 " ß 4 # ß á ß 4 <

d

é a matriz quadrada regular de ordem < e extraída de E, cuja existência o enunciado garante.



Observações:

ç Numa matriz E não nula de característica <, todas as submatrizes quadradas regulares têm ordem, quando muito, igual a < : < representa, assim, um majorante das ordens das submatrizes quadradas regulares de E . ç Mas existe uma submatriz quadrada regular de ordem <, o que implica que < é o máximo do conjunto das ordens das submatrizes quadradas regulares de E :

e c

d

< œ max :À E 3" ß 3# ß á ß 3: à 4" ß 4# ß á ß 4: é regular

f

ç Isto significa que submatrizes quadradas extraídas de E e de ordem :  < :

e f e f

– Ou não existem, quando < œ min 7,8 .

– Ou são todas singulares, se <  min 7,8 e em número de

! ŠŠ ‹ Š ‹‹ e f

min 7,8

:œ<"

7 :

‚

8 :

.

ç Em particular, as submatrizes quadradas extraídas de E e de ordem : œ <  " :

e f e f

– Ou não existem, quando < œ min 7,8 .

– Ou são todas singulares, se <  min 7,8 e em número de

ˆ ‰ ˆ ‰ 7 <"

‚

8 <"

.

Vamos, agora, definir a noção de matriz principal extraída de outra e a de matriz orlada, que intervirão na proposição 4.15 que caracterizará as matrizes principais. Definição 4.10. – Matriz principal – Seja E − Š7ß8 uma matriz não nula de tipo 7 ‚ 8 de característica <. Chama-se matriz principal extraída de E a qualquer submatriz

c

e

d

T œ E 3" ß 3# ß á ß 3< à 4" ß 4# ß á ß 4< − Š<ß<

quadrada regular de ordem : œ < extraída de E (observe que, sendo E Á S7ß8 , será <  ! ). As linhas de índices 3" ß 3# ß á ß 3< são chamadas linhas principais de E e as colunas de índices 4" ß 4# ß á ß 4< são colunas principais de E . Por outras palavras, uma matriz principal extraída de E é uma submatriz T quadrada regular de E e de ordem : máxima (igual a < ). Em geral, é possível extrair várias matrizes principais de E .

Sec. 4.11] Aplicação ao cálculo da característica de uma matriz

325

c

d

Seja E − Š7ß8 uma matriz de tipo 7 ‚ 8 e : e ; dois inteiros tais que !  :  7 e !  ;  8 . Seja ainda T œ E 3 "ß 3#ß á ß 3 :à 4"ß 4#ß á ß 4; − Š:ß; uma submatriz de tipo : ‚ ; extraída de E . Chama-se matriz orlada associada a T a toda a matriz Q de tipo :  " ‚ ;  " da forma Definição 4.11. – Matriz orlada –

a b a ce f e c de a c de f

b

fe f e f c de b a b c de f

Q œ E 3!  3 "ß 3# ß áß 3: à 4 !  4 " ß 4# ß áß 4;

fd f

− Š:"ß;"

em que 3! − "ß 7 Ï 3"ß 3#ß á ß 3: e 4! − "ß 8 Ï 4 "ß 4#ß á ß 4; ; isto significa que uma matriz orlada associada a T contém uma linha e uma coluna adicionais extraídas das linhas e colunas de E que não contribuíram para a formação de T . O número de matrizes orladas associadas a T é de 7  : ‚ 8  ; (uma por cada par 3!ß 4! , com 3! − "ß 7 Ï 3" ß 3# ß á ß 3: e 4! − "ß 8 Ï 4 "ß 4#ß á ß 4; ).

a b

Proposição 4.15. – Caracterização das matrizes principais – Seja E − Š 7ß8 uma matriz não nula e T uma matriz quadrada regular extraída de E . A matriz T é principal se e só se

não existem matrizes orladas associadas a T que sejam regulares. Demonstração: Seja < a característica de E e : a ordem da matriz regular

c

T œ E 3" ß 3 #ß á ß 3: à 4 "ß 4# ß á ß 4:

d

extraída de E. Observe-se que a proposição 4.14.ii implica que : Ÿ < . Se a matriz T é principal, então : œ < e, devido à proposição 4.14.ii, não existem matrizes regulares de ordem estritamente superior a : e extraídas de E. Em particular, não existem matrizes orladas (que terão ordem :  "  : ) regulares associadas a T . ç

c

d

Reciprocamente, suponha-se que T œ E 3"ß 3# ß á ß 3: à 4" ß 4# ß á ß 4: − Š:ß: não é principal, isto é, que T é regular e :  <. ç

ab

Sejam +t4 5 "Ÿ5Ÿ: as : colunas de E que contribuem para T e Q − Š7ß: a matriz

c

d

Q œ E "ß #ß á ß 7à 4 " ß 4 # ß á ß 4 : − Š7ß:

que tem por colunas estes vectores. A matriz T é uma matriz regular extraída de Q ; a característica de Q é, portanto, superior ou igual a : e, de facto, é mesmo igual a : , visto que Q tem só : colunas, o que prova que os +t 4 5 "Ÿ5Ÿ: são linearmente independentes. Como :  <, existe um vector-coluna +t4! , com 4! − "ß 8 Ï 4 "ß 4 #ß á ß 4: , tal que

ac b d e ab

+t4! − Š7 Ï P +t4 5

ab ef e

f

"Ÿ5Ÿ:

Pela proposição 1.12, a sequência +t5 5−e4 ! fe4" ß4# ßáß4 :f é ainda linearmente independente e a característica da matriz

c

Q w œ E "ß #ß á ß 7à 4!  4" ß 4# ß á ß 4:

ˆ

‰

fd

− Š7ß:"

que tem por colunas os vectores desta sequência é igual a :  ". Como a matriz T é regular, as w :" : linhas Bt3" ß Bt3# ß á ß Bt3: de Q representadas em T são linearmente independentes em Š (ver observações na pág. 27 do capítulo 1) e, como o espaço gerado pelas 7 linhas de Q w tem dimensão :  ", existe forçosamente um vector-linha de Q w, Bt3! , com

326


c de

f

3! − "ß 7 Ï 3" ß 3# ß á ß 3 : , tal que

ab a b efe fe f e fd

Bt3! − Š:" Ï P Bt35

"Ÿ5Ÿ:

A proposição 1.12 assegura então que a sequência Bt5 5− é ainda linearmente independente. Isto mostra que a matriz

ce f e

3 !  3 " ß3# ßáß3:

Q ww œ E 3!  3 "ß 3# ß á ß 3: à 4 !  4" ß 4# ß á ß 4:

:" f de vectores de Š

− Š:"ß:"

(quadrada de ordem :  "), formada por estes vectores é regular e é uma matriz orlada associada a T , o que completa a demonstração.  Observações:

Do que ficou exposto, se conclui que: ç Se a matriz E − Š7ß8 é nula, a sua característica é igual a ! (não existem matrizes principais extraídas de E).

e f

ç Se a matriz E − Š7ß8 Ï S7ß8 , o que ficou exposto mostra que a característica de E é a ordem de qualquer matriz principal T extraída de E, ou seja, é a ordem : de uma submatriz regular T , para a qual não existam matrizes orladas regulares associadas. ç Quando encontramos uma submatriz Q regular (necessariamente de ordem : Ÿ < ) extraída de E, a vantagem do critério das matrizes orladas é diminuir o número de submatrizes de ordens estritamente superiores a : cuja singularidade deve ser verificada (calculando os

!e fˆˆ ‰ ˆ ‰‰ a b a b

determinantes respectivos). Este número baixa de

min 7,8

7 5

5œ:"

‚

8 5

(total de submatrizes

quadradas de ordens 5  : ) para apenas 7  : ‚ 8  : (total de matrizes orladas associadas a Q ). ç Na secção 4.16, apresenta-se a função

como parte do package ALGA`Determinantes` e que determina a característica de uma matriz, pelo método da matriz principal. No package existem ainda funções para a determinação de um par de filas principais da matriz – função FilasPrincipais – e para determinar uma matriz principal – função MatrizPrincipal. Exemplo 4.47.

Caracteristica

Considere-se a matriz real, de tipo % ‚ &, Eœ

c

ÔÖ ÖÕ

# " " !

" " $ # " % # # ! $ " % " ( " '

d

×Ù ÙØ

e tomemos a submatriz T œ E "ß #à "ß # de ordem : œ # , calculando o seu determinante

ab º º a ba b a ba b

det T œ

# " œ"Á! " "

A matriz T é regular e tem 7  : 8  : œ %  # &  # œ ' matrizes orladas associadas, cujos determinantes são

Sec. 4.12] Aplicação aos sistemas de equações lineares. Regra de Cramer

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

327

âââ âââ

âââ âââ

# " " # " $ # " # # " " # " $ # " # " " % œ " " # œ " " # œ " " % œ " " # œ " " # œ ! " ! $ " ! " " ! % ! " ( ! " " ! " '

Como não existem matrizes orladas regulares associadas a T , podemos concluir que

ab

< œ c E œ : œ # e que T œ

” •

# " é uma matriz principal extraída de E . As duas primeiras " "

linhas e colunas de E são as principais. Exemplo 4.48.

Considere-se a matriz real, de tipo % ‚ $, Eœ

ÔÖ ÖÕ

# " ! $ # " " % " # " !

c â d â a b ââââ a ba ab

×Ù ÙØ

e tomemos a submatriz T œ E "ß #ß $à "ß #ß $ de ordem : œ $ , calculando o seu determinante

ââââ ââ b a ba b Ô Õ

# " ! " œ "' Á ! det T œ $ # " % "

A matriz T é regular e tem 7  : 8  : œ %  $ $  $ œ ! matrizes orladas associadas. Como não existem matrizes orladas regulares (e, neste caso, nem singulares...) associadas a T , podemos concluir que < œ c E œ : œ $ e que T œ

# " ! $ # " " % "

matriz principal extraída de E. As linhas e as colunas principais de E são as 3 primeiras.

× Ø

é uma

4.12 Aplicação aos sistemas de equações lineares. Regra de Cramer

A teoria dos determinantes pode, como vamos ver, ser aplicada ao estudo e resolução dos sistemas de equações lineares. Para tal, comecemos por estabelecer a seguinte

Definição 4.12. – Matrizes características de um sistema linear – sistema linear de 7 equações a 8 incógnitas sobre um corpo Š , < E − Š7ß8 Ï S7ß8 e E w œ E F − Š7ß8" a sua matriz completa.

e f  ‘ c e fe f ab ce f e f

d

Seja E\ œ F um a característica de

Sejam ainda T œ E 3" ß á ß 3< à 4" ß á ß 4< − Š<ß< uma matriz principal extraída de E e o complementar de 3" ß á ß 3< em "ß #ß á ß 7 . W œ "ß #ß á ß 7 Ï 3"ß á ß 3< Chamaremos matriz característica associada a T e relativa à equação 5 a cada uma das 7  < matrizes G5 5−W (de ordem <  " ) da forma

e

d e

f e f fe f

G5 œ E w 3" ß á ß 3<  5 à 4" ß á ß 4< ß 8  " à 5 − "ß #ß á ß 7 Ï 3 "ß á ß 3 <

328


Se < œ 7, é W œ g e não existem matrizes características associadas a T ; o número de matrizes características é de 7  < . O determinante de G5 é chamado determinante característico relativo à equação 5 ; as equações correspondentes aos índices 3" ß á ß 3< das linhas presentes em T são chamadas equações principais do sistema e as incógnitas correspondentes às colunas 4" ß á ß 4< presentes em T são as incógnitas principais , dizendo-se das restantes 8  < incógnitas que são secundárias . Podemos, agora, enunciar uma condição necessária e suficiente, baseada em determinantes, para que um sistema de equações lineares E\ œ F seja possível e que constitui o teorema de Rouchéa11b :

a

ab

Proposição 4.16. – Teorema de Rouché – Seja E\ œ F um sistema linear de 7 equações 8 incógnitas sobre um corpo Š e E Á S7ß8 . Nestas condições e sendo < œ c E , tem-se

!  < Ÿ 7 e são equivalentes as proposições:

i)

O sistema E\ œ F é possível.

ii) Existe uma matriz principal T − Š<ß< extraída de E , tal que são nulos os 7  < determinantes característicos associados a T (ou não existem, se < œ 7 ). iii) Para toda a matriz principal T − Š<ß< extraída de E , são nulos os 7  < determinantes característicos associados a T (ou não existem, se < œ 7 ) . Demonstração:

 ‘ a b ab

ab

ab

Sejam Ew œ E F a matriz ampliada do sistema, < œ c E e = œ c E w . Vimos no capítulo 2 que o sistema é possível sse c Ew œ c E . Portanto, podemos substituir a condição i) pela condição:

a b ab

iw ) c Ew œ c E . Mostremos que iw ) Ê iii): suponhamos que a característica de E é igual à de Ew ; então toda a matriz principal T extraída de E é também matriz principal extraída de Ew, o que significa que todas as matrizes orladas de T em Ew têm determinantes nulos e, em particular, são nulos os determinantes característicos associados a T . ç

iii) Ê ii): como E Á S7ß8 , pela proposição 4.14.iii existe uma matriz principal ç <ß< T − Š de E e, por hipótese, serão nulos todos os determinantes característicos de T . ii) Ê iw ): seja T − Š<ß< uma matriz principal extraída de E e tal que são nulos todos determinantes característicos associados a T e mostremos que T é também matriz principal extraída de Ew . Se for Y − Š<"ß<" uma matriz orlada associada a T em E w, Y está numa de duas situações possíveis: ç

A coluna <  " de Y é extraída de F . Neste caso a matriz orlada Y é uma matriz característica associada a T e é nulo o seu determinante, por hipótese. ç

ç A coluna <  " de Y é extraída de E. Neste caso, Y − Š<"ß<" é uma matriz extraída de E e, como T é principal extraída de E, será nulo o determinante de Y .

11

Rouché, Eugène: matemático francês (Sommières 1832 – Lunel 1910).


329

a b ab

São, portanto, singulares todas as matrizes Y orladas de T em Ew o que implica que T é matriz principal extraída de Ew, ou seja c Ew œ c E , terminando a demonstração.  Os seguintes exemplos ilustram o uso da proposição anterior para estudar a existência de solução dos sistemas lineares.

Exemplo 4.49.

Considere-se o sistema

ÚÝ ÛÝ Ü

Fica Eœ

c

d

ÔÖ ÖÕ

# " " !

#B  C  D  $A œ ! B  C  %D  #A œ " B  $D  A œ " C  (D  A œ#

" " $ " % # ! $ " " ( "

×Ù ÙØ

eFœ

ÔÖ ÖÕ

! " " #

×Ù ÙØ

Tomemos T œ E "ß #à "ß # e calculemos o seu determinante

ab º º a ba âââ âââ âââ âââ

# " œ"Á! " "

det T œ

b

A matriz T tem ordem : œ # e tem 7  : 8  : œ % matrizes orladas associadas, cujos determinantes são

âââ âââ

âââ âââ âââ âââ ab

âââ âââ

Daqui resulta que < œ c E œ : œ # e que a matriz T œ extraída de E.

âââ âââ ” •

âââ âââ

# " " # " $ # " " # " $ " " % œ " " # œ " " % œ " " # œ ! " ! $ " ! " ! " ( ! " " # " " "

é uma matriz principal

No caso presente, existem 7  < œ %  # œ # determinantes característicos (relativos às 2ª e 3ª equações) e valem

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

âââ âââ

# " ! # " ! " " " œ " " " œ! " ! " ! " #

Da proposição 4.16.ii, podemos então concluir que o sistema dado é possível (e indeterminado de grau 8  < œ %  # œ # ). As duas primeiras equações são principais (por dizerem respeito às linhas presentes em T ) e as incógnitas Bß C são também principais (por corresponderem às colunas representadas em T ); Dß A são secundárias.

330 Exemplo 4.50.

Determinantes [Cap. 4 Considere-se o sistema

Ú ÛÜ

Neste caso, tem-se Eœ

c

Ô Õ

#B  $C  #D œ & B  #C  $D œ # %B  C  %D œ "

# $ # " # $ % " %

× Ø

eFœ

d ab ab º º ab ” âââ âââ âââ âââ

Ô× ÕØ & # "

Façamos T œ E "ß #à "ß # e calculemos det T e ainda o determinante da única matriz orlada associada a T (neste caso, trata-se da própria matriz E) det T œ

ab •

# $ œ ( Á ! • det E œ ! " #

Podemos concluir que < œ c E œ # e que T œ

# $ " #

é uma matriz principal extraída

de E. Neste caso, existe apenas um (7  < œ ") determinante característico (relativo à 3ª equação) e vale # $ & " # # œ &' Á ! % " "

Por fim, a proposição 4.16.iii permite concluir que o sistema é impossível. Vamos, agora, usar a teoria dos determinantes para a resolução de sistema de equações lineares. Consideraremos dois casos: No primeiro, vamos considerar apenas sistemas E\ œ F , com E matriz quadrada regular (igual número de equações e de incógnitas e com uma só solução), chamados sistemas de Cramera12b .

ab

No segundo caso, vamos estudar os sistemas E\ œ F , com < œ c E œ 7  8 (número de equações estritamente inferior ao número de incógnitas e indeterminados de grau 8  <). Seja 8  ! um inteiro e considere-se um sistema de 8 equações lineares a 8 incógnitas B" ß B# ß á ß B8 sobre um corpo Š da forma E\ œ F , onde a matriz quadrada E é regular (sistema de Cramer), com colunas +t" ß +t# ß á ß +t8 − Š8 , e t, − Š8 é o vector-coluna F . Nestas condições, o sistema tem uma e uma só solução que é dada por: Proposição 4.17. – Regra de Cramer –

12

Cramer, Gabriel : matemático suíço (Genève 1704 – Bagnols 1752).


B5 œ

Š

det +t" ß +t# ß á +t5" ß t,ß +t5" ß á ß +t8

ab

det E

‹

331

a b 4.87

à 5 œ "ß #ß á ß 8

Demonstração:

ˆ ‘‰ a b

Como E (a matriz simples do sistema) é quadrada e regular, tem-se c E F œ c E œ 8 e o sistema é determinado, existindo uma e uma só solução. Para a determinar, recorramos à forma vectorial do sistema: se B" ß B# ß á ß B8 for a solução, existirá uma e uma só forma de exprimir o vector t, nas colunas +t3 de E:

a

b

" 8

B3+t3 œ ,t

3œ"

Mas a função det é 8-linear alternada e, portanto, para todo o " Ÿ 5 Ÿ 8, será

Š ‹  " ðóóóóóóóóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóóóóóóóóò a b a b ab

det +t" ß +t# ß á +t5" ß t,ß +t5" ß á ß +t8 œ det +t" ß +t# ß á +t5" ß 8

œ

ab

" 8

3œ"

B3 +t3 ß +t5" ß á ß +t8



B3 det +t" ß +t# ß á +t5" ß +t3 ß +t5" ß á ß +t8 œ B5 det E

3œ"

œ$35 det E

Dividindo ambos membros por det E Á !, obtém-se imediatamente o resultado pretendido. 

Observações:

ç A primeira nota que faremos consiste em chamar a atenção para o facto de a regra de

Cramer permitir o cálculo de cada incógnita independentemente das restantes, ao contrário do método de condensação que é um método global que só permite calcular o vector solução na sua totalidade (não é possível calcular uma incógnita apenas).

a

b

ç O cálculo do vector solução B" ß B# ß á ß B8 pela regra de Cramer acarreta o cálculo de 8  " determinantes de ordem 8 (um por cada incógnita e ainda o determinante de E), o que pode ser muito trabalhoso, para valores elevados de 8. Para estes casos, é preferível usar o

método de condensação, reservando o uso da regra de Cramer, para os casos em que se pretendem apenas alguma(s) incógnita(s).

Exemplo 4.51.

Considere-se o sistema de equações lineares

ÚÝ ÛÝ Ü

B  C  #D  A œ # B  #C  #D œ " B  %D  $A œ $ B  $C  D  A œ "

332


Tem-se, usando o método de condensação,

âââ a b ââââ ââ âââ âââ â




âââ âââ ââ

" " # " " " # " " " # " " # # ! ! " ! " ! " ! " det E œ œ œ " ! % $ ! " # # ! ! # " " $ " " ! # " # ! ! " ! " ! œ ! !

" # " " ! " œ ! " ! ! # "

" ! ! !

" " ! !

# " ! " œ " Á ! " ! ! "

âââ âââ ââ

Daqui se conclui que E é quadrada e regular: estamos, pois, perante um sistema de Cramer. Para calcular as incógnitas BßCßDßA, teremos que calcular mais quatro determinantes de 4ª ordem, para as matrizes obtidas de E mediante a substituição das colunas 1 a 4 por F œ # " $ " T .

c

dâ âââ a b âââ ââ âââ a b âââ â

âââ âââ ââ âââ âââ ââ a b

det ?B

# " # " " # # ! œ œ "&à $ ! % $ " $ " "

det ?D

" " # " " # " ! œ œ $à " ! $ $ " $ " "

âââ a b ââââ ââ âââ a b âââ â a


det ?C

" # # " " " # ! œ œ& " $ % $ " " " "

det ?A

" " # # " # # " œ œ # " ! % $ " $ " "

b

A solução do sistema, segundo 4.87 , será o vector "&ß&ß$ß# . Observemos que a determinação da solução envolveu o cálculo de 5 determinantes de 4ª ordem, para os quais tivémos que utilizar um dos métodos gerais de cálculo (por exemplo, 5 condensações). Ora, o método de Gauss-Jordan, permite-nos com uma só condensação determinar a solução! Vamos, agora, abordar o segundo caso mencionado em cima:

ab

Seja E\ œ F um sistema com 7 equações e 8 incógnitas e com < œ c E œ 7 . No capítulo 1, vimos que um tal sistema é sempre possível e a condição c E œ 7 implica 7 Ÿ 8 . O caso < œ 8 é o que foi já tratado na proposição anterior (regra de Cramer). Proposição 4.18. – Regra de Cramer para sistemas indeterminados –

ab

ab

Suponha-se então que 7 œ <  8 e sejam +t 5 5− c"ß8d as colunas de E (que são vectores de Š< ). Neste caso, o sistema é indeterminado de grau 8  < e a solução pode ser calculada do seguinte modo: seja

c

d

T œ E "ß #ß á ß <à 4 " ß á ß 4 < − Š<ß<

(onde " Ÿ 4"  4#  á  4 < Ÿ 8 ) uma submatriz principal de E e +t 4"ß +t 4#ß á ß +t 4< − Š< as < colunas linearmente independentes de T . Introduzindo os 8  < parâmetros escalares arbitrários >5 5− c"ß8d Ïe4 "ßáß4 < f , seja

ab


"d e

t,w œ ,t 

c

5− "ß8 Ï 4" ßáß4 <

f

333

>5 +t 5

A solução geral do sistema será dada por:

ÚÝ ÛÝ Ü

B4 5 œ

Š

w

det +t4" ß +t4# ß á ß +t45" ß t, ß +t45" ß á ß +t4<

a b c de f det T

‹

a b

4.88

à 5 œ "ß #ß á ß <

B5 œ >5 à 5 − "ß 8 Ï 4 " ß á ß 4 <

Demonstração:

c

d

Sendo T œ E "ß #ß á ß <à 4" ß á ß 4< − Š<ß< uma matriz principal de E, isso significa que B4" ß B4# ß á ß B4 < são as incógnitas principais e as restantes 8  < são as secundárias. Introduzamos os 8  < parâmetros escalares >5 œ B5 , para 5 − "ß 8 Ï 4 "ß á ß 4 < e determinemos as soluções do sistema em função desses parâmetros, recorrendo à forma vectorial do sistema: para qualquer solução B" ß B# ß á ß B8 do sistema será:

" <

B4= +t4= 

=œ"

c

"d e

5− "ß8 Ï 4" ßáß4<

a

f

" <

>5 +t5 œ ,t Ê

c de

b

B4= +t4 = œ ,t 

=œ"

"d e

c

f

f

w >5 +t 5 œ ,t

5− "ß8 Ï 4"ßáß4 <

Mas a função det é 8-linear alternada e, portanto, para todo o " Ÿ 5 Ÿ <, será

Š

w det +t4" ß+t4# ßá ß +t45" ß t, ß +t45" ß á ß +t4<

! ‹ Š ‹ ! ðóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóñóóóóó a b óóóóóóóóóóóóóóóò a b ab ab œ det +t4 " ß+t4# ßá ß +t4 5" ß

œ

<

=œ"

<

B4 = +t4 = ß+t4 5" ß á ß +t4 <

B4 = det +t4" ß +t4# ß á ß +t45" ß +t4= ß +t45" ß á ß +t4<

=œ"

œ$=5 det T

œ B4 5 det T

Basta agora dividir ambos membros por det T Á !, para obter o resultado pretendido.



Observações:

a b

ç A equação 4.88 é em tudo semelhante à regra de Cramer, mas agora, para calcular uma incógnita principal, calcula-se o determinante da matriz que resulta de substituir em T a coluna w relativa a essa incógnita principal por t, œ ,t  >5 +t 5 .

c

!d e

5− "ß8 Ï 4" ßáß4 <

f

ç Observemos também que, uma vez que podem existir várias matrizes principais extraídas de E constituídas por diferentes escolhas de <  8 colunas de E , o conjunto das < incógnitas

a

ba

b

a

b

principais é, até certo ponto, arbitrário (num sistema duplamente indeterminado com 5 incógnitas, poderão ser principais as incógnitas B" ß B# ß B$ , B" ß B$ ß B% ou ainda B# ß B$ ß B& , por exemplo).

ç Podemos resolver um sistema E\ œ F de 7 equações a 8 incógnitas, segundo o seguinte

procedimento:

334


Determinamos uma matriz principal T extraída de E, o que conduz à característica < de E, que será a ordem de T . Para a procura de T socorremo-nos da proposição 4.15. – Se < œ 7 œ 8 , o sistema é determinado (sistema de Cramer) e resolve-se pela regra de Cramer da proposição 4.17. – Se < œ 7  8, o sistema é indeterminado de grau 8  < e resolve-se, pela regra de Cramer da proposição 4.18. – Se <  7, então calculamos os 7  < determinantes característicos associados a T . Se algum for Á !, o sistema é impossível (teorema de Rouché); se todos são nulos, então o sistema é possível (de novo, o teorema de Rouché) e é equivalente ao sistema de < equações a 8 incógnitas formado pelas equações principais (as equações correspondentes às linhas principais de E: as linhas das quais se extraiu T ). Este sistema está numa situações anteriores e resolve-se pela regra de Cramer da proposição 4.17, se < œ 8; ou pela regra de Cramer da proposição 4.18, se <  8. O seguinte esquema resume a discussão anterior, em que < é a ordem de uma matriz principal T extraída de E (igual à característica de E):

ÚÝÝ Ý ÛÝ ÝÝ Ü

< œ 7 Ê sistª possível (! determinantes característicos)

<7Ê

œ Ú ÛÜ

< œ 8 Ê detº (prop. 4.17) <  8 Ê indetº de grau 8  < (prop. 4.18)

7< determinantes característicos

Algum é Á ! Ê sistª impossível < equações < œ 8 Ê detº (prop. 4.17) Todos nulos Ê principais <  8 Ê indetº de grau 8  < (prop. 4.18)

œ

ç O package ALGA`Determinantes` contém a função

que implementa o método anterior para resolver qualquer sistema linear (ou constatar a inexistência de solução).

Exemplo 4.52.

Cramer

Vejamos o sistema

Ú ÛÜ

Tem-se Eœ

Ô Õ

#B  #C  D  $@  A œ " B  #C  %D  $A œ% $B  #D  &@  A œ "

# # " $ " " # % ! $ $ ! # & "

× Ø

eFœ

Ô × Õ Ø " % "

A matriz

c

Ô d Õ

T œ E "ß #ß $à "ß $ß % œ

ab

B D @ # " $ " % ! $ # &

× Ø

é tal que det T œ & Á ! e seja : œ $ a sua ordem (e característica). Não existem matrizes


335

a ba b

orladas associadas a T ( 7  : 8  : œ ! ); deste modo, T é uma matriz principal de E e < œ : œ 7 œ $  8 , sendo o sistema possível e duplamente indeterminado (8  < œ &  $ ). As incógnitas principais são Bß D e @ (cujas colunas contribuíram para a formação de T ); C e A são secundárias. Pela proposição 4.18, para determinar a solução geral do sistema, calculamos os 3 determinantes seguintes introduzindo os parâmetros reais arbitrários + e ,, com + œ C e , œ A,

ââ â a b âââ ââ â a b âââ ââ â a b âââ

ââââ ââ ââââ ââ ââââ ââ a b a b b a ba b b a b a b b a b a b c d

det ?B

"  #+  , " $ ! œ #)  $)+  &, œ %  #+  $, % "  , # &

det ?D

# "  #+  , œ " %  #+  $, $ "  ,

det ?@

# " "  #+  , % %  #+  $, œ "$  ")+ œ " $ # "  ,

$ ! œ "#  "#+  &, &

A solução geral do sistema será então, para qualquer +w ß ,w œ

a

b Œa a a

" &

+ß , − ‘# ,

" " " #)  $)+  &, ß +ß "#  "#+  &, ß "$  ")+ ß , & & & " " " œ #)ß !ß "#ß "$ß !  + $)ß &ß "#ß ")ß !  ,  &ß !ß &ß !ß & & & & " œ #)ß !ß "#ß "$ß !  + w $)ß &ß "#ß ")ß !  , w  &ß !ß &ß !ß & &

Bß Cß Dß @ß A œ

Se escolhessemos outra matriz principal (por exemplo T w œ E "ß #ß $à "ß #ß $ , em que det T w œ ") Á ! ), chegaríamos a uma solução, com Bß C e D como incógnitas principais e em função de +ß , − ‘# onde + œ @ e , œ A.

aba b

Exemplo 4.53.

Considere-se o sistema

Ú ÛÜ

Tem-se Eœ

Ô Õ

B  $C  $D œ " B  "!C  "!D œ " #B  C  D œ#

" $ $ " "! "! # " "

× Ø

eFœ

Ô× ÕØ " " #

A matriz

ab

B C " $ T œ E "ß #à "ß # œ " "!

c

d ” •

a ba b

é tal que det T œ ( Á ! e seja : a sua ordem. Existe uma só matriz ( 7  : 8  : œ " )

336


orlada singular associada a T e extraída de E, que é a própria matriz E:

ââ â a b âââ

ââââ ââ

" $ $ det E œ " "! "! œ ! # " "

Deste modo, T é uma matriz principal de E e < œ : œ #  7 œ $ . Para verificar se o sistema é possível, vamos calcular o único (7  < œ ") determinante característico associado a T (relativo à 3ª equação)

âââ âââ

âââ âââ

" $ " G$ œ " "! " œ ! # " #

Como o único determinante característico é nulo, o sistema é possível e simplesmente indeterminado (8  < œ $  #) sendo equivalente ao seguinte sistema formado pelas 2 equações principais (a 1ª e a 2ª, cujos coeficientes contribuíram para T ):

œ

B  $C  $D œ " B  "!C  "!D œ "

As incógnitas principais são B e C (cujas colunas contribuíram para a formação de T ); D é secundária. Pela proposição 4.18, para determinar a solução geral do sistema, calculamos os 2 determinantes seguintes introduzindo o parâmetro real arbitrário +, com + œ D ,

a a

b º b º

det ?C

º

"  $+ $ œ( "  "!+ "! " "  $+ œ œ (+ " "  "!+

det ?B œ

º

O vector solução geral do sistema será então, para qualquer + − ‘ ,

a b Œ Bß Cß D œ

( (+ ß ß+ ( (

 a b a b a b

œ "ß +ß + œ "ß !ß !  + !ß "ß " à + − ‘

Vamos terminar esta secção, enunciando uma importante proposição relativa a sistemas homogéneos e que resulta do que vimos no capítulo 2 Seja 8 um inteiro  ! e E − Š8ß8 uma matriz de ordem 8 sobre Š . O sistema homogéneo E\ œ S , de 8 equações a 8 incógnitas, tem solução \ não trivial (isto é, \ Á S ) se e só se det E œ !. Proposição 4.19.

ab

Demonstração: Um sistema homogéneo tem sempre a solução trivial \ œ S e dizer que tem solução não trivial equivale a dizer que é indeterminado. Como vimos na capítulo 2, isto acontece sse a característica < da matriz E é estritamente inferior a 8; por sua vez, esta condição equivale a det E œ !. 

ab

O seguinte corolário mostra uma consequência desta proposição que nos dá uma condição suficiente (mas não necessária) para que uma lista de funções seja linearmente independente:

Sec. 4.12] Aplicação aos sistemas de equações lineares. Regra de Cramer Corolário 4.19.1. Seja M § ‘ um ‘ ou ‚. Consideremos, no espaço

337

intervalo aberto, 7 um inteiro positivo e Š um dos corpos vectorial C7" Mß Š sobre o corpo Š constituído pelas funções (reais ou complexas) 7  " vezes continuamente diferenciáveis em M , a lista de funções

a

a b b aa bb ab a ba b

0 œ 0" ß 0 # ß á ß 0 7 .

Se o determinante

âââ â a b ââââ ââ a

aa bb aa bb ab ab ba b a ba b a b

0" B 0"w B 0"ww B ã

[0 B œ

0"

7"

0# B 0#w B 0#ww B ã

B

0#

7"

B

0$ B 0$w B 0$ww B ã 7" 0$ B

aa bb ââââ a b ââââ a b ââ

â 07 B w â 07 B ww â 07 B ä ã a7"b B â 07

chamado wronskianoa13b de 0" ß 0# ß á ß 07 não for identicamente nulo em M , então a sequência 0 é linearmente independente. Demonstração:

ab

Mostraremos que, se 0 é linearmente dependente, então [0 B œ !, para todo o B − M : a dependência linear da sequência 0 equivale à existência de escalares 5" ß 5# ß á ß 57 − Š não todos nulos tais que, para todo o B − M ,

! ab 7

3œ"

53 03 B œ !.

Como as funções 03 são 7  " vezes diferenciáveis em M , derivando sucessivamente até à ordem 7  ", obtém-se, para qualquer B − M :

ÚÝÝ ! a b ÝÝÝ ! Ý ab ÛÝÝ ! a b ÝÝÝ ÝÜ ! a ba b 7

3œ" 7 3œ" 7 3œ"

5 3 03 B œ !

53 03w B œ !

53 03ww B œ !

â 7

3œ"

13

5 3 03

7"

B œ!

Em homenagem a Wrónski, Józef Maria Hoëné: matemático e filósofo polaco (Wolsztyn 1778 – Neuilly 1853).

338


a

b

Para cada B − M , obtivémos assim um sistema de 7 equações lineares homogéneas nas 7 incógnitas 53 , com solução 5" ß 5# ß á ß 57 não nula. O resultado é agora consequência imediata da proposição 4.19. 

a

b

A sequência de funções 0 œ Bß sinBß cosB é linearmente independente, pois o respectivo wronskiano não é identicamente nulo em M œ ‘: Exemplo 4.54.

ââ â a b âââ

ââââ ââ

cosB B sinB [0 B œ " cosB sinB œ B ! sinB cosB Exemplo 4.55.

Seja =  !. A sequência 0 de funções complexas definidas para > − ‘ por

a

0 œ /3#=> ß /3=> ß "ß /3=> ß /3#=>

b

é também linearmente independente, porque, como veremos, o seu wronskiano é negativo (e, neste caso, independente do argumento >):

âââ â a b ââââ ââ

/3#=> /3=> 3#=/3#=> 3=/3=> [0 > œ % =# /3#=>  =#/3=> 3)=$ /3#=> 3=$ /3=> "'=% /3#=> =% /3=> " " " " # " ! " "! œ = % " ! " ) " ! " "' " ! "


œ %="!

ab

âââ âââ ââ

" /3=> ! 3 =/ 3=> !  =#/ 3 => ! 3=$ /3=> ! =% /3 => " # % ) "'

âââ âââ ââ


" " " " # " " # œ %="! % " " % ) " " )

[0 > œ % ="!

Î ââââ Ï ââ a b ab

âââ âââ b

âââ âââ

âââ âââ ââ

/3# => 3# =/ 3# => % =#/ 3# => 3) =$/3#=> "' =%/3# =>

! " " " % " " # ! " " % "' " " )

" " " " " " % " " %  "' " " # " " ) " " %

œ %="! % ‚ '  "' ‚ ' œ  288="!  !

a

Exempo 4.56. Note-se


âââÑ âââÒ

âââ âââ ââ

que a recíproca do corolário 4.19.1 não é verdadeira: o facto de o wronskiano de 0 œ 0"ß 0#ß á ß 07 ser identicamente nulo em M não implica que 0 seja linearmente dependente em M , como mostramos no exemplo seguinte: sejam 0" ß 0# À ‘ Ä ‘ as funções definidas por

ab kk

0" B œ B # e 0 # B œ B B

e cujos gráficos se mostram na figura 4.11, juntamente com as derivadas de primeira ordem.

Sec. 4.12] Matriz adjunta e inversão de matrizes quadradas 1.0

339

1.0

f 2

f 1 0.5

0.5

0.0

0.0 -1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

2.0 -0.5

f

´

1

1.5 -1.0 -1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.0

0.5

0.0

2.0

f

´

2

-0.5

1.5

-1.0

1.0

-1.5

0.5

-2.0 -1.0

0.0 -0.5

0.0

0.5

1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Fig. 4.11 – Gráficos de 0" , 0# , 0"w e 0#w .

a b

As funções 0" ß 0# − C" ‘ß ‘ e tem-se, para todo o B − ‘,

ab ab kk kk a b a b a b k k k k a k kb a b a b º aa bb aa bb º º k kk k º k k k k ab ab ab 0"w B œ #B e 0 #w B œ # B

Observemos que a expressão # B para a derivada de 0# é válida no ponto B œ !, visto que a derivada de 0 # na origem é 0# B  0 # ! BB œ lim œ lim B œ ! œ # B BÄ! BÄ! B BÄ BÄ! B

0#w ! œ lim

Bœ!

O wronskiano de 0 œ 0"ß 0# é, para qualquer B − ‘, 0 B [0 B œ "w 0" B

0# B 0#w B

B# œ #B

BB œ # B B#  # B B # œ ! #B

Assim, [0 B é identicamente nulo em ‘, mas 0 é linearmente independente em ‘, como se prova facilmente a seguir: se -" ß -# são reais tais que a -" 0 " B  - # 0 # B œ ! ,

B−‘

340


teremos, fazendo B œ " e B œ " respectivamente,

œ

-"  - # œ ! -"  - # œ !

A única solução do sistema homogéneo anterior é -" œ -# œ !, o que prova que 0 é linearmente independente, mostrando, assim, que a recíproca do corolário 4.19.1 não é verdadeira: quando [0 B œ ! no intervalo aberto M , 0 pode ser ou não linearmente dependente. dependente. Todavia, demonstra-se que:

ab

a

b

Seja Š o corpo ‘ ou ‚, M § ‘ um intervalo aberto e 0 œ 0" ß 0#ß á ß 07 uma lista de funções de M em Š pertencentes a C7" M ß Š . Se o wronskiano wrons kiano de d e 0 é identicamente identi camente nulo n ulo em M , então existe pelo menos um subintervalo aberto N § M tal que a lista das restrições das funções 03 ao intervalo N é linearmente dependente. dependente.

a b

a b

Por exemplo, no caso das funções 0" ß 0 # apresentado neste exemplo, as suas restrições ao intervalo ‘ (e também ao intervalo ‘) são linearmente dependentes, o que é óbvio.

a

b

A sequência de funções 0 œ cos# Bß sin# Bß " é linearmente dependente, visto que cos# B  sin# B  " œ ! . Portanto, pelo corolário 4.19.1, o wronskiano de 0 deverá ser nulo, para todo o B − ‘ e, de facto, assim é: Exemplo 4.57.

ââ â a b âââ

ââââ ââ

cos# B sin# B " sin#B ! œ # sin#B cos#B  # sin#B cos#B œ ! [0 B œ sin#B #cos#B # cos#B !

4.13 Matriz adjunta e inversão de matrizes quadradas

O teorema de Laplace restrito tem aplicação no cálculo da inversa de uma matriz quadrada regular. Para analisarmos esta questão, devemos definir a noção de matriz adjunta de uma matriz quadrada (regular ou não).

c d

Definição 4.13. – Matriz adjunta – Seja E œ +34 − Š8ß8 uma matriz de ordem 8  " . A matriz Es − Š8ß8 cujos elementos são os cofactores dos +34 é chamada matriz complementar da matriz E. A transposta de Es chama-se matriz adjunta de E e designa-se por adj E − Š8ß8 :

c a bd a b ˆ ‰ c d ab ab

s œ cof +34 à adj E œ E s E

ab

T

a b 4. 8 9

c d

Daqui resulta que a relação entre os elementos de F œ ,34 œ adj E e de E œ +34 é: ,34 œ cof +43 à " Ÿ 3 Ÿ 8 • " Ÿ 4 Ÿ 8

Proposição 4.20.

i)

s ET œ E

4.90

Seja E œ +34 − Š8ß8 uma matriz de ordem 8  " . Então:

ˆ ‰ ˆ‰ a b a a bb s

c d

a b

T

ii) adj ET œ adj E

T

a b a b 4.91

4.92

Sec. 4.13] Matriz adjunta e inversão de matrizes quadradas

341

Demonstração: i) Para provar a primeira igualdade, determinemos o elemento da linha 3 e coluna 4 de ambos os membros e verifiquemos que são iguais:

ˆˆ ‰‰ ˆˆ ‰ ‰ a ˆ ‰ Šˆ s

ET s E

ˆˆ ‰ ‰ a b ˆ‰ a b b ‰‹ Šˆ ‰ ‹ a a bb

34

œ cof ET

34

s œ E

T

43

cof +43 œ

34

œ cof +43

ii) Basta fazer uso da igualdade igualdade 4.91 e da definição definição de adjunta: adjunta: adj E

T

œ

s

E

T

T

œ

s E

T T

œ adj E

T



O teorema de Laplace restrito vai implicar uma importante propriedade da matriz adjunta, com base na qual é depois imediato o cálculo da inversa de uma matriz regular E.

ab

Proposição 4.21. – Propriedade fundamental da adjunta –

matriz de ordem 8  " e adj E a sua matriz adjunta. Então: i)

c d

Seja E œ +34 − Š8ß8 uma

E e a sua matriz adjunta são permutáveis e o seu produto é uma matriz escalar

ab

ab ab

a b

ab

a b

ab ab

a b

adj E E œ Eadj E œ det E M8 ii) Se E é singular, fica

ab

adj E E œ Eadj E œ S8

4. 9 3

4. 9 4

iii) Se E é regular, a inversa de E vem dada por E" œ

" adj E det E

4. 9 5

Esta igualdade mostra que o elemento -34 da linha 3 e da coluna 4 da matriz G œ E " inversa de E se calcula por: -34 œ

Demonstração: i)

ab

aa bb

cof +43 à " Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 det E

ab

a b 4.96

A igualdade matricial adj E E œ det E M8 equivale às 8# igualdades escalares

" a b 8

ab

+5 4 cof +5 3 œ $ 34 d et E à " Ÿ 3ß 4 Ÿ 8

5œ"

ab 1

342


ab ab " a b ab ab ab " a b ì ab ab

e a igualdade matricial Eadj E œ det E M8 equivale às 8# igualdades escalares

ab

8

+35 cof +45 œ $ 34 d et E à " Ÿ 3ß 4 Ÿ 8

2

5œ"

Provem Provemos os as igualda igualdades des 1 : ç

Se 4 œ 3, então então 1 transfo transforma rma-se -se em 8

+5 3 cof +5 3 œ $ 33 det E œ det E à " Ÿ 3 Ÿ 8

5œ"

œ"

o que constitui exactamente o desenvolvimento pelo teorema de Laplace restrito de determinante de E pela coluna 3. Se 4 Á 3, sejam +t " ß +t# ß á ß +t8 os vectores-coluna de E e consideremos a matriz ç w obtida de E substituindo nesta a coluna 3 pela coluna 4 E œ +34 w

c d

c

Ew œ +t" ß +t# ß á ß +t4 ß á ß +t4 ß á ß +t8

d

Observemos que os cofactores dos elementos da coluna 3 de Ew são iguais aos da mesma coluna de E (visto que os citados cofactores não dependem dos elementos da coluna 3 e que os w restantes elementos de Ew são iguais aos de E). Isto permite concluir que os elementos +53 da w coluna 3 de E satisfazem as igualdades: w +53 œ +54 à " Ÿ 5 Ÿ 8, w cof +53 œ cof + 53

a b a b ab a ab " a b " ab ab a a b ˆ a a b b ‰ ˆ a a bb ˆ ˆ ‰‰ ˆ ‰ a b ab ab a b ab a Š a b a b‹ Š a b

Como det é uma forma alternada será det Ew œ ! (colunas 3 e 4 de E w iguais, por construção). Usando o teorema de Laplace restrito para calcular det Ew (que é nulo!) segundo a coluna 3, obtém-se 8

b

a b

8

w

+5w 3 cof

! œ det E œ

+5w 3

œ

5 œ"

+5 4 cof +5 3 à 4 Á 3

5 œ"

a b a b b ‰ ˆˆ ‰ ‰ ab ab a b b ab a b‹

o que termina a demonstração para 4 Á 3. Provámos, assim, a igualdade adj E E œ det E M8 e, para provar Eadj E œ det E M8 , basta atender a 4.92 e aplicar aplicar a igualdade igualdade que ora T demonstrámos à matriz E : Eadj E œ

E adj E

T T

œ det ET M8

T

œ

adj E

T

ET

T

œ adj E T E T

T

œ det ET M8T œ det E M 8

Também seria possível provar a igualdade Eadj E œ det E M8 provando directamente as igualdades igualdades 2 , por meio de raciocínio raciocínio semelha semelhante nte ao que usámos, mas mas aplicado aplicado a uma linha linha de de E. ii) Se E é singular, será será det E œ ! e 4.94 resultar resultaráá imediat imediatame amente nte de 4.93 4.93 . iii) Se E é regular, será det E Á ! e multiplicando multiplicando 4.93 por " " adj E E œ E adj E det E det E

"

det E

œ M8

, obtém-se obtém-se

Sec. 4.13] Matriz adjunta e inversão de matrizes quadradas e estas igualdades mostram que a matriz E" œ

343

ab ab ab ab a b "

a b adj E é a inversa de E

det E

" adj E à det E Á ! det E

a b

a b

que é a igualda igualdade de 4.95 4.95 desejada desejada.. Quanto Quanto a 4.96 é obviame obviamente nte equival equivalent entee a 4.95 .



Observações:

ç Podemos resumir a propriedade fundamental da matriz adjunta dizendo que:

– É nula a soma dos produtos dos elementos de uma fila de um determinante pelos cofactores dos elementos correspondentes de qualquer outra fila paralela. – É igual ao determinante da matriz a soma dos produtos dos elementos de uma sua fila pelos seus próprios cofactores (teorema de Laplace restrito).

a b

Comparando 4.95 com o método método de condensação condensação do capítulo capítulo 2, mais uma vez se verific verificaa ç Comparando

a b

que o método de condensação é global, isto é, não é possível calcular por condensação apenas um elemento elemento da matriz inversa inversa enquanto enquanto que 4.96 nos dá qualquer qualquer elemen elemento to da inversa inversa sem calcularmos os restantes.

a b

implica o cálculo de 8# determinantes determinantes de ordem 8  " (para o cálculo cálculo da ç A fórmula 4.95 implica adjunta) e ainda um determinante de ordem 8 o que mostra que, para valores de 8  $, o método de condensação é muito menos trabalhoso. ç O package ALGA`Determ ALGA`Determinante inantes` s` , exposto na secção 4.16, implementa as funções

e MatrizInver MatrizInversa sa para calcular a adjunta e a inversa de uma matriz quadrada, usando a matriz adjunta.

Adj

Exemplo 4.58. Consideremos a matriz

Eœ

O determinante de E é

Ô Õ

" $ # # " " % $ # # "

× Ø

ab

det E œ $* Á ! A matriz é regular e, para calcular a inversa, determinemos a adjunta

Ô ˆ ‰ ab Õ

adj E œ Es

a b

Por fim, fim, 4.95 dá a inversa inversa E"

T

œ

( "! " " ( "" "" "! ) (

× Ô Ø Õ

Ô a b ab Õ

" " œ adj E œ det E $*

T

œ

( " "! "! ( ) " "" (

( " "! "! (  ) " "" (

× Ø

× Ø

344


Podemos verificar a propriedade fundamental da matriz adjunta

Ô ab Õ a b ÕÔ

adj E E œ Eadj E œ

( " "! ( " "" " $ # " $ # #

×Ô ØÕ ×Ô ØÕ

"! ) ( # % "

" $ # # " % $ # " ( " "! "! ( ) ) " "" "" ( (

× Ø × Ø

œ

œ

Ô Õ Ô Õ

$* ! ! ! $* ! ! ! $* $* ! ! ! $* ! ! ! $*

Exemplo 4.59. Consideremos a matriz

Eœ

ÔÖ ÖÖÖ Õ

& " ! " ! " " # ! ! # $ " " !

# $ # " $ " # ! " !

× Ø × Ø

Ô Õ Ô Õ

" œ $* ! ! " œ $* ! !

! " ! ! " !

! ! " ! ! "

× Ø × Ø

×Ù ÙÙÙ Ø

O determinante de E pode ser calculado pelo método misto: primeiro, condensamos a 3ª coluna (a fila da matriz que contém mais zeros) com " como pivot; de seguida, desenvolvemos pelo teorema de Laplace restrito segundo essa coluna:

ââââ a b ââââ ââ

ââââ âââ âââ



& " " ! # $ & " " ! # $ " ! " # " " ! " # " ! $ " œ " # ! $ " œ  det E œ " # ! # $ $ # ! $ # ! ) $ " " " ! " ! " " " ! " !

âââ âââ ââ

& " " # $ # " "

# $ $ " ) $ " !

âââ âââ ââ

Neste último determinante, condensemos, agora, a 4ª linha com o seu primeiro elemento 1 como pivot e apliquemos o teorema de Laplace restrito a essa linha, seguido da regra de Sarrus:

âââ a b ââââ â

& " det E œ  $ "

ââââ âââ â

âââ âââ

âââ âââ

% $ $ % $ $ $ " % " " œ "$( Á ! œ " % & & $ & & $ ! ! !

O resultado mostra que E é matriz regular; determinemos apenas o elemento -#$ da linha 2 e coluna 3 da inversa E" : -#$ œ œ

aa bb

cof +$# ' ' œ œ det E "$( "$(

Sec. 4.14] Fórmula de Cauchy

3 45

a b âââ âââ âââ âââ âââ a b a b a a bb ââââ ââ ââ â âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ âââ º º

Em que que usá usámo moss o méto método do mist mistoo par paraa cal calcu cullar cof cof +$# : cof +$# œ "

$#

det E $à #

& ! " " œ ! $ " !

# $ # " œ # ! " !

) $ " " ! $ " !

) ! # " # ! " !

) $ ) ) $ ! $ ! œ ! $ # œ ! $ # œ œ' $ # " ! " " ! !

âââ âââ ââ

4.14 Fórmula de Cauchy

O teorema teorema de Lapla Laplace ce restr restrito ito vai vai permi permitir tir a deduçã deduçãoo de uma uma fórmul fórmulaa devida devida a Cauch Cauchyya14b e que permite exprimir um determinante de ordem 8 num determinante de ordem 8  " e em 8  " # determinantes de ordem 8  #. É o que faremos na demonstração da

a b

Seja 8  # um inteiro e E − Š 8ß8 uma matriz quadrada de ordem 8 e fragmentemos E antes da última linha e da última coluna: Proposição 4.22. – Fórmula de Cauchy –

Eœ

”

Ew P

G +88

•

Então, o determinante determinan te de E é dado por:

ab

a a bb " a b a a b b 8"

det E œ +88 det E 8à 8  ou ainda:

"

34

det E w 3à 4 + 38+ 84

3ß4œ"

ab

ab

ab

det E œ +88 det Ew  P adj E w G

a b 4.97

a b 4. 9 8

Demonstração: Comecemos por desenvolver o determinante de E pela coluna 8, usando o teorema de Laplace restrito e separemos a parcela contendo +88 :

a b a a bb " a b a a b b a a bb a b a b 8"

det E œ +88 det E 8à 8 

+ 38 " "

38

det E 3à 8

3œ"

ab 1

As 8  " matrizes E 3à 8 "Ÿ3Ÿ8" , de ordem 8  ", contêm os elementos + 84 "Ÿ4Ÿ8" da linha 8 de E e que constituem sempre a linha 8  " dos E 3à 8 .

14

Cauchy, Augustin Louis : matemático francês (Paris 1789 – Sceaux 1857).

346


Aplicando agora o teorema de Laplace restrito à linha 8  " (a última) de cada uma dessas matrizes E 3à 8 e observando que E 3ß 8à 4ß 8 œ Ew 3à 4 , temos, para todo o " Ÿ 3 Ÿ 8  " :

a b a b a a bb " a b a a ab ab a b a a bb " a b a a bb " a b a a bb " a b a b a b a b a a bb a b a a bb‘ a b a b 8"

det E 3à 8 œ

8"4

+84 "

a b bb " a b 8"

det E 3ß 8à 4ß 8 œ

4 œ"

+84 "

8"4 det

4œ "

a a bb a b E w 3à 4

2

Substituindo Substituindo 2 em 1 , obtém-se obtém-se a primeira primeira das igualdades igualdades desejadas desejadas 8"

det E œ +88 det E 8à 8 

+ 38 "

3œ "

8"

œ +88 det E 8à 8 

"

34#8"

"

34

3ß4œ" 8"

œ +88 det E 8à 8 

" a b a a bb a a bb

38

8 "

+ 84 "

8"4

4œ"

det E w 3à 4 + 38+ 84

det E w 3à 4 + 38+ 84

3ß4œ"

a a bb

det E w 3à 4

Quanto Quanto a 4.98 , observe observemos mos que: ç ç

Ew œ E 8à 8 . "

34

matriz Ew Þ ç ç

det E w 3à 4 é o cofactor de +34 em relação à matriz E w e, consequentemente, a "

34

det E 3à 4 w

"Ÿ3ß4Ÿ8"

s w

, de ordem 8  #, é a matriz E complementar de

+38 "Ÿ3Ÿ8" constitui a coluna G . +84 "Ÿ4Ÿ8" constitui a linha P.

Deste modo, fica

ab

ab Š ab ab ˆ‰ ab w

s

w

w

‹ ab

s w

det E œ +88 det E  G E P œ + 88 det E  G E PT w

T

T

s w T

œ +88 det E  P E

T

T

G œ + 88 det E w  P adj E w G




Observações:

ç A fórmula de Cauchy permite reduzir o cálculo de um determinante de ordem 8 ao cálculo de um determinante de ordem 8  " (o determinante de E w ) e de mais 8  " # determinantes de ordem 8  # (no cálculo de adj E w ).

ab

a b

Sec. 4.14] Fórmula de Cauchy

347

ç Podemos calcular o número de termos na fórmula de Cauchy, para o que se indicam os

números de parcelas de cada subexpressão naquela fórmula: Expressão

a a bb ! a b a a bb a b a ba b

+88 det E 8à 8

nº de parcelas

8"

"

3ß4œ"

8" x

34

ab

det E w 3à 4 +38+ 84 det E

8"

#

8# x

8x

O total de parcelas é:

a b a b a b a b a ba b a b a b a b ab ab a b a b ab a b a b a b a ba b a bº ac bb a d º a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a a bb c b a a b b a d b a b a b c b a a bb a d a b a b a b a b a b c b a a bb a d a b a b a b 8 " x 8"

#

8  # x œ 8  " x  8  " 8  " x œ 8  " x "  8  " œ 8x

Reencontrámos, assim, o número de parcelas de 4.64 , como era de esperar.

ç Quando houver um elemento nulo no determinante de E podemos, por duas operações elementares de tipo 1, levá-lo à posição de +88 o que fará com que a primeira parcela da fórmula de Cauchy se anule, poupando o cálculo de det Ew . ç Quando a matriz E for simétrica, é P œ G T e a fórmula de Cauchy transforma-se em

det E œ +88 det Ew  G T adj E w G

A segunda parcela da expressão no 2º membro da igualdade anterior é uma forma quadrática em G , com matriz igual a adj Ew .

ç A fórmula de Cauchy é susceptível de uma generalização que consiste em usar uma linha 3 e uma coluna 4 quaisquer da matriz E para aplicar o teorema de Laplace restrito. Fixemos um par 3ß 4 "Ÿ3ß4Ÿ8 : trocando sucessivamente a linha 3 com cada uma das seguintes (8  3 trocas) e a coluna 4 com cada uma das seguintes (8  4 trocas), levamos o elemento +34 a ocupar a posição 8ß 8 mantendo a ordem das linhas de índices < Á 3 e das restantes colunas de índices = Á 4; assim, devido à anti-simetria, fica

det E œ  "

E 3à 4 E 3à 4

83  84

E 3à 4 +34

Aplicando agora a fórmula de Cauchy 4.98 ao determinante anterior e observando que " 83  84 œ " #8 34 œ " #8 ‚ " # 34 ‚ "  34 œ " 34 , vem det E œ " 34 +34 det E 3à 4  E 3à 4 adj E 3à 4 E 3à 4 œ +34 cof +34  " 34 E 3à 4 adj E 3à 4 E 3à 4

Obtivemos, portanto, uma forma mais geral da fórmula de Cauchy 4.98 , válida agora para quaisquer " Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 e da qual 4.98 é um caso particular (com 3 œ 4 œ 8 ): det E œ +34 cof +34  "

34

E 3à 4 adj E 3à 4 E 3à 4

4.98.1

ç O package ALGA`Determinantes` fornece as implementações 4.98 e 4.98.1 da

fórmula de Cauchy nas funções denominadas Cauchy (ver secção 4.16).

348


Exemplo 4.60.

Calculemos de novo o determinante do exemplo 4.42

âââ âââ a b âââ âââ

det E œ

" # % $ $ ! # & %

"

! " # "

# # % !

$ # " $

"

#

!


ab

usando, desta vez, a fórmula de Cauchy e começando por calcular adj Ew

Ô Ö a b ˆ ‰ ÕÖ âââ a b ââââ â c s w T

adj Ew œ E

œ

&# ' #) ") "# ' % $!

(% (' $% % &% "# &! #)

A fórmula de Cauchy dá, finalmente,

âââ âââ c ââ

"

# % $ det E œ ! ! $ # &

Ù×Ù Ø

T

œ

ÖÔÖ Õ

&# #) ' ") (% $% (' %

"# % ' $! &% &! "# #)

ÔÖ dÖ Õ

! # &# #) "# % " # ' ") ' $!  % " " # # % (% $% &% &! " ! (' % "# #) $ # œ  %%! "!% (# "&# œ "'%! " $

ÔÖ ×Ù dÖ Ù ÕØ

Ù×Ù Ø

×ÔÙÖ ×Ù ÙÖ Ù ØÕ Ø $ # " $

4.15 Derivada de um determinante

Se os elementos de uma matriz real quadrada forem funções reais (respectivamente, complexas) de uma variável real, o determinante dessa matriz será uma função real (respectivamente, complexa) da mesma variável. Vamos, nesta secção, estudar a diferenciabilidade desta função, supondo a diferenciabilidade das funções elementos da matriz.

ab a b a a b a b a b a bb a b " ˆ a b a b a b a b‰

ab a b

Proposição 4.23. – Derivada de um determinante – Seja M § ‘ um intervalo aberto em ‘ , 8  " um número inteiro e Š œ ‘ ou Š œ ‚ . Seja ainda +t 4 "Ÿ4Ÿ8À M Ä Š8à B È +t 4 B uma

família de 8 funções vectoriais definidas em M e com valores em Š8 diferenciáveis num ponto B! − M . Nestas condições, a função ?À M Ä Š definida por ? B œ

det +t" B ß +t# B ß áß +t4 B ß áß +t8 B

4.99

é diferenciável em B! e tem-se

8

w

det +t" B! ß +t# B! ß á ß +t w4 B! ß á ß +t8 B !

? B! œ

4œ"

a b 4.100

Sec. 4.15] Derivada de um determinante

349

Demonstração: Seja Š um dos corpos ‘ ou ‚ e, antes de mais, observe-se que dizer que as 8 funções vectoriais +t4 À M Ä Š8 são diferenciáveis em B! equivale a dizer que são diferenciáveis nesse ponto as suas 8 funções componentes escalares +34 "Ÿ3ß4Ÿ8 de variável real, tendo-se

ab a b ˆ a b a b a b‰

w w w +tw4 B! œ +"4 B! ß +#4 B! ß á ß +84 B ! à " Ÿ 4 Ÿ 8

a b

Mas, segundo 4.64 ,

ab "ab ab ab ab

? B œ

& 5 +5

"

"

B +5 # B â+ 5 #

8

8

B

5−Æ8

Todas as funções que intervêm na expressão anterior estão definidas em M e com valores em Š e são diferenciáveis em B! , donde ? é também diferenciável neste ponto e tem-se, atendendo às regras de derivação da soma e do produto:

a b "Š a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b‹ " a b a b a b a b " a b a b a b a b "ab a b a b a b a a ab a a b b a b a bb a bba a b a b a bb " ˆ a b a b a b a b‰

?w B! œ

& 5 +5w

"

"

B! +5 # B! â+ 5 #

8

8

B!  & 5 + 5 " B ! + 5w # B ! â+ 5 8 B ! 

8

B!

"

8

#

5−Æ8

â  & 5 +5 " B! +5 # B! â+ 5w "

& 5 +5w

œ

"

"

#

8

B! +5 # B! â+5 #

8

8

B! 

5−Æ8

& 5 +5

"

"

B! + 5w # B! â+ 5 #

8

8

B! 

5−Æ8

â

& 5 +5

"

B! +5 # B! â+ 5w

"

#

8

8

B!

5−Æ8

+tw"

œ det B ! ß +t# B ! ß á ß á ß +t8 B!  det +t" B! ß +t w# B! ß á ß á ß +t8 B! â  det +t" B! ß +t# B! ß á ß á ß +t w8 B!



8

det +t" B! ß +t# B! ß á ß +tw4 B! ß á ß +t8 B!

œ

4œ"

Esta é a expressão que queríamos provar.

Observações:

a b aa bb aa aâ b a âââ aa bb âââ â ab



ç A expressão 4.100 diz-nos que a derivada de um determinante de ordem 8 é a soma dos 8 determinantes obtidos derivando sucessivamente as colunas "ß #ß á ß 8 e deixando inalteradas as restantes 8  " colunas:


?w B!

w +"" B! +w B œ #" ! ã w +8" B!

+"# B! +## B! ã +8# B!

+"" B! + B â  #" ! ã +8" B!

bb b

aa a

â +"8 B! â +#8 B! ä ã â +88 B!

aa bb ab

+ "# B! +## B! ã +8# B!

bb ââââ âââ bâ

âââ a b a b âââ a b a b ââ a b a b aa bb ââââ âââ a bâ

+"" B! + B  #" ! ã +8" B!

w â +"8 B! w â +#8 B ! ä ã w â +88 B!

w + "# B! w +## B! ã w +8# B!

aa a

â +"8 B! â +#8 B! ä ã â +88 B!




350


ç Como o determinante de uma matriz é também o determinante dos seus vectores-linha na

base canónica de Š8 , podemos também derivar um determinante derivando por linhas:


?w B!

aa bb aâ b âââ aa âââ â a

w +"" B! + B œ #" ! ã +8" B!

aa a bb b

w +"# B! +## B! ã +8# B!

+"" B! + B â  #" ! ã w +8" B!

bb b

aa a

w â +"8 B! â +#8 B! ä ã â +88 B!

aa bb ab

+"# B! +## B! ã w +8# B!


âââ a b a b âââ a b a b ââ a b a b aa bb ââââ âââ a bâ

+"" B! w +#" B!  ã +8" B!

+"# B! w +## B! ã +8# B!

â +"8 B! â +#8 B! ä ã w â +88 B!

aa a

â +"8 B! w â +#8 B! ä ã â +88 B!




ç A partir da regra anterior, podem calcular-se as derivadas de ordem superior, aplicando-a à

função ?w e assim sucessivamente. Exemplo 4.61.

A derivada da função ?À ‘ Ä ‘ definida pelo determinante de 2ª ordem

a b º a a b b a bº b ˆ ‰ a b a b » » a b a a bb » a b a b » » » ab a b ab ‰ a b ab ˆ ‰ a b ˆ ‰

sin B# ? B œ ln "  B#

a a b » a aa a bbbb a b » ab ˆ

B "B#

cos B

poderá ser calculada por 4.100 , derivando por colunas, vindo: # w B sin ?w B œ ln "  B# #Bcos B#

œ

#B "B#

B "B#

sin B#  cos B ln "  B#

w

B "B#

sin B#  cos B ln "  B#

œ #Bcos B cos B

#

#B#  "  B#

#

w B # "B

cos B

w

"B# "B# #

sin B

 sin B sin B

#

"  B# ln  "  B# # "  B#

Sec. 4.16] Anexos: determinantes e o MATHEMATICA

351

4.16 Anexos: determinantes e o MATHEMATICA©

 MATHEMATICA

©

Neste anexo apresentamos a implementação de um package para o MATHEMATICA que é útil para resolver alguns problemas relacionados com a teoria das funções multilineares e determinantes. Algumas das funções necessárias existem já no MATHEMATICA , nomeadamente as seguintes: ©

©

ç

Permutations[s]

Determina as 8x permutações do conjunto (lista) s, com 8 elementos. ç

Det[mat]

Calcula o determinante da matriz quadrada mat. ç

KSubsets[s,p]

Determina todos os subconjuntos formados por p elementos do conjunto s de 8 elementos (em número de 8: se ! Ÿ : Ÿ 8, ou ! se :  8 ).

Š‹

ç

Cofactor[mat,{i,j}]

Determina o cofactor do elemento da linha i e coluna j da matriz mat. Esta função está implementada no package DiscreteMath`Combinatorica` ; no entanto, o package ALGA`Determinantes` define uma função Cof mais geral do que esta. Além desta, este package implementa as seguintes funções adicionais: ç

PermutacaoQ[lista]

e

f

Determina se a lista dada é uma permutação de "ß #ß á ß 8 , para algum 8. ç

TransposicaoQ[lista]

Determina se a lista é uma transposição. ç

ElementarQ[lista]

Determina se a lista é uma transposição elementar. ç

PermInv[p]

Determina a permutação inversa de p. ç

Composicao[p1,p2]

Determina a composta de p1 com p2 (p1 ‰ p2). ç

Decomposicao[p]

Devolve uma lista de transposições, cuja composição (pela ordem resultante) é igual a p. ç

Epsilon[p]

Determina a paridade ou sinal da permutação p. Equivale à função Signature já existente.

352 ç

Determinantes [Cap. 4 CondensacaoDet[mat]

Calcula o determinante da matriz quadrada mat, pelo método de condensação. ç MatrizComplementar[mat,linhas,colunas]

Determina a submatriz de mat obtida por eliminação da linhas indicadas na lista das colunas indicadas na lista colunas.

linhas

e

ç MenorComplementar[mat,linhas,colunas]

Determina o menor complementar do menor da matriz mat formado pelas linhas e colunas indicadas nas listas linhas e colunas. ç

Paridade[linhas,colunas]

Determina a paridade de um menor formado pelas filas indicadas nas listas colunas. ç

linhas

e

Cof[mat,linhas,colunas]

Determina o cofactor do menor da matriz mat formado pelas linhas e colunas indicadas nas listas linhas e colunas . ç

LaplaceDet[mat,filas,Colunas-> Opção]

Calcula o determinante de mat aplicando o teorema de Laplace às filas indicadas em filas. A opção Colunas->True ou Colunas ->False indica se essas filas são linhas ou colunas (por defeito é Colunas->True). ç

RecursivoDet[mat]

Calcula o determinante de mat, aplicando recursivamente o teorema de Laplace restrito à primeira coluna do determinante. ç Adj[mat]

Determina a matriz adjunta da matriz quadrada mat. ç MatrizInversa[mat]

Determina a matriz inversa da matriz quadrada mat, através da matriz adjunta. ç

FilasPrincipais[mat]

Devolve o par formado pelas listas de linhas e de colunas principais de mat. ç MatRank[mat]

Determina a característica da matriz mat através de uma matriz principal. É equivalente à função MatrixRank existente no MATHEMATICA . ©

ç MatrizPrincipal[mat]

Determina uma matriz principal de mat. ç

Cramer[mat,vec,simb]


353

Determina o vector solução geral do sistema linear de matriz simples mat e vector de termos independentes vec, exprimindo-a, no caso de indeterminação, nos necessários parâmetros arbitrários simb[1], simb[2] , etc. ç

Cauchy[mat,{i,j}]

a b

Calcula o determinante de mat, através da fórmula de Cauchy 4.98.1 e usando a linha i e a coluna j. ç Wronskian[lista]

Calcula o wronskiano da lista de funções puras lista. Segue-se a listagem do package ALGA`Determinantes` : (* (* (* (*

Package by Carlos Ribeiro, Maio 2008 *) Contexto : ALGA`Determinantes` *) Versão : 3.5 *) Versão do Mathematica : 6.0 *)

BeginPackage["ALGA`Determinantes`", {"Combinatorica`"}] (* ------------------------------ HELP ON-LINE ------------------------------ *) PermutacaoQ::usage = "PermutacaoQ[p] determina se a lista p é uma permutação." TransposicaoQ::usage = "TransposicaoQ[p] determina se a lista p é uma transposição." ElementarQ::usage = "ElementarQ[p] determina se a lista p é uma transposição elementar." PermInv::usage = "PermInv[p] calcula a permutação inversa de p." Composicao::usage = "Composicao[p1, p2] calcula a permutação composta (p1 o p2)." Decomposicao::usage = "Decomposicao[p] devolve uma lista {t1,t2,...,tn} de \ transposições tais que p = t1 o t2 o...o tn." Epsilon::usage = "Epsilon[p] determina a paridade da permutação p." DefDet::usage = "DefDet[mat] devolve o determinante da matriz quadrada mat, calculado \ pela soma dos termos da matriz multiplicados pela paridade." Opr1::usage = "Opr1[A,i,j] Matriz que resulta de trocar as linhas i e j na matriz A." Opr2::usage = "Opr2[A,i,x] Matriz que resulta de multiplicar a linha i da matriz A \ pelo escalar x não-nulo." Opr3::usage = "Opr3[A,i,j,y] matriz obtida de A, substituindo a linha i pela sua soma \ com o produto do escalar y pela linha j." CondensacaoDet::usage = "CondensacaoDet[mat] calcula o determinante da matriz quadrada \ mat, usando o método de condensação." MatrizComplementar::usage = "MatrizComplementar[mat, linhas, colunas] devolve a submatriz obtida de mat eliminando \ as filas indicadas nas listas linhas e colunas."

354


MenorComplementar::usage = "MenorComplementar[mat, linhas, colunas] devolve o menor complementar da submatriz \ de mat cujas filas se indicam nas listas linhas e colunas." Paridade::usage = "Paridade[linhas, colunas] calcula a paridade do menor constituído pelas linhas e colunas \ indicadas nos argumentos." Cof::usage = "Cof[mat, linhas, colunas] calcula o cofactor da submatriz de mat cujas linhas e colunas \ se indicam nos 2º e 3º argumentos." LaplaceDet::usage = "LaplaceDet[mat,filas] devolve o valor do determinante de mat, calculando-o pelo teorema \ de Laplace, usando os menores contidos nas filas da lista filas. A opção Colunas -> False \ indica que as filas indicadas são linhas; A opção Colunas -> True indica que as filas \ indicadas são colunas; por defeito, o desenvolvimento é por colunas." Colunas::usage = "A opção Colunas -> False indica que as filas indicadas na função LaplaceDet \ são linhas; A opção Colunas -> True indica que as filas indicadas são colunas; por defeito, o \ desenvolvimento é por colunas." RecursivoDet::usage = "RecursivoDet[mat] calcula o determinante de mat, com um algoritmo \ recursivo, baseado no teorema de Laplace restrito." Adj::usage = "Adj[mat] calcula a matriz adjunta de mat." MatrizInversa::usage = "MatrizInversa[mat] calcula a matriz inversa de mat." FilasPrincipais::usage = "FilasPrincipais[mat] devolve o par formado pelas listas de linhas \ e de colunas principais da matriz mat." MatRank::usage = "MatRank[mat] devolve a característica de mat." MatrizPrincipal::usage = "MatrizPrincipal[mat] devolve uma matriz principal de mat." Cramer::usage = "Cramer[mat, vec, simb] devolve o vector solução geral do sistema de matriz \ simples mat e termos independentes vec, usando a regra de Cramer e os símbolos simb[1], \ simb[2], etc, como parâmetros arbitrários (quando indeterminado)." Cauchy::usage = "Cauchy[mat, {i, j}] devolve o determinante de mat, calculado pela regra de \ Cauchy, a partir do elemento na posição (i,j)." Wronskian::usage = "Wronskian[lista,var] devolve o indicadas, usando a variável var como argumento."

Wronskiano da lista de funções puras \

Begin["`Private`"] (* -------------------------------- DEFAULTS -------------------------------- *) Options[LaplaceDet] = {Colunas -> True}; (* --------------------------- MENSAGENS DE ERRO ---------------------------- *) Opr2::escalarnulo = "Operação do tipo 2 inválida. O 3º argumento não pode ser nulo."; MatrizComplementar::fila = "Comprimento da lista `1` é incompatível com a matriz dada."; MatrizComplementar::errfilas = "Índice(s) inválidos em `1`."; MenorComplementar::rect = Paridade::rect = Adj::rect = MatrizInversa::rect = "Matriz \ rectangular encontrada; matriz quadrada esperada."; MatrizInversa::sing = "Matriz singular.";


355

Cramer::errdim = "Número de linhas da matriz simples é diferente da dimensão do vector dos \ termos independentes."; Cramer::imp = "Sistema sem solução."; Cauchy::rect1 = "Matriz rectangular ou de ordem inferior a 3 encontrada."; Cauchy::domain := "fila(s) indicadas fora do domínio admissível."; (* ------------------------------ IMPLEMENTAÇÃO ------------------------------ *) (* Implementação da função PermutacaoQ *) PermutacaoQ[p_List] := p != {} && Sort[p] == Range[Length[p]] (* Implementação da função TransposicaoQ *) TransposicaoQ[p_?PermutacaoQ] := Module[{r = Range[Length[p ]]-p}, Length[p]-Coun t[r, 0] == 2 ] (* Implementação da função ElementarQ *) ElementarQ[p_?PermutacaoQ] := Module[{n = Range[Length[p ]], nz}, nz = Sort[Complemen t[n, Flatten[Position [n-p, 0]]]]; Length[nz] == 2 && nz[[2]] == nz[[1]]+1 ] (* Implementação da função PermInv *) PermInv[p_?PermutacaoQ] := Module[{s = {}}, Do[ s = Join[s, Flatten[Positio n[p, i]]], {i, Length[p]} ]; s ] (* Implementação da função Composicao *) Composicao[p1_?PermutacaoQ, p2_?PermutacaoQ] := Module[{s = {}}, Do[ s = Join[s, {p1[[p2[[i]]]]} ], {i, Length[p1]} ]; s ] (* Implementação da função Decomposicao *) Decomposicao[p_?PermutacaoQ] := Module[{j, id = Range[Length[p]], id1, tmp, dec = {}}, Do[ j = Position[id, p[[i]]][[1,1]]; If[j != i, tmp = id[[i]]; id[[i]] = id[[j]]; id[[j]] = tmp; id1 = Range[Length[p ]]; tmp = id1[[i]]; id1[[i]] = id1[[j]]; id1[[j]] = tmp; dec = Join[dec, {id1}] ], {i, Length[p]-1} ];

356


dec ] (* Implementação da função Epsilon *) Epsilon[p_?PermutacaoQ] := (-1)^Length[Decomposicao[p]] (* Implementação da função DefDet *) DefDet[a_?MatrixQ]:= Module[{n = Length[a], sn}, sn = Permutations[R ange[n]]; Sum[Signature[ sn[[i]]]*Produc t[a[[sn[[i,j]], j]], {j, n}], {i, Length[sn]}] ] (* Implementação das 3 operações elementares *) Opr1[a_?MatrixQ, i_Integer, j_Integer] := Module[{temp = a[[i]], b = a}, b[[i]] = b[[j]]; b[[j]] = temp; b ] Opr2[a_?MatrixQ, i_Integer, x_] := Module[{b = a}, If[x == 0, Message[Opr2::escalarnulo], b[[i]] = x b[[i]]; b ] ] Opr3[a_?MatrixQ, i_Integer, j_Integer, x_] := Module[{b = a}, b[[i]] = b[[i]] + x b[[j]]; b ] (* Implementação da função CondensacaoDet *) CondensacaoDet[a_?MatrixQ] := Module[{n = Length[a], b = a, r = 0, i, d = 1}, While[r < n, i = r; While[ i++; b[[i, r+1]] == 0 && i < n, Null ]; If[b[[i, r+1]] == 0, Return[0], r++; If[i != r, b = Opr1[b, r, i]; d *= -1]; d *= b[[r, r]]; b = Opr2[b, r, 1/b[[r, r]]]; For[i = r+1, i <= n, i++, b = Opr3[b, i, r, -b[[i, r]]] ] ] ]; d ] (* Implementação da função MatrizComplementar *) MatrizComplementar[a_?MatrixQ, linhas_List, colunas_List] := Module[{l = Union[linhas], c = Union[colunas], m = Range[Length[a]], n = Range[Dimension s[a][[2]]]}, Which[ Union[m, l] != m, Message[MatrizC omplementar::er rfilas, linhas], Union[n, c] != n, Message[MatrizC omplementar::er rfilas, colunas], Length[l] >= Length[a], Message[Matriz Complementar::f ila, linhas],

Sec. 4.16] Anexos: determinantes e o MATHEMATICA Length[c] >= Dimensions[a][ [2]], Message[MatrizC omplementar::fil a, colunas], True, a[[Complement[ m, l], Complement[n, c]]] ] ] (* Implementação da função MenorComplementar *) MenorComplementar[a_?MatrixQ, linhas_List, colunas_List] := Module[{submat}, If[Length[a]==Dimensions[a][[2]], submat = MatrizComplement ar[a, linhas, colunas]; If[Length[submat]==Dimensions[submat][[2]], Det[submat], Message[MenorComplementar::rect] ], Message[MenorComplementar::rect] ] ] (* Implementação da função Paridade *) Paridade[linhas_List, colunas_List] := Module[{l = Union[linhas], c = Union[colunas]}, (-1)^(Sum[l[[i ]],{i, Length[l]}]+Su m[c[[i]],{i, Length[c]}]) ] (* Implementação da função Cof *) Cof[a_?MatrixQ, linhas_List, colunas_List] := Paridade[linhas, colunas]*MenorC omplementar[a, linhas, colunas] (* Implementação da função LaplaceDet *) LaplaceDet[a_?MatrixQ, filas_List, opts___?OptionQ] := Module[{n = Length[a], fs = Union[filas], seq, cols}, seq = KSubsets[Range[n ], Length[fs]]; cols = Colunas /. Flatten[{opts, Options[Laplace Det]}]; If[cols, Sum[Cof[a, seq[[i]], fs]*Det[a[[seq [[i]], fs]]], {i, Length[seq]}], Sum[Cof[a, fs, seq[[i]]]*Det[a [[fs, seq[[i]]]]], {i, Length[seq]}] ] ] (* Implementação da função RecursivoDet *) RecursivoDet[a_?MatrixQ] := Module[{n = Length[a]}, If[n == 1, a[[1, 1]], Sum[a[[i, 1]]*(-1)^(i+1)* RecursivoDet[Dr op[a, {i}, {1}]], {i, n}] ] ] (* Implementação da função Adj *) Adj[a_?MatrixQ] := Module[{n = Length[a]}, If[Length[a]==Dimensions[a][[2]], Transpose[Table[Cof[a,{i},{j}],{i,n},{j,n}]], Message[Adj::rect] ] ] (* Implementação da função MatrizInversa *) MatrizInversa[a_?MatrixQ] := Module[{d}, If[Length[a]==Dimensions[a][[2]], If[(d = Det[a]) == 0,

357

358

Determinantes [Cap. 4 Message[MatrizInversa::sing], Adj[a]/d ], Message[MatrizInversa::rect]

] ]

(* 1ª Implementação da função FilasPrincipais *) FilasPrincipais[a_?MatrixQ] := Module[{m = Length[a], n = Dimensions[a][[ 2]], p, u, v, i, j}, p = Min[m, n]+1; While[p > 1, p--; u = KSubsets[Range[m ], p]; v = KSubsets[Range[n ], p]; i = 0; While[i < Length[u], i++; j = 0; While[j < Length[v], j++; If[Simplify[Det[ a[[u[[i]],v[[j] ]]]]] != 0, Return[{u[[i]] ,v[[j]]}]] ] ] ]; {{},{}} ] (* Implementação da função MatRank *) MatRank[a_?MatrixQ]:= Length[FilasPrincipais[a][[1]]] (* Implementação da função MatrizPrincipal *) MatrizPrincipal[a_?MatrixQ] := Module[{p = FilasPrincipai s[a]}, a[[p[[1]], p[[2]]]] ] (* Implementação da função Cramer *) Cramer[a_?MatrixQ, b_?VectorQ, x_Symbol] := Module[{m = Length[a], n = Dimensions[a][[2]], eqp, vrp, eqs, vrs, r, poss = True, i = 0, teste, sol, matp, d, bc, matpx}, If[m != Length[b], Message[Cramer::errdim], {eqp, vrp} = FilasPrincipai s[a]; eqs = Complement[Ran ge[m],eqp]; vrs = Complement[Ran ge[n],vrp]; r = Length[eqp]; While[poss && i < m-r, i++; teste = Union[eqp, {eqs[[i]]}]; poss = Simplify[Det[Joi n[Transpose[a[[ teste, vrp]]], {b[[teste]]}]] == 0] ]; If[poss, sol = Array[x, {n}]; If[r > 0, matp = Transpose[a[[e qp, vrp]]]; d = Det[matp]; bc = b[[eqp]]-a[[eqp, vrs]].sol[[vrs ]]; Do[ matpx = matp; matpx[[i]] = bc; sol[[vrp[[i]]] ] = Det[matpx]/d,

Sec. 4.16] Anexos: determinantes e o MATHEMATICA {i, r} ] ]; Simplify[sol], Message[Cramer::imp]

] ] ]

(* Implementação da função Cauchy *) Cauchy[a_?MatrixQ, filas_List]:= Module[{n = Length[a], i, j}, If[Length[a]== Dimensions[a][[ 2]] && n > 2, f = Range[n]; {i, j} = filas; If[MemberQ[f, i] && MemberQ[f, j], a[[i, j]]*Cof[a, {i}, {j}]-(-1)^(i+j )* Drop[a[[i]], {j}].Adj[Drop[a, {i}, {j}]].Drop[a, {i}][[All, j]], Message[Cauchy::domain] ], Message[Cauchy::rect1] ] ] (* Implementação da função Wronskian *) Wronskian[seq_List,x_]:=Module[{n=Length[seq]}, Det[Table[D[seq[[j]][x],{x,i}],{i,0,n-1},{j,1,n}]]//FullSimplify ] End[] EndPackage[]

359

360


O package ALGA`Determinantes` deverá ser previamente carregado em memória, o que se consegue por meio de um dos comandos seguintes: <
Nas páginas seguintes apresentamos um notebook ilustrativo do uso das funções implementadas no package anterior, bem como de algumas funções internas ao sistema MATHEMATICA . ©


361

Determinantes 4.16.1. Permut ações

ü

Com o MATHEMATICA, podemos t rabalhar no Grupo simétr ico de qualquer ordem

<< ALGA`Determinantes` Wronskian::shdw : Symbol Wronskian appears in multiple contexts 9 ALGA`Determinantes`, Global`=; definitions in context ALGA`Determinantes` may shadow or be shadowed by other definitions.

A seguinte lista não é uma permutação

? PermutacaoQ

PermutacaoQ@pD determina se a lista p é uma permutação.

PermutacaoQ@82, 4, 1
Fal se

Mas esta já será

à


362

PermutacaoQ@83, 4, 2, 1
Tr ue

Podemos definir uma função para gerar aleatoriamente uma permutação com uma ordem também aleatória entre dois extremos dados n1 e n2

PermutacaoRandom @n1_Integer, n2_IntegerD := Module@8n, p<, n = RandomInteger@8n1, n2
E usá-la para gerar uma permutação de ordem aleatória entre 5 e 10

PermutacaoRandom @5, 10D

88, 3, 5, 6, 7, 2, 1, 4< Algumas transposições junto com outras permutações que o não são

8TransposicaoQ@85, 7, 3, 1, 4, 6, 2
TransposicaoQ@81, 2, 4, 3

8Fal se,

363

<

Tr ue, Tr ue, Fal se

Das transposições anteriores, só a segunda é elementar

8ElementarQ@85, 7, 3, 1, 4, 6, 2
ElementarQ@81, 2, 4, 3
8Fal se,

<

Tr ue, Fal se, Fal se

Podemos calcular a permutação inversa

p = 84, 2, 3, 1, 6, 5<; q = PermInv@ pD

84, 2, 3, 1, 6, 5< E verificar o resultado

Composicao@ p, q D  Range@Length@ pDD

Tr ue

Construção do grupo simétrico de ordem 10


364

s10 = Permutations@Range@10DD;

Podemos agora obter duas permutações aleatórias de ordem 10

8 p = s10PRandomInteger@81, 10 !
q = s10PRandomInteger@81, 10 !
881, 3, 6, 8, 5, 2, 4, 9, 7, 10<, 89, 6, 3, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10<< E compô-las

? Composicao

Composicao@p1, p2D calcula a permutação composta H p1 o p2L.

r = Composicao@ p, q D

87, 2, 6, 1, 3, 8, 5, 4, 9, 10< Determinemos as paridades e verifique-se o teorema da paridade do produto

? Epsilon

Epsilon@pD determina a paridade da permutação p.


8Epsilon@ pD, Epsilon@q D, Epsilon@rD<

8

− 1, − 1,

<

1

Determinemos as paridades pela função Si gnat ur e[ ] do sistema

8Signature@ pD, Signature@q D, Signature@rD<

8

− 1, − 1,

<

1

Por fim, façamos a decomposição de uma permutação em produto de transposições

? Decomposicao

Decomposicao @pD devolve uma lista 8t1,t2,...,tn< de transposições tais que p = t1 o t2 o...o tn.

d = Decomposicao@ pD

881, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10<, 81, 2, 6, 4, 5, 3, 7, 8, 9, 10<, 81, 2, 3, 8, 5, 6, 7, 4, 9, 10<, 81, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 9, 10<, 81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 8, 10<< Verifiquemos que se trata, de facto, de transposições

365


366

Table@TransposicaoQ@d @@iDDD, 8i, Length@d D
8 Tr ue, Tr ue, Tr ue, Tr ue, Tr ue< Verifiquemos que a composição das transposições anteriores (pela ordem obtida) dá como resultado a permutação p

Fold @Composicao, d @@1DD, Drop@d, 1DD

81, 3, 6, 8, 5, 2, 4, 9, 7, 10< 4.16.2. Determinantes (com matriz real)

ü

As fu nç ões Det [ ] , Def Det [ ] , CondensacaoDet [ ] , Recur si voDet [ ] e Cauchy[ ] permitem o cálculo de determinantes

? Def Det

DefDet@matD devolve o determinante da matriz quadrada mat, calculado pela soma dos termos da matriz multiplicados pela paridade.

? Condensac aoDet

CondensacaoDet@matD calcula o determinante da matriz quadrada mat, usando o método de condensação.

? Recur si voDet


367

RecursivoDet@matD calcula o determinante de mat, com um algoritmo recursivo, baseado no teorema de Laplace restrito.

? Cauchy

Cauchy@mat, 8 i, j
Defina-se uma matriz real aleatória

Ha = RandomInteger@8− 9, 9<, 87, 7

9

−4

−8

−4

2 −3 −1 2 −2 −6 9 −8 −2 −8 −4 6 −7 2 6 −7 −3

−7

−2

−6

6

5 8 1 5

6 3 0 8

−7

−4

2

0

−7

−7

−8

1

−3

−2

−5

−2

6

−4

−1

−8

O determinante será, pelas 5 funções

8Det@aD, DefDet@aD, CondensacaoDet@aD,

RecursivoDet@aD, Cauchy@a, 86, 3
81 369 197, ü

<

1 369 197, 1 369 197, 1 369 197, 1 369 197

As fu nç ões Mat r i zCompl ement ar [ ] , Menor Compl ement ar [ ] , Par i dade[ ] e Cof [ ] permitem calcul ar menores complementares, paridades e cofacto res


368

? Mat r i z Compl ement ar

MatrizComplementar@mat, linhas, colunasD devolve a submatriz obtida de mat eliminando as filas indicadas nas listas linhas e colunas.

? Menor Compl ement ar

MenorComplementar @mat, linhas, colunasD devolve o menor complementar da submatriz de mat cujas filas se indicam nas listas linhas e colunas.

? Par i dade

Paridade@linhas, colunasD calcula a paridade do menor constituído pelas linhas e colunas indicadas nos argumentos.

? Cof

Cof @mat, linhas, colunasD calcula o cofactor da submatriz de mat cujas linhas e colunas se indicam nos 2º e 3º argumentos.

A submatriz complementar de a obtida eliminando as linhas 2, 4, 6 e as colunas 1, 3, 5 é

MatrizComplementar@a, 82, 4, 6<, 81, 3, 5
−4

2

−7

8 −8 5 −7 6

−6

6 2 0 −8 1 −1 −8


O menor complementar do menor contido nas linhas 2, 4, 6 e as colunas 1, 3, 5 é o determinante da matriz anterior

8 m = MenorComplementar@a, 82, 4, 6<, 81, 3, 5
8

<

− 1236, − 1236

A paridade será

s = Paridade@82, 4, 6<, 81, 3, 5
−1

E o cofactor é calculado por

8Cof@a, 82, 4, 6<, 81, 3, 5
81236, ü

<

1236

As fu nç ões Lapl aceDet [ ] , Recur si voDet [ ] e Cauchy[ ] calculam determinantes pelo t eorema de Laplace geral (ou restri to, se a lis ta forn ecida for s ingular), por um algorit mo recursiv o e pela fórmula de Cauchy; as funções Adj [ ] e Mat r i zI nver sa[ ] calcul am a adjun ta e a inversa de uma matriz.

369


370

O teorema de Laplace aplicado às linhas 2, 4 e 7 e ainda às colunas 1 e 4 dá

8LaplaceDet@a, 82, 4, 7<, Colunas → FalseD,

LaplaceDet@a, 81, 4
81 369 197,

<

1 369 197

O teorema de Laplace restrito aplicado recursivamente fornece também o determinante

RecursivoDet@aD

1369 197

A fórmula de Cauchy calcula também o determinante

Cauchy@a, 83, 6
1 369 197

A adjunta de a é a matriz

H b = Adj@aDL êê MatrixForm


141 559 28 584 − 113 306 − 120436 201 337 108 628 − 80926

423 912 87 561 − 170 718 − 482 934 947 604 464 007 − 588 666

− 95336

371

− 233835

− 227 885

− 130 067

102 850 − 123 345 85635 − 73179 132 372 16 011 252 808 92 019 10 981 363 634 − 169 673 − 185812 553 562 274 551 146 651 460 205 − 653 129 − 537477 − 274 595 − 695 069 286 936 − 477 188 − 332 898 − 154 328 − 585 251 267 775 − 282 652 519 254 292 371 199 472 457 001

A matriz a e a sua adjunta permutam

a.b  b.a

Tr ue

E a adjunta verifica a igualdade fundamental: a. Adj [ a]

== Det [ a] * I dent i t yMat r i x[ -

Lengt h[ a] ]

a.b êê MatrixForm

1 369 197 0 0 0 0 0 0

0 1 369 197 0 0 0 0 0

0 0 1 369 197 0 0 0 0

0 0 0 1 369 197 0 0 0

0 0 0 0 1 369 197 0 0

0 0 0 0 0 1 369 197 0

0 0 0 0 0 0 1 369 197

Que é igual a

Det@aD IdentityMatrix@Length@aDD êê MatrixForm


373

4.16.3. Determi nantes (com matriz comp lexa)

ü

As fu nç ões Det [ ] , CondensacaoDet [ ] , Recur si voDet [ ] e Cauchy[ ] permitem o cálculo de determinantes

Defina-se uma matriz complexa aleatória

Ha = Table@RandomInteger@8− 9, 9
RandomInteger@8− 6, 6
−2 

−8 − 

−1

−5 +

−9 −

3

7−4

2

−7 −  −5 −

5

9+4 4− −5 − 5  −4 − 6  1−5 7 1+4 7−5

O determinante será, pelas 4 funções

8Det@aD, CondensacaoDet@aD,

RecursivoDet@aD, Cauchy@a, 83, 1
8

− 9398 −

ü

5118 ,

− 9398 −

5118 ,

− 9398 −

5118 ,

− 9398 −

5118 

<

As fu nç ões Mat r i zCompl ement ar [ ] , Menor Compl ement ar [ ] , Par i dade[ ] e Cof [ ] permitem calcul ar menores complementares, paridades e cofacto res

A submatriz complementar de a obtida eliminando as linhas 2 e 4 e as colunas 1 e 3 é


374

MatrizComplementar@a, 82, 4<, 81, 3
K

− 8 −  −7 − 

4− 7

O

O menor complementar do menor contido nas linhas 2, 4 e as colunas 1, 3 é o determinante da matriz anterior

8 m = MenorComplementar@a, 82, 4<, 81, 3
8

− 27 −

10 ,

− 27 −

<

10 

A paridade será

s = Paridade@82, 4<, 81, 3
1

E o cofactor é calculado por

8Cof@a, 82, 4<, 81, 3
8

− 27 −

10 ,

− 27 −

<

10 


375

As fu nç ões Lapl aceDet [ ] , Recur si voDet [ ] e Cauchy[ ] calculam determinantes pelo t eorema de Laplace geral (ou restri to, se a lis ta forn ecida for s ingular), por um algorit mo recursiv o e pela fórmula de Cauchy; as funções Adj [ ] e Mat r i zI nver sa[ ] calcul am a adjun ta e a inversa de uma matriz.

? Lapl aceDet

LaplaceDet@mat,filasD devolve o valor do determinante de mat, calculando-o pelo teorema de Laplace, usando os menores contidos nas filas da lista filas. A opção Colunas -> False indica que as filas indicadas são linhas; A opção Colunas -> True indica que as filas indicadas são colunas; por defeito, o desenvolvimento é por colunas.

? Adj

Adj@matD calcula a matriz adjunta de mat.

? Mat r i z I nver sa

MatrizInversa@matD calcula a matriz inversa de mat.

O teorema de Laplace aplicado às linhas 1, 3 e 4 e ainda às colunas 1 e 4 dá

8LaplaceDet@a, 81, 3, 4<, Colunas → FalseD,

LaplaceDet@a, 81, 4
8

− 9398 −

5118 ,

− 9398 −

<

5118 

O teorema de Laplace restrito aplicado recursivamente fornece também o determinante


376

RecursivoDet@aD

− 9398 −

5118 

A fórmula de Cauchy calcula também o determinante

Cauchy@a, 82, 2
− 9398 −

5118 

A adjunta de a é a matriz

H b = Adj@aDL êê MatrixForm

− 551 +

544  − 614 + 145  623 − 116  − 231 − 882  934 + 403  1279 + 74  30 + 309  − 316 + 507  − 610 − 203  571 − 400  406 + 175  370 + 379  167 + 593  621 + 645  − 689 − 35  − 631 − 561 

A matriz a e a sua adjunta permutam

a.b  b.a

Tr ue


377

E a adjunta verifica a propriedade fundamental: a. Adj [ a] == Det [ a] * I dent i t yMat r i x[ -

Lengt h[ a] ]

a.b êê MatrixForm

− 9398 −

5118  0

0 0 0

− 9398 −

5118 

0 0

0 0 − 9398 −

5118 

0

0 0 0 − 9398 −

5118 

Que é igual a

Det@aD IdentityMatrix@Length@aDD êê MatrixForm

− 9398 −

0 0 0

5118  0 − 9398 −

5118 

0 0

0 0 − 9398 −

5118 

0

0 0 0 − 9398 −

5118 

A inversa através da adjunta é

Hc = MatrizInversa@aDL êê MatrixForm

1 197 053 3966265  − 57258164 57258164 420143 5 496409  − + 57 258164 57 258164 3 385 867 607093  − 57258164 57258164 575555 1179577  − − 14314541 28629082

2514131 2252581  − 57258164 57258164 199387 6 2 925235  − + 57258164 57 258164 1659529 3340789  − + 57258164 57258164 2284317 360429  − − 28629082 14314541

2630633 2139341  + 57258164 57258164 931701 1 375221  − − 57 258164 57 258164 2355619 216629  − + 57258164 57258164 831794 799343  − 14314541 28629082 −

3342507 3553389  + 57258164 57258164 187471 3 191037  − 57 258164 57 258164 2708491 834091  − − 57258164 57258164 1100167 510705  + 14314541 28629082


378

Que verifica a definição de inversa

a.c êê MatrixForm

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

4.16.4. Submatrizes pri ncip ais e característica de uma matri z

ü

As fu nç ões Fi l asPr i nci pai s[ ] , Mat r i zPr i nci pal [ ] e Mat Rank[ ] permit em saber as filas prin cipais d e uma matriz, uma matri z pri ncip al e a característica de uma matriz qualquer, usando determin antes.

? Fi l asPr i nci pai s

FilasPrincipais@matD devolve o par formado pelas listas de linhas e de colunas principais da matriz mat.

? Mat r i zPr i nci pal

MatrizPrincipal@matD devolve uma matriz principal de mat.

? Mat Rank

MatRank @matD devolve a característica de mat.

Defina-se uma matriz


Ha = 883, − 2, − 1, 0<, 8− 6, 4, 0, − 3<, 8− 3, 2, − 1, − 3<, 80, 0, − 2, − 3<
3

−2

−6

4 −3 2 0 0

−1

0

0

−3

−1

−3

−2

−3

As filas principais são dadas num par de listas

FilasPrincipais@aD

881, 2<, 81, 3<< Extraindo uma submatriz principal

H p = MatrizPrincipal@aDL êê MatrixForm

K 36 −

−1

0

O

Verificação de que a matriz anterior é principal: ela é regular

Det@ pD != 0

379


380

Tr ue

...mas todas as submatrizes de ordem 3 são singulares

gl = KSubsets@Range@Length@aDD, 3D; gc = KSubsets@Range@Dimensions@aD@@2DDD, 3D;

Table@Det@a@@gl@@iDD, gc@@jDDDDD, 8i, Length@glD<, 8j, Length@gcD
880, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<, 80, 0, 0, 0<< ...e o mesmo se passa com as de ordem 4

gl = KSubsets@Range@Length@aDD, 4D; gc = KSubsets@Range@Dimensions@aD@@2DDD, 4D;

Table@Det@a@@gl@@iDD, gc@@jDDDDD, 8i, Length@glD<, 8j, Length@gcD
880<< A característica calculada pela função implementada no package e pela função existente no sistema MATHEMATICA:


8 MatRank@aD, MatrixRank@aD<

82, 2< 4.16.5. Regra de Cramer

ü

Caso d e um s ist ema de Cramer

? Cramer

Cramer@mat, vec, simbD devolve o vector solução geral do sistema de matriz simples mat e termos independentes vec, usando a regra de Cramer e os símbolos simb@1D, simb@2D, etc, como parâmetros arbitrários Hquando indeterminadoL.

Neste exemplo, a matriz simples e o vector dos termos independentes são

Ha = 882, 1, − 3<, 83, − 2, 2<, 85, − 3, − 1<
2 1 −3 3 −2 2 5 −3 −1

b = 85, 5, 16<;

O sistema é determinado (sistema de Cramer) e a solução é

381


382

sol = Cramer@a, b, xD

81,

<

− 3, − 2

Verificação da solução

[email protected]  bD

Tr ue

ü

Caso de um sis tema indeterminado

Neste outro exemplo, a matriz simples e o vector dos termos independentes são

Ha = 881, 2, − 1, 3<, 82, 4, 4, 3<, 83, 6, − 1, 8<
MatrixForm

1 2 −1 3 2 4 4 3 3 6 −1 8

b = 83, 9, 10<;


383

O sistema é duplamente indeterminado e a solução geral, sendo principais a 1ª e a 2ª incógnitas, será


: 12 H7

−

@D

4x 2

−

@ DL, x@2D, 12 H1 x@4DL, x@4D>

5x 4

+

As colunas principais da matriz simples são a 1ª e 3ª, confirmando serem estas as incógnitas principais escolhidas pelo algoritmo anterior. As equações principais foram as duas primeiras.

FilasPrincipais@aD

881, 2<, 81, 3<< Verificação da solução


Tr ue

ü

Caso de um sis tema imposs ível

Neste último exemplo, a matriz simples e o vector dos termos independentes são


384

Ha = 881, 5, 4, − 13<, 83, − 1, 2, 5<, 82, 2, 3, − 4<
MatrixForm

1 5 4 − 13 3 −1 2 5 2 2 3 −4

b = 83, 2, 1<;

Neste caso, o sistema é impossível

Cramer@a, b, xD

Cramer::imp: Sistema sem solução.

ü

Caso de um si stema indeterminado sobre o corpo dos comp lexos

Neste último exemplo, a matriz simples e o vector dos termos independentes são complexos

Ha = 881 + I, 3 − 2 I, 1 − I <, 82 I, − 2 + 3 I, 1 + I <, 8− 6 − 2 I, − 12, − 4 + 4 I<
1+ 3−2 1− −2 + 3  1 +  2 − 6 − 2  − 12 −4 + 4 


385

b = 86 − I, − 9 + 4 I, − 20 − 16 I<

86

− , − 9 +

4 ,

− 20 −

16 

<

Neste caso, o sistema é simplesmente indeterminado e foram seleccionadas as duas primeiras incógnitas para principais


:

−

4 53

+

14  53

H5

+

@ DL,

2x 3

−

2 53

+

7 53

HH1

−

16 

L H1 L x@3DL, x@3D> +

+

Verificação da solução


Tr ue

4.16.6. Uso da f unç ão Wr onski an[ ]

Remove@"Global`∗"D

? Wronskian Wronskian@lista,varD devolve o Wronskiano da lista de funções puras indicadas, usando a variável var como argumento.


386

f = 8Exp@− I 3 ω D &, Exp@− I 2 ω D &, Exp@− I ω D &, 1 &, Exp@I ω D &, Exp@I 2 ω D &, Exp@I 3 ω D &<;

Wronskiano não idênticamente nulo: lista f linearmente independente

Wronskian@f, xD

24883 200  ω21

f = 8Sin@D ^2 &, Cos@D ^2 &, 1 &<;

Wronskiano idênticamente nulo, porque a lista f é linearmente dependente

Wronskian@f, xD

0

f = 8Sin@D &, Cos@D &, 1 &<;

Wronskiano não idênticamente nulo: lista f linearmente independente

Wronskian@f, xD

Bibliografia

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