dA - - = --
J(b) - /(a) g(b) - g(a)
= g'(/J) ·
Demostración. Aplicaremos el teorema de Rolle a la función f' dada
por F(x)
-.1
= g(x)[/(b)- /(a)]-/(x)[g(b)-g(a)].
Es evidente que F es continua en I y derivable en J, puesto que f y g lo F(aJ. Por tanto, existe un punto son. Y se verifica fácilmente que f"(b) fl en J para el cual F'(/3) O. Esto prueba la primera parle. Si g(b)- g(a) =f=. O y si f'(/3) y g'(/3) no son ambas cero, entonces g'(/3) no puede
=
=
(153}
r 154
la regla de L' Hospital
propiedades de las funcion es diferenciables
ser cero; porque si lo fuera, entonces /'(/3) también se ría ce ro. A sí. puede dividirse entre g' (/3) y g(b ) - g(a) para obtener la segu nd a fó rmula.
1
Aun c uand o la demostración anterior es sencilla, depende de que se escriba correctamente la fun ción F. Existe una interpretación geométrica de este resultad o que ayuda a explicar la fo rma de F. Su póngase que se tiene una cu rva dada por
e
X
= g(t),
y
= f (1)
fa i:;;; I i:;;; bl.
Las coordenadas de los puntos ex tremos son [g(a), /(a)] y [g(b). /(b)] . La pendiente de la línea secante que une estos dos puntos es
7.2 LA REGLA DE L'HOSPITAL Para calcular los Hmites de las razones, nuestra única fórmula es
~i~ [j(x)/g(x)]
g(a)
=
[~~f(x)J/ ~~ g(x)J.
Por supuesto que esta fó rmula requiere que los dos límites del segundo miembro existan, y también que e l denominador no sea cero. Muchos límites importantes e interesantes no llenan una u otra de estas condiciones, de manera que esta fór mula no es ad ecuada para su evaluación. Un ejemplo sencillo está dado po r
. sen x 1 l1m--=, :r-0
f(/J) - f(a) g(b) -
155
X
el cual se aplicó con a nte ri orid ad y se estableció en el Capítulo 5. E n el siguiente teorema f y g están definidas en un inte rva lo abierto J. del cual a es un punto extremo. Se ent iende que los límites son límites laterales confo rme x ~a con x. po r supuesto. estand o en J : y también pueden ser límites impropios. e n el sen tido de qu e el «valor» de un límite puede ser + oo o bien - oo. Los límites tam bién pueden ser conforme x ~ + oo o bien - oo . en cuyo caso J será un interva lo semi-infinito de la forma {x > Xol o también lx < Xol. Este teorema se conoce com1' regla de !'Hospital. 7.2a
Teorema. Sea J un intervalo como e l descrito en los pá rrafos a nteriores. Supónga~e tambié n que f y K son fun ciones derivables en J. pa ra las cuales (i) Tanto g(x) como g'(x ) no se hacen cero en J. (ii) lim f'(x)
= A.
...... g'(x )
(iii ) /(x) (iii') g(x) Y si las funcio nes son suaves, la pendiente de la ta ngente en c ualq uier punto está dada po r dy dy/dt j'(x) -=--=-dx dx /dt g'(x) La igualdad sostenida po r el teorema entonces se lee geométrica men1e de la manera siguiente: Entre dos puntos cualesquiera de una curva suave C. existe un tercer punto en el cua l la línea tangente es paralela a la lín::a secante qu e une a los dos primeros. Siguiend o el proceso inve rso no es difícil ad ivina r que la funció n F que se examina es precisamente la que acaba de escribirse.
Entonces
~O
~
y g(x ) ~O conforme x
± oo conforme x
~a.
o bien
~a.
lim f(x) =A. g(x)
z-a
Demostración. Los casos diferentes cubiertos po r este teo rema se sumarizan en un a rgumento muy la rgo. Se darán las demostraciones de dos casos típicos para ilustrar el tipo de argumentos que se aducen: CAso l. a es un punto finito y se cumple la condición (iii) en lugar de la (iii'). Aquí definimos /(a) = g(a) = O de manera que f y g son continuas en x = a. Entonces. para toda x en J. puede aplicarse el teorema del valor
il 156 propiedades de las funciones diferenciables medio de Cauchy al intervalo entre a y x. Así, para cada x en J existe un punto fJ entre a y x para el cual
/(x)
/'({J)
/(z) - /(a)
g(x) = g(x) - g(a)
CASO
2. a =
+
+
oo, A =
g(z)
1-+ca
co
g(x)
1 1
=A.
g'({J)
-->
± oo.
Aquí se supon~ que f y g tienen las propiedades establecidas en J: > l. Entonces existe un X1 >: X 0 para el cual
Jx > Xo!. Sea dado M
/'(x) g'(x)
~ 2M + 2
· ·r·1cad o d e 1a h'1potes1s · · d e que A (El s1gm
/(z) -f(b) = f'({J) g(x) - g(b) g'({J)
> 2M + 2.
supuesto que lg(x)I-->
+
l
2
oo. Así. para
1- i
f(x) g(x)
>
M
= máx
x >X
f(x)/g(x) + 1>lM+
o bien
[Xi. X 2 ] se tiene
> 1.
El punto a en el cual se está calculando el límite tiene que ·expresarse explícitamente como se indica arriba, o bien hacerse notar en alguna forma. 1
a"-b EJEMPLO l. Calcular lim - - - si X Sección 5.2.] ...o
a> O,
b >O. [Ver Ejercicio Cl(c).
az - bz
az log a - h:r log b
X
}
-
ª
1oga - log b = log - . b
Aquí el símbolo ,.._, indica el paso en el cual se aplicó la regla de l'Hospital; la flecha indica el paso hacia el límite. Se deja al estudiante el verificar que es aplicable la regla de l'Hospital. Tener cuidado en evitar expresiones disparatadas tales como di! - bz - - - = az log a - b~ Jog b = log a - log b.
1 - cos x x2
=
1 - cos2 x sen 2 x (1 + COS z)r = -;;:- • 1 + COS X
1 1+
COS X -
1
l.
___ __
,
1 - cos x ,......, sin x _.,_, 1 x2 2z 2 En ocasiones, para evaluar algunos límites. es necesaria la aplicación repetida de la regla. scnz - x EJEMPLO 3. Calcular lim · x3 • r-o
es el significado de
/(x)
---->+f:J:>. g(x)
conforme x ~ a.
Se puede evaluar el mismo límite por la regla de l'Hospital:
2
siz> X.
Ya que esto es verdadero para todo M
f'(x) g'(x)
ro.J
El nuevo símbolo también es útil para eliminar factores de límites conocidos. como se ilustra en el siguiente ejemplo. J - COS X EJEMPJ.O 2. Calcular lim x2 • :-o Solución:
g(b)I 1 g(.z) <:
y
f(x) g(x)
se transforma en
z
> 2M + 2.
Si se mantiene h fijo. se ve que existe un x~ tal que
/ (b) 1 <: 1 1g(x)
lim f(x) = limf'(x) g(x) :r:-a g'(x)
---ro.J
es que esta razón se hace mayor que cualquier número prefijado si x es suficientemente grande.) Se escoge cualquier x > X 1 y en seguida h. de modo que x > b > X 1 • Aplicando el teorema del valor medio de Cauchy al intervalo desde b hasta x, se ve que existe fJ entre b y x tal que
f(x)/g(x) - f(b)/g(x) 1 - g(b)/g(x)
En lugar de escribir los símbolos de límite a cada paso del cálculo de un límite. para la regla de l'Hospital es conveniente usar el símbolo rv. el cual Se lee «tiene el mismo límite que». Así la ecuación
Solución:
= + oo- esto es. -f'(x) - -->+ oog'(x)
Así.
t
157
:-ca
Ahora bien, {J --> a conforme x --> a, de manera que :-+ca
i
la regla de L'Hospital
1
= g'({J) •
lím /(z) = Iím f'({J)
·f!····. t
1
11
fórmula de Taylor con residuo
158 propiedades de las funciones diferenciab/es
____
Solución:
(h} ¿Es 3z¡x100.ooo.ooo grande o pequeño para toda x grande?
___
__1 .
sen x - x ,....,, cos x - 1 ,...,, -sen x ,_.. :i:3 3z2 6x
6
La hipótesis debe satisfacerse en cada aplicación para poder aplicar la regla repetidamente. EJEMPLO
(1
+!)==
x log
,....,,
+1) = Jog (1 +l/x)
(1
limlog
+ l)](- l/x2)
a: .... ao
X
e1
z-.,,¡2-0 1
(p) lim (sec x)11=
= e.
= x2 sen l/x,g(x)
=tan x
conforme x - O.
conformex -
..::;: .
oo.
4. Sea f derivable en fx > x0 }. y supóngase que /'(x)--+ A conforme x--+ x. Demostrar que f(x)/ x-+ A conforme x-+ x.
:r .... O
>
S. Sea f derivable en fx x 11 }, y supóngase que /(x)--+ A y /'(x)--+ 8, demostrar que 8 = O.
>
1. Si f es derivable en {x x 0 } y /(x) que /(x) -+ A y f'(x) -+ O.
.
=-~
cos 7TZ
a_ 1 Jogx
(d) lim %-+CIO
:xf':x!'-
(j) Jim - - 1 :z-o+ tfZ -
a >0, h >O.
.i
conforme x ~ x
+ f'(x)--+ A
conforme x--+ x, demostrar
2. Considérese que f tiene n derivadas continuas en {x > x 0 }. y supóngase que f(x)lx"-+ A y /'" 1(x)-+ B conforme x-+ oo. Evaluar B en términos de A y n. /f'd(z) También evaluar lim ----;=¡- para J < k < n.
1. Calcular los siguientes límites: (b) lim
EJERCICIOS C
EJERCICIO A
oc> o
z-0
3. Supóngase que f y g son continuas y tienen derivadas continuas hasta el n-ésimo orden en una vecindad de a. Supóngase que f y g y sus primera~ (n - 1) derivadas se hacen cero en "· mientras que g 1• 1(a) *- O. Demostrar que conforme x - a,/ (x)/g(z) - J Cn>(a)lgCn>(a).
li,/e.
+ x)
x
Conciliar el comportamiento de estos ejemplos con la regla de !'Hospital.
:• log cos x ,......, ______ -tan x . 1. 1og (cosx)11 = z2 2x 2 Aquí, como en el ejemplo anterior. 2 lim (cos z)11= = e-H =
a:r•-1r•
+ a/z)l>Z
(b) f(x) = x - senx,g(x) = x
Solución:
sen Jx (a) lim - :r-o sen x
senx - x
r :r: ang sen x -
{/) lim :i.~ z-o+ (n) . Iim (tan x)••n 2z
cot x)
s-ao
(a) /(x)
X
EJEMPLO 5. Calcular Iim (cos z)tlr. z-o
(g) lim z-o
J
h-0
X
1 - coskx
( .>
O
i. Comparar el comportamiento de /(x)/ g(x) y /'(x)/g'(x) en los siguientes casos:
{1+1)== loglim {1+1)== 1. .:r-oo um(1 + 1):=
(e) lim x«e-z
>
1. Si f está definida en una vecindad de a, f es continua allí y /"(a) existe, demostrar que . /(a + 2h) - 2/(a + h} +/(a) -/"( ) hm Ir e a.
x =---1.
Entonces, tomando exponenciales, se obtiene
. tfZ - (1 (e) l1m x2 z-0
Ob
> '
EJERCICIOS B
1~
X
-1/x'J } +X Así, puesto que el logaritmo es una función continua. a: .... oo
(! -
(k) Jim z-0 x (m) lim (1
ª
z-.,,12-0
X
[x/(x
í
1 - tzZ (i) ·~~ t - Ir
(o) lim (tan x)tans
z-co
Jog
t }
4. Calcular lim (1 + !\2:. x}
Solución:
159
~-co X
oc> o 7.3
oc>
1
FORMULA DE TAYLOR CON RESIDUO
=
=
Se sabe que e' tiene el valor 1 cuando x O. es decir. eº 1. Así. uno podría razonablemente pregun~r ¿qué tan pró~imo se encuentra e"- a 1 cuando x es pequeño? ¿Es la diferencia aproximadamente de la magnitud
-~-
·r ~
,
, 1
' 160
propiedades de las funciones diferenciables
:...~~·.~
,,~
fórmula de Tay/or con residuo. 161
.
de la propia x, de x 2 , de v'x o de l /log (1 / x)? El teorema del valor medio proporciona un indicio, ya que afirma que
tt-eº tt-1 --= --= eP. X-0 X
1
donde f3 ~stá entre O y x. Por tanto, para x pequeña debe tenerse p aún menor, de manera que eB está cercano a 1 y e' - 1 es aproximadamente igual a x. En efecto, de acuerdo con la regla de l'Hospital
e'-1
conforme x
----e~~1
(1)
t
~
1 1
O.
El valor de n con el cual se termina este proceso depende de lo que se termini primero, el número de derivadas disponibles o nuestra paciencia. Pero en ningún lugar (a menos que f sea un polinomio) seremos capaces de terminar el proceso y obtener una igualdad entre f y el polinomio de aproximación en un intervalo. De aquí que se tienen las alternativas de continuar indefinidamente, como se hará cuando estudiemos las series infinitas. o detenerse después de un número finito de términos y escribir un término de corrección: 1 f (x) = f (a)+ f'(a)(x - a) + - f"(a)(x - a)1
2!
X
Así, interpretando el símbolo - como «aproximadamente igual». se tiene que e-z es aproximadamente igual a 1 + x cuando x es pequeño. Una vez más. puede inquirirse acerca de qué tan próximo es e' a 1 + x para una pequeña x. Comparemos la diferencia con x 2 • Aplicando otra vez la regla de l'Hospital. se obtiene ez - ( 1
(2)
x2
+ X)
ez - 1
1
~--~-
2x
2'
donde se aplica ( 1) en el último paso de (2). Esto sugiere que se compare la diferencia entre e~ con xª: ez - (1 + x + !x2) ez - (1 + x) 1 1 ~ ·--+- - • - = (3) x3 3x2 3 2
y I
+ x + ! x~
+ · · · + .!.. ¡
Esta expresión se conoce como la fórmula de Taylor con residuo, la cual puede establecerse para cualquier función que tenga n derivadas. El residuo Rn+i es simplemente la diferencia entre f y el polinomio de aproximación. La forma y la magnitud de este residuo es la que nos interesa ahora. En particular, estamos interesados en la información acerca de Rn+1 que nos ayudará a determinar la proximidad entre el polinomio y f. Empecemos con el siguiente teorema.
7.3a Teorema. Sean f y sus primeras n + 1 derivadas continuas en un intervalo cerrado l: {e ~ x ~ d}. Entonces, para toda x y toda a en /. se tiene f (x) = f (a) + f'(a)(x - a)
1
3!'
donde se aplica (2) en el último paso de (3). Es evidente que podría continuarse. Fácilmente pueden repetirse estos cálculos con cualquier función / suficientemente derivable en cualquier punto a. El teorema del valor medio sugiere que se compare /(x) - /(u) con x -a. En verdad. la existencia de una derivada requiere que sean comparables:
donde
Rn+l
Demostración.
f(x)- f(a)
-----...:a. f'(a). x-a
Esta expresaon. como en el caso anterior. nos conduce a comparar /(x) -
[/(a)
+ /'(a)(x -
a)] con
a) 2 :
/(x) - [/(a)+ f'(a)(x - a)] ,...../'(x) - /'(a)~~ • a (x-::- a)1 • 2(x - a) 21 ( ). El estudiante observa lo que se obtiene. Pronto estamos comparando f(x) con .
f (a) + f'(aXz -
a)
+
i!
f"(a)(z - a)1
+ ·· · +
!
! J<">(aXz - a)".
11 !
f.:i:(x -
a)"
+ Rn+l'
t)"/
a
Por el teorema 4.Sb, se tiene /(z)
Integremos por
1 = -¡ n.
+ · · · + .!. ¡
=!(a)+
partes, haciendo u =f'(t)
du =f"(t) dt
I:
f'(t)dt,
dv = dt V= -(x - t).
Con lo cual se obtiene
f(:i)
= f(a) -
Lzf"(tXx a) + Lz f"(t)(x -
f'(t)(x - t>[ +
= f(a) + f'(a)(x -
t) dt t) dt.
Repitiendo la integración por partes, derivando en cada ocasión a la derivada de f e integrando la potencia de (x - t), se llega por inducción a la fórmula establecida.
1
fórmula de Tay/or con residuo
162 propiedades de las funciones diferenciables
se cancela con f'(t) del término precedente y con uno de Jos términos del que le .sucede. Así se obtiene
7.Jb Corolario. Bajo Ja misma hipótesis de Ja proposición 7.3a. R
n+l
=
(n
1
+
1)!
¡
'
F'{{J)
dm:1de fJ se encuentra entre a y x. Demostración. Mediante el teorema del valor medio generalizado para integrales, se tiene Rn+l
=--¡1 íz¡
= -
t)" dt
= ¡
a
¡
n!
n
+1
a
=
¡
+ 1)!
1
/(a
intervalo cerrado /: (a~ X~ bJ y si r+ 11 (x) existe en todo punto del intervalo abierto J: (a< x < hl. entonces para toda x en J existe una p en J para Ja cual ¡
A
=
9
=
Enloces existe una f3 entre a y x para Ja cual F'(/J) O. Cuando se calcula f"(t) se efectúan muchas cancelaciones. Por ejemplo.
:, [(x - tlf'(t)] = (x - tlf"(t) - f'(t)
n!
A
= O.
+ .. • +¡
+ h.
fJ-a
+¡
Cualquier punto de este
=- h - = -;=:-;; .
·
Existen otras formas en las cuales puede escribirse el residuo. algunas de las cuales se discutirán en Jos problemas. Una importante consecuencia de estas fórmulas para el residuo es que ahora pueden darse algunas cotas numéricas para determinar qué tan aproximado es e) polinomio Je aproximación de Ja fórmula de Taylor a la función. Por ejemplo, . 1
ez = 1 + x donde
z'
zn
Asf, si
z1 2!
P (x) = 1 + z + - + • · · n
entonces En particular, si x
xn+l
+ -2! + · · · + -n! + (n + 1)! e'
p se encuentra entre O y x.
=
{f(x) - f(a) - f'(a)(x - a) - · • · _ ¡
+f"(a)h" 2!
{3-a
En efecto,
F(t) = f(x) - /(t) - (x - t)f'(t) - •.. - (x - t)"¡
=
+ h) = f(a) + f'(a)h
El punto fJ se encuentra entre a y a tipo puede representarse como
7.Jc Teorema. Si f y sus primeras n derivadas son continuas en un
ra
(:.: _ p)n
=
mente su existencia. El resultado, el cual se establece a continuación. en ocasiones se menciona como la forma generalizada del teorema del valor medio.
(n+l)!
n!
+
1
La aplicación del teorema del valor medio requiere la continuidad de 1 /<"+ >. Sin embargo. la conclusión del corolario es válida si se supone sola-
n!
¡
En la proposición del teorema se tomó el punto a como ef extremo inferior de un intervalo. Podría ser también un extremo superior. Así, si a fuera un punto interior, x podría estar en cualesquiera de sus lados. La fórmula de Taylor en ocasiones se da en una notación ligeramente h, entonc~s x = a + h y se tiene diferente. Haciendo x - a
a
Se desea aplicar el teorema de Rolle (3.6d) a F. De acuerdo con este teorema, F debe ser derivable en la < t < xf y continua en ~ t ~ xl. todos los cuales se satisfacen y F(a) debe ser igual a F(x). Evidentemente F(x) O. Ahora se escoge A de modo que también F(a) O. Así. se escoge
=-
Supuesto que p ;fo x, puede dividirse entre (x - p)• / n!, sustituir el valor previo establecido para A y despejar a f(x). Con ello se obtiene la fórmula deseada.
t)" dt
(x - a)n+1.
163
le= - P (x)I n
xn
+ -n!'
zln+l
= (nl + 1)! eP.
< O, entonces p < O y ell < 1; de aquí que le= - P (x)I n
<
lxln+l . (n + 1)!
·~.- _":,
t''
164 propiedades de las funciones diferenciables Y si x
¡
> O, entonces fJ < x y eP < e'; de aquí que le= - P (x)I "
xl"+l < l
(n ,_ 1)!
~
l
e=.
valores extremos
S. En las siguientes funciones, demostrar que para toda x en el intervalo dado Rn+l ~ O conforme n ~ :1) para la fórmula de Taylor centrada en x = O:
(a) senx (e) cos:r: (e} senh x
EJERCICIOS A
l. Escribir la fórmula de Taylor con residuo para las siguientes funciones en los puntos indicados. Haciendo n = 6, estimar la magnitud del residuo en cada caso: (b) COS X 0 y ?r/4 (d) e= O y. a
(a) sen x O y Tr/4 (e) e-= O y a (e) senh x O (g) log (1 + :t} O (i) a= o
(/) coshx O (h) :t6 + 3x3 - 4x2 (j) xª + sxa + 4
1 t
165
(b) eZ {-oo
{-oo
.
. .
~
.
a:c-b:
6. Si n = 2, aplicar la fórmula del E1erc1c10 A 1(1) para calcular bm - - - • ~-o :r: EJERCICIOS C
+2
1. En el Ejercicio 84, si / tiene n + k + 1 deriva
2
2. Obtener los primeros términos de la fórmula de Taylor para / en el origen, si
J. Escribir los primeros tres términos diferentes de cero en la fórmula de Taylor para las siguientes funciones: o (b) sen 2 x (a) sen x2 O o (d) tan x (e) sec x O o (/) ang tan x o (e) ang senz 11 o (h) c1 + x2) o (g) (1 + x)ª (j) e-=' O (i) r' o
3. Demostrar que en la fórmula de Taylor para sen x alrededor de x = O, R 2n = R211+1; y para cos x, R2n = R 2,._1 •
(1 f(x) =
{
+ x)l/: e
z
#=o
X
=0.
3. Demostrar que, para una a pequeña, la ecuación sen x = ax tiene una raíz cercana a .,,, Demostrar también que 11(1 - a) y v(I - a + a') son sucesivamente aproximaciones mejores para la raíz.
7.4 VALORES EXTREMOS
EJERCICIOS B l. Estudiar la función / dada por X CSCX
/(z) y demostrar que cerca de z
=(
1
X
=O,
= O, ese x = 1/z + z/6 + · · · ·
2. Obtener una fórmula semejante para col x. 3. Sea f una función par definida en una vecindad del origen. Demostrar que en la fórmula de Taylor alrededor de O solamente se tienen las potencias pares de x. Y si / es impar, entonces solamente se tienen potencias impares. Supóngase. por supuesto, la existencia de las derivadas necesarias. 4. Considere que (n + 1) derivadas continuas en una vecindad N del origen. Sea su fórmula de Taylor con residuo,
¡
/(:r:)
= Pn(;r;) + (n + l)! zn+I
ahora, el punto f3 depende de .t. Así, f°'+ 11 (/J(x)) es una función de x. Denótese por !f(x). Demostrar que rf(.'() tiene (11 + 1) derivadas en N excepto en el origen.
Hemos visto (Teorema 3.6a) que una condición necesaria para que una función derivable alcance un valor máximo o mínimo en un punto interior de un intervalo es que la primera derivada sea cero en el punto. Es evidente que este hecho no necesita cumplirse si la derivada deja de existir por lo menos en un punto del intervalo. Asimismo. no necesita cumplirse para un máximo o un mínimo que se alcanza en un punto extremo de un intervalo cerrado. Por ejemplo. la función dada por f(x) = x en {O ~ x ~ 1} alcanza un máximo en 1 y un mínimo en o. pero en ningún punto la derivada se hace cero. En los ejercicios se considerarán algunos casos de valores extremos en los puntos extremos y en puntos interiores donde la derivada no es cero. Aquí se discutirán qué condiciones adicionales garantizarán que un punto en el cual la derivada es cero es un punto extremo de la función. Es decir, se darán las condiciones suficientes para distinguirlos entre los diversos tipos de puntos en los cuales la derivada se hace cero. Tal punto recibe el nombre de punto critico de la función y se desea saber cuándo un punto crítico es un máximo, un mínimo o ninguno de los dos. Empezaremos por establecer un criterio aplicado en el cálculo elemental.
166
, .ejercicios
propiedades de las funciones diferenciab/es
7Aa Teorema. Sea /(x) derivable en un intervalo abierto /: {a
<
/(/3) ~ f(x) Y si f'(x) >O para x /(/3)
> f(x)
< f3
para toda x en J. y /'(x)
< (0)
para x >
/3.
entonces
f (x) = f(/J)
de acuerdo con que
f(x)
= f'(a)(/3 -
/'(a)~
x) ~ O
O o bien >O. Si x
/({3)- f(x) = f'(a)({3-x) ~O
de acuerdo con que f'(a) mínimo es semejante.
+ ¡
Demostración. Considérese el caso de un máximo. Escójase cualquier x en J. x ::f=. {3. Supóngase que x < f3. Entonces. por el teorema del valor medio (3.6e). existe un punto o: con x < a < f3 tal que
/(/3) -
Demostración. Supuesto que /'" 1(x) es continua y diferente de cero en p. ~xiste una vecindad N de f3 en la cual no es cero y en la cual su signo es el mismo que el signo de /'" 1(/3). Ahora, sea x cualquier punto en N diferente de {3. Entonces, de acuerdo con la fórmula de Taylor. se obtiene
para toda x =!= p en J.
Invirtiendo las desigualdades referentes a las derivadas. se tiene un mínimo débil o un mínimo estricto de acuerdo con que se tengan desigualdades débiles o estrictas.
o bien > O
> {3.
entonces
o bien> O
< O o bien < O. Evidentemente. el caso de un
1
Con base en este teorema se puede deducir la prueba usual de la segunda derivada para los puntos extremos. Sin embargo. la pasaremos por alto e iremos directamente hacia Ja prueba de la n-ésima derivada. 7.4b Teorema. Considérese que f tiene n derivadas continuas en un intervalo abierto/: (a< x < b}. Y supóngase que existe un punto f3 en J en el cual se tiene /'({3) = o..... r-•l(f3) = o y /<"l(f3) Entonces. si n es par. existe una vecindad N de /3 en la cual
*o.
/({3) > f (x) para toda f(fl) < f(x) para toda
X
X
** pp
en N en N
si si
r r
({3) < ({3) >
1
o
1
o.
Si n es impar, no existe vecindad de p en Ja cual f logre un valor extremo en p. Este teorema debe interpretarse. en relación con los puntos críticos. de la manera siguiente: Se· localizan los puntos críticos P como soluciones de la ecuación f'(x) =O -desde luego que este problema no necesariamente es fácil- y habiendo localizado uno en /3. digamos. se procede a examinar las derivadas superiores de f en {3. Si la primera diferente de cero es de orden impar, no se tiene máximo ni mínimo; si es de orden par. entonces existe un máximo local en f3 si es negativa y un mínimo local si es positiva.
167
P)",
donde z está entre p y x, y de aquí que se encuentra en N. Todos los términos intermedios se cancelan. ya que todas las derivadas hasta llegar . a la de orden n se hacen cero en p. Ahora· podemos deducir la demostración de nuestro teorema a partir de esta fórmula, de la manera siguiente: Supóngase que n es impar. Entonces /(x) - f(/3) cambia de signo siempre que (x - /3) cambia de signo -es decir, cuando x cruza de un lado al otro de {3-. De aquí que f(x)-f(/3) es positiva en un lado y negativa en el otro, o bien que f(x) es mayor que /(/3) en un lado y menor en el otro. En qué forma sucede lo anterior -es decir. en cuál lado f(x) > /({3)- depende del signo de r'(z). y de aquí que depende del signo de f"' 1({3). Supóngase ahora que n es par. Esto implica que el signo de (x - /J)ª siempre es positivo y, por lo tanto, el signo de /(x) - /(/3) depende del signo de ¡<">(z), y por tanto del de ¡<•>(p). En particular. /(x) - f(JJ) > O si t"'(f3) > O. y de aquí que se tiene un mínimo local. Y si f'" 1(/3) < o. se tiene un máximo local.
1
El teorema se mantiene verdadero bajo la hipótesis más débil de que existen (n - 1) derivadas en una vecindad de f3 y la n-ésima existe en {J. Sin embargo, la demostrclción requiere un examen más cuidadoso de la situación (ver Ejercicio Cl). EJERCICIOS A 1. Localizar e investigar los puntos críticos de las siguientes funciones:
1 z
1 z-1
(a) - - - -
1
(d) - - -logz X
(j)
zne-zl
(n > O)
4
1 z-1
zt+4 zt+2
(h)- - - -
(e) - -
(e) senz - tanz
([) seozi
z (h) logz
(i) logz
:z:
(k)
:rr
:el
(1) :i;l/•
2. ¿Cuál es el área del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo, con un lado del rectángulo a lo largo del diámetro del semicfn:uJo? 3. Una taza con la forma de un cono circular recto con una abertura de 21 y una
.....~..
.:~~
168 propiedades de las funciones diferenclables profundidad D se llena con un fluido. Dentro del cono se coloca cuidadosamente una bola de radio r. Encontrar r de tal manera que el volumen del fluido desplazado por la bola sea el mayor.
1
.1
EJERCICIOS B
v11.----
1. Localizar e identificar todos los punto~ extremos de erzª-z> 111• 2. Considérese que / es continua en {a <; x <;; b} y tiene derivadas laterales en todo punto. Sea Rf(x) la derivada lateral derecha y L/'(x} la derivada lateral izquierda. Demostrar que R/'(x) O y Lf'(x) ~ O en un máximo y que las desigualdades se invierten en un mínimo. Describir la situación en los puntos extremos a y b. 3. Sea /(x) continua en una vecindad Ñ de p; Dem\lstrar que una condición necesaria y suficiente para que / adquiera un máximo en p es que
parte
2
<
/(/l + h)
-
si h
/(/l){> o <0
h
si h
>
º·
y que para un mínimo las desigualdades para el cociente diferencia se invierten. En particular, demostrar que si R/'(/J) = - :r: y L/'({J) = + x, entonces f adquiere un máximo en p. (Ver Ejercicio 2 anterior para las definiciones de R/'({J) y L/'(/J). 4. Aplicar el problema anterior para discutir los valores extremos de f y g en el origen, donde e1/:Z: - 1
f(z = {:/•
y
g(:c)
=
x:;!:O
+1
r-·,.. o
.X=
:e :;!: X
o
o
=0,
EJERCICIO C l. Probar el Teorema 7.4b, suponiendo que
r
1
(x) solamente existe en {J.
CALCULO VECTORIAL
1! lf
l
8
~l
Vectores y curvas 8.1. INTRODUCCION Y DEFINICIONES
!
"
:~
,,
El concepto de vector es muy útil. Esta utilidad proviene de dos aspectos importantes de los vectores. a saber. que desarrollan un discernimiento altamente geométrico lo cual, por supuesto, es de desear, y que la notación vectorial permite escribir muchas fórmulas complicadas en una forma muy compacta. Esta economía en la notación viene acompañada de una mayor facilidad en el manejo de problemas difíciles. Empezaremos con una descripción físico-geométrica de los vectores y a!gunas de sus propiedades más obvias y, posteriormente, nos encaminaremos hacia las definiciones precisas y las demostraciones. Físicamente, consideramos un vector como una «magnitud dirigida» y. geométricamente, como un «segmento dirigido». Los vectores se representan gráficamente mediante un segmento rectilíneo con una punta de flecha en un extremo, la cual apunta en la dirección del vector, mientras que la longitud del segmento representa su magnitud. La fuerza, dicen los físicos, tiene magnitud (kilogramos. por ejemplo) y dirección, y por lo tanto puede representarse como un vector. Los desplazamientos son cantidades geométricas representadas mediante vectores. En efecto, en un sentido no técnico, la palabra vector significa «transportador». Así, geométricamente un vector es un desplazamiento que «transporta» un punto hacia otro. El desplazamiento desde el punto (x. y. z) hasta el punto ce•.,,,') se representa por el 'segmento que une estos puntos con la punta de flecha en (~• .,,. ~). La velocidad y la aceleración también son vectores, puesto que son la primera y segunda derivadas de un desplazamiento, respectivamente. Se dice que un vector a y un vector b (se usarán «negritaS» para denotar vectores) son iguales (a = b) si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Por tanto, el vector a desde (x, y. z) hasta (~ • .,,. ') es igual al si~-x -x' . .,,-y=.,,' -y' vector b desde (x'. y'. z') hasta(~'. r/, y' - z z', porque entonces tendrían la misma longitud y dirección.
= ,, -
r>
(171}
=e'
-~·
172
introducción y definiciones
vectores y curvas z
(~.71.f)
w....
x." - y , r -
r~ es.,.»
.i)
"(:x',y',.i') ~------Y
(1)
R
de producto vectorial o producto cruz. Se formularán todas las definiciones, y teoremas para tres dimensiones y posteriormente se comentará acerca de las otras dimensiones. Pero deberá mantenerse en mente, conforme se estudia este capítulo, que el considerar 3 dimensiones solamente es esencial en la discusión de los productos vectoriales. Una terna ordenada de números reales (a1, a 2, a3) recibirá el nombre de vector a, y el número an se llamará n-ésima componente de a. La colección de todas las ternas ordenadas con las reglas siguientes se Jlamará espacio vectorial tridimensional. REGLAS. Si a es (ai. a2. a3) y b es (h •• h2. b3), entonces
Esto nos permite considerar a todos lo;; vectores como si emanaran del origen. si se desea; de hecho. también puede considerarse cualquier vector con el punto inicial qué se estime conveniente y con un punto terminal determinado por su longitud y dirección. Si a es un número real y a es un vector desplazamiento. entonces aa es el desplazamiento cuya magnitud es lal veces la de a y está en la dirección de a si a > o. y en dirección opuesta a la de a si a < O. Se dice que a a es un múltiplo escalar de a. dando el nombre de escalares a los números reales cuando se usan como multiplicadores de vectores. La adición gráfica de vectores se sugiere por su interpretación como desplazamientos. Si a es un desplazamiento desde un punto P hasta un punto Q, y b es un segundo desplazamiento desde Q hasta R, entonces debe ser equivalente al desplazamiento desde P hasta R. Esto es equivalente a la regla del paralelogramo: si a y b tienen un punto inicial común. entonces a + b es Ja diagonal del paralelogramo determinado que tiene a y b como lados adyacentes. Esta imagen geométrica de un vector nunca debe perderse de vista. Servirá como guía en la discusión más formal que sigue. La mayor parte de nuestra atención se enfocará hacia los vectores tridimensionales. Sin embargo. existe solamente un concepto que no se llevará hacia n dimensiones, donde n puede ser cualquier entero positivo. Ese concepto es el z
z
a+i)Q
(J) (2) (3) (4)
a a
= b significa a1 = b1, a2 = b~. ªª = ba.
+ b = (a + b 1
1•
U2
+ b2.
aa
+ ba).
Si a es real. entonces aa = (aah aa2. aaa). - a significa (- l)a (-a .. -a2.-a3). (5) O = (O. O. 0).
=
Las reglas 1. 2. 3 y 4 son las definiciones de la igualdad de vectores. de la adición vectorial, de lá multiplicación de un vector por un escalar y del negativo de un vector. respectivamente. La regla 5 es para establecer una notación; introduce un símbolo especial para un vector especial. Observemos que las siguientes propiedades se cumplen para nuestro espacio vectorial.
8.la Teorema. (i) la adición de vectores es conmutativa: a
+ b = b + a.
(ii) la adición de vectores es asociativa: (a + b) + c =a+ (b + c). (iii) Existe un vector único O para el cual a + O a, para todo a. (iv) Para cada a existe un vector único - a tal que a (-a) O.
=
+
=
8.lb Teorema. Para todo escalar a y todo vector a, existe un vector llamado el producto de a y a, denotado por aa, con las siguientes propiedades: (i) la multiplicación por escalares es distributiva:
a(a
p
+
b)
= aa +
ab.
(ii) La multiplicación de escalares por vectores es distributiva:
>-------Y
(a+ {J)a
=
aa
+ pa.
(iii) La multiplicación es asociativa: (2)
173
(a{J)a
(3)
(iv) Oa
= O. la = a.
= a({Ja).
174
vectores y curvas
introducción y definiciones
Las demostraciones de estos teoremas son sencillas. Por ejemplo. demostraremos la parte (i) del Teorema 8.la. así:
a
ªª + ba)
+b=
(a1 + b1, a 2 + b2, = (b1 + a 1, b2 + a 2, b3 = b+ a.
+ a 8)
La. igualdad intermedia s~ basa en la propiedad conmutati~a. d.~ los números r~ales: )as otras dos igualdades se basan en la defm1c1on .de la adición vectorial. Las demostraciones restantes son igualmente senc11las Y s: dejan para los problemas. . . La razón para distinguir precisamente estas sencillas prop1edade.. es ésta: el Teorema 8.la dice que los vectores forman lo que se llama un grupo Abeliano bajo la adición y el Teorema 8.1 b dice q~e forman. u~ espacio lineal sobre el campo de Jos númer~s reales. (Es posible que estos términos sean desconocidos para el estudiante, pero los aprenderá en otros cursos.) . Además. lo que es más importante para el estudio del presente capitulo, todo conjunto de objetos (esto es, objetos ~a!emáticos). para los cuales la adición y la multiplicación escalar están d~fm1das ~ satisfacen los Teoremas 8.la y 8.lb recibe el nombre de espacio. vectorial: Este es el punto de vista abstracto para el estudio de los espacios vectoriales.. se verá qu.e algunas cosas sorprendentes resultan espacios vectoriales bajo esta definición. . Existen muchas formas para medir el tamaño de un vector. Por e1~m plo. podría usarse el valor absoluto de la componen!e mayor: Esta m~1da del tamaño da origen al así llamado espacio vectorial de ~anko~sk1 (ver Ejercicio Cl, Sección 8.3). Sin embargo, usaremos una medida mas conocida de tamaño. a saber la longitud Euclideana de un vector a. denotada por lal y definida por 4:
lal =
•
.J ª1" + a,,2 + ªa-2·
Un vector de longitud 1 se llama vector unitario. Con esta definición de longitud adjunta al conjunto de regla~ referen!es a los espacios vectoriales. el nuestro se transforma en un espacio vectonal Euclideano tridimensional y se denota por E3.
= a2 = "ª = O
En consecuencia,
ª•
y así
&=0.
Demostración. Si a
= O, entonces a 1 = a2
y así Inversamente, si lal
lal =0.
= O. entonces
= as = O,
(¿por qué?)
1
Regresemos brevemente a la relación entre Ja geometría y los vectores. En ocasiones se denotarán las componentes de un vector por x, y y z~ respectivamente. Por tanto, el punto (x, y, z) y el vector P con componentes x, y y z son realmente el mismo objeto, a saber la terna ordenada de números (x. y, z). La distinción entre los dos es, en gran parte, un intento. Usaremos la palabra «punto» cuando estemos interesados P!'incipaJmente en describir una posición. y la palabra «vector» cuando la terna sea Ja adecuada para ser relacionada con uno u otro de los tipos de cálculos vectoriales cuya descripción es el objeto principal de este capítulo, aunque frecuentemente combinaremos estos dos puntos de vista. El vector P (x. y, z) se llama vector de posición del punto P (x, y, z). De esta manera. «punto» y «vector» se usarán indistintamente, aunque generalmente la selección del término perjudique nuestro punto de vista, en el sentido descrito anteriormente. En particular, si P y Q son puntos (es decir, vectores) con coordenadas (es decir, componentes) (x. y, z) y (~. 'I· l;') respectivamente. entonces Q - P es el vector (~ - x• .,, - y, l;' - z) y puede imaginarse como el vector que une P y Q y apunta hacia Q. La notación vectorial frecuentemente simplifica las demostraciones de proposiciones geométricas elementales, como se ilustra a continuación.
=
=
EJEMPLO. Sean P .. P2. Pa y P4 cuatro puntos en el espacio. Demostrar que los puntos medios de los segmentos P1 a P 2 , P 2 a Pa. Pa a P 4 , P4 a P 1 son los vértices de un paralelogramo.
. Sean, respectivamente, Q., Q2. Q 3 y Q 4 los puntos medios. Entonces puede verse (¿cómo?) que
= (P1 + P2)/2 Q3 =
+ P3)/2 (P4 + P 1)/2.
Q2
= (P2
Q4
=
Así. el vector de Q1 a Q2 está dado por
Q2-Q1
8.lc Teorema. a = O si y solamente si lal =O.
175
= (P3-P1)/2,
y el vector de Q4 a Qa por
Qa-Q4
= (Pa-P1)/2.
De aquí que los segmentos de Q:: a Q 1 y de Q 3 a Q 4 son paralelos e iguales. Los otros dos lados son, en forma semejante, paralelos e iguales, de modo que la figura es un paralelogramo.
176
multiplicación de vectores
vectores y curvas
1n
en términos de los cuales todo vector puede expresarse .de una manera única. Se definen i, j. k por
EJERCICIOS A 1. Encontrar un vector unitario en la dirección de cada uno de los sigÜientes: (e) (3, -1, O) (b) (1, 1, 1) 2. Un peso de 141.4 kg se suspende como se muestra en la figura. Encontrar la tensión T. Aplicar la ley física de que las fuerzas se balancean en un estado de equilibrio.
i = (1, o. 0) j (0, 1, 0)
(a) (2, 4, -1)
k
Inversamente,
1).
= (ah a2. a3),
8.2a Teorema. Si a
+ "2i + aak. si a = a1i + a2i + .aak, = a.i
a
7
= = (0, O,
a= (a 1, a 2 , a3).
Demostración. Es evidente que (a 1, a2. a3)
141.4 kg
= (a., O, O) + (0, a2, 0) + (0, O, a3) = a 1 (1, O, O)
3. Probar que las medianas de un triángulo se cortan en un punto el cual las divide, respectivamente, en la razón 2: 1. 4. Probar que las diagonales de un paralelogramo se bisectan respectivamente. S. Probar que las bisectrices de los ángulos de un triángulo se encuentran en un
punto. 6. ¿Conduce la Regla 2 para la adición de vectores hacia la regla del parale· logramo? EJERCICIOS B 1. Sea a un vector dado diferente de cero. Demostrar que el conjunto de vectores de la forma aa donde a es un escalar, forma un espacio vectorial en el sentido de que satisfa~ las conclusiones de los Teo.remas 8.1 a y 8.1 b. Geométricamente, ¿qué representa este conjunto de vectores? (Este conjunto recibe el nombre de subespacio unidimensional de E 3 .)
2. Sean a y b dos vectores diferentes de cero, ninguno de los cuales es un múltiplo escalar del otro. Demostrar que el conjunto de vectores de la forma aa + pb, forma un espacio vectorial. ¿Qué representa geométricamente este conjunto de vectores? (Este conjunto se llama subespacio bidimensional de E 3 .) EJERCICIO C
<
l. Demostrar que el conjunto de funciones definidas en {O ( x 1} forma un espacio vectorial, donde los vectores individuales son funciones y los escalares son números reales.
8.2 MULTIPLICACIONES DE VECTORES Ahora. es conveniente introducir tres vectores unidad importantísimos,
= a1i
+
+a
(0. l. O) a2j + aak. 2
+ aa(O. O,
l)
Leyendo estas ecuaciones hacia adelante se prueba la primera parte; leyéndolas hacia atrás se prueba la segunda parte. 1 El primer tipo de producto de dos vectores que definimos es el producto interno, escalar o punto. Se denota por a . b y se define por
a· b
= a1b1 + a~b2 + aaba.
8.2b Teorema. El producto interno satisface las siguientes reglas: (i) a· b = b ·a (ley conmutativa). (ii) a • (b + e) = a • b + a • e (ley distributiva). (iii) (cxa) • b = ~ca b) (ley asociativa). (iv) a • a = lal 2 • La demostración es trivial y se deja para los ejercicios. Nótese que los vectores especiales i, j, k satisfacen las siguientes relaciones:
·
i·i=j·j =k·k=l i .j = j .k k •i o.
=
=
La magnitud de a · b puede estimarse en términos de lal y resultado se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz.
lbl. Este
8.2c Teorema. la · bl ~ lal lbl. y la igualdad se cumple si. y solamente si. uno de los vectores es un múltiplo escalar del otro.
=
Demostración. Si a= O o b O. entonces ambos miembros de la desigualdad son O y se cumple la igualdad (y también uno es O veces el otro). De aquí que se suponga para el resto de la demostración que a =f= O.
..
-~~, ,.:-;,::;,.''
178
multiplicación de vectores
vectores y curvas
Para to::los los números reales x. definamos la función q por q(x)
(1)
= lxa + bl2.
q(x)
2
=
lal + lbl 2
2 -
2lal lbl cos 8,
y mediante cáJcu]os vectoriales.
= (xa + b) • (xa + b) = x2lal
2
+
2a · bx
2
+ lbl -
Esta expresión se transforma. completando el cuadrado. en (2)
Nótese que tiene sentido geométrico el definir 8 como se hizo porque. por la ley del coseno,
la - bl
Entonces se obtiene
179
2
q(x) = lal {x
+ a· b/lal + [lal lbl 2
2 2 )
2
-
(a· b)2]/lal
•
>
lal2lbl2 - (a . b )2 > O.
la . bl ~ !al lbl. Ahora bien. la igualdad se cumple si. y solamente si. el valor mínimo de q es cero. Por el teorema 8.1 c. q puede ser cero si. y solamente si. existe un Xo para el cual xua + b = O - esto es, b = (-xu)a. 1 La desigualdad de Cauchy-Schwarz puede reescribirse .
b/lal lbl ~
=
(a -
b) ·
(a -
b)
= lal
2
+ jbl
2
-
2a • b,
a· b = lal lbl cos 8. De hecho. pudo haberse seguido este camino en primer término para probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Sin embargo, preferimos usar una demostración algebraica· Ja cual es independiente de la dimensión. aprovechando la geometría sólo como una interpretación. Si a · b O. se concluye que uno de Jos dos vectores es cero o bien que fJ = -rr /2. En cualquiera de los dos casos se dice que los vectores son ortogonales, otra forma de decir «perpendicular». Si un conjunto de vectores tiene la propiedad de que todo par de vectores en él es ortogonal. entonces recibe el nombre de conjunto ortogonal de vectores.
=
Transponiendo y extrayendo raíz. se obtiene
l ~ a ·
2
de donde se ve inmediatamente que 2
Es evidente. a partir de (1 ). que q(x) O y. de (2). que el valor mínimo de q e9 el último término en (2). De aquí que
-
¡a - bl
8.2d
El conjunto i, j, k forma un conjunto ortogonal de
Corolario. vectores.
Demostración:
l.
Con base en esta expresión es evidente que existe un ángulo único O en (O~ 8 ~ 71'} para el cual cos 8 =a· b/lal l~I· Se define este áng.ul? fJ como el ángulo entre a y b. Ahora podemos interpretar a· b geometncamente: a · b = lal lbl cos fJ = la longitud de la proyección de a sobre b multiplicada por la longitud de b; o bien. alternativamente. lal lbl cos 9 =la longitud de la proyección de b sobre a multiplicada por la longitud de a. el signo es positivo o negativo de acuerdo con que O>-rr/2 o bien tJ<:/2. La proyección de a sobre b se llama la componente de a en la dirección de h.
i · j = ( 1. O. O) · (0. J. O) En forma semejante
i ·k
= O + O + O = O.
= k • j =O.
1
Partiendo de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. puede probarse otrcl desigualdad muy útil. Geométricamente. a + b es el tercer lado de un triángulo cuyos otros dos lados son a y b. Por tanto. parece obvio que
ja + bl ~ lal + lbl, y que la igualdad debe cumplirse si el triángulo degenera en un segmento. con a o bien b como múltiplo no negativo del otro. Por razones obvias. este resultado se Uama desigualdad del triángulo. %
b
y
--~
180
vectores y curvas
8.2e Teorema. ¡a + bl ~ lal + lbl, y la igualdad se cumple si, y sola· mente si. uno de los vectores es un múltiplo no negativo· del otro.
multiplicación de vectores
lo cual
s~
ve fácilmente como el desarrollo de un determinante:
Demostración: 1a + bl 2 = (a
+ b) • (a + b) 2 = lal + 2a • b + lbl2 < lal2 + 2la • bl + lbl2 < lal2 + 21al lbl + lbl2 = (lal + lbl)2•
a
1
Explicar cuidadosamente las desigualdades de la dem~st~c!ón; en particular, ¿cómo se cubre el caso de la igualdad'? (Ver E1erc1c10 A4.) . Es evidente que la longitud de un vector no es menor que cualquaera de sus componentes: lal ~ !ami· Con base en la desigualdad del Lriángulo. puede demostrarse que su longitud no es mayor que la suma de los valores absolutos de sus componentes.
8.lf Corolario.
181
X b=
j
k
a1
ª2
a3
b1
b2
b3 •
forma que es más fácil de recordar. Puesto que los elementos de un renglón de este determinante son vectores. tomamos como su defini~ión el desarrollo dado por la fórmula precedente. Las conocidas reglas referentes a los determinantes deberán establecerse nuevamente, ya que consideran determinantes con elementos numéricos. En gran parte. este determinante se usa como un artificio nemotécnico 'y restringiremos nuestros cálculos a situaciones muy sencillas en las cuales el desarrollo haga notorio que su uso es válido. A continuación estableceremos algunas propiedades elementales del producto vectorial.
8.2g Teorema. (1) a X b = -b X a.
(2)
a X (b +e)= a X b +a X c.
(3) a X
(~b)
= (~a) X
b = !l(a X b).
(4) a X a= O.
(4') i X i = j X j ( 5J i X j
y
1
(2) a X (b
a X b = (a 2 b3
-
a 3 b 2• a 3 b1 - a 1b3, a1 l>2
-
+ j(a3 b1 -
a 1b3)
- ji ª2 ªª 1- ji ª1 031 + kl Cl¡ -
b2
b3
'11
b3
b1
+
k(a1b2 - a2b1),
ª2 I
b2 •
2
a3 C2
b3
+ C3
1- ji
ª1
b¡
+ C¡
D3
b3
+ C:3
1
a2b 1).
Esta expresión puede reescribirse como
a 3 b2)
il b ª2+
+ e) =
.
Otro tipo de multiplicación de vectores es el producto vectorial o producto cruz. Se denota por a X b y se define por
-
= k. j X k = i, k X i = j.
Demostración. ( 1) lnt\!:·:cmbiando las aes y las bes en cualquiera de las expresiones para a X b se cambia su· signo.
La .demostración de este corolario se deja como un · ·
a X b = i(a 2b3
O.
[Nótese que las p~1:m1tadones cíclicas de i, j, k llevan cualquier parte de (5) ha~i,: :::: ~~trai-, dos.]
¡ Demostración. ejercicio (86).
=k X k =
Ahora bien ª2
1b + c
ª3
I I ªªb~ I I ª2
ª2
ª3
I,
b3 + C3 = b2 + C2 C3 y todos los demás determinantes pueden descomponerse en forma semejante. Así. es evidente que pueden rearreglarse para formar a X b + a X c. (3) El escalar a entra simplemente como un factor común y puede facto rizarse. 2
2
1:¡: 182
los triples productos
vectores y curvas
(4) Se ve fácilmente que en a X a los coeficientes de i, j, k se hacen cero. (4') se deduce inmediatamente a partir de (4). (5) Mediante el cálculo directo se obtiene i . k i Xj
_, ..
=
l : O o 1 o
~~=
=k 1
1
k.
.
1
Las demás son igual de sencillas.
Las cinco partes de este teorema constituyen las reglas operacionales de los productos vectoriales.
x
8.2h Corolario. a
Demostración.
b es ortogonal tanto a a como a b.
Formando el producto interno a • (a X b) se obtiene
a· (a X b) =
a 1 a2
ªª = O.
b¡
b3
b2
El determinante es igual a cero puesto que tiene dos renglones idénticos. En forma semejante b · (a X b) O.
=
la X bl = ¡a¡ lbl sen fJ, donde fJ
8.2i Teorema.
es el ángulo entre a y b.
Demost raci<>n:
la X bl 2 =
(a 2b3 - a 3b2)2
+ (a3b1 -
= ª22ba2 - 2a2baaab2
+
ªa2b12 - 2aab1a1ba
+ ª12b22 Y
lal2lbl 2sen2 O = = (a12
+
2a1b2a2b1
a 1b3)2
+ (a1b2 -
2 a 2b1)
ªa2b22
+ +
ª12ba2 ª22b12·
1al2lbl 2(1 - cos2 O)=
+ ª22 + ªa2)(b12 + b22 + ba2) -
lal2lbl 2 - (a• b)2 (a1b1
+ &J2b2 + a3b3)2
183
Desarrollando esta expresión se ve que es la misma que la obtenida al calcular la X bl 2 • 1 Por tanto, a X b es un vector perpendicular al plano de a y b, cuya magnitud es el área del paralelogramo con lados a y b. También resulta que la dirección en la cual apunta puede determinarse por Ja llamada regla de la mano derecha, que a continuación se describirá. Primero, supongamos que nuestro sistema coordenado es un sistema «dextrógiro». como en todas nuestras figuras. Esto puede imaginarse colocando los dedos medio, índice y pulgar de la mano derecha de manera que sean mutuamente perpendicularés. Si el dedo medio· se apunta a lo largo de! eje x y el pulgar a lo largo del eje y, eñtonces el dedo índice apunta a lo largo del eje z. En un sistema coordenado de este tipo. la dirección de a X b es la siguiente. Empúñese suavemente la mano derecha con el pulgar salido. Si se curvan los dedos en la dirección de la rotación de a hacia b (en un ángulo menor que 71"), el puigar apuntará en la dirección de a X b. Una regla equivalente es que si los dedos medio y pulgar de Ja mano derecha se apuntan en Ja dirección de a y b, respectivamente, entonces el dedo índice, sostenido p~rpendicularmente al plano de los dedos pulgar y medio, apuntará en Ja dirección de a X b. Supóngase que a a1i y b b1i + h2i• Entonces, mediante un cálculo a1b2k; es decir, a X b está en la direcsencillo se encuentra que a X b ción de k o de - k, de acuerdo con que el signo de b 2 sea positivo o negativo. Así. se ve que las reglas se cumplen si a está en Ja dirección de i y b está en el plano de i y j. Para cualquier otra posición de a y b, argumentamos heurísticamente de Ja manera siguiente: Manteniendo fijo el ángulo entre a y b, y fijas sus longitudes. giremos Jos dos vectores a y b continuamente hasta que a apunte en la dirección de i y b quede en el plano de i y j. Entonces a X b, que evidentemente es una función continua de a y b, debe moverse continuamente. Puesto que siempre es perpendicular al plano de a y b, a X b apunta. ya sea como lo prescriben nuestras reglas o en la dirección opuesta. Además. a X b varía continuamente y nuestra regla describ: su dirección en la posición final. Por continuidad. entonces, la dirección de a X b debe estar dada siempre por esa regla.
=
= =
axb
8.3 LOS TRIPLES PRODUCTOS El triple producto escalar de a, b y e, en ese orden. es a · (b X e). El paréntesis puede suprimirse, puesto que solamente existe. u.n orden para el cual la multiplicación tiene sentido. Las propiedades elementales importantes del triple producto escalar se probarán en el siguiente teorema.
184
vectores y curvas
los triples productos · 185 ·
8.Ja Teorema. (i)
a • b )( e =
·'
ª1
ªz ªª
b1
b2 . b3
C¡
Cz
=
=
C3 •
(ii) Cualquier permutación cíclica de a, b y e deja invariante
al triple producto:
·
a·bxc=b·cxa=c·axb (iii) El intercambio del producto interno y vectorial deja invariante al triple producto escalar.
a · (b X e)
=a X b · e
Demostración: (i) Esta demostración es evidente a partir de la representación de b X e como determinante. (ii) Este hecho se deduce de (i), ya que una permutación cíclica de los renglon:s de un determinante no cambia el valor del determinante. (iii) De (ü), a · b X e e · a X b a X b · e, basándose la última 1 igualdad en la ley conmutativa para los productos internos.
=
magnitud es el área del paralelogramo determinado por a y b, y el cual es perpenélicular al plano de ese paralelogramo. Entonces a X b. e es la proyecciót( de e sobre a X b, multiplicada por la X bl. Así, si ,p es el ángulo entre e y a X b se tiene a X b • e la X bl ¡e¡ cos. ,p. Pero. ¡e¡ cos ,,, es -la altura del paralelepípedo cuya base es el paralelogramo determinado por a y b. De donde a X b ·e ± el volumen; se toma el signo positivo si ,p < -rr/2 y el negativo si ,p > -rr/2. Es decir, se escoge el signo posi· tivo si e y a X b apuntan hacia el mismo lado del plano de a y b; de otra forma se escoge el signo negativo. Los triples productos vectoriales de a, b y e, en ese orden. son a X (b X e) y (a X b) X .c. Aquí los parént~is son nec~sarios. ~uesto que este es simplemente un producto vectorial iterado, sus propiedades están determinadas por el producto vectorial. Sin embargo, existe una fórmula muy útil para ca1cularlos. la cual deduciremos a continuación. Es evidente que a X (b X e) es un vector ortogonal a b X e y de aqui que es un vector en el plano de b y c. Por lo tanto, debe poderse expresar como una combinación lineal (es decir, una suma de múltiplos) de b y c. En forma semejante. (a X b) X e debe ser una combinación lineal de a y b. El teorema siguiente da las fórmulas precisas.
=
8.3b Teorema. a >C (b X e)= (a· c)b - (a· b)c.
z
= (a· c)b -
(a X b) X e
(b • c)a.
Demostración. Probaremos este teorema demostrando que las componentes de ambos miembros son las mismas. La primera componente de un vector está dada por el producto escalar de ese vector con i. Así se demostrará que i ·(primer miembro)
= i ·(segundo
miembro).
Ahora bien
1 ::
=
" El triple producto escalar tiene un significado geométrico muy sencillo. ± el volumen del paralelepípedo con aristas a, b y c. Puede a X b •e observarse este hecho de la siguiente manera: a X b es un vector cuya
=
o
o
i ·[a >C (b X e)] =
::
a2(b1C2 -
1-1 ::+ ::11:: :: b2c1)
a3{b1C'3 - b3c1)
= b1{01C1 + 02Cz + 03C3) = (a· c)b 1
-
C1(a1b1
(a· b)c1
= (a· c)(i • b) - (a• b)(i •e)
= i ·[(a· c)b -
1
(a· b)c].
+ il2b2 + a3b3}
186
vectores y curvas ·
independencia lineal
La demostración para las demás componentes es semejante. Y la demostración de la segunda ecuación se deduce de la primera por la antisimetría del producto vectorial -es decir. dado que a x b b x a. 1 Ambas fórmulas pueden resumirse verbalmente mediante el siguiente artificio: Denótese el vector exterior al paréntesis como el «externo». el interior al paréntesis más cercano al externo como el «cercano». y el otro como el «lejano». Entonces ambas fórmulas se expresan por triple producto vectorial = (externo· lejano) cercano - (externo. cercano) lejano.
=-
=
2. Verificar que a X (b X a} estA en el plano de a y b y es ortogonal a a. 3. Sea á un vector diferente de cero. Demostrar que, para todo b
=
b a x (b x a)/lal 2 + (a • b) a/lal 2• Explicar el significado geométrico de cada término. 4. Obtener las dos fórmulas indicadas en A7. S. ¿Cuándo se cumple que a X (b X e)= (a X b} X e? 6. Probar que para sumas finitas de vectores
la + b + e + · •• 1 < lal + lbl + lcl + ••• • y deducir la demostración del Corolario 8.2( EJERCICIOS C
F.JERCICIOS A
a+ b, a • b, lal, lbl y la+ bl, y verificar que la · bl <; lal lbl la + bl " lal + lbl para los vectores a y b que se dan a continuación.
l. Calcular (a) (e)
y que
a = (2. 3, 4); b = (J, 2, 3) (b) a = (5, 2, -1); b = (10, 4, -2) a = (J, -1, 2); b = (3, -2, O) (d) a= (J, 4, 2); b = (-1, 4, -2)
En cada caso encontrar cos B. donde 9 es el ángulo entre a y b. 2. Haciendo a
expresiones
= i + 2j + k,
(a) a x b (d) (a x b) x e (g) (a x b) ·e (j} e x 2c
b
= i + j + k,
e = 2j
(b) e x a (e)
+ k,
calcular las siguientes
(e) a x (b x e) (/) a x a (i) a ·(a x b)
(a x b) x a
(11) a · (b x e)
3. ¿Bajo qué condiciones será a .x b =O? 4. Explicar en detalle las desigualdades usadas para probar el Teorema 8.2e. S. Calcular (a + b) X (a -b).
6. Demostrar que 2i ortogonal.
+ Jj-k, i + j + Sk,
16i- l lj-k forman un conjunto
.
l. El espacio de Minkowski M 3 es un espacio v«!_orial tridimensional con una definición diferente de la magnitud vectorial. En lugar de tomar longitud Euclideana se toma
como una combinación lineal (una suma de múltiplos) de a y b, y también de e Y d. ¿Qué puede decirse acerca de la línea a lo largo de la cual se encuentra este vector?
<
=
3. Considerando C 1 como el espacio de funciones continuas en {O<; finir 11111 por
Probar la desigualdad del triár.gulo
11[ + gll < llf 11
+ llgll.
L 1
11/11 por
11/11
Jfo 1 (x)l 1
=
f
2
dx =
f(x)g(x) dx, definir
v'(f.f).
Probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para C 2
l
11/ + gll < 11111 + llgll.
=
8
1}, de-
4. Considerando C 2 como el espacio de funciones continuas en {O< x (: 1} y
10. Realizar la demostración pam la componente j en el Teorema 83b. 11. Demostrar que a X (b X e) + b X (e X a) + e X (a X b) O. 12. Escribir la desigualdad del triángulo en términos de las componentes.
1. Probar que (a x b). (e x d) = 1 • e b. e I · a·d b ·d
x.;;
11/11 = J.11/(x)I dr.
a • b = Cla + bl 2 - lal 2 - lbl 2)/2 = Cla + bl 2 - la - bl 2)/4.
EJEROCIOS B
como la
la cual se llamará longitud de Minkowski de a. Probar que la longitud de Minkowski satisface la desigualdad del triángulo: la+ bl lal + lbl. 2. Considerando C0 como el espacio de funciones continuas en {O <; x <; 1} (ver Ejercicio CI, Sección 8.1), definir la norma de / por 11/11 max l/(x)I. O
8. Sean P, Q, R tres puntos en el espacio. Interpretar el significado geométrico de (P-Q) X (P-R).
Y
!al
lal = max l1a1I. la2I, laalJ,
denotando el producto interno de f y g por (f,g) =
7. Explicar geométricamente por qué (a X b)X(c x d) puede también expresarse
9. Demostrar que
187
8A
INDEPENDENCIA LINEAL. BASES. ORIENTACION
Supóngase que se tiene un conjunto finito de vectores V 11 V 2 • • • • , Vn· Entonces una suma
----==
~ 188
r
vectores y curvas
¡ donde las a son escalares. se IJama una combinación lineal de los V. Se dice que el conjunto de vectores es linealmente independiente si
~1V1
(1)
+rx..¿V2 + ... + rt.nVn =o
= = ···
=
implica que a1 a2 = ª" O-es decir. ninguna combinación lineal puede hacerse cero a menos que todos los coeficientes sean cero. De otra forma se dirá que es linealmente dependiente. En este caso existe un con· junto de a. no todas cero. para las cuales se cumple (1). Para un conjunto de dos vectores. V 1 y V 2 • la dependencia lineal significa que existen un a 1 y un a 2 • no ambos cero. para los cuales
+ rx..¿V2 =0.
«1V1
Si. por ejemplo a 1 =F O. entonces V1
Teorema. Los vectores i, j, k forman un conjunto linealmente independiente.
Demostración. Supóngase que existen tres escalares
ª"
+ ix:J + r.t.3k =
(«11
«21
= ª2 =
«3) =
t:t3
=
Demostración. Primero se observa que i', j', k' deben ser linealmente independientes (Ejercicio 87). Falta por demostrar que todo vector a a 1i + a 2 j + a:ik puede expresarse en términos de i', j', k'. Para el efecto. es suficiente que puedan expresarse los vectores base i, j, k en términos de i', j', k' (¿por qué?). Demostraremos cómo puede expresarse i en esta forma. Puesto que i, j, k forman una base (Teorema 8.4b). es posible expresar i', j', k' en términos de i, j, k. Sean
= IX11i + «1J + IX13k · j' = ~li + «2:J + rL¿ak k' = CX3¡i + CX32j + CX33k. i'
(1)
(2) (3)
Supóngase que fuera posible expresar i como una combinación lineal de i', j', k'. Entonces sea (4)
Calculando i · i' de ( 1). se obtiene
y de (4). i · i' = P1· Pi·= ªu·
o=
o.
=
En forma ~emejante. f3:: ·a::i. /J, «:11· De donde, si i tiene una representación (4). entonces (4) debe reducirse a
(O, o, O),
(5)
y por la definición de igualdad de vectores se tiene ª1
8.4c Teorema. Sea i', j', k' un conjunto ortonormal de tre.s vectores · en E 3 • Entonces forman una base.
=
0.
Entonces se deduce IX¡i
Geométricamente es evidente que cualquier conjunto de tres vectores ortogonales (1) puede constituir con igual propiedad una base en E3. Por simplicidad los tomaremos como vectores unitarios. Un conjunto. de vectores unitarios se dice que es normal y un conjunto ortogonal de vectores unitarios es ortonormal.
De aquí que
\
+ OC2j + rt.3k =
El conjunto i, j, k constituye una base en Ea. Demostración. Esta proposición queda demostrada por el contenido de los' Teoremas 8.2a y 8.4a. 1
8Ab Teorema.
a 2 • a 3 de ma·
nera que rt.¡Í
i
189
=
= -(r.t.2/r.t.1)V2.
Aquí la dependencia lineal significa que un vector es un múltiplo del otro. En este caso también se dice que los vectores son colineales, puesto que se encuentran en la misma línea que pasa por el origen. Por tanto. la colinealidad y la no colinealidad son equivalentes a la dependencia lineal y a la independencia lineal. En forma semejante. si un conjunto de tres vectores es linealmente dependiente. puede despejarse a uno en términos de los otros dos, de modo que aquél se encuentra en el plano de estos dos. En este caso se dice que los vectores son coplanares. Si son linealmente independientes. se dice qu: son no coplanares. Geométricamente es evidente que cuatro vectores cualesquiera en un espacio de tres dimensiones deben ser linealmente dependientes. La demostración de esta conclusión se deja como ejercicio. 8Aa
¡
indepenáencia lineal
1
Si un conjunto de vectores satisface estas dos condiciones: (1) es linealmente independiente y (2) todo vector puede expresarse como una com· binación lineal de sus vectores. entonces el conjunto se llama una base. Esto simplemente significa que. en cierto sentido, el conjunto contiene el menor número de vectores en términos de los cuales pueden expresarse los demás vectores.
Ahora se demostrará que (5) es un resultado correcto. Para el efecto. sustitúyanse i', j', k' dados en (1 ). (2). (3) en. (5) para obtener cx 11 i'
+ cx21 j' + 0t31k' =
0t11(cx11i
+ ix12j + cx13k)
+ IX21(tX:!lÍ + CX22i + IX23k) + r.t.31(ot31Í + OC32j + CX33k)
= i(rt.i1 + 0ti1 + ati1) + j(otuot12 + r.t.21!X22 + CX31ota2)
.. , \:\. ;
~'
geometría analítica vectorial 190
191
vectores y curvas
+ k(«11«13 + ~1~3 + «a1«33) = i(i' • i') + j(i' • j') + k(i' • k') = i,
bien se da en forma simétrica o paramétrica. Las ecuaciones paramétricas de una recta son de la forma
0
1
x = x0
basándose la última igualdad en la ortonormalidad de i', j', k'.
+ a1t
Y= Yo+ a2t.
Sea ., ., k' una base ortonormal en Ea. Entonces i' X j' puede expre•, J, sarse como una combinación lineal de i', j', k'. Pero, ya que es. ortogonal tanto a i' como a j', debe ser paralelo a k', es decir, un múltiplo escalar
z = Zo
+ ªª''
de k'. Ahora bien, ambos tienen longitud 1, de manera que debe tenerse i' X j' = k' o bien i' x j' -k'. Se dice que la base está orientada positivamente o bien negativamente de + k' o bien - k'. Esta afirmación también acuerdo con que i' X j' p~ede expr~r~e mediante el triple producto escalar: la base i', j', k' está orientada pos1t1vamente o negativamente de acuerdo con que
=
=
o bien
i' X j' · k' i' X j' · k'
=+1 = - 1.
Puede f!Xtenderse el concepto de orientación para una terna linealmente independiente y arbitraria de vectores: una terna ordenada a b e de vectores está orientada positivamente o negativamente de ac~erdo con que
o bien
axb·c>O a X b ·e< O.
En particular. nótese que a, b, :1 X b forman una terna positiva. puesto que (a X b) ·(a X b)
= la X
=
donde P 11 (xu. Yo. Zo) es un punto sobre la recta y ª•· ª"/.• a:1 son sus números directores. Estas son las ecuaciones de las componentes de
P =Po+ ta.
=
donde a a 1i + a 2 j + a:ik• Esta ecuación se llamará ecuación vectorial de la recta. Si lal = l. entonces t es la distancia del punto P, a lo largo de la recta. desde Po. medida positivamente en la dirección de a y negativamente en la dirección de - a (¿por qué?). Si las ecuaciones se dan en la forma simétrica. a saber
bl 2•
•La . orientación tiene un significado geométrico. Una terna positiva esta orientada de manera que e apunta hacia el mismo lado del plano de a Y b como el propio a X b (¿por qué?) y. en consccu:ncia. el lado del plano hacia el cual apunta e puede determinarse aplicando la regla de la mano derecha descrita anteriormente.
8.S GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL _Muchas de las fórmulas de la geometría analítica pueden establecerse sucmtamente en términos vectoriales. En esta sección se indicará breve e informalmente cómo puede hacerse en algunos casos sencillos, referentes a planos y rectas. En la. geometría analítica. una recta generalmente se especifica dando las ecuaciones de dos planos los cuales se intersectan a lo largo de la recta.
x - x0 - Yo - = -Y - =z-- -Zo,
ª1
ª2
ª2
puede hacerse el valor común de estas razones igual a t y reducirse a la forma paramétrica. Finalmente, si la recta está determinada dando dos planos que pasan por ella. existen ciertas formas usuales. aprendidas por el estudiante en la geometría analítica, para reducirlos a los planos de proyección y. a continuación, obtener la forma simétrica. lJn plano en Ja forma a 1x + a:!y + a:iz d es evidente que puede
=
escribirse
P·a =d. Así. la proyección de P sobre a es una constante. de manera que. eviden· temente. a es el vector normal al plano. Si a se normaliza para tener Ion-
·~.l
192
vectores y curvas
espacios de otras dimensiones
193
8.6 ESPACIOS VECTORIALES DE OTRAS DIMENSIONES: E,,
La .teoría del espacio vectorial Euclideano bidimensional E 2 se obtiene a partir de la teoría para E3 simplemente al suprimir la tercera compo· nente. Así, los vectores en E 2 son parejas ordenadas (a .. a 2 ) o bien números reales. Estos pueden representarse en la forma a 1i + ~j, donde i (1, O) y j = (0, 1). De aquí que toda el álgebra vectorial que no pertenece al producto cruz se traslada inmediatamente. Los espacios de dimensiones superiores son, tal vez, más dificiles de imaginar, pero el formalismo es casi idéntico al de E 3 • El espacio vectorial Euclideano tetradimensional E .. es la colección de todas las ordenadas cuádruples de números reales (alt a2. U3, a 4 ). Las reglas dadas para E 3 en la página 173 pueden establecerse otra vez para E... agregando simplemente una componente extra en eJ paréntesis, y la longitud de un vector (ai. a2. a3, a .. ) está dada por a
=
gitud uno, entonces P · a es Ja Jongitud de la proyección de p sobre a. En e.ste caso d ± la distancia perpendicular del origen al plano. Geométncamente, ¿qué determina el signo de d'! [Ver Ejercicio AS (e).] El pJano determinado por dos vectores, es decir. el conjunto de todos aa + f3b, donde a y b son no colineales. los vectores de la forma P puede escribirse como
=
=
=
P ·(a X b) =O
(ver Ejercicio C2). Otro plano que pasa por un punto P 11 y paralelo al · otro puede escribirse P
= Po + aa + {3b.
lal
VPº+ª7
I
1
I
=
••• ,
e,, dados por
e1 = ( 1, O, ... , O), e2 = (O, 1, ... , O), ... , en = (O, O, ... , 1) constituyen una base en términos de la cual pueden expresarse todos los vectores en E,,. EJ producto interno está dado por
.
'
Jª12+ ª22+ ªa2+ a42.
En general, el espacio vectorial Euclideano n-dimensional es Ja colección de todas Jas n-adas ordenadas de números reales (a., a 2 , ••• , a,,) que satisfacen nuestras reglas y para las cuales la longitud de un vector (a .. a2 •...• a,,) está dada por a lal = v,-a-12_+_a-22_+_·-.-.-+-a-ft2. Los vectores ei. e2 ,
Po~Po+b
=
+ · · · + a,,b,, = 2" ambm. 1 de Cauchy-Schwarz, Ja· bl ~ lal lbl. se cumple,
a· b = a 1b1 + a 2 b2
'
I
La desigualdad porque la demostración fue independiente de la dimensión. En términos de sumas. est1;t desigualdad se transforma en
IIambml < J±am M. 2
1
1
1
El ángulo 8 entre a y b se define por cos O =a· b/lal lbl. y los dos vectores son ortogonales si a· b =O -es decir, si a o bien b = O, o si 8 Tr/2. La desigualdad del triángulo, la + bl ~ lal + lbl. también se cumple, dado que en la demostración tampoco intervino la dimensión. Pero, tampoco el producto cruz se traslada. Todas las demás partes del álgebra vectorial se considerarán como si se hubieran probado para En
=
1
'I
ejercicios 194
195
vectores y curvas 6. Sean a = a 'i' 1
y no vacilaremos, en aplicar cualquiera. o todos nuestros resultados que
+ a 2'j' + a3k',
+ IP
- P1I =
aa'
b2'
b3'
donde el signo está dado por la orientación de i', j', k'. 1. Demostrar que todo conjunto ortogonal en E,. que no contiene a O es· linealmente independiente. s. Sea i', j', k' una base ortonormal en E;¡, considérese que estos vectores están expresados en térmir.os de i, j, k por las ecuaciones (1), (2), (3) de la Sección 8.4. Demostrar que i = cx11i' + cx 21 j' + ixs1k'
e
(e) IP - Poi - IP - P11 = e
3. Escribir una ecuación vectorial para la recta que pasa por P 1 y es perpendicu-, lar al plano de P., P 2 • P 3 • 4. Escribir la ecuación escalar del plano que pasa por P0 = (1, 2, -1) y es perpendicular al vector a = (S, 2, -2).
j =
S. Coisidérese un plano dado en la forma P ·a= d: (a) ¿Cuál es el significado geométrico de d/lal? (b) ¿Cuál es el significado geométrico de P 11 = da!lal 2 ? (e) Si P es un punto en el phmo ¿qué son Jos vectores P - P11 ? (d) Si P es un punto en el plano, calcular (P - P0 ) • a. (t>) Determinar las condiciones bajo las cuales P y Q estarán en lados opuestos del plano. 6. Sean a, b, e,· · •. e un conjunto linealmente independiente de vectores en E,r Demostrar que ninguno de ellos es cero.
EJERCICIOS B
1. Demostrar que cuatro vectores cualesquiera en E 3 forman un conjunto linealmente dependiente. Demostrar que, en general. n + 1 vectores cualesquiera en e,. forman un conjunto linealmente dependiente.
4. Demostrar que los vectores (1, O, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) forman una base en ~· Dar una fórmula que exprese cualquier vector a en términos de estos vectores.
i' X j' = k',
entonces
j' X k'
= i'
k' Xi'= j';
pero si
i' X j' = -k',
entonces
j' X k'
=-i'
k' Xi'= -j'.
«1J' + cx22i' + «s1k'
= «13i' + cx:z:J' + rt...J:Jk'.
k
9. Demostrar que el determinante de las a en el Ejercicio 88 es + 1 o bien - I, de acuerdo con que i', j', k' sea una terna orientada positivamente o negativa-
mente. También demostrar que Icx~n = 1 ICXmn~m,,
1
l
=o ICXmn«,,n = o
n
¡cx:an
e:
1
m
!
JO. Sea
si n :¡: p
m
si m :¡: P·
n
+ a2 j + a 3k y también a= a 1'i' + a 2'j' + a 3 'k'. Demostrar = ~11ª1 + CX12D2 + CX¡3D3 y ª1 = cxua1' + CX21ª2' + 1Xs1ªa' = CXz1ª1 + CX22ª2 + CX23D3 ªz = OC1~1' + a,22ª2' + «s~a' = CX3¡D1 + 0,3202 + 1Xs3D3 ªª = CX¡3D1' + tl.2302' + IXsaªa'·
a= a i
que
1
ª1'
a.,: 03 1
2. Dados a =FO y e, ¿cuál es el lugar geométrico de todos los puntos P para Jos cuales ax P =e? 3. ¿Puede definirse un procedimiento de división que complemente a la multiplicación vectorial? Es decir. dados a::/= O y e ¿puede encontrarse un b único tal que a X b = e?
Demostrar que
k'
a X b = ± ¡a ªz' b1'
2. Escribir una ecuación vectorial para la recta que pasa por P 1 y P2 •
S. Sea i', j', k' una base ortonormal. Demostrar que si
j'
1'
y
1. ¿Qué conjuntos se describen mediante las siguientes expresiones? (a) IP. - P 0 1 < e (b) IP - Poi = e (ti) IP - Poi
b1 'i'
i'
EJERCICIOS A
(e) IP - Poi >e
+ b 2'j' + b3 'k'. + a 2'b 2 ' + a 3 'b3'
=
= a 1'b1 '
a· b
no estén relacionados con los productos vectoriales. para los espacios vectoriales de dimensión arbitraria.
b
EJERCICIOS C l. Sean a, b, e tres vectores linealmente independientes en E,.. Definir a', b', e' por
a' =a b·a b' =b---a
1a12
,
e ·a'
e · b' · ,
e = e - lal2 a - lb'l2 b ' y demostrar que el conjunto a', b', e' es ortogonal. Este procedimiento para construir un conjunto ortogonal se llama proceso de ortogonalizaclón de GramSchmidt. Demostrar posteriormente que i', j', k' definidos por
i'
= a'/la'I
i' = b'/lb'I k' = c'/lc'I
~ . ..,,....
196
vectores y curvas longitud de arco
e.s un conju~to ortonormal y de aquí concluir que tres vectores cualesquiera ltnealmente independientes en E , forman una base. l . Demostrar que una condición ne~esaria y suficiente para que a, b, c sean copla. nares. es que a X b ·e = O. Apltcar el resultado obtenido en el ejercicio C! anterior.
ción (1) ,es equiva len te a especificar cada componente co mo una función de f (2}
8.7 FUNCIONES VECTORIALES. CURVAS Si a cada número real t en algún dominio -digamos un intervalo 1: {a < ~ < bl- se le asocia un vecto r P en E, (o bien E")' el conjunto d ~ parejas ordenadas (t, P), d o nde t está en / y P es el vector correspond1.e~te, se llama función vectorial en / . Se denota por F y está dada simbo ltcamente por
(1)
P
= F(t)
la <
t
< b}.
El ~unto P correspondiente a t recibe el nombre de valor de F en t, y el con¡unto de puntos P en E,, los cuales son valores de F para algún t en / , se llama rango de F. Se d irá que F es continua en f u en / si para todo < > O existe un 8(<. fu) tal que IF(t) - F(fo)I < < para todo f en ¡ para el cual lf-.tol< 8. Especificar un vector para cada f significa especificar tres númer~s reales para cada t, a saber las componentes del vector. Por tanto, la ecua-
197
X=
z = h(t).
y = g(t)
f(t)
El estudiante debe convencerse por sí mismo que requerir que F sea continua en un punto f o es requerir que las tres funciones f. g y h sean continuas en f o. (Ver Ejercicio 8 l. Aplicar el Corolario 8.2f.) Si Fes continua en /, se dará el nombre de curva al rango de F. parámetro de la curva a te intervalo del parámetro a / . Seguramente el estudiante habrá reconocido las ecuaciones (2) como la forma paramétrica usual de las ecu3ciones de i.;na curva. Ahora bien. una curva puede ser un conjunto mu y compl icado. de hecho. existen curvas que llenan un cubo. Tal curva recibe el nombre de curva llena-espa cio o curva de Peano. (Sí, el mismo Pcano cuyo nombre se asoció con los axiomas para los números naturales.) Para referencia. a continuación se establecerán a lgunas d efiniciones. Una curva cerrada es una curva dada po r ( 1) con la propiedad de que F(a ) = F(b) ; esto es. el punto termina l sobre la curva coincide con el punto inicial. Un arco simple (o bien, una curva simple sencilla no cerrada) es una curva dada por (1) con la propiedad de que F(f ,) = F(f 2 } implica f, = f2 ; es decir, la curva no se «c ru za» a sí misma , ni siqu ie ra se «toca». Una curva cerrada simple o curva de Jorda n es unil curva cerrada con la propiedad de que F(r,) F(f2 ) implica que (1) t, t 2 o bien (2) r, = a y t, b (o pu ede ser en sentid o contrario: t 2 = a y t, b). Una circunferencia es el ejemplo más s::ncillo de una curva de J ord an :
=
=
=
a COS Ü) y = b seno
=
X =
{O< O < 277}.
z=O
8.8 CURVAS RECTIFICABLES Y LONGITUD DE ARCO
11
Sea f una funci ó n real definida en un intervalo una partició n de / :
ll: a= t0 Entonces, si las sumas ( 1)
<
11
< ··· <
ln-l
<
/ :la < f
t" = b.
< bl
y sea
198
longitud de .arco
vectores y curvas
199
Ahora es evidente que existe una íntima relación entre la rectificabili· dad y la variación acotada. como se demostrará en el siguiente teorema.
z
8.8a Teorema. Sea C una curva dada por P
= F(t) = /(t)i + g(t)j + h(t)k..
/:{a~
t
~
b}.
Una condición necesaria y suficiente para que C sea rectificable es que f, g y h tengan variación acotada.
Demostración. Necesidad. Supóngase que C es rectificable y que Le. dado por (2'). existe. Sea A cualquier partición de /. Entonces
y
1/ (tm) - J (tm-1)1 < IF(Tm) - F(tm-1)1, dado que un vector tiene una longitud mayor~-que cualquiera de sus componentes. Por tanto,
:e
son todas acotadas se dirá que f tiene variación acotada sobre /. La variación de f sobre/ se define como el suprémum de los valores de !as sumas tomados sobre todas las particiones de 1: V1 = sup I
(2)
1
¡•
1/ (tk) - f (tk-1)1.
Puede hacerse una definición ªsemejante en el caso de una función vectorial. Sin embargo, en relación con las funciones vectoriales continuas (es decir, con curvas) esta definición tiene un significado geométrico muy importante. como se verá a continuación. Sea C una curva dada por P
= F(t)
=
10
= F(t
m
111)
= O,
1. . ... n.
La suma análoga a la suma ( l) es (l ')
LA
= IA IF(tm) -
F(tm-1)1 =
I IPm A
IF(tm) - F(tm-1)1
< l/(tm) - f
(tm-1)1
+ lg(tm) -
g(tm-1)1
+ lh(t.J -
t IF(tm) -
F(tm-1)1
<
V¡
h(tm-1)1.
brada» o <
Si Jos números L no están ac~tados. s: dice que la curva no es rectifica· A ble o que no tiene longitud de arco.
1
+ V, + ~.
Ahora bien. es de esperar que si se corta una curva rectificable en un punto. entonces las dos secciones deben ser rectificables y la longitud total dc;:be ser la suma de las longitudes de las dos secciones. En verdad, este es el caso.
p m-11,
y de la última forma se ve que esta suma es la longitud de la «línea que-
(2')
IF(tm) - F(tm-1)1
Sumando sobre A y aplicando (2), se obtiene
Sean los puntos P 0 , P, . . . P" dados por Pm
J (tm-1)1 < I
a De aquí que f tiene variación acotada, así como también g y h. por el mismo argumento. Suficiencia. Supóngase que /. g y h tienen variación acotada. Esto significa que V1• tal y como se definió en (2), existe; así como también V 11 y Vh· Entonces. por el Corolario 8.2f. A
ta~ t ~ b}.
y sea A una partición del intervalo del parámetro: A:a
'
~ l/{tm) -
=
F(t), /:{a ( 8.8b Teorema. Sea C una curva rectificable dada por P t ~ b}. Sea e: un punto intermedio en I y denótese por C 1 y C 2 las dos curvas dadas respectiva.mente pof
P = F(t) P F(t)
=
l1:(a ( t (el 12: fe ( t ( b}.
Entonces tanto C 1 como C2 son rectificables y
Le= Lc1
+ Lc2·
Demostración. Sean A1 y ~2 particiones de Juntas forman una partición A de/. Así.
/1
y 12. respectivamente.
200
curvas diferenciables
vectores y curvas
201
tud sobre el intervalo desde a hasta t) sea una función de t estrictamente creciente. Esto significa que t puede expresarse en términos de s, de manera que la longitud de arco siempre puede introducirse como un parámetro de la curva en una cu rva rectificable. La demostración de estos hechos
(3)
de modo que L 6 1 < Le - L6 ,.
Si se mantiene A2 fija, se ve que el conjunto de números Lo.1 es acotado de manera que C, es rectificable. Intercambiando A, y A2 se ve, mediante el mismo argumento, que C 2 es rectificable. Entonces, puesto que se cumple (3) para todas las particiones A, y A·,, inmediatamente se tiene
z P(b)
(4)
Para obtener la desigualdad inversa de (4), sea A cualquier partición de /. El punto intermedio c caerá en algún intervalo t, digamos tp y tp_,. Entonces, introduciendo c como un punto adicional de partición, se tiene por la desigualdad del triángulo (5)
IF(t,,) - F(t,,_ 1)1
<
IF(t,,) - F(c)I
+ IF(c) -
F(t,,- 1)1.
sería un poco largo, sin embargo, ahora volveremos nuestra atención hacia las curvas diferenciables. Se establecerán éstas y otras propiedades para tales curvas. Sea F una función vectoria l definida en / :la~ t ~ bj. Se dirá que F es diferenciable en un punto 10 en I si li m
F(1 0
+ h)h -
F(10 )
h-0
Esto también crea particiones A, de / 1 y A2 de /, por el cual se tiene, por (5)
existe. El valor de este límite, cuando existe, se llamará derivada de F en 10 . F es diferenciable en I si es diferenciable en todo punto en /, por supuesto que las derivadas en los extremos son derivadas laterales. 8.9a
A partir de esta expresión es evidente que (6)
Entonces (4) y (6) juntas completan la demostración.
= F' (to)
Teorema. Una condición necesaria y suficiente para que una función vectorial F ·= (/. g, h) sea diferencia ble es que /, g y h sean diferenciables.
Demostración. Necesidad. Sea F'(to)
= a = a,i + a j + a,k. Entonces 2
1
8.9 CURVAS DIFERENCIABLES Mucho puede demostrarse acerca de la longitud de arco sin otra hipótesis más que la rectificabilidad - por ejemplo, que la longitud de arco es una función continua del parámetro de la curva, t, y que una curva siempre puede reparametriza rse de manera que la longitud de arco s(t) (longi-
Conforme h ~ O, el primer miembro tiende hacia cero. De aquí que también el segundo miembro debe tender hacia cero y se concluye que De manera semejante,
/'(to) g'(to) h'(to)
= a,. =~ = a3 .
202
vectores y curvas
curvas diferenciables
= a,, g'(to) = ª" y
Suficiencia. Supó ngase que / '(111) nir a = a, i + aj + u,k y esti mar
1F(10 + I~ -
F(lo) _ a
= ª"· Defi-
In
y que
= a.
1
ción debe se r evidente. A continuació n se demosi rará qu e s i C está dada
= F(t)
l :la < 1< bl
d o nde F es conti nu amente diferenciable en / . entonces su lo ngitud de a rco está dada por una integral. 8.9b
Teorema.
L(t0 , t0
/ :la <
t ~
hl.
Demostració n.
f
= L(to. to + h)
1F'(t)I dt.
+ h) - F(t0 )1 = hl[F(t0 + h) L(tu. fu + h) = s(lu + h) - s(tu).
IF(t0
s(to + Ji)~ s(to)
(7)
>
"
Para estimar desde arriba. sea hasta t 0 + h. Entonces
l[F(t0 6
+
F(t 0 )]/hl.
h) - F(t )]/hl . 0
una partición del intervalo desde 111
F(t,.. - 1)1
ó
= L J [!(t,..) -
f(tm - 1)]
2
+ [ g(t.,,) -
g(tm - 1)]2 + [h(t,..) - h{t,., - ¡)]2
ó
d o nde F es diferenciable en I y F' es continua en / . E ntonces
Le =
+ h) >
Po r lo tanto, dado que
L IF(tm) -
Sea C dada por
P = F(t)
s(to)
donde L(10 • 10 + h) es la longitud del segmento de C entre lo y tu + h. Procederemos a estimar esta lo ngitud desde arriba y desde abajo. Primero el lado fácil :
La a na logía entre nuestras discusiones de longitud de arco e integraP
sobre esa parte de C definida por P = F(t) , la < t < tu}. E ntonces. d ebido a la 'aditividad de la longitud de arco (Teorema 8.8b). s(lo + h) -
I·
Po r el Corolario 8.2f. se ve que Fes diferenciable en F'(to)
h'(tn)
203
Por el teorema del valor medio. esta expresión puede esc ribirse en la forma
Ió Jr 2C~m) + g ' 2C'Y/m) + lr' 2am)
Considérese que s(to) representa la longitud de an.:n
donde ~m· 'lm• '"' todos están en ltm-1
< t <1,,.1.
A ho ra bien. f', g'. h' son conti nu as; de aquí que existe un punto~ entre 2 10 y 10 + h en el cual {' alcanza su máxim o pa ra ese intervalo, un punto r¡ 11 en el cua l g alcanza su máximo y un punto ' en el cua l '1' 2 alcanza su máximo. Entonces. estimando la última exp resión. se obt iene
Ió
IF(t,,,) - F(t,,, _1)1
<
Jr 2m + g '2(r¡) + h'2m I <1,, Jr m + g'2(r¡) + h' W h
1,,, -1>
ó
=
2
2
Ahora, la suma de la izquierda es una suma de aproximació n para L(lo. l o + h); de aqu í que el segu nd o miembro constituye una cota superior para todas esas sumas. Por tanto, se obtiene
(8)
s(lo
+ h) -
s(t) = L(to,
'º + h) < Jr m+ g' (r¡) + h' W h. 2
2
De (7) y (8) se obtiene
l[F(t0
+ h)
- F(/0)]/hl
< <
+ h) - s(t0 )] /h Jr2m + g'2Cr¡) + ¡,·2m. [s(t 0
2
curvas diferenciables 204
205
vectores y curvas
Conforme h ~O, se tiene que ~. r¡, C cada uno ti ende hacia to. De donde. ambos miembros de esta desigua ldad se transforman en lf'(to)I. de modo que finalmente se ve que
s'(t0) = IF'(t0)1
dF1 =
De donde 1
ds
1
IF'(t)I = l . s'(t)
=JJ'2(t0 ) + g ' 2(t0 ) + h' 2( 10)
para todo to en I : la ~ t ~ bl. Pero. po r hipótesis. IF'(t)I. es u na función continua y, por lo tanto, una función integrable sobre / . Entonces, por el Teorema 4.Sb,
s(b) - s(a) =Le= f lF'(t)I dt
=
f.Jí'~(I) +
g'2(t)
+ h' 2(1) dt. 1
De paso. comentemos otra fo rma de demostrar este últim o teorema . Podría haberse definid o Le por Le = lim L :i. . En efecto . puede p roba rse 11611-0
.
que esta definición es equiva lente a la que se di o. pero hacerlo sería casi tan difícil. aplicando en g ra n parte el mi smo tipo d~ iirgumento, como probar que una integra l es el límite de una suma de Riemann. Defini endo en esta forma la longitud de arco. se obse rva que las aproximaciones L son de forma muy semejante a la de las su mas de Riemann. Son tan semejantes que pueden llevarse a esa forma con un e rror que tiende hacia cero conforme llAll ~ O. Ahcra sería conveniente tener a la longit ud de arco como un pa rámetro de la curva. A sí, empecemos por dar las c o nd: ~ : a n s b:::j;_) las c1:ales podemos hacerlo. Como se indicó anteriormente. e~to siempre es posible para las curvas rectificables, pero dar la demostración únicamente sobre la hipótesis de la rectificabilidad está un poco más allá del alca nce de este libro. 8.9c
Teorema.
Sea C una curva descrita por
P = F(t) =f (t)i' + g(t)j
+ h(t)k
!: {a < t
< b},
donde F'(t) es continua y nunca se hace cero. Entonces la longitud de arco puede introducirse como un parámetro de la curva y ldF/dsl = l.
Demostración. Por el Teorema 8.9b, se tiene s'(t) = IF'(t)! > O. A sí. s(t) es monótona estrictamente creciente y conti nua. Po r tanto, tiene una función inversa única t(s) d onde t'(s) existe y es positiva en 10 ~ s ~ L e} . De donde C está dada por
P = F[t(s)] = f [t(s)]i
+ g[t(s)]j + l!ft(s)] k
{O< s < Le},
y po r la regla de la cadena se tiene
dF ds
= [j'(t)i + g'(t)j + /J '(t)k]
Geométricamente. el cociente diferencia
[F(tG+ h) - F(t 0 )] / h
= F'(t)/s'(t).
=
=
T = dF = dx i ds ds
+
dy j ds
+
dz k ds
se llama vector tangente unitario, porque su longitud es uno. de acuerdo con el Teorema 8.9c. Puede calcularse mediante la fó rmula
T
=
F'(t)/s'(t)
=
F'(t)/IF'(t)I.
Supóngase ahora que F tiene derivadas superiores. Obsérvese que
T·T=I. Así [ver Ejercido A l(b)] dT
dt ds
=
puede interpretarse como un vr.cto r con su punto inic.:ia l en P(to) Fít,,) F(to + h). Por tanto, representa un vector secante de la curva en P(to). Conforme h ~O. el punto P (to + h) F (1 0 + h) se d esliza hacia abajo de la curva y en el límite coincide con P(10 ). La posición límite del vector se llama vector tangente. E stá dado por F'(to). En particular, el vector
y apuntando desde allí en la dirección de P(tu + h)
T.- =0, ds
206
vectores y curvas
ejercicios
o, en la fo rma coordenada.
h~x+~~ + ~~=O. ~~
~~
207
una partición d e / . En cada interva lo d e partició n h: ltk-• :¡;;; t :¡;;; tkl se escoge ~n punto Tk y se fo rma la suma
_¿ Fh) 6.kt.
SA(F, T) =
~~
A
Si J
=
lim ,S ,. existe. se dice que J es la integra l de F sobre I y se de llAll- ·O
nota por
J
= fF(t) dt
Debe aclararse que una condición necesa ria y suficiente para que F sea integ rable es qu e f. ¡: y h sea n integra bles. En este caso
f
F(t) dt
=
+
iI:J(t) dt
jf
g(t) dt
+k
f1i(1)
dt.
EJERCICIOS A J. Sean F y G funciones vcctot"ialcs d1fcrc11ciables y o una fll nción esca lar dife. rc m:iablc. Probar 4uc
d
dF
dr
dr
(a) - (aF) = a -
dT/ldTI ds ds dT - =KN
De donde
ds
d J¡
(e) - (F
G) = F
X
dF
dr
dG -d I
dF
+ -dI
X
~=-:i
G
-=:1
2. Demostra r 4uc s i fes u na fu nción monóto na en / : la " r ~ b ). entonces va r iac.: ió n acotada a ll í y V 1 = l/(h) - /(ali . (a) p
=
(b) P
f
tiene
I"
=
b
=s.:n = sen
¡j
+ <:OS rj + Clk + cos h1j + u k
ari
4. Hacer un cs4uema de la c urva del ejercicio J(a ) anterior mostrando T , N y B en e l punto donde r = "/2. S. Cons iderando q ue 1 represer.ta el tiempo en el Ejercicio A3, calcular la veloc idad y la acelerac ión e n térm inos de T, N y B.
=
r"i 6. Sea C una c u rva dada por P do nde s se mide desde el origen.
=
=
,e¡
+G ·-
J. Encont rar T, N y B p:i ra cada una de las sig uientes curvas:
=
< /1 < · · · <
X
F
~
~
'
donde K es una funció n escalar de s (o de t) a lo la rgo de C. llamada curvatura. El vecto r N se llama norma l principal de C en el punto donde se evalúa. El vector B definido por B T X N recibe el nombre de binormal. La triple T, N, B for ma una terna de vec to res orientada positivamente. Si P F(t) d escribe el movimiento de una partícula qu e se mueve a lo largo de C. donde t representa el tiempo. entonces los vectores V = d P / dt y a d'P /dt1 reciben el no mbre de velocidad y aceleración de la partícula, respectivamente. Se concluye este ca pítulo con a lgunas observaciones acerca de la integ ración vectorial. Sea F fi + gj + hk una función valuada vecto rial mcntc definida en / : la :¡;;; t :¡;;; bl. y sea
6.: a = 10
dr
d dG (b) - (F · G) = F · dr dr
=
De donde dT / ds O o bien T y dT / ds son ortogonales. En todos los pu ntos dond e dT / d.1· =!= O. se d efine a l vector unitario N en la direcció n de dT/ ds como N=
ch
+-
:; -:
+
r2j
+ Jrk. Calcular
s(I) como una integral
EJERCICIOS B l. D emos trar que pa ra que una función vectoria l F = /i + ¡:j + hk sea cont inua. una condición neces aria y suficie nte es q ue /, ¡: y lt sean continuas. l.
Probar que e l vec tor ac.:elc ración a s iempre esta en e l plano de T y N, y que. de hecho. la componente de a en la direcció n de N es no nega tiva. Explicar el significado geométrico de c~te hec ho.
208 vectores y curvas J. Demostrar que: (a) Si f tiene una derivada acotada en 1: acotada allí. (b) Si /' es continua en /, entonces
{a~
t ~ b}, entonces
f tiene variación
v, =f1rc1>1 d1. EJERCICIOS C 1. Sea
e
dada por
P
1
= 1ci sen -I i + tJ
P=O
0
Demostrar que C es rectificable si, y solamente si. a > 1. l. Sea C dada por P = F(t). donde F es continuamente diferenciable tres veces. Demostrar que dB/ds está en la dirección de N, de modo que existe un escalar T (llamado torsión) tal que
Funciones de varias variables. Límites y continuidad
dB ds = -TN, Probar las fórmulas de Frenet dT -=KN ds
dN = -1eT +TB ds dB ds
= -TN.
9.1
UN POCO DE TOPOLOGIA: CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS
Ahora, será necesario extender hacia las dimensiones superiores algunos de los conceptos de conjuntos de puntos los cuales fueron útiles en una dimensión. Estableceremos nuestras proposiciones (definiciones, teoremas, etc.), de manera que puedan aplicarse con igual p1opiedad en dos. tres y en dimensiones superiores. La mayor parte de nuestros ejemplos e ilustraciones serán bidimensionales. Usaremos la notación vectorial libremente y se pensará que tales vectores son de 2. 3 o más dimensiones de acuerdo con la dimensión del espacio bajo consideración. Puesto que los productos cruz no se aplican aquí, no tendremos dificultad en realizar las operaciones vectoriales necesarias. Debido al gran númc;ro de definiciones dadas en esta sección será difícil asimilarlas todas al mismo tiempo. Por lo tanto. el estudiante deberá regresar constantemente cuantas veces sea necesario hasta que se familiarice con los términos técnicos definidos aqui. Por vecindad de un punto Po se entiende el conjunto de to
en dos dimensiones. En tres se transforma en .J(x - x0) 2
+ (y -
y0) 2
[209/
+ (z -
z,,)2
<
8,
conjuntos abiertos y cerrados 211
21 O funciones de varias variables y en dimensiones superiores se describe Ja condición mediante fórmulas análogas. Por tanto, una vecindad de P0 es el interior de un círcu1o o de una esfsra con centro en Po. Una vecindad agujerada de un punto Po es una vecindad de Po de la cual se ha suprimido el propio Po. Se dice que un punto P0 es un punto interior de un conjunto S si existe una vecindad de Po que se encuentra completamente en S. Un conjunto S es un conjunto abierto si en su totalidad consiste de puntos interiores. EJEMPLO.
Demostrar que el conjunto S de puntos P, para los cuales
IP-Pol
a S. Esto, a su vez, significa que se ha encontrado una vecindad de P1 que está completamente en S. El éomplemento CS de un conjunto S es el conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S. · EJEMPLO. Si S es una vecindad {IP - Pol
< 8}. entonces CS se describe por
1
flP-Pol ~ 8}.
Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto. Un punto Q es un punto frontera de un conjunto S (Q puede. ser o no un punto de S) si toda vecindad de Q contiene al mismo tiempo (1) puntos de S y (2) puntos de CS. El conjunto de puntos frontera de un conjunto S es su frontera. · EJEMPLO. Sea otra vez S una vecindad IP - P ol < 8. Entonces la frontera de Ses el conjú_nto de puntos Q para los cuales
Este hecho es geométricamente evidénte. ¿Puede usted demostrarlo?
9.la Teorema. .Para todo conjunto S, Ja frontera de S y la de CS son idénticas.
Demostración. La demostración es inmediata a partir de la definición, ya que el complemento de es es el propio s. Solución. Geométricamente es- suficientemente cJaro. pero se desea dar un argumento no geométrico. Para demostrar que el conjunto es abierto se debe demostrar que todo punto es un punto interior; es decir, se debe demostrar que todo punto en S tiene una vecin::tad que también pertenece al conjunto. Así, sea P 1 cualquier punto del conjunto. Entonces IP1 --Poi< a. Ahora escójase 8 de modo que IP1 - Poi + 8 < a.
Es decir, escójase 8 de modo que . 8 < a-IP1-Pol· Ahora bien, sea P cualquier punto en la vecindad 8 de P1. Se desea concluir que P pertenece a S. Decir que P está en la vecindad 8 de P1 significa que IP-P1I < 8. De aquí que IP- Poi l(P- P1) + (P1 - Po)I ~ IP-P1I + IP1-Pol < 8 + (a-8) =a.
=
Así se ha demostrddo que IP - P ol
< a,
lo cual significa que P 1 pertenece
1
ces= s.
9.lb Teorema. Si Ses abierto entonces S a ninguno de sus puntos frontera contiene.
Demostración. Es evidente que ninguno de los puntos frontera de un conjunto S puede ser un punto interior de S (comprobar las definiciones). Puesto que S en su totalidad consiste de puntos interiores, no puede contener puntos frontera.
1
9.lc Teorema. Si S es cerrado contiene a todos sus puntos frontera. Demostración. Sea CS el complemento de S. Entonces CS es abierto por la definición de conjunto cerrado. Por el Teorema 9.la, S y CS tienen la misma frontera. Y por el Teorema 9.lb, CS no contiene puntos de la frontera; así, S debe contener toda la frontera.
1
Un segmento lineal que une los puntos P 1 y P'2 es el conjunto de puntos
P dados por P = (1 - t)P1
+ tP2
{O <: t <. 1}.
P 1 se llama punto inicial y P'2 es el punto terminal.
212
funciones de varias variables
Una línea quebrada o línea poligonal es un número finito de segmentos unidos extremo con extremo. . Una región R es un conjunto abierto en el c~al dos cualesquie ra de sus puntos pueden unirse mediante una línea poligonal que se encuent ra enteramente e n R. EJEMPLO. Una vecindad es una región, pero d os vecindades ajenas (es decir, que no tienen puntos en común) forman un conjunto abierto que no es una región.
criterio de Cauchy
213
Existe un famoso teorema, conocido como teorema de la curva de Jordan; que relaciona los conceptos de región y curva en E 2 -esto es, en el plano-. Establece que toda cu rva de Jordan (curva cerrada simple; ver Sección 8.7) separa al plano en dos regiones ajenas, una acotada y una no acotada, las cuales tienen a la curva como frontera común. La acotada recibe el nombre de interior de la curva y Ja no acotada, exterior. Aunque geométricamente es obvio, este teorema es sorprendentemente difícil de probar. Otro punto que tal vez es difícil de apreciar es que la frontera de ur.a región en E2 no necesita se r una curva. Puede ser mucho más complicada. En efecto, existen regiones en las cuales ninguna pa rte de su frontera es una curva. Sin embargo, nuestras consideraciones no se referirán a Ja patología de los conjuntos planos. N os restringiremos a situaciones relativamente sencillas d ond e tales fenómenos extraños no se consideran o no tienen importancia.
9.2 UN POCO MAS DE TOPOLOGIA: SUCESIONES, VALORES LIMITE, PUNTOS DE ACUMULACION, CRITERIO DE CAUCHY Sea F una función vectorial cuyo dom inio -es decir, el conjunto de t para los cuaks F( t ) está definida -es d con junto ck tocios los en teros mayores o igua k s c1ue <1lgún. 11,,. Tal función se llamad su cesión de vec. tores y se clenotar;í por 1P.,} clonde los vectores P,. están claclos por Una región mostrando conectibilidnd, la frontera B Y una vecindad N ·
P ,, = F(n )
El número no se indica ¡a ,~xplícitamente o implícitamente. Una región cerrada es una región ]Unto con su frontera. Una región parcialmente cerrada es aquella que incluye parte pero no toda su frontera. Una advertencia: puesto que se ha enfatizado acerca de los conjuntos abiertos y cerrados, el estudiante no debe engañarse y pensar que un conjunto debe ser clasificado en alguna de estas dos c.lases. E.ste no es el caso. Dé algunos ejemplos de conjuntos que no son a_b1~~tos ni cerra?_os. Otro concepto que en ocasiones se encontrara util es el de d1ame.tro ~e un conjunto acotado. En primer lugar. un conjunto S es acotado s1 existe un número M tal que
IPI < M
pa ra todo
P en
S.
En este caso se dice que su p IP - QI. donde el suprémum se calcula sobre todos los puntos P y Q en S. es el diá metro de S.
Se dirá que la sucesión {P.j tiene un límite A si para todo un N(€) tal que siempre q ue n
> N.
€
> O existe
214
funciones de varias variables
Las notaciones usuales para los límites se toman como limP" =A
criterio de Cauchy
9.2c ~eorema. Para que {P"} tenga un límite. es necesario y suficiente que para todo ( > O exist,ra un N(() para el cual
fPn- Pml < t:
Pn~A.
o bien
Como en el caso de las sucesiones de números reales, es conveniente definir el concepto de valor límite o punto límite de una sucesión P n· Se dirá que un punto A es un valor. límite o punto límite de una sucesión {P,,} si existe una subsucesión {P•kl que converge a A. El concepto análogo para los conjuntos es el siguiente: se dice que un punto A es un punto de acumulación de un conjunto S si toda vecindad agujerada de A contiene puntos de S. Una definición equivalente-(ver Ejercicio B8) es que exista una sucesión (P,,} con P,, en S para toda n. y P,, =I= Pni si n =f.= m. tal que P,,-+ A. Formularemos la definición en términos de una vecindad agujerada, de manera que excluiremos los puntos aislados de S como puntos de acumulación. donde por punto aislado de S se entiende un punto P de S tal que exista una vecindad N de P en la cual no se encuentren otros puntos de S. 9.2a Teorema. Sea R una reg10n. Entonces cualquier punto frontera de Res también un punto de acumulación de R. Demostración. Supóngase que R es una región abierta. Sea Q un punto frontera y dado ( > O. Entonces, por la definición de punto frontera. existe un punto P en .R para el cual IP - QI < (. Pero P =I= Q, de modo que P está en la vecindad ( agujerada de Q. Así que el teorema queda demostrado para las regiones abiertas. La demostración para las 1 regiones cerradas o parcialmente cerradas se deja de ejercicio (89). Una importante propiedad de los conjuntos cerrados está dada por el siguiente teorema. Proporciona una característica de los conjuntos cerrados que se aplicará repetidas veces. 9.2b Teorema. Si Ses un conjunto cerrado. entonces contiene todos sus puntos de acumulación. Demostración. Sea Q un punto de acumulación de S y supóngase (por contradicción) que Q no está en S. Entonces Q está en CS el cual es abierto. Como una consecuencia de que CS es abierto. existe una vecindad de Q que se encuentra en y la cual. por lo tanto, no puede co~tener puntos del propio S. Esta es una contradicción, puesto que toda vecmdad de un punto de acumulación de S contiene puntos de S. 1 El criterio de Cauchy es tan útil en esta discusión de espacios de di· mensión superior como en una dimensión y se deduce fácilmente a partir del caso unidimensional.
es
215
siempre que n
> N,
m
> N.
. Demostración. Necesidad. Supóngase que P"-+ P. Er.to significa que para todo ( existe un N(() tal que ·
IP" - PI < ~ Entonces IPn
p mi
-
si n
>
N(€).
< IP" - PI + IP - PI < ! + ! 2
m
2
=
E
sin, m > N.
Suf~cie?cia. (Para Ea). Supóngase que {P,,} satisface la condición ( del entena de Cauchy. Entonces es evidente que [aquf tomamos Pn (Xn• Yno Zn)]
=
lx,, - Xml < IPn - p mi < E si n, m > N, d~ m~nera que lx,,I es una sucesión de números reales que satisface el cr1teno de Cauchy. En consecuencia, {x,,} tiene un límite, el cual puede denotarse por x. En forma ~emejante. existen números y y z tales que Yn -+ Y Y Zn -+ z. Ahora, definamos P por P (x, y, z) y considérese
=
IPn - PI< lxn - xi+
IYn -
YI
+ lzn - z¡.
(¿Cómo?)
Entonces, es evidente que jP,, -
PI-+ O
cuando n-+ oo.
El siguiente teorema generaliza el principio de los intervalos anidados.
9.ld Teorema. Sea S,, una sucesión de conjuntos cerrados no vacíos, c~da uno de los cuales está contenido en el anterior, y tales que el diámetro de S,, tiende hacia cero conforme n -+ 00 • Entonces existe exactamente un punto P con la propiedad de que p está en s,, para todo n. Demostración. Escójase una sucesión de puntos de la siguiente ma· nera.: Sea P1 en Si. P2 en S2, ...• P,, en S,,•.... Entonces, dado t: >o. esc61ase N tan .grande que el diámetro de S¡¡ sea < (, Entonces, para m ~ n > N se tiene P,, y Pm. ambos en SN (¿Por qué?). Asi que IPm-P,,j
<(,
y, por el criterio de Cauchy. {P,,} tiene un límite que puede denotarse por Q. Para ver que Q está en S11 , obsérvese que Pm está en S" para todo m -~ n. Por tanto, Q es el límite de una sucesión de puntos de s · esto es Q es un punto de acumulación de S11 • Pero, supuesto que Sn es c;~rado
debe estar en Sn.
•
Q
. Falta solamente por demostrar que no existe otro punto Q'. por e1emplo. que esté en todo Sn. Supóngase que existiera. Entonces, sea
!:I ¡
'll
216
ejercicios
funciones de varias variables
=
IQ - Q'I 8 > O. Escójase n tan grande que el diámetro de S" sea menor que 8/2. Pero entonces a = IQ-Q'I ~diámetro
de
s" < a12.
1
Esta contradicción completa la demostración.
cualquiera de P. Por la definición de convergencia, existe un nu tal que todos tos P n están eri n no. Pero cuando más un Pn puede ser igual a P (¿por qué?). De aquí que existen puntos de D en la vecindad agujerada de P formada eliminando P de N. 1
>
EJERCICIOS A
El teorema de Bolzano-Weierstrass para las dimensiones superiores puede establecerse en la misma forma que para una dimensión
l. Sin demostraciones detalladas. decir por qué:
9.le Teorema. Un conjunto infinito acotado tiene por lo menos un punto de acumulación y una sucesión acotada tiene por lo menos un punto límite.
2. Escribir sin demostración los puntos de acumulación de
Demostración. (Ver Teorema 6.la). Se desarrollará la demost:-ación para los conjuntos en E 2 • Denotemos el conjunto por D. Supuesto que es acotado. existe un gran cuadrado So: (-a~ x ~a, -a~ y~ aJ el cual contiene a D. Ahora, divídase S0 en cuatro (en En serían 2~) cuadrados. bisJctando cada dimensión:
{-a << << º] {-a < < º] { o < < al {º < < ª} X
-a
y
X
O'
O< y < a '
X
X
-a < y< O '
O< y< a
En por lo menos uno de estos cuadrados debe existir un número infinito de puntos de D (¿por qué?). Escojamos ese cuadrado y denotémoslo por S1
217
(a) (b)
El cuadrado {O < x < 1,() < y < 1} es abierto en E... El cuadrado {O ( x ( 1,0 ( y ( l} es cerrado en E2 •
m.
(1/n. 1/m).
11
= 1, 2. 3, ....
3. Describir el conjunto de puntos P para los cuales
IP-Q.I + IP-02l < C'. donde están dados Ql' Q2 y c. 4. Sea S el conjunto de puntos P = Cx. y) para los cuales {r
+ y2 (
1l y
fx2
+
1)2
> 11.
¡,Cuál es la frontera de S? ¿S es abierto o cerrado? ¿Por qué? 5. Dar un ejemplo de un conjunto en E:1 que no tenga puntos interiores. EJERCICIOS B l. Probar las proposiciones del ejercicio A 1 anterior.
2. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos es abierto en E2 : (u)
(x2
+ 4y2 < 4~
(b)
{y 2
< 4x}.
3. Demostrar que el conjuntll en E':!. descrito por {x2
+ y2 =
1} es cerrado.
4. Probar la respuesta al Ejercicio A2. S. Sea lP,,I una sucesión de puntos. Demostrar que (l)
IPnl ~ x
tiene un valor límite finito. 6. ¿Cuál es la frontera .del conjunto Sen E:: descrito por {x2
o bien (2) {P11 }
+ y2 =
t}?
1. Demostrar que el conjunto de puntos de acumulación de un conjunto S consiste . de su frontera junto con su interior. 8. Probar la equivalencia de tas dos definiciones de punto de acumulación. (Ver la última parte de la demostración del Teorema 9.2e.)
y escojamos un punto de D en S 1 y denotémoslo por P,. Una vez más. divídase S1 en cuatro cuadrados bisectando cada uno de sus lados. Por Jo meraos uno de los cuatro cuadrados resultantes debe contener un número infinito de puntos de D. Denótese es: cuadrado por:S2 y escójase en él un punto P2 de D, asegurándose de que P2 ;:fo P1. Iterar este procedimiento: Con ello se construve una sucesión de cuadrddos S,, de diámetro v'2a/2'1- 1 • con puntos P,, en S,,. Por tanto. de acuerdo con el teorema anterior, la SUCt!Sión IPni tiene un límite P. Para ver que P es un punto de acumulación de D, sea N una vecindart
9. Completar la demi>stración del Teorema 9.2a. EJERCICIOS C
t. Sea S cualquier conjunto. Demostrar que la frontera de S es cerrada. 2. Sea S cualquier conjunto y P cualquier punto de S. Demostrar que P es un punto interior o un punto frontera. J. Demostrar que si S contiene puntos, ninguno de los cuales es punto frontera, es abierto.
4. Demostrar que. si un conjunto S contiene todos sus puntos frontera. es cerrado.
~•'
: :l,,1
218
limites 219
funciones de varias variables
parte común de D y N. La figura ilustra la situación para un punto interior P~ y para puntos frontera Po.
9.3 LIMITES i
.1
En el Capítulo 2 se discutió qué se entiende por función de una sola variable real. Ahora se desea extender esta idea para definir una función de varias variables reales o. Jo que viene a ser la misma cosa, una función de un punto en un espacio vectorial Euclideano de varias dimensiones. Nuestro interés principal se enfocará hacia los espacios de dos y tres dimensiones. y nuestros ejemplos serán en estos espacios. Sea S1 un conjunto de números reales y S2 un conjunto en un espacio vectorial EucJideano. Supóngase que a cada P en S2 Je corresponde un w en s•. El conjunto de todas las parejas (P, w), donde 'p está en S2 y w es el valor correspondiente en se llama función y se denota por f, como en la Sección 2. J• Los. valores funcionales se denotan por
EJEMPLO
= f(x,y) = ry/(r +y).
l. Sea /(P)
Solución. El dominio de esta función es todo el plano (~) excepto el (0,0) e investiguemos el límite de f(P) conforme origen. Tomemos Po
=
P ~Po. • Sea e:>
o dado.
(1)
ltcP>I > (
· . 1 Entonces se desea demostrar que existe un· 8 ta que
siempre que IPI
=-.Jr + Y
2
< ~.
s..
w = /(P) o bien, de manera equivalente. w =f(x, y), de
w =f(x, y, z), ... ,
acu~rdo
con la dimensión del espacio. El lenguaje para discutir las funciones se traspasa. sin cambios, del caso unidimensional. En particular, mencionaremos que el conjunto de P para el cual f está definida se llama dominio de la función y se denotará por D. El conjunto de valores de la función --es decir, el conjunto de w el cual corresponde a algún P en D- se llama rango de f y se denota por R. A continuación volveremos nuestra atención hacia los límites de funciones. La mayor parte de los teoremas se establecen y demuestran para funciones definidas sobre conjuntos con algunas restricciones. Sin embargo, el estudiante puede encontrar más sencillo imaginarse el dominio de cualquiera de las funciones como una región -abierta, cerrada o parcialmente cerrada- y no sacará conclusiones equivocadas por esta simplificación. Sea· f definida en un dominio D y sea P0 un punto de acumulac~ón de D. Entonces se dice que f tiene un límite A conforme P--+ P0 , ·5¡ para todo ( >O existe un 8(€, Po) para el cual
l/(P)-AI
<(
siempre que
IP-Pol
<8
lim /(P) =A
'¡
o bien
/(P)-+ A
de manera que
l/(P)I = x2y2 < (x2 + y2) = (x2 + y2) < ~
conforme
2
x2
x2 +y?.
si
Geométricamente, la condición ( - 8 puede establecerse así: para todo N de Po tal que j/(P) - A 1 < E, si P está en Ja
·( > O existe una vecindad
y
y P esté en D.
Expresaremos esto simbólicamente como P-P0
Ahora bien, es evidente que
IPI
+
y2
= .Jr + Y2 < /;_
Así que ( t) se ha satisfecho con 8
= y;
y se ve que
lim /(P) =O P-O
funciones vectoriales de un vector 221 220
funciones de varias variables
EJEMPLO 2. Sea /(P)
= xy¡ (r + y').
=
. Solución: ~ambién en ~ste ejemplo, el dominio de fes E 2 excepto en el origen, Y as1m1smo, exammemos los valores de f cerca del origen '-esto es. cerca de P0 (O.O). Si introducimos coordenadas polares x p cos fJ, y= p sen (J, entonces f toma la forma
=
=
xy/(r + y') Aquí, por supuesto.
= p cos fJ p sen fJ / p2 = sen fJ cos fJ = 1 sen (J = = .J
P iPI x2 + y2 . Observando esta fó~mula es evidente que f es constante sobre toda hnea recta que pasa por el origen y que. en general, Ja constante es diferente sobre líneas diferentes. Entonces. es evidente que los valores de f no pu_ed.en. mantenerse tan próximos a cualquier constante A simplemente restrmg1endo p. De donde. en este caso. lim f (P) no existe. , . , P-P11 Un mé tod o alternativo es sustllmr y ax. Entonces se tiene
=
f (x, ax) = -a-2 . 1+a
EJf.MPl.o 3. Definir f sobre todo el plano (E:!) por
=J(x, y)=
(lxl/y2)e-l:cl/111 (
o
Solución. Sobre la línea x = O. se tiene /(0. y)
º·
=
De aquí que f es idénticamente e-1 a lo largo de una curva que pasa por el origen y es evidente que lim f (P) no puede ser cero. P-0
9.4
FUNCIONES VECTORIALES DE UN VECTOR
Una vez más. por última vez, extenderemos el concepto de función. Sea S1 un conjunto en un espacio vectorial Euclideano de m dimensiones. por ejemplo. y S2 un conjunto en un espacio vectorial Euclideano de n dimensiones. Supóngase que a cada punto P en S:: Je corresponde un punto Q en S 1 • El conjunto de todas las parejas ordenadas (P. Q) se llamará función vectorial de P de S2 a S1 y se simboliza por F. Los valores de F son vectores Q en S1 y se denotan por (1) Q F(P). El punto Q que corresponde a un particular P en S" se llamará va!or de F. El conjunto S2 donde F está definida es su dominio y el conjunto de puntos Q en Slt los cuales son valores de F se llama rango de F. En ocasiones a una función vectorial se le da el nombre de mapeo · de S2 en o sobre (ver Sección 2.1) S1 y se denota así:
=
Otra vez se ve _que / tiene valores constantes diferentes sobre líneas que pasan por el ongen. de modo que el límite no puede existir. Aquí es pertinente una observación. Frecuentemente vemos o escuchamo~ la afir~1ación de que. para que un límite de una función de varias vanabl.es exista en. un ~~nto. debe ser independiente de la manera en que se realice la .aprox1macmn. Esto puede ser engañoso si «manera» se interpreta demasiado estrechamente. Definitivamente es engañoso si «manera» se. re.emplaza por «dirección». Se tienen funciones para las cuales el límite ex1st1rá aproximándose a lo largo de cada línea recta que conduce hacia un punto Pu. para l~s _cuales todos estos límites son iguales y. sin embargo. ~ara las cuales el lm11tr. en el sentido bidimensional no existe. Esto significa ~ue al pensar ~cerca de los límites en los espacios bidimensional y supen.ores. el estudiante debe pensar en términos del punto p «que se ª?.roxima» cercano a Po en lugar de pensar en términos de Ja aproximacmn a Jo largo de varias direcciones.
/(P)
=
conforme P ~ P º = O (0, 0) a lo largo de esta línea. Sobre cualquier otra línea x ay que pasa por el origen se ti~ne . f(ay, y)= (layl/y2)e-lª111/11• = (la/yl)e-la/111, y el límite de esta expresión conforme y~ o fácilmente se ve que es aplicando Ja regla de l'Hospital. por ejemplo. Así, se tiene que /(P) tiende hacia cero. conforme P ~O a lo largo de cualquier línea recta que conduce hacia O. Pero a lo largo de la parábola x y' se tiene 1 f(y2, y) = y2¡y2e-11•111 = e-1.
F:
(2)
lo cual. a su vez. puede escribirse como Y1 = f1(X1, Xz, · · • , z,.) Y2 = /2( X¡, z1, ••. ' x,.) (3)
y=O.
= o y el límite es cero
s'J ~s1.
El estudiante debe entender que la definición de la función vectorial F requiere la definición de m funciones reales de n variables reales. Deno· ternos P por Ja n-ada (x1. X:: • •••• Xn) y Q por la m-ada (ylt y~ • ....• Ym>· Supuesto que los valores de F se encuentran en En,. debe tener m componentes. cada una de las cuales depende de P. Así, (1) podría expresarse como
222
funciones de varias variables
operaciones con límites
223
0
En consecuencia. el sistema (3) es equivalente a (1 ). Los límites de las funciones vectoriales pueden definirse en t~rminos de F o de las funciones componentes f¡. j 1, ... , m. Tal y como el estudiante puede suponer, es más fácil escribir la proposición en Ja forma vectorial. Se deja rá para los ejercicios el d emostrar que las d os son equivalentes. La definición formal de límite es la siguiente: Sea F una función vectorial definida en un dominio D en E,. y la cual tiene valores en Em, y sea P0 un punto de acumulació n de D. Entonces se dice que F (P) tiene un límite A conforme P 4 Po si para todo E > O existe un o( <, P0 ) pa ra el cual
=
IF(P) -
Al
siempre que
y
IP - P ol
3. Para cada una de las funciones siguie ntes, calcula r e l límite conforme (x , y)~ ~ (0,0) o bien demostrar que no existe: :t _ y x2 _ y 2 1 (e) - sen (x2 + jxyl) (a) x +y (b) xz + y2 X
(d)
+ y
2
x o bien y irracional
en los demás casos
5x2y
+
6x7
(e)
+ 3x4y3 + x8(y4 (x2
+ y2)3
x senxy
- x)
(/) x2
tan x (h) - - - - st:n2 x + scn2 y
sen X1J
(g) sen x sen y
P esté en D.
En este caso se escribe F(P) 4 A confo rme o bien lim F(P) =A.
{ox2
(i)
+ y2
x tan X1J
2 -
CQS X -
CQS
Y
4. Sea f continua en una vecindad de P 0 = (x0 , y 0 ) en E 2 • Demostrar que /(x , y 0 ) define una funció n continua de x cerca de x 0 •
EJERCICIOS B
P .... P 0
l. En cada uno de los casos del Ejercicio A3 e n donde e l límile A exista, calcular
un o(•) tal que lf(P) - Aj
<•
si IPI
< o.
2. Encontrar el rango de cada una de las siguientes funciones vectoriales.
(a) sen x 2 i +sen (x2 + y 2)j +sen (x 2 + y 2 + z2)k, (b) sen x c os y i + sen x sen y j + cos x k. 3. Examinar x4y 4 /(x 4 + y 2) 3 sobre cada una de las líneas rectas que pasan por el orige n. ¿Tiene un lími te esta función en (0,0)? 4. Considérese la función (r - y2 )/(x2 + y 2) e n el conjunto D: {lyj < x 2 }. Demostrar que en D , esta funci ón liene un límite en el origen. E,.
Continuidad de una función vectorial
Geométricamente, la condición < - o puede establecerse de la manera siguiente : pa ra toda vecindad Ni. de A en Em existe una vecindad N2 de P0 en E,, tal que F(P) está en N 1 , siempre que P esté en la parte común de D y N,. EJERCICIOS A
(e) v' 1 - x2
+ y2
(d) v' 1 - x 2
(/) log (1
-
y2
+ X1J)
2. Describir el dom inio y el rango de cada una de las siguientes fun ciones de valores vecto riales : (a) 5xyi + 2x2j + z2k (b) sen (x + y)i + cos (x + y)j + zk
(e) V l - x 2 - y 2 i + Vx 2 + y 2 - lj + (x + y )k (d) [x2 + w2, y2 + z2 _ I , w2 + x2 + y2 + z2, x _ w] 2
6. Calcul ar
2
lim (x.v) - (0,0)
9.5
l . Describir el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones de valores reales: (b) ang sen (x2 + y 2 ) (a) sen 1l(x 2 + y 2 )
(e) sen (x2 + y 2)
S. Podría decirse que una función de valores vectoria les F tiene un límite en P 0 si cada una de sus componentes lo tiene. Demostrar que eslo es eq uivalente a la definición dada en el texto.
v'(I
+ 4x)(I + 6y) 2x + 3y
- 1
OPERACIONES CON LIMITES
Como com plemento, se establece rán los teoremas sobre ope raciones con límites pa ra funciones vectoriales los cuales son análogos a los teore· mas operacionales d e la Sección 2.5. La mayor parte de las demostraciones se omiten, ya que solamente difie ren de las demostraciones de la Sección 2.5 en el significado de los signos de valor absoluto : 1 ¡. Además. aun cuando se establecieron para funciones de valores reales, algunas de ellas (las cuales se indicarán) se t rasladarán a las funciones de valo res vectoriales. 9.5.a
Tcor.:!ma.
Supóngase que
f está definida en un dominio D, P 0 es
224
funciones de varias variables
continuidad
225
un punto de acumulación de D y lim /(P)= A. Sea {Pnl una suceP-P0
sión de puntos en D tales que pn ~ pº' y definir Zn
9.6 CONTINUIDAD
= /(P,,).
Zn~A.
Entonces
Demostración. Sea dado (>O. Entonces existe un 8 para el cual lf(P) - Al < ( si 1P - Poi < 8, P en D. Con 8 así determinado, existe un N[ 8(d] para el cual IP" - Pol < 8 si n > N. Así que para n > N se tiene
lz,, - Al=
l/(Pn) -
lim /(P)
Al<€,
p.,.po
1
puesto que IP,, - Pul< 8.
Así también. aunque no se probará este teorema. es correcto decir que si para toda sucesión IP,,I que tiende hacia Po se tiene f(P,,) ~A. entonces lim /(P) =A.
P ... P0
En los teoremas que siguen, se su pone que f y g son funciones de valores reales definidas en un dominio D y Po es un punto de acumulación de D. Se entiende que los límites de f y g son límites conforme P ~Po y se supone que existen. Esto implica la existencia de los demás límites.
= lim
/(P) ± lim g(P).
= (!im ftP)}rlini ri
9.Sd Teorema. lim /(P)g(P) 9.5e
Teorema. lim
9.Sf
Teorema. lim lfCP>I
si lim g(P)
El concepto de continuidad uniforme se deduce inmediatamente: Si en la definición precedente se puede encontrar un 8(i, D) tal que l/CP)- /(Po)i < i para todo P y Po en D y para los cuales IP-Pol < 8. se dice que f es uniformemente continua en D. Precisamente las mismas definiciones se b.umplen para las funciones de valores vectoriales F.
O.
= llim ICP>I·
9.Sg Teorema. Si /(P)
~
o.
~
O.
9.Sh Teorema. Si /(P)
~
g(P). entonces lim f(P)
~
entonces 1.im /(P)
(i) f
lim g(P).
= Vlim/(P).
9.Si
Teorema. Si f(P) ~O. entonces lim V/(P)
9.Sj
Teorema. Si f y g se reemplazan por funciones de valores vecto· riales F y G, entonces se mantienen las conclusiones de los Teoremas 9.Sa. b, c. f. El Teorema 9.5d se cumple si la multiplicación es interna o vectorial y el Teorema 9.Se es válido si f se reemplaza por F.
+ g,
s~an
f
y g funciones continuas. Entonces:
f - g y fg son continuas.
(ii) 111 es continua. (iii) f / g es continua si g =I= O.
(iv)
*
= /(P0)
para todo punto P-0 en D. En términos de ~· esta expresión 8 se transforma en: f es continua en D si para todo ( > O y cada Po en D existe un 8(€. Po) para el cual l/CP)- f{Pu)I < ( siempre que IP-Pol < 8 y P esté en D.
9.6a Teorema.
=
9.Sb Teorema. Si lim f(P) A existe. entonces existe una vecindad agujerada de Pu tal que f es· acotada en la parte común de D y la vecindad. 9.Sc Teorema. lim [f(P) ± g(P)]
Ahora enfocaremos nuestra atención hacia el concepto de continuidad de una función de varias variables -es decir, de una función de un vector. Una vez más. el formalismo es casi el mismo que para una función real de una variable real. Una función f definida en un dominio D es continua allí si
v'/ es continua si f ~ O.
Demostración. Las demostraciones son casi idénticas a las demostra· ciones de los teoremas en la Sección 9.5. 1 También debe puntualizarse que si F y G son funciones de valores vectoriales continuas, entonces (i) se cumple si la multiplicación es un producto interno o vectorial; (ii) se cumple- y (iii) se cumple para F / g donde g es una función continua diferente de cero y de valores escalares~ A continuación estableceremos las propiedades más profundas de las funciones continuas que son análogas a las de los teoremas de la Sección 6.4.
9.6b Teorema. Si f (o bien F) es una función continua en un conjunto cerrado acotado D, es acotada allí.
Demostración. Desarrollaremos la demostración para f ,· es la misma
226
descripción geométrica de una función
funciones de varias variables
exactamente para F. Supóngase que f no fuera acotada. Entonces existe un
P1 en D para el cual l/(P 1)1
P2 en D para el cual l/CP2)1
~ ~
I 2
9.6d Teorema. Una función f (o bien una función de valores vectoriales, F) la cual es continua en un conjunto cerrado acotado D es uniformemente continua allí.
Demostración. Debe demostrarse que para todo ( 8((, D) tal que para todo P, Q en D
Pn en D para el cual l/CPn>I
~
l/CP) - /(Q)I
n.
Por lo tanto. hemos construido una sucesión (P ni para la cual et.>. Pero IP ni es una sucesión acotada y. por lo tanto. tiene un punto límite P., (¿por qué?) y Po está en D supuesto que D es cerrado. Entonces se tiene una subsucesión IP·kl que converge hacia P.,. Para esta subsucesión se tiene. debido ~ la continuidad. que
l/CP,,)I ~
227
<(
siempre que
IP - QI
>O
existe un
< 8.
Nuevamente. la demostración es pQr contradicción: supóngase .que el teorema no fuera verdadero. Esto significaría que existe un excepcional ( > o. digamos (o, tal que para todo 8 > O existen un par de puntos P. Q en D con IP - QI < 8 para los cuales l/(P) - /(Q)I Eo. Con 8 sucesivamente igual a 1. !. j, ... , 1/ n, ...• existen
>
P 1, Q1 con IP1
-
Q1l < 1 para los cuales lf(P1)
/(Q 1)1 >
€0
P2 , Q 2 con IP2
-
Q21< ! para los cuales lf(PJ - /(Q2)1 >
€0
-
1f(P n)l -1 f(Po)!, y simultáneamente que
lf(P 111)1-
OO.
Esta contradicción completa la demostración. El siguiente teorema se restringe a las funciones de valores reales.
1
9.6c Teorema. Sea f continua en un conjunto cerrado acotado D. Entonces existe un punto Po en D y un punto P 1 en D para los cuales
Demost1ación. De acuerdo con el Teorema 9.6b, f es acotada. de modo que sup/ y inff son finitos. Se demostrará que existe un punto P0 I>
=
para el cual /(Po) inff. La demostración de que el suprémum se alcanza es semejante. n Sea m
= inf/, lJ
y supóngase. por contradicción. que no existiera ese
l/[f(P)-m] Así que /(P) ~ m /)
es acotada
Entonces. debido a la continuidad, se tiene 1/(P n1:) - /(Q,it)I - 1f(Po) - /(Po)I = O, lo cual contradice la con~trucción de que
1f (P n,)
- f (Qnt)I >
€o•
=
punto Po para el cual /(Po) m. Entonces /(P)- m es una función continua positiva; de aquí que l /(/(P) - m) también lo es [Teorema 9.6a (iii)]. Por tanto. esta última función es acotada, digamos por B:
m~ inff.
IPnl
IQnt - Poi< IQnt - Pn..1 + IPnt - Poi_. o conforme k ~OO.
para todo P en D.
I>
Como en la demostración del Teorema 9.6b, la sucesión
y, por lo tanto. tiene una subsucesión convergente IP·kl cuyo límite Po está en D, supuesto que Des cerrado. Ahora, también Q.k ~Pu, supuesto que
+ 1/ B > m
~
B
en D.
lo cual contradice el hecho de que
1
El último teorema de esta sección se refiere a la propiedad más importante de las funciones continuas, la cual estableceremos.
9.7 DESCRIPCION GEOMETRICA DE UNA FUNCION Decir que una función real está definida en su dominio D. el cual puede imaginarse como una región o como una región cerrada, es decir que a cada punto P en esta región se le asocia un número. Esto puede representarse. en el caso de una función definida en un dominio bidimensional. como una altura arriba (o abajo si el valor es negativo) del dominio plano. Es decir, la realización gráfica de Ja función es. un conjunto de puntos (x, y, z) en el espacio tridimensional caracterizado por el hecho
228 funciones de varias variables
e/ercic/os 229
de que están relacionados a través de la ecuación z palabras. una supeñicie.
= f(x. y) -
en otras
como una superficie arriba de un dominio en el plano x, y; en la misma forma que un mapa en relieve de un área montañosa se representa arriba de una base plana al nivel del mar. Si nos imaginamos un plano paralelo al plano de la base que corta esta superficie a una altura C, la curva en . la cual la corta está dada por f(x,y) =C.
Esta expresión puede representarse como una curva en el plano xy. Para diferentes valores de C se obtienen curvas diferentes, cada una de· las cuales es una curva de nivel. Esto es precisamente lo que hace un cartógrafo cuando traza un mapa de contornos. Las líneas que representan los contornos son las curvas de nivel del relieve terrestre que se representan en el mapa. EJERCICIOS A
J. ¿Cómo debe definirse /(0,0) para hacer que f sea continua en el origen? (b) lxf1+t>y/v'x2 + y 2 v'sen 2 x + sen'y (a) x3/(x2 + Y2)
(e)
IYI 1+ex/(sen2 x + sen 2y)
(d) (1 - cos v' x2
+ y2)/(x2 + y2)
2. Trazar las curva.s de nivel para cada una de las funciones siguientes:
Para dimensiones superiores. la relación formal se mantiene: a cada punto P en el dominio tridimensional se le asocia un número. el valor de la función en ese punto. Pero la representación de este valor paralelo a un eje coordenado adicional está más allá de nuestra capacidad. Sin embargo. existe un útil artificio, especialmente para Jas funciones continuas de tres y más variables. Pensemos ahora en una función definida en algún dominio tridimensional -esto es, en algún volumen en el espacio. Ahora pasemos entre estos puntos y tracemos una delgada línea que una todos los puntos P para los cuales, por ejemplo, /(P) 5. Es decir. fijemos nuestra atención sobre un subconjunto de los puntos donde f está definida. a saber, aquéllos en los cuales su valor es S. Entonces. esto da un conjunto de puntos caracterizados por f(x. Y~ z) 5. Si p:nsamos que esta relación se resuelve para z. observamos que define una superficie. Esta superficie recibe el nombre de superficie de nivel de la función. Haciendo
=
=
f(x,y.z)
=e
se da una nueva superficie de nivel para cada valor de C. Examinando estas. superficies de nivel se obtiene alguna información acerca del comportamiento de la función. Esta idea también es útil en dos dimensiones. Aquí la geometría tal vez es un poco más clara. Grafiquemos z = f(x, y)
. (a) log (:rª + y2) (b) r 1+111 1 (e) eZ • ell (d) e-l/¡z-111 (e) x + y-[x +y] (los corchetes indican la función máximo entero) (/) (2x
+ 2y)/(x2 + y 2)
(h) v' 1 - x 2
+y
(l) Si se conocen las curvas de nivel de una función, ¿se conoce la función? [Ver los ejercicios (a) y (b) anteriores] ¿Qué otra cosa es necesario conocer?
3. ¿Dónde son discontinuas x + y - [x + y] y [x + y] + [-x- y]? 4. Si f es continua en una región D y positiva en un punto P0 de D, demuestre que hay una vecindad de P0 en la que f es positiva. 5. ¿Bajo qué condiciones l/CP) - /CQ>I será menor que 10-101
r
v' 1 + .r + (b) xi+ xy +y' en el circulo
(a)
Ir+ Y'I < 100.
F.JERCICIOS B
l. Supóngase que f es continua en una región y no es cero. Demostrar que tiene solamente un signo en esta región.
2. Sea f definida por
v' 1 -
+ y2 < 1 0-1} x2 + y 2 > 1. a:2
:r;I - y!
/(:e, y) = { exp{ -(zl + Y2
-
(a) ¿Es / uniformemente continua en todo círculo? (b) ¿Es uniformemente continua en E 2 ?
230
funciones de varias variables
3. Sea f definida por
f (x, y) = (1
- cos
Vxy)/y
Y ~o.
¿Es posible definir f cuando y = O de modo que sea continua?
10
4. Sea f una función de una sola variable real la cual tiene una derivada continua en {a <:; x <: b}. Definir g en el cuadrado {a < x < b, a
Funciones diferenciables
5. Sea f definida por /(x,y) = (sen x - sen y)/(tan x - tan y) en el cuadrado {O <:; x <: Tr/4, O <:y <: Tr/4} excepto cuando x =y. ¿Puede definirse I para x =y de modo que sea continua en el cuadrado? EJERCICIOS C J. Sea / una función continua acotada de valores reales definida en una región D. Si M = sup /, m = inf /, y m µ M, entonces existe un punto P en D para
D
< <
D
el cual /(P) = µ. (Sugerencia: Comprobar la definición de región.)
<
l} en un espacio ve.ctorial 2. Sea f uniformemente continua en la esfera {!PI Euclideano. Por tanto, existe un 8 uniforme tal que l/(P) - /(Q)I < E siempre que IP- QI 3, si P y Q están en la esfera. Demostrar que / puede definirse sobre la frontera {!PI = 1} de modo que sea uniformemente continua en la esfera cerrada {IPI ( 1} y que, de hecho, entonces se tiene l/(P) - /(Qll <; E siempre que IP- QI < 8 (la misma 8) si P y Q están en Ja esfera cerrada.
<
3. Sea F una función continua de valores vectoriales cuyo dominio es una región cerrada D y sea G una función de valores vectoriales cuyo rango está contenido en D. Entonces, si lim G(P) = A, demostrar que (a) A está en D P-Po (b) lim F[G(P)] = F(A) 4. Sea f una función de valores reales definida sobre una región D. Si existe un número a, O< a ( 1 y un número M tal que l/(P) -/(Q)I < MIP - Qj 11, se dice que f satisface una condición de H~lder con exponente a. Dc~ostrar q~e si / y g satisfacen una condición de Holder sobre D. entonces tamb1en la satisfacen: (a)
f
~ g
(b}
fg
(e)
f/g
10.1
DERIVADAS PARCIALES
Sea / una función de dos variables definida en una vecindad de un punto Po = (a, b). Si hacemos y= b. entonces f se transforma en una función de una so)a variable x en una vecindad de x a. Podemos preguntar si esta función de una so)a variable tiene una derivada en a. Esto significa. por supuesto. que estamos preguntando acerca de Ja existencia de • f(:r., b) - f(a, b)
=
J1m
z ... a
.
X -
··::~.-
Q
Si este límite existe se llamará derivada parcial de / respecto a x en (a, b) y su valor se denotará por
ix
(a, b)
/ 1(a, b)
fz(a, b)
o bien Sobre el conjunto de puntos P donde fi(P) existe. estos valores definen una función la cual se llamará derivada parcial de f respecto a x y se denotará por
a¡
si g es acotada fuera de ce.ro en D.
az'
fz,o bien/1•
En forma semejante. si . f(a, y) - f(a, b) l1m -----------------
v... ,,
existe. se denota por
Ma. b).
nida por la parcial respecto a
Y- b
MPo) y así sucesivamente. La función defi-
y se denota [231]
por /.,,
/2 o bien a¡.
ay
232
derivadas parciales
funciones diferenciables
aª¡ f a (ª21) ~x2 = axª = f zzz = /111 u
l ~:X
· Terceras derivadas
EJEMPLO
233
1. Calcular las derivadas parciales de la función
+ x• sen y+
f(x, y)= ry2
f dada
por
cos xy.
Solución: 1
fi(x, y)
= 3ry2 + 4r sen y - y sen xy
Mx, y)
= 2..ry + X
fu(x, y)= 6xy2
Las derivadas parciales heredan su significado geométrico del corres· pondiente a las derivadas ordinarias. La derivada de u~a función de una variable, F, en un punto a es la pendiente de la línea tangente a la curva descrita por z = F(x) en x =a. Así. fi(a, b) es la pendiente de la línea f(x, b) en el plano descrito por Y b tangente a la curva descrita por z -es decir, la curva de intersección de la superficie z f(x. y) y el pla· no y= b. Las segundas derivadas se definen como las derivadas de las primeras derivadas y las terceras derivadas como derivadas de las segundas deri· vadas. El orden de una derivada es el número total de derivaciones realizadas para calcular la derivada en cuestión. La notación de las deri· vadas es la siguiente:
=
=
~ =fz =f1
Primeras derivadas
\(ª!)
(}y
=f2 '
21
ax ax = ºox2 = Ízz =fu 21 !ax (ª!) = º .ay axay =fvz =/21
!_
Segundas derivadas
=fv
(ª!) = oya2¡ax =!='!/ =!12 i. (ª!) = a2r =f.,, = !22 ay ay oy
~ ay ax
2
+ 12x2 sen y-y
2
= 6ry + 4x3 cos y -
fu(X, y)
= 6x y
f22(X, y)
= 2x3 -
X
= 6y2 +
24x sen y
/ 111
EJEMPLO 2.
cos y - x sen xy
f12 (x, y)
2
(x, y)
+ 4x 4
3
cos y - sen xy- xy cos xy
sen y - x2 cos xy
x3-xy2 y que las derivadas parciales de
cos xy
sen xy - xy cos xy
+y"' sen xy
Supóngase que existe una función
z que
satisface la ecuación
+ yz2-z' = 5 z existen.
Calcular
z1 y
Z2·
Solución. Derivando con respecto ax, se obtiene
3r - y2 + 2yzz1 - 3z2z. = de la cual se obtiene Z1
of -
=
4
ªz
r-3r
ox
2yz-3z'
0z
2xy-z'
oy
2yz-3z'
=-=----
o.
si 2yz =/= 3z2 •
En forma semejante,
Z'2=-=----
si 2yz =/= 3z2.
EJEMPLO 3. Supóngase que u y v son dos funciones dadas de x y y las cuales satisfacen las ecuaciones
u2-v'=x 2uv =y.
Calcular u .. u 2 , v1 y v2 • suponiendo que existen.
234
funciones diferenciables
derivadas parciales
Solución. Derivando con respecto a x, se obtiene
f dada por
4. Sea
EJEMPLO
=1 VU1 + UV1 = 0.
2uu1 - 2vv1
xy
f (:r:, y) =
Resolviendo para u 1 y v1 mediante la regla de Cramer se llega a "1
y
= I~
vl =
l
2u V
-;v 1/1~ "I = 2 -u
1¡¡¡2u -2vl
o
V
ll
2(u2
~ v2)'
-v
{
Ji
X
:i: ... O
V
2(u 2
+ v2)
.
EJEMPLO 5.
Definir
/2 1 •
z ... O
O = lim O = O.
y
11-0
Demostraremos ahora que
f en todo el plano por
f(:r:, y)=
f~(P0) = ~ (P0) = f 1(a, b, e)= f~(a, b, e)=~ (a, b, e)
cada una de las cuales denota las derivadas de f respecto a x en x =a, manteniendo fijas y y z en los valores b y c. respectivamente. De modo semejante se definen MPo) y MPo). junto con los demás símbolos notacionales para los mismos valores. Por supuesto que estas observaciones. lo que el estudiante comprenderá fácilmente, se aplican con igual propiedad a las funciones en los espacios de cuatro o más dimensiones. En el caso de una función de una sola variable, el estudiante recordará (Teorema 3.5a) que la existencia de una derivada en un punto a im· plica la continuidad de la función en a. Sin embargo. una función de varias variables puede tener una derivada parcial en un punto; incluso puede tener todas sus parciales existiendo en un punto P y. no obstante, puede no ser continua allí. La razón es la siguiente: La existencia de la derivada / 1 en un punto P tiene solamente algo que decir acerca del comportamiento de la función f sobre una sola línea que pasa por P, a saber, la línea que pasa por P paralela al eje x. De manera semejante. la existencia de / 2 dice que f debe comportarse muy bien, en particular debe ser continua, a lo largo de la línea paralela al eje y. En todas las demás partes entre estas líneas, la función puede comportarse muy mal. El siguiente ejemplo ilustra este hecho.
=
i':
xy(x2 - y2)
=
f1(P0) =
11-0
Como se vio en el Ejemplo l. / 12 éste no es siempre el caso.
Antes de seguir adelante debe hacerse notar que aunque nuestr¿;, discusión y nuestros ejemplos se refieren únicamente a funciones de dos variables independientes, sin embargo. las ideas se extienden inmediatamente para las funciones en dimensiones superiores. Por ejemplo, si f está definida en una vecindad tridimensional de un punto P0 (a, b, e). entonces
X
= lim O -
y
&t-0
=
z-0
J;.(O, O) = lim/(O, y) - /(O, O)
y V2
(x, y)= (O, O)
, (O O) _ . J(x, O) - /(O, O) _ . O - O_ . O _ O , - 11m - 11m - - - 11m -
Derivando el sistema original con respecto a y, puede resolverse para u 2 y V2 para obtener
y
(x, y) :;6 (O, O)
11
:r:• ;
Solución. En principio. evidentemente f no es continua en el origen. como se vio en el último capítulo (Ejemplo 2, Sección 9.3) Pero
= 2( u2.+ v2) .
u
235
{
(x, y) :;6 (O, O)
y'
(x, y) =(O, O).
Solución. Para (x. y) =F (O. 0), calculamos que x2 - y'!.
f1(x, y)
/2( X, y) = / 1(0,
En par_ticular,
4x2y2
= Y [ x2 + y2 + (x2 + y2)2
J
J
X
x2 - y2 4x2y2 [ x2 + y2 - (r + y2)2 '
y)= -y,J2(x, O)= x
Además,
/1(0, O)= limf(x, O) - /(O, O)= O z-o X
y
f2(0, O)= limf(O, y) - f(O, O)= O. v-o y
Así que
y
··i (0, O)= lim/ (0, y).- f (0, O)= lim -y= -1 1
1
12
y
11-0
11-0
r (O O) - 1· /z(x, O) - /z(O, O) - 1·
Ju
,
-
1m
:i:-0
X
y
- 1m -x -- 1• :i:-OX
diferenciab/lidad 237
236 funciones diferenciables Sin embargo, ésta es una situación patológica que no se presenta con frecuencia. El siguiente teorema demuestra que, bajo restricciones razonablemente ligeras, las dos derivadas son iguales. 10.la Teorema. Considérese que/,/¡, / 2 y /12 existen y son continuas en una vecindad de un punto P 0 (x.,. Yo). Entonces f21 (Po) existe y /12(P-0) = f2icPo). Demostración. Sea 'f'(x) f(x, Y-0 + k) - f(x, Yo). donde k y y se mantienen fijos. Entonces. para una x lo suficientemente cercana a X-O y una k pequeña. 4' es una función de la única variable x cercana a X.o. A esta función se le aplica el teorema del valor medio para funciones de una variable entre Xo y Xo + h:
=
=
EJERCICIOS A l. Calcldar las derivadas parciales hasta el orden 2 de las siguientes funciones: (a) Jog (x1 + y 1 + z1 + w2) (b) e••+ro• log (:ti yl)
+
(e) :r:3
+ 1x2y :r:•
y3
(d)
e: e11 - e•
{/) ~seny
(e) angseny¡ :r:-y
(g)
:r;
+y
(h) z'I
2. (a) Hacer u =-=-log J/v~ y demostrar que u11 + u22 =O. (b) Hacer d = 1/V:r:2 + y 2 + z2 y demostrar que u11 + u22 + u38 =O. (e) Hacer u = x2y + y 2z + z2x y demostrar que u 1 + u 2 + u3 = (:r: + y
+ z)I.
3. Supóngase que existe una función z que satisface la ecuación que se menciona en cada caso. Encontrar sus parciales de primer orden.
donde el apóstrofo (') denota la < l. Así, cp(Xo + h)- (x0)
d~rivación
respecto a x y donde O< 81
= h[f1(Xo + 01 h, Yo+ k)-f1(x0 + 01h, y0)].
Ahora bien. para cada h apliquemos nuevamente el teorema del valor medio a la segunda variable: (x0 + h) - (x0) = hk[f12(x0 + 81h, Yo+ 02k)]
= hk[f12(Xo, Yo)+ 71], donde 11 -+ O conforme h-+ O y k-+ O de cualquier manera, puesto que /u es continua. Recordando el significado de 'f', esta expresión puede reescribirse como [f(xo + h, Yo+ k)- f(xo
+ h, Yo)] -
(a) :r:3
+ y3 + iS + senxz + cos yz = IS
(b) e•
+ x 2 log z +y =O
4. Supóngase que existen funciones u, v que satisfacen las siguientes ecuaciones. Calcular sus parciales de primer orden. .r2 - y cos uv + z2 = S u cos v = x + 1 (b) x2 + y'I. -sen uv = 8 _ 2.iª (a) {u sen v = x + y { X1J - sen u cos v + z = O.
5. En el Ejercicio 4a, considérense x y y como funciones de u y "· Calcular sus parciales de primer orden. EJERCICIOS B l. Definir Ja función
f por
x 2 ang tan y/x - y 2 ang tan x/y /(x,y) = {
o
[f(xo, Yo+ k) -J(xo, Yo)]
Demostrar que / 1'2(0,0) ::/= / 21 (0,0). 2. Si x = r cos O y y = r sen O, considérense r y demostrar que
= hk[f12 (xo, Yo)+ 11]
y haciendo que k-+ o. se obtiene f2(xo + h, Yo) - f·JJXo, Yo)= h[/12(%, Yo)+ 71].
Dividiendo entre k
a20
(J
como funciones de x y y y
cos 20
ax ay=--;¡-·
Entonces, dividiendo entre h, confonne h-+ O, fu(xo, Yo)= /12(Xo, Yo).
1
Debe aclararse que esto basta para justificar el intercambio del orden en la derivación para las derivadas mixtas de todos los órdenes. Por ejemplo, para demostrar que / 212 221 , aplicamos el teorema a /2. En general, es posible demostrar por inducción que si todas las parciales hasta el orden n son continuas, entonces todas las derivadas parciales mixtas hasta el orden n son independientes del orden de derivación.
=/
10.2 DIFERENCIABILIDAD. DIFERENCIALES TOTALES En esta sección se investigará la dificultad indicada en el Ejemplo 4 de la Sección 10.1. Puesto que la continuidad de f en un punto requiere que todos los puntos cercanos den origen a valores de la función cercanos y la existencia de las parciales no comprende todos los puntos cercanos. volveremos nuestra atención hacia algo que sí r.omprende todos los puntos cercanos: la diferencial.
238
funciones diferenciables diferenciabilidad
En el caso de una variable, la diferencial proporciona una aproximación del cambio en el valor de la función debido a un cambio en la variable independiente. Es decir. si f es derivable en Xo. entonces
dy
10.2b Teorema. Si f es diferenciable en Po fZiales de primer orden existen en P0 y
= f'(xo)dx
MPo) =B.
t:..y = f(Xo t:..y
+ dx) - f (Xo).
Demostración. Del cociente diferencia.
= f'(Xo)dx + ( dx.
f(a
donde ( -+ O conforme dx -+ O. (Recuérdese que dx y dy ~ueron nuevas variables introducidas con el origen en el punto [xo. f(xo)].) Como s~ vio en el último ejemplo, f no necesita ser continua para que / 1 y ¡2 existan en un punto. De aquí que. para extender la idea d~ diferencial. es necesario requerir de la función algo más q~e. el tener simplemente parciales de primer orden. Con la idea de d~!1mr .. como. conclusión. una diferencial. primero definiremos una fun~1on d1ferenc1ab.le de dos (o más) variables. (En esta discusión. el estudiante reconocera que h dx y k dy.) Supóngase que f está definida en una vecindad de un punto Po (a. b) y existen números A y B tales que
=
=
j(a
=
+
h, b
+
k) = f(a, b)
+
Ah
+
Bk
+ T/ .Jh 2 +
tinua en Po.
=
f(P) - f(Po) = A(x - a)
De modo que lf(P) -
B(y - b)
+ fJ .J(x -
+(y - b) = IP IY - bl < IP - Poi· f(P0)1 < {IAI + IBI + lfJI} IP -
lx - al<
y
+
J(x - a)
2
2
a)2
= (a. b) se tie+(y -
b)2
Poi
Poi·
h
h
f(a
1
+ h, b)h-
f(a, b)
-
A
1=
11 r¡
~
O
nf
co orme
h
~
MPo) =B.
O
.
1
Si / es una función difercnciable de dos variables (x, y) en un punto Po. entonces la expresi6n df = dz = oj (P0) dx
+ oj (P0) dy oy
se llama la diferencial total, o más simplemente la diferencial, de f en P • 0 El símbolo dz se inspira por la notación común z f(x. y) f(P) . . . La difere~cial total da. p~ra una función diferenciable, una aproximac1on al cambio '1Z en z. debido al cambio dx en x y dy en y. El sentido
=
en el cual .ª~~~xima el ca~i? en 1.a función/ -es decir, en por la def1mc1on de una fu c1ón daferenciable. Con frecuencia se escri e simplemente
(l)
dz
=
z- se precisa
=a¡ dx +a¡ dy
ax
oy
t
entendiéndose que las derivadas parciales se evalúan en algún punto Pu: entonces la fórmula da la diferencial de f en P 0 • Como en el caso de funciones de una variable, se introducen nuevas coordenadas, con origen en el punto (a, h. e) donde e= /(P0 ) =/(a, b). Estas nuevas coordenadas, a saber x-a. y-b, z-c, se denotan por dx, dy, dz. respectivamente. Entonces {1) se transforma en la ecuación de un plano que pasa por el origen (esto es. en el espacio dx, dy, dz). Su ecuación en las coordenadas originales es entonces (2)
1
., h .
Por tanto, !.(Po) existe y es igual a A. De modo semejante,
ax
t0.2a Teorema. Si f es diferenciable en Po =(a. b). entonces fes conDemostración. Para P (x. y) en una vecindad de P11 ne. debido a la definición de diferenciabilidad
+ h, b) -f(a, b) =Ah+,.,/¡,¡= A+·,., lhl
Así.
k 2,
donde 11 -+ O conforme ,; h 2 + k 2 - O. Entonces. se dice que f es. ~ife~~m ciable en P 0 • Además. se dice que f es diferencmble en una reg10n s1 es diferenciable en cada punto de la región. Por supuesto que aquí. en general. A y B dependerán de P0 • pero deben ser ind~pendientes d~ h y k. Si A y B dependen continuamente de Po en un con1unto D. se dice que f es continuamente diferenciable en D. La diferenciabilidad es una condición más fuerte que la existencia de las derivadas parciales; porque si una función es diferenciable e~ un punto, fácilmente se ve que es continua y que ª~?ªs. derivadas parciales existen. Este es el contenido de los dos teoremas s1gu1entes.
Ahora bien
= (a, b), entonces las par-
fi(Po) =A
es aproximadamente igual a D: hecho.
239
8/
z - e = o:r; (x - a)
8/ + Oy (y -
b).
\ Este plano se llama plano tangente a la superficie S dada por z = f(x. y) en el punto Po.
240
diferenciabilidad
funciones diferenciables
Se deduce (ver Sección 8.5) que los números directores de la normal a Sen P 0
son(º!ox' ofoy' -1) .
Es evidente que para escribir la expresión formal (1 ), la cual recibe el nombre de la diferencial, solamente es necesario poder calcular las dos derivadas parciales que contiene. ¿Entonces por qué nos limitamos por la restricción adicional de que la función f sea diferenciable en el sentido técnico en el cual se definió la diferenciabilidad? La razón es que realmente es en Ja propiedad de la diferenciabilidad en la cual estamos interesados y que para tales funciones, Ja diferencial es una expresión útil, básicamente porque proporciona una buena aproximación para az.
z
=
241
=
esta función cerca del origen. Tiene fz(O, O) fy(O, O) O, de modo que formalmente dz = O; es decir, el «plano tangente» es el plano xy dado por z ~ O. Sin emba rgo, a lo largo de las líneas y ± x, la altura de la superficie arriba del plano xy está dado por z Por tanto, a lo largo
= = lxJ.
de estas líneas la superficie forma un ángulo are tan 1/ v2 con el . plano xy. En tal situación, el plano determinado por la diferencial formal no se llama plano tangente. En el caso de que una función sea diferenciable en un punto, puede demostrarse que, en un significado preciso, el ángulo entre el plano tangente y Ja superficie es cero en el punto de tangencia (ver Ejercicio CI). Quisiéramos enfatizar el hecho de que la fra~ «/ tiene una diferencial» se reserva para funciones diferenciables y que no debe admitirse Ja expresión (1) como una diferencial a menos que f sea diferenciable. A continuación enfoca remos nuestra atención hacia un criterio para determinar cuándo una función es diferenciable. Teorema. Supóngase que f tiene primeras derivadas parciales continuas en una región D. Entonces f es diferenciable en cada punto D.
10.2c
Demostración. Sea Po = (a, b) un punto de D. Existe una vecindad N de Po la cual está en D. Entonces, para h y k lo suficientemente pequeños, P = (a + h, y + k) está en N.
=
Sea af /(P)- /(Po) = /(a + h, b + k) - /(a, b). Entonces 11/ [f(a + h, b + k) - f(a + h, b)] + [/(a
=
+ h, b) -
/(a, b)].
Aplicando el teorema del valor medio para funciones de una variable a cada una de las diferencias del segundo miembro, se obtiene
a/ = kMa + h, Y1) + hf~(x1, b). Por hipótesis, {1 y / 2 son continuas en P 0 , de modo que f 2(a
y
+ h, y 1) =
fia, b)
f¡(X¡, b) = Íi(a, b)
+ r¡2
+ rJ¡,
donde tanto 711 como 712 tienden a CJ!ro conforme
!:lf = hf1(a, b)
V h~ + ki -
O. As(que
+ kMa, b) + 'r¡1h + r¡2 k.
Por la definició n de diferenciabilidad, solamente tiene que demostrarse que En términos geométricos heurísticos, esperamos que el plano tangente dado por (2) (el cual, después de todo, es una realización geométrica de la diferencial) esté muy próximo a la superficie descrita por z f(x, y) en el sentido de que el ángulo entre el plano tangente y la su perficie debe ser
=
cero. Una ojeada a la gráfica de
yJxyJ muestra
el comportamiento de
(r¡¡h Jh2
+ rJ2k) o + k2 - .
(J~ 2:r¡~:) 1 < ITJ1l + lr¡ 1-0 conforme
Pero 1
2
../h 2
+ k 2 --..0.
1
242
funciones diferenciables
vector gradiente
Todas las ideas de esta sección se extienden inmediatamente hacia las dimensiones superiores. Así que f es diferenciable cerca de un punto P 0 =(a1, a 2, ••• , a,,)en el espacio n si existe una vecindad de P., en la cual f(P) =f(Po) + A1h1 + A2h2 + · · · + Anh,, + rJJh12 + h2-¿ + · · · + hn2,
. , f de r·mida . por f (z) 2. De mostrar que la ( unc1on
IP - Poi=
Jh 12
+ · · · + hn
2
J. Sea f definida por
f(x,y) =
(
_ __
{xi
f(x, y)= {
La diferencial total en Po es
º
o.r:!
d:1:2
+ · · · + a¡
a.r,,
dx,,,
=
Z - z0 = oj (X¡ - O¡)+ ' ' ' + ªOj (.r,, - an), Xn
=
donde z0 /(P 0 ). Finalmente, una función es diferenciable en una región si todas sus parciales de primer orden son continuas allí. (Ver Ejercicio B4.) EJERCICIOS A l. Calcular las diferenciales de las funciones dadas por cada una de las siguientes expresiones: (b) .f (.1·, y) = ang tan y/:c (a) f (.r, y) = :r/y
(e) f(•t, y)
(d) f {.t·, !/)
= log t/v~
(e) /(.t', y, z)
= t/v.-i: + 2
y2
+ .:
= 2.1"!/ + 11
2
2•
2. Encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie dada por 4 = /(x,y) en el punto (1,1) para cada función del Ejercicio l(a), (b) (e) y (cl)~nteriores. En l(e) escribir la ecuación del hiperplano tangente en (1, l. l. l/V J). 3. Comparar di con
~/
(x, y) :;: (O, O)
(x, y)
= (O, O).
(r
+ y2 ) sen 1/(x2 + y2)
(x, y) -:#:(O, O) (x, y) = {O, O).
O
Demostrar que / es diferenciable en todas partes, pero tiene derivadas parciales no acotadas.
donde las derivadas se evalúan en Pu. El hiperplano tangente a la hipersu perficie z f (P) en Po es OX¡
+ y2) sen 1/Vr + y2
o
f1cPo) =A¡,··· ,f,,(Po) = Aw
OX¡
z=O
Demostrar que / es diferenciable en todas partes y que las derivadas parciales son acotadas pero discontinuas en (O.O). 4. Sea f definida por
En este caso, sus parciales de primer orden existen en P., y
df = 1 dx 1 + a¡
z #= o es con·
allí.
-0,
donde
O
tinua' pero no diferenciable en (0,0), aunque sus dos derivadas parciales existen
.
tal que " -+ O conforme
= {xy/vr- + 1'
243
S. Determinar los valores de a para los cuales / es diferenciable en (O.O) cuando
(x2
f(x,y)
= {O
+ y 2)'1. sen l/{x2 + y 2)
(x, y)
6. Definir / por
xi+ y2
f(x,y)
(x, y) :¡, (O, O)
tanto x como
= {O
= {O, 0),
11 racionales
en todos los demás casos
Demostrar que f es continua solamente en un punto y es diferenciable allí. 7. Sea/ una función diferenciable de una variable x, en un intervalo /:{a< x < b}. Definir la función g en la cinta S: {a < x < b, - ~ < y < x} por g(x, y) /(x) y demostrar que g es diferenciable en S.
=
EJERCICIOS C
=
1. Sea / diferenciable en (x0 , y 0 ). Sea P 0 (x0 , Ya• z0 ), donde z0 = /(x , y ). Si P es 0 0 otro punto sobre la superficie S descrita por .z: = /(x, y) y a es el ángulo entre el vector P- P-0 y el plano tangente a S en P 0 , demostrar que a~
O
conforme
P~
P0 •
Inversamente, demostrar que si a~ O, entonces f es diferenciable en P
• 0
en l(a) y (e/) anteriores.
4. El periodo de un péndul~ ·está dado por T = 2 11' v' /{r. Aproximar el error que se comete al calcular el período si la longitud I se conoce como 8 ::!:: .O 1 pies y el valor de g se toma como 32 pies/seg2 en lugar del correcto (¡sic!) de 31.8. EJERCICIOS B
l. Completar la discusión de la función dada por v'lxyl empezada en el texto. Demostrar que la función es continua pero no diferenciable en (0,0).
10.J EL VECTOR GRADIENTE. EL OPERADOR DEL. DERIVADAS DIRECCIONALES En esta sección haremos nuestros cálculos en tres dimensiones. aunque saltará a la vista, conforme avancemos, que todos los resultados se cumplen para espacios de cualquier número finito de dimensiones.
244
funciones diferenciables vector gradiente
=
Sea f diferenciable en un punto P (x. y. z). Entonces el vector gra. diente de f en P se denota por Vf(P) y se define por la fórmula - ·
+ a¡ i + a¡ k, ay az
V/= a¡ i
ax
ax
ay
Entonces V/ puede escribirse como
V/= =
=
Si P xi + yj puede hacerse
+ zk
az
oz
A/= /(P + dP) - / (P) = V/· dP + 11ldPI, donde .,, -+ O conforme ldPI -+ O. La diferencial puede expresarse como
df = V/·dP. La nueva notación también se adapta con mucha propiedad a la investigación de un nuevo concepto, la idea de derivada direccional. Sea a un vector unitario · c:i = «1i + cxJ + exak, 1c:i1 t.
=
(Con frecuencia. a un vector unitario se le dará el nombre de dirección). Entonces, por derivada direccional de f en P en la dirección a. se entiende
+ hc:i) - f (P) = lim A/, h
1 + 11lhl,
CXa aª h z
Va/= ci ·V/= IV/I cos 8.
En términos de esta notación, pueden ponerse los resultados de la última sección en forma muy compacta, que recuerda las fórmulas para las funciones de una dimensión. En particular, la difereneiabilidad puede definirse de la manera siguiente: Una función f es diferenciable en P si
~~o
+a./!vy h +
Este teorema nos proporciona un medio para investigar e) significado geométrico del vector gradiente. Sea fJ el ángulo entre V/ en un punto P y la dirección dada por (l. Entonces se tiene
+ dyj + dzk
y representar los puntos cercanos en la forma P + dP. donde. por supuesto, P + dP = (x + dx)i + (y + dy)j + (z + dz)k.
lim f (P
Va J = (c:i ·V)/= «tÍ1 + "'2Í2 + a.Js
donde 11 ~ O conforme h ~ O. Dividiendo entre h y tomando límites se llega al resultado. 1
es la representación vectorial de un punto P. dP = dxi
10.3a Teorema. Si f es düerenciable en un punto P, entonces V,,./ existe para todos los vectores unitarios a., y
ax
a¡ i + a¡ i + a¡ k.
oy
-generalmente en la primera fonna.
A/= /(P + hc:i) - /(P) = «1 a¡ h
(.!ax i + _!.ay j + !oz k) f ax
~ o bien (1).
Demostración. Por la definición de diferenciabilidad y el Teorema 10.2b,
_! i + _! j + !_ k.
V=
si el límite existe. Cuando existe, la derivada direccional se denotará por
. : V.f ,
donde cada una de las parciales se evalúa en P. El símbolo V/ se lee como . gradiente de fo bien del f. En ocasiones, Vf también se denota por grad /. En muchos casos es conveniente pensar respecto a Vf com~ un producto formal del escalar f y el «vector» del, definido por
245
A~o
h
Esta expresión tomará un valor máximo (en un punto fijo dado P, por supuesto) si cos 8 1 - es decir, si (1 y V/ tienen la misma dirección. Puesto que una derivada representa una razón de cambio, se observa que esta razón es máxima cuando la derivada se toma en la dirección de V/. En otra forma, puede verse que, para cualquier dirección a. ortogonal a V/,
=
V,J=
V/· ci =O
Esto es, la razón de cambio en esta dirección es cero. Entonces, la totalidad de los vectores Po+ ta, donde a. es normal a V/, da el plano tan· gente a la superficie f =e, lo cual implica que V/ es normal a la superficie f = e, puesto que es ortogonal al plano tangente. Estas ideas se discutirán con mayor cuidado cuando consideremos las funciones implícitas. Para cada a fijo, la derivada direccional VJ define una nueva función de la cual, a su vez, puede tomarse una derivada direccional. Por lo general se calcularán estas derivadas direccionales superiores en la misma di-, rección de ci. Por ejemplo,
(ª2!) s
a2¡ . -a ,o bien 2
Oc:&2
a
se usarán para denotar la segunda derivada direccional en la dirección de ci.
· la regla de la cadena
246 funciones diferenciables Entonces
10.Jb Teorema. Supóngase que f tiene segu~das parciales continuas en una vecindad de un punto P. Entonces en P.
Va./= ex • V/= 60 _ ( 1 + 1024 sen 5)
v'6
J6
=
Va2Í =(ex• V)"f.
247
+ 77 + 25~ cos S
v'6
136 - 1024 sen S + 256 cos S
.J(,.
Demostración. En todo punto de la vecindad Vr1/ = (ex • V)f = «i/1
JOA
+ «J2 + «:sÍa·
Bajo la hipótesis del teorema, f 1 , / 2 y /3 son todas diferenciales. De aquí que la derivada direccionll de Val está dada por
Va2/ = =
+ «2(Va/2) + OC3(Va/J a.12!11 + rt.1«2/12 + rl.¡rt.3/13
a 1(Vr1/1)
+ «1rJ.2Í21 + rJ.22/22 + ~~23 2 + oc1«:s/a1 + ~«:s/a2 + «:s / 33' Dado que / 12
=/
donde
2
a21 a¡ a¡ 02, + r1.a" -02¡ + 2r1.1~ + « 2 _J - + 2«¡«3 ;-;- + 2rx,,oc3 ~ OX2 2 Oy2 (Jz2 OX Oy uX CIZ uy CIZ 2
2
=
a ( ox
a
a)2/=(ex• V)J. 2" az
oy
1
JO.Je Corolario. Supóngase que f tiene derivadas de n-ésimo orden continuas. cerca de P. Entonces la derivada direccional de n-ésimo orden existe en P para toda dirección a y Va"f =(ex• V)"/. Demostración. Probar por inducción. a partir del Teorema I0.3b. 1 EJEMPLO.
Encontrar Ja deri\'ada direccional de x4
+z=i en ( l, 2, 5) hacia el punto (;,O, 7)_.
+ x='y + 2x:!:z + y8 sen :z •
•
SÓ/ución. Los números· directores de la dirección que se menciona son
(4 - 2.2); de aquí que el vector unitario en esa dirección es
2
1
l
./6 i - v'6 j + v'6 k. Y V/
= (4x
3
+
3x2y
+ 4xz)i
+ (.i' + 8y
1
sen z:)j
+ (2r + yH cos z + 3z )k.
Cuando se evalúa en (l. 2, 5). se obtiene V/= 30i
+ (1 +
1024 s~n 5)j
+ (77 + 256 cos 5)k.
r/¡ y
x son
2
t/Ji +
VJj
-·
+ xk,
funciones, por ejemplo de Q
= (/, u.
-.ji
v, w). entonces
• +(t + llt, u, v, w) - +(t, u, v, w) J1m ~-----'"-------'----~-----__;
~t-+O
ex_+~-+ r1.3 l
4'·
o+/ot significa
« 2 a=¡ 1
Si F es una función de valores vectoriales definida en una región D de un espacio vectorial Eticlideano. podemos inquirir acerca de la existencia de las derivadas parciales. de las derivadas direccionales y de las diferenciales. Es evidente que los resultados de las secciones anteriores se extienden inmediatamente y que una condición necesaria y suficiente para que éstas existan para una función de valores vectoriales F es que existan para cada una de Jas componentes. Así que. si • =
esto se transforma en
21 •
FUNCIONES COMPUESTAS. LA REGLA DE LA CADENA
flt
si este límite existe; y una condición necesaria y suficiente para que .este límite exista es que ot/J/ot, OVJ/ot, y ox/ot todas existan. Nuestro fin principal en esta sección es considerar qué forma toma Ja regla de la cadena (ver Sección 3.5) cuando se está tratando con funciones de vectores -es decir, funciones de varias variables reales. Por ejemplo, si f es una función de (x. y, z) y. a su vez. cada una de estas variables es una función de (t, u, v, w). entonces f se convierte en una función de (t. u. v, w) y se desea inquirir acerca de los métodos para calcular las parciales de f respecto a t, u, v y w. En la terminología vectorial. si fes una función de P en una región R y 4' es una función vectorial en D con valores en R, entonces tiene sentido discutfr la función g definida en D por g(Q) = f[4'(Q)] y preguntar acerca de las parciales de g respecto a las componentes de Q. Podríamos desarrollar nuestra discusión en términos generales, considerando 4> como un mapeo de Em hacia En y f como una función definida en En. Sin embargo. para fijar ideas, y conservar sencillos los cálculos, tomaremos m como 4 y n como 3. Por tanto, seguiremos el modelo esta(x, y, z) y Q (t. u, v, w). blecido de los párrafos precedentes donde P Las extensiones hacia los demás casos serán evidentes a partir de esta discusión.
=
=
248
Ja regla de la cadena
funciones diferenciables
Una observación acerca de Ja notación: Bajo la sustitución P = cl>(Q),
y T/
~
O. Así, pasando al límite, se obtiene
se tiene
aP at
at
ª'
Puesto que P = cl>(Q) implica que x = q,(Q), y
ª"'
ag = f ax + J, ay +J. az .
= ac1> = aq, i + aV' j + ax k. at
'
at = .¡,(Q) y z = x(Q), inter-
:z:
ag
au
av
aw
10.4a Teorema. Sean f y g relacionadas por g(Q) = /(c:.>(Q)) como se describió anteriormente, donde f y el> son diferenciables. Entonces
ag = v¡. aP, ag = v¡. aP , ... , ot au au
ª'
g' =
=
!>.g = g(Q + 6Q) !>.x = .Q) !>.y = VJ(Q + !>.Q) t>.z = x(Q + t>.Q) -
y
= (t + M. u, v. w)
Ahora bien, confo rme t:.t
~
a1 '
pueden obtenerse todas las parciales de f con respecto a cualquiera de las variables relacionadas. Así
a¡ oP at =V/· ot .. ·. un
g(Q)
10.4b
Observación. En particular, cuando f se expresa como una función de t , u, v, w, la fórmula diferencial
d/ = V/· dP es la expresión correcta para df en términos de las diferenciales dt, du, dv, dw, si, a su vez, dP se expresa en términos de éstas. Porque, por defi nición, si f se expresa en términos de t, u, v, w,
x(Q).
6g = f(f..Q), tp(Q), x(Q)) = f,6x +f. 6y + f, 6z + 77J6PJ ,
lt:.PI ~O,
= Vf. ap
En ocasiones es conveniente, y notacionalmente quizá un poco más sencillo. no introduci r un nuevo símbolo g para la función f cuand o se introducen las nuevas va riables. Así, pensamos de f como una función de x, y, z. Entonces, cuando x. y. z se expresan en términ os de r. u. v, w pensamos de f como una función de /, 11, v, w. A partir de la fórmula maestra para la diferencial df = V/· dP
De modo que
donde .,, ~O conforme ces
1
ª'
~; = *'f[x(t), y(t), z(t)] = Vf • ~~.
ag = a¡ ax + of oy +a¡ az' . ... ot ax et cy ot az ot Demostración . Sean Q (t, u, v, w) y Q + L\Q punto cercano en D. Entonces t:.g está definida por
•ª'
se cumple sin importar las dimensiones de P o de Q. En particular, si Q es unidime nsional -es decir, si Q = t- la fórmula se transforma e n
+ éJP - du + -ar dv + -ar dw.
ar dP = - d1 ot
ª'
ar
Las demás parciales de P (es decir, de el>) se expresan en forma semejante. También se escribe Ja diferencial d P en Ja forma
esto es,
ª'
Obsérvese que la misma fórmula
.
. cambiemos -ax y - , y as1 sucesivamente, de modo que, ar ar ap = ax i + ay j + az k . ar Jr ar ar
supuesto que
f es diferenciable. Enton-
O.
!>.x ox 6P ap --+_ _.,_ 61 a1 ' . .. ' 61 a1 '
249
df = ?ldt +a¡ du +a¡ dv ar au av
+ of dw. ow
Entonces, por el teorema anterior,
df =
=
(v¡ ·éJP) dt + (v¡ . ªP) du + (v¡. ªP) dv at . ou av + (v¡ ·éJP)dw aw V/• (-aP di
º'
= 'Vf·dP.
+ -ar du + -aP d v + -ar au
av
aw
dw
)
250
la regla de la cadena
funciones · dlferenciables
Sea F(x, y) una función diferenciable de (x, y) en el rectángulo R: {a< x
EJEMPLO.
=
251
Estas forman un par de ecuaciones lineales para la determinación de y vz. De aquí que, por la regfa de Cramer,
U:r
Solución. Obsérvese que
dF
= F., dy + F:r dx = O.
De donde
dy F,--+ F:r =O. dx
en el supuesto de que el determinante del denominador no se hace cero. De
aquí que las fórmulas son válidas en todo ·punto (x, y, z) en los cuales este determinante es diferente de cero. Tal determinante se llama determinante Jacobiano y se denota por
De aquí que
dy y'= - dx
= -F•. /F
J( F,- G)
1,
U, V
en el ~u puesto de que f':v =j::. O. Esta condición, f'.11 -:f= O. es suficiente para garanttzar que tal función y existe (ver Sección J 1.6). Entonces la fórmula para y' es válida. ~JEMPL~. Su~ngase que F(u, v, x, y, z) y G(u, v, x, y, z) representan func~ones d1fe~enc1ables de las cinco variables en una región R de un espacioc~nco. Supongase además que u, v son dos funciones de (x, y, z) en el espa-
G(u, v, x, y, z) =O.
G>jª
u:z = _ o(F, o(x, v) De modo semejante
Solución. Nótese que
= Fu du + Fi. dv + F:r dx + F
1
ya que Y Y z se mantienen fijos dy
= dz
ou
ov
ax
ax
Fu--+ Fv--
o(u, v)
V
:z
= - o(F, G)¡o(F, G) o(u, x) o(u, v)
.
u'll = _ o(F, G)¡o(F, G) , .. o(y, v) o(u, v)
....::
-~
Tal y como se verá (Sección 11.6), el hecho de que el determinante Jacobiano del denominador no se nulifique es suficiente para garantizar que existen funciones u y v Jas cuales satisfacen las ecuaciones F = O. G O; entonces las fórmulas para sus derivadas parciales son como las dadas en los párrafos anteriores. En general, si F. G• ...• K son n funciones que dependen de las n variables u, v, ...• z (y quizá también de otras variables),
=
Calcular las parciales de u, v respecto a x.
dF
bº o(F, G) 1en - - . o(u, V)
Con esta notación pueden escribirse las fórmulas para u, y V:r como
cio-tres las cuales satisfacen las ecuaciones F(u, v,x,y,z) =O
o
dy
+F
2
dz
= O.
. . . . . . . F.
= O.Por tanto
+ F:r
G,
=O.
En forma semejante.
au
Gu.--
ox
ov
Ku
+ G.,--+ G:r·= O. ax
+ F.,vz= -F:r Guu:r + G.,v:r = - G,
K,
se llama determinante Jacobiano y se denota por
O bien
Fu.u:r
K.,
J(
F,
G, ... , K)
U, V, ••• , Z
o
b. o(F, G, ... , K) 1en O(u, V, ••• , z) •
ejercicios 252
funciones dlferenc/ables EJERCIOOS A
1. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en la dirección indicada:
2x2- z:.1 -
4r
=
3. Sea f una función diferenciable de (u, v) y sea g una función de x, y definida po.r g(x, y)= f(x2- y 2 , 2xy). Calcular Bz y g, en términos de fu y fv· 4. Sea I una función diferenciable de (u, v, w) y sea g una función de (x, y) defi· nida por g(x, y) = f(x- y, X + y, 2x). Calcular 8z y a, en términos de fu• fv
y·¡flJ.
S. Sea f una función diferenciable de (x, y) y sea g una función de (u, v, w) defi· nida por
Calcular Cu• g0 y lw en términos de fz y f,. 6. Demostrar que si F, G y H son funciones vectoriales diferenciables, entonces (a)
a ax (F • G)
a (b) ax (F
X
2. Sean F, G, ... , K, n funciones diferenciables de las n + m variables (u1 , "'2• ••. , "n• vl' v2 , ••• , vm) y supóngase que u1 , "2• ••• , un son funciones de (v 1 , v2 , ••• , vm> ·las cuales satisfacen las ecuaciones F =O, G =O, .•. , K = O. Demostrar formalmente que
au1
y1
en (1, 2, 2) hacia (4, S, 0). (b) r + y 1 + ~ + xyz:. en (1, o, 1) hacia (2, 1, 2). (e) r + 2xy + i' en (l, 1, 1) hacia (1, s, 2). (d) r + 3xy + (como una función de dos variables) en Ja dirección que forma un ángulo de 600 con el eje positivo x. (e) r + 4y1 + e- cos y .en (0, 0) en la dirección que forma un ángulo de 30º con el eje positivo x. (j) x2 + y 1 - 3xy en (1, 2) en la dirección de la tangente a la curva descrita por y =r. · (g) r + 4xy + z:.'2-2yz en (1, 2, 1) en la dirección de la tangente a Ja curva descrita por x = t, y = 212, z:. = 13. (h) r - 8xy + z:.2 en lá dirección de la normal exterior a la superficie x2 + y 2 + z:. 17 en el punto (4, 4, 1). d 2. Sea p cualquier vector y sea P(t) = P 0 + p1. Calcular -d f [P(t)],suponiendo que f es diferenciable. t (a)
aF
aG
avt =
a(F, G, ••• , K)
G)
= ax
a (e) h (F • G X H) =
X
G
+F
X
aF
ax • G
7. Encontrar la fórmula para
H
a(ult
u,, ... ' u,J •
3. Sea F una función diferenciable de (x, y, :) en una región R. Sea C, descrita por P(t)
= /(t)I + g(t)J + h(t)k,
una curva diferenciable en R con tangente unitaria T en un punto P 0 = P(t0). CC'nsidérese que s representa Ja longitud de arco a Jo largo de la curva. Demostrar que
d
ds F[P(t0)]
= (T • V) F(P..,) = VT F.
4. Sean u y v dos funciones diferenciables de (x, y) en una región R las cuales ~tisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann uz = vv• u, = - v.r en todo punto en R. Sea V,,.f la derivada direccional en Ja dirección ciue forma un ángulo a con el eje positivo x. Demostrar que
V.,,u
= v,,,+rr/2 V
para todo punto en R y todo ángulo a. 5. Sea f una función diferenciable de r y considérese que r Demostrar que
= Vx' + y2 + z2.
1v11=l!I· Explicar el significado geométrico de esto. 6. Sea / una función diferenciable de (x, y) y sea x = s cos a - t sen a, y sen a + t cos a, donde a es una constante. Calcular.
=1
(rf (r,r +
aG ax
ac
X
/ a(F,G, ••• , K)
- a(ult ••• ' "1-1• vt, "1+1• ••• u,J
= ax • G + F • ax aF
253
+ F • ax
X
H
+ F •G
·aa x
ax
axª'ay F • G. EJEROCIOS B
l. Supóngase que se tienen funciones u, v, w de x, y las cuales satisfa· cen F(u, v, w, x, y)= O, G(u, v, w, x, y)= O y H(u, v, w, x, y)= O en alguna re· gión del espacio (x, y) donde F, G y H son funciones diferenciables en una región apropiada en el espacio (u, v, w, x, y). Calcular las parciales de u, v, w respecto a x y y.
7. Ccnsidéresc que f llene segundas derivadas continuas en una región R y su· póngase que adquiere un máximo en un punto P0 en R. Demostrar que, para toda dirección a, (a'• V)/= O y (a· V)r
g
g
= /Vg + gV/,
signo se hace cero.
=
9. Sea f una funcióa diferenciable de una variante. Definir g por g /(x" + + y1 + z:.1 ~. Calcular Vg • Vg. 10. Sean f y g dos funciones de una variable para las cuales f' y g" existen. Calcular todas las primeras y segundas parciales de h, definida por h(x, y)=
= /[xg(y)].
254
funciones diferenciab/es
teoremas del valor medio y de Tay/or
JI. Sea / una función diferenciable de (x, .v. ;.) y sean y, z funciones diferenciables de x. Distinguir entre oflifx = / 1 y ,/f/tlx.
Es evidente que F es diferenciable y por el teorema del valor medio para una variable se obtiene F(l) - F(O) = F'(t) 1-0 o
EJERCICIOS C 1. Se dice que /(P) es una función homo~énen de grado k si /(tP) = t'/(P). En términos de coordenadas en tres dimensiones, esto se transforma en /(IX, f.V, IZ)
=
(P • V)/(P)
= k/(P)
y
(P • V)
2
/
/(P) - /(Q) =·V/(Po)· ~ = V/(P0)
= k{k - 1)/(P).
J. Demostrar que un:i condición necesaria y suficiente para que / sea una solución de / en una región es que o;ea la suma Je una función de x + y Y una funcÍÓn di' x- y. Es decir, existen dos funciones K y Ir de una sola variable,
=/
cada una teniendo dos derivmlus. p;in1 las cuales /(x •. y)
= g(x + y) + /r(x -
Po = Q
donde
2. Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que f sea una solución de f = / 11 en una región es que sea una función Je la combinación .r + y. Es deci(. existe una función diferenciahle g de um1 variable para la cual /(x•.v) = = p(x + y}. {S11gert'lldt1: Hacer 11 = x + y. 1· = x - y).
+ to~ = Q + to(P -
<
10.5 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y EL TEOREMA DE TAYLOR PARA VARIAS VARIABLES El teorema del valor medio para funciones de una ,·ariable tiene un análogo para funciones de \"arias variables y, en consecuencia, existe una forma del teorema de ·1 ·aylor para ,·arias de ellas, ya que este teorema se obtiene como una consecuencia del teorema del \'alor medio. El teorema del valor· medio es el siguiente: 10.Sa Teorema. Sea f diferenciable en una vecindad N. Entonces para dos puntos cualesquiera P y Q en N existe un punto Pu sobre el segmento que los une para el cual ·
f(x, y, z) -
F(t)
= f [P(t)] = /(Q + t~).
1
+ t0P.
f
(a, b, e)= f 1(x0 , y0 , z0 )(x - a) + f2(xo, Yo, zo)(y - b)
+ fa(xo, Yo, zo){z -
e),
x - l'o !I - Yo _ z - Zo x-a=y-b-~' y el valor común de estos cocientes está entre O y l:Se obtiene el teorema de Taylor para dimensiones superiores como una consecuencia del teorema de Taylor para funciones de una variable. 10.Sb Teorema. Sean/ y todas sus derivadas parciales basta el orden n continuas en una vecindad N de Q. Entonces. para P en N.
f(P)
= J (Q) + ((P +. · · +
Q) • V)f (Q)
1 (n -
I)!
+ _!_ ((P 2!
Q) ·V )2J(Q)
(
donde Po es un punto sobre el segmento que une P y Q.
=
=
Demostración. Sean ~ P - Q, P(t) Q + tJS. Apliquemos el teorema de Taylor para funciones de una variable a F, donde F está definida por F(t) /[P(t)]. Esto conduce a
=
F(t)
= F(O) + F'(O)t + _!_ F"(O)t2 + · · ~· , 2!
+
= Q +ti!. las cuales
definen F como una función de la única variable t por
- to)Q
Q),
donde (xo. Yo. Zo) se encuentra en algún punto sobre el segmento que une (a. b. e) y (x. y, z). Esto significa que
Q).
Demostración: Considérese~= P-Q y P(t)
= (1
(P -
y).
S. Sea / continua en una región cerrada R. Supóngase que / adquiere un máximo en un punto P sobre la frontera. Demostrar que V 0 /(P} O. donde n es la normal interna si esta derivada lateral existe.
= V/(P.,) • (P -
Q)
•
En términos de las componentes en tres dimensiones, el resultado de este teotema puede establecerse de la siguiente manera:
4. Demostrar mediante un ejemplo que una función puede tener derivadas direccionales en toda dirección en un punto P y. sin embargo, no ser diferenciable en P.
/(P) - /(Q)
donde O< t0 < 1.
Pero esto es precisamente
14}(x. y, z).
Demostrar que si / es una función homogénea diferenciable. entonces
255
Si t
l F(n-l)(O)tn-1 (n - 1)!
+ _!_ F(n)(to)t". n!
= 1 se obtiene exactamente la fórmula de Taylor del teorema.
1
Para entender completamente el significado de la fórmula, escríbase
:;:;;,;.:.
.. 256
.
~ti'º divergencia y rotacional 257
funciones diferenciables
para diferentes casos. Por ejemplo, en dos dimensiones, si se hace (x, y). se obtiene
Q =(a, b) y P
=
/(z, y) =f(a, b) + (cz - a):.,+ (y -
+ ! (
a).!
ax
!
-i- !(ex 3!
+ (y '
b) :Y}f(a, b)
b) aª \?. f (a,
y}
EJEMPLO 1. La ley de la gravitación de Newton afirma que dos partículas . .. se atraen una a la otra con una fuerza la cual es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Se desea expresar esta relación en la forma de una función vectorial. ·
b)
a).!+ '(y - b) .!)ª/{a, b):
ax
ay
a
1( n!
a\n
+ · · · + --- (x - a)-+ (y - b)- f(xo, Yo)+··
oy1
ax
Desarrollando se obtiene f(x, y) =f(a, b)
+
(x -
+![ex -
a)~ (a, b) +(y -
a)2 a2j(a, b)
ar
2!
+(y - b}" a"f~~
+![ex 3! .
+ 2(;r -
b)
~(a. b)
mM
IFl=k-. IPl2
ax oy
b)J
donde k es una constante de proporcionalidad. Todo lo que falta es apuntarla en la dirección correcta -es decir, multiplicarla por un vector unitario en la dirección correcta-. El vector unitario debe apuntar en la dirección opu::sta desde P. Entonces este vector unitario debe ser - P/IPI. así se obtiene
3
ox oy
oz3
2
b)" éJBL(~)
Solución. Primero, nótese que implícitamente la frase «se atraen» significa que la fuerza sobre la partícula B debida a la gravitación de A está a lo largo del segmento que une A y B y apunta de B hacia A. Ahora bien. tomemos una de las masas puntuales. digamos A. como origen y escribamos la fuerza que actúa sobre B como una función de la posición P de B. La magnitud de la fuerza debe ser
a)(y - b) a2j(a, b)
a)ª of(a. b) + 3(x - a)2(y - b) 03/(a, b)
+ 3(z - aXY -
una función vectorial en D. Frecuentemente a una función vectorial se le da el nombre de campo vectorial. Geométricamente lo imaginaremos como un vectór Q con su base en el punto P.
+ (y -
b)" éJB/~ b)J
+![ .. 4!
kmMP
F=----
.
]
+· .
Ahora se desea introducir dos nuevos conceptos. la divergencia y el rotacional de campos vectoriales diferenciables. Si F = fi + gj + hk es un campo vectorial diferenciable, la función escalar
a¡
Escribir los primeros términos del desarrollo para el caso de tres y cuatro variables. Por simplicidad; tómese Q = O.
10.6 LA DIVERGENCIA Y EL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL Sean f, g, h tres funciones definidas en un dominio D en el espacio tridimensional.· En cualquier punto P en D, los tres números /(P), g(P), h(P) pueden tomarse como las componentes de un vector. Si se denota este vector por Q, entonces se tiene
Q = F(P J = f(P)i
+ g(P)j + h(P)k,
ag
ah
-ax+ +ozoy se llama divergencia de F. Se denota por div F. Es evidente que puede expresarse en términos del operador V : div F V · F. Puede observarse este hecho del modo siguiente:
=
V·F= (~ax i + ~oy j + !oz k) ·(/i +. gj + hk) =
(~)! +
ox
(!)g og +oh oy + (~)h oz =a¡+ ax oy oz
258
funciones diferenciables
divergencia y rotacional
EJEMPLO 2. Calcular la divergencia del gradiente de una función escalar con dos derivadas continuas.
Solución:
grad f
= Vf = a¡ i + a¡ j
ax
div gradf =V• Vf =
ay
+ a¡ k
oz
o2f á2j' 02.f - 2 + - 2 +-. ax ay oz2
En muchas aplicaciones se trabaja con los llamados campos vectoriales solenoidales. Estos son campos para los cuales la divergencia es cero. EJEMPLO 3. Demostrar que el campo de fuerzas construido en el Ejemplo I
r3 V· F = -kMmlJi -
sumando se obtiene
,
.
p
rot F
=VX
=
F
Ahora bien
Pero así que
= vxz + y2 + z2. Entonces
F= -kMm [=-r3 i + 1Lr3 j + .:_rª k] V· F= -kMm[~(=-) ~(!.) + !(:..)]. ax r3 + oy r3 oz r3 a(x) l 3x ar ax ;a = ;a - ax =
x2
+
y2
+ z2
or = 2x ax ar X -=ax r
2r-
o bien
.
g
:z
CJ
h
Esta última línea puede tomarse como la correcta definición de rot F Y las otras expresiones pueden tomarse como definidas por la última línea EJEMPLO 4. Calcular rot F cuando F (x2 + y2)i + (3xz - Sz 2y)j + (x2 - 2z)k. Solución: j k i
a
a
VXF= x2
+
a oz
oy
ox
y2
3xz - 5z2 y
x2
-
2z
= i(-3x + lOzy) + j(-2x) + k(3z -
2y)
=
Por simetría,
!('!...) = .!.r3 - 3y2r
oy r 3 a(z) ~;;
5
--;:¡-7 1 3z 2
-~
=
= (IOzy - 3x)i - 2xj + (3z - 2y)k. 10.6a Teorema. Supóngase que f es una función con segundas derivadas continuas en una región R. Entonces rot grad f =O en R. Demostración. grad f = V1 i/z- + if1 + kf:, y rot grad f = V X Vf
Entonces
y
. =O.
¡(ºhoy _ag) + i(ºf _oh) + k(ºg _ªf). oz az ox ax oy
r4
,2
-¡:;;
axo oyo f
=
JPJ por r
---r5--
' La divergencia se expresa en términos del producto interno formal de) operador V con F. Esto sugiere que también podría considerarse el producto cruz formal de V y F. El resultado de esta operación se llama rotacional de F. j k
IPl 3 Solución. Denótese
J
+ y2 + z2)
3,2]
= -kMmlJi -
F= -kMmP es solenoidal.
3(x2
259
j
=
k
a a a ax oy oz
fz fu f,. = i(fav - fv,.)
+ j(fza -
faz)
+ k(/11z - f n) = O.
. ...
260
funciones diferenciables ejercicios
Ahora es razonable inquirir si este teorema representa la única circunstancia bajo la cual el rotacional de un vector puede hacerse cero. La respuesta es efectivamente «sí» y los detalles se darán en el lugar apropiado. Estas dos operaciones de diferenciación vectorial, div y rot, representadas simbólicamente por V · y V X, tienen importantes interpretaciones físicas e igualmente importantes aplicaciones en Ja teoría de los integrales múltiples, como se verá posteriormente. .
EJERCICIOS C Sea f una función dos veces continuamente diferenciable en una región R. Supóngase que existe un punto P 0 en R para el cual (a•V)/(P0 )=0 y (a•V) 2/(P0 )<0 para toda dirección a. Demostrar que¡ entonces / alcanza un máximo local en P0 - es decir, existe una vecindad N 1de P0 en Ja cual /(P) < /(P0 ) para todo P ::/= P11 en la vecindad N.
EJERCICIOS A
l. Escribir la fórmula de Taylor para las siguientes funciones. como se indica:
00
w
senx~ny
00
sen x sen y x2 + x3y + xy + x2y2 e' ro• 11 cos (e + y 2 + log z) log (x cos y) l/xy
(h)
J/(1-x-y)
w
(el) ~
w
ro
1
J/(X
+y+
Z)
alrededor alrededor alrededor alrededor alrededor alrededor alrededor alrededor alrededor
de de de de de de de de de
(0, 0) (r., 0) ( 1, 2) ( 1. O) (0, O, ( I, 0) ( 1, 1)
hasta 3 términos hasta 3 términos hasta 17 términos hasta 4 términos 1) hasta 2 términos hasta 3 términos hasta 4 términos (0, 0) hasta 15 términos ( 1, O, 0) hasta 13 lérminos
2. Calcular div F y rot F para cadit uno de los siguientes campn5 vectoriales. ¿Cuáles son solenoidales? (a) F P = :d + yj + zk (b) F = P/IPl 2 (d) F = 3xzi + Sy2x3j + (7z' + Sy2)k (e) F = f (:x:)i + g(y)j + h(z)k
=
3. Encontrar las fórmulas para las siguientes expresiones:
(b) V -C/F) (e) V x (/F)
(a) V· V(/g) (á) V X (F X G) {g) V X (V X F)
(e) V-(F + G) (/) V x p
4. Sean /. g, h funciones diferenciables de x, y, z. Demostrar Que
a(f,g, h) == V/. Vg x Vh. a(:x:, y, z)
¿Qué sugiere esta expresión acerca del significado geométrico del Jacobiano?
EJERCICIOS 8 l. Sea F = (6xy + 3x2y .?:)I + (3x2 + 2.r:iyz + 2z 4y)j + (x3y 2 + 4z3y 2)k. Verificar que rot F =O. Encontrar todas las funciones / tales que F = grad /. 2
2. Sea f una función diferenciable en una vecindad N y supóngase que todas las primeras derivadas de f son idénticamente nulas en N. Demostrar que / es constante en N. 3. Supóngase en el Ejercicio B2 que N se reemplaza por una región general R. Demostrar que / es constante en R.
261
}; ! ·;~
ll Transformaciones y funciones implícitas. Valores extremos -~·
J 1.1 TRANSFORMACIONES. TRANSFORMACIONES INVERSAS Sea F una función de valores vectoriales definida en un dominio Den un espacio vectorial Euclideano de n dimensiones con rango R en un espacio vectorial Euclideano de m dimensiones. Tal función se llama mapeo o transformación, la cual mapea o transforma Den R. Esto significa que para cada Q en D existe un P.. único en R para el cual p
= F(Q).
Sea G una función cuyo dominio es R y cuyo rango es D. Esto significa que para cada P en R existe un Q en D tal que
Q = G(P). Supóngase que G está relacionada a F en tal forma que. siempre que F F
D
[263}
264
transformaciones lineales
transformaciones y funciones implícitas
mapea Qo en Po. G mapea Po hacia atrás en Q 0 • Entonces G se llama mapeo inverso o transformación inversa de F. ti.la Teorema. Una condición necesaria y suficiente para que una transformación F tenga una inversa es que no existan dos puntos en D que tengan la misma imagen en R bajo la transformación F. Po y F(Q1) Po implica que Qo Qi. Es decir, F(Qo)
=
=
De hecho, describe una transformación lineal de En, donde el punto Q ha sido dénotado por (qi. q 2 , •••• Qn), hacia Em, donde el punto P ha sido denotado por
=
+ Q') = L(Q) + L(Q') L(aQ) = aL(Q).
Demostración. Para cada P en R, definir G(P) como ese punto Q en D para el cual P
= F(Q).
1
=
En términos de componentes, si Q (qi. q 2 , F(Q) se transforma en
Pm), entonces P
=
Pi
= ft(q¡, q2, • • • , qJ
P2
= f2(q1, q2, • • ·, q,.)
... ,
q,,) y P
= (p,.
P2 • ....
265
Demostración. Para probar la segunda ecuación. nótese que si en (1) cada q se reemplaza por aq, los factores a salen del segundo miembro de cada ecuación. Para probar la primera, obsérvese que reemplazando cada q por q + q' podemos separar el segundo miembro de cada ecuación (1) en la suma de dos partes, a saber, el segundo miembro evaluado parct las q más el segundo miembro evaluado para las q. 1 Una matriz de m X n es un arreglo de números que tiene m renglones
y n columnas: Buscar una transformación inversa significa: dado cualquier P =
= K1(P1• P2' • · · , Pm)
q2
= K2(P1' P2• • • • , Pm)
11.2 TRANSFORMACIONES LINEALES Una transformación lineal Les aquella dada mediante un conjunto de ecuaciones lineales:
= a11q1 + a12q2 + · · · + ª1"q" P2 = ª21q1 + a22q2 + · · · + a2,.q n
En ocasiones es conveniente pensar que cada línea está formada con las componentes de un vector n. llamado vector línea, y cada columna como si estuviera formada con las componentes de un vector m, llamado vector columna. Inmediatamente se ve que existe una íntima relación entre las matrices y las transformaciones lineales, puesto que el j-ésimo vector línea está formado con los coeficientes de las q en la expresión para p1 en (1). De hecho, esta expresión para p1 es precisamente el producto escalar de este vector línea con Q. Para expresar este hecho en la notación matricial usual, se escribe Q como u·n vector columna inmediatamente a la derecha de la matriz:
P1 (1)
Pm
= ªm1q1 + ªm2q2 + ' ' . + ªmnq n·
ªn
ª12
ªin
ª21
ª22
ª11n
aml
Dm2
(2)
...
amn
266
transformaciones lineales
transformaciones y funciones implícitas
Entonces se dice que una matriz de m X n actuando sobre un vector columna n, simbolizado por (2), produce un vector columna m de acuerdo con la fórmula
D21q1
+ ª12q2 + ... + ª1nqn + 022q2 + · •· + 02nq n
ªmtql
+ ªm2q2 + ... + a,n,,qn
allql
= ªmi
ªm2
. •.
ªmn
qn
,
donde el j-ésimo elemento del vector resultante es el producto punto del j-ésimo vector línea con Q. Así que las ecuaciones (1) en términos de las componentes pueden escribirse en notación matricial como P1
ª11
ªin
ª12
q¡
Es evidente que toda transformación lineal tiene por dominio a todo E,,. púesto que el segundo miembro de ( 1) tiene sentido para todo Q. Ahora deseamos inquirir acerca del rango.
U.lb Teorema. Una condición necesaria y suficiente para que la transformación lineal L (de E,, a E,,) tenga una inversa definida sobre todo E,, es que el determinante de los coeficientes no sea cero. En este caso, la inversa también es una transformación lineal y el determinante de sus coeficientes es el recíproco del determinante de L. No se probará este teorema. el cual se supone que el estudiante conoce desde el álgebra (aunque, tal vez, en diferentes términos). sino que en su lugar haremos algunos comentarios acerca de su contenido: En términos de coordenadas en tres dimensiones. se dice que para resolver unívocamente u
=
V= W
Por ejemplo, las ecuaciones Yt
= 011X1 + ª12X2. Y2 = ª21 X1 + ª22X2 Ya = 031X1 + ªa1X2
se transforman. en notación matricial,
(
::) = (::: ::) Ya
031
(j.
032
Es evidente que cualquier transformación lineal conduce a una matriz, a saber su matriz de coeficientes, e inversamente cualquier matriz puede servir como la matriz de coeficientes de una transformación lineal. Esto proporciona una .correspondencia biunívoca natural entre las transformaciones lineales y las matrices. Así que podemos hablar de una transformación lineal dada por una matriz o bien decir que una matriz es una transformación lineal. De aquí en adelante nos restringiremos a las transformaciones lineales de E,, hacia En, o bien. en terminología matricial, a matrices de n X n. Cuando usemos el término «matriz» nos estaremos refiriendo a una matriz de n X n y todas las transformaciones lineales, sin requisito adicional, serán de E,, a E,,.
267
=
+ ª12Y + a¡3Z ª21X + ª22Y + a23Z 031X + Oa2Y + 033Z,
OnX
sin importar cómo sean U, V y W, es necesario y suficiente que el determinante de las aes no sea cero. Entonces la solución está dada por la regla de Cramer X
=
u
º12
013 /
ªu
ª12
"ia
V
ª22
023
021
022
a23
w ªa2 a33 ºa1 ªa2 033 y= etc., a partir de la cual es evidente que la inversa es también una transformación lineal. A partir de esto no es un cálculo difícil demostrar que los determinantes son recíprocos. Se dice que una transformación lineal. o su matriz, es singular si su determinante se hace cero. De otra manera es no singular. El Teorema l 1.2a establece que el rango de una transformación lineal no singular es E,,. Aunque no es nuestra mira, puede demostrarse que el rango de una transformación lineal singular· es un subespacio lineal. el cual puede interpretarse como un plano, o bien un hiperplano, o bien una línea.
ll.2c Corolario. Si Les una transformación lineal no singular. no mapea un vector Q diferente de cero en O. Demostracion. Si mapeara un vector Q diferente de cero en O. se tendría tanto L(Q) =O L(O) =O. COVJO
268
ejercicios
transformaciones y funciones impllcitas Demostración.
Entonces, por el Teorema 11.la.
Q=
.
(Para dos dimensiones). Sea L dado por
= L(T, Q)
ll.2d Corolario. Si L es una transformación lineal no singular y P es i:ualquier vector diferente de cero. entonces existe un vector unitario a. tal que L(a.) es un múltiplo escalar positivo de P. Demostración. Sea Q la solución de P L(Q). Haciendo a.= Q/IQI, se calcula L(a) = L(Q/IQI) = (1/IQl)L(Q) = (1/IQl)P. 1 11.2e Teorema. Sea L una transformación lineal no singular. Entonces existen puntos Qo y Q1 en {IQI 11 tales que
=
u(T) = a 11(T)x
v(T) = a 21 (T)x Entonces IL(T, Q) - L(T0, Q)I
lu(T) - u(To)I
mlQI Demostración. tiplicar por IQI.
Haciendo a.
<
IL(Q)I
<
MIQI.
= Q/IQI. aplicar el Teorema
y
Entonces, ya que
lau(T) - au(To)l lxl
+ la12(T) -
la 11(T) - a11(T0)1
< mr
la12(T) - ª12CTo)I
< .•/i..
!xi < IQI Y IYI
v(T
}] 2 • 0
a12(To)l IYI·
IQI. u(T0 )1 < <2
lv('f) - v(To)I
m
4
mlQl/2J2.
tal que IT-Tul
< <2
asegura que
< mlQl/2J2.
= min Í<1. <2) y IT - Tol < <.
IL(T, Q) - L(To. Q)I
1
4v2
~
En forma semejante. existe un
l 1.2e y mul-
11.lg Teorema. Sea L(T, Q) una transformación lineal cuyos coeficien· tes dependen continuamente de T en una vecindad de T 0 , y sea L(T0, Q) no singular. Entonces existe un < > O tal que IL(T, Q) - L(T0 , Q)I < !IL(T0 , Q)I para todo Q y para IT-Tol < <.
<
lu(T) -
Así que si <
Si cada elemento a;; de una matriz es función de un parámetro, entonces la transformación lineal definida por esa matriz depende del parámetro. Si cada a1¡ es una función continua del parámetro. podría esperarse que la transformación dependiera continuamente en alguna forma del parámetro. En la forma en que necesitamos este resultado, el parámetro es por sí mismo un punto en un espacio vectorial Euclideano. Si T es el parámetro. denotaremos la transformación por L(T. Q). donde Q es el vector que se transforma.
+ [v(T) -
Supuesto que las aes son continuas en T, existe un <1 tal que IT-T I 0 1 asegura que
=
l 1.2f Corolario. Para cualquier transformación lineal no singular L. se tiene que para todo Q en E"'
J[u(T) - u(T0 )] 2
<<
=
Los números IL(Qo)I y IL(Q 1 )I se denotarán por m y M, respectivamente, con un subíndice L cuando sea necesario. Geométricamente. estos números representan las longitudes de los vectores más corto y más largo. respectivamente, los cuales se originan como imágenes de los vectores en flQI 1} bajo la transformación L.
+ a 12(T)y + a 22(T)y:
101-1
Entonces se tiene
o<
=
= (x. y).
m = min IL(T0 , Q)I >O.
Ahora, sea
=
IL(Q0)1 < IL(Q)I < IL(Q1)I para todo Q en {IQI = 1}. Demostración. IL(Q)I es una función positiva continua en un conjunto cerrado acotado. La positividad se deduce inmediatamente con base en el Corolario 1 l .2d. La continuidad se deja como ejercicio (81). Así que IL(Q)I adquiere un suprémum y un ínfimum en llQI 1:. 1
=
donde U (u, v). Q Entonces L está dada en coordenadas por
1
o.
U
269
2 -+-(m_l_Q_l/2-Jl-2)2 < J,_(m-IQ-l/2_J2_2)-
= mlQl/2 < ilL(T0, Q)I. EJERCICIOS A 1. Sea una transformación lineal L dada por la matriz
1
12 1) ( s 3
4 2
1
-1
Encontrar el resultado de aplicar L a: (J. O, O) {b) (0. l. 0) (<-) (O, 0.1) 2. Sea L la transformación dada en A l. Demostrar que cualquier plano se lleva hacia un plano y que cualquier linea se lleva hacia una· linea. 3. ¿Cómo puede saberse que L dada en A 1 no mapea E en un plano? (a)
3
270
transformaciones y funciones implícitas
teorema de inversión
EJERCICIOS B l. Sea L una transformación lineal. Demostrar que ILI es una función continua de Q y así completar la demostración del Teorema JJ.2e. 2. Aplicar el Teorema l 1.2f y concluir que L(Q) es uniformemente continua sobre todo En.
3. Encontrar una transformación lineal de E:i a E3 cc.m L(i) = 2i + 3j- 4k y L(k) = 3j + 4k. ¿Existe alguna otra?
= Si + 2j.
L(j)
S. Demostrar que si todos los menores de 2 X 2 son cero (esto es, si L tiene rango 1), pero no todos los elementos son cero, entonces L mapea EJ. sobre una línea: 3
11.3 EL TEOREMA DE INVERSION
=
4. Describir geométricamente la transformación dada por la matriz.
(_t ~:J 5. Sea L una transformación lineal de En a Em y M una transformación lineal de E,,, a E,; y sea T la tran!iformación de E,, a E., definida por T(Q) = M[L(Q). donde Q está en E,,. Demostrar que T es lineal y calcular sus elementos de la matriz. ";;- a partir de lns de L y M. denotados 11or "'J y hlj. respectivamente. La matriz de elementos e- define el producto de las matrices de L y M. 6. Demostrar que la orientación de una terna de vectores se conserva o se invierte mediante una transformación lineal no singular de acuerdo con que el signo de su determinante sea +o-· y el volumen del paraleleplpedo rectangular determinado por la terna se multiplica por la magnitud del d~terminante. 7. Sea J.. una transformación lineal que mapea E-.: en E:i· Demostrar que la imagen de E-.: es en general un plano en 6:1 pero puede ~r una línea o un punto.
Sea F una transformación diferenciable de un dominio D en En hacia un rango R en En. Por ejemplo. si n 3. las componentes de F estarían dadas por
=
u =f(x, y, z) (1)
2. Aplicar el resultado del Ejercicio 1 para demostrar que si una transformación T satisface T(Q + Q') = T(Q) + T(Q') y T(clQ) = aT(Q). es una transformación lineal. 3. Sea L una transformación lineal de E,, a Em. Demostrar que existe un M tal
ILI < MIQI
y además que M
de la matriz de los coeficientes de L.
<
VI a~ donde los";; son los elementos i,J
4. Sea L una transformación lineal de E:¡ en E:. con rango 2. Esto significa que el determinante de L es O, pero uno de los subdeterminantes de 2 X 2 formado al eliminar un renglón y '1na columna (es decir. uno de los menores de 2 X 2) no es cero. Demostrar que L mapea E 3 sobre un plano.
= h(x, y, z).
=/
Supóngase además que existe un punto Q = (a, b, e) en el cual A g(a. b, e) y C h(a. b, e). Se desea inquirir acerca de la existencia de una transformación inversa en una vecindad de P=(A, B. C) en el espacio de (u, v. w). (a, b, e), B
=
=
=
Sea P + dP (A + du, B + dv, C + dw) un punto cercano. Entonces. si existe una función inversa definida en una~.vecindad de P. debe existir una dQ (dx, dy, dz) única tal que P +JP F(Q + dQ); es decir,
=
+ du = f (a + dx, b + dy, e + dz) B + dv = g(a + dz, b + dy, e+ dz) e + dw = h(a + dx, b + dy, e + dz).
¡
Mediante los métodos del último capítulo. se ve que aproximadamente
+ / 2(Q) dy + f 3{Q) dz { dv = g1(Q) dx + g2(Q) dy + g3 (Q) dz l dw = h1(Q) dx + h2 (Q) dy + h3(Q} dz. du = / 1(Q) dx
(3)
En notación matricial. esto se transforma en
du) (/1(Q) dP =
(
dv
dw
':~~·
;.>t~.
--:.~~ ...
=
A
(2)
EJERCICIOS C l. Sea /(Q) una función de valores reales de Q en En con las propiedades (a) /(Q 1 + Q') = /(Q 1 ) ;- /(Q') y (b) /(aQ) = a/(Q). Demostrar que existe un vector fijo A tal que /(Q) =A • Q. (Sugerencia: Expresar Q en términos de vectores base Q = q 1e 1 + q 2 e2 + ·· · + q,,en·>
v = g(x. y, z)
{
w
8. Sea L una transformación lineal no singular que mapea E11 en En y sea (e 1• e-.: •... , e,,) una base cualquiera. Demostrar que L(e 1 ). L(e::>· .... L(e11 ) también es una base.
que
271
=
f2(Q) g1(Q) g2 (Q)
(Q)) (dx)
f3
g3(Q)
dy
h1(Q) h2 (Q) h3(Q)
dz
=J{Q, dQ).
La matriz de la transformación lineal anterior se llama matriz Jaco· biana porque su determinante es el determinante Jacobiano. Algo de la información que puede obtenerse de esta última ecuación es que la transformación que lleva dQ en Q hacia dP en P es una trans-
.--~ .~:--4
.~~.
teorema de inversión 272
formación lineal. En otras palabras. el cambio en F desde Q hasta Q + dQ es muy aproximadamente lineal. Ahora bien. esta transformación lineal tendrá una inversa única si el determinante J(Q) no es cero. Esto es. dada dP, puede encontrarse dQ si J(Q) =f=. O. Habiendo encontrado dQ, entonces se ha encontrado una solución aproximada del problema inverso•. porque . (2) se cumplirá aproximadamente. A continuación procederemos a demostrar rigurosamente que una transformación puede invertirse localmente cerca de un punto Q si J(Q)=f=.O. Desarrollaremos esta demostración a través de una serie de lemas. Empezando por una corta discusión acerca de la diferenciabilidad de las funciones vectoriales; se dice que una función vectorial F es diferenciable en un punto Q si está definida en una vecindad de Q y si
F(Q
+ b) -
F(Q) = J(Q, h)
+ u(Q, h)lhl,
donde u --> O conforme h --> O. De esto se deduce (Ejercicio Iló) que una condición necesaria y suficiente para que F sea diferenciable es que cada componente de F sea diferenciable. Si J(Q, h) es una función continua de Q, se dice que F es continuamente diferenciable.
11.Ja Lema. Sea F una función vectorial diferenciable definida en una vecindad N y sean Q y Q +a. dos puntos en N. Entonces -d F(Q dt
+
tu) = J(Q
+ ta, u).
Demostración. Se deja como ejercicio demostrar que Q + ta. está en N para ¡o~ t ~ 11. sea el j-ésimo componente de F en /. Entonces. por el Teorema 10.4a. -d f(Q +tu) = dt
f 1(Q
+ ta)rx1 + i2(Q + ta}x2 + · · · + f nCQ + tu)otn
Pero éste es exactamente el j-ésimo componente de J(Q
+
ta., a.).
1
11.Jb Lema. Sea F una función de valores vectoriales definida en una región R y que 'tiene derivadas continuas allí y sea Qo un punto en R en el cual el Jacobiano no es cero. Entonces existe un f.> O tal que siempre que 01 y Q2 estén en N(: flQ-Qol < (}, donde
!m IQ2 -
Q 11 ~ IF(Qz) - F(QJI M
m
y
Demostración. (1)
273
transformaciones y funciones implícitas
=
=
~ f MIQ2 -
Qil,
sup IJ(Qo, «)I
111 1=1
.
inf IJ(Qo, «)l.
1111=1
Escójase t: de modo que, por el Teorema 11.2g.
IJ(Q, «) - J(Qo, «)!
<
llJ(Qo, u)I
para todo vector a. si Q está en Nt:. Hágase a.= Q2 -Q1; entonces el segmento que conecta 01 a Q2 está descrito por Q(t) Q 1 + ta.. Sea
=
(2)
IF(~.) -
F(Q1)1
= 1f.'~: [Q(t)] dt 1=1 = 1
f.'
J[Q(t),ca] dt
J.' [J(Q ca) + J(Q(t), ca) 0,
> 1I:J(Q•• ca)dt1-
lf
1
J(Q., ca)] dt 1
(J(Q(t),ca) - J(Q•• ca>}d1I
> IJ(Qo, u)I - !IJ(Qo, u)I = ilJ(Qo, «)I
> lmlcxl = !mlQ2 - Qil· Si se estima desde arriba se obtiene el otro miembro de la desigualdad.
1
11.Jc Lema. Bajo las condiciones del Lema l l .3b, F(Q) no toma los mismos valores más que una vez en Nf.; es decir, si F(Q 1 ) F(Q2).
=
Q1 = Q2. Demostración.
La demostración es inmediata a partir de que
IF(Qz) - F(Q1)I
> lmlQ2 -
Qil·
1
En los espacios de una dimensión, una función diferenciable la cual no toma un valor más que una vez es una función monótona. El lema que se acaba. de probar es un resultado análogo para las ·dimensiones superiores. En una dimensión el concepto principal para estudiar tales problemas fue el teorema del valor medio. Desafortunadamente. el teorema del valor medio no se extiende hacia las transformaciones (ver Ejercicio B2). Sin embargo, la fórmula integral (2) con la cual se empezó la demostración es un análogo integral del teorema del valor medio y puede aplicarse ccn ese objeto, aunque Jos cálculos son necesariamente más complicados. 11.3d
Lema. ·Sea F una función de valores vectoriales definida en una región D y que tiene derivadas· continuas allí. Sea Q.o un punto en Den el cual el Jacobiano no es cero y denotemos F(Q0 ) por P 0 • Entonces existe un 8 >O y un (>O tales que, para cada P en % 6 : {IP - P0 1 < <5}, existe un Q en N€: {IQ - Q 0 1 < ~} tal que p F(Q).
=
Demostración. Determinar ( como en el Lema 1l.3b y definir 8 =:'lffi!/9, donde m = min IJ(Q0, «)I (ver Corolario l l.2g). 1111-1
Sea P1 cualquier punto en JV,. Se desea demostrar que existe un Q1 en N€ tal que F(Q 1 ) P 1 • De hecho se demostrará que Q 1 existe y está en N€12 •
=
274
teorema de inversión
transformaciones y funciones implícitas
,~{f.:
Entonces
1e
tiene IF(Q2) - P1I = l[F(Q1) - P 1
<
F(Q1) - r¡J(Q0, ex)] 1
IF(Q1)
+ r¡J(Q0 , ex)I
-
P1
P 1l =
min
IF(Q) - P 1 I.
¡O-Oolr:>;f/2
Tal Q 1 existe. puesto que una función continua en un conjunto cerrado acotado alcanza su ínfimum. Primero se demostrará que IQ. -Qol < (/2. E/2. podría aplicarse el Lema l l .3b para obtener Porque si IQ1 - Qui
=
IF(Q1) - Poi= IF(Q1) - F(Q0 )I
>
!mlQ1 - Q 0 I
= me/4 > 2ó.
A partir de esta expresión se obtiene IF(Q 1)
-
P1l
> IF(Q1)
-
F(Q1) - r¡J(Q0 , ex)I.
Por el Corolario l I .2d. puede escogerse a. de modo que .J(Q0 • a.) = - k [F(Q.)-P 1]. donde k >O. Aplicando (6) al segundo término de la última desigualdad nos da
Con este fin. definase Q1 por -
+ r¡J(Q0, ex)]
+ [F(Q2) -
+ IF(Q2) -
IF(Q1)
275
Tomando '1 todavía menor (si es necesario). de modo que .,,k obtiene
Esto completa la prueba de que F(Q1 )
= P 1.
<
l. se
1
A continuación tenemos el principal teorema de inversión.
Poi - IPo - P1I
= lJ > IPo - P1 l = IF(Qo) -
> 215 - lJ P1I > IF(Q1) -
-
P1l·
La última desigualdad es verdadera por la forma en que se escogió Q 1 Esta contradicción demuestra que IQ1 - Qol <
=
(5)
11.Je Teorema. Sea F una transformación de valores vectoriales continuamente diferenciable de una región D en En a un conjuntoR en En y sea Qo un punto en Den el cual el Jacobiano no es cero. Si se denota F(Qo) por P 0 , existe un ( >O y un 8 >O tales que está definida una función inversa G en ...11'6 : {IP - P0 1 < ó}, que toma valores en NE: {IQ - Q0 1< .:}. . Además, G es continuamente diferenciable en una vecindad de Po y el Jacobiano de G en Po es el recíproco del Jacobiano de F en Q-0
Pero esto contradi!Ce la definición de Q 1 y de aquí se completa la demostración. Para encontrar tal Q::. observemos todos los puntos de la forma Q2 Q1 + 71cx. donde ex es un vector unitario y .,, es una constante positiva tan pequeña que IQ:: -Q 1 I < E/2. (¿Cómo es posible escoger .,, tan pequeña'!) Entonces se desea escoger a. de modo que se cumpla (5). Para hacerlo posible. primero nótese que
=
F(Q 2) - F(Q1) - 'Y}J(Q0 , t1) = F(Q 1 + rJCt.) - F(Q1 )
= 'Y}f.\J[Q(t), ex] De aquí que
-
'Y}J(Q0 , ex)
~
G
-
J(Q0, ex)} dt.
Demostración. Escójanse ( y 8 como en los lemas anteriores. se ve que el conjunto de puntos Do en N( el cual se mapea sobre .;V6 satisface las condiciones del Teorema 11.Ia, de manera que existe una función
276
transformaciones y funciones implícitas · ejercicios 2n
inversa G sobre .A'6 y que toma valores en Ne. En efecto. por definición mapea .;V6 hacia atrás sobre Do. Para demostrar que G es diferenciable en .A'6, sean P y P + h vectores en%,, y sean
Asi que
+k
= G(P + h).
Q
= G(P)
P
= F (Q) y P + h = F (Q + k) h = F(Q + k) - F(Q) y k = G(P + b)- G(P).
de modo que
Q
y
EJERCICIOS A 1. Calcular el Jacobiano de cada una de las siguientes transformaciones y discutir el comportamiento local:
1
Puesto que F es diferenciable en Q,
G(P
donde
G(P) = J 1(P, h)
v(P, h)
=lklJ [P, u(Q, k)]/lhl.
x2
lkl = IG(P
de modo que
lkl -+ O
+ h) -
conforme
Así que
G(P)I
+ v(P, h)lhl,
oy1 =
+'
< 1,0
3. Encontrar las transformaciones inversas para l(a), (e), (d}, (e) y (fl. Describir los conjuntos sobre Jos cuales están definidas las inversas.
<
4. Calcular Jos Jacobianos de las transformaciones inversas obtenidas en el Ejercicio 3 y verificar directamente que el producto de los Jacobianos de las transformaciones directa e inversa es 1 en cada uno de los casos.
(2/m)lhl,
5. Sean u = x
lhl-+ O y, de hecho. lkl/lhl ~ 2/m. conforme lhl -+ O.
ax¡ au,
+ y + z.
a• = x 2 óx/ i!w.
iJx/ iJv, y
+ y2 + : 2
y w
= x3 + y 3
+ z.3 •
Calcular
6. Sea / una función oc ._x, y). i:n un cambio de coordenadas hacia las coordenadas polares, escribir Jas ffirmulas para a¡¡ax y a¡¡ay. 7. Expresar
a2¡¡ar en coordenada!> polares.
8. Sea u= /(x, y). Expresar Au = Uzz
=
9. Sea u f(x, y, .z). Expresar Au cas; (b) coordenadas esféricas.
U. Sea x = f(u, v), y
/2 =
-gl"
Haciendo w
1
= g(u,
+ "w
en coordenadas polares.
= Uzz + "w + "zz en (a) coordenadas cilfndri-
10. Sea u= /(x, y). Calcular Au = u,.z el Ejercicio Al(c) anterior.
a(y¡,. ·., Y1-1' Ys+t• • · ·' Y'll) O(X¡, ••• 1 Xi-1• X¡+l•. , • 1 Xn)'
donde J es el determinante Jacobiano de F, a saber
(Ver Ejercicio Cl.)
z=rcosq,
-+ O.
=
1
+ y2
2. Describir la imagen del cuadrado {O< x anteriores.
=
(-1) J(Q)
y= r senif>senO y
x2
Además se ve que G es continuamente diferenciable ya que J 1 es continua, y J 1 es continua puesto que J es continua y no cero. Si Q (x1. X2 •••• , Xn) y P
az,
n >O
yl/n
(/) x = r sen if> cos 8
+ y2
v=---
1
Falta por demostrar que v -+ O conforme h Por el Lema l 1.3b, se tiene
U= X+ y v=
(e) u = - -
+ J 1[P, u(Q, k)]lkl
+ h) -
(d)
X
X
Ahora bien. ya que el determinante J(Q) no es cero. existe una transformación lineal J 1 (P, h) inversa a J(Q, k). De aquí que. de (6). se obtiene
o bien
+ zZ + y
U
yl2 (x +y)
(e) x = er cos O y= ersen O
= F(Q + k) - F(Q) = J(Q, k) + u(Q, k)lkl, donde u -+ O conforme k -+ O. h
k = J 1(P, h)
=
(b)
1
V=
(6)
.
(a) u = y!z (x - y)
+ u1111
bajo el cambio de variables dado en
v) un cambio de vari~bles para la cual
f 1 = g2 y
= h(x. y), demostrar que
12. Expresar (au{i)x) 2
+ (cu{iJy) 2
en coordenadas polares~
13. Sea N una vecindad en En y considérese que Q y Q trar queQ(t) = Q + tcxestA en N para {O ( t <; 1}.
+ ex estAn
en N. Demos-
278
~}·
transformaciones y funciones implícitas EJERCICIOS 8
..
1. Expresar A1u ::::: U:== + 2u=n + uwn en coordenadas polares. Aplicar el resultado del Ejercicio A8 anterior. 2. Dem05trar que el teorema del valor medio puede extenderse hacia las transformaciones en la siguiente forma: Sea F una transformación continuamente diferenciable. y supóngase que Q. Q' y el segmento que los une se encuentran en el dominio de F. Entonces F(Q) - F(Q') = J• (Q1 • Q2 •••• , Q,¡; Q-Q'), donde J• es el Jacobiano modificado que actúa sobre Q-Q'. J• tiene la forma de un Jacobiano en el cual el j-ésimo renglón tiene sus elementos evaluados en un punto O; sobre el segmento que une Q y Q'.
inversas globales
279
sa definida sobre todo el rango R de la función F. Como se ha visto, una condición necesaria y suficiente para que tal inversa exista es que el mapeo producido por F sea un mapeo unívoco (Teorema 1l.la). Primero notemos que puede existir una inversa local en cada punto de una región sin que exista una inversa global. Puede verse esto geométricamente en la figura. Sea un mapeo dado físicamente al doblar la cinta recta de manera que se traslapen los extremos. Entonces tanto el punto Qo
3. Demostrar que Ja transformación F dada por 11 = x - y2, '' = 2xy es confor. me en todo punto excepto en el origen. Es decir, si Q0 se mapea en P-0• dos curvas diferenciables cualesquiera que pasen por Q11 mapean en dos curvas diferenciables que pasan por P0 , de modo que el ángulo entre eJlas se conserva. ¿Qué sucede a Jos ángulos en el origen? 2
4. Supóngase que x = /(11, l'), ~· = ¡:(u, l'), z = /,(11, •·) están relacionadas de tal manera en una región D del plano (u. v) que existe una región D 2 del plano 1 (x, y) tal que z = (x, y) en D .• , donde /, g y Ir, 1' son continuamente diferenciables en sus respectivos dominios. Evaluar ozfOx y ozfOy en términos de /, g y h. S. Si 11 y v son funciones diferenciables de (x, y, z), las cuales a su vez son funciones diferenciables de (r, s), demostrar que
~0
~0~~
~0~~
~~~zj
-y)-a(r,-s) + -z)-a(r,-s) • a(r, = s) a(:.:, a(y,z) a(r, + s) a(z, 6. Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que F sea diferenciable es que cada componente de F sea diferenciable. EJERCICIOS C 1. Establecer la fórmula para ax.[Oy; dada en la página 276. 2. Aplicar el teorema del valor medio modificado del Ejercicio 82 para probar el Lema 11.3b y la ecuación (6) del Teorema 1 l.3d, y de aquí desarrollar una demostración del teorema de inversión, independiente del argumento integral usado en el texto.
UA
INVERSAS GLOBALES
El teorema que se ha probado demuestra que el hecho de que el Jaco· biano no se nulifique en un punto Qo es suficiente para garantizar la exis· tencia de una función inversa de una transformación diferenciable F en una vecindad suficientemente pequeña de Qo. Bajo estas condiciones. se dice que existe una transformación inversa local. Ahora se desea inquirir acerca de la existencia de una inversa global -es decir. una función inver·
~~:.~·
Q¡
como el Q1 se mapean en el mismo punto Po. de ·modo que no puede existir una inversa global. Sin embargo. si se corta Ja cinta en dos mediante la línea sesgada l. el mapeo de cada extremo es biunívoco, de modo que existe un inverso de cada de estos mapeos. Aunque el argumento dado aquí es puramente geométrico. no es difícil dar fórmulas explícitas donde se presente tal fenómeno (ver el Ejercicio A6). Estos ejemplos señalan el hecho de que una condición que garantiza una inversa local no necesariamente garantiza una global. En particular. el hecho de que F sea diferenciable en una región R y tenga un Jacobiano positivo en cada punto de R no garantiza que existirá una inversa global. Sin embargo. el siguiente teorema. el cual se establecerá sin demostración. proporcipna un conjunto de condiciones suficientes.
llAa Teorema. Sea F un ma peo continuamente diferenciable definido en una región D en E:. y supóngase que su Jacobiano nunca es cero en D. Supóngase además que C es una curva cerrada simple la cual, junto con su interior (recuérdese el teorema de la curva de Jordan), se encuentra en D y que F no toma valores dobles sobre C -esto es. F(Q 1) F(Q2) implica Q 1 Q2 para Q. y Q:. sobre C. Entonces la imagen r de C es una curva cerrada simple la cual. junto con su interior. se encuentra en R. Además. F no toma valores dobles en la región cerrada que consiste de C y su interior. de modo que puede definirse una función inversa en la región cerrada que consiste de r y su interior.
=
=
·-...;~
280
transformaciones y funciones implicitas
coordenadas curvilineas
También se cumple un teorema semejante para las dimensiones superiores. Una transformación que es uno a uno y continua y tiene una inversa continua se llama transformación topológica. Una transformación topológica puede distorsionar el tamaño y la forma de una región, pero se conservan ciertas propiedades. Por ejemplo, el número de «hoyos» se conserva bajo tal mapeo. Una propiedad que no cambia se llama invariante topológica. El estudio de tales propiedades constituye una gran parte de la topología, pero no se considerarán más esos temas aquí.
11.S COORDENADAS CURVILINEAS
=
=
Supóngase que u f(x, y). v g(x, y) describen una transformación unívoca y continua de una región D hacia una región R y sup6ngase que la inversa queda descrita por x = cp(u, v)
(l)
De modo semejante. la línea horizontal v
= Vo
281
se mapea en la curva
g(x, y) ~ v0 • Estas dos curvas se intersectan en solamente un punto (¿por
~ :.~··
qué?), a saber Q-0. En la misma forma, para cualquier otro punto P 1 =(u 1 , v1). las dos curvas de nivel dadas por f(x, y) = u1 y g(x, y)= V1 determinan la imagen inversa de (u1. v1) en D; e inversamente, cualquier Q en D está en la intersección· de exactamente una curva de nivel de f con a1 y f a2 no pueden intersectarse en D; dos una de g. Dos curvas f curvas de nivel de g tampoco pueden cortarse en D. Por tanto, las curvas dadas por f(x, y) =a y g(x, y) b cubren a D con un enrejado de curvas cuyas intersecciones determinan unívocamente los puntos de D. Tal conjunto de curvas se llamará sistema coordenado curvilíneo. Entonces, con ello se tiene otra interpretación geométrica de una transformación topológica: puede interpretarse como un sistema coor· denado curvilíneo. El sistema de coordenadas curvilíneas más conocido en E 2 es, por supuesto. las coordenadas polares descritas por x p cos (}, y p sen O. 2 con la inversa local dada por p = \1? + y • O= ang tan y/x.
=
=
=
=
=
Y= 1J'(U, V), u
u=u0 g=uo
B=Bo
%
u=uo
u %
Cada punto Qo está dado por sus coordenadas (x, y). También puede expresarse como la imagen de un punto único Pu en R por medio de las ecuaciones ( 1) anteriores. Para entender el significado geométrico de este hecho, consideremos todos los puntos P de la forma P (u 0 • v) donde v es arbitraria -es decir. todos aquellos puntos que se encuentran sobre la línea vertical que pasa por P 0 • La imagen de esta línea será una curva en el plano (x, y) dada paramétricamente por
=
x
= 4'(u0 , v)
Y= 1J1(U0, v), y también estará dada como una curva de nivel de la función
f(x, ?/) = Uo
f:
P=Po
Debido a que la inversa es una inversa local se presentan ciertas dificultades. La primera pero no muy seria dificultad proviene del hecho de que fJ no es univaluada sobre todo el plano. Por lo tanto. en cualquier región que encierra al origen -como, por ejemplo, una región anular entre dos circunferencias con centro en el origen- no existe inversa global. Sin embargo, como sin duda ya lo ha hecho muchas veces el estudiante. es posible dividir tal región en secciones en cada una de las cuales exista una inversa global. El segundo aspecto molesto de las coordenadas polares se relaciona al hecho de que 9 no está definida en el origen y, como se verá posteriormente, el Jacobiano también provoca dificultades allí. Esto causará alguna preocupación cuando se discuta el cambio de variables en una doble integral. Sin embargo. el estudiante se dará cuenta de
282
transformaciones y funciones implícitas
coordenadas curvilíneas
que la mayor parte de estas dificultades pueden superarse de alguna manera u otra. Calculemos el Jacobiano
Op Op
ax ay
o(p, O)
o(x, y)
=
ofJ
.Jx2 +
ªº
=
y2
1
ax ay x2
mejante, los otros vectores están dados aproximadamente por Q2 - QO = (OX i
y
X
y2 .Jx2 +yª
y
-y x2 + y2
Qa -
+ oy j + OZ
k) dv
av av ov ax . oy • + -az k) d w. Qo = (- 1 + - J ow aw ow
Entonces el triple producto escalar de estos vectores es
ax au ax éJv ax aw
=-+-=Pª pª p
Por el Teorema l l .3e,
o(x, y)
acp, 8) = P· En el espacio-tres. los sistemas de coordenadas curvilíneas más conocidos son el esférico y el cilíndrico. Algunas de sus propiedades, a·I igual que las de algunos sistemas menos conocidos. se exploran en los ejercicios. En términos de las coordenadas curvilíneas, puede darse un significado geométrico al Jacobiano. el cual es más fácil de apreciar en el espacio-tres. Sea una transformación uno a uno y continuamente diferenciable. la cual mapea una región D sobre una región R, dada por u f(x. y, z). v = g(x, y, z) Y w h(x, y, z). Sea Po un punto en R y P 1 un punto cercano definido por P 1 - Po (du, O, 0) y sean P~ y P:i definidos por (O, ~v, 0). Y (0, O, dw), respectivamente. Estos puntos determinan una pequena caja rectangular de volumen du dv dw. Mediante el mapeo inverso.
=
283
oz ou ou
(}:t¡
éJy
w
=
=
V
= 1o(x, y, z) 1 V.
.
UtlW
Por lo tanto, el valor absoluto del Jacobiano es aproximadamente la razón. en lo pequeño, de los volúmenes correspondientes en la transformación de coordenadas. Esto se verá en forma más rigurosa posteriormente. Se dice que un sistema de coordenadas curvilíneas es un sistema ortogonal si las curvas definidas por ellas se intersectan a ángulos rectos. Supóngase, como antes, que u, v, w forman un sistema de coordenadas curvilíneas en una región D del espacio (x, y, z). Si se mantienen fijas v y w. entonces Q (x, y, z) traza una curva a lo largo de la cual únicamente varía u. (En nuestra discusión previa, Qo y Q 1 fueron puntos vecinos sobre tal curva). Así que un vector tangente (no necesariamente el tangente unitario) de esta curva en la dirección de la u creciente es
11
Ti= u
esta caja se mapea sobre un «paralelepípedo curvilíneo» que tiene por vértices a Qo. Q .. Q2. Q3, las imágenes de Po. Plt P2. Pa. respectivamente. La arista Qi -Qo es aproximadamente el vector dx i+dyj+dzk debido . d p oy , + OZ k ) du. De modo sea 1 d esp1azam1ento u. or tanto es 1+
(ªX ou , aul au
O(U, V, W)
Zlll
=
du
y
dU dV dW= O( X, y' Z) dU tJ V dW o(u, v, w)
± volumen (aproximadament~) del «paralelepípedo» V zyt• donde se obtiene el signo + o bien - de acuerdo con la orientación de la terna (P 1 -P0 , P2 - P0 , P 3 -Po). si cambia o no cuando se mapea en (Q. -Qo. Q2-Qo, Q3-Qo). Y
=
=
oz
ov av au az aw ow
ox ¡ + oy j + oz k.
ou
au
ou
En forma semejante, vectores tangentes a las curvas v y w son
ax . + -oyJ. + -oz k ov av ov ax . + -ayJ. + az- k . Ta=-1 aw ow ow T2 = - 1
y
funciones implícitas 284
285
transformaciones y funciones Implícitas
donde ' es una función diferenciable definida en % Es evidente que la condición para que el sistema sea ortogonal es que
o bien que
T1 • T2
= T2 •Ta= Ta· T1 = O
ax ax + ay ay + ~ az = o ou ov au ov ª" ov ax ox + ay oy + az oz = o av aw ov ow av ow OX ax + oy O]/ + oz oz = o. ow au ow au ow éJu 11.6 FUNCIONES IMPLICITAS En uno de los primeros ejemplos del cálculo de derivadas parciales, se requirió el cálculo de las primeras parciales de una función z, que dependía de x y y, la cual satisfacía Ja. ecuación
x3
-
xy + yz 2
2
~ z3
= 5.
Suponiendo que tal función existe y que las derivadas existen. fue posible obtener fórmulas para las derivadas. Consideremos ahora el caso de la existencia y Ja diferenciabilidad de tales funciones definidas implícitamente.
11.6a Teorema. Sea f una función de valores reales continuamente dife- · renciable de Q=(x. y. z) en una vecindad de un punto Qo=(a, b, e) y supóngase que /(Q 0 ) = C, /a(Qo) =f= O. Entonces existe una función continuamente diferenciable única z. definida en una vecindad de (a, b), para Ja cual z(a, b) =e y f[x, y, z (x, y)] =C. Demostración. Considérese la transformación F dada por u= x. v = y, w = f(x, y, z). Ahora bien, F mapea (a, b, e) en (a, b, C) y
a(u, V, w) = a(x, y, z)
1 O
w
Así que haciendo w
= C se obtiene
z
Pero u
= e,
= f[u, v, '(u, v, w)]
y donde
='(u, v, C)
en {(u - a)2
= x, v = y, de modo que z = '(x, y, C)
y
en {(x - a)2
e =![X, y, '(x, y, C)]
y donde
en %
6•
+ (v -
b)2
< 62}.
+ (y -
b)2
<
en {(x - a)2
+ (y -
'52},
b)2
<
62}.
1
Obsérvese que en este teorema no existe nada esencial acerca del hecho que se singulariza la tercera coordenada. Así que, si en lugar de MQo) =f= O. se hubiera supuesto que /::(Qo) =¡é: O, podría haberse concluido que la ecuación f(x, y, z) C podía resolverse para y en términos de x y z en una vecindad de (a, e) en el plano (x, z). De aquí que, si en Q0 se tiene V/=F O. la ecuación f(x, y, z> = C puede resolverse para una de las tres variables en términos de las otras dos. Es de desear que se determine el plano tangente a la superficie f(x~ y, z) C en Qo. Ahora bien
=
=
fi
y
az
+ /3 ax= o
fa+ fa
oz oy =o.
Así que
az !1 ox =-la az '2
y
ay=
-1a·
Entonces el plano tangente en Qo está dado por
o /1 /2
'(a, b, C)
, 6
=fa=/= O.
oz ax ºº
De aquí que, por el Teorema l l .3e, F tiene una inversa diferenciable única Gen una vecindad .,,vcJ de (a, b, C): {(u-a)2 + (v-b)2+(w-C)2 <82 J. Ahora bien, G expresa (x, y, z) en términos de (u, v. w) y. evidentemente, x =u, y= v. de manera que, en términos de las coordenadas, G tiene la forma X= U, y= V, z = '(u, v, w),
oz oy ºº
(z - e) = - 1 (x - a)+ - 1 (y - b)
O O fa
o bien
(z - e)=
-(li//3)(x ~a) -
(/2/f3)(y - b),
Esto prueba el siguiente corolario y justifica las observaciones heurísticas de la Sección 10.3.
286
transformaciones y funciones Implícitas
ejercicios
11.6b Corolario. Bajo las condiciones del Teorema 11 .6a, el plano tangente de /(x, y, z) = e en Qo está dado por fi
+ MQ-0)(y -
b)
+ fa
e).= O,
a partir de la cual es evidente que la normal a la superficie está en la dirección del gradiente /i(Qo)Í
+ MQo)j + MQo)k.
La misma técnica puede aplicarse para resolver /(Q) = C para una de las componentes de Q en términos de las otras y para resolver ecuaciones simultáneas. A continuación estableceremos un teorema que se refiere a las ecuaciones simultáneas. 1 t.6c Teorema. Sean· f y g funciones continuamente diferenciables en una vecindad de cinco dimensiones de un punto (xu. Yo. Zo. Uu. Vo). Supóngase que /(xu. Yo. Zo. u(), Vo) =O y g(xu. Yo. Zu. Uo. Vo) = O, pero que o(/, g)/o(u, v) =FO en (xo. Yo. Zo. Uo, Va). Entonces existe una ve· cindad tridimensional en la cual u y v son funciones continuamente diferenciables de x, y y z. las cuales satisfacen f(x, y, z. u, v) = O y g(x, y, z. u, v) O.
=
Demostraci6n. (Esbozo.) Establézcase la transformación en ~l espacio de las w por w1 = x, w2 =y, W3 = z. w, W:r. = g. Entonces obsérvese que O(W¡, W2, W3, W4, W5) = O(f, g) -:f: 0, o(x, y, z, u, v) o(u, v)
= /,
1
y arguméntese como antes. EJERCICIOS A l. Sea
z
- 7x2y 2z + 2 = O, cerca de (1, l, 2). Dar una solución aproximada para z cerca de (x, y)= (0, 0). z3
+ z2y
2. ¿Existe alguna función / definida y continua en una vecindad de (0, 0) la cual satisfaga la e.cuación da~a en cada caso? En cada uno de Jos casos establecer cuántas funciones están así determinadas y el valor de Ja función en el origen: (a) x2 + y2 + [f (x, y)f = 25 (b) x2 + 2x + y2 + f2 (x, y) = O. 3. Demostrar que los siguientes sistemas de coordenadas curvilíneas son sistemas ortogonales:
.l'
J (x, y, z) para z?
= eZ2+11 +z: -
COS
(x2
-
ax au
= 1?
<
6. Sean u= x cos y, v = x sen y. Demostrar que en el rectángulo R: {1 x< < 2.0 < y < 7}, 'iJ(u, 1:)/a(x, y) > O, de manera que el mapeo producido de R en el plano (11, v) es localmente uno a uno. Trazando un diagrama de la imagen de R en el plano (u, v), demostrar que no es globalmente uno a uno. Interpretar (x, y) como coordenadas curvilíneas en el plano (u. ,., y así. dar una explicación geométrica de este mapeo. EJERCICIOS B
t. Establecer y probar el análogo bidimensional del Teorema J 1.6a. 2. Completar la demostración del Teorema l l .6c. 3. Si /(x, y, z) O puede resolverse para x. y o bien z, y todas las derivadas en .. . azaxiJJJ
=
cuesuon existen. demostrar que. en general. -
+
.-
.-
a.t· ay az
= -1.
4. Si F(Q, ~>.es una función vectorial-n del vector-11 P y el vector-m Q, ¿bajo qué cond1c1ones es de esperarse el poder resolver F(Q, P) = O para p en términos de Q?
5. D~n:iostrar que z3 + p(x, !)z = 15 tiene una solución positiva única z = f(x, y) definida para todo (x, y) s1 p es una función positiva continuamente diferenciable de (x. y). 6. Demostrar que Ja conclusión del Ejercicio BS se cumple simplemente bajo la hipótesis de que p sea no negativo. 7. ¡,Cuál es el significado geométrico del Jacobiano en dos dimensiones?
= uv, y = !(u2 -
(t1) Hacer un esquema de las curvas /1 = e y v = e·. (b) Hacer un esquema del área limitada por u= t, 11 = 2, v (<.') Calcular ~/ = f.u + /1111 en estas coordenadas. (d) Demostrar que éste es un sistema ortogonal.
v2):
= l, v = 2.
9. Hacer x =u cos v, y = 2u sen v y examinar el sistema como en el Ejercicio B8.
=
10. Supóngase que /Cx, y~ z) O y g(x, y, zJ = O definen dos superficies las cuales se intersectan en una curva. Demostrar que bajo restricciones suficientemente estrictas. el vector tangente a la curva es o(y, z)
y y puede resolverse Ja ecuaci~n 1
au ax
¿Puede esperarse que -
ªCf,g) 1 + a(/,g) J + a(J,g> k
(a) Coordenadas polares en el ·plano. (b) Coordenadas esféricas en el espacio-tres. (e) Coordenadas cilíndricas en el espacio-tres. 4. ¿Para qué valores de
S. Supóngase con /(11, '" x, y) = O, g(11, t•, x, y) = O pueden resolverse para dos variables cualesquiera en términos de las otras dos. Si todas las derivadas rela· cionqdas existen, ¿cuántos significados puede tener 'iJu¡ax? Si ninguno de los Jacobianos relacionados se hace cero, dar una fórmula para cada significado.
8. Las coordenadas parabólicas están dadas por x
dada implícitamente por
287
y2
+
z2)
o(z, x)
a(x, y)
•
EJERCICIOS C
=O
l. Sea Cu. '': w) un sistema ortogonal de coordenadas curvilíneas en una región D del espacio (x. y, ~). En cada punto Q (x, y, z), sean e 1 (Q), e2 CQ), e 3 (Q) vec-
=
288
transformaciones y funciones implícitas
valores extremos
lores unitarios en las direcciones de T 1 , T 2 , T,, respectivamente (ver Sección 11 .5). Sea (ofOs;) la derivada direccional en la dirección e;. Entonces: . (a) Demostrar que para una f diferenciable en D
ª!
V/= -0 e1 S¡
a¡
(b) Para funciones vectoriales diferenci~blcs F en D, definir
F 1 = F · e¡, F 2 = F · e 2 , F 3
=
F · e3 ,
y demostrar que
y
VxF =
i!f - e i!r
e2
C3
iJ
iJ
iJ
i!s1
i!s2
i!s3
J
'
iJj
+ rsen - - -i!O
1 i!f
e - - O
= O.
Esto es equivalente a un sistema de ecuaciones escalares / 1cPo) = O, /z(Po) :=: O, y en tres dimensiones MPo) O, para la determinación de las coordenadas de P0 • Es evidente, en cualquier espacio vectorial Euclideano, que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. Una solución de este sistema -esto es, un punto Po para el cual V/(Po) O- se llama punto crítico. · Geométricamente, los puntos críticos son aquéllos en los cuales la superficie z f(P) tiene un plano tangente horizontal. Ellos incluyen ambos tipos de puntos extremos y otros que, en algunos aspectos, son los análogos a los puntos de inflexión. Estos recibirán el nombre de puntos silla, porque Ja forma de la superficie cercana al más sencillo de estos puntos semeja una silla de montar.
=
=
=
e1
F1 F2 F3 2. En particular, para las coordenadas esféric;is, demostrar que
vr 1 =
río que la derivada direccional de f en Po se nulifique para toda dirección por Po y, en consecuencia, el gradiente debe nulificarse en Po:
que pas~
Vf(Po)
a¡
+ -0S2 e 2 + -0S3 e 3 •
289
e
r i!
11.7 V ALORES EXTREMOS Un punto Po es un punto máximo local de una fundó n f si existe una veci ndad de P0 en la cual /(P) ,.:;; /(P0 ) y un mínimo local si se cumple la desigualdad in ve rsa. Es un máximo t) un mínimo absoluto si se c umple Ja desigualdad apropiada para toc? us los puntos en el dominio de definición de la función. También distinguirem os entre puntos máximos débiles y estrictos de acuerdo con que se i:urnpla j(P) ,.:;; /(P0 ) u bie n /(P) < /(Po) para P =I= Po. El término genérico. d c11:d ruhre tanto los puntos máximos como los mínimos es el de puntos extremos. Los va lores correspond ien tes de la función son valores extremos, locales o absolutos, de acuerdo con el caso. E l criterio que vamos a describir en esta secció n es para pur.tos extremos locales e interiores. Por supuesto que no te nemos que ga rantizar que se alcanzará un valor extremo, y aun cuando se sepa que se alcanza un valor extremo. como en el caso de una func ión continua defin ida en un conjun to cerrado acotado, puede alcanzarse en muchos puntos. algunos de los cuales o todos pueden ocurri r en la fron tera. Así que cualquier examen completo de una función requiere que se tomen en consideración los va lores sobre la frontera. Para que una función diferenciable tenga un va lor ext remo en algún punto Pu interior a su dominio de definición, debe a lcanzar este valor extremo sobre c ua lquier línea recta que pase por P 0 • Por lo tanto. es necesa-
A continuación se dará un criterio para distinguir entre máximos, mínimos y puntos silla. Para establecer este criterio, examinemos las derivadas direccionales superiores. El criterio más sencillo es el siguiente.
ll.7a Teorema. Considérese que f tiene todas sus segundas derivadas continuas en una región D y sea Q un punto crítico de f. Entonces en Q la función f tiene (i) un mínimo si (a. · V) 2 /(Q) > O para todo vector unitario a. (ii) un máximo si (a. · V) 2/(Q) < O para todo vector unitario a.
290
transformaciones y funciones impllcitas
valores extremos bajo restricciones
(iii) un punto siUa si el signo de (ci • V) 2/(Q) puede cambiar.
En dos dimensiones, pueden reescribirse las condiciones: (mínimo) (i) In.> O, /11/22 -Uu)2 >O (ii) In. < O, f uf22 - U12)2 > O (máximo) (iii) /u/22 -U12)2
Demostración. (Para un mínimo.) Por el teorema de Taylor, se tiene para P cerca de Q
f (P) = f (Q) + (P -
Q) ·V/(Q)
+ ![(P -
Q) • V] 2 /(P0),
f (P) - f (Q) =
Si se introduce el vector unitario ci en la dirección de P - Q, esta última fórmula puede expresarse como /(P) -/(Q)
= !IP - Ql
2
Va /(Po).
Sup~esto que las segundas derivadas de f son continuas en Q y lcxl se tiene
= 1,
(1)
donde r¡ -+ O y el límite se alcanza uniformemente con respecto a ci. Ahora bien, la cantidad Va2f (Q) es únicamente función de ci. puesto que Q es fijo. De hecho, es un polinomio homogéneo (~fu«¡rx.1) de segundo grado en ci, definido en el conjunto cerrado acotado jcij l. Por lo tanto, alcanza un valor mínimo m para algún cio. y este valor mínimo debe ser positivo, supuesto que Va2f(Q) es positiva para todo ci. Ahora bien, tómese P tan próximo a Q que M< m/2. Entonces
=
/(P) - /(Q) :> i!P - Ql 2 { m -1111} > llP - Ql 2 ( m - ; )
= mlP-Ql De aquí que, tal y como se aseveró, ción para un máximo es semejante.
2
/4>0.
f alcanza un mínimo. La demostra-
Cuando Va2f(Q) puede cambiar el signo es evidente, de (1), que /(P)f(Q) también puede cambiar el signo en toda vecindad de Q, de modo que esto indica un punto silla.
2 + 2/12«1«t + /22«t2·
Va2/(Q) = /11«1
(2)
Completando el cuadrado puede expresarse esto en la forma
/n[«1 + rx.J12//11] 2 + a.,,2(/11/22 - ri.2)//11· Entonces es evidente que, si fn/22 -/122 >O, el signo de esta expresión (3)
es el signo de In o es cero. Si se nulifica, a2 = «1 =O, lo cual no es posible. Esto muestra la equivalencia de fu >O con Va2.f(Q) >O Y fu
=
Va2/(Q) y escogiendo ci de modo que f ua1
=-
= fn, fua2, se ve que
= oc.l(fn/22 -
/~2)//11,
y estos dos valores tienen signos opuestos. Si / 12/ 22 - / 122 < O y /22 =/=O, entonces (2) puede escribirse como
!((P - Q) • V}2 f (P0 ).
2
Solamente falta por establecer las fórmulas especiales para dos dimensiones. Aquí se tiene
Va2f (Q)
donde Po está sobre el segmento entre P y Q. Así que
291
Í22[«2 + oci/12//22] + CX¡2(/11/22 _¡J1~)//22• y otra vez el mismo tipo de argumento demuestra que Va2.f(Q) puede cam-
biar signo. Si tanto
In.
=O como
/22
/11/22 - fi2 = -/~2 <
.:~
o.
Entonces Va2/(Q) = 2/12cx 1~, la cual evidentemente cambia de signo.
~
,......, ·~·
= O. entonces /12 =/=O, porque
-.~w:
1
Se nota que las condiciones del teorema son suficientes pero no necesarias, porque ciertamente f(x, y) r + y4 alcanza un mínimo en el origen, sin embargo no llena estas condiciones. No continuaremos con este tema pero se observa que un examen de las derivadas superiores proporcionaría más teoremas esotéricos acerca de Ja existencia de puntos extremos. También es evidente que el problema en ninguna forma es tan sencillo cuando existen varias variables que cuando solamente existe una.
=
11.8 VALORES EXTREMOS BAJO RESTRICCIONES Al discutir los valores extremos de funciones de diversas variables se presenta un nuevo tipo de problema, el cual no se tiene en el caso de funciones de una sola variable. Esto ocurre cuando se inquiere acerca de un extremo de una función, digamos f, bajo la condición (llamada restricción o condición lateral) de que otra función se nulificará.
292
valores extremos bajo restricciones
transformaciones y funciones implícitas
Si se desea maximimr f(x, y) bajo la condición de que g(x, y) = O, podríamos tratar de resolver la ecuación g(x, y) =O para y en términos de x, sustituir en f(x, y) y minirni:zar la función resultante de x. En muchos casos esto es difícil y aun imposible. de ahí que sea necesario otro acercamiento.
293
=
traza la curva g O cru:zará las curvas f =e en la dirección de las e crecientes, o bien decrecientes. Cuando la dirección del cruzamiento cambia, es de esperarse un punto extremo. En la figura, la función f alcanzará un máximo sobre g O en P si la dirección de crecimiento de e está arrib:i, de otra manera, alcan:zará un mínimo allí. Si todas las funciones son suaves -esto es, si tienen derivadas continuas- es de esperar que la curva g =O sea tangente a la curva f =e en P. Es decir, es de esperar que sus líneas tangentes (o planos en las dimensiones superiores) coincidan. Así que si (a, b) es el punto extremo
=
(x-a)f1(a, b)
+ (y- b)f.z.(a, b) =O
y
deben representar la misma línea. Esto significa, por supuesto, que sus coeficientes deben ser proporcionales. En otras palabras, debe existir una A tal que fi(a. b) + >.g1(a. b) = O f2(a, b) + A.g2(a, b) O. y. por supuesto. g(a, b) =O.
=
Por ejemplo. supongamos que se desea obtener el valor menor o mayor de la función f dada por f(x, y)=
=
.Jr + y2
bajo la restricción g(x, y) O. Es fácil ver que el problema es maximi:zar o minimizar la distancia desde el origen hasta un punto sobre ·Ja curva descrita por g(x, y) O. Las líneas de nivel de la función f son circunferencias con centro en el origen. Conforme un punto atraviesa la curva, cruzará las líneas de nivel ya sea yendo hacia dentro o hacia afuera. Por tanto. deben esperarse valores extremos en los puntos donde cambia la dirección del cruzamiento. En general. la situación es, con mucho, la misma cuando se desea maximi:zar una función f sobre una curva dada por g =O. Un punto que
=
y
Así que se tienen tres ecuaciones para las tres incógnitas a, b y A. El método que se ha bosquejado para la locali:zación de los puntos crí~icos se conoce como método de Lagrange y. A se llama multiplicador. Supuesto que el método del multiplicador solamente conduce a los puntos críticos, todavía es necesario distinguir, en alguna forma, los puntos máximos, mínimos y los puntos del tipo de inflexión. A continuación se ofrecerá una demostración de que el método descrito proporciona una condición necesaria para la existencia de un valor extremo. 11.Ba Teorema. Sean f y g definidas y diferenciables en una región D. Para que f alcance un valor extremo bajo la condició_n de que g(P) =O en un punto Po en D, donde Vg :;é: O, es necesario que exista un número A tal que
VJ(P0)
+ lVg(P0) =O g(Po) =O.
y
Demostración. (Para tres dimensiones). La suposición de que Vg(Po):;60 significa que no todas las g¡, g2 y g3 se nulifican en Po=(a, b, e). Supóngase, para fijar ideas, que g3(Po) :;é: O. Ahora es posible resolver g(x, y, z) =O para z y obtener z = 4'(x, y) cerca de (a, b), 4'(a, b) =c. Entonces f[x, y, f/>(x, y)] debe alcanzar un valor extremo en a, de modo que f1[a, b, cp(a, b)] + f 3 [a, b, cp(a, b)]cp1(a, b) =O, Y
/2[a, b, c/J(a, b)]
+ / 3[a, b, cp(a, b)]cp2(a, b) = O.
294 transformaciones y funciones implícitas Pero puesto que 4'(a, b)
ejercicios
= e, estas ecuaciones se transforman en
(IJ
/ 1(a, b, e)+ / 3(a, b, c)r/Ji{a, b) =O
(2)
f,.(a, b, e)+ f 3(a, b, c)r"2(a, b) =O
g1(a, b,' e)+ g3(a, b, c)r/Ji(a, b) =O
(4)
g2(a, b, e) + g3(a, b, c)c"2(a, b) = O. l
O
EJERCIOOS 8
+ ).g3(a, b, e) = O.
Estas tres últimas ecuaciones son simplemente las componentes de
V/(P0)
1
+ lVg(P0) = O.
Donde existen varias condiciones de restricción. la regla es básicamente la misma: Una condición necesaria para que f alcance un valor extremo bajo las restricciones g =O, h = O, ... , p =O en un punto Po es que existan multiplicadores Ato A2, ••.• Ak tales que
+ l 1Vg(P0) + l¡Vh(P0) + · · · + A1eVp(Po) =O.
No se dará la demostración de esta última expresión. El estudiante debe convencerse a sí mismo (heurísticamente) que normalmente debe tomarse k ~ n - 1, donde n es la dimensión del espacio. EJERCICIOS A l. Encontrar y probar los puntos criticos de tas siguientes funciones: zy 1 1 (a) :r:' + zy + y2 - 3z - 9y (d) +; -
+ llxy + '!!' + S
+ 3axy
.
(e) :r:2
24
24
+ zy + Y1 + -;- + y
(/) (z +y)
e-z•-.•
2. Encontrar los valores extremos absolutos de las siguientes funciones:
W~+~-~ (b) :r:2 + llxy + y2
so~~+~+~<~ sobre {z2
+ y 2 = 4}
2. Demostrar que la función / definida por /(x, y) = (y - xª)(y - 8x3) tiene un punto silla en el origen. Demostrar que, sobre toda línea recta que pasa por el origen, f alcanza un mf nimo en el origen.
3. Encontrar el mayor valor de sen x/2 sen y/2 sen z/2 si x, y y z son positivas y X+ Y+ Z = 1'. 4. Encontrar y probar los puntos criticos de
(a)
x• + y' + 4xy -
2y2
S. Encontrar x y y tales que
(b) y'
fo
1 (
v'i- x
+xi -
2zy
- yt)2 dt sea la menor.
EJERCICIOS C l. Supóngase que / es una función continuamente diferencia ble en el espacio-tres y P0 es el punto sobre la superficie S descrita por /(x, y, z) O en Ja cual S se aproxima Jo más posible a un punto (t., no sobre la propia superficie S. Si V/(P0 ) =FO, demostrar primero mediante un argumento geométrico, y después rigurosamente, que Q0 -P0 es normal a S en P0 •
=
2. (a) Demostrar que eJ valor máximo de es (pl/3)3•
Y
8
(e) :el - y'
=
l. Probar el teorema bosquejado al final de la Sección t 1.6.
j 3(a, b, e)
(b) :el
4. Encontrar las dimensiones del paraleleplpedo rectangular mayor con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice sobre x + 3y + 2z = 6 si x, y, z son positivas.
7. Verificar que /, dada por /(x, y) = x 2 +y•, tiene un mínimo en el origen pero no satisface las condiciones del Teorema J l.7a.
O
y (5) es equivalente a
V/(P0)
3. Sean Ptt P:! puntos dados en el espacio-tres. Encontrar P de modo que 1P 1 - P 1+ 1P~ - P 1 sea la menor.
=
y usamos (5) para eliminar 4' 1 y 4'2 de (1 ), (2), (3) y (4). Esto llev~ a
+ J.g1(a, b, e) = / 7.(a, b, e) + Ág2(a, b, e) =
= 6,
5. Se construye una bandeja a partir de una cinta de metal de 1S pulgadas de ancho, doblando una cinta de x pulgadas a Jo largo de cada una de sus aristas de tal manera que se forman ángulos iguales 8 con Ja base. Encontrar x y 8 de modo que la bandeja contenga el mayor volumen. 6. Encontrar el punto P más cercano al origen sobre la línea de intersección de los dos ·planos 2x + 3y + z 6 y x + 2y + 2z 4. Verificar que el segmento desde O hasta P es ortogonal a la línea.
= -f3(a, b, c)/g3(a, b, e)
fi(a, b, e)
< a: < 11, O < y <: 11}
y=6,z+ys:i6.
Definimos A por (5)
sobre {O
(d) ·Y{6 - x)(6 - y)(x +Y - 6) sobre el triángulo limitado por x
Ahora bien. g[x, y. 4'(x. y)]= O cerca de (a, b). De aquí que g también satisface (3)
+ y)
(e) cos x cos y cos (x
295
(b) Demostrar que el mínimo de
ry''z1 sobre Ja esfera
r + y1 + z1
sobre
r
+y'+ r
=pi
ry1z1 = CP'/3)3 es p1•
(b) Ccnerali1.ar (a) o bien (b) y así deducir que. para aes posith'as (a,a., "ª )'/• ~ (41 1 a2 a,,)/n, es decir, Ja media geométrica es menor o igual~ la
+ +· ··+
media aritmética.
$ ~
~rt~'· )""!.
12 Integrales múltiples 12.1 INTEGRALES SOBRE RECTANGULOS Ahora estudiaremos las integrales de funciones de algunas variables. Las motivaciones y la heurística relacionad~s con la~ integrales m(altiples son. en su mayoría. las mismas que para las integrales sencillas (que ahora llamaremos integrales de una función de una variable real). Por esta razón. el estudiante debe repasar la introducción al Capítulo 4. Primero consideraremos integrales sobre regiones rectangulares dadas en dos dimensiones por
y en tres dimensiones por
R: . ••
' •~ •ó
t
...
·
¡::::: ::¡ ªª < z < b3
Nuestra discusión se referirá en gran parte a las integrales en dos y tres dimensiones. solamente con observaciones ocasionales acerca de las dimensiones superiores, pero una lectura cuidadosa de las demostraciones evidenciará que no se requieren cambios esenciales para manejar las integrales en dimensiones superiores. En n dimensiones el rectángulo se describiría por
i
= 1, 2, 3, ..• , n}.
Procederemos a establecer la notación en una forma análoga a la usada en el Capítulo 4. [297]
298
sobre rectángulos
integrales múltiples
Por suma superior SA(f, R) -o más brevemente SA, puesto que f y R
Formemos una partición de cada dimensión de R:
= ªz = al
Xo Yo
< <
< • • • < Xn = Y1 < · · · < Y'P = X1
no call)bian- debe entenderse
b1
IA MuAil o
b2,
de acuerdo con la dimensión. Por
y si es en tres dimensiones, D3
299
IA Mw, V¡1", supuesto que I
bien
significa que, para
A
= Zo < Z1 < • • • < z, = b3 •
cada R1¡, se calcula el producto M,1A¡1 y la suma se toma sobre todo R11 en A. Se aplica una observación semejante al caso tridimensional. Por suma inferior SA(f, R), o más brevemente SA• debe ~ntenderse
y
/
ij
IA m¡1A¡;
1
o bien
IA mw, V¡ 1rc·
A continuación estableceremos una serie de lemas semejantes a los del Capítulo 4.
12.la Lema.
sA
~~A·
Demostración. . Inmediata puesto que M¡; ~ m, 1• Se dirá que una partición A' es un refinamiento de una partición A si la partición del intervalo x por A' es un refinamiento de la partición del intervalo x por A. lo que es cierto para los intervalos y y z.
1
Estas forman una partición A de R en rectángulos _más pequeños:
R¡ 1 :
{ } ! X¡-1
<:;X<:;
X¡
Y1-1
< Y<
Y1
Rw,:
bien
<:;
Yi- 1
Y1 •
Z.t-1
<:;
Z,t
X
Z
<:;
x,)
X¡-1
<:;
La norma de la partición A. denotada por llAll. se toma como el diámetro máximo de los subrcctángulos -es decir. en dos dimensiones
11~11 = max.J(x¡- 1
-
A
x¡)2
+ (y1_ 1 -
12.lb Lema. Si
A'
es un refinamiento de A, entonces
sA. < sA Y sA. > s~: Demostración. (Para dos dimensiones). Sea R;¡ un subrectángulo en la partición A. Entonces, queda inalterado en A' o queda cortado en un numero finito de subrectángulos R' qr que pertenecen a !J.'. La contribuR;¡
y1) 2,
Rqr
R'qr
R'qr
R'qr
R'qr
R'qr
donde max significa que debe tomarse el máximo de todos los diámetros ~
(en este caso diagonales) de todos los subrectángulos que forma A. Además, hagamos A" = (x¡ - x,_J(y1 - 11¡_1) y Viit = (x, - x,_1) Ú/; - Y1- 1)(z" - z1c-1)· Estos, por supuesto, son el área y el volumen de R11 y R11k. respectivamente. Suponemos que nuestra función está definida y acotada en R. Usaremos la siguiente notación de manera consistente:
M = sup/ R
Mil= sup/ y en tres dimen~iones,
R11
Mw: = sup/ Rm:
m
= inf/ R
mu= inf/, Ru
m"" = R"~ inf/.
c1on a SA. debida a R1 1 es (1) la misma, si Ri1 no se subdividió, o bien (2) es I M;, A;,, donde la suma se toma· sobre aquellos rectángulos en Ro
.,
los cuales se subdividió IM~,A~ Ra
<
~
Pero allí M' 9,
M¡¡. de modo que IM"A~ =Mil IA~, = M¡¡A¡¡.
R1¡.
R¡¡
Ru
s
Así que, en todo caso, Ja contribución a A· debida a Ri; es menor que o igual a la contribución a A debida al mismo R,1• Entonces, sumando sobre todo R,1 en A, se obtiene el resultado deseado. Es evidente que la desigualdad para las sumas inferiores sigue el mismo camino en sentido inverso y es igualmente evidente que se aplica el mismo argumento en cualquier número de dimensiones.
s
1
300
sobre rectángulos 301
integrales múltiples
12.lc Lema. Si
son dos particiones cualesquiera de R, entonces
.6. 1 y .6. 2
sil¡ > ~Jla• Demostración. Sea
El volumen o triple integral de Riemann se define análogamente. Se denotará por
ffff
ll' un refinamiento común de !1 1 y A2. (¡,Cómo
puede formarse?) Entonces. por los Lemas J2.1 a y b,
1 Por lo tanto, ahora puede afirmarse que, para una función acotada dada f. definida en un rectángulo R. la clase de números formada por las sumas superiores tiene cualquier suma inferior como una cota inferior. e inversamente, la clase de números formada por las sumas inferiores tiene cualquier suma superior como una cota superior. De aquí que inf S11 > SA· Entonces. formando el suprémum del segundo
~'.
para cua!quier partición miembro. se obtiene
JJ
=
/(P) dA o bien
R
supSA
y
JJJ/(P) dx dy dz R
Una consecuencia inmediata del Lema 12.lc es el siguiente criterio de integrabilidad. u.te Teorema. Sea f una función acotada definida en un rectángulo R. Una condición necesaria y suficiente para que f sea integrable sobre Res que para cada<> O exista una partición ll de R tal que
SA - 511
=f
12.lf
Lema. Si f es una función acotada en un rectangulo R. entonces para cada < > O existe un 8 (<) tal que
JJJf (P) dV
SA
R
ff(P)dA o bien R
12.ld Lema
f f f!(P)dV.
R
Y
f f f f(P)dV> f f f f(P)dY. R °"R Ahora podemos definir la integral de .Riemann de una función un rectángulo R. Sea f una función acotada definida en R. Si
(P) dA
E
para todas las particiones .6. para las cuales llt\11 < 8(<). El mismo resultado se cumple, por supuesto, para las triples integrales. Se probará la primera desigualdad. La segunda es semejante. Por simplicidad. nuestra demostración solamente es para el caso de las dobles integrales. pero durante el desarrollo. el estudiante se dará cuenta que el argumento no es esencialmente diferente en tres (o más) dimensiones.
> f f /(P) dA
R
R
f
s~ > J J
y
R
f ff(P) dA
fff
R
Por tanto, se ha probado que
=
fff
f
sobre
(P) dA,
R
se dice que f es integmble según Riemann sobre R. El valor común se llamará integml de Riemann de f sobre R y se denotará por
ff.((P) dA o bien fJf (P) dx dy. R
o bien
Ahora se desea explorar la idea de Ja integral como límite de una suma de Ricmann. Con este objeto se necesita el siguiente lema.
Estas cotas extremas reciben el nombre de integrales de Riemann-Darboux superior e inferior, respectivamente. y se denotan por inf SA
(P) dV
R
R
.Demostración. De acuerdo con la definición de integral superior, existe una partición 11.' para la cual
fff (P) dA < SA' < ff/(P) dA + E/2. R
R
Esta partición se escogerá y se considerará fija durante todo el siguiente argumento. Supóngase que los puntos de partición de ll' están dados por a¡ = Xo' < X¡' < ' ' • < X~· = b¡ 1
ª2 =Yo'< Y1 < · · · < Y:n· = b2.
302
integrales múltiples
propiedades donde
Ahora escojamos
.J
6 = E/2(M - m)(n' + m'), donde M, m son sup f e inf f. Se demostrará que cualquier D con llAll D
D
= sup f.
<
8
sobre los R",9 contenidos en Rt;· Para cada uno de estos R"""' definir JI"""= M1;. Entonces
o < SA -
SA.. < t:/2. ya qu~ A" es un refinamiento de A'. Así que final-
f f /(P) dA < SA -
SA'
+ t:/2 < SA -
R
SA..
+ t:/2 < E. 1 .
Sea f una función acotada sobre R y 41__una partición de R. En cada s~brectángulo R,i de A puede escogerse un punto piJ (o P;;k en tres dimensiones) y formar la suma
o bien
SA{/, R, P)
=I
=
flAll-0
-
ISA(P) - JI< t:
Y. por definición.
SA.. = :E M~A:O. Se desea estimar la diferencia entre estas dos sumas. Con este objeto. separemos los rectángulos R,J de A en dos clases: (1) aquellos que no cambian por el refinamiento y los cuales. por tanto, se presentan como los R" 11r y, (11) aquellos que se subdividen por el refinamiento y de aquí que forman dos o más de los R",,q· Es evidente que la contribución a SA y SA. debida a los rectángulos de la primera clase es la misma y. por tanto. estas contribuciones se cancelan cuando se calcula la diferencia. Los rectángulos de la clase 11 pueden cortarse mediante una línea vertical x x' ¡ o bien una horizontal y y' J· Supuesto que llAll < 8. evidentemente cualquier dimensión de cualquier rectángulo en A es < 8. En consecuencia, el área de cualquiera de tales rectángulos es menor que 82 y se tienen, cuando más, n' de ellos. de modo que el área total de todos esos rectángulos es, cuando más, n' 82 • De modo semejante, el área total de todos los rectángulos cortados por las líneas de la forma y y' es, cuando más, m'82 • Así que ·
=
=
=
o< sil. - sil.. = I
A
I<...K~
-
M~)A~
Rt1
m)A~ =
ICM (II)
m)A¡¡
= (M -
/(P¡¡JV¡,,,
11
la cual en ocasiones se abreviará como S..\ (P). Tal suma se llama suma de Ricmann. s~ dirá que lim SA(P) J si para cada (>O existe un 8 tal que
Sumando sobre todos los RtJ en a, se obtiene
(11) R;1
s.1 .. < sA.
Ahora bien. mente se obtiene
a. o < SA -
y así sucesivamente. y donde la suma se extiende
R"
< I ICM -
significa que la suma se toma sobre todos los rectángulos de la
clase Ü. Sustituyendo para
satisface la conclusión del teorema. Sea A cualquiera de esas particiones y A" el refinamiento común de A y A' con los correspondientes subrectángulos R",9 • Supóngase que R, 1 es un subrectángulo de A el cual se subdividió mediante el refinamiento en ciertos rectángulos R"119• Entonces cualquier término de s41 puede escribirse como
donde M1;
I
(11)
303
2
m)6 (n'
+ m'),
si 11811<"
para todas las S:!lecciones de los P. Entonc~s. como en el caso unidimensional. se tiene el siguiente teorema.
12.Jg Teorema. Sea f una función acotada R. Una condición necesaria Y suficiente para que
fff
(P) dA o bien
R
ffff
(P) dV exista y sea
R
igual a J es que lim S.:1(P) =J. llAlf-.o
Demostración.
Ver Ejercicio 84.
12.2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. CLASES. DE FUNCIONES INTEGRABLES
Ahora se desea establecer algunas de las propiedades elementales de las integrales sobre rectángulos las cuales serán útiles en los cálculos. Las demostraciones so?. t~n se~1ejantes a las del caso unidimensional que, por lo general. se om1t1ran. Sm embargo, sería un buen repaso para el estudiante desarrollar las demostraciones de estos teoremas. (Ver Ejercicio C5.)
12.la Teorema. Si f es integrable sobre un rectángulo R. es integrable sobre cualquier subrectángulo de R.
304
integrales múltiples
iteradas
305
= f(P
(Ver
y si fes continua existe un punto Po en R en el cual p. CJ de la Sección 9.7.)
12.lb Teorema. Si f es integrable sobre un rectángulo R, y si Ri y Rz se forman a partir de R cortándolo con una línea (o plano) paralela
0 ).
~jercicio
a uno de los ejes coordenados (o planos). entonces
f f f(P)dA + f f f(P)dA = f f f(P)dA R1
R1
12.3
< <
R
.
R1
< <
R
R1
11
12.2c Teorema. Si f y g son integrables sobre R y si /(P)
~ g(P). en R,
g(x)
=f. ~/(x, y) dy. ª2
entonces
ff
ff fff dV > f Jf >
f(P)dA
R
o bien
Si, a su vez, g es una función integrable de x, el resultado
f'( fcx,
g(P)dA
R
f(P)
g(P)
R
dV.
y I~· (Ver la Sección 4.4 respecto a la definición de
f+
y
J.:'dx
¡-.)
12.le Teorema. Si f y g son integrables sobre R, también Jo son f ± g y f · g,- y, si existe una constante e> O tal que [gj ~e, también lo es f/g. 12.2f Teorema. Si fes una función continua en R, es integrable sobre R. Demostración. Por el Teorema 9.6d. í es uniformemente continua en R, ya que R es un conjunto cerrado acotado. Así que, correspondiendo a cada E ? O, existe un 8 uniforme tal que lf(P) - /(Q)j < E para todo par de puntos P, Q en R para los cuales IP - QI < 8. Escójase Ade modo que llAll < E. Entonces en cada R11 de A, se tiene O~ M1J-mtJ puesto que existen puntos P¡¡ y Q¡¡ en los cuales f(P1J) = M1; y f(Q¡;)= m¡¡. Comparemos las sumas superior e inferior:
SA - ~A= };(M11 A
-
m")A,,
Au =€A,
donde A es el área de R. De manera semejante, en tres dimensiones SA - S11 < e V. Y, por el Teorema 12.ld, la función fes integrable. 1 El teorema del valor medio se lleva hacia las integrales múltiples.
12.2g Teorema. Si f y g son integrables sobre R y g es no negativa allí.
II
f (P)g(P) dA
R
B
= µ
fIg(P) dA, R
ficx,
y)
dy.
Una suma de Riemann para u.na doble integral S11
=If(P,;)A,; .1
puede arreglarse como una suma iterada:
=
I
(x¡ - X¡_i)"'I,J(x;Y;)(Y; - Ys-1).
l
;
La forma de esta suma parece sugerir que su límite podría ser una integral iterada. Por tanto. podría esperarse. bajo suficientes restricciones, que es posible demostrar que
f ff(P) dA = f::dx f:¡cx, y) dy.
(1)
A
entonces existe un número p., inf f
y)dy)dz
se llama integral iterada y se denotará aquí por
1l
12.2d Teorema. Si f es integrable sobre R, entonces también lo son /+.
¡-
< <
Si f está definida en un rectángulo R: fa 1 x bh a2 y b2 } y si para cada x fija es una función integrable de y, entonces esta integral x b1}: define una función g en fa1
f f f f(P) dV+ f f f f(P)dV= f f ff(P)dV.
o bien
INTEGRALES ITERADAS
lt
En el siguiente teorema se demuestra que esto es ciert~.
<
12.Ja Teorema. Supóngase que f es integrable en R: {a 1 x ~ b 1 • a2 b2) y supóngase que para cada x fija es una función en {a2 b:i} Entonces la función g definiintegrable de da por
y
g(x)
=f.bf(x, y) dy, ªz
es una función integrable de x sobre (a1
1}
y se cumple (1 ).
306
integrales múltiples
iteradas
Demostraci6n. Sea A una partición en R y sea ~; un número arbitrariamente escogido en {x;..1 x xtl. para cada i. Entonces. por el teorema del valor medio para integrales sencillas. existe un p.;¡ tal que
< <
JwÍ"' ,,,_,f(E,, y) dy = /Ji1 tJ.,y, donde
m11
< p.;¡ < M;1• Por lo tanto SA < I ""A" < SA.
Supuesto que f es integrable sobre R. se deduce que la suma de la expresión anterior tiende hacia
fff
(2)
(P) dA conforme
307
cional para garantizar la existencia de la doble integral. Y. por supuesto, una vez que tal condición se presupone puede reemplazar la hipótesis de que la doble "integral existe. El Teorema l 2.3a se extiende hacia las triples integrales de la siguiente manera.
12.3c Teorema. Sea f una función integrable sobre el rectángulo R: {a1 x b1t a2 y b2. z ba} y supóngase que para cada x fija es una función integrable sobre el rectángulo R11.: (a:.i b2. a:, z bal. Entonces esta integral es una función int~grable de x y
< <
< < ªª < < < <
llAll ~ O
R
Esta suma también puede escribirse como I/J¡¡A¡¡ A
ll.3d Teorema. Sea f una función integrable sobre el rectángulo R: fa 1 ~ x h1. a2 b2. a3 z b:,I y supóngase que para cada (y, z) fijo es una función integrable de x. Entonces esta integral es una función integrable de (y. z) sobre R1:. y
<
= I¡,; iJ.¡ZJ,,,_1 Í"' f (E,, y) dy
=¡f"icE,, y) dy ~¡Z = ¡g(E,) ~.z. ' ª'
Es evidente, debido a la simetría del argumento, que pueden intercambiarse los papeles de x y y en el supuesto. desde luego. que las hipótesis se intercambian de la manera cÓrrespondiente. De donde, si f es integrable en x para cada y e integrable en y para cada x. entonces las dos integrales iteradas son respectivamente iguales, puesto que ambas son iguales a la doble integral. Así se tiene el siguiente corolario. 12.3b Corolario. Si f es integrable como una doble integral sobre R 1 : {a, x bh a2 b2l y si es integrable en x para cada e integrable en y para cada x, entonces
f.ª'"dzfi
y)
y
dy =J"'dyJ."!cz, y) ·dx. ª•
< <
Jfff(P) dV =ffdy dzJ:.f(x, y, z) d:i:.
i
Por lo que se ha demostrado, esta última suma tiene un limite conforme la norma de la partición x tiende hacia cero. Pero este es el significado de la integrabilidad de g. Además el valor de este límite. a saber (2). es la integral de g. 1
< <
ª'
Sería magnífico tener un inverso del Teorema J2.3a. el cual pOdría decir algo como esto: Si fes integrable en y para cada x y si el resultado es integrable en x, entonces la doble integral también existe y es igual a la integral iterada. Sin embargo. la situación no es tan sencilla (ver el Ejercicio Bl como un ejemplo demostrativo); es necesaria alguna condición adi-
R
ll••
Las demostraciones de estos dos teoremas son semejantes a la demostración del Teorema 12.3a y por ello se dejan como ejercicios. Si se satisfacen las hipótesis del Teorema J2.3a. podemos aplicarlo a la doble integral que se presenta en 12.3c o d. para expresar la triple integral como una triple integral iterada. Por ejemplo,
En particular. puede observarse que, si fes continua;entonces todas las integrales en cuestión existen, de manera que la integral de una función continua definida en un rectángulo puede evaluarse mediante integrales iteradas donde la iteración puede tomarse en cualquier orden. EJERCICIOS A
1. Evaluar las siguientes integrales: (a)
f f(x + y) r+v d;-r; dy
R: {O <:
X
<: 2, 1 <:
y
R
(b)
ffl.c + R
YI d.c dy
R: {lxl <: 1, IYI <: 1}
<: 4}
308
(~)
integrales múltiples
ff; ff f
área y volumen R:
drdy
{lxl <
1, 1
< y < 2}
2. Sea/ una función integrable de x en {a1 < x < b1} y g integrable en {a:l ~y '1' '1' bz}. Demostrar que /(x)g(y) define una función integrable en {a1 < x < b ,
R
(d)
·.¿.
cos(x
+ 2y + 3z) d-,;dydz
R: {O< x
< 2,
1
< 11 < 3, lzl <
1}
R
g integrables sobre {a < x < b}. Denotar {a S y, aplicando el Ejercicio 2 anterior, demostrar que
3. Sean f y
~f
. f jrf(P)dA = cf f f(P)dA ll
mostrar que
ff /
>O y
fJ
g(P) dA :;:: O. De-
= O.
(P) g(P) dA
l. Sea/ definida en R: {O
< .?: < l, O
.
J (:r• .'/) =
s
{1
= (b - a)
por
si :e es irracional
y si
si x es rac!onaJ.
Jy"l
1
< x < h}, ...entonces
Li(. .
)g(•) d.• -
(Lic"> d•) (fe("),¡,)
y !! son monótonas. en el mismo sentido, entonces
• Lb
la otra integral
1
f drJ: f (:r, y) dy
Jo o !terada no existe.
( • Lb
> b -a ªf(x)dx
) (b -a • Lb g(x)c!x)-, a
S. Probar los Teoremas l 2.2a. b. e, d y e. existe.
2. Sea f definida en R: {a1 < x < b1, a 2
(b, - a,)
fr
(.r, a,) dx
<
JJf dA <(h, - a.> L'.J(r, b,) dx. R
3. Sea / continua en R: {a1
< x < b1, a2
< X ,< ex~ ª2 .< y < /1}por R11.fj• Demostrar .Que
Para (a, /3) en R, denotar
02
aexiJ{J
Jrff
(x, y) dA_
RIJ.I}
4. Probar los Teoremas 12. Id y 12. lf.
EJERCICIOS C
1. Sea
r
f es no inte8rahle sohre R.
(b) la integral iterada
{a1
f
por
/(y)][g(x) - g(y)] dx dy
b -a /(x)g(x)d~~
Demostrar que:
(e)
-f (y)g(x)f' dx dy = (Li·c·> ,¡,)(L~'<·> ch:) - (ii
~J f [/(x) EJERCICIOS B
< x < b. a
/(x)g(y)
4. Si f y ¡.: son integrables sobre {a
R
R
(tt)
f
~
R
1
ª2
2. Demostrar que si / es integrable sobre R y e es una constante, entonces
3. Supóngase que f y g son integrables sobre R. g
309
f = {x2y + y3 x3y +X
en{O
en {l
<
x
<
< l}. < x < 2, O <
2, O
Demostrar que f es integrable sobre {O
y
<
1}.
= f (ex, /1).
12.4 INTEGRACION SOBRE REGIONES. AREA Y VOLUMEN A continuación enfocaremos el problema de la integración sobre conjuntos más generales. Bajando hacia los particulares. restringiremos nuestras consideraciones hacia las regiones (abiertas. cerradas o parcialmente cerradas) cuyas fronteras no sean demasiado complicadas. La descripción de las- condiciones permitidas se darán pllsleriormente. Primero trabajaremos con la. situación general. . Se dice· que un conjunto S de puntos es L•n conjunto nulG o que tiene contenido de Jordan cero {o más simplemente, contenido cero) si para cada ' > O existe un número finito ~de rectángulos Ri. R 2 , ••• , Rn tales que todo punto de S está en por lo menos uno de estos rectángulos y tales que la suma de las áreas (o volúmenes) de los rectángulos es < '· En el caso de una -dimensión. los rectángulos se reemplazan por intervalos que tengan una longitud total < e:. Es evidente que tal conjunto debe ser pequeño· en algún sentido. El punto en el cual estamos interesados acerca de tales conjuntos es que son despreciables por lo que se refiere a la integración, en formas que se precisarán en la siguiente discusión. Empece·mos con un resultado fundamental.
31 O Integrales múltiples
área y volumen
12.4a Teorema. Sea f una función acotada definida en un rectángulo (o un intervalo) R. Si el conjunto S d~ puntos donde es discontinua tiene contenido cero, entonces f es integrable sobre R. Demostración. Se dará la demostración para dos dimensiones. Sin embargo, también es válida para todas las dimensiones. El estudiante debe comprobar que, en particular, se cumple para integrales simples (esto es, unidimensionales). Sea E > O dado y sea R 1 , R 2, ••• , Rn el conjunto de rectángulos que cubre con área total < <- Si se· coloca sobre cada rectángulo R; otro rectángulo R'1 que tenga el mismo centro y el doble de las dimensiones de R¡, el nuevo conjunto de rectángulos tendrá un área total < 4 t. Además. entre los rectángulos R 1 habrá un lado más corto. Denotemos su longitud
por 2r. Denotemos por R' el resto de R d~spués que se h:m eliminado los interiores de los R 1• Sobre este conjunto cerrado R'. nuestra función f es continua y, por lo tanto. es uniformemente continua. De donde existe una S(E) uniforme tal que lf
I (Mii A
m¡ 1)A¡¡
=I (M¡; -
m¡;)A¡¡
I
+I
{M¡; - mH)A,;.
311
1
Por el Teorema J2. Je, se concluye Ja integrabilidad de /. Este ·teorema también se cumple para Jas integrales _sencillas (es decir, unidimensionales). La demostración se deja como ejercicio (87).· Ahora estamos en posición de considerar Jas integrales de funciones continua~ sobr~ conjuntos más generales. Sea D un conjunto acotado .y f una función acotada definida en D. Escójase un rectángulo R Jo suficientemente grande como para que D esté contenido en el interior de R y definase g en R por.
g(P) = (f(P) O
si P está en D en cualquier otra forma.
Si g es integrable sobre R, entonces se dice que D y que
ff n
f(P)dA =
f es integrable sobre
ff
g(P)dA.
R
Si g es no integrable sobre R. se dice que f no es integrable sobre D. Es necesario puntualizar que para que nuestra definición tenga sentido debemos saber que la definición de la integral sobre D es independiente del rectángulo que encierra a D. La veracidad de esta afirmación se deja por demostrar en el Ejercicio 85.
Cuando D es una región (abierta, cerrada o parcialmente cerrada) y f es continua en D, se ve que es suficiente determinar las condiciones bajo las cua1t'S la frontera de D tiene contenido cero, puesto que evidentemente ges continua en R excepto sobre Ja frontera ele D. Por lo tanto, estudia· remos un poco Ja geomeb ía de las curvas y Jas superficies.
11
Ahora bien, todos los rectángulos de la clase 1 tocan un R1• Cualquiera de esos rectángulos tiene su máxima dimensión < r mitad de la dimensión menor de un R; y. por lo tanto. está contenido en un R/. Dado que los R;; no se _traslapan. el área total de tales rectángulos es menor que e) total de los R;' y, p
=
ICM,1 -
(1)
I
donde M
m¡1)A¡;
R
I 11
2M4E =. 8ME,
I
= sup /.
En la otra suma, M¡¡ - m;; (2)
< 2MIA¡1 <
< < por Ja continuidad
(Mt 1 - m;1)A¡;
<
E
I
A 1;
<
lI
donde A es el área de R. Combinando (1) y (2), se obtiene s~
-
s~
< (SM + A)E.
~~~
uniforme. Así que
AE, 12.4b Teorema. Si Ces una curva rectificable, tiene contenido cero.
Demm·tración. (Dos dimensiones.) Sea s la longitud de Ja curva y n un entero arbitrario. Escojamos los puntos Pi. ... , Pn cuyas distancias desde el punto inicial de C sean s/n. 2s/n. 3s/n•... , (n- l)s/n, s, respectiva-
-:·~e:_
--:~ ~~
312
·área y volumen 313
integrales múltiples
mente. En cada P; constrúyase el cuadrado centrado en P;. con lados paralelos a los·ejes y con la longitud de cada lado igual a 4s/n. Entonces cualquier punto sobre C está a una distancia menor que s/ n de un~ de los P; Y de aquí que está. por lo menos. en uno de tales cuadrados. El area de cada cuadrado es 16s2/n1 y el número de cuadrados es n. de modo que el área total es J6s2 / n. Es evidente que. para cada < > o. puede escogerse n tan 1 grande que 16s"/n < <. El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de los dos teoremas anteriores. 12Ac Teorema. Sea R una región en E".!. cuya frontera consiste de un número finito de curvas rectificables. Si f es continua en R. entonces f es integrable sobre R. Demostración. Porque evidentemente. cualquier número finito de conjuntos de contenido cero será un conjunto. el cual tiene contenido cero. 1 Para discutir ta situación en tres dimensiones. es necesario considerar cuá11do una superficie será de contenido cero. El único tipo de superficies con las cuales trabajaremos serán aquéllas representables en la forma z (x. y). donde f es una función continua. Nuestra discusión aquí se restringirá a tales superficies. El mismo tipo de discusión se aplicará a las curvas de la forma y f(x). ya sean rectificables o no, dando así una extensión del Teorema l 2.4b.
=/
=
z
1 1
1
1
1
1
1
1
1 :
1
1
l
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
t-->--1-1--1 1 1 1
l
1
1 1
1 1
1 1 1
1
1
y
12Ad Teorema. Sea f una función continua definida en una región ce. rrada acotada Den E 2 • La superficie dada por S: fz = f(x, y)} es un conjunto de contenido cero tridimensional. Demostración. Supuesto que fes continua en D. es uniformemente continua allí; es decir, para cada < > O existe un 8(<) tal que l/(P) - /(Q)j < ~ si P y Q están en D y IP - QI < 8. Enciérrese D en un rectángulo grande R y fórmese una partición .6 de R de modo que llAll < 8. En cada subrectángulo R¡; de A el cual toca D, escójase un P, 1 en la parte común de R;1 y D. Esto determina una altura z1 1 /(Pt¡} de un punto sobre S. Sea Bl.¡j el rectángulo tridimensional arriba de R;; el cual consiste de todos los puntos (x, y, z) para los cuales (x. y) está en R;¡ y Zii - t: ~ z ~ ZtJ + t:. Entonces esa parte de S arriba de R;¡ está en jjfii, y, en consecuencia, S está cubierta completamente por la totalidad de los 3'¡;. El volumen de cada Bfu es 2 t: A;; de manera que el volumen total de todos los .tJf;J es 2 t: A. donde A es el área de R.
=
1
J2.4e Teorema. Sea f una función continua definida en un intervalo cerrado acotado l. La curva dada por C:y = /(x} es un conjunto de contenido cero bidimensional. Demostración. La demostración es semejante a la del Teorema l 2.4d. Se dirá que una superficie es proyectable sobre el plano (x, y) si existe una región cerrada acotada D en el plano x, y en la cual la ecuación z f (x. y) describe la superficie. En forma semejante, una superficie puede ser proyectable sobre el plano (y. z) o bien el (x. z).
=
12.4f Teorema. Sea D una región acotada (abierta. cerrada o parcialmente cerrada) cuya frontera está compuesta de un número finito de superficies proyectables. Si f es continua en D. entonces es integrable sobre D. Demostración. La demostración es evidente. La situación ahora es ésta: si D es una región cuya frontera es un conjunto nulo (es decir, tiene contenido cero). entonces pueden integrarse funciones continuas sobre D. Los Teoremas 12.4b, d y e dan las condiciones suficientes bajo las cuales ciertos tipos de fronteras serán nulas. Sin embargo. no debe caerse en el error de pensar que todas las regiones tienen fronteras nulas. De hecho, bajo una definición algo más complicada de área (medida de Lebesgue). puede demostrarse que existen regiones (en dos dimensiones. por ejemplo) con área arbitrariamente pequeña, las cuales tienen fronteras cuya área (¡sic!) es arbitNlriamente grande. 12Ag Teorema. Supóngase que Des una región acotada (abierta. cerrada o parcialmente cerrada) con una frontera nula. Sea S una curva (o superficie) la cual divide D en dos subregiones D1 y D";! y las
314
integrales múltiples
área y volumen
cua les ti enen contenid o cero. Si f es continua en D, entonces f es integrable sobre D, y D,, y
If
If
If
!(P) dA + !(P) dA = ! (P) dA. Di Ds D Si D es tridimensional. por supuesto que las integrales serán integrales de volumen.
g1(P) =
{~(P) {~(P)
en D de otra manera;
J2.4h
en D, de otra manera;
g 2(P) =
{~(P)
nulas, la suma de las áreas de las subregiones es el área de la región original: .
Sea Duna región acotada con una fronte ra nula. Supóngase que se subdivide en regiones menores, Dk. k = 1, 2, ... , n , mediante curvas nulas (o superficies). Tal descomposición se llamará partición curvilínea L1 de D . La norma d e .:\, la cual se denotará también por llL111, se define como el máximo de los diámetros de los Dk. (Recuérdese que el diámetro de un conjunto es sup IP - QI dond e P y Q está n en el conjunto.) El área (o volumen) de Dk se denotará por A k (o Vk).
Demostración . (Bosq uejo.) Escójase un gran rectá ngulo R que encie rre a D y hágase g(P) =
315
Teorema. Sea D una regió n acotada con una frontera nula y f(P) una función acotada continua en D. Sea L1 una partición cu rvilínea de D . En cada Dk escójase un Pk a rbitra riamente. Entonces
2f(Pk)A~. =f f f( P) dA 11,:,11-o lim
en D2
.l
de otra manera.
n
o bien, en tres dimensiones,
Aplicar el Teorema l 2.2d y la definición de integración sobre D, D 1 y D,.
1
lim 2f(Pk)Vk = f f f f(P) d V. llt..11-o '>
D
Este teorema se extiende fácilmente hacia cualquier descomposición en un número finito de subregiones. dividiendo D media nte su perficies o curvas nulas. En este caso se tiene
ff
f(P) dA
=
t ffj(P) dA.
D
D•
Ahora puede extend erse nuestra definición de á rea. Si D es cualquie r conjunto acotad o. se define el área de D mediante la fó rmula AD=
II
1 dA
D
siempre que la integral exista. Se deja como ejercicio (83) demostrar que esta definición es consistente con la del Capítulo 4. De modo se mejante. el vo lumen de un conjunto en tres dime nsio nes se define por
D
Siempre que el área (o volu men) de D existe. se dice que D es cuadrable. A partir del Teorema l 2.4g se ve que si una región es cuadrable se divide en un número finito d e subregiones mediante superficies (o c urvas)
Demostración. Se dará la demostració n pa ra D cerrad o. Si D es abierto o sólo parcialmente cerrado. es necesa rio un análisis más cuidadoso. como e n las demostraciones de los Teoremas 12.4b y d. Se escribe A. A k. etc.. pero e l argu mento es independien te de la dimensión. Si D es ce rrado. se tiene f unifo rmemente continua. De aquí que pa ra cada < > O. existe un o(<) tal que l/(P) - f(Q)I < < para todo P y Q en D
~..:..-
316
integrales múltiples
QI < 8.
tales que jP Hágase
Ahora bien, escójase A de modo que
s,. = f'lP.)A. =
llAll <
J
J. EncQntrar el volumen común de la esfera {:c2 {x2 + y2 < a.i-}.
t Iff(P.) dA
D
Entonces
IS... - IJ>I
= bx2, x«
= cy3,
4. Probar el Teorema l 2.4e.
S. Demostrar que la definición de una integral sobre un conjunto D arbitrario ce-
rrado es independiente del reclángulo R que lo encierra. 6. Demostrar que un conjunto de contenido cero es un conjunto acotado.
J)k
f
y el cilindro
3. Demostrar que la definicion de área dada en esta sección es compatible con la definición del Capítulo 4.
Dk
~J
+ y 2 + z2 < a 2}
2. Calcular el área limitada por las cuatro curvas y 3 = a.'1:2, y3 x 4 = tl1r.
= f JJ/(P) dA.
In= J/(P) dA
EJERCICIOS B
8.
n,.
e
ejercicios 317
:f~t:
7. Verificar el Teorema 12.4a para las integrales simples.
E
dA = fEAk = EAn.
1
/)¡,,
EJERCICIOS C
La posibilidad de expresar una integral múltiple sobre una región como una integral iterada está asegurnda por los teoremas de la Sección 12.3. Teoremas no triviales más allá de los establecidos en la Sección 12.3 son embarazosos y difíciles de probar. Los problemas individuales generalmente pueden manejarse mediante esos teoremas.
l. Sea / una función integrable sobre una región cuadrable D 0 y supóngase que
EJERCICIOS A l. Demostrar que cada integral existe y evaluar
l. Sea D Ja región limitada por x = :!: 1 por la derecha y por la izquierda, por y = - 2 por abajo y arriba por y= sen l/x, para x =FO, y por el segmento Lr =O. - 1 ( y ( 1}. Demostrar que D es cuadrable.
(a)
JJcx JI Jcx
+y)sgn(.r-.11)di:dy
R:{O
< 1,0
ll
(b)
+y +z)sgn(x -y)drdydz
R:{O
o < z < l}
Jl
2. Si / es continua, demostrar que:
i" o
Lª f.ª
dt· f.;r:f(.r, y)
J. Encontrar la menor de las áreas encerradas por (a) x2 + y 2 = 4 y x +y= 2 (b) x!' + y!-i
= aU
y
x +y= a
4. Evaluar y describir la región de integración en el plano xy: (a)
L J.'.t;;q acly
o
x dx
(b)
J:l f.1 dx
o
a-u
5. Invertir el orden de integración: (a)
JofªdxJor~f (-':,y) el.'/ f . .15
(e) Jo
d.t/
i"' u
10- ¡¡'!
f (.x, y) d.c
(b)
i
(d)
tfZl'I
dy
;r:
]
1
fllt/I
dy '"
•Y
/ (x, y) dx
Lbdx f.z! (x, y) dy (tres casos)
es continua en un punto P11 en Dll' Demcstrar que ~I>
fff(P)
dA - .. f (P0)con-
D
forme el diámetro de /J --+ O, donde D representa un subconjunto cuadrable de D 0 que contiene a P0 •
13 Integrales de línea y superficie 13.1
INTEGRALES DE LINEA. POTENCIALES
Enfaticemos una vez más que todas las operaciones vectoriales que no contienen productos vectoriales se llevan inmediatament~ hacia los espacios Euclideanos de dimensión arbitraria. En particular, en Ja presente sección solamente necesitamos suprimir la componente k para que las demostraciones sean aplicables a dos dimensiones. Si C es una curva dada por
+ y(t)j + z(t)k
J: {a < t < b}, donde P'(t) es continua y no cero en /, entonces se dirá que C es una curva suave. También se discutirán las curvas seccionalmente suaves. Una curva es seccionalmente suave si el intervalo paramétrico I puede partirse de manera que C sea suave en cada subintervalo. Más concretamente. supóngase que existe una partición A de I P = P(t) = x(t)i
)
/
(
1
~: a = t0 < 11 < · · · < tn = b tal que P'(t) exista en cada intervalo abierto f!m-1 < t < tml de A. Si ambas derivadas laterales P'(tm - 0) y P'(tm + 0) existen en cada punto de partición y P'(t) es continua en cada intervalo abierto ftm-1 < t < tm}. se dice que e es seccionalmente suave. Sea f una función definida en una curva C seccionalmente suave. Se desea definir qué debe entenderse por integral de línea de f sobre C. Sea A una partición de/: A: a= lo< 11 < ...
con
'\
\
!
Xm,
P 0 = P(t0), P 1 = P(t1), ••• , P n = P(tn), Ym y Zm definidas. por supuesto. por Pm=Xmi+ymj+zmk [319)
m =O, 1, ... , n.
:~
--!2;~ ~
-.-.
-~
potenciales
integrales de línea y superficie
320
En cada subinterva lo y fó rmese la suma
Ir,,,_, ::;;; t ::;;;
r,.j. Escójase un.,..., y defínase Q k= P(.k),
aA = 2:f(Qk)/).kx, donde 6.kx
t.
= xk -
Esta es una suma aproximada. Si lim
i
l
c
e
nes sem eja ntes para ÍJ(P) dy y
e:
13.la
f f(P) dz. Je
puntos de la curva. Si la curva es si mple (y éste será el caso en la mayor parte de los ejemplos que t rataremos) este orden será unívocamente determinado 'e s pecificando Jos puntos inicial y terminal.
EJE~PLO.
E valuar
en C. cntont.:es
i
f (P) dx existe y es igual a fbf [x(t), y(t), ::(r)] x'(t) dt.
Ja
¡;
Demo.1·1raci
_ ~J(Q) :r(tk) - :r(lk- 1) ,\
-L
- k1
k
.l.
{k -
-
.1.
Ahora bien, f es acotada, digamos por Iv1 y x' es uniformcmcntc continua en I: ~a ~ t ~ b~. Entonces, dacio r >O, escójase llL).11 tan pequclia que t) - x' ( T) 1 < r siempre que t y T estén en el mismo subinterYalo. Sobre esta base podemos estimar la dife rencia a 6 - S D. ele la manera siguiente
¡x' (
<
M€ 2: !:ikt
=
M€(b - a).
A
Entonces si
dx
+ (x2 -
y 2 ) dy, do nde
e es el arco de y =
3x2
C:
X= t,
y= 31'
Entonces la integral se transforma en
j
'¡
o
[1 2(312 ) d1
+ (12 -
91 1)61
=
JI
(3r'
u
+ 613
-
915 ) dt,
la cua l se evalúa fácilmen te mediante métodos elementales. Ahora considérese una integral de línea de la forma
+
/ = { Ld.r + M dy N tl::., c donde L. M, N son func iones continuas definidas en una cu rva suave o seccionalmente suave C. E sto puede escribirse
l =
t
f. dP
=
si Fes la función vectorial F Li + Mj + Nk. Introd uciendo Ja longitud de arco com o param etro se transfo rma en
SA = 2; J [P(T1..)](x'(.;k) - x'(Tk)) /).kt
la.i. - SAi
;i;2 y
.l
{k ·· I
= 2: J [P(Tk)]x'(.;k) /).kt por el teorema del valor medio, donde $k está en ltk-• ::;;; t ::;;; td . Sea S:. una suma de aprox imat.:ión para la segu nda integ ral formada sobre .1 con Tk como punto intermedio. Entonces
a6
f
Ju
desde (O, 0) hasta ( l. 3). Solución. No se da una parametrización de Ja curva pero puede tomarse x como parámetro:
Si Ces una curva seccio na lmente suave y si fe s cont inua
Teorema.
321
J = ff[P(t)]x'(t) dt,
la.:i. - J I <. laA - S.i.I + IS.i. - JI_.., O confonne llM _.., O. Esto prueba el teorema para las cu rvas suaves. Debid o a la aditividad de la integra l. demostración se ext iende inmed iatamente hacia las curvas seccio na lmente suaves. L os detalles de la extensión se dejan como ejercici o.
!al
1 La parametrización dada a l describir una cu rva define una orien tación de la curva: es decir. induce una dirección sobre la curva. Si se piensa de l'(I) c omo un punto que se mueve y que ornpa la posición l'(r) en el ins ta nte 1, la pararnetrizat.:ión introduce una relació n de orden entre los
I
=Je
F · T ds.
donde T es el vector tangente unitario dP / ds usual.
').
'"\ ';_ ;t· ¡;_;;.
322
potenciales
integrales de linea y superficie
Ahora bien
F· T = IFI cos .;. donde
f,
que
if¡ es el ángulo entre F y T. Así
= e IFI cos V' ds.
l
Si F es un campo de fuerza, entonces esta integral es precisamente la definición del trabajo realizado por el campo de fuerza sobre una partícula de masa unitaria que se mueve desde el punto inicial al punto terminal a lo largo de C. Ciertos campos de fuerza importantes en la física provienen de un potencial. Si existe una función
Si C solamente es seccionalmente suave. este cálculo se aplica a cada suave. Cuando se suman los resultados de integrar sobre cada sec· ción suave para obtener la integral sobre toda la curva, las contribuciones provenientes de los puntos intermedios se cancelan dejando el resultado deseado. secció~
1
Cuando el valor de una integral J F · dP sobre una trayectoria seccionalmente suave que conecta dos puntos en una región R depende solamente de los puntos extremos. se dice que la integral es independiente de la trayectoria. El Teorema 13.lb implica inmediatamente el siguiente. 13.lc Teorema. Si Fes un campo gradiente en una regién R. entonces J F · dP es independiente de la trayectoria. No es difícil ver que también la inversa de este teorema es verdadera.
=
13.ld Teorema. Si F Li + Mj + Nk es un campo vectorial continuo en una región R y si f F · dP es independiente de la trayectoria, entonces Fes un campo gradiente.
Demostración. Supuesto que la integral es independiente de la trayectoria escójase un punto fijo Po en R y definase
(1)
=
=
fl
donde Ces una curva seccionalmente suave en R yendo de Qo a Q 1 •
< <
=
P P(t) {a t b} y supongamos primero que Ces suave. Entonces
f,e
=fe oOX dx +ooy dy + o
F • dP
a
=f.b ddt [P(t)] dt a
= ,P[P(t)]
=
t
c/>[P(b)] - [P(a)]
= c/>(Q1) -
c/>(Qo)·
= jpo f P F • dP,
donde la integral se calcula sobre cualquier curva seccionalmente suave en R. Para demostrar que t/J 1(P) L(P) hagamos P + &P (x + h. y. z) si P (x, y, z). Entonces el cociente diferencia &/ &x toma la forma
!lx
Demostración. Sea C dada por
323
=
} f.P+aP
= ¡;
P
F • dP. (¿Por qué?)
Supuesto que R es una región, existe una vecindad alrededor de P la cual se encuentra en R. Por lo tanto, podemos tomar h tan pequeño que P + &P se encuentre en esta vecindad. En consecuencia. podemos tomar la trayectoria de integración como el segmento lineal desde P hasta P + &P y esto puede parametrizarse por P(t) = P.+ ti {G < t < h}.. Así que
lle/> 1 f1' !J.x = hJo L(x +
t, y, z) dt.
Por el teorema del valor medio esto se transforma en
!J.4> !J.x
=
L(x
.
+ t', y, z),
donde t' se encuentra entre O y h. Entonces, conforme h -+ o. se obtiene el resultado deseado. En forma semejante 2 = M y
+
1
·~
-~
-~
324
integra/es de línea y superficie
ejercicios
325
Cerra re mos esta . secc1on ta l y como la empezamos, enfatiza ndo que
l~s resulta~os se aplican con igua l propiedad en todos los espacios vccton a les Euchdea nos de dimensión finita. EJERCICIOS A J. Calcula r las siguientes integrales de línea: 2
(a) L x y dx
J.:1:
2
(b)
de
+ (x2
-
+ Y 2 dy
2
Y ) dy desde (O. O) hasta (1, 2) a Jo la rgo de y
= 2x2.
desde (0, O) hasta (a, b) a lo largo de la lín"ea recta
que los une.
(e) .[.y sen x dx - x cos y dy desde (0, O) hasta ( 1. J) a lo la rgo de x =y.
L(.'I - x
(d)
2
)
di:
superior de x 2
sea un campo grad iente; en otras palabras, que exista una funció n escalar cf>, el potencial, ta l que F Vcf>. En este caso
=
F • dP
= '\l
d,
+
M dy
+
N dz
se llama diferencial exacta, como o puesta a l caso d onde no es la diferencia l tota l de a lgu na funció n escalar. Si un campo de fuerza tiene la propiedad de q ue el trabajo realizado sobre una pa rtícula en movimiento confo rme se mueve de un punto a otro. es independiente de la trayectoria, se lla ma campo conservativo. Los resultados d e los teoremas anteriores pueden volver a form ula rse de la manera siguiente: una condición necesaria y suficiente para que un campo de fuerza sea consJrvativo es que sea un campo g radiente. Puesto que puede ser difícil calc ular todas las integrales de línea entre todos los pa rés de puntos en una regió n dada, es de desear contar con un criterio sencillo para d etermina r cuándo un ca mpo dado es un campo grad ie nte. Po r supuesto que e n los ca sos sencillos puede ser factible calcular una funció n cf> por medio de (1), la cual puede verificarse que se trata de un potencial. Si esto no es posible. existe una prueba la cua l puede a plicarse a los campos vectoria les d iferenciables. Para el caso bidimensional se da rá esta prueba como un corolario del teore ma de Green.
( 1, 0) hasta (-- 1. O) a lrededor de Ja mitad
(e)
Evalu?r la integral dada en (d) a Jo la rgo de Ja línea . oli sucesivamente los puntos(!, 0), (1, 1), ( - 1, 1), (- 1, PO). gonal que une
(/)
Evalua r la integra l dada e n (d) a lo la rgo del eje x desde(! , 0) hasta (- J, 0).
(¡:) _[ C
la diferencial tota l de cf>. Po r esta razón. la fo rma diferencial F · dP = L dx
+ .e tfi¡ desde + y2 = J.
P · dP, donde C es una vuelta de Ja hélice p = (cos r, sen
1, t)
desde
l. O, 0) hüsta ( I, O, 2;:-).
2. Evaluar cada una de las siguientes integra les alrededor de la c· f · x 2 + l'2 _ 1 e fd . JTCun erenc1a . n sen 1 o contrario al movimiento de las manecillas del reloj: (a)
[ x d.~ - y dx J: x2 + y2
(b)
l
c,·x2y dx
[
x2 ds
(e)
• l'
Je
3. Evalua r [c·x dy - y dx
a lrededor de x2
+ y2 =
1 en sentido contrario al m o-
vimie nto de las m a necillas del reloj. 4. Evaluar Lds, donde
e
es
y=
x2 desde (0, O) hasta (2, 4).
S. El dcampo gravitaciona l de Ja tie rra, cerca de su superficie está dado aproxi ma amente por -gk donde k a · J ' , • punta vert1ca m ente hacia a rriba. Demostra r q . ue si una partJcula se mue ve desde una a ltura '1 1 hasta una altura ¡, a Jo 2 1argo de una curva suave e l trabajo realizado tícu la es mg(/1, - //). Endontrar una función pofe':ci~~'.e campo sobre Ja par6. Sea F un campo vectorial conti nuo definido en una región R De
Í
JcF • dP
·
es independiente de Ja trayectoria si y solamente si
sohre toda curva ce rrada , seccionalmente suave, en R.
t mos rar que dP = O
l.F . e;
teorema de Green
integrales de linea y superficie
326
7. D e mostrar q ue Jos cam pos vecto ria les siguientes son campos gradientes. encontrando un potencial: (al xi + yj en E 2
(e) (2.cy
(b) 3x 2y i
+ z3 )i + (:c2 +
+ (3z2 + 3y)k
3z)j
+ .i.3j
en
:i;
en E2
327
4. Sea f u na func ión continuamente di ferenciable defi nida en una región abierta R . Sean . P y P 1 dos nuntos c ualesquiera en R conectado~ por una curva s uave C desde P hasta P 1 • Demostrar que existe un punto Q en C tal que / CP ) - /(P) 1 V /C Q) · TL . donde T es el vecto r ta ngente u nita rio e n C. en Q y L es la long itud de C.
=
=
E3
EJERCICIOS B l. Sean
f y
g funciones continuamente diferenciables e n una región R . Si C es
13.2 TEOREMA DE GREEN
c ualqu ier curva seccionalmente suave en R que va de P 1 a P, . entonces
f f Vg · dP
Je
2. D emostra r que s i torial F, entonces
f (Ph g (P2) - /(P 1) ,1¡'(P 1 )
=
f gVf · dP. Je
-
y 1" son ambas fu nciones potenciales para un campo vec.¡, = C, donde C es una constante.
-
3. Demost ra r que el campo grnvitaciona l de una masa pu ntua l (~cción 10.6) es conservativo y e ncontrar una funci ó n potencial para él.
4. Si f es continuo en una curva suave: C , de mostrar que
f F · d P 1 < (max IFDLc:, Je e
=
1
donde Le de no ta la longitud de C. S. Sea F un campo de fue rza continuo. Aplicando la segunda ley de Newton (F = ma). demostrar q ue e l trabajo realizado por F sobre una partíc ula e n movimiento es igual a l cambio en la energía cinética. Rec uérdese que la energía cinét ica es lmlvl1 . donde v es la veloi:idad.
6. Demostrar que
f f (x, y) dr.
1
Una derivada ordinaria se de fin ió e n un punto de u n inte rvalo abie rt o. La id ea de derivada definida en un in te rva lo cerrado se introdujo mediante el concepto de la deri vada late ral la cual cunsidera los pu ntos ex tremos. De manera semejante. las deri vadas parcia les han sido d efinidas en regiones abiertas. pero la extensión hacia las regiones cerradas no es tan fácil en las dime nsiones su peri o res como lo fu e en una dimensión. Po r ejempl o. si f está defin ida en un disco ci rcular ce rrado ¡¡r - P.,¡ < a ! en E". ¿cómo podría definir~e f r e n el pu nto supe rior sob re e l círcu lo - es deci r. en el puntn P P,. + ja? El artificio que usa remos es el sigu iente: Sea f una función continua definida en una región cerrad a D y supóngase que f, es cont inua en la región abierta fo rmada eliminando la fro ntera. Entonces. si existe una fu nción g continua en D y coinciden te con Ir en la regió n abierta , se dice qu e /, es continua en D y, po r supu esto, que Ir g en D. Las demás parciales se manejan ~xactamente en la misma fo rma.
=
=O, si C e s un !>egm e n to paralelo al eje y. EJERCICIOS C
11 y v funciones diferenciables en una región R e n E.. las c uales ' ati,foccr. a ll í las relaciones u, v" y " Y v,. D e mos trar que ~i se sabe que 11 y v exister1 y 11 está dada. entonces 1· puede determinar~ excepto por una con't a nte adi tiva. Dar una fó rmul a para v en té rminos de 11 y e ncontrar 1· ,;
l. Sean
11
=
= x:-y:.
2. Sea C una
= ---
¡
c~a
s uave y
f
continua en C. D e mostrar que
pendiente de la pararnetrizació n. Es deci r. dcmo,trar que si
p = P(I) Q = Q(T)
y por
donde P'(r)
,,¡~ O
y Q '(T)
l
b
a
=t-
O. e ntonces
d.c
/ [P( r)) -d dt = f
~
la
< fil.
T
e
es indc-
está dada po r
bl
(u ;;;; r <;;;
f f dx Jc
i/1f [Q(T))-/(/.~ 1/T. u
t
T
3. D e mostrar que el campo vectorial F =-= ( y i + .1j) / (.r 2 + y') en E .. tiene una función pote ncial local pero no ¡!!ohal. l' n o tra ' palabras. dc~mtrar q ue e n una vecindad de cualquier punto P ., "-' (11 , />) /- ( 0, O) en t.·... exi,lc una función l al que V agujerado en el ori)\Cll) para la c ual V•/• ..: I'.
Al discu tir la bles. empecemos mente simple. la proyección de R es decir. si (x, y)
relación <:ntre las integra les de línea y las integrales dopor considerar una región R de una fo rma part icu larcual describirem os a co ntinuación. Supó ngase q ue la sob re el eje x es u n intervalo ce rrado / : !a < x bl: está en R. entonces x está en / . Y supó ngase que cad a
<
328
teorema de Green
integrales de linea y superficie
=
línea descrita por x x 0 , donde Xo está en /, encuentra a R en exactamente un intervalo cerrado, el cual puede degenerar a un punto en a o bien b (o en ambos). Así, R puede darse en la forma
< y<
{y1(x)
y2(x), a
<
x
ff éJL dA.
•
O!J
u
Mediante el Teorema l 2.3a esta integral puede escribirse como una integral iterada, así
oL
ffay -
u
dA =
f f b
dx
,¡
f .
11zt:i:>
éJL
"'':r>
au
= "b{l[x, y2(x)] - L[x, y1(x)]} dx 1
jb
a
Estas últimas integrales pueden interpretarse como integrales de línea de La lo largo de las curvas dadas por y = y 1(:r) {a< x < b} 1J = ?J2(X)
{a<
X<:
b}.
La primera de estas integrales es una integral desde la derecha hacia la izquierda y la segunda desde la izquierda hacia la derecha. Geométricamente esto equivale a una integración en sentido contrario al movimiento de lás manecillas del reloj sobre la frontera de R, para la integral de L sobre todo segmento vertical de R se obtendrá cero (¿por qué'!). Por tanto. la fórmula anterior podría escribirse
.ff ol au clA =
-
f
.n
ff ~~ L dA =
L cl.r,
/(
donde la integración en la integral de línea se efectúa en sentido contra-
M dy.
1f.
Combinando estas dos fórmulas se deduce (1)
f
J11
L d.r
+ M cly =
ff ax
(ºM -
lt
.E_!.) dA, oy
donde la integral se toma en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor de la frontera B de R. Esta es una forma débil d_e lo que se conoce como teorema de Green, el cual es un término genérico para todo teorema que da las condicion~s suficientes para la validez de la fórmula (1). Podemos generalizar este resultado para dominios ligeramente más complicados. Sea R una región cerrada la cual puede dividirse en dos regiones standard R, y R..! mediante una curva seccionalmente suave C, tal y como se muestra en la figura. Entonces
(2)
-dy
= - / L[x, y 2(x)] dx -fbL[x, y 1(x)] dx.
y
rio al movimiento de las manecillas del reloj recorriendo la frontera de R. Mediante un cálculo semejante se obtiene
< b},
donde también se supone que y 1(x) y Y:h) son continuas. Una región de este tipo se llamará región proyectable sobre x. De manera semejante, intercambiando los papeles de x y y podemos definir una región proyectable sobre y. Una región que es proyectable tanto sobre x como sobre y se llamará región standard. Supóngase que R es una región standard cerrada con una frontera seccionalmente suave y que L y M son dos funciones continuamente diferenciales definidas en ella. Entonces considérese
329
f L dx + M dy JB1
y
(3)
Jro,. L dx + M dy
=ff =ff ax
(ºM -
OX
R1
(ºM -
R1
éJL) dA
OY
oL) ay dA,
donde; por supuesto. B, y B'.! son, respectivamente, las fronteras de R 1 y R2 Y las mtegrales han de tomarse en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor de estas fronteras. La curva C se tiene tanto en 81 como en B".! y de aquí que la integral de línea a lo largo de C forma
e
B
parte de los primeros miembros tanto de (2) como de (3). Además, forma parte de estas dos fórmulas con signos opuestos puesto que el movimiento en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj respecto a R 1 da una orientación a C opuesta a la inducida por el movimiento en sentido contrario al de las manecillas del reloj respecto a R 2 • Cuando se suman (2) y (3). la contribución debida a C se cancela. dejando única-
330
integrales de línea y superficie
teorema de Green
mente la integral a lrededor de B, de mane ra que la fórmula ( 1) es vá lida para regiones que pueda n co rtarse en dos regio nes standa rd mediante una c urva C.
331
cie nes co n deri vadas parciales continuas definidas en R . Entonces
L
L dx
+M
dy =
ff (º; - ~~)
dA,
JI
do nde la integral de línea se toma sobre la frontera B de R en el sentid o positi vo.
1 ·
B
Po r inducción se deduce que la fó rmula (1) es válida pa ra una reg1o n cerrada que pueda co rtarse en un núm ero finito de regiones standard introduciendo curvas adiciona les ta les como la C. Sin embargo, debemos exam inar una vez más la integra! en la fro nt era. Supó ngast: qu~ R tiene una frontera que consiste de más de una curva cerrada simple y puede descompone rse e n un número finito de regio nes standa rd. Apliq uemos ( 1) a cada una de las regiones s tandard y sumemos. La contribución a las integra les de línea debida a las curvas auxiliares se ca ncela tal y como se espe ra ba. pe ro también se o bserva que ento nces la integra l sobre cada curva interior se toma en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. Sin embargo. se o bse rva que podemos ca racterizar la d irecc ió n de integració n de la siguiente ma ne ra: la dirección de integración a lo largo de cada curva de la fro ntera debe ser ta l que siempre quede la regió n a la izquierda. Esta recibe el nombre de dirección positiva sobre la fro ntera. Ahora podemos asegura r que la fó rmula ( 1) es válida si R puede descompo nerse mediante curvas auxiliares en un número finito de regiones y si la integra l de lí nea se toma en el sentido positivo a lrededor de la frontera. A sí se ha dado una demostración geo métrica para la fo rma siguiente del teo rema de Green.
13.2a
Teorema. Sea R una regió n cerrad a acotada la cua l puede subdividirse med iante un número finito de cu rvas secciona lmcnte suaves e n un número fi nito de regio nes standard. Sea n L y M dos fun-
No trata rem os una de mostración no geométrica de este teorema sino que nos contentaremos con la demostración dada porque una demostración completa requiere una gra n cantidad de deta lles para situar nuestros argumentos geométricos sobre una base rigurosa. E l teo rema es verdadero bajo cond iciones más genera les sobre · la regió n. Po r eje mplo. nuestra demostració n no conside ró todas las regio nes cu ya s fronteras consiste n de un número finito de curvas cerradas simples.
secc ional mcnte suaves. porque posiblemente no 'Puedan descomponerse en un número fin ito de regiones sta nda rd . Po r ejemplo, la regió n en la figura es acotacla por una sola cu rva cerrada simple seccionalmente suave y no puede descom ponerse en un número fini to de regio nes sta ndam. Sin emba rgo, pueden ap roximarse ta les regiones mediante regiones para las cuales es válid o el teo rema de Green y mediante un a rgumento de límite de mostrar qu e también es válido para estas regiones. De hecho, pndc111os e limina r toda s la s co ndiciones de suavidad para la frontera y requ erir única mente que sea rectificable -pa ra que las integra les de línea tengan sent ido- y la fó rm ula todavía es vá lida.
332 13.2b
teorema de Green
integrales de linea y superficie Teorema. Sea R una región cerrada acotada cuya frontera consiste de un número finito de curvas rectificables cerradas simples. Supóngase que L y M tienen parciales continuas en R . Entonces
f Ldx + Mdy Jn
=ff (ªMax - aL)ay
dA .
R
Una demostración de este teorema puede encontrarse en Mathematical Analysis, de Aposto!. Ahora regresa remos a la cuestión discutida al final de la Sección 13. 1, a saber un criterio para determi nar cuándo un campo vectoria l es un campo gradiente. Si se tiene un campo gradiente continuamente diferenciable -esto es, si existe un potencial cf> tal que cf>z = L y cf>y = M, entonces es evidente que
aL ;-- = uy
c/>%'1 =
cPvz =
aM :;- . ax
Así se ve que. para q ue Li + M j sea un campo grad iente, es necesa ri o que oL /oy = oM /ex. Ahora resulta evidente que también es suficien!e si la región en la cual está definido el campo se restringe suficientemente. porque e n este caso puede integrarse para encontrar un potencial cf>, tal y como se verá posteriormente. Primero definiremos conexidad simple. Se dirá que una región es simplemente conexa si tiene la propiedad de que toda curva cerrada simple en R también tiene su interior en R . Así po r ejemplo, una vecindad es simplemente conexa, pero la región anula r (r, IPI r.,¡ entre dos círc ulos concéntricos no lo es.
333
y, por el Teorema J 0. 1a, éstas son iguales. (Aquí no aplicamos la conexidad simple de R.)
=
oM/ox en toda la región R. Inversamente, supóngase que oL /oy Se desea demostrar que Li + Mj es un campo gradiente a partir de lo cual puede concluí rse por el Teorema 13.1 b que la integ ral es independiente de la trayectoria. A sí que es suficiente demostrar que Li + Mj es un campo gradiente. Sean P y Q d os puntos cualesquiera en R. Entonces existe una poligonal simple (es decir, que no se corta a sí misma) que los une (compá rese con la definición de región). A continuación se demostrará que
LºL
dx
+ M dy tiene el mismo valor sobre todas las trayectorias poligo-
na les simples que unan a P y Q. Sean C 1 y C~ dos de esas trayectorias. Entonces se forma un polígono ce rrado C (no necesariamente sim ple) con Ci. orientada de P hacia Q. y C 2 , orientada de Q hacia P. E s sufic.:iente demostrar que
L
L dx
+ M dy = O.
Es geométricamente evidente que C puede descomponerse en un númerc fi nito de polígonos cerrad os simples, junto con un número finito de
< <
13.2c
Teorema. Supóngase que D es una región abierta simplen1ente conexa y que L y M tienen derivadas continuas en D. En tonces J L dx + M dy es independiente de la trayectoria en R si, y sola· mente si,
aL aM ay ax
-=
Demostración. Supóngase primero que f L dx + M dy es independiente de la trayectoria. Entonces el campo vecto rial Lj + Mj es un cam po gradiente -es decir. existe una función cf> en R ta l que L = ocf>/ox y M ocf>/oy. Entonces
=
aL a ay ay ax aM _ a
2
y
segmentos los cuales se recorren dos veces -una vez en cada dirección. La contribución de estos segmentos a la integral es cero. Ahora consi-
~J.
334
• -..
integrales de línea y superficie
ejercicios
dérese uno de los polígonos, denotándolo por B y su interior por D. Por el teorema de Green
f.
B
Ldx
+ M dy =ff (ªM - aL) ax
D
éJy
dA =O,
de modo que, como se deseaba.
L
L dx
+
=f.r
L dx
+
d(J =(y dx - X dy)/(z2 + y2), Y no podemos definir el ángulo de manera que sea continuo en el anillo completo; porque si recorremos :ma vez el círculo interno, incrementamos el ángulo en 21T. J. Evaluar las i?tegrales si~uientes a~li~ando el teorema de Green. La integral se toma en sentido contrano al mov1m1cnto de las manecillas del reloj alrededor de la curva dada: (a)
(b)
M dy
Po
sobre una trayectoria poligonal simple. Esto verdaderamente define una fu'lción de P, puesto que se ha demostrado que el valor es independiente de la trayectoria. Ahora podemos repetir el argumento del Teorema 13-lc para concluir que
aq,=L, ax
aq,=M.
<
:yt. ~y) =:.L.~.,J S.m embargo, no pu· ed e ser un campo grad'1ente puesto que
<
(d)
L
C: x2
LX dy + y dx
L L L
e%sen ydx
x2ydx
f.
dx
+ ez cosydy
+ xy2dy
+ 9y2 = 1
+ y2 = 4
C: triángulo x·= O, y= 2, x
+ g(y) dy
ydx -xdy Y
x-
= 1
C: cuadrado x = ±1, y= ±1 C: x2
--:;----+- 2
e
+ y?.
C: 4x2
z'l.ydx
(/) Lt(~) (g)
+ x3 dy
(x - y3) dx
C: x2
+ y2 = 36
C: .r2
+ (y
- 4)2
= 2y
=1
2. ~xp!icar ~or qué no es posible aplicar el teorema de Green para evaluar Ja s1gu1ente mtegral:
f.
ydx -xdy
e x2
C: x2
+ y2
+ y2 = 4
EJERCICIOS B l. Sea C una curva simple cerrada seccionalmente suave.
f.
(et)
y dz - y2 z dy 2
C
X+
tomada alrededor de un círculo concéntrico no es cero. Porque si hacemos x r cos 6; y= r sen 6, entonces la integral se reduce a
Ld8 =
(e)
(e)
ay
Invoquemos el Teorema 13-lb para completar la demostración: puesto que Li + Mj es un campo gradiente, f L dx + M dy es independiente de la trayectoria, para todas las curvas rectificables. 1 La razón por la que necesitamos la conexidad simple es asegurar que la integral f L dx + M dy es independiente de la trayectoria. Ver que oL/oy = oM/ox no es suficiente en sí mismo para garantizar que Li + Mj es un campo gradiente; consideremos la región R: {r1 2 r + y2 r:.n En este anillo examinemos el campo vectorial (yi -xj)/(r + y 2). Me· diante cálculos sencillos se ve que
=
= ang tan y/ x, de modo que
vector con el eje x, entonces fJ
EJERCICIOS A
M dy = O.
Por tanto, puede decirse que J L dx + M dy es independiente de la trayectoria siempre y cuando únicamente se integre sobre trayectorias poli· gonales simples. Sin embargo. esto es suficiente para concluir que Li + Mj es un campo gradiente. porque fijando Po en R definimos q, por 4'(P)
335
2.,,.
Podemos ver geométricamente por qué no es posible tener una función gradiente única para todo el anillo. Si 6 es el ángulo que forma el radio·
Demostrar que C
L
x dy
= -
Ly
dx =área encerrada por C. Dar una expli·
geométric<1 de este 11echo.
(h) Evaluar
!
L
x dy - y dx.
(<") Aplicar (h) para calcular el área encerrada por una elipse
x2/a2
+ y"Jb2 = l.
2. Aplicar 1(b) para verificar la fórmula u~ual para el área de un sector acotado por B = "· B = /J y p = /(B). donde O< fJ-a < 2;;: '
A =
!
f
f'(O) dO =
J: r~ dO
dp
integrales de linea y superficie
336
área
337
EJERCICIOS C
f(x, y, z) =O. Ahora deseamos discutir las superficies dadas paramétrica-
1. Sea C una curva seccionalmente suave la cual constituye una frontera orientada positivamente de una región R. Entonces la normal interior n se obtiene a
mente.. Sea ~ una región en el plano E2. Denotaremos los puntos en ~ por Q (u, v). Y supóngase que F es una función vectorial continua en tres dimensiones, definida en 9:
=
p
(1)
= F(Q)
o bien, en términos de las componentes, ( I ')
partir del vector unitario T mediante una rotación de 90º en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (ver figura). Demostrar que si u tiene segundas derivadas continuas en R, entonces
JJ(ll.u)dA = -fcv.,uds, R
= "= + Uinr
donde Au =V• Vu 2. Demostrar también que:
(a)
x =f(u, v)
Ql
= Q2.
(iii) F tiene derivadas continuas en Pl.
f f (ull.v + Vu • Vv) dA f f (ull.v - vil.u) dA
= -
f0 11V vds
(iv) En ningún punto Q en
0
= -
fc
vV0 u) ds
J = o(,r¡. =? 1 - o(u, ti).
f f IVvl' dA
= -
fcvv vds, si ll.v = 0
O.
R
3. A partir del teorema de Green, deducir las siguientes fórmulas: (a)
ff F = - LF · V·
dA
n ds
R
Cbl
~
los tres jacobianos
J = o(z, x) 2 - o(u, v)'
J = o(x, y) 3 - o(u, v)'
son todos igual a cero. Si S: P F(Q) satisface todas estas condiciones se llamará elemento simple de superficie suave.
=
R
(e)
z = h(u, v).
El rango de F se llamará una superficie, S. Sin embargo, así como pueden existir curvas llenadoras de espacio, también pueden existir superficies llenadoras de espacio. Entonces, simplemente bajo la hipótesis de continuidad es de esperar un comportamiento muy complicado de las superficies. Así que nos restringiremos inmediatamente a la consideración de elementos de superficie suave: Su póngase que: (i) !» es una región cerrada. acotada, simplemente conexa, cuya frontera l1b es seccionalmente suave. (ii) S no tiene puntos dobles; es decir, si F(Q 1 ) = F(Q2 ), entonces
R
(b)
y= g(u, v)
ffvxF·kdA=fcF·Tds R
13.3 SUPERFICIES. AREA Hemos discutido las superficies dadas explícitamente por z = cp(x, y)
y, por medio del teorema de la función implícita, aquéllas dadas por
13.3a Teorema. Sea Po un punto en un elemento simple de superficie suave S. Entonces existe una vecindad de Po en la cual S se repre· _ senta por una ecuación en la cual una de las variables x, y y z se expresa como una función de las otras dos, por ejemplo, z 4-(x. y).
=
Demostración. No todos los jacobianos / 1 , /'2, / 3 se hacen cero en P 0 • Supóngase que /3 *O allí; ésta es precisamente la condición para que x f(u, v), y g(u, v) puedan resolverse para (u, v) en términos de (x, y) en una vecindad de X-0. Entonces estas soluciones pueden sustituirse en las ecuaciones (l '). Las primeras dos de estas ecuaciones se reducen a identidades (¿por qué?) y la tercera se transforma en z = h[u(x, y), v(x, y)] = 4>(x, y), donde 4' es diferenciable puesto que u, v y h lo son. 1
=
=
338 13.Jb
área
integrales de linea y superficie Corolario. Si Ses un elemento simple de superficie suave. entonces tiene un plano tangente en cada punto Po y su normal está dada por l1i + l2i + /:1k.
de modo que
(ds) dt
2
Demostración. S tiene un plano tangente puesto que. por ejemplo. z es una función diferenciable de (x, y) cerca de Po. Considérese la curva el. que pasa por Po dada por V constante. Por tanto. C t· tiene la ecuación vectorial
= dP • dP dt =
=
P =/(u, v0 )i
+ g(u, v0)j + h(u,
339
=
0 )k,
t1
donde Qo = (uu. vu) es el punto para el cual Pu=F(Qu). Entonces el vector
dt
(ºp011 dudt + oPav dv) • (ºp du + oP dv) dt 011 dt ov dt (ºPou .oP) (d") + (ºP .oP) du dv + (ªP .aP) (dv) ou dt 2ou ov dt dt ov ov dt 2
= E(du\2 dt)
donde
2
+ 2Fdu dv + G(dv) , 2
dt dt
dt
(ºx) + (ºY)2 + (ºz)2 ou .au au 2
E= oP. oP =
011 011
donde las derivadas se evalúan en Oo. es tangente a C,. en Pu. En forma semejante. una tangente a C 11 en P., es oP
ov
= oP . oP = ox ox + oy oy + oz oz Oll
=/2i + gJ + h2k.
aP oP N =- X - = ou ov = J 1i
au ov ou ov ou ov
OLI
/ 1 g1
/2
2
No ambas du/dt y dv/dt pueden ser cero (¿por qué'?) De donde > O si F.G - P > O (¿por qué'!) Mediante un cálculo directo (Ejercicio 84) se ve que (ds/dt) 2
h1
K2 h2
+ J J + J 3k.
EG - F2 =
1
Nuestro, principal objetivo aquí es definir área de una superficie. Salta a la vista que ciertos coeficientes presentt:s en la diferencial para la 1ongitud de arco en una superficie tienen una importante relación con el área. En consecuencia. estudiaremos brevemente las curvas suaves sobre una superficie suave.
=
13.Jc Teorema. Sea S: P F(Q) para Q en 9- un elemento simple de superficie suave. Sea CC: Q Q(t), fa ~ t ~ b} una curva suave en 9. Entonces C: P F[Q(t)]. fa~ t ~ hf es una curva suave en S.
=
ov
ª" ª' av ª'
9
;12
+ J22 + J32 >
O.
De donde dP/dt =:f= O y Ces una curva suave.
1
V
=
Demostración. Evidentemente P es una función diferenciable de t, supuest.o que F es una función diferenciable de Q y Q es una función diferenciable de t. Falta concluir que dP/dt *O a lo largo de C. Para verlo, obsérvese que dP = éJP + dP
ou
2
oP = (ºx) + (ºy) + (ºz)2. ov av av ov av
G = (Jp •
Por lo tanto. una normal a S en Pu está dada por i j k
dt
F
u
Sea· Oo un punto de~ y Po el correspondiente punto S. Si hacemos un pequeño cambio du a lo largo de la línea v Vo y un pequeño cambio dv a lo largo de u Uo en Qo. el área del rectángulo así formado en el plano uves du dv. Estos cambios inducen cambios vectoriales en S dados aproximadamente como
=
=
dP
u
(ªx . oy J. + -az k ) du = -aP ou du = -ou 1 + ~ ou . ou
:.:.~(
·:
340
~;¡;
áre'a ~lt
integrales de linea y sµperticie
y
dP = ti
oz k) dv. ov dv = (ªx ov i + ()y ov j + ov
y
(Jp
Estas diferenciales dPu y dPv son aproximaciones a los lados de un pequeño paralelogramo en S cuya área d" está dada por . da= ldP )( dP11I = u
= IJ1i = o bien
da =
l
n=~= k-jfi-Yi
. !Nt
+
JEG -
J22
COS
F du dv.
z =f(x, y), esta expresión se
ax
D•
k=
l/Ji +/,• +/21 =
oy
reduce a
da. :::::11,sec 'Y dx dy = sec 'Y dAz 11•
La: figu'ra (pág. 340) ·ÍIÜstra la razón geométrica para esta relación. Si > O significa que n es la normal hacia arriba. Si se usa la normal hacia abajo, a saber n' = - n, el ángulo entre n' y k es obtl.LSO, de manera que cos y< O. Entonces podríamos expresar da en términos de dx dy mediante la fórmula du
dx dy.
1 1 1
1
y
1
:r-1
1 J.. 1,, ... ,
1
1
1
,,...,....
1 ,,..
1
1(,
1
........
,,,,
,,,,"
.........J,,,"' dA = cos "(dtT
%
Esta última fórmula tiene un significado ·geométrico sencillo. Porque si S se describe por z = f(x, y), la ecuación vectorial de Ses P =xi+ yj +f(x, y)k, de modo que
"k -oP = 1. +J1
ax ap . "k - =J +J2 ay
(11' -
y) dx dy.
=
A=
1 1
= sec
Este argumento heurístico indica que un elemento de área du dv se mapea sobre un elemento de área v'J 12 + J 22 + J 32 du dv cuando ~ se ·mapea sobre S mediante P F(Q). De acuerdo con lo anterior, se d'efine el área de un elemento simple de superficie suave por
k
l1
t/Jt + (;;)' + (~)".
n•k
2
J + (az)2 + (az)2 1
y=
de mane·ra que
+ Ja2 du dv
Si la superficie está dada en la forma
Vl + fiB + 1z··
Así que si y es el ángulo entre k y n,
+ JJ + J3kl du dv
JJ12
da =
aP - )( aPI ou -ov du dv
oP )( oP = k - i/2 -
i/1· ax ay Et vector unitario en la direeeión de N se den·otará por n:
N=
f 9
,/11•+122 +Ji du du.
Si S es una superficie la cual puede descomponerse mediante curvas seccionalmente suaves en un número finito de elementos simples de superficie súave, se dke que· es una súperficie seceionalment'e súavé. Ef á·rea de una superficie seccionalmente suave se define como la suma d.e las áreas de" esas secciones suaves. Para que esta definición pueda ser útil, incluso razonable, debe saberse qü'e és inCleperi(liente' ü la forma en que se desc6111pongá' iá' su·¡;ert.ére. 1 Es sufiCienté demostrar que· si uri elen:iento· sirhple d ~upedfoie sua\rt. Se éOrta en· secciones m"ás pequeñas mediante líneas seeCionalmente suaveS~ . eó\'6ncts éf aféa d'éT élemerlt'ó' és· Ja sü'ma' áé' Ja'l á'~éa't d'e tsa\" secciones rrtás peque_ñas. Esto es equivalente a demostrar que .1~· integral ~obre 9 qúe _da el área es aditiva, tl'na situación cubierta por el Teorema· l2.4g.-. Ef estudiante podría" pensar que es más natural obtener uria aproximá..ció:n d1eº la superficie mediante un poliedro cómó se· aproximán las curvas mediante polígonos. Sin embargo, una pequeña reflexión le llevaría a observar qúe es difícil inscribir un poliedro en una· superficie. En verdad no éS fácil da't un método· gé'néraf pára· hácetfo. Aúri 1 más, désptiés de eS°Ólblecer un método de aproximación, las áreas de los poliedros de aproxi~
e
342
teorema de la divergencia
integrales de linea y superficie
mación no siempre convergen al área de la superficie. Existe un ejemplo el cual muestra que aun en una superficie suave como la de un cilindro. las áreas de los poliedros pueden hacerse infinitas en lugar de dar una aproximación del área de la superficie. EJEMPLO.
343
~ná frontera seccionalmente suave. Supóngase además que toda línea vertical q.ue pase por 9 intersecta a D en exactamente un intervalo: {z1{x, y) < z < z2(x, y)}. z
Calcular el área de la superficie S dada por
2 z = x' + y 2 ~: lx + y2 Aquí oz/ox = 2x, oz/oy = 2y, de manera que
S:
ff.J + + = f f .Ji +
A =
4x2
1
~
11.
2
4y dx dy
!¿
D
11
dp
= 271' =
f .J• +
~ c.Jl2s 4
-
2
4p p dp
t).
lJA INTEGRALES DE SUPERFICIE. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Ahora estamos en posición de definir lo que se entie1!9e-por integrcll sobre una superficie. Sea S un elemento simple de superficie suave, dado por PJ F(Q) para Q en .~ y sea 4> una función defin(da en S. Entonces por f/>(P) d<7 se entiende
J=
s
ff
y
4p'l·p d()
q,[F(Q)JJJ12
+ J22 + J32 dAo,
;a
=
~upóngase ahora que N es una función que tiene derivadas parciales contmuas en u.na región standard D. cuya proyección en el plano xy es .@ Entonces se tiene ·
f ff ~ dV = ffdA.,f." aNoz dz
!¿
siempre que. esta integral exista. (En particular, existirá cuando f/> sea con· f(x, y), esto se escribe como tinua). Cuando S esté dada en la forma z
ff
~
frontera de D entonces consiste de tres partes: slt dada p~r Z=Z1(X, y); :· dada por ~ Z:i(x, y) Y S3, una superficie {o superficies) paralela· al e1e. z: .Tal región. se llamará proyectable sobre el plano xy. Se cumpÍen d~fm1c1one~. seme1antes para regiones proyecta bles sobre los planos yz y xz S! una regmn es proyectable sobre los tres planos se llamará naaión ~ tándar. ·-1:t9
=
D
9
=
q,(x, y, z) sec y dA:i:,,.
!¿
Existe un análogo al teorema de Green en tres dimensiones el cual expresa una relación entre las integrales de volumen y las de superficie. Y una vez más, como para el teorema de Green, daremos un argumento geométrico. Supóngase primero que D es una región cerrada en el espacio tres con una frontera la cual es una superficie seccionalmente suave y que su proyección !i.> en el plano xy es una región bidimensional cerrada con
.
Z¡
ff
N[ z, y, z,(z, y)] dA.. -
9
ff
N[z, y,z,(z, y)] dA.,
9
S1 por n se denota al vector unitario en la dirección de la normal exterio Y por Y el ángulo entre n y k se obtiene · r
ff
N[x, y, Zz(X, Y)] dA =
9
ff
N[x, y,
~(x, y)] cos y sec y dA
9
=
f fN cos y da. 81
ejercicios 345
344
Integrales de linea y superficie
Sobre
s.. la normal exterior apunta hacia abajo, de m~mera que du = sec
(.,,. -y)dA. Así se obtiene
-ff
ff =ff
N[x, y, z1(x, y)] dA =
9
\
13Aa Teorema. Sea D una región cerrada acotada en E3 la cual puede subdividirse en un número finito de regiones standard. Sea F una función continuamente diferenciable en D. Entonces.
/
N cos y da.
fff
81
ff
Y, finalmente.
y_se~ dA
N cos
9
N cos y da= O,
83
=
puesto que y Tr/2 sobre S3 • Por lo tanto, combinando todas estas integrales de superficie se ve que
fff ~: =ff fff ~~ =ff fff °: =ff dV
En forma semejante,
N cos y da.
s
D
L cosa da
dV
D
Y
S
EJERCICIOS A
8
=
donde L y M tienen derivadas continuas en D y donde cos a o •i y cos /3 n · j. Sumando estas tres fórmulas, se expresan los resultados en la forma
=
Jff (~~ + :
+ ~~) dV =
D
ff ff
(LI • n
+ Mj • n + Nk • n) da
(Li
+ Mj + Nk) • n da
s
V • F dV
=
D
=
,•
x2
-
y2
(J) z = xy
ftl:
{1 < x 2
!il: {x2
+ y 2 <: 2}
+ y2 < I}
ff ff ff
x2 da
S: el cilindro {x2
+ y'I. =
1, O < z
+ z'l
por el plano
< J}
s
ff
F • n da,
(b)
S
.
=4 -
2. Encontrar el área cortada de la punta del paraboloide x = y 2 x+z= l. 3. Calcular las siguientes integrales de superficie:
(a)
o bien,· en notación vectorial.
fff
1. Encontrar las áreas de las siguientes superficies: (a) z = VI - x2 - y2 9: {x2 + y2 <: 1} (b) z = v'x!! + y2 .!íl: {x2 + y2 <: 1} (e) 2z
S
=
(1)
V· F dV = n da, n donde n es la normal exterior. Como en el caso del teorema de Green. nos contentaremos-con el argumento geométrico que se ha dado. Aunque es cierto que ésta no es de ninguna manera la forma más fuerte del teorema, sin embargo, es un teorema útil que sirve muy bien para muchos propósitos del análisis. Por ejemplo. en Ja teoría del potencial y Ja teoría de las ecuaciones diferenciales parciales. generalmente podemos restringir su uso a regiones muy sencillas cubiertas por el Teorema 13.4a.
M cos p da,
dV
y
D
como teorema de Green. como teorema de Gauss. o bien, debido a la presencia de V . F en el integrando de Ja integral de volumen. como el teorema de la divergencia.
+ y2)da
S: x
= V9 -yª -z2
S: x
= V4 -
S:z
=
s
'
donde F l..i + Mj + Nk y n es la normal exterior. También debe ser: evidente que si D es cualquier región que puede descomponerse en regiones standard mediante superficies secciOnalmente suaves. la fórmula (1) se cumple para D. La fórmula (IJ se cumple para cada región standard. Si: S,, es una superficie auxiliar que se encuentra entre dos regiones standard. la normal exterior para una es la negativa de la normal exterior para la otra. Por tanto. la contribución para las integrales de superficie sobre estas superfides auxiliares se cancela. dejando precisamente la fórmula ( 1). Así se obtiene el siguiente teorema conocido
x(z2
(e)
(z2
+ y 2) da
y2 -
zª
s
4. Explicar por qué
f f:i: da = O si s
vJ
-i2 -yl
S es simétrica respecto al origen.
346
ejercicios
integrales de línea y superficie
S. Calcular las siguientes integrales de superficie aplicando el teorema de la divergencia. (a)
ff
S: x2
P • n da
347
n
+ y 2 + z2 = 1
s
(b)
f f(;c2i + Y2i + z2k) • n du, s { -1
(e)
ff
1, -1
donde S es Ja superficie del cubo
1, -1
I}.
(x cos o: - !I cos fl - z cos y) da sobre la esfera x2
s 1, donde n
+ !12 + (z
- J)2 =
= (coso:, cos {J, cos y). EJERCICIOS 8
1. Sea S definida implícitamente por /(x, y. z). donde f es continuamente diferenciable, y supóngase que /:1 *O, de manera que Ja ecuación puede resolverse para z en términos de x y y, para (x • .v> en .f'/I. Demostrar que para t:fJ continua en S:
ff If 4> da =
s
.¡, '
/r2 + [:2+f2
1i:1
JI
a dA
!J
horadarán a la e~fera unitaria con centrn en el origen en un conjunto ~. El área de ~ se llama ánaulo sólido, subtendido por S. Demostrar que el ángulo sólido está dado por
.ff ~~I~ 2. Sea D una región standard y S su frontera. Si O no está en D. demostrar que:
(11)
JI = Jff ff ~;In fff ~ ff ~~I: ffÍ1~~ P • n da
3
di'
S
(b)
(r.)
da = 2
(a)
JJ
(b)
D
demostrar que:
=f
f
x(i • n) du
=
s
4. Demostrar que EG - F del Teorema 13.Jc.
ff
y(j • n) du
s
2
=112
JcuAv
+
J 22
ff
=
+ J3
y así completar la demostración
EJERCICIOS C 1. Sea S un elemento de superficie suave el cual intersecta cada rayo que parte del origen cuando más en un punto. El conjunto de rayos que intersectan S
AudV =
(d)
uVv • n da
S
(uAv - vAu) dV =
D
z(k • n) da.
s
2,
(e)
ff ff
+ Vu • Vv) dV =
D
J. Si V es igual al volumen de D dado en los ejercicios del problema anterior,
V
ff fff f ff D
da=
S
donde n es la normal exterior en S. (Aplicar el teorema de la divergencia al volumen entre ~ y S.) 2. Sea D unu región standard con superficie S y supóngase que tanto u como v tienen derivadas de segundo orden continuas en D. Demostrar que
D
s
da,
s
ff
(uVv • n - r1Vu • n) du
S
Vu·nda
S
JJJlvul2 dV = JJu(vu · n) da, si ~u = D
.
O.
8
3. Probar el inverso del Teorema 13.Jc: Si C es una curva suave sobre un ele· mento simple de superficie suave, entonces re, la imagen de C de vuelta en 9, es una curva suave.
teorema de. Stokes
Integrales de linea y superficie
348
13.S TEOREMA DE STOKES. SUPERFICIES ORIENTARLES
=
Sea S un elemento simple de superficie suave descrito por P F(Q) para Q en~. Sea 8': Q = Q(t), {a~ t ~ b} la frontera de~ orientada
.. {
de manera que cuando multiplicamos estas expresiones respectivamente por ax/av y ox/au, y sumamos se obtiene oLox _ aLax = _ oL 13 + oL 12,
n = l1i + J 2j + Jak = cos oti .jJ12 + Jl + J32 y
e
L dx
M dy =
f
Y
Jv
~
ox.) - ! {L a_x\) dA·uv = f oA ual . . 9 a
Puesto que a•x¡ au ov = 1x/ av vadas se cancelan. Ahora bien
oL = aL ax + at 011 + al az
y
au ax au oy· au oz au oL == oLox + oL.oy + oL az.,. ov ax OV oy ov oz av
=ff (- ox
oN cos
s
p + oN cos ex) da. oy
f Ldx + M
dy
+ Ndz =ff[(ºN .oy - oM) oz cos0t s
ütt ütt.
Y en notación vectorial se tiene
dAuv·.
.
au, los términos que contienen· estas den:. ·
dz
+ (ºL - aN) cos ¡3 + (ºM - aL) cos y] da. az ax a.v oy
f(ºl o~oir - al áx) ·U«
N
JsJ(- ªa~ cos " + ~~ cos r) da
Sumando se obtiene
!i4
L ·lJ« · lló
oz.
~
L
=1· l ouox dú + lo~ov dv.
Por el teorema de Green esto' se transforma en·
ff.[_! (.
y+ aL cos p).JJ12 + J 22 + J 32 dAuv
s
e
e
cos
De manera semejante,
= (/
manera que la curva Cf5 quede orientada en sentid6 contrario ál movimiento de Jas manecillas del reloj alrededor de él, observando la rotación desde el extremo del vector normal). Ahora supóngase que L. M y N son funciones diferenciables definidas en una región R que contien¿ a: S (fo que· realmente· aplicaremos será la existencia de VL, VM, VN en SJ y qu'e la función vectorial F tiene segundas derivadas continuas en !?J. Enfont:cs considérese
f.
+ cos pj + cos yk,
=ff (- oL cos y+ oL cos P) da. ay az
y, de este
modo, una orientación de O, la frontera de S, dada por P = F[Q(t)]. (Entonces Ja normal~. uni.taria, defi.nida por n 1 i + /-¿j + / 3k)/
/V112 + Í 22 + 132, a~ntará ·de
J3 = o(x, y) . a(u, v)
La integral entonces se transforma en
y así sucesivamente.
f Ldx =ff (- oLoy pasitivam~nte r~specto a .9. Esto induce una parametrización
az
de modo que
C: P:: F(Q(tJ)
u
1
av au ay 12 = a(z, x) '
o(u, v)' o(u, v) Pero la normal n está dada por
q;f
P:D-+S
au av o(y, z)
J =
donde V
349
(1)
L ff F • dP
=
V X F • n da. s Esta expresión es el teorema de Stokes para un elemento simple de super· ficie suave.
350
teorema de Stokes
integrales de· linea y superficie
Para extender esta fórmula a una superficie que puede descomponerse en elementos simples de superficie suave, debe verse cómo se pone~ estos elementos para formar la superficie completa. La idea es ésta: Supongase que s se compone de 5 1 con frontera C 1 y S 2 con frontera C2. donde C1 Y C2
1~-
1~::
- - --- -- - -- - ti -- - ~ *:¡+ ___. ·-- ~1 -<
::::±
~
=:::!:
::::!!
t
1
~--
---.
--+
~--
tienen uno 0 más arcos comunes. Si la fórmula ( 1) es aplicab~e tanto a S1 como a s2• nos gustaría sumar los resultados. saber que las mt~g.rales de línea sobre los arcos comunes se cancelan y obtener que ( l) es vahda para
Supóngase que S consiste de dos elementos simples de superficie suave S1 y S 2 con fronteras C 1 y C2. respectivamente, orientadas positivamente. y que S 1 y S 2 se unen a lo largo de cuando más un número finito de arcos los cuales son comunes a C 1 y e~. Cada uno de estos arcos comunes heredará una órientación de C 1 y de C2. Si estas dos orientaciones son de direcciones opuestas se dice que la superficie de S es una superficie orientable, de lo contrario es no orientable. En general, supóngase que S puede descomponerse en un número finito de elementos simples de superficie suave s.. S2••••• Sn con fronterasC 11 C2 •...• C"' respectivamente. Si cada C¡ tiene cuando más un número finito de arcos en común con los demás C1c y si las dos orientaciones inducidas en cada uno de estos arcos por C¡ y Ck son opuestas. entonces se dice que S es orientable, en caso contrario es no orientable. Es un hecho. aunque no lo demostraremos. que la orientabilidad es una propiedad de la superficie y no de la descomposición; esto es, si una superficie es orientablc bajo una descomposición, también será orientable bajo todas las demás descomposiciones. Para que el estudiante se convenza de que existen superficies no orientables debe estudiar los diagramas de la cinta de Milbius. Esta superficie con un solo lado se construye de la· siguiente manera: Tómese una. pieza de papel rectangular y alargada, désele un medio giro (H). únanse los extremos y péguense. La superficie resultante tiene un solo lado, una sola arista y no es orientable. (Ver página anterior.) El teorema de Stokes se extiende inmediatamente a las superficies orientables. porque. como se indicó anteriormente. las integrales de línea sobre las partes comunes de la frontera se cancelan. dejando precisamente la integral alrededor de la frontera de S. Así se tiene el siguiente teorema.
135a Teorema. Sea S una superficie orientable con frontent C. donde las ecuaciones que definen cada parte simple y suave de S tienen dos derivadas continuas. Supóngase además que F es una función diferenciable definida en una región que contiene a S. Entonces
fJ
V X F • n da
§s.
=
s.
'
.
la propia Desafortunadamente esto no siempre sucede. Esta distinción separa a las superficies en dos clases: aquéllas para las c~ales puede lograrse tal descomposición y aquéllas para las cuales no es posible. El teorema de Stokes se extiende para una de las clases. pero no para la otra.
351
L
F • dP.
Puede usarse el teorema de Sfókes para e"stablecer un análogo tridimen- · sional del Teorema· l 3.2c. el cual proporciona una prueba derivativa para que un campo vectorial sea un campo gradiente. La idea de la prueba es la siguiente: Si q, es una función continuamente diferenciable por dos veces. sus derivadas mixtas son independientes del orden de la derivación. Así. por ejemplo.
4'12
= 4'21·
Esto se expresa vectorialmente por V X V.¡,= O.
:-.·~·
""~
352
lntegrf!.les de linea y superficie
-heurística física
Ahora se desprende que. en regiones simplemente conexas. esto también es suficiente. (La necesidad para simple conexidad es casi la misma que para dos dimensiones.) , La simple conexidad es. un concepto difícil en tres dimensiones. de manera que probaremos el teorema bajo la más restrictiva condición de convexidad. Se dice que un conjunto D es convexo si dos puntos cualesquiera en D pueden unirse mediante un segmento que se encuentre en D.
13.Sb Teorema. Sea Duna región convexa y sea F = Li
=
Demostración: Necesidad. Si existe un q, tal que F
= Vq,. entonces
V X F =V X Ve¡,= O.
Su/iciencia. Si V X F
= O, entonces se define q, en D por tJ,(P)
=J.P F •
Aplicamos esta fórmula de la siguiente manera. Hagamos
Q = (x, y, z)
;;~:
Por lo tanto,
I:
dP
P0
-........
\
F • dP,
dP
o
P
\\
Q..a P.
Para
'
dP,
donde C es el triángulo con vértices P0 • P y Q. Si S es la superficie triangular acotada por C, entonces S está en D (¿por qué'?) y. por el teorema de Stokes. esta integral de linea es igual a
Ifcv s
Por lo tanto el segundo miembro de (l) se hace cero, de modo que
J.PF· +J.ºF · +f.P F • 1
dP
Po
dP
P
Esto es equivalente a
cP(P) - 4'CQ)
=
O
I:
L d~
En forma semejante.
"'2(Q) = M(Q),
y
4'a(Q) = N(Q).
+ h.
1
V4'=F.
=
13.Se Corolario. Sea Duna región convexa y supóngase que F Li + + Mj + Nk es continuamente diferenciable en D. Entonces para que f F · dP sea independiente de la trayectoria es necesario y suficiente que V X F O.
=
13.6 Al..GO DE HEURISTICA FISICA
=
Sea F Li + Mj + Nk un campo vectorial diferenciable en una región D y sea Po un punto en D. Si Dr es una esfera de radio r con centro en Po. entonces por el teorema del valor medio (1)
IIIV.
F dV =V.
F(P')~,
Dr
donde V,. es el volumen de D,. y P' es un punto de Dr. También. por el teorema de la divergencia.
=o.
X F)· nda
i Li:+h
Este teorema puede reestablecerse como un corolario.
J. F· +J.ºF • dP +f.PºF • =f.e F· P
h, y, z) - 4'f..x, y, z)] =
De donde
donde la integral se toma a lo largo del segmento que une observarlo. considérese (1)
+
por el teorema del valor medio. donde x' se encuentra entre x y x Conforme Ir -"> O, se obtiene cP1(Q) = L(Q).
dP,
donde Po es un punto fijo y la integral se toma sobre el segmento desde P0 hasta P. Primero demostraremos que. para P y Q cualesquiera en D.
=
cP(x
= (x + h, y, z).
= L(x', y, z)
Po
cP(P) - tf,(Q)
i[
P
+ Mj + Nk
continuamente diferenciable en D. Entonces para que F sea un campo gradiente es necesario y suficiente que V X F O.
353
dP =O.
(2)
Dr
Sr
donde S,. es la superficie de D,. y n es la normal exterior. Combinando (1) y (2). dividiendo entre Vr y haciendo que r ~O. se obtiene (3)
F • dP.
f f fV· F dV = f f F • n da, V· F(P0 ) = lim ! JJF • n da. r~o
Yr
Sr
\
354
integrales de linea y superficie
cambio de variables
Esto proporciona una interpretación de la divergencia de un campo vectorial que es independiente de las coordenadas. Por esta razón frecuentemente se usa como la definición de divergencia, a parti[ de la cual puede demostrarse que en cualquier sistema coordenado rectangular, la divergencia está dada por \
V. F
= oL + oM + oN . OX
az
oy
\__
JJ
F • n da nos da la razón neta de flujo del fluido hacia afuera de la
Sr
de F en la dirección positiva alrededor de C,, Ja cual mide la tendencia del fluido a girar alrededor de un eje en la dirección n en el punto P 11 • De este hecho proviene el nombre de rot F dado a V x F. Esta expresión en ocasiones también recibe el nombre de rotación de F. 1. Evaluar aplicando el teorema de Stokes:
C: P = cos 01 (b)
flz
2
dx
C: P = cos Oi
ffF·
+ sen Oj + Sk 2y) dy
fc.F ·dP = f f(V X F)- n da.
+ sen Oj + cos Ok
fsfa• n
da= i
···~
Je
2. Demostrar que. si u es contin•1amente diferenciable en
s.
fsfn·Vu >e Vvda =Jef uVv·dP. 13.7 CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES MULTIPLES
1=J.icu>du
F • dP = V X F(P') • nA,,
Cr
un cambio de variables dada por y
donde P' está en Sr y A, es el área del círculo. De (4) y (5) se obtiene
f.
n •V X F(P0) = lim..!. F • dP. , ... O A, Cr Ahora bien F · dP F · T ds es la componente de F a lo largo de Cr en la dirección positiva a lo largo de C,, multiplicada por el elemento de longitud de arco. Integrada sobre Cr nos proporciona la componente neta
=
fa xP • dP.
En la integral
Sr
(6)
{O <: 8 <: 271'}
1. Demostrar que si S es una superficie simple seccionalmente suave. acotada por C. entonces
Por el teorema del valor medio se obtiene
f.
+ 2xyz dz
n da es
Sr
(5)
{O <: O <: 271'}
EJERCICIOS B
.
una medida de la rapidez a la cual el fluido se expande o diverge cerca del punto Po. Esto, por supuesto, es la razón del nombre de «divergencia» que se le da a V· F = L 1 + M2 + N3. Ahora considérese un plano que pasa por el punto P 0 • Sea Cr un círculo de radio r en este plano con centro en Pu. con el disco acotado por Cr denotado por S,. Entonces, por el teorema de Stokes. (4)
+ z2zdz
+ (xz2 -
esfera. Dividiendo por Vr se obtiene la razón neta de flujo de fluido hacia afuera de Dr por unidad de volumen. Por lo tanto, (1/V,)
-"-
EJERCICIOS A
{a) L2ydx -2zdy
Supóngase que un fluido se mueve en una región D y que en un instante dado Ja partícula de fluido en el punto P tiene un vector velocidad F. El campo vectorial así definido se llama campo de velocidades del fluido en el instante en cuestión. Si a. es un vector unitario, entonces F(P) · a. es la componente de la velocidad en P en la dirección a.. Fijemos una vez más nuestra atención sobre la esfera Dr con centro en un punto Po en D. Puesto que n es la normal exterior. F(P) · n es la razón de flujo del fluido hacia afuera de la esfera en el punto P, y la integral
355
= v(x) conduce a
Ja fómmla
l = f.i[v(x)]v'(.r) dx,
=
donde v(c) =a y v(d) b. Para simplificar la imagen de lo que se trata, supongamos que v(x) es una función creciente, de manera que la ecuación y v(x) proporciona un mapeo uno a uno del intervalo fe <: x <: d} sobre el intervalo fa(; y(; b}. Entonces .v(x + h)- v(x) es la longitud del intervalo sobre el eje y, el cual es la imagen del intervalo de x ax+ h
=
· 356
integrales de línea y superficie
cambio de variables
sobre el eje x. La razón de estos intervalos es [v(x + h)- v(x)]/ h. Conforme h ~ o. este cociente diferencia tiende a v'(x). Por lo tanto, v'(x) se ve como un «factor de amplificación local» por el cual debe multiplicarse el intervalo de longitud dx para transformarlo en su imagen de longitud dy sobre el eje y. Entonces el cambio de variables en I se ve heurísticamente como una sustitución de iguales por iguales: /(y) = /[v(x)] y dy = v'(x) dx. Así, es de esperarse una fórmula semejante en el caso de la integral múltiple. Sea 1=
f ff(P) dAp.
continuamente diferenciable dos veces. Entonces el área de D está dada por
donde 9J es la imagen en fil de D bajo el mapeo inverso. Demostración. Sea B la frontera de D. Entonces, por el teorema de
=
1=
In xdy =ffdAp = Pero si /l11 es la frontera de !JJ. se tiene
donde j/(Q); es el «facror de amplificación local» por el cual debe multiplicarse el elemento de área dAq para hacerlo igual al área dA 11, hacia el cual se lleva mediante el mapeo P F(Q). Ya conocemos (por lo menos heurísticamente, por la Sección 11.5) un factor de ese tipo, a saber el valor absoluto del jacobiano de la transformación F. El rnismu razonumicnto se aplica con igual propiedad en cualquier número de dimensiones, de manera que es de esperarse que
=f
¡"Jg
+ dv, 011 OV donde la integral se toma en el sentido positivo o negativo de acuerdo con que la orientación se conserve o se invierta por el mapeo. Pero B
9
An.
»
f,
f f/[F(Q)]IJlQ)I dAo,
.
a~~
n
Si P F(Q) proporciona un mapeo uno a uno de un dominio 9J sobre D, entonces debe esperarse una fórmula de la forma
357
X
Jy
f Of: Ju
±91
=
= ±ff(i.(¡?.c.)-!(¡~)) dAo ou ov iJv iJu 9
0
¡¡
f
= ±J
f Jf/(P) dVp = JJJ/[F(Q)]IJ(Q)I dV
Uug,,-f,,gu)dAo=
±fJJ(Q)dAo
9
!i
9
El objeto de esta sección es determinar las condiciones bajo Jas cuales son válidas estas fórmu]a~. Sea R una región abierta en e] pJano (x, y) y supóngase que la ecuación P=F(Q). dada en coordenadas por x=f(u, v), Y g(u, v), es un mapeo uno a uno continuamente diferenciable de una región abierta 9l en el plano (u. v) sobre R. Supóngase ahora que F y su inversa mapean regiones a las ·cuales puede aplicárseJes el teorema de Green sobre regiones a Jas cuales puede aplicárseJes el teorema de Green. Supóngase además que e1 jacobiano
=
J(Q) = o(x, y) . o(u,v) nunca es cero en §'l. 13.7a Lema. Sea Duna subregión cerrada acotada de R a Ja cual puede aplicársele el teorema de Green. Y supóngase además que ·g es
Supuesto que el resultado debe ser positivo, el signo ambiguo se escoge 1. como el del propio J. Si sucediera que g no es continuamente diferenciable dos veces, pero f lo es, entonces la demostración puede realizarse partiendo de · An
=
-J
ydx..
8
En la mayor parte de los casos tanto f como g serán altamente ciiferenciables; por ejemplo, las ecuaciones para introducir coordenadas polares son infinitamente diferenciables.
13.7b Teorema. Sean D y 9 relacionadas como en el Lema 13.7a y sea 4> continua en D. Entonces
Jf D
c/>(P) dAp
=
ff fJI
,P[F(Q)]IJ(Q)I dA 0 •
cambio de variables 359
358 Integrales de linea y superficie
Sea S un elemento simple de superficie suave sobre B y!!-' su imagen sobre fJI. Si !!-' está dado por Q = Q(r, t); esto es, u = u(r, t), v = v(r, t) y w = w(r, t) para (r. t) en una región plana M del plano (r, t). entonces S está dado por P F[Q(r. t)]. Ahora considérese .
Demostración. Fórmese una partición curvilínea A de D, de la cual cada subregión Dt es una región a la cual puede aplicársele el teorema de Green. Sea ~k la imagen de Dt en el plano (u, v). Entonces, por el Lema 13. 7a y el teorema del valor medio, A Dar=
f f IJ(Q)I dAo =
~~.-
IJ(Qk)IA9A:,
f fz cos y dap = ±ffz .J B
91;
donde Ot es un punto en~"· Hágase Pt
=
M
= F(Qt) y obsérvese que
la
J12
+ J22 + J32
~
inducida por A. Entonces, por la continuidad
llll'll -+ O
por tanto. tendiendo al límite, por el Teorema 12.4h se obtiene
ff
4'(P) dAp =
D
fJ
[F(Q)]IJ(Q)I dAo
=
=
13.7c Teorema. Sean D y
-~
relacionadas como se dijo en el párrafo
anterior. Entonces, si J(Q) -=!= O, el volumen de D está dado por VD=
ff f dVp =
lJ
=
Jz cos y
ll
+ o(x, y) o(u, v) 0(11, v) o(r, t).
=
±ff[h O(V, o(f,g) J1 + hac¡, g) J w) O(W, u) M
+ ha(f,g);,] dA 2 3 o(u, v)
±ff [h o(f, o(v, !/'
g) cosa.' w)
r,t
+ h o(/. g) cos {J' + h o(/, g) cos ,,·] dao. o(w, u)
o(u, v)
Combinando las integrales sobre todas las secciones suaves da VD=
±ff[h o(f, g) cosa.'+ h o(/, g) cos {J' + h o(/, g) cos r] dao. o(v, w) o(w, u) o(u, v) !/'
dap.
= h ac¡, g), o(w, u)
L'-'~y....;
~t.~1
A. continuación, denotemos J 1 /VJ 12 + J 22 + J 32 =cosa.', y asi sucesivamente, de modo que esta integral se transfonna en
o(v, w)
Por el teorema de la divergencia
=J
y) o(w, u) o(w, u) o(r, t)
donde las letras e?' se refieren a la superficie .9. Sustituyendo esto junto con x f, y= g, z h en nuestra integral, se obtiene
L = h au. K> , M
donde J(Q) es el jacobiano de F.
Yn
+ o(x,
Aplicaremos el teorema de la divergencia a esta integral con
JJJIJ(Q)I dVo, SI
Demostración.
·
r,,
r, t
M
Pero a(x, y) =· o(x, y) o(v, w) o(r, t) o(v, w) o(r, t)
=
=
3
1
9
Los mismos resultados se extienden a tres dimensiones. Supongamos que la transformación está dada por P = FCQ) o en coordenadas, por x /(u, v, w), y g(u, v, w), z h(u, v, w). Como antes, supóngase que F map::a una región abierta .9; en el espacio Q Cu. v, w) sobre una región abierta R del espacio P (x, y. z) en una forma uno a uno. Además supóngase que F es continuamente diferenciable dos veces. Sea D una subregión cerrada de R cuya frontera B es una superficie seccionalmente suave y sea -~ la imagen de D en .'J)l bajo el mapeo inverso. Entonces la frontera .'ji de !L es seccionalmente suave. (El argumento es muy semejante al aplicado en el Teorema 13.3c). Finalmente, supóngase que el teorema de la divergencia se aplica tanto a D como ~-
=
2
(Ver ejercicio BS de la Sección 11.3. Esto también puede verificarse por cálculo directo.) Por tanto,
llflll -+ O;
conforme
1
= ±ffzJ 3 dA r,t = ±ffz o(x, y) dA o( ) r,t M
donde fl' es la partición de uniforme,
.JJ 2 + J 2 + J 2 dA
N = h ac¡, g) . o(u, v)
Encontramos, después de un cálculo en el cual se cancelan algunas segundas derivadas, que iJL + iJM + oN = o(f, g, h) = J(Q). OU OV OW O(u, V, w)
360
ejercicios 361,
integrales de linea y superficie
'
Así que finalmente se obtiene VD=±
f f fJ(Q)dVo.
27rl-.-----. _,.
;"':,.•
9
El signo debe escogerse como se indicó anteriormente. Por lo tanto, la demostración está completa.
1
3w'._a-____
y
2
~{
1"1- 1 - - - - - - 1
X1-t_______ •
2
13.7d Teorema. Sean D y PJ relacionadas como en el teorema anterior y sea t/> continua en D. Entonces
-------t-.._________._______
a
%
r
a
E
JJJc/>(P) dVp = JJJc/>[F(Q)]IJ(Q)I dV
0•
D
9
Demostración. La demostración del Teorema 13.7b puede tomarse casi palabra por palabra.
1
Quizá Jos cambios de variables más comunes son la introducción de coordenadas polares en el plano y de coordenadas esféricas y cilíndricas en el espacio tres. Discutiremos las coordenadas polares en el plano dadas por x r cos 9, y r sen 9 las que presentan dificultades típicas de las tres. Existen dos dificultades principales con las cuales debe tratarse. La primera, y menos importante, proviene del hecho de que la transformación + y2, 8 ang tan y/x no es univaluada. Esto inversa dada por r se maneja fácilmente dividiendo el plano en cuadrantes en los cuales es univaluada. (Una dificultad menor proviene del hecho de que ang tan y/ x no está definida para x O. Sin embargo. entonces puede usarse una fórmula equivalente ang cot x/ y.) La dificultad principal proviene del hecho de que el jacobiano o(x, y)/ o(r, O)= r se hace cero en el origen. Por las observaciones del párrafo anterior, es evidente que sólo necesitamos considerar Ja vecindad del origen. Así, sea f una función continua definida en D: fx 2 + ),1 ~ a 2 }. En-
=
RE: {E< r
ff
=
= vx2
=
=
tonces evidentemente
f(x, y) dx dy
Ahora bien, si Res el rectángulo {O~ r ~a, O' 9 ~ 21T}, es evidente que la función definida por rf(r cos fJ, r sen fJ) es integrable sobre R y
Jfrf(r cos O, rscn
1
O) dr dO -
R
De donde, simbólicamente,
lf f-ffl
ll
D
=1
donde divide partes (r. 6).
nt!
DE
n
f f - f f 1+ 1f f - f f 1< 2MTT.'. D
RE
DE
R
Supuesto que esto se cumple para todo < > O, se tiene
f f f(x, y) dx dy = f f f(r cos 8, rsen O)r dr dO.
f f fdxd11-f f J dxdyl < MTT.., D
f fr.f(r cos O, rsen O) dr d() 1< ME'trE. RE
D
1
f(r cos O, rsen O)r dr dO.
RE
JJf(x, y) dx dy existe. Ahora bien. f es acotada,
digamos por M. de modo que si eliminamos de D una vecindad < del origen se tiene
ff
=
DE
D
R
DE
EJERCICIOS A
DE es el anillo que se mantiene después de la eliminación. Si se este anillo en cuatro partes mediante Jos ejes, cada una de estas se mapea en una forma uno a uno sobre un rectángulo en el plano De donde se ve que el propio anillo se mapea sobre el rectángulo
l. Evaluar
ff( + y2) x2
(ji
Í2 dx dy
D
usar coordenadas polares.
{x2 + y2¡;a < 1).
D: Qi
Hacer x
= ª"•
y= bv y
362
integrales de línea y superficie
2. Transformar la integralf
f
f(x, y) dx dy
D:
y describir el nuevo do~inio de integración: (a) x =u+ 1, y= v - 2 (b) x
{xi+ y 2 < a 2}como
se indica
parte
= au +bu, y= cu+ dv
111
;\.•,
3. Sea f continuamente diferenciable sobre D: {(z - 2)2 +(y - 3)2 formar
ff
< 1}.
Trans-
2
(fz' + /v2) dx dyporx = u/(u2 + v2), y= v/(u + v ). 2
D
4. Encontrar el volumen abajo de
z =x
y arriba de
(b) por coordenadas cilíndricas.
(a) por coordenadas rectangulares;
5. Calcular
ff
exp (:
~ :) dx dy,
donde R es el triángulo acotado por x = O,
R
+ y = 1.
y = O, x
z = x2 + y 2
Hacer la sustitución u = x
6. Sea R el triángulo acotado por x
= O,
x +y= u, y= uv y demostrar que
y
= O,
+ y, v = x - y. x + y = 1. Hacer
JJe-z-vxa-
1yb- 1
dz dy
TEORIA DE LA CONVERGENCIA
la sustitución
puede reducirse
R
al producto de dos integrales sencillas. EJERCICIOS B
1. Sea f continua en D: {r
fff f (
+ y2 + z.2 <: a2}. Demostrar
~·•·
que
x, y, z) dx dy dz.
ffff
D
=
(r cos Osen tf>, r sen Osen t/>, r cos 4')r2 sen dr dfJ dtf>,
R
donde R es el rectángulo {O 2. Encontrar el valor de
x = u{l
+ v)
ff
< r
{(x - y)' +
2Ez +y) + I}-112 dz dy,
sustituyendo
B
.
y y= v(l +u), donde Res el triángulo acotado por x =O, x
=2
Y x=y.
3. Transformarf y= r sen3
B B.
f f(x, y) dz dy
R:
{lzlBIª + IYl118 < a918}
por z = r cos8
8,
14 :~f
Series infinitas 14.1 CONVERGENCIA, ABSOLUTA Y CONDICIONAIJ De aquí en adelante discutiremos las series infinitas y algunos tópicos relacionados con las mismas. Empezaremos con las definiciones. Sea lan} una sucesión de números. Entonces la suma formal
ªo+
ª1 + ª2 + · · · + an + · · · ao
o bien
,l;an
n=O
se llama serie infinita. Los números ªº' ah ...• an. • • • son sus términos n
y los números
sn = ¡
ª1: sus sumas parciales.
k-0
Si lim Sn existe, su valor S se llama suma de la serie. En este caso se dice que la serie converge y se escribe CID
S=
,l; aw
n=O
Si lim Sn no existe, se dice que la serie diverge. Una serie puede empei.ar con el primero, segundo u otros términos, CID
como por ejemplo ao
oo
¡a,., I2 1
I
CID
a11 , ,! an, •... En ocasiones éstas se escribirán
n-1
n-2
an, ..• , y. donde no exista peligro de ambigüedad, simplemente
se escribirá Ian. 00
EJEMPLO
1. Probar que
l;x• o
Solución:
1
= - - para lxl
Puesto que Ja convergencia se define en términos de sumas parciales, examinemos
Sn
= 1 + X + .......... x" = I" re. o
[365)
366
convergencia absoluta y condiciona/ 367
series infinitas
Del álgebra, tenemos que 1 - xn+l
sn =
1-x
oo n"
1
EJEMPi.o 3. Examinar ~ - .
xn+l
~
=----1-x 1-x
Y de nuestro estudio acerca de los límites, sabemos que xn+i -+ O si lzl De aquí que
serie diverge.
Nuestro segundo ejemplo ilustra una técnica útil en ciertas series sencillas.
1
00
EJEMPLO 2. Probar que
~
• n(n
+
n(n
+ 1)
1)
~ k(k ~ J) = ~
La condición
+
(-1 -
n-l
k
1) = ( 1 -
'ªn+l
_1 .
n+l
!=
14.la Teorema. Supóngase que Ian converge. Entonces liman= O. Demostración. Nótese primero que si lim Sn=S. entonces lim Sn-1=S. Ahora bien. ª" = Sn - Sn-tt de modo que
=S -
si n
= m- n.
1
I - . (Comparar con
> N, p > 1.
la Sección 2.6.)
º n!
Solución. Se observa que
Nuestro primer teorema sobre series establece lo que es realmente una prueba de divergencia.
= li~ (Sn - Sn_ 1) = lim Sn - lim Sn-1
+ ªn+2 + ... + ªn+J)I < € 00
S = lim Sn =l.
On
< anterior en ocasiones se escribe
EJf:MPl.O 4. Examinar
A partir de esta expresión es evidente que
lim
=I= O y la serie diverge.
Esta expresión se obtiene haciendo p
~) + G- ~) + ...
!)n + (~n - _1 ) = 1n+l
•
1
por fracciones parciales:
n- ~
n
la n +1 + a n + 2 + · · · + a mi < € si m > n > N. D~nwstraci
n(n + 1) = ; - n+ f s. =
1
Puesto que la convergencia de una serie se define en términos de Ja convergencia de la suc~sión de suma~ parciales, cualquier información ac~rca de la convergencia de las sucesmnes és útil en la discusión de las senes. A este respecto es de particular importancia el criterio de Cauchy ' el cual toma la siguiente forma.
1
Así
1·2·3···n
14.lb ~eorema. ~na condición necesaria y suficiente para que una serie -"" converja es que. para cada < > O, existe un N(<) para el cual
converge y encontrar su suma.
Solución: Descompongamos
n!
De aquí que lim n• ¡n!
1-z
Ja
n" -_ n· n· n· · · n= (n)- (~ - ... (n) - >1
< 1.
1 limS=-- . También es evidente que si lxl~ l,
n!
Solución:
S = O.
1
Esto no dice que si lim ª"=O, entonces Ian converge. Verdaderamente esto no es correcto, como se verá posteriormente. Dice que la convergencia de Ian implica ª" ~ O. De aqui que si ª" no tiende hacia cero. la serie no puede converger. Por lo tanto, en una serie dada l:a,,. podemos examinar lim an. Si lim ª" = O no se obtiene información acerca de la convergencia o de la divergencia; pero si lim ª" =I= O, ya sea porque no existe o porque existe y tiene otro valor, entonces~" diverge.
IJ !
<
1 1 •2 · 3 • ' '
11
1 =-11 •2 •2 • ••2 2n-l •
n+1.1 1 ,.+J) 1 l[ 1 ] I - =I-
Entonces 1 n+J) l 1 n+1 k!
- !. 1 -
(1 /2)1' - 2" 1 - 1/2
1
< 2n 1 -
1
1 1/2 = 2n-l = 2(1/2)"
Ahora s~ sabe (Teorema 2.2a) que (l /2)9 ~ O. De aquí que para cada > O existe un N para el cual
<
2(1/2)"
Por lo tanto
<
n+11 1 1 I k! - <€ n+l 1
€
sin> N.
sin> N, p
y, por el criterio de C'auchy. la serie converge.
> J,
368
pruebas de comparación
ser/es /niin itas
En ocasiones sucede que una serie ~ª" converge mientras que la serie
Ilanl diverge. En este caso se dice que la ~erie Ian con~erge condicionalmente. Cuando la serie Ilanl converge se dice que la ~ene Ian converge absolutamente. Un importante hecho acerca de las senes absolutamente convergentes es que también son convergentes.
14.tc Teorema. Si I(anl converge, Ian también converge. Demostración. La desigualdad básica implicada en la demostración es la siguiente: (1)
lan+l
+ an+2 + · · · + ªn+sil < lan+1I + lan+2I + · ·' + lan+sil·
Hacemos una doble aplicación del criterio de Cauchy, aplica11do tanto la necesidad como la suficiencia. Ahora bien, Ija,,! converge. De manera que para todo ( > O existe un N(<) para el cual
+ lan+2l + · · · + lan+sil
lan+1l
{2)
si n
> N, P > 1,
siendo esto cierto por la parte de necesidad del criterio. Pero ( 1) Y (2) implican (3)
+ ªn+2 + ' ' · + On+:11I < €
lan+l
si n > N, P > l.
Entonces, por la parte de suficiencia del criterio, (3) implica que Ian converge. 00 (-1)" EJEMPLO 5. Examinar }; - - - n(n + 1)
1
00
Solución. Hemos visto en el Ejemplo 2 que }; 1
n(n
converge.
+ 1)
14.2 SERIES CON TERMINOS NO NEGATIVOS: PRUEBAS DE COMPARACION ...
f.
Una de las consecuencias significativas del último teorema es que, para muchos propósitos. es suficiente estudiar series con términos no negativos. En consecuencia, a continuación enfocaremos nuestra atención sobre ·un ~ · conjunto de teoremas acerca de tales series. Conforme el estudiante avance en esta sección debe mantener en mente que todas las pruebas dadas aquí pueden aplicarse para examinar. en relación con la convergencia absoluta. a series con signos variables. 14.2a Teorema. Si 'i.a,, tiene términos no negativos. converge si. y solamente si. la sucesión de sumas parciales es acotada. Demostración. La sucesión de sumas parciales es no decreciente y de aquí que tiene un límite si. y solamente si. es acotada. 00 1 EJEMPLO l. Demostrar que la serie k. 2 -. converge si k > l y diverge lle1I ni: si k ~ 1. Esta serie es útil para las prueba~ de comparación. Solución: J (a) Supóngase qu~ k > l. Demostraremos que }; -· converge. Examink nemos las sumas parciales de orden 2· - 1 :
1
S2"-l
= 1 + (! + .!.) + (...!. + .. · + ..!.) + (.!. + .. · + ..!..) 2rc 3k 41t 7rc gt 15rc + ... + ((2"~ 1f + ... + (2" ~ !}')
t. Sumar las series siguientes: (a)
t
+3 + l)(n + 2)
CIO
2n
CIO
(-1)" (n
2. Examinar
(b)
f
1 n(n +l)(n
+ ... + + 2)
CIO n -1 (e) I - n ,
2
t. Demostrar que si Ian converge absolutamente y {bnl es una sucesión acotada, entonces Ianbn converge absolutamente. 2. Demostrar que si Ian converge a una suma S, entonces para cualquier e, la serie 'Ican converge a cS. 3. Demostrar que si lan es convergente, cualquier serie formada agrupando los .
1
1
1
- 1 - [t/(2t-1)"] 1 - 2rc-1 - e - 1 - (l/2t-1) 1 - (t/2rc-1) - 21:-1 - 1 - onstante.
EJERCICIOS B
s:
((2"~'f + ... + (2'~'f)
1
•
+ (am +1 + 0 m +1 + 1
(..!.Sk + ... + ..!.) 81:
= t + 21:.:i + c2rc-1>t + c21:-1>ª + ... + cr-1t-1
l: (- l)•n!/n• en relación con la convergencia absoluta.
términos arbitrariamente, tal como (a¡ + a2 + · · · + Um 1) + · · · + am ) + ( · · · ) · · · también es convergente.
(!
(!
< 1 + 2k + ..!.) + 4k + . .. + ..!.) + 21t 4k
Oe aquí que, por el Teorema 14.lc, la serie dada también converge. ETEROCIOS A
369
1
Ahora bien. para todo entero m. existe un modo que también
11
para el cual 2· - 1 >
111.
De
2rc-1 S'"
< Sa"-1 < 2.t-1 - 1 .
De aquí que todas las sumas parciales son acotadas y. por lo tanto. Ja serie converge.
370
series infinitas
pruebas de comparación
(b) Supóngase que k ~ l. Ahora se demostrará que
00
l
Idiverge. n1r
Pri-
371
donde la S,. se refiere a !a,. y S,,' a ~bn. El resultado se deduce inmedia· tamente basándose en el teorema anterior.
1
1
mero observemos que n" ~ n. puesto que k ~ l. Entonces: Szn
=1
+ 21c1+ (1 + 1) + (1 + •.. + 1) 3t
4t
5t
EJEMPLO 2. Examinar
·' . ,
gt
+···+(211-11+ t +···+.!..) 211
!2 (!4 + !)4 + (!8 + ... + !181
> 1+ +
+ ... +
1 --:::=== 11(11 - 1>.
v
1
1
n(n - 1)
n·n
1 .j11(n -
de modo que
De aquí que
i ~/
1
2 V 11(11 -
1)
1)
n
'
>1
n•
diverge por comparación con la serie armónica.
El siguiente teorema se llama forma límite de la prueba de comparación.
14.2c Teorema. Si ~ª11 y ~b,, tienen términos positivos y si
O< lim 11-ac
11
De aquí que las sumas parciales son no acotadas y. por lo tanto. la serie diverge.
1 .
- - - > - - = -2
(..!.2 + ... + ..!..) 2n
=1+!+!+!+···+!=1+!!. 2 2 2 2 2 Cuando k
I
2
S 01UC10n:
+ · · · + (c2·-•1+ 1t + · · · + c2~'f)
>l+~+G+i)+G+···+O
«>
Dn
bti
< oo,
entonces ambas series divergen o bien ambas series convergen. que
Demostración. Supuesto que lim u,,/ b,, si
= 1. la serie se transforma en
= A existe. se tiene un N tal 11
>
N.
1
1 1 1 l «>t 1 + - + - + - + · · · + - + · · · = I-. 2 3 4 IJ 1k Esta serie se llama serie armónica, la cual diverge, como se demostró en el ejemplo anterior. A continuación trataremos un grupo de pruebas de comparación. Estas son pruebas en las cuales el conocimiento del comportamiento de una serie (a saber, su convergencia o divergencia) puede aplicarse para estudiar el comportamiento de otra, en el supuesto de que los términos de las dos series se relacionan apropiadamente. La naturaleza precisa de estas relaciones se hace evidente en las proposiciones de los siguientes teoremas. El más común de estos teoremas se llama prueba de comparación.
14.2b Teorema. Supóngase que Ian y Ib,, son dos series con términos no negativos y que existe un N tal que Un ~ bn si n > N. Entonces (i) si '1bn converge, Ia,, converge: (Ü) si '1a11 diverge, I.hn diverge. Demostracidn. La desigualdad básica es aN+l
o bien
+ aN+z + ''' + D.v+p < b.v+l + bN+z + ·'' + b,\"+p SN+p - Sx
< s;\'+p - Ss'·
Entonces a
o bien
!A < b" < !A < 2A,
"
de manera que
bn <
(~)a,,,
si
11
>
N.
De a~~í se con_cluye el resultado buscado basándose en la prueba de comparacaon antenor.
I
1 EJEMPl.O 3. Examinar~ ¿,,. / 1 11 211 Solución: '\· < + l)
/l-
1 11 .j11(211 + J) 11 - .Jn(2n
•
1
-
+ 1) -
.•/2
+
1
l/11-+
2·
De aquí. q~e la serie diverge por comparación con la serie am1ónica en la forma hmtte de la pmeba de comparaci6n.
. ..;,,.
372
series infinitas
ejercicios 373
La siguiente prueba. llamada prueba de la integral, también es una prueba del tipo de comparación. pero en este caso la comparación se realiza entre una integral y una serie. en lugar de entre dos series.
t4.2d Teorema. Sea ~a,, una serie de términos positivos no crecientes. Sea f(x) una función no creciente definida paran> N, para la cual
f (n) = a11
Integrando desde k hasta k
Solución. Escójase /(x)
d:i: f f, ,. -= xk
f flJ/(x) dx JN
> f(x) > f(k + 1) =
< x ~ k + 1. se tiene ak+i·
+ I,
como
f,
(2)
n
N
>
~
conforme n ~ oo.
O
l; l/n"
k
Solución. Hagamos los mismos cálculos que en el caso anterior y oh·
tengamos
f.
n1 -rc 1-k
"dx
N
f
:f(x) dx.
1
-;:=-- - - - .
IX
f,n f(x) dx.
Pero si la serie converge a una suma S, entonces S ;:: Sn-1• de modo que S - S,v- 1
1
Por tanto la integral converge y. en consecuencia. la serie converge. (b) Reexaminemos la serie k n
>
I"
1-kl
1 1 1 = k - 1 - k - 1 nt-t • Ahora bien k - 1 >O; de aquí que
En términos de las sumas parciales. la desigualdad ( 1) afirma que SN-1
x1-t dx=--
n1c-1
J (x) dx > IN ªrc+i = N+l I ª1c·
Sn-1 -
-k
nl-t
1
IN ª" > 1·nN f(x) dx. n-1
X
=----1-k 1-k
---
n-1
(1)
n
1
ambas convergen
ª" > Lk+ 1/(x) dx > ªu1· Entonces se tiene tanto
= 1/ x" y considérese
1
Para k ~ N, en el intervalo k are= f(k)
k >l.
n > N.
Entonces la serie ~a,, y la integral o ambas divergen. Demostración.
4. (a) Reexaminemos la serie k
EJEMPLO
Pero en este caso 1 - k
> O.
n 1- " ~
+ o-J
1-k
de manera que confom1e n ~ oo.
Por lo tanto la integral y, en consecuencia la serie. divergen.
Puesto que el segundo miembro es una sucesión acotada creciente. la integral converge. Si la integral converge entonces la desigualdad (2) implica que
La serie armónica, correspondiente al caso k radamente. Los detalles se dejan como ejercicio.
= 1. debe tratarse sepa·
EJERCICIOS A
1. Aplicar la prueba de la integral para demostrar que la serie armónica diverge.
f,
tt)
N
o bien
f(x) dx
>
rf(x) dx
>
2. Examinar Ia11 respecto a la convergencia absoluta si an es
sn+l - SN,
.V
S,.+ 1 < A
(a)
+ S,v.
De aquí que las sumas parciales son acotadas
y la serie converge.
1
Nuestro símbolo indica que se ha completado la demostración. Pero no hemos discutido el caso en donde la serie y la integral son divergentes. ¿Por qué no es necesario considerarlo'? (Ver Ejercicio 83.)
(d)
(-l)n ñi' +1tñ
n cos (nrr/2)
vn'+n3-2 senn (g) n2 + 1
(b) (-1)"
[V-] n + ! - Vn
(e) ( -l)n Iog n n 3n + 2n (h) 4n + S
(e)
( - l)"n<-1>" n
(/) 3" n
.
n
(1) n2+2n+1
pruebas de la razón y de la raíz. restos 375
374 series infinitas (j) n log n
1
(m)
1·2
1·2·3
3 - f:1 + 3 · S • 7
J. ¿Para qué valores de
1·2·3·4 - 3 · S •1 •9
(/)
Extender la forma límite de la prueba de la razón a los siguientes casos: Si existen tres constantes positivas a, A y N tales que a ( a"/ bn ( A cuando n > N, entonces Ian y Ibn ambas divergen o ambas convergen. (b) Si a lb ~O y Ib converge. entonces Ia11 también converge. (,·) Si a;1b: ~ oo y diverge, entonces >:a11 también diverge. (a)
log n
¡b"
+ - ... ·
x: 1- (x: 1f
xconverge
s.
(-l)n
(-l)n (k) n (log n)2
(-l)n
+ (x
6. Supóngase que se tiene una provisión inagotable efe tarjetas rectangulares uni· formes. Demostrar que, dada cualquier distancia d, puede amontonarse un nú·
: 1f - +
mero finito de estas tarjetas sobre una mesa de manera que la arista exterior de la tarjeta más alta se proyecte una distancia d más allá del borde d~ la mesa.
y cuál es su suma? EJERCICIOS B l. Establecer la prueba del polinomio: si P(n) y Q(n) son polinomios en n y oo Q(n) Q(n) =#= O, n = 1, 2, 3, ••. , entonces }: - - converge si, y solamente si, el Q(n)
i
A continuación consideraremos una prueba que todavía es parcial· mente una prueba de comparación pero que lleva el nombre de prueba de la raíz de Cauchy.
grado de Q excede al de P en 2 o más. 2. ¿Para qué valores de x converge Ie-'"? 3. En la demostración de la prueba de la integral ¿por qué no es necesario con· siderar el caso en el cual la serie o la integral diverge?
4. Examinar I sen {r.(n cia absoluta.
+ 1In}
{11 (en + ~))
y I, sen2
S. ¿Para qué valores de k converge
00
l
2
n (log n)-
I
6. ¿Para qué valores de x converge
respecto a la convergen·
rr=l
x2•- J
N~
entonces Ia,, converge. (ii) Si existe una cantidad infinita de números n para los cuales ?
>
l,
entonces !u,, diverge.
EJERCICIOS C l. Supóngase que un ~ O y la sucesión {a"} es no creciente y :i.,an converge. De· mostrar que na" -+ O. • 1 2. Sabemos que la serie armónica diverge, es decir, H"-+ + oo si H" = I - . 1 k Demostrar que Hn crece análogamente a log n. En particular, demost~ar que O ( H - log n ( 1. Demostrar además que H n - log n es una sucesión no creciente y de aquí que tiene un límite. (El valor de este límite es aproximadamente • S11. Se conoce como constante de Euler-Malitheroni y se denota por "f. No se sabe si 1 es racional o irracional.) 3. Demostrar que si a y b son dos números positivos cualesquiera tales que a ;;;. b, entonces
a
H[nb] -
\fan < r para 11 >
~Yan
x"
H(naJ -
14.Ja Teorema. Sea ~a,, una serie de términos no negativos. (i) Si existe un r < 1 y un N tal que
?
oo
I
14.3 SERIES CON TERMINOS NO NEGATIVOS: PRUEBAS DE LA RAZON Y DE LA RAIZ. RESTOS
log b .
(Ver el Ejercicio 2 anterior.) 4. Supóngase que l'._a 11 y :i.,b" tienen términos pos1uvos y supóngase que bn+ /hn ( ªn+1'ª". Demostrar que "i,h,, converge si ~un converge.
Demostración: (i) Para todo n > N, se tiene \Yan < r o bien ª" ~ r•. Entonces la serie converge. por comparación con la progresión geométrica. (ii) Para una cantidad infinita de números se tiene\!"an > 1. Por tanto. an ~ 1 para una cantidad infinita de números n y. en consecuencia Iim
~*~
1
Otra forma. ligeramente más débil, de la prueba de la raíz se da mediante el siguiente teorema. 14.Jb Teorema. Sea Ian una serie de términos no negativos. Definase p
por
p = Iim sup
~a 11 •
(i) Si p < 1, l:a,, converge. (ii) Si p < 1. ~a,, diverge. (iii) Si p = 1. Ja prueba no es aplicable. (Es decir, algunas series para las cuales p = 1 divergen y otras convergen.)
376 series infinitas
pruebas de la razón y de la raíz. restos
Demostración: (i) De acuerdo con la definición de límite superior (ver Sección 6.3). si p < 1. existe un N tal que
-"1a V n < P+ l <
1 si n > N, 2 y entonces Ia,. converge por la parte (1) del Teorema 14.3a. (ii) Una vez más por la definición. si p > 1 existe una subsucesión a11 1 tal que (an )llnt-+ p. Entonces. si k es lo suficientemente grande (a,.)1 " 11 >~, y ~a,. divJrge por la parte (2) del Teorema 14.3a.
1
B2.
(iii) Ver Ejercicio
Por supuesto que si Jim ~a,. existe, entonces teorema anterior es aplicable.
\Yan
= lim
Y el
A menudo es importante saber qué tan aproximadas a la suma son Jas sumas parciales de una serie convergente. Podemos estimar la diferencia entre estas dos en el caso convergente del Teorema 14.3a.
377
Ahora que se tiene la convergencia por la prueba de la raíz, apliquemos el corolario para obtener (1/2)"+1 1 S-S < =-
1 - 1/2
n
2"
El siguiente teorema se conoce como prueba de la razón.
14.Jd Teorema. Sea >:an una serie de términos positivos para la cual lim a11+il~n = q existe. Entonces: (i) ~Cln converge si q < 1. (ii) ~n diverge si q > l. Si q 1 la prueba falla.
=
Demostración: (i) Definir r N tal que
= ! (l + q)
de modo que q sin
>
N.
< r <"•J.
Ahora existe un
(¿Por qué?)
Entonces
14.Jc Corolario. En el caso ( 1) del Teorema 14.3a se tiene rn+l
O< S - S,. <--para todon > N. l - r
Demostración: •'l':J
s - s,.
I
=
n+l
ª1c <
= r"+l
EJEMPLO l. Probar que
I ,1c
=
t1+l
+ ,n+2 + ...
= r" + 1[ l
=
De aquí que la serie cúnverge, por comparación con la progresión geométñca con r < l. ·· (ii) Definir r ! (1 + q) de modo que q > r > l. Ahora existe un N tal que
,.,:,
+r+
,n+l/(l -
,f [n/(n + 1)] "
1
r
2
+ ···]
r).
•
converge y estimar el error al usar
1
S,, como una aproximación para S.
sin> N. Entonces
fanl
es una sucesión creciente para n>N. Por lo tanto lim
~*~
1
Una vez más podemos ~stimar el resto -esto es, la difer,encia S - Sn.
Solución. Apliquemos el Teorema 14.3a y el Corolario 14.3b -'(
;:¡ Pero
De aquí que o bien
.11 :
'11
1)
=
14.Je Corolario. En el caso (1) del Teorema 14.3d,
)n
(-
n :
1
1
= (1
(1 + ~r > 2. _/ (
n'
O< S- S,, Demc1stración:
a
,,n-N
<-·-'-1- r
sin> N.
l
n:.) <2 (-n (<(!f. .n + 1 .2 ;;¡
+ 1/nr
s - s,, = 2 ak = ªn+l + ªn+2 + ... n+l < aNrn-N + a.vr11-.\"+1 + ... = a,vr"-•''(L + r + · · ·) = a.vr"-N/(l - r) .
1
· 378
series infinitas
2. Probar que mar el resto.
EJEMPLO
ejercicios
t--r oo
(-l)"n
Solución. Estudiemos la serie Por la prueba de la razón
.
..
es absolutamente convergente y esti-
l)"n 1 ao Ico1 1(--r = I1
ª n + 1 = n + 1 = l (1 + l)
n l" ·
< 0.6
1
ª"
si n > 5.
2n 2 n Por lo tanto, la serie es absolutamente convergente. Sea S su suma. Entonces 1
IS - Snl =
1
I (-2kI )kk
ao
<
Por lo tanto. las sumas impares forman una sucesión no decreciente. Además son acotadas: S2n-1 = bo - (b1 - b2) - ••· - (b2n-3 - b2n-2) - b2n-1 < bo.(¿Por qué?) De aquí que Iim S 2n-t S existe.
=
S 2 n = S2n-I + b2 ," Ahora bien de manera que Iim S211 = Iim S 2n-t + lim b2 n =S. Puesto que tanto las sumas parciales pares como las impares convergen al mismo límite, la serie debe converger hacia S como su suma. Para obtener la estimación. nótese que IS -
1
n+l
k
I n+l 2
k
IS -
= 25 0.4 = 25 co.6r-s. 64
14A SERIES CON SIGNOS VARIABLES Todo lo precedente sirve para establecer la c_onvergencia abso!u.ta de las series con signos variables. Pero para las senes que son cond1C1onalmente convergentes -y existen muchas de ellas- estas pru~bas no revelarán su convergencia. De hecho, las únicas pruebas apropiadas que se tienen hasta el momento para tales series son la propia definición y el criterio de Cauchy, las cuales con frecuencia son difícil~ de aplicar dirc:c· tamente. A continuación daremos el teorema más sencillo para traba1ar con tales series. Se llama prueba de las series alternantes.
14Aa Teorema. Sea {bnl una sucesión de términos positivos decreciente monotónicamente hacia cero. Entonces I ( - l)"b" converge y IS - Snl
<
bn+l•
y
= (bo -
b1)
S2n+l =
+ (b2 - b3) + · · · + (b2n-2 - b2n-1) S2n-l + (b2n - b2n+1) > S2n-1•
Snl = bn+l -
<
1
bn+2
+ bn+3 - + •· · bn+a) -
)
(
...
1
bn+t•
l-l+!-1+!-l+-···, la cual evidentemente satisface las condiciones y, en consecuencia, converge. Su suma es Jog 2 pero esto no puede probarse sino hasta más tarde. En general. la serie k alternante es convergente si k > O. Para otras dos pruebas. a saber Ja de Dirichlet y la de Abel, véase el siguiente capítulo. donde se discuten estas pruebas en relación con la convergencia uniforme de series de funciones. El caso especial de funciones constantes conduce a una prueba para la convergencia de las series de constantes. EJERCICIOS A
1. Examinar l:an para la convergencia y Ja convergencia absoluta, donde
(a) (-l)" 2n
(b) (-l)n
logn ( -1)" log n (e) n
( -1 )"
(d) n•"!Ntn
(e) (-l)"(Vn
ª"
es
+ 1 - v;)
(-I)n n
(/) nz - Sn
+1
(-l)n (g)-===
_Vn
+ 1/n
(j) log (1
S2n-1
bn+3 • • '
Un ejemplo importante es la serie armónica alternante
Demostración. Examinemos las sumas parciales impares. Evidentemente
+
= bn+l - (bn+2 -
0.4
s co.6r-s
Snl = lbn+l - bn+2
= (bn+t - bn+2) + (bn+3 - b1i+4) + •• • la cual es positiva puesto que cada paréntesis es positivo. Por lo tanto
lasl(0.6)'1- 5
<
379
+ ~)
(/)
xn -yn
2. En 1 (b), (e:), (e) y (g), ¿cuántos términos deben tomarse para estar seguros de que el resto es menor que JO-lll?
380
pruebas más delicadas
series infinitas
14.S PRUEBAS MAS DELICADAS
J. Determinar para qué valores de x convergen las siguientes series: (a)
f
(d)
¡
nxn
(b)
t
nn:r;n
(e)
! -
t
1
co
~
11)
(e)
nkxn
:r;" -
1
co xn
co 1
1
.(in - 1)
(f) (n
(b)
3n
3 · 5 • · -(2n
+ l)n2
a
y
un N para el cual
en=~· bn - b,,+ 1 > ex. para todo n ~ N, an+l
+ 1)
entonces ~"" converge. (ii) Si e,, ~ O para todo n ~ N, entonces ~u,, diverge si !.1 / bn diverge. Una forma alternativa de la conclusión es (i) ~a,, es convergente si lim inf e,, > O. (ii) ~a,, es divergente si lim sup e,,< O y ~ 1/ b,, es divergente.
(t1), (d)
y (e) después de IOO términos.
EJERCICIOS B
1. Demostrar que si 'i.ak converge y ak ;;> O, entonces Iak 2 converge. Dar un ejem· plo mostrando que la condición ak ~ O no puede omitirse. 2. Dar ejemplos para probar la parte (3) del Teorema l4.3b. J. (a) Demostrar que si a11 >O y si existe un N tal que a11 + 1 /a11 > l para todo n > N. entonces ~011 diverge. (b) Si existe un N y un q, O< q < 1 tal que a11 + 1 /a 11 ( q para todo n > N, entonces Ian converge. .
n-1
14.Sa Teorema. Sea "'i.a,, una serie de términos positivos. (i) Si existe una sucesión positiva lh,,I. una constante positiva
(n + l)" (g) (3n)"
6. Estimar los restos en 5
de Kummer.
(c)4 --.-7-.-.-.-(J_n_+_l)
(d} 11!
n"'
pru~ba
3 · 5 · • · (2n + 1) 2 · 4 · .. 2n
n' n! (e) 3n
En esta sección se reúnen algunas pruebas de convergencia proyectadas principalmente para estudiar series pard las cuales falla la prueba de la razón -es decir. series para las cuales Jim a,,+ifan = 1. Empecemos con
la
n
4. En 3 (a), (h} y (e) dar una fórmula para el resto después del N-ésimo término. S. Examinar Ia 11 para la convergencia o divergencia donde a,, es (a) 3 · 5 ..
381
.
ªn+l
.
Demostración: (i) Supuesto que a,,+I
>
O, si
de modo que
b.\'a.\' - b.v+ia.,·+ 1
>
11
> N,
o:a.v+i
h.v+1a.,·+1 - b_,·+2ª.v+2
>
ota.,·+2
.
(e) Dar e1emplos para mostrar que hm --= 1 no permite afirmar algo acerca 11--+~ ª11
de la convergencia o divergencia de la serie, es decir, bajo esta condición "'i.a,, puede converger o divergir.
1. Supóngase que Ia 11 es una se~ie de términos positivos. Demostrar que lim inf -
~ª"
b,v+p0.\·+11
> «O.v+11·
Sumando se obtiene
EJERCICIOS C ªn+l - < lim inf ~an < lim sup ª"
b,v+,,-1D.v+11-l -
ªn+t < lim sup--.
Es decir,
Dn
2. Probar que si Ia112 y Ih112 convergen, ~ntonces I,a 11b11 y I(a11 +b11) 2 , también convergen. 3. Probar que si 'i_a.,2 y 'i.b112 convergen, entonces II:anbnl < i(I:at2 + :Ebl•). 4. Probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para las series infinitas: Si I_a112 y I.b 112 convergen, entonces (¡a11 b11) 2 ( (Ia,,2 )(!bn2) y Ja igualdad se cumple si, y solamente si, o,,=kb11 • S. Probar la desigualdad del "triángulo" para las series infinitas: si Ia 2 y :i,b 2 convergen, entonces V.I:(an + hn)2 < V.I:an2 + v'.I:bn2, y la igualdad se cu~ ple si, y solamente si, a11 =kb11 , donde k ~O.
o bien Por lo tanto. las sumas parciales son acotadas y de aquí que la serie converge. (ii) Si la condición de la parce (ii) del teorema se satisface entonces
brian - bn+ 10 11 + 1
paran> N.
382
series infinitas
rearreglos
Así que {anbn} es una sucesión no decreciente. De aquí que bnan
>
bn-1ªn-1
> ··•>
Esto se encuentra en la forma en donde se aplica el teorema de Gauss con
bNaN 5 k
o bien On > k/bn, y Ian diverge. por comparación con Il / b,,.
383
1
Con base en el teorema anterior se deduce inmediatamente la pruetia de Raabe.
r = l /2, An = - 2(2n ,.. ;.;'I
Puesto que
r<
1y
IAnl
n
+
l) .
~ l /4, la serie diverge por la prueba de Gauss.
14.Sb Teorema. Sea Ia,, una serie con términos positivos y supóngase que
Jfm n ... co
n(~ - 1) = r Dn+l
14.6 REARREGLOS En aritmética e! estudiante se familiarizó con la propiedad conmutativa de la adición. la cual establece que una suma es independiente del orden de los términos en la suma. Por ejemplo,
existe. Entonces (i) ~,, converge si r > 1. (ii) l:an diverge si r < 1. Y, por supuesto. la prueba no es concluyente si r = l.
Demostración.
1
cicio.
También. como una consecuencia de la prueba de Kummer. puede obtenerse la prueba de Gauss.
14.Sc Teorema. Si Ia,, es una serie con términos positivos y si existe una sucesión acotada fAn} tal que para n > N,
~ ªn+l
= 1 +!.+A", n n2
! + !.:] + !...:l..:J + ... + 1 · 3 · 5 · • · (2n 2·4
2·4·6
1)
+ ....
2 · 4 · 6 • · • (2n)
= 2n + 1 = 1 + 1/2n -+ 1. 2n + 2 1 + 1/n
La prueba de la razón falla. entonces apliquemos la prueba de Gauss:
-ª"- =2n-+-2 ªn+l
2n
+1
=1+..!.2n
1
2n(2n
=1+!.!_.!_. 2 2 n
n
+ 1) n
2(2n
+ 1)
=1- ! - i +}- l - l + l -
i
1
o-
1
i :!
+ ·~ - - + - - + ... '
donde se toman dos términos negativos en orden y a continuación uno positivo.
Solución. Apliquemos la prueba de la razón:
an + 1 a11
S=l-l+!-l+l-l+···
(J
Examinar la serie 2
Sin embargo. en las series infinitas la suma se define en una nueva forma. a saber como un límite. Se desea inquirir si. bajo esta definición extendida. se conserva la independencia del orden de los términos. Por ejemplo. rearreglemos los términos de la serie armónica alternante
para obtener la nueva serie
entonces (i) ~a,, converge si r > 1. (ii) ~a,, diverge si r ~ l. También esta demostración se deja como ejercicio. EJEMPLO.
a+h+c+d=c+h+d+a=d+a+c+h= ...
La demostración de este teorema se deja como ejer-
Inmediatamente surgen dos preguntas; (1) ¿Converge la nueva serie'! (2) Si así es, ¿se tiene a S'!
=
Denotemos las sumas parciales de S por S,,, las de a por u11 y examinemos las sumas parciales de a de orden 3n:
384
series infinitas
rearreglos
Ahora bien. en la primera suma de nuestra última expresión, agrupemos los términos pares con signos negativos y sumémoslos otra vez:
1(
ªª" = .
2n (-1);+1
2 i~l
1 2n (-1)1+1
=2t
1)
n
+ t 2k
j
1
n
1
J
1
n
-
¡tk
1
n.
1
+¡:t¡..!. 4tk
j
= !S2n Entonces. conforme n -'> oo •
S. -'> 1S.
S2n-'>
de manera que
Uan
Pero cualquier suma parcial de a difiere de una de tercer orden en dos términos cuando más. los cuales tienden hacia cero conforme n -'> oo. De aquí que ,,,, -'> 1S. Es decir. ·IS= 1 - ~· - l + ·~ - ·~ - l· + 1- - + - · · · · De donde es evidente que la suma puede depender del orden de los términos. A continuacibn probaremos dos teoremas que se refieren a este fenómeno. Primero estableceremos una notación conveniente: Si Iak es una serie con signos variables. designaremos el primer positivo a por p .. el siguiente por P·.h ..• ; el primer negativo por -- n 1 , el siguiente por -- n~ • ... Entonces cualquier suma parcial puede escribirse 71
r
'''
L ak = l ]
/'1c --
1
L nk
m
+
r = n.
]
Nuestro primer teorema es el siguiente.
14.6a Teorema. Si
~ak
es condkifm.!lmente convergente. entonces tanto
como "2nk son dive!·6~n!e!-. Demostración. Supóngase que una de ellas fuera convergente. Para :i.pk
fijar ideas podemos decir que ipk es convergente y escribir r
I
m
na:
=I
I
ªt·
Puesto que ambas sumas de Ja derecha tienen límites. también lo tendrá la de la izquierda. De aquí que tanto Ink como If'k convergen. n
I1
m
la11:I =
I1
r
Pt
Ahora estamos en posición de observar un fenómeno muy extraño de las series condicionalmente convergentes. 14.61> Teorema. Sea !ak una serie condicionalmente convergente y A cualquier número real. Entonces existe un rearreglo de !a~ el cual converge a A.
Demostración. En lugar de dar una demostración rigurosa, esbozaremos el procedimiento y trataremos de hacer que el resultado sea razonable. Primero notemos que las series asociadas Ipk y In.~ am"as divergen a + oo. dado que todos los términos en cada serie son positivos. El pro· cedimiento es como sigue, suponiendo, para concretar. que A >O: (i) Fórmense las sumas parciales sucesivas de ":ipk hasta obtener la primera que sea mayor que A. Esto puede hacerse supuesto que m
+ oo. (ii) Empiécese a restar las sumas parciales de ":ink hasta obtener la primera que lleve la suma abajo de A. (iii) Súmense más términos de Ipk para llevar la suma precisamente arriba de A otra vez.
'I.Pt-'>
Para que el estudiante se convenza a sí mismo que este procedimiento produce una serie convergente. obsérvese que ak-'> O. supuesto que !ak converge. De aquí que Pk-'> O y nk-'> O. Ahora bien, en cada punto de inversión en el procedimiento anterior, la suma difiere de A en menos que un Pt o un nk. Conforme se continúa el procedimiento. estas diferencias tienden hacia cero. Todas las sumas parciales intermedias son más apro· ximadas que las de los puntos de inversión. De aquí que las sumas parciales en esta construcción tienden hacia A. 1
14.6c Teorema. Si Ia" es absolutamente convergente. !pk y !nk convergen. Dem~stración. Supóngase que una diverge. digamos
tonces
n
Pt -
+ I1
r
•
Una vez más ambas sumas de la: derecha tienen limites. De aquí que Ilak! converge. Pero esto contradice nuestra hipótesis de que 'i.ak es condicionalmente 1 convergente. De aquí que tanto :Í.f'k como ~nk deben divergir.
m
IP1:-+ + oo. En-
m
ft
I.n1: = -Iai: + "I.Pt, n Entonces, puesto que I.a11: converge conforme n -'>
n,c-
385
r
tl
lo cual contradice la suposición de que
I !akl converge.
1
Sin embargo. no todc es caos en el rearreglo de series, porque las absolutamente convergentes nos salvan.
386
series infinitas
ejercicios
14.6d Teorema. Si Iak es absolutamente convergente, entonces cualquier rearreglo también es absolutamente convergente y además todos los rearreglos de esta serie tienen la misma suma. Demostración. Primero probaremos el teorema anterior para términos n
=
=
n
positivos. Sea Ib1c el rearreglo. Sean S = Ia1c, Sn Ia1c y ª" Ib1c. Ahora bien, para cualquier ""' todas las bes que forman la suma p:ircial se encuentran como áes. De aquí que se encuentran, junto con algunos otros, en S de manera que un ~
S para todo n. De aquí que, como (a"} es una sucesión monótona, ª"-+a donde a~ S. Pero el argumento es simétrico; se aplica también cuando las áes y las bes se intercambian de manera que O'~
s.
=
De aquí que u S, y la demostración se completa para las áes positivas. Supóngase ahora que ~a ... tiene signos variables. Entonces
=
EJERCICIOS A
-+ b b(b
2. Discutir la convergencia de Ja serie
1+0%+
a(a - 1)
2!
zt+···+
b~nomial
+ 1)
a(a - l)(a - 2) ···(a - n
n!
para toda x y toda a.
3. Demostrar que
{(l
+ i}9
-
+ i)1} + {(1 + 1)2
(1
(J
-
+ {( 1 + ~)'- ( 1 + 2n ~
+ i)1} + .. •
Sl + .. ·
converge pero que la serie formada eliminando los corchetes es divergente. 4. Dar argumentos semejantes a los usados en Ja demostración del Teorema 14.6b para demostrar que los términos de una serie condicionalmente convergente pue· den rearreglarse de modo que las sumas parciales (a) tiendan a + oc; (b) tiendan a - oc; (e) oscilen acotada mente; (d) oscilen no acotadamente.
1. Sea
" (-l)k+l
S,.= "
Demostrar que San
=I
l
I-k-.
i-1
--k , y de aquí deducir que t ... 1 n +
co
I1
(-1).t+l
-k--
+ 1) a(a + 1) ···(a + n + 1) +···+ b(b + 1) · · · (h + n -
1)
1)
+···
4. Sea
2. Examinar las siguientes series para la convergencia:
I 1·32 . ·4S. •6•...• (2n - 1) I 1 · 3 · · · l) . 4n + 3 (2n)
1
(e)
(b)
I
l· 3 · · · (2n + 1). _1_ 1 2 . 4 ; .. (2n) 2n +
co
(-1)"+1
1
k
a=l +i-i+l+~-i+
s
Demostrar que a
(2n -
2·4···2n
1
•
3. Exammar
f
e.o (
2n+2
))k
1 • 3 ... (2n - 1 . ... 2n 2 4
para diferentes valores de k.
4. En el caso ambiguo del Ejercicio 3 anterior, aplicar la prueba de Kummer con bn=n log n.
t
t
1
e.o
a)
S. SeaS ==
1/kt. Demostrar que
(ik
+ 02
= log 2.
3. Demostrar que cualquier serie convergente de términos positivos puede rearre· glarse de manera que los términos se presenten en orden decrecient~.
S=I--=l-l+l-l+t-+··· (a)
zt+ ...
2. Rearreglar la serie armónica alternante para que converja hacia cero.
l. Para qué valores de a y b convergerá a(a
EJERCICIOS B 1. (a) Probar el teorema de Raabe, aplicando Ja prueba de Kummer con bn = n. (b) Demostrar la prueba de Gauss.
EJERCICIOS C
Iak Ip1c - In1c. Cualquier rearreglo de las áes conduce a un rearreglo de las p y las enes. Pero por la primera parte, estas sumas son independientes del orden. D~ aquí que la suma no cambia por el rearreglo.
a
387
3
=
4S
f
e.o
y
2
(-J)k/k == -
1
2 S.
3
= 2 S.
+-+ +-· ...
'· 15 Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme
15.1 INTRODUCCION
En el capítulo sobre funciones elementales, comentamos acerca de la escasez de funciones que pueden escribirse. Existen polinomios. funciones racionales, funciones algebraicas y funciones trascendentes elementales. Podemos formar composiciones de estas funciones y colocarlas juntas sobre intervalos colindantes. · Pero muchos otros tipos de funciones son importantes en el análisis. Para usarlas es necesario poder representarlas; es decir. necesitamos una representación para toda función que se desea aplicar y es necesario que esta representación sea adecuada para las operaciones del análisis. Una representación de ese tipo es por medio de una integral, tal y como se ha visto, especialmente en el caso de las funciones circulares y sus inversas. Otra representación posible, y es la que se desea estudiar aquí. es como una serie convergente de funciones, o lo que es lo mismo, como el Ji. mite de una sucesión de funciones. En generaL los términos de la serie, o los de aproximación de la sucesión. se espera que sean funciones simples cuyas propiedades se supone que se conocen en parte. A partir de estas propiedades de los términos de la serie. esperamos deducir las propiedades de la función límite. Los dos tipos de series que acapararán nuestra máxima atención serán las series de potencias de x o bien de x - e, donde e es alguna constante apropiada: · Ian(X-c)•,
[389)
390
sucesiones y series de funciones
convergencia uniforme
y las series de Fou rier cuyos términos. senos y cosenos, son múltiplos de x: a,/2
+ ¿(a"
cos nx
+ b,,
sen nx).
Salta a Ja vista que tales series son útiles, no sólo para escr!bir funciones que de otra manera no serían fácilmente represent~bles, smo ~am bién como medios para investigar las propiedades de funciones conocidas. En el presente capítulo no nos referiremos a series especiale~ como éstas. sino que obtendremos algunos resultados generales pertenecientes a las series cuyos términos pueden ser cualesquiera funciones ra~ona~l.es. donde la razonabilidad se clarificará conforme avance nuestra d1scu s1on. 15.2
CONVERGENCIA UNIFORME
..
Examinemos simpl::mente la sucesión de sumas parciales S"
S,,(x) para que aproxime a S(x) dentro de una tolerancia prescrita e, puede ser necesario tomar n mayo r en un punto que en el otro. Por supuesto que con sólo dos puntos X1 y X2 siempre puede tomarse n mayor que N(c, x 1) y N{c, X2) y así hacer que S"(x) aproxime a S(x) dentro de e en ambos puntos. Pero si tratamos de lograr tal aproximación uniforme en todos los puntos de un intervalo se tienen mayores dificultades. Cuando esto es posible se dice que la sucesión converge uniformemente a S; o bien, si S,, es la suma parcial de una serie, se dice que la serie converge uniformemente. La presentación precisa de estos hechos es la siguiente. Sea ¡s,,¡ una sucesión de funciones en un intervalo /. Se dice que ¡s,,¡ converge unifom1emente a S si para cada , > O existe un N(c, /), don de N es independiente del particular x en /, tal que ISn(X)-S(x)I< e
Resultará evidente que una importante herramienta en el estudi o de las se ries y sucesiones de funciones es el concepto de convergencia uní· forme. Para cada e ntero n . sea u" una función definida en algún interva lo fijo J del eje x . El intervalo / puede ser abierto. cerrado, semiabierto. s.e~i infinito, infinito o como se desee. (De hecho, podemos tomar los domm1os de nuestras funciones como conjuntos generales. pero para nuestros propósitos es suficiente con restringirnos a los inte rvalos.) En cada punto x 1 en l. los números u,,(x 1) forman una sucesión lu ,,(x1H y podemos inquirir acerca de la conve rgencia de esta sucesión. Si para cada x en / la sucesión lu"(x)I converge. por supuesto que el límite generalmente dependerá de l punto x. De aquí que el límite define una funció n que se denota rá por u. Estas observacion~s se aplican con igual propiedad a una serie :i.u" .
= L1 uk.
Si
existe la suma S dependerá de x definiendo, en consecuencia, una función. En general. denotaremos el valor de esta suma en el punto x por S(x). Puesto que toda serie ::i.uk genera una sucesión S" de sumas parciales y toda sucesión S" genera una serie de la cual es la suma parcial, a saber
=
U1 S1. Un= Sn-Sn- 1 n ~ 2•. generalmente restringiremos nuestras observaciones a las sucesiones. En el caso de series se entenderá que ISnl es la sucesión de sumas parciales. Para que la sucesión ¡S"I converja a una funció n límite S en un intervalo f debe tenerse en cada x en I y para cada e > O un N(c, x) para el cual sin> N, ISn(X)- S(x)I< e
porque ésta es la definición de convergencia. Ahora bien, en dos x di stintos, digamos x 1 y x, en /, en realidad estamos tratando con dos suceciones distintas de números IS"(x1)j y IS.{x.)l. de mod o que ciertamente es de esperar que el índice N dependa de x. Por lo tanto. para obtener
391
si n
>N
para todo x en /.
El significado geométrico de este hecho es muy sencillo. Si se traza Ja gráfica de y S(x) y se centra una banda de ancho vertical 2 < sobre esta curva entonces, para la convergencia uniforme, debe existir un N tal que para n > N la gráfica de y = S,,(x) se encuentra en todas partes dentro de esta banda. Evidentemente, la cantidad determinante es la diferencia máxima entre S"(x) y S(x). Si ésta es < <, entonces la curva se encuentra en la banda 2 <. Esto conduce inmediatamente a las siguientes consideraciones.
=
convergencia uniforme
392 sucesiones y serles de funciones Definamos la sucesión de constantes Mn por
M"
= sup ISn(x) 1
S(x)j.
15.2a Teorema. Una condición necesaria y suficiente para que {Sn} converja uniformemente a S en l es que la sucesión Mn converja a cero. Demostración. Suficiencia. Supóngase que Mn ~O. Esto significa que para cada < > O existe un N(<) para el cual O ~ Mn < < si n > N. Pero supuesto que ISn(x)- S(x)I ~ Mn para toda x en /, se tiene O ~IS"(x)-S(x)I~ < si n > N. Necesidad. Supóngase que S" ~ S uniformemente. Entonces para cada < > O existe un N(<), independiente de x, para el cual jSn(X) -S(x)I< < si n > N. Este < es una cota superior para los números ISn(x) - S(x)j. De aquí que la menor cota superior, a saber Mn. también es ~ <. fato es, O ~ M 11 ~ < si n > N.
EJEMPl.O
1
Mn ~ O.
Por tanto, 1. Sea S11(x)
sen nx
= -_--= ,vn
1S.2b Teorema. Sea {Snl una sucesión de funciones definida en un intervalo /. Para que la sucesión converja uniformemente en l. es necesario y suficiente que para cada < > O exista un N(<) (independiente de x en /) para el cual sin> N. m
A continuación veremos una prueba para la convergencia uniforme de las series, conocida como prueba M de Weierstrau.
15.2c Teorema. Supóngase que funl es una sucesión de funciones definida en un intervalo I y existe una sucesión de constantes positivas Mn con lu,,(x)I ~ M,, para toda x en I y toda 11. Si la serie IMn converge. entonces la serie ~u 11 converge uniformemente en /.
N(c) para el cual
I
M1: <
~Mn
converge, para todo<> O existe un n
t:
sin> N. Entonces si Sra(x) =
n+1
Sn(x)I
Por lo tanto. M"
~
= IS.(x) -01. ~ Mn =
1 ¡- .
vn
2. Sea Sn(X)
nx2
=---
/:
1 + nx Solución. Para cada x fijo. Sn(x) - x,
S"(x) =
x2
X+
J/n
-
zl
"1 = z ~~/n =!;L": 1)
=!(1 --·-) < !. n. nx + 1 n Por lo tanto Mn ~ 1/n, M,, ~O; de aquí que Sra(X) ~ x uniformemente. Ul-.MPl.O 3. S(x) = x" {O < z < 1}. Solución. Para cada z, Sn(x)-+ O, pero
M"
=
sup z" o-:::z
= 1.
tn
m
m
n+l
n+l
n+l
== 1I U1;(x)I < I lu1;(x)I < I M n
1
EJERCICIOS A
+ (1/n)
sen 1/nx ¿{S.,J converge uniformemente en {O< x
2. Demostrar que {x•} converge uniformemente en todo subintervalo cerrado de
{-1
= 1., :l/n -
u"(z), se tie-
Dado el criterio de Cauchy. la serie converge uniformemente en J.
1. Hágase Sn(x) = 1/x <: 1}?
¿Es uniforme la convergencia? IS.(%) -
ISm(z)- s,iea~>I
{O~x~I}.
conforme n-+ co.
x
I
1
ne para toda x en I (¿Por qué?)
O; y de aquí que Sn(x) ~ O uniformemente.
> N.
Demostración. La demostración se deja como un ejercicio (81).
m
Solución:
EJEMPLO
Puesto que Mn no converge hacia cero, la sucesión {Sn} no converge uniformemente. aunque converge en cada punto. Como podría esperarse después de lo que ocurre en tantos casos de convergencia, existe un criterio de Cauchy para la convergencia uniforme.
Demostración. Supuesto que
1: {O~ X~ 1r}.
393
3. Discutir la convergencia. tanto puntual como uniforme de {nxt' -•12) en: (a) {0 X <; 1} (b) {I <; X X J
<
<
4. Determinar si { : (u) { - 1
< X <..
1}
r.r)
converge (i) uniformemente (ii) puntualmente, en: (b) {1
5. Discutir la convergencia de { (a) ( - J (
1
2}
(e:) {x
> O}
ntzt) en:
+nz
x ( 1J
(b)
ltt ( x ( hl, donde a> O.
00
6. Demostrar que };x• converge uniformemente en 1- u "' x 1' al para toda a. 1)
O<
u<
l. pero no en 1- 1 <
x
394
consecuencias
sucesiones y series de funciones oo
7. Demostrar que
395
zn
Ir o n.
converge uniformemente en todo intervalo {-a <;
X
< x < oo}. . 1 . ~zln-1 1 8• Discut1r a convergencia de ¿;,,, ::;;¡------ • ....2 • n.,..l;i;- + 1 rr 9. Sea {a"} una sucesión de constantes tales que I.an· converge abSolutamente. Demostrar que tanto );a,, sen nx como I.an cos nx convergen uniformemente en {- oo
10. Demostrar que si Iun converge uniformemente en un intervalo 1, entonces la sucesión {un} converge uniformemente hacia cero en l. 00
11. Discutir la convergencia de
I
(x log x)" en {O< x
< l}.
15.3 CONSECUENCIAS DE LA CONVERGENCIA UNIFORME Al principio de este capitulo se hizo la observación de que la convergencia uniforme es una herramienta muy útil para investigar las operaciones del análisis sobre funciones límite o sobre sumas de series. Habiendo visto los criterios sencillos básicos para probar la convergencia uniforme, a continuación enfocaremos nuestra atención hacia sus aplicaciones en estos problemas del análisis. Se verá que estamos básicamente interesados en el problema del intercarnbio del orden de las operaciones con limites. Considérese la sucesión de funciones dada por
o
12. Sea un(x) =a,, para toda x en l y todo n, donde {an} es una sucesión de constantes. ¿Qué significa que {u"(x)} converja uniformemente en l? 00
00
13. Discutir la convergencia, puntual y uniforme, para I n1Ge-• y I nxe- en {x >O}. o o
Ahora bien, en x = 1, Sn(I) = 1; de aquí que Sn(I)-+ l. Para toda x en {O ~ x < 1}, S"(x) -+ O. De aquí que las funciones límite S están dadas por
EJERCICIOS B 1. Probar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme.
S(x) =
2. Supóngase que {Snl converge uniformemente en un intervalo acotado 1: {a
lim
f
S,.(x)dx
f
=
S(x)dx.
00
3. Demostrar que }; (-1)ª(1-x)x" converge uniformemente en {O< x
< 1}.
= J.
lim lim Sn(x) = 1 n-+co z-+l
lim lim Sn(x) = O.
y
z-+1 n-+oo
4. ¿Qué tan grande puede ser a si }; (x log x)• converge uniformemente en {O ~
s.
Si {Sn} converge uniformemente en l y la función límite S es acotada en 1, demostrar que {Snl es uniformemente acotada en 1: esto es, existe una constante M para la cual ISn(x)I <; M para todo n y toda x en l.
6. Si {/n} y {gn} convergen uniformemente en !, demostrar que {hn} definida por h" =In• In converge uniformemente en l si tanto {f,.} como {gn} son uniformemente acotadas. 7.
Supóngase que O< 11•• ,(x)
< 11.(x)
y la sucesión {u.} converge a O uniforme-
mente en un intervalo /. Demostrar que te en
J.
Es decir, los dos límites no son intercambiables, como serían si S fuera continua en x 1. Entonces nos gustaría saber qué condiciones sobre S" asegurarán que S será continua, si las funciones de aproximación son continuas. La convergencia uniforme proporciona una condición suficiente para garantizar este resultado.
=
o
(a}?
f (-1 )•u.(x) converge uniformemenu
EJERCICIOS C .
15.3a Teorema. Sea (Sn} una sucesión de funciones en un intervalo /, cada una de las cuales es continua en/. Si fSnl converge uniformemente a una función límite Sen/, entonces Ses continua.
Demostración. Sea Xo cualquier punto en /. Entonces debe demostrarse que, para cada ( > O, existe un 8(() para el cual
=
l. Demostrar que si I,a~ converge para x x0 , entonces converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado en flxl < lx0 1}.
2. Demostrar que
i [1 - cos(~)]
= Oy
z-1
00
X
o {o< x < 1} (1 X= 1.
Es evidente que esta función es discontinua, de modo que lim S(x) S(l)
De aquí que
o
{O< x < 1}.
Sh:) = x"
converge uniformemente en {-a< x
para toda a, pero no en {- oo < x
IS(x) -
S(xn)I < r
si lx -
Xnf < 8. \
Para cualquier n, IS(x) - S(x0)1 = IS(x)- S"(x)
+ Sn(x)- S
(x0 )
11
+ Sn(x0 ) - S(x0)1
396
consecuencias 397
sucesiones y series de funciones Pero
o bien (1) IS(z) - S(x0)1
< IS(z) -
Sn(z)I + fSn(x) - S,,(zo)I
+ fSn{zo) -
L'
S(zo)J.
Por la convergencia uniforme, existe un N(i), independiente de x, para el cual ISn(X) - S(x)J < i/3
(2)
sin >N
IS(x) - S(z0)l
< E/3 + ISn(z) si
Sn(Zo)I
S(Xo)I < <
lx-xol< 8.
si lx-xol< 8.
15.3b Corolario. Si lun} es una sucesión de funciones cada una de las cuales es continua en un intervalo y si l:un converge uniformemen-
lim
es decir, cuando
lim
f =f
S(:r:)d:r:,
Sn(z) dz
Jim Sn(z) dx?
Una vez más, esto es una cuestión de intercambio del orden de dos límites porque la propia integral, como el estudiante recordará, es más bien un tipo complicado de límite. Una vez más, la respuesta es que la convergencia uniforme es suficiente. Antes de establecer y probar el teorema observemos que son necesarias algunas condiciones puesto que no siempre es cierto que los límites y la integración pueden intercambiarse. Considérese la sucesión dada por
s.(z)
= 2n:r:e-nz•
{O < z < 1}.
Estas funciones son todas continuas; la sucesión tiene una función límite
S(x) =O. (Ver el Ejercicio A3 del conjunto anterior de ejercicios.) De aquí que
f
= 1-
e-n,
J.' s.(:r:) d:i: = 1.
S 71(x) dx
Demostración. Sea dado (
> O.
=
Entonces. para n
f
f
S(x) dx.
Entonces existe un N(E) para el cual
ISn(X)-S(x)I< E/(b -
> N.
1 s.(:r:)d:r: -J.'s(:r:) dx
Otra importante operación es la integración. Se desea inquirir, ¿cuándo se tiene
s.(:r:)d:r: =
o
15.Jc Teorema. Sea {Snl una sucesión de funciones integrables en un intervalo /:fa ~ x ~ bl. Si (Snl converge uniformemente a una función límite S la cual también es integrable en /. entonces
te. entonces su suma es una función continua.
f f
1 ]
A partir de lo cual es evide.nte que
1
Aplicando este teorema a las sumas parciales de series, se obtiene el siguiente.
lím
= -e-nz
Continuaremos con el resultado establecido. (Ver Ejercicio ·B2 del conjunto de ejercicios anteriores.)
+ E/3.
Poniendo todo esto junto, se tiene IS{x) -
1
e-·'1 2n:t: dx
lím
Pero Sn{x) es una función continua. De aquí que existe un 8(i) para el cual
(4)
=f.
para toda x en l.
Escójase tal n y manténgase fija. Entonces. de (1) y (2), se tiene (3)
s.(z) dx
a)
sin
>N.
1=1 f [S.(z) -
S(:r:)] dx 1
<Í.blSn(x)- S(x)I dz <Í.b_e_ dz = _ E_(b - a)= E. ab-a
a
b-a
1
Puntualizaremos dos casos especiales importantes.
15.Jd Corolario. Sea fSnl una sucesión de funciones en un intervalo /:fa~ x ~ bl y supóngase que cada una de ellas es continua en/. Si IS,al converge uniformemente a Sen/. entonces
lim
f
s.(:r:) d:i: =
f
S(z) d:t:.
15.3e Corolario. Sea IS,1l una sucesión de funciones en un intervalo /:fa~ x ~ hl y supóngase que cada una de ellas es no decreciente en /. Si JS,,I converge uniformemente a S en /. entonces lim
f
Sn(z) da:= L'~ S(z) dx.
Todas estas proposiciones tienen extensiones inmediatas hacia las series.
398 15.Jf
consecuencias
sucesiones y series de funciones Corolario. Sea {un} una sucesión de funciones integrables (por ejemplo. continuas o no decrecientes) en un intervalo /:{a< x b}. Si Iun(x) converge uniformemente en l hacia una suma integrable, entonces
Es fácil ver que {S,.) converge uniformemente hacia cero en {-1 De modo que S'(x) O para toda x. Pero
=
<
f.abI u"(x) dx = I f.ba un(x) dx. EJEMPLO. Supóngase que lxl < r < l. O
O
<
ang tan y
{lxl < r},
.....2
Io (- l)"J."o x
la última igualdad se justifica por el último corolario. Entonces oo y.n+l ang tan y I(-1)" - {IYI < r}. o 2n + 1
=
Demostración. Por el teorema fundamental del cálculo, se tiene para
< 1. Entonces para cualquier y,
= J."ol+zdx =J." I (-l)"r" dx = oo
15.Jg Teorema. Supóngase que {Sn} es una sucesión de funciones cada una de las cuales es continuamente diferenciable en un intervalo /: ra b}; es decir, Sn'(x) son todas continuas en /. Supóngase además que {Snl converge en un punto x0 en J y que {Sn'l converge uniformemente en /. Entonces {S,,} converge uniformemente en I hacia una función S y S' lim S,.'.
Nótese que la estimación es independiente de x. Y conforme n---+ oo • r2"+ 2 4 O, de manera que 00 1 2 y la convergencia es uniforme para cada r cuando IYI r.
dx
Se ve otra vez que ésta es una cuestión del intercambio de dos operaciones con límites. El teorema que se probará es el siguiente.
l+x2
I (- ltx " = - -2 o 1+ x
=
En particular, en x O. Sn'(O) = 1 para todo n. Así que S,.'(0) .....+ 1 y S'(O) =O. Aquí se ve que la convergencia uniforme no es suficiente para garantizar que
!!._ lim S"(x) = lim .!!_ S"(x).
1 1 <--
1l+x2
- 2nx2].
dx
1 x2~ 1+x2=1 - z2 + z'- z6 + - ... ± z2n :¡: 1 + z2 • Entonces
1
Sn'(x) = e-"z [l
399
2
"
dx,
cualquier x en l
S,(z) = Por tanto
S,(z) - Sm(z) =
=
<
Pero para cualquier IYI < 1 existe un r < 1 para el cual IYI r < 1. a saber el propio IYI. de manera que oo (-1)"y2n+l ang tan y Io (2n+ 1) {IYI < 1}. Pregunta: En la ecuaéión anterior para IYI < 1, se observa que ambos miembros tienen sentido para y ± 1. Esto es, la serie converge para estos valores de y. ¿Puede extenderse esta igualdad para incluir y = -+- 1?. es decir. ¿puede afirmarse que .,, 00 (-1)" .
=
=
4= t2n + 1? Regresaremos a este asunto en la próxima sección. Otra importante operación del análisis es la diferenciación. Veamos la sucesión dada por Sn(x) = xe-n=• {-1 < x < 1}.
IS,(z) - Sm(z)I
f~
f~
S.'(t) dt
+ S,(Zo).
[S.'(t) - S,.'(I)] dt
+ [S,(Zo) -
< f~IS.'(t) - Sm'Ct)I dt + IS,(x0)
-
Sm(zj] Sm("'o)I.
Por el criterio de Cauchy para la convergencia de una sucesión de constantes y el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de una sucesión de funciones. existe un N(<) tal que si m, n > N, . ISn'(t)-Sm'(t)I< < Y ISn(Xo)-Sm(Xo)I< (. Por lo tanto ISn(x) - Sm(x)I < E(x - x0) +E < E(b - a + 1). Por la parte de suficiencia del criterio de Cauchy. fSn} converge uniformemente en /. El argumento anterior supone que x x0 • Para aquellas x menores que Xo. un cambio de signo lleva a cabo la misma estimación. Denotemos la funci
>
s.(x) - s.(Zo) =
t
s;(1) dt.
400
pruebas de Abe/ y Dirichlet 401
sucesiones y series de funciones
co 7. Sea Ina" absolutamente convergente y supóngase que /(x) = }; a., cos n.t y
Después de tomar los límites de ambos miembros, se obtiene
1
S(z) - S(Zo)
= ¡a" sen nx. Demostrar que, para toda x, /'(x) = - ¡nan sen nx y = ¡nan cos nx. 8. Sea /(x) = ¿ ne-.. ¿Dónde es continua /? Calcular
=J.zo(t) dt.
g(x)
~o
6
g'(x)
=
•
Pero a es continua. de modo que por el teorema fundamental del cálculo. S'(z) EJEMPLO.
=
S(z}
~ senm .k --ir
n
i
= o(z}.
1
.
EJERCICIO B
n Demostrar que
Solució:z. Esta serie coraverge uniformemente para toda x por !a prue-
ib
= ib
t. Sea Iu una serie de funciones positivas no decrecientes en /: a l:un(.x) dz
{a (
x ( b}.
l: a un(.x) d.x, en el supuesto de que solamente
Iu,,(b) converge.
ba M: EJERCICIOS C
_1 ~ -M - ft'
~
t. Sea
y ~M" converge puesto que es una serie k con k > l. Además, por la .~ b l . . . d ~ COS llX b nu.sma prue a, a sene d1ferenc1a a 4-a,:¡-- tam ién converge uniforme1 mente para toda x: n
{S"} una sucesión de funciones continuas en {a ( x ( b} la cual converge uniformemente hacia una función límite S en {a ( x (e} para toda e en {a ( x ( b}. Si S y Sn son todas unifonnemente acotadas en {a ( x ( b}, demostrar que
lim
f
Sn(x)
d~ =
f
S(x) dx.
2. Sean e y S0 continuas en 1: {a ( x ( b}. Definir la sucesión S11 por Sn(Z) =
De aquí que la serie diferenciada es la derivada de Ja serie original.
cos nJ:
00
I1 ~, verificar que n ao
1(
x
)n
2. Sea S(x) = ~ ; 1 _ x • ¿Dónde es S'(x) =
ao
3. Sea S(x)
= l; n-z. 1
4. Sea Sn(x)
ao
¿Dónde es S'(x)
nzn
= 1 + nx".
I1
too (1 _ x
x
)n• (1
J. Si S(x) :::::
1
= - l; n-z log n?
4. Sea S(x)
L 1
1im Sn(x) dx. Explicar.
a,¡Xª converge para x
co 1 = Ie-. l
=I
=x
0
#= O, demostrar que
na,,.t•-1
en
{!xi < lx0 1}.
n
6
•
• Demostrar que bm
~o+
S(x)
= + co.
< 2}
f.zS(t) dt.
n:x; n:x; + l .
y
< X < b}.
1
Calcular el límite puntual en el intervalo {O< x
fo sn(x) dz
{a
expf.sf(t) dt. co
1
1
Calcular
ix
a
I
S'(x)
(a) Calcular el límite puntual en {O<; x <; 1}. ¿Es unifonne la convergencia? (b)
co
_ x)?. ?
¿Cómo puede decirse que la convergencia es no uniforme?
:e
n :> 1,
t/>(t) sn-1 (t) dt
(b) Deducir que S(.x) =
scnnx n
~ para toda x.
S. Sea S(x) definida según el Ejercicio l. Calcular una serie para
6. Sea Sn(x)
f
=a.
i;o
S'(x) = -
+
(a) Demostrar que {S"} converge uniformemente en I hacia una función S la cual es una solución del problema S'(x) = e(x) S(.t), S(a)
EJERCICIOS A
l. Sea S(x) =
IX
15.4 PRUEBAS DE ABEL Y DIRICHLET Consideremos ahora el problema de las condiciones suficientes para la convergencia uniforme de una serie. La prueba M. aunque muy útil, requiere que la convergencia sea absoluta asi como uniforme. Aquí se pre· sentarán dos pruebas. más delicadas que la prueba M en el sentido de que n.o requieren la convergencia absoluta. Dependen del siguiente lema que se conoce como identidad de Abel. Es análoga a la integración por partes.
402
pruebas de Abe/ y Dirlchlet 403
sucesiones y series de funciones
15.4a Lema. Sean {un} y {v,,I dos sucesiones y f U,,) una sucesión con la propiedad de que U,1 - U,,_ 1 u,,. Entonces
=
m
m-1
2 U1cV1c = UmVm lc=n+l
UnVn+l -
2
k;n+l
U1c(Vu1 - V1c)•
I
Demostración. Se escribe
I
1n+l
m
m
U1:V1c
n+l
= n+l 2 V1cCU1c -UnVn+l -
Un+1(Vn+2- Vn+1)- Un+2(V,.+3- Vn+2)- •••
1 Ahora apliquemos esta identidad a la demostración de dos teoremas que son modificaciones de las pruebas de Abel y Dirichlet. Estas modificaciones se deben al matemático inglés G. H. Hardy. La primera se llamará prueba de Dirichlet modificada.
si m > n >N. De aquí que por el criterio de Cauchy. IÚn(x)vntx) converge uniformemente.
1
El siguiente teorema es un teorema de Abel modificado. 15Ac Teorema. Sean funl y f v"} dos sucesiones de funciones definidas en un intervalo /.Y supóngase que (i) las sumas parciales de Iun(x) son acotadas; es decir, existe una
1S.4b Teorema. Sean tu,,} y 1v,,f dos sucesiones de funciones definidas en un intervalo /. Y supóngase que
(ii)
2 un(x) o
converge uniformemente en /.
CIO
21 lvn(x) - vn_1(x)I < K (constante) en /. (iii) lvo(x)I ~ K en l. Entonces ¡ un(x)v"(x) converge uniformemente o Demostración. Sea U(x) = 2 un(x), y definase
~onslante M para la cual 1i u,("')I < M en/; 2o lvn(z) - vn_1(x)I converge .uniformemente en /;
(üi) v"(x) ~O uniformemente en /. Entonces Iu,,(x)vn(x) converge uniformemente en l.
CIO
(i)
mil UJ..v1c+l - vJ 1 tcn+l m-1 < IUml • lvml + IUnl IVn+1I + 2 IU1cl lvt+l - V1cl n+l < 2KE + 2KE + KE = SKE
U1c(x)v1c(x) 1. = 1Umvm - UnVn+l -
U1c-1)
= Vn+1{U n+l - Un)+ Vn+2(U n+2 - Un+l) + • • • + Vm(U m - U m-1)
=
Con base en la convergencia uniforme de Iu1c(x) se tiene que Un ~ O uni· formemente en l. Así que dado un (>O, existe un N(f), independiente de x. para el cual IUnCx>I < (sin> N. De acuerdo con la identidad de Abel, se tiene
Demostración. Dado un (
(ii)
> O. existe.
por la hipótesis (iii), un N 1 uni-
forme tal que lvn(x)I
<~
si n > N 1
CIO
en /.
y. por (ii). existe un N'2 uniforme tal que
m-1
Q)
2
o
C10
fl
u n(x) = 2 U1c(x) -
U(x) = -
O
2
U1c(x).
1c~n+l
Obsérvese también que n
vn(z)
de modo que
= 21 [vJz) -
V1c_ 1(x)]
lv1c(x) -
I
V1:- 1(z)I
1
< 2K.
V1c(z)I
>N
n
tidad de Abel y con Un=
I 1
sin> N 2 •
= máx [N.. Nz]. Entonces. por la iden·
,l; u1c, se obtiene o
1
ut(x)vt(z) 1 <
IUml lv.I
+ IUnl lvn+1I + "'i IU1cl • lv1c+1 - V1:I •+1
I
1
< M [lvml + lvn+il + n+l lvu1 - V1cl]
+ lv0(x)I
< 3EM.
CIO
< 2 lv1c(x) -
lv1:+ 1(x) -
Supóngase ahora que n
n+l
n
lvn(x)I
+ vo(x),
n+l
V1:- 1(x)I
+ lv0(x)I
Por el criterio de Cauchy queda completa la demostración.
1
Regresemos a la cuestión que planteamos en la sección anterior. Hemos visto que EJEMPLO.
404
sucesiones y series de funciones C10 (
~
-1 )"x2n+1
2n
+1
converge para
!xi ~
un teorema de Dini 405
1 y de aquí que representa una
función de x en ese intervalo. Denotemos esta función por /(x): (-l)nz2n+l (2n+ 1)
=t ID
f(x)
{lxl < 1}.
=
{
=
=
Pero ang tan x es continua; de aquí que f(l) Jim .,.. ... , ang tan x = ang tan 1
=
= ir/4.
Por lo tanto. todo gira alrededor de la continuidad de la función /(x). Ahora bien. f (x) es continua en x 1 si la serie es uniformemente convergente para lxl ~ l. Para ver que éste es el caso apliquemos la prueba de Abel. Hagamos la identificación u,,(x) l)"r"+'. v,,(x) = 1/(2n + + 1). Verifiquemos Ja hipóte~is:
= = (-
(i) 1U.(x)I
=
Un(z)
I~ (- l)>:r"+ll < 2 para lxf < l. =
x[l - x2
+
x[l
1U
De aquí que
11
00
+
x4
+ · · · + (-1)"z2n](l +
-
(l
= (x)I
+ z2)
vk_ (x)I 1
z2)
(-1)"z2"+ 2] 1 + x2
< 1·
[\+
l]
=2
si
lxl < 1.
.
(ii) l; lvk(x)-
converge uniformemente para
!xi ~
1. Puesto
l
que las v1c son constantes. la convergencia uniforme significa simplemente la convergencia (ver Ejercicio A9 de la Sección 15.2):
l
1 •• - ··-·' = 2k
y
2
4k2
-
'1T
/.!.
1 k2
~ =
1 - 2k 2
~
!
o.
(-1)"
Ahora bien, tal y como se ha visto en la aplicación de la prueba de Abel a nuestro ejemplo. v,,(x) no necesita depender de x. De hecho. tanto u,,(x) como v,,(x) pueden ser constantes. Entonces tanto la prueba de Abel como la de Dirichlet se transfom1an en pruebas para la convergencia de sucesiones de constantes. En tales aplicaciones de los teoremas, una hipótesis necesaria para la convergencia uniforme se reduce simplemente a una hipótesis necesaria para la convergencia ordinaria y la conclusión se transforma en una conclusión acerca de Ja convergencia ordinaria. (Ver Ejercicio Al.)
155 UN TEOREMA DE DINI Tal y como se ba visto en numerosos ejemplos y ejercicios, puede
muy bien suceder que una sucesión de funciones continuas puede converger a un 1ímite continuo :nmque 1a convergencia no sea uniforme. Pero existe una situación importante en la cual esto no puede suceder, es decir, en la cual puede deducirse la uniformidad de la convergencia a partir de 1a continuidad de Ja función límite. Este es el caso cuando la convergencia es monótona; es decir, cuando pcir.1 cada x fija en el intervalo (cerrado y acotado) la sucesión es ne, decreciente (o no creciente).
155a Teorema. Sea {S,,} una sucesión no decreciente de funciopes continuas en el intervalo/: {a~ x ~ b}. Supóngase que {S,,} converge a una función límite S, la cual también es continua en J. Entonces fS,,} converge uniformemente a S.
Demostración. La demostración es semejante a la de los teoremas del Capitulo 6. Supóngase que la convergencia no fuera uniforme. Entonces esto significaría que la sucesión de suprema
1 = 4k.2- 1
2k __.. ! =#: 4k 2 - 1 2
ID
4=t2n+1·
CIO.
~(-1)"/(2n
+ 1) z=l o ang tan x lxl < 1. Entonces si se supiera que /(x) es continua. se tendría f(l) lim ..... , /(x) = lim ...... ang tan x . =
1 ---.-0. 2k + 1 De aquí que todas las hipótesis se satisfacen y la convergencia es uniforme. Por lo tanto /(x) es continua y finalmente se ha probado que Vt=
También hemos visto que /(x) ang tan x para lxl < 1 y allí se presenta ± 1. Esto es el interrogante de la persistencia de la igualdad cuando x equivalente a inquirir acerca de la continuidad (continuidad lateral. desde luego) de /(x). porque se tiene
/(x)
De aquí que por la forma límite de la prueba de comparación, la serie converge; y puesto que es independiente de x, converge uniformemente. (iii) v1c(x) ~ O uniformemente. Pero
M n = sup ISn(x) - S(x)I l
= sup [S(x) -
S,.(x)]
l
no tendiera hacia cero. De aquí que existe un fo excepcional tal que M,,
>
406
ejercicios
sucesiones y serles de funciones
hagamos Snt(X) = O'k(x). M,,k = .JIk y S(x) = u(x). Puesto que O'k Y u son continuas. así también a - O'k· Así que existe un punto Xk en / en el cual •.11re a{xrc) - urc(Xrc). Pero {x1c} es una sucesión acotada y. en consecuen· cía. tiene un punto límite en /. Esto es. existe una subsucesión de {x1c} digamos fxk¡}. tal que Xrc¡-+ ~ en /. Sea Rt u-ª"'· Entonces {Rrc} converge en una forma no creciente hacia O en cada punto. en particular ~. Así que existe un N para el cual
=
EJERCIQOS B
1. Sea Sn(x) =
Í
sen kx. Multiplicar por 2 sen
si k
b = cos (a -
aplicar la identidad 2 sen a sen
+ b)
b) - cos (a
y demostrar que
cos !x - cos (n
+ !)x
Sn(x) = - - - - - - - - -
2 sen
2. Sea Sn(x) =
> N.
! x.
1
=
O~ R1c(~) ~ Eo/2
407
n
~
!x
cos kx. Multiplicar por 2 sen Jx, aplicar Ja identidad 2 ·cosa sen
1
b =sen (a+ b)- sen (a- b) y demostrar que
Y también
Por el carácter monótono de Rt. se tiene para m Rm( X1c1)
>
Rrc1( Xrc;)
Sn(x)
> Eo·
Ahora hagamos j -+ oo. Por la continuidad Rm(Xrc;)
RmW ~
sen (11
< k¡ que -+
R,,,W y se obtiene
•
EJERCICIOS A l. Establecer las pruebas de Abel y Dirichlet modificadas para la convergencia de una serie de constantes de la forma I.anbn. fx ;;;i: O}. Demostrar que {x ~O}. ~
¿ (- l)•e-.zflog n es continua en
4. Demostrar que
l:
2 ~
(- t)•e-..z.r•
.,
log n ~
(-1)•
1
n+r
s.
calcular
f.
= :¿un converge
uniformemente en
{a~
x <; b}, entonces
·
EJERCICIOS C l. Considérese que ~u" converge uniformemente en un intervalo / y sea la sucesión {v'!} uniformemente acotada y monótona en /. Demostrar que Iunvn converge uniformemente en l.
. s
n
2tf(t) dt • . ¿Converge uniforme-
mente esta serie para toda x? 7. Demostrar que la sucesión {e-nz} converge monotónicamente hacia cero para x >O y deducir que la convergencia es uniforme en {a< x ( b} para cualquier
a>0-
8. Demostrar que {x•} converge monotónicamente hacia cero en {O ( x < l} Y deducir que la convergencia es uniforme ·en cualquier subconjunto cerrado.
nx1 •. Demostrar que {S"} converge puntualmente hacia S(x)= 1 + nx .
9. Sea S (x) ::::: -
"
00
S. Demostrar que si S
(U.
S. Demostrar que /(x) = ~ - - - converge uniformemente para toda x Y calcular 6. Para la función f del Ejercicio
f
7. Sea {un} una sucesión de funciones continuas en /:fa <; x e¡; b}. Supóngase que O~ un+ 1 (x) ~ un(x) Y que S(x) = ~(- l)un(x) es continua en /. Demostrar que la convergencia es uniforme.
{x;;;.. O}.
. converge umformemente en {O ( x
f'(.r) por derivación término a término.
cos nx
demostrar que ~ - - converge para toda x excepto n« múltiplos de 2 1T y que converge uniformemente en cualquier subintervalo cerrado de {O < .r < 2 11'}. .
6. Demostrar que (1 + x/11)" tiende en una forma monótona hacia e' en {O .;;; x ( b} y deducir la uniformidad de la convergencia.
l
3. Demostrar que
aJ
> O,
puede integrarse término' a término tantas veces como se desee.
-;ic
¿ (- l)•e-.,/n2 ,
,,a.
3. Demostrar que ~ - - converge para toda x y que converge uniformemente en
4. Para cualquier a
Esta contradicción completa la demostración.
2. Sea /(x) =
sennx
1
l/2)x - sen l/2x
cualquier subintervalo cerrado de {O< x < 2 1T} para cualquier a> O.
para todo m.
a:>
+
= - - - -sen- 1/2 ---x
x en {O <: x <: 1} en una forma monótona y deducir que la convergencia es uniforme.
2. Sea
!
u1c uniformemente acotada en 1 y sea la sucesión {v11 } monótona en n y
1
convergente uniformemente hacia cero. Demostrar que mente en l. 3. Justificar la ecuación
f
c-1>" = r1 ,m-1 dt
n-o m
+ nk
)0 1
+ tk
~u,,v"
m >0.
converge uniforme-
:~'1 ~·
.
16
~;.
La serie de Taylor 16.1 SERIES DE POTENCIAS. INTERVALO DE CONVERGENCIA Al principio del capítulo anterior se discutió la importancia de las series para la representación de funciones. Uno de los tipos más importantes de series con este fin es el de las series de potencias. Estas son series cuyos términos son potencias de x- Xu multiplicadas por constantes: 00
I
an(x - Xo)".
o
=
Para estudiar las series de potencias es suficiente suponer que x0 O, puesto que la sustitución x' x - Xt1 puede llevar nuestra serie a la forma
=
00 ~
,n
¿.anx .
o
Cualquier serie de potencias, ~,,x·, converge por lo menos para un valor de x, a saber x = O; porque todos los términos, excepto a0 , se nulifican cuando x O, de manera que todas las sumas parciales Sn son iguales a a0 • Existen series las cuales no convergen para otros valores de x: por ejemplo. · In!X- = 1 + x + 21.r + 3!r + .... Apliquemos la prueba de la razón. Escojamos cualquier valor fijo de x, digamos Xu*º· y comparemos (n + l)!xu·+• con n!xu·.
=
*
ICn
+ l)!xoª+'/n!xu"I
= (n + Olxul·
Puesto que Xu O, esta razón eventualmente se hará mayor que l ; de hecho diverge hacia + oo conforme n -+ oo. De aquí que la serie diverge O. para cualquier Xo Existen otras series de potencias las cuales convergen para todos los valores de x, por ejemplo,
*
x"
:r:2
x3
x"
n!
2!
3!
n!
:E-=l+x+-+-+···+-+··· l
409
1
410
series de potencias. intervalo de convergencia
la serie de Tay/or
Una vez más apliquemos Ja prueba de Ja razón en algún x 0 =fo O fijo: zn+l 0
1(n
+ 1) !
¡x ni
lx: 1
.J!... =--º-~O<
n!
n
+1
1
·
De aquí que la serie converge por la prueba de la razón independientemente del valor Xo. Existen otras series que convergen para determinadas x y divergen para otras. Por ejemplo. se sabe que Ja progresión geométrica ao
¡o x" = 1 + x + x2 + · · · + x" + · · · , converge para
!xi <
1 y diverge para todas las demás x.
In!xn; __________,...___________
o Ixn/n!:-------------------
o
Ixn: _____._____________.__ _ _ ___ -1
o
+1
El diagrama representa gráficamente el comportamiento. respecto a Ja convergencia. de los tres ejemplos que se han examinado. Ahora es evidente que estos ejemplos son típicos del comportamiento de una serie de potencias. Converge ya sea solamente para x O o para O (o centrado en x 0 • en el toda x o bien en un intervalo centrado en x caso de potencias de x - Xo). Los siguientes teoremas lo clarifican.
=
=
=
Teorema. Si ·Ianx" converge para x x0 • entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales lxl < Jxol· Si diverge para x X1t es divergente para todos los valores de x tales que !xi > lx1I· Demostración. Supuesto que "i.anXo· converge, la sucesión {anXo"} converge hacia cero y de aquí que es acotada (Teorema 2.3b). Así que existe un M tal que 16.la
=
lanXo"I < M Escojamos cualquier x tal que
todo n = O, l, 2, •..•
!xi < lxol·
Entonces
ª•"'o"·:.: 1= la.Xo"l · I :J <
Por lo tanto la.x"I = 1
Mr".
411
Entonces la serie converge por comparación con una serie geométrica con r < l. A partir de esto, la segunda parte se deduce fácilmente. Supongamos que ~unx 1 • diverge y que existe otro valor de x, digamos x = Xo con lxol > lx1I para el cual -:i.anXo· converge. Si esto sucediera se tendría la siguiente situación: existe un Xu para el cual la serie converge y un x1 con lx1J < lxol para el cual diverge. Pero esto contradice la primera parte del teorema. 1 Parece evidente. con base en este teorema, que una serie de potencias tiene la propiedad de converger en un intervalo. si converge de alguna manera. Para precisar este hecho, hagamos la siguiente definición. I>ada una serie de potencias ~a"x·. sea S el conjunto de x para las cuales esta serie converge. Entonces el número R, definido a continuación, se llamará radio de convergencia de Iunx": R = O si -:i.U,,x• converge solamente para x =O. R + oo si ~a"x• converge para toda x. R sup !xi si ~a,,x• converge para algunas x y diverge para otras.
= =
s
El intervalo {- R
< x < RJ
se llamará intervalo de convergencia.
16.lb Teorema. Una serie de potencias IanX" converge absolutamente para toda x dentro del intervalo de convergencia {- R < x < R} y diverge en Uxl > R J. Este teorema afirma que la serie converge en todos los puntos en el intervalo de convergencia y diverge en todos los puntos más allá de los extremos del intervalo de convergencia. Nada afirma respecto a los propios puntos extremos x ±R. En general, éstos requieren una prueba especial porque puede suceder que una serie converge en ninguno de los dos, o en uno y no en el otro. o en ambos.
=
Denumración. Nos restringiremos al último caso porque es evidente que si R =O o bien R = oo nada tiene que probarse. Esta prueba es ·más semántica que matemática en carácter. Principalmente examinemos el significado del concepto de suprémum. (El estudiante debe repasar esa definición.) Ahora. sea dada cualquier x en llxl < RJ. Entonces existe un x,,,
lxl < lxul < R parcl el cual la serie converge. (Esto es por la definición de suprémum.) Por el teorema anterior, converge absolutamente en x. De aquí que converge parcl todas tales x - es decir, todas para las cuales lxl < R. Supóngase ahora que la serie no diverge para algún xu. jxul > R. Esto significa que converge parcl Xu. Pero entonces se ha encontrado un miembro del conjunto S mayor que el suprémum. Esto es una contradicción. 1
series de potencias. intervalo de convergencia
413
412 Ja serie de Taylor Determinaremos el intervalo de convergencia de las siguientes series e investigaremos la convergencia en los puntos extremos.
En el estudio de las series de potencias es conveniente conocer R exactamente. Por su puesto que podemos obtener cotas en R si conocemos un punto Xo para el cual Ia,,x• converge y un punto x 1 para el cual diverge. Entonces es evidente que
txol ~ R ~ lx1I·
'lh
En casos extremos, podríamos conformarnos con tales cotas. pero esta situación la aceptaríamos en el peor de los casos. Podemos dar ciertos criterios para determinar R. La siguiente prueba es sencilla, útil y frecuentemente fácil de aplicar. 16.lc Teorema. Sea ~a,,x· una serie ciada para Ja cual lim a,.+1 /a,. existe. Entonces R l / q.
=
Demostración.
y diverge si
Qn+l
{\Ylt:,.I}:
l / q.
~a,.x•.,
el radio de
De aquí que la serie diverge en cada extremo.
2. I
Demostración. Este teorema es una consecuencia del Teorema 14.3b. Probemos Ila,.x•I mediante este teorema. Sea q = lim '\'YjQJ. Entonces
z2
.!./
1
2
n (n
+ 1)
2
lxlq.
Ahora bien, se obtiene convergencia si lxJq < I, lo cual es así para toda x si q =O. Si q = + oo se cumple solamente para x =O; si q no es cero ni oo, solamente se cumple si lxl < l / q.
16.te Corolario. Para una serie de potencias, Ianx•, si q = lim ~lanl existe. entonces
R=O R oo R
Demostración.
Si lim
= = 1/q
'1la I existe, 11
=
si q oo si q =O Si 0 < q
= Jim '11anl· 1
x4
= lim (n +n 1)
2
= 1 =R.
Por lo tanto. nuestra serie converge en (- 1 < x tremos se tiene I
oo
1
00 ( -
+ I-¡ 1 n
y I '
'
=
x3
Solución. Intentaremos la determinación de R por la prueba de la razón:
lim
= oo si lim \Yla,.I = O R = 1/lim \Yla,.I si O < lim \}" 1a,.I < oo.
z"
+ t n2 = 1 + x + ¡ + '9 + 16 +· · · . oo
EJEMPLO
R
lxl lim ~
l, ¡, l, i, ¡, l , ....
lima,, =I= O.
1
Existe otra prueba que siempre da el valor exacto de R. En ocasiones es embarazosa su aplicación debido a la dificultad que se presenta al realizar los cálculos necesarios. El resultado se llama fórmula de CauchyHadamard.
lim '11a,.~"I = lim (xl~'la,.I =
1,
=
lxl >
16.ld Teqrema. Para cualquier serie de potencias convergencia R está dado por R = O si lim \Yla,.I = oo
Solución. lim 1 ªn 1 no existe. Examinemos la sucesión
=
a,.
lxl < 1/ q
(41)2n
Es evidente que lim \Yj;i,J = ¡. De aquí que R 2. Por tant~. se sabe que la serie converge en {-2 < x < 2}. ¿Qué se puede decir acerca de Jos puntos x ± 2'! En cualquiera de estos valores. todos los términos impares tienen valor absoluto 1. Es decir,
lim 1a,.+1Z:+11 = lim 1a,.+1 x 1= qlxl se ve que la serie converge si
Y ªsn =
z) + (x)ª + (2 4 + (x)ª 2 + (z)'. ¡ + · · · , donde a2n-l = (1)1n--1 2
=q
Aplicando la prueba de la razón.
a,,,x
EJEMPLO l. 1
l)"
+ I-i n2
•
<
I}. En Jos puntos ex-
En cada caso se tiene con-
vergencia absoluta, ·puesto que las series son series k con k> l. 10"
00
EJEMPLO
3.
Ii -n
x"
= 10x + 50x2 + 333}x3 + · · · .
Solución. Apliquemos una vez más la prueba de la razón:
1
~1=10"/ ªn+l
n
1on+1 = n +n 1. _!_-+~=R. l O 1O
n+1
De aquí que la serie converge en {- 1/JO < x < 1/JO}. En x ~ + l / 10. Ja serie armónica diverge; en x 1/10. la armónica alternante converge.
=-
414
la serie de Taylor
propiedades EJERCICIOS A
Si escogemos M" = la11r"I, se ve que es aplicable la prueba M de Weierstrass. Inmediatamente se tiene el siguiente corolario.
1
l. Determinar el radio de convergencia de Ia,,x•, donde an se da a continuación.
Investigar la convergencia en cada extremo del intervalo de convergencia (a) l/[n(n + l)(n + 2)) (b) (n - l)/n! (e) (2n)!/(n!)2 (d) l/nl:
.
(e)
on + 2n)/(4n + 5)
(/)
= e-2n;
02n
ª2n+1
=eh
16.2b Corolario. Si !anx" tiene un radio de convergencia diferente de cero, entonces la función que represe.nta es continua en cada punto x en el intervalo {- R < x < RJ. Además. para todo a, b para el cual - R < a < b < R,
2. Determinar el intervalo de convergencia de cada una de las siguientes series: 2 (b) l:(x/2 - I)" (a) l:(I + l/n)" (x - 1or 2 (e) 'i:.(n /2")(x - J)n (d) l:(cos llTl/2)(x - w)"
° ~ (bn+1 ~ a"+1> Í f>('Io° anx")dx = I'on+l .
EJERCICIOS B l. Discutir los siguientes problemas como en el ·A 1 anterior
1)·-n
2
1·2·3···n 1·3·S···(2n-l) ( (b) (e) 1 + -n 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1) 2 · 4 · 6 · · · (2n) 2. Probar que si la sucesión {an} es acotada lejos tanto de O como de oo, entonces Ianx" tiene el radio de convergencia igual l. 3. Supóngase que Ia.,,x" y Ibnx" tienen los radios de convergencia R y R', respectivamente. ·¿Qué puede decirse acerca de los radios de convergencia de las siguientes? (a)
(a) 'i:.(an
± b 11 ).c 11
(b) l:.a 11 b 11.1.:"
I ª". bn+l - I CID
CID
n+l
<
< <
f
•
Ahora bien. puesto que la convergencia es uniforme en el intervalo cerrado de O a b,
16.2a Teorema. Supóngase que IanX• tiene un radio de convergencia R difeiente de cero y sean a y b dos números cualesquiera que satisfacen la condición - R < a < b < R. Entonces Ia,,x• converge uniformemente en el intervalo cerrado /: x b}.
{a< <
i
o " Sea r = máx llal. lblJ. Si x está en l. entonces lxl < r.
Y r es un punto en el intervalo de convergencia, de manera que converge. De aquí que
x en/.
!Ja,,r"I
:Ea 11 x"dx = l:an
xn ] 1> a . bn+l l:an - - = l: -"-- , n+l o n+l
o o justificándose el intercambio de ~ por J mediante el Teorema 15.3c. En forma semejante. la otra integral puede calcularse y los resultados se combinan para dar la proposición contenida en el teorema.
1
1
CID
l. - - = 1 - x 1 +X Solución:
EJEMPLO
+ z2 - + · · · = IC-x)" O
IJ.ª
{lxl < l}.
log(l +a) =J.ª~= (-x)"dx = (-1)"~"_+1 = ¡c-on+1ª". ol+z o o o n+l 1 n Ahora surge otra pregunta. La serie original ~( - xt no converge en X
b +R
J.bx" dx =
b
I
= 1. Sin embargo, la serie integrada -
00
2 (-
l
ra· ¡ n
converge allí.
1
Nuestra información nos permite asegurar que 00
log (1
+ a) = - :¿ ( - aY/ n!
=
solamente para lal < 1. La pregunta es ¿se cumple para a + l '? (No existe duda respecto a a 1. puesto que la serie diverge allí.) Una vez
=-
-~
..-~
J:o:a.z") dx == ci:a.z") dz - J."ci:a.z") dz.
Una serie de potencias Ian.x" que tiene un radio de convergencia R diferente de cero converge para toda x en el intervalo {- R < x < R) y por lo tanto define una función en ese intervalo. Si necesitamos usar esta función en cualquier cálculo requerimos el conocimiento de algunas de sus propiedades. En particular necesitamos saber si es continua. integrable, diferenciable. Si es diferenciable, deseamos saber cuántas derivadas tiene. Estas son preguntas que pueden responderse fácilmente mediante los criterios de convergencia uniforme del último capítulo.
Demostración.
=
ªn. ª a o n+l o n+l Demostración. Sea Xu cualquier punto en I_:_ R < x < Rf. Entonces existe un número positivo a para el cual el intervalo /: (x 11 - a x Xo +a) está contenido en el intervalo de convergencia. (¿Por qué?) Por el teorema anterior. la convergencia es uniforme en /. De aquí que. por el Teorema l 5.3a. la suma es continua en /; en particular. es continua en Xu. Pero supuesto que Xo fue un punto arbitrario en el intervalo de convergencia. la suma es continua en todos esos puntos. Para probar la segunda parte. escribimos
(e) 'i.(a 11 /bn)x"
16.2 PROPIEDADES DE LAS SERIES DE POTENCIAS
-R
415
416
la serie de. Taylor
propiedades: 417
más se ve que conduce a preguntar acerca de la continuidad de la función representada por la serie. Si la serie es continua en l.• entonces la igualdad sigue cumpliéndose; si no, la igualdad no se cumple. Podría manejarse esta cuestión como se hizo en el ejemplo del ang tan en el último capitulo. Pero existe un teorema general. el teorema de Abel, que cubre la situación para todas las series de potencias de una vez. 16.2c Teorema. Si una serie de potencias Ia~· tiene un radio de convergencia finito y diferente de cero. y si converge en x = R - es decir. si IanR• converge, entonces converge uniformemente en IO ~ x ~ R). Si converge en - R. entonces converge uniformemente en 1- R ~ x ~O}. Demostración. Es conveniente desarrollar la demostración para R l y esto es suficiente pa·ra efectuar la demostración completa. Porque la sustitución x Ry lleva IanX" hacia
=
=
I(a"R•)y•
= "i.b,,y-,
=
donde b" a11 Rª y donde la nueva serie tiene un radio de convergencia l. Nuestra suposición de igual a l. De aquí que supondremos que R que Ia.nx• converge en x R se transforma en una suposición de que l:a" converge. Apliquemos la prueba de Dirichlet, Teorema l 5.4b, con
=
=
u,,(x)
=a,,.
V11(X)
=X
11 •
Verüiquemos la hipótesis: (i) Iu,,(x) converge uniformemente significa que !a,1 converge. Jo cual es una suposición explícita. (ii) Si x ::j=. l, entonces co c:o ro I lvt - Vrc-11 = I lx" - xk- 11= L x1:-i¡z - 11 l
1
1
= (1 -
00
x)
I zt- 1 = 1
Si x
c:o
(1 - x) I x1' = (1 - x)/(1 - x) o
= 1,
= l, · entonces lvt -
Vt-11
= O.
1
(iii) lvo(x)I = l. De aquí que (ü) y (ili) se Satisfacen con K = 1. Si regresamos a nuestro ejemplo se ve que la convergencia de la serie
1
co
para a= l, a saber l;(-1)ª+ 1/n, nos permite asegurar que~ (- lt+•a•jn 1
.
converge uniformemente en (O ~ a ~ l} y de aquí que representa una función continua allí. Entonces, puesto que c:o ( l)''+lan log(l +a)=¡ para lal < 1, 1
n
n
1
2
3
4
5
+ ···.
Todavía debemos discutir la diferenciabilidad de las series de potencias pero antes de abordar este tema consideraremos uno preliminar. Si Ia,,x• converge en un intervalo flxl < Rf, entonces la derivada formal (esto es. el resultado de derivar término a término. sin preguntar si es posible) es InanX•- 1• Primero inquiriremos acerca de la convergencia de esta serie. Salta a la vista que tiene el mismo radio de convergencia. · 16.2d Teorema. Si I.an-t" converge para :xi < R. entonces ~na,,x•-• tam·. bién mnverge para ¡x¡ < R. Demostración. Recuérdese que nr"--+ O conforme n--+ oo para r < l. De aquí que para cualquier Xo -::/= O fijo, nr" / lxo¡ ~ l para n lo suficientemente grande. Sea Xo cualquier punto para el cual !.xol < R y escójase x 1 tal que Jxul < !x1i < R. Entonces establézcase r = !Xo/x1: y calcular 1 na .x n (x....!!) n 1 = -nr" · la,,x1nl < la,.x1"I lnanx~-1¡ = _11_1 1
:.ro
Xi
l·rol
para n suficientemente grande. Entonces !nanx11·-• converge por la prueba de comparación. Ahora puede llegarse fácilmente a la cuestión de la diferenciabilidad. 16.le Teorema. Supóngase que ~a,.x" tiene un radio de convergencia R diferente de cero. Denotemos su suma por f(x). Entonces f es diferenciable para t -R < x < R} y oo d ce f'(x) = l an - (x") = l nanx"- 1 {lxl < R}. o dx 1 Demostración. Sea Xo cualquier punto en 1- R < x < Rt. Entonces existe una a > O para la cual el intervalo I: {xo - " ~ x ~ x0 + aJ está en el intervalo de convergencia. De aquí que tanto ~a,,x• como ~nanX•-a son uniformemente convergentes en/. de manera que por el Teorema ISJg se justifica la derivación término a término en 1, en particular en x 0 • .Supuesto que Xo es un punto arbitrario en { -R < x R}. la derivación se justifica para todos los puntos en el intervalo de c~nvergencia. 16.lf Corolario. Bajo la hipótesis anterior /(x) tiene derivadas de todos los órdenes y co dk 00 ¡<1c>(x) = l an - . x" = I ann · (11 - 1) · · · (n - k + l)x"-1c
1
<
ClO
I
al tomar límites se tiene co(-l)n+l 1 1 1 1 log 2 = I = 1- - +- - - +- -
n=O
~
= ¿,.
Qn n=k
d~
n=k
n! (n - k)!
X
n-t
~ a,,+k(n + k)! " = 11=0 ¿,. X 11 !
{-R
1
418 la serie de Taylor
ejercicios 419
Demostración. Un argumento de inducción basado en el Teorema 16.2e efectúa la demostración. 2. Derivar
_l_
1-:a:
f'(x) =
= l::xn = 1 + x + z2 + • • ·
{lxl < 1}.
1 (1 - x)1
2 (1 - x)3
= 1 + 2x + 3xl + 4x8 + · · ·
(1 - x'f
r
:i:s -
2
3
+ - + - + ··· .
d . -[xf'(x)] = 1 + x
{lxl < 1},
= (1 - x)-1: = 1 + kx
+ k(k + 1) x2 + ... 1·2
+ (n + k
- 1) ! xn n!(k-1)!
+ ...
{lxl
i
1-x
dt
l/e
1
~
+ro+···=----- .
h
y en general
1
X2
(¿Por qué podemos multiplicar término a término? Ver Ejercicio B2, Sección 14.1 ). Entonces
{lxl < 1},
= 2· 1 + 3 · 2x + 4· 3x2 + · · ·
X
I = 1 +-+ -+ · · · 1 n 2 3
xf'(x) = x
Solución. Derivando término a término
< 1}
x
zn-1
GO
EJEMPLO
<
Solución. Ahora bien, en {-1
1
= -- =
De aquí que
xf'(x)
de modo que
f'(x) = - log (1 - x)
o 1- t
- log (1 - x),
X
< 1}. f( x ) =-
y
z log (1 - t)
J.o
..i
ut+. 1 .
Sabemos que una serie de potencias representa una función infinitamente düerenciable en su intervalo de convergencia y que todas las derivadas pueden obtenerse derivando término a término. Podemos expresar los coeficientes en términos de estas derivadas. Este resultado se obtiene como un corolario del teorema anterior.
(¿Por qué tenemos + 1 al final?) Por el teorema de Abel, esta evaluación es válida en 1- 1 ~ x ~ 1}.
16.lg Corolario. Supóngase que Ia,,x• tiene un radio de convergencia R > O. Denotemos su suma por ·¡(x). Entonces
l. Calcular /' (x) en cada una de Jas siguientes series y dar el intervalo de convergencia en cada caso: GO :tft GO (n!}lxn
¡
EJERCICIOS A
(a) /(x)
aic=--
k!
1
16.lh Corolario. Sean f(x)
= I1 nn GO
Demostración. Hágase x =O en la fórmula del teorema anterior. Como un Corolario de l 6.2g se obtiene la unicidad de una representación de una serie de potencias. Esto es, si una función f es representable en un intervalo { -R < x < R} mediante dos series de potencias, entonces · deben ser idénticas. La proposición precisa es la siguiente.
= Ia,,x• y f(x) = Ib,,X- en {- R < x < R}:
(e) /(x)
2. Calcular
EJEMPLO
3. Súmese la serie y obténgase GO
Xft
r
1
n
4
=
{-l
(2n)!
ao
= I1 n
(d)
Lzf(t) dt
zn n(n -1)
para cada parte del Ejercicio 1.
3. Evaluar lim /(x) para cada uno de los siguientes casos rt
t
m
~
GO
(a) f (x) =
n(n
(b) f (x)
+ 1)
=
f
~
n(n - 1)
EJERCICIO B 1. Sumar las siguientes series:
f en forma finita. donde
/(x)=l+I-=l+:a:+-+··· 1
t /(z) = f
(b) /(x)
:tft
n =O, 1, 2, ....
Demostración. Por el Teorema l 6.2g an = ¡
t
1
z"
m
f (d) t (a)
GO
n(n - 1) nz"
GO
(n
(b)
+ IXn + 2) (~)
f
~
n(n
+ 1)
t *"' GO
m
I1 na:,. GO
IzP+l o
series de Taylor y Maclaurin 420
la serie de Taylor
Es evidente que f tiene derivadas de todos los órdenes, excepto posiblemente en x O. lo cual debe manejarse separadamente. Primero calculemos f'(O). Examinemos el cociente diferencia:
=
EJERCICIOS C 1. Sea
r ~ /(x) = l + x + - - + ... + - - + .. . 2!
{- oo < x < oo }.
n!
=
=
Demostrar
/!J./ = f(x) - /(O)= f(x) = /!J.z X - 0 X
1
que para toda x, f'(x) /(x) y /(0) 1, y deducir que /(x) = e • Sea cuidadoso; p~den existir puntos donde f se nulifique ... 2. Supóngase que /(x) = Ianx\ con an ;;;. O, tiene radio de convergencia 1. Demostrar que si lim /(x) = u, entonces Ian converge y a = l:a". ....-o (Este es un inverso del Teorema de Abel bajo la hipótesis adicional de que an ;;;. O. La inversa exacta no es verdadera.)
16.3 LAS SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN
mt•'
Se desea considerar aquí la cuestión del desarrollo de una función dada, en términos de una serie de potencias. Con base en nuestro trabajo previo, puede verse que la serie debe poseer ciertas propiedades. Quizá la más sorprendente de estas propiedades es que la función debe poseer derivadas de todos los órdenes. Por el Corolario l 6.2f hemos visto que cualquier serie de potencias tiene esta propiedad. De aquí que si una función es representable mediante una serie de potencias. también debe tener esta pro~ed~. . El estudiante podría preguntarse, y con razón. si esto es suficiente. Es decir, podría inquirir si toda función que es infinitamente diferenciable en un intervalo { - R < x < R} es representable mediante una serie de potencias en ese intervalo. La respuesta es «No». Esto puede observarse por medio de ejemplos. Antes de presentar un ejemplo de este tipo. observemos que puede escribirse inmediatamente la serie. si la función es representable en esa forma. Sea f(x) una función dada, infinitamente diferenciable en l - R < x < R}. Si existen coeficientes a,, para los cuales
entonces
= :Ea"xn
a,.= ¡
{-R <
~
< R},.
(¿Por qué'!)
Esto significa que, para cualquier función dada f. se sabe cuál es el único desarrollo en serie de potencias posible. La cuestión que debe encararse es ésta: ¿Es realmente una respuesta'? Es decir, ¿cumple lo que requerimos: converge en { - R < x < R}? Y si converge, ¿es su suma la función que se requiere., a saber f'? Tal y como se señaló, la respuesta es «No». Puede observarse este hecho mediante el siguiente ejemplo:
e-l/z f(x) = { o
1
x~O
x=O.
.! e-11z•. X
Se desea determinar el límite de esta expresión conforme x ~O. Sustituyendo x l/t, se obtiene
=
l!J.f
ax
=
te- 11 --.. Oconforme x ~O (es decir conforme t ~ ~).
De aquí que f'(O)
= O y pard x =:f= O podemos calcular f'(x) =
, f(x)
~21
!
x3
e-1/z1 •
En general, se ve que para x =:f= O, fº(x) es de la forma
e-1/zªp(;), donde P es un polinomio en 1/ x. Por inducción, se concluye que r',(O) = O para toda k. Los detalles de este argumento se dejan para los ejercicios. Esto significa que todos los coeficientes en la serie que escribimos son cero. En otras palabras, para toda x la suma de, la serie es O. Pero la función que se desea representar mediante esa serie solamente es cero en un punto. De aquí que la serie no representa la función. Veamos ahora bajo qué condiciones en f podría esperarse que la serie represente (es decir. converja hacia) la función f. Hemos indicado ocasionalmente que el hecho de que trabajemos con series centradas en x =O fue una cuestión de selección, porque cualquier serie de potencias de, digamos (x - a) (es decir, centrada en x a) podría llevarse hacia nuestra forma usual mediante una traslación z x - a. Ahora escojamos para trabajar un punto arbitrario x ·= a. Enfoquemos nuestra atención en la fórmula de Taylor con residuo como el medio de investigar este tema. Si se tiene una función f la cual es infinitamente diferenciable en un intervalo f- R < x- a < R}, podemos aplicar la fórmula de Taylor para cualquier x en nuestro intervalo y para todo n
= =
f (x) = f(a)
+ f'(a)(x +
a)
+ f"(a) (x -
¡
n.'
2!
a)'l.
+ · ..
+ R,.+1(z),
y se tiene cualquiera de las varias maneras para expresar Rn+i(x). De-
422
series de Taylor y Maclaurin
la serie de Tay/or
notemos por Sn(X) la suma de los términos has~tiene
J (x) -
Rn+ (z). 1
Entonces se
donde ~ es un número entre O y x. Por lo tanto, si x es negativo ef si x es positivo, ef < ~. En todo caso ef < el•I. De aquí que
lez -
Sn(z) = Rn+ 1(x).
Debe enfatizarse que lo que debemos examinar es el comportamiento de este residuo.
Ahora escojamos N
¡
o.>
!--ª (x o
n!
elzl¡x¡n+l (n
+ 1)!
N
+1
N!
N
+2
el=l
n+ 1<
¡z¡N
N!
(!)n+l-N 2.
2
Mantengamos ahora N y x fijos y hagamos que n -+ oo. Entonces se ve que el factor (1 /2 r -+ O, mientras que los demás no cambian. De aquí que R,.+ 1 -+ O, y, por lo tanto, se ha probado que e~= 1
1
+ x + x2/2! + x3/3! + · · · + x"/n! + · ··
_J-oo < x< oo}.
De modo semejante se encuentra que oo (...:..
senx=!
EJEMPLO. Desarrollar e en una serie de Taylor en torno ax =0. 1
0
Solución: f(x) =e% f'(x) =e% Í"(x) =e%
Entonces para .
¡x¡n+l-N
¡x¡N • _J:!_ . _J:!_ ... J=L
N!
1
16.Jb Teorema. Toda serie de potencias es la serie de Taylor de su suma. Demostración. Probar a partir del Corolario 16.2g. Esto explica el título de este capítulo.
< 1/2.
modo que lxl/ N
= 2Nel=l ¡x¡N. (~)n+l.
Demostración. La demostración de este teorema es inmediata a partir
=
> 2lxl de
N! (N. + lXN + 2) · · • (n + 1)
=
:--
=
< elzt • lxl"+ 1/(n + 1)!
elzl¡x¡N
_ el=l
ar.
de la ecuación anterior. Esta serie se llama serie de Taylor de la función /. En ocasiones, si u O. recibe el nombre de serie de Maclaurin. No obstante, siempre nos O. referiremos a ella como serie de Taylor. sea o no a
< 1;
n~N,
16.Ja Teorema. Sea /(x) infinitamente diferenciable en {-R < x-a < R}. Si Rn+i(x) -+ O conforme n -+ oo, entonces para esta x
f(x) =
Sn(x)I
423
l)"x2n+1
(2n
+ 1) !
xª
z5
=x--+--+··· 3! 5!
(-l)n+lz211+1 (2n
+ 1) !
..;,;¡¡¡¡¡,..
+···
{-oo
f(O) = 1 f'(O) = 1 f"(O) = 1
y 00
cosx=! 0
(-l)"x211 (2n)!
x2
x6
x'
=1--+----+··· 2! 4! 6!
(-l)"x2n +··· (2n)!
{-oo
.•
=
=
De aquí que el desarrollo formal en serie está dado por
.,_ 1
x2
x3
a tÍ"y
dx2
x"
!-x" = 1 +X+-+-+···+ - + • • • o n! 2! 3! n! Para saber si la serie converge hacia e debemos examinar el residuo. Sea x cualquier número fijo. Entonces
+ b dy + cy dx
se escribe como
(aD2
+ bD + c)y.
Aunque debemos ser cuidadosos en el manejo de D. Por ejemplo, xDy
'#
D(xy).
(¿Por qué?)
~~·
424
aritmética de las series de potencias
la serie de Taylor
Escribamos la serie de Taylor en la forma obtenida al remplazar a p9r x y x por x + h. Entonces x - a se transforma en h y la serie toma la forma
/(x
+ h) =
t hnn! f
co
En términos del operador D, esto se transforma en f(x
+
h) =
Io ~_::.n!
Dnf(x) =
[I
funciones. En lo que se refiere a la adición y la sustracción, la situación es muy sencilla y se manejan en los problemas (ver Ejercicio 81). La multiplicación y la división, sin embargo, son más complicadas. Primero probaremos un teorema general acerca de la multiplicación de series, el cual se pospuso hasta ahora debido al hecho de que su principal aplicación es para las series de potencias. 16Aa Teorema. Sean
(h D)"] f(x).
n!
n
··~
~··
00
00
o
o
I ª" y I
bn series absolutamente convergentes con n
sumas A y B. respectivamente. Definase en 00
La suma formal que se encuentra entre corchetes es el desarrollo formal de e-''. de manera que f(x + h) = ehD f(x). El estudiante debe darse cuenta que ehl• representa una operación y no un número y la operación que representa está definida por los desarrollos anteriores.
425
Io e,.
= Io ª"bn-1c. Entonces
es absolutamente convergente y su suma es C ~
= A · B.
Demostración. Antes de dar detalles de la demostración. nótese que todos los términos posibles de la forma a;hrc pueden arreglarse del modo siguiente:
E.JEROCIOS A l. Desarrollar las siguientes funciones en series de Taylor centradas en los puntos indicados. Determinar el radio de convergencia en cada caso: (a) sen x, n/4 (b) cos x, 3n/4 (e) Iog (1 + x), O (d) fil, O
(e) ··/ 1
+ x, O
(g)
v;: 4
(11) ez, 1
(j)
r e-i:• dt, O Jo-
(k)
L
(/) log (1 - x), O f:z; et - 1 (i) -,-dt, o
Jo
Jof zM:n 12 dt, O
(/)
Jof z 1 - 12COS I dt, O.
1
2. Evaluar
e-z' dx correcta hasta tres cifras decimales.
3. Desarrollar (1 + x)-.r. en una serie de potencias en tomo a x =O. Obsérvese que la convergencia de esta serie ya ha sido discutida en el Ejercicio B 2 de la Sección 14.6.
Se ve que Cn es precisamente la suma de todos los términos para los cuales la suma de los índices es n - esto es, la suma de todos los tér-
4. Demostrar que si /es impar, la serie de Taylor alrededor del origen puede escri-
minos que se encuentran en la n - ésima diagonal. De aquí que
birse en la forma .;
o
/(h) = senh (hD)/(0);
que si / es par, puede escribirse en la forma /Ch)
16A
.e" es
I
= cosh (hD) f (0).
LA ARITMETICA DE LAS SERIES DE POTENCIAS
En sus intervalos de convergencia, las series de potencias representan funciones. En ocasiones es necesario realizar las operaciones elementales de la aritmética (adición. sustntccil>n. multiplicación. división) sobre estas
la suma de todos los términos sobre o arriba de la n - ésima diagonal. Ahora convendremos en la siguiente notación:
"
A"= Ia1t o n
A"'= l; la"I o (X)
A'= Ila1I o
" Bn=!b1: o n
Bn'=Ilb1tl o
CI)
B'=!lb1cl· o
" Cn=!c1: o
·,:
426
aritmética de las series de potencias
la serie de Taylor
Supondremos que ni A' ni B' se nulifican. (¿Por qué?). Obsérvese que An • Bn es la suma de todos los términos en un cuadrado de lado n con una esquina en el término a0 bo. Supuesto que An ~A y Bn ~ B, AnBn ~ AB. De aquí que para cada (>O existe un N1(() tal que
IAnBn-ABI
<(
(0,n)
sin> N~. (0,m)
con sombreado horizontal, tomando de esta manera por dos veces aquellos términos que se encuentran en el área con sombreado cruzado. La suma de los términos en el rectángulo con sombreado vertical es m
m
I
I
J-o.t~n+l
m
I
es
,t ...
la;bkl, y la suma de los términos en el otro rectángulo
m
I
o J=n+l
la1b.tl· De aquí que si m m
JCm - AnBnl
<
m
> 2n,
m
m
I la;I · IO lb1:I + IO lasl n+l I lbA:I n+l m
m
m
m
I la;I + Am' n+l I lbA:I < B' n+l I la;I +A' n+l I lbkl n+l
= Brn'
= B'(Am' - An')
+
A'(Bm' - Bn').
Las sucesiones A,,' y B,,' convergen. De aquí que, dado ( te un N .h,) para el cual IA,,,' -
Ahora consideremos ICm - AnBnl· Esta es la suma de todos los términos arriba de la m - ésima diagonal menos la suma de los términos en el n-ésimo cuadrado. Si m > 2n, entonces esta diferencia es precisamente Ja suma de aquellos términos que se encuentran en el área sombreada del primer diagrama. (0, 0)
(0, n)
(0, m)
427
Si n
> N'.!
y m
An'I
> 2n,
<(
y IBm' - Bn'I
<(
si n
> o.
exis-
> N-¿.
entonces ICm-An ·Bnl
< (8 +(A'. 1
Ahora podemos colocar nuestras estimaciones juntas para completar la demostración. Escojamos m > N(() =el doble del mayor entre N 1 (<) y N-¿(f}. Escojamos n mayor que (1 /2)N(f) y menor que (J /2)m. Entonces ICm-ABI ~ ICm-AnB,,¡ ~
B't.
+A'(+
+ IA
11
B,,-ABI
t.
= c(A' + B' + 1). Esto prueba que ~e,, = A B. Ahora debemos demostrar que Ilcnl converge. Observemos que la parte completada del teorema se aplica a las series ~lanl y ~lb,,¡. De aquí que si n
e,/= I lakbn-kl, k=O
entonces. según la demostración ya completada. Estimemos esta suma a partir de lo anterior. remplazando cada término por su valor absoluto, lo cual conduce a una suma mayor. Todavía se obtiene una suma mayor si se remplaza esta suma por la suma de los valores absolutos de todos los términos en el área sombreada en el segundo diagrama. Una vez más, todavía se obtiene una suma mayor sumando los valores absolutos de todos los términos en el rectángulo con sombreado vertical a aquellos que se encuentran en el rectángulo
lcnl
= 1k=O I akbn-k 1 < k""O I lakbn-kl =
~e,,'
converge. Pero
en',
de modo que por la prueba de comparación Ic,, converge absolutamente. 1 Como se indicó previamente. la aplicación principal de este teorema general es en las series de potencias, tal y como se muestra en el siguiente teorema.
428
la serie de Taylor
aritmética de las series de potencias
=
16Ab Teorema. Supóngase que Mx) Ia 11x" tiene radio de convergencia Ri y Mx) Ibnx· radio de convergencia R2. Entonces el producto f(x) fi(x) · Mx) se representa por una serie de potencias
=
Icnx-. donde
=
Cn
.
= "¿ a1cbn-k en el intervalo {- R < x < R}. donª=º
de R = mín (Rlt R2). En realidad, es posible que el radio de convergencia sea mayor que R 1 y también que R2. Sin embargo, la interpretación propia en ese caso debe esperar el estudio de la teoría de las funciones analíticas. Ahora se demostrará el teorema.
Estos comentarios deben explicar Ja forma algo especial del teorema.
=
1 y que tiene un 16Ac Teorema. Sea ~u,,x· una serie en la cual a0 radio de convergencia R diferente de cero. Entonces l /(Ia,,X-) "i.bnx" con un radio de convergencia diferente de cero. Los coeficientes b se determinan recursivamente (uno después del otro) mediante b0 = 1
=
b2 = .-Ca1b1
1
log(l
+ x) =
w
x"
i
n
+
1 +X
x)=
-Ixn I 1
1·=1
ao
= -
Sea H n =
n
1
I1 <-
(-1)" ·(-l)n-t k n
t)"x" I
k=l
1
-k .
=
tt
Cn
ªº
=
1 a0
•
=I
Co
1+
= 1, en
=o, n = 1, 2, .... (¿Por qué?)
n
También es evidente que puede su ponerse que· el primer coeficiente es 1: es decir ao 1. No se considerará el caso en que = O (ver Ejercicio B2). Para cualquier otro ªº' simplemente se divide entre él. dejando el primer coeficiente igual a 1:
1
= l.
Pero
1
(~bnx")/(~anx") = (Ebrix") · (l/l.:anx").
+ a2x2 + · · · =
(~a 11 x 11 )(Lb 11 x 11 )
-Í(-x)"Hn.
Veamos ahora la división de series de potencias. Es evidente que basta el estudio del caso de dividir l entre una serie de potencias. puesto que
a1 x
Demostración. Si existe una solución. entonces
atbn-k· o De aquí que, por la unicidad del desarrollo en serie de potencias
I1 -k . Entonces
+
= - A:=l I (01.:bn-k>
El estudiante recordará que anteriormente se dijo que en ocasiones tendríamos que conformarnos simplemente con una estimación para el radio de convergencia. Este es un caso de ese tipo. La demostración es típica de ciertas clases de demostraciones en el análisis.
donde
log(l + x) 1 +X
a0
a2bo)
-I(-1)"...:....
1 ao - - = I(-l)nx". 1 +X O
Jog(l
+
n
b,.
l+x
Solución:
=
b1 = -a1 b0
Demostración. Sea x cualquier punto en el intervalo {- R < x < R}. Entonces tanto ~anx" como :i.bnx" son absolutamente convergentes, de manera que se aplica el teorema anterior. log (1 + x) EJEMPLO. Desarrollar en una serie de potencias.
429
(a 1/a 0 )x
Esto es
a0 b0 = 1,
I
le= O
atbn-t = O
=
1, 2, ...
n
aobn
o bien
n
= - 7c::s1 L a,l,n-lc·
=
Supuesto queª" l. esto completa Ja determinación de los coeficientes b. Ahora debe demostrarse que la serie Ib,.x• tiene un radio de convergencia diferente de cero. Para hacerlo. estimemos los coeficientes b. Obsérvese que si res cualquier número O< r
lanr"I <
+ (a 2/a 0 )x2 + · · · · o bien
M
n = O, 1, 2, ... n =O, 1, 2, ....
430
ejercicios 431
la serie de Taylor
2. Mediante la multiplicación de series de potencias, calcular los primeros ténninos en los desarrollos en tomo a x = O de: (a) sen x cos :e (b) rsenz (e) sen :r ang sen x (d) cos z (e) (r)I
Entonces
lbol = 1 = laol < M lb1I = la1bof lb2I
=
r
M
la1I < -r · MM
M
< la1b1I + la2bol <-;.-; + r
M3
3
(2
<
2M2
7'
(a)
M2M2 MM M <-; ·7 + r.-; + r
lbal < fa1b2I + fa2b1I + faabol
< -r
M
3. Mediante la división de series de potencias, calcular los primeros té~inos en tomo a x = O de:
2M + 1 + 1) = 4 M -:a = 2 3 rr
1 (e) coshz
seoz (b)~
1
ros;
1
1 (e);;;
senhz (á) cosh z
r + 1
3
.
EJERCICIOS B J. Deducir una fórmula general para los coeficientes b", definidos por
Por inducción se obtiene
\Ylbnl < 2M/r
Por tanto
y, en consecuencia,
lim
n
00
= 1, 2, ... ,
2. Supóngase que /(x) = .rP ~ anx•, donde p es un entero positivo y a0 ::P. O. Sea
o
\Ylbnl < 2M/r.
00
g(x) = ~ b,.x" y supóngase que ambas series tienen radios de convergencia di-
o
De aquí que el radio de convergencia es -
-
ferentes de cero. Demostrar que para alguna vecindad agujereada de O (es decir, perforada en ."C = 0),
r
1/lim \Ylbnl :>->O.
2M
Salta a la vista que los coeficientes b" son precisamente aquellos obtenidos mediante división sin fin. EJEMPLO.
Calcular
g{x)
f (x)
1
t/(Io :c,¡/nt) = 1¡(1 +:e+ z22! +···+:e"+···). n!
= e_,, + c_,,+1 + ... ~ + c. + e x + .... zP
xP-1
o
:t
1
J. Calcular los primeros términos de Jos desarrollos del tipo considerado en el Ejercicio 2 para ese x y col x.
=-
csé' x se cumple para los primeros términos de las series calculadas en el Ejercicio 3.
4. Verificar que d/dx cot x
EJEROOOS C
Solución:
1 - :x: + :c /2! - · · · 2
)1 1 + :e + 2! + . . . 1 + :c2
+ :c2/2 ! + ...
:X:
-
J. Verificar mediante la multiplicación de series que sen 2x = 2 sen x cos x. (Sugerencia: n(n -1) (1 + l)n = 1 + n + ~ + .. · + 1 2n
=
:r:'/2! - :x:'/3 ! ... :c2 - :r:3/2! -
:X: -
- :e -
(1 - 1)" = 1 - n
z. EJERaaos
A
1. Elevando al cuadrado ambos miembros de (1 -
.r)-1
OD
(1 -z)-1
=I
o
(n
+ 1p;n.
= l:xª, demostrar
+
n(n - 1)
21
X
00
.
O.)
Bn
= ~ -- x•. Probar que r-1 n! = -1/2, B = 1/6, B = -1/30,
Los números de Bemoulli B" se definen por - -
0
=
que
+ · · · + (-t)n =
B'21c+i =O para k l, 2, 3, ... y que B1 B6 = -1/42, B 8 = -1/30. 1
J. Demostrar ·que - - = -
co
¿ Bn(2" -
e'+ 1 0 definen como en el Ejercicio 2 anterior.
2
4
x•-1
1) - - , donde los coeficientes B se
n!
•
series complejas
432 la serie de Taylor 4. Probar que e'· e"= e'+" mediante la multiplicación de series. Aplicar la sugerencia dada en el Ejercicio 1 anterior.
donde los coeficientes bn están dados por x
a
X=
A continuación se establecerán dos teoremas acerca de las series de potencias. El primero es un teorema de substitución. Las demostraciones se desarrollan mejor dentro del marco de la teoría de las funciones analíticas. Cualquier demostración que se diera aquí sería difícil y embarazosa.
= I an(y- Yo>8 converge en 1- Ri < Y - Yo < Ril Y que /(x) = bo + I bn(X - Xo)" converge en l- R~ < x- Xu < R~}. Si Yu = b... entonces existe un intervalo
en",,= ¡
=I
Cn(X - Xo)" en {- R3
3!
2
co
X
=
Ico
x0 )1']n.
bnyn =
!co
bn ( X
1
1
.
< xinversa
Xu
< Rl
por Q()
x = q,(y) = Xo
+I
1
bn(Y - ao)n
-1 x3
3!
+ ... )"
(x - !3! x3 + · · · ) + b (x - .!3! x3 + · .. ) 2
+ b3 (x - !3l x3 -
= b¡x + bax2 + De aqui que
+ · ··
r(- ;! b1 + ba) + .... 1
bi
Por lo tanto
3
· · •)
= 1, bi = O, ba = -3! .. ···
1 angseny=y+-'Y'+ •••• 3!
Xo)• converge en {- R
y sea a 1 ::;é: O. Entonces existe un r y una función
+ definida
-
16.6 SERIES COMPLEJAS
00
= Io a,,(x -
bnY". Entonces
2
= b
=
16.Sb Teorema. Supóngase que f{x)
I
1
1
+
... )8
3!
Solución: Sea ang sen y =
< x -Xo < R3).
Sea la función f dada por una serie de potencias /(x) ~an(x - xut en un intervalo {-R < x-x0 < RJ. Si f'(xo) ::;é:O {es' decir. si a 1 ::;é:O). entonces, por la continuidad. existe un intervalo/: {-r1 < x-x0 < r 1 } en el cual f'{x) tiene el mismo signo que f'(x 0 ). Entonces se ve que, en el intervalo /, la función f es monótona creciente o decreciente de acuerdo con que /'(O)> O o bien f'(O)
5!
EJEMPLO 2. Calcular los primeros términos de ang sen y a partir del desa· rrollo para sen x.
o
1
o n!
2!
donde Jos coeficientes e están determinados por la identidad
!o cn(x - Xo)'ª = Io an[! bk(x -
= l: ..!..(x _ i3 + x5 ... )"
(x - i33! + · · ·) + !(x - i33! + · · · ) + .!_3! (z 2!
1+
1
sarrollo de Taylor h(x)
a"(x - :e0'f]n.
=l+x+x2 +o·~+···.
00
Ct'I
I
k"'l
0.
Teorema. Supóngase que g(y)
{- R:1 < x - x., < R:1} en el cual l/(x) - Yul < R1. La función compuesta dada por h(x) = g[/(x)] puede expresarse como un de-
bn[
Solución:
00
16.Sa
= x0 + I1
l. Calcular los primeros términos del desarrollo de e..... • en tomo
EJEMPLO
16.S SUBSTITUCION E INVERSION
433
{ly - aol < r},
Recordemos los hechos básicos acerca de los números complejos. La letra i representa la unidad imaginaria que se caracteriza por la relación (1)
f =-1.
434
la serie de Taylor
series complejas
=
Si x Y Y son números reales, Ja expresión z x + iy se Jlama número complejo; x es su parte real y y su parte imaginaria. La adición, sustracción•. m~ltiplicació~ y división de los números complejos se describen por las siguientes relaciones. Aquí z1 = x, + iy1 y z:: = x'2 + iy2 •
z1 ±~=(xi±
(2) (3)
= (X1X2 -
Z1Z2
!! =
(4)
x2)
+
i(Y1
Y1Y2)
X22
+
Y22
=
= =
z = p(cos 8
=
+ i sen O).
Evidentemente lz! p. El ángulo fJ, IJamado argumento de z. se denota frecuentemente por O arg z. Es evidente que fJ está determinado hasta un múltiplo aditivo de 2,.,. Si z x + iy, el número x - iy se 11ama conjugado complejo de z y se denota por i. Nótese que z1z2 = z1z2 , z1 + z2 = Z¡ + z y z z Y 1=1 2 = zi. ª ' Enfocaremos ahora nuestra atención hacia algunas desigualdades senciJJas pero importantes.
=
=
16.6a
=
si n > N. La terminología. notación y muchas de las demostraciones que se refieren a los límites de las sucesiones pueden tomarse completamente del caso real, puesto que dependen principalmente de la definición de límite y de la desigualdad del triángulo. las cuales tienen la misma fonna en Jos dos casos. En particuJar, el criterio de Cauchy para la convergencia de las sucesiones complejas no cambia. Sin embargo, esto no es una transcripción completamente trivial sino que es una consecuencia del Teorema 9.2c, sobre el criterio de Cauchy en los espacios dimensionales superiores. El siguiente teorema se refiere a Ja relación entre el Jímite de una sucesión compleja y los límites de sus partes real e imaginar.ia. 16.6b Teorema. Para que una sucesión compleja {an}. donde a,,= a 11 + + iPn tenga un límite A = a + ip, es necesario y suficiente que
ªn ~a Y /Jn ~ {J. Demostración. Supóngase primero que tln-+ A. Entonces para cada
, > O existe
un N(E) tal que
lan - A I < Pero por el Teorema 16.6a (i). Jan-al~
Teorema: (i) Si (ii)
Si
z = x + iy, donde x y y son reales, lxl < lzl y IYI < lzl. Z1
entonces
Y Z2 son números complejos, entonces lz1
Demostración:
!xi= IP lz1
+ Z21 2 =
(z¡
si n
lan-AI <'
> N. sin> N
IPn-PI ~ lan-AI < ( sin> N. Por lo tanto «n ~a Y Pn-+ {l. Supóngase ahora queª" ~ a y Pn -+ p. Se desea demostrar que a,. -+ A.
Sea dado
Y
E>
O. Existe un N 1(d y un N2(,) tal que
lan-al < ,¡2 IPn-PI < (/2
sin> N sin> N2.
Sea N = máx (Nlo N 2). Entonces para n > N se tiene
a.)+ i(p,, -P)I
lan -Al= l(cxn -
+ z2)í%; + i;) = lz 112 + (z 1i 2 + i 1z2 ) + lz212 •
Ahora bien. i1=2 = z1.i2• de manera que la cantidad que se encuentra en e) paréntesis es e) doble de la parte real de z1z2 , la cual por la
'
y
+ Z2I < lz1I + lz2I·
cos 81 ~ p = lzl. (ii) Esto se. deduce a partir de la desigualdad. del triángulo para los vectores. También puede verse directamente mediante (i)
lz1 + z21 2 < lz11 2 + 21:¡1 • lz2I + lz21 2 = (lz1I + l~l)i. 1 Supóngase que se tiene una sucesión tan} de números complejos. El lan - A 1 < '
EJ número complejo z x + iy puede representarse gráficamente por el punto o vector (x, y). La longitud del vector (x, y) (o, en otras paJabras, Ja distancia del punto (x, y) a) origen) se Hama valor absoluto de z Y se escribe lzl. De donde lzl = v'x2 + y~ Algunas veces lzl recibe el nombre de módulo de z. Si se introducen coordenadas polares (p. O), entonces las relaciones x p cos fJ, Y= ,, sen O nos permiten expresar el número compJejo z x + iy en Ja forma (5)
21Z¡z 21 = 2lz11• lz 21. Así que
límite se define exactamente como para los números reales: El número A es el límite de Ja sucesión si para cada , > O existe un N(,) tal que
± Y2).
+ i(X1Y2 + X2Y1)(X1X2 + Y1Y2) + i(-:r1!'2 + X2Y1)
Z2
parte (i) de este teorema es menor que
435
CD
!
ti.,()
an como una serie infinita de números complejos. La convergencia de
\
funciones analíticas reales
437
436 la serie de Taylor la serie se define precisamente como en el caso real, a saber Ia,, converge si la sucesión de sumas parciales converge. Los conceptos de convergencia absoluta y condicional no cambian. Una serie de potencias Ianz" en una variable compleja converge en un círculo de convergencia dado por
lzl
+i
1
= cos fJ + i sen O.
Í zk = 1 S
=
Re(i zt),
< x < r}.
Por el Corolario 16.2f,
Entonces para 1/2)0
~nl~
a k'
(k - n)!
k
•
~-n.
Escójase cualquier r
Re(I zk) = sen(n + 1/2)0 _ ! . 2sen1/20 2
+ cos () + cos 20 + · · · + cos n8 = sen(n +
co
k<=n
¡
=
i
• 1 De aqu1 que 2
en {- r
{-R < x< R}.
1 - cos ( n + 1)O - i sen ( 11 + 1)O • 1 1 - cos O - ; sen O Por medio de un poco de trigonometría se deduce que
z" + 1- z
1r•cx>I ~ - - - (r-lxl>"+'
Entonces
donde Re( ) denota la parte real de todo lo que se encuentra dentro del paréntesis. Ahora bien 1
sea analítica en el or1gen es .necesario y suficiente que f sea infi· nitamente diferenciable y que existan dos constantes r y K tales que
Demostración. Necesidad. Ya se ha visto la necesidad de la diferenciabilidad infinita. Falta obtener las estimaciones. Supóngase que
n
S =
16.7a Teorema. Sea f definida en una vecindad del origen. Para que f
rKn!
Sumar S = ¡ cos kO.
Solución. Sea z
~
sen nO,
en ocasiones, las fórmulas complejas pueden usarse para sumar ciertas ex presiones trigonométricas. EJEMPLO.
j,...
en el complejo; de hecho, la demostración que~ da es igualmente válida para las funciones complejas. Hemos visto que una condición necesaria para que una función (real) sea analítica es que sea infinitamente düerenciable. También hemos visto que esta condición no es suficiente -existen funciones infinitamente düerenciables las cuales no pueden desarrollarse en una ~rie de potencias. Ahora se desea dar un conjunto de condiciones el cual es necesario y suficiente para que una función sea analítica. Por simplicidad, supongamos que el centro de la serie de potencias se encuentra en el origen.,
.
·
16.7 FUNCIONES ANALITICAS REALES Se dice que una función de una variable real o compleja es analítica en ~n punto u en su dominio si pued.e desarrollarse en una serie de potencias centrada en a. El estudio de las funciones analíticas se realiza más fácilmente para las variables complejas. haciéndose pronto evidente que la restricción de realidad es inc6moda y verdaderamente no naturdl. El teorema que se desea probar aquí es tan sencillo en el caso real como
lakrtl < K lxl < r,
para k =O, 1, 2, ...
IJ<">(x)I < Í lak~I ~=n
k! (k - n)!r
n(lzl).t-n r
K co k! (lxl)k-n <-I rn 1.: ~ n (k - n) ! r
K
=;;;
(1_1:r· n!
rKn!
= (r - lxl)"+I ' donde la serie se suma mediante el Ejemplo 2 de la Sección 16.2.
438
la serie de Taylor
Su/iciencia. Ahora supóngase que f es infinitamente diferenciable y que se satisface la estimación del teorema. Entonces. por la fórmula de Taylor con residuo
f
'· · 17 '~'.:'
(x) - Sn(x) = Rn+ 1{x),
donde Sn Y Rn+i tienen el significado acostumbrado. Escójase x con lxl < r/2 y manténgase fija. Entonces ¡¡
<
+ 1)!
+ 1)!
lxln+l (1· - 1x1r+ (11 + t)! rK(11
Integrales impropias
2
-_ puesto que
rK
( lxl )n+l - - -.o (r - lxD r - lxl
conforme n
lxl < r/2.
~
oo.
1 EJERCICIOS A
1. Por sustitución, calcular los primeros términos de los desarrollos de Taylor en tomo a O, para las funciones siguientes: (a) et•ou (b) etanz (e) log cos x
2. Por inversión, calcular los primeros términos de los desarrollos de Taylor para las funciones siguientes: (a) tan Y en tomo a O a partir de ang tan x (b) ang CO.'l y en tomo a O e partir de cos x (e) ang senh y en tomo a O a partir de senh x. 3. Probar el teorema de De Moivre para el entero n: (cos B + i sen B)• = cos ns + ; sen ns.
=
4. A partir de Izª 1/(1- z) con Ir" sen ns, donde O <: r < 1.
lzl < 1,
deducir las sumas de I,.. cos ns y
S. Demostrar que sen x y cos x son analfticas para toda x.
17.1
INTEGRALES IMPROPIAS. CONVERGENCIA CONDICIONAL Y ABSOLUTA
Nuestra definición de integral requirió que el intervalo de integración fuera acotado y también que la función f que se integra fuera acotada en /. Existen ciertas extensiones del concepto de integral que nos permiten eliminar uno o ambos de e~tos requerimientos en algunos casos. Estas extensiones se llaman integrales impropias. Dichas integrales se definieron brevemente en el Capítulo -t Ahora s..: desea restablecer esas definiciones y estudiar las integrales impropias sistemáticamente. La teoría de las integrales impropias guarda una considerable semejanza a la de las series infinitas y el tratamiento que se les dé en este capítulo será análogo al estudio previo realizado con las series infinitas. Empezaremos por formular las definiciones de las integrales impropias. Sea f definida en un intervalo {a ~ x ~ b}. Supóngase además que f es integrable en fa ~ x ~ e} para todo e entre a y b y que f no es acotada en toda vecindad· de b; es decir. existe una sucesión {x,,l de pLintos que tienden hacia b para los cuales 11(x,,)I ~ + oo. El punto b se llamará punto singular o singularidad de la función f . El símbolo integral impropia de converge o existe si
f
/(x) dx se llamará
f desde a hasta b. Se dirá que la integral impropia lim c-b-0
f.c /(x) áx 11
existe y este límite recibirá el nombre de valor de la integral. Si el.límite no existe se dirá que la integral diverge o que no existe. (439)
convergencia condicional y absoluta
440 integrales impropias
La integral impropia se define de modo análogo si el punto singular se encuentra en el límite inferior:
I.
i(x) dx = lim fi(x) dx. e .. a+O
a
·~·
e
Un punto singular e también puede presentarse como un punto interior de un intervalo {a<; x
En este caso, antes de afirmar que ft(x) dx
<; b}.
De aquí que
existe, ambas integrales impropias J:t(x) dx y ft(x) dx deben
~istir. Se
dice que el valor de Ja primera integral es la suma de la segunda y la tercera. Y si ambos límites, superior e inferior, son puntos singulares, en-
Sea f(x) definida en {a ~ x} e integrable (es decir, propiamente integrable) en {a<; x
<;
b} para todo b >a. Entonces el símbolo Lcof(x) dx se
f desde a hasta oo. Se dice que la integral
llamará integral impropia de converge o existe si
lim
· 1a convergencia • o d'1vergenc1a • de E1EMPLO l. . 1nvest1gar
b
dx
1z2
b
XI
J.
co
1
dx 2X
conforme b-+ oo
De aquí que
co
= l.
X
=
i
1
J.1 ~ . 1
b
O
senx - - dx =
f."" -senx- dx + f O
X
nrr+r"
nrr
X
sen x
-- dx X
=1 + 1
2,
1
respectivamente. Examinemos /'2:
II.nrr
n:r+r"S~nx 1 I.nrr+rnlsenxl - - dx < - - dx
nrr
X
< fnu+r,. -1 dx < -1T
X
m1
ll1T
n7T
1 = - . n
De aquí que 12 ~O conforme b ~ oo. Por lo tanto es suficiente probar que l 1 tiene un límite conforme b ~ oo. Ahora bien n senx n 11 -dx=Ib1c, X
(k-l)rr
k=l
donde b1:=
f,
k
senx --dx.
11
X
(i:-1)11
Evidentemente que los signos de los coeficientes b alternan. Son decre· cientes (¿por qué?) y bk ~O (por la misma razón que / 2 -:) O). Por lo tanto / 1 es una suma parcial de una serie alternante convergente. Así que se ha demostrado que
f.
00
senx d
•
--X=lm 1 X
b ..
°'
J.,, -senx d -z O
X
converge. Esta integral se evaluará en el siguiente capítulo. El último ejemplo nos ayudó a puntualizar la analogía entre las series y las integrales :_una analogía que guiará nuestro desarrollo en todo este capítulo-. No obstante, debemos ser cuidadosos porque esta analogía tiene sus límites: es una analogía y no un isomodismo. Por ejemplo, puesto
Solución:
f dx = _ ! 1 = ! _ 1 -+ +ex:> Ja z2 X a Q
(I')
que el integrando es no singular en x = O. La singularidad se encuentra en el límite superior. Escójase cualquier b >O. Entonces existe una n tal que b n.,,. + '"' donde O<; Tn ~ .,,. Evidentemente que entonces n-:) oo conforme b-:) oo. De aquí que puede escribirse
O
1
EJEMPLO 2. Investigar
diverge.
X
l:= 1
existe y el límite se llamará valor de la integral. En este caso se dirá que el «punto oo » es un punto singular, aunque f se transforme o no en no acotada conforme x ~ oo. Si el límite no existe se dirá que la integral diverge o que no existe.
f, =-!lb= 1 - !-+ 1 f, dxx2
d:
=I ik1r
f.J(x) dx
b-co a
Solución:
Jo
Í
(x) dx deben existir; y una ve; más se dice que el val;r de la primera
integral es la suma de la segunda y Ja tercera. El estudiante debe convencerse por sí mismo que el valor de esta suma es independiente del punto e intermedio que se escoja.
1
senx EJEMPLO 3. Investigar - - dx. O X . senz , Solución: Primero nótese que - - ~ 1 conforme x~ O. De aqu1
tonces antes de afirmar que ff(x)dx existe, tanto ff(:r.) dx como
ff
f
441
conforme a -+ O.
que an-:) O en toda serie convergente~. podría pensarse que si
Li(x) dz
442
integrales impropias
convergencia condicional y absoluta
converge. entonces /(x) ~ O conforme x ~ oo. Para observar que esto no es así, examinemos la función f dada por si n
l
f(x) = { O
< x < n + ·l/n 2
n
Es evidente que se cumple un criterio semejante para la existencia de una integral impropia cuando la singularidad es en el límite inferior. Distinguiremos integrales convergentes absoluta y condicionalmente. Se
= 1, 2, 3, ...
~,.'
dice queii(x) dx (una vez más b puede ser finito o bien oo) es absolu-
para toda otra x.
y
~} ~~.._ ~,
·i.
...
ª tamente convergente si
f.b l/(x)I dx es convergente. Pero si la primera in-
ª diverge, entonces se dice que f.bf (x) dx es tegral converge y la segunda condicionalmente convergente. ª 1
EJEMPLO
~
J.
4. Probar
1 I r sen - dx respecto a la convergencia absoluta.
O VX
1
1
2 1
O¡
3
4
3y,
2 Y•
Entonces es evidente que para n
~
5
< a< n + 1,
n
lim
l
a
f(x) dx
...º
Existe un criterio de Cauchy para Ja convergencia de las integrales impropias. El diagrama ayudará a ilustrar la redacción del teorema. 1 1 1 e d
1
X
1
1 a
b
! X
1 e
<
<
b. Una condición necesaria y suficiente para que es que para cada t: >O exista un X(<) tal que
Demostración. Sea · .
para X< e< d
f f
1
J;,
J.ª /(x) 6
x-!-i
·---..
dx
lf(x)I dx < 2Jd < E.
De aquí que la integral converge absolutamente. Precisamente, como en el caso de las series, la convergencia absoluta implica la convergencia ordinaria.
Li(x)
dx exista
dx es una integral impropia absolutamente con·
Demostración. En el teorema, b puede ser un punto finito o bien oo.
La demostración se deduce a partir de la desigualdad 1
ff
(z) dz 1<
EJEMPLO
J. xe-:r
1
5. Evaluar
dx.
Solución:
f.,.-• -z•-1:+I:
= f (x) dx.
dz =
. a
Entonces el teorema es precisamente un restablecimiento del criterio de Cauchy para la existencia del límite de la función F(y). (Ver el Teorema 6.2b.)
1
f·
jf(x)I dx con una aplicación en dos formas del criterio de Cauchy. (Ver la demostración del teorema análogo para las series.) 00
< b.
De aquí que
e-• dz.
= -ae-ª + 1 -
J. xe-z = 00
1.
·
.-
vergente, es convergente.
J."
F(y)
l/(x)I dx <
17.lb Teorema. Si
1 b=+ao d
17.la Teorema. Sea b un número finito o el símbolo oo y sea f definida en {a x < b} e integrable en fa x ' e} para todo e entre a y
IJ.icz) dz / < •
f
1
mientras que es obvio que lim f(x) no existe.
a
l/(x)I <
1 =J.aof(x) dx =!co 2, k O
X
= 2xHI: = 2(Jd - Je) < 2Jd. Dado t: > O, escojamos X(t:) = e/4. Entonces para· O < e < d < X(t:),
n+l
O
= ~ ~sen~ . VX
y
2 ,
a-+co
X
Entonces
4 1Ae
tk21 < iª/(x)dx < t k1
de modo que
Solución. Sea f (x)
1
1
1
443
e-ª -1
conforme a-+ co
,,..:.
444
integrales impropias
E JEMPLO
6. Demostrar que
Solución . Sea
I
=
ejercicios
L"'e-z' dx
L"" e-"' dx.
=
< +
iv;.
Sea Cn el cua rto de cin.:ulo {O x2 i <; R. x ~ O, y ~ O} inscrito en Sn . Entonces Smv'l está contenido en Cn. Puesto que el integrando es po-
Primero desarrollemos el ejercicio for-
sitivo,
JJe-..·-
malmente y a continuación regresemos para justificar nuestros cálculos: 12 =
= De aquí que
445
i ""e-.,• dx L~-v• dy i"" i"" e-.,•-v• dx dy
Sn¡
=
f•/2 Í"" e-r•, dr dO = '.: Í"" e-r•, dr = '.: · Jo Jo 2 Jo 4
11 •
dx dy
<
y;
JJe-z· -·· dx dy < JJe-z·-
11
•
dx dy.
S11.
CR
Ahora bien, las integrales en los extremos son J RN'i y J n. respectivamente. Conforme R _,, oo, cada una de estas integrales tiende hacia r . De aquí que lo mismo acontece con la integral de enmed io. 1ntroe ucimos coo rdenadas polares en esta integ ra l y escribimos una vez más la integra l doble resultante como un~ integral iterada en r y O:
JJe-:r•-.• d.i: dy = JJe-r',. dr dO = iui'' e-r',. dr dO 2
C//
CN
u
,
(•tz
= [ e-r r dr I, •u •o Haciendo que R _,,
Cl.l
,,u
dO = -(rr/i)!e- r
o
= (7T/4)[1
,
- e-R].
se obtiene el resultado deseado. EJERCICIOS A
l. Probar las integrales siguientes respecto a la convergencia y la convergencia absoluta. Evaluar las convergentes cuando sea posible: (n)
(e)
Este cálculo sencillo hace fácil recordar el valor de la integral. Sin embargo, antes debe de agregarse mucho más para que pueda llamarse demostración: Primero obsérvese que
12= 1i!:1oo
(i Re-.,•
d x)
(fle-v' dy)'
(iRe-z' (iRedx)
112
dy) =
iR(ine-z'-
112
dx) dy,
y la integral ite rada puede escribirse como una integral doble :
in(in e-z' - .'
dx) dy =
JJe- z•-v• dx dy =J S11.
R _,,
oo.
(b)
d.c k > I -¡:,
(d)
X
L
L""e-:r• d:c
(h)
L""
cos x dx
(j)
i"'
scn x --dx
(/)
(m) L ooe- :rxn dx
(n)
(k)
(o)
1
l
.t
i v; i
ese X dx
oox2e- z d.'t
L"'e- z L
cos x dx
00
x2
"'e· z'.c3 d..:
J
(q)
i oc- d.c -;r. k < I 1
(/)
(i)
dx -¡:.k < I
X
1
csc x dx
(e)
f O
1
R>
donde Sn es un cuadrado de lado R en el primer cuadrante como se muestra en la figura ad junta. Por tanto se ha demostrado que J11 _,, 12 conforme
dx o;¡:,k > I.
1
(g)
y ahora procederemos a trabajar con el producto de estas dos integrales propias. Es evidente que
f i'"
lo~' e··:r.'J:2" ' 'd.r
(p)
e- z• sen x dx
i
co e-z'x4 dx
L"'
e - :r',t211
d:~
446
con integrales no negativas 447
integrales impropias
estas pruebas se aplican con igual propiedad a las integrales en las cuales la singularidad se presenta en el límite inferior.
EJERCICIOS 8 1. Sea
Lb /(x) dx
una integral impropia absolutamente convergente y sea f/J una
ª integrable acotada. Demostrar que función mente. :Z. Probar que
L"'
cos x' th:
= xt.)
sustitución y
J. Se vio que para que
f.
a
Lbf(x}l¡(x) dx
converge absoluta-
a
,¡,'
..
~
L"'
·f"-
sen ,.S th: convergen. (Sugerencia: Hacer la
y
if-
17.2b Teorema. Sean f y g funciones no negativas en I: {a~ x < b}. integrables en {a ~ x ~ e} para todo e, a < e < b. Supóngase además que cada una tiene una singularidad en b y que f (x) g(x) en /. Entonces
<
(i)
lim 11-co
i
lftC
C1
f (x) d:x: = O.
S. Demostrar que
~a
L
i
0
(Sugerencia: Aplicar la identidad sen 2x
cosen2 x -2 - dx
=
X
= 2 sen x
1
iCI) senx --dx. O
17.2c Teorema. Sean f y g funciones positivas en fa~ x < b} e integra· bles en fa~ x ~e} para todo e entre a y b. y supóngase que
f (x) =
:i:-b
Í
l
cos'
.
,
g(x)
Entonces tantoÍJ(x) dx como " vergen.
=a
Lª
g(x) dx convergen. o ambas di-
q/2 < f(x) g(x)
17.2 INTEGRALES IMPROPIAS CON INTEGRANDOS NO NEGATIVOS
< 2q
g
ir;.;..,
~·
X
si X< x
<
b.
(¿'!?or qué?)
De aquí que Los siguientes teoremas acerca de las integrales impropias son análogos a los de las series dados en la Sección 14.2. Puesto que las demostraciones son semejantes para ambos casos. aquí se dan en forma abreviada. 17.2a Teorema. Sea b un punto finito o bien co y f una función no negativa en /:{a~ x < b}, integrable en fa~ x ~e} para todo e,
a< e< b, con una singularidad en b. Entonces fi(x) dx existe :i:
f
Ja
f.a (t) dt esf.:i:acotada para x en /. Demostración. Esto es así porque ª f (t) dt es no decreciente.
i fªg(x) dx 2 e
para X< e< d
e
e
< b.
Por el criterio de Cauchy se llega a Ja conclusión del teorema.
1
Una función útil para usar como comparación es la función potencia dada por 1/x'. Por los Ejercicios Al (a), (b), (e) y (d) del último conjunto de ejercicios se ve que
f.«> d;
1
Aquí, como en todos los teoremas de esta sección, supongamos que el punto singular se encuentra en el límite superior de la integral, que puede ser finito o infinito. Por supuesto que el estudiante debe darse cuenta que
para
a> O
converge si, y solamente si,
k> 1
y
iª
dx pard o ~
a
>O
~;,.;;..
:5
Demostración. Sea q = lim/((x)). Entonces existe un X tal que :i-.b
si, y solamente si,
::-.
......,
__. .....~
f (x) < co. 6
.
- - dt diverge logar1tm1camente conforme .t -+ O. En :¡; t particular, demostrar que lim [-log x-/(x)] existe y que 23/96 1/4. ,. ..o+
~'; ._,..a.-
O < lim
X
EJEROOO C
1. Demostrar que
<
CI
log sen x dx.
o
dx también converge;
zDemostración. Ambas conclusiones se deducen a partir de ff(t) dt g(t) dt y el Teorema l 7.2a. ª
JI
rn/2
JfJ
f.r(x)
si J.i(x) dx diverge, ["g(x) dx también diverge.
(ii)
¿Es necesario que e sea constante? cos x.)
g(x) dx converge.
~«
.
embargo, demostrar que para· cualquier constante positiva c.
4. Evaluar
f
si
ao /(x) dx exista no era necesario que lim /(x) = O. Sin
converge si. y solamente si. k
< 1.
448 integra/es impropias
el valor principal de Cauchy 449
Por Jos mismos argumentos.
l 1• am
y
:zoo
para a> "'o converge si, y solamente si, k
>l
para a> "'o converge si, y solamente si, k
< l.
(x -d:t:Xo)k
(x -dzXo)k
Sumando desde k
Jo ~ 1 _ y2
EIEMPLO l. Examinar ('
Solución.
.j¡ - y•
1 YXI +Y)
= ./(1 -
nlT
o
1senx1 dx :r:
a~ O. EIEMPLO
2. Examinar
Solución. Ahora
J.me-
1•
0
sen/ dt
1 < .j¡--- y= = (I - y) !-t
Li(x)
para la convergencia absoluta si c- 112e-' t'. 11
Sea M ese máximo. Entonces
rior
3. Probar que
Solución. En {Ck
J.mM,,-tt2 dt converge (y es igual, de he-
..
senx¡ "'
+ (S/6)P,}
se tiene
....,.
l
d:t: "'
>
211(k
/(x)
e+€
dx]
+ l)
27T
3
€-+0
+ l)
f(x) dx].
e+€
CI
Calcular . Po
J
dx - •
-1 X
1
3(k
f.J(x) dx y se CI
2
EJEMPLO.
.- =
dx.
No debe interpretarse Pe como un factor numérico. Es una bandera roja que nos llama la atención acerca del hecho de que no estamos trabajando con una integral propia ni aún con una impropia ordinaria. o de alguna variedad. Al poner la Pe al principio de la integral se da a entender que es un valor principal. La e da la localización del punto singular o anómalo.
X
-
a
C1
senx
[""+s..is¡ senx¡
+f.
Pef.i(x) dx = lim[f.c-f(x) dx +f.b
- d x no converge absolutamente. (k
f.i(x)
existe, esto se llamará el valor principal de Cauchy de
e-'111 sen t dt
X
+
(x) dx
~~~ro~
1 1 . 1-senx¡ >-;:;:. 2x 2(k + lp
d:t: >
€-0
00
+ (l/6)]7r..;;; "'..;;;
De modo que
l
l
oo
f¡
como el valor de la integral
6
converge absolutamente, y de aquí que converge.
E.Jau.1.0
=
lim[f.c-f(x) dx
cho, a 2M), de manera que por la prueba de comparación
f.
defin~
e, el cual es un punto singular de f. Si f.Í
11
y Me-• es integrable. Esto es,
dx
Li(x) dx y ff(z) dx deben exis-
Existen circunstancias en las cuales es posible definir un valor para la integral de la izquierda cuando ninguna de las de la derecha existe. La idea es que ciertos + oo se cancelan con ciertos - oo para dejar una suma finita. La definición precisa es como sigue. Sea f definida en {a~ x ~ b}, excepto posiblemente en un punto inte-
le- 1 sen t/ ~ Me-'P, 0
conformen ~ oo.
31k
-tir. La suma de estas integrales se impropia desde a hasta b:
Se ve que ,,-•11 1• es acotada para t ;;;¡, O, puesto que es O en t =O, pequeña para t grande y continua para valores intennedios. De hecho, puede calcu. larse el valor máximo por los métodos de la Sección 7.4. 1
3ok+l
convergente, ambas integrales impropias
1
le- 11• sen1¡ < e- 1,. =
" 1 > -1 n-i I -1- = -1 I~ + oo
17.3 EL VAWR PRINCIPAL DE CAUCHY
Asi que la integral converge por la prueba de comparación. 1
l, se obtiene
Se ha señalado que para que una integral con una singularidad en un punto interior e de {a~ x ~ b) se admita como una integral impropia
(ver la Sección 5.3).
La singularidad está en y"" l. Ahora bien 1
i
= O hasta n -
.
Solución. Es evidente que tanto
o dx
J
-
-1 X
como
f2 -dx divergen. una O X
450
ejercicios 451
integrales impropias
hacia - oo y la otra hasta + oo. de modo que la integral te como una integral impropia ordinaria. Sin embargo,
J i i J = -E
-1
Asf que
dx -+ :X:
2
dx= -
E
P0
2
I
:X:
1
dx
dx - no exis-
EJERCICIOS A
-1 X
l. Examinar las siguientes integrales respecto a la convergencia.
dx -=log2.
(a)
f.
(e)
J.
:X:
log2.
-1 X
f
2
· ~.
(e)
17A UNA PRUEBA DE ALTERNACION (g)
La siguiente prueba es una generalización de la idea aplicada anterior00senx
.,
cos x3 dx
(b)
1-1 dt
(d)
00
oo 1
L f.
(i)
Loo ,1¡
17Aa Teorema. Sea f una función definida para {x ~a} y propiamente integrable en {a ' x ' b} para todo b > a. Supóngase que existe una sucesión de números fan) con las propiedades = <1, an+i > ano ª" ~ + 00. de modo que (i) f(x) tiene signo constante en cada intervalo fan 'an+1 ), (ii) f(x) cambia de signo desde (a,,_1 an} hasta fa,,' an+il. ·
(k)
f,'°
O
X
ªº
'x'
X'
1>I J.:" f(:r)dz I· 1
(iii)I tJ(z) d:r: (iv)
J.:~/("') dx-+ O
Entonces
f º¡
'x
confonne n--> oo.
Entonces
~~
~ Cn
4
Ahora bien
1
Ct
oo
f.
00
x(log x)P
sen z d:1:
1
1
I
(h)
f."°o v'I +
(j)
L1
dx
x3
Jog X d:i;
00
(log x)385 x35/34
dx :~:
l z2-1
ecosz_
Lvt
(n)
o
X
f.o f.
_g
;i;-
-¡¡¡ cos - dt
.. 1
dx
+
e I
f
1 Jog (1 x3/2
ellz
(/) J1
x)
f.
(p)
dx
1 o z95 e-llz dx
- - = dx, a. > O
(r)
1/i5 X -
f.
--...-.. ..
~;1
-x
sen X cot x dx
62 XI
0
00
rr
. 0
f
75 dx _ x2
(b) P0
1
~
+f.rª¡(z) dx .
X
-d:c senx
f
1 dx _ x3
(e) P0
1
f
1 _
sgn x --;-dx 1
EJERCICIOS B
.
conforme n .....
l. Demostrar que las integrales en los Ejercicios Al (a) y (b). no son absolutamente convergentes.
2. Examinar
ª•
1s:.·1cz) dx 1< IJ.:•"J(:r) dx ¡. . . o
f,
converge, por la
a;
I
(o)
x2
dx
O
(a) P0
J.ª• /(x) dx.
i(x) dx =
L
(/)
> l.
sen :xf1- dx, a.
2. Examinar las siguientes integrales de valor principal respecto a la existencia.
prueba de la serie alternante. y dado cualquier b > existe un n para el cual b .= an ± fm donde o ' rll < (un+1 - an). ~ntonces .
f.
oo
(m)
(q)
(x) dz converge.
Demostración. Sea en=
1
d:
00
7532 1
1
Tti sen - dt 351 I t 15 1 1 -;¡¡sen - dt o I I
- - dx. La demostrac1on es L completamente semejante a los argumentos usados en el ejemplo.
mente en el capítulo cuando se examinó
f.
00
00.
1
Explicar cuidadosamente la desigualdad de la línea ahterior. · Existen otras pruebas más delicadas semejantes a las pruebas de Abel y Dirichlet para las series. Estas se discutirán en el próximo capítulo. Otras pruebas se explorarán en los problemas.
f."'
2
d8 respecto a la convergencia. o v'I -: scn2 8
J. Sea f una función no negativa definida en {x >a} e' integrable en {a< x <; b} para todo b > a. Demostrar que si existe un r < 1 y un X ) a para los cuales [f(x)] 1 P
< r para toda x >X, ento~ces
i
00
/(x.) dx converge;
4. Sea f una función continua positiva en {x ">'a}. Demostrar que
. . /(z + 1) verge s1 ~~"!, /(x) < 1.
.
i CI
00
'
/(x) dx con-
452
integrales impropias
S. Sean f y g dos funciones diferenciables definidas en {a ( x < b}, donde, como es costumbre, b puede ser finito o infinito. Sean/' y g' integrables en {a <; x ~ e} para todo e entre a y b. Demostrar que si Lb f(x)g'(:i:) dx es una integral impropia convergente y lim /(x)g(x) existe, ento:ces Li'(x)g(:i:) dx ~•
existe, ya
a
sea como una integral propia o bien como una impropia convergente, y
i
bf(x)g'(x) dx = lim/(x)g(x) - /(a)g(a) -Lb J'(x)g(x) dx.
a
s-b
a
EJEROCIOS C l. Sean f y g definidas en /:{a ( x
que Lbf 2(x) dx
< b}, donde b es finito o infinito, y supóngase
y Lb g 2(x) dx existen como integrales propias o bien como
integrales impropias convergentes. Demostrar que: (a)
f lf f [f
f (x)g(x) d:c
f [/ 1 f !f r (f dx)(f dx) [f dx] [f y
(x)
f (z)g(:r;) d:r; < i
/'(z) tk
(e) (
f (x)g(x) dx <
¡2(x)
(d)
[/(x)
+ g(x)]2 dx]
12 '
+
g'(z) tk
g 2(x)
112
<
J2(x)
+
Debido a las variadas circunstancias bajo las cuales puede ser impropia una integral múltiple, no intentaremos un estudio exhaustivo de estas situaciones. Es mejor esperar hasta que el estudiante se familiarice con la teoría de la integración de Lebesgue. Las distinciones necesarias por los diferentes tipos· de singularidades están todas absorbidas en la teoría grneral de la integral de Lebesgue. Aquí nos conformaremos con una discusión de dos casos, a saber una sola singularidad en un punto finito y un dominio infinito de integración. También, sólo trabajaremos en dos dimensiones, aunque es evidente que es posible un tratamiento semejante para las dimensiones superiores. Antes de empezar nuestras definiciones, recordemos un poco la no .... menclatura que se usará otra vez. Una región es un conjunto abiertoconexo. Una región cerrada es una región junto con su frontera. El diámetro d de un conjunto S está dado por d = suplP-QI.
+ g(x)]2 dx
existen como integrales propias o impropias convergentes. (b)
múltiples 453
12 g2(x) dx] '
donde P y Q son puntos en S. Un conjunto acotado es cuadrable si tiene una área. Sea f acotada y continua en una región cuadrable acotada R. excepto en un punto P0 , donde se vuelve no acotada. Sea R' una región cuadrable acotada que contiene a Pu en su interior. Sea R" el conjunto que consiste de aqueltos puntos de R los cuales no están en R'. Entonces R" es cuadrable (¿por qué?) y f es integrable en R". Sea d el diámetro de R'.
2. Sean a y b puntos finitos y sea Lbf (x) dx absolutamente convergente. Entonces
ir, l/(x)l
11
1' 2 dx
converge y
f l/Czll'"'"
< vr=-;;
Jf 1/1 '"·
3. Establecer y probar un teorema de alternación semejante al J7.14a para el caso de un punto singular finito.
175 INTEGRALES MULTIPLES IMPROPIAS
Si lim d-+O
Como en el caso de las integrales simples, la definición de integrales múltiples requiere que tanto la función f como el dominio de f sean acotados. Puede extenderse la definición eliminando una o ambas de estas restricciones. Una vez más. las extensiones recibirán el nombre de integrales impropias cuando existan.
JJi
(P) dA = J existe, entonces se dice que f es impropiamente
R•
integrable sobre R. El valor de la integral impropia es J. Usaremos el mismo símbolo para representar una integral impropia que el usado para una propia: J =
ff/
(P) dA.
R
454
integrales impropias
múltiples
El significado preciso del límite involucrado en la definición es que.
Jf
JI <
E para para cada E> O, existe un B(c) para el cual 1 f(P) dA toda región R ' para la cual d < 8. w La convergencia absoluta y la condicional se definen como antes. Existe un crite rio de Cauchy p:i. ra este tipo de límite y se deduce que cualquier integral absolutamente convergente del tipo anteriormente definido es convergente. También se tienen las mismas pruebas de comparación como en el caso de integrales de una variable. En luga r de explorar estas cosas en detalle, nos contenta remos con probar un teorema. básicamente un teorema de comparación . Es el teorema más usado para tratar con integrales del tipo definid o anteriormente. Supondremos el criterio de Cauchy.
17.Sa
Teorema. Sea f una función continua en una región cuad rable acotada R excepto en P0 • donde se vuelve no acotada. Supóngase que f satisface una desigua ldad tle la forma I/(P)I
donde a
ff
< 2.
<
IP
(En general, a
~Poiº
<
n
P en R .
= dimensión
< r2). Entonces esta
últ ima integral está acotada por
' • .;¡p -P0 f .;r,
f.''f
=
2'c r -·r dr dO -- 21TCr-• ¡r• - 21TC [ 2-• 2-•J 21TC 2-a - - - - - - '2 - '1 < - - '2 .
2 - Cl. TJ 2 - (X 2 - (X Pero a < 2. De aquí que esta diferencia puede hacerse tan pequeña como se desee haciendo p~queño a r 2 -es decir, haciendo pequeños los diámetros de R,' y R 2 '. Por lo tanto. por el criterio de Cauchy. el límite existe y la in tegra l converge. Se cumple una definición y un teorema semejante con dominios de integración no acotados. Sea R una región no acotada con la propiedad de que, si R' es cualqu ie r región cuadrable. entonces la parte común R" de R y R ' también es cuadrable. Sea f continua y acotada en R . Supóngase que el radio interno r tic un conjunto R' sea el radio del mayor círculo centrado en el origen el cual es contenido en el conjunto. T¡
0
1
JJ/(P) dA existe si~"! JJf(P) dA = J, donde R"
JI
el significado preciso del límite es que para cada e
f( P) dA converge abso lutamente en R .
R
C dA IP - P0 1'.-
Si se int rod ucen coordenadas polares centradas en P0 , entonces jP - Poi = r y la última integral se transforma en
Entonces se dice que J = del espacio.) Entonces
JJ
455
.
> O existe un r0
tal que
sir > r0 • Entonces el teorema es como sigue. 17.Sb Teorema. Sean R y f los descritos anteriormente. Si existen tres constantes r, > e > o y a > 2 tales que
º·
1/(P)I <
entonces
si jPj > r,,
C/IPIº
JJf (P) dA existe.
Demostración~La
demostración es semejante a la anterior y se deja
1
como ejercicio (Bl).
Demostración. Sean R 1 ' y R 2 ' dos regiones abiertas acotadas, conteniendo ambas a P0 • E ntonces Ri'' y R/ ' son, respectivamente los puntos de R no en R i' y R 2 ' . Sea D e l conjunto de aquellos puntos de Ri' no en R/. junto con aquellos puntos de R/ no en R i'. Entonces
IJn,·Jf(P)
dA -
JJ!(P) dA 1 < JJlf(P)I dA < JJIPc_d;01•. n,·
D
EJERCICIOS A l. Supóngase que P tiene coordenadas rectangulares (x, y) y coordenadas polares (r , 8 ), y sea R el conjunto {IPI l }. Examinar respecto a la convergencia:
(a)
fJ
<
~
log dA
(b)
R
dA
R
D
Ahora bieu, supuesto que R 1 ' y R/ son a biertas, existen dos círculos con radios r 1 y r2 tales que D está contenid o en el a nillo {r1 < jP - Poi
fJ~:;
JJx r~Z 2
(d)
R
y• dA
456
integrales impropias
2. Sea R el conjunto {!PI ;;;ii l}. Examinar respecto a la convergencia (a)
fI =;
dA
(b)
R (e)
fI zl ;
y' dA
R
ff
%4 +y' --¡:m-dA
(d)
ff ~z'
18
dA
R
R
EJERCICIOS B
l. Probar el Teorema 17.Sb. 2. En el caso de integrables triples, demostrar que el Teorema 17.Sa sigue siendo verdadero. si a < 2 se reemplaza por a < 3. y que el Teorema 17.Sb sigue siendo verdadero si a> 2 se reemplaza por a> 3.
Representaciones integrales de funciones
EJERCICIOS C
l. Sea D una región estándar en E 3 (ver el Capítulo 13), S su frontera Y D' el exterior de S. Sea I" continuamente diferenciable en D' y supóngase que IPl21FI ~O uniformemente conforme IPI ~ oo. Demostrar que el teorema de la divergencia se cumpla para F en D':
fff
V • F dV
D'
=
ff
F • n da,
S
donde n es el vector normal interior de D. 2. Sea D una región estándar en E 3 y sea F continuamente diferenciablc en D excepto en un punto P0 en el interior, donde F puede volverse no acotada. Si IFI IP - P0 ¡2 ~ O uniformemente conforme P ~ Po• demostrar que el teorema de la divergencia se cumple para F en D. 3. Sea R una región cuadrable acotada en E 2 y Q
/(Q)
=
ff
= (a, /3).
Definir f en R por
log (l/IP - QI) dAp. Demostrar que f tiene ambas parciales en R
R
18.1
INTRODUCCION. INTEGRALES PROPIAS
Tal y como se señaló al principio del Capítulo 15, existen relativamente pocas funciones que pueden expresarse en términos sencillos. Muchas requieren más bien expresiones esotéricas para sus representaciones, tales como integrales, o series de un tipo u otro. La clase de funciones que se desea discutir en este capítulo son aquéllas que pueden representarse mediante una integral que depende de un parámetro. b; Supongamos que F está definida en el rectángulo R: {a ~ x a ~ y ~ ,B} y que para toda x, ¡.· es una función integrable de y. En-
<
tonces la integral
J:
F(x, y) dy define una función de x en
Si se denota esta función por f, sus valores están dados por
y que pueden calcularse por derivación bajo el signo integral, por ejemplo,
!
(Q) =
ff
[(x - cx)/IP -
Ql 21dAp.
R
(Sugerencia: Demostrar que la segunda integral converge y que el cociente diferencia A f/Aa tiende hacia ella conforme Aa ~ O. l
{a~ x ~ b}.
f(x) =
I:
F(x, y) dy
{a< X< b}.
t::s natural inquirir acerca de las propiedades de f. ¿Es continua? ¿Diferenciable? ¿Integrable? Las respuestas a estas preguntas dependen, por supuesto, de las propiedades de F. El objeto de este capítulo será la discusión de estos problemas. Primero se discutirán las integrales propias. 18.ta Teorema. Sea F una función continua de (x, y) en el rectángulc, R: {a ~ x ~ b, a ~ y <: ,8}. Entonces tómese f definida en I: (a~ x ~ b} por
f (x) =
I:
F(x, y) dy
[457}
458
representaciones integrales de funciones
ejercicios
es diferenciable en /: {a~ x ~ b} y además la derivada puede calcularse mediante la diferenciación bajo el signo integral
es continua en /. Por lo tanto, es integrable en /, y
f¡
(x) dx =
I: f dy
F(x, y) dx. f'(x) =
Demostración. Para x'l y X2 en /, examinemos f(x1) - f(x2). Por el Teorema 9.6d, Fes uniformemente continua en el rectángulo R. Por tanto, para cada (
> O existe un 8(() tal que
IF(x1, y) - F(x2, y)I
De donde
1/(.,,) - /(.,.)1 = <
<
si lx1
IJ:[F(.,,, y) -
f
-
1F{x1 , y) - F(x2 ,
dz
x2 1< ~.
F(.,., Y)] dy
,aF
f. ax ~
- (x, y) dy.
df.' F(x, y) dy =i'oF - (x, y) dy. OX
Es decir,
E
CI
C1
Demostración. Sea la función g definida por
1
g(x) = I::x F(:z:, y) dy.
YI dy
< E(p -
(X) si lx1 - ~I < '5. Esto prueba la continuidad. La segunda conclusión se deduce, a partir del Teorema l 2.3a, de la evaluación de una doble integral como una integral iterada.
Entonces. por el teorema anterior. L:r:g(t) dt =
1
La continuidad de la integral como una función de x permite el intercambio del límite y la integración. Esto puede verse de la siguiente manera. Sea Xo cualquier punto en /. Entonces la continuidad de f se expresa como
=
I: I:
dy
Lz:fi F(t, y) dt = I:[F(x, y) -
F(x, y) dy -
I:
F(a, y) dy
F(a, y)] dy
= f(x) -
f(a).
Diferenciando los dos extremos de esta cadena de igualdades, se obtiene g(x)
= f'(x).
1
Jim f(x) ·= f(xo). :r:-+:r:o
En términos de la representación integral, esto se transforma en
lim
:r:-+:r:o
i'
F(x, y) dy
11
=f.' cz
lim a:-+:r:o
·
cz z-+iro
Ahora enfocare~os. la cuestión de· la diferenciabilidad de una fu~ción ~orno en el último teorem~. El resultado es el siguiente.
f definida
18.lb Teorema. Sean tanto F(x, y) como tángulo R:
{a~
x ~ b, a~ y~
f(x) =
J:
~=
(x, y) continuas en el rec-
/3}. Entonces f. dada por
F(x, y) dy,
< x <::a} por /(x) =J.1e-:ct dt
(a) Demostrar que fes continua en l.
J.'F(x, y) dy =J.' lim F(~, y) dy. cz
EJERCICIOS A l. Para cualquier a positiva fija, sea f definida en
1: {-a
F(x0 , y) dy.
Y, puesto que F es continua, esto es equivalente a
459
(b) Evaluar la integral para obtener una fórmula explícita para /. ¿Deíme esta fórmula una función continua en x = O? (e) Derivar f mediante la derivación de la integral. Evaluar la integral resultante y verificar que se obtiene el mismo resultado al derivar la fórmula encontrada en (b). (d) Integrar f desde O hasta a, integrando bajo el signo integral. Evaluar la integral interna. ¿Es continuo el integrando resultante? (e) Desarrollar el integrante en una serie de potencias en (xt). Demostrar que puede integrarse término a término y que la serie de potencias resultante en x es la misma que la obtenida directamente a partir de la fórmula de la parte (b).
< a} por L~enxt dt y J. cosb xt dt 1
2. Examinar las funciones definidas en {-a <; x
mediante el procedimiento usado en el Ejercicio 1.
..........
convergencia unifarme representaciones integrales de funciones
460
f
1
3. Estudiar la función f definida por /(x)
=
f:
0
(x)
= f"
Jo
(1
dy
+ X COS y)2
X
u(z)
f es continua en I: {a dx2
(x - y) dy.
(b)
- F[x, u(x)]u'(x).
X
( x ( b}, entonces
f fi
.
dx1
(t)(x - 1) di.
4. Demostrar que si fes continua en /:{a ( x ( b}, entonces
re
Ja dxn · · ·
5. Usar el resultado del Ejercicio B 2 para calcular f' donde f está dada por
L\an
u(z)
3. Demostrar que si
(a) ¿Para qué valores de x está f definida? (b) Calcular f' (x).
(a)
ax
;¡d I."
/(y) dy y f'(x) operando bajo el signo integral.
>
f
aF y supóngase que - - también
es continua en R. Sean u y v funciones diferenciables de x definidas en l: {a ( x ( b} con valores en J: {a< y ( ,8} -es decir, et< u(x) < p, a<; v(x) <; ,8. Deducir la regla de Leibnitz.
(d) Demostrar que f es una función de x estrictamente decreciente. (e) ¿Es f (x) grande o pequeña cuando x es grande y 07 (/) ¿Es f (x) grande o pequeña cuando x es grande y < O?
4. Sea
< /J}
y
2
e-z' di.
(a) ¿Para qué valores de x está f defmida? (b) ¿Dónde es continua la función? (e) Calcular
< x < b, et (
2. Sea F continua en R: {a
461
iza
ÍZz f (x
dx2 a
1)
dx1
11
J.x= tan~ dt.
1- I.2: f (l)(x =(n - I)! a
- t)"-1 di
para todo x en J.
¿Para qué valores de x está f definida en cada caso1 6. Verificar que y =
f:
18.2 CONVERGENCIA UNIFORME q,(1) sen(x - 1) di es una solución del problema y"
+y
=
y(O)
= O,
Por supuesto que es verdad que si
si t/J es continua. EJERCICIOS B
l. Sea b un punto finito o bien el símbolo oo, Supóngase que Fes continua en R: {a ( x < b, et ( y < /3} y f está definida en I:{a < x < b} por /(x)
f
=
F(x,y)dy.
f:
(a) Demostrar que /{x) es continua en J. {b) Demostrar que
Lz f
(1) di
=
dy
Lz F(I, y) dt para x en /.
=
f(
aF/ ax)(x, y) dy.
.... {e) Demostrar que si es finito, el requerimiento adicional de que uniformemente continua implica que lim .... exista.
F sea
f(x)
(/) Sea b = oo. Dar un ejemplo para demostrar que si F es uniformemente continua y acotada, lim f(x) no necesita existir.
....
propia todavía define una función. suponiendo que es convergente. Una vez más. como en la sección anterior. nos interesaremos en aplicar las operaciones del análisis a tal función. No obstante. existen ciertas dificultades inherentes al hecho de que la integral es impropia. Como en el caso de las series infinitas que dependen de un parámetro. sobrepasare· mos estas dificultades con auxilio del concepto de convergencia uniforme. Ahora se definirá la convergencia uniforme para integrales. Sea F definida en R: {a~ x ~ b, a~ y< ,8}, donde ,8 es finito o bien + oo; y supóngase que para cada x en /:fa~ x ~ b} la integral
L
F(x, y) dy existe como una integral propia o impropia. (Es entera-
mente permisible para la integral si f3 es finito, ser impropia para ciertos valores de x en I y propia para otros.) Si para cada ( > O existe un Y(<)
f
independiente de x. para el cual 1
(d) Dar un ejemplo para demostrar que lim f{x) no necesita existir• b
F(x, y) dy es una integral im-
11
aF {e) Si · - · (x, y) es continua en R, demostrar que / es diferenciable en I y que ax ['(x)
f
I.
/1
'1
F(x, y) dy 1< e para todo .,, •
> Y(E),
entonces se dice que F(x, y) dy converge uniformemente respecto a x en fa ~ x ~ b). 11 Existe una prueba M para la convergencia uniforme de tales inte· gralcs.
462
convergencia uniforme
representaciones integrales de funciones
18.2a Teorema. Supóngase que F está definida en R: {a ~ x ~ b. a~ y< /3}. donde f3 puede ser finito o bien + e.o; supóngase que
f
póngase además que existe una función M en
la cual /J « F(x,
< b}. Su{« < Y < /J} para
F(x, y) dy converge para cada x en /: {a< x
IF(x, y)I
<
y
M(y)
J.flM(y) dy
converge. Entonces
(X
y) dy converge uniformemente p~ra x en /.
f.
Demostración. Sea dado (>O. Entonces existe un Y(E) tal que
O< Entonces si f'/
J: M(y) dy < •
> Y,
\J:F(x,
si 1J
>
Y(<). (¿Por qué?)
J:w
y) dy \ <
x ~ b. se dice que F converge puntualmente hacia ~ conforme x ~ b. Esto significa que para cada ( y cada y existe un X(€, y)· para el cual
1
. -sen xt dt converge umformemente para t od a x. 2 o 1+1
L
Solución:
1
1
t2
EJEMPLO 2. Parcl toda e, pecto a ven {v
<
2
fa:> M(t) dt converge.
Jo
fi 1 ezv dz Jo VI - z
converge uniformemente res-
e}.
Solución: l.
L
M(t) y
1
1~1-z
rv' < vl-z I 1
elcl
= M(z)
1
y
M(z) dz converge.
También· necesitamos el concepto de la. convergencia uniforme de una función que depende de un parámetro. Sea F una función definida en R: (a< x < b, a< /3}. donde b p~ede ser finito o infinito. P~ede mi~r se F como definiendo una función de y para cada x, la vanable x JU· gando el papel de un parámetro. Entonces. podemos in~~irir acer~ de la convergencia de F conforme x ~ b. Si existe una f unc10n ~ defmida en {a< y~ /3} tal que para cada y se tiene que F(x. y)~ ~(y) conforme
y<
si X< x
< b.
y<
EJEMPLO 3. Sea F(x, y) ~
= e"(l + e- + sen y + !X 1
)
cos y en {x
> 0,0 '
y
l}. Investigar la convergencia de F conforme x ~ oo.
. ' p uesto que e-z ~ o y .-1 S olucwn. z
= e"+ sen IF(x, y) - c/>(y)I =
a considerar ~(y)
00
<~= + + 1 ~1
<(
IF(x,y)-~(y)I
Si puede escogerse X de modo que sea independiente de y, aunque p}, se dice que F tiende uniformepuede depender del intervalo {a< mente hacia ~ conforme x ~ b. El término «uniforme» se refiere: por supuesto, al hecho de que se aplica la misma X para toda y en el in· tervalo. En esta convergencia, el interés principal está relacionado con. el caso en el cual b es infinito. Si b es finito, puede definirse F(b, y) = .¡,(y); y entonces F se vuelve continua en el rectángulo cerrado {a ' x ~ b, y~ fJJ. Este punto se discute en los ejercicios. (Ver Ejercicio B2 en la Sección 18.3).
a<
Otra vez se recuerda al estudiante que aunque este teorema se establece para la singularidad del límite superior, se aplica con igual propiedad a las integrales con la singularidad en el límite inferior. EJEMPLO l.
463
r·
~O
conforme x
Entonces
erm
+l
X
~ oo
• nos conduce
.
cos
yl < e· e-=+~. X
Esta última expresión es independiente de y y evidentemente ~ O conforme x ~ oo. De aquí que F tiende uniformemente hacia ~· La prueba M, aunque muy útil, sufre del mismo inconveniente en relación con las integrales que en su aplicación a las series, a saber su requerimiento de convergencia absoluta tanto como uniforme. De aquí que son de desear pruebas más delicadas. Pueden demostrarse pruebas análogas a las de Dirichlet y Abel para las integrales. El punto critico en la demostración es la integración por partes que es la análoga de la identidad de Abel. Sin embargo, en :muchos casos es tan fácil probar la convergencia uniforme directamente como lo es verificar la hipótesis de uno o de los otros teoremas. El siguiente ejemplo ilustrará el método. EJHMPI .o 4. Demostrar que .
Í coe-2 ' sen 1 dt converge uniformemente en
{x
Jo
~ OJ.
t
Solución. Integremos por partes, integrando sen t y diferenciando Para x >O se obtiene
f, e-=t sent dt = co
r
t
Ahorc1 bien
1(1
e-=r cos T
+ xt)e-
T 2
'
cos
-f
r
00
(1
+ xt)e-
2 '
cos t dt.
t2
ti < é1:1 • e-d leos ti <
1,
e-z'/t.
464
representaciones integrales de funciones
convergencia uniforme 465 Demostración. Hágase
de manera que
t/>(x, -r) De donde
.
SI T
2
>-.
1
€
puede ser finito o infinito. Para que
r
<
a' y<
p}, donde
f3
F(x, y) dy converja uni·
formemente en /: {a< x b} es necesario y suficiente que para cada < > O exista un Y(c) independiente de x, en /, para el cual
1I.:'F(x, y) dy 1«
si Y< Y1
<
Y2
< p.
f
u(x, y) dy.
Por la hipótesis (i), 4>(x, T) es acotada en grando por partes se obtiene
f."•
u(x, y)v(x, y) dy = t/>(x, y 2)v(x, y2)
Estableceremos el criterio de Cauchy en el cual se basan las demostraciones de los teoremas de Abel y Dirichlet.
18.lb Teorema~ Sea F continua en {a' x ' b,
=
fa
< x < b, a < T < /3}. lote·
-
t/>(x, y1)v(x, yJ
111
-
f."ª"•
a
t/>(x, y) ;-v(x, y) dy. uy
De aquí en adelante, la demostración es semejante a la de las series: aplicar el hecho que "' es acotada, la pequeñez de
1'' av
1_,, 1uy. _,, L OS
y
V
deta11 es se dejan como ejercicio.
111.
"Y
1
El siguiente teorema da la prueba modificada de Dirichlet. 18.2d
Teorema. Sean u, v y ov/oy continuas en {a< x ' b,
a< y< {3}.
donde f3 puede ser finito o infinito. Supóngase también que
Demostración. Suficiencia. Para cada x fijo, la condición < es simplemente el establecimiento del criterio de Cauchy para la convergencia de la integral. De aquí que la integral converge para cada x. Manteniendo y 1 fijo y haciendo que y~ ~ {3. entonces se obtiene
1 I:.F(x,y) dy 1< •
1
a<
ov/oy continuas en
{a< x < b, y< {3}. donde {3 puede ser finito o infinito. Supóngase también que: (i) existe una constante M para la cual
(ii) (iii)
r1: f:
X< b}.
~YY (x, y) 1dy < M
'x'M
Entonces
u(x, y)v(x, y) dy converge uniformemente en
M para Ja cual b}. en {a~ x ' b}.
f:
1
~
u
Demostración. La demostración se deja como ejercicio (B4). Integrar por pa~e~ como en el Teorema 18.2c, pero remplazar 4> por r;, donde i¡, está defiruda por
=
f:
u(x, y) dy -
f
u(x, y) dy =
4
x <: b},
-i'u(z, y) dy. ,
1
EJERCICIOS A
(x, y) 1dy
Conveige uniformemente en
fa.;;; X.;;;
v(x, t) converge uniformemente hacia cero conforme
Entonces {a<
< p, a <:
f.'
en {a' (iii) lv(x, a)I
'P(x, -r)
en {ot <: -r
fa< x < b},
converge uniformemente en
fa< X< b}.
La prueba modificada de Abel se da mediante el siguiente teorema.
18.2c Teorema. Sean u, v y
u(x, y) dy
(ii) existe una constante
si Y< y 1 <{J.
Necesidad. Ver el Ejercicio BS.
J:
(i)
b),
y~ [3.
u(x, y) v(x, y) dy converge uniformemente para x en
1. Demostrar q~ las siguientes integrales convergen uniformemente en Jos inter· valos establecidos:
(a)
J.
CIO
COS :X:/
o tª
+ :x:ldt
(b) Lcoe-:rt(J
+ t 3) dt
{:x: > 1} {:x: >a}, donde a >O.
466 representaciones integrales de funciones (e)
J.o 1og ~t dt
(d)
1sent o -,.,,d t
J.
(e)
J.
(/)
- dt t + x2 J.o em:+t> cos :et -
consecuencias 467
1
:i:
<: b}, donde a >O, b < +oo
18.3 CONSECUENCIAS DE LA CONVERGENCIA UNIFORME
{O <: y <: 2 - a}, donde O < a < 2
e-ndy
1
o
{a <:
{:r :> e}, donde
vyO +y)
t
co
e es cualquier constante
El objeto principal de esta sección es discutir la continuidad, integrabilidad y diferenciabilidad de las funciones definidas mediante integrales impropias que dependen de un parámetro. Primero probaremos un teorema preliminar referente al paso hacia el limite bajo el signo integral de las integrales propias. 18.Ja Teorema. Sea F continua en fx en /: fx ~a} por
{:e :>O}
f(x)
F.JEROCIOS B l. Demostrar que los siguientes Umites son alcanzados uniformemente en los intervalos indicados:
1
(a) e-Q 1
1
+Y -
(b) t2e-zt cosxt
1
+Y
-o
confonne .r-+ O en {- l
< y < 1}
(a) (b)
I.
00
o
f.o
CD
senxt
--dt t COS
:i:
Y dy
+Y
f r.o t sent
+ 11 dt
(e) Jo x2 (d)
(e)
Lx'CD
f
1 sen :e dx
:;en xy1 dy
{x :>e> O}.
+ c5 < y < 1
X-+oo
!~"! f(x) =
I:
4'(y) dy.
Demostración. La integrabilidad de cp queda cubierta por el Ejercicio B1. Considérese:
I:
(y) dy =
IL\I < - d}, donde O
< c5 < 1.
{x :>O}.
l. Sea F definida en (a < x < b, a <; y ~ /J} y sea '/J definida en (a < y < p). EstabJecer y probar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de F hacia ti> conforme x ~ b. 4. Demostrar que la convergencia uniforme de una integral que depende de un parámetro es un caso especial de la convergencia uniforme de una función y que el criterio de Cauchy para la convergencia de las integrales se deduce del Ejercicio 3 anterior. .. 5. Completar las demostraciones de los Teoremas 18.2b, e y d. I
F(x, y) dy.
I:
F(x, y) dy -
I:
f:
[F(x, y)- 4'(y)] dy.
Por la convergencia uniforme. para cada ! >O existe un jF(x, y) - cp(y)I < t: si x > X. Para tales x,
{x :>e >O}. { -1
·
y<
Íl= f(x) -
{x :>e> O}.
I:
a< y< PI y sea f definida
Supóngase que existe una función cp definida en fa< Pl tal que F tiende uniformemente hacia cp conforme x ~ oo. Entonces lim /(x) existe y
conforme x~ oo en {t ')O}.
2. Examinar las siguientes integrales para la convergencia uniforme en el intervalo indicado:
=
~a,
6. Demostrar que e-ccz+l) cos xt - - - e-e uniformemente en {y ;> O) conforme x~ O. t + x2
f.
11
1F(x, 11) - ef>(y)I dy
< € • ({J -
ex).
X(~)
tal que
1
En realidad no usamos aquí todo el poder de la continuidad. Lo usamos para deducir la integrabilidad de cp vía el Ejercicio Bl. No obstante, debe acJararse que lo que realmente se usó fue la integrabilidad de F y cp. y la convergencia uniforme de F hacia e¡,. Ahora volvamos hacia el estudio de las ·integrales impropias.
< <
<
18.Jb Teorema. Sea F continua en R: {a x b, a y < p}. donde fJ puede ser finito o infinito; pero supondremos que p es un punto singular de F. Y supóngase que f está definida en /: la< x < b} por f(x)
=
I:
F(x, 'y) dy,
donde la integral es uniformemente convergente. Entonces f es continua en l y
f.a
f(x) dx
=f.Pdy Jaf'1 F(x, y) dx. a
·..:;.
468
representaciones integrales de funciones
consecuencias 469
Demostración. Sean x1 y x 2 dos puntos cualesquiera en I y sea dado
' >O.
Entonces existe un Y(E) tal que
I:
1
F(x, y) dy 1<
•
para
Y< '1 <
!!. = J 1 -
{J
para todo x en /. (¿Por qué) Escójase tal .,., y manténgase fijo. Entonces en el rectángulo cerrado acotado R: fa~ x ~ b, a~ y~ 71}. la función F es uniformemente continua. Por tanto existe un 8(() tal que €
< --
IF(x1, y) - F(x2, y)I
Entonces se tiene
lf(zJ - f(z,)I =
<
f w
1
f
si lx1
r¡ - a.
-
J2 existe y es igual a J 11 lo cual es nuestro fin. Ahora puede intercambiarse el orden en esta integral propia y así escribir
x 21 <
De donde
f
dx f."F(x, y) dy.
=f.'d:i:I:F(x, dy) dy.
A
Ahora, como en la primera parte de la demostración, si 11
o.
IAI
>Y
se tiene
a).
Así que A --+ O conforme ,., --+ p, como se requirió.
(F(x1, y) - F(x1, y)] dy 1
y) - F(z•• y)I dy si lx1
<€+€+E= 3E
+1 -
I:
I:
F(z,, y) dy I + 1
EJEMPLO 1. Demostrar que
F(Zz, y) dy 1
=
fI:
Solución: Sea m
J.
I: f dy
lt-ue-z'I
y
!
.,,
11
J.
1
1-lle-•1 dt
/J= +oo .,, fJ
a
!!.
= J1 -
f."dy
f
J.',-
1 •.-·• dz
=
J.'ci•c1 - .-••> dt.
=J. e''__!!!.__ +
dada por
F(x, y) dx.
La integral tiende hacia 12 conforme .,., -+{J. si / 2 existe. De aquí que si puede demostrarse que .6. -+ O conforme 71 -+ {J. se habrá demostrado que
o
1
t2
.demostrar que la integral converge -
uniformemente en {s ~O}. Solución. Ahora
/+ ,2 = /+-•t,2 < 1 +1 ,2 = M(t) -st
fJ finito .6.
= J.'d1
00
EJEMPLO 2. Sea f(s)
a
Por lo tanto, considérese la diferencia
M(t),
No es necesario discutir la convergencia de esta última integral. Se sabe que converge porque el Teorema l 8.3a asegura este hecho. Pero la presencia del factor r% arroja sospechas sobre la convergencia. Examinando el integrando explicar por qué converge Ja integral.
F(x, y) dx
fJ infinito
= ,-!íe-:r:t < ,-uem =
M(t) dt converge. Esto establece la convergencia unifonne en /. Por
J.•d.,
= lim f."dyJ.bF(x, y) dx.
,,-/1
Entonces
tanto puede integrarse bajo el signo integral del modo siguiente:
F(x, y) dy dx
existe. igual a J 1 • Ahora si / 2 existe. está definida por J1
= máx Clal. lbl).
1
existe. Solamente necesitamos demostrar que J2 =
t - !í e-~ 1 dt converge unifom1emente en cual-
quier intervalo cerrado acotado /:{a~ x ~ b}.
x21 < <5.
Esto prueba Ja continuidad. Por el mismo argumento del Teorema 18.la. esto implica que pueden intercambiarse el límite y la integración. Puesto que f es continua, ciertamente es integrable, de modo que J 1 = ff(x) dx
1
L 1
y
J.
1
00
1
M(t) dt converge. De aqui que se tiene convergencia uniforme en
Is ~ O}.
Por tanto. puede integrarse sobre cualquier subintervalo cerrado acotado de esta semirrecta:
i bf( o
s)ds=
f.bdsioo e-•t-dt- = ioo-dt- f.be-•tds= f.001- -e"'dt -. o
o
1 + t2
o 1 + t2 o
o 1 + ,,. t
470
representaciones integra/es de funciones
Una vez más. como en el ejemplo anterior. la convergencia de esta integral queda garantizada por el Teorema l 8.3a. Puesto que la convergencia es uniforme en {s;) O). el Teorema 18.3a garantiza la continuidad de f en cada intervalo cerrado acotado de esa semirrecta y de aquí la continuidad en {s;) O). La convergencia uniforme de esta integral impropia en {s;) O} garantiza la continuidad en {s;) O} pero no garantiza la existencia de un límite conforme s __,. oo. Ni garantiza que ta integral
Lm/ (s) ds
exista.
Aun cuando la integral e~istiera. no se sabría si puede intercambiárse el orden de la integración. Primero se discutirá la cuestión de tomar Jí. mi tes ha jo el signo integral..
Por el criterio de Cauchy.
f:
Para ver que
~ f(x)
tre
a
y ,8 conforme x ~ oo. Entonces
L 9
y<
t/J(y) dy converge y
existe un Y(<) tal que. para x en /,
I:
1 F(x, 11) d11 1< •
Entonces, para Y
I..." 1
1
si Y< r¡ < (J.
< "11 < '12 < ,8.
r
f.',,, 1 ,,, < 1I:. F(:r:, 11>d11 1+1 I:. F(:r:, 11>d11 1<
F(x, y) dy 1=1
F(x, y) dy -
J.:• +<11> dy 1< 2<
si Y
J:
"'(y) dy, considérese Ja
CJ)
j1c:r:> - J: 4{11) d111
='I J:F(x, 11> d11 - J:+C11> d111 1I:[F(:r:,11) -
+ú/)) d111
< 1f[F(:r:,11) -
+c11)) d111
=
+ 1I:F(:r:,11> d111+1 I:rfo(y) dy
I·
Escójase "I entre Y y ,8. y manténgase fijo. Se sabe que F converge 71}. Así que para cada , >O existe uniformemente hacia f/> en {a< un X(() tal que
y<
IF(x, y)-f/>(y)j<:t:/fo-a) si X
y en
{a
< 7/1 < 1Js <(J.
j¡c:r:> -J:+<11>d11I <.+.+a= ....
si X< x
<
b.
1
El problema de intercambiar el orden de integración cuando ambas integrales involucradas son impropias es difícil y es mejor manejarlo en términos de la definición de integral de Lebesgue. Muchas condiciones suficientes diferentes podrían darse. Nos contentaremos con probar el siguiente teorema.
18.3d Teorema. Sea F continua en fa < x < b. a < y < p}. donde cual· quiera o todos de a, b. a, p pueden ser infinitos. Supóngase que ambas de las in.tegrales iteradas
F(x, y) dy
2••
Conforme x ~ oo. se toman los límites bajo el signo integral en la primera integral. por el Teorema 18.3a:
1
< 7/1 < {J.
De (1). (2). (3) y (4) se obtiene
Demostración. Otra vez. por el Ejercicio BI. cf> es continua en {a< y< ,8}. Por lo tanto, cf> es integrable en c~alquier subintervalo cerrado de J. Por la convergencia uniforme de la integral que define a /,
(1)
si y
diferencia entre f(x) y la integral
(4)
!~~f(x) =J: ,P(y) dy.
1< 2<
existe y es igual a
F(x, y) dy,
donde la integral converge uniformemente en /. Supóngase tam· bién que existe una función definida en {a< y< ,8) tal que F converge uniformemente hacia 4' en fa< 71) para todo .,, en-
cp(y) dy converge. Entonces. puesto que la
lf:. +<11> d11
(2)
a<
=
471
integral converge. puede mantenerse 'h fijo y hacer que .,, 2 ~ ,8 en la de· sigualdad anterior para obtener
18.Jc Teorema. Sea F continua en {a< x < b, y< {J}. donde uno o ambos de b y ,8 pueden ser infinitos, y sea f definida en I: {a< x < b} por f(x)
r
consecuencias
f d:r:I:IF(:r:,
11)1
d1J
y
J:d11fiF(:r:,11)1 d:r:
existen. Entonces ambas de las siguientes integrales existen y
f.'d:r:f:F(:r:, 11) d11 = f:d{F(:r:,y) d:r:.
consecuencias
472 representaciones integrales de funciones Demostración. Escribiendo F
= F+ -
r(x, y)=
fa< x < b)
LP
para el cual
converge uniformemente en {a
{~F(x, y)
si F(x, y)< O. si F(x, y)> O si F(x, y)
f'(:r:)
1
y Para todo e
=
J =
f I: f: f dx
dy
entre a y b y todo ~
1>
f
ai
=
y p.
F(:t, y) dx,
f'(x)
Entonces,
>
J: f dy
F(x, y) dy -
f:
f
«
[F(x, y) - F(x0 , y)] dy
F(x0 , y) dy = f(x) -/(Xo).
=.E_ f.= g(t) dt dz
= g(x) =f./J aF (x, y) dy.
lro
CI
0X
. LpF(x, y) dz Esto demuestra que f (x) existe -es decir.
entre
(¿Por qué?)
1
I:
=
Por el teorema fundamental del cálculo, derivamos esta ecuación Y obtenemos
f
pudiendo realii.arse aquí el intercambio por el Teorema 18.Ia. Puesto que esta desigualdad debe cumplirse para todo e a y b,
(x, y) dy.
g(t) dt =f./Jdyf.a: aF (t, y) dt ce =o Ot
F(x, y) dx.
d:tf.'F(:t, y) dy = f,'dy
:z;
a:
Entonces, por el Teorema 18.3b,
f. a
L-a
.
:ro
entre
F(x, y) dy
a:z:
PaF
Demostración. Sea g(x) =
F(x, y) dy.
< ti
J:
/J aF = [ - (x, y) dy. '"CI
Sea
~ x < b}. Entonces
converge uniformemente en {a~ x ~ b"} Y si se denota este valor por f(x). entonces f es una función diferenciable y
~.
se ve que es suficiente probar e) teorema para F no negativa. Por lo tanto, supongamos que F es no negativa en todo el resto de Ja demostración.
iPaF (z, y) dy
F(x0 , y) dy converge y « ox
ce
si F(:r:, y)> O
rx, y) F+(:r:, y)= O
y
F- (ver Sección 4.4), donde
~473
iz
es diferenciable, y que la derivada puede calcularse derivando bajo el signo integral. Para completar la demostración, debe demostrarse que la convergencia es uniforme. Escojamos Y(E) de modo que
I: ~~
1
F{:t, y) dx =J.
(z, y) dy 1< (b
~a)
siY<11
Pero el argumento es completamente simétrico, de manera que también l >l. De aquí que l =J. 1
uniformemente para toda x en {a~ x ~ b}. Considérese
Realmente el teorema es verdadero si solamente suponemos que una de las dos integrales es absolutamente convergente. Pero nuestras suposiciones nos capacitan para evitar la necesidad de probar la existencia d~ la otra integral.
(!)
Ahora consideremos el problema de diferenciar una integral impropia bajo el signo integral. 18.3e Teorema. Sean F y oF/ox continuas en fa~ X ~b. a~ y< pJ. donde {J puede ser finito o infinito. Su póngase que existe un x 0 en
existe- que
1s:F(:t, y) dy 1=1 f:[f~;~ (1, y) dt -
s:
<1 Puesto que (2)
J:
dy
F("'o.
y)H
f~ ~ (t, 71) dt 1+1s:F(%o,1J) dy 1
F(z0 , y) dy existe. existe un Y1(E) tal que
IJ:
F(x.. y) dy 1< <
si Y,
< 1/ < p.
474
consecuencias
representaciones integrales de funciones
Combinando (1) y (2) se obtiene para
p > T/ > Y 2
= max (Y.
sabe que existe por lo menos un pequeño intervalo en el cual f(x) puesto que f es continua y f(O) > O. Entonces en /
Y1),
1J:F(z,1/)dv 1<1 ( diJ: ~ (t, v> dv 1+ • < cz
EJEMPLO 3. Evaluar
i& 1f. ª: (t, 'JI) dy 1dt + < f.&_E_a dt + E
E
Demodo que
ab -
" ut
2E
1
J."'e-
11
> o. su-
f'(x) X --=-f(x) 2
1
a
475
log/ (x) f(x)
o bien donde
cos zt dt.
= - -x24 + C0 = ce-:'14,
C =/(O)=
¡.y;
De donde, en I Solución. Denotemos el valor de esta integral por f(x). Es evidente que f(x) existe y es continua para toda x, puesto que se ve fácilmente que la
f(x) = hFre-z'J4.
Ahora que esta evaluación se establece en el intervalo l. demostraremos que / es el eje x completo. Supóngase que no fuera. Entonces existiría un purito finito Xo en el cual f se nulifica. Tomando límites conforme x ~ x 0 se obtiene (puesto que ambos miembros son continuos)
integral converge uniformemente para toda x por la prueba M: 1
fo M(t) dt converge.
le-'
cos xtl
< e-t' =
M(t),
00
y
Por derivación bajo el signo integral se obtiene
Pero el segundo miembro no es cero. Esta contradicción demuestra que / es el eje x completo y de aquí que
f.O'J te- 11 sen xt dt,
f'(x) = -
y
<
para toda x.
18.Jf Teorema.
te-t' = M(t)
[aJM(t) converge. .. o Entonces, integrando por partes se obtiene f'(x)
= -f.aJte- 11 senxt dt = - =J.aJ e-zt cos xt dt = - ~ f(x). 2 o
o
J.
CIO
1
e-' cos xt dt
I.
aJ
1
e-' dt =
~·.
¡() X=
f'(x)
= 2
f (0) =
Sea l el intervalo máximo en torno a x
¡.¡;,..
= O en
co
-iiesentd t. t
J. e o
Por el Ejemplo 4 de la Sección 18.2, esta integral converge uniforme· mente en {x >O} y, por lo tanto. fes continua allí. Formalmente, derivando bajo el signo integral, se obtiene
!J;,
de modo que f satisface las condiciones
= - f (x)
1
Dignificamos· este ejemplo llamándole teorema porque es importante en el trabajo posterior sobre las series de Fourier y porque es un poco difícil de establecer. Demostración. Para evaluar la integral, considérese la función f defi. nida en {x ~ O} por
2
0
f'(x)
-
f °' sen 1 dt = ~ . Jo t 2
Se observa que
f (O)=
= h/1re -z /4
0
lo cual es válido si esta integral converge uniformemente. Se aplica una vez más la prueba M:
1-te-t' sen xtl
2
¡..j;re-:0 14 ,
O= f (x0) =
Ahora bien el cual f(x)
> O.
Se
= -f.aJ e-=•sen t dt.
Je-z'sen tJ < e-zt
{x >e}
De aquí que la integral converge uniformemente en fx
~e)
para todo
consecuencias 477
476 representaciones integrales de funciones
e> O.
Por lo tanto, por el Teorema 18.3e, la derivación es váJida para (x ~e}. Pero cualquier x > O dado puede alcanzarse en tal intervalo de modo que la derivación es válida para todo x >O. Ahora evaluemos f'(x) por medios elementales. La integración por partes establece que
T -:zt d e-:zt(-xsent - cost)IT _ , f.o e sent t = 1 + w2 o
-f.
PorJo tanto
1
Para evaluar C, calculemos Jim f(x). Como se hizo notar, la integra] que define /(x) converge uniformemente para fx ~ O}. Pero conforme x ~ oo, el integrando no converge uniformemente hacia cero en {t ~O}. Sin embargo, para cada a> O, converge uniformemente hacia cero en ft ~a), puesto que
I
¡.-·•se;' < .-- -+O conforme x-> ''"
t
= f 1(x) + f 2(:r:), 1
Ya que 1e-"' se; 1< 1 para x
> O,
respectivamente.
+ IMx>I < < + < =
2<
si x
Esto significa que f(x) ~ O conforme x ~ oo. Ya que f(x)
= C - ang tan X
x>O.
se concluye que
f (x) =
4. Evaluar
>X.
a: ... CIO
=
> O.
se hace la sustitución
o
t
y
2
=r.:L) sen :r:t = - f 00sen(-x)t dt = - ~. Jo
Jo
t
¡
> O.
7r/2
f(:r:)
SI X
Si
-7r/2
EJEM PI.O
S. Evaluar f (x, y)=
t
si• :r: >
= o
00
J.o
º)
=o
2
=
2sgn '11'
X
X< 0
sen xt cos yt t
dt.
Solución:
-Loo sen:r:t cos ytdt = -1 f.co sen(x + y)tdt + -1 f.
!(x, y) -
o
Ya que y=
2o
t
IYI
o bien - y =
1sen 00
O= lim (C-ang tan x) = C-.,,./2.
J.
o
f(x, y)=! 2 o
(:r:
1
co
=f.co~ dt =f.cio seny dy = !! .
Así que
La integra] que define Mx) converge uniformemente para {x ~ <} y además su integrando converge uniformemente hacia cero conforme x ~ oo. Entonces, por el Teorema 18.3c, se tiene que '2(x) ~O conforme x ~ oo. Así que existe un X(<) tal que IMx)j < < si x >X. Entonces se tiene que cada < > O,
lf
sen xt - - dt. o t Solución. Evidentemente /(0) O. Para x xt =y. Entonces EJEMPLO
f(x)
se tiene I/,(x)/ ,¡;;;; , para todo x
x>O.
dt = f (O) = lim /(x) = lim (! - ang tanx) = ! . f.oco ~ t =-o..z-o+ 2 2
t
(
= .,,.¡2-ang tan x
f(x)
Para x
=f.(e-:z' ~ dt +Loo e-a:t sent dt o
Así se tiene
f(x)
Entonces. para cada < > O fijo escribimos f(x) en la forma f(:r:)
e= .,,.¡2.
Es importante recordar que f está definida por la integral y que esta evaluación de f ha sido establecida solamente para x > O. Pero podemos extender la evaluación para incJuir x =O muy fácilmente. Como se hizo notar al principio de Ja demostración. fes continua en {x ~O}. Tomando límites desde la derecha, entonces se obtiene
00
f'(x) = e-a: sen t dt = - - -1- 2 • o l+:r: f(x) =e -ang tanx X> o.
de manera que
De modo que
t
2o
IYI·
+ lyl)t dt + ! t
00
i'° sen(x -
2 o
t
sen (x - y)t d t. t
lyl)r dt
478
representaciones integrales de funciones
ejercicios 479
x> IYI
2
-
'Ir
= o
3. Evaluar /(z)
IYI
X=
4
4
J:o
(b)
f,1 e-=~ -o 1 +z
(e)
.Jorc:o
di - 1
+ x2
I
conforme
(Sugerencia: Usar B 6 de la Sección 18.2.)
L e-=
(d) (e)
2
1
Í
2
Jo
1
cos x1 dt - O
conforme x
1
3.
X~ 0
1
2
YX
+Y
O
O
(/) f,1dxÍJo sen~e-=iiyUcos2 ydy 00
S. Demostrar que Y:¡;
(g)
(h)
dxJo
(1)
dxJo v'y(l
(j')
r dy f.c:o dy dxJo x + y3 = - o x2 + 2xy3 + y6
x
!!... r1 e-%'11 dy d
d
1
r1
= -
+Y
00
+Y
2 ydx JoÍ dyÍJ1 sen~e~yUcos x L'dz f.'° ~;¡; e-l•Hlv COS VY dy = f.'° dyf.'~;¡; e-lz+llv COS 'llÜ dz 2
1
+Y
para
f.1 e-=r
e-=tl
+y) dy =. -
0
2
toda x
v'y dy
(l +y)
(b)
c:o
J:o
e...
0
d z, __ Y_ -o 1 + y2
conforme
r
1
- - dx = -
1-a:
X~ 00
conforme x ~ oo
c:o ~·
-- - I .f."es-11 ~· c:o
1
Í
y
1
dz
Í (~ 1
-
y):: , y de aquí
Jo Jo z + Y
x
+z
Ic:o n-1 . 1
o o
1
+z
1
6. Demostrar rigurosamente que si f es una función continua acotada en {- oo < x < oc}, entonces la función u, definida en {O < t < oo, - oo < x < < oo} por la fórmula
Jc:o C:c-11)1 e- - ¡ i -/(y) dy v4"t -c:o 1
u(x, t) = _, satisface
re
la ecuación uzz
f (z) =
-v'-
ción y
= x/t.)
(b) Deducir /(x)
x >O 8. Evaluar
f.
= u 1•
~ dy.
(a) Demostrar que para
para toda
00
Jorle-%'11 _.!!!!__ 1 +Y
('°
.o 1 logz
0
7. Sea
2. Aunque el integrando no converge unifonnemente hacie cero, demostrar que: (a)
1
1
=
r1 e-:ic'lly dy
Jo
t"c' dt.
dy Í ((x - y))ª dz Jo Jo x + Y Í
Evaluar las integrales
J:o
dxf. y-U cos:x -y dy = f. dyf. y-3i' cos:z -y dx O
~ (n!)/x'*l
demostrar que la inversión del orden de integración no siempre es preferible. senz senz 4. Demostrar que c:o dy e-z11-Uv - dz = J:codxf.c:o e-n-U11 _ _ dy.
~ oo
00
e-•1n dt
0
2. En el Ejercicio 1 anterior, si b es finito definir F(b, y) = '1'(y). Entonces demostrar que F es continua en {a<:; x (b, a~ y<:; p}.
conforme x ~ oo
e-U:ic+l) COS XI -
f. c:o
l. Supóngase que F es continua en {a ( x < b, a <; y <; p}, donde b es finito o infinito. Supóngase también que existe una función t/> en {a ( y ( p} tal que F tiende uniformemente hacia '1' conforme x ~ b. Demostrar que "' es continua.
00
1 -
f. c:o
y de aquí que
X
EJERCICIOS B
conforme x ~ O
1 +y
1
(b) Deducir el valor de
EIEROOOS A 1. Justificar cuidadosamente lo siguiente:
dy
¿Para qué valores de z es esto válido?
f.Oc:oe-= di = !
x<-IYI
2
e-z'll _ _ - Jog 2
1
S. Demostrar formalmente, sin justificar los pasos, que
'Ir
l
=
4. (a) Demostrar que
-lyl < x< IYI X= -lyl
'Ir
(a)
f. xe-== dx. 00
'Ir
x
> O,
/'(x)
10. Evaluar
2/(x).
(Sugerencia: Hacer la· sustitu-
= (1/2) v'~-1"1.
cocos a:x: _ cos b% zl
dz.(Sugerencia:cosax-cos bx =-x
0
9. Evaluar
=-
L&sen xi dt.) 11
cosenzt sen yt
f.o
I
co M:n :x:I
f.o
1
dt.
cos yt cos I
zt dt.
,:.......
480
representaciones integrales de funciones
11. Eva1uar 12. Evaluar
f. f.
ciosen :r:t sen yt cos zt
O
I
1
ciosenzt sen yt sen zt
t3
19
dt. dt.
0
EJERCICIOS C 00
1. Sea /(x)=
I a,.x•, donde el radio de
convergencia es infinito y donde los coefi-
o
00
cientes a son todos no negativos. Supóngase también que
I
ann! converge En-
º tonces demostrar que J.cio e-z /(z) d:r: converge y que J.cio e-e/(%) d:J: = l:ann!. CIO
2. Demostrar rigurosamente que
J:
0
x'dx -ei:-1
CIO
=!
1
-¡.
1
n
J. Demostrar que si ges continua en/: {a <; x <; b} y x 0 es un punto en ,l, entonces
Funciones Gama y Beta. Método de laplace y fórmula de Stirling
puede tener cuando más una solución en/. (Sugerencia: Supóngase que existieran dos soluciones. Demostrar que la diferencia es positiva en todas partes en l si
f.
es mayor que cero en un punto en /.) Deducir el valor de 4. Evaluar
19.1
sen %1 dt.
cio sen1 zy -- d:r:. 1
J:o
5. Evaluar /(J¡)
es constante.]
i
=
f.
0
cio senzy x(a2 + z2) d:i:.
LA FUNCION GAMA
Una importante fundón definida por medio de una integral que depende de un parámetro es la función Gama dada por
z
[Sugerencia:
Demostrar que J"(y) - a 2/(y)
sen:J:t sen yt dt. [Sugerencia: Hacer /(z) o t y proceder como en el Teorema 18.3f.]
6. Evaluar
1
co e_,
cio
7. A partir del Ejercicio 6 anterior, deducir el valor de co
8. A partir del Ejercicio 6, deducir el valor de
J:o
senzt senyt = Loo e-ac dt o t
r(x) =
J.a) e-t,z-l dt =
El integrando es singular en t O si cer algunas propiedades sencillas de r.
{z >O}.
x < l. Procederemos a estable·
19.la Teorema. r es continua e infinitamente diferenciable en ix
f.
co
senzt (1 - cos at)
o
t
cos at - cos bt t
1
dt.
> OL
lJemostració11. Sea Xu un punto arbitrario en lx > OJ. Escójanse u y h de manera que O< u< Xu < b. Examinemos ahora r en/: ?" x ~ M. Sea
r
=r
1
+ r :!~
donde
r1
y
r :! están definidas por
dt.
rl(z) =
r2(z)
y
Para x en I y O y para t
> l.
f
e-1,z-1 dt
= f.co e-t,z-1 dt.
< t < l. ¡e-ttz-1¡ =
e-t1z-1
< 1a-1 5
{481]
M¡(t);
<
482
funciones gama y beta
la función gama
1
Puesto que
f M (t) dt y _f Jo 1 jt
aJ
M 2(t) dt convergen. Jas integrclles que de-
.
finen a r 1 y r::i convergen uniformemente para x en / y, en consecuencia, estas funciones son continuas en /. Entonces r es continua en /, ya que es Ja suma de dos funciones continuas allí; en particular, r es continua en x 0 • Supuesto que x 11 fue un número positivo arbitrario, r es continua en {x > O}. De modo semejante, puede demostrarse que Ja diferenciación repetida bajo eJ signo integra) es permisible en {x > 01. Los detalJes se dejan para los ejercicios.
1
> O,
fo
aJ e-at,:i:-1
una manera de definir r para valores negativos de x Ja cual es «más natural» en un sentido que el estudiante entenderá después de estudiar la teoría de la función compleja, a saber, en el sentido de la continuación analítica. Esto conduce hacia la misma definición que se obtiene usando las fórmulas de los Teoremas 19.lc y 19.ld. Por ejemplo, a partir del Teorema 19.lc se tiene
r(x) = r(x + 1)/x en {x > O}. Pero el segundo miembro de esta ecuación está definido para toda x > - 1 excepto x O. Tomamos esto como la definición de r en f-1
=
=
A continuación se da una fórmula que en ocasiones es múy útiJ. 19.lb Corolario. Para cualquier a
dt = r(x) .
=-
az
Demostración. Probar haciendo la sustitución at = .,,.
1
El siguiente teorema da una importante ecuación funcional que satisface r.
+ =
19.1( Teorema. r(x 1) xr(x) Demostración. Para x >O,
re., + 1) =
483
y
fx >0}.
L"e-·,· = e-·,· 1;+ .,L"e-•,·di
1
dt
= .,rez).
2: 1 y todo x >O, 1) ••• (x + 1)xf(x). Demostración. Probar por inducción, a partir del Teorema 19.lc.
1
·~
:-:;;,
19.ld Corolario. Para todo entero n r(x
..;i;.:
+ n) = (x + n -
=
=
n! n O, 1, 2, .... 19.le Corolario. r(n .f- 1) DemostracitSn. Por el Teorema 19.ld. es suficiente probar que r(l) Pero
1
= l.
-1
o
2
3
%
1 El corolario precedente señala una de las propiedades más importantes de r, a saber que se interpola entre Jos factoriales. Quizá es desafortunado el que la notación tradicional sea r(n 1) n! en lugar de r(n) n!. Sin embargo. aunque puede intentarse usar Ja última. no nos separaremos de la notación usual debido a la gran cantidad de literatum en la cual se usa J'(x) para la función que se ha definido aquí. En ocasiones se usa x! o bien 7r(X) para r(x + 1). La integral que define a r diverge pard x ~ O. En consecuencia. I' se define solamente para x >O. Por lo tanto, podría intentarse definir 1' para x < O en cualquiera de muchas diferentes formas. Sin embargo. existe
=
+ =
n Encaremos ahora Ja cuestión de compatibilidad: ¿Son compatibles las definiciones de r en {-1 < x
484
ejercicios 485
funciones gama y beta
rentes? La respuesta es un fácil «Sí». y la demostración se deja para los problemas. Por inducción, se extiende la definición de r para toda x excepto O y los enteros negativos. El comportamiento de la función se indica mediante la gráfica adjunta.
19.2 LA FUNCION BETA
r
=
f
es la función Beta 8
> O. y > OL
2.
Aunque a primera vista parece que B tiene pm.:a relación con l'. están íntimamente relacionadas de un modo sorprendente. Antes de investigar esta relación, necesitamos una nueva fórmula para B.
=f.ao rl d.,. {z >O, y> O}. o (1 + 'T)=+~ Demostración. Hacer t = T/ l + •· dt = dT/(I + T) Lema. B(x, y)
2
•
= l'(x)r(y)/l'(x + y)
y)
=
1
~~~trar que
!'(a:)
=f.' (1og ~
dt.
6.
B(z, y) = 2J:'=scniz-1 8 cos•r-1 6 d8.
Demostrar que
1
lx>O. y>O:.
8. Evaluar
re -!) re -f), ... , r( -n + i) 1
bien
=f.'"1•T"- e-" dT. 1
Por el Teorema l 8.3d, el intercambio de! orden de integración es permisible si ambas integrales iteradas convergen (ya que los integrandos son positivos). Pero el orden que se tiene evidentemente converge. Y en el otro orden se tiene
J.'" t'+v-y.- e-1{ +•> dt =J.'"T"- dTJ.'" t'+v- e-•
1
r(¡), r(i), ... , ren + }).
y
+ 1) =
1
if(.t)
+ -. X
EJERCICIOS B
rez) f.'" .-•1•-l dt =f.'" t•-l.-I dt f.'" t•T•-l .-I• dT r(z)I'(y) =f.'" dt f.'" t•+v-y.-l.-l.-I• dT.
J.'"aT
Tll).
d r'(x) 9. Definir if por if(x) = - log l'(x) = - - y dcmostrnr que if(.t c/x l'(X}
l. Completar la demostración del Teorema 19. la y de aquí establecer que
{z >O}.
Multiplicando ambos miembros por rw· ·•e-' e integrando. se obtiene
O
{-"
3. Es evidente. por el Teorema l 9.2c. que H(x, y) = 8(y, x). Demostrar esto di· rectamente a partir de la definición de ll haciendo 1:1 sustitución 1 = 1 - T. 4. Demostrnr que l"(.r) ~ .!. x conforme x - ~ O. S. Evaluar /l(x, 1).
Demostración. Por el Teorema 19.lb.
r(z) = ,.L"T·- 1.-•· dT
r
7. Demostrar que rC!l = ,;;, CS11¡:ere11du: Hacer t =
Ahora estableceremos la relación entre B y r.
19.lc Teorema. B(x,
dt
Puesto que ambas integrales iteradas convergen. son iguales. Así que r(x + y)B(x. y) y ya que r(x + y) =F O (¿por qué?) puede dividirse entre ella para completar la demostración.
l. Demostrnr que r<.r) >o en l.r > OI y sgn ]'(x) = (- I)" en
Demostración. La demostración de este teorema se
19.lb
::;.+.
I'(:i: +y) dt = rcz +y)f.'"c1 = r(z + y)B(z, y)
EJERCICIOS A
ta:- 1(1 - t)v-l dt.
19.la Teorema. B (x. y) es continua en fx
;:;.+.
L'"c1
r(x)r(y)
Una función íntimamente relacionada a dada por
B(x, y)
Por el Teorema 19. I b. la integral interna puede evaluarse de modo que la integral iterada se reduce a
1
2. Probar ~I Teorema 19.2a. Aplicar la prueba M de Weierstrass. 3. Demostrar que r tiene un solo mínimo en {x >O} el cual se encuentra entre
1 Y· 2.
4. A partir de la fórmula para f(n ción, deducir
+ l ),
obtenida en el Ejercicio AS de esta sec-
S. Aplicar el Ejercicio A6 para demostrar que
rr/2
("12
f.0 sen'" 6 d8 =Jo
1
Y
cos'" 6 d6
=
1 • 3 • • • {2n - 1) ti' 2 • 4 .•. (2n) 2
rr/2sentn-1 6 d8 J,"/2costn-1 8 dfJ = 21 •• 43 ••• • • • (2n (2n -
Lo
:s
o
.
2) t)•
486
funciones gama y beta
método de Lap/ace
6. (a) Observar que
19.3 METODO DE LAPLACE
f "'2
f "'2
f "'2
Jo senlft+l fJ d9
" [ 2 • 4 ... (2n) ]. 1 -=lim --. 2 1 • 3 ... (2n - 1) 2n + 1
·-IX)
7. Dar una demostración f9rmal (esto es, manipulación sin justificación) del Teorema 19.2c, escribiendo
J. Iº
= .r2
A-B
e+...1°-1.,zi-1 dt d-t.
= )'
2 , convertir a coordenadas polares y evaluar. y .,. y ., :;;:: E11, y evaluar.
+ .,. =E
(b) Hacer t
Un método debido al matemático francés Laplace nos capacita para estimar el tamaño de ciertos tipos de integrales que dependen de un parámetro. En particular. nos interesa estimar r(x) cuando x es grande y, de aquí, obtener información acerca del tamaño de n! cuando n es grande. En el Capitulo 7 se introdujo el símbolo - . el cual se lee «tiene el mismo límite que». Ahora se desea extender el significado de este símbolo. Escribiremos
00
=
r(a)r(b) (a) Introducir /
487
conforme x
~
oo.
A(x) lim - - - =l. 2: ... oo B(x)
si
FJERCICIOS C J. Evaluar
ao 1 - e-z ~ d:c o :e
O
J:
2. Evaluar:
(a)
ao (1 - e~r~
zt+a
J:o
{-1 < ex< 1}
(b)
J:
00
o
O - e-Z)3 xa+a
{-2 < ex< 1}
La expresión "A - B" ahora se leerá como "A es asintótica a B". Estamos interesados en aplicar este concepto donde se sabe algo acerca del tamaño o del comportamiento de B y. de este modo. poder inferir algo acerca del comportamiento de A. Obsérvese que no se hace ninguna suposición acerca de la existencia de lim A(x) o bien de lim B(x). En gene.... :r
.......00
~
ral. estaremos interesados en situaciones donde estos limites no existen.
3. Sea.¡, la función definida en el Ejercicio A9. (a) Demostrar que 'P(z
1 --k · ¡ ... oz +
EJEMPLO.
n-1
+ n)
:::::z
'P(z)
+ I
+ n)
- log n) == vi(:c)
+Y + ! -
Deducir
= -y - z! +
i (!n - z+n _J_) • 0
,. IJ ª"
TI
ak
se define como
> O.
b
cosx
¡,;;
•
> Oy f
y de
TI""
= tp(J)
la definición de
=f.'º
e-t Iog t dt
r.
está definido por
f.ªe-:rbt• dt,
conforme x
~ oo.
Demostración. Hacer v'bxt ~u, _de manera que si el límite existe, Y
a:! • • • a,,).
i-1
1 conforme x ~ oo .
X
/(z) =
n-aoi-1
5. A partir del Ejercicio 4 anterior
r'(l)
lim
cos x - x2 conforme x ~ oo.
+ --- ~
n
.t-1
se define como a 1
19.Ja Lema. Si u
2 ,J-¡;;
ia:sl
oo
(Un producto infinito
+ xcosx
-----= x2
entonces /(z} r-.J !
-1 = erz xTI ((1 + =)e-zlk}. k r(z)
x2
I(-k1 - z_.!_k) , +
n-r.o :e 1 donde y es la constante de Euler-Mascheroni. (Ver el Ejercicio C2, Sección 14.2.) 4. Supóngase que en el Ejercicio 3(b) anterior se sabe que lim (lf(x + 11) - log 11] =O. Entonces demostrar que n- 00
fl(Z)
.r + x
Solución:
(b) Deducir
Iim (tp(z
Demostrar que
Entonces deducir
= -y.
f(x)
=·J.v'b:co e-u•
f."'
o 6 '"e-•' du--.
.Jbif(x) =
du .
.Jhx
f."'e-•' du = ¡.J;.
1
El procedimiento~ conocido como método de Laplace, se presenta en el siguiente teorema.
:.:ir::.
método de Laplace 489
funciones gama y beta
488
19.Jb Teorema. Supóngase que (i) f tiene dos derivadas continuas en {O ~ t de ser finito o infinito. (ii) f es creciente en lO ~ t
I(z)
=f.ª
e-:rt
donde a pue-
Entonces /(x) existe para todo x
> Xo
Integremos esta desigualdad para obtener
f.' e-•W<•>+
(3)
(4)
Demostración. Primero obsérvese que, para x
-+
.-z[f"<•>-•1•'11 dt.
J.•.-o1r<•>+<11'11 dt < J(x) < J:e-zlr<•>-•1•'11 dt + e-zt<•>l•J(Xo},
para x >: 2xo. Si se multiplica toda la (4) por y se hace x ~ oo. se obtiene una contribución de las integrales por el Lema l 9.3a. mientras que
y
conforme x
f:
Conbinando las ecuaciones (2) y (3) anteriores.
existe.
dt
/(:r) r-.J ·lrr/2xf"(O)
1,
< al
vx
oo.
> Xu.
J;e-zl
Esto proporciona Por tanto. /(x) exbte pllr la prueba de comparación. Sea < tal que O< < < /"(O). Por la continuidad de/", existe un para el cual
·o< /"(0)-<
(1)
Entonces
J(x) =
f
~ f"(t) ~ /"(0)
e-•llll dt =
f
+
<
en fO ~ t ~
=
oJ.
e-•t
e-z/(t)/2e-z/(t)/2
<
< t
2
~
e-%/(tl/2e-z/(liJ/2
<
EJEMPLO. Estudiar el comportamiento asintótico de la función I dada pm l(x)
=
f.
1
ezcou
conforme x-+
dt
00 •
f:
Solucic>n. Haciendo la selección más obvia para/. a saber /(1) -cos /, se ve que el Teorema l 9.3b no se aplica puesto que /(0) =fo O. Ya que ésta es la única condición del teorema que no se satisface completamente aquí. se escribe la integral en la forma
f."
J(x) = t!'
< e-•ll•l/I e- •oll•> d t < e- zt(•lll e-z,tU> d t,
l1r<••"-ll dt = ¡f'fe-"11-...
1¡ dt
y se aplica el Teorema l 9.3b a la. integral de la derecha con /(t) Entonces se ve que
(2)
e-a:1(z) =Lle-z(l-cost) dt"' o
Ahora, en fO ( t ('. S~ se tiene /(t)
< < t < O. T
Haciendo
=
e-zo/(f)e-z/(li)/2
o bien
donde O
< /"(0).
Esta desigualdad se cumple para todo positivo ( O se obtiene
se tiene f(t) ~
si x ~ 2x.,. En consecuencia
1 =J.ªe- •llll dt
(
< lim /;;J(x) < !(277/[f"(O)- E]ií.
z-+co
respectivamente. Primero examinemos /~. En !o ~ f(o). ya 1.JUe f es monótona. Así que e-zf(f)
!(277/[f"(O) +E])~< lim Jxl(x)
o
= /(0) + /"(O)t + /"(T)t /2. 2
Pero /(0) = /'CO) f(I)
= O. de
o bien
modo que
= /"(T)t2/2.
A partir de esta última fúrmula y de C1) se obtiene (f"(O)- <]1 2 /2
< /Ct) < [/"(0) + <)1 /2. 2
J(z)"' ea:
= 1-cos t.
¡;;
,J-:¡;
¡;.
,J2z
19.Jc Corolario. Supóngase que f satisface las condiciones del Teorema 19.3b y sea g continua en ro<: /
J(z)
=
f
g(t)e-zf(t) dt
l.
490
funciones gama y beta
fórmula de Stirling
converge absolutamente para Xo. entonces /(x) converge absolutamente para x > Xo y
>x
1,,
~
lg(t)le-"1111
lg(t)je-'o/11),
de modo que /(x) converge absolutamente por la prueba de comparación. Una vez más partimos la integral
J(x) =
f
g(t)e-:z:t
+ /2(x)
respectivamente. donde 8 se especificará posteriormente. Ahora bien, para cualquier 8 fijo calculamos. para x ~ 2x0 • ll2(x)I
(J)
f.
f
f.]io 6
Ahora
Ahora aplicaremos el método de Laplace a la función Gama para obtener el resultado conocido como fórmula de Stirling: 19Aa
+ 1) ,..,_, V27T xz+H'e-z
Teorema. r(x
r(x
6
Jo
e-:z:f(t) dt.
conforme X~
Demostración. En la fórmula integral para l'(x
lf(t)le-ZolCO dt.
< 11 < [g(O) +E] f
e-zt(I) dt
FORMULA DE STIRLING
sustituyamos u = x( 1
g(O)-t: ~ g(t) ~ g(O) + t: en {O~ t ~ 8}. 1111 Mutiplicando esto por e-· e integrando. se obtiene
[g(O) -
19.4
r(x
Sea dado < > O y escojamos 8 de modo que (y esto es posible por la continuidad)
. bien
Obsérvese que se ha probado un poco más de lo que se aseveró. Porque si g(O) = O el límite anterior es cero. lo cual no es posible expresar en la forma (¿Por qué?) I(x),....., g(O)/rr/x2f"(O).
< e-:z:t<6>12 1g(t)le-:rot
C0 =
+
+
I}
=J.«> e-
11
o bien x-:z:-Iezr(x
+ 1)
=Jº
X:z:+le-:r.Jco e-zi(l
(3)
.
00
-1
e-zt(l
+ tY dt
+f.:oo e-zt(l +tY dt = 1 (x) + / (x) 1
respectiva mente. Consideremos primero / l:
=fº e-z'(l + t):Z: dt =J,.o ez (1 1
1
[g(O)
~E]
f
e-:z:ttt> dt - C0e-:z:l< >1
< J(x)
< [g(O) +E]
Ahora bien
f
e-:z:t(t) dt
+ Coe -z/(6)/2,
Multiplicamos por .y;, hacemos x ~ oo y aplicamos el Teorema l 9.3b a las integrales para obtener
[g(O) - f.]J1T/2f"(O)
< limJ;I(x) < limJ;I(x) <
[g(O)
+ E}/1T/2/"(0),
y
/'(t) = - 1 /"(t)
1yr dt
=f.
1
1 (1 _ t) 2
o
e-zl-t-log(l-t))dt.
=-
t
fO
2
1
+-=->O l-1 1-t
=
t - log (1- t). en {O~ t
< l}.
< t < J},
y en particular f"(O) = 1. Por lo tanto puede aplicarse el Teorema 19.3b lo cual proporciona / 1(x),.....,
·~
-~·~
Entonces apliquemos el Teorema l 9.3b con /(t)
de manera que. de (1 ). (2) y (3). se obtiene
+ tY~ dt
-1
=f e-zi(l + tY dt
-1
l1(x)
1). a saber
para tener
t)
+ 1) =Jco e-:z:(l+O[x(l + t}]zx dt = -1
+
OO.
uz du,
-1
6 2
1
lim ,(xI(x) = g(O)J7r/2f"(O).
0
donde Cu es una constante. a saber
(2)
para todo < > O. Haciendo < ~ O.
z-o
I(x),....., g(O)J7r/2xf"(O).
Demostración. Para x
491
.j?T/2x.
Ahora apliquemos el mismo teorema a /Jx) con /(t) = t - log (1 para obtener
+ 1)
492
funciones gama y beta
Así que
l(x) ,_, 2.J7T/2x = .J21!/x,
a partir de lo cual
rcx + I) ,_, v'211 xz+~e-z.
1
EJERCICIOS A l. Investigar el comportamiento asintótico de la!I siguientes integrales conforme
20
X-+ 'Xi.
(a) L\cos t):r; dt.
(S11~t·re11cit1 (cos /)Z = r log coa'.]
fo -
2
(b)
L"' e-x 11~c1 dt.
2. Demostrar que [l'
t 2:f
(e)
+
1))
1 :· -
cos t dt.
(d)
f
Series de Fourier
(2 - t2:f dt.
x/<_: conforme x ~ x.
EJERCICIOS B l. Demostrar que: (a) I'(a + x) ,..._, V21Txx+a-He-x.
(b) rea + x)/r(b + x) ,..., xa-b. examinar el comportamiento asintótico del coeficiente
2. En el desarrollo ( 1 + :r) 0 , de x" conforme 11 --+ r..
EJERCICIOS C 1. Aplicando el Ejercicio B 1 (b) de esta sección. demostrar que para todo x, excepto para O y los enteros negativos.
n' nz
r(x) = lim x(x
n->-
2.
+
. 1) • • · (x
+ n)
. '2l
Aplicar el Ejercicio C'I anterior pura demostrnr que 1/r(x) + x/k)e-zlk,
= enx JI (1 1
=
3. Supóngase que f tiene dos derivadas continuas en lt1 < t < hl y que existe un e entre " y h tal que f es decreciente en ltt < / ' e} y creciente en fe ' t < hl. .:: ..•1lmente, supóngase que /'(d = O y /"k) > O. Demostrar que si
ll:~) = J.be-:rf(f> dt
existe
parn x
= x0 ,
entonces existe para x > x
"
0y /(x) ,.....,
e-x/tc) V2TT/xf"(c).
4. Supóngase que f satisface las condiciones del Ejercicio C3 anterior y que R es continua en {11 x = x 11 •
< t < bl.
Si I(x)
=L~(t)e-:rf
entonces converge ahsolutamente
v2TT/xf"(c).
absolutamente para
parn x > x 0 y J(x) ,....., g(c)e-zf(cl/
S. Supóngase que f tiene cuatro derivadas continuas en 10 < t < C1), que es cref'"(O) O y f' 1• '(0) > O. Si ciente allí y que /(O) = f'CO> = j"(O)
l(x) =
Lª
e-:r/(t)
dt existe p;irn x
l(x) ,._, ![4!/xf
= = = :va. entonces
/(x) existe
par;,
a: • ·
;1
0
y
20.1
INTRODUCCION
La cuestión de representar una función mediante una serie trigonométrica de la forma 1
(1)
- a., 2
f•
+ ~ (u,,
cos nx
•=11
+ b,,
sen 11x)
surge de manera natural en muchos problemas. Por ejemplo, se presenta en la solución de ciertas ecuaciones diferenciales parciales por e) método de separación de variables. Nosotros no estudiaremos estas aplicaciones, simplemente las mencionamos aquí para señalar que el estudio de Jas series trigonométricas tiene relaciones intimas con muchas ramas de las matemáticas. Como se verá, una serie trigonométrica tiene algunas ventajas sobre una serie de potencias para Ja representación de funciones. Por ejemplo. Ja condición· de diferenciabilidad infinita que se requirió en el caso de las series de potencias no será necesaria. También. en ocasiones es posible integrar o diferenciar término a término sin haber satisfecho los criterios de convergencia uniforme que forMan los requerimientos usuales para tales operaciones (ver capítulo 15). Antes de empezar nuestra discusión de las series (1 ), obsérvese que si converge o diverge en un punto Xu. entonces converge o diverge en Xo + 211". puesto que cada término tiene período 211"; porque la perioclici· dad implica que las sumas parciales en x., son idénticas a las sumas par· ciales en Xu + 211", o bien. por ese hecho. en Xo + 2n"'· donde n es cual· quier entero. positivo o negativo. Así que. siempre que la serie (1) repre· senta una función. representa una función periódica con período 211'; esto /(x). es. la función / debe satisfacer Ja ecuación funcional f(x + 2-n-) A primera vista. este requerimiento parece constituir una fuerte res· tricción sobre Ja clase de funciones con la cual puede trabajarse. No obs·
=
[493)
494
introducción
series de Fourier
tante. la situación no es ta n seria como pod ría pa recer; porque s i se tiene una funció n f, definida en [-,,. < x < ,,.¡. puede definirse la lla mada extensión periódica d e / . Esto se indica g ráfica mente en la fig u ra y se obtiene d esplazand o la g ráfica d e f en 1- 7T < x < ,,.] en 2,,., 4,,., ... hacia
495
E stas fórm ulas integrales (2). (3) y (4) se lla marán fúrmulas de ortogona lidad, po r las razones qu e se aclara rá n pnstcrio r111ente. Ahora supo nga mos q ue una serie trigonomét rica d e la fo rma (1) converge. Po r ta nto. su suma será una función de x. d ada po r
f(x)
=
a
oo
--9
2
+ L (an cos nx + bn sen nx). o
Primero se desea inquirir acerca d e todas las relaciones entre f y los coefic ientes fa .,} . f b., I. Si la conve rgencia de la serie es ta l q ue permita la integració n té rmin o a té rmin o (po r ejem plo. la co nvergencia uni fo rme sería su ficiente). en tonces se obtiene
dx J-·., f( x) dx = -21 a J• -· 0
la de recha y hac ia la izquierda. Forma lm ente, la fórmula de la pe riod icid ad p ropo rcio na la definició n de f fu era d e 1-,,. < x < 11). Así, pa ra f(x + 2,,.) y pa ra x en x en !- 3,,. < x <- ,,.¡, f está d efinid a por /(x) ¡,,. < x < 3,,.J. f está definida po r /(x) f (x - 2,,.), .... E sto d eja el valo r d e f indete rminado en los múltiplos im pa res de ,,.. All í puede definirse de cua lqu ier ma nera. po rque eso no afe<.:tará la forma de la serie ( 1) aso ciada con ella, ta l y como se verá posteriormente. A ho ra volveremos nuestra a tención hacia ciertos cálculos prelimina res senci llos q ue serán útiles en todo el capítu lo. E n estos cálculos m y n son enteros no negativos. no necesariamente d iferentes. Primero recordemos las siguie ntes fó rmula s trigono métricas :
=
=
=
-1
2
J'
- -1
J'
sen (111 -
2 -· (3)
f:;en mx sen 11x dx = {~
(4)
s•
COS // I X COS /I X
-•
dx
=
( ~2w
111 =1=11
111 = 11 > 0
=I= 11 111 = 11 > 0
111
111
= /1 = o.
Pa ra k
f.,
> l. f(x) cos kx dx =
- :r
s· -:r
+
f(a" J:.,,
= -1 7T
f( x) dx.
- r
2
cos nx cos k x d x
o bien
(6)
a,. = -1 7T
n)x dx
J'
= wa0 •
-1 a 0 cos kx d x
f~/(x)
+ n )x d x
se n (111
- r
a0
(5)
f
+ bn :.,,sennx dx)
+ bnf: .,,sen n x sen kx dx) .
=
A pa rti r de estas expresiones se obt iene inmediata mente J :;en 111 x cos nx d x
.,,cos n x dx
Po r las fó rmulas de ortogo na lidad. solamente ex iste un té rmino que nn se nulifica en esta serie , y esto sucede cuand o n k . De d o nd e
= [sen (a + m- sen (cr - /3)] / 2 sen (\ sen f1 = [cos (cr + m- cos (cr + {J)]/ 2 cosacos f1 = [cos (cr + (3) + cos (a - /3) ]/ 2.
sen a cos /3
(2)
f
+ ~(an
Así que
= O
cos k x d x
s·
=
a,.w
f( x) cos kx d x.
-r
Nótese qu e (5 ) se obtiene de (6) haciend o k = O. Esta es la razón pa ra toma r el té rmi no consta nte como a,./2 en lugar d e a,.. po rque a ho ra (6) cu bre am bos casos. De mod o semeja nte. ca lculemos
(7)
b,,
=:;1 J• -•f (x) sen kx ds.
Es con venien te seña la r que puesto q ue /, po r su propia definició n, es peri<'>d ica. las integra les en (6) y (7) pued en tomarse con igual p ropi edad sobre c ua lquie r inte rva lo de longi tud 2,,.. E n pa rticula r, esto será
496
series de Fourier
ejercicios
un comentario útil cuando se discuta la convergencia de las series trigonométricas. Volviendo al problema original. puede preguntarse cómo deben escogerse a11 y h,, de manera que para una función f dada se tenga
puesto que x sen nx es par. De donde
2I."o zsennzdz=--zcosnz 2 Ir+-lf."cosnzdz o o
b,.=-
1T
= -ªº + }; a,, cos nx + b·,, sen nx.
= - -2 cos
00
f (x)
2
n
l
y se ve que si pueden escogerse de manera que sea posible la integración término a término. entonces se determinan mediante las fórmulas (6) y (7). En general. si f solamente es integrnblc en f- -zr < x < r.J. los coeficientes Ja,,l y ¡h,,i pueden calcularse mediante las fórmulas (6) y (7). En este caso la serie ( l) resultante se llama serie de Fourier de f y los números se llaman coeficientes de Fourier. Toman sus nombres en honor del matemático francés J. B. J. Fourier. cuyos estudios sobre conducción de calor lo condujeron a tales series. Ahora bien. una serie de Fouricr puede converger o puede diverger. y donde converge puede no converger hacia la función / que la genera. El resto de este capitulo se dedic.:ará en gran parte a discutir la convergencia de las series de Fuurier. y a la cuestión de derivar e integrar una serie de Fourier término a término. Corno una consecuencia inmediata de la definición se tiene el siguiente teorema.
n1T
a
Solución:
2
1
= -1
a0
1T
Para n ~ l.
1 a,. = -
b,. = -1
{-1r < z
ir f (z) dz = -1 I.r1 · dz = 1. -r
1T
O
I.rcos nz dz = -1 sen nz ..=O
,,, o
i" o
1o
n1T
sennzdz
=-
1 -cos nz n1T
1 == --[coSn1T-COS0] =
=[
n1T
sin es par sin es impar
/(z) ~ ! 2
Entonces
significa que los coeficientes a y h se calculan mediante las fórmulas -(6)
Iro
1 --[(-1)"-1]
n1T
co
+ l: (an cos nx + bn sen nx)
{~
/(z) =
=.
J
f definida por
EJEMPLO 2. Calcular la serie de Fourier de
gente es la ~cric de Fourier de su suma. Para indic.:ar que una serie de Fouricr proviene de una función / necesitamos otro símbolo que el de porque el signo de igualdad lleva con él la connotación de convergencia. El símbolo más común es - . el cual se usó con anterioridad para indicar la igualdad asintótica. Por tanto. ahora se usará este símbolo en un nuevo sentido. r-.J
n
2
x~ I-(-1)"+1 sennz. 1 n
Así que
Teorema. Cualquier serie trigonométrica uniformemente conver·
f (x)
2 = (-1)"+1_.
n1T
ao
1T
20.1a
n1T
+! I '11'
o
+ l)z • +1
sen(2k 2k
y (7). El símbolo -- se lee «genern». EJERCICIOS A
EJt:MPl.O 1. Calcular la serie de Fourier de x.
J. Obtener la serie de Fourier para las siguientes funciones:
Solurü;n. Ahora a,.
= -1 f'll' x cos nz dx = O, 1T
-r
ya que x cos 11x es una función impar. También
f
11
b" = -1 1T
-r
xsennxdx
= -2 1T
fr
-r
(a) f (z) =
{ºz {{O_,,<
O}
(e) zl (e) zl sgnz
xscnnzdx, 2. Demostrar que si / es par, b,,
(b) f (:r;)
=
{ºsen:r;{_,,{0<< z << tr}
(d) erJa
(/) sen z sgn z
= O; y que si / es impar, ªn = O.
:w:
O)
497
498
series de Fourier
desigualdad de Bessel EJERCICIOS B
t. (a) Si /' es continua en { - rr .,;; x ( rr}, demostrar que existe una constante C1, independiente de n, para la cual lanl ( C1 /n. = f(- rr), demostrar que Jbnl ( C•/n. (e) Si además f" es continua en {- 1T ( x ( 71'}, demostrar que existe una constante C2 , independiente de n, para la cual lbnl <; C 2 /n2. (d) Si además /'(7T) := /'(- TT), demostrar que lanl ( C2/n 2• (b) Si además /(TT)
2. Si f es periódica de período 2 rr y /'ª 1 es continua, demostrar que existe una constante C1c tal que lanl ( C1c/nª, lbnl ( C1c/n". 3. Demostrar que s! t no es un entero, entonces
2t sen"'( 1 costz " " ' J - - - - 2 .,,
2t
2 sen.,,.,
~
.,,
1
sentz " " ' J - - k
cos + k~1 (-t)t 2 k2 1 -
kz)
( -J)k k sen kx kª . t2 -
Todavía otra medida del grado de aproximación y que parece la más apropiada para la discusión de las series de Fourier es (2)
Debe hacerse notar que, para un n dado, la S,, que es «mejor» en un sentido, probablemente no sería mejor en otro. Por ejemplo, si Sn se aproxima mucho a f excepto cerca de un punto. entonces la medida integral de la aproximación sería pequeña. mientras que la medida supremum sería relativamente grande. Habiendo escogido nuestra medida de aproximación, a saber Ja .:1,. definida por (2). ahora sensatamente podría inquirirse acerca de qué selección de los coeficientes e y d conduce hacia la mejor aproximación. 20.2a
EJERCICIO C l. Si f es monótona y /' es integrable en {-71' < x una constante C tal que lakl < C/k, lhkl < C/k.
e
{-t1'~%<'.v}
=
'71'".
Esta área es
=
f,,'f(z) - S,h~)I d:z:.
=·
=
Demostración. En la expresión para .6.,,, se sustituye S,,. se desarrolla y se aplican ]as fórmulas de ortogonalidad y las definiciones de los números a y b como coeficientes de Fourier: · ti,.
1
hecho, este es el tipo de criterio que se apJica para discutir la convergencia uniforme. Otro criterio para medir la exactitud de la aproximación de Sn a f es el área encerrada entre las curvas y /(x), y Sn(x).
=
< 7r}. Enton-
sea Ja menor. debe escojerse Ck ak y dk bk, donde Jos números ak y bk son los coeficientes de Fourier de f.
n
(Usamos los símbolos e y d aquí para los coeficientes, puesto que a y b denotan los coeficientes de Fourier). Ahora se desea saber cómo escoger, para cada n, los coeficientes e y d de manera que la S,, dada por (1) sea la «mejor» aproximación a /. Existen muchas formas de medir la exactitud de Ja aproximación. Por ejemplo, podría decirse que Sn se aproxima mejor a f si se escogen los coeficientes e y d de modo que sup 1/(z) - Sn(z)I sea e] menor. De
x = -7r, x
función integrable en {-To< x m que
~-
donde
= ..9 + ¡(e" cos kx + dt sen kx). 2
•
~·
En esta sección. investiguemos e] problema de Ja «mejor» aproximación de una función integrab]e f en {-7r ~ x ~ 7r} mediante un poJinomio trigonométrico en Ja forma de una suma parcial de una serie trigonométrica:
Sn(x)
1· 1'.:
demostrar que existe
20.2 APROXIMACION EN LA MEDIA. DESIGUALDAD DE BESSEL
(1)
Teorema. Sea ; ces para cad: 1
< :7}.
499
=f"_,, =J"_,, J
[f(z) -
~2 -
I (c1: cos kx + d1: senkz)lJ d:z: 1
1
1
(z) d:z: - 2.[" /(z)[!g _,, 2
+ f1 (c1: cos kz + d1c sen kzflJ d:z: .
n ]' + f, [e-º + ,I(c 11 cos kx + d1: senkz) d:z: -r
=f.
2
1
}'(11&) d11& -
•{ªo"o +2*(ª..•+b.,IJ] +,.[~· +*«•"+d.')]
=J" J2(z) d:z: + ,,,[!2 c -r
1 0 -
a0c0 +
I (c 1
1 11 -
2a1c,J
+ (d,,1 - 2b~1c)l 'J
··-~P.
500 series de Fourier
algunos lemas útiles 501
Si se completa el cuadrado en cada grupo de números e y d, se obtiene
An
=f-1111 /2(i) dx + ,,,[(co -2 aof' +.f (et - cJ + (dt -·{ª;" +ica.•+ b.'.>J. 2
Multiplicando por sen
b,Y·]
cosasenp
l
=
1
Ya que An ~O (¿por qué'?). se obtiene como un corolario el resultado conocido como desigualdad de Bessel. 20.lb Corolario. Si a
2
.JL
2
f es integrable en f- ir ao
+I
(a1c2 + bt2)
por el cálculo anterior.
7f'
1.
1 f11 f2(x) dx. 1T -11
.
= au/2 + ¿ (ak cos kx + bk sen Áx).
= ! sen !IJ + '2l [sen
sen M D11 (1J)
... +
1
csen(n
2
(1)
D,,(IJ)
Lema. -2
1T
J:"o Dn(8)
Demostración: entonces.
f.'o.(8)d8 =
2
1
7T
J"
20.Jb
}-(x) dx.
-rr
Entonces, por el Teorema 14.2a, se deduce el resultado del lema.
d()
Lema. Si
co•
f es integrable en /:
1
lim i~ao
b,,~o.
lim
y
Demostración. Por el Teore111a 14.la. a,.2 + hn2 -->O y a,,2 ~ a 2 + b112 • De aquí que a,,2 ~O y. por el T-;orema 2.3i. también sucede lo mismo I con a,,. D_e modo semejante b,, ~ O. 1,
20.3 ALGUNOS LEMAS UTJLES Estamos tratando de llegar a un teorema de e ""~'rgencia para las series de Fourier. Es conveniente reunir aquí cie:-to.. rc .. ,!hados preliminares útiles y evitar así la interrupción del argumento p· indpal para proporcionar demostraciones de estos lemas suplementarios. Empecemos por resumir .cierto polinomio trigonométr.·;o (comparar con el ejemplo de la Sección 16.6). a saber
= 1/2 + cos fJ + cos 20 + ... + cos 110.
= l.
J:H + º+ ... +
20.lc Corolario. Si fes integrable en !-ir~ x ~ "IT¡, entonces a,,~ O y
Dn(IJ)
= sen (n + !)IJ/2 sen !IJ.
co•
no) d8 = ~.
1
Ahora se establecerá un resultado que es tundamental para las series de Fouricr. Esto se conoce con c1 nombre
1
a 2 +I" (at2 + b1c2) < . --º-1
+ ···
o bien. si O no es un múltiplo entero de 21r, entonces
20.Ja
=f"-11 /'(z) dx - 1T[ªº2 +I (a1c2+ b1c2)J > O.
De aquí que, para tocio n,
- sen !8]
+ !)0-sen(n-~)8] = 21 sen(n + !)IJ
2
An
l = -[sen(a + {J)-sen(a-p)], 2
En ocasiones esta razón recibe el nombre de núcleo de DirichJet.
entonces
<-
1
Demostración. Si S,,(x)
~ x ~
y usando la identidad
se obtiene
A partir de esta última fórmula, es evidente que la selección de los números e y d que hace A,. la menor posible es la selección que hace lo menor posible al término de enmedio. Pero este término de enmedio puede y dk bk. hacerse cero escogiendo ck
= ª"
~(J
i~ao
la~
x
~
bl. entonces
J.i(z) sentz dx = O a
J.i
Demostración. Antes de empezar Ja demostración. nótese que si a =-1T, b T y t = n. el resultado coincide con el Corolario 20.2c. Por tanto. esto puede considerarse como una generalización de ese resultado. Dividiremos la demostración en tres partes (A). (B) y (C): (A) Supóngase primero que f es una constante C en un subintervalo de J y cero fuera de ese intervalo:
=
C /(z) = {O Entonces
f.
b
a
/(x)scntz dx
f.,
=e
CI
{a ~ a ~ X ~ fl ~ bl en todo otro caso.
sentz dx = - -e cos tx t
I'=e 11
cos a.t - cos fJt . f
502
teoremas de convergencia
series de Fourier
Por tanto,
de mod o que
lf
bf(x) sen tx dx 1 <
21~1 _...O
conforme t
~ oo.
(8) Supón~asc q ue ¡ es una función escalonada; es d.ecir, exi.ste una partición de ¡ ta l que f(x) es una constante Ck en e l k-és1mo subintervalo /k d e la pa rtició n : para x en h.
i f(x) scn1x dx
=J fMx)
503
sen1x d x-+ O.
1
Por la parte (A), e l límite es cero. (C)
dado
Aho ra sea
e> O.
f una función integ rable arbitrariamente en / ,
y sea
Supuesto que f es integrable. existe una suma inferior que se aproxima a la integra l de manera arbitrariamente próx ima. Pero la integra l de una función escalonada es precisamente una suma inferior. Porque es de la forma
=
donde if¡(x) m k en h . puesto que una suma inferio r puede escogerse para aproximar a la integra l de f hasta dent ro de c/ 2. Esto sig nifica que existe una funció n escal onada .p. con .p(x) ~ f(x) en /. para la cua l
O<
f
[! (x) - 1f'(x)] dx =
f
lf (x) - 1f'(x)I dx
<
Deno temos Lbf(x)sen 1x dx por ! ,. Entonces / 1
= ff(x) sen lx dx =
Así que
II,I <
f
f
[f(x) - vi(x)] sen lx dx
lf (x) - V'(x)I d x
+
1f
+
f
vi(x) sen tx dx.
vi(x) sen l x dx l.
La primera integra l es ~ c/ 2 y la segunda tiende hacia cero conforme r ~ Cl.l. E ntonces existe un T tal que
11,1 < ( o bien
11 ~O
si t
> T,
conforme t ~ oo.
Nuestra demostración ha sido para la integral que contiene al seno.
Es evidente que se aplica la mi sma demostración para la ot ra. · corll\l una suma de fun<.:io nes del tipo Tales fun ciones pucd e n eu·ri'bt'rse J~ mencionad o en (A) : X en f k C Hace r fk(x) = { Ok en todo otro caso. Entonces evidenteme nte
f( X)
= Lf1.(X) 1
...
r
€/2.
1
20.4 TEOREMAS DE CONVERGENCIA Se desean investigar las condiciones bajo las cua les la serie de Fourier de una función f conve rgerá hacia /(x ) en un punto x. E n principio supondremos que f es integrable en {- rr < x ~ rr} y se extiende periódicamente de modo de se r definida para todo x. Bajo estas condiciones
504
teoremas de convergencia
series de Fourier
puede formarse la serie .de Fourier. Nuestra primera meta es escribir la n-ésima suma parcial en una forma apropiada:
a
n
Sn(X) = J + 2
= -1
f
I
.
(ak cos kx + bk sen kx)
1
11
2w -11
¡ (t) dt + -1 In [ cos kz f11 ¡ <1> cos kt dt -r
'Ir 1
+sen kz
·
[1 = -1f ¡ <1> [1- + I cos = -lf
11
,,,. -11 11
ff 11
(t) sen kt dt]
J
f(t) - + In (cos kx cos kt +sen kxsen kt) dt 2 1 n
2
-11
7T
".:
=;1 f1t_,, f(t)Dn(t -
x) dt
do miembro de (3). Ahora salta a la vista que los valores de f que afectan Ja convergencia de Sn(x) hacia f(x) son aquéllos cercanos al valor x -es decir, en una vecindad de x arbitrariamente pequeña. Esto se conoce como principio de locali7.ación. Si x se mantiene fijo y u es pequeño, entonces el comportamiento de g(x. u) cerca de u= O es realmente el asunto crítico; de hecho, la rapidez a la cual g ~ O conforme u ~ O es muy importante. Si para algún x fijo existe un 81 >O tal que
existe, posiblemente como una integral impropia convergente. se dice que
'11
o
+
=;tf."-:a -rr-/(x + u)Dn(u) du.
20Aa Teorema. Sea f integrable en {- 1T < x ~) y su póngase que se continúa. periódicamente hacia afuera de ese intervalo. Supóngase que existe un x en el cual f satisface Ja condición de Dini (4). Entonces para ese valor de x
= ~ir f(x + u) + f(x -
+ -1 L f(x o
u)Dn(u) du
=1 + 1 1
1'T
i
f.
1 ' = ;
11
f(x)Dn(u) du o
= ! Íf(x + u) - f(x , ,. º L . 2
u) - f(x)] D,.(u) du.
Si se hace (2)
1
2,
+
1; f g(z,
u)D.(u) du
1
respectivamente.
f.' 1g(~ ll2se:l/2u l1se+ + ~ul u)
Ahora bien, lu/2 sen !ul es acotado en {O< creciente allí, de modo que
11
S,.(x) - f(x)
g(z, u)D.(u) du
Considérese primero 1-i:
1'T
(l)
1
lg(z, u)l ID.(u)I du
u) Dn(u) du.
2
= -2 f(x) Lito Dn(u) du = -2
De donde
;f =; f
IS.(z) -/(z)I =
Ahora bien. por el Lema 20.3a.
f(x)
J?emostración. Sea dado (>O. Escójase cualquier 8 < 81 y calcúlese. partiendo de (3):
'11'
,,,. o
S,,(x) ~ f(x).
11
u)D,i{tt) du
·
<
=:;1 f1t-rr f(x + u)Dn(u) du = -1 LfTf(x
u) 1du
f satisface la condición de Dini. La convergencia de esta integral es una
Puesto que tanto f como D,, tienen período 211". este; puede ponerse en la fom1a
Sn(x)
L" 1g(:
(4)
medida de la rapidez a la cual g(x, u) ~O.
J
k(t - x> dt
1
~
505
Y evidentemente
u'
du.
1r}; de hecho es no de-
'
·
l2se:112u! < ~ ·
g(z, U ) -_f(x +u)...;.. f(x - u)-/( X,) 2
. · 11 g(x, u)Dn(u) du. '11' o De donde es evidente que para discutir la convergencia de S,,(x) hacia /(x), es suficiente con discutir la convergencia de la integral del segunde (1) se obtiene (3) Sn(x) - f(x) = -
2L
de manera que
/1
Dado que la integral converge, puede tomarse 8 tan pequeño que Habiendo escogido 8, se mantiene fijo y nos volvemos hacia 12 •
~ ~12.
506 series de Fourier
teoremas de convergencia
En {8 ~u ~ ?r), la función g(x, u)/2 sen ~" es propiamente integrable. De aquí que, por el lema de Riemann-Lebesgue, /2 -7 O conforme n ~ co. De donde existe un N tan grande que 12 < N. Así que ISn(X)-/(x)I
~ 11 + 12 ~ ~ + ~
=(
S,,(x) ~ f(x).
es decir
En cada punto interior x, las derivadas laterales
(2)
'(
1
= f(-?T) = 2[/(-7T +O)+ /(1i-0)]. /(x)
<
x ~ 7r} extiende por periodicidad. Entonces la serie de Fourier de f converge hacia el valor
v se
/{x) =
1
2
[f(x
.
+ O) +
f(x - O)] .·~·
en cada punto x. En particular. en /fo)
71'
y -
1T
converge hacia
= /(-?r) = "21 [f(-?T + O) + /(7r)-O)].
Demo.\'tración. Demostraremos que la condición de Dini se satisface
en cada punto. f.: (X, U )
= /(x +u)+2 f(x- u)· =
f(x + u)-f(x +O)
2
.
f(x)
+
f(x-u)-f(x-0)
2
•
de modo que
1
En todos Jos demás puntos
/(x-0)
n
20.4b Teorema. Supóngase que fes cuasi diferencia ble en f- 71'
O)].
Por la periodicidad. esto implica que f(r.)
= lim f(x-h) +
existen. En a existe la derivada derecha y en b existe Ja izquierda. Nótese que la condición (2) se aplica en los puntos de salto y en los puntos de continuidad. Así que. por ejemplo. podría tenerse una esquina en un punto de continuidad.
<
= 21 [f(ak + O) + f(ak -
h) - f(x + 0) h
"-+º+
Este teorema da las condiciones en un punto x bajo las cuales la serie de Fourier de una función integrable f convergerá hacia /(x).Por supuesto que si f satisface esta condición en cada punto x, entonces la serie de Fourier convergerá hacia /(x) para todo x. Quizá no sea inmediatamente evidente si una función dada satisface o no el criterio de Dini (4) para la convergencia de las series de Fourier. Por tanto. describiremos una gran clase de funciones que no satisfacen esta condición. Se dice que una función f es seccionalmente continua en un intervalo /: {u~ x ~ hl si existe una partición A de J para la cual f es continua en cada subintervalo. si f(xk + O) y f (xk - O) existen en cada punto de partición de A y. finalmente, si tanto /(a + O) como f(b-0) existen. Al considerar una función que es seccionalmente continua en {- ?r ~ x ~ ?rf se supondrá, sin comentario posterior, que la función se extiende mediante periodicidad. También. normalizaremos el valor de la función en puntos de discontinuidad -es decir. los puntos de partición de A- mediante
f(ak)
. /(.t + x+ O) =h1...1m u+
' /'(x-O)
y
sin> N,
507
lg(~ u)I < w(z +u)~ /{z + 0)1 +
W<'" - u) ~/{z- 0)1,
f es continua. de modo que Ja ecuación
= 21 [/(x + O) + f(x -
O)]
se cumple para todos los puntos. Esto implica cambios de los valores de f en cuando más un número finito de puntos, de manera que los coeficientes de Fourier no se alteran por esta normalización. Una función definida en un intervalo I: ~a ~ x ~ b ~ se llamará cuasi diferenciable allí si: (1) fes scccionalmentc continua en I.
Ahorct bien. puesto que las derivadas laterales existen. cada uno de e~tos cocientes es continuo y acotado para u > O. De donde 1
Así que
!
g(x, u) 1< M u 2
L" 1g(~
~ ! M = M. 2
1
u) du existe.
1
Nútcse que la clase de funciones cuasi diferenciables incJuye las sec-
508
series de Fourier
ejercicios 509.
cionalmente suaves -es decir, aquellas que se construyen colocando jun. tas funciones diferenciables, como por ejemplo
f(x)
=
o
{-7r
X
H
:c2
y
{~
Completar la definición proporcionando el valor de f en los puntos de partición, mediante la regla
1
T
/(x) =
[f(x
+ O) + /(x -
O)],
suponiendo que f se extiende periódicamente. EJEMPLO I. En la Sección 20. 1 se dedujo Ja serie de Fourier para x. Ahora podemos asegurar que esta serie,
1 l 1 2[sen x--sen 2x +-sen 3x--sen4x 2 3 4
+ - ···]
converge hacia x en {- "lT < x < 7r} y hacia O en "lT y lores de x. converge hacia Ja extensión periódica. Cada suma parcial
71",
Para otros va·
n
Sn(x)
= 2 ~ (- 1r•csen kx)/k
es continua y tiene el valor O en '1T. De aquí que la gráfica de S 11 es una curva suave que pasa por (7r, O). La figura ilustra el comportamiento de S,, para n = I, 4, 5, 6. EJEMPLO
2. Sea
/(z)
= {:
En ninguno de estos ejemplos la serie converge uniformemente en f-7r ~ x ~ 7r}. ¿Por qué?
y sea definida por Ja periodicidad fuera del intervalo básico. Entonces la serie de Fourier de f es
+ lsen 2 L :e+ 13 sen3x + s!sen5x + · · ·].
!
Esta converge hacia f(x) para x =/:= n'lr y hacia ;,¡2 para x ilustra el comportamiento de las sumas parciales.
= n'lr. La figura
EJERCICIOS A 1. Demostrdr que todas las funciones en Jos Ejercicios A de la Sec~ión 20.1 ~ facen las condiciones del Teorema 20.4b, de modo que sus r.enes de Founer convergen. Encontrar las sumas de estas series en todos los puntos de discon· tinuidad. 2. Trn 1.ar un esquema de las gráficas de Jm; primerns sumas de aproximaci6n de las series de Fourier para x2 y e'.
!'
51 O series de Fourier
convergencia uniforme EJERCICIOS B
1. Sea f continua en {- r. trar que
< x < ;r}
ka1e-O
y supóngase que
f' es integrable allí. Demos-
(-l)kkb1e _f(-71') - /(w) TT
205a Teorema. Sea f una función continua en {-.,,
2. Aplicando la serie de Fourier para x deducir
t t co
(a)
co
(e)
20.S
1
co ( -1)"+1
,,¡i.
k2 =
6
1
(b)
Sumando se ve que la contribución debida al punto e se cancela, dejando la fórmula regular (l) para la integración por partes. Evidentemente puede nevarse la demostración hacia el caso de un número finito de discontinuidades en f'.
•
2,
t --¡¡- =
= /(- .,,)
.,¡¡. 12
1 f(x) = - a0
8
2
Hemos visto las condiciones bajo las cuales una función f definida en {-1T ~ x ~ 7r} es representable como una serie de Fourier. Ahora se desean investigar las condiciones bajo las cuales las operaciones del análisis pueden efectuarse término a término en estas series. Por supuesto que el estudiante recordará que se tienen teoremas generales bajo los cuales puede diferenciarse e integrarse término a término a una serie. condiciones que implican la convergencia uniforme. Salta a la vista que. en el caso de las series de Fourier. estas operaciones pueden realizarse bajo condiciones considerablemente más débiles y son estas condiciones más débiles las que vamos a establecer a continuación. Antes de empezar hagamos algunos comentarios acerca de la integración por partes. La fórmula de integración por partes
f.J•g dx = fg
1:- f.Jg• dx
se probó bajo la hipótesis de que f' y g' existen en todos los puntos en {a ~ x ·~ b} y son integrables. Si /' existe excepto en un número finito de puntos y es una función seccionalmente continua. todavía se aplica la misma fórmula. Porque, supóngase que f' tiene una discontinuidad en e entre a y b; entonces puede escribirse
J.i'g
dx =
fr
g dx
+
J.i' g
y sea
co
+ I1
(an cos nz
+ bn sen nx),
donde a,, y h,, tienen sus definiciones usuales. Entonces. en cada punto x donde /"(x) exista. puede calcularse /'(x) mediante derivación término a término -es decir
DERIVACION E INTEGRACION. CONVERGENCIA UNIFORME
(1)
< x ~ .,,}
/(7r) de manera que la extensión periódica de f es continua. Supóngase además que f' es seccionalmente continua. Por tanto. por el Teorema 20.4b, f se representa por su serie de Fourier
.,,2
(2k - 1)2 =
511
dx.
Podemos integrar por partes cada una de estas últimas integrales:
J.'r g dx = f (c)g(c) - f (a)g(a) - J.'1g' dx. y
f.J•g dx = f(b)g(b) - /(c)g(c) - f.Jg• dx.
00
f'(x) =
21 (nbn cos nx -
nan sen nx).
Demostración. En tal punto. f' satisface las condiciones de nuestro teorema de la convergencia (20.4a). de modo que la serie de Fourier para f' converge en el punto x. De donde. para este punto
f'(x)
a'
'X>
2
1
=--º- + 2 (an' cos nx + bn' sen 11x),
··~
.¿...
..&~l
donde a/ y h,,' son los coeficientes de Fourier de /'. Así que solamente nan. debe demostrarse que ao' = O, a,,' = nb,, y b,/ Puesto que f' es seccionalmente continua. las integrales implicadas pueden integrarse por partes. Así que
=-
a0' = -1 7J'
Además
lf
an'=-
1T
fil' f'(z) dx = -11
11
-1f(x) 1 = -1 (!(") - f(-1T)] = O. 7J'
-11
•
11
-,,
7J'
11
1 1 f'(x)cosnxdx=-f(x)cosnx 1T
.
_.,,
+-"fil' 7J'
f(x)sennxdx
_,,
1
= 1T- [/(11') - f (~11')] + nbn = nbn• De manera semejante
bn'
= -na".
1
En la demostración de este teorema no se demandó la convergencia uniforme de la serie original o de la serie diferenciada. De modo semejante. al discutir la integración término a término. no requeriremos la convergencia uniforme. De hecho, ¡no se requerirá siquiera la convergencia de la serie original!
·~·
convergencia uniforme 513 512
series de Fourier
205b
Teorema. Supóngase que f es seccionalmente continua en {- 7r < ~ x 7r} y que su serie de Fourier es
<
ªº
f (x) ,_, - - + 00 I (an cos nx . Entonces
fa:
f(x)dx
-11
2
+ bn sen nx).
1
Tal y como demuestran los dos teoremas anteriores. no es necesario demandar la convergencia uniforme para permitir la integración o la derivación término a término de una serie de Fourier. Sin embargo, de ocurrir. la convergencia uniforme es conveniente. Daremos un criterio para la convergencia uniforme de las series de Fourier. 20.SC Teorema. Sea f continua, con f(-rr)= f(-7r) y con una derivada seccionalmente continua en (- 7r ( x -rr}. Entonces la serie de Fourier converge uniforme y absolutamente hacia f en ese intervalo. Además,
<
= ª0 (x + 1T) + I!Cansennx + bn[cos nx- {-1)"]) 2
t
n
Demostración. Definir F por F(x)
=fa:
-11
donde
! a0x
f(t) dt -
=
=
a:
f
-r
1 f(t) dt - - a0 x
2
1
~
2
1
= - A 0 +1 An cos nx + Bnsen nx,
donde A 11 y Bn son los coeficientes de Fourier de F. Por tanto, para n;;?; l. An
= -1 f11 7T
F(x) cos nx dx
-'ti
1 lfl - -1 = -F(x)sennx n1T
-11
= - -1 nTT
f
11
-11
[
f (x)
nTT
f
+ I. (a" cos kx + b1c sen kx)
2
C2
1
=!f. 1T
_,,
f'(x)"• dz.
Demostración. Denotemos Jos coeficientes de Fourier de f por a11 y b11 a,,' y b,,'. Entonces (1) a,.' = nbn y b'n =-na"' y. por el Corolario 20.2b, y los de /' por
(2)
lf" f'(x) dz,
~'ª + I~ (an' 2 + bn'1) < 2
1
1T
1
_,,
supuesto que /' es integrable. Consideremos m
-11
I
ISm(X) - Sn(x)I =
F'(x)sennxdx
(a1c cos kx
+ b1c sen kx).
Entonces (ver Ejercicio A3)
J
a sen nx dx = - -1 bn - --º 2
n
Ahora bien. por la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
1 0 + Ico (1- ansen nx = -A
1
)
- bn cos nx . 2 i n n Pero f'(Tr) = 7rOu/2, de modo que por la ecuación anterior F(x)
= - ªº
y
11
De modo semejante. Así que
Sn(X)
2
Entonces F es continua; además f" f- au/2 y por tanto es seccionalmente continua. También F tiene derivadas laterales derecha e izquierda en los puntos de discontinuidad de f y F(Tr) = F(- 7r) (¿por qué'?). Entonces F se representa por su serie de Fourier: F(x)
e < Jñ'
lf(x) - Sn(:r:)I
en {-'lT'
1 1 ~i 1 ~ b - a0TT = - A 0 - 1- bn cos n1T = - A 0 + 1 (-1)" -.!! • 2 2 1n 2 n 1 Esto evalúa A ... Sustituyendo el valor para Ao en la serie de Fourier para F. se obtiene el resultado. 1
(3) Pero
ISm(x) - Sn(:e)I
< (I
n+l
!)U( I {a k2 n+l
1 1/
+ b,/ª))U
(4) y
(5)
00
"' 1 1 I-
f.
00
n
d:r: 1 -=-. z9 n
514
series senoida/ y cosenoida/
series de Fourier
515
Así, de (3), (4) y (5) se obtiene
ISm(x) - S"(x)I
(6)
C2 =
donde
! 7T
f.
< c¡J-;,,
f'(x) 2 dx.
-·
Esto prueba la conve rgencia uniforme por el criterio de Cauchy. Si se observa que, por el Teorema 20.4b, S,,,(x) ~ f(x), en cada punto se obtiene inmediatamente, a partir de (6) si se hace que m ~ oo,
lf(x) - SnCx)I
<
C/J~.
Gráfica de una función f definida entre O y 7r
1
20.6 SERIES SENOIDAL Y COSENOIDAL. CAMBIO DE ESCALA Se hizo notar en el ejerc icio anterior (A2 de la Secc ió n 20.1) que si es par. su serie de Fourier consiste solamente de términos en coseno y e l término constante: y que si f es impar. su se ri e de Fourier consiste sola mente d e términos en seno. Ahora examinaremos este fenó meno un poco más detalladamente. Sea f dada en :o < x < -::- l. Si se define f en !- " < x < OI como una funci ó n par -es decir, por f(x) x)- se dice que se tiene una extensión par de f. Si se define f en f-" < x < O¡ como una función impar -es decir, por /(x) x)- se dice que se tiene una extensión impar de f. Si entonces se extiende f por periodicidad con período 2,,., estas dos extensiones da n lugar. respectivam ente. a la extensión periódica par y la extensión periódica impar de f. E n tod os los casos normalizaremos mediante
Extensión par de f
= /(-
= - {(-
f(x) =
~ [f(x + O) + f(x
- O)]
en puntos de discontinu idad. y en cero y los múltiples de tr. En el caso de la extensión par, la serie de Fou rier para f se reduce a una se rie que contiene solamente el término con~tante y los términos en coseno: a
""
f(x),...., -9 + L ª" cos nx 2 1 E sta expresión se llama serie cosenoidal para /. y
ª" =
-1
f.
7T
-·
21·
f(x) cos nx dx = -
7T
f(x) cos nx dx. o
co
L bn se n nx 1
Esta expresión se llama serie senoidal para
bn = -1
(¿Por qué?)
f se reduce
J'
f
y
21·
f(x) sennxdx.(¿Cómo?) o EJEMPLO. Ya que x es impar, la serie de Fourier completa para x es una serie senoidal. Ahora calcularemos la serie cosenoidal. 7T
En el caso de la extensión impar. la serie de Fou rier para a una se rie que contiene ~o la mente los términos en se no:
f(x)"'
Extensión impar de f
f(x)sennxdx = -
-·
7T
Solución: y para n
a0 =
>O
2 an=7T
~ 7T
í. o
r
X
dx =
0
3~ = TT
2 l xcosnxdx=-- [(- t r 'TT~
'TT,
2
t]=l_r
0 4
7Trl2
n par
n impar.
516
integral de Fourier 517
series de Fourier
+ l)z . + 1)2
_ ~ ~ cos (2k
_
lz1-
Asi que
'1Tf
'1T
(2k
(b) Si g es integrable, entonces
) fw f (:x:)g(x) dx = -21 ªolXo + Iao (a,.ccn + b,JJ,.),
-
Podemos tener series de Fourier sobre otros intervalos que no sean ?- r. ~ x ~ r.}. Sea 4'
=
=
/(z) ,._ ª 0 2
(1)
+I
(an cos nz
+ bn sen n:r:),
1r
1
-w
donde ª"y P,, son los coeficientes de Fourier de g. 2. Supóngase que fes periódica y tiene m derivadas continuas en {-• ~ .\· ( ::-}. Demostrar que
lf (:x:)
1
- Sra(x)I
e < nm-~'
donde
donde
ª" = -1 I'lt /(z) cos nx dx = -1 IL (y) cos -mry dy
(2)
'1T
L -L
-r
C2
.L
= (2m 1_
l}ir
f"_}!
y
bn
(3)
= -1 I'lt '1T
/(z)sennzdz
-r
fL
= -1 L
20.7 LA INTEGRAL DE FOURIER
n'1Ty
-L
L
·
Supóngase que f es acotada. integrable y absolutamente integrable desde - oo hasta + oo; es decir. supóngase que tanto
Ahora ( 1) se transforma en
a
(y)~ .J! 2
mry
-:o
n'1Ty
+ I1 ª" cos - L + bn sen-L ,
donde ª" y bn están dados por (2) y (3). Evidentemente que no se tienen nuevos problemas al discutir la convergencia. Simplemente hemos hecho un cambio de escala llevando !- r. x -:rl hacia f- L y Ll. Es evidente que existen series senoidales y cosenoidales para este nuevo intervalo. Por traslación, podrían x ~ b} no considerarse series de Fourier sobre cualquier intervalo fa centrado en el origen.
< <
< <
existen (ver Ejercicios 83 y B-n. Entonces para cualquier intervalo f- L ~ x ~ Ll la serie de fourier para f es 00
a0 ( mrx mrx) f(x)l'J-+! a"cos-+bnsen-, 2 1 L L
<
EJERCICIOS A
l. Calcular las series
senoidal y cosenoidal para las siguientes funciones en
IO<;x~:r}:
(a) sen x
Ch> cos x
k)
1
(d)
donde los coeficientes están dados por (2) y (3) de la Sección 20.6. Se desea examinar. de modo completamente heurístico. el comportamiento de esta serie conforme L ~ oo. Primero obsérvese que
e•
1 laol = 1L
2. Calcular las series de Fourier de las siguientes funciones en el intervalo {-L(x(L}: (b) x 2
(a) x 2
+x
k) 1
3. Demostrar que l"1c cos kx + bk sen kxl ~ + b1c • 4. Escribir la forma de lu serie de Fourier sobre la < x < bJ y dar las fórmulas para los coeficientes.
V a1c2
2
EJERCICIOS B
t. Supóngase que f satisface las "o' 2
(a) -
+ Iao
(a1c'
+ b1c2)
1 = 1r
condicione~
f
n
del Teorenm 20.Sc. Demostrar que
J2(x) dx.
-·
JL f(t) dt 1 < L1 IL -L
-L
1 Jao IJ(t)I dt < L -ao l/(t)I dt-+ O.
También se tiene que
mrz)
~ ( ª" cosmrx + bnsen-
¿,,, 1
L
= 2co -L1 1
f
L
L
-L
= 2co -1 JL 1
L
-L
'1T:I:] dt f(t) [ cos -mrt cos -mrx +sen -n'1Tt sen!I__ L L L L
· f(t) cos (n1T -(x - t)} dt. L
518
integral de Fourier 519.
serles de Four/er
Ahora, n7r/ l
= Un,
~,1 u
=7r/ L.
-1 Ico llnu
y nuestra suma se transforma en
IL f(t) cos [un(x -
De aquí que puede intercambiarse el orden de integración.
J0 (z)
t)] dt.
=; L:
-L
'IT 1
=:==
Esta expresión guarda semejanza con la suma de Riemann de una función f. definida por F(u) = -1
IL f(t) cos u(x -
'IT
1 = -
t) dt.
f
f(t) sena(x - t) dt
feo
sen ay f(x - y) - - dy
l ao 7T
-co
7T
-L
= -1
De manera que conforme L ~ oo. nuestra suma parece converger hacia
-1 íc:o du
fao
Escribimos
f(x)
1
r-.J-
ícO du O
1T
f.eof(x -
ao -ao
f(t) cos u(x - t) dt,
o
Entonces para esa f(x) =
Y
/(x +y)+ /(x-y) --/() _
X.
x se tiene
!f Jo
«i
duf «i f(t) cos u(x - t) dt.
1T
-ao
r.o de
la(x)
= -1 f.ª du 1T
o
f
f (t) cos u(x -
t) dt.
-co
Ahora bien, la integral interna converge uniformemente respecto a u por la prueba M pues lf(t) cos u(x - t)I ~ jf(t)!.
~
f(x) =
de modo que
y) senay dy. y
y
o
f'°¡(x) senay dy. y
'ITJO
~~
~
De donde
Ia(x) - f(x) =
~ 7T
=
-~-~
(ao[f(x +y)-'- f(x - y) - f(x)Jsenay dy 2 y
"'º
~ f"'g(x,
.,, Jo
y) sen ay dy.
y
De aquí en adelante la demostración es semejante a Ja aplicada con la serie de Fourier. excepto que es un poco más complicada debido a que el límite superior de integración es infinito. Procedemos de la manera siguiente:
l 0 () X
-
) = -2 J:b g(x,y). f( X --senay dy + -2 o
y
7T
J.'° f(x +y)+ f(x b
2
senay - -2 J.aof (x)-. dy = 11 + 12 + 13 'IT
«I
y
2
'IT
1T
Demostración. La integral que se desea evaluar es el límite conforme a~
senay f(z - y) - dy.
-co
senay d 1 =-2 J:ao - y,
f
8(X,y) -
Jº
7T
Ahora. por el Teorema 18.3f, para a >O se tiene
f es acotada y tanto s_:/(z) dz como lf(x)I dx existen, y que f satisface la condición de Dini en un - c:o x -es decir, existe un 81 > O tal que J:-'11 g(x punto - - 'y) - 1 dy existe, donde
+ -1
feo f(x + y) + f(x -
7TJO
T':,'.'rema. Supóngase que
_
senay y) - - dy y
o
Ia(x) = ~
f
donde, como en el caso de las series de Fourier, el símbolo - se lee como «corresponde a». El argumento anterior es un esbozo de la discusión oriainal de Fourier. Aunque ya no se considera una demostración aceptable, es históricamente interesante y nos permite escribir la fórmula. Nuestra· meta en esta sección es dar una prueba de convergencia de esta fórmula e indicar algo acerca de su utilidad. 20.7a
y
Remplacemos y por - y en la segunda integral y combinémosla con la primera para obtener
f(t) cos u(x - t) dt.
-ao
O
t
X -
-«1
7T
'1T
J
/(1)[fcos u(z - 1) du dt
y
b
y) senayd - y y
·
·
respectivamente.
Ya que la integral J :1 es c.:onvergente. se sabe que para cada < > O existe un B 1 tal que senay llal < ;2 lf(x)I 1f.co y - dy l < E si b > B1· 6
-·
...
~:.
ejercicios 521 520
serles de Fourier
También IJ. I <: : 1
Si
.f.co l/(z +
<: - 1
~b
De donde
y)I + 2
b
'7T
y
'7T
J.co 1/(t)I dt. 'TrE -co
B2 = -2
;f g(:t; 1
J1 =
1;
f g(:t;
+ ~1
f"
r. .. .,
y) 1dy
y) sen ay dy
Asi que si
2 f.a:i l/(t)I dt y)I] dy = -b ·
R~gresemos a estimar a J 1. Se escoge 8
-a:i
Ahora se escoge b
< 81. y tan
> máx
pequeño que
¡
-1 [f(x
< •.
+ O)+ f(x -
O)]
= -2 f.ao du f.aof(t) sen ux sen 11t.dt o
1T
o
= -2 J:oo du f.oof (t) cos ux cos ut dt. '" o
o
Cuando las integrales
1< ; J: 1g(:t; y) 1dy
J~ J.o /(t)sen ut dt 00
g(u) =
1T
J~ f.o /(f)
h(u) =
y
y
>O
~ J.b g(x, y) senay dy 1 < E
si a
>
COS lit
df,
1T
existen, reciben el nombre respectivamente de transformadas senoidal y cosenoidal de Fourier de /.,.por ejemplo. se sabe que f satisface Jas condiciones del Teorema 20.71>, y si tanto g como lz son dadas para· u ;:: O, entonces se pueden usar las fórmulas ( l) para regresar a /: -1 [f(x +O)+ f(x - O)] = 2
A.
J2J~ -
00
g(u) scnux du
o
7T
~.,, f.o h(u) cos ux du .. 00
=
y
se tiene
L:
20.7b Corolario; Supóngase que fes cuasi diferenciable y tanto
J_ co l/(z)I dx existen. Entonces para todo x
-1 [f(x +O)+ f(x - O)]= -1 f.ao du 2 '7T o
fao
1 /(z) d:t
f es una función impar. -2 '7T
la integral de Fourier se reduce a
o
X
_
{l
/( ) - O 00 sen u cos u.x para evaluar du. o u
{0
<.e
~
{x > l},
1}
l. Aplicar la integral senoidal de Fourier sobre /, definida por
-co
f.oo du f.aof (t) sen ux sen ut dt. o
EJERCICIOS B
t. Aplicar la integral cosenoidal de Fourier sobre /, definida por
L
f(t) cos u(x - t) dt.
Demostración. Probar este corolario mediante el Teorema 20.4b. Si
existe, en-
00
1'" a
como
O} y
tonces f puede extenderse para ser ya sea par o impar. De modo que, por el Teorema 20.7b,
(1)
Por el lema de Riernann-Leb~sque, esta última integral se nu1ifica
>A
f es cuasi diferenciable en {x;::
2
g(x, y) sen ay dy 1
cuando u ~ oo. Por tanto existe un A
Así que para a
fo 1/(z)I dx 00
-a:i
[B1. B2] y se mantiene fijo.
Entonces
-2 f.ao du f.oof(t) cos ux cos ut. '7T o o
l/(z - y)I dy
J.co [1/(x + y)I + l/(z -
ll2l < E si b >
f es par, la integral se transforma en
1
f(x)
para evaluar
f.
00
o
=
sen ux sen 7Tll
1 - u2
{:nx
du. .
(¿Es impropia esta integral en u = 1?)
{O<
X< 71'}
{x > 71'},
espacios de funciones
522 series de Fourier 3. Darº? ejemplo de una función para la cua1f: f (x) dx exista no exista. c:o
~
u~
f: f:
4. Dar ejemplo de una función para la cuaif_«J IJMI dx exista Y no exista. c:o 5. Demostrar mediante la aplicación de la integral ~osenoidal que
f «J
cos uz
1T
1
Jo a' +wdu =2ae-cu:I
Se define el producto interno(/, g) de dos funciones en.? por
a:,l/(x)I dx
0
=
(f, g)
11!11 = 20.Sa
Lema.
11111
Jf.
dx no es una
f
Í
y evaluar
co
O
8. Sea f dada por
Evaluar
l
cxi
o
'
x ~ 7r}.
= O,
=
Jf.
O dz
entonces 11/11 2
= O.
= O,
f~/2(x) dx =O.
Supóngase que existiera un Xo en el cual /(x) =fa O. Entonces f(x 0) >O y, por el Teorema 3.2c, existe una vecindad -digamos (x0 - 8 ' x ~
+I
{!
11111
de modo que
cos xt + t sen xt 1 2 dt.
f(z) =
11!11 Inversamente, si
{x
l- -rr
Demostración. Es evidente que si f(x) = O, entonces f(x) = O y
c:o
7. Escribir la integral de Fourier para f dada por
.f'(z) dz = ../(f,f)
= O si, y solamente si /(x) =O en
00
O (x) = (e-z
f(x)g(x) dx
y la norma de /. a saber 11/11. por
6. El teorema de existencia dio las condiciones suficientes bajo las cuales existe la integral de Fourier. Probar que Ja integral de Fourier de (sen x)/x existe, de·
l/(x)I
f,,
/(x) dx
.
a >0,{-ex>
mostrando así que el requerimiento de la existencia def. condición necesaria. -
523
{x
n.
(sen t cos xt +sen xt - cos t sen xt)
dt.
t
'
Xo
+ 8}- en O
=f.
la cual
f (x)
~ ~f(xo). Entonces 1
f'(z) dz >
L~: f'(z) dz > lf'("'oXW) = df'("'o) > O. 1
Esta contradicción completa la demostración.
Este lema es el análogo del Teorema 8.lc. También existe una desigualdad de Cauchy-Schwarz:
20.8 ESPACIOS DE FUNCIONES. CONJUNTOS ORTONORMALES COMPLETOS Una colección de objetos,._ matemáticos (tales como funciones, números) que satisfacen los Teoremas 8.ta y b se llama espacio vectorial. Si sucede que esta colección de objetos es una colección de funciones definida en un cierto intervalo, se llama espacio de funciones. Por ejemplo, el conjunto de funciones definidas en {a 'b} es un espacio de ese tipo. De· modo que también es la colección de funciones integrables, tanto como la colección de funciones continuas. Aqui discutiremos el espacio de funciones que consiste del conjunto de funciones continuas definidas en {- '7T ' x ' 1Tl. Este conjunto de funciones se denotará por §. Se evidenciará que una traslación y un cambio de escala reducirán cualquier intervalo al antes dicho, de manera que las consideraciones son típicas.
'x
20.8b Teorema. (/, g)' 11/il llcll y la igualdad se cumple si, y solamente si, una de las funciones c;.s un múltiplo constante de la otra.
Demostración. En presencia del Lema 20.Sa, la demostración es formalmente idéntica a la del Teorema 8.2c.
1
A partir de esto, también se obtiene la desigualdad del triángulo mediante el mismo argumento que el usado para el Teorema 8.2e.
20.Sc Teorema.
11/ + cll '11 /11 + llBll·
Se define la ortogonalidad en términos del producto interno; son ortogonales si (/, g)
=
f,,
f y
g
f(x)g(x) dx = O.
Se dice que un conjunto de funciones es un conjunto ortogonal si dos
:,:.';l!:'..,
espacios de funciones 524
series de Fourier la cual evidentemente es menor cuando ak
miembros distintos cualesquiera son ortogonales, y es un conjunto ortonormal si cada función tiene norma unitaria. Por ejemplo, el conjunto de funciones {l. sen 6, cos 6, sen 26, cos 26 •... ] es un conjunto infinito de funciones ortogonales por las fórmulas (2). (3) y (4) de la Sección 20.1. Pueden normalizarse dividiendo cada función entre su norma. Por tanto
o
{t/>o. t/>11 t/>2 • • • • ,¡,,,, .. .} forman un conjunto ortonormal en !!F. Puede inquirirse acerca de la posibilidad de representar un miembro arbitrario de nuestro espacio de funciones en términos de las 4'· Se requiere la exi~tencia de coeficientes e tales que (1) f Cot/>o + C1t/>1 + C2t/>2 + ••• + Cn
=
= (Cot/>o + C1t/>1 + •·•, k)
= Co(
=
(2) (/, k) Ck. Los ck así determinados reciben el nombre de coeficientes generalb.ados de Fourier de f respecto al sistema ortonormal de las .p. Por lo tanto. si f puede desarrollarse en la forma (1 ), entonces los Ck están <;fados por (2). 20.8d. Teorema. Para cada n, la selección de los"" se hará de modo que 00
Uk
=I
=
f cuya norma es
ak'/>k sea la mejor aproximación a
o Ck.
Demostración. El problema es escoger los a de modo que 111 - t,.JI sea la menor. De modo equivalente. puede hacerse 111- t,,11 2 un mínimo:
Uf - 1.0• = (f - t.,f - t.) =
(1 - i a.th.J - i a.th)
n
n
1
= S,, en el teorema an-
terior proporciona e] siguiente corolario. 20.Se Corolario (Desigualdad de Bessel). Para toda f en !F,
Demostración. Escójase
t,,
= S,,.
Por (3) . para toda n.
forman un conjunto ortonormal. Supóngase ahora que las funciones
In
= ck.
Denotaremos l; Ckf/Jk por S,.. Asi, Ja sustitución t 11
1 1 1 1 1} {.Jl,,,, .J; sen 6, .J; cos 6, .J# sen28, .J; cos 28, .•.
(f, t/>k)
525
1
Regresaremos a comentar muy brevemente acerca de los conjuntos de puntos. principalmente a hacer una d~finición. Sea A un conjunto de punlos y R un subconjunto de A. Se dice que B es denso en A si. dado cualquier punto Pu en A. existe una sucesión de puntos f P,,1 en B con P,, ~Po. Por ejemplo. los racionales son densos en los reales. porque el desarroJlo decimal (ver Ejercicios C3 y C4 de la Sección 2.7) de un número real x representa tal sucesión de racionales que converge a x. Regresemos ahora a los espacios de funciones: se dice que un conjunto ortonormal r+nl es completo en !F si 11/-S,,jl ~O, donde, por supuesto. S,,
= ~,, c,.
tjJ,J.
Encontramos. viendo !F como una colecci6n de «puntos» - es decir, funciones que juegan el papel de puntos--' con la distancia entre dos «puntos» f y /: dada por I!/ - gl!. como muy ilustrativa. La razón es que existe una cierta semejanza formal entre los conjuntos de puntos y los conjuntos de funciones, puesto que la «distancia» (norma de la diferencia) satisface las tres condiciones de las cuales dependen la mayor parte de las propiedades geométricas de los conjuntos de puntos. a saber. ~
o.
( 1)
¡:/
(2)
11/!I
(3)
la desigualdad del triángulo
= O si. y solamente si. f = O.
Denotemo~
nitas de las
111 + 1:11<111
+ llRI!·
por L el conjunto de todas las combinaciones lineales fi-
+-esto es. el conjunto de todas las funciones de la forma
n
= (f,f) - 2 Io a1c(/, t/J,J + Io Io a1ca 1(
¡
Usando Ja definición de ck y la ortonormalidad de las (3)
11/ - tn11
n
1
= 11/11
1
-
2
Io a1cC1c + Io n
= 11/112
+ 2 Io (a1: -
4'· esto se reduce a
n
c,J1
1
a'/c
n
-
Io c1:2,
Entonces el que el conjunto !
ie.
526
series de Fourier
ejercicios
ma o «distancia» tiende hacia cero. La inversa también es verdadera (ver el Ejercicio B2). Este tipo de convergencia. a saber la convergencia en norma, no im plica la convergencia puntual de la sucesión de funciones S,, hacia la función f en {-.,, ~ x ~ -rr}. Pero para muchos propósitos del análisis avanzado es de igual o mayor importancia. Una consecuencia de la completez es el teorema de Parseval que se establece a continuación. ·
20.8f Teorema. Si / está en :F y {,.} es un conjunto ortonormal completo en .'F, entonces 00
= 11111 e,. = (/. k).
I
o
donde
Ck
2
2 •
11/11 2 -
"
I
o
2
Ck ~ O
mos. Entonces esto implica que la ecuación de Parseval se cumple para Jas funciones trigonométricas. Así que si f está en :F, 1 a2 ao 2 2 2 / (x) dx = .J!.. + I (a" + b" ).
I,,
'IT
EJERCICIOS B l. Un conjunto de funciones (cpk} finito o infinito en número, se dice que es lineal· menle dependiente si existe una combinación lineal finita de ellas sin coeficientes cero, la cual se nulifica idénticamente. En caso contrario es linealmente independiente. Demostrar que un conjunto ortogonal es linealmente independiente. 2. Sea {ti>,,} un conjunto ortonormal en :F, y sea !. el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de las t/>. Demostrar que si L es denso en !F, entonces {t/>n} es completo.
conforme n ~ oo
1
4. Si {t/>n} es un conjunto ortonormal completo en :F, y si f y g están en 9" con oc g ......, L bkt/>k demostrar que: o
oc
(a)
f±
C ,_
Io (ck ±
La analogía. aunque muy útil. no puede llevarse demasiado lejos. En los espacios vectoriales euclidianos dimensionalmente finitos. el vector es la suma de sus componentes en las direcciones base. Lo análogo aquí sería ao
Io c1:4'k = Coo + C14'1 + · · · + cn
No obstante, la igualdad en la acepción de convergencia puntual no siempre es el caso aquí. De hecho, es verdadero que las funciones trigonométricas
1 , -=sen 1 1 cos 8, ,1 sen 20, 1¡- cos 29, ...} O,-= { ...¡,2rr .Jrr .JTT ...¡TT ...¡TT forman un conjunto ortonormal completo en :F, aunque no lo probare-
bk)t/>k.
oc
(b)
2o c:ék
::o
converge Y (/,¡:) =
2o c:kbk. (Sugereticia:
Considerar
ll/ + cl!2.)
S. Sea {t/>n} un. conjunto ortonormal completo en :F. Supóngase que (g,
e= O.
Supóngase que / está en .F y
¡ ,_}; '-°kf'k y, finalmente, o
00
supóngase que
=
O
= (g,/);
Este teorema refuerza nuestra visión de .F como un espacio vectorial. El conjunto f
f
2
-r
J. J?.emostrar que el producto i~_terno satisface el Teorema 8.2b: (i) (/,g) (11) (/,g + /1) = (/,g) + (/,/1); (ui) (a/ ,g) = (/,t1g) = a(f,g); (iv) (/,/) = 11/112.
Demostración. A partir de la demostración de la desigualdad de Bessel.
llf-Snll 2 =
527
Lo cktl-k
converge uniformemente en {-ir <; x <; r.}. Demostrar
qu~ converge hacia /. [La condición (g, tl-k) = O implica g =O es verdadera en el caso de las funciones trigonométricas.]
Fórmulas elementales de derivación e integración ~:-·
dz" -= dz
d =. -z1 """ .,_ r = e'
d
- log z
nzn-1
dz
d
d dz senx = cos z
tb: cos z = -senz
d - tan x dz
-cotz = -csclz
d dz
= sec2 z
d dz cscz
d dzsecz = secztanz
d
d -ang cosz =
1
dz ang senz = d - ang tan z dz
VI _
z2
dz
d dz ang cot z
1 = -----::; 1+ ;i;-
zn+l
J
z" dx = n
= -csczcotz
+ 1 + e,
n;:/:. - l
J~ =
_r .-1 --¡¡
vl-zl -1
= 1 + zl
loglzl
+e
Jrdz=r+c
Jsen
zdz =
-COS
Jsec2.zdz =tan z
X+
Jcos z
C
dx = sen z
+e
Jcsc1 z == -cotz +e
+e
secztanzdz = secz +e
J
dx 1 z - -2 = -ang tan- + zl+a a ... a
J~=angsen;+c
f
J
e
ese z cot z tb: :e: -ese z + e
dz= - l o 1 g ¡z-al - - +e f-z2-a 2a z+a
fv:: . .
Jsec z
J
1
dz = log jsec z
+ tan zl + e
== log lz :1: ,¡z1 :1: a'I + e
cscztb: = log lcscz- cotzl
(529]
+e
·
•
Respuestas, sugerencias y soluciones
SECCION 1.2 EJERCICIOS B
~or
\. (b} a+ (-a)= O, de modo que ba + b(-a) =O o bien ab + b(-a) =O. Ja definición de negativo b{- a)= -(ab). (d) [a+ (-a)J[b + (- b)J =O. Multiplicar y obtener el resultado. (/) Si a O, multiplicar por a; si a < O, por - a. (li) Supóngase que b =F O: a ab(l/b) = O. (¡') b >O: multiplicar ;-\nbos miembros por a. (/) b < O: multiplica ·nbos miembros por - a. (n} x/y a y u/v = . .~nifica x = ay, 11 = bv. (xu)/(yv) e significa xu = eyv. El problema se reduce a demostrar que ab =c. Multiplicando se obtiene xu (ay)(bv) (ab)yv. Por lo tanto, por la unicidad de la división se obtiene ab =c.
>
=
= =
=
=
SECCION 1.7 EJERCICIOS A
+J a + J)(n + 2)/2.
1. (a) ·sumar n
ambos miembros: los segundos miembros se reducen a
(n {e) Aplicar la parte {a).
2.
b
d
f
8
j
sup
-lf
1
i
-
1
inf
-
-i
-s
O(enS)
-
EJERCICIOS B
4. Excepto cuando x
= O.
SECCION 2.2 1. (b) !; (d) + oo; (/) diverge: los términos pares 2. {b) O {d) oscila. EJERCICIOS B 1. (b) t; (d) 10; (/)o. 2. Por inducción la.I < l0ol911 - O.
{531)
~
- oo.
respuestas 533 respuestas
532
SECCION 3.4 3. b
d
sup
2Hn=4)
t(n es 2)
inf
-1
-co
EJERCICIOS A 2. En los enteros. 6. Por el Teorema 3.3a. 8. (a) z = 1 + Vy - 3, {y;> 3}; (b) a:= 1 - Vg- 3, {y> 3}. EJERCICIOS B
4.
a
e
l
tt/2
O(se al-
OlSoal-
canza)
canza)
sup inf
-
1
2. g(x) = x(l - x) y es continua en todo l. 8. f(x) = x1 - 3x + 5 en todo punto en el intervaJo. 10. Definir /(a) como /(a+ O) y /(b) como f(b- O).
o
SECCION 3.6
~
EJERCICIOS A 2. (a) -y1A/:1M (b) -yH/:i:Y.s
SECCION 2.3
4. a:±4V6y=S
EJERCICIOS A
t. (b) +«>;
(d) l; (/)
6. (u) ..¡z
-l; (h) Sa'.
+ h - .y; =
h/2v;;,. EJERCICIOS B
EJERCICIOS B 6. (a) a/3; (b) O; (e) l.
EJERCICIOS C
2. (a) z¡2•l•
+ y")/2]•1• < z,
< [(z"
=
" "6 por reemplazando y por O y a cont1nuac1 n
X
·
2. /'(O ± O) ra O. 4. {/ag1 - /.g1)' m (/i'g1 - /a'g1) 8. Aplicar inducción. 10. Para ver que /'(O) existe:
/Ch>~ /(O)= hsenf.-o.
Así que el limite es x máx (x, y). (b) máx a1; (e) y = mín (%,y); (d) mín a,. 11. C0t -
SECCION 25
EJERCICIOS A
P>!'Ca>.
SECCION 4.3 EJERCICIOS A
t. (b) m/n; (d) -2/zl; (/) !. 2. (a)3; (e) 1; (e)O; (g)8; (i)l; (k)O.
l. (b) Supóngase que a= O. Entonces para P: O, b/n, 2b/n, •.• , b se obtiene S = "f.(jb/n)'b/n ::::s (b"/nª)'f.j' = bªn(n + 1)(2n + 1)/6n' -IJl/3.
FJERCICIOS B
2. 1. 6. /(O+ O) 8. f (O + O)
EJERCICIOS B
+«>,/(O - 0) =O. = tt/2. /(O - 0) = -w/2.
2. -1. 4. i log 2.
es
'
EJERCICIOS C
SECCION 4.6
1
¡a,. n
EJERCICIOS A
2. -
1 -
SECCION 2.7 EJERCICIOS A 2.
ca>
+ (/ag1' -/.g,').
Subwcesl6n c1e ( 1 +
(e) Subsucesi6n de ( 1
~J ce> [ ( 1 + ~rr
+ ;)".
-·"'
+
+
l. (b) (z 3) senz 2x cos :i: C. (d) ea(a senhz - b cos "2:)/(a1 + b 1)
+ C.
(/) l sec z tan z + l log lsec z + tan zl + C. (h)ang senz/a +C. (j) -xVx1 - a1 /2 + a2[1og l:e + Vx1 - a1 IJ/2 + C. (/) Racionalizar. 5. -/(z).
534
respuestas
respuestas
SECCION 5.2
535
SECCION 73
EJERCICIOS A 4. Hacer y = x". Entonces log y =a log x de modo que y'/y
= ay/x = ax•-
= a/x
EJERCICIOS A
o bien y'=
1•
1. (b) cou
EJERCICIOS B 2. (a) 1, (e) 1, (e) 1, (g) c.
cos z
= 1 - ~ + ~ - ~ + R.,, IR.,¡ = IRal <:: l~I = ¡'12[1 -
(z - 11/4) -
EJERCICIOS C
.!.. (z 2!
w/4)1 + .!. 3!
(z - '!.4}'t
.!. (:r: 6!
'4!.)'] +
1
1. (b) O; (d) t!°.
+ .!. (z - 11/4)1 - .!.S! (z - '4!.) 4! IR1I < ~ 1z -
SECCION 5.3 EJERCICIOS B
=
sen 8, entonces aplicar la fórmula 2. Reemplazar 8 por (11/2- 8) en sen (r. - 8) de adición. Derivar para obtener la segunda fórmula.
~ z1
r.
zl
z'
z1
·
-
R7
'
z1
= 1 + z + 2i + 3i + 4! + Si + 61 + R,,
(d) r
1
IR.,I < 7! el•llxl', SECCION 6.2 EJERCICIOS A
º·
1. (b} -2 - v'2/2, -2 + v'2¡2, -v'l/2, v'i.12. l, 2. 3. (a) Todos los puntos en {-1
IA -
z,.I < cr"/(1 - r). 4. Por el criterio de Cauchy. 6. Por el criterio de Cauchy. 2.
= t!° [ 1 + (z -
r
zl
(/) cosh z = 1 + 2i (h) 2
SECCION 6.3 ld
1/
2
CX)
CX)
2b 1-
-1
-1v'2
o
1
- -, _ o
+ · · · + ~ (z -. a) 1] + R.,,
+ 6(:z: -
:r:'
1
:r;•
+ 4! + 6! + R.,, IR.,I = IR1I < ¡¡ e1s11zl'. 1) + 1.S(z - 1)1 + IJ(:r: - 1)1 + .SlZ - 1)1 + (z -
R.= O, n > 6. (j) 108 + 2S2(z - 2) + 270(z - 2)1 + 16S(z - 2)1 12(x - 2)1 (z - 2)1, R. O, n > 7. 2. (b) sen 2z z' - lz' + .,J.1 x• · · ·. (d) tan z = :r; + jx1 + 1J.,.:c• • • • • (/) angtan x z - lzl + l.z1 • • •• a(a -1) (h) (1 + z 1 )ª = 1 + azl + - z& • • • • 2 (j) e-a• 1 - z' + lz' · ...
+
=
EJERCICIOS A lb
a)1
1
+
lim inf
+ i? (z -
IR,¡ < -7! e4e1- •11z - al'.
EJERCICIOS B
lim sup
a)
=
+ 60(z -
l)',
2)1
=
=
o
EJERCICIOS B
z 2. cotz==---"' :z: 3 • 1
SECCION CiA
EJERCICIOS C EJERCICIOS A
l. Por el Teorema 6.4c.
2. /(z) = e[l - lx
+ ffz' · · ·].
SECCION 7A
SECCION 7.2
EJERCICIOS A
EJERCICIOS A 1. (b) -Tr/2, (d) O,(/) 1, para oc
= 1; O, para x > 1, (h) grande, (j) -1, (/) 1, (n} l, (p) v;. EJERCICIOS C
2. B = An!;
¡ 1•-k'(z)/x"-' -
1. (b)f, mín; 2, máx. (d) 1, máx. (/)O, nún; {/(n - i}ir: 11 par, mín; 11 impar, máx. (h) e~Cn; (j) n par: O, mín; ±Vn/2 máx; n impar: O ninguno. +Vn/2, máx,
-v' n/2 mln; (/) e, máx. EJERCICIOS B
An!f(n - k)!
l. O, mín; 1, min;
i máx. 4. f: ninguno; g: mfn.
536
respuestas 537
respuestas EJERCICIOS B
SECCION 8.1
2. {a) El cubo unitario cerrado en E3 • (b) La supeñicie de la esfera unitaria en E 3 • 6. l.
EJERCICIOS A
6. Sí.
2. T = 100.
EJERCICIOS B
SECCION 9.7
2. Un plano a través del origen que contiene a los vectores a y b.
SECCION 8.3 . EJERCICIOS A 2. (a) i - k, (d) 2i - j + 2k, (g) -1, (i) O, (j) O. 8. F.s normal al plano que pasa por P, Q y R. 12.
EJERCICIOS A l. (b) O; (d) ¡. 4. En Ja definición de continuidad tomar e
=/(x )/2. 0
EJERCICIOS B
-----
V (a1 + b 1) 1 + (a1 + b1 ) 2 + (a1 + b1) 1 < V a 11 + a11 + a11 + V
1
b1
+ b11 + b11 •
4. Hacer g(x. x) = f'(x).
SECCION 10.1 4. ((a x b) • d]c - {(a X
EJERCICIOS B b) • c]d = [(e X d) • a]b - [(e
EJERCICIOS A X
d) • b]a.
2xz logz: ze• zl'
+ = cos v + senv
3. (b) z1= -
SECCION 8.6
=
2. P(t) P: + (P1 - P 1)1. 4. S(x - 1) + 2(y - 2) - 2(::
EJERCICIOS A
+ 1) = O.
4. (a) u1
u1 =
2. v
= \1 1 + e' T, a = N.
= T -ds ,a= dt
EJERCICIOS B
(ds)' + T d' - s• dt dt
Nic -
1
{(;.o)}; {(o.;)}.
{(O,O)}.
4. S no es abierto ni cerrado puesto que contiene parte pero no toda su frontera.
=
SECCION lOA EJERCICIOS A
t.
6.
(~)' + (~J
10. h111 =f'g. h, = zf'g', h,,,, = f"gª, h~ = f'g' + zrgg', h.., = z'f"(g')1
+ zf'g".
EJERCICIOS A
l. (a) zy - _311 .
(zyl + zly) + (:cy&5! + (3!) + ~) + ... 5! z1y1 1
14
(Ir)! (:e+ y)•.
o
SECCION 9A (a) D: {x1
= (cos v - sen v)/u
= (cos v)/u
2. (a) :e - y z: - 1; (d) 2% + 4y - z: = 3. 4. Error máximo aproximado = .,,./1600 ,_ 0.00196.
EJERCICIOS A
t.
v1
SECCION 10.6
SECCION 9.2 2.
Vi
EJERCICIOS A
EJERCICIOS A S. (a) v
= ze• + z2
SECCION 10.2
2. ~ • Vf.
SECCION 8.9
z2
senv
EJERCICIOS B 2. Si e no es onogonal a a, no existen tales puntos P. Si e es ortogonal a a, es una recta paralela a a que se encuentra a una distancia de lcl/lal unidades. 4. Si los vectores son e19 e:: y e.:• respectivamente. entonces i = e1 , j = e:i - e1 y k = e3 - e 2 • Entonces a = a 1i + aJ + a,k = (a 1 - a 1)e 1 + (aa - a,)e: + a,e,.
-z:
+ y1 >O}, R:
EJERCICIOS A {-1 <./<. l}.
(/) D: {xy > -1}, R: {-O'J
=
SECCION 11.2 l. (a) (J. 3, 4).
EJERCICIOS A EJERCICIOS B
4. Una rotación en 11/3.
-f. +¡..
538
1
respuestas
SECCION 11.3
1
EJERCICIOS A l 1. (a) l, (e) e1", (tl)-yl/n-1 n 2. (a) El cuadrado girado en u/4. (d) Una figura de cuatro lados con esquinas en (0,0), (1,0), (2,1) y (l,l) siendo los lados superior e inferior segmentos lineales. Los lados son las curvas:
u= v• 4. (e) 1/(zl
y u-1
+ y ) = e'".
= v•.
1
'
ª' ,.
ll. (
539
SECCION 12.3 EJERCICIOS A
+ sen 7 -
1. (b) 2, (e) O, (d) l [sen 9
sen 11 - sen 3 - 2 sen 1).
SECCION 12A EJEROCIOS A
2. La integración es sobre el triángulo acotado par y = O, y = x, z. = a. 4. (a) a*/6. (b) (e - 1)/2. Es una integral propia puesto que x
J. dziz / (x,
>y.
1
6• iJ/ = iJfcosO _ iJ/senO iJ/ = iJ/seno+ iJ/cos8 iJx iJr iJ(J r • ay iJr . a8 r • a•u l au l a•u 8. llu = - 1 + - - + - - . ar r ao• 10. llu
'i
1
respuestas
5. (b}
(l - .
(d) e
y) dy.
z'3/I
< a:
f L' dy
f (.r, y) d.r +
f I: dy
f (z, y) dz.
EJERCICIOS B
=e'"[ª'"+ ar• iJlu] ao•
2. 6(b?i - a%)(d% - c%)/35.
~) \ ~ ( ~)'
SECCION 13.1
EJERCICIOS B
EJERCICIOS A l. (a)
4. ~ = ah ag a(u, v) - ah iJg a(u, v) = a(h,g} a(u, v). ax au iJv acx, y) iJv iJu iJ(x, y) iJ(u, v) iJ(z, y)
-~
= =
+ 2u)
describen
4. Cuando el jacobiano de F respecto a P no es cero.
(ª"/ ª"' + ª'!) av•
= '"·
·--7!"
SECCION 13.2
EJERaaos e
1 8. (e) llf =u'+ v•
+ i.
4. 4/v11 + log [4 + (1/v't7)]. 7. (e) t/J = x 2y + xz3 + 3yz.
EJERCICIOS A
± 5, (h) ninguna. 4. Solamente pasa x y O. 6. u, v. son coordenadas polares. Las coordenadas (u, v) y (u, v el mismo punto en el plano (.T, y).
2 cos 1, (e)§, {g) 21T
2. (a) 211', (e) f..,"cos 1 6 d8
SECCION 11.6 2. (a) Dos funciones.
-t. (e) 1 -
•
1. (b)
o, (d)
EJERCICIOS A
º· (/) o.
EJERCICIOS C av av 2. (a) Hacer L = - u - , M =u- y nótese que dx 11 ds ay ax 11 ' dy n, ds donde n = in, + jnv (e) Hacer 11 = v en (a).
=
=
3. (a) Hacer F
= Mi -
Lj y usar las relaciones diferenciales anotadas en 2a.
SECCION 13A
SECCION 11.8 EJERCIOOS A 1. (b) (O, O) silla, (-4, -4) máx; (d) (2, -2) máx; (/) (l, U máx, (-l, -U mín. 2. (b) máx 28, mín: - 20. (d) máx: 2V'i, nún: O. 4. (2, f, 1) 6. CH. H. 1\).
EJERCIOOS B 4. (a) (O, O} silla. (b) (O, O} silla, (±1/V'i, ±1/Vl) mín.
EJERCICIOS A 1. Ch> 2,,.v2. (d> f11'[2v2 - 11. 3. (a),,., (b) 81Tr/2, (d) 211',
s.
(b) o.
SECCION 13.6 l. (a) -4"'.
EJERCICIOS A
540
respuestas
respuestas EJERCICIOS 8
SECCION 13.7 EJERCICIOS A
f f
f!-i
V:i:-sl
1
o
1 1
~
EJERCICIOS B
2. 2 log
J. (a) O,.
a,.
QN+I
> Oa+i•
m DN+l º º º QN+l Dn-1
EJERCICIOS C dzdyd:o.
(b)f-;,J: J.-c"osze-f.~r :+;•d8. -7'/2
> J.
2. La serie k, k
2. (a) D - D': {(u + 1)ª + (v - 1)1 <: a1}, un círculo. (b) D - D': {(au + bv)• +(cu+ dv)• <: a 1 }, una elipse. 4. (a)
541
(11)
4. Considerar
I
o
(a~
+ bJ
1
•
SECCION 14.6 EJERCICIOS A
2-~.
2. (a) D, (e) D. EJERCICIOS B
SECCION 14.1
l. Converge para lxl < 1 y diverge para x > 1. Para x = - 1 converge (y de aquí que converge absolutamente), para " ) O, y diverge para " < O. Para x l, converge absolutamente para " ~ O, condicionalmente para - 1 < " < O y di· verge para a~ - l. EJERCICIOS C
EJERCICIOS A 1. (h) !.
=
l. Converge absolutamente.
SECCION 14.2 EJERCICIOS A AC = Ahsolut
1
l
1
1
2. {tt) NAC, (e) NAC, (e) NAC, (g) AC (1) NAC, (j) NAC, (1) NAe.
1
1
2 - ¡ - 6 - 8 + 3 - ... -
2• 1 -
1
16
l
1
+ s - ... - 24 - ... +
1
2k-1 _ ... _8k+·"
EJERCICIOS B
2. :r >O.
SECCION 15.2
4. Primera NAC; segunda AC.
EJERCICIOS A
6. X*:±: J.
2. Si jxl (a< 1, entonces
M11 =11"~
O.
SECCION 14A
4. Converge puntualmente hacia cero en {t1), (b), (e), uniformemente sólo en (b).
EJERCICIOS A C = Convergente. CC' = Condicionalmente convergente. AC = Absolutamente convergente. O =.Divergente.
8. Converge uniformemente para todo x puesto que 1zt• -
1
x•• + 1
1 <: l.
EJERCICIOS B 4. " puede ser cualquier número
< b.
donde b se define por b log b
= l.
1. (b) Ce, (d) CC, (f) CC, (/i) Ce, (¡) D, ({) C (y por lo tanto AC) si y solamente
:;i
.r> J.
SECCION 15.3
2. (b) 11 ) exp 1010 •
3. (11)
lxl < 1, (e) !xi > J.
4. (a) Si
ll
(t>) -
es tan grande que
1 ~ x < J.
(1 + !)x = r < l, entonces n
6. (a) O < S -
S100
101 201
< --¡oo = 1-201
1-r
6. La convergencia no es uniforme, sin embargo el límite y Ja integración pueden intercambiarse aquí. La convergencia uniforme es una condición suficiente, no necesaria, para el intercambio.
S. (u) C, (e) D, Ce) C, (Jl) C. 0100
IS - s.1 <: ª•-1fxl"+l.
EJERCICIOS A 2•.f < 1/2. 4. S(x) = O, {O ( x < l}; S(x) = 1, { l ~ x ( 2}. Si la convergencia fuera uniforme S sería continua.
0 100 •
8. / es continua para x >O.
f,
2
/Cx) dy
1 1 = e - 1 - e• - 1 •
542
respuestas
respuestas
SECCION 16.4
SECCION 15.S
EJERCICIOS A
EJERCICIOS A 2. Solamente es necesario demostrar la convergencia uniforme de la serie para /'. (-1)"
Aplicar la prueba de Dirichlet con
un
= -n- , Vn = e-'ll%.
4. Aplicar la prueba de Dirichlet con
Un
=
6.
~(-1)" log (1 + ~) ..
2.
c.-ognl)" ' = zne-•.
ca> :e - iza + Ez' _ (e) x3
Vn
(e) 1 + 2x
Converge uniformemente en todo intervalo finito pero
4. Aplicar la prueba de Abel con
l
-1
1 la. - - -
n
(n -
l)ª
Un
< (11 -
ex
3. (b)
X
2
+ J + ls X 5 + ••· ,
= cos nx, v" = n-«. + mediante el teorema del valor medio.
I)et 1
l
SECCION 16.1 EJERCICIOS A
=
X
)xi
<1>2-4-4 + ···.
>
l. (b) R = o:, (d) R = l. Converge en x = 1 si k 1, converge en x = k >O, absolutamente si k > J. (/) R l/e. Diverge para x :±: 1/e. 2. (b) 0 4, (d) r. - 1 ti+ J.
4xª + :zx1 + 3 + ....
x3
EJERCICIOS B
••••
+ i8l :ti + ....
no para todo x. n
Observar
543
=
1 si
J
X
3. cot x = - - X J
EJERCICIOS 8 )
X
+ · · · , ese :r. = X- + -J! + ... •
SECCION 16.7
EJERCICIOS B l. (e) e. 3. (a) ;;> min (R, R'). (b) ;;;¡,: RR', (e) Nada puede decirse.
EJERCICIOS A y2
Yª
l. (b) 1
+y+ 2i + 2i + ....
2• (a) Y
+ 3 + 40 + .. · ·
SECCION 16.2 EJERCICIOS A
= 4, (d) R =
1. (b) R
1
ao
3.
l.
=
l. (b) f
-Lz
= -2X
(d) f
{[1
Lz O
{[t
3y'
J - r cos O 4 :E " 0 • r cos n = 1 - 2r cos O + r' •
= I1 -. n{n + 1)
i
y'!J
EJERCICIOS B
+ log (1 + log (1
- 1))/11 } di {-1
SECCION 17.1
x
< < l }.
F.JERC'l('IOS A
l
< x < 1}.
- 1)]/1 2 } di - - log (1 - z) {-1 X
CD= divergente. AC = absolutamente converf:!ente.) 1. (b) D. (d) D para k = l, l/(k - l) para k > 1. (/) AC, (h) AC : 2. (j) AC : l.(/) AC,
·
(n) AC :
:X:
3v;¡s,
(/)/ = - {-1 < z < l} 1-~
(p) AC : l(n - U(n -
f> · · · (i)v';.
F.JERCICIOS 8 4. -11log2.
SECCION 16.3 J, (b) -lVÍ [1
+
ao
(d)
I
o
(:e log a)"/n
') I {-
3"/4)-
~:~~:~;~i(s ao
(/) -
!
l)"x3n+l
{/)
i (1
-
SECCION 17.4
3../4)1 + + -
- ···]
~
z"/n
1
(j o n! (3n + l) 2. 0.747.
(s -
J)k+l,xU-1 (2k!)(2/c - 1)
(h) e! (:e - 1)"/nl
o
EJERCICIOS A (()
:..~
divcrgcnrc.
e = convergente.)
t. (b) ex= l, D; ex > J, C; (el) C; (j) D; (h) C; (j) C; (/) C; (n) C; (p) D; 2. (a) no, (e) no.
2. D.
EJERCICIOS B
C;) D.
t
~1
respue9C1s
544
SECCION 17.S
1
EJERCICIOS A
1. Ch>
e,
Cd)
c.
respuestas EJERCICIOS 8 8. n(b - a). z >
10. O
-11/8 x
2. (a) C, (e) C.
-
/4 llYI - lzll /8 lxl
71
71
o
SECCION 18.l
<
z <
IYI + lzl.
= llYI - lzl,. .
I~< ~-1~·
11/8 z = - Jlyl - lzll. 11/4 -lyl - lzl < x < - llYI - lzll. 11/8 z = -IYI - lzl.
EJERCICIOS A 2. (a) Por el Teorema 18.la.
O
f' {1 - cosz (b) Jo senxt dt_ = ~
IYI + lzl.
= IYI + lzl.
< - IYI - lzl.
x
11, 12. Integrar la integral en 10 respecto a y y d~pués respecto a
z=O
(e) f:1cosz1d1{: ::z + cos:.-
EJERCICIOS C 1T
1
4.
2IYI·
x-y' +y
6. ilog - (d)
x
1
1 - cos at
O
I
J.
8. log la/bl.
dt
'
'~ ( -1)nz2n+I
(e} /(x}
= 'f
(2n
SECCION 19.2
+ 2)!
F..JERCICIOS A
4. (a) lzl < 1. (b) f'(x)
= -2 f"
Jo
(1
cos y dy
8.
+ X COS y)3
r(n + u = (n - i)(n - i) ... mv;;, rc-n +u =-(-l)nv;/(n - U(n - u ... m.
SECCION 18.2
EJERCICIOS C EJERCICIOS A
1. (b) e-zc(l
(d)
+1
3
)
<: e-01(1
+ ti).
ro - a) a
n
1se;. 1 1< 1~ 1= 11-r < 11-0.
(/) 1
l.
2. (a) 2
ro (1
21og2
-1 < e-•.
e-Clz+l> cos zt-' 1 t +z
3 log(f)
a
=1=
O, -1
a= -1 a=O.
log <-li> c·¡.Yx
a=i:O a=O
(b) Jr(I - a)(l - 21+0 + JI+º) (2 + a)(l + a)a
EJERCICIOS 8 2. (a) Aplicar la prueba de Abel con 11(x, t) =sen .tr. (e) Aplicar la prueba de Abel con 11(.t, t) = sen t. (e) No converge uniformemente. Es O cuando ,,. =O, y
a)(2° - 1)
+ a)a
cuando x >O.
SECCION .19.4 SECCION 18.3 EJERCICIOS A 1. (a, b, d) Teorema 18.3c. (e, /, g) Teorema 18.3b. (11, i, ¡) Teorema 18.3e.
l. (a) /(x) _, (e) /(x)
J~
_,J~
4x
.
.
EJERCIC~IOS
A
z.
545
546
respuestas
SECCION 20.1
2 ~ cos 2J1x -11 ~--=:-4n· - 1 ·
t
1 t • tb' \: '
+ -scnx 2
~senh11[! + Í
11
(d)
EJERCICIOS A
2
11
2
4
CIO
1
(-l)"(cos 11x
11scnnx)/(l
-
+ /12)].
1
2nX
COS
;-:;;.t~ SECCION 20.S l. (a) serie scnoiJal: :.en x
serie
Indice
E.t ERCICIOS A
= sen
x.
2
co~enoiJal:
4
o:>
cos2n.:z:
=;;. - ;f~
sen x
·
Las re/ ere11dC1s que se e11c11elllflln entre pi1rb11esis so11 pt1rt1 los problemas
2 ~sen(2k + l)x (e) ~cric scnoidal: 1 = :;;. (2 ~ + 1) ·
f
A
serie cosenoiJal: 1 = t. 2 (a) x' •
i2
4L'
3
TT1
= - +-
00
mrx
¡1 (-1)" cos -L .
1= 1. [ ( + b]} 4, /(z) = ~ + I: {a.cos [b2'.'.:' (z - ª; b)] + b. "'" b2:a z -T Ib [ a + b)] ª"=~ /Cx)cos ~ x--rx (e)
0
2
2 Ib
b" = ¡;::-; ,/(x) sen
[~ 2mr (x - -r+ b)] dx a
SECCION 20.7 2.
d
211TT (
B
EJER("ICIOS B
~ sc:n x en 10 '- .\ ~ ":. O en lx 2
> ::-}.
.
Base. 188 Bolzano-Weierstrass. 140. 216 "d 1
6. Puesto que I es par. la integral se reduce a la integral coseno1 a. l, o< u< 1 y
h(u)
A
00
= - J.O 'IT
sent cos ut dt
rr en 10
< x < IJ. en
lx
l
=l
u== 1
O, u> 1
I
por el ejemph.l 5 de la Seccic.)n 18.3.
s.
Aceleración, 206 Angulo, 118 Angulo sólido, 347 ( C 1) Area, 108, 108, 314 Arca de una superficie. 336 Argumento, 39, 434 Axiomas de Peano. 19. 20 Axiomas, Peano, 19, 20 para la aritmética, 23 para los reales. 27
y Lt > t ;.
e Cambio de variables. 355 Cambio de orden de límites.. 236. 306. 395-400, 415-417, 457, 467. 477, 510 Campo conservativo (de fuerzas). 324 Campo de velocidades, 354. Campo vectorial, 257 Cinta de Moebius. 351 Círculo de convergencia. 436 Cociente de series, 428, 429 Coeficientes de Fourier gcneralizad
Coeficientes de Fourier. 293 generalizados, 524 Colincal, 188 Componente, 173 Complemento. 211 Condición de Dini, 505, 518 Condición de Holder, 230 (C4) Conjugado, 434 Conjunto abierto, 210 Ccnjunto abierto conexo, 211 Conjunto cerrado, 211 Constante de Euler-Mascheroni. y. 374 (C2). 492 (C2) Continuidad. 67, 225, 226 seccionalmente. 506 Continuidad uniforme. 69, ISO. 225, 227, 304 Contenido cero. 309 Contenido de Jordan cero. 309 Convergencia, 44, 107, 365. 368, 390. 439. 443, 461, sos. 501, 513 Convergencia absoluta. 368, 443. 454 Ccnvergencia uniforme. de funciones. 463 de integrales. 461 de series de potencias. 414 de sucesiones y series. 389 Coordenadas curvilíneas. 280 Coordenadas ortogonales, 283 Coplanar. 188 Corte de 26 Curte ( Dedekind). 27 .
547
548
Indice
Indice
Colas, 30 Criterio de Cauchy. 141. 142, 367. 442 Cuadrable. 314 Cuasidiferenciable. 506 Curva. 197 suave. 319 Curva cerrada. 197 Curva de Jordan. 197 Curva suave•. 319 Curva de Peano. 197 C11rva1ura. 206
Enteros. 19 Espacio. 30 de funciones. 522 vectorial, 173. 174. 193 • ..522 Espacio vectorial euclidiano. 173. 193 Escalar, 172 Evaluación asintótica de integrales. 487 Extremos. 82. 165. 288 Extensión periódica. 494. 514
F D Darboux (integrales superior e inferior). 98. 300 Decimales. 65
Desigualdad de Bessel. .500 • .525 Determinante jacobiano. 2.51 Diámelro, 212 Diferencial. 81 exacta. 324 total. 239 Disconlinuidad. 68 Divergencia. 257 de series infinitas. 365 significado f [sico, .. 353 sucesión. 43 teorema de la. 34 411 l)ivisiún de series de potencias. 428 Dominio. 40. 2 l K. 221
Fórmula de Cauchy-Hadamard. 412. 43( Fórmulas de Frenet. 208 ( C2) F,)rmula de Stirling. 491 Fórmula de Taylor. 161 Frontera. 211 Función inversa. 73 definida por una serie Je pl>tencias. 432
derivadas de una. Si Función. 40. 196. 218. 221 de varias variables. 22.5 Función analítica. 436 Función Beta. 484 Funciones circulares. 126 Función compuesta. 71. 247 Función diferenciable. 78. '.?O 1. 23M, 272 Función exponencial. 1B Función Gama. 481 Función homogénea. 254 < C 1 ) Función impar. 108 ( A2} Función máximo entero. 41 Función multivaluada. 40 Función par. 108 ( A2 l Función signum. 41 Función trascendente. 121 Función trigonométrica. 126 Funciones monótonas. 63. 73. 86. 87 Fuerza. 2.57 G Gráfica. 40 Gram-Schmidt. 19.5 (CI)
E 62 Elemcn10 de superficie simple y suuve.
e'.
H7
Identidad Je Abel. 401 prueba. 404. 464
teorema. 416 Inducción, 20. 32 lnfimum, 31 Integral. definida, 101, 109 impropia, l 07, 439, 452 indefinida. 114 inferior, 96. 300 iterada, 305. 458. 467, 471 de línea. 3 J9 múltiple. 297 de Riemann, 93. 101. 300 de superficie. 342 superior. 96, 301 Integral definida. 101 Integral de Fourier. 517 Integrales impropias, 107. 439. 452, 461 Integral de Riemann-Darboux. 98, 300 Intervalo. 29 . de convergencia, 5 11 Intervalo abierto. 29 Intervalo cerrado, 29 Integral iterada, 30s, 458. 467. 471 Integrales múltiples, 297 Integración por partes. J 16 por substitución, 115 Integral !>Uperior, 98, 300
L Lema de Riemann-Lebesque. 501 Límite inferior. 145 Línea poligonal. 212 Longitud. ''er longitud de arco Longitud de arco. 127. 198. 202
· Matriz jacobiana. 271 Máxima cota inferior. 31 Media pesada. 117 . Método de Laplace. 487 Mínima cota superior. 31 Módulo. 434 Multiplicadores Je Langrange, 293 Multiplicación. de matrices. 270 ( 85) de series. 42.5. 428 de vectores. 176
549
N Normal. 189 principal. 206 Norma de una función. 187 (C2. 3. 4.} 523 Norma de una partición. 95. 298 Núcleo (Kernel) de Dirichlet. 501 Números de Bernoulli. 431
o Orientación. de una frontera 330 de un conjunto de vectores: 189. 190 Orlotmnalidad, 179. 195 (Cl ). 495. 523 Ortonormal. 189. .524
p Partición. 95. 298 Potencial. 322 Plano 1angente. 239 Primitiva. 114 Producto cruz. 180 Producto. cruz. vectorial. 180 de matrices. 270 ( 85) punto. escalar. interno. 177. 187 IC4) 523 • de series. 425. 428 triple. 183 Producto escalar. 177 Producto infinito. 486 ( C4). 492 ( C2) Producto interno. 177 .. 523 Producto punto. 177 Promedio. ••er Media Prueba de alternación para integrales, 450. 452
550
Indice
Indice
Prueba de la razón, 377. 451 C 84) Prueba M de Weierstrass. para integrales. 461. 462 para series. 393 Punto de acumulación. 139. 214 Punto crítico, 165, 289 Punto interior, 29. 210 Punto límite. 139, 214 Punto silla. 289
R
Radio de convergencia. 411. 436 Raíces cuadradas. 75 Raíces. existencia. 75. 75 Rango de una función. 39. 218. :?.21 Rearreglos, 383 Región. 212. abierta. 212 cerrada. 212 convexa. 352 estándar. 328. 343 simplemente conexa. 332 Región simplemente conexa. 332 Región cerrada, 2 12 Región convexa, 352 Regla de la cadena. 77, 247. 248 Regla de J'Hospital. 155 Regla de Leibnitz, 90 ( 88) Restricciones. 291 Rotación. 355 Rotacional, 259 significado físico, 355 teorema de Stokes. 352
s Serie armónica. 370. 374 (C2) Serie binomial. 387 CB2), 418 Serie compleja. 433 Serie cosenoidal. 514 Series de Fourier. 493, 496 series senoidales. cosenoidales. 514 Series infinitas. 365 Series infinitas. de constantes. ~65 de Fourier, 494 de funciones. 389 de potencias. 389. 409
de Taylor, 409 Serie senoidal. 514 Seccionalmente suave, 319 Series de potencias. 409 Serie de Taylor. 409, 420. 422 Series trigonométricas. 493 Singularidad. 439 Sistema numérico. 19 Solcnoidal, 258 Subsucesión. 47, 48 Schwarz. ''er Cauchy Sucesión. de funciones, 389 de números. 43 de vectores. 213 Sucesiones monótonas, 60 Suma parcial, 365 ·5uma de Riemann. 105, 303 Suma superior, 96. 299 Superficie. 228 de nivel. 228 Superficie normal, 337. 338 Superficie orientable. 351 Superficie suave, 337 Supremum. 31 Substitución, de series de potencias, 432 integración por. 114
Transformaciones, 263 conformes, 278 ( 83) inversas, 264-275 lineales, 264 no singulares, 267 singulares, 267 topológicas, 280 Transformadas de Fourier, 521 Transformación inversa, 263 Transformación topológica. 280 invariante. 280 Triple producto escalar, 183 V
Valor absoluto. 33. 434 Valor intermedio. propiedad de la deri-
vada. 92 ( C3 ) teorema del. 72 Valor límite. 139, 214 Valor principal de Cauchy, 449 Variación, 198 Variación acotada, J 98 Volumen. 314 Vecindad. 29, 209 agujerada, 29. 2 IO Vecindad agujerada. 29. 210 Vector binormal. 206 Vector gradiente, 244 Vector. 171 de posición. 175 Vector unitario. 174 Vectores normales. 189 Velocidad. 206
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Tangente. 80. 205 Tangente a una superficie. 338 Teorema de Arquímedes. 37 (CI) Teorema de Bonnet. 118 Teorema de la curva de Jordan. 213 Teorema de Dedekind. 28 Teorema de DeMoivre. 436, 438 (A3) Teorema de Dini. 405 Teorema de Eudoxo, 3 7 ( C 1 ) Teorema fundamental del cálculo. 114 Teorema de la función implícita. 284 Teorema de Green, 327. 329. 331 Teorema de Perseval, S26 Teorema de Rolle, 83. 84 Teorema de Stokes, 349. 351 Teorema del valor medio de Cauchy, 153 Teorema del valor medio generalizado, 162 Términos (de series infinitas). 365 Topología. 209 Trabajo, 322
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OBRAS AFINES CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL H. E. Taylor y T. L. Wade INTRODUCCION AL CALCULO K. Kuratowski
ESTA OBRA SE TERMINO DE IMPRIMIR EL OÍA 13 DE SEPTIEMBRE DE 1991, EN LOS TALLERES DE GRUPO IMPRESA LAGO CHALCO 230, COL. ANÁHUAC MÉXICO, D.F.
CURSO DE CALCULO RAPIDO D. Kleppner y N. Ramsey
LA EDICIÓN CONSTA DE 1 000 EJEMPLARES Y SOBRANTES PARA REPOSIC[0N 517
MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA Vols. 1 y 11 E. Kreyszig ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA W. E. Boyce y R. C. Di Prima ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS C. lmaz y Z. Vorel ALGEBRA SUPERIOR M. J. Weiss y R. Dubisch
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GEOMETRIA ANALITICA con vectores y matrices D. C. Murdoch